/nvestitionsprogrammentscheidungen 195 Simultane Investitionsprogrammplanung: Bei dieser Planungstechnik versucht man, die (möglichen) Mängel der sukzessiven Vorgehensweise dadurch zu vermeiden, dass man die einzelnen Teilpläne des Investors (Finanzplan, Investitionsplan, Produktions- und Absatzplan usw.) möglichst harmonisch aufeinander abstimmt und die gegenseitigen Abhängigkeiten (Interdependenzen) zwischen den Teilplänen angemessen berücksichtigt. 7.2 Klassische kapitaltheoretische Modelle zur simultanen Investitions- und Finanzprogrammplanung Aufgabe 7.2: Ein-Perioden-Fall Stellen Sie die Bestimmung des optimalen Investitions- und Finanzierungsprogramms anhand des Ein-Perioden-Falls bei den klassischen kapitaltheoretischen Modellen zur simultanen Investitions- und Finanzplanung im Detail dar! Lösung Die Bestimmung des optimalen Investitions- und Finanzierungsprogramms kann - unter den genannten Voraussetzungen (Ein-Perioden-Fall, klassische kapitaltheoretische Modelle, simultane Investitions- und Finanzplanung) - mit einem einfachen Rangordnungsverfahren auf Basis der internen Zinsfüße erfolgen: Cl) Berechnung des internen Zinsfußes für jedes Investitionsprojekt. (2) Ordnung der Investitionsprojekte nach der Höhe der internen Zinsfüße, wobei das Investitionsobjekt mit dem größten internen Zinsfuß an die erste Stelle gesetzt wird. Grafisch ergibt sich somit die Kapitalnachfragefunktion. (3) Berechnung des internen Zinsfußes für jedes Finanzierungsprojekt. (4) Ordnung der Finanzierungsprojekte nach der Höhe der internen Zinsfüße, wobei das Finanzierungsobjekt mit dem kleinsten internen Zinsfuß an die erste Stelle gesetzt wird. Grafisch ergibt sich somit die Kapitalangebotsfunktion. 196 Investition in Übungen (5) Ermittlung des optimalen Investitions- und Finanzierungsprogramms aus den beiden Prioritätenlisten; Schritt für Schritt werden so lange Investitionsprojekte in das Investitionsprogramm aufgenommen, bis der interne Zinsfuß des nächsten aufzunehmenden Investitionsprojektes kleiner ist als der interne Zinsfuß (die Kapitalkosten) des nächsten Finanzierungsprojektes. Aufgabe 7.3: Dean-Modell47 Die betriebswirtschaftliche Abteilung der Holzwurm AG ist mit der Planung des optimalen Investitions- und Finanzierungsprogramms für das kommende Jahr beschäftigt. Es stehen vier Investitionsobjekte (PI, P2, P3, P4) mit jeweils einer einjährigen Nutzungsdauer zur Auswahl, für die folgende Anschaffungsauszahlungen in t = 0 und Einzahlungen am Jahresende t = I geschätzt werden (Angaben in EUR): Investitionsobjekt Anschaffungsauszahlung Einzahlung in t = 0 in t = 1 PI 10.400 10.660 P2 12.750 14.280 P3 6.996 7.579 P4 8.500 8.840 Für Investitionszwecke stehen 15.000 EUR an Eigenkapital (EK) zur Verfügung, die, falls sie nicht für Investitionen genutzt werden, zu 3 % p. a. angelegt werden können. Ferner besteht die Möglichkeit, zwei einjährige Kredite (Kl, K2) aufzunehmen. Für den Kredit K1, der in Höhe von 5.000 EUR zur Verfügung steht, gilt ein Zins von 4,5 % p. a.; der Zins für den Kredit K2 in Höhe von 20.000 EUR beträgt 7 % p. a. a) Erläutern Sie allgemein, wie mit Hilfe des Dean-Modells das optimale Investitions- und Finanzierungsprogramm ermittelt werden kann! Gehen Sie dabei auch auf die Voraussetzungen des Dean-Modells ein! b) Ermitteln Sie für die obige Situation das optimale Investitions- und Finanzierungsprogramm! 