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4 Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung in:

Hartmut Bieg, Heinz Kußmaul, Gerd Waschbusch

Investition in Übungen, page 53 - 138

4. Edition 2021, ISBN print: 978-3-8006-6472-6, ISBN online: 978-3-8006-6473-3, https://doi.org/10.15358/9783800664733-53

Series: Vahlens Übungsbücher der Wirtschafts- und Sozialwissenschaften

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4 Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 4.1 Grundlagen der dynamischen Investitionsrechnung Aufgabe 4.1: Berechnung von Verzinsungsfaktoren14 Ermitteln Sie die Aufzinsungsfaktoren für einen Zinssatz von i = 4 % p. a. und Verzinsungszeiträume von 1 Jahr bis zu 10 Jahren (t = 1, …, 10)! Weshalb steigen diese Aufzinsungsfaktoren überproportional an? Wie wird diese Art von Wachstum bezeichnet? Lösung Jahr t (1 + 0,04)t Jahr t (1 + 0,04)t 1 1,040000 6 1,265319 2 1,081600 7 1,315932 3 1,124864 8 1,368569 4 1,169859 9 1,423312 5 1,216653 10 1,480244 Das überproportionale Ansteigen der Aufzinsungsfaktoren beruht auf dem Zinseszinseffekt. Die Zinsen der einzelnen Jahre werden dem jeweils zu verzinsenden Betrag zugeschlagen. Bei diesem Sachverhalt handelt es sich um eine geometrische Reihe. 14 Modifiziert entnommen aus Troßmann, Ernst; Werkmeister, Clemens: Arbeitsbuch Investition, Stuttgart 2001, S. 7 und S. 99. 54 Investition in Übungen Aufgabe 4.2: Zinseszinsrechnung15 a) Ein Sparkonto i. H. v. 25.300 EUR wird 8 Jahre lang mit 4,5 % p. a. verzinst. Wie groß ist das Endvermögen? b) Frau Neureich erwirbt ein abgezinstes Wertpapier mit einem Nominalwert von 1.000 EUR, einer Laufzeit von 6 Jahren und einem nominellen Jahreszinssatz von 4,4 %. Wie hoch ist der Kurs des Wertpapiers beim Erwerb? c) Berechnen Sie den effektiven Jahreszinssatz, wenn Frau Neureich – siehe Teilaufgabe b) – für den Kauf des abgezinsten Wertpapiers noch Transaktionskosten i. H. v. 2,5 ‰ des Nominalwerts bezahlen muss! d) Nach wie vielen Jahren verdoppelt sich der Betrag eines Sparkontos bei einem Jahreszinssatz von 4,5 %? Lösung Teilaufgabe a) Das Endvermögen ( nK ) berechnet sich aus der Aufzinsung des Anfangsvermögens ( 0K ) mit dem einheitlichen Zinssatz i über n Jahre nach folgender Gleichung: ( )n0n i1KK +⋅= Hier: 8K = 25.300 EUR ∙ (1+ 0,045) 8 = 35.979,15 EUR Das Endvermögen beträgt nach 8 Jahren 35.979,15 EUR. Teilaufgabe b) Den Kurs des Wertpapiers beim Erwerb ( 0K ) ermittelt man durch Umformung der Ausgangsgleichung aus Teilaufgabe a) wie folgt: ( )n0n i1KK +⋅= )i1( KK n n 0 + = 15 Geringfügig modifiziert entnommen aus Grundmann, Wolfgang: Finanz- und Versicherungsmathematik, Leipzig 1996, S. 17. Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 55 Hier: K0 = 1.000 EUR (1 + 0,044)6 = 772,32 EUR Der Kurs des Wertpapiers beim Erwerb (= Kaufpreis) beträgt 772,32 EUR. Teilaufgabe c) Die Transaktionskosten – sie führen zu einer Erhöhung des Kaufpreises des abgezinsten Wertpapiers – betragen 2,5 ‰ ∙ 1.000 EUR = 2,50 EUR. Der effektive Jahreszinssatz ergibt sich durch Umformung der Ausgangsgleichung aus Teilaufgabe a) und Auflösen nach dem Zinssatz i wie folgt: Kn= K0∙ (1 + i) n 1 K Ki n 0 n −= Hier: 1 50,232,772 000.1 6 − + = 4,3438 % p. a. Der effektive Jahreszins beläuft sich auf 4,3438 % p. a. Teilaufgabe d) Die Anzahl der Jahre ergibt sich durch Umformung der Ausgangsgleichung aus Teilaufgabe a) und Auflösen nach n (Jahre) durch Verwendung des Logarithmus (ln) wie folgt: K n= K 0∙ (1 + i) n n = ln K n K 0 ln (1 + i) Hier: K n= 2 ∙ K 0 n = ln 2 1 ln 1,045 = 0,693147 0,044017 = 15,75 Jahre Nach 15 Jahren und 9 Monaten hat sich der Betrag des Sparkontos verdoppelt. 56 Investition in Übungen Aufgabe 4.3: Zinseszinsrechnung und Zinssätze Herr Sparsam erbt am 01.01.20 12.000 EUR, die er gleich zur Bank bringt und anlegt. Es wird ein nomineller jährlicher Zinssatz von 6 % vereinbart. Welchen Wert wird die Erbschaft am 31.12.30 haben, wenn die Bank a) eine einfache Verzinsung, b) eine Zinseszinsrechnung zusagt und die Verzinsung bei Letzterer alternativ jährlich, vierteljährlich, monatlich bzw. kontinuierlich vorgenommen wird? Wie groß sind die effektiven Jahreszinssätze bei vierteljährlicher und monatlicher Verzinsung? Lösung Teilaufgabe a) Einfache Verzinsung: i)n(1KiKnKK iK...iKiKKK 000n 0000n ⋅+⋅=⋅⋅+= ⋅++⋅+⋅+= Dabei gilt: Kn: Kapitalwert der Investition nach n Jahren; K0: Anfangsvermögen; i: Zinssatz p. a.; n: Jahre. EUR 19.920,00=⋅+⋅= )060111(EUR 00012K 11 ,. Teilaufgabe b) − Jährliche Verzinsung: n 0 n 0n 2 012 0001 qKi)(1KK i)(1K i)(1KK i)(1K iKKK ⋅=+⋅= +⋅=+⋅= +⋅=⋅+= Dabei gilt: nq : Aufzinsungsfaktor. EUR22.779,58 0,06) (1 EUR 00012K 1111 =+⋅= . Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 57 − Vierteljährliche Verzinsung: m2 02 m1 01 m i 1KK m i 1KK ⋅ ⋅ +⋅= +⋅= mn 0n m i 1KK ⋅ +⋅= Dabei gilt: m: Anzahl der Zinszuschlagstermine. K11 = 12.000 EUR ∙ 1 + 0,064 11 ∙ 4 = 23.104,00 EUR − Monatliche Verzinsung: K11 = 12.000 EUR ∙ 1 + 0,064 11 ∙ 12 = 23.179,36 EUR − Kontinuierliche/stetige Verzinsung: ni 0 nm m 0n mn 0 m n eK m i 1limKK m i 1KlimK ⋅ ∞→ ⋅ ∞→ ⋅= +⋅= +⋅= Dabei gilt: e : Eulersche Zahl (= 2,71828…). 1106,0 11 eEUR000.12K ⋅⋅= = 23.217,51 EUR Berechnung des effektiven Jahreszinses ( eff.i ) bei vierteljährlicher Verzinsung: m 0eff.0 m i 1K)i(1K +⋅=+⋅ ieff. = 1 + im m – 1 = 1 + 0,06 4 4 – 1 ≈ 0,061364 ≈ 6,1364 % p. a. Berechnung des effektiven Jahreszinses ( eff.i ) bei monatlicher Verzinsung: ieff. = 1 + im m – 1 = 1 + 0,06 12 12 – 1 ≈ 0,061678 ≈ 6,1678 % p. a. 58 Investition in Übungen Aufgabe 4.4: Rentenrechnung16 a) Der Käufer einer Villa hat sich verpflichtet, 30 Jahre lang jeweils zum Jahresende (nachschüssig) eine Rente von 15.000 EUR an den Verkäufer zu entrichten. Welchem Barwert bzw. Endwert entspricht diese Zahlungsform, wenn ein Zinssatz von 6 % p. a. unterstellt wird? b) Herr Spar zahlt jährlich 2.300 EUR auf ein Konto ein. Vereinfachend wird unterstellt, dass der Zeitpunkt der jährlichen Zinszahlung stets mit dem Zeitpunkt der jährlichen Einzahlung übereinstimmt. Welcher (durchschnittliche effektive) Zinssatz wurde erzielt, wenn nach 2 Jahren 4.800 EUR zur Verfügung stehen? c) Frau Konto spart jedes Jahr 4.000 EUR. Die Einzahlung erfolgt jeweils zum Ende eines Jahres. Mit dem Kreditinstitut wird ein langfristiger Zinssatz von 5 % p. a. vereinbart. Nach wie vielen Jahren wird die Spargrenze von 100.000 EUR erreicht? d) Herr Haben verfügt über ein Guthaben von 160.000 EUR. Welche jährliche Rentenzahlung könnte er bei einem Zinssatz von 5 % p. a. bei Vereinbarung einer ewigen Rente erhalten? Lösung Teilaufgabe a) (1) Ermittlung des Barwerts der Rente (K0): ( ) ( )n n 0 i1i 1i1 aK +⋅ −+⋅= Dabei gilt: K0: Barwert der Rente; a: Jährliche Rente; i: Zinssatz p. a.; n: Jahre. 