/nvestitionsprogrammentscheidungen 203
7.3 Die Ansätze der linearen Programmierung zur
simultanen Investitions- und Finanzprogrammplanung
Aufgabe 7.5: Simultane Investitions- und Finanzprogrammplanung49
Die "Zeit-AG" soll in drei Jahren liquidiert werden; bis dahin könnten noch
die durch folgende Zahlungsreihen gekennzeichneten Investitionsprojekte i =
1,2,3,4 durchgeführt werden (alle Angaben in TEUR):
~ 0 1 2 3
1 -100 + 20 + 20 + 100
2 -100 + 100 + 10 +10
3 - -130 + 100 + 60
4 - - -100 + 120
In den Zeitpunkten t = 0, 1, 2 können jeweils einjährige Kredite zu 10 % p. a.
aufgenommen werden, allerdings jeweils höchstens bis zu einem Maximalbetrag von 100 TEUR. Außerdem können in t = 0 und t = 1 jeweils nach zwei
Jahren zu tilgende Kredite in beliebiger Höhe mit einem jährlich fälligen Zins
von 8 % p. a. aufgenommen werden. Das Gesamtausmaß der Verschuldung
darf allerdings in keinem Zeitpunkt ein Volumen von 150 TEUR überschreiten.
Freie Mittel können jederzeit zu 5 % p. a. für ein Jahr angelegt werden.
a) Angenommen, die Investitionsprojekte könnten auch zu beliebigen Bruchteilen, höchstens jedoch genau einmal durchgeführt werden. Formulieren
Sie ein lineares Programm zur Bestimmung der Kombination von Investitions- und Finanzierungsprojekten, die zu der höchsten Schlussentnahme
in t = 3 führt!
b) Überprüfen Sie, welche der folgenden Investitions- und Finanzierungsteilpläne realisierbar sind:
(1) Realisierung der Investitionsprojekte 1 und 2.
49 Geringfügig modifiziert entnommen aus Bitz, Michael: Übungen in Betriebswirtschaftslehre, 6. Aufl., München 2003, S. 215-216 und S. 260-262.
204 Investition in Übungen
(2) Durchführung der Investitionsprojekte 1, 3 und 4; Aufnahme eines
zweijährigen Kredits über 150 TEUR in t = 0; Anlage etwaiger Überschüsse zu 5 % p. a.
(3) Durchführung der Investitionsprojekte 2, 3 und 4 bei gleicher Finanzierung wie in (2).
c) Wie ändert sich der gemäß Teilaufgabe a) formulierte Programmansatz,
wenn als Zielsetzung angestrebt wird, in den Zeitpunkten t = I, 2, 3 jeweils den gleichen, möglichst hohen Betrag zu entnehmen?
Lösung
Teilaufgabe a)
Die den Investitionsprojekten entsprechenden Aktionsvariablen bezeichnen
wir mit Xi; die den Kreditmöglichkeiten entsprechenden mit YOl bei Kreditaufnahme in t = ° und Tilgung in t = 1, Y02 bei Aufnahme in t = ° und Tilgung in
t = 2 etc. Entsprechend sind die der Zwischenanlage zugehörigen Variablen
XOJ, Xl2 und X23 definiert. Den Betrag der Schlussentnahme (= Endverrnögen)
bezeichnen wir mit EV. Der lineare Programmansatz hat dann folgendes Aussehen:
Die Finanzrestriktionen für t = 0, 1, 2 haben grundsätzlich die Form "Einzahlungen::> Auszahlungen", also gilt:
t = 0: YO! + Y02 > 100x! + 100x2 + XOl
t = 1: YI2 + Y13 + 20xI + 100x2 + 1,05xOI > I,lYol + 0,08Y02 + 130X3 + XI2
Erläuterungen:
In der Finanzrestriktion für t = I sind zunächst links die aus möglichen Kreditaufnahmen resultierenden Einzahlungen aufgeführt, rechts die für Zins und
Tilgung (soweit fällig) der in t = ° aufgenommenen Kredite anfallenden Auszahlungen. Darüber hinaus sind in der Finanzrestriktion für t = 1 links die aus
den in t = ° eingeleiteten Investitionen (einschließlich Zwischenanlage) resultierenden Einzahlungen aufgeführt, rechts die für etwaige neue Investitionen
(einschließlich neuer Zwischenanlage) notwendigen Auszahlungen.
t = 2: Y23 + 20Xl + lOx2+ 100x3 + 1,05xl2 ::> 1,08Y02 + 1,lY12 + 0,08Yl3
+ 100x4 + X23
Der Aufbau der Finanzrestriktion für t = 2 erfolgt analog der für t = 1 formulierten Nebenbedingung.
/nvestitionsprogrammentscheidungen 205
Da die Projekte nicht in unbegrenztem Ausmaß durchgeführt werden können,
gelten außerdem folgende Projektrestriktionen:
XI ~ 1; X2 ~ 1; X3 ~ 1; X4 ~ 1;
YOl < 100; Y12 :S 100; Y23 :S 100;
YOl + Y02 :S 150;
Y02 + YI2 + Y13 :S 150;
Y13 + Y23 :S 150.
