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4.6 Varianten der „klassischen" dynamischen Verfahren in:

Hartmut Bieg, Heinz Kußmaul, Gerd Waschbusch

Investition in Übungen, page 127 - 137

2. Edition 2009, ISBN print: 978-3-8006-3659-4, ISBN online: 978-3-8006-4881-8, https://doi.org/10.15358/9783800648818_127

Series: Vahlens Übungsbücher der Wirtschafts- und Sozialwissenschaften

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106 Investition in Übungen - (5 -I) 140,000 - 98,780.82 - 4 95 tc' - + - years . 43,464.49' B has the shortest payback period and should therefore be preferred. 4.6 Varianten der "klassischen" dynamischen Verfahren Aufgabe 4.26: Kontenausgleichsverbot25 Der Pfennigfuchs GmbH stehen hinsichtlich einer geplanten Investition folgende sich gegenseitig ausschließende Alternativen zur Verfügung: t 0 1 2 3 Z,I (EUR) -10.000 3.000 4.000 6.000 z'rr (EUR) - 12.000 3.500 5.000 5.500 Die Zinsraff-Bank bietet dem Unternehmen einen Habenzinssatz von 4 % p. a. und einen Sollzinssatz von 8 % p. a. an. a) Erklären Sie kurz die Vermögensendwertmethode unter der Nebenbedingung des Kontenausgleichsverbots verbal und rechnerisch! b) Berechnen Sie den Vermögensendwert der beiden Investitionsobjekte unter der Nebenbedingung des Kontenausgleichsverbots! Welchem Investitionsobjekt geben Sie den Vorzug? Lösung Teilaufgabe a) Bei der Vermögensendwertmethode wird der Vermögensendwert einer Investition durch Aufzinsung aller Zahlungen auf das Ende des Planungszeitraums bestimmt. Unter der realistischen Annahme, dass der Sollzinssatz über dem Habenzinssatz liegt, ist eine Einzelinvestition als vorteilhaft anzusehen, wenn sie einen positiven Verrnögensendwert besitzt, da dann eine über dem Sollzinssatz (Kalkulationszinssatz für Kapitalaufnahme ) liegende In vestitionsren- 25 Modifiziert entnommen aus Perridon, Louis; Steiner, Manfred: Finanzwirtschaft der Unternehmung, 14. Aufl., München 2007, S. 90. Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 107 dite erzielt wird?6 Für den Alternativenvergleich gilt, dass die Investition mit dem höheren Vermögensendwert vorteilhafter ist. Die Kalkülformulierung kann vereinfacht werden, wenn unterstellt wird, dass für die Einzahlungsbzw. Auszahlungsüberschüsse während des Planungszeitraums jeweils eine getrennte Vermögensbestandsführung ohne Ausgleich erfolgt und erst am Ende des Planungshorizonts eine Zusammenführung zur Ermittlung des Vermögensendwertes Cn vorgenommen wird (Kontenausgleichsverbot). Ferner wird angenommen, dass sich das negative Vermögenskonto C- mit dem Sol1zinssatz isoll und das positive Vermögenskonto C+ mit dem Habenzinssatz ihaben während des gesamten Planungszeitraums verzinst. Positives Vermögenskonto am Ende des Planungszeitraums: n C: = I Z: . (1 + i habery-t t~l Negatives Vermögenskonto am Ende des Planungszeitraums: C~ = ±Z~ . (1 + i soll y-t t~O Vermögensendwert der Investition: n n Cn = C; -C~ = IZ7· (1 + i haben y-t - IZ~, (1 + i soll )"-t t~l t~O Dabei gilt: C n : Vermögensendwert der Investition am Ende der Periode t = n; Z7 : Einzahlungsüberschuss der Periode t; Z~ : Auszahlungsüberschuss der Periode t; ihaben : Zinssatz für Kapitalanlage (Habenzinssatz); isolI: Zinssatz für Kreditaufnahme (Sollzinssatz); n : Nutzungsdauer des Investitionsobjekts; t: Periode (t = 0, 1, 2, ... , n). Teilaufgabe b) Der Vergleich zweier alternativer Investitionen anhand ihrer Vermögensendwerte in n = 3 für den Fall eines Habenzinssatzes von 4 % p. a. und eines Soll- 26 Vgl. Bieg, Hartl17ut; Kußlnaul, Heinz: Investition, 2. Auf!., München 2009, Kapitel 2.3.2. 