/nvestitionsprogrammentscheidungen 203 7.3 Die Ansätze der linearen Programmierung zur simultanen Investitions- und Finanzprogrammplanung Aufgabe 7.5: Simultane Investitions- und Finanzprogrammplanung49 Die "Zeit-AG" soll in drei Jahren liquidiert werden; bis dahin könnten noch die durch folgende Zahlungsreihen gekennzeichneten Investitionsprojekte i = 1,2,3,4 durchgeführt werden (alle Angaben in TEUR): ~ 0 1 2 3 1 -100 + 20 + 20 + 100 2 -100 + 100 + 10 +10 3 - -130 + 100 + 60 4 - - -100 + 120 In den Zeitpunkten t = 0, 1, 2 können jeweils einjährige Kredite zu 10 % p. a. aufgenommen werden, allerdings jeweils höchstens bis zu einem Maximalbetrag von 100 TEUR. Außerdem können in t = 0 und t = 1 jeweils nach zwei Jahren zu tilgende Kredite in beliebiger Höhe mit einem jährlich fälligen Zins von 8 % p. a. aufgenommen werden. Das Gesamtausmaß der Verschuldung darf allerdings in keinem Zeitpunkt ein Volumen von 150 TEUR überschreiten. Freie Mittel können jederzeit zu 5 % p. a. für ein Jahr angelegt werden. a) Angenommen, die Investitionsprojekte könnten auch zu beliebigen Bruchteilen, höchstens jedoch genau einmal durchgeführt werden. Formulieren Sie ein lineares Programm zur Bestimmung der Kombination von Investitions- und Finanzierungsprojekten, die zu der höchsten Schlussentnahme in t = 3 führt! b) Überprüfen Sie, welche der folgenden Investitions- und Finanzierungsteilpläne realisierbar sind: (1) Realisierung der Investitionsprojekte 1 und 2. 49 Geringfügig modifiziert entnommen aus Bitz, Michael: Übungen in Betriebswirtschaftslehre, 6. Aufl., München 2003, S. 215-216 und S. 260-262. 204 Investition in Übungen (2) Durchführung der Investitionsprojekte 1, 3 und 4; Aufnahme eines zweijährigen Kredits über 150 TEUR in t = 0; Anlage etwaiger Überschüsse zu 5 % p. a. (3) Durchführung der Investitionsprojekte 2, 3 und 4 bei gleicher Finanzierung wie in (2). c) Wie ändert sich der gemäß Teilaufgabe a) formulierte Programmansatz, wenn als Zielsetzung angestrebt wird, in den Zeitpunkten t = I, 2, 3 jeweils den gleichen, möglichst hohen Betrag zu entnehmen? Lösung Teilaufgabe a) Die den Investitionsprojekten entsprechenden Aktionsvariablen bezeichnen wir mit Xi; die den Kreditmöglichkeiten entsprechenden mit YOl bei Kreditaufnahme in t = ° und Tilgung in t = 1, Y02 bei Aufnahme in t = ° und Tilgung in t = 2 etc. Entsprechend sind die der Zwischenanlage zugehörigen Variablen XOJ, Xl2 und X23 definiert. Den Betrag der Schlussentnahme (= Endverrnögen) bezeichnen wir mit EV. Der lineare Programmansatz hat dann folgendes Aussehen: Die Finanzrestriktionen für t = 0, 1, 2 haben grundsätzlich die Form "Einzahlungen::> Auszahlungen", also gilt: t = 0: YO! + Y02 > 100x! + 100x2 + XOl t = 1: YI2 + Y13 + 20xI + 100x2 + 1,05xOI > I,lYol + 0,08Y02 + 130X3 + XI2 Erläuterungen: In der Finanzrestriktion für t = I sind zunächst links die aus möglichen Kreditaufnahmen resultierenden Einzahlungen aufgeführt, rechts die für Zins und Tilgung (soweit fällig) der in t = ° aufgenommenen Kredite anfallenden Auszahlungen. Darüber hinaus sind in der Finanzrestriktion für t = 1 links die aus den in t = ° eingeleiteten Investitionen (einschließlich Zwischenanlage) resultierenden Einzahlungen aufgeführt, rechts die für etwaige neue Investitionen (einschließlich neuer Zwischenanlage) notwendigen Auszahlungen. t = 2: Y23 + 20Xl + lOx2+ 100x3 + 1,05xl2 ::> 1,08Y02 + 1,lY12 + 0,08Yl3 + 100x4 + X23 Der Aufbau der Finanzrestriktion für t = 2 erfolgt analog der für t = 1 formulierten Nebenbedingung. /nvestitionsprogrammentscheidungen 205 Da die Projekte nicht in