Unsicherheit bei Investitions entscheidungen 161 S, S2 53 54 S5 a, 11,8635 11,8350 11,8056 11,7906 11,7753 a2 11,8056 11,8056 11,8056 11,8056 11,8056 a3 11,8350 11,8204 11,8056 11,7981 11,7906 Als nächster Schritt werden für jede Alternative i auf der Basis der vorgegebenen Eintrittswahrscheinlichkeiten die Nutzen-Erwartungswerte u errechnet So ergibt sich: u 1 = 0,1· 11,8635 + 0,2 ·11,8350 + 0,5 . 11,8056 + 0,1·11,7906 + 0,1·11,7753 = 11,8127 u2 = 11,8056 u 3 = 0,1·11,8350 + 0,2 ·11,8204 + 0,5 ·11,8056 + 0,1·11,7981 + 0,1·11,7906 = 11,8093 Die höchste Nutzen-Erwartung ergibt sich bei Alternative 1 (Ab sicherungsstrategie 1). Die Unternehmensleitung sollte sich also bei Anwendung des Bernoulli-Prinzips für diese Alternative (Ab sicherungs strategie) entscheiden. 6.3 Entscheidungen bei Ungewissheit Aufgabe 6.6: Entscheidungsregeln40 Es geIten die Daten der Aufgabe 6.3 auf der Seite 154. Neben den drei bestehenden Absicherungsstrategien zieht das Industrieunternehmen noch eine vierte alternative Absicherungsstrategie in Erwägung: a4: Sofortiger Kauf von 94.339,62 USO zum aktuellen Kassakurs von 1,0416 USDIEUR und einjährige Anlage des USO-Betrages zu 6 % p. a. Die sofortige Bereitstellung des EUR-Gegenwertes würde durch die Aufnahme eines Darlehens erfolgen, das in genau einem Jahr einschließlich 10 % p. a. Darlehenszinsen zurückzuzahlen wäre. a) Formulieren Sie die Ergebnismatrix zur Darstellung der beschriebenen Unsicherheitssituationen! Verwenden Sie dabei als Ergebnisgrößen den EUR-Betrag, den das betrachtete Industrieunternehmen je nach Wechselkursentwicklung bei den verschiedenen Strategien in t = 1 insgesamt zu leisten hätte! 40 Geringfügig modifiziert entnommen aus Bitz, Michael: Übungen in Betriebswirtschaftslehre, 6. Aufl., München 2003, S. 272-273 und S. 289-291. 162 Investition in Übungen b) Untersuchen Sie die vier Absicherungsstrategien nach dem Dominanz- Prinzip! Beachten Sie dabei, dass die Ergebnisse gemäß Teilaufgabe a) Kostengrößen darstellen! c) Für welche Absicherungsstrategie sollte sich das Industrieunternehmen entscheiden, wenn es die (1) Maximin-Regel), (2) Laplace-Rege1, (3) Hurwicz-Regel (mit einem Optimismusparameter von 'A = 0,8) anwendet? d) Welche Absicherungsstrategie würde sich bei der Anwendung der Savage-Niehans-Regel (= Minimax-Regret-Regel) als optimal erweisen? Lösung Teilaufgabe a) Drückt man die in t = I zu zahlenden Beträge in EUR aus und bezeichnet man die fünf für möglich gehaltenen Wechselkurse in einem Jahr mit SI, S2, ... , S5, so ergibt sich folgende Ergebnismatrix: in SI S2 S3 S4 S5 EUR - -(1,136 ) (1,0869565) (1,0416 ) (1,0204082 ) (1,00) a l 88.000 92.000 96.000 98.000 100.000 a2 96.000 96.000 96.000 96.000 96.000 a3 92.000 94.000 96.000 97.000 98.000 a4 99.623 99.623 99.623 99.623 99.623 Erläuterung: al: Das Industrieunternehmen hat den EUR-Gegenwert der 100.000 USD in Abhängigkeit von dem zum Zeitpunkt t = 1 herrschenden Wechselkurs zu entrichten. a2: Das Industrieunternehmen hat unabhängig von dem in t = I herrschenden Wechselkurs den bereits in t = 0 festgelegten Terminkurs von 1,0416 USDIEUR für die benötigten 100.000 USD