Unsicherheit bei Investitions entscheidungen 161
S, S2 53 54 S5
a, 11,8635 11,8350 11,8056 11,7906 11,7753
a2 11,8056 11,8056 11,8056 11,8056 11,8056
a3 11,8350 11,8204 11,8056 11,7981 11,7906
Als nächster Schritt werden für jede Alternative i auf der Basis der vorgegebenen Eintrittswahrscheinlichkeiten die Nutzen-Erwartungswerte u errechnet
So ergibt sich:
u 1 = 0,1· 11,8635 + 0,2 ·11,8350 + 0,5 . 11,8056 + 0,1·11,7906 + 0,1·11,7753 = 11,8127
u2 = 11,8056
u 3 = 0,1·11,8350 + 0,2 ·11,8204 + 0,5 ·11,8056 + 0,1·11,7981 + 0,1·11,7906 = 11,8093
Die höchste Nutzen-Erwartung ergibt sich bei Alternative 1 (Ab sicherungsstrategie 1). Die Unternehmensleitung sollte sich also bei Anwendung des
Bernoulli-Prinzips für diese Alternative (Ab sicherungs strategie) entscheiden.
6.3 Entscheidungen bei Ungewissheit
Aufgabe 6.6: Entscheidungsregeln40
Es geIten die Daten der Aufgabe 6.3 auf der Seite 154. Neben den drei bestehenden Absicherungsstrategien zieht das Industrieunternehmen noch eine
vierte alternative Absicherungsstrategie in Erwägung:
a4: Sofortiger Kauf von 94.339,62 USO zum aktuellen Kassakurs von 1,0416
USDIEUR und einjährige Anlage des USO-Betrages zu 6 % p. a. Die sofortige Bereitstellung des EUR-Gegenwertes würde durch die Aufnahme
eines Darlehens erfolgen, das in genau einem Jahr einschließlich 10 %
p. a. Darlehenszinsen zurückzuzahlen wäre.
a) Formulieren Sie die Ergebnismatrix zur Darstellung der beschriebenen
Unsicherheitssituationen! Verwenden Sie dabei als Ergebnisgrößen den
EUR-Betrag, den das betrachtete Industrieunternehmen je nach Wechselkursentwicklung bei den verschiedenen Strategien in t = 1 insgesamt zu
leisten hätte!
40 Geringfügig modifiziert entnommen aus Bitz, Michael: Übungen in Betriebswirtschaftslehre, 6. Aufl., München 2003, S. 272-273 und S. 289-291.
162 Investition in Übungen
b) Untersuchen Sie die vier Absicherungsstrategien nach dem Dominanz-
Prinzip! Beachten Sie dabei, dass die Ergebnisse gemäß Teilaufgabe a)
Kostengrößen darstellen!
c) Für welche Absicherungsstrategie sollte sich das Industrieunternehmen
entscheiden, wenn es die
(1) Maximin-Regel),
(2) Laplace-Rege1,
(3) Hurwicz-Regel (mit einem Optimismusparameter von 'A = 0,8) anwendet?
d) Welche Absicherungsstrategie würde sich bei der Anwendung der Savage-Niehans-Regel (= Minimax-Regret-Regel) als optimal erweisen?
Lösung
Teilaufgabe a)
Drückt man die in t = I zu zahlenden Beträge in EUR aus und bezeichnet man
die fünf für möglich gehaltenen Wechselkurse in einem Jahr mit SI, S2, ... , S5,
so ergibt sich folgende Ergebnismatrix:
in SI S2 S3 S4 S5
EUR - -(1,136 ) (1,0869565) (1,0416 ) (1,0204082 ) (1,00)
a l 88.000 92.000 96.000 98.000 100.000
a2 96.000 96.000 96.000 96.000 96.000
a3 92.000 94.000 96.000 97.000 98.000
a4 99.623 99.623 99.623 99.623 99.623
Erläuterung:
al: Das Industrieunternehmen hat den EUR-Gegenwert der 100.000 USD
in Abhängigkeit von dem zum Zeitpunkt t = 1 herrschenden Wechselkurs zu entrichten.
a2: Das Industrieunternehmen hat unabhängig von dem in t = I herrschenden Wechselkurs den bereits in t = 0 festgelegten Terminkurs von
1,0416 USDIEUR für die benötigten 100.000 USD aufzuwenden.
a3: Das Industrieunternehmen hat für 50.000 USD den in t = 0 festgelegten
Terminkurs von 1,0416 USD/EUR aufzuwenden sowie für die weiteren
50.000 USD den in t = 1 herrschenden Wechselkurs.
Unsicherheit bei Investitions entscheidungen 163
a4: Der in t = 0 beschaffte Betrag von 94.339,62 USD wächst bei einer
Verzinsung von 6 % p. a. genau auf den in t = 1 benötigten Betrag von
100.000 USD an. Zur Beschaffung der 94.339,62 USD muss das Industrieunternehmen in t = 0 einen Kredit in Höhe von 90.566,04 EUR
(= 94.339,62 USD 71,0416 USDIEUR) aufnehmen und dafür in t = 1
einschließlich 10 % p. a. Darlehenszinsen 99.622,64 EUR zurückzahlen.