108 Investition in Übungen zinssatzes von 8 % p. a. und unter der Nebenbedingung des Kontenausgleichsverbots führt zu folgendem Ergebnis: Investitionsobjekt I: t Z-t z+ t Aufzinsungs- c~ c+ TI faktoren (EUR) (EUR) (EUR) (EUR) 0 10.000 1.259712 12.597.12 1 3.000 1.081600 3.244.80 2 4.000 1,040000 4.160,00 3 6.000 1,000000 6.000,00 12.597,12 13.404,80 Investitionsobjekt 11: t Z-t z+ t Aufzinsungs- C-TI c+ TI faktoren (EUR) (EUR) (EUR) (EUR) 0 12.000 1,259712 15.116,54 1 3.500 1,081600 3.785,60 2 5.000 1,040000 5.200,00 3 5.500 1,000000 5.500,00 15.116,54 14.485,60 c~ = c: - c~ = 13.404,80 EUR -12.597,12 EUR = + 807,68EUR Das Investitionsobjekt I besitzt einen positiven Vermögensendwert und ist damit absolut gesehen vorteilhaft. c~ = c: - c~ = 14.485,60 EUR -15.116,54 EUR = - 630,94EUR Das Investitionsobjekt 11 ist absolut gesehen nicht vorteilhaft. Daher ist das Investitionsobjekt I vorzuziehen; es besitzt einen höheren und positiven Vermögensendwert. Eine Vergleichbarkeit der Investitionsalternativen ist nur gegeben, wenn die Vermögensendwerte für den gleichen Endzeitpunkt ermittelt werden. Unterschiedliche Investitionslaufzeiten können durch Berücksichtigung von Ergänzungsinvestitionen (Ergänzung der kürzeren Laufzeit) oder Restnutzungswerten (Verkürzung der längeren Laufzeit) auf einen einheitlichen Vergleichszeitpunkt bezogen werden. Dabei ist allerdings zu berücksichtigen, dass reine Finanzinvestitionen bei einem über dem Anlagezinssatz liegenden Kapitalaufnahmezinssatz zu einem negativen Vermögensendwert führen. Finanzergänzungsinvestitionen sind daher bei diesen Bedingungskonstellationen nicht Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 109 zweckmäßig. Dagegen können bereits planbare Sachinvestitionen als Ergänzung in das Kalkül mit einbezogen werden. Aufgabe 4.27: Kontenausgleichsgebot a) Erklären Sie kurz die Vermögensendwertmethode unter der Nebenbedingung des Kontenausgleichsgebots verbal und rechnerisch! b) Es gelten die Daten der Aufgabe 4.26 auf Seite 106. Berechnen Sie den Vermögensendwert der beiden Investitionsobjekte unter der Nebenbedingung des Kontenausgleichsgebots! Welchem Investitionsobjekt geben Sie den Vorzug? Lösung Teilaufgabe a) Bei der Vermögensendwertmethode mit Kontenausgleichsgebot wird der Einzahlungsüberschuss der jeweiligen Periode in voller Höhe zunächst zum Abbau eines eventuell bestehenden negativen Vermögens (der Schulden) genutzt, und erst nach dessen (deren) Tilgung ist eine Anlage dieser erwirtschafteten finanziellen Mittel zum Habenzinssatz ihaben möglich. Es gilt deshalb:27 mit: z = i soll ' wenn Cl-I< 0 z = ihaben' wenn Cl-I> 0 Dabei gilt: Ct : Vermögenswert der Investition am Ende der Periode t; C H : Vermögenswert der Investition am Ende der Periode t - I; E, : Einzahlungen der Periode t; Al: Auszahlungen der Periode t; Zt : Zahlungsüberschuss der Periode t (Differenz zwischen Einzahlungen und Auszahlungen der Periode t) mit Zt > 0 oder Zt < 0; 27 Vg!. Bieg, Hartmut; Kußmaul, Heinz: Investition, 2. Auf!., München 2009, Kapitel 2.3.2. 110 Investition in Übungen t: Periode (t = 0, 1, 2, ... , n). Teilaufgabe b) Der Vergleich zweier alternativer Investitionen anhand ihrer Vermögensendwerte in n = 3 für den Fall eines Habenzinssatzes von 4 % p. a. und eines Sollzinssatzes von 8 % p. a. und unter der Nebenbedingung des Kontenausgleichsgebots führt zu folgendem Ergebnis: t Investitionsobjekt I Investitionsobjekt 11 ZI Cl {1,08;C:_1"0 Cl Zil eil {1,08;C:~1"0 Cil t t t t t-I 1 , 04:C~_1::::() t-I 1,04:C~~1~O (EUR) (EUR) (EUR) (EUR) (EUR) (EUR) 0 - 10.000 - - - 10.000 - 12.000 - - - 12.000 1 + 3.000 - 10.800 -7.800 + 3.500 - 12.960 - 9.460 2 + 4.000 - 8.424 - 4.424 + 5.000 - 10.216,80 - 5.216,80 3 + 6.000 - 4.777,92 + 1.222,08 + 5.500 - 5.634,14 -134,14 Der Vergleich zeigt, dass das Investitionsobjekt I einen höheren Vermögensendwert besitzt und damit vorteilhafter ist als das Investitionsobjekt 11. Zudem gilt: Nur das Investitionsobjekt I ist auch absolut vorteilhaft. Aufgabe 4.28: TRM-Methode Die von einer Investition ausgelösten Zahlungsgrößen lauten: o 2 Z, (EUR) - 550.000 600.000 80.000 a) Erläutern Sie kurz die TRM-Methode und stellen Sie die dazugehörige Bestimmungsgleichung auf! b) Berechnen Sie den kritischen Sollzinssatz der Investition nach der TRM- Methode für einen Habenzinssatz von 5 % p. a.! Verwenden Sie als Versuchs-Sollzinssätze rsl = 20 % p. a. und rs2 = 25 % p. a.! Lösung Teilaufgabe a) Bei der TRM (Teichroew, Robichek, Montalbano)-Methode der dynamischen Investitionsrechnung wird ein kritischer Sollzinssatz berechnet, bei dem der Vermögensendwert einer Investition gleich Null ist. Diese Methode repräsen- Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 111 tiert eine Sollzinssatzmethode mit Kontenausgleichsgebot, d. h., der Einzahlungsüberschuss der jeweiligen Periode findet zunächst in voller Höhe Verwendung zum Abbau eines eventuell bestehenden negativen Vermögens, und erst nach dessen Tilgung erfolgt eine Anlage dieser erwirtschafteten finanziellen Mittel zum Habenzinssatz ihaben; Auszahlungsüberschüsse werden primär über eigengebildete Projektmittel finanziert. 28 Formal kann die TRM-Methode folgendermaßen dargestellt werden: mit: z = rs ' wenn CH < 0 z = i haben , wenn C H > 0 Dabei gilt: C, : Vermögenswert der Investition am Ende der Periode t; C H : Vermögenswert der Investition am Ende der Periode t - 1; Z, : Zahlungsüberschuss der Periode t (Differenz zwischen Einzahlungen und Auszahlungen der Periode t) mit Zt > 0 oder Zt < 0; rs : Kritischer Sollzinssatz; ihabcn: Zinssatz für Kapitalanlage (Habenzinssatz); t: Periode (t = 0, 1, 2, ... , n). Durch die Verwendung eines mathematischen Näherungsverfahrens kann ein Nutzenwert für den kritischen Sollzinssatz ermittelt werden. Teilaufgabe b) l. Versuchszinssatz (rsl = 20 % p. a.): t C'_l Z Z, C, 0 - - - 550.000 - 550.000 1 - 550.000 20% 600.000 - 60.000 2 - 60.000 20% 80.000 C2l = 8.000 28 Vgl. Bieg, Hartl17ut; Kußlnaul, Heinz: Investition, 2. Auf!., München 2009, Kapitel 2.3.2; vgl. allgemein zur TRM-Methode Teichroew, Daniel; Robichek, Alexander A.; Montalbano, Michael: An Analysis 01' Criteria for Investment and Financing Decisions under Certainty, in: Management Science 1965/66, S. 155-179. 112 Investition in Übungen 2. Versuchszinssatz (r'2 = 25 % p. a.): t Cl-1 Z Zl Cl 0 - - - 550.000 - 550.000 1 - 550.000 25 % 600.000 - 87.500 2 - 87.500 25 % 80.000 C22 = - 29.375 r -r r = r -C . s2 si s si 21 C -C 22 21 = 0 20 _ 8.000. 0,25 - 0,20 , - 29.375 - 8.000 = 0,210702 Der kritische Sollzinssatz nach der TRM-Methode beträgt 21,0702 % p. a. Aufgabe 4.29: VR-Methode Gegeben seien die folgenden Daten für ein Investitionsobjekt: o 2 Z, (EUR) -70.000 80.000 10.000 a) Erläutern Sie kurz die VR-Methode und stellen Sie die dazugehörige Bestimmungsgleichung auf! b) Berechnen Sie den kritischen Sollzinssatz dieser Investition nach der VR- Methode! Verwenden Sie für Ihre Rechnung den Habenzinssatz von 5 % p. a. sowie die Versuchs-Sollzinssätze rsl = 10 % p. a. und rs2 = 20 % p. a.! Lösung Teilaufgabe a) Bei der VR (Vermögensrentabilitäts)-Methode - einer weiteren Ausprägungsform der Sollzinssatzmethode - wird ein kritischer Sollzinssatz berechnet, bei dem der Vermögensendwert einer Investition unter der Nebenbedingung eines Kontenausgleichsverbots gleich Null ist. Der kritische Sollzinssatz r, ist derjenige Zinssatz, bei dem der Stand des positiven Vermögenskontos am Ende des Planungszeitraums gleich dem Stand des negativen Vermögenskontos am Ende des Planungszeitraums ist. Eine Verzinsung der Einzahlungsüberschüsse der jeweiligen Perioden erfolgt also bis zum Ende des Planungszeitraums zum Habenzinssatz ihabcn; Auszahlungsüberschüsse müssen durch Zuführung von Kapital finanziert werden, für das eine Verzinsung in Höhe des Sollzinssatzes Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 113 r, angenommen wird und das außerdem erst am Ende des Planungszeitraums zurückgezahlt wird?9 Formeln: C~ = IAt . (l+rJ"-t t=O I I C Il = C~ -C~ ~O ~C~ ~ C~ Dabei gilt: C Il : Vermägensendwert der Investition am Ende der Periode t = n; E t : Einzahlungen der Periode t; At: Auszahlungen der Periode t; ihabell: Zinssatz für Kapitalanlage (Habenzinssatz); r, : Kritischer Sollzinssatz; n: Nutzungsdauer des Investitionsobjekts; t: Periode (t = 0, 1, 2, ... , n). Teilaufgabe b) l. Versuchszinssatz (rsl = 10 % p. a.): C;I = 80.000 EUR . 1,05 + 10.000 EUR = 94.000 EUR C~l = 70.000 EUR . 1,12 = 84.700 EUR C 21 = 94.000 EUR - 84.700 EUR = 9.300 EUR > 0 2. Versuchszinssatz (r'2 = 20 % p. a.): C;2 = C;I = 94.000 EUR C;2 = 70.000 EUR· 1,22 = 100.800 EUR C 22 = 94.000 EUR - 100.800 EUR = - 6.800 EUR < 0 29 Vgl. Bieg, Hartmut; Kußmaul, Heinz: Investition, 2. Aufl., München 2009, Kapitel 2.3.2; vgl. dazu ausführlich Henke, Manfred: Vermögensrentabilität - ein einfaches dynamisches Investitionskalkül, in: Zeitschrift für Betriebswirtschaft 1973, S. 177-198. 114 Investition in Übungen Lineare Interpolation: r -r r = r. - C . ,2 ,[ s sl 21 C n -C 21 =010-9.300. 0,20-0,10 =157764% .a. , -6.800-9.300' P Da der Planungszeitraum nur zwei Perioden umfasst, lässt sich für den kritischen Sollzinssatz auch eine exakte Lösung angeben: 70.000 EUR . (I + rs ) 2 = 80.000 EUR ·1,05 + 1 0.000 EUR {::::} r, = 15,8817 % p.a. Aufgabe 4.30: Baldwin-Methode Hinsichtlich einer geplanten Investition sind folgende Daten gegeben: t 0 I 2 3 Investitionsauszahlung (EUR) 150.000 50.000 Einzahlungen (EUR) 120.000 150.000 160.000 Auszahlungen (EUR) 40.000 60.000 80.000 Liquidationserläs (EUR) 10.000 a) Erläutern Sie kurz die Baldwin-Methode und stellen Sie die dazugehörige Bestimmungsgleichung auf! b) Berechnen Sie den kritischen Sollzinssatz dieser Investition nach der Baldwin-Methode für einen Habenzinssatz von 3 % p. a.! Lösung Um den kritischen Sollzinssatz nach der Baldwin-Methode berechnen zu können, muss in einem ersten Schritt der Vermögensendwert der Investition unter Verwendung der mit dem Habenzinssatz aufgezinsten Einzahlungsüberschüsse ohne Berücksichtigung eventueller Investitionsauszahlungen ermittelt werden.30 Anschließend ist mittels des Habenzinssatzes der Barwert der Summe aus Investitionsauszahlungen und Liquidationserlös zu berechnen. Im letzten Schritt wird nun der kritische Sollzinssatz ermittelt, der dem Zinssatz entspricht, mit dem der Barwert der Summe aus Investitionsauszahlungen und Liquidationserlös auf das Ende des Planungszeitraums aufgezinst wird, damit 30 Vgl. nachfolgend Bieg, Hartrnut; Kußmaul, Heinz: Investition, 2. Aufl., München 2009, Kapitel 2.3.2. Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 115 der aufgezinste Barwert dem Vermögensendwert der Einzahlungsüberschüsse entspricht. Formal kann die von Baldwin begründete Methode in folgender Weise dargestellt werden: , n n . I E t . (1 + i haben )n-t - I At . (1 + ihabcJn-t = l~l l~l [toll ·(I+ihabent -Ln . (1+ihabesn } (1 +rb r' Dabei gilt: E , : Positiver Rückfluss in der Periode t (Einzahlungen in der Periode t ohne Berücksichtigung eines eventuellen Liquidationserlöses in der Periode t = n); At: Negativer Rückfluss in der Periode t (Auszahlungen ohne Berücksichtigung eventueller Investitionsauszahlungen in der Periode t); Zt : Zahlungsüberschuss der Periode t (Differenz zwischen Einzahlungen und Auszahlungen der Periode t) mit Zl > 0 oder Zl < 0; I t : Investitionsauszahlungen der Periode t; Ln : Liquidationserlös im Zeitpunkt t = n; ihaben: Habenzinssatz; f b: Kritischer Sollzinssatz nach der Baldwin-Methode; n: Planungszeitraum bzw. Nutzungsdauer des Investitionsobjekts; t: Periode (t = 0, 1,2, ... , n). Der Sollzinssatz nach Baldwin ermittelt sich durch die Auflösung obiger Gleichung nach rb wie folgt: n I Zt . (1 + ihahen )"-t rh = n ___ ---'l~~I'_____ _________ 1 IIt . (1 + i haben t' -Ln .(l+ihabent' l~O In der vorliegenden Aufgabenstellung ergeben sich folgende Werte: 1. Schritt: 80.000 EUR . 1,032 + 90.000 EUR . 1,031 + 80.000 EUR 257.572 EUR 2. Schritt: 150.000 EUR + 50.000 EUR . 1,03-1 - 10.000 EUR . 1,03-3 = 189.392,27 EUR 116 Investition in Übungen 3. Schritt: 257.572 -1 = 0,107930 189.392,27 Damit beträgt der kritische Sollzinssatz dieser Investition nach der Baldwin- Methode 10,7930 % p. a. 4.7 Ertragsteuern und Geldentwertung in der Investitionsrechnung Aufgabe 4.31: Berücksichtigung von Ertragsteuern Geben Sie einen kurzen Überblick über die wesentlichen Modelle zur Berücksichtigung von Ertragsteuern bei der Ermittlung der Vorteilhaftigkeit von Investitionen! Lösung In der Literatur werden im Wesentlichen folgende grundlegende Ansätze zur Berücksichtigung von Ertragsteuern bei der Ermittlung der Vorteilhaftigkeit von Investitionen diskutiert, wobei alle dargelegten Modelle auf der Kapitalwertmethode basieren: 3! Standardmodell: Zur Berücksichtigung von Ertragsteuern, bei denen die um die Absetzungen für Abnutzung (AfA) gekürzten Rückflüsse die steuerliche Bemessungsgrundlage bilden; Berücksichtigung des Entlastungseffekts durch die steuerliche Abzugsfähigkeit von Fremdkapitalzinsen im Kalkulationszinssatz. Modifikationen des Standardmodells: für den Fall einer projektbezogenen Finanzierung und bei Gewährung staatlicher Investitionshilfen. 31 Vgl. Bieg, Hartmut; Kußmaul, Heinz: Investition, 2. Aufl. , München 2009, Kapitel 2.4.3; vgl. auch Adam, Dietrich: Investitionscontrolling, 3. Aufl., München/Wien 2000, S. 173-175; Blohm, Hans; Lüder, Klaus; Schaefer, Christina: Investition, 9. Aufl. , München 2006, S. 107-108; Büschgen, Hans E.: Betriebliche Finanzwirtschaft - Unternehmensinvestitionen, Frankfurt a. M. 1981, S. 88-89; Kruschwitz, Lutz: Investitionsrechnung, 12. Aufl, München 2009, S. 132-143.

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Zusammenfassung

Investition in Übungen.

Alles zum Thema Investitionen bietet dieses Übungsbuch. Sie erhalten zahlreiche Anhaltspunkte zur Lösung von Investitionsfragen. Die über 140 Übungen mit umfangreichen Lösungen sind der Schlüssel zum Methodenverständnis und die Voraussetzung für den Prüfungserfolg. Damit verfügen Sie über mehr Sicherheit beim Umgang mit den zentralen Verfahren des Investitionsmanagement.