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7 Investitionsprogrammentscheidungen in:

Hartmut Bieg, Heinz Kußmaul, Gerd Waschbusch

Investition in Übungen, page 194 - 219

4. Edition 2021, ISBN print: 978-3-8006-6472-6, ISBN online: 978-3-8006-6473-3, https://doi.org/10.15358/9783800664733-194

Series: Vahlens Übungsbücher der Wirtschafts- und Sozialwissenschaften

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7 Investitionsprogrammentscheidungen 7.1 Grundlagen: Sukzessive und simultane Investitionsprogrammplanung Aufgabe 7.1: Sukzessive und simultane Investitionsprogrammplanung Erläutern Sie die Unterschiede zwischen einer sukzessiven und einer simultanen Investitionsprogrammplanung! Lösung Sukzessive Investitionsprogrammplanung: Im einfachsten Fall besteht das Problem der Investitionsprogrammplanung darin, einen bestimmten Bestand an Finanzierungsmitteln optimal auf eine darum konkurrierende Menge sich gegenseitig nicht ausschließender Investitionsvorhaben aufzuteilen. Die Frage lautet also: Ein Investor verfüge im Zeitpunkt t = 0 über liquide Mittel i. H. v. x EUR und eine Menge von Investitionsanträgen, deren Gesamtbetrag sich auf mehr als x EUR beläuft. Welche Investitionsprojekte sollen realisiert werden und auf welche Vorhaben soll man verzichten? Diese Fragestellung bezeichnet man deswegen als eine sukzessive Investitionsplanung, weil in einem ersten Planungsschritt zunächst die Menge der Finanzmittel festgelegt wird und erst in einem zweiten Planungsschritt eine Auswahl der Investitionsobjekte erfolgt, ohne dass dabei die Ergebnisse des ersten Planungsschrittes, also der Finanzplanung, revidiert werden können. Die Finanzplanung ist in diesem Fall ein Datum für die Investitionsplanung. Eine sukzessive Investitionsplanung führt allerdings häufig zu schlechteren Entscheidungsergebnissen als eine nicht-sukzessive (simultane) Investitionsplanung. Begründung: Unter Umständen verfügt der Investor über so günstige Investitionsmöglichkeiten, dass es sich im ersten Planungsschritt (Finanzplanung) gelohnt hätte, einen größeren Betrag zur Verfügung zu stellen als tatsächlich geschehen. Im entgegengesetzten Fall besitzt der Investor vielleicht so wenige lohnende Investitionsvorhaben, dass es besser gewesen wäre, einen geringeren Betrag zur Verfügung zu stellen. Investitionsprogrammentscheidungen 195 Simultane Investitionsprogrammplanung: Bei dieser Planungstechnik versucht man, die (möglichen) Mängel der sukzessiven Vorgehensweise dadurch zu vermeiden, dass man die einzelnen Teilpläne des Investors (Finanzplan, Investitionsplan, Produktions- und Absatzplan usw.) möglichst harmonisch aufeinander abstimmt und die gegenseitigen Abhängigkeiten (Interdependenzen) zwischen den Teilplänen angemessen berücksichtigt. 7.2 Klassische kapitaltheoretische Modelle zur simultanen Investitions- und Finanzprogrammplanung Aufgabe 7.2: Ein-Perioden-Fall Stellen Sie die Bestimmung des optimalen Investitions- und Finanzierungsprogramms anhand des Ein-Perioden-Falls bei den klassischen kapitaltheoretischen Modellen zur simultanen Investitions- und Finanzplanung im Detail dar! Lösung Die Bestimmung des optimalen Investitions- und Finanzierungsprogramms kann – unter den in der Aufgabenstellung genannten Voraussetzungen (Ein- Perioden-Fall, klassische kapitaltheoretische Modelle, simultane Investitionsund Finanzplanung) – mit einem einfachen Rangordnungsverfahren auf Basis der internen Zinsfüße erfolgen: (1) Berechnung des internen Zinsfußes für jedes Investitionsprojekt. (2) Ordnung der Investitionsprojekte nach der Höhe der internen Zinsfüße, wobei das Investitionsprojekt mit dem größten internen Zinsfuß an die erste Stelle gesetzt wird. Grafisch ergibt sich somit die Kapitalnachfragefunktion. (3) Berechnung des internen Zinsfußes für jedes Finanzierungsprojekt. (4) Ordnung der Finanzierungsprojekte nach der Höhe der internen Zinsfüße, wobei das Finanzierungsprojekt mit dem kleinsten internen Zinsfuß an die erste Stelle gesetzt wird. Grafisch ergibt sich somit die Kapitalangebotsfunktion. 196 Investition in Übungen (5) Ermittlung des optimalen Investitions- und Finanzierungsprogramms aus den beiden Prioritätenlisten; Schritt für Schritt werden so lange Investitionsprojekte in das Investitionsprogramm aufgenommen, bis der interne Zinsfuß des nächsten aufzunehmenden Investitionsprojektes kleiner ist als der interne Zinsfuß (die Kapitalkosten) des nächsten Finanzierungsprojektes. Aufgabe 7.3: Dean-Modell50 Die betriebswirtschaftliche Abteilung der Holzwurm AG ist mit der Planung des optimalen Investitions- und Finanzierungsprogramms für das kommende Jahr beschäftigt. Es stehen vier Investitionsobjekte (P1, P2, P3, P4) mit jeweils einer einjährigen Nutzungsdauer zur Auswahl, für die folgende Anschaffungsauszahlungen in t = 0 und Einzahlungen am Jahresende t = 1 geschätzt werden: Investitionsobjekt Anschaffungsauszahlung in t = 0 (EUR) Einzahlung in t = 1 (EUR) P1 10.400 10.660 P2 12.750 14.280 P3 6.996 7.579 P4 8.500 8.840 Für Investitionszwecke stehen 15.000 EUR an Eigenkapital (EK) zur Verfügung, die, falls sie nicht für Investitionen genutzt werden, zu 3 % p. a. angelegt werden können. Ferner besteht die Möglichkeit, zwei einjährige Kredite (K1, K2) aufzunehmen. Für den Kredit K1, der i. H. v. 5.000 EUR zur Verfügung steht, gilt ein Zins von 4,5 % p. a.; der Zins für den Kredit K2 i. H. v. 20.000 EUR beträgt 7 % p. a. a) Erläutern Sie allgemein, wie mit Hilfe des Dean-Modells das optimale Investitions- und Finanzierungsprogramm ermittelt werden kann! Gehen Sie dabei auch auf die Voraussetzungen des Dean-Modells ein! b) Ermitteln Sie für die obige Situation das optimale Investitions- und Finanzierungsprogramm! 