Erläuterungen:
Die ersten beiden Projektrestriktionen bringen jeweils die projektspezifischen
Begrenzungen des Realisierungsniveaus der Investitionsprojekte und der kurzfristigen (einjährigen) Kreditmöglichkeiten zum Ausdruck. In den letzten drei
Projektrestriktionen wird demgegenüber verlangt, dass die Gesamtheit der in
Anspruch genommenen Kredite in keinem Zeitpunkt das Limit von 150
TEUR übersteigt.
Daneben unterliegen alle Aktionsvariablen den üblichen Nicht-Negativitätsbedingungen.
Als Zielfunktion schließlich ist der in t = 3 erzielbare Überschuss der Einzahlungen über die Auszahlungen zu maximieren, also:
max: EV = (100xI + lOx2 + 60X3 + 120x4 + 1,05x23) - (1,IY23 + 1,08Y13)
Teilaufgabe b)
Zur Beantwortung der Frage ist zu überprüfen, ob die den angegebenen Investitions- und Finanzierungsplänen entsprechenden Werte der Aktionsvariablen den unter Teilaufgabe a) aufgeführten Finanz- und Projektrestriktionen
entsprechen.
(1) Diesem Plan zufolge sollte XI = 1 und X2 = 1 gelten. Setzt man nun für
die Zwischenanlage XOl = 0, so müsste für die Finanzrestriktion in
t = 0 gelten:
YOI + Y02 2': 200
Dem steht jedoch die Projektrestriktion
YOI + Y02:S 150
entgegen, d. h., die im Zeitpunkt t = 0 notwendig werdende Kreditaufnahme von 200 TEUR ist angesichts der bestehenden Verschuldungsgrenze nicht realisierbar.
206 Investition in Übungen
(2) Diesem Plan zufolge sollte gelten:
XI = 1; X2 = 0; X3 = 1; X4 = 1 und Y02 = 150
Dabei impliziert der für Y02 angesetzte Wert zum einen für t = 0 eine Zwischenanlage von XOl = 50 und - angesichts der bestehenden Kreditrestriktionen - zum anderen, dass YOl = 0; Y12 = 0 und Y13 = 0 gelten muss.
Setzen wir diese Werte nun in die Finanzrestriktionen ein, so ergibt sich:
t = 0: 0 + 150::> 100 + 0 + 50 (zulässige Finanzrestriktion)
t = 1: 0 + 0 + 20 + 0 + 52,5 ::> 0 + 12 + 130 + X 12
oder 72,5::> 142 + X12
Diese Relation könnte aber nur für einen negativen Wert von X12 erfüllt
sein, d. h. wenn noch weitere Geldaufnahmemöglichkeiten bestünden.
Dies ist jedoch de facto nicht der Fall. Mithin ist auch dieses Investitionsund Finanzierungsprogramm unzulässig, da es den bestehenden Finanzierungsrahmen sprengen würde.
(3) In diesem Fall würde gelten:
XI = 0; X2 = 1; X3 = 1; X4 = 1; XOI = 50;
YOl = 0; Y02 = 150; Y12 = 0; Y13 = 0
Dementsprechend ergibt sich für die Finanzrestriktionen:
t = 0: 0 + 150::> 0 + 100 + 50 (zulässige Finanzrestriktion)
t = 1: 0 + 0 + 0 + 100 + 52,5::> 0 + 12 + 130 + X12 oder 152,5::> 142 + XI2
Für den zulässigen Wert von XI2 = 10,5 ist diese Restriktion offenbar gerade als Gleichung erfüllt. Rechnet man mit diesem Wert für XI2 weiter, so
ergibt sich:
t = 2: Y23 + 0 + 10 + 100 + 11,025 ::> 162 + 0 + 0 + I 00 + X23
Y23 + 121,025::> 262 + X23
Setzt man X23 = 0, so ist diese Restriktion für Y23 = 140,975 gerade als
Gleichung erfüllt. Dieser Wert, den Y23 mindestens annehmen müsste, verletzt jedoch die für die kurzfristigen Kredite grundsätzlich geltende Grenze (Y23 :'S 100). Mithin ist auch dieses Investitions- und Finanzierungsprogramm unzulässig, da es ebenfalls die bestehenden Finanzrestriktionen
verletzt.
/nvestitionsprogrammentscheidungen 207
Teilaufgabe c)
Bezeichnet man den für die Zeitpunkte t = 1,2,3 vorgesehenen Ausschüttungsbetrag mit c, so sind die Finanzrestriktionen und die Zielfunktion wie
folgt zu modifizieren:
t = 0: wie unter Teilaufgabe a)
t = 1: c (Y12 + Y13) + (20X1 + 100x2 + 1,05x01) - (l,lyOl + 0,08Y02)
- (l30x3 + xn)
t = 2: c Y23 + (20X1+ IOx2+ IOOx3 + 1,05 xd
- (1,08Y02 + l,lY12+ 0,08Y13) - (IOOx4 + X23)
t = 3: c = (lOOxl + IOx2 + 60X3 + 120X4 + 1,05 X23) - (l,lY23 + 1,08Y13)
Zielfunktion: max: c
Die Projektrestriktionen bleiben unverändert gültig.
