Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 89 4.4 Methode des internen Zinsfußes Aufgabe 4.18: Methode des internen Zinsfußes Die Gummi AG (siehe Aufgabe 4.9 auf Seite 72 und Aufgabe 4.14 auf Seite 83) mächte - neben der Kapitalwertmethode und der Annuitätenmethode einen weiteren Vergleich der zwei Investitionsobjekte durchführen. Dabei fällt die Entscheidung auf die Anwendung der internen Zinsfußmethode. t 0 1 2 3 4 5 Z,A (TEUR) - 300 85 90 80 80 70 Zr ß (TEUR) - 230 95 95 95 - - Dabei gilt: Zt: Differenz zwischen den Ein- und Auszahlungen von Maschine A bzw. von Maschine B der Periode t mit folgender Wirkung: ~ Einzahlungsüberschuss der Periode t, wenn Zt > 0 bzw. ~ Auszahlungsüberschuss der Periode t, wenn Zt < O. Der Kalkulationszinssatz beträgt weiterhin 10 % p. a. a) Stellen Sie die allgemeine Bestimmungsgleichung für den internen Zinsfuß r unter Anwendung der linearen Interpolation auf! b) Berechnen Sie für beide Investitionsobjekte den internen Zinsfuß (jeweils zwei Iterationsschritte)! Vergleichen und interpretieren Sie die gewonnenen Daten mit dem Ergebnis bei Anwendung der Kapitalwertmethode der Aufgabe 4.9 auf Seite 72! c) Führen die Kapitalwertmethode und die interne Zinsfußmethode immer zur gleichen Investitionsentscheidung (1) bei Beurteilung eines einzelnen Investitionsobjekts, (2) beim Vergleich sich gegenseitig ausschließender Investitionsobjekte? Begründen Sie Ihre Antwort! Lösung Teilaufgabe a) Der interne Zinsfuß reines Investitionsvorhabens ist so zu wählen, dass die erwirtschafteten Zahlungsüberschüsse Zt gerade ausreichen, das eingesetzte Kapital Ao zurückzugewinnen und die Verzinsung des Kapitals zum internen 90 Investition in Übungen Zinsfuß r sicherzustellen (d. h., der interne Zinsfuß ist so zu wählen, dass der Kapitalwert Co der Zahlungsreihe gleich Null ist). , Co = -Ao + ±Zt . (l +r)-t ~O t=1 Lineare Interpolation: 1. Schritt: Bestimmung eines Versuchszinssatzes ij, bei dem Co[ > 0 ist. 2. Schritt: Bestimmung eines Versuchszinssatzes i2, bei dem C02 < 0 ist. 3. Schritt: Lineare Interpolation. Die Gleichung der Methode der linearen Interpolation zur Ermittlung des internen Zinsfußes beruht auf den mathematischen Strahlensätzen und sieht folgendermaßen aus: 20 A_. C iZ-i[ r -li - 01' CO2 -COI Bei der Methode der linearen Interpolation wird auf eine approximative Lösung zurückgegriffen, um die obige Gleichung zu bestimmen. Bei diesem Näherungsverfahren berechnet man in einem ersten Schritt den Kapitalwert COI für einen Kalkulationszinssatz i l , in dessen Nähe man den internen Zinsfuß vermutet. Ist dieser positiv (negativ), so wird im zweiten Schritt ein höherer (niedrigerer) Kalkulationszinssatz iz gewählt und für diesen ebenfalls der Kapitalwert C02 berechnet. Unter Verwendung der