50 Modifiziert entnommen aus Adam, Dietrich: Investitionscontrolling, 3. Aufl., München/Wien 2000, S. 427. Investitionsprogrammentscheidungen 197 Lösung Teilaufgabe a) Die Methode des Capital-Budgeting nach Dean dient der simultanen Bestimmung des optimalen Investitions- und Finanzierungsprogramms. Es können dabei explizit verschiedene Investitions- und Finanzierungsstrategien mit zugehörigen Renditen und Sollzinsen berücksichtigt werden. Vorgehensweise: − Bestimmung der Kapitalnachfragefunktion der Investitionsobjekte: Es wird die interne Verzinsung jedes Investitionsobjekts ermittelt und die Investitionsobjekte werden nach der Höhe ihrer internen Zinsfüße abfallend geordnet. − Bestimmung der Kapitalangebotsfunktion: Die Finanzierungsobjekte werden nach der Höhe ihres Effektivzinses i aufsteigend geordnet. − Ermittlung der Schnittpunktlösung: Kapitalnachfrage- und Kapitalangebotsfunktion werden in einem Koordinatensystem dargestellt, auf dessen Abszisse das „Kapital“ und auf dessen Ordinate „Rendite“ und „Sollzins“ abgetragen werden. Alle Objekte links vom Schnittpunkt der beiden Funktionen sind im Optimalprogramm enthalten. Nur unter folgenden Prämissen ist gewährleistet, dass mit dem Dean-Modell tatsächlich das optimale Investitions- und Finanzierungsprogramm ermittelt wird: − Unabhängigkeit der Investitions- und Finanzierungsobjekte, d. h., es dürfen keine wechselseitigen Ausschlüsse oder sonstigen Koppelungen zwischen den Objekten existieren; − Einperiodigkeit, d. h., alle Investitions- und Finanzierungsobjekte sind nach einer Periode vollständig abgewickelt, ohne dass Auswirkungen auf spätere Perioden existieren; − beliebige Teilbarkeit der Investitions- und Finanzierungsobjekte; − reine Fremdfinanzierung. Teilaufgabe b) Bestimmung der Kapitalnachfragefunktion: Die interne Verzinsung r eines Investitionsobjekts lässt sich bei einer einjährigen Nutzungsdauer nach der folgenden Formel bestimmen: r = Einzahlung (in t = 1) – Auszahlung (in t = 0) Auszahlung (in t = 0) = Einzahlung (in t = 1) Auszahlung (in t = 0) – 1 198 Investition in Übungen Für die Zahlen der Aufgabenstellung ergibt sich: Investitionsobjekt Auszahlung in t = 0 (EUR) Einzahlung in t = 1 (EUR) Differenz (EUR) r P1 10.400 10.660 260 2,5 % p. a. P2 12.750 14.280 1.530 12 % p. a. P3 6.996 7.579 583 8,33 % p. a. P4 8.500 8.840 340 4 % p. a. Geordnet nach abfallendem internen Zinsfuß ergibt sich folgende Reihenfolge der Investitionsobjekte: Investitionsobjekt r Kapitalbedarf in t = 0 (EUR) Kum. Kapitalbedarf in t = 0 (EUR) P2 12 % p. a. 12.750 12.750 P3 8,33 % p. a. 6.996 19.746 P4 4 % p. a. 8.500 28.246 P1 2,5 % p. a. 10.400 38.646 Bestimmung der Kapitalangebotsfunktion: Das Dean-Modell wurde ursprünglich für reine Fremdfinanzierungen entwickelt. Zur Berücksichtigung des Eigenkapitals gibt es allerdings zwei verschiedene Vorschläge: − Das Eigenkapital wird als Finanzierungsobjekt behandelt und in der Kapitalangebotsfunktion mit dem Habenzinssatz angesetzt. − Das Eigenkapital wird in der Kapitalangebotsfunktion mit Finanzierungskosten von Null und in der Kapitalnachfragefunktion mit einer internen Verzinsung in Höhe der Habenzinsen angesetzt. Da in der Aufgabenstellung der Habenzinssatz mit 3 % p. a. kleiner als der kleinste Sollzins mit 4,5 % p. a. ist, ist es unschädlich, das Eigenkapital nur als Finanzierungsobjekt zu behandeln und in die Kapitalangebotsfunktion mit dem Habenzinssatz von 3 % p. a. anzusetzen. Es ergibt sich damit – geordnet nach aufsteigendem Effektivzinssatz – folgende Kapitalangebotsfunktion: Finanzierungsobjekt i Kapitalbetrag in t = 0 (EUR) Kum. Kapitalbetrag (EUR) EK 3 % p. a. 15.000 15.000 K1 4,5 % p. a. 5.000 20.000 K2 7 % p. a. 20.000 40.000 Investitionsprogrammentscheidungen 199 Grafische Darstellung: 10.000 15.000 20.000 30.000 40.000 EK K1 K2 Finanzierungsobjekte 12.750 19.746 28.246 38.646 Investitionsobjekte P1 P4 P3 P2 Kapital (TEUR) 7 4,5 4 3 2,5 8,33 i, r (% p. a.) 12 Abbildung 9: Kapitalangebots- und Kapitalnachfragefunktion Es ist optimal, die Investitionsobjekte P2 und P3 zu verwirklichen. Dazu werden das gesamte Eigenkapital sowie 4.746 EUR von K1 eingesetzt. 