Aufgabe 7.6: Modell von Aibachso
Die Medien-AG möchte für ihre beiden Produkte "CDs" und "DVDs" das
Investitions- und Finanzierungsprogramm mit Hilfe des Modells von Albach
simultan planen. Drei Investitionsalternativen und zwei Finanzierungsmöglichkeiten stehen der Medien-AG zur Verfügung. Die Planung soll nach 3 Jahren abgeschlossen sein.
Investitionsobjekt:
Angaben in
t = 0 t = 1 t = 2 t = 3
Kapitalwert
EUR (Cj)
Anlage I -70.000 35.000 30.000 30.000 9.151,01
Anlage 11 - 35.000 15.000 25.000 20.000 14.323,82
Anlage III -50.000 23.000 23.000 30.000 12.456,80
Finanzierungsobjekt:
Höchstgrenze (EUR) Verzinsung
Kredit A 300.000 13 % p.a.
Kredit B 250.000 11 % p. a.
50 Modifiziert entnommen aus Bieg, Hartmut; Kußmaul, Heinz: Investition, 2. Aufl., München 2009, Kapitel 2.6.3; Götze, Uwe: Investitionsrechnung, 6. Auf!., Berlin/Heidelberg
2008, S. 306-310.
208 Investition in Übungen
Bei den Krediten erfolgen die Einzahlungen jeweils in voller Höhe in t = 0,
Tilgungen und Zins- bzw. Zinseszinszahlungen jeweils im Zeitpunkt t = 3.
Mit den Anlagen I und 11 können die DVD-Rohlinge hergestellt werden und
mit der Anlage III die CD-Rohlinge.
Die geplanten Stückzahlen pro Einheit eines Investitionsobjektes sowie die
Absatzgrenzen lauten für jede Periode:
Stückzahl pro Ein-
Absatzgrenze für das
Produkt jeweilige Produkt
heit (Stück/Jahr)
(Stück/Jahr)
Anlage I 7.500
DVD-Rohlinge 40.000
Anlage II 2.000
Anlage III 10.000 CD-Rohlinge 50.000
Weiterhin ist zu beachten:
Das Investitionsobjekt 11 soll höchstens 3mal verwirklicht werden.
Es sind nur ganze Einheiten von Investitionsobjekten zu realisieren.
In t = 0 stehen 20.000 EUR an Eigenmitteln zur Verfügung.
Der Kalkulationszinssatz beträgt 10 % p. a.
Formulieren Sie in Anlehnung an das Modell von Albach ein optimales Investitions- und Finanzierungsprogramm!
Lösung
Definition der zu verwendenden Variablen und Parameter:
Variablen:
Xf Anzahl der Einheiten des Investitionsobjekts j = 1, 2, 3;
Yi: Anzahl der Einheiten des Finanzierungsobjekts i = 1,2.
Parameter:
Cj: Kapitalwert je Einheit des Investitionsobjekts j = 1, 2, 3;
Vi: Kapitalwert je Einheit des Finanzierungsobjekts i = 1,2.
Zunächst müssen die Kapitalwerte der Investitions- und Finanzierungsobjekte
berechnet werden. Die Kapitalwerte der Investitionsobjekte (Cj) sind bereits in
der obigen Datentabelle enthalten. Die Berechnung der Kapitalwerte für die
/nvestitionsprogrammentscheidungen 209
Finanzierungsobjekte (Vi) wird im Folgenden am Beispiel des Finanzierungsobjekts I (Kredit A) erläutert:
Erfolgt im Zeitpunkt t = 0 eine Einzahlung aus Kredit A in Höhe von einem
Euro, so beträgt die Auszahlung im Zeitpunkt t = 3 für Kredit A
1 EUR· 1,133 = 1,442897 EUR. Der auf einen Euro bezogene Kapitalwert des
Finanzierungsobjekts I (VI) lässt sich dann wie folgt berechnen:
VI = 1- (1.1,133 ).1,1-3 = -0,084070
Für V2 ergibt sich:
Nun kann die Zielfunktion formuliert werden:
Zielfunktion:
9.151,01· XI + 14.323,82· x 2 + 12.456,80· x 3 - 0,084070YI - 0,027521y 2
---+ max!