unbegrenztem Ausmaß durchgeführt werden können, gelten außerdem folgende Projektrestriktionen: XI ~ 1; X2 ~ 1; X3 ~ 1; X4 ~ 1; YOl < 100; Y12 :S 100; Y23 :S 100; YOl + Y02 :S 150; Y02 + YI2 + Y13 :S 150; Y13 + Y23 :S 150. Erläuterungen: Die ersten beiden Projektrestriktionen bringen jeweils die projektspezifischen Begrenzungen des Realisierungsniveaus der Investitionsprojekte und der kurzfristigen (einjährigen) Kreditmöglichkeiten zum Ausdruck. In den letzten drei Projektrestriktionen wird demgegenüber verlangt, dass die Gesamtheit der in Anspruch genommenen Kredite in keinem Zeitpunkt das Limit von 150 TEUR übersteigt. Daneben unterliegen alle Aktionsvariablen den üblichen Nicht-Negativitätsbedingungen. Als Zielfunktion schließlich ist der in t = 3 erzielbare Überschuss der Einzahlungen über die Auszahlungen zu maximieren, also: max: EV = (100xI + lOx2 + 60X3 + 120x4 + 1,05x23) - (1,IY23 + 1,08Y13) Teilaufgabe b) Zur Beantwortung der Frage ist zu überprüfen, ob die den angegebenen Investitions- und Finanzierungsplänen entsprechenden Werte der Aktionsvariablen den unter Teilaufgabe a) aufgeführten Finanz- und Projektrestriktionen entsprechen. (1) Diesem Plan zufolge sollte XI = 1 und X2 = 1 gelten. Setzt man nun für die Zwischenanlage XOl = 0, so müsste für die Finanzrestriktion in t = 0 gelten: YOI + Y02 2': 200 Dem steht jedoch die Projektrestriktion YOI + Y02:S 150 entgegen, d. h., die im Zeitpunkt t = 0 notwendig werdende Kreditaufnahme von 200 TEUR ist angesichts der bestehenden Verschuldungsgrenze nicht realisierbar. 206 Investition in Übungen (2) Diesem Plan zufolge sollte gelten: XI = 1; X2 = 0; X3 = 1; X4 = 1 und Y02 = 150 Dabei impliziert der für Y02 angesetzte Wert zum einen für t = 0 eine Zwischenanlage von XOl = 50 und - angesichts der bestehenden Kreditrestriktionen - zum anderen, dass YOl = 0; Y12 = 0 und Y13 = 0 gelten muss. Setzen wir diese Werte nun in die Finanzrestriktionen ein, so ergibt sich: t = 0: 0 + 150::> 100 + 0 + 50 (zulässige Finanzrestriktion) t = 1: 0 + 0 + 20 + 0 + 52,5 ::> 0 + 12 + 130 + X 12 oder 72,5::> 142 + X12 Diese Relation könnte aber nur für einen negativen Wert von X12 erfüllt sein, d. h. wenn noch weitere Geldaufnahmemöglichkeiten bestünden. Dies ist jedoch de facto nicht der Fall. Mithin ist auch dieses Investitionsund Finanzierungsprogramm unzulässig, da es den bestehenden Finanzierungsrahmen sprengen würde. (3) In diesem Fall würde gelten: XI = 0; X2 = 1; X3 = 1; X4 = 1; XOI = 50; YOl = 0; Y02 = 150; Y12 = 0; Y13 = 0 Dementsprechend ergibt sich für die Finanzrestriktionen: t = 0: 0 + 150::> 0 + 100 + 50 (zulässige Finanzrestriktion) t = 1: 0 + 0 + 0 + 100 + 52,5::> 0 + 12 + 130 + X12 oder 152,5::> 142 + XI2 Für den zulässigen Wert von XI2 = 10,5 ist diese Restriktion offenbar gerade als Gleichung erfüllt. Rechnet man mit diesem Wert für XI2 weiter, so ergibt sich: t = 2: Y23 + 0 + 10 + 100 + 11,025 ::> 162 + 0 + 0 + I 00 + X23 Y23 + 121,025::> 262 + X23 Setzt man X23 = 0, so ist diese Restriktion für Y23 = 140,975 gerade als Gleichung erfüllt. Dieser Wert, den Y23 mindestens annehmen müsste, verletzt jedoch die für die kurzfristigen Kredite grundsätzlich geltende Grenze (Y23 :'S 100). Mithin ist auch dieses Investitions- und Finanzierungsprogramm unzulässig, da es ebenfalls die bestehenden Finanzrestriktionen verletzt. /nvestitionsprogrammentscheidungen 207 Teilaufgabe c) Bezeichnet man den für die Zeitpunkte t = 1,2,3 vorgesehenen Ausschüttungsbetrag mit c, so sind die Finanzrestriktionen und die Zielfunktion wie folgt zu modifizieren: t = 0: wie unter Teilaufgabe a) t = 1: c (Y12 + Y13) + (20X1 + 100x2 + 1,05x01) - (l,lyOl + 0,08Y02) - (l30x3 + xn) t = 2: c Y23 + (20X1+ IOx2+ IOOx3 + 1,05 xd - (1,08Y02 + l,lY12+ 0,08Y13) - (IOOx4 + X23) t = 3: c = (lOOxl + IOx2 + 60X3 + 120X4 + 1,05 X23) - (l,lY23 + 1,08Y13) Zielfunktion: max: c Die Projektrestriktionen bleiben unverändert gültig. Aufgabe 7.6: Modell von Aibachso Die Medien-AG möchte für ihre beiden Produkte "CDs" und "DVDs" das Investitions- und Finanzierungsprogramm mit Hilfe des Modells von Albach simultan planen. Drei Investitionsalternativen und zwei Finanzierungsmöglichkeiten stehen der Medien-AG zur Verfügung. Die Planung soll nach 3 Jahren abgeschlossen sein. Investitionsobjekt: Angaben in t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 Kapitalwert EUR (Cj) Anlage I -70.000 35.000 30.000 30.000 9.151,01 Anlage 11 - 35.000 15.000 25.000 20.000 14.323,82 Anlage III -50.000 23.000 23.000 30.000 12.456,80 Finanzierungsobjekt: Höchstgrenze (EUR) Verzinsung Kredit A 300.000 13 % p.a. Kredit B 250.000 11 % p. a. 50 Modifiziert entnommen aus Bieg, Hartmut; Kußmaul, Heinz: Investition, 2. Aufl., München 2009, Kapitel 2.6.3; Götze, Uwe: Investitionsrechnung, 6. Auf!., Berlin/Heidelberg 2008, S. 306-310. 208 Investition in Übungen Bei den Krediten erfolgen die Einzahlungen jeweils in voller Höhe in t = 0, Tilgungen und Zins- bzw. Zinseszinszahlungen jeweils im Zeitpunkt t = 3. Mit den Anlagen I und 11 können die DVD-Rohlinge hergestellt werden und mit der Anlage III die CD-Rohlinge. Die geplanten Stückzahlen pro Einheit eines Investitionsobjektes sowie die Absatzgrenzen lauten für jede Periode: Stückzahl pro Ein- Absatzgrenze für das Produkt jeweilige Produkt heit (Stück/Jahr) (Stück/Jahr) Anlage I 7.500 DVD-Rohlinge 40.000 Anlage II 2.000 Anlage III 10.000 CD-Rohlinge 50.000 Weiterhin ist zu beachten: Das Investitionsobjekt 11 soll höchstens 3mal verwirklicht werden. Es sind nur ganze Einheiten von Investitionsobjekten zu realisieren. In t = 0 stehen 20.000 EUR an Eigenmitteln zur Verfügung. Der Kalkulationszinssatz beträgt 10 % p. a. Formulieren Sie in Anlehnung an das Modell von Albach ein optimales Investitions- und Finanzierungsprogramm! Lösung Definition der zu verwendenden Variablen und Parameter: Variablen: Xf Anzahl der Einheiten des Investitionsobjekts j = 1, 2, 3; Yi: Anzahl der Einheiten des Finanzierungsobjekts i = 1,2. Parameter: Cj: Kapitalwert je Einheit des Investitionsobjekts j = 1, 2, 3; Vi: Kapitalwert je Einheit des Finanzierungsobjekts i = 1,2. Zunächst müssen die Kapitalwerte der Investitions- und Finanzierungsobjekte berechnet werden. Die Kapitalwerte der Investitionsobjekte (Cj) sind bereits in der obigen Datentabelle enthalten. Die Berechnung der Kapitalwerte für die /nvestitionsprogrammentscheidungen 209 Finanzierungsobjekte (Vi) wird im Folgenden am Beispiel des Finanzierungsobjekts I (Kredit A) erläutert: Erfolgt im Zeitpunkt t = 0 eine Einzahlung aus Kredit A in Höhe von einem Euro, so beträgt die Auszahlung im Zeitpunkt t = 3 für Kredit A 1 EUR· 1,133 = 1,442897 EUR. Der auf einen Euro bezogene Kapitalwert des Finanzierungsobjekts I (VI) lässt sich dann wie folgt berechnen: VI = 1- (1.1,133 ).1,1-3 = -0,084070 Für V2 ergibt sich: Nun kann die Zielfunktion formuliert werden: Zielfunktion: 9.151,01· XI + 14.323,82· x 2 + 12.456,80· x 3 - 0,084070YI - 0,027521y 2 ---+ max! Liquiditätsrestriktionen: t = 0: 70.000x] + 35.000x2 + 50.000x3 - Y] - Y 2 ::; 20.000 Für t = 1 ergibt sich folgende Liquiditätsnebenbedingung: (70.000+ (-35.000»xI + (35.000+ (-15.000»x2 + (50.000+ (-23.000»x3 -YI-Y2 ::;20.000 {=} 35.000x] + 