200 Investition in Übungen Aufgabe 7.4: Dean-Modell51 Der Zwei-Punkt-OHG stehen im Zeitpunkt t = 0 folgende drei Investitionsmöglichkeiten offen, die jeweils nach genau 1 Jahr (t = 1) abgeschlossen sein werden: Investitionsprojekt Zahlungen in t = 0 Z0 (TEUR) Zahlungen in t = 1 Z1 (TEUR) I − 6,00 + 6,66 II − 5,00 + 5,38 III − 13,00 + 14,30 Außerdem können Beträge in beliebigem Umfang zu 6 % p. a. für 1 Jahr verzinslich angelegt werden. Die Zwei-Punkt-OHG verfügt über 10.000 EUR Eigenkapital. Zudem verfügt sie über eine noch freie Kreditlinie von 16.000 EUR; die Beanspruchung dieses Kredits verursacht Zinskosten von 12 % p. a. Die Zwei-Punkt-OHG will das in t = 1 erzielbare Endvermögen maximieren. a) Welche Investitions- und Finanzierungsentscheidungen sind zu treffen, wenn alle Investitionsprojekte beliebig teilbar sind? Wie hoch ist in diesem Fall der in t = 1 gegenüber der Unterlassensalternative erzielbare Endvermögenszuwachs ∆ Cn? b) Welches sind die optimalen Investitions- und Finanzierungsentscheidungen, wenn die Investitionsprojekte unteilbar sind? Wie hoch ist ∆ Cn nun? Lösung Teilaufgabe a) Die interne Verzinsung rI eines Investitionsprojekts I kann bei einer einjährigen Nutzungsdauer nach der folgenden Formel bestimmt werden: 1 Z Zr I 0 I 1 I −−= 51 Geringfügig modifiziert entnommen aus Bitz, Michael; Ewert, Jürgen: Übungen in Betriebswirtschaftslehre, 8. Aufl., München 2014, S. 146 und S. 442–444. Investitionsprogrammentscheidungen 201 Dabei gilt: Ir : Interner Zinsfuß des Investitionsprojekts I; ZI1 : Einzahlung am Ende der Nutzungsdauer in t = 1; ZI0 : Anschaffungsauszahlung in t = 0; I: Investitionsprojekte 1, 2, ..., n. Beliebige Teilbarkeit der Investitionsprojekte: Investitionsprojekte I Interner Zinsfuß rI Rangfolge P I a.p.%110,111 6,00 6,66 ==− − − 1. P II a.p.%7,60,0761 5,00 5,38 ==− − − 3. P III a.p.%100,101 13,00 14,30 ==− − − 2. Finanzierungsprojekte F Interner Zinsfuß iF Rangfolge Eigenkapital 6 % p. a. 1. Fremdkapital 12 % p. a. 2. Dabei gilt: iF: Interner Zinsfuß des Finanzierungsprojekts F; F: Finanzierungsprojekte 1, 2, …, n. Gemäß der nachfolgenden Abbildung sollten die Investitionsprojekte P I und 13 4 von P III mit Eigenkapital realisiert werden. ∆ Cn = 6,66 + 413 ∙ 14,3 – 10 ∙ 1,06 = 0,46 TEUR bzw. ∆ Cn = 6 ∙ 0,11 – 0,06 + 4 ∙ 0,10 – 0,06 = 0,46 TEUR (= Fläche zwischen Angebots- und Nachfragefunktion links des Schnittpunkts) 202 Investition in Übungen 12 11 6 7,6 rI, iF (% p. a.) 26 i* = 10 6 10 19 Kapital (TEUR) 24 P I P III Eigenkapital P II Fremdkapital i* = 10 % p. a. (endogener Zins) Finanzierungsprojekte Investitionsprojekte Abbildung 10: Bestimmung des optimalen Investitions- und Finanzierungsprogramms anhand der Kapitalnachfrage- und Kapitalangebotskurve Teilaufgabe b) Unteilbarkeit der Investitionsprojekte: Investitionsprojekt I wird mit 10 6 des Eigenkapitals finanziert. TEUR3,0)06,110( 10 6 66,6Cn =⋅⋅−=∆ Investitionsprogrammentscheidungen 203 7.3 Die Ansätze der linearen Programmierung zur simultanen Investitions- und Finanzprogrammplanung Aufgabe 7.5: Simultane Investitions- und Finanzprogrammplanung52 Die Zeit AG soll in 3 Jahren liquidiert werden; bis dahin könnten noch die durch folgende Zahlungsreihen gekennzeichneten Investitionsprojekte i = 1, 2, 3, 4 durchgeführt werden (Beträge in TEUR): i/t 0 1 2 3 1 2 3 4 – 100 – 100 – – + 20 + 100 – 130 – + 20 + 10 + 100 – 100 + 100 + 10 + 60 + 120 In den Zeitpunkten t = 0, 1, 2 können jeweils einjährige Kredite zu 10 % p. a. aufgenommen werden, allerdings jeweils höchstens bis zu einem Maximalbetrag von 100 TEUR. Außerdem können in t = 0 und t = 1 jeweils nach 2 Jahren zu tilgende Kredite in beliebiger Höhe mit einem jährlich fälligen Zins von 8 % p. a. aufgenommen werden. Das Gesamtausmaß der Verschuldung darf allerdings in keinem Zeitpunkt ein Volumen von 150 TEUR überschreiten. Freie Mittel können jederzeit zu 5 % p. a. für 1 Jahr angelegt werden. a) Formulieren Sie ein lineares Programm zur Bestimmung der Kombination von Investitions- und Finanzierungsprojekten, die zu der höchsten Schlussentnahme in t = 3 führt! Gehen Sie davon aus, dass die Investitionsprojekte auch zu beliebigen Bruchteilen, höchstens jedoch genau einmal durchgeführt werden können. b) Überprüfen Sie, welche der folgenden Investitions- und Finanzierungsteilpläne realisierbar sind: (1) Realisierung der Investitionsprojekte 1 und 2. 52 Geringfügig modifiziert entnommen aus Bitz, Michael; Ewert, Jürgen: Übungen in Betriebswirtschaftslehre, 8. Aufl., München 2014, S. 148–149 und S. 449–451. 204 Investition in Übungen (2) Durchführung der Investitionsprojekte 1, 3 und 4; Aufnahme eines zweijährigen Kredits über 150 TEUR in t = 0; Anlage etwaiger Überschüsse zu 5 % p. a. (3) Durchführung der Investitionsprojekte 2, 3 und 4 bei gleicher Finanzierung wie in (2). c) Wie ändert sich der gemäß Teilaufgabe a) formulierte Programmansatz, wenn als Zielsetzung angestrebt wird, in den Zeitpunkten t = 1, 2, 3 jeweils den gleichen möglichst hohen Betrag zu entnehmen? Lösung Teilaufgabe a) Die den Investitionsprojekten entsprechenden Aktionsvariablen bezeichnen wir mit xi; die den Kreditmöglichkeiten entsprechenden mit y01 bei Kreditaufnahme in t = 0 und Tilgung in t = 1, y02 bei Aufnahme in t = 0 und Tilgung in t = 2 etc. Entsprechend sind die der Zwischenanlage zugehörigen Variablen mit x01, x12 und x23 definiert. Der Betrag der Schlussentnahme (= Endvermögen) wird mit EV bezeichnet. Der lineare Programmansatz hat dann folgendes Aussehen: Die Finanzrestriktionen für t = 0, 1, 2 haben grundsätzlich die Form „Einzahlungen ≥ Auszahlungen“, also gilt: t = 0: y01 + y02 ≥ 100x1 + 100x2 + x01 t = 1: y12 + y13 + 20x1 + 100x2 + 1,05x01 ≥ 1,1y01 + 0,08y02 + 130x3 + x12 Erläuterungen: In der Finanzrestriktion für t = 1 sind zunächst links die aus möglichen Kreditaufnahmen resultierenden Einzahlungen aufgeführt, rechts