Teilaufgabe b)
Die Zielsetzung des Industrieunternehmens besteht darin, den benötigten
USD-Betrag mit einem möglichst geringen EUR-Einsatz aufzubringen; es
wird also ein möglichst niedriger Ergebniswert angestrebt.
Entsprechend dieser Minimierungszielsetzung wird die Absicherungsstrategie
a4 von den Absicherungsstrategien a2 und a3 dominiert, da sich bei a4 in jeder
für möglich gehaltenen Wechselkurs situation ein höherer EUR-Betrag ergibt
als bei den beiden anderen Alternativen. Die Absicherungsstrategie a4 kann
somit bei den folgenden Betrachtungen außer Acht gelassen werden.
Teilaufgabe c)
(1) Nach der Maximin-Rege1 (Minimax-Regel) ist im vorliegenden Fall diejenige Absicherungsstrategie zu wählen, bei der der maximal mögliche
EUR-Betrag am kleinsten ist. Die jeweiligen Maximalbeträge sind: al =
100.000 EUR, a2 = 96.000 EUR, a3 = 98.000 EUR.
Dementsprechend stellt nach der Maximin-Regel (Minimax-Regel) die
Absicherungsstrategie a2 die Optimalalternative dar (beste Lösung bei
widrigen Umständen).
(2) Nach der Laplace-Regel ist im vorliegenden Fall diejenige Absicherungsstrategie zu wählen, bei der der einfache Durchschnitt der alternativ möglichen Ergebniswerte am niedrigsten ist. Für die Durchschnittswerte ergibt
sich:
474.000
a 1 : 5
480.000
a 2 : 5
477.000 a,:---. 5
= 94.800 EUR
=96.000EUR
=95.400 EUR
Nach der Laplace-Regel ist die Absicherungsstrategie al als optimal anzusehen.
164 Investition in Übungen
(3) Nach der Hurwicz-Regel (Optimismus-Pessimismus-Regel) ist im vorliegenden Fall diejenige Absicherungsstrategie zu wählen, bei der der gewogene Durchschnitt aus dem niedrigsten Ergebniswert41 (Optimismusparameter A für O:s A:S 1) und dem höchsten Ergebniswert ((1 - A) für O:s A
:s 1) am niedrigsten ist.
Die Regel lautet:
Min [A' K min + (1- A)' K max ]
mit A = 0,8 für die niedrigsten Kosten (Optimismus)
Dabei gilt:
Min: Minimierung;
A: Optimismusparameter;
K min : Kostenminimum;
K max : Kostenmaximum.
a I: 0,8·88.000 + 0,2·100.000 = 90.400 EUR
a 2: 96.000 EUR
a3: 0,8·92.000 + 0,2·98.000 = 93.200 EUR
Demnach stellt nach der Hurwicz-Regel die Absicherungsstrategie al die
Optimalalternative dar.
Teilaufgabe d)
Nach der Savage-Niehans-Regel (Minimax-Regret-Regel) werden die Ergebnisse zunächst durch sog. Bedauerns-Werte ersetzt, indem im vorliegenden
Fall von jedem Einzelergebnis einer Spalte das jeweilige Spaltenminimum
subtrahiert wird.
Es ergibt sich so folgende transformierte Matrix:
inEUR SI S2 S3 S4 S5
al 0 0 0 2.000 4.000
a2 8.000 4.000 0 0 0
a3 4.000 2.000 0 1.000 2.000
41 Hier handelt es sich um die Entscheidungsregel bei zu minimierenden Werten (z. B.
Kosten); bei zu maximierenden Werten (z. B. Gewinne) müsste die Vorteilhaftigkeit
umgekehrt formuliert werden!