20.000x2 + 27.000x 3 - Y] - Y2 ::; 20.000 Für die nachfolgenden Zeitpunkte lassen sich die Liquiditätsnebenbedingungen analog bestimmen: t = 2: 5.000xI - 5.000x2 + 4.000x3 - YI - Y2 ::; 20.000 t = 3: - 25.000x I - 25.000x 2 - 26.000x 3 + 0,442897YI + 0,367631Y2 ::; 20.000 Produktions- bzw. Absatzbedingungen: 7.500xI + 2.000x2 ::; 40.000 10.000x3 ::; 50.000 210 Projektbedingungen: x 2 ::::; 3 Yl ::::; 300.000 Y2 ::::; 250.000 Investition in Übungen Nichtnegativitätsbedingungen: x j :::: 0 für j = 1, 2, 3 Yi :::: o für i = 1, 2 Aufgabe 7.7: Modell von Hax und Weingartner51 Einem Investor stehen vier sich nicht gegenseitig ausschließende Investitionsalternativen zur Auswahl. Zur Finanzierung dieser Investitionsobjekte stehen zum Zeitpunkt t = 0 Eigenmittel in Höhe von 50.000 EUR zur Verfügung. Darüber hinaus können zur Finanzierung der Investitionsobjekte zwei Bankkredite zu bestimmten Konditionen aufgenommen werden. Die Zahlungsreihen der jeweiligen Investitionsobjekte, die Zinssätze sowie die maximalen Kreditaufnahmebeträge können den beiden folgenden Tabellen entnommen werden: Investitions- Nettozahlungen (EUR) objekte t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 t = 4 Objekt 1 - 90.000 45.000 40.000 40.000 - Objekt 2 -45.000 24.000 23.000 24.000 - Objekt 3 - 80.000 35.000 35.000 40.000 Objekt 4 - 170.000 75.000 80.000 Finanzierungsobjekte Zinssatz Maximaler Kreditaufnahmebetrag (EUR) Kredit 1 14 % p.a. 1.350.000 Kredit 2 11 %p.a. 800.000 Bei den Finanzierungsobjekten gilt es, folgende Besonderheiten zu beachten: Bei Kredit 1 findet die Einzahlung in t = 0 statt, die Zinszahlungen erfolgen 51 In Anlehnung an Götze, Uwe: Investitionsrechnung, 6. Anfl., Berlin/Heidelberg 2008, S.311-319. /nvestitionsprogrammentscheidungen 211 jeweils am Jahresende, die Tilgung hingegen in t = 3. Kredit 2 führt in t = 1 zu einer Einzahlung, wobei allerdings ein Disagio von 5 % den Berechnungen zugrunde zu legen ist. Zinsen, Zinseszinsen und die Tilgung stehen bei dieser Finanzierungsalternative in t = 4 zur Zahlung an. Mit Hilfe der Investitionsobjekte I und 2 kann Produkt A gefertigt werden, mit den Investitionsobjekten 3 und 4 Produkt B. Die geplanten Stückzahlen sowie die im Planungszeitraum vorgegebenen Absatzhöchstgrenzen lauten: Investitionsobjekte Stückzahl Produktarten Absatzhächstgrenze pro Periode pro Periode Objekt I 16.000 A 70.000 Objekt 2 4.500 A Objekt 3 17.500 B 130.000 Objekt 4 20.000 B Des Weiteren ist zu beachten, dass zum einen alle vier Investitionsobjekte unteilbare Einheiten darstellen und zum anderen die Investitionsobjekte I und 2 bzw. 3 und 4 jeweils in der gleichen Anzahl zu realisieren sind. a) Formulieren Sie zu obigem Problem ein Lineares Programm gemäß dem Modell von Hax und Weingartner unter der Zielsetzung der Maximierung des Vermögensendwerts, wenn Finanzmittelüberschüsse jeweils für ein Jahr zu einem Zinssatz von 8 % p. a. (Finanzinvestition) angelegt werden können! b) Wie verändert sich das erstellte Lineare Programm, wenn es folgende Modifikationen zu beachten gilt (die folgenden Teilaufgaben sind allesamt isoliert zu betrachten): (1) Sämtliche Sachinvestitionsobjekte dürfen maximal einmal realisiert werden. (2) Die Laufzeit von Kredit I beträgt lediglich zwei Jahre. (3) Die überschüssigen Finanzmittel dürfen in jeder Periode höchstens bis zu einem Betrag von 200.000 EUR angelegt werden. Lösung Teilaufgabe a) Der Vermögensendwert stellt den in t = 4 (als letzte im Planungszeitraum berücksichtigte Periode) erwirtschafteten Zahlungsmittelüberschuss dar. 212 Investition in Übungen In einem ersten