aufzuwenden. a3: Das Industrieunternehmen hat für 50.000 USD den in t = 0 festgelegten Terminkurs von 1,0416 USD/EUR aufzuwenden sowie für die weiteren 50.000 USD den in t = 1 herrschenden Wechselkurs. Unsicherheit bei Investitions entscheidungen 163 a4: Der in t = 0 beschaffte Betrag von 94.339,62 USD wächst bei einer Verzinsung von 6 % p. a. genau auf den in t = 1 benötigten Betrag von 100.000 USD an. Zur Beschaffung der 94.339,62 USD muss das Industrieunternehmen in t = 0 einen Kredit in Höhe von 90.566,04 EUR (= 94.339,62 USD 71,0416 USDIEUR) aufnehmen und dafür in t = 1 einschließlich 10 % p. a. Darlehenszinsen 99.622,64 EUR zurückzahlen. Teilaufgabe b) Die Zielsetzung des Industrieunternehmens besteht darin, den benötigten USD-Betrag mit einem möglichst geringen EUR-Einsatz aufzubringen; es wird also ein möglichst niedriger Ergebniswert angestrebt. Entsprechend dieser Minimierungszielsetzung wird die Absicherungsstrategie a4 von den Absicherungsstrategien a2 und a3 dominiert, da sich bei a4 in jeder für möglich gehaltenen Wechselkurs situation ein höherer EUR-Betrag ergibt als bei den beiden anderen Alternativen. Die Absicherungsstrategie a4 kann somit bei den folgenden Betrachtungen außer Acht gelassen werden. Teilaufgabe c) (1) Nach der Maximin-Rege1 (Minimax-Regel) ist im vorliegenden Fall diejenige Absicherungsstrategie zu wählen, bei der der maximal mögliche EUR-Betrag am kleinsten ist. Die jeweiligen Maximalbeträge sind: al = 100.000 EUR, a2 = 96.000 EUR, a3 = 98.000 EUR. Dementsprechend stellt nach der Maximin-Regel (Minimax-Regel) die Absicherungsstrategie a2 die Optimalalternative dar (beste Lösung bei widrigen Umständen). (2) Nach der Laplace-Regel ist im vorliegenden Fall diejenige Absicherungsstrategie zu wählen, bei der der einfache Durchschnitt der alternativ möglichen Ergebniswerte am niedrigsten ist. Für die Durchschnittswerte ergibt sich: 474.000 a 1 : 5 480.000 a 2 : 5 477.000 a,:---. 5 = 94.800 EUR =96.000EUR =95.400 EUR Nach der Laplace-Regel ist die Absicherungsstrategie al als optimal anzusehen. 164 Investition in Übungen (3) Nach der Hurwicz-Regel (Optimismus-Pessimismus-Regel) ist im vorliegenden Fall diejenige Absicherungsstrategie zu wählen, bei der der gewogene Durchschnitt aus dem niedrigsten Ergebniswert41 (Optimismusparameter A für O:s A:S 1) und dem höchsten Ergebniswert ((1 - A) für O:s A :s 1) am niedrigsten ist. Die Regel lautet: Min [A' K min + (1- A)' K max ] mit A = 0,8 für die niedrigsten Kosten (Optimismus) Dabei gilt: Min: Minimierung; A: Optimismusparameter; K min : Kostenminimum; K max : Kostenmaximum. a I: 0,8·88.000 + 0,2·100.000 = 90.400 EUR a 2: 96.000 EUR a3: 0,8·92.000 + 0,2·98.000 = 93.200 EUR Demnach stellt nach der Hurwicz-Regel die Absicherungsstrategie al die Optimalalternative dar. Teilaufgabe d) Nach der Savage-Niehans-Regel (Minimax-Regret-Regel) werden die Ergebnisse zunächst durch sog. Bedauerns-Werte ersetzt, indem im vorliegenden Fall von jedem Einzelergebnis einer Spalte das jeweilige Spaltenminimum subtrahiert wird. Es ergibt sich so folgende transformierte Matrix: inEUR SI S2 S3 S4 S5 al 0 0 0 2.000 4.000 a2 8.000 