beiden auf diese Weise ermittelten Kapitalwerte lässt sich dann eine erste Näherungslösung r für den internen Zinsfuß mit Hilfe der linearen Interpolation bestimmen. Teilaufgabe b) Investitionsobjekt A: I. Iterationsschritt: Versuchszinssatz i l : 10 % p. a. Versuchszinssatz i2: 13 % p. a. C = _ 300 + ~ + 90 + 80 + 80 + 70 01 1+0,1 (1+0,1)2 (1+0,1)3 (1+0,1)4 (1+0,1)5 '" 9,86TEUR 20 Vgl. zur Herleitung dieser Gleichung sowie nachfolgend Bieg, Hartmut; Kußmaul, Heinz: Investition, 2. Aufl., München 2009, Kapitel 2.3.2. Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 91 C 2 = _300+_8_5_+ 90 + 80 + 80 + 70 o 1+0,13 0+0,13)2 0+0,l3)3 0+0,13)4 0+0,l3)5 '" - 11,79 TEUR , 0,l3-0,1O rA = 0,1 - 9,86' '" 11,3663 % p. a. -11,79 - 9,86 2. Iterationsschritt: Versuchszinssatz i 1: 11,00 % p. a. Versuchszinssatz i2: 11,37 % p. a. C = _ 300 + ~ + 90 + 80 + 80 + 70 01 1+0,11 0+0,11)2 0+0,11)30+0,11)40+0,11)5 ",2,36TEUR C = _ 300 + 85 + 90 + 80 + 80 02 1+0,113663 (1+0,113663t (1+0,1136631 (I +0,1 I 3663f + 70 '" _ 0 34 TEUR (I + 0,113663)5 ' A = 0 11 _ 2 36. 0,113663 - 0, 11 '" 11 3202 % . a. rA ' , -0,34-2,36 ' P Investitionsobjekt B: 1. Iterationsschritt: Versuchszinssatz i1: 10 % p. a. Versuchszinssatz i2: 13 % p. a. 95 95 95 CO! = - 230 + -- + 2 + 3 '" 6,25 TEUR 1 + 0,1 0 + 0,1) 0 + 0,1) C = - 230 + 95 + 95 + 95 '" _ 5 69 TEUR 02 1+0,l3 (1+0,13)20+0,13)3 ' , . 0,13-0,10 rB = 0,1 - 6,25 . '" 11,5704 % p. a. -5,69-6,25 2. Iterationsschritt: Versuchszinssatz i1: 11,00 % p. a. Versuchszinssatz i2: 11,57 % p. a. C = - 230 + 95 + 95 + 95 '" 2,15 TEUR 01 1+011 0+0,11)2 (l+0,11? 92 Investition in Übungen 95 95 95 C02 =-230+ + + ",,-O,13TEUR 1 + 0,115704 (1 + 0,115704)2 (1 + 0,115704)3 r = 011- 215· 0,115704-0,11 "" 115379 % .a. B , , -0,13-2,15 ' P Entscheidung: fB > fA > i. Da Maschine B einen höheren internen Zinsfuß als Maschine A und Maschine A einen höheren internen Zinsfuß als den Kalkulationszinssatz in Höhe von 10 % aufweist, sollte Maschine B ausgewählt werden. Beachte: Im Rahmen der in Aufgabe 4.9 auf Seite 72 durchgeführten Kapitalwertmethode galt COA > COB > ° und es wurde Maschine A ausgewählt. Es treten somit bei Anwendung der Kapitalwertmethode und bei Anwendung der internen Zinsfußmethode u. U. unterschiedliche Rangfolgen auf. Dies ist darauf zurückzuführen, dass unterschiedliche Kapitalbindungen und Nutzungsdauern vorliegen. Diese können bei der Kapitalwertmethode (Anlage der Mittel zu i) und der internen Zinsfußmethode (Anlage der Mittel zum jeweiligen Zinssatz r) - wie im vorliegenden Fall - zu unterschiedlichen Ergebnissen führen (widersprüchliche Wiederanlageprämissen).21 Problem: Es ist eine Gleichung n-ten Grades zu lösen! Es besteht also die Möglichkeit, dass man n verschiedene Lösungen erhält (gemäß dem Fundamentalsatz