Schritt sind zunächst die im Linearen Programm (LP) verwendeten Variablen zu definieren. Xj: Anzahl der realisierten Einheiten des jeweiligen Investitionsobjekts j (j=1, ... ,4); Yi: Umfang der Inanspruchnahme des Kredits i (i = 1,2); XS t : Umfang der zum Zeitpunkt t (t = 0, ... , 3) realisierten kurzfristigen Investitionsmöglichkeit 5 (Finanzinvestition). Nach der Variablendefinition ist es sinnvoll, die zu jeweils verschiedenen Zeitpunkten anfallenden jeweiligen Ein- und Auszahlungen pro Investitionsund Finanzierungsobjekt sowie die zur freien Disposition stehenden Eigenmittel nochmals im Zeitablauf darzustellen. Nettozahlungen (EUR) t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 t = 4 Objekt 1 - 90.000 45.000 40.000 40.000 - Objekt 2 -45.000 24.000 23.000 24.000 - Objekt 3 - - 80.000 35.000 35.000 40.000 Objekt 4 - - - 170.000 75.000 80.000 Kredit 1 1 -0,14 -0,14 - 1,14 - Kredit 2 - 0,95 - - - 1,367631 Eigen- 50.000 - - - mittel Als Zielfunktionswert soll der Vermögensendwert dienen, der als positIve Komponenten die zum Zeitpunkt t = 4 erwirtschafteten Einzahlungsüberschüsse der Objekte 3 und 4 und die aufgezinste kurzfristige Finanzinvestition aus Periode t = 3 umfasst. Dem gegenüber steht der zu leistende Kapitaldienst von Kredit 2. Somit lautet die zu maximierende Zielfunktion: max: 40.000· X3 + 80.000· X4 + 1,08 . XS3 - 1,367631· Y2 Die wichtigste Nebenbedingung - Wahrung der Liquidität in allen Perioden des Planungszeitraums - muss derart formuliert werden, dass in jeder Periode t (t = 0, ... , 3) die Summe der auftretenden Auszahlungsüberschüsse (Kapitalbedarf) maximal so groß ist wie die in derselben Periode zur freien Disposition stehenden Eigenmittel zuzüglich etwaiger aufgenommener Kredite (Kapitaldeckung) und Einzahlungsüberschüsse der einzelnen Investitionsobjekte. Daraus lässt sich für den Zeitpunkt t = 0 folgende Liquiditätsrestriktion ableiten: 90.000· XI + 45.000· X2 + Xso = 50.000 + YI /nvestitionsprogrammentscheidungen 213 In der Periode 2 besteht - bei einer Aufnahme von Kredit 1 in t = 1 - ein Kapitalbedarf in Höhe von 0,14 EUR pro EUR an aufgenommenem Fremdkapital, bei Realisation von Objekt 3 ein Kapitalbedarf von 80.000 EUR pro Einheit des Objektes 3 sowie die Möglichkeit, Finanzmittelüberschüsse für ein Jahr zu 8 % p. a. anzulegen. Demgegenüber steht als Kapitaldeckungsbetrag die Summe aus den jeweiligen Einzahlungsüberschüssen der Investitionsobjekte I und 2, dem erhaltenen verzinsten Finanzmittelüberschuss aus t = 0 und der Aufnahmemöglichkeit von Kredit 2 zur Verfügung: Kapitalbedarf: 0,14· YI + 80.000 . X3 + XSI Kapitaldeckung: 45.000· XI + 24.000 . X2 + 1,08· Xso + 0,95· Y2 Um das finanzielle Gleichgewicht in t = I aufrecht zu erhalten, muss der Kapitalbedarf dem Kapitaldeckungsbetrag entsprechen. Man erhält somit für t = 1 folgende Liquiditätsrestriktion: 0,14 ·YI + 80.000· X3+XSI =45.000· XI +24.000· X2+ 1,08· xso+0,95· Y2 Entsprechend lauten die Liquiditätsnebenbedingungen für die Perioden t = 2 und t = 3 wie folgt: 0,14· YI + 170.000· X4 + XS2 = 40.000· XI + 23.000· X2 + 35.000· X4 + 1,08· XSI 1,14 ·YI +xs3=40.000· XI +24.000· x2+35.000· x3+75.000· X4+ 1,08· XS2 In zwei weiteren Restriktionen ist nun das vorgegebene Produktions programm zu berücksichtigen. Die mit der Investitionsprogrammentscheidung verbundene Herstellung der Produktarten A und B darf die vorgegebenen Absatzhöchstmengen nicht überschreiten. 