die für Zins und Tilgung (soweit fällig) der in t = 0 aufgenommenen Kredite anfallenden Auszahlungen. Darüber hinaus sind in der Finanzrestriktion für t = 1 links die aus den in t = 0 eingeleiteten Investitionen (einschließlich Zwischenanlage) resultierenden Einzahlungen aufgeführt, rechts die für etwaige neue Investitionen (einschließlich neuer Zwischenanlage) notwendigen Auszahlungen. t = 2: y23 + 20x1 + 10x2 + 100x3 + 1,05x12 ≥ 1,08y02 + 1,1y12 + 0,08y13 + 100x4 + x23 Der Aufbau der Finanzrestriktion für t = 2 erfolgt analog der für t = 1 formulierten Nebenbedingung. Investitionsprogrammentscheidungen 205 Da die Projekte nicht in unbegrenztem Ausmaß durchgeführt werden können, gelten außerdem folgende Projektrestriktionen: x1 ≤ 1; x2 ≤ 1; x3 ≤ 1; x4 ≤ 1; y01 ≤ 100; y12 ≤ 100; y23 ≤ 100; y01 + y02 ≤ 150; y02 + y12 + y13 ≤ 150; y13 + y23 ≤ 150. Erläuterungen: Die ersten beiden Projektrestriktionen bringen jeweils die projektspezifischen Begrenzungen des Realisierungsniveaus der Investitionsprojekte und der kurzfristigen (einjährigen) Kreditmöglichkeiten zum Ausdruck. In den letzten drei Projektrestriktionen wird demgegenüber verlangt, dass die Gesamtheit der in Anspruch genommenen Kredite in keinem Zeitpunkt das Limit von 150 TEUR übersteigt. Daneben unterliegen alle Aktionsvariablen den üblichen Nicht-Negativitätsbedingungen. Als Zielfunktion schließlich ist der in t = 3 erzielbare Überschuss der Einzahlungen über die Auszahlungen zu maximieren, also: EV = (100x1 + 10x2 + 60x3 + 120x4 + 1,05x23) – (1,1y23 + 1,08y13)→ max! Teilaufgabe b) Zur Beantwortung der Frage ist zu überprüfen, ob die den angegebenen Investitions- und Finanzierungsplänen entsprechenden Werte der Aktionsvariablen den unter Teilaufgabe a) aufgeführten Finanz- und Projektrestriktionen entsprechen. (1) Diesem Plan zufolge sollte x1 = 1 und x2 = 1 gelten. Setzt man nun für die Zwischenanlage x01 = 0, so müsste für die Finanzrestriktion in t = 0 gelten: y01 + y02 ≥ 200. Dem steht jedoch die Projektrestriktion y01 + y02 ≤ 150 entgegen, d. h., die im Zeitpunkt t = 0 notwendig werdende Kreditaufnahme von 200 TEUR ist angesichts der bestehenden Verschuldungsgrenze nicht realisierbar. 206 Investition in Übungen (2) Diesem Plan zufolge sollte gelten: x1 = 1; x2 = 0; x3 = 1; x4 = 1; y02 = 150. Dabei impliziert der für y02 angesetzte Wert zum einen für t = 0 eine Zwischenanlage von x01 = 50 und – angesichts der bestehenden Kreditrestriktionen – zum anderen, dass y01 = 0, y12 = 0 und y13 = 0 gelten muss. Setzen wir diese Werte nun in die Finanzrestriktionen ein, so ergibt sich: t = 0: 0 + 150 ≥ 100 + 0 + 50 (zulässige Finanzrestriktion) t = 1: 0 + 0 + 20 + 0 + 52,5 ≥ 0 + 12 + 130 + x12 → 72,5 ≥ 142 + x12 Diese Relation könnte aber nur für einen negativen Wert von x12 erfüllt sein, d. h., wenn noch weitere Geldaufnahmemöglichkeiten bestünden. Dies ist jedoch de facto nicht der Fall. Mithin ist auch dieses Investitionsund Finanzierungsprogramm unzulässig, da es den bestehenden Finanzierungsrahmen sprengen würde. (3) Nach diesem Plan würde gelten: x1 = 0; x2 = 1; x3 = 1; x4 = 1; x01 = 50; y01 = 0; y02 = 150; y12 = 0; y13 = 0. Dementsprechend ergibt sich für die Finanzrestriktionen: t = 0: 0 + 150 ≥ 0 + 100 + 50 (zulässige Finanzrestriktion) t = 1: 0 + 0 + 0 + 100 + 52,5 ≥ 0 + 12 + 130 + x12 → 152,5 ≥ 142 + x12 Für den zulässigen Wert von x12 = 10,5 ist diese Restriktion offenbar gerade als Gleichung erfüllt. Rechnet man mit diesem Wert für x12 weiter, so ergibt sich: t = 2: y23 + 0 + 10 + 100 + 11,025 ≥ 162 + 0 + 0 +100 + x23 → y23 + 121,025 ≥ 262 + x23 Setzt man x23 = 0, so ist diese Restriktion für y23 = 140,975 gerade als Gleichung erfüllt. Dieser Wert, den y23 mindestens annehmen müsste, verletzt jedoch die für die kurzfristigen Kredite grundsätzlich geltende Grenze (y23 ≤ 100). Mithin ist auch dieses Investitions- und Finanzierungsprogramm unzulässig, da es ebenfalls die bestehenden Finanzrestriktionen verletzt. Investitionsprogrammentscheidungen 207 Teilaufgabe c) Bezeichnet man den für die Zeitpunkte t = 1, 2, 3 vorgesehenen Ausschüttungsbetrag mit c, so sind die Finanzrestriktionen und die Zielfunktion wie folgt zu modifizieren: t = 0: wie unter Teilaufgabe a) t = 1: c = (y12 + y13) + (20x1 + 100x2 + 1,05x01) – (1,1y01 + 0,08y02) – (130x3 + x12) t = 2: c = y23 + (20x1+ 10x2+ 100x3 + 1,05x12) – (1,08y02 + 1,1y12+ 0,08y13) – (100x4 + x23) t = 3: c = (100x1 + 10x2 + 60x3 + 120x4 + 1,05x23) – (1,1y23 + 1,08y13) Zielfunktion: c → max! Die Projektrestriktionen bleiben unverändert gültig. Aufgabe 7.6: Modell von Albach53 Die Medien AG möchte für ihre beiden Produkte „DVD-Rohlinge“ und „CD- Rohlinge“ das Investitions- und Finanzierungsprogramm mit Hilfe des Modells von Albach simultan planen. Drei Investitionsalternativen und zwei Finanzierungsmöglichkeiten stehen der Medien AG zur Verfügung. Die Planung soll nach 3 Jahren abgeschlossen sein. Investitionsobjekte: Beträge in EUR t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 Kapitalwert (cj) Anlage I Anlage II Anlage III – 70.000 – 35.000 – 50.000 35.000 15.000 23.000 30.000 25.000 23.000 30.000 20.000 30.000 9.151,01 14.323,82 12.456,80 Finanzierungsobjekte: Höchstgrenze (EUR) Verzinsung (% p. a.) Kredit A Kredit B 300.000 250.000 13 11 53 Modifiziert entnommen aus Bieg, Hartmut; Kußmaul, Heinz; Waschbusch, Gerd: Investition, 3. Aufl., München 2016, S. 225–230; Götze, Uwe: Investitionsrechnung, 7. Aufl., Berlin/Heidelberg 2014, S. 326–330. 