Content

5 Verfahren zur Ermittlung der optimalen Nutzungsdauer und des optimalen Ersatzzeitpunktes von Investitionen in:

Hartmut Bieg, Heinz Kußmaul, Gerd Waschbusch

Investition in Übungen, page 139 - 149

4. Edition 2021, ISBN print: 978-3-8006-6472-6, ISBN online: 978-3-8006-6473-3, https://doi.org/10.15358/9783800664733-139

Series: Vahlens Übungsbücher der Wirtschafts- und Sozialwissenschaften

Bibliographic information
5 Verfahren zur Ermittlung der optimalen Nutzungsdauer und des optimalen Ersatzzeitpunktes von Investitionen 5.1 Die Bestimmung der optimalen Nutzungsdauer Aufgabe 5.1: Optimale Nutzungsdauer Der Investor Günther Geldweg hat die Möglichkeit, auf einem vollkommenen Kapitalmarkt (Kalkulationszinssatz i = 10 % p. a.) ein Investitionsprojekt zu realisieren, für das die folgenden Daten gelten: t/m 0 1 2 3 4 5 6 Zt (EUR) − 10.000 5.500 4.500 1.000 1.000 800 700 Lm (EUR) 10.000 6.000 4.000 3.000 2.000 1.000 − Alle Zahlungen sollen am Ende der jeweiligen Periode t (t = 0, 1, …, m) erfolgen. Bei einer Veräußerung des Investitionsprojektes in einer Periode t erhält der Investor also sowohl den Einzahlungsüberschuss dieser Periode (Zt) als auch den für diese Periode vorgesehenen Liquidationserlös nach einer Nutzungsdauer von m Perioden (Lm). a) Berechnen Sie die optimale Nutzungsdauer, wenn der Investor einen (beschränkten) Planungshorizont von 6 Jahren hat! b) Berechnen Sie die optimale Nutzungsdauer, wenn der Investor einen unendlichen Planungshorizont hat und eine fortwährende Ersatzinvestition des gleichen Investitionsprojektes geplant ist! Lösung Teilaufgabe a) Berechnung der Kapitalwerte C0 (m) in Abhängigkeit von der Nutzungsdauer m und Bestimmung der optimalen Nutzungsdauer, wenn der Investor einen (beschränkten) Planungshorizont von 6 Jahren hat (Beträge in EUR): 140 Investition in Übungen t/m 0 1 2 3 4 5 6 C0 (m) 0 – – 1 – 10.000 11.500 454,55 2 – 10.000 5.500 8.500 2.024,79 3 – 10.000 5.500 4.500 4.000 1.724,27 4 – 10.000 5.500 4.500 1.000 3.000 1.519,36 5 – 10.000 5.500 4.500 1.000 1.000 1.800 1.270,99 6 – 10.000 5.500 4.500 1.000 1.000 800 700 1.045,21 Die optimale Nutzungsdauer bei einem (beschränkten) Planungshorizont von 6 Jahren beträgt 2 Jahre. Dabei gilt: C0 (m): Kapitalwert des Investitionsprojektes bei m-jähriger Nutzung; m: Nutzungsdauer des Investitionsprojektes; t: Periode (t = 0, 1, 2, …, m). Teilaufgabe b) Berechnung der Kettenkapitalwerte KC0 und Bestimmung der optimalen Nutzungsdauer, wenn der Investor einen unendlichen Planungshorizont hat und eine fortwährende Ersatzinvestition des gleichen Investitionsprojektes geplant ist: m C0 (m) (EUR) KWF = 110,1 10,110,0 m m − ⋅ Annuität = C0 (m) ∙ KWF (EUR) KC0 = Annuität i (EUR) 1 454,55 1,100000 500,01 5.000,10 2 2.024,79 0,576190 1.166,66 11.666,60 3 1.724,27 0,402115 693,35 6.933,50 4 1.519,36 0,315471 479,31 4.793,10 5 1.270,99 0,263797 335,28 3.352,80 6 1.045,21 0,229607 239,99 2.399,90 Die optimale Nutzungsdauer bei einem unendlichen Planungshorizont und fortwährender Ersatzinvestition des gleichen Investitionsprojektes beträgt ebenfalls 2 Jahre. Optimale Nutzungsdauer und optimaler Ersatzzeitpunkt von Investitionen 141 Dabei gilt: KC0: Kettenkapitalwert. Der Kettenkapitalwert entspricht der Summe aller auf den Zeitpunkt t = 0 abgezinsten Kapitalwerte der einzelnen Investitionsprojekte der unendlichen Investitionskette. Aufgabe 5.2: Optimale Nutzungsdauer Ein Unternehmen plant die einmalige, d. h. nicht zu wiederholende Beschaffung einer neuen Produktionsanlage. Zur Wahl stehen die Anlagen A und B. Aus technischen Gründen ist die Nutzungsdauer der beiden Anlagen jeweils auf maximal 4 Jahre beschränkt. Die Anschaffungsauszahlungen betragen für die Anlage A 96.150 EUR und für die Anlage B 120.000 EUR. Der Kalkulationszinssatz beträgt 10 % p. a. Die im Folgenden angegebenen Einzahlungsüberschüsse und Liquidationserlöse der beiden Anlagen beziehen sich jeweils auf das Ende eines Jahres. Jahr 1 2 3 4 Anlage A Einzahlungsüberschuss (EUR) 50.000 50.000 40.000 10.000 Restwert (EUR) 60.000 30.000 10.000 0 Anlage B Einzahlungsüberschuss (EUR) 40.000 40.000 60.000 50.000 Restwert (EUR) 108.000 84.000 48.000 0 Für die bevorstehenden 4 Jahre ist davon auszugehen, dass mit Ausnahme der Anlagen A und B nur Sach- und Finanzinvestitionen mit einer internen Verzinsung von maximal 10 % p. a. realisierbar sind. a) Bestimmen Sie die optimale Nutzungsdauer für die Anlage A und für die Anlage B! b) Ermitteln Sie die internen Zinsfüße der Anlagen A und B unter Zugrundelegung der jeweils optimalen Nutzungsdauer! c) Welche der beiden Investitionsalternativen ist unter den in der Aufgabenstellung genannten Voraussetzungen zu wählen? Begründen Sie Ihre Entscheidung! 142 Investition in Übungen Lösung Teilaufgabe a) Ermittlung der optimalen Nutzungsdauer (Entscheidungskriterium: optimaler Kapitalwert C0 (m)): Anlage A: 0 Jahre: C0 (0) = 0 EUR 1 Jahr: C0 (1) = – 96.150 + (50.000 + 60.000) ∙ 1,1 -1 = 3.850 EUR 2 Jahre: C0 (2) = – 96.150 + 50.000 ∙ 1,1-1 + (50.000 + 30.000) ∙ 1,1-2 = + 15.420,25 EUR 3 Jahre: C0 (3) = – 96.150 + 50.000 ∙ 1,1-1 + 50.000 ∙ 1,1-2 + (40.000 + 10.000) ∙ 1,1-3 = + 28.192,60 EUR 4 Jahre: C0 (4) = – 96.150 + 50.000 ∙ 1,1-1 + 50.000 ∙ 1,1-2 + 40.000 ∙ 1,1-3 + 10.000 ∙ 1,1-4 = + 27.509,59 EUR Die optimale Nutzungsdauer der Anlage A beträgt 3 Jahre. Anlage B: 0 Jahre: C0 (0) = 0 EUR 1 Jahr: C0 (1) = – 120.000 + 148.000 ∙ 1,1 -1 = 14.545,46 EUR 2 Jahre: C0 (2) = – 120.000 + 40.000 ∙ 1,1-1 + 124.000 ∙ 1,1-2 = + 18.842,98 EUR 3 Jahre: C0 (3) = – 120.000 + 40.000 ∙ 1,1-1 + 40.000 ∙ 1,1-2 + 108.000 ∙ 1,1-3 = + 30.563,49 EUR 4 Jahre: C0 (4) = – 120.000 + 40.000 ∙ 1,1-1 + 40.000 ∙ 1,1-2 + 60.000 ∙ 1,1-3 + 50.000 ∙ 1,1-4 = + 28.651,05 EUR Die optimale Nutzungsdauer der Anlage B beträgt 3 Jahre. Teilaufgabe b) Ermittlung des internen Zinsfußes: Anlage A: C0 = – 96.150 + 50.000 ∙ 1 + r –1 + 50.000 ∙ 1 + r –2 + 50.000 ∙ 1 + r –3 = 0 Näherungslösung mit Hilfe der linearen Interpolation: i1 = 10 % p. a.; C01 = + 28.192,60 EUR Optimale Nutzungsdauer und optimaler Ersatzzeitpunkt von Investitionen 143 i2 = 30 % p. a.; C02 = – 5.344,36 EUR 0102 12 011 CC ii Cir̂ − −⋅−= Dabei gilt: r̂ : Interner Zinsfuß p. a. der Investition; 1i : Versuchszinssatz 1 p. a. der Investition; 2i : Versuchszinssatz 2 p. a. der Investition; 01C : Kapitalwert der Investition zum Zeitpunkt t = 0 und Verwendung des Versuchszinssatzes 1 p. a. der Investition; 02C : Kapitalwert der Investition zum Zeitpunkt t = 0 und Verwendung des Versuchszinssatzes 2 p. a. der Investition. 