Liquiditätsrestriktionen:
t = 0: 70.000x] + 35.000x2 + 50.000x3 - Y] - Y 2 ::; 20.000
Für t = 1 ergibt sich folgende Liquiditätsnebenbedingung:
(70.000+ (-35.000»xI + (35.000+ (-15.000»x2 + (50.000+ (-23.000»x3
-YI-Y2 ::;20.000
{=} 35.000x] + 20.000x2 + 27.000x 3 - Y] - Y2 ::; 20.000
Für die nachfolgenden Zeitpunkte lassen sich die Liquiditätsnebenbedingungen analog bestimmen:
t = 2: 5.000xI - 5.000x2 + 4.000x3 - YI - Y2 ::; 20.000
t = 3: - 25.000x I - 25.000x 2 - 26.000x 3 + 0,442897YI + 0,367631Y2 ::; 20.000
Produktions- bzw. Absatzbedingungen:
7.500xI + 2.000x2 ::; 40.000
10.000x3 ::; 50.000
210
Projektbedingungen:
x 2 ::::; 3
Yl ::::; 300.000
Y2 ::::; 250.000
Investition in Übungen
Nichtnegativitätsbedingungen:
x j :::: 0 für j = 1, 2, 3
Yi :::: o für i = 1, 2
Aufgabe 7.7: Modell von Hax und Weingartner51
Einem Investor stehen vier sich nicht gegenseitig ausschließende Investitionsalternativen zur Auswahl. Zur Finanzierung dieser Investitionsobjekte stehen
zum Zeitpunkt t = 0 Eigenmittel in Höhe von 50.000 EUR zur Verfügung.
Darüber hinaus können zur Finanzierung der Investitionsobjekte zwei Bankkredite zu bestimmten Konditionen aufgenommen werden. Die Zahlungsreihen der jeweiligen Investitionsobjekte, die Zinssätze sowie die maximalen
Kreditaufnahmebeträge können den beiden folgenden Tabellen entnommen
werden:
Investitions- Nettozahlungen (EUR)
objekte t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 t = 4
Objekt 1 - 90.000 45.000 40.000 40.000 -
Objekt 2 -45.000 24.000 23.000 24.000 -
Objekt 3 - 80.000 35.000 35.000 40.000
Objekt 4 - 170.000 75.000 80.000
Finanzierungsobjekte Zinssatz Maximaler Kreditaufnahmebetrag (EUR)
Kredit 1 14 % p.a. 1.350.000
Kredit 2 11 %p.a. 800.000
Bei den Finanzierungsobjekten gilt es, folgende Besonderheiten zu beachten:
Bei Kredit 1 findet die Einzahlung in t = 0 statt, die Zinszahlungen erfolgen
51 In Anlehnung an Götze, Uwe: Investitionsrechnung, 6. Anfl., Berlin/Heidelberg 2008,
S.311-319.
/nvestitionsprogrammentscheidungen 211
jeweils am Jahresende, die Tilgung hingegen in t = 3. Kredit 2 führt in t = 1 zu
einer Einzahlung, wobei allerdings ein Disagio von 5 % den Berechnungen
zugrunde zu legen ist. Zinsen, Zinseszinsen und die Tilgung stehen bei dieser
Finanzierungsalternative in t = 4 zur Zahlung an.
Mit Hilfe der Investitionsobjekte I und 2 kann Produkt A gefertigt werden,
mit den Investitionsobjekten 3 und 4 Produkt B. Die geplanten Stückzahlen
sowie die im Planungszeitraum vorgegebenen Absatzhöchstgrenzen lauten:
Investitionsobjekte Stückzahl Produktarten Absatzhächstgrenze
pro Periode pro Periode
Objekt I 16.000 A
70.000
Objekt 2 4.500 A
Objekt 3 17.500 B
130.000
Objekt 4 20.000 B
Des Weiteren ist zu beachten, dass zum einen alle vier Investitionsobjekte
unteilbare Einheiten darstellen und zum anderen die Investitionsobjekte I und
2 bzw. 3 und 4 jeweils in der gleichen Anzahl zu realisieren sind.
a) Formulieren Sie zu obigem Problem ein Lineares Programm gemäß dem
Modell von Hax und Weingartner unter der Zielsetzung der Maximierung
des Vermögensendwerts, wenn Finanzmittelüberschüsse jeweils für ein
Jahr zu einem Zinssatz von 8 % p. a. (Finanzinvestition) angelegt werden
können!
b) Wie verändert sich das erstellte Lineare Programm, wenn es folgende
Modifikationen zu beachten gilt (die folgenden Teilaufgaben sind allesamt isoliert zu betrachten):
(1) Sämtliche Sachinvestitionsobjekte dürfen maximal einmal realisiert
werden.
(2) Die Laufzeit von Kredit I beträgt lediglich zwei Jahre.
(3) Die überschüssigen Finanzmittel dürfen in jeder Periode höchstens bis
zu einem Betrag von 200.000 EUR angelegt werden.
Lösung
Teilaufgabe a)
Der Vermögensendwert stellt den in t = 4 (als letzte im Planungszeitraum berücksichtigte Periode) erwirtschafteten Zahlungsmittelüberschuss dar.
212 Investition in Übungen
In einem ersten Schritt sind zunächst die im Linearen Programm (LP) verwendeten Variablen zu definieren.
Xj: Anzahl der realisierten Einheiten des jeweiligen Investitionsobjekts j
(j=1, ... ,4);
Yi: Umfang der Inanspruchnahme des Kredits i (i = 1,2);
XS t : Umfang der zum Zeitpunkt t (t = 0, ... , 3) realisierten kurzfristigen Investitionsmöglichkeit 5 (Finanzinvestition).