47 Modifiziert entnommen aus Adam, Dietrich: Investitionscontrolling, 3. Auf!., München/Wien 2000, S. 427. /nvestitionsprogrammentscheidungen 197 Lösung Teilaufgabe a) Die Methode des Capital-Budgeting nach Dean dient der simultanen Bestimmung des optimalen Investitions- und Finanzierungsprogramms. Es können dabei explizit verschiedene Investitions- und Finanzierungsstrategien mit zugehörigen Renditen und Sollzinsen berücksichtigt werden. Vorgehensweise: Bestimmung der Kapitalnachfragefunktion der Investitionsobjekte: Es wird die interne Verzinsung jedes Investitionsobjektes ermittelt, und die Investitionsobjekte werden nach der Höhe ihrer internen Zinsfüße abfallend geordnet. Bestimmung der Kapitalangebotsfunktion: Die Finanzierungsobjekte werden nach der Höhe ihres Effektivzinses i aufsteigend geordnet. Ermittlung der Schnittpunktlösung: Kapitalnachfrage- und Kapitalangebotsfunktion werden in einem Koordinatensystem dargestellt, auf dessen Abszisse das "Kapital" und auf dessen Ordinate "Rendite" und "Sollzins" abgetragen werden. Alle Objekte links vom Schnittpunkt der beiden Funktionen sind im Optimalprogramm enthalten. Nur unter folgenden Prämissen ist gewährleistet, dass mit dem Dean-Modell tatsächlich das optimale Investitions- und Finanzierungsprogramm ermittelt wird: Unabhängigkeit der Investitions- und Finanzierungsobjekte, d. h., es dürfen keine wechselseitigen Ausschlüsse oder sonstigen Koppelungen zwischen den Objekten existieren. Einperiodigkeit, d. h., alle Investitions- und Finanzierungsobjekte sind nach einer Periode vollständig abgewickelt, ohne dass Auswirkungen auf spätere Perioden existieren. Beliebige Teilbarkeit der Investitions- und Finanzierungsobjekte. Reine Fremdfinanzierung. Teilaufgabe b) Bestimmung der Kapitalnachfragefunktion: Die interne Verzinsung reines Investitionsobjekts lässt sich bei einer einjährigen Nutzungsdauer nach der folgenden Formel bestimmen: r = Einzahlung (in t = 1) - Auszahlung (in t = 0) = Einzahlung (in t = 1) _I Auszahlung(in t = 0) Auszahlung(in t = 0) 198 Investition in Übungen Für die Zahlen der Aufgabenstellung ergibt sich: Investitions- Auszahlung in t = 0 Einzahlung in t = I Differenz r objekt (EUR) (EUR) (EUR) PI 10.400 10.660 260 2,5 % p.a. P2 12.750 14.280 1.530 12 % p.a. P3 6.996 7.579 583 8,33 % p.a. P4 8.500 8.840 340 4 % p.a. Geordnet nach abfallendem internen Zinsfuß ergibt sich folgende Reihenfolge der Investitionsobjekte: Investitionsobjekt r Kapitalbedarf KUill. Kapitalbedarf in t = 0 (EUR) in t = 0 (EUR) P2 12 % p.a. 12.750 12.750 P3 8,33 % p.a. 6.996 19.746 P4 4 % p.a. 8.500 28.246 PI 2,5 % p.a. 10.400 38.646 Bestimmung der Kapitalangebotsfunktion: Das Dean-Modell wurde ursprünglich