Unsicherheit bei Investitions entscheidungen 165
Als Optimalalternative ist dann diejenige Absicherungsstrategie zu wählen,
bei der das maximal mögliche Bedauern am geringsten ist. Für die maximalen
Bedauerns-Werte gilt:
a l : 4.000 EUR}
a 2 : 8.000 EUR = jeweils maximal mögliches Bedauern
a 3: 4.000 EUR
Somit stellen die Absicherungsstrategien al und a3 nach der Savage-Niehans-
Regel die Optimal alternativen dar.
Aufgabe 6.7: Entscheidungsregeln
Die Investitionsabteilung eines Unternehmens muss sich für die Anschaffung
einer von vier möglichen Produktionsanlagen (al - a4) entscheiden. In Abhängigkeit von den Umweltbedingungen (SI - S4) errechnet sie folgende in der
Entscheidungsmatrix aufgeführten Kapitalwerte (in TEUR):
SI S2 S3 S4
aj 15 4 8 -4
a2 6 11 3 5
a3 7 6 18 4
a4 - 12 9 6 18
Für welche Alternative wird sich die Investitionsabteilung entscheiden, wenn
der Entscheidung
a) die Maximin-Regel (Minimax-Regel) bzw.
b) die Savage-Niehans-Regel zugrunde gelegt wird?
Lösung
Teilaufgabe a)
Maximin-Regel (Minimax-Regel):
al = - 4; a2 = + 3; a3 = + 4; a4 = - 12.
Nach der Maximin-Regel (Minimax-Regel) sollte die Alternative a3 ausgewählt werden.
166 Investition in Übungen
Teilaufgabe b)
Savage-Niehans-Regel:
Bei dieser Regel besteht das Ziel in der Minimierung des Nachteils, der sich
durch eine Fehlentscheidung ergeben würde. Die gegebene Entscheidungsmatrix wird in eine "Matrix des Bedauerns" transfonniert. Bei den zu maximierenden Werten wird das Maximum einer Spalte von den einzelnen Werten
der betreffenden Ausprägungsspalte subtrahiert. Danach wird der größtmögliche Nachteil einer Alternative minimiert.
Opportunitäts matrix :
SI S2 S3 S4
al 0 -7 -10 -22 -22
a2 -9 0 -15 -13 -15
a3 -8 -5 0 -14 -14
a4 -27 -2 -12 0 -27
Nach der Savage-Niehans-Regel sollte ebenfalls die Alternative a3 ausgewählt
werden.
Aufgabe 6.8: Entscheidungsregeln
Einem Unternehmen stehen vier unterschiedliche Investitionsprojekte zur
Auswahl, die grundsätzlich die nachfolgenden Zahlungsreihen bei einer gleich
bleibenden Konjunkturlage (Umweltzustand I) aufweisen (alle Angaben in
EUR):
Periode 0 1 2 3
Z,Al - 1.400 600 700 800
Z,A2 - 1.800 700 900 900
ZtA3 - 2.300 500 1.200 1.400
Z,A4 - 2.700 800 1.000 2.100
Bei allen vier Investitionsprojekten könnten die Einzahlungsüberschüsse bei
einer sehr guten Konjunkturentwicklung (Umweltzustand 2) in jeder Periode
um 30 % höher ausfallen. Bei einer guten Konjunkturentwicklung (Umweltzustand 3) würden die Einzahlungsüberschüsse hingegen in jeder Periode jeweils nur um 13 % steigen. Bei einer sehr schlechten Konjunkturentwicklung
(Umweltzustand 4) würden die Einzahlungsüberschüsse in jeder Periode je-
Unsicherheit bei Investitions entscheidungen 167
weils um 10 % fallen. Bei einer schlechten Konjunkturentwicklung (Umweltzustand 5) fielen die Einzahlungsüberschüsse in jeder Periode jeweils um 5 %.
Das Unternehmen verwendet einen Kalkulationszinssatz von 8 % p. a.
a) Berechnen Sie die Kapitalwerte der vier Investitionsprojekte in Abhängigkeit von den fünf unterschiedlichen Konjunkturentwicklungen und
stellen Sie eine Ergebnismatrix auf!
b) Für welche Alternative wird sich das Unternehmen entscheiden, wenn die
Maximin-Regel (Minimax-Regel) Anwendung findet?
c) Für welche Alternative wird sich das Unternehmen entscheiden, wenn die
Maximax-Regel Anwendung findet?
d) Für welche Alternative wird sich das Unternehmen entscheiden, wenn die
Hurwicz-Regel Anwendung findet (A = 0,4)?
e) Für welche Alternative wird sich das Unternehmen entscheiden, wenn die
Erwartungswertregel Anwendung findet?