Nach der Variablendefinition ist es sinnvoll, die zu jeweils verschiedenen
Zeitpunkten anfallenden jeweiligen Ein- und Auszahlungen pro Investitionsund Finanzierungsobjekt sowie die zur freien Disposition stehenden Eigenmittel nochmals im Zeitablauf darzustellen.
Nettozahlungen (EUR)
t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 t = 4
Objekt 1 - 90.000 45.000 40.000 40.000 -
Objekt 2 -45.000 24.000 23.000 24.000 -
Objekt 3 - - 80.000 35.000 35.000 40.000
Objekt 4 - - - 170.000 75.000 80.000
Kredit 1 1 -0,14 -0,14 - 1,14 -
Kredit 2 - 0,95 - - - 1,367631
Eigen- 50.000 - - - mittel
Als Zielfunktionswert soll der Vermögensendwert dienen, der als positIve
Komponenten die zum Zeitpunkt t = 4 erwirtschafteten Einzahlungsüberschüsse der Objekte 3 und 4 und die aufgezinste kurzfristige Finanzinvestition
aus Periode t = 3 umfasst. Dem gegenüber steht der zu leistende Kapitaldienst
von Kredit 2.
Somit lautet die zu maximierende Zielfunktion:
max: 40.000· X3 + 80.000· X4 + 1,08 . XS3 - 1,367631· Y2
Die wichtigste Nebenbedingung - Wahrung der Liquidität in allen Perioden
des Planungszeitraums - muss derart formuliert werden, dass in jeder Periode
t (t = 0, ... , 3) die Summe der auftretenden Auszahlungsüberschüsse (Kapitalbedarf) maximal so groß ist wie die in derselben Periode zur freien Disposition stehenden Eigenmittel zuzüglich etwaiger aufgenommener Kredite (Kapitaldeckung) und Einzahlungsüberschüsse der einzelnen Investitionsobjekte.
Daraus lässt sich für den Zeitpunkt t = 0 folgende Liquiditätsrestriktion ableiten:
90.000· XI + 45.000· X2 + Xso = 50.000 + YI
/nvestitionsprogrammentscheidungen 213
In der Periode 2 besteht - bei einer Aufnahme von Kredit 1 in t = 1 - ein Kapitalbedarf in Höhe von 0,14 EUR pro EUR an aufgenommenem Fremdkapital, bei Realisation von Objekt 3 ein Kapitalbedarf von 80.000 EUR pro Einheit des Objektes 3 sowie die Möglichkeit, Finanzmittelüberschüsse für ein
Jahr zu 8 % p. a. anzulegen. Demgegenüber steht als Kapitaldeckungsbetrag
die Summe aus den jeweiligen Einzahlungsüberschüssen der Investitionsobjekte I und 2, dem erhaltenen verzinsten Finanzmittelüberschuss aus t = 0 und
der Aufnahmemöglichkeit von Kredit 2 zur Verfügung:
Kapitalbedarf: 0,14· YI + 80.000 . X3 + XSI
Kapitaldeckung: 45.000· XI + 24.000 . X2 + 1,08· Xso + 0,95· Y2
Um das finanzielle Gleichgewicht in t = I aufrecht zu erhalten, muss der Kapitalbedarf dem Kapitaldeckungsbetrag entsprechen. Man erhält somit für
t = 1 folgende Liquiditätsrestriktion:
0,14 ·YI + 80.000· X3+XSI =45.000· XI +24.000· X2+ 1,08· xso+0,95· Y2
Entsprechend lauten die Liquiditätsnebenbedingungen für die Perioden t = 2
und t = 3 wie folgt:
0,14· YI + 170.000· X4 + XS2 = 40.000· XI + 23.000· X2 + 35.000· X4 + 1,08· XSI
1,14 ·YI +xs3=40.000· XI +24.000· x2+35.000· x3+75.000· X4+ 1,08· XS2
In zwei weiteren Restriktionen ist nun das vorgegebene Produktions programm
zu berücksichtigen. Die mit der Investitionsprogrammentscheidung verbundene Herstellung der Produktarten A und B darf die vorgegebenen Absatzhöchstmengen nicht überschreiten.
16.000· XI + 4.500· X2:<::: 70.000
17.500 . X3 + 20.000 . X4:<::: 130.000
Da die Objekte 1 und 2 bzw. 3 und 4 jeweils in derselben Anzahl realisiert
werden müssen, sind die folgenden beiden Nebenbedingungen in das LP aufzunehmen:
Die Unteilbarkeit der Investitionsobjekte ist im LP derart zu berücksichtigen,
dass die Variablen xi (j = 1, ... , 4) nur aus der Menge der natürlichen Zahlen
(einschließlich Null) stammen dürfen.