208 Investition in Übungen Bei den Krediten erfolgen die Einzahlungen jeweils in voller Höhe in t = 0, Tilgungen und Zins- bzw. Zinseszinszahlungen jeweils im Zeitpunkt t = 3. Mit den Anlagen I und II können die DVD-Rohlinge hergestellt werden und mit der Anlage III die CD-Rohlinge. Die geplanten Stückzahlen pro Jahr und pro Einheit eines Investitionsobjekts sowie die Absatzgrenzen lauten für jede Periode: Investitionsobjekt Stückzahl pro Einheit des Investitionsobjekts (ME/Jahr) Produkt Absatzgrenze für das jeweilige Produkt (ME/Jahr) Anlage I Anlage II 7.500 2.000 DVD-Rohlinge 40.000 Anlage III 10.000 CD-Rohlinge 50.000 Weiterhin ist zu beachten: − Das Investitionsobjekt II soll höchstens 3mal verwirklicht werden. − Es sind nur ganze Einheiten von Investitionsobjekten zu realisieren. − In t = 0 stehen 20.000 EUR an Eigenmitteln zur Verfügung. − Der Kalkulationszinssatz beträgt 10 % p. a. Formulieren Sie in Anlehnung an das Modell von Albach ein optimales Investitions- und Finanzierungsprogramm! Lösung Definition der zu verwendenden Variablen und Parameter: − Variablen: xj: Anzahl der Einheiten des Investitionsobjekts j = 1, 2, 3; yi: Anzahl der Einheiten des Finanzierungsobjekts i = 1, 2. − Parameter: cj: Kapitalwert je Einheit des Investitionsobjekts j = 1, 2, 3; vi: Kapitalwert je Einheit des Finanzierungsobjekts i = 1, 2. Zunächst müssen die Kapitalwerte der Investitions- und Finanzierungsobjekte berechnet werden. Die Kapitalwerte der Investitionsobjekte (cj) sind bereits in der ersten Datentabelle der Aufgabenstellung enthalten. Die Berechnung der Kapitalwerte für die Finanzierungsobjekte (vi) wird im Folgenden am Beispiel des Finanzierungsobjekts I (Kredit A) erläutert: Investitionsprogrammentscheidungen 209 Erfolgt im Zeitpunkt t = 0 eine Einzahlung aus Kredit A i. H. v. 1 EUR, so beträgt die zugehörige Auszahlung im Zeitpunkt t = 3 für Kredit A 1 EUR ∙ 1,133 = 1,442897 EUR. Der auf 1 EUR bezogene Kapitalwert des Finanzierungsobjekts I (v1) lässt sich dann wie folgt berechnen: v1 = 1 – (1 ∙ 1,13 3) ∙ 1,1–3 = – 0,084070 Für v2 ergibt sich: v2 = 1 – (1 ∙ 1,11 3) ∙ 1,1–3 = – 0,027521 Nun kann die Zielfunktion formuliert werden: Zielfunktion: 9.151,01 ∙ x1 + 14.323,82 ∙ x2 + 12.456,80 ∙ x3 – 0,084070 ∙ y1 – 0,027521 ∙ y2 → max! Liquiditätsrestriktionen: t = 0: 70.000 ∙ x1 + 35.000 ∙ x2 + 50.000 ∙ x3 – y1 – y2 ≤ 20.000 Für t = 1 ergibt sich folgende Liquiditätsnebenbedingung: 70.000 + –35.000 ∙ x1 + 35.000 + –15.000 ∙ x2 + 50.000 + –23.000 ∙ x3 – y1 – y2 ≤ 20.000 → 35.000 ∙ x1 + 20.000 ∙ x2 + 27.000 ∙ x3 – y1 – y2 ≤ 20.000 Für die nachfolgenden Zeitpunkte lassen sich die Liquiditätsnebenbedingungen analog bestimmen: t = 2: 5.000 ∙ x1 – 5.000 ∙ x2 + 4.000 ∙ x3 – y1 – y2 ≤ 20.000 t = 3: –25.000 ∙ x1 – 25.000 ∙ x2 + 26.000 ∙ x3 + 0,442897 ∙ y1 + 0,367631 ∙ y2 ≤ 20.000 Produktions- bzw. Absatzbedingungen: 7.500 ∙ x1 – 2.000 ∙ x2 ≤ 40.000 10.000 ∙ x3 ≤ 50.000 Projektbedingungen: 000.250y 000.300y 3x 2 1 2 ≤ ≤ ≤ 210 Investition in Übungen Nichtnegativitätsbedingungen: 0x j ≥ für j = 1, 2, 3 0y i ≥ für i = 1, 2 Aufgabe 7.7: Modell von Hax und Weingartner54 Einem Investor stehen vier sich nicht gegenseitig ausschließende Investitionsalternativen zur Auswahl. Zur Finanzierung dieser Investitionsobjekte stehen zum Zeitpunkt t = 0 Eigenmittel i. H. v. 50.000 EUR zur Verfügung. Darüber hinaus können zur Finanzierung der Investitionsobjekte zwei Bankkredite zu bestimmten Konditionen aufgenommen werden. Die Zahlungsreihen der jeweiligen Investitionsobjekte, die Zinssätze sowie die maximalen Kreditaufnahmebeträge können den beiden folgenden Tabellen entnommen werden: Investitionsobjekte Nettozahlungen (EUR) t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 t = 4 Objekt 1 – 90.000 45.000 40.000 40.000 — Objekt 2 – 45.000 24.000 23.000 24.000 — Objekt 3 – 80.000 35.000 35.000 40.000 Objekt 4 – 170.000 75.000 80.000 Finanzierungsobjekte Zinssatz (% p. a.) Max. Kreditaufnahmebetrag (EUR) Kredit 1 14 1.350.000 Kredit 2 11 800.000 Bei den Finanzierungsobjekten gilt es, folgende Besonderheiten zu beachten: Bei Kredit 1 findet die Einzahlung in t = 0 statt, die Zinszahlungen erfolgen jeweils am Jahresende, die Tilgung hingegen in t = 3. Kredit 2 führt in t = 1 zu einer Einzahlung, wobei allerdings ein Disagio von 5 % den Berechnungen zugrunde zu legen ist. Zinsen, Zinseszinsen und die Tilgung stehen bei dieser Finanzierungsalternative in t = 4 zur Zahlung an. Mit Hilfe der Investitionsobjekte 1 und 2 kann Produkt A gefertigt werden, mit den Investitionsobjekten 3 und 4 Produkt B. Die geplanten Stückzahlen sowie die im Planungszeitraum vorgegebenen Absatzhöchstgrenzen lauten: 54 In Anlehnung an Götze, Uwe: Investitionsrechnung, 7. Aufl., Berlin/Heidelberg 2014, S. 334–342. Investitionsprogrammentscheidungen 211 Investitionsobjekte Stückzahl pro Periode Produktarten Absatzhöchstgrenze pro Periode Objekt 1 16.000 A 70.000 Objekt 2 4.500 A Objekt 3 17.500 B 130.000 Objekt 4 20.000 B Des Weiteren ist zu beachten, dass zum einen alle vier Investitionsobjekte unteilbare Einheiten darstellen und zum anderen die Investitionsobjekte 1 und 2 bzw. 3 und 4 jeweils in der gleichen Anzahl zu realisieren sind. a) Formulieren Sie zu obigem Problem ein Lineares Programm gemäß dem Modell von Hax und Weingartner unter der Zielsetzung der Maximierung des Vermögensendwerts, wenn Finanzmittelüberschüsse jeweils für 1 Jahr zu einem Zinssatz von 8 % p. a. (Finanzinvestition) angelegt werden können! b) Wie verändert sich das erstellte Lineare Programm, wenn es folgende Modifikationen zu beachten gilt (die folgenden Teilaufgaben sind allesamt isoliert zu betrachten): (1) Sämtliche Sachinvestitionsobjekte dürfen maximal einmal realisiert werden. (2) Die Laufzeit von Kredit 1 beträgt lediglich 2 Jahre. (3) Die überschüssigen Finanzmittel dürfen in jeder Periode höchstens bis zu einem Betrag von 200.000 EUR angelegt werden. Lösung Teilaufgabe a) Der Vermögensendwert stellt den in t = 4 (als letzte im Planungszeitraum berücksichtigte Periode) erwirtschafteten Zahlungsmittelüberschuss dar. In einem ersten Schritt sind zunächst die im Linearen Programm (LP) verwendeten Variablen zu definieren: xj: Anzahl der realisierten Einheiten des jeweiligen Investitionsobjekts j (j = 1, ..., 4); yi: Umfang der Inanspruchnahme des Kredits i (i = 1, 2); x5t: Umfang der zum Zeitpunkt t (t = 0, ..., 3) realisierten kurzfristigen Investitionsmöglichkeit 5 (Finanzinvestition). 212 Investition in Übungen Nach der Variablendefinition ist es sinnvoll, die zu den verschiedenen Zeitpunkten anfallenden Ein- und Auszahlungen pro Investitions- und Finanzierungsobjekt sowie die zur freien Disposition stehenden Eigenmittel nochmals im Zeitablauf darzustellen. Nettozahlungen (EUR) t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 t = 4 Objekt 1 – 90.000 45.000 40.000 40.000 — Objekt 2 – 45.000 24.000 23.000 24.000 — Objekt 3 — – 80.000 35.000 35.000 40.000 Objekt 4 — — – 170.000 75.000 80.000 Kredit 1 1 – 0,14 – 0,14 – 1,14 — Kredit 2 — 0,95 — — – 1,367631 Eigenmittel 50.000 — — — — Als Zielfunktionswert soll der Vermögensendwert dienen, der als positive Komponenten die zum Zeitpunkt t = 4 erwirtschafteten Einzahlungsüberschüsse der Objekte 3 und 4 und die aufgezinste kurzfristige Finanzinvestition aus Periode t = 3 umfasst. Dem gegenüber steht der zu leistende Kapitaldienst von Kredit 2. Somit lautet die zu maximierende Zielfunktion: 40.000 ∙ x3 + 80.000 ∙ x4 + 1,08 ∙ x53 – 1,367631 ∙ y2 → max! Die wichtigste Nebenbedingung, nämlich die Wahrung der Liquidität in allen Perioden des Planungszeitraums, muss derart formuliert werden, dass in jeder Periode t (t = 0, ..., 3) die Summe der auftretenden Auszahlungsüberschüsse (Kapitalbedarf) maximal so groß ist wie die in derselben Periode zur freien Disposition stehenden Eigenmittel zuzüglich etwaiger aufgenommener Kredite (Kapitaldeckung) und Einzahlungsüberschüsse der einzelnen Investitionsobjekte. Daraus lässt sich für den Zeitpunkt t = 0 folgende Liquiditätsrestriktion ableiten: 90.000 ∙ x1 + 45.000 ∙ x2 + x50 = 50.000 + y1 In der Periode 2 besteht – bei einer Aufnahme von Kredit 1 in t = 1 – ein Kapitalbedarf i. H. v. 0,14 EUR pro EUR an aufgenommenem Fremdkapital, bei Realisation von Objekt 3 ein Kapitalbedarf von 80.000 EUR pro Einheit des Objektes 3 sowie die Möglichkeit, Finanzmittelüberschüsse für ein Jahr zu 8 % p. a. anzulegen. Demgegenüber steht als Kapitaldeckungsbetrag die Summe aus den jeweiligen Einzahlungsüberschüssen der Investitionsobjekte 1 und 2, dem erhaltenen verzinsten Finanzmittelüberschuss aus t = 0 und der Aufnahmemöglichkeit von Kredit 2 zur Verfügung: Investitionsprogrammentscheidungen 213 Kapitalbedarf: 0,14 ∙ y1 + 80.000 ∙ x3 + x51 Kapitaldeckung: 45.000 ∙ x1 + 24.000 ∙ x2 + 1,08 ∙ x50 + 0,95 ∙ y2 Um das finanzielle Gleichgewicht in t = 1 aufrecht zu erhalten, muss der Kapitalbedarf dem Kapitaldeckungsbetrag entsprechen. Man erhält somit für t = 1 folgende Liquiditätsrestriktion: 0,14 ∙ y1 + 80.000 ∙ x3 + x51 = 45.000 ∙ x1 + 24.000 ∙ x2 + 1,08 ∙ x50 + 0,95 ∙ y2 Entsprechend lauten die Liquiditätsnebenbedingungen für die Perioden t = 2 und t = 3 wie folgt: 0,14 ∙ y1 + 170.000 ∙ x4 + x52 = 40.000 ∙ x1 + 23.000 ∙ x2 + 35.000 ∙ x4 + 1,08 ∙ x51 1,14 ∙ y1 + x53 = 40.000 ∙ x1 + 24.000 ∙ x2 + 35.000 ∙ x3 + 75.000 ∙ x4 + 1,08 ∙ x52 In zwei weiteren Restriktionen ist nun das vorgegebene Produktionsprogramm zu berücksichtigen. Die mit der Investitionsprogrammentscheidung verbundene Herstellung der Produktarten A und B darf die vorgegebenen Absatzhöchstmengen nicht überschreiten. 16.000 ∙ x1 + 4.500 ∙ x2 ≤ 70.000 17.500 ∙ x3 + 20.000 ∙ x4 ≤ 130.000 Da die Objekte 1 und 2 bzw. 3 und 4 jeweils in derselben Anzahl realisiert werden müssen, sind die folgenden beiden Nebenbedingungen in das LP aufzunehmen: x1 = x2 x3 = x4 Die Unteilbarkeit der Investitionsobjekte ist im LP derart zu berücksichtigen, dass die Variablen xj (j = 1, ..., 4) nur aus der Menge der natürlichen Zahlen (einschließlich Null) stammen dürfen. x j ∈ N0 für alle j = 1, …, 4 Darüber hinaus sind die Kreditaufnahmebegrenzungen der Finanzierungsobjekte zu berücksichtigen, für die außerdem die Nichtnegativitätsbedingung gelten muss. Es wird beliebige Teilbarkeit der Kredite unterstellt. Analoges ist für die jeweiligen kurzfristigen Finanzinvestitionen zu formulieren: y1 ≤ 1.350.000 y2 ≤ 800.000 y1, y2 ≥ 0 x5t ≥ 0 für alle t = 0, …, 3 Zusammenfassend lässt sich das LP somit wie folgt darstellen: (1) 25343 y367631,1x08,1x000.80x000.40 ⋅−⋅+⋅+⋅ → max! 214 Investition in Übungen (2) 15021 y000.50xx000.45x000.90 +=+⋅+⋅ (3) 250215131 y95,0x08,1x000.24x000.45xx000.80y14,0 ⋅+⋅+⋅+⋅=+⋅+⋅ (4) 514215241 x08,1x000.35x000.23x000.40xx000.170y14,0 ⋅+⋅+⋅+⋅=+⋅+⋅ (5) 524321531 x08,1x000.75x000.35x000.24x000.40xy14,1 ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=+⋅ (6) 000.70x500.4x000.16 21 ≤⋅+⋅ (7) 000.130x000.20x500.17 43 ≤⋅+⋅ (8) 21 xx = (9) 43 xx = (10) 000.350.1y1 ≤ (11) 000.800y 2 ≤ (12) 0y,y 21 ≥ (13) 3 ..., 0, tallefür 0x 5t =≥ (14) 4 ..., 1,j allefür N x 0j =∈ Teilaufgabe b) (1) In dieser Teilaufgabe sind zwei Lösungsansätze denkbar: Lösungsansatz 1: Zusätzlich zu obigem LP aus Teilaufgabe a) sind folgende Restriktionen zu formulieren: (15) 1x1 ≤ (16) 1x 2 ≤ (17) 1x 3 ≤ (18) 1x 4 ≤ Hinweis: Grundsätzlich reichen die Bedingungen (15) und (17) aus, da (8) und (9) weiter gelten. Investitionsprogrammentscheidungen 215 Lösungsansatz 2: Die im ersten Lösungsansatz formulierten zusätzlichen Gleichungen (15) bis (18) sowie Gleichung (14) entfallen, wenn sämtliche xj (j = 1, ..., 4) als Binärvariablen definiert werden. Hierzu muss die Variablendefinition geändert werden. xj = für alle j = 1, …, 4 (2) Die Änderung der Laufzeit von Kredit 1 wirkt sich auf die die Liquidität berücksichtigenden Gleichungen (4) und (5) in t = 2 und t = 3 aus: Die Liquiditätsrestriktionen in t = 2 und t = 3 lauten modifiziert: (4´) 514215241 x08,1x000.35x000.23x000.40xx000.170y14,1 ⋅+⋅+⋅+⋅=+⋅+⋅ (5´) 52432153 x08,1x000.75x000.35x000.24x000.40x ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅= (3) Zusätzlich zu obigem LP aus Teilaufgabe a) sind folgende Restriktionen zu formulieren, die der Beschränkung des Kapitalmarktes Rechnung tragen: (15) 000.200x 50 ≤ (16) 000.200x 51 ≤ (17) 000.200x 52 ≤ (18) 000.200x 53 ≤ Des Weiteren ist zu beachten, dass die bisher formulierten Liquiditätsgleichungen (2) bis (5) in Liquiditätsungleichungen transformiert werden, da ansonsten im Falle eines beschränkten Kapitalmarktes keine Lösung existiert (der Kapitalbedarf darf in jeder Periode höchstens so groß sein wie die Kapitaldeckung). 1, falls Investitionsobjekt j in Programm aufgenommen wird 0, falls Investitionsobjekt j nicht in Programm aufgenommen wird 216 Investition in Übungen Aufgabe 7.8: Modell von Förster und Henn55 Ein Unternehmen stellt drei verschiedene Produktarten her, deren Veräußerungspreise, variable Stückkosten und Absatzhöchstgrenzen nachfolgend aufgelistet sind: Veräußerungspreis (EUR/ME) Variable Stückkosten (EUR/ME) Absatzhöchstgrenze (ME/Jahr) Produktart 1 2,00 0,60 8.000 Produktart 2 3,50 2,15 6.000 Produktart 3 3,00 1,00 5.000 Jede der drei Produktarten durchläuft einen dreistufigen maschinellen Produktionsprozess. Die folgende Tabelle gibt die Zeitbedarfe der jeweiligen Produktarten 1, 2 und 3 an den Maschinen A, B und C in Minuten pro Stück an: Maschine A Maschine B Maschine C Produktart 1 3 3 3 Produktart 2 4 3 2 Produktart 3 5 2 4 Es ist ein Anlagenanfangsbestand vorhanden, der aus je zwei Maschinen vom Typ A und B sowie vier Maschinen vom Typ C besteht. Alle Maschinen des Anlagenanfangsbestands besitzen eine Restlaufzeit von 1 Jahr. Ihre Kapazitäten, bestandsabhängigen Auszahlungen und Liquidationserlöse entsprechen denen, die nachfolgend für neu zu beschaffende Maschinen angegeben werden. Neue Maschinen können zum jeweiligen Jahresbeginn in unbegrenzter Anzahl angeschafft werden. Ihre wirtschaftliche Nutzungsdauer beläuft sich auf 3 Jahre. Im Zeitpunkt der Anschaffung in t = 0 sind folgende vom Anschaffungszeitpunkt unabhängige Daten gegeben: 55 In Anlehnung an Götze, Uwe: Investitionsrechnung, 7. Aufl., Berlin/Heidelberg 2014, S. 349–352. Investitionsprogrammentscheidungen 217 Anschaffungsauszahlung (EUR) Kapazität (Minuten/Jahr) Auszahlungen (EUR/Jahr) Maschine A 1.000 5.000 195 Maschine B 960 4.000 185 Maschine C 880 3.500 225 Der Liquidationserlös einer Maschine beträgt am Ende ihrer wirtschaftlichen Nutzungsdauer 10 % der Anschaffungsauszahlung. Es ist von einer linearen Abschreibung auszugehen. Die Kapazitäten erhöhen sich pro Jahr um 10 %. In t = 0 stehen dem Unternehmen 25.000 EUR, in t = 1 ein Betrag von 5.000 EUR zur Verfügung. Der Zinssatz für eine kurzfristige Finanzinvestition mit einer Laufzeit von 1 Jahr beträgt 6 % p. a. Formulieren Sie zu obigem Problem ein Lineares Programm gemäß dem Modell von Förster und Henn unter der Zielsetzung der Maximierung des Vermögensendwerts in t = 3, wenn Finanzmittelüberschüsse zu einem Zinssatz von 6 % p. a. angelegt werden können! Lösung In einem ersten Schritt gilt es zunächst, die im Linearen Programm (LP) verwendeten Variablen zu definieren. xjt: Anzahl der realisierten Einheiten des jeweiligen Investitionsobjekts j (j = 1, ..., 4) zum Zeitpunkt t (t = 0, 1, 2);56 zkt: Produktionsmenge des Produkts k (k = 1, ..., 3) zum Zeitpunkt t (t = 0, 1, 2); x4t: Umfang der zum Zeitpunkt t (t = 0, 1, 2) realisierten kurzfristigen Investitionsmöglichkeit 4 (Finanzinvestition). Als Zielfunktionswert soll der Vermögensendwert dienen, der als positive Komponenten die zum Zeitpunkt t = 3 erwirtschafteten Einzahlungsüberschüsse aus produktbezogenen Zahlungen, aus der Liquidation maschineller Anlagen sowie aus der aufgezinsten kurzfristigen Finanzinvestition aus Periode t = 2 umfasst. Die nachfolgende Abbildung zeigt die zeitliche Zuordnung der Liquiditäts-, Kapazitäts- und Absatzrestriktionen (R) sowie die Zielfunktion (ZF): 56 Es liegen vier Investitionsobjekte vor; dabei handelt es sich um drei Sachinvestitionen und eine Finanzinvestition. 