98 Teilaufgabe c) 9,4405 % p. a. Teilaufgabe d) 9,3984 % p. a. Investition in Übungen 4.5 Dynamische Amortisationsrechnung Aufgabe 4.22: Dynamische Amortisationsrechnung Die Gummi AG (siehe Aufgabe 4.9 auf Seite 72) strebt eine Erweiterung der Gummiproduktion an und möchte zwei in Frage kommende Maschinen mit der dynamischen Amortisationsrechnung vergleichen. Der Kalkulationszinssatz beträgt 10 % p. a. t 0 1 2 3 4 5 Z, A (TEUR) - 300 85 90 80 80 70 Zl B (TEUR) -230 95 95 95 - a) Für welches Investitionsobjekt sollte sich die Gummi AG entscheiden, wenn sie zur Beurteilung der Vorteilhaftigkeit die dynamische Amortisationsdauer zugrunde legt? b) Welche Bedeutung sollte ein Entscheidungsträger Ihrer Meinung nach der dynamischen Amortisationsdauer beimessen? Lösung Teilaufgabe a) Bei der Berechnung der dynamischen Amortisationsdauer wird nach dem Zeitraum gesucht, in dem die Summe der Barwerte der Einzahlungsüberschüsse die Anschaffungsauszahlung deckt. Für diesen mit der Periode w endenden Zeitraum gilt folgende Gleichung: , Co = -Ao + i: Zt . (1 + i)-t ~ 0 {=} An = i: Zt . (1 + i)-t t~l t~l Dabei gilt: Zt: Differenz zwischen den Ein- und Auszahlungen der Periode t mit folgender Wirkung: Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung ~ Einzahlungsüberschuss der Periode t, wenn Zt > 0 bzw. ~ Auszahlungsüberschuss der Periode t, wenn Zt < 0; t: Periode (t = 0, 1,2,3,4,5); i : Kalkulationszinssatz; An: Anschaffungsauszahlung; 99 w : Zeitraum (Amortisationsdauer), in dem die Summe der Barwerte der Einzahlungsüberschüsse die Anschaffungsauszahlung deckt. Die dynamische Amortisationsdauer ist somit die Zeitspanne w, innerhalb derer die Anschaffungsauszahlung Ao durch die späteren Einzahlungsüberschüsse Zt zurückgewonnen und die gewünschte Mindestverzinsung des eingesetzten Kapitals zum Kalkulationszinssatz i erzielt wird. Maschine A (Beträge in TEUR): Zt .(I+i)-t n -I 2:Zt ·(l+i) t Zl (Barwerte) t~l (Kumulierte Barwerte ) 1 85 77,27 77,27 2 90 74,38 151,65 3 80 60,11 211,76 4 80 54,64 266,40 5 70 43,46 309,86> 300 (= Ao) Die dynamische Amortisationsdauer der Maschine A (tAmA) beträgt 5 Jahre. Maschine B (Beträge in TEUR): n -t t Zr Zt . (I + i)-l 2:Z, ·(I+i) t~l (Barwerte) (Kumulierte Barwerte ) 1 95 86,36 86,36 2 95 78,51 164,87 3 95 71,37 236,24 > 230 (= Ao) Die dynamische Amortisationsdauer der Maschine B (tAmB) beträgt 3 Jahre. Da die dynamische Amortisationsdauer des Investitionsobjektes B (tAmB) geringer ist als die dynamische Amortisationsdauer des Investitionsobjektes A (tAmA), sollte das Investitionsobjekt B ausgewählt werden. Voraussetzung hierfür ist, dass die dynamische Amortisationsdauer des Investitionsobjektes B unterhalb der gewünschten Höchstamortisationsdauer liegt. 