16 Modifiziert entnommen aus Grundmann, Wolfgang: Finanz- und Versicherungsmathematik, Leipzig 1996, S. 32–34. Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 59 Hier: )06,01(06,0 1)06,01( EUR000.15K 30 30 0 +⋅ −+⋅= = 206.472,47 EUR Der Barwert der Rente beträgt 206.472,47 EUR. (2) Ermittlung des Endwerts der Rente (Kn): ( ) i 1i1 aK n n −+⋅= Dabei gilt: Kn: Endwert der Rente; a: Jährliche Rente; i: Zinssatz p. a.; n: Jahre. Hier: ( ) =⋅= −+ 06,0 106,01 30 30 EUR000.15K 1.185.872,79 EUR Der Endwert der Rente beträgt 1.185.872,79 EUR. Teilaufgabe b) Gegeben ist ein nachschüssiger Rentenendwert i. H. v. 4.800 EUR. Es wurden zwei Raten zu je 2.300 EUR eingezahlt. Ermittlung des durchschnittlichen effektiven Zinssatzes (i): (1 + i)n – 1 i = Kn a Hier: (1 + i)2 – 1 i = 4.800 EUR 2.300 EUR → 1 + 2 i + i2 – 1 i = 4.800 EUR 2.300 EUR → 2 + i 1 = 4.800 EUR 2.300 EUR → i = 4.800 EUR 2.300 EUR – 2 = 0,086957 = 8,6957 % p. a. Es wurde von Herrn Spar ein (durchschnittlicher effektiver) Zinssatz i. H. v. 8,6957 % p. a. erzielt. 60 Investition in Übungen Teilaufgabe c) ( ) i)(1ln 1 a i ln n n n n K i 1i1 aK + +⋅ =⋅= →−+ Hier: = + +⋅ = )05,01(ln 1 000.4 05,0000.100 ln n 16,62 Jahre Nach 16 Jahren ist die Spargrenze von 100.000 EUR noch nicht erreicht. Nach 17 Jahren wird die Spargrenze von 100.000 EUR überschritten. Teilaufgabe d) ( ) ( )n n 0 i1i 1i1 aK +⋅ −+⋅= ( ) ( ) ( ) +⋅ − + +⋅⋅= nn n 0 i1i 1 i1 i1 i 1 aK ( ) ( ) ( ) +⋅ − + +⋅⋅= → ∞→ 43421321 0 n 1 n n 0 n i1i 1 i1 i1 i 1 aK lim i 1 aK 0 ⋅= Hier: 8.000=⋅=⋅= 05,0EUR000.160iKa 0 EUR/Jahr Herr Haben könnte eine ewige Rente i. H. v. 8.000 EUR/Jahr erhalten. Aufgabe 4.5: Klassische Verfahren der dynamischen Investitionsrechnung a) Erläutern Sie die Kapitalwertmethode, die Annuitätenmethode sowie die Methode des internen Zinsfußes und geben Sie jeweils die Definitionsgleichung und das Vorteilhaftigkeitskriterium an! b) Schildern Sie die wesentlichen Mängel, die den klassischen Verfahren der dynamischen Investitionsrechnung anhaften! Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 61 Lösung Teilaufgabe a) Bei den dynamischen Verfahren der Investitionsrechnung wird die Vorteilhaftigkeit einer Investition über deren gesamte Lebensdauer hinweg betrachtet. Es erfolgt keine Bildung von Periodendurchschnittswerten. Die im Zeitablauf jeweils schwankenden Einzahlungen bzw. Einnahmen und Auszahlungen bzw. Ausgaben werden auf einen festgelegten Investitionszeitpunkt diskontiert. Eine synonyme Verwendung dieser beiden Begriffspaare ist allerdings nur dann erlaubt, wenn durch Kreditbewegungen keine zeitlichen Verwerfungen zwischen den Zahlungsmittel- und Geldvermögensveränderungen auftreten. Kapitalwertmethode17 Im Rahmen der Kapitalwertmethode wird jede Investition durch eine bestimmte Zahlungsreihe repräsentiert. Der Kapitalwert einer Investition entspricht dem Barwert dieser Zahlungsreihe, also der Summe aller mit dem Kalkulationszinssatz i auf den Zeitpunkt t = 0, den Investitionszeitpunkt, abgezinsten Ein- und Auszahlungen, die durch das Investitionsprojekt ausgelöst werden; er stellt demnach den durch die Investition verursachten Vermögenszuwachs, bezogen auf t = 0, dar. Definitionsgleichung der Kapitalwertmethode: Die Summe aller Barwerte der durch ein Investitionsvorhaben verursachten Zahlungen wird als Kapitalwert C0 dieser Investition bezeichnet: ( ) ( ) ( ) == + − + = + = n 0t t t t t n 0t t t 0 i1 A i1 E i1 Z C Dabei gilt: C0: Kapitalwert der Investition; Et: Einzahlungen der Periode t; At: Auszahlungen der Periode t; Zt: Differenz zwischen den Ein- und Auszahlungen der Periode t mit folgender Wirkung: 17 Vgl. Bieg, Hartmut; Kußmaul, Heinz; Waschbusch, Gerd: Investition, 3. Aufl., München 2016, S. 100–104. 62 Investition in Übungen − Einzahlungsüberschuss der Periode t, wenn Zt > 0 bzw. − Auszahlungsüberschuss der Periode t, wenn Zt < 0; i: Kalkulationszinssatz; n: Nutzungsdauer des Investitionsobjekts; t: Periode (t = 0, 1, 2, ..., n). Die folgende Darstellung berücksichtigt explizit, dass − zum Zeitpunkt t = 0 bei Realisierung der Investition keine Einzahlungen vorliegen (E0 = 0 und damit Z0 = A0), − am Ende der Nutzungsdauer eine Liquidationseinzahlung (ein Liquidationserlös) bzw. eine Liquidationsauszahlung (z. B. Abbruch- und/oder Entsorgungskosten) anfallen kann (Ln > 0 bzw. Ln < 0). Es ergibt sich daher folgende abgewandelte Formel: n n t t n 1t 00 i)(1 L i)(1 Z AC + + + +−= = Dabei gilt: A0: Anschaffungsauszahlung im Zeitpunkt t = 0; Ln: Liquidationseinzahlung (Liquidationserlös), falls Ln > 0 bzw. Liquidationsauszahlung, falls Ln < 0. Im Falle der Fremdfinanzierung der Investition entspricht der Kalkulationszinssatz dem tatsächlich zu zahlenden effektiven Sollzinssatz. Bei Eigenfinanzierung sind die Eigenkapitalkosten im Sinne von Opportunitätskosten als Kalkulationszinssatz heranzuziehen. Nach der Kapitalwertmethode ist ein einzelnes Investitionsprojekt dann vorteilhaft, wenn sein Kapitalwert größer Null ist. Von mehreren zur Verfügung stehenden Investitionsalternativen ist diejenige für den Investor am günstigsten, die den größten positiven Kapitalwert besitzt. Annuitätenmethode18 Auch bei der Annuitätenmethode, die eine Variante der Kapitalwertmethode darstellt, wird in einem ersten Schritt der Kapitalwert ermittelt. Dieser wird dann in einem zweiten Schritt mit Hilfe des Kapitalwiedergewinnungsfaktors in eine Annuität, also eine äquivalente, äquidistante und uniforme Zahlungs- 18 Vgl. Bieg, Hartmut; Kußmaul, Heinz; Waschbusch, Gerd: Investition, 3. Aufl., München 2016, S. 104–107. Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 63 reihe, transformiert. Die Annuität kann als der durch die Investition verursachte Einkommenszuwachs verstanden werden, also als der Betrag, der neben Tilgung und Verzinsung in jeder Periode verfügbar ist. Definitionsgleichung der Annuitätenmethode: ( ) ( ) ( ) KWFC 1i1 i1i i1 Z G 0n nn 0t t t n ⋅=−+ +⋅⋅ + = = Dabei gilt: Gn: Annuität bei einer Nutzungsdauer von n Jahren; C0: Kapitalwert der Investition; Zt: Differenz zwischen den Ein- und Auszahlungen der Periode t mit folgender Wirkung: − Einzahlungsüberschuss der Periode t, wenn Zt > 0 bzw. − Auszahlungsüberschuss der Periode t, wenn Zt < 0; i: Kalkulationszinssatz; n: Nutzungsdauer des Investitionsobjekts; t: Periode (t = 0, 1, 2, ..., n); KWF: Kapitalwiedergewinnungsfaktor. Eine einzelne Investition ist nach der Annuitätenmethode dann vorteilhaft, wenn ihre Annuität größer als Null ist. Von mehreren alternativen Handlungsmöglichkeiten des Investors ist diejenige mit der größten positiven Annuität vorzuziehen. Bei mehreren Handlungsmöglichkeiten ist zu beachten, dass die in den Vergleich einbezogenen Projekte dieselbe Nutzungsdauer aufweisen. Methode des internen Zinsfußes19 Bei der Methode des internen Zinsfußes wird die effektive Verzinsung des jeweils gebundenen Kapitals ermittelt. Die Methode des internen Zinsfußes stellt eine Abwandlung der Kapitalwertmethode dar, indem nicht von einem gegebenen Kalkulationszinssatz ausgegangen wird, sondern derjenige Diskontierungszinsfuß gesucht wird, der zu einem Kapitalwert von Null führt. Ein Kapitalwert von Null bedeutet eine Identität zwischen dem Barwert der Einzahlungsreihe und dem Barwert der Auszahlungsreihe. 