16.000· XI + 4.500· X2:<::: 70.000 17.500 . X3 + 20.000 . X4:<::: 130.000 Da die Objekte 1 und 2 bzw. 3 und 4 jeweils in derselben Anzahl realisiert werden müssen, sind die folgenden beiden Nebenbedingungen in das LP aufzunehmen: Die Unteilbarkeit der Investitionsobjekte ist im LP derart zu berücksichtigen, dass die Variablen xi (j = 1, ... , 4) nur aus der Menge der natürlichen Zahlen (einschließlich Null) stammen dürfen. X jE No für alle j = I, ... , 4 Darüber hinaus sind die Kreditaufnahmebegrenzungen der Finanzierungsobjekte zu berücksichtigen, für die außerdem die Nichtnegativitätsbedingung gelten muss. Es wird beliebige Teilbarkeit der Kredite unterstellt. Analoges ist für die jeweiligen kurzfristigen Finanzinvestitionen zu formulieren: 214 Yl::; 1.350.000 Y2::; SOO.OOO YbY22'0 xst 2' 0 fürallet= 0, ... ,3 Investition in Übungen Zusammenfassend lässt sich das LP wie folgt darstellen: (I) max: 40.000·x3+S0.000·x4+I,OS·x53-1,367631·Y2 (2) 90.000· XI +45.000·x2 +xso =50.000+YI (3) 0,14· Yl +SO.OOO· x 3 + XSI = 45.000· Xl + 24.000· x 2 + 1,0S· x so +0,95· Y2 (4) 0,14·y, +17o.000·x4 +XS2 =40.000· XI +23.000·x2 +35.000·x4 +1,OS·xs, (5) 1,14· Yl + X S3 =40.000· Xl + 24.000· x 2 +35.000· x 3 + 75.000· x 4 + 1,0S· X S2 (6) 16.000·xl +4.500·x2 ~70.000 (7) 17.500·x3 +20.000·x4 ~130.000 (10) Y I ~ 1.350.000 (11) Y2 ~ SOO.OOO (13) X St ~ 0 für alle t = 0, ... , 3 (14) x j E No für alle j = 1, ... , 4 Teilaufgabe b) (1) In diesem Aufgabenteil sind zwei Lösungsansätze denkbar. 1. Lösungsansatz: Zusätzlich zu obigem LP aus Teilaufgabe a) sind folgende Restriktionen zu formulieren: /nvestitionsprogrammentscheidungen 215 Hinweis: Grundsätzlich reichen die Bedingungen (15) und (17) aus, da (8) und (9) weiter gelten. 2. Lösungsansatz: Die im ersten Lösungsansatz formulierten zusätzlichen Gleichungen (15) bis (18) sowie Gleichung (14) entfallen, wenn sämtliche Xj U = I, ... ,4) als Binärvariablen definiert werden. Hierzu muss die Variablendefinition ge- ändert werden. X' = {I, falls Investitionsobjekt j in das Programm aufgenommen wird J 0, sonst für alle j = 1, ... ,4 (2) Die Änderung der Laufzeit von Kredit 1 wirkt sich auf die die Liquidität berücksichtigenden Gleichungen (4) und (5) in t = 2 und t = 3 aus. Die Liquiditätsrestriktionen in t = 2 und t = 3 lauten modifiziert: (4') 1,14· Yl + 170.000· x4 + XS2 = 40.000· Xl + 23.000· x2 + 35.000· x4 + 1,08 . XSI (5') X S3 = 40.000· Xl + 24.000· x 2 + 35.000· x3 + 75.000· x4 + 1,08· X S2 (3) Zusätzlich zu obigem LP aus Teilaufgabe a) sind folgende Restriktionen zu formulieren, die der Beschränkung des Kapitalmarktes Rechnung tragen: (15) x so S 200.000 (16) X S1 s200.000 (17) X S2 s 200.000 216 Investition in Übungen (18) X S3 :s; 200.000 Des Weiteren ist zu beachten, dass die bisher formulierten Liquiditätsgleichungen (2) bis (5) in Liquiditätsungleichungen transformiert werden, da ansonsten im Falle eines beschränkten Kapitalmarktes keine Lösung existiert (der Kapitalbedarf darf in jeder Periode höchstens so groß sein wie die Kapitaldeckung). Aufgabe 7.8: Modell von Förster und Henn52 Ein Unternehmen stellt drei verschiedene Produktarten her, deren Veräußerungspreise, variable Stückkosten und Absatzhöchstgrenzen nachfolgend aufgelistet sind: Veräußerungspreis Variable Absatzhächstgrenze Stückkosten (EURlStück) (EUR/Stück) (Stück/Jahr) Produktart 1 2,00 0,60 8.000 Produktart 2 3,50 2,15 6.000 Produktart 3 3,00 1,00 5.000 Jede der drei Produktarten durchläuft einen dreistufigen maschinellen Produktionsprozess. Die folgende Tabelle gibt die Zeitbedarfe der jeweiligen Produktarten 1, 2 und 3 an den Maschinen A, Bund C in Minuten pro Stück an: Maschine A Maschine B Maschine C Produktart 1 3 3 3 Produktart 2 4 3 2 Produktart 3 5 2 4 Es ist ein Anlagenanfangsbestand