100 Investition in Übungen Teilaufgabe b) Die dynamische Amortisationsrechnung berücksichtigt ausschließlich Risikogesichtspunkte. Die dynamische Amortisationsrechnung benachteiligt Investitionsprojekte mit anfänglich niedrigen Einzahlungsüberschüssen, die jedoch im Zeitablauf kontinuierlich steigen, da solche Investitionsprojekte i. d. R. abgelehnt werden (obwohl u. U. ein hoher Kapitalwert vorliegt). Es erfolgt eine willkürliche Festlegung der Höchstamortisationsdauer (je größer die Risikoscheu des Investors, desto geringer wird die vorgegebene Höchstamortisationsdauer sein). Die dynamische Amortisationsrechnung sollte höchstens ein Ergänzungsund kein Entscheidungskriterium sein (wenn Investitionsprojekte denselben Gewinn/Kapitalwert erwirtschaften, kann die dynamische Amortisationsrechnung zu Rate gezogen werden). Aufgabe 4.23: Dynamische Amortisationsrechnung Für welches der in Aufgabe 4.11 auf Seite 78 dargestellten Investitionsprojekte A und B sollte sich der Investor entscheiden, wenn er seine Entscheidung nach der dynamischen Amortisationsrechnung trifft, sein Kalkulationszinssatz 11,9 % p. a. beträgt und er eine Höchstamortisationsdauer von vier Jahren vorgibt? Lösung Periode t Investitionsprojekt A (Beträge in EUR) Z, Z,' (I+ir' Kumulierte Barwerte 0 -150.000 - 150.000,00 - 150.000,00 1 40.000 35.746,20 - 114.253,80 2 50.000 39.930,97 -74.322,83 3 50.000 35.684,51 - 38.638,32 4 60.000 38.267,57 -370,75 Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 101 Periode t Investitionsprojekt B (Beträge in EUR) Z, Zl' (l+i)' Kumulierte Barwerte 0 - 150.000 - 150.000,00 - 150.000,00 1 64.700 57.819,48 - 92.180,52 2 30.000 23.958,58 - 68.221,94 3 60.000 42.821,41 - 25.400,53 4 40.000 25.511,71 111,18 Die Amortisationsdauer des Investitionsprojekts B liegt zwischen drei und vier Jahren und damit unter der vom Investor vorgegebenen Höchstamortisationsdauer; das Investitionsprojekt A amortisiert sich hingegen nie. Daher sollte sich der Investor für das Investitionsprojekt B entscheiden. Aufgabe 4.24: Dynamische Amortisationsrechnung23 a) In einem Betrieb wurde eine maximal zulässige Amortisationsdauer von fünf Jahren festgelegt. Es ist eine Rationalisierungsinvestition geplant, durch die eine alte Anlage mit einem Stundenkostensatz von 8 EUR durch eine neue Anlage mit einem Stundenkostensatz von 5,50 EUR ersetzt werden soll. Die Anlage wird 2.400 Stunden pro Jahr benötigt. Sollte man dem Betrieb den Kauf der neuen Anlage unter Zugrundelegung der statischen Amortisationsrechnung empfehlen, falls Anschaffungskosten von 24.000 EUR anfallen? b) Berechnen Sie, ob sich die in Teilaufgabe a) beschriebene Investition innerhalb der maximal zulässigen Zeit von fünf Jahren unter Zugrundelegung der dynamischen Version der Amortisationsrechnung amortisieren wird (i = 10 % p. a.)! Lösung Teilaufgabe a) Eine alte Anlage soll durch eine neue kostengünstiger arbeitende Anlage ersetzt werden. In diesem Fall (Vorliegen einer Rationalisierungsinvestition) findet die statische Amortisationsrechnung (0-Methode) wie folgt Anwendung: 23 Modifiziert entnommen aus Däumler, Klaus-Dieter: Grundlagen der Investitions- und Wirtschaftlichkeitsrechnung, 11. Aufl., Heme/Berlin 2003, S. 224 und S. 330-331. 102 Investition in Übungen A .. . (J h ) Anschaffungskosten(neu) mortlsatlOnszelt a re t AM = -------=------'----'----- Minderauszahlungen der neuen Anlage 24.000 EUR (8 EUR _ 5,50 EUR). 