4.000 0 0 0 a3 4.000 2.000 0 1.000 2.000 41 Hier handelt es sich um die Entscheidungsregel bei zu minimierenden Werten (z. B. Kosten); bei zu maximierenden Werten (z. B. Gewinne) müsste die Vorteilhaftigkeit umgekehrt formuliert werden! Unsicherheit bei Investitions entscheidungen 165 Als Optimalalternative ist dann diejenige Absicherungsstrategie zu wählen, bei der das maximal mögliche Bedauern am geringsten ist. Für die maximalen Bedauerns-Werte gilt: a l : 4.000 EUR} a 2 : 8.000 EUR = jeweils maximal mögliches Bedauern a 3: 4.000 EUR Somit stellen die Absicherungsstrategien al und a3 nach der Savage-Niehans- Regel die Optimal alternativen dar. Aufgabe 6.7: Entscheidungsregeln Die Investitionsabteilung eines Unternehmens muss sich für die Anschaffung einer von vier möglichen Produktionsanlagen (al - a4) entscheiden. In Abhängigkeit von den Umweltbedingungen (SI - S4) errechnet sie folgende in der Entscheidungsmatrix aufgeführten Kapitalwerte (in TEUR): SI S2 S3 S4 aj 15 4 8 -4 a2 6 11 3 5 a3 7 6 18 4 a4 - 12 9 6 18 Für welche Alternative wird sich die Investitionsabteilung entscheiden, wenn der Entscheidung a) die Maximin-Regel (Minimax-Regel) bzw. b) die Savage-Niehans-Regel zugrunde gelegt wird? Lösung Teilaufgabe a) Maximin-Regel (Minimax-Regel): al = - 4; a2 = + 3; a3 = + 4; a4 = - 12. Nach der Maximin-Regel (Minimax-Regel) sollte die Alternative a3 ausgewählt werden. 166 Investition in Übungen Teilaufgabe b) Savage-Niehans-Regel: Bei dieser Regel besteht das Ziel in der Minimierung des Nachteils, der sich durch eine Fehlentscheidung ergeben würde. Die gegebene Entscheidungsmatrix wird in eine "Matrix des Bedauerns" transfonniert. Bei den zu maximierenden Werten wird das Maximum einer Spalte von den einzelnen Werten der betreffenden Ausprägungsspalte subtrahiert. Danach wird der größtmögliche Nachteil einer Alternative minimiert. Opportunitäts matrix : SI S2 S3 S4 al 0 -7 -10 -22 -22 a2 -9 0 -15 -13 -15 a3 -8 -5 0 -14 -14 a4 -27 -2 -12 0 -27 Nach der Savage-Niehans-Regel sollte ebenfalls die Alternative a3 ausgewählt werden. Aufgabe 6.8: Entscheidungsregeln Einem Unternehmen stehen vier unterschiedliche Investitionsprojekte zur Auswahl, die grundsätzlich die nachfolgenden Zahlungsreihen bei einer gleich bleibenden Konjunkturlage (Umweltzustand I) aufweisen (alle Angaben in EUR): Periode 0 1 2 3 Z,Al - 1.400 600 700 800 Z,A2 - 1.800 700 900 900 ZtA3 - 2.300 500 1.200 1.400 Z,A4 - 2.700 800 1.000 2.100 Bei allen vier Investitionsprojekten könnten die Einzahlungsüberschüsse bei einer sehr guten Konjunkturentwicklung (Umweltzustand 2) in jeder Periode um 30 % höher ausfallen. Bei einer guten Konjunkturentwicklung (Umweltzustand 3) würden die Einzahlungsüberschüsse hingegen in jeder Periode jeweils nur um 13 % steigen. Bei einer sehr schlechten Konjunkturentwicklung (Umweltzustand 4) würden die Einzahlungsüberschüsse in jeder Periode je- Unsicherheit bei Investitions entscheidungen 167 weils um 10 % fallen. Bei einer schlechten Konjunkturentwicklung (Umweltzustand 5) fielen die Einzahlungsüberschüsse in jeder Periode jeweils um 5 %. Das Unternehmen verwendet einen Kalkulationszinssatz