19 Vgl. Bieg, Hartmut; Kußmaul, Heinz; Waschbusch, Gerd: Investition, 3. Aufl., München 2016, S. 107–114. 64 Investition in Übungen Definitionsgleichung des internen Zinsfußes: = − =+⋅ n 0t t t 0r)(1Z Dabei gilt: Zt: Einzahlungs- bzw. Auszahlungsüberschuss der Periode t; r: Interner Zinsfuß; n: Nutzungsdauer des Investitionsobjekts; t: Periode (t = 0, 1, 2, …, n). Der interne Zinsfuß r ist bei der Methode des internen Zinsfußes dem gegebenen Kalkulationszinssatz i (Vergleichsalternative) gegenüberzustellen. Liegt der interne Zinsfuß über dem Mindestzinsfuß i, der erzielt werden soll, so ist die Investition vorteilhaft. Bei einem Vergleich mehrerer Alternativen ist diejenige Investition am vorteilhaftesten, die den höchsten internen Zinsfuß aufweist, sofern dieser gleichzeitig größer als der Mindestzinsfuß i ist. Teilaufgabe b) Bei den dynamischen Investitionsrechnungsverfahren ergeben sich Probleme, wenn die zu vergleichenden Investitionen keine vollständigen Alternativen darstellen, weil die Lebensdauern der einzelnen Investitionsobjekte unterschiedlich lang sind und/oder weil die Anschaffungsauszahlungen der einzelnen Investitionsobjekte unterschiedlich hoch sind. Diese beiden Probleme werden bei den verschiedenen dynamischen Investitionsrechnungsverfahren durch unterschiedliche Wiederanlageprämissen „gelöst“. Dabei handelt es sich um Unterstellungen, wie sich alle Zahlungs- überschüsse, Ergänzungs- und Anschlussinvestitionen verzinsen. Bei der Kapitalwertmethode – und damit auch bei der Annuitätenmethode – wird unterstellt, dass eine „Wiederanlage“ zum Kalkulationszinssatz erfolgt. Gilt diese Prämisse, was insbesondere bei Gültigkeit der Prämisse des vollkommenen Kapitalmarktes zutreffen wird, so ist sichergestellt, dass die in einen Vergleich einzubeziehenden Alternativen vollständig sind, denn sowohl Differenzen in der Höhe des gebundenen Kapitals als auch Differenzen hinsichtlich der Nutzungsdauern sind dann ohne Einfluss auf die Kapitalwerte der Projekte und damit auf das Entscheidungskriterium der Kapitalwertmethode. Ergänzungs- und Anschlussinvestitionen können nur zu einem jährlichen Wertzuwachs in Höhe ihres Betrages multipliziert mit dem Kalkulationszinssatz führen. Genau diese Verzinsung wird aber durch die Diskontierung mit dem Kalkulationszinssatz auf den Zeitpunkt t = 0 wieder rückgängig gemacht, so dass der entsprechende Differenzkapitalwert immer gleich Null ist. Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 65 Ein zweites Problem ergibt sich daraus, dass in einem Betrieb i. d. R. mehrere Investitionen gleichzeitig oder zeitlich gestaffelt realisiert werden sollen. Bei der Untersuchung eines einzelnen Vorhabens weiß man jedoch noch nicht, welche Investitionsvorhaben sich insgesamt in der Planungsperiode als vorteilhaft erweisen werden. Somit kennt man den Gesamtkapitalbedarf noch nicht und weiß damit auch nicht, welche Finanzierungsform zu welchen Konditionen in Frage kommt. Damit fehlt aber eine wichtige Basis zur Ermittlung der durch die Investition verursachten zusätzlichen oder entgangenen Zinsen und somit auch zur Bestimmung des Kalkulationszinssatzes. Auch dieses Problem „lösen“ die Prämissen des vollkommenen und unbeschränkten Kapitalmarkts. Diese sehr starke Vereinfachung ist allerdings nur zulässig, wenn der Zinssatz für aufzunehmendes Kapital zumindest annähernd gleich dem für anzulegendes Kapital ist. Da dies in der Realität im Allgemeinen nicht der Fall ist, ist das Ergebnis der Kapitalwertmethode nur noch als grober Anhaltspunkt anzusehen und nicht mehr in jedem Fall richtig. Die Kapitalwertmethode steht und fällt demnach mit der Wiederanlage- und den Kapitalmarktprämissen. Ihre Nachteile beruhen primär auf diesen – häufig unrealistischen – Unterstellungen. Die Annuitätenmethode als eine Modifikation der Kapitalwertmethode baut auf deren Prämissen auf. Dementsprechend gelten grundsätzlich dieselben Kritikpunkte. Zusätzlich kommen folgende Nachteile hinzu: − Die Annuitätenmethode erfordert einen zusätzlichen Rechenaufwand, da in einem ersten Schritt ohnehin die Kapitalwerte der Investitionsalternativen zu bestimmen sind. − Die Annuitätenmethode birgt die Gefahr von Fehlentscheidungen, wenn Investitionsobjekte mit unterschiedlichen Lebensdauern anhand ihrer auf die jeweilige Projektdauer berechneten Annuitäten verglichen werden. Die Mängel der Methode des internen Zinsfußes liegen nicht nur in der mangelnden Interpretierbarkeit ihrer Ergebnisse (als Effektivverzinsung oder Gesamtkapitalrentabilität), sondern auch in ihrer Wiederanlageprämisse. Hier wird die „Wiederanlage“ jeweils zum internen Zinsfuß des betrachteten Investitionsprojekts unterstellt, so dass sich Zahlungsüberschüsse, Ergänzungs- und Anschlussinvestitionen bei jedem Investitionsprojekt in unterschiedlicher Weise auswirken. Technische Voraussetzungen für die Gültigkeit dieser Prämisse sind zum einen die mehrmalige gleichzeitige, aber auch spätere Durchführung des Projekts sowie zum anderen die beliebige Teilbarkeit des Projekts bei gleicher interner Rendite – eine üblicherweise nicht erfüllte Voraussetzung. Die Wiederanlageprämisse wird dubios, sobald mehrere Investitionsprojekte mit verschiedenen internen Zinsfüßen beurteilt werden sollen. 66 Investition in Übungen Ein weiteres Problem der Methode des internen Zinsfußes besteht darin, dass zuweilen keine oder nur eine nicht eindeutige Bestimmung des internen Zinsfußes möglich ist. Aufgabe 4.6: Gemeinsamkeiten der dynamischen Verfahren Skizzieren Sie in Stichwortform die Gemeinsamkeiten der dynamischen Verfahren der Investitionsrechnung! Lösung Die Gemeinsamkeiten der dynamischen Verfahren der Investitionsrechnung sind darin zu sehen, dass − erstens Zahlungsgrößen und keine periodisierten Erfolgsgrößen heranzuziehen sind, − zweitens regelmäßig ein einheitlicher Zahlungszeitpunkt zugrunde gelegt wird, wobei typischerweise mit nachschüssigen, d. h. am Ende einer Periode anfallenden Zahlungen gerechnet wird, − drittens ein einheitlicher Bezugszeitpunkt gewählt werden muss, der bei den meisten Verfahren am Beginn der Zahlungsreihe, zum Teil aber auch zu anderen Zeitpunkten wie dem Ende des Zahlungszeitraums liegt, und − viertens mit einem Kalkulationszinssatz alle Zahlungen auf einen einheitlichen Bezugszeitpunkt auf- oder abgezinst und damit vergleichbar gemacht werden. Aufgabe 4.7: Kalkulationszinssatz und Kapitalwert Stellen Sie für eine typische Sachinvestition den funktionalen Zusammenhang zwischen der Höhe des Kalkulationszinssatzes und dem Kapitalwert grafisch dar und interpretieren Sie die Schnittstellen des entsprechenden Graphen mit der Ordinate und der Abszisse! Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 67 Lösung Eine typische Sachinvestition ist dadurch gekennzeichnet, dass − ihre Zahlungsreihe mit einer einzelnen Auszahlung oder mit mehreren Auszahlungen beginnt, auf die dann nur noch Einzahlungsüberschüsse folgen, − für sie zumindest an der Stelle i = 0 der Kapitalwert C0 positiv ist, die einfache Summe der Einzahlungen also höher ist als die der Auszahlungen (Deckungskriterium), und − am Ende der Nutzungsdauer eine Liquidationseinzahlung (ein Liquidationserlös) bzw. eine Liquidationsauszahlung (z. B. Abbruchkosten) anfallen kann, d. h. Ln > 0 bzw. Ln < 0 ist. Sind die mit einer Sachinvestition zusammenhängenden Ein- und Auszahlungen bei einer angenommenen Nutzungsdauer gegeben, so ergibt sich der entsprechende Kapitalwert C0 als eine lediglich vom Kalkulationszinssatz i abhängige Größe. Dieser stellt bei einer Entscheidung über ein einzelnes Investitionsprojekt die Vergleichsalternative dar, da vorhandenes Eigenkapital zu diesem Zinssatz angelegt werden kann bzw. bei einem Verzicht auf Aufnahme zusätzlichen Fremdkapitals entsprechend geringere Zinszahlungen entstehen. Mit fallendem Kalkulationszinssatz steigt der Kapitalwert einer Investition, mit steigendem Kalkulationszinssatz fällt er unter sonst gleichen Gegebenheiten. Kapitalwertfunktion: = + + + +−= n 1t n n t t 00 i)(1 L i)(1 Z A(i)C Dabei gilt: C0: Kapitalwert der Investition; i: Kalkulationszinssatz; A0: Anschaffungsauszahlung im Zeitpunkt t = 0; Zt: Zahlungsüberschuss der Periode t mit Zt > 0 oder Zt < 0; Ln: Liquidationseinzahlung (Liquidationserlös), falls Ln > 0 oder Liquidationsauszahlung, falls Ln < 0; t: Periode (t = 1, 2, …, n); n: Nutzungsdauer des Investitionsobjekts. 68 Investition in Übungen Grafische Darstellung: P S C0 (EUR) i (p.a.) 0 Abbildung 5: Verlauf der Kapitalwertfunktion einer typischen Sachinvestition Der Verlauf der Kapitalwertfunktion einer typischen Sachinvestition kann folgendermaßen charakterisiert werden: Die Kapitalwertfunktion hat mit wachsendem Kalkulationszinssatz einen degressiven Verlauf. An der Stelle, an der die Kapitalwertfunktion die Ordinate schneidet (Punkt P), also bei einem Kalkulationszinssatz von Null, hat sie einen Wert, der den aufsummierten nicht abgezinsten Ein- und Auszahlungen entspricht: = ++−= n 1t nt00 L ZA(0)C Entsprechend dem oben vorausgesetzten Deckungskriterium ist der Kapitalwert an dieser Stelle positiv. Der Schnittpunkt der Kapitalwertfunktion mit der Abszisse (Punkt S) bezeichnet den Wert, an dem der Kalkulationszinssatz dem internen Zinsfuß der Investition entspricht. Der Kapitalwert beträgt hier Null. Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 69 Aufgabe 4.8: Dynamische Investitionsrechenverfahren a) Stellen Sie die Gemeinsamkeiten und Besonderheiten der verschiedenen dynamischen Investitionsrechenverfahren dar! Gehen Sie dabei auf die Zahlungsgrößen, den Zahlungszeitpunkt, den Bezugszeitpunkt und den Kalkulationszinssatz ein! b) Kritisieren Sie kurz die Methode des internen Zinsfußes! Lösung Teilaufgabe a) Zahlungsgrößen und Zahlungszeitpunkt: Alle dynamischen Investitionsverfahren gehen von dem pagatorischen Investitionsbegriff aus, d. h., sie orientieren sich an den durch das Investitionsobjekt hervorgerufenen Zahlungsströmen. Die Berücksichtigung der unterschiedlichen Zahlungszeitpunkte erfolgt durch den Zinssatz. Dieser ist Ausdruck der Zeitpräferenz des Investors, denn dieser schätzt einen heute verfügbaren Geldbetrag i. d. R. höher ein als einen gleich hohen Betrag, der ihm erst später zur Verfügung steht. Liquidität bedeutet Konsummöglichkeiten, daher wird der Zins auch als Preis für entgangene anderweitige Nutzungsmöglichkeiten, als Entgelt für den Konsumverzicht bzw. als Ausdruck der Liquiditätspräferenz des Investors bezeichnet. Eine Auszahlung, die der Investor heute tätigen muss, trifft ihn also härter als eine Auszahlung, die erst in der darauf folgenden Periode erfolgen muss. Aus diesem Grund müssen die zu unterschiedlichen Zeitpunkten anfallenden Ein- und Auszahlungen mit Hilfe des Zinses auf einen einheitlichen Bezugszeitpunkt bezogen werden, um vergleichbar gemacht zu werden. Um die angesprochene Zinswirkung exakt zu berücksichtigen, müssten die Zahlungen eigentlich taggenau erfasst werden. Dies würde die Investitionsrechnung allerdings u. U. sehr arbeitsaufwendig machen. Zudem ist es bei den meisten Investitionsobjekten nur schwer möglich, die tatsächlichen Zeitpunkte der Ein- und Auszahlungen im Voraus exakt zu bestimmen, wie dies z. B. bei einem festverzinslichen Wertpapier üblicherweise möglich ist. Die tatsächlichen Zeitpunkte der Ein- und Auszahlungen müssen häufig ebenso wie ihre tatsächliche Höhe geschätzt werden. Daher hat man folgende sinnvolle Vereinfachungen für die Rechnungen vereinbart. Man unterteilt den gesamten zu betrachtenden Investitionszeitraum in Perioden. In der Regel entspricht eine Periode einem Jahr. Man kann jedoch auch kürzere Perioden (Quartale, Monate) oder längere Perioden (5-Jahreszeiträume) wählen. 70 Investition in Übungen Man unterstellt sodann, dass die einzelnen Einzahlungen (Et) und Auszahlungen (At) einer Periode jeweils zum gleichen Zeitpunkt anfallen. In der Mehrzahl der Fälle ist dies das Periodenende. Man bezeichnet eine auf dieser Prämisse beruhende Rechnung als nachschüssig. Man kann allerdings auch die Annahme treffen, dass die Zahlungen zu Beginn der einzelnen Perioden anfallen. In diesem Fall handelt es sich dann um eine vorschüssige Rechnung. Im Folgenden wird nur auf die nachschüssige Rechnung eingegangen. Aufgrund dieser getroffenen Annahme können die Ein- und Auszahlungen einer Periode problemlos miteinander saldiert werden, so dass zur Rechnungsvereinfachung nur die saldierten Nettozahlungen (Zt = Et – At) in die Rechnung einfließen. Sind die Nettozahlungen positiv (Zt > 0), so liegt ein Überschuss der Einzahlungen über die Auszahlungen vor. Man spricht dann von einem Einzahlungsüberschuss. Bei negativen Nettozahlungen (Zt < 0) besteht ein Überschuss der Auszahlungen über die Einzahlungen. Dieser wird als Auszahlungsüberschuss bezeichnet. Bezugszeitpunkt: Wie bereits erwähnt, müssen die zu