2.400 ( Std. J Std. Std. Jahr = 4 Jahre Die errechnete Amortisationszeit ist geringer als die maximal zulässige Amortisationsdauer von fünf Jahren. Daher sollte die neue Anlage gekauft werden. Beachte: Die Anschaffungskosten der alten Anlage dürfen nicht angesetzt werden, da diese entscheidungsirrelevant sind. Die alte Anlage wurde in der Vergangenheit angeschafft ("sunk costs"). Hingegen sind die Stundenkostensätze der alten Anlage anzusetzen, da diese tatsächlich wegfallen würden (sog. entscheidungsrelevante Kosten). Teilaufgabe b) Beträge in EUR: t Minderauszahlungen (I) 1 (8 - 5,5) . 2.400 = 6.000 2 6.000 3 6.000 4 6.000 5 6.000 6 6.000 Dabei gilt: t: Periode (t = 1,2,3,4,5,6); i : Kalkulationszinssatz. Barwerte Kumulierte Barwerte n (2) = (I) . (I + i)t (3) = I (2) '~l 5.454,55 5.454,55 4.958,68 10.413,23 4.507,89 14.921,12 4.098,08 19.019,20 3.725,53 22.744,73 3.386,84 26.131,57 > 24.000 Erst im 6. Jahr übersteigen die kumulierten Barwerte der jährlichen Minderauszahlungen die Anschaffungskosten der neuen Anlage. Die durch die dynamische Version der Amortisationsrechnung ermittelte Amortisationsdauer beträgt somit sechs Jahre und überschreitet die maximal zulässige Amortisationsdauer von fünf Jahren. Die alte Anlage sollte demnach weiterbetrieben werden. Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 103 Aufgabe 4.25: Discounting Methods24 The toy company "Play and Fun" plans on producing a new special speaking teddy bear. Therefore, "Play and Fun" needs to buy a new machine. The company can choose from the three alternatives A, Band C. Each of these alternatives has an anticipated average life of five years and generates one of the following cash flows: [EURj 0 1 2 3 4 5 A - 90,000 + 20,000 + 20,000 + 20,000 + 20,000 + 20,000 + 25,000 B -110,000 + 20,000 + 25,000 + 30,000 + 25,000 + 25,000 + 30,000 C - 140,000 + 25,000 + 35,000 + 40,000 + 25,000 + 30,000 + 40,000 A discount rate of 10 % applies. a) Compare the three alternatives by using the Net Present Value Method! b) Compare the three alternatives by using the Annuity Method! c) Compare the three alternatives by using the Internal Rate of Return Method! U se 10 % and 15 % as discount rates (use I iterative step)! d) Compare the three alternatives by using the Discounting Payback Method! Lösung Teilaufgabe a) NPV = -90' + 20'. 1.1_5 -1 + 2Y.1.I-5 A 1.1°.0.1 = EUR 1,338.77 NPV B = -110' + 20' .1.1" + 2Y .1,1-2 + 30' .1,1-3 + 2Y .1,1-4 + 5Y .1,1-5 = EUR 2,608.43 NPVc = -140' + 2Y·\.1-' +3Y·I,1-2 +40'·1,1-3 +2Y·I,1-4 +70'·1,1-5 = EUR 2,245.31 B generates the highest Net Present Value and should therefore be preferred. 24 Zur englischen Tenninologie vgl. den Anhang auf Seite 291-292. 104 Investition in Übungen Teilaufgabe b) . 1.1 5 .0.1 annmtYA = 1,338.77· 5 = EUR 353.16 1.1 -I annuitYB = 2,608.43· 1.15 . 0.1 = EUR 688.10 1.1'-1 . 5 1.15 .0.1 annmtYe = 2,24 .31· = EUR 592.31 1.15 -1 B generates the highest annuity and should therefore be preferred. Teilaufgabe c) Internal Rate of Return A: 1 15 -I NPV 1 = - 90' + 20'· . _ + 25' .1.1.5 = EUR 1,338.77 1.1' ·0.1 NPV2 = -90'+20'. 