von 8 % p. a. a) Berechnen Sie die Kapitalwerte der vier Investitionsprojekte in Abhängigkeit von den fünf unterschiedlichen Konjunkturentwicklungen und stellen Sie eine Ergebnismatrix auf! b) Für welche Alternative wird sich das Unternehmen entscheiden, wenn die Maximin-Regel (Minimax-Regel) Anwendung findet? c) Für welche Alternative wird sich das Unternehmen entscheiden, wenn die Maximax-Regel Anwendung findet? d) Für welche Alternative wird sich das Unternehmen entscheiden, wenn die Hurwicz-Regel Anwendung findet (A = 0,4)? e) Für welche Alternative wird sich das Unternehmen entscheiden, wenn die Erwartungswertregel Anwendung findet? Umweltzustand Wahrscheinlichkeit des Eintritts Lösung Teilaufgabe a) Ermittlung der Kapitalwerte für das Investitionsprojekt AI in Abhängigkeit von den unterschiedlichen Umweltzuständen: Co Al LJl = - 1.400 + 600 . 1,08-1 + 700· 1,08.2 + 800 . 1,08-3 = + 390,76 EUR COAI U2 = -1.400 + (600 . 1,3) . 1,08-1 + (700 . 1,3) . 1,08.2 + (800 . 1,3) · 1,08 3 = + 927,99 EUR COA1LJ3 = - 1.400 + (600' 1,13) . 1,08.1 + (700' 1,13) . 1,08.2 + (800' 1,13) · 1,08.3 = + 623,56 EUR Co Al U4 = - 1.400 + (600 . 0,9) . 1,08-1 + (700 . 0,9) . 1,08.2 + (800 . 0,9) · 1,08.3 = + 211,68 EUR Co AI LJ5 = - 1.400 + (600 . 0,95) . 1,08 1 + (700 . 0,95) . 1,08 2 + (800 . 0,95) · 1,08.3 = + 301,22 EUR Ermittlung der Kapitalwerte für das Investitionsprojekt A2 in Abhängigkeit von den unterschiedlichen Umweltzuständen: CO A2 Ul = - 1.800 + 700 . 1,08-1 + 900 . 1,08.2 + 900 . 1,08-3 = + 334,20 EUR Co A2 LJ2 = - 1.800 + (700 . 1,3) . 1,08-1 + (900 . 1,3) . 1,08.2 + (900 . 1,3) · 1,08.3 = + 974,46 EUR 168 Investition in Übungen COA2U3 = -1.S00 + (700· 1,13) . 1,OS·1 + (900· 1,13) . 1,OS·2 + (900· 1,13) · 1,OS3 = + 611,65 EUR Co A2 U4 = - 1.S00 + (700 . 0,9) . 1 ,OS 1 + (900 . 0,9) . 1 ,OS2 + (900 . 0,9) · 1 ,OS·3 = + 120,78 EUR Co A2 U5 = - 1.S00 + (700 . 0,95) . 1,OS·1 + (900 . 0,95) . 1,OS·2 + (900 . 0,95) · 1,OS·3 = + 227,49 EUR Ermittlung der Kapitalwerte für das Investitionsprojekt A3 in Abhängigkeit von den unterschiedlichen Umweltzuständen: CO A3 UI = - 2.300 + 500 . 1 ,OS·I + 1.200 . 1 ,OS·2 + 1.400 . I,OS·3 = + 303,13 EUR Co A3 U2 = - 2.300 + (500 . 1,3) . 1,OS·1 + (1.200 . 1,3) . 1,OS·2 + (1.400 . 1,3) · 1 ,OS3 = + 1.084,08 EUR COA3U3 = - 2.300 + (500·1,13)· 1,0SI+ (1.200·1,13)· I,OS2+ (1.400 ·1,13)·1,OS·3=+641,54EUR Co A3 U4 = - 2.300 + (500 . 0,9) . 1,OS·1 + (1.200 . 0,9) . 1,OS·2 + (1.400 . 0,9) · 1,OS·3 = + 42,82 EUR Co A3 U5 = - 2.300 + (500 . 0,95) . 1 ,OS 1 + (1.200 . 0,95) . 1 ,OS2 + (1.400 · 0,95) . I ,OS3 = + 172,98 EUR Ermittlung der Kapitalwerte für das Investitionsprojekt A4 in Abhängigkeit von den unterschiedlichen UmweItzuständen: CO A4 Ul = - 2.700 + SOO . 1 ,OS· I + 1.000 . 1 ,OS·2 + 2.100 . I,OS·3 = + 565,13 EUR Co M U2 = - 2.700 + (SOO . 1,3) . 1,OS·1 + (1.000 . 1,3) . 1,OS·2 + (2.100 . 1,3) · 1,OS·3 = + 1.544,67 EUR Co A4 U3 = - 2.700 + (SOO . 1,13) . 1 ,OS 1 + (1.000 . 1,13) . 1 ,OS2 + (2.100 . 1,13) . 1 ,OS3 = + 989,59 EUR Co M U4 = - 2.700 + (SOO . 0,9) . 1,OS·1 + (1.000 . 0,9) . 1,OS·2 + (2.100 . 