unterschiedlichen Zeitpunkten anfallenden Nettozahlungen durch Auf- bzw. Abzinsung auf einen Bezugszeitpunkt vergleichbar gemacht werden, um zu einer einheitlichen Beurteilungsgröße zusammengefasst werden zu können. Mit Hilfe dieser Beurteilungsgröße kann dann sowohl über die absolute Vorteilhaftigkeit eines einzelnen Investitionsobjekts als auch über die relative Vorteilhaftigkeit mehrerer Investitionsalternativen entschieden werden. Der Bezugszeitpunkt kann beliebig gewählt werden. Er hat selbst keinen Einfluss auf die Entscheidung der Vorteilhaftigkeit der Investition. Üblich ist es jedoch, die einzelnen Zahlungen auf den Anfang oder das Ende des Planungszeitraumes ab- bzw. aufzuzinsen. Wählt man das Ende des Planungszeitraumes, so erhält man den Endwert einer Investition, der den Betrag ausdrückt, um den das Endvermögen des Investors aufgrund dieser Investition höher sein wird als ohne ihre Realisation. Wählt man hingegen als Bezugszeitpunkt den Beginn eines Planungszeitraumes, so erhält man den Kapitalwert einer Investition. Dieser Wert drückt den Betrag aus, um den der Gegenwartswert des Vermögens des Investors aufgrund der Investition ansteigt. Beide Größen entsprechen dem Ziel des Vermögensstrebens des Investors, zum einen der Maximierung des Endwertes des Vermögens ohne zwischenzeitliche Entnahmen des Investors und zum anderen der Maximierung des Gegenwartswertes des Vermögens, wenn in Zukunft keine weiteren Entnahmen während des Planungszeitraumes getätigt werden. Am häufigsten wählt man in der Praxis die Abzinsung auf den Beginn des Investitionsprojekts; man erhält so den Kapitalwert der Investition. Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 71 Kalkulationszinssatz: Die Auf- bzw. Abzinsung der Nettozahlungen erfolgt mit einem speziellen Zinssatz, dem Kalkulationszinssatz i. Die Wahl des Kalkulationszinssatzes ist dabei von entscheidendem Einfluss auf das Ergebnis der Investitionsrechnung, weshalb seiner Festlegung große Bedeutung zukommt. Die Frage der Ermittlung des Kalkulationszinsfußes wird in der Literatur z. T. heftig diskutiert. Aus Vereinfachungsgründen leitet man ihn in der Praxis von den tatsächlich anfallenden Kapitalkosten ab. So entspricht er bei einer Finanzierung der Investition durch Fremdkapital dem tatsächlich zu zahlenden Fremdkapitalzins, d. h. dem effektiven Sollzins bzw. dem Kapitalmarktzins für aufzunehmende Gelder entsprechender Fristigkeit; bei einer Finanzierung der Investition durch neues Eigenkapital entspricht er der Rendite einer Alternativanlage. Liegt eine Mischfinanzierung aus Eigen- und Fremdkapital vor, so ist dementsprechend ein Mischzinssatz zu ermitteln. Steht ausreichend Eigenkapital für die Realisierung der Investition zur Verfügung, so geht man vom Habenzinssatz aus, sofern das zur Verfügung stehende Kapital nicht besser zur Tilgung von Fremdkapital verwendet werden sollte. In der Regel geht man in den Rechnungen davon aus, dass der Zinssatz über den Planungszeitraum konstant bleibt. Man kann allerdings auch einen variablen Zinssatz unterstellen. In diesem Fall muss der konstante Zinssatz i durch den zeitabhängigen variablen Zinssatz it ersetzt werden. Die Rechnung wird dadurch allerdings etwas umständlicher. Teilaufgabe b) Der interne Zinsfuß wird oft als Rendite bzw. Effektivverzinsung des jeweils gebundenen Kapitals interpretiert. Somit verbessert eine Investition die Konsummöglichkeiten des Investors, wenn im Falle der Fremdfinanzierung der interne Zinsfuß größer als der Kreditzins ist bzw. wenn mindestens die Eigenkapitalkosten gedeckt sind. Diese Interpretation des internen Zinssatzes bzw. des kritischen Zinssatzes verkennt, dass auch bei der Methode des internen Zinsfußes die Wiederanlageprämisse gilt. Anders als bei der Kapitalwertmethode wird hier allerdings nicht davon ausgegangen, dass jeglicher Geldbetrag zum Kalkulationszinsfuß angelegt bzw. aufgenommen werden kann, sondern bei dieser Methode geschieht dies zum internen Zinssatz. Dies birgt mehrere Probleme in sich. So ist es nicht nur zweifelhaft, ob z. B. überschüssige Beträge tatsächlich zu einem im Vergleich mit dem Kapitalmarktzins eventuell sehr hohen internen Zins wieder angelegt werden können. Auch leidet insbesondere die Vergleichbarkeit der Investitionsobjekte darunter, dass die Wiederanlageprämisse bei jedem Objekt mit einem anderen Zinssatz erfolgen kann. 72 Investition in Übungen Dies führt dazu, dass es bei einer unterschiedlichen Kapitalbindung, die z. B. auf unterschiedlichen Anschaffungsauszahlungen oder unterschiedlich langen Nutzungsdauern basieren kann, aufgrund der unterschiedlichen Wiederanlageprämisse der internen Zinsfußmethode bei der Vorteilhaftigkeitsentscheidung zwischen mehreren Investitionsobjekten zu anderen Rangfolgen kommen kann als bei der Kapitalwertmethode. Die Wiederanlageprämisse des internen Zinsfußes ist jedoch in sich bereits widersprüchlich, da sie einerseits davon ausgeht, dass Kapitalbeschaffung und -anlage jeweils zum internen Zinsfuß erfolgen können, andererseits aber als Vergleichsmaßstab der Kalkulationszinsfuß herangezogen wird, der genau den Zins angibt, zu dem eine Kapitalbeschaffung und -anlage alternativ erfolgen könnte. Der Vollständigkeit halber ist an dieser Stelle zu erwähnen, dass ein großer Nachteil der internen Zinsfußmethode auch darin liegt, dass der interne Zinsfuß nicht immer exakt bestimmt werden kann. So gibt es Situationen, in denen es keinen eindeutig bestimmbaren internen Zinsfuß gibt, sondern mehrere interne Zinsfüße nebeneinander existieren oder aber sich kein einziger interner Zinsfuß berechnen lässt. 4.2 Kapitalwertmethode Aufgabe 4.9: Kapitalwertmethode Ein in der Gummibranche tätiges Unternehmen, die Gummi AG, beabsichtigt, aufgrund eines neu gewonnenen Großkunden die jährliche Produktionsmenge an Gummiteilen zu erhöhen. Voraussetzung hierfür ist die Anschaffung einer neuen Maschine. Die zur Auswahl stehenden Maschinen A und B werden im Fall ihrer Anschaffung in den nächsten Jahren während ihrer wirtschaftlichen Nutzungsdauer folgende Zahlungsreihen verursachen: T 0 1 2 3 4 5 Zt A (TEUR) − 300 85 90 80 80 70 Zt B (TEUR) − 230 95 95 95 − − Dabei gilt: Zt: Differenz zwischen den Ein- und Auszahlungen von Maschine A bzw. von Maschine B der Periode t mit folgender Wirkung: − Einzahlungsüberschuss der Periode t, wenn Zt > 0 bzw. − Auszahlungsüberschuss der Periode t, wenn Zt < 0. Der relevante Kalkulationszinssatz beträgt 10 % p. a. Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 73 a) Führen Sie einen Vergleich mit Hilfe der Kapitalwertmethode durch! b) Erklären Sie möglichst genau, welche ökonomische Bedeutung ein Kapitalwert von z. B. 100 EUR hat! c) Was halten Sie von dem Argument, dass der unter Teilaufgabe a) vorgenommene Vergleich unvollständig ist, weil sich die beiden Investitionsobjekte in Anschaffungsauszahlung, Nutzungsdauer und Zahlungsstruktur unterscheiden? Lösung Teilaufgabe a) Kapitalwert A (C0A) = − 300 + 85 ⋅ 1,1-1 + 90 ⋅ 1,1-2 + 80 ⋅ 1,1-3 + 80 ⋅ 1,1-4 + 70 ⋅ 1,1-5 = 9,86 TEUR Kapitalwert B (C0B) = − 230 + 95 ⋅ RBF (10 %/3 Jahre) = − 230 + 95 ⋅ 3 3 1,11,0 11,1 ⋅ − = – 230 + 95 ⋅ 2,486852 = 6,25 TEUR Entscheidung: C0A > C0B > 0. Da Maschine A einen höheren Kapitalwert als Maschine B aufweist, sollte Maschine A ausgewählt werden. Teilaufgabe b) Annahme eines Kapitalwerts von C0 = 100 EUR: C0 gibt den auf den Bezugszeitpunkt t = 0 bezogenen Vermögenszuwachs des Investors an, der ihm über die Tilgung seiner Anschaffungsauszahlung und die Verzinsung des eingesetzten Kapitals hinaus zu x % p. a. (gewünschte jährliche Mindestverzinsung) zufließt. Teilaufgabe c) Problematiken: − Ergänzungsinvestition (70 TEUR); − Anschlussinvestitionen (4. und 5. Jahr); − Zahlungsstrukturdifferenzen (10 TEUR im 1. Jahr, 5 TEUR im 2. Jahr, 15 TEUR im 3. Jahr). 74 Investition in Übungen Unter Zugrundelegung eines vollkommenen Kapitalmarkts ist der Vergleich vollständig, da die Kapitalwerte der Teilproblembereiche jeweils Null sind.20 Aufgabe 4.10: Kapitalwertmethode Ein Tankstellenpächter, dessen Pachtvertrag in 5 Jahren abläuft, plant die Anschaffung einer Auto-Waschanlage zum Preis von 100.000 EUR. Wegen der technischen Ausgereiftheit von Auto-Waschanlagen rechnet er damit, in 5 Jahren noch einen Liquidationserlös von 25.000 EUR zu erzielen. Weiterhin glaubt er, schon im ersten Jahr 5.000 Kunden abfertigen und danach noch jeweils eine 10 %ige Steigerung gegenüber dem Vorjahr erreichen zu können. Als Werbepreis will er im ersten Jahr das Angebot von 3,50 EUR je Waschvorgang einführen. Doch soll der Preis zu Beginn jedes neuen Jahres um 0,50 EUR je Waschvorgang angehoben werden. An fixen Gesamtkosten – vorwiegend Instandhaltungskosten – fallen 2.000 EUR in den ersten beiden und 2.500 EUR in den letzten drei Jahren an. Durch den Verbrauch an Strom, Wasser und Reinigungsmitteln fallen zudem bei jedem Waschvorgang Kosten i. H. v. 0,60 EUR an, die sich jedes Jahr wahrscheinlich um 0,04 EUR je Waschvorgang erhöhen werden. Unterstellen Sie zunächst einen Kalkulationszinssatz von 10 % p. a. a) Stellen sie in einem ersten Schritt anhand der folgenden Tabelle die relevanten Daten zusammen! Runden Sie hierbei Ihre Ergebnisse auf volle EUR-Beträge! Jahr 1 Jahr 2 Jahr 3 Jahr 4 Jahr 5 Anzahl der Kunden (Waschvorgänge) Preis je Waschvorgang Umsatzerlöse Variable Stückkosten Variable Gesamtkosten Fixe Gesamtkosten Kalkulatorische Abschreibungen Kalkulatorische Zinsen 20 Vgl. dazu auch Aufgabe 4.5, Teilaufgabe b), S. 64. Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 75 b) Treffen Sie eine Investitionsentscheidung nach der Gewinnvergleichsrechnung! c) Treffen Sie eine Investitionsentscheidung nach der Kapitalwertmethode und vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit Teilaufgabe b)! Gehen Sie bei Ihrer Berechnung vereinfachend davon aus, dass sowohl die Umsatzerlöse als auch die variablen Gesamtkosten und die Instandhaltungskosten jeweils zum Ende einer Periode zahlungswirksam werden. d) Wie hoch müsste der Liquidationserlös im fünften Jahr sein, damit der Tankstellenpächter nach der Kapitalwertmethode gerade indifferent hinsichtlich seiner Entscheidung ist? e) Unterstellen Sie nunmehr, dass der Kapitalmarkt unvollkommen ist. Einzahlungsüberschüsse können zu 6 % p. a. angelegt werden, Kredite müssen zu 10 % p. a. verzinst werden. Berechnen Sie den Vermögensendwert der Investition, wenn der Tankstellenpächter zu Beginn der Investition über Eigenmittel i. H. v. 50.000 EUR verfügt! Unterstellen Sie weiterhin, dass eingehende Einzahlungsüberschüsse zunächst zur Kredittilgung verwendet werden, bis der Kredit vollständig zurückgezahlt ist. Lösung Teilaufgabe a) Jahr 1 Jahr 2 Jahr 3 Jahr 4 Jahr 5 Anzahl der Kunden (Waschvorgänge) 5.000 5.500 6.050 6.655 7.321 Preis je Waschvorgang (EUR/ME) 3,50 4,00 4,50 5,00 5,50 Umsatzerlöse (EUR) 17.500 22.000 27.225 33.275 40.266 Variable Stückkosten (EUR/ME) 0,60 0,64 0,68 0,72 0,76 Variable Gesamtkosten (EUR) 3.000 3.520 4.114 4.792 5.564 Fixe Gesamtkosten (EUR) 2.000 2.000 2.500 2.500 2.500 Kalkulatorische Abschreibungen (EUR) 15.000 15.000 15.000 15.000 15.000 Kalkulatorische Zinsen (EUR) 6.250 6.250 6.250 6.250 6.250 76 Investition in Übungen ∅ kalkulatorische Abschreibungen = 100.000 – 25.000 5 = 15.000 EUR/Jahr ∅ kalkulatorische Zinsen = 100.000 + 25.000 2 ∙ 0,1 = 6.250 EUR/Jahr Teilaufgabe b) ∅ Umsatzerlöse 28.053 EUR − ∅ kalkulatorische Abschreibungen 15.000 EUR − ∅ kalkulatorische Zinsen 6.250 EUR − ∅ fixe Gesamtkosten 2.300 EUR − ∅ variable Gesamtkosten 4.198 EUR = ∅ Gewinn 305 EUR > 0 Nach der Gewinnvergleichsrechnung sollte die Auto-Waschanlage angeschafft werden. Kritik an den statischen Methoden: − Die Kapitalbindung wird falsch eingeschätzt. − Es werden keine genauen Zahlungszeitpunkte berücksichtigt. − Die Zinsen werden nur grob eingerechnet. Teilaufgabe c) Beträge in EUR 1 2 3 4 5 Et L5 17.500 22.000 27.225 33.275 40.266 + 25.000 At 5.000 5.520 6.614 7.292 8.064 Zt L5 12.500 16.480 20.611 25.983 32.202 + 25.000 C0 = – 100.000 + 12.500 ∙ 1,1-1 + 16.480 ∙ 1,1-2 + 20.611 ∙ 1,1-3 + 25.983 ∙ 1,1-4 + 32.202 ∙ 1,1-5 + 25.000 ∙ 1,1-5 = – 21.789,53 + 25.000 ∙ 1,1-5 = – 6.266,50 EUR Dabei gilt: Et: Einzahlungen zum Zeitpunkt t; At: Auszahlungen zum Zeitpunkt t; Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 77 Zt: Einzahlungsüberschüsse zum Zeitpunkt t; L5: Liquidationserlös zum Zeitpunkt t = 5; C0: Kapitalwert zum Zeitpunkt t = 0. Da der Kapitalwert negativ ist, sollte der Tankstellenpächter die Auto- Waschanlage nicht erwerben. Aufgrund der Einbeziehung der Zahlungszeitpunkte der einzelnen Zahlungen, insbesondere aufgrund der „späten“ Einzahlungen, erhält man ein anderes Vorteilhaftigkeitsergebnis als bei Teilaufgabe b). Teilaufgabe d) L5 ∙ 1,1 -5 = 21.789,53 EUR → L5 = 35.092,26 EUR Teilaufgabe e) t Ct-1 (EUR) Verzinsung (p. a.) is = 0,1; ih = 0,06 lfd. Zt bzw. Ln (EUR) Ct (EUR) 1 – 100.000,00 + 50.000,00 = – 50.000,00 – 5.000,00 + 12.500 – 42.500,00 2 – 42.500,00 – 4.250,00 + 16.480 – 30.270,00 3 – 30.270,00 – 3.027,00 + 20.611 – 12.686,00 4 – 12.686,00 – 1.268,60 + 25.983 + 12.028,40 5 + 12.028,40 + 721,70 + 32.202 + 25.000 + 69.952,10 Eine Finanzinvestition mit einem Habenzinssatz von 6 % p. a. weist einen Vermögensendwert (Cn) i. H. v. 66.911,28 EUR (= 50.000 ∙ 1,06 5) auf. Da der Vermögensendwert der Investition höher ist als der Vermögensendwert einer vergleichbaren Finanzinvestition, sollte der Tankstellenpächter die Auto- Waschanlage erwerben. 