218 Investition in Übungen R R R ZF t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 t Abbildung 11: Zeitliche Einordnung der einzelnen Restriktionen und der Zielfunktion Somit lautet die zu maximierende Zielfunktion: ( ) ( ) ( ) 42322212322212 312111302010 x06,1zz35,1z4,1x880x960x1.0007,0 x880x960x1.0000,4x880x960x1.0000,1 ⋅++⋅+⋅+⋅+⋅+⋅⋅+ ⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅+⋅⋅+ Die wichtigste Nebenbedingung, nämlich die Wahrung der Liquidität in allen Perioden des Planungszeitraums, muss derart formuliert werden, dass in jeder Periode t (t = 0, ..., 2) die Summe der auftretenden Auszahlungsüberschüsse (Kapitalbedarf) maximal so groß ist wie die in derselben Periode zur freien Disposition stehenden Eigenmittel zuzüglich etwaiger rückzahlbarer Finanzinvestitionen der Vorperiode (Kapitaldeckung). Daraus lässt sich für den Zeitpunkt t = 0 folgende Liquiditätsrestriktion ableiten:57 ( ) ( ) ( ) 000.25 xx4225x2185x2195x880x960x000.1 40302010302010 = ++⋅++⋅++⋅+⋅+⋅+⋅ In Periode 1 erzielen die von den Maschinen (Altbestand zuzüglich Investitionen der Vorperiode) produzierten und abgesetzten Produkte zusätzliche Einzahlungsüberschüsse, die den Betrag der Kapitaldeckung erhöhen. Ferner ist zu beachten, dass der Anlagenanfangsbestand produktionstechnisch in dieser Periode nicht mehr zu berücksichtigen ist, da seine Nutzungsdauer abgelaufen ist. Allerdings werden noch Liquidationserlöse erzielt. Um das finanzielle Gleichgewicht in t = 1 aufrecht zu erhalten, muss der Kapitalbedarf dem Kapitaldeckungsbetrag entsprechen. Man erhält somit für t = 1 folgende Liquiditätsrestriktion: ( ) ( ) ( ) 40 302010413130 21201110312111 x06,18801,049601,02 000.11,02zz35,1z4,1000.5xxx225 xx185xx195x880x960x000.1 ⋅+⋅⋅+⋅⋅+ ⋅⋅++⋅+⋅+=++⋅+ +⋅++⋅+⋅+⋅+⋅ Für t = 2 lautet die Liquiditätsrestriktion: ( ) ( ) ( ) 4131211142323130 222120121110322212 x06,1zz35,1z4,1xxxx225 xxx185xxx195x880x960x000.1 ⋅++⋅+⋅=+++⋅+ ++⋅+++⋅+⋅+⋅+⋅ 57 Die fixen Zahlen in den Klammern kennzeichnen den Anlagenanfangsbestand laut Aufgabenstellung. Investitionsprogrammentscheidungen 219 Im Rahmen der Kapazitätsrestriktionen ist für jede Periode und jede Maschine eine Gleichung zu formulieren. Dabei ist zu beachten, dass der Anlagenanfangsbestand in t = 0 ebenfalls Kapazität anbietet und sich die Kapazitäten der endogen zu bestimmenden Anzahl an Maschinen um 10 % pro Periode erhöhen. Die Kapazitätsrestriktionen lauten für t = 0: 10302010 x000.5000.10z5z4z3 ⋅+≤⋅+⋅+⋅ 20302010 x000.4000.8z2z3z3 ⋅+≤⋅+⋅+⋅ 30302010 x500.3000.14z4z2z3 ⋅+≤⋅+⋅+⋅ Die Kapazitätsrestriktionen lauten für t = 1: 1110312111 x500.5x000.5z5z4z3 ⋅+⋅≤⋅+⋅+⋅ 2120312111 x400.4x000.4z2z3z3 ⋅+⋅≤⋅+⋅+⋅ 3130312111 x850.3x500.3z4z2z3 ⋅+⋅≤⋅+⋅+⋅ Die Kapazitätsrestriktionen lauten für t = 2: 121110322212 x050.6x500.5x000.5z5z4z3 ⋅+⋅+⋅≤⋅+⋅+⋅ 222120322212 x840.4x400.4x000.4z2z3z3 ⋅+⋅+⋅≤⋅+⋅+⋅ 323130322212 x235.4x850.3x500.3z4z2z3 ⋅+⋅+⋅≤⋅+⋅+⋅ Die produzierte Menge darf in keiner Periode größer als die nachgefragte Menge sein, woraus nachstehende Absatzrestriktionen resultieren: z1t ≤ 8.000 für alle t = 0, 1, 2 z2t ≤ 6.000 für alle t = 0, 1, 2 z3t ≤ 5.000 für alle t = 0, 1, 2 Die Nichtnegativitätsbedingungen lauten: xjt ∈ N0 für alle j = 1, 2, 3 und alle t = 0, 1, 2 x4t ≥ 0 für alle t = 0, 1, 2 zkt ≥ 0 für alle k = 1, 2, 3 und alle t = 0, 1, 2

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References

Zusammenfassung

Univ.-Prof. Dr. Hartmut Bieg, Bereich Wirtschaftswissenschaft, Universität des Saarlandes, Saarbrücken.

Univ.-Prof. Dr. Heinz Kußmaul, Direktor des Betriebswirtschaftlichen Instituts für Steuerlehre und Entrepreneurship am Lehrstuhl für Allgemeine Betriebswirtschaftslehre, insb. Betriebswirtschaftliche Steuerlehre an der Universität des Saarlandes, Saarbrücken.

Univ.-Prof. Dr. Gerd Waschbusch, Inhaber des Lehrstuhls für Allgemeine Betriebswirtschaftslehre, insb. Bankbetriebslehre an der Universität des Saarlandes, Saarbrücken.

In der Lehre zeigt sich immer wieder, dass es des intensiven Einsatzes von Beispielen – vor allem aber von Übungsaufgaben – bedarf, um Studierenden ein nachhaltiges Verständnis betriebswirtschaftlicher Methoden zu ermöglichen. Investition in Übungen hilft, diese Methodenkompetenz zu erhalten und darüber hinaus – ein nicht zu vernachlässigender Effekt – sich auf Prüfungen optimal vorzubereiten.

Dieses in vierter Auflage erschienene Übungsbuch begleitet das Lehrbuch „Investition“ von Bieg/Kußmaul/Waschbusch. Es ermöglicht den Lesern, das dort ausführlich behandelte Fachgebiet der Investition anhand rechnerisch zu lösender Aufgaben zu vertiefen und damit Sicherheit beim Umgang mit den zentralen Verfahren des Investitionsmanagements zu erlangen.