Umweltzustand
Wahrscheinlichkeit des Eintritts
Lösung
Teilaufgabe a)
Ermittlung der Kapitalwerte für das Investitionsprojekt AI in Abhängigkeit
von den unterschiedlichen Umweltzuständen:
Co Al LJl = - 1.400 + 600 . 1,08-1 + 700· 1,08.2 + 800 . 1,08-3 = + 390,76 EUR
COAI U2 = -1.400 + (600 . 1,3) . 1,08-1 + (700 . 1,3) . 1,08.2 + (800 . 1,3)
· 1,08 3 = + 927,99 EUR
COA1LJ3 = - 1.400 + (600' 1,13) . 1,08.1 + (700' 1,13) . 1,08.2 + (800' 1,13)
· 1,08.3 = + 623,56 EUR
Co Al U4 = - 1.400 + (600 . 0,9) . 1,08-1 + (700 . 0,9) . 1,08.2 + (800 . 0,9)
· 1,08.3 = + 211,68 EUR
Co AI LJ5 = - 1.400 + (600 . 0,95) . 1,08 1 + (700 . 0,95) . 1,08 2 + (800 . 0,95)
· 1,08.3 = + 301,22 EUR
Ermittlung der Kapitalwerte für das Investitionsprojekt A2 in Abhängigkeit
von den unterschiedlichen Umweltzuständen:
CO A2 Ul = - 1.800 + 700 . 1,08-1 + 900 . 1,08.2 + 900 . 1,08-3 = + 334,20 EUR
Co A2 LJ2 = - 1.800 + (700 . 1,3) . 1,08-1 + (900 . 1,3) . 1,08.2 + (900 . 1,3)
· 1,08.3 = + 974,46 EUR
168 Investition in Übungen
COA2U3 = -1.S00 + (700· 1,13) . 1,OS·1 + (900· 1,13) . 1,OS·2 + (900· 1,13)
· 1,OS3 = + 611,65 EUR
Co A2 U4 = - 1.S00 + (700 . 0,9) . 1 ,OS 1 + (900 . 0,9) . 1 ,OS2 + (900 . 0,9)
· 1 ,OS·3 = + 120,78 EUR
Co A2 U5 = - 1.S00 + (700 . 0,95) . 1,OS·1 + (900 . 0,95) . 1,OS·2 + (900 . 0,95)
· 1,OS·3 = + 227,49 EUR
Ermittlung der Kapitalwerte für das Investitionsprojekt A3 in Abhängigkeit
von den unterschiedlichen Umweltzuständen:
CO A3 UI = - 2.300 + 500 . 1 ,OS·I + 1.200 . 1 ,OS·2 + 1.400 . I,OS·3
= + 303,13 EUR
Co A3 U2 = - 2.300 + (500 . 1,3) . 1,OS·1 + (1.200 . 1,3) . 1,OS·2 + (1.400 . 1,3)
· 1 ,OS3 = + 1.084,08 EUR
COA3U3 = - 2.300 + (500·1,13)· 1,0SI+ (1.200·1,13)· I,OS2+ (1.400
·1,13)·1,OS·3=+641,54EUR
Co A3 U4 = - 2.300 + (500 . 0,9) . 1,OS·1 + (1.200 . 0,9) . 1,OS·2 + (1.400 . 0,9)
· 1,OS·3 = + 42,82 EUR
Co A3 U5 = - 2.300 + (500 . 0,95) . 1 ,OS 1 + (1.200 . 0,95) . 1 ,OS2 + (1.400
· 0,95) . I ,OS3 = + 172,98 EUR
Ermittlung der Kapitalwerte für das Investitionsprojekt A4 in Abhängigkeit
von den unterschiedlichen UmweItzuständen:
CO A4 Ul = - 2.700 + SOO . 1 ,OS· I + 1.000 . 1 ,OS·2 + 2.100 . I,OS·3
= + 565,13 EUR
Co M U2 = - 2.700 + (SOO . 1,3) . 1,OS·1 + (1.000 . 1,3) . 1,OS·2 + (2.100 . 1,3)
· 1,OS·3 = + 1.544,67 EUR
Co A4 U3 = - 2.700 + (SOO . 1,13) . 1 ,OS 1 + (1.000 . 1,13) . 1 ,OS2 + (2.100
. 1,13) . 1 ,OS3 = + 989,59 EUR
Co M U4 = - 2.700 + (SOO . 0,9) . 1,OS·1 + (1.000 . 0,9) . 1,OS·2 + (2.100 . 0,9)
· 1,OS·3 = + 238,61 EUR
COM U5 = - 2.700 + (SOO· 0,95)· 1,OS·1 + (1.000·0,95)· 1,OS·2+ (2.100
· 0,95)· 1,OS·3 = + 401,87 EUR
Nachdem sämtliche Kapitalwerte in Abhängigkeit von den unterschiedlichen
UmweItzuständen ermittelt wurden, kann nun eine Ergebnismatrix (Beträge in
EUR) aufgestellt werden:
Unsicherheit bei Investitions entscheidungen 169
Umweltzustand U, U2 U3 U4 U j
A, 390,76 927,99 623,56 211,68 301,22
A2 334,20 974,46 611 ,65 120,78 227,49
A3 303,13 1.084,08 641,54 42,82 172,98
A4 565,13 1.544,67 989,59 238,61 401,87
Teilaufgabe b)
Nach der Maximin-Regel (Minimax-Regel) wird von den vier Investitionsprojekten dasjenige ausgewählt, welches beim ungünstigsten Umweltzustand zum
maximalen Kapitalwert führt.