X jE No für alle j = I, ... , 4
Darüber hinaus sind die Kreditaufnahmebegrenzungen der Finanzierungsobjekte zu berücksichtigen, für die außerdem die Nichtnegativitätsbedingung
gelten muss. Es wird beliebige Teilbarkeit der Kredite unterstellt. Analoges ist
für die jeweiligen kurzfristigen Finanzinvestitionen zu formulieren:
214
Yl::; 1.350.000
Y2::; SOO.OOO
YbY22'0
xst 2' 0 fürallet= 0, ... ,3
Investition in Übungen
Zusammenfassend lässt sich das LP wie folgt darstellen:
(I) max: 40.000·x3+S0.000·x4+I,OS·x53-1,367631·Y2
(2) 90.000· XI +45.000·x2 +xso =50.000+YI
(3) 0,14· Yl +SO.OOO· x 3 + XSI = 45.000· Xl + 24.000· x 2 + 1,0S· x so +0,95· Y2
(4) 0,14·y, +17o.000·x4 +XS2 =40.000· XI +23.000·x2 +35.000·x4 +1,OS·xs,
(5) 1,14· Yl + X S3 =40.000· Xl + 24.000· x 2 +35.000· x 3 + 75.000· x 4 + 1,0S· X S2
(6) 16.000·xl +4.500·x2 ~70.000
(7) 17.500·x3 +20.000·x4 ~130.000
(10) Y I ~ 1.350.000
(11) Y2 ~ SOO.OOO
(13) X St ~ 0 für alle t = 0, ... , 3
(14) x j E No für alle j = 1, ... , 4
Teilaufgabe b)
(1) In diesem Aufgabenteil sind zwei Lösungsansätze denkbar.
1. Lösungsansatz:
Zusätzlich zu obigem LP aus Teilaufgabe a) sind folgende Restriktionen
zu formulieren:
/nvestitionsprogrammentscheidungen 215
Hinweis: Grundsätzlich reichen die Bedingungen (15) und (17) aus, da
(8) und (9) weiter gelten.
2. Lösungsansatz:
Die im ersten Lösungsansatz formulierten zusätzlichen Gleichungen (15)
bis (18) sowie Gleichung (14) entfallen, wenn sämtliche Xj U = I, ... ,4) als
Binärvariablen definiert werden. Hierzu muss die Variablendefinition ge-
ändert werden.
X' = {I, falls Investitionsobjekt j in das Programm aufgenommen wird
J 0, sonst
für alle j = 1, ... ,4
(2) Die Änderung der Laufzeit von Kredit 1 wirkt sich auf die die Liquidität
berücksichtigenden Gleichungen (4) und (5) in t = 2 und t = 3 aus.
Die Liquiditätsrestriktionen in t = 2 und t = 3 lauten modifiziert:
(4')
1,14· Yl + 170.000· x4 + XS2 = 40.000· Xl + 23.000· x2 + 35.000· x4 + 1,08 . XSI
(5')
X S3 = 40.000· Xl + 24.000· x 2 + 35.000· x3 + 75.000· x4 + 1,08· X S2
(3) Zusätzlich zu obigem LP aus Teilaufgabe a) sind folgende Restriktionen
zu formulieren, die der Beschränkung des Kapitalmarktes Rechnung tragen:
(15) x so S 200.000
(16) X S1 s200.000
(17) X S2 s 200.000
216 Investition in Übungen
(18) X S3 :s; 200.000
Des Weiteren ist zu beachten, dass die bisher formulierten Liquiditätsgleichungen (2) bis (5) in Liquiditätsungleichungen transformiert werden, da
ansonsten im Falle eines beschränkten Kapitalmarktes keine Lösung existiert (der Kapitalbedarf darf in jeder Periode höchstens so groß sein wie
die Kapitaldeckung).
Aufgabe 7.8: Modell von Förster und Henn52
Ein Unternehmen stellt drei verschiedene Produktarten her, deren Veräußerungspreise, variable Stückkosten und Absatzhöchstgrenzen nachfolgend aufgelistet sind:
Veräußerungspreis Variable Absatzhächstgrenze Stückkosten (EURlStück) (EUR/Stück) (Stück/Jahr)
Produktart 1 2,00 0,60 8.000
Produktart 2 3,50 2,15 6.000
Produktart 3 3,00 1,00 5.000
Jede der drei Produktarten durchläuft einen dreistufigen maschinellen Produktionsprozess. Die folgende Tabelle gibt die Zeitbedarfe der jeweiligen Produktarten 1, 2 und 3 an den Maschinen A, Bund C in Minuten pro Stück an:
Maschine A Maschine B Maschine C
Produktart 1 3 3 3
Produktart 2 4 3 2
Produktart 3 5 2 4
Es ist ein Anlagenanfangsbestand vorhanden, der aus je zwei Maschinen vom
Typ A und B sowie vier Maschinen vom Typ C besteht. Alle Maschinen des
Anlagenanfangsbestands besitzen eine Restlaufzeit von einem Jahr. Ihre Kapazitäten, bestandsabhängigen Auszahlungen und Liquidationserlöse entsprechen denen, die nachfolgend für neu zu beschaffende Maschinen angegeben
werden.