78 Investition in Übungen Aufgabe 4.11: Kapitalwertmethode Ein Investor hat die Möglichkeit, 150.000 EUR entweder in das Investitionsprojekt A oder in das Investitionsprojekt B zu investieren. Die beiden Investitionsprojekte sind durch die folgenden Zahlungsreihen gekennzeichnet: Investitionsprojekt A: Periode 0 1 2 3 4 Anschaffungsauszahlung (EUR) 150.000 – – – – Laufende Einzahlungen (EUR) – 60.000 80.000 90.000 90.000 Laufende Auszahlungen (EUR) – 20.000 30.000 40.000 50.000 Liquidationserlös (EUR) – – – – 20.000 Investitionsprojekt B: Periode 0 1 2 3 4 Anschaffungsauszahlung (EUR) 150.000 – – – – Laufende Einzahlungen (EUR) – 84.700 50.000 100.000 90.000 Laufende Auszahlungen (EUR) – 20.000 20.000 40.000 80.000 Liquidationserlös (EUR) – – – – 30.000 a) Für welches der beiden Investitionsprojekte sollte sich der Investor entscheiden, wenn er die Kapitalwertmethode verwendet und sein Kalkulationszinssatz 10 % p. a. beträgt (Bezugszeitpunkt ist das Ende der Periode 0)? b) Berechnen Sie für die beiden Investitionsprojekte den Endwert, wenn der Kalkulationszinssatz 10 % p. a. beträgt und als Bezugszeitpunkt das Ende der Periode 4 gewählt wird! Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 79 Lösung Teilaufgabe a) Kapitalwert des Investitionsprojekts A (C0A): C0A = – 150.000 + 40.000 ∙ 1,1 -1 + 50.000 ∙ 1,1-2 + 50.000 ∙ 1,1-3 + 60.000 ∙ 1,1-4 = + 6.232,50 EUR Kapitalwert des Investitionsprojekts B (C0B): C0B = – 150.000 + 64.700 ∙ 1,1 -1 + 30.000 ⋅ 1,1-2 + 60.000 ∙ 1,1-3 + 40.000 ∙ 1,1-4 = + 6.011,00 EUR Da der Kapitalwert des Investitionsprojekts A positiv und größer als der des Investitionsprojekts B ist, sollte sich der Investor für das Investitionsprojekt A entscheiden. Teilaufgabe b) Endwert des Investitionsprojekts A zum Ende der Periode 4 (C4A): C4A = C0A ∙ 1,1 4 = 6.232,50 ∙ 1,14 = + 9.125,00 EUR Endwert des Investitionsprojekts B zum Ende der Periode 4 (C4B): C4B = C0B ∙ 1,1 4 = 6.011,00 ∙ 1,14 = + 8.800,71 EUR Aufgabe 4.12: Kapitalwertmethode Gegeben sind die folgenden Zahlungen in den Perioden 0 bis 4: Periode 0 1 2 3 4 Einzahlungen (EUR) 100.000 150.000 200.000 250.000 300.000 Auszahlungen (EUR) 150.000 140.000 70.000 – 200.000 Wie hoch ist der Kapitalwert (C0) bei einem Kalkulationszinssatz i von a) 0 % p. a., b) 1 % p. a., c) 2 % p. a., d) 3 % p. a., 80 Investition in Übungen e) 4 % p. a., f) 5 % p. a., g) 6 % p. a., h) 7 % p. a., i) 8 % p. a., j) 9 % p. a., k) 10 % p. a.? Lösung Teilaufgabe a) C0 = – 50.000 + 10.000 + 130.000 + 250.000 + 100.000 = + 440.000 EUR Teilaufgabe b) C0 = – 50.000 + 432 )01,01( 000.100 )01,01( 000.250 )01,01( 000.130 01,01 000.10 + + + + + + + = + 426.085,05 EUR Teilaufgabe c) C0 = – 50.000 + 432 )02,01( 000.100 )02,01( 000.250 )02,01( 000.130 02,01 000.10 + + + + + + + = + 412.720,99 EUR Teilaufgabe d) C0 = – 50.000 + 432 )03,01( 000.100 )03,01( 000.250 )03,01( 000.130 03,01 000.10 + + + + + + + = + 399.880,33 EUR Teilaufgabe e) C0 = – 50.000 + 432 )04,01( 000.100 )04,01( 000.250 )04,01( 000.130 04,01 000.10 + + + + + + + = + 387.537,20 EUR Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 81 Teilaufgabe f) C0 = – 50.000 + 432 )05,01( 000.100 )05,01( 000.250 )05,01( 000.130 05,01 000.10 + + + + + + + = + 375.667,29 EUR Teilaufgabe g) C0 = – 50.000 + 432 )06,01( 000.100 )06,01( 000.250 )06,01( 000.130 06,01 000.10 + + + + + + + = + 364.247,69 EUR Teilaufgabe h) C0 = – 50.000 + 432 )07,01( 000.100 )07,01( 000.250 )07,01( 000.130 07,01 000.10 + + + + + + + = + 353.256,82 EUR Teilaufgabe i) C0 = – 50.000 + 432 )08,01( 000.100 )08,01( 000.250 )08,01( 000.130 08,01 000.10 + + + + + + + = + 342.674,35 EUR Teilaufgabe j) C0 = – 50.000 + 432 )09,01( 000.100 )09,01( 000.250 )09,01( 000.130 09,01 000.10 + + + + + + + = + 332.481,10 EUR Teilaufgabe k) C0 = – 50.000 + 432 )10,01( 000.100 )10,01( 000.250 )10,01( 000.130 10,01 000.10 + + + + + + + = + 322.658,97 EUR 82 Investition in Übungen 4.3 Annuitätenmethode Aufgabe 4.13: Annuitätenmethode Erläutern Sie die Annuitätenmethode in Stichwortform! Gehen Sie dabei auf die Begriffe äquivalent, äquidistant und uniform ein! Stellen Sie die Bestimmungsgleichung für die Annuitätenmethode auf! Lösung Bei der Annuitätenmethode wird der Erfolg anhand von Periodenerfolgen und nicht von Totalerfolgen ausgewiesen. Die ursprüngliche Zahlungsreihe wird in eine geänderte Zahlungsreihe mit folgenden Eigenschaften transformiert: − Äquivalent: Der Kapitalwert der ursprünglichen Zahlungsreihe und der Kapitalwert der geänderten Zahlungsreihe sind identisch. − Äquidistant: Die Zahlungen weisen denselben zeitlichen Abstand auf. − Uniform: Die Zahlungen sind alle gleich groß. Kapitalwert der transformierten Zahlungsreihe: C0 = Zt ∙ (1 + i)–t n t = 1 Gemäß dem Erfordernis der Uniformität im Rahmen der Annuitätenmethode gilt: C0 = Z ∙ (1 + i)–t n t = 1 = Z ∙ RBF (i %/ n Jahre) → Gn = C0 RBF (i %/ n Jahre) = C0 ∙ KWF (i %/ n Jahre) für Gn = Z Dabei gilt: C0: Kapitalwert der Investition zum Zeitpunkt t = 0; Zt: Gleich hohe jährliche Einzahlungsüberschüsse; i: Kalkulationszinssatz p. a.; t: Periode (t = 1, 2, …, n); Gn: Annuität einer Investition. Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 83 Aufgabe 4.14: Annuitätenmethode Die Gummi AG (siehe Aufgabe 4.9 auf Seite 72) möchte die zwei Maschinen, die zur Auswahl stehen, um die Produktionsmenge an Gummiteilen zu erhöhen, nach der Anwendung der Kapitalwertmethode mit einer weiteren Methode vergleichen. Der relevante Kalkulationszinssatz beträgt weiterhin 10 % p. a. Die Daten der beiden Maschinen gibt die folgende Tabelle wieder: t 0 1 2 3 4 5 Zt A (TEUR) − 300 85 90 80 80 70 Zt B (TEUR) − 230 95 95 95 − − Dabei gilt: tZ : Differenz zwischen den Ein- und Auszahlungen von Maschine A bzw. von Maschine B der Periode t mit folgender Wirkung: − Einzahlungsüberschuss der Periode t, wenn Zt > 0 bzw. − Auszahlungsüberschuss der Periode t, wenn Zt < 0. a) Führen Sie einen Vorteilhaftigkeitsvergleich mit Hilfe der Annuitätenmethode durch! b) Erklären Sie möglichst genau, welche ökonomische Bedeutung eine Annuität von z. B. 10 EUR hat! c) Führen die Kapitalwertmethode und die Annuitätenmethode (1) bei der Beurteilung eines einzelnen Investitionsobjekts, (2) beim Vergleich sich gegenseitig ausschließender Investitionsobjekte bei jeweils gleicher Laufzeit immer zur gleichen Investitionsentscheidung? Begründen Sie Ihre Antwort! Lösung Teilaufgabe a) Kapitalwert der Maschine A (C0A): C0A = − 300 + 85 ⋅ 1,1-1 + 90 ⋅ 1,1-2 + 80 ⋅ 1,1-3 + 80 ⋅ 1,1-4 + 70 ⋅ 1,1-5 = + 9,86 TEUR 84 Investition in Übungen Kapitalwert der Maschine B (C0B): C0B = − 230 + 95 ⋅ RBF (i = 10 %/n = 3 Jahre) = − 230 + 95 ⋅ 2,486852 = + 6,25 TEUR Annuität der Maschine