268129,0168129,010,0 96,536.33 20,0 60,192.2810,0 60,192.2836,344.5 10,030,0 60,192.2810,0r̂ =+= − ⋅−= −− −⋅−= Der interne Zinsfuß der Anlage A beträgt näherungsweise 26,8129 % p. a. Anlage B: C0 = – 120.000 + 40.000 ∙ (1 + r) -1 + 40.000 ∙ (1 + r)-2 + 108.000 ∙ (1 + r)-3 = 0 i1 = 10 % p. a.; C01 = + 30.563,49 EUR i2 = 25 % p. a.; C02 = – 7.104,00 EUR 0102 12 011 CC ii Cir̂ − −⋅−= 221710,0121710,010,0 49,667.37 15,0 49,563.3010,0 49,563.30104.7 10,025,0 49,563.3010,0r̂ =+= − ⋅−= −− −⋅−= Der interne Zinsfuß der Anlage B beträgt näherungsweise 22,1710 % p. a. 144 Investition in Übungen Teilaufgabe c) Anlage B sollte angeschafft werden, da sie bei einer dreijährigen Nutzungsdauer einen höheren Kapitalwert erbringt als die Anlage A. Zwar liegt der interne Zinsfuß der Anlage B unter dem der Anlage A, allerdings lässt sich an diesem Beispiel die Untauglichkeit der internen Zinsfußmethode als Entscheidungskriterium demonstrieren. Diese fehlende Tauglichkeit hat ihren Ursprung in den widersprüchlichen Voraussetzungen der internen Zinsfußmethode. Der interne Zinsfuß wird mit dem Kalkulationszinssatz verglichen. Liegt er darüber (was bei den Anlagen A und B erfüllt ist), so gilt die Investition als vorteilhaft. Der Kalkulationszinssatz wird aus Kapitalbeschaffungsmöglichkeiten und/oder aus den Kapitalanlagealternativen des Investors abgeleitet. Die Methode des internen Zinsfußes geht aber von sich widersprechenden Voraussetzungen aus, wenn sie einerseits unterstellt, dass finanzielle Mittel zum Kalkulationszinssatz beschafft bzw. angelegt werden können, andererseits in ihrer Wiederanlageprämisse aber davon ausgeht, eben diese Mittel zum internen Zinsfuß beschaffen oder anlegen zu können. In den hier untersuchten Anlagen wird diese Inkonsequenz noch deutlicher, denn man unterstellt, dass finanzielle Mittel der Anlage A zu 26,81 % p. a., finanzielle Mittel der Anlage B dagegen zu 22,17 % p. a. angelegt bzw. aufgenommen werden können. Da diese Vorgehensweise völlig unrealistisch ist, sollte der Kapitalwertmethode der Vorzug eingeräumt werden. Nach diesem Kriterium ist somit Anlage B zu wählen. Aufgabe 5.3: Optimale Nutzungsdauer38 Ein Textilhersteller möchte eine Maschine, die bei der Herstellung von Oberbekleidung benötigt wird, anschaffen. Außerdem sieht er vor, diese Maschine einmalig durch eine identische Maschine zu ersetzen. Die Folgeinvestition hat keinen Nachfolger, da der Textilhersteller damit rechnet, dass die zu fertigende Oberbekleidung nur begrenzt in Mode ist und sich anschließend nicht mehr verkaufen lässt. Die Erst- und die Folgeinvestition weisen die folgenden identischen Daten auf: Die Anschaffungskosten betragen 500.000 EUR, der Kalkulationszinssatz beträgt 7 % p. a. und den relevanten Zeitpunkten der technischen Nutzungsdauer (6 Perioden) sind die in der nachfolgenden Tabelle aufgeführten Rückflüsse und Liquidationserlöse zuzuordnen. 38 Stark modifiziert entnommen aus Götze, Uwe: Investitionsrechnung: Modelle und Analysen zur Beurteilung von Investitionsvorhaben, 7. Aufl., Berlin/Heidelberg 2014, S. 258–259. Optimale Nutzungsdauer und optimaler Ersatzzeitpunkt von Investitionen 145 t 1 2 3 4 5 6 Rückflüsse (EUR) 150.000 140.000 130.000 120.000 110.000 100.000 Liquidationserlöse (EUR) 400.000 300.000 250.000 200.000 150.000 100.000 Berechnen Sie zunächst die optimale Nutzungsdauer der Folgeinvestition, sodann diejenige der Erstinvestition! Lösung (1) Berechnung der optimalen Nutzungsdauer der Folgeinvestition: t/m – A0 bzw. Rt (EUR) Lm (EUR) C0 (m) (EUR) 0 – 500.000 500.000 0,00 1 150.000 400.000 14.018,69 2 140.000 300.000 24.499,96 3 130.000 250.000 72.661,53 4 120.000 200.000 112.713,53 5 110.000 150.000 145.510,89 6 100.000 100.000 171.831,41 Bei der Folgeinvestition ist eine Nutzungsdauer von 6 Perioden optimal, da dann der maximale Kapitalwert i. H. v. 171.831,41 EUR erzielt wird. Eine Nachfolgeinvestition ist nicht zu berücksichtigen. Dabei gilt: t: Periode (t = 0, 1, 2, …, m); m: Nutzungsdauer des Investitionsprojektes; A0: Anschaffungsauszahlung im Zeitpunkt t0; Rt: Rückfluss im Zeitpunkt t; Lm: Liquidationserlös nach einer Nutzungsdauer von m Perioden; C0 (m): Kapitalwert bei einer Nutzungsdauer von m Perioden. 146 Investition in Übungen (2) Berechnung der optimalen Nutzungsdauer der Erstinvestition: m C0 (m) der Erstinvestition (EUR) C0 (6) der Folgeinvestition ∙ (1 + i)-m (EUR) Summe der Kapitalwerte (EUR) 0 0,00 171.831,41 171.831,41 1 14.018,69 160.590,10 174.608,79 2 24.499,96 150.084,21 174.584,17 3 72.661,53 140.265,62 212.927,15 4 112.713,53 131.089,36 243.802,89 5 145.510,89 122.513,42 268.024,31 6 171.831,41 114.498,53 286.329,94 Die optimale Nutzungsdauer der Erstinvestition beträgt ebenfalls 6 Perioden. 5.2 Die Bestimmung des optimalen Ersatzzeitpunktes Aufgabe 5.4: Optimale Nutzungsdauer und optimaler Ersatzzeitpunkt Skizzieren Sie die beiden Fragestellungen der ex-ante-Entscheidung und der ex-post-Entscheidung im Rahmen der Bestimmung der optimalen Nutzungsdauer bzw. des optimalen Ersatzzeitpunktes von Investitionen! Lösung Die Fragestellung bezüglich der ex-ante-Entscheidung betrifft das Nutzungsdauerproblem. Ist die Frage nach der optimalen Nutzungsdauer eines Investitionsobjekts vor dessen Durchführung (ex-ante) zu klären, so lautet sie: Soll ein noch nicht realisiertes Investitionsprojekt 1, 2, 3, ... oder n Perioden lang genutzt werden, oder ist es vorteilhafter, ganz auf die Investition zu verzichten? Die Fragestellung bezüglich der ex-post-Entscheidung betrifft das Ersatzproblem. Ist eine Investition bereits realisiert, so stellt sich für den Investor in jeder der folgenden Perioden (ex-post) die Frage nach der Weiterführung oder der Stilllegung der Investition. In diesem Fall lautet die Fragestellung: Soll eine bereits vorhandene Investition noch 1, 2, 3, ... oder n Perioden lang genutzt werden oder ist es vorteilhafter, die Nutzung sofort zu beenden? Optimale Nutzungsdauer und optimaler Ersatzzeitpunkt von Investitionen 147 Beide Arten von Entscheidungen haben damit im Wesentlichen die gleiche Problematik zum Gegenstand, es erfolgt aber eine Betrachtung aus zeitlich unterschiedlichen Positionen. Während bei einer ex-ante-Entscheidung der Investor im Vorhinein Kenntnisse über die optimale Nutzungsdauer haben möchte, steht bei einer ex-post-Entscheidung der optimale Ersatzzeitpunkt bei einer bereits durchgeführten Investition im Mittelpunkt des Interesses. Aufgabe 5.5: Optimaler Ersatzzeitpunkt Ein Unternehmen steht vor der Entscheidung, ein bereits laufendes Investitionsprojekt I noch bis zu 3 Jahre weiterlaufen zu lassen oder schon vorher durch ein neues Investitionsprojekt II zu ersetzen. Der Kalkulationszinssatz beträgt 8 % p. a. Die Zahlungen für die folgenden Jahre, in denen das Investitionsprojekt I noch weiterbetrieben werden kann, sind die folgenden: t/m Einzahlungsüberschuss (EUR) Liquidationserlös (EUR) 0 20.000 10.000 1 15.000 9.000 2 11.000 7.500 3 7.000 6.500 4 5.000 − Die Zahlungen bei einer Realisierung des Investitionsprojekts II in den entsprechenden Jahren lauten folgendermaßen: t/m Einzahlungsüberschuss (EUR) Liquidationserlös (EUR) 0 – 35.000 35.000 1 21.000 19.000 2 15.000 12.000 3 12.000 8.000 4 7.000 5.000 5 5.000 1.000 Für das Investitionsprojekt II ist bereits die Entscheidung gefallen, dieses auf Dauer fortzuführen. a) Berechnen Sie die optimale Nutzungsdauer für die unendliche Investitionskette mit dem Investitionsprojekt II! b) Zu welchem Zeitpunkt soll das Investitionsprojekt I durch das Investitionsprojekt II ersetzt werden? 148 Investition in Übungen Lösung Teilaufgabe a) Berechnung der optimalen Nutzungsdauer für die unendliche Investitionskette mit dem Investitionsprojekt II; Überblick über die Lösungsschritte: (1) Zuerst sind die Kapitalwerte C0 (m) in Abhängigkeit von der Nutzungsdauer zu berechnen. (2) Anschließend ist der jeweilige Kapitalwert mit dem der jeweiligen Nutzungsdauer entsprechenden Annuitätenfaktor zu multiplizieren. (3) Die zeitabhängige Annuität wird durch den Kalkulationszinssatz dividiert. (4) Abschließend werden die errechneten zeitabhängigen Kettenkapitalwerte KC0 der unendlichen identischen Investitionskette miteinander verglichen; der maximale Kettenkapitalwert bestimmt die optimale Nutzungsdauer. m C0II (m) KWF = 108,1 08,108,0 m m − ⋅ Zeitabh. Annuität = C0II (m) ∙ KWF Zeitabh. KC0II = Annuität i (EUR) (EUR) (EUR) 1 2.037,04 1,080000 2.200,00 27.500,00 2 7.592,59 0,560690 4.257,09 53.213,63 3 13.181,17 0,388034 5.114,74 63.934,25 4 15.650,87 0,301921 4.725,33 59.066,63 5 16.059,22 0,250456 4.022,13 50.276,63 Die optimale Nutzungsdauer für die unendliche Investitionskette mit dem Investitionsprojekt II beträgt 3 Jahre. Teilaufgabe b) Überblick über die Lösungsschritte zur Ermittlung des optimalen Ersatzzeitpunktes, an dem das Investitionsprojekt I durch das Investitionsprojekt II ersetzt werden soll: (1) Im ersten Schritt ist der zeitliche Grenzgewinn des Investitionsprojektes I zu ermitteln. (2) Anschließend ist die Annuität des Investitionsprojektes II zu ermitteln (vgl. dazu Teilaufgabe a)). (3) Abschließend wird der Ersetzungskapitalwert errechnet. Optimale Nutzungsdauer und optimaler Ersatzzeitpunkt von Investitionen 149 m (1) Zm + Lm (2) Lm-1 ⋅ (1 + i) (3) = (1) – (2) ∆C0I(m) ⋅ (1 + i)m (4) (1 + i)-m (5) = (3) ∙ (4) ∆C0I(m) (6) =∑ (5) ∑ C0I (m) (EUR) (EUR) (EUR) (EUR) (EUR) 0 30.000 0 30.000 1,000000 30.000,00 30.000,00 1 24.000 10.800 13.200 0,925926 12.222,22 42.222,22 2 18.500 9.720 8.780 0,857339 7.527,44 49.749,66 3 13.500 8.100 5.400 0,793832 4.286,69 54.036,35 4 5.000 7.020 – 2.020 0,735030 – 1.484,76 52.551,59 m (7) = (6) (8) Zeitabh. Annuität (9) = (8) ÷ i KC0II (3) (10) = (9) ∙ (4) KC0II (m) (11) = (7) + (10) EC0 (m) (EUR) (EUR) (EUR) (EUR) (EUR) 0 30.000,00 5.114,74 63.934,25 63.934,25 93.934,25 1 42.222,22 5.114,74 63.934,25 59.198,38 101.420,60 2 49.749,66 5.114,74 63.934,25 54.813,33 104.562,99 3 54.036,35 5.114,74 63.934,25 50.753,05 104.789,40 4 52.551,59 5.114,74 63.934,25 46.993,59 99.545,18 Dabei gilt: m: Nutzungsdauer; mZ : Einzahlungsüberschuss der Periode m; mL : Liquidationserlös der Periode m; ∆C0(m): Zeitlicher Grenzgewinn bei einer m-jährigen Nutzung der Investition; KC0 (m): Kettenkapitalwert; EC0 (m): Ersetzungskapitalwert; i: Kalkulationszinssatz p. a. Das alte Investitionsprojekt I sollte nach 3 Jahren durch das neue Investitionsprojekt II ersetzt werden.

Chapter Preview

References

Zusammenfassung

Univ.-Prof. Dr. Hartmut Bieg, Bereich Wirtschaftswissenschaft, Universität des Saarlandes, Saarbrücken.

Univ.-Prof. Dr. Heinz Kußmaul, Direktor des Betriebswirtschaftlichen Instituts für Steuerlehre und Entrepreneurship am Lehrstuhl für Allgemeine Betriebswirtschaftslehre, insb. Betriebswirtschaftliche Steuerlehre an der Universität des Saarlandes, Saarbrücken.

Univ.-Prof. Dr. Gerd Waschbusch, Inhaber des Lehrstuhls für Allgemeine Betriebswirtschaftslehre, insb. Bankbetriebslehre an der Universität des Saarlandes, Saarbrücken.

In der Lehre zeigt sich immer wieder, dass es des intensiven Einsatzes von Beispielen – vor allem aber von Übungsaufgaben – bedarf, um Studierenden ein nachhaltiges Verständnis betriebswirtschaftlicher Methoden zu ermöglichen. Investition in Übungen hilft, diese Methodenkompetenz zu erhalten und darüber hinaus – ein nicht zu vernachlässigender Effekt – sich auf Prüfungen optimal vorzubereiten.

Dieses in vierter Auflage erschienene Übungsbuch begleitet das Lehrbuch „Investition“ von Bieg/Kußmaul/Waschbusch. Es ermöglicht den Lesern, das dort ausführlich behandelte Fachgebiet der Investition anhand rechnerisch zu lösender Aufgaben zu vertiefen und damit Sicherheit beim Umgang mit den zentralen Verfahren des Investitionsmanagements zu erlangen.