Neue Maschinen können zum jeweiligen Jahresbeginn in unbegrenzter Anzahl
angeschafft werden. Ihre wirtschaftliche Nutzungsdauer beläuft sich auf drei
52 In Anlehnung an Götze, Uwe: Investitionsrechnung, 6. Anfl., Berlin/Heidelberg 2008,
S.329-332.
/nvestitionsprogrammentscheidungen 217
Jahre. Im Zeitpunkt der Anschaffung in t = ° sind folgende, vom Anschaffungszeitpunkt unabhängige Daten gegeben:
Anschaffungs- Kapazität Auszahlungen
auszahlung (EUR) (Minuten/Jahr) (EURlJahr)
Maschine A 1.000 5.000 195
Maschine B 960 4.000 185
Maschine C 880 3.500 225
Der Liquidationserlös einer Maschine beträgt am Ende ihrer wirtschaftlichen
Nutzungsdauer 10 % der Anschaffungsauszahlung. Es ist von einer linearen
Abschreibung auszugehen. Die Kapazitäten erhöhen sich pro Jahr um 10 %.
In t = ° stehen dem Unternehmen 25.000 EUR, in t = 1 ein Betrag von
5.000 EUR zur Verfügung. Der Zinssatz für eine kurzfristige Finanzinvestition mit einer Laufzeit von einem Jahr beträgt 6 % p. a.
Formulieren Sie zu obigem Problem ein Lineares Programm gemäß dem Modell von Förster und Henn unter der Zielsetzung der Maximierung des Vermögensendwerts in t = 3, wenn Finanzmittelüberschüsse zu einem Zinssatz
von 6 % p. a. angelegt werden können!
Lösung
In einem ersten Schritt gilt es zunächst, die im Linearen Programm (LP) verwendeten Variablen zu definieren.
Xjt: Anzahl der realisierten Einheiten des jeweiligen Investitionsobjekts j
(j = 1, ... , 4) zum Zeitpunkt t (t = 0, 1,2);53
Zkt: Produktionsmenge des Produkts k (k = 1, ... , 3) zum Zeitpunkt t
(t = 0, 1,2);
X4l: Umfang der zum Zeitpunkt t (t = 0, 1, 2) realisierten kurzfristigen Investitionsmöglichkeit 4 (Finanzinvestition).
Als Zielfunktionswert soll der Vermögensendwert dienen, der als positive
Komponenten die zum Zeitpunkt t = 3 erwirtschafteten Einzahlungsüberschüsse aus produktbezogenen Zahlungen, aus der Liquidation maschineller
Anlagen sowie aus der aufgezinsten kurzfristigen Finanzinvestition aus Periode t = 2 umfasst. Die nachfolgende Abbildung zeigt die zeitliche Zuordnung
der Liquiditäts-, Kapazitäts- und Absatzrestriktionen (R) sowie die Zielfunktion (ZF):
53 Es liegen vier Investitionsobjekte vor; dabei handelt es sich um drei Sachinvestitionen
und eine Finanzinvestition.
218 Investition in Übungen
R R R ZP
t = 0 t= 1 t = 2 t = 3
Somit lautet die zu maximierende Zielfunktion:
max:
+0,1·(1.000· x lll +960· x 20 +880· x 30 )+0,4· (1.000· x" +960· x 21 +880· x 3,)
+0,7· (1.000· XI2 +960,x 22 +880·x32 )+I,4,z,2 +1,35,z 22 +Z32 +1,06.x 42
Die wichtigste Nebenbedingung - Wahrung der Liquidität in allen Perioden
des Planungszeitraums - muss derart formuliert werden, dass in jeder Periode t (t = 0, "', 2) die Summe der auftretenden Auszahlungsüberschüsse (Kapitalbedarf) maximal so groß ist wie die in derselben Periode zur freien Disposition stehenden Eigenmittel zuzüglich etwaiger rückzahlbarer Finanzinvestitionen der Vorperiode (Kapitaldeckung). Daraus lässt sich für den Zeitpunkt
t = ° folgende Liquiditätsrestriktion ableiten: 54
1.000· XIO + 960· x 20 + 880· x 30 + 195 . (2 + x lO ) + 185· (2 + x 20 ) + 225 . (4 + x 30 ) + x 40
= 25.000
In Periode 1 erzielen die von den Maschinen (Altbestand zzgl. Investitionen
der Vorperiode) produzierten und abgesetzten Produkte zusätzliche Einzahlungsüberschüsse, die den Betrag der Kapitaldeckung erhöhen. Ferner ist zu
beachten, dass der Anlagenanfangsbestand produktionstechnisch in dieser Periode nicht mehr zu berücksichtigen ist, da seine Nutzungsdauer abgelaufen
ist. Allerdings werden noch Liquidationserlöse erzielt.
Um das finanzielle Gleichgewicht in t = 1 aufrecht zu erhalten, muss der Kapitalbedarf dem Kapitaldeckungsbetrag entsprechen. Man erhält somit für
t = 1 folgende Liquiditätsrestriktion:
1.000· Xli +960,x 21 +880,x o' +195·(x,o +x ll )+185·(x2o +X 21 )
+ 225· (x oo + X31 )+ X41 = 5.000 + 1,4· ZIO + 1,35· Z20 + Z30 + 2·0,1·1.000
+ 2 . 0,1' 960 + 4·0,1· 880 + 1,06· x 40
Für t = 2 lautet die Liquiditätsrestriktion:
1.000· X12 + 960· x 22 + 880· x o2 + 195· (x lO + Xli + x 12 )+ 185· (x 20 + X21 + X22 )
+ 225· (x oo + X31 + x o2 ) + X42 = 1,4· Zll + 1,35· Z21 + Z31 + 1,06· X41
54 Die fixen Zahlen in den Klammern kennzeichnen dabei den Anlagenanfangsbestand
laut AufgabensteIlung.
/nvestitionsprogrammentscheidungen 219
Im Rahmen der Kapazitätsrestriktionen ist für jede Periode und jede Maschine eine Gleichung zu formulieren. Dabei ist zu beachten, dass der Anlagenanfangsbestand in t = 0 ebenfalls Kapazität anbietet und sich die Kapazitäten der endogen zu bestimmenden Anzahl an Maschinen um 10 % pro Periode
erhöhen.
Die Kapazitätsrestriktionen lauten für t = 0:
3·zlO +4·z20 +5·z30 :S:1O.000+5.000·x lO
3· ZIO + 3· Z20 + 2· Z30 :s: 8.000 + 4.000· x 20
3·zlO +2·z20 +4·z30 :S: 14.000+3.500·x30
Die Kapazitätsrestriktionen lauten für t = 1:
3·z11 +4·Z21 +5·Z31 :S:5.000·xlO +5.500·xll
3· Zll + 3· Z21 + 2· Z31 :s: 4.000· x 20 + 4.400· X21
3·z11 +2·z21 +4·z31 :S:3.500·x30 +3.850·x31
Die Kapazitätsrestriktionen lauten für t = 2:
3·Z12 +4·Z22 +5·Z32 :s: 5.000· x lO +5.500·xll +6.050·X12
3·z12 +3·Z22 +2·Z32 :S:4.000·x20 +4.400·X21 +4.840·X22
3· Z12 + 2· Z22 + 4· Z32 :s: 3.500· x 30 + 3.850· X31 + 4.235· X32
Die produzierte Menge darf in keiner Periode größer als die nachgefragte
Menge sein, woraus nachstehende Absatzrestriktionen resultieren:
Zlt :s: 8.000 für alle t = 0, 1,2
Z2t :s: 6.000 für alle t = 0, I , 2
Z3t :s: 5.000 für alle t = 0, 1,2
Die Nichtnegativitätsbedingungen lauten:
Xit E No für alle j = 1, 2, 3 und alle t = 0, 1, 2
x4t ~ 0 für alle t = 0, 1,2
Zkt ~ 0 für alle k = 1 , 2, 3 und alle t = 0, I, 2
8 Gesamtbewertung von Unternehmen als
Anwendungsfall der Investitionsrechnung
Aufgabe 8.1: Bewertung ganzer Unternehmen
Systematisieren Sie die Anlässe für die Bewertung ganzer Unternehmen!
Lösung55
Die Anlässe für die Bewertung ganzer Unternehmen können wie folgt in fünf
Gruppen unterteilt werden:
1. Bewertung aufgrund unternehmerischer Initiativen, insb.:
- beim Kauf bzw. Verkauf ganzer Unternehmen, von Betriebsteilen oder
von Beteiligungen (Ein- und Austritt von Gesellschaftern);
- im Zusammenhang mit Fusionen;
- bei der Zuführung von Eigenkapital (insb. Börsengang) bzw. Fremdkapital;
- bei Sacheinlagen (einschließlich Übertragungen des ganzen Gesellschaftsvermögens);
- bei Management Buy Outs oder wertorientierten Managementkonzepten.
2. Bewertung für Zwecke der externen Rechnungslegung, z. 8.:
- zur Kaufpreisallokation;
- beim Impairmenttest;
- bei steuerrechtlichen Regelungen zu konzerninternen Umstrukturierungen.
3. Bewertung aufgrund gesetzlicher Regelungen, insb.:
- des Aktiengesetzes;
- Abschluss von Unternehmensverträgen;
- Eingliederung;
- Squeeze Out.
55 Vgl. Wagner, Wolf gang: Die Unternehmensbewertung. In: WP-Handbuch, Band H, hrsg.
vom Institut der Wirtschaftsprüfer, 13. Aufl., Düsseldorf 2007, S. 1-196, Rn. 12-14.
Chapter Preview
References
Zusammenfassung
Investition in Übungen.
Alles zum Thema Investitionen bietet dieses Übungsbuch. Sie erhalten zahlreiche Anhaltspunkte zur Lösung von Investitionsfragen. Die über 140 Übungen mit umfangreichen Lösungen sind der Schlüssel zum Methodenverständnis und die Voraussetzung für den Prüfungserfolg. Damit verfügen Sie über mehr Sicherheit beim Umgang mit den zentralen Verfahren des Investitionsmanagement.