der Algebra). Besteht in der zu lösenden Gleichung nur ein Vorzeichenwechsel, so existiert nur eine Lösung (wobei der interne Zinsfuß genau dann positiv ist, wenn die kumulierten Einzahlungen größer sind als die kumulierten Auszahlungen). Teilaufgabe c) (1) Vorteilhaftigkeitsproblem: Ein positiver Kapitalwert bedingt immer einen internen Zinsfuß r, der größer als der Kalkulationszinsfuß i ist. Q Bei Vorteilhaftigkeitsproblemen kommen die Kapitalwertmethode und die interne Zinsfußmethode immer zu gleichen Ergebnissen. (2) Wahlproblem: 21 Es lässt sich zeigen, dass bei bestimmten Funktionsverläufen zweier Investitionsalternativen aus der Anwendung der Kapitalwertmethode und Vgl. dazu Aufgabe 4.5, Teilaufgabe b), Seite 64. Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 93 der internen Zinsfußmethode unterschiedliche Ergebnisse resultieren können. q Bei Wahlproblemen kommen die Kapitalwertmethode und die interne Zinsfußmethode nicht immer zu gleichen Ergebnissen. Aufgabe 4.19: Methode des internen Zinsfußes22 Einem Unternehmen stehen drei Investitionsprojekte zur Auswahl. Für die jeweiligen Projekte werden folgende Zahlungen prognostiziert: Jahr Projekt I (EUR) Projekt II (EUR) Projekt III (EUR) 0 - 150.000 - 210.000 - 180.000 1 20.000 - 30.000 30.000 2 30.000 - 20.000 - 20.000 3 40.000 20.000 120.000 4 50.000 120.000 - 20.000 5 60.000 170.000 220.000 6 -20.000 120.000 - 20.000 Bestimmen Sie die internen Zinsfüße der drei Projekte! Verwenden Sie als Versuchszinssätze i j = 5 % p.a. und i 2 = 15 % p.a. Geweils ein Iterationsschritt) ! Lösung Die internen Zinsfüße sind mit der Methode der linearen Interpolation nach der folgenden Formel zu ermitteln: A _. C i 2 -i j r-1 j - 01· C O2 -COl Dabei gilt: f: Interner Zinsfuß p. a. der Investition; i 1 : Versuchszinssatz 1 p. a.; i2 : Versuchszinssatz 2 p. a.; 22 Modifiziert entnommen aus Trr~ßmann, Ernst; Werkmeister, Clel1zens: Arbeitsbuch Investition. Stuttgart 2001. S. 29 und S. 131-132. 94 Investition in Übungen COI : Kapitalwert der Investition zum Zeitpunkt t = 0 und bei Verwendung des Versuchszinssatzes 1 p. a.; CO2 : Kapitalwert der Investition zum Zeitpunkt t = 0 und bei Verwendung des Versuchszinssatzes 2 p. a. Projekt I: C = _ 150.000 + 20.000 + 30.000 + 40.000 + 50.000 01 1 + 0,05 (1 + 0,05)2 (1 + 0,05)3 (1 + 0,05)4 60.000 20.000 + (1 + 0,05)5 Cl + 0,05)6 = + 4.034,39 EUR C 150 000 20.000 30.000 40.000 50.000 =- . + + + +----,- 02 1+0,15 (1+0,15)2 0+0,15)3 (1+0,15)4 60.000 20.000 + (1+0,15)5 (1+0,15)6 = -33.852,02 EUR i\ = 0,05 - 4.034,39· 0,15 - 0,05 = 6,0649 % p.a. - 33.852,02 - 4.034,39 Projekt 11: C = _ 210.000 _ 30.000 _ 20.000 + 20.000 + 120.000 01 1 + 0,05 0 + 0,05)2 0 + 0,05)3 0 + 0,05)4 170.000 120.000 + +----;c 0+0,05)5 0 + 0,05)6 = + 82.034,33 EUR C = _ 