Maximin-Regel (Minimax-Regel):
AI = 211,68 EUR; A2 = 120,78 EUR; A3 = 42,82 EUR;
A 4 = 238,61 EUR.
q A4 > Al> A2 > A3!
Nach der Maximin-Regel (Minimax-Regel) sollte von dem Unternehmen das
Investitionsprojekt A4 ausgewählt werden.
Teilaufgabe c)
Nach der Maximax-Regel wird von den vier Investitionsprojekten dasjenige
ausgewählt, welches beim besten Umweltzustand den höchsten maximal erzielbaren Kapitalwert aufweist.
Maximax-Regel:
AI = 927,99 EUR; A2 = 974,46 EUR; A3 = l.084,08 EUR;
A 4 = 1.544,67 EUR.
q A4 > A3 > A2 > Al!
Nach der Maximax-Regel sollte von dem Unternehmen das Investitionsprojekt A4 ausgewählt werden.
Teilaufgabe d)
Die Hurwicz-Regel stellt eine Optimismus-Pessimismus-Regel dar, bei der A
einen Optimismus-Koeffizienten darstellt, welcher Werte von Null bis Eins
annehmen kann. Entspricht A dem Wert 1, stimmt die Hurwicz-Regel mit der
Maximax-Regel überein. Nimmt A dagegen den Wert ° an, stimmt die Hurwicz-Regel mit der Maximin-Regel (Minimax-Regel) überein.
170 Investition in Übungen
Im vorliegenden Fall bei A = 0,4 ergeben sich folgende Zahlungen (Beträge in
EUR):
Um- U, U2 U3 U4 Us (\- 0,4 . (3) =
welt- 0,4) . max (1) +
zu- mm KW (2) (2)
stand KW(1)
A, 390,76 927,99 623,56 211,68 301,22 127,01 371,20 498,21
A2 334,20 974,46 611,65 120,78 227,49 72,47 389,78 462,25
A3 303,13 1.084,08 641,54 42,82 172,98 25,69 433,63 459,32
A4 565,13 1.544,67 989,59 238,61 401,87 143,17 617,87 761,04
9A4 >A1 >A2 >A3 !
Nach der Hurwicz-Regel sollte von dem Unternehmen das Investitionsprojekt
A4 ausgewählt werden.
Teilaufgabe e)
Die Erwartungswertregel berechnet bei Vorliegen von Eintrittswahrschein-
Iichkeiten für die möglichen Umweltzustände (Uj ) den Erwartungswert für die
vier Investitionsprojekte (EWJ wie folgt:
Umwelt- Ul (0,15) U2 (0,2) U3 (0,5) U4 (0,1) U5 (0,05) EWj
zustand
Al 390,76 927,99 623,56 211,68 301,22 592,22
A2 334,20 974,46 611,65 120,78 227,49 574,30
A, 303,13 1.084,08 641,54 42,82 172,98 595,99
A4 565,13 1.544,67 989,59 238,61 401,87 932,45
9 A4 > A 3 > Al > A2 !
Nach der Erwartungswertregel sollte von dem Unternehmen das Investitionsprojekt A 4 ausgewählt werden.
6.4 Spezielle Methoden zur Erfassung der
Unsicherheit
Aufgabe 6.9: Korrekturverfahren
Der Investor Ralf Riskant empfiehlt seinem Kollegen Siegfried Sicherheit die
Durchführung einer Investition mit folgender Zahlungsreihe und Unterstellung eines Kalkulationszinssatzes von 10 % p. a. bei Bestehen eines vollkommenen Kapitalmarkts:
Chapter Preview
References
Zusammenfassung
Investition in Übungen.
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