1.1:5 -1 +25'·1.15"5 = EUR-1O,527.48 1.15·0.15 IRRA = 0.1-1,338.77· 0.15-0.1 = 10.5641 % -10,527.48 -1,338.77 Internal Rate of Return B: NPV j = -110'+20'·1.1"' +25'·1,1·2 +30'·1,1"' +25'·1,1·4 +55'·1,1·5 = EUR 2,608.43 NPV2 = -110'+20'·1.15"1 +25'·1,15"2 +30'·1,15"3 +25'·1,15"4 + 55' '1,15"5 = EUR -12,341.07 IRRB = 0.1 - 2,608.43 . 0.15 - 0.1 = 10.8724 % -12,341.07 - 2,608.43 Internal Rate of Return C: NPV j = -140'+25'·1.1"' +35'·1,1·2 +40'·1,1"' +25'·1,1·4 +70'·1,1·5 = EUR 2,245.31 NPV2 = -140'+25'·1.15"1 +35'·1,15"2 +40'·1,15"3 +25'.1,15 4 +70'.1,15 5 = EUR-16,398.99 IRRe = 0.1- 2,245.31. 0.15 - 0.1 = 10.6021 % -16,398.99 - 2,245.31 Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 105 B generates the highest interna1 rate of return and shou1d therefore be preferred. Teilaufgabe d) Payback Period A: period cash inflow 1 20,000 2 20,000 3 20,000 4 20,000 5 45,000 discounted cash inflow 18,181.82 16,528.93 15,026.30 13,660.27 27,941.46 t = (5 -I) + 90,000 - 63,397.32 = 4 95 ears A 27,941.46' Y Payback Period B: period cash inflow discounted cash inflow 1 20,000 18,181.82 2 25,000 20,661.16 3 30,000 22,539.44 4 25,000 17,075.34 5 55,000 34,150.67 cumu1ated discounted cash inflow 18,181.82 34,710.75 49,737.05 63,397.32 91,338.78 > 90,000 cumulated discounted cash inflow 18,181.82 38,842.98 61,382.42 78,457.76 112,608.43 > 110,000 - (5 I) 110,000-78,457.76 -492 tB - - + -, years 34,150.67 Payback Period C: period cash inflow discounted cash cumulated discounted inflow cash inflow 1 25,000 22,727.27 22,727.27 2 35,000 28,925.62 51,652.89 3 40,000 30,052.59 81,705.48 4 25,000 17,075.34 98,780.82 5 70,000 43,464.49 142,245.31 > 140,000 106 Investition in Übungen - (5 -I) 140,000 - 98,780.82 - 4 95 tc' - + - years . 43,464.49' B has the shortest payback period and should therefore be preferred. 4.6 Varianten der "klassischen" dynamischen Verfahren Aufgabe 4.26: Kontenausgleichsverbot25 Der Pfennigfuchs GmbH stehen hinsichtlich einer geplanten Investition folgende sich gegenseitig ausschließende Alternativen zur Verfügung: t 0 1 2 3 Z,I (EUR) -10.000 3.000 4.000 6.000 z'rr (EUR) - 12.000 3.500 5.000 5.500 Die Zinsraff-Bank bietet dem Unternehmen einen Habenzinssatz von 4 % p. a. und einen Sollzinssatz von 8 % p. a. an. a) Erklären Sie kurz die Vermögensendwertmethode unter der Nebenbedingung des Kontenausgleichsverbots verbal und rechnerisch! b) Berechnen Sie den Vermögensendwert der beiden Investitionsobjekte unter der Nebenbedingung des Kontenausgleichsverbots! Welchem Investitionsobjekt geben Sie den Vorzug? Lösung Teilaufgabe a) Bei der Vermögensendwertmethode wird der Vermögensendwert einer Investition durch Aufzinsung aller Zahlungen auf das Ende des Planungszeitraums bestimmt. Unter der realistischen Annahme, dass der Sollzinssatz über dem Habenzinssatz liegt, ist eine Einzelinvestition als vorteilhaft anzusehen, wenn sie einen positiven Verrnögensendwert besitzt, da dann eine über dem Sollzinssatz (Kalkulationszinssatz für Kapitalaufnahme ) liegende In vestitionsren- 25 Modifiziert entnommen aus Perridon, Louis; Steiner, Manfred: Finanzwirtschaft der Unternehmung, 14. Aufl., München 2007, S. 90.