210.000 _ 30.000 _ 20.000 + 20.000 + 120.000 02 1+0,15 0+0,15)2 0+0,15)3 0+0,15)4 170.000 120.000 + +---..,,- 0+0,15)5 0+0,15)6 = - 33.049,76 EUR A 5 0,15 - 0,05 12 1282 fl1 r ll = 0,0 - 82.034,33 . =, -/0 p. a. - 33.049,76 - 82.034,33 Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 95 Projekt III: C = -180.000 + 30.000 _ 20.000 + 120.000 _ 20.000 01 1 + 0,05 (1 + 0,05)2 (1 + 0,05)3 (1 + 0,05)4 220.000 20.000 + --------;c (1 + 0,05)5 (1 + 0,05)6 = + 75.088,75 EUR C = -180.000 _ 30.000 _ 20.000 + 120.000 20.000 02 1+0,15 0+0,15)2 (1+0,15)3 (1+0,15)4 220.000 20.000 + --------,,- (1+0,15)5 (1+0,15)6 = - 836,70 EUR A 5 5 0,15-0,05 14889801 r lll = 0,0 -75.088,7 . =, -/0 p.a. - 836,70 -75.088,75 Aufgabe 4.20: Methode des internen Zinsfußes a) Für welches der in Aufgabe 4.11 auf Seite 78 dargestellten Investitionsprojekte A und B sollte sich der Investor entscheiden, wenn er die Methode des internen Zinsfußes verwendet und den internen Zinsfuß mittels der linearen Interpolation ermittelt (verwenden Sie dabei 11,5 % p. a. und 12 % p. a. als Versuchszinssätze)? Der vom Investor vorgegebene Vergleichszinssatz beträgt 10 % p. a. b) Wie ist der Wechsel der Vorteilhaftigkeit der beiden Investitionsprojekte zwischen der Kapitalwertmethode (Aufgabe 4.11 Teilaufgabe a) auf Seite 79) und der Methode des internen Zinsfußes (siehe Teilaufgabe a) der vorliegenden Aufgabe) zu erklären? Lösung Teilaufgabe a) Investitionsprojekt A: i l = 11,5 % p.a.; COi = + 982,02 EUR i 2 =12 % p.a.; CO2 =-705,92 EUR 96 Investition in Übungen A _. C i 2 -i) rA -I) - O!' C O2 -CO) =0115-98202. 0,12-0,115 =117909 % .a. , , - 705,92 - 982,02' P Dabei gilt: IA : Interner Zinsfuß p. a. des Investitionsprojektes A; i): Versuchszinssatz 1 des Investitionsprojektes A p. a.; i2 : Versuchszinssatz 2 des Investitionsprojektes A p. a.; C01 : Kapitalwert des Investitionsprojektes A zum Zeitpunkt t = 0 und bei Verwendung des Versuchszinssatzes 1 p. a.; CO2 : Kapitalwert des Investitionsprojektes A zum Zeitpunkt t = 0 und bei Verwendung des Versuchszinssatzes 2 p. a. Investitionsprojekt B: i l =11,5 % p.a.; CO! =+1.321,40 EUR i 2 = 12 % p.a.; CO2 = -188,79 EUR A. i 2 -i) rB = 11 -CO! .-""-------'--- C O2 -CO) =0115-1.32140. 0,12-0,115 =119375% .a. , , -188,79-1.321,40' P Dabei gilt: fB : Interner Zinsfuß p. a. des Investitionsprojektes B; i l : Versuchszinssatz 1 des Investitionsprojektes B p. a.; i 2 : Versuchszinssatz 2 des Investitionsprojektes B p. a.; CO) : Kapitalwert des Investitionsprojektes B zum Zeitpunkt t = 0 und bei Verwendung des Versuchszinssatzes 1 p. a.; CO2 : Kapitalwert des Investitionsprojektes B zum Zeitpunkt t = 0 und bei Verwendung des Versuchszinssatzes 2 p. a. Da der interne Zinsfuß des Investitionsprojektes B höher als der des Investitionsprojektes A ist und auch über dem vom Investor vorgegebenen Vergleichszinssatz liegt, sollte sich der Investor für Investitionsprojekt B entscheiden. Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 97 Teilaufgabe b) Der Grund für den Wechsel der Vorteilhaftigkeit der beiden Investitionsprojekte ist in den unterschiedlichen Wiederanlageprämissen zu sehen. Während in Aufgabe 4.11 Teilaufgabe a) davon ausgegangen wird, dass bei beiden Investitionsprojekten die Wiederanlage zum Kalkulationszinsfuß in Höhe von 10 % p. a. erfolgt, wird in Aufgabe 4.20 Teilaufgabe a) unterstellt, dass die Wiederanlage bei Investitionsprojekt A zu 11,7909 % p. a. und bei Investitionsprojekt B zu 11,9375 % p. a. erfolgt. Bei sich schneidenden Kapitalwertfunktionen kann es demnach - wie im vorliegenden Fall - zu einem Wechsel der Vorteilhaftigkeit der Investitionsprojekte kommen. Dies setzt allerdings voraus, dass sich der zum Vergleich herangezogene Kalkulationszinsfuß links vom Schnittpunkt der sich schneidenden Kapitalwertfunktionen befindet. Aufgabe 4.21: Methode des internen Zinsfußes Gegeben sind die folgenden Zahlungen in den Perioden 0 bis 5: Periode 0 I 2 3 4 5 Einzahlungen 10.000 20.000 10.000 50.000 30.000 20.000 inEUR Auszahlungen 50.000 10.000 10.000 30.000 15.000 12.000 inEUR Berechnen Sie den internen Zinsfuß mithilfe der Methode der linearen Interpolation! Wählen Sie als Versuchszinssätze a) 6 % p. a. bzw. 13 % p. a. b) 7%p.a.bzw.12%p.a. c) 8 % p. a. bzw. 11 % p. a. d) 9 % p.a. bzw. 10 % p.a. Lösung Teilaufgabe a) 9,6511 % p. a. Teilaufgabe b) 9,5248 % p. a. 98 Teilaufgabe c) 9,4405 % p. a. Teilaufgabe d) 9,3984 % p. a. Investition in Übungen 4.5 Dynamische Amortisationsrechnung Aufgabe 4.22: Dynamische Amortisationsrechnung Die Gummi AG (siehe Aufgabe 4.9 auf Seite 72) strebt eine Erweiterung der Gummiproduktion an und möchte zwei in Frage kommende Maschinen mit der dynamischen Amortisationsrechnung vergleichen. Der Kalkulationszinssatz beträgt 10 % p. a. t 0 1 2 3 4 5 Z, A (TEUR) - 300 85 90 80 80 70 Zl B (TEUR) -230 95 95 95 - a) Für welches Investitionsobjekt sollte sich die Gummi AG entscheiden, wenn sie zur Beurteilung der Vorteilhaftigkeit die dynamische Amortisationsdauer zugrunde legt? b) Welche Bedeutung sollte ein Entscheidungsträger Ihrer Meinung nach der dynamischen Amortisationsdauer beimessen? Lösung Teilaufgabe a) Bei der Berechnung der dynamischen Amortisationsdauer wird nach dem Zeitraum gesucht, in dem die Summe der Barwerte der Einzahlungsüberschüsse die Anschaffungsauszahlung deckt. Für diesen mit der Periode w endenden Zeitraum gilt folgende Gleichung: , Co = -Ao + i: Zt . (1 + i)-t ~ 0 {=} An = i: Zt . (1 + i)-t t~l t~l Dabei gilt: Zt: Differenz zwischen den Ein- und Auszahlungen der Periode t mit folgender Wirkung: