Content

6 Berücksichtigung der Unsicherheit bei Investitionsentscheidungen in:

Hartmut Bieg, Heinz Kußmaul, Gerd Waschbusch

Investition in Übungen, page 150 - 193

4. Edition 2021, ISBN print: 978-3-8006-6472-6, ISBN online: 978-3-8006-6473-3, https://doi.org/10.15358/9783800664733-150

Series: Vahlens Übungsbücher der Wirtschafts- und Sozialwissenschaften

Bibliographic information
6 Berücksichtigung der Unsicherheit bei Investitionsentscheidungen 6.1 Formen der Unsicherheit Aufgabe 6.1: Datenunsicherheit a) Beschreiben Sie das Phänomen der Datenunsicherheit bei der Investitionsentscheidung und geben Sie Beispiele für verschiedene Arten der Datenunsicherheit! b) Welche Ansätze sind zur Berücksichtigung der Datenunsicherheit bei der Beurteilung von Einzelinvestitionen geeignet? Lösung Teilaufgabe a) Datenunsicherheit: Da die Auswirkungen der Investitionsprojekte auf die Ziele des Entscheidungsträgers vom Entscheidungszeitpunkt aus betrachtet immer in der Zukunft liegen, sind sie im Regelfall mit Unsicherheit behaftet. Die eigentliche Problematik der Investitionsrechnung liegt deswegen oft nicht so sehr in der Rechnung selbst als vielmehr in der Beschaffung der hierzu notwendigen Daten. Da die Investitionsmöglichkeit durch die von ihr ausgelösten Ein- und Auszahlungen zu beschreiben ist, sind die für die zukünftige Zahlungsentwicklung relevanten Informationen zu beschaffen. Daher müssen ausschließlich die von der Investitionsentscheidung ausgelösten zusätzlichen Zahlungsmittelbewegungen (entscheidungsrelevante Zahlungen) berücksichtigt werden. Die Bestimmung dieser Zahlungen ist außerordentlich schwierig, wenn das Investitionsobjekt in ein bereits bestehendes Unternehmen eingefügt wird. In diesem Fall muss das gesamte außerordentlich komplexe System von Rückwirkungen auf andere Unternehmensbereiche berücksichtigt werden, etwa die aus einer Investition resultierenden Arbeitskräfteumsetzungen innerhalb des Unternehmens oder die Auswirkungen des Angebots neuer Produkte am Markt auf den Absatz der bereits angebotenen Produkte. Man kann nun sicherlich versuchen, derlei Interdependenzen exakt zu quantifizieren. Doch einerseits wird dies nicht immer gelingen, andererseits wird dies nicht in jedem Fall sinnvoll sein, da relativ rasch ein Punkt er- Unsicherheit bei Investitionsentscheidungen 151 reicht ist, ab dem eine zusätzliche Informationseinheit dem Unternehmen mehr Kosten als Nutzen bringt. Jede Investitionsrechnung beruht somit auf unvollkommenen Informationen, weil die Möglichkeiten beschränkt sind, Informationen über die Handlungskonsequenzen in der wünschenswerten Qualität zu erhalten. Zudem wächst mit der Länge der Betrachtungsperiode auch das Datenbeschaffungsproblem. Hinsichtlich der Unsicherheit bezüglich der Zukunftserwartungen unterscheidet man zwischen Risiko- und Ungewissheitssituationen. – Risikosituationen: Der Entscheidungsträger kann Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten aller möglichen Zukunftsereignisse angeben. − Objektive Wahrscheinlichkeiten: Es können statistisch gesicherte Aussagen über das Eintreffen der Zukunftssituationen gefällt werden. Zum Beispiel ist bei einem nicht manipulierten Würfel die Wahrscheinlichkeit, eine „Eins“ zu würfeln, bei jedem Versuch gleich ein Sechstel, während mit dem Ereignis „keine Eins“ im Durchschnitt in fünf von sechs Fällen zu rechnen ist. − Subjektive Wahrscheinlichkeiten: Hier liegen keine statistisch gesicherten Aussagen über das Eintreffen von Zukunftssituationen vor, der Entscheidungsträger kann aber aufgrund seiner individuellen Erfahrung oder Intuition unbekannten Entwicklungen „subjektive Wahrscheinlichkeitswerte“ zuordnen. Sowohl der theoretische Extremfall absolut sicherer Ereignisse als auch der Fall objektiver Wahrscheinlichkeiten dürfte für Investitionsentscheidungen untypisch sein, da Investitionen immer Einmaligkeitscharakter besitzen und deswegen kaum objektive Wahrscheinlichkeiten im Sinne des „Gesetzes der großen Zahlen“ (wie z. B. beim Roulette oder Lottospiel) festgestellt werden können. Eine größere Bedeutung erlangen hier das subjektive Risikoempfinden und die Ungewissheitssituationen. – Ungewissheitssituationen: Hier kann der Investor die Eintrittswahrscheinlichkeit bestimmter zukünftiger Umweltzustände nicht in Zahlen ausdrücken. 152 Investition in Übungen Teilaufgabe b) Im Rahmen von Einzelinvestitionsrechnungen wird versucht, das Problem der Datenunsicherheit auf drei verschiedene Arten zu lösen: (1) In der Investitionsrechnung geht man von sicheren Entwicklungen aus. Die tatsächlich bestehenden Mehrdeutigkeiten werden außerhalb der Investitionsrechnung berücksichtigt. (2) Man versucht, die Unsicherheit in die Investitionsrechnung wie folgt mit einzubeziehen: − pauschale Risikozuschläge auf zukünftige Auszahlungen oder auf Kalkulationszinssätze bzw. pauschale Risikoabschläge auf Einzahlungen; − differenzierte Abschätzung der entscheidungsrelevanten Daten nach dem Prinzip der kaufmännischen Vorsicht; − explizite Verarbeitung unsicherer bzw. risikobehafteter Daten durch nicht-deterministische Methoden. (3) Das Unsicherheitsproblem wird ignoriert. Zumindest unter theoretischen Aspekten ist dies nicht zu verantworten. In der modernen Literatur wird allgemein der expliziten Berücksichtigung unsicherer Daten in der Investitionsrechnung der Vorzug eingeräumt. Bei Investitionsentscheidungen in Risikosituationen können sogenannte Entscheidungsprinzipien verwendet werden. Hierunter versteht man Vorgehensweisen, mit denen die verschiedenen denkbaren Ausprägungen einer Zufallsvariablen zu einer einzigen Zahl verdichtet werden. Im Wesentlichen handelt es sich dabei um − das μ-Prinzip (der Erwartungswert μ ist die Summe aller Ereigniswerte einer Zufallsvariablen, jeweils multipliziert mit der entsprechenden Eintrittswahrscheinlichkeit) sowie − das μ-σ-Prinzip (die Standardabweichung σ beschreibt die Abweichungen zwischen den Ereigniswerten und dem Erwartungswert). Für Investitionsentscheidungen in Ungewissheitssituationen gibt es in Abhängigkeit von der Risikobereitschaft des Investors verschiedene Entscheidungsregeln: − Maximin-Regel (Minimax-Regel, Wald-Regel; Risikoaversion), − Maximax-Regel (Risikofreude), − Hurwicz-Regel (Pessimismus-Optimismus-Regel), Unsicherheit bei Investitionsentscheidungen 153 − Laplace-Regel (Regel des unzureichenden Grundes; Risikoneutralität), − Savage-Niehans-Regel (Regel des kleinsten Bedauerns, Minimax-Regret- Regel). Eine spezielle Möglichkeit zur Berücksichtigung von Unsicherheitssituationen stellt u. a. die Sensitivitätsanalyse dar (vgl. auch Aufgabe 6.2). Sie beschäftigt sich mit den Fragen, inwieweit eine Optimallösung bei zufallsabhängigen Datenveränderungen stabil bleibt und welche grundlegende Bedeutung Zufallsschwankungen für den Grad der monetären Zielerreichung des Investors besitzen. Aufgabe 6.2: Unsicherheit in der Investitionsrechnung Skizzieren Sie in Kurzform die speziellen Methoden zur Erfassung der Unsicherheit in der Investitionsrechnung! Lösung Die speziellen Methoden zur Erfassung der Unsicherheit in der Investitionsrechnung lassen sich folgendermaßen skizzieren: – Korrekturverfahren: Die Unsicherheit bei der Datenermittlung wird durch Variation der Ausgangsdaten der Investitionsrechnung nach dem Vorsichtsprinzip um globale Risikozuschläge oder Risikoabschläge erfasst. – Sensitivitätsanalyse: Sensitivitätsanalysen werden ergänzend zur Investitionsrechnung angewendet, indem ausgehend vom jeweiligen Verfahren zur Investitionsbeurteilung die Stabilität der Ergebnisse durch Variation der Inputgrößen hinterfragt wird. In diesem Zusammenhang werden insbesondere eine sogenannte Dreifach-Rechnung (Heranziehung einer optimistischen, einer wahrscheinlichen und einer pessimistischen Zukunftseinschätzung für eine jeweilige Eingangsgröße), eine Zielgrößen-Änderungsrechnung (Veränderung der jeweiligen Eingabegrößen um einen Prozentsatz mit dem Ziel, die Veränderung der Ergebnisgröße zu messen) und eine Kritische-Werte- Rechnung (Berechnung eines Break-Even-Punktes für die jeweilige Eingabegröße, wobei entweder nur eine Eingabegröße oder zwei bzw. mehrere Eingabegrößen als unsicher angesehen werden können) durchgeführt. 154 Investition in Übungen – Risikoanalyse: Hierbei handelt es sich um Verfahren, die die Gewinnung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung für die interessierende Zielgröße (z. B. für den Kapitalwert) zum Ziel haben; dies erfolgt durch Überlagerung geschätzter Wahrscheinlichkeitsverteilungen für einzelne unsichere Inputgrößen, so dass daraus eine einzige Verteilung für das Entscheidungskriterium der Investitionsrechnung abgeleitet werden kann. – Entscheidungsbaumverfahren: Das Entscheidungsbaumverfahren dient der Lösung komplexer Probleme unter Unsicherheit, wobei berücksichtigt wird, dass wichtige Entscheidungen in mehreren Stufen getroffen werden. 6.2 Entscheidungen bei Risiko Aufgabe 6.3: Erwartungswert und Standardabweichung (μ-Prinzip und μ-σ-Prinzip)39 Ein Industrieunternehmen hat langfristig eine Rohstofflieferung in den USA bestellt; der Rechnungsbetrag von 100.000 USD wird in genau einem Jahr (t = 1) fällig. Es wird erörtert, ob und gegebenenfalls wie eine Absicherung dieses Rechnungsbetrages gegen das Wechselkursrisiko vorgenommen werden soll. Folgende drei alternative Strategien werden erwogen: a1: Keine Absicherung; Beschaffung der 100.000 USD in einem Jahr (t = 1) zu dem dann herrschenden Kassakurs. a2: Volle Absicherung, indem heute (t = 0) bereits 100.000 USD „per Termin 1 Jahr“ zum Terminkurs von 1,0416 USD/EUR (zahlbar ebenfalls in einem Jahr) angeschafft werden. a3: Halbe Absicherung, indem heute (t = 0) 50.000 USD „per Termin 1 Jahr“ zum Terminkurs von 1,0416 USD/EUR und der Restbetrag in einem Jahr zu dem dann herrschenden Kassakurs beschafft werden. Das Industrieunternehmen hat den bestellten Rohstoff bereits per Termin für 230.000 EUR weiterverkauft (zahlbar ebenfalls genau in einem Jahr). Die Werte von 1,136 USD/EUR, 1,0869565 USD/EUR, 1,0416 USD/EUR, 39 Geringfügig modifiziert entnommen aus Bitz, Michael: Übungen in Betriebswirtschaftslehre, 6. Aufl., München 2003, S. 272–274 und S. 289–294 (in der aktuellen Aufl. nicht mehr enthalten). Unsicherheit bei Investitionsentscheidungen 155 1,0204082 USD/EUR sowie 1,00 USD/EUR werden bezüglich des USD- Wechselkurses (Kassakurs) in t = 1 alternativ für möglich gehalten. Die Eintrittswahrscheinlichkeiten (p1, …, p5) für die fünf alternativ möglichen Wechselkursentwicklungen (s1, …, s5) betragen p1 = 0,1; p2 = 0,2; p3 = 0,5; p4 = 0,1; p5 = 0,1. a) Formulieren Sie die Ergebnismatrix zur Darstellung der beschriebenen Unsicherheitssituationen! Verwenden Sie dabei zunächst als Ergebnisgrö- ßen den EUR-Betrag, den das betrachtete Industrieunternehmen je nach Wechselkursentwicklung bei den verschiedenen Strategien in t = 1 insgesamt zu leisten hätte! Stellen Sie anschließend die in einem Jahr alternativ erzielbaren Einzahlungsüberschüsse in einer weiteren Ergebnismatrix zusammen! b) Für welche Alternative entscheidet sich das Industrieunternehmen bei Unterstellung des µ-Prinzips? c) Für welche Alternative entscheidet sich das Industrieunternehmen bei Unterstellung des µ-σ-Prinzips? Die Präferenzfunktion lautet: ( ) σ 0,5μσ μ, Φ ⋅+= Welche Risikoeinstellung des Investors wird hier unterstellt? Lösung Teilaufgabe a) Drückt man die in t = 1 zu zahlenden Beträge in EUR aus und bezeichnet man die fünf für möglich gehaltenen Wechselkurse in einem Jahr mit s1, s2, …, s5, so ergibt sich folgende Ergebnismatrix: Beträge in EUR s1 s2 s3 s4 s5 (1,136 ) (1,0869565) (1,0416 ) (1,0204082) (1,00) a1 88.000 92.000 96.000 98.000 100.000 a2 96.000 96.000 96.000 96.000 96.000 a3 92.000 94.000 96.000 97.000 98.000 Erläuterung: a1: Das Industrieunternehmen hat den EUR-Gegenwert der 100.000 USD in Abhängigkeit von dem zum Zeitpunkt t = 1 herrschenden Wechselkurs zu entrichten. 156 Investition in Übungen a2: Das Industrieunternehmen hat unabhängig von dem in t = 1 herrschenden Wechselkurs den bereits in t = 0 festgelegten Terminkurs von 1,0416 USD/EUR für die benötigten 100.000 USD aufzuwenden. a3: Das Industrieunternehmen hat für 50.000 USD den in t = 0 festgelegten Terminkurs von 1,0416 USD/EUR aufzuwenden sowie für die weiteren 50.000 USD den in t = 1 herrschenden Wechselkurs. Zieht man von dem angegebenen Erlös von 230.000 EUR in t = 1 die alternativ möglichen Auszahlungen für die Beschaffung der 100.000 USD ab, so ergibt sich folgende Matrix: Beträge in EUR p1 = 0,1 s1 p2 = 0,2 s2 p3 = 0,5 s3 p4 = 0,1 s4 p5 = 0,1 s5 (1,136 ) (1,0869565) (1,0416 ) (1,0204082) (1,00) a1 142.000 138.000 134.000 132.000 130.000 a2 134.000 134.000 134.000 134.000 134.000 a3 138.000 136.000 134.000 133.000 132.000 Teilaufgabe b) Der Investor verhält sich nach der Erwartungswertregel (μ-Prinzip) risikoneutral. Er ermittelt den mit den Eintrittswahrscheinlichkeiten der einzelnen Umweltzustände gewichteten Durchschnittswert der jeweiligen eintretenden Ergebnisse pro Alternative: = ⋅=µ n 1j ijji yp Dabei gilt: μi: Erwartungswert der Alternative i; pj: Wahrscheinlichkeit des Eintritts von Umweltzustand j; yij: Zielbeitrag der Alternative i bei Eintritt des Umweltzustandes j; i: Alternativen; j: Umweltzustände. μ 1 = 0,1 ∙ 142.000 + 0,2 ∙ 138.000 + 0,5 ∙ 134.000 + 0,1 ∙ 132.000 + 0,1 ∙ 130.000 = 135.000 μ 2 = 134.000 μ 3 = 0,1 ∙ 138.000 + 0,2 ∙ 136.000 + 0,5 ∙ 134.000 + 0,1 ∙ 133.000 + 0,1 ∙ 132.000 = 134.500 Unsicherheit bei Investitionsentscheidungen 157 Nach der Erwartungswertregel ist Absicherungsstrategie a1 vorzuziehen, da sie mit 135.000 EUR den höchsten positiven Erwartungswert besitzt. Teilaufgabe c) Eine Präferenzfunktion ist eine Funktion des Erwartungswertes und der Standardabweichung bzw. der Varianz (sogenanntes (µ, σ)-Prinzip):40 Ф = Ф μ, σ Dabei gilt: Ф: Präferenzfunktion; μ: Erwartungswert; σ: Standardabweichung. Durch die Festlegung der Präferenzfunktion Φ erhält man verschiedene (µ, σ)-Regeln. In der Literatur werden zum Beispiel Ф μ, σ = μ + α ∙ σ bzw. Ф μ, σ = μ + α ∙σ2 als besonders einfache Konzepte zur Bestimmung von Präferenzwerten genannt. Die Wahl des Gewichtungsfaktors α bringt den Grad der Risikofreude bzw. der Risikoscheu des Investors zum Ausdruck. Ist α < 0, so gibt die Präferenzfunktion eine risikoscheue Einstellung wieder, bei α = 0 ist der Investor risikoindifferent und bei α > 0 risikofreudig. Ermittlung der Varianz (σ2) für die einzelnen Alternativen i: = µ−⋅=σ n 1j 2 iijj 2 i )(yp ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) EUR 0σ EUR 10.600.000 135.000130.0000,1 135.000132.0000,1 135.000134.0000,5 135.000138.0000,2135.000142.0000,1σ 2 2 2 22 222 1 = = −⋅+ −⋅+−⋅+ −⋅+−⋅= 40 Vgl. Bieg, Hartmut; Kußmaul, Heinz; Waschbusch, Gerd: Investition, 3. Aufl., München 2016, S. 191–193. 158 Investition in Übungen ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) EUR 2.650.000 134.500132.0000,1 134.500133.0000,1134.500134.0000,5 134.500136.0000,2134.500138.0000,1σ 2 22 222 3 = −⋅+ −⋅+−⋅+ −⋅+−⋅= Die Standardabweichung (σ) ergibt sich durch Ziehen der Quadratwurzel aus der Varianz (σ2). Die Zielwerte lauten unter Zuhilfenahme der Präferenzfunktion: ( )111 σ ;μΦ 11 σ0,5μ ⋅+= EUR136.627,88=⋅+= 000.600.105,0000.135 ( )222 σ ;μΦ 22 σ0,5μ ⋅+= EUR134.00000,5134.000 =⋅+= ( )333 σ ;μΦ 33 σ0,5μ ⋅+= EUR135.313,942.650.0000,5134.500 =⋅+= Das Industrieunternehmen sollte sich bei Unterstellung des µ-σ-Prinzips und Verwendung der Präferenzfunktion Φ (µ;σ) = µ + 0,5 ⋅ σ ebenfalls für die Absicherungsstrategie a1 entscheiden. Der Gewichtungsfaktor α beträgt bei der vorliegenden Präferenzfunktion 0,5. Die Risikoeinstellung des Investors ist somit von Risikofreude geprägt. Aufgabe 6.4: Erwartungswert (μ-Prinzip)41 Ein Student plant für die kommenden Semesterferien eine Reise. Er beabsichtigt, zwei Koffer im Gesamtwert (inkl. Gepäck) von je 500 EUR mitzunehmen. Die Risiken eines Koffer-Diebstahls schätzt er wie folgt ein: Schadenereignis Wahrscheinlichkeit Diebstahl beider Koffer 0,01 Diebstahl genau eines Koffers 0,05 Auf Anfrage unterbreitet ein Vertreter der GERLIANZ AG dem Studenten das nachstehende Angebot über zwei Varianten einer Reisegepäckversicherung: 41 Modifiziert entnommen aus Bitz, Michael; Ewert, Jürgen: Übungen in Betriebswirtschaftslehre, 8. Aufl., München 2014, S. 194–195 und S. 529–531. Unsicherheit bei Investitionsentscheidungen 159 Tarif Selbstbeteiligung des Versicherungsnehmers Prämie des zu versichernden Wertes T 100 Keine 5,0 % T 70 30 % des eingetretenen Schadens 2,5 % Nach genauem Studium der komplizierten Versicherungsbedingungen und der darin enthaltenen zahlreichen Ausschluss-Klauseln gelangt der Student trotz gegenteiliger Beteuerungen des Vertreters zu der Überzeugung, dass die Versicherung ein eingetretenes Schadenereignis nur mit einer geschätzten Wahrscheinlichkeit von 80 % als deckungspflichtig anerkennen wird. Im Hinblick auf sein knapp bemessenes Budget überlegt der Student, ob er sich überhaupt zu einer Reisegepäckversicherung entschließen soll. Falls ja, würde er entweder beide Koffer nach T 100 oder beide Koffer nach T 70 versichern lassen. Welche Entscheidung trifft der Student nach dem Erwartungswert-Kriterium, wenn er die drei Alternativen keine Versicherung, T 70 und T 100 in seine Berechnung mit einbezieht? Erstellen Sie zur Lösung dieses Entscheidungsproblems eine Ergebnismatrix! Lösung Entscheidungsmatrix über die möglichen Kosten (Beträge in EUR): Kein Diebstahl Diebstahl eines Koffers Diebstahl zweier Koffer 0,94 Versicherung zahlt 0,05 ∙ 0,8 Versicherung zahlt nicht 0,05 ∙ 0,2 Versicherung zahlt 0,01 ∙ 0,8 Versicherung zahlt nicht 0,01 ∙ 0,2 T 100 50 50 550 50 1.050 T 70 25 175 525 325 1.025 Keine Vers. 0 500 500 1.000 1.000 μ T 100 = 0,94 ∙ 50 + 0,05 ∙ 0,8 ∙ 50 + 0,05 ∙ 0,2 ∙ 550 + 0,01 ∙ 0,8 ∙ 50 + 0,01 ∙ 0,2 ∙ 1.050 = 57 EUR μ T 70 = 0,94 ∙ 25 + 0,05 ∙ 0,8 ∙ 175 + 0,05 ∙ 0,2 ∙ 525 + 0,01 ∙ 0,8 ∙ 325 + 0,01 ∙ 0,2 ∙ 1.025 = 40,40 EUR μ keine Versicherung = 0,94 ∙ 0 + 0,05 ∙ 0,8 ∙ 500 + 0,05 ∙ 0,2 ∙ 500 + 0,01 ∙ 0,8 ∙ 1.000 + 0,01 ∙ 0,2 ∙ 1.000 = 35 EUR Bei Anwendung des Erwartungswert-Kriteriums wird der Student keine Reisegepäckversicherung abschließen. 160 Investition in Übungen Aufgabe 6.5: Bernoulli-Prinzip42 Es gelten die Daten der Aufgabe 6.3 auf den Seiten 154–155. Die Unternehmensleitung des Industrieunternehmens möchte sich auf Empfehlungen ihres Planungsstabes nach dem Bernoulli-Prinzip richten. a) Geben Sie kurz inhaltlich und formal an, was das Bernoulli-Prinzip beinhaltet! b) Für welche Absicherungsstrategie sollte sich die Unternehmensleitung entscheiden, wenn sie die Risiko-Nutzenfunktion U (yij) = ln yij unterstellt? Lösung Teilaufgabe a) Das Bernoulli-Prinzip besagt, dass die monetären – oder in anderen Maßeinheiten angegebenen – Ergebniswerte yij gemäß einer Risiko-Nutzenfunktion U (yij) in Nutzenwerte uij transformiert werden und anschließend für jede Alternative i der Erwartungswert ū dieser Nutzenwerte errechnet wird. Auszuwählen ist dann die Alternative mit der höchsten Nutzen-Erwartung. Für den Präferenzwert einer Alternative ai gilt also: max!)y(Up n 1j ijj → ⋅ = Dabei gilt: pj: Wahrscheinlichkeit des Eintritts von Umweltzustand j; U (yij): Risiko-Nutzenfunktion; yij: Zielbeitrag bzw. Ergebniswert der Alternative i bei Eintritt des Umweltzustandes j; j: Umweltzustände für j = 1, …, n. Teilaufgabe b) Als erstes werden die Ergebniswerte yij gemäß der angegebenen Risiko- Nutzenfunktion U (yij) = ln yij in Nutzenwerte uij umgerechnet. Wir erhalten so folgende Entscheidungsmatrix: 42 Geringfügig modifiziert entnommen aus Bitz, Michael: Übungen in Betriebswirtschaftslehre, 6. Aufl., München 2003, S. 274–275 und S. 294–295 (in der aktuellen Aufl. nicht mehr enthalten). Unsicherheit bei Investitionsentscheidungen 161 s1 s2 s3 s4 s5 a1 11,8635 11,8350 11,8056 11,7906 11,7753 a2 11,8056 11,8056 11,8056 11,8056 11,8056 a3 11,8350 11,8204 11,8056 11,7981 11,7906 Als nächster Schritt werden für jede Alternative i auf der Basis der vorgegebenen Eintrittswahrscheinlichkeiten die Nutzen-Erwartungswerte ū errechnet. So ergibt sich: 11,8056u 2 = 11,80937906,111,07981,111,08056,115,08204,112,08350,111,0u 3 =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅= Die höchste Nutzen-Erwartung ergibt sich bei Absicherungsstrategie a1. Die Unternehmensleitung sollte sich also bei Anwendung des Bernoulli-Prinzips für diese Absicherungsstrategie entscheiden. 6.3 Entscheidungen bei Ungewissheit Aufgabe 6.6: Entscheidungsregeln43 Es gelten die Daten der Aufgabe 6.3 auf den Seiten 154–155. Neben den drei bestehenden Absicherungsstrategien zieht das Industrieunternehmen noch eine vierte alternative Absicherungsstrategie in Erwägung: a4: Sofortiger Kauf von 94.339,62 USD zum aktuellen Kassakurs von 1,0416 USD/EUR und einjährige Anlage dieses USD-Betrages zu 6 % p. a. Die sofortige Bereitstellung des EUR-Gegenwertes würde durch die Aufnahme eines Darlehens erfolgen, das in genau einem Jahr einschließlich 10 % p. a. Darlehenszinsen zurückzuzahlen wäre. a) Formulieren Sie die Ergebnismatrix zur Darstellung der beschriebenen Unsicherheitssituationen! Verwenden Sie dabei als Ergebnisgrößen den EUR-Betrag, den das betrachtete Industrieunternehmen je nach Wechselkursentwicklung bei den verschiedenen Strategien in t = 1 insgesamt zu leisten hätte! 43 Geringfügig modifiziert entnommen aus Bitz, Michael: Übungen in Betriebswirtschaftslehre, 6. Aufl., München 2003, S. 272–273 und S. 289–292 (in der aktuellen Aufl. nicht mehr enthalten). 11,8127=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅= 7753,111,07906,111,08056,115,08350,112,08635,111,0u1 162 Investition in Übungen b) Untersuchen Sie die vier Absicherungsstrategien nach dem Dominanz- Prinzip! Beachten Sie dabei, dass die Ergebnisse gemäß Teilaufgabe a) Kostengrößen darstellen! c) Für welche Absicherungsstrategie sollte sich das Industrieunternehmen entscheiden, wenn es die (1) Maximin-Regel, (2) Laplace-Regel, (3) Hurwicz-Regel (mit einem Optimismusparameter von λ = 0,8) anwendet? d) Welche Absicherungsstrategie würde sich bei der Anwendung der Savage-Niehans-Regel als optimal erweisen? Lösung Teilaufgabe a) Drückt man die in t = 1 zu zahlenden Beträge in EUR aus und bezeichnet man die fünf für möglich gehaltenen Wechselkurse in einem Jahr mit s1, s2, …, s5, so ergibt sich folgende Ergebnismatrix: Beträge in EUR s1 s2 s3 s4 s5 (1,136 ) (1,0869565) (1,0416 ) (1,0204082) (1,00) a1 88.000 92.000 96.000 98.000 100.000 a2 96.000 96.000 96.000 96.000 96.000 a3 92.000 94.000 96.000 97.000 98.000 a4 99.623 99.623 99.623 99.623 99.623 Erläuterung: a1: Das Industrieunternehmen hat den EUR-Gegenwert der 100.000 USD in Abhängigkeit von dem zum Zeitpunkt t = 1 herrschenden Wechselkurs zu entrichten. a2: Das Industrieunternehmen hat unabhängig von dem in t = 1 herrschenden Wechselkurs den bereits in t = 0 festgelegten Terminkurs von 1,0416 USD/EUR für die benötigten 100.000 USD aufzuwenden. a3: Das Industrieunternehmen hat für 50.000 USD den in t = 0 festgelegten Terminkurs von 1,0416 USD/EUR aufzuwenden sowie für die weiteren 50.000 USD den in t = 1 herrschenden Wechselkurs. Unsicherheit bei Investitionsentscheidungen 163 a4: Der in t = 0 beschaffte Betrag von 94.339,62 USD wächst bei einer Verzinsung von 6 % p. a. genau auf den in t = 1 benötigten Betrag von 100.000 USD an. Zur Beschaffung der 94.339,62 USD muss das Industrieunternehmen in t = 0 einen Kredit i. H. v. 90.566,04 EUR (= 94.339,62 USD ÷ 1,0416 USD/EUR) aufnehmen und dafür in t = 1 einschließlich 10 % p. a. Darlehenszinsen 99.622,64 EUR zurückzahlen. Teilaufgabe b) Die Zielsetzung des Industrieunternehmens besteht darin, den benötigten USD-Betrag mit einem möglichst geringen EUR-Einsatz aufzubringen; es wird also ein möglichst niedriger Ergebniswert angestrebt. Entsprechend dieser Minimierungszielsetzung wird die Absicherungsstrategie a4 von den Absicherungsstrategien a2 und a3 dominiert, da sich bei a4 in jeder für möglich gehaltenen Wechselkurssituation ein höherer EUR-Betrag ergibt als bei den beiden anderen Alternativen. Die Absicherungsstrategie a4 kann somit bei den folgenden Betrachtungen außer Acht gelassen werden. Teilaufgabe c) (1) Nach der Maximin-Regel ist im vorliegenden Fall diejenige Absicherungsstrategie zu wählen, bei der der maximal mögliche EUR-Betrag am kleinsten ist. Die jeweiligen Maximalbeträge sind: a1 = 100.000 EUR; a2 = 96.000 EUR; a3 = 98.000 EUR. Dementsprechend stellt nach der Maximin-Regel die Absicherungsstrategie a2 die Optimalalternative dar (beste Lösung bei widrigen Umständen). (2) Nach der Laplace-Regel ist im vorliegenden Fall diejenige Absicherungsstrategie zu wählen, bei der der einfache Durchschnitt der alternativ möglichen Ergebniswerte am niedrigsten ist. Für die Durchschnittswerte ergibt sich: 5 474.000 :a1 = 94.800 EUR 5 480.000 :a 2 = 96.000 EUR 5 477.000 :a 3 = 95.400 EUR Nach der Laplace-Regel ist die Absicherungsstrategie a1 als optimal anzusehen. 164 Investition in Übungen (3) Nach der Hurwicz-Regel ist im vorliegenden Fall diejenige Absicherungsstrategie zu wählen, bei der der gewogene Durchschnitt aus dem niedrigsten Ergebniswert44 (Optimismusparameter λ für 0 ≤ λ ≤ 1) und dem höchsten Ergebniswert ((1 − λ) für 0 ≤ λ ≤ 1) am niedrigsten ist. Die Regel lautet: [λ ∙ Kmin + (1 − λ) ∙ Kmax] → min! mit λ = 0,8 für die niedrigsten Kosten (Optimismus) Dabei gilt: λ: Optimismusparameter; Kmin: Kostenminimum; Kmax: Kostenmaximum. a1: 0,8 ∙ 88.000 + 0,2 ∙ 100.000 = 90.400 EUR a2: 96.000 EUR a3: 0,8 ∙ 92.000 + 0,2 ∙ 98.000 = 93.200 EUR Demnach stellt nach der Hurwicz-Regel die Absicherungsstrategie a1 die Optimalalternative dar. Teilaufgabe d) Nach der Savage-Niehans-Regel werden die Ergebnisse zunächst durch sogenannte Bedauerns-Werte ersetzt, indem im vorliegenden Fall von jedem Einzelergebnis einer Spalte das jeweilige Spaltenminimum subtrahiert wird. Es ergibt sich so folgende transformierte Matrix: Beträge in EUR s1 s2 s3 s4 s5 a1 0 0 0 2.000 4.000 a2 8.000 4.000 0 0 0 a3 4.000 2.000 0 1.000 2.000 Als Optimalalternative ist dann diejenige Absicherungsstrategie zu wählen, bei der das maximal mögliche Bedauern am geringsten ist: a1: 4.000 EUR; a2: 8.000 EUR; a3: 4.000 EUR. 44 Hier handelt es sich um die Entscheidungsregel bei zu minimierenden Werten (z. B. Kosten); bei zu maximierenden Werten (z. B. Gewinne) müsste die Vorteilhaftigkeit umgekehrt formuliert werden. Unsicherheit bei Investitionsentscheidungen 165 Somit stellen die Absicherungsstrategien a1 und a3 nach der Savage-Niehans- Regel die Optimalalternativen dar. Aufgabe 6.7: Entscheidungsregeln Die Investitionsabteilung eines Unternehmens muss sich für die Anschaffung einer von vier möglichen Produktionsanlagen (a1,…, a4) entscheiden. In Abhängigkeit von den Umweltbedingungen (s1,…, s4) errechnet sie folgende in der Entscheidungsmatrix aufgeführten Kapitalwerte: Beträge in TEUR s1 s2 s3 s4 a1 15 4 8 – 4 a2 6 11 3 5 a3 7 6 18 4 a4 – 12 9 6 18 Für welche Alternative wird sich die Investitionsabteilung entscheiden, wenn der Entscheidung a) die Maximin-Regel, b) die Savage-Niehans-Regel zugrunde gelegt wird? Lösung Teilaufgabe a) Maximin-Regel: a1 = − 4 TEUR; a2 = + 3 TEUR; a3 = + 4 TEUR; a4 = − 12 TEUR. → a3 > a2 > a1 > a4! Nach der Maximin-Regel sollte die Alternative a3 ausgewählt werden. 166 Investition in Übungen Teilaufgabe b) Savage-Niehans-Regel: Bei dieser Regel besteht das Ziel in der Minimierung des Nachteils, der sich durch eine Fehlentscheidung ergeben würde. Die gegebene Entscheidungsmatrix wird in eine „Matrix des Bedauerns“ transformiert. Bei den zu maximierenden Werten wird das Maximum einer Spalte von den einzelnen Werten der betreffenden Ausprägungsspalte subtrahiert. Danach wird der größtmögliche Nachteil einer Alternative minimiert. Opportunitätsmatrix: Beträge in TEUR s1 s2 s3 s4 a1 0 – 7 – 10 – 22 – 22 a2 – 9 0 – 15 – 13 – 15 a3 – 8 – 5 0 – 14 – 14 a4 – 27 – 2 – 12 0 – 27 → a3 < a2 < a1 < a4! Nach der Savage-Niehans-Regel sollte ebenfalls die Alternative a3 ausgewählt werden. Aufgabe 6.8: Entscheidungsregeln Einem Unternehmen stehen vier unterschiedliche Investitionsprojekte zur Auswahl, die grundsätzlich die nachfolgenden Zahlungsreihen bei einer gleich bleibenden Konjunkturlage (Umweltzustand 1) aufweisen (Beträge in EUR): Periode 0 1 2 3 Zt A1 – 1.400 600 700 800 Zt A2 – 1.800 700 900 900 Zt A3 – 2.300 500 1.200 1.400 Zt A4 – 2.700 800 1.000 2.100 Bei allen vier Investitionsprojekten könnten die Einzahlungsüberschüsse bei einer sehr guten Konjunkturentwicklung (Umweltzustand 2) in jeder Periode um 30 % höher ausfallen. Bei einer guten Konjunkturentwicklung (Umweltzustand 3) würden die Einzahlungsüberschüsse hingegen in jeder Periode jeweils nur um 13 % steigen. Bei einer sehr schlechten Konjunkturentwicklung (Umweltzustand 4) würden die Einzahlungsüberschüsse in jeder Periode Unsicherheit bei Investitionsentscheidungen 167 jeweils um 10 % fallen. Bei einer schlechten Konjunkturentwicklung (Umweltzustand 5) fielen die Einzahlungsüberschüsse in jeder Periode jeweils um 5 %. Das Unternehmen verwendet einen Kalkulationszinssatz von 8 % p. a. a) Berechnen Sie die Kapitalwerte der vier Investitionsprojekte in Abhängigkeit von den fünf unterschiedlichen Konjunkturentwicklungen und stellen Sie eine Ergebnismatrix auf! b) Für welche Alternative wird sich das Unternehmen entscheiden, wenn die Maximin-Regel Anwendung findet? c) Für welche Alternative wird sich das Unternehmen entscheiden, wenn die Maximax-Regel Anwendung findet? d) Für welche Alternative wird sich das Unternehmen entscheiden, wenn die Hurwicz-Regel Anwendung findet (λ = 0,4)? e) Für welche Alternative wird sich das Unternehmen entscheiden, wenn die Erwartungswertregel Anwendung findet? Umweltzustand 1 2 3 4 5 Wahrscheinlichkeit des Eintritts 0,15 0,2 0,5 0,1 0,05 Lösung Teilaufgabe a) Ermittlung der Kapitalwerte für das Investitionsprojekt A1 in Abhängigkeit von den unterschiedlichen Umweltzuständen: C0 A1 U1 = – 1.400 + 600 ∙ 1,08 -1 + 700 ∙ 1,08-2 + 800 ∙ 1,08-3 = + 390,76 EUR C0 A1 U2 = – 1.400 + (600 ∙ 1,3) ∙ 1,08 -1 + (700 ∙ 1,3) ∙ 1,08-2 + (800 ∙ 1,3) ∙ 1,08-3 = + 927,99 EUR C0 A1 U3 = – 1.400 + (600 ∙ 1,13) ∙ 1,08 -1 + (700 ∙ 1,13) ∙ 1,08-2 + (800 ∙ 1,13) ∙ 1,08-3 = + 623,56 EUR C0 A1 U4 = – 1.400 + (600 ∙ 0,9) ∙ 1,08 -1 + (700 ∙ 0,9) ∙ 1,08-2 + (800 ∙ 0,9) ∙ 1,08-3 = + 211,68 EUR C0 A1 U5 = – 1.400 + (600 ∙ 0,95) ∙ 1,08 -1 + (700 ∙ 0,95) ∙ 1,08-2 + (800 ∙ 0,95) ∙ 1,08-3 = + 301,22 EUR Ermittlung der Kapitalwerte für das Investitionsprojekt A2 in Abhängigkeit von den unterschiedlichen Umweltzuständen: C0 A2 U1 = – 1.800 + 700 ∙ 1,08 -1 + 900 ∙ 1,08-2 + 900 ∙ 1,08-3 = + 334,20 EUR C0 A2 U2 = – 1.800 + (700 ∙ 1,3) ∙ 1,08 -1 + (900 ∙ 1,3) ∙ 1,08-2 + (900 ∙ 1,3) ∙ 1,08-3 = + 974,46 EUR 168 Investition in Übungen C0 A2 U3 = – 1.800 + (700 ∙ 1,13) ∙ 1,08 -1 + (900 ∙ 1,13) ∙ 1,08-2 + (900 ∙ 1,13) ∙ 1,08-3 = + 611,65 EUR C0 A2 U4 = – 1.800 + (700 ∙ 0,9) ∙ 1,08 -1 + (900 ∙ 0,9) ∙ 1,08-2 + (900 ∙ 0,9) ∙ 1,08-3 = + 120,78 EUR C0 A2 U5 = – 1.800 + (700 ∙ 0,95) ∙ 1,08 -1 + (900 ∙ 0,95) ∙ 1,08-2 + (900 ∙ 0,95) ∙ 1,08-3 = + 227,49 EUR Ermittlung der Kapitalwerte für das Investitionsprojekt A3 in Abhängigkeit von den unterschiedlichen Umweltzuständen: C0 A3 U1 = – 2.300 + 500 ∙ 1,08 -1 + 1.200 ∙ 1,08-2 + 1.400 ∙ 1,08-3 = + 303,13 EUR C0 A3 U2 = – 2.300 + (500 ∙ 1,3) ∙ 1,08 -1 + (1.200 ∙ 1,3) ∙ 1,08-2 + (1.400 ∙ 1,3) ∙ 1,08-3 = + 1.084,08 EUR C0 A3 U3 = – 2.300 + (500 ∙ 1,13) ∙ 1,08 -1 + (1.200 ∙ 1,13) ∙ 1,08-2 + (1.400 ∙ 1,13) ∙ 1,08-3 = + 641,54 EUR C0 A3 U4 = – 2.300 + (500 ∙ 0,9) ∙ 1,08 -1 + (1.200 ∙ 0,9) ∙ 1,08-2 + (1.400 ∙ 0,9) ∙ 1,08-3 = + 42,82 EUR C0 A3 U5 = – 2.300 + (500 ∙ 0,95) ∙ 1,08 -1 + (1.200 ∙ 0,95) ∙ 1,08-2 + (1.400 ∙ 0,95) ∙ 1,08-3 = + 172,98 EUR Ermittlung der Kapitalwerte für das Investitionsprojekt A4 in Abhängigkeit von den unterschiedlichen Umweltzuständen: C0 A4 U1 = – 2.700 + 800 ∙ 1,08 -1 + 1.000 ∙ 1,08-2 + 2.100 ∙ 1,08-3 = + 565,13 EUR C0 A4 U2 = – 2.700 + (800 ∙ 1,3) ∙ 1,08 -1 + (1.000 ∙ 1,3) ∙ 1,08-2 + (2.100 ∙ 1,3) ∙ 1,08-3 = + 1.544,67 EUR C0 A4 U3 = – 2.700 + (800 ∙ 1,13) ∙ 1,08 -1 + (1.000 ∙ 1,13) ∙ 1,08-2 + (2.100 ∙ 1,13) ∙ 1,08-3 = + 989,59 EUR C0 A4 U4 = – 2.700 + (800 ∙ 0,9) ∙ 1,08 -1 + (1.000 ∙ 0,9) ∙ 1,08-2 + (2.100 ∙ 0,9) ∙ 1,08-3 = + 238,61 EUR C0 A4 U5 = – 2.700 + (800 ∙ 0,95) ∙ 1,08 -1 + (1.000 ∙ 0,95) ∙ 1,08-2 + (2.100 ∙ 0,95) ∙ 1,08-3 = + 401,87 EUR Nachdem sämtliche Kapitalwerte in Abhängigkeit von den unterschiedlichen Umweltzuständen ermittelt wurden, kann nun eine Ergebnismatrix (Beträge in EUR) aufgestellt werden: Unsicherheit bei Investitionsentscheidungen 169 Umweltzustand U1 U2 U3 U4 U5 A1 390,76 927,99 623,56 211,68 301,22 A2 334,20 974,46 611,65 120,78 227,49 A3 303,13 1.084,08 641,54 42,82 172,98 A4 565,13 1.544,67 989,59 238,61 401,87 Teilaufgabe b) Nach der Maximin-Regel wird von den vier Investitionsprojekten dasjenige ausgewählt, welches beim ungünstigsten Umweltzustand zum maximalen Kapitalwert führt. Maximin-Regel: A1 = 211,68 EUR; A2 = 120,78 EUR; A3 = 42,82 EUR; A4 = 238,61 EUR. → A4 > A1 > A2 > A3! Nach der Maximin-Regel sollte von dem Unternehmen das Investitionsprojekt A4 ausgewählt werden. Teilaufgabe c) Nach der Maximax-Regel wird von den vier Investitionsprojekten dasjenige ausgewählt, welches beim besten Umweltzustand den maximal erzielbaren Kapitalwert aufweist. Maximax-Regel: A1 = 927,99 EUR; A2 = 974,46 EUR; A3 = 1.084,08 EUR; A4 = 1.544,67 EUR. → A4 > A3 > A2 > A1! Nach der Maximax-Regel sollte von dem Unternehmen das Investitionsprojekt A4 ausgewählt werden. Teilaufgabe d) Die Hurwicz-Regel stellt eine Optimismus-Pessimismus-Regel dar, bei der λ einen Optimismus-Koeffizienten darstellt, welcher Werte von 0 bis 1 annehmen kann. Entspricht λ dem Wert 1, stimmt die Hurwicz-Regel mit der Maximax-Regel überein. Nimmt λ dagegen den Wert 0 an, stimmt die Hurwicz- Regel mit der Maximin-Regel überein. 170 Investition in Übungen Im vorliegenden Fall bei λ = 0,4 ergeben sich folgende Zahlungen (Beträge in EUR): Umweltzustand U1 U2 U3 U4 U5 (1) (1 – 0,4) ∙ min. KW (2) 0,4 ∙ max. KW (3) = (1) + (2) A1 390,76 927,99 623,56 211,68 301,22 127,01 371,20 498,21 A2 334,20 974,46 611,65 120,78 227,49 72,47 389,78 462,25 A3 303,13 1.084,08 641,54 42,82 172,98 25,69 433,63 459,32 A4 565,13 1.544,67 989,59 238,61 401,87 143,17 617,87 761,04 → A4 > A1 > A2 > A3! Nach der Hurwicz-Regel sollte von dem Unternehmen das Investitionsprojekt A4 ausgewählt werden. Teilaufgabe e) Die Erwartungswertregel berechnet bei Vorliegen von Eintrittswahrscheinlichkeiten für die möglichen Umweltzustände (Uj) den Erwartungswert für die vier Investitionsprojekte (EWi) wie folgt (Beträge in EUR): Umweltzustand U1 (0,15) U2 (0,2) U3 (0,5) U4 (0,1) U5 (0,05) EWi A1 390,76 927,99 623,56 211,68 301,22 592,22 A2 334,20 974,46 611,65 120,78 227,49 574,30 A3 303,13 1.084,08 641,54 42,82 172,98 595,99 A4 565,13 1.544,67 989,59 238,61 401,87 932,45 → A4 > A3 > A1 > A2! Nach der Erwartungswertregel sollte von dem Unternehmen das Investitionsprojekt A4 ausgewählt werden. 6.4 Spezielle Methoden zur Erfassung der Unsicherheit Aufgabe 6.9: Korrekturverfahren Der Investor Ralf Riskant empfiehlt seinem Kollegen Siegfried Sicherheit die Durchführung einer Investition mit folgender Zahlungsreihe und Unterstel- Unsicherheit bei Investitionsentscheidungen 171 lung eines Kalkulationszinssatzes von 10 % p. a. bei Bestehen eines vollkommenen Kapitalmarkts: t 0 1 2 3 4 Investitionsauszahlung (EUR) 250.000 Einzahlungsüberschuss (EUR) 100.000 80.000 90.000 70.000 Liquidationserlös (EUR) 10.000 a) Prüfen Sie, ob unter Verwendung der Kapitalwertmethode die von Ralf Riskant empfohlene Investition vorteilhaft ist! b) Siegfried Sicherheit – bekannt als risikoscheuer Investor – hat massive Bedenken hinsichtlich der Sicherheit der von seinem Kollegen Ralf Riskant ermittelten Daten der Investition, weshalb er einige Korrekturen vornimmt. Siegfried Sicherheit geht davon aus, dass die Investitionsauszahlung zum Zeitpunkt t = 0 um 10 % höher ausfällt, im darauf folgenden Jahr eine zusätzliche Investitionsauszahlung i. H. v. 3 % der modifizierten Investitionsauszahlung zum Zeitpunkt t = 0 anfällt, die laufenden Einzahlungen in t = 1 und t = 2 jeweils um 5.000 EUR niedriger und in t = 3 und t = 4 um jeweils 4 % niedriger ausfallen sowie der Liquidationserlös lediglich 2 % der modifizierten Investitionsauszahlung zum Zeitpunkt t = 0 beträgt. Darüber hinaus legt er einen Kalkulationszinsfuß von 12 % p. a. zugrunde. Berechnen Sie unter Verwendung der Kapitalwertmethode und unter Berücksichtigung der Modifikationen der Ausgangsgrößen, ob die geplante Investition für Siegfried Sicherheit vorteilhaft ist! Lösung Teilaufgabe a) C0 = – 250.000 + 100.000 ∙ 1,1 -1 + 80.000 ∙ 1,1-2 + 90.000 ∙ 1,1-3 + 70.000 ∙ 1,1-4 + 10.000 ∙ 1,1-4 = + 29.284,20 EUR Die von Ralf Riskant empfohlene Investition ist vorteilhaft. Teilaufgabe b) C0 = – 250.000 ∙1,1 – 250.000 ∙ 1,1 ∙ 0,03 ∙ 1,12 -1 + (100.000 – 5.000) ∙ 1,12-1 + (80.000 – 5.000) ∙ 1,12-2 + 90.000 ∙ 0,96 ∙ 1,12-3 + 70.000 ∙ 0,96 ∙ 1,12-4 + 250.000 ∙ 1,1 ∙ 0,02 ∙ 1,12-4 = – 30.055,12 EUR 172 Investition in Übungen Im Vergleich zur Teilaufgabe a) ist aus einer ursprünglich attraktiven Investition eine unvorteilhafte Investition mit einem negativen Kapitalwert entstanden. Es ist nachvollziehbar, dass auf diese Art und Weise jede Investition „totgerechnet“ werden kann. Aufgabe 6.10: Sensitivitätsanalyse Die Sensitivitätsanalyse ist ein Verfahren zur Bestimmung der Empfindlichkeit von Zielgrößenwerten in Bezug auf Variationen verschiedener Einflussgrößen. Erläutern Sie dieses Verfahren als Instrument zur Berücksichtigung der Unsicherheit für den Fall, dass der Kapitalwert von Investitionen als Zielgröße herangezogen wird! Gehen Sie dabei insbesondere auf die Veränderung − der Nutzungsdauer, − des Absatzpreises und der variablen Stückkosten sowie − des Ertragsteuersatzes ein! Stellen Sie hilfsweise eine entsprechende Kapitalwertfunktionsgleichung auf! Lösung Unsicherheitsmomente werden bei Sensitivitätsanalysen nicht schon im Rahmen der Datenbeschaffung behandelt. Vielmehr verarbeitet man hier in der Investitionsrechnung alternative bzw. parametrisch variable Datenkonstellationen, um festzustellen, − in welchen Intervallen eine oder mehrere zufallsabhängige Größen schwanken dürfen, ohne dass die einmal gefundene Lösung eines Entscheidungsproblems ihre Optimalität verliert bzw. ohne dass der Zielfunktionswert (z. B. der Kapitalwert oder die Amortisationsdauer) eine vom Investor vorgegebene Schranke unter- bzw. überschreitet, − in welchem Ausmaß sich der Zielfunktionswert verändert, wenn eine oder mehrere Zufallsvariablen innerhalb der möglichen Grenzen variieren. Sensitivitätsanalysen beschäftigen sich demnach mit den Fragen, inwieweit eine Optimallösung bei zufallsabhängigen Datenveränderungen stabil bleibt und welche Bedeutung Zufallsschwankungen dabei für den Grad der monetären Zielerreichung des Investors besitzen. Unsicherheit bei Investitionsentscheidungen 173 Im einfachsten Fall dienen Sensitivitätsbetrachtungen der Ermittlung kritischer Werte: − kritische Auslastungsmengen, − Höchstamortisationsdauern, − interne Zinssätze. Bei Vorteilhaftigkeitsproblemen mit einer einzigen Zufallsvariablen existiert nur ein eindeutiger kritischer Wert. Sind mehrere Faktoren vom Zufall abhängig (z. B. die Absatzmenge und der Absatzpreis), so gibt es auch mehrere kritische Kombinationen. Hier soll die Sensitivitätsanalyse in dem Sinne verwandt werden, dass die Auswirkungen von Zufallsschwankungen der Inputgrößen auf den Kapitalwert untersucht werden. In einem ersten Schritt der Sensitivitätsanalyse sind die als unsicher angesehenen Inputgrößen zu bestimmen. In der hier gestellten Aufgabe sind dies: − die Nutzungsdauer n, − der Absatzpreis p und die variablen Stückkosten vk sowie − der Ertragsteuersatz ers . In einem zweiten Schritt ist dann die Kapitalwertfunktion zu formulieren, wobei Zusammenhänge zwischen einzelnen Inputgrößen zu berücksichtigen sind. Bei den hier vorgegebenen variablen Inputgrößen hat die Nutzungsdauer n Auswirkungen auf andere Inputgrößen. Zum einen sind die im Rahmen der Ermittlung der Ertragsteuerbemessungsgrundlage zu verrechnenden Abschreibungen von der Nutzungsdauer abhängig. Formelmäßig kann dies durch AfAt (n) ausgedrückt werden. Unterstellt man – wie im vorliegenden Fall – eine lineare Abschreibung, kann der Ausdruck AfAt (n) durch den Term n A0 , der die Höhe der jährlichen Abschreibung errechnet, ersetzt werden. Unterstellt man andere Abschreibungsverfahren, so kann in Abhängigkeit von verschiedenen Nutzungsdauern deren Formel zur Ermittlung der Abschreibungsbeträge in die Kapitalwertfunktion eingesetzt werden. Weit schwieriger sind die Auswirkungen unterschiedlicher Nutzungsdauern auf einen etwaigen Liquidationserlös zu erfassen. Dies kann allgemein nur durch Ln (n) ausgedrückt werden, da es keine gesetzmäßige Beziehung zwischen dem Liquidationserlös und der Nutzungsdauer gibt. Im Einzelfall wäre eine Gesetzmäßigkeit zu ermitteln und entsprechend in die Kapitalwertfunktion einzubeziehen. Bei den folgenden angenommenen Liquidationserlösen (Beträge in EUR) könnte dies so geschehen: 174 Investition in Übungen n 0 1 2 3 4 5 bis ∞ Ln 10.000 8.000 6.000 4.000 2.000 0 Man ersetzt in diesem Fall Ln in der Kapitalwertfunktion durch 10.000 – 2.000 ∙ n, wobei keine negativen Werte entstehen dürfen, wenn man davon ausgeht, dass keine Abbruchkosten etc. vorliegen. Der Absatzpreis p und die (auszahlungswirksamen) variablen Stückkosten kv haben Einfluss auf die Ein- bzw. Auszahlungen der einzelnen Perioden, so dass diese in der Formel durch (p – kv) ∙ x – Kf ersetzt werden, wobei x die produzierte und abgesetzte Menge und Kf die (auszahlungswirksamen) fixen Gesamtkosten darstellen. Die Auswirkungen des Absatzpreises p und der variablen Stückkosten kv auf den Ertragsteuersatz ser (höhere Gewinne bedingen u. U. einen höheren Steuersatz) bleiben unberücksichtigt, da man in der Investitionsrechnung (vereinfachenderweise) von einem in allen Perioden unveränderten Ertragsteuersatz ser ausgeht. Die Höhe des Ertragsteuersatzes ser wiederum hat Auswirkungen auf die Höhe der verbleibenden Einzahlungsüberschüsse und auf den Kalkulationszinssatz nach Steuern is. Ersteres wird in jeder Kapitalwertfunktion berücksichtigt, indem die zu zahlenden Ertragsteuern von den Einzahlungsüberschüssen abgezogen werden. Die Änderung des Kalkulationszinssatzes nach Steuern is wird in die Funktion einbezogen, indem is durch i ∙ (1 – ser) ersetzt wird. Die Kapitalwertfunktion hat dann folgendes Aussehen: C0 = – A0 + p – kv ∙ x – Kf – ser p – kv ∙ x – Kf – A0n n t=1 ∙ 1 + i ∙ (1 – ser) – t + Ln n – ser ∙ Ln n ∙ 1 + i ∙ (1 – ser) – n Dabei gilt: C0: Kapitalwert bezogen auf die Periode t = 0; A0: Anschaffungsauszahlung in der Periode t = 0; t: Perioden 1, …, n; n: Nutzungsdauer; p: Absatzpreis; kv: (Auszahlungswirksame) variable Stückkosten; x: Produzierte und abgesetzte Produktmenge; Kf: (Auszahlungswirksame) fixe Gesamtkosten; ser: Ertragsteuersatz; Unsicherheit bei Investitionsentscheidungen 175 Ln: Liquidationserlös in Periode t = n; i: Kalkulationszinssatz vor Steuern; is: Kalkulationszinssatz nach Steuern. Bei der Betrachtung des Liquidationserlöses muss ein Restbuchwert nicht beachtet werden, da er durch die Vornahme der Abschreibungen i. H. v. A0 n in t = n immer Null ist. Als nächster Schritt ist für die unsicheren Inputgrößen jeweils eine Schwankungsgröße vorzugeben (z. B. der Absatzpreis steigt um 10 % oder die variablen Stückkosten sinken um 5 %) und in einem letzten Schritt sind die Auswirkungen dieser Schwankungen auf den Kapitalwert zu errechnen. Entsprechend den Ergebnissen dieser Berechnung müssen dann die Schlussfolgerungen auf die Durchführung der betrachteten Investition gezogen werden. Bleibt der Kapitalwert beispielsweise bei allen Schwankungen positiv, würde man sich für eine Durchführung der Investition entscheiden, da die absolute Vorteilhaftigkeit (selbst) durch die (negativen) Schwankungen nicht beeinträchtigt wird. Nimmt der Kapitalwert bei der einen oder anderen Schwankung negative Werte an, so muss überlegt werden, wie wahrscheinlich die vorgegebene Schwankung ist und ob die Investition in Abhängigkeit hiervon durchgeführt werden soll. Aufgabe 6.11: Sensitivitätsanalyse45 Ein Automobilhersteller steht vor der Entscheidung, ein für die Produktion benötigtes Vorprodukt selbst herzustellen oder weiter zu einem Preis von 50 EUR/ME von einem Zulieferer zu beziehen. Um das Vorprodukt im eigenen Werk zu fertigen, müsste er eine Maschine anschaffen. Hier bestehen zwei Alternativen, die folgende Daten aufweisen: Maschine I Maschine II Fixe Gesamtkosten (EUR/Jahr) 50.000 70.000 Variable Gesamtkosten (EUR/Jahr) 200.000 120.000 Kapazität (ME/Jahr) 5.000 8.000 Es ist zu unterstellen, dass die variablen Gesamtkosten in einem proportionalen Verhältnis zur Produktionsmenge stehen. Da der Automobilhersteller nicht sicher bezüglich der benötigten Ausbringungsmenge ist, möchte er he- 45 Stark modifiziert entnommen aus Götze, Uwe: Investitionsrechnung: Modelle und Analysen zur Beurteilung von Investitionsvorhaben, 7. Aufl., Berlin/Heidelberg 2014, S. 397–400. 176 Investition in Übungen rausfinden, für welche Alternative er sich in Abhängigkeit von der Produktionsmenge entscheiden sollte. Führen Sie dazu eine Sensitivitätsanalyse durch! Lösung Rechnerische Ermittlung der kritischen Produktionsmenge: (1) Aufstellung der Kostenfunktionen für die einzelnen Alternativen: Die allgemeine Form der Kostenfunktion lautet: K (x) = Kf + kv ∙ x Dabei gilt: K(x): Kostenfunktion; Kf: Fixe Gesamtkosten; kv: Variable Stückkosten; x: Ausbringungsmenge. K Maschine I = 50.000 + 000.5 000.200 ∙ x = 50.000 + 40 ∙ x, für 0 ≤ x ≤ 5.000 K Maschine II = 70.000 + 000.8 000.120 ∙ x = 70.000 + 15 ∙ x, für 0 ≤ x ≤ 8.000 K Fremdbezug = 50 ∙ x, für x ≥ 0 (2) Gleichsetzen der Kostenfunktionen, um die kritische Produktionsmenge x zu berechnen: K Maschine I = K Maschine II 50.000 + 40 ∙ x = 70.000 + 15 ∙ x 25 ∙ x = 20.000 x = 800 ME/Jahr Bei einer Produktionsmenge von 800 ME/Jahr sind die Gesamtkosten der Maschinen I und II gleich hoch. Bei einer niedrigeren Produktionsmenge ist die Maschine I vorteilhafter, da diese die geringeren Fixkosten aufweist. Bei einer höheren Produktionsmenge ist die Maschine II kostengünstiger. K Maschine I = K Fremdbezug 50.000 + 40 ∙ x = 50 ∙ x 50.000 = 10 ∙ x x = 5.000 ME/Jahr Unsicherheit bei Investitionsentscheidungen 177 Bis zu einer Produktionsmenge von 5.000 ME/Jahr ist der Fremdbezug günstiger als die Maschine I. K Maschine II = K Fremdbezug 70.000 + 15 ∙ x = 50 ∙ x 70.000 = 35 ∙ x x = 2.000 ME/Jahr Bis zu einer Produktionsmenge von 2.000 ME/Jahr ist der Fremdbezug günstiger als die Maschine II. Insgesamt ist also bis zu einer Produktionsmenge von 2.000 ME/Jahr der Fremdbezug vorzuziehen, ab einer Produktionsmenge von 2.000 ME/Jahr erweist sich die Maschine II als vorteilhaft. Die Maschine I ist in keinem Fall auszuwählen, da sie sich erst ab einer Produktionsmenge von 5.000 ME/Jahr als vorteilhaft erweist, ihre Kapazität allerdings auch auf 5.000 ME/Jahr beschränkt ist. Zeichnerische Ermittlung der kritischen Produktionsmengen: Abbildung 6: Zeichnerische Ermittlung der kritischen Produktionsmengen 0 50.000 100.000 150.000 200.000 250.000 300.000 350.000 400.000 450.000 0 1.000 2.000 3.000 4.000 5.000 6.000 7.000 8.000 G es am tk os te n ( E U R /J ah r) Produktionsmenge (ME/Jahr) Vorteilhaftigkeitsbereiche der drei Alternativen Maschine I Maschine II Fremdbezug 178 Investition in Übungen Aufgabe 6.12: Sensitivitätsanalyse Die Geschäftsführung eines Unternehmens steht vor der Entscheidung, ob ein neues Produkt in das Produktionsprogramm aufgenommen werden soll. Die Controlling-Abteilung erhält daher die Aufgabe, entscheidungsrelevante Daten für die nächste Vorstandssitzung zusammenzutragen. Aus der Planungsabteilung stehen folgende Zahlen zur Verfügung: − Anschaffungsauszahlung (A0) für eine neue Produktionsanlage 1.200.000 EUR − Durchschnittliche jährliche Absatzmenge (x) 85.000 ME/Jahr − Auszahlungswirksame variable Stückkosten (kv) 8 EUR/ME − Auszahlungswirksame gesamte Fixkosten (Kf) − Vertrieb 260.000 EUR/Jahr − Werbung 170.000 EUR/Jahr − Angestrebter Absatzpreis pro Stück (p) 21 EUR/ME − Voraussichtliche Nutzungsdauer der Anlage (n) 3 Jahre − Kalkulationszinssatz für die Investitionsrechnung 10 % p. a. a) Ermitteln Sie mit Hilfe der Investitionsrechnung (Anwendung der Kapitalwertmethode) die kritischen prozentualen Abweichungen bei der Absatzmenge, dem Absatzpreis, den variablen Stückkosten und den gesamten Fixkosten! Verwenden Sie dabei folgende Kapitalwertformel: C0 = – A0 + (x ∙ (p – kv) – Kf) ∙ 2,486852 b) Untersuchen Sie mit Hilfe der „klassischen“ Break-Even-Analyse für die Absatzmenge und den Absatzpreis die kritischen prozentualen Abweichungen! c) Wie erklären Sie der Geschäftsleitung die unterschiedlichen Ergebnisse aus Teilaufgabe a) und Teilaufgabe b)? Lösung Teilaufgabe a) (1) Ermittlung der kritischen Absatzmenge: C0 = – A0 + (x ∙ (p – kv) – Kf) ∙ 2,486852 C0 = 0 Unsicherheit bei Investitionsentscheidungen 179 A0 2,486852 = x ∙ (p – k v ) – Kf A0 2,486852 + Kf ÷ (p – kv) = x 1.200.000 2,486852 + 430.000 ÷ (21 – 8) = 70.195,21 ME/Jahr Abweichung: – 17,4174 % (2) Ermittlung des kritischen Absatzpreises: C0 = – A0 + (x ∙ (p – kv) – Kf) ∙ 2,486852 A0 2,486852 + Kf ÷ x + kv = p (482.537,76 + 430.000) ÷ 85.000 + 8 = 18,74 EUR/ME Abweichung: – 10,7619 % (3) Ermittlung der kritischen variablen Stückkosten: C0 = – A0 + (x ∙ (p – kv) – Kf) ∙ 2,486852 kv = p – A02,486852 + Kf ÷ x = 21,00 – 10,74 = 10,26 EUR/ME Abweichung: + 28,2500 % (4) Ermittlung der kritischen gesamten Fixkosten: C0 = – A0 + (x ∙ (p – kv) – Kf) ∙ 2,486852 Kf = – A0 2,486852 + x ∙ (p – kv) = − 482.537,76 + 1.105.000 = 622.462,24 EUR/Jahr Abweichung: + 44,7587 % 180 Investition in Übungen Teilaufgabe b) (1) Break-Even-Analyse: Gewinn (G) = Umsatz (U) – Gesamtkosten (K) = p ∙ x – k v ∙ x + Kf) = p ∙ x – k v ∙ x – Kf = x ∙ (p – k v ) – Kf G = 0 (2) Ermittlung der kritischen Absatzmenge: x = Kf p – k v Kf = 430.000 + 1.200.000 3 + 1.200.000 2 ∙ 0,1 = 890.000 EUR/Jahr x = 890.000 21 – 8 x = 68.461,54 ME/Jahr Abweichung: − 19,4570 % (3) Ermittlung des kritischen Absatzpreises: p = Kf x + kv p = 890.000 85.000 + 8 = 18,47 EUR/ME Abweichung: – 12,0476 % Teilaufgabe c) Die größeren möglichen Abweichungen bei der Break-Even-Analyse sind auf die Vernachlässigung der finanzmathematisch berechneten Zinswirkungen zurückzuführen, d. h., die „genaueren“ Ergebnisse liefert die Investitionsrechnung. Unsicherheit bei Investitionsentscheidungen 181 Aufgabe 6.13: Sensitivitätsanalyse Der Investor Leo Liquide hat die Möglichkeit, das folgende Investitionsprojekt durchzuführen: Anschaffungsauszahlung 10.000 EUR, Einzahlungsüberschüsse in t1 und t2 jeweils 10.000 EUR, lineare Abschreibung über 2 Perioden. Leo Liquide rechnet mit einem Kalkulationszinssatz von 12 % p. a. vor Ertragsteuern. Sein Ertragsteuersatz beträgt 25 %. a) Wie hoch ist der Kapitalwert dieses Investitionsprojektes nach Steuern? b) Leo Liquide ist sich bezüglich der Höhe der Einzahlungsüberschüsse des Investitionsprojektes unsicher. Er beauftragt Sie daher, zu ermitteln, wie weit die in beiden Perioden gleich hohen Einzahlungsüberschüsse von den oben genannten abweichen dürfen, damit Leo Liquide hinsichtlich der Durchführung des Investitionsprojektes indifferent ist. c) Aufgrund der Finanznot der öffentlichen Haushalte geht Leo Liquide für die Zukunft davon aus, dass erstens der Fiskus Abschreibungen steuerlich nicht mehr anerkennt und dass zweitens der Ertragsteuersatz erhöht wird. Leo Liquide möchte von Ihnen wissen, wie hoch unter diesen Annahmen ein neuer Ertragsteuersatz sein muss, damit er hinsichtlich der Durchführung des Investitionsprojektes indifferent ist. Lösung Teilaufgabe a) Der um den Ertragsteuersatz korrigierte Kalkulationszinssatz lautet: 09,0)25,01(12,0)s1(ii ers =−⋅=−⋅= Dabei gilt: is: Kalkulationszinssatz nach Steuern; i: Kalkulationszinssatz vor Steuern; ser: Ertragsteuersatz. Der Kapitalwert des Investitionsprojektes nach Steuern (C0s) beträgt: C0s = [ ] 109,1)000.5000.10(25,0000.10000.10 −⋅−⋅−+− [ ] 209,1)000.5000.10(25,0000.10 −⋅−⋅−+ = + 5.392,22 EUR 182 Investition in Übungen Teilaufgabe b) Da der Kapitalwert des Investitionsprojektes nach Steuern positiv ist, müssen die Einzahlungsüberschüsse sinken, damit der Investor hinsichtlich der Durchführung des Investitionsprojektes indifferent ist. Zu diesem Zweck ist der Kapitalwert gleich Null zu setzen und nach den gesuchten Einzahlungs- überschüssen x aufzulösen: C s = 0 = – 10.000 + x – 0,25 ∙ (x – 5.000) ∙ 1,09 –1 + x – 0,25 ∙ (x – 5.000) ∙ 1,09 –2 → 10.000 ∙ 1,09 2 = x – 0,25 ∙ x + 1.250) ∙ 1,09 + x – 0,25 ∙ x + 1.250) → 10.000 ∙ 1,09 2 = (x – 0,25 ∙ x + 1.250) ∙ (1,09 + 1) → 10.000 ∙ 1,092 2,09 = 0,75 ∙ x + 1.250 = + 5.912,92 EUR Probe: C s = –10.000 + 5.912,92 – 0,25 ∙ (5.912,92 – 5.000) ∙ 1,09 –1) + 5.912,92 – 0,25 ∙ (5.912,92 – 5.000) ∙ 1,09 –2 = 0,0018 EUR (Rundungsfehler) Da sich bei gleich hohen Einzahlungsüberschüssen i. H. v. 5.912,92 EUR in t1 und t2 ein Kapitalwert von Null ergibt, müssen die Einzahlungsüberschüsse um 4.087,08 EUR pro Periode sinken, damit der Investor bezüglich der Durchführung des Investitionsprojektes indifferent ist. Teilaufgabe c) Zur Lösung dieses Problems ist der Kapitalwert nach Steuern gleich Null zu setzen und nach dem gesuchten Ertragsteuersatz ser aufzulösen: C0s = 0 = – 10.000 + 10.000 – 10.000 ∙ ser 1 + 0,12 ∙ (1 – ser) 1 + 10.000 – 10.000 ∙ ser 1 + 0,12 ∙ (1 – ser) 2 → 10.000 = 10.000 – 10.000 ∙ ser 1 + 0,12 ∙ (1 – ser) 1 + 10.000 – 10.000 ∙ ser 1 + 0,12 ∙ (1 – ser) 2 → 10.000 ∙ 1,12 – 0,12 ∙ ser 2 = 10.000 – 10.000 ∙ ser ∙ 1,12 – 0,12 ∙ ser + 10.000 – 10.000 ∙ ser → 10.000 ∙ 1,2544 – 0,1344 ∙ ser – 0,1344 ∙ ser + 0,0144 ∙ ser2 = 11.200 – 1.200 ∙ ser – 11.200 ∙ ser + 1.200 ∙ ser2 + 10.000 – 10.000 ∙ ser → 12.544 – 2.688 ∙ ser + 144 ∙ ser2 = 21.200 – 22.400 ∙ ser + 1.200 ∙ ser2 → – 8.656 + 19.712 ∙ ser – 1.056 ∙ ser2 = 0 Unsicherheit bei Investitionsentscheidungen 183 → ser 2 – 18,67 ∙ ser + 8.6561.056 = 0 → ser 1,2 = 9,33 ± 18,672 2 – 8.656 1.056 1 2 → ser 1,2 = 9,33 ± 8,88 → ser 1 = 18,21 und ser 2 = 0,45 Da ein Ertragsteuersatz von 1.821 % nicht realistisch ist, lautet der gesuchte Ertragsteuersatz ser2 = 45 %. Daraus ergibt sich ein Kalkulationszinssatz nach Steuern i. H. v. is = 0,12 ∙ (1 – 0,45) = 0,066. Probe: C0s = – 10.000 + 10.000 – 10.000 ∙ 0,45 1,066 + 10.000 – 10.000 ∙ 0,451,0662 = 0,49 EUR (Rundungsfehler) Unter der Annahme, dass Abschreibungen steuerlich nicht mehr anerkannt werden, muss der Ertragsteuersatz 45 % betragen, damit der Investor hinsichtlich der Durchführung des Investitionsprojektes indifferent ist. Aufgabe 6.14: Dreifach-Rechnung46 a) Was wird unter einer Dreifach-Rechnung verstanden? Welche Vor- und Nachteile sind mit einer Dreifach-Rechnung verbunden? b) Hinsichtlich einer geplanten Investition sind folgende Zahlungsreihe sowie ein Kalkulationszinssatz von 8 % p. a. gegeben: t 0 1 2 3 Zt (EUR) – 100.000 + 50.000 + 30.000 + 25.000 Darüber hinaus sind folgende Zukunftseinschätzungen hinsichtlich der geplanten Investition bekannt: 46 Vgl. Bieg, Hartmut; Kußmaul, Heinz; Waschbusch, Gerd: Investition, 3. Aufl., München 2016, S. 200–201; Däumler, Klaus-Dieter; Grabe, Jürgen: Anwendung von Investitionsrechnungsverfahren in der Praxis, 5. Aufl., Herne 2010, S. 113–115. 184 Investition in Übungen Zukunftseinschätzung (in % der Ausgangsdaten) optimistisch neutral pessimistisch Kalkulationszinssatz 80 95 110 Investitionsauszahlung 90 98 120 Einzahlungs- überschüsse 110 102 85 Überprüfen Sie die geplante Investition unter Verwendung der Dreifach- Rechnung (Kapitalwertmethode) auf ihre Vorteilhaftigkeit! Lösung Teilaufgabe a) Die zu bestimmende Zielgröße – beispielsweise der Kapitalwert – wird bei Anwendung der Dreifach-Rechnung auf der Basis von drei unterschiedlichen Zukunftsprognosen – einer optimistischen, einer neutralen und einer pessimistischen – berechnet. Dabei werden sämtliche unsicheren Ausgangsgrößen gleichzeitig modifiziert. Ergebnis einer Dreifach-Rechnung können die Konstellationen der nachfolgenden Ergebnismatrix sein: Datenkonstellation Entscheidungsregel optimistisch neutral pessimistisch Vorzeichen des Kapitalwerts + + + Investition durchführen + + Entscheidung nach subjektivem Ermessen des Investors + Investition unterlassen Abbildung 7: Mögliche Ergebnisse einer Dreifach-Rechnung47 Die Investition sollte auf jeden Fall durchgeführt werden, sofern auch bei einer pessimistischen Zukunftsprognose die Investition einen positiven Kapitalwert aufweist. Weist die Investition hingegen selbst bei einer optimistischen Zukunftsprognose einen negativen Kapitalwert auf, sollte die Investition unterlassen werden. In den beiden anderen Konstellationen ist keine ein- 47 Modifiziert entnommen aus Däumler, Klaus-Dieter; Grabe, Jürgen: Anwendung von Investitionsrechnungsverfahren in der Praxis, 5. Aufl., Herne 2010, S. 114. Unsicherheit bei Investitionsentscheidungen 185 deutige Vorteilhaftigkeitsaussage möglich, so dass die Entscheidung im subjektiven Ermessen des Investors liegt. Vorteilhaft an der Dreifach-Rechnung sind insbesondere die relativ einfache Realisierung und die leichte Auslegung der Ergebnisse sowie die Möglichkeit, das Ausmaß von Chance und Risiko gleichermaßen zu quantifizieren.48 Teilaufgabe b) Kapitalwert (C0) bei einer optimistischen Zukunftseinschätzung: C0 = – 100.000 ∙ 0,90 + 50.000 ∙ 1,1 ∙ (1 + 0,08 ∙ 0,8) -1 + 30.000 ∙ 1,1 ∙ (1 + 0,08 ∙ 0,8)-2 + 25.000 ∙ 1,1 ∙ (1 + 0,08 ∙ 0,8)-3 = + 13.671,30 EUR Kapitalwert (C0) bei einer neutralen Zukunftseinschätzung: C0 = – 100.000 ∙ 0,98 + 50.000 ∙ 1,02 ∙ (1 + 0,08 ∙ 0,95) -1 + 30.000 ∙ 1,02 ∙ (1 + 0,08 ∙ 0,95)-2 + 25.000 ∙ 1,02 ∙ (1 + 0,08 ∙ 0,95)-3 = – 3.702.93 EUR Kapitalwert (C0) bei einer pessimistischen Zukunftseinschätzung: C0 = – 100.000 ∙ 1,20 + 50.000 ∙ 0,85 ∙ (1 + 0,08 ∙ 1,1) -1 + 30.000 ∙ 0,85 ∙ (1 + 0,08 ∙ 1,1)-2 + 25.000 ∙ 0,85 ∙ (1 + 0,08 ∙ 1,1)-3 = – 42.896,12 EUR Ergebnismatrix: Beträge in EUR Datenkonstellation Entscheidungsregel optimistisch neutral pessimistisch Vorzeichen des Kapitalwerts + (+ 13.671,30) – (– 3.702,93) – (– 42.896,12) Entscheidung nach subjektivem Ermessen des Investors Die Durchführung der Investition unter Zugrundelegung der Dreifach-Rechnung (Kapitalwertmethode) ist somit bei den vorliegenden Daten abhängig vom subjektiven Ermessen des Investors. 48 Vgl. Däumler, Klaus-Dieter; Grabe, Jürgen: Anwendung von Investitionsrechnungsverfahren in der Praxis, 5. Aufl., Herne 2010, S. 115. 186 Investition in Übungen Aufgabe 6.15: Investitionssimulation49 Ein Unternehmen erwägt die Anschaffung einer neuen Maschine. Um die Vorteilhaftigkeit dieser Anschaffung zu beurteilen, ermittelt das Unternehmen bei einem Kalkulationszinssatz von 10 % p. a. als Zielwert den maximalen Gewinn pro Jahr und stützt sich dabei auf die folgenden Vorgaben: Ausprägung/Bereich (Wahrscheinlichkeit) Mittlerer Wert 0A (TEUR) 120-140 (0,2) 140-160 (0,2) 160-180 (0,4) 180-200 (0,2) 162 n (Jahre) 8 (0,2) 9 (0,2) 10 (0,2) 11 (0,4) 9,8 vk (EUR/ME) 30-35 (0,2) 35-40 (0,6) 40-45 (0,2) 37,5 x (ME) 400-500 (0,2) 500-600 (0,2) 600-700 (0,2) 700-800 (0,2) 800-900 (0,2) 650 p (EUR/ME) 60-70 (0,2) 70-80 (0,4) 80-90 (0,2) 90-100 (0,2) 79 );n,i(KWFA)kp(xZ 0v ⋅−−⋅= 1)i1( )i1(i KWF n n −+ +⋅= Dabei gilt: Z: Zielwert; x: Jährliche Absatzmenge; p: Verkaufspreis pro Mengeneinheit; kv: Variable Stückkosten des produzierten Gutes; A0: Anschaffungsauszahlung im Zeitpunkt t = 0; i: Kalkulationszinssatz; n: Nutzungsdauer der Maschine. a) Ermitteln Sie anhand dieser Vorgaben den schlechtesten Wert (Zmin), den mittleren Wert (Zɸ) und den besten Wert (Zmax) für den maximalen Gewinn pro Jahr! 49 Modifiziert entnommen aus Perridon, Louis; Steiner, Manfred; Rathgeber, Andreas: Finanzwirtschaft der Unternehmung, 17. Aufl., München 2017, S. 146–150. Unsicherheit bei Investitionsentscheidungen 187 b) Für die Simulation verwendet das Unternehmen einen einfachen Zufallsmechanismus, indem die Unternehmensleitung mit einem Würfel würfelt, von dem nur die Zahlen von 1 bis 5 gültig sind. Wird eine Sechs gewürfelt, ist nochmals zu würfeln, so dass die Wahrscheinlichkeit w(i) für jede Zahl i 51 beträgt. Den gewürfelten Zufallszahlen werden die folgenden Werte der Zufallsvariablen zugeordnet: Gewürfelte Zahl A0 (EUR) n (Jahre) kv (EUR/ME) x (ME) p (EUR/ME) 1 130.000 8 32,5 450 65 2 150.000 9 37,5 550 75 3 170.000 10 37,5 650 75 4 170.000 11 37,5 750 85 5 190.000 11 42,5 850 95 Mit dem Würfel ermittelt die Unternehmensleitung die folgenden Zufallszahlen: Lauf A0 n kv x p 1 4 2 3 5 3 2 3 4 2 3 3 3 2 5 1 5 4 4 5 1 2 3 4 5 3 5 5 4 5 6 4 2 2 4 4 7 3 2 2 4 1 8 5 2 5 1 2 Berechnen Sie die Zielwerte für die einzelnen Läufe und bringen Sie die Zielwerte zusammen mit dem schlechtesten Wert, dem mittleren Wert und dem besten Wert in eine Rangfolge! Wie viel Prozent der Werte sind vorteilhaft? 188 Investition in Übungen Lösung Teilaufgabe a) Schlechtester Wert: Zmin = xmin ∙ (pmin – kv max) – A0 max ∙ KWF(nmin) Zmin = 400 ∙ (60 – 45) – 200.000 ∙ 0,187444 = − 31.488,80 EUR Mittlerer Wert: Zɸ = xɸ ∙ (pɸ − kv ɸ) – A0 ɸ ∙ KWF(nɸ) Zɸ = 650 ∙ (79 – 37,5) – 162.000 ∙ 0,164735 = + 287,93 EUR Bester Wert: Zmax = xmax ∙ (pmax – kv min) – A0 min ∙ KWF(nmax) Zmax = 900 ∙ (100 – 30) – 120.000 ∙ 0,153963 = + 44.524,44 EUR Teilaufgabe b) Lauf A0 (EUR) n (Jahre) kv (EUR/ME) x (ME) p (EUR/ME) Z (EUR) 1 2 3 4 5 6 7 8 170.000 170.000 150.000 190.000 170.000 170.000 170.000 190.000 9 11 11 8 11 9 9 9 37,5 37,5 32,5 37,5 42,5 37,5 37,5 42,5 850 650 850 650 750 750 750 450 75 75 85 85 95 85 65 75 2.356,03 – 1.798,71 21.530,55 – 4.739,36 13.201,29 6.106,03 – 8.893,97 – 18.366,79 Bringt man die Zielwerte in eine Rangfolge, so ergibt sich folgende Tabelle: Rang Zielwert Nr. Zielwert in EUR 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 bester Wert 3 5 6 1 mittlerer Wert 2 4 7 8 schlechtester Wert 44.524,44 21.530,55 13.201,29 6.106,03 2.356,03 287,93 – 1.798,71 – 4.739,36 – 8.893,97 – 18.366,79 – 31.488,80 Unsicherheit bei Investitionsentscheidungen 189 Abbildung 8: Risikoprofil der Investition Die Gewinnschwelle liegt bei etwa 50 %. 54,55 % der Werte liegen über 0 EUR und sind damit vorteilhaft. Aufgabe 6.16: Entscheidungsbaumverfahren Der Vorstand eines Unternehmens steht vor der Entscheidung, ob zur Erweiterung der Produktionskapazität des Unternehmens eine neue Produktionsmaschine angeschafft werden soll. Dem Vorstand stehen zwei alternative Maschinen – Maschine A und Maschine B – zur Auswahl. Bei beiden Maschinen ist die Höhe der erzielbaren Einzahlungsüberschüsse (Zt) pro Periode abhängig von der zukünftigen Konjunkturlage. Der Vorstand kalkuliert mit zwei unterschiedlichen Konjunkturszenarien. Darüber hinaus ist bekannt, dass die erzielbaren Einzahlungsüberschüsse der Maschine A im Falle einer positiven Konjunktur über denen der Maschine B liegen. Ferner besteht die Möglichkeit, die Investition vorzeitig nach dem ersten Jahr zu beenden. Maschine A könnte dann zu einem Preis von 650.000 EUR verkauft werden. Für Maschine B könnte noch ein Liquidationserlös von 800.000 EUR erzielt werden. Ferner liegen folgende Informationen für einen Planungszeitraum von 2 Jahren vor: Z0 (TEUR) Z1 (TEUR) Z2 (TEUR) Konjunkturszenarien positiv negativ positiv negativ Maschine A – 1.700 1.200 700 1.800 600 Maschine B – 1.350 1.100 800 975 700 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 -40.000 -30.000 -20.000 -10.000 0 10.000 20.000 30.000 40.000 50.000 K u m u l. re la ti ve H äu fi gk ei t (% ) Zielwert (EUR) 190 Investition in Übungen Der Vorstand des Unternehmens kalkuliert im Jahr 1 mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,35 (0,65) mit einer positiven (negativen) Entwicklung. Im Jahr 2 wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,55 (0,45) angenommen, dass sich die Konjunktur positiv (negativ) entwickelt. Beschreiben Sie das vorstehende Entscheidungsproblem unter Verwendung eines Entscheidungsbaums! Geben Sie für die jeweiligen Entscheidungsmöglichkeiten auch die Kapitalwerte unter Verwendung eines Kalkulationszinssatzes von 5 % p. a. an! Welche Handlungsweise ist unter diesen Bedingungen zu empfehlen? U n sich erh eit b ei In vestitio n sen tsch eid u n g en 191 L ösu n g Fortführung R2,1 R2,2 R2,3 R2,4 R2,5 R2,6 R2,8 R2,10 R2,11 R2,14R2,12 R2,15 R2,16R2,7 R2,9 R2,13 Z ZZZ Z Z Z Z E 1, E1,1 1 E1,2 E1,3 E1,4 Z Z E0 0,55 pos. 0,55 pos. 0,55 pos. 0,55 pos. 0,55 pos. 0,55 pos. 0,55 pos. 0,55 pos. 0,45 neg. 0,45 neg. 0,45 neg. 0,45 neg. 0,45 neg. 0,45 neg. 0,45 neg. 0,45 neg. FortführungFortführung FortführungAbbruch Abbruch AbbruchAbbruch Positive Konjunkturlage (0,35) Szenario Negative Konjunkturlage (0,65) Szenario Negative Konjunkturlage (0,65) Szenario Positive Konjunkturlage (0,35) Szenario Maschine A Maschine B 192 Investition in Übungen Kapitalwerte für alle 16 Entscheidungsmöglichkeiten (Ri,j) (Beträge in TEUR): Entscheidungsmöglichkeiten Z0 Z1 Verkaufserlös Ende Jahr 1 Z2 Kapitalwerte positiv negativ positiv negativ R2,1 – 1.700 1.200 – – 1.800 – 1.075,51 R2,2 – 1.700 1.200 – – – 600 – 12,93 R2,3 – 1.700 1.200 – 650 – – 61,90 R2,4 – 1.700 1.200 – 650 – – 61,90 R2,5 – 1.700 – 700 – 1.800 – 599,32 R2,6 – 1.700 – 700 – – 600 – 489,12 R2,7 – 1.700 – 700 650 – – – 414,29 R2,8 – 1.700 – 700 650 – – – 414,29 R2,9 – 1.350 1.100 – – 975 – 581,97 R2,10 – 1.350 1.100 – – – 700 332,54 R2,11 – 1.350 1.100 – 800 – – 459,52 R2,12 – 1.350 1.100 – 800 – – 459,52 R2,13 – 1.350 – 800 – 975 – 296,26 R2,14 – 1.350 – 800 – – 700 46,83 R2,15 – 1.350 – 800 800 – – 173,81 R2,16 – 1.350 – 800 800 – – 173,81 Wird die Lösung des Entscheidungsproblems unter Verwendung des Roll- Back-Verfahrens ermittelt, sind zunächst die besten Folgeentscheidungen zu bestimmen. Die vier möglichen Entscheidungsalternativen im Zeitpunkt t1 können folgendermaßen dargestellt werden: Alternative Konjunkturlage in Periode 1 Entscheidungsknoten Maschine A positiv E1,1 Maschine A negativ E1,2 Maschine B positiv E1,3 Maschine B negativ E1,4 Unsicherheit bei Investitionsentscheidungen 193 Für sämtliche Entscheidungsalternativen ist anhand der Erwartungswerte der Kapitalwerte der einzelnen Entscheidungsalternativen zu entscheiden, ob das Projekt abgebrochen oder fortgeführt wird: Entscheidungsknoten Kapitalwert bei Fortführung (TEUR) Kapitalwert bei Abbruch (TEUR) E1,1 C0 = + 1.075,51 ∙ 0,55 – 12,93∙ 0,45 = + 585,71 C0 = + 61,90 ∙ 0,55 + 61,90 ∙ 0,45 = + 61,90 E1,2 C0 = + 599,32 ∙ 0,55 – 489,12 ∙ 0,45 = + 109,52 C0 = – 414,29 ∙ 0,55 – 414,29 ∙ 0,45 = – 414,29 E1,3 C0 = + 581,97 ∙ 0,55 + 332,54 ∙ 0,45 = + 469,73 C0 = + 459,52 ∙ 0,55 + 459,52 ∙ 0,45 = + 459,52 E1,4 C0 = + 296,26 ∙ 0,55 + 46,83 ∙ 0,45 = + 184,02 C0 = + 173,81 ∙ 0,55 + 173,81 ∙ 0,45 = + 173,81 Werden bei der Beurteilung der Vorteilhaftigkeit der Investitionsalternativen zum Zeitpunkt t = 0 nur die besten Folgeentscheidungen berücksichtigt, so ergeben sich folgende Kapitalwerte: C0 A = 585,71 ∙ 0,35 + 109,52 ∙ 0,65 = 276,19 TEUR C0 B = 469,73 ∙ 0,35 + 184,02 ∙ 0,65 = 284,02 TEUR Der Vorstand des Unternehmens sollte Maschine B erwerben und unabhängig von der Konjunkturentwicklung über 2 Jahre in Betrieb nehmen.

Chapter Preview

References

Zusammenfassung

Univ.-Prof. Dr. Hartmut Bieg, Bereich Wirtschaftswissenschaft, Universität des Saarlandes, Saarbrücken.

Univ.-Prof. Dr. Heinz Kußmaul, Direktor des Betriebswirtschaftlichen Instituts für Steuerlehre und Entrepreneurship am Lehrstuhl für Allgemeine Betriebswirtschaftslehre, insb. Betriebswirtschaftliche Steuerlehre an der Universität des Saarlandes, Saarbrücken.

Univ.-Prof. Dr. Gerd Waschbusch, Inhaber des Lehrstuhls für Allgemeine Betriebswirtschaftslehre, insb. Bankbetriebslehre an der Universität des Saarlandes, Saarbrücken.

In der Lehre zeigt sich immer wieder, dass es des intensiven Einsatzes von Beispielen – vor allem aber von Übungsaufgaben – bedarf, um Studierenden ein nachhaltiges Verständnis betriebswirtschaftlicher Methoden zu ermöglichen. Investition in Übungen hilft, diese Methodenkompetenz zu erhalten und darüber hinaus – ein nicht zu vernachlässigender Effekt – sich auf Prüfungen optimal vorzubereiten.

Dieses in vierter Auflage erschienene Übungsbuch begleitet das Lehrbuch „Investition“ von Bieg/Kußmaul/Waschbusch. Es ermöglicht den Lesern, das dort ausführlich behandelte Fachgebiet der Investition anhand rechnerisch zu lösender Aufgaben zu vertiefen und damit Sicherheit beim Umgang mit den zentralen Verfahren des Investitionsmanagements zu erlangen.