vorhanden, der aus je zwei Maschinen vom Typ A und B sowie vier Maschinen vom Typ C besteht. Alle Maschinen des Anlagenanfangsbestands besitzen eine Restlaufzeit von einem Jahr. Ihre Kapazitäten, bestandsabhängigen Auszahlungen und Liquidationserlöse entsprechen denen, die nachfolgend für neu zu beschaffende Maschinen angegeben werden. Neue Maschinen können zum jeweiligen Jahresbeginn in unbegrenzter Anzahl angeschafft werden. Ihre wirtschaftliche Nutzungsdauer beläuft sich auf drei 52 In Anlehnung an Götze, Uwe: Investitionsrechnung, 6. Anfl., Berlin/Heidelberg 2008, S.329-332. /nvestitionsprogrammentscheidungen 217 Jahre. Im Zeitpunkt der Anschaffung in t = ° sind folgende, vom Anschaffungszeitpunkt unabhängige Daten gegeben: Anschaffungs- Kapazität Auszahlungen auszahlung (EUR) (Minuten/Jahr) (EURlJahr) Maschine A 1.000 5.000 195 Maschine B 960 4.000 185 Maschine C 880 3.500 225 Der Liquidationserlös einer Maschine beträgt am Ende ihrer wirtschaftlichen Nutzungsdauer 10 % der Anschaffungsauszahlung. Es ist von einer linearen Abschreibung auszugehen. Die Kapazitäten erhöhen sich pro Jahr um 10 %. In t = ° stehen dem Unternehmen 25.000 EUR, in t = 1 ein Betrag von 5.000 EUR zur Verfügung. Der Zinssatz für eine kurzfristige Finanzinvestition mit einer Laufzeit von einem Jahr beträgt 6 % p. a. Formulieren Sie zu obigem Problem ein Lineares Programm gemäß dem Modell von Förster und Henn unter der Zielsetzung der Maximierung des Vermögensendwerts in t = 3, wenn Finanzmittelüberschüsse zu einem Zinssatz von 6 % p. a. angelegt werden können! Lösung In einem ersten Schritt gilt es zunächst, die im Linearen Programm (LP) verwendeten Variablen zu definieren. Xjt: Anzahl der realisierten Einheiten des jeweiligen Investitionsobjekts j (j = 1, ... , 4) zum Zeitpunkt t (t = 0, 1,2);53 Zkt: Produktionsmenge des Produkts k (k = 1, ... , 3) zum Zeitpunkt t (t = 0, 1,2); X4l: Umfang der zum Zeitpunkt t (t = 0, 1, 2) realisierten kurzfristigen Investitionsmöglichkeit 4 (Finanzinvestition). Als Zielfunktionswert soll der Vermögensendwert dienen, der als positive Komponenten die zum Zeitpunkt t = 3 erwirtschafteten Einzahlungsüberschüsse aus produktbezogenen Zahlungen, aus der Liquidation maschineller Anlagen sowie aus der aufgezinsten kurzfristigen Finanzinvestition aus Periode t = 2 umfasst. Die nachfolgende Abbildung zeigt die zeitliche Zuordnung der Liquiditäts-, Kapazitäts- und Absatzrestriktionen (R) sowie die Zielfunktion (ZF): 53 Es liegen vier Investitionsobjekte vor; dabei handelt es sich um drei Sachinvestitionen und eine Finanzinvestition. 218 Investition in Übungen R R R ZP t = 0 t= 1 t = 2 t = 3 Somit lautet die zu maximierende Zielfunktion: max: +0,1·(1.000· x lll +960· x 20 +880· x 30 )+0,4· (1.000· x" +960· x 21 +880· x 3,) +0,7· (1.000· XI2 +960,x 22 +880·x32 )+I,4,z,2 +1,35,z 22 +Z32 +1,06.x 42 Die wichtigste Nebenbedingung - Wahrung der Liquidität in allen Perioden des Planungszeitraums - muss derart formuliert werden, dass in jeder Periode t (t = 0, "', 2) die Summe der auftretenden Auszahlungsüberschüsse (Kapitalbedarf) maximal so groß ist wie die in derselben Periode zur freien Disposition stehenden Eigenmittel zuzüglich etwaiger rückzahlbarer Finanzinvestitionen der Vorperiode (Kapitaldeckung). Daraus lässt sich für den Zeitpunkt t = ° folgende Liquiditätsrestriktion ableiten: 54 1.000· XIO + 960· x 20 + 880· x 30 + 195 . (2 + x lO ) + 185· (2 + x 20 ) + 225 . (4 + x 30 ) + x 40 = 25.000 In Periode 1 erzielen die von den Maschinen (Altbestand zzgl. Investitionen der Vorperiode) produzierten und abgesetzten Produkte zusätzliche Einzahlungsüberschüsse, die den Betrag der Kapitaldeckung erhöhen. Ferner ist zu beachten, dass der Anlagenanfangsbestand produktionstechnisch in dieser Periode nicht mehr zu berücksichtigen ist, da seine Nutzungsdauer abgelaufen ist. Allerdings werden noch Liquidationserlöse erzielt. Um das finanzielle Gleichgewicht in t = 1 aufrecht zu erhalten, muss der Kapitalbedarf dem Kapitaldeckungsbetrag entsprechen. Man erhält somit für t = 1 folgende Liquiditätsrestriktion: 1.000· Xli +960,x 21 +880,x o' +195·(x,o +x ll )+185·(x2o +X 21 ) + 225· (x oo + X31 )+ X41 = 5.000 + 1,4· ZIO + 1,35· Z20 + Z30 + 2·0,1·1.000 + 2 . 0,1' 960 + 4·0,1· 880 + 1,06· x 40 Für t = 2 lautet die Liquiditätsrestriktion: 1.000· X12 + 960· x 22 + 880· x o2 + 195· (x lO + Xli + x 12 )+ 185· (x 20 + X21 + X22 ) + 225· (x oo + X31 + x o2 ) + X42 = 1,4· Zll + 1,35· Z21 + Z31 + 1,06· X41 54 Die fixen Zahlen in den Klammern kennzeichnen dabei den Anlagenanfangsbestand laut AufgabensteIlung. /nvestitionsprogrammentscheidungen 219 Im Rahmen der Kapazitätsrestriktionen ist für jede Periode und jede Maschine eine Gleichung zu formulieren. Dabei ist zu beachten, dass der Anlagenanfangsbestand in t = 0 ebenfalls Kapazität anbietet und sich die Kapazitäten der endogen zu bestimmenden Anzahl an Maschinen um 10 % pro Periode erhöhen. Die Kapazitätsrestriktionen lauten für t = 0: 3·zlO +4·z20 +5·z30 :S:1O.000+5.000·x lO 3· ZIO + 3· Z20 + 2· Z30 :s: 8.000 + 4.000· x 20 3·zlO +2·z20 +4·z30 :S: 14.000+3.500·x30 Die Kapazitätsrestriktionen lauten für t = 1: 3·z11 +4·Z21 +5·Z31 :S:5.000·xlO +5.500·xll 3· Zll + 3· Z21 + 2· Z31 :s: 4.000· x 20 + 4.400· X21 3·z11 +2·z21 +4·z31 :S:3.500·x30 +3.850·x31 Die Kapazitätsrestriktionen lauten für t = 2: 3·Z12 +4·Z22 +5·Z32 :s: 5.000· x lO +5.500·xll +6.050·X12 3·z12 +3·Z22 +2·Z32 :S:4.000·x20 +4.400·X21 +4.840·X22 3· Z12 + 2· Z22 + 4· Z32 :s: 3.500· x 30 + 3.850· X31 + 4.235· X32 Die produzierte Menge darf in keiner Periode größer als die nachgefragte Menge sein, woraus nachstehende Absatzrestriktionen resultieren: Zlt :s: 8.000 für alle t = 0, 1,2 Z2t :s: 6.000 für alle t = 0, I , 2 Z3t :s: 5.000 für alle t = 0, 1,2 Die Nichtnegativitätsbedingungen lauten: Xit E No für alle j = 1, 2, 3 und alle t = 0, 1, 2 x4t ~ 0 für alle t = 0, 1,2 Zkt ~ 0 für alle k = 1 , 2, 3 und alle t = 0, I, 2 8 Gesamtbewertung von Unternehmen als Anwendungsfall der Investitionsrechnung Aufgabe 8.1: Bewertung ganzer Unternehmen Systematisieren Sie die Anlässe für die Bewertung ganzer Unternehmen! Lösung55 Die Anlässe für die Bewertung ganzer Unternehmen können wie folgt in fünf Gruppen unterteilt werden: 1. Bewertung aufgrund unternehmerischer Initiativen, insb.: - beim Kauf bzw. Verkauf ganzer Unternehmen, von Betriebsteilen oder von Beteiligungen (Ein- und Austritt von Gesellschaftern); - im Zusammenhang mit Fusionen; - bei der Zuführung von Eigenkapital (insb. Börsengang) bzw. Fremdkapital; - bei Sacheinlagen (einschließlich Übertragungen des ganzen Gesellschaftsvermögens); - bei Management Buy Outs oder wertorientierten Managementkonzepten. 2. Bewertung für Zwecke der externen Rechnungslegung, z. 8.: - zur Kaufpreisallokation; - beim Impairmenttest; - bei steuerrechtlichen Regelungen zu konzerninternen Umstrukturierungen. 3. Bewertung aufgrund gesetzlicher Regelungen, insb.: - des Aktiengesetzes; - Abschluss von Unternehmensverträgen; - Eingliederung; - Squeeze Out. 55 Vgl. Wagner, Wolf gang: Die Unternehmensbewertung. In: WP-Handbuch, Band H, hrsg. vom Institut der Wirtschaftsprüfer, 13. Aufl., Düsseldorf 2007, S. 1-196, Rn. 12-14.