0,9) · 1,OS·3 = + 238,61 EUR COM U5 = - 2.700 + (SOO· 0,95)· 1,OS·1 + (1.000·0,95)· 1,OS·2+ (2.100 · 0,95)· 1,OS·3 = + 401,87 EUR Nachdem sämtliche Kapitalwerte in Abhängigkeit von den unterschiedlichen UmweItzuständen ermittelt wurden, kann nun eine Ergebnismatrix (Beträge in EUR) aufgestellt werden: Unsicherheit bei Investitions entscheidungen 169 Umweltzustand U, U2 U3 U4 U j A, 390,76 927,99 623,56 211,68 301,22 A2 334,20 974,46 611 ,65 120,78 227,49 A3 303,13 1.084,08 641,54 42,82 172,98 A4 565,13 1.544,67 989,59 238,61 401,87 Teilaufgabe b) Nach der Maximin-Regel (Minimax-Regel) wird von den vier Investitionsprojekten dasjenige ausgewählt, welches beim ungünstigsten Umweltzustand zum maximalen Kapitalwert führt. Maximin-Regel (Minimax-Regel): AI = 211,68 EUR; A2 = 120,78 EUR; A3 = 42,82 EUR; A 4 = 238,61 EUR. q A4 > Al> A2 > A3! Nach der Maximin-Regel (Minimax-Regel) sollte von dem Unternehmen das Investitionsprojekt A4 ausgewählt werden. Teilaufgabe c) Nach der Maximax-Regel wird von den vier Investitionsprojekten dasjenige ausgewählt, welches beim besten Umweltzustand den höchsten maximal erzielbaren Kapitalwert aufweist. Maximax-Regel: AI = 927,99 EUR; A2 = 974,46 EUR; A3 = l.084,08 EUR; A 4 = 1.544,67 EUR. q A4 > A3 > A2 > Al! Nach der Maximax-Regel sollte von dem Unternehmen das Investitionsprojekt A4 ausgewählt werden. Teilaufgabe d) Die Hurwicz-Regel stellt eine Optimismus-Pessimismus-Regel dar, bei der A einen Optimismus-Koeffizienten darstellt, welcher Werte von Null bis Eins annehmen kann. Entspricht A dem Wert 1, stimmt die Hurwicz-Regel mit der Maximax-Regel überein. Nimmt A dagegen den Wert ° an, stimmt die Hurwicz-Regel mit der Maximin-Regel (Minimax-Regel) überein. 170 Investition in Übungen Im vorliegenden Fall bei A = 0,4 ergeben sich folgende Zahlungen (Beträge in EUR): Um- U, U2 U3 U4 Us (\- 0,4 . (3) = welt- 0,4) . max (1) + zu- mm KW (2) (2) stand KW(1) A, 390,76 927,99 623,56 211,68 301,22 127,01 371,20 498,21 A2 334,20 974,46 611,65 120,78 227,49 72,47 389,78 462,25 A3 303,13 1.084,08 641,54 42,82 172,98 25,69 433,63 459,32 A4 565,13 1.544,67 989,59 238,61 401,87 143,17 617,87 761,04 9A4 >A1 >A2 >A3 ! Nach der Hurwicz-Regel sollte von dem Unternehmen das Investitionsprojekt A4 ausgewählt werden. Teilaufgabe e) Die Erwartungswertregel berechnet bei Vorliegen von Eintrittswahrschein- Iichkeiten für die möglichen Umweltzustände (Uj ) den Erwartungswert für die vier Investitionsprojekte (EWJ wie folgt: Umwelt- Ul (0,15) U2 (0,2) U3 (0,5) U4 (0,1) U5 (0,05) EWj zustand Al 390,76 927,99 623,56 211,68 301,22 592,22 A2 334,20 974,46 611,65 120,78 227,49 574,30 A, 303,13 1.084,08 641,54 42,82 172,98 595,99 A4 565,13 1.544,67 989,59 238,61 401,87 932,45 9 A4 > A 3 > Al > A2 ! Nach der Erwartungswertregel sollte von dem Unternehmen das Investitionsprojekt A 4 ausgewählt werden. 6.4 Spezielle Methoden zur Erfassung der Unsicherheit Aufgabe 6.9: Korrekturverfahren Der Investor Ralf Riskant empfiehlt seinem Kollegen Siegfried Sicherheit die Durchführung einer Investition mit folgender Zahlungsreihe und Unterstellung eines Kalkulationszinssatzes von 10 % p. a. bei Bestehen eines vollkommenen Kapitalmarkts: