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5.1 Die Bestimmung der optimalen Nutzungsdauer in:

Hartmut Bieg, Heinz Kußmaul, Gerd Waschbusch

Investition in Übungen, page 160 - 167

2. Edition 2009, ISBN print: 978-3-8006-3659-4, ISBN online: 978-3-8006-4881-8, https://doi.org/10.15358/9783800648818_160

Series: Vahlens Übungsbücher der Wirtschafts- und Sozialwissenschaften

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5 Verfahren zur Ermittlung der optimalen Nutzungsdauer und des optimalen Ersatzzeitpunktes von Investitionen 5.1 Die Bestimmung der optimalen Nutzungsdauer Aufgabe 5.1: Optimale Nutzungsdauer Der Investor Günther Geldweg hat die Möglichkeit, auf einem vollkommenen Kapitalmarkt (Kalkulationszinssatz i = 10 % p. a.) ein Investitionsprojekt zu realisieren, für das die folgenden Daten gelten: tbzw. 0 1 2 3 4 5 6 m Zt -10.000 5.500 4.500 1.000 1.000 800 700 (EUR) L m 10.000 6.000 4.000 3.000 2.000 1.000 0 (EUR) Alle Zahlungen sollen am Ende der jeweiligen Periode t (t = 0, I, ... , m) erfolgen. Bei einer Veräußerung des Investitionsprojektes in einer Periode t erhält der Investor also sowohl den Einzahlungsüberschuss dieser Periode (Zt) als auch den für diese Periode vorgesehenen Liquidationserlös nach einer Nutzungsdauer von m Perioden (Lm). a) Berechnen Sie die optimale Nutzungsdauer, wenn der Investor einen (beschränkten) Planungshorizont von 6 Jahren hat! b) Berechnen Sie die optimale Nutzungsdauer, wenn der Investor einen unendlichen Planungshorizont hat und eine fortwährende Ersatzinvestition des gleichen Investitionsprojektes geplant ist! Lösung Teilaufgabe a) Berechnung der Kapitalwerte Co(m) in Abhängigkeit der Nutzungsdauer mund Bestimmung der optimalen Nutzungsdauer, wenn der Investor einen (beschränkten) Planungshorizont von 6 Jahren hat (Angaben in EUR): 140 Investition in Übungen ~ 0 1 2 3 4 5 6 Co(m) 0 0 0 1 - 10.000 11.500 454,55 2 -10.000 5.500 8.500 2.024,79 3 - 10.000 5.500 4.500 4.000 1.724,27 4 -10.000 5.500 4.500 1.000 3.000 1.519,36 5 - 10.000 5.500 4.500 1.000 1.000 1.800 1.270,99 6 -10.000 5.500 4.500 1.000 1.000 800 700 1.045,21 Die optimale Nutzungsdauer bei einem (beschränkten) Planungshorizont von 6 Jahren beträgt 2 Jahre. Dabei gilt: Co(m): Kapitalwert des Investitionsprojektes bei rn-jähriger Nutzung; m: Nutzungsdauer des Investitionsprojektes; t: Periode (t = 0, 1,2, ... , m). Teilaufgabe b) Berechnung der Kettenkapitalwerte KCo und Bestimmung der optimalen Nutzungsdauer, wenn der Investor einen unendlichen Planungshorizont hat und eine fortwährende Ersatzinvestition des gleichen Investitionsprojektes geplant ist (Angaben in EUR): KWF= Co,m) 0,10·I,lOm Annuität = Annuität m Co(m). KWF KCo=--.- 1,1O m -1 1 1 454,55 1,100000 500,01 5.000,10 2 2.024,79 0,576190 1.166,66 11.666,60 3 1.724,27 0,402115 693,35 6.933,50 4 1.519,36 0,315471 479,31 4.793,10 5 1.270,99 0,263797 335,28 3.352,80 6 1.045,21 0,229607 239,99 2.399,90 Die optimale Nutzungsdauer bei einem unendlichen Planungshorizont und fortwährender Ersatzinvestition des gleichen Investitionsprojektes beträgt ebenfalls 2 Jahre. Optimale Nutzungsdauer und optimaler Ersatzzeitpunkt von Investitionen 141 Dabei gilt: KCo: der Kettenkapitalwert entspricht der Summe aller auf den Zeitpunkt t = 0 abgezinsten Kapitalwerte der einzelnen Investitionsprojekte der unendlichen Investitionskette. Aufgabe 5.2: Optimale Nutzungsdauer Ein Unternehmen plant die einmalige, d. h. nicht zu wiederholende Beschaffung einer neuen Produktionsanlage. Zur Wahl stehen die Anlagen A und B. Aus technischen Gründen ist die Nutzungsdauer der beiden Anlagen jeweils auf maximal 4 Jahre beschränkt. Die Anschaffungsauszahlungen betragen für die Anlage A 96.150 EUR und für die Anlage B 120.000 EUR. Der Kalkulationszinssatz beträgt 10 % p. a. Die im Folgenden angegebenen Einzahlungsüberschüsse und Liquidationserlöse der bei den Anlagen beziehen sich jeweils auf das Ende eines Jahres. Jahr 1 2 3 4 Anlage A Einzahlungsüberschuss (EUR) 50.000 50.000 40.000 10.000 Restwert (EUR) 60.000 30.000 10.000 0 Anlage B Einzahlungsüberschuss (EUR) 40.000 40.000 60.000 50.000 Restwert (EUR) 108.000 84.000 48.000 0 Für die bevorstehenden 4 Jahre ist davon auszugehen, dass mit Ausnahme der Anlagen A und B nur Sach- und Finanzinvestitionen mit einer internen Verzinsung von maximal 10 % p. a. realisierbar sind. a) Bestimmen Sie die optimale Nutzungsdauer für die Anlage A und für die Anlage B! b) Ermitteln Sie die internen Zinsfüße der Anlagen A und Bunter Zugrundelegung der jeweils optimalen Nutzungsdauer! c) Welche der bei den Investitionsalternativen ist unter den in der AufgabensteIlung genannten Voraussetzungen zu wählen? Begründen Sie Ihre Entscheidung! 142 Investition in Übungen Lösung Teilaufgabe a) Ermittlung der optimalen Nutzungsdauer (Entscheidungskriterium: optimaler Kapitalwert Co (m»): AnlageA: o Jahre: Co(O) = 0 EUR 1 Jahr: Co(]) = - 96.150 + (50.000 + 60.000) . 1,1-1 = 3.850 EUR 2 Jahre: CO(2) = -96.150+50.000'1,1-1+(50.000+30.000)'1,1-2 = + 15.420,25 EUR 3 Jahre: CO(3) = - 96.150 + 50.000' 1,1-1 + 50.000' 1,1-2 + (40.000 + 10.000) . 1,1-3 = + 28.192,60 EUR 4 Jahre: CO(4) = - 96.150 + 50.000 . 1,1 1 + 50.000 . 1,1 2 + 40.000' 1,13 + 10.000' 1,1-4 = + 27.509,59 EUR Die optimale Nutzungsdauer der Anlage A beträgt 3 Jahre. Anlage B: o Jahre: Co(O) = 0 EUR 1 Jahr: Co(]) = - 120.000+ 148.000 '1,1-1 = 14.545,46EUR 2 Jahre: CO(2) = -120.000 + 40.000' 1,1-1 + 124.000' 1,1-2 = + 18.842,98 EUR 3 Jahre: CO(3) = -120.000 + 40.000' 1,1-1 + 40.000' 1,1-2 + 108.000' 1,1-3 = + 30.563,49 EUR 4 Jahre: Co (4) = - 120.000 + 40.000 . 1,1-1 + 40.000 . 1,1-2 + 60.000 . 1,1-3 + 50.000' 1,1-4= + 28.651,05 EUR Die optimale Nutzungsdauer der Anlage B beträgt 3 Jahre. Teilaufgabe b) Ermittlung des internen Zinsfußes: AnlageA: Co = - 96.150 + 50.000· (1 + rr] + 50.000· (1 + rr2 + 50.000· (1 + rr3 = 0 Näherungslösung mit Hilfe der linearen Interpolation: i] =10 % p.a.; COI =+28.192,60EUR Optimale Nutzungsdauer und optimaler Ersatzzeitpunkt von Investitionen 143 i 2 =30 % p.a.; CO2 =-5.344,36EUR Dabei gilt: r : Interner Zinsfuß p. a. der Investition; i 1 : Versuchszinssatz 1 p. a. der Investition; i 2 : Versuchszinssatz 2 p. a. der Investition; COl : Kapitalwert der Investition zum Zeitpunkt t = 0 und Verwendung des Versuchszinssatzes 1 p. a. der Investition; CO2 : Kapitalwert der Investition zum Zeitpunkt t = 0 und Verwendung des Versuchszinssatzes 2 p. a. der Investition. r = 0,10- 28.192,60. 0,30 - 0,10 - 5.344,36 - 28.192,60 = 0 10- 28.192 60. 0,20 , , - 33.536,96 = 0,10+ 0,1681 = 0,2681 Der interne Zinsfuß der Anlage A beträgt näherungsweise 26,8129 % p. a. Anlage B: Co = - 120.000 + 40.000 . Cl + rr1 + 40.000 . Cl + rr2 + 108.000 . Cl + rr3 = 0 i I = 10 % p. a.; CO! = + 30.563,49 EUR i 2 =25 % p.a.; CO2 =-7.104,00EUR r = 0,1 0 _ 30.563,49. 0,25 - 0,1 0 - 7.104 - 30.563,49 = 0,1 0 - 30.563,49. 0,15 - 37.667,49 = 0,10 + 0,1217 = 0,2217 Der interne Zinsfuß der Anlage B beträgt näherungs weise 22,1710 % p. a. 144 Investition in Übungen Teilaufgabe c) Auswahl des durchzuführenden Investitionsprojekts: Anlage B sollte angeschafft werden, da sie bei einer dreijährigen Nutzungsdauer einen höheren Kapitalwert erbringt als die Anlage A. Zwar liegt der interne Zinsfuß der Anlage B unter dem der Anlage A, allerdings lässt sich an diesem Beispiel die Untauglichkeit der internen Zinsfußmethode als Entscheidungskriterium demonstrieren. Diese fehlende Tauglichkeit hat ihren Ursprung in den widersprüchlichen Voraussetzungen der internen Zinsfußmethode. Der interne Zinsfuß wird mit dem Kalkulationszinssatz verglichen. Liegt er darüber (was bei den Anlagen A und B erfüllt ist), so gilt die Investition als vorteilhaft. Der Kalkulationszinssatz wird aus Kapitalbeschaffungsmöglichkeiten und/oder aus den Kapitalanlagealternativen des Investors abgeleitet. Die Methode des internen Zinsfußes geht aber von sich widersprechenden Voraussetzungen aus, wenn sie einerseits unterstellt, dass finanzielle Mittel zum Kalkulationszinssatz beschafft bzw. angelegt werden können, andererseits in ihrer Wiederanlageprämisse aber davon ausgeht, eben diese Mittel zum internen Zinsfuß beschaffen oder anlegen zu können. In den hier untersuchten Anlagen wird diese Inkonsequenz noch deutlicher, denn man unterstellt, dass finanzielle Mittel der Anlage A zu 26,81 % p. a., finanzielle Mittel der Anlage B dagegen zu 22,17 % p. a. angelegt bzw. aufgenommen werden können. Da diese Vorgehensweise völlig unrealistisch ist, sollte der Kapitalwertmethode der Vorzug eingeräumt werden. Nach diesem Kriterium ist somit Anlage B zu wählen. Aufgabe 5.3: Optimale Nutzungsdauer35 Ein Textilhersteller möchte eine Maschine, die bei der Herstellung von Oberbekleidung benötigt wird, anschaffen. Außerdem sieht er vor, diese Maschine einmalig durch eine identische zu ersetzen. Die Folgeinvestition hat keinen Nachfolger, da der Textilhersteller damit rechnet, dass die zu fertigende Oberbekleidung nur begrenzt in Mode ist und sich anschließend nicht mehr verkaufen lässt. Die Erst- und Folgeinvestition weisen die folgenden, identischen Daten auf: Die Anschaffungskosten betragen 500.000 EUR, der Kalkulationszinssatz beträgt 7 % p. a. und den relevanten Zeitpunkten der techni- 3S Stark modifiziert entnommen aus Götze. Uwe: Investitionsrechnung: Modelle und Analysen zur Beurteilung von Investitionsvorhaben, 6. Autl., Berlin/Heidelberg 2008, S.241-242. Optimale Nutzungsdauer und optimaler Ersatzzeitpunkt von Investitionen 145 sehen Nutzungsdauer (sechs Perioden) sind die in der nachfolgenden Tabelle aufgeführten Rückflüsse und Liquidationserlöse zuzuordnen. tbzw. m 1 2 3 4 5 6 Rückflüsse (EUR) 150.000 140.000 130.000 120.000 110.000 100.000 Liquidationserlöse 400.000 300.000 250.000 200.000 150.000 100.000 (EUR) Berechnen Sie zunächst die optimale Nutzungsdauer der Folgeinvestition, sodann diejenige der Erstinvestition! Lösung (1) Berechnung der optimalen Nutzungsdauer der Folgeinvestition: tbzw. m -Ao bzw. R t Lm(EUR) co(m) (EUR) (EUR) 0 - 500.000 500.000 0,00 1 150.000 400.000 14.018,69 2 140.000 300.000 24.499,96 3 130.000 250.000 72.661,53 4 120.000 200.000 112.713,53 5 110.000 150.000 145.510,89 6 100.000 100.000 171.831,41 Bei der Folgeinvestition ist eine Nutzungsdauer von 6 Perioden optimal, da dann der maximale Kapitalwert in Höhe von 171.831,41 EUR erzielt wird. Eine Nachfolgeinvestition ist nicht zu berücksichtigen. Dabei gilt: 1: Periode (t = 0, 1,2, ... , m); m: Nutzungsdauer des Investitionsprojekts; Ao: Anschaffungsauszahlung im Zeitpunkt to; R[: Rückfluss im Zeitpunkt t; Lm : Liquidationserlös nach einer Nutzungsdauer von m Perioden; CO(ffi): Kapitalwert bei einer Nutzungsdauer von m Perioden. 146 Investition in Übungen (2) Berechnung der optimalen Nutzungsdauer der Erstinvestition: COlD) der tbzw. m Co(m) der Erst- Folgeinvestition Summe der Kapiinvestition (EUR) (EUR) talwerte (EUR) . (1 + i)m 0 0,00 171.831,41 171.831,41 1 14.018,69 160.590,10 174.608,79 2 24.499,96 150.084,21 174.584,17 3 72.661,53 140.265,62 212.927,15 4 112.713,53 131.089,36 243.802,89 5 145.510,89 122.513,42 268.024,31 6 171.831,41 114.498,53 286.329,94 Die optimale Nutzungsdauer der Erstinvestition beträgt ebenfalls 6 Perioden. 5.2 Die Bestimmung des optimalen Ersatzzeitpunktes Aufgabe 5.4: Optimale Nutzungsdauer und optimaler Ersatzzeitpunkt Skizzieren Sie die bei den Fragestellungen der ex-ante-Entscheidung und der ex-post-Entscheidung im Rahmen der Bestimmung der optimalen Nutzungsdauer bzw. des optimalen Ersatzzeitpunktes von Investitionen! Lösung Fragestellung (1) betrifft das Nutzungsdauerproblem (ex-ante-Entscheidung). Ist die Frage nach der optimalen Nutzungsdauer eines Investitionsobjekts vor dessen Durchführung (ex-ante) zu klären, so lautet sie: Soll ein noch nicht realisiertes Investitionsprojekt 1, 2, 3, ... oder n Perioden lang genutzt werden, oder ist es vorteilhafter, ganz auf die Investition zu verzichten? Fragestellung (2) betrifft das Ersatzproblem (ex-post-Entscheidung). Ist eine Investition bereits realisiert, so stellt sich für den Investor in jeder der folgenden Perioden (ex-post) die Frage nach der Weiterführung oder der Stilllegung der Investition. In diesem Fall lautet die Fragestellung: Soll eine bereits vorhandene Investition noch 1, 2, 3, ... oder n Perioden lang genutzt werden, oder ist es vorteilhafter, die Nutzung sofort zu beenden?

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Zusammenfassung

Investition in Übungen.

Alles zum Thema Investitionen bietet dieses Übungsbuch. Sie erhalten zahlreiche Anhaltspunkte zur Lösung von Investitionsfragen. Die über 140 Übungen mit umfangreichen Lösungen sind der Schlüssel zum Methodenverständnis und die Voraussetzung für den Prüfungserfolg. Damit verfügen Sie über mehr Sicherheit beim Umgang mit den zentralen Verfahren des Investitionsmanagement.