für reine Fremdfinanzierungen entwickelt. Zur Berücksichtigung des Eigenkapitals gibt es allerdings zwei verschiedene Vorschläge: Das Eigenkapital wird als Finanzierungsobjekt behandelt und in der Kapitalangebotsfunktion mit dem Habenzinssatz angesetzt. Das Eigenkapital wird in der Kapitalangebotsfunktion mit Finanzierungskosten von Null und in der Kapitalnachfragefunktion mit einer internen Verzinsung in Höhe der Habenzinsen angesetzt. Da in der AufgabensteIlung der Habenzinssatz mit 3 % p. a. kleiner als der kleinste Sollzins mit 4,5 % p. a. ist, ist es unschädlich, das Eigenkapital nur als Finanzierungsobjekt zu behandeln und in die Kapitalangebotsfunktion mit dem Habenzinssatz von 3 % p. a. anzusetzen. Es ergibt sich damit - geordnet nach aufsteigendem Effektivzinssatz - folgende Kapitalangebotsfunktion: Finanzierungsobjekt i Kapitalbetrag KUill. Kapitalbetrag in t = 0 (EUR) (EUR) EK 3 % p.a. 15.000 15.000 Kl 4,5 % p.a. 5.000 20.000 K2 7 % p.a. 20.000 40.000 /nvestitionsprogrammentscheidungen Grafische Darstellung: i, r (in % p.a.) P2 12~--------------~ 8,33 7 4,5 EK 4 3+-------------' 2,5 12.750 K, 19.746 10.000 15.000 20.000 K, Finanzierungsobjekte P, In vestitionsobjekte 28.246 30.000 38.646 40.000 Kapital (in TEUR) Abbildung 9: Kapitalangebots- und Kapitalnachfragefunktion 199 Es ist optimal, die Investitionsobjekte P2 und P3 zu verwirklichen. Dazu werden das gesamte Eigenkapital sowie 4.746 EUR von Kl eingesetzt. 200 Investition in Übungen Aufgabe 7.4: Dean-Modell48 Der "Zwei-Punkt-OHG" stehen im Zeitpunkt t = 0 folgende drei Investitionsmöglichkeiten offen, die jeweils nach genau einem Jahr (t = 1) abgeschlossen sein werden (Angaben in TEUR): Investitionsprojekt Zahlungen in t = 0 Zahlungen in t = I 4J Zj I - 6,00 + 6,66 11 - 5,00 + 5,38 III - 13,00 + 14,30 Außerdem können Beträge in beliebigem Umfang zu 6 % p. a. für ein Jahr verzinslich angelegt werden. Die "Zwei-Punkt-OHG" verfügt über 10.000 EUR Eigenkapital. Zudem verfügt sie über eine noch freie Kreditlinie von 16.000 EUR; die Beanspruchung dieses Kredits verursacht Zinskosten von 12 % p. a. Die "Zwei-Punkt-OHG" will das in t = I erzielbare Endvermögen maximieren. a) Welche Investitions- und Finanzierungsentscheidungen sind zu treffen, wenn alle Investitionsprojekte beliebig teilbar sind? Wie hoch ist in diesem Fall der in t = I gegenüber der Unterlassensalternative erzielbare Endverrnögenszuwachs ~ Cn? b) Welches sind die optimalen Investitions- und Finanzierungsentscheidungen, wenn die Investitionsprojekte unteilbar sind? Wie hoch ist ~ Cn nun? Lösung Teilaufgabe a) Die interne Verzinsung rj eines Investitionsprojekts I kann bei einer einjährigen Nutzungsdauer nach der folgenden Formel bestimmt werden: zl r, =---1 zl) 48 Geringfügig modifiziert entnommen aus Bitz, Michael: Übungen in Betriebswirtschaftslehre, 6. Aufl., München 2003, S. 214-215 und S. 255-258. /nvestitionsprogrammentscheidungen Dabei gilt: rI : Interner Zinsfuß des Investitionsprojekts I; Z]: Einzahlung am Ende der Nutzungsdauer in t = 1; zb: Anschaffungsauszahlung in t = 0; I: Investitionsprojekte I, 2, ... , n. Beliebige Teilbarkeit der Investitionsprojekte: Investitionsprojekte I Interner Zinsfuß rI 6,66 PI - -- -1 = 0,11 = 11 % p. a. -6,00 5,38 PlI - -- -1 = 0,076 = 7,6 % p. a. -5,00 PIII 14,30 -----1 =0,10 = 10 % p. a. -13,00 Finanzierungsprojekte F Interner Zinsfuß ip Eigenkapital 6 %p.a. Fremdkapital 12 %p.a. Dabei gilt: i F : Interner Zinsfuß des Finanzierungsprojekts F; F: Finanzierungsprojekte 1, 2, ... , n. 201 Rangfolge 1. 3. 2. Rangfolge 1. 2. Gemäß der nachfolgenden Abbildung sollten die Investitionsprojekte P I und ~ von P III mit Eigenkapital realisiert werden. 13 4 L1C n =6,66+- ·14,3-10 ·1,06=0,46 TEUR bzw. 13 L1C n =6· (0,11-0,06)+4· (0,10-0,06)=0,46 TEUR (= Fläche zwischen Angebots- und Nachfragefunktion links des Schnittpunkts) 202 Investition in Übungen Trbzw. iF [in Prozent p. a.] Fremdkapital 12'}f. -f- 11 'J{ PI Finanzierungsprojekte PIIT i*= 10% -f- 7.6% -f- I PlI Investitionsprojekte I Eigenkapilal 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6TEUR IOTEUR 19 TEUR 24 TEUR 26 TEUR Kapital [in TEUR[ i* = 10 % p. a. (endogener Zins) Abbildung 10: Bestimmung des optimalen lnvestitions- und Finanzierungsprogramms anhand der Kapitalnachfrage- und Kapitalangebotskurve Teilaufgabe b) Unteilbarkeit der Investitionsprojekte: Investitionsprojekt I wird mit ~ des Eigenkapitals finanziert. 10 ~ Cn = 6,66 - ~. (10 . 1,06) = 0,3 TEUR 10 /nvestitionsprogrammentscheidungen 203 7.3 Die Ansätze der linearen Programmierung zur simultanen Investitions- und Finanzprogrammplanung Aufgabe 7.5: Simultane Investitions- und Finanzprogrammplanung49 Die "Zeit-AG" soll in drei Jahren liquidiert werden; bis dahin könnten noch die durch folgende Zahlungsreihen gekennzeichneten Investitionsprojekte i = 1,2,3,4 durchgeführt werden (alle Angaben in TEUR): ~ 0 1 2 3 1 -100 + 20 + 20 + 100 2 -100 + 100 + 10 +10 3 - -130 + 100 + 60 4 - - -100 + 120 In den Zeitpunkten t = 0, 1, 2 können jeweils einjährige Kredite zu 10 % p. a. aufgenommen werden, allerdings jeweils höchstens bis zu einem Maximalbetrag von 100 TEUR. Außerdem können in t = 0 und t = 1 jeweils nach zwei Jahren zu tilgende Kredite in beliebiger Höhe mit einem jährlich fälligen Zins von 8 % p. a. aufgenommen werden. Das Gesamtausmaß der Verschuldung darf allerdings in keinem Zeitpunkt ein Volumen von 150 TEUR überschreiten. Freie Mittel können jederzeit zu 5 % p. a. für ein Jahr angelegt werden. a) Angenommen, die Investitionsprojekte könnten auch zu beliebigen Bruchteilen, höchstens jedoch genau einmal durchgeführt werden. Formulieren Sie ein lineares Programm zur Bestimmung der Kombination von Investitions- und Finanzierungsprojekten, die zu der höchsten Schlussentnahme in t = 3 führt! b) Überprüfen Sie, welche der folgenden Investitions- und Finanzierungsteilpläne realisierbar sind: (1) Realisierung der Investitionsprojekte 1 und 2. 49 Geringfügig modifiziert entnommen aus Bitz, Michael: Übungen in Betriebswirtschaftslehre, 6. Aufl., München 2003, S. 215-216 und S. 260-262.