A (G5A): G5A = C0A ⋅ KWF (i = 10 %/n = 5 Jahre) = 9,86 ⋅ 0,263797 = + 2,60 TEUR Annuität der Maschine B (G5B): G5B = C0B ⋅ KWF (i = 10 %/n = 5 Jahre) = 6,25 ⋅ 0,263797 = + 1,65 TEUR Entscheidung: G5A > G5B > 0. Da Maschine A eine höhere Annuität aufweist als Maschine B, sollte Maschine A ausgewählt werden. Darüber hinaus ist zu beachten, dass grundsätzlich keine Abweichung in den Nutzungsdauern der zwei Maschinen bestehen darf, weshalb in dem vorliegenden Fall eine Anpassung insoweit vorgenommen werden muss, als die Annuitäten der beiden Maschinen für die gleiche Zeitdauer, hier 5 Jahre, errechnet werden. Ansonsten würde eine Verteilung des Kapitalwertes auf jeweils unterschiedliche Zeiträume vorgenommen werden. Teilaufgabe b) Unterstellung einer Annuität von Gn = 10 EUR: Eine positive Annuität gibt den konstanten Betrag an, den der Investor (während der Nutzungsdauer) der Investition am Ende jeder Periode entnehmen könnte, ohne die Tilgung der Anschaffungsauszahlung und die gewünschte Mindestverzinsung des gebundenen Kapitals zum Kalkulationszinssatz zu gefährden. Teilaufgabe c) (1) Vorteilhaftigkeitsproblem: C0 KWF (i %/n Jahre) Gn = C0 ⋅ KWF (i %/n Jahre) > 0 > 0 > 0 = 0 > 0 = 0 < 0 > 0 < 0 Bei der Beurteilung eines einzelnen Investitionsobjekts führen Kapitalwertmethode und Annuitätenmethode immer zur gleichen Investitionsentscheidung. Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 85 (2) Wahlproblem: nBnA nBnA 0B0A GG Jahre)%/n(iKWF G Jahre)%/n(iKWF G CC < > =→ < > =→ < > = Auch bei einem Vergleich sich gegenseitig ausschließender Investitionsobjekte führen Kapitalwertmethode und Annuitätenmethode unter der Prämisse, dass keine Abweichung in den Nutzungsdauern der einbezogenen Investitionsobjekte besteht, immer zur gleichen Investitionsentscheidung. Ansonsten würde eine Verteilung des Kapitalwerts auf jeweils unterschiedliche Zeiträume erfolgen. Aufgabe 4.15: Annuitätenmethode21 Ein Unternehmen investiert in eine Maschine 5.000 EUR und erwartet für den Zeitraum der Nutzungsdauer von drei Jahren die folgenden Überschüsse: Jahr 1 2 3 Einzahlungsüberschuss (EUR) 2.700 2.200 1.500 Der Kalkulationszinssatz i beträgt 8 % p. a. Welcher Betrag könnte am Ende eines jeden Jahres entnommen werden, ohne die gewünschte Mindestverzinsung des gebundenen Kapitals zum Kalkulationszinssatz und die Tilgung der Anschaffungsauszahlung zu gefährden? Lösung Zuerst ist nach der Kapitalwertmethode vorzugehen: Jahr n Zahlungsstrom (EUR) Abzinsungsfaktor )i1( 1 n+ Barwerte (EUR) Kumulation der Barwerte (EUR) 0 – 5.000 1 – 5.000,00 – 1 2.700 0,925926 2.500,00 – 2.500,00 2 2.200 0,857339 1.886,15 – 613,85 3 1.500 0,793832 1.190,75 576,90 Kapitalwert der Investition (C0) 576,90 21 Stark modifiziert entnommen aus Olfert, Klaus; Reichel, Christopher: Kompakt-Training Investition, 5. Aufl., Ludwigshafen (Rhein) 2009, S. 126–127 (in der aktuellen Aufl. nicht mehr enthalten). 86 Investition in Übungen Der Kapitalwert wird daraufhin in die Annuitätenformel eingesetzt: G3 = 0C ⋅ KWF (i = 8 %/n = 3 Jahre) = 108,1 08,108,0 C 3 3 0 − ⋅⋅ = 576,90 EUR ∙ 0,388034 = 223,86 EUR Ergebnis: Der Betrag von 223,86 EUR kann jedes Jahr entnommen werden, ohne die gewünschte Mindestverzinsung des gebundenen Kapitals zum Kalkulationszinsfuß und die Tilgung der Anschaffungsauszahlung zu gefährden. Zur Probe und zur Veranschaulichung soll folgende Tabelle dienen: Jahr Kapital (EUR) Zins (EUR) Tilgung (EUR) G3 (EUR) Erlös (EUR) 1 5.000,00 400,00 2.076,14 223,86 2.700 2 2.923,86 233,91 1.742,23 223,86 2.200 3 1.181,63 94,53 1.181,61 223,86 1.500 Aufgabe 4.16: Annuitätenmethode Es ist die Dicke der Isolierung einer Heizungsanlage festzulegen. Dicke der Isolierung (cm) Anschaffungskosten der Isolierung (EUR) Kosten des Energieverlustes pro Jahr (EUR) 0 1 2 3 4 – 4.000 5.800 7.600 9.600 4.000 2.200 1.100 821 640 Die Lebensdauer der Isolierung beträgt 10 Jahre, der Kalkulationszinsfuß 10 % p. a. Ermitteln Sie die kostenminimale Dicke der Isolierung mittels der dynamischen Annuitätenmethode und interpretieren Sie das Ergebnis! Lösung Bei der Ermittlung der Annuitäten der verschiedenen Isolierungen ist davon auszugehen, dass die Anschaffungskosten der Isolierungen und die Energiekosten jeweils zahlungswirksam sind. Üblicherweise werden Kapitalwerte und Annuitäten auf der Grundlage von Einzahlungsüberschüssen ermittelt, wobei die Investitionsalternative mit dem höchsten positiven Kapitalwert bzw. der höchsten positiven Annuität gesucht wird. Da hier jedoch nur Aus- Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 87 zahlungen gegeben sind, ist sinnvollerweise die (kosten-)minimale Annuität gesucht. Grundsätzlich werden bei der Annuitätenmethode zunächst die Kapitalwerte ermittelt. Diese werden dann mit dem entsprechenden Kapitalwiedergewinnungsfaktor multipliziert. Bei der hier vorliegenden Aufgabenstellung kann allerdings einfacher vorgegangen werden. Da die Kosten des Energieverlustes in jedem Jahr konstant sind, stellen sie eine eigenständige Annuität dar. Folglich sind nur noch die Anschaffungskosten durch Multiplikation mit dem Kapitalwiedergewinnungsfaktor in eine (Teil-)Annuität umzurechnen, die dann zu den Energiekostenannuitäten zu addieren ist, um die gesamte Annuität zu erhalten. Anschaffungskosten ⋅ KWF (i = 10 %/n = 10 Jahre) + Energiekostenannuität = gesamte Annuität 0 cm: 0 ⋅ 0,162745 + 4.000 = 0 + 4.000 = 4.000,00 EUR 1 cm: 4.000 ⋅ 0,162745 + 2.200 = 650,98 + 2.200 = 2.850,98 EUR 2 cm: 5.800 ⋅ 0,162745 + 1.100 = 943,92 + 1.100 = 2.043,92 EUR 3 cm: 7.600 ⋅ 0,162745 + 821 = 1.236,86 + 821 = 2.057,86 EUR 4 cm: 9.600 ⋅ 0,162745 + 640 = 1.562,35 + 640 = 2.202,35 EUR Die kostenminimierende Isolierung hat eine Dicke von 2 cm. Sie verursacht 2.043,92 EUR („Annuitäts-“)Kosten pro Jahr. Aufgabe 4.17: Annuitätenmethode a) Ermitteln Sie – ausgehend von den Angaben aus Aufgabe 4.11 auf Seite 78 –, für welches der beiden Investitionsprojekte sich der Investor entscheiden sollte, wenn er seine Entscheidung nach der Annuitätenmethode trifft und sein Kalkulationszinssatz weiterhin 10 % p. a. beträgt! b) Wie würde die Entscheidung lauten, wenn die Annuität nicht über die Nutzungsdauer der Investitionsprojekte (4 Jahre), sondern über 10 Jahre berechnet würde? 88 Investition in Übungen Lösung Teilaufgabe a) Kapitalwerte des Investitionsprojekts A (C0A) und des Investitionsprojekts B (C0B) (siehe Lösung zu Aufgabe 4.11 auf Seite 79) bei einer Nutzungsdauer der Investitionsprojekte von jeweils 4 Jahren: C0A = 6.232,50 EUR; C0B = 6.011,00 EUR. Umwandlung der Kapitalwerte des Investitionsprojekts A und des Investitionsprojekts B in 4-jährige Annuitäten (G4A und G4B): G4A = 6.232,50 ⋅ KWF (i = 10 %/n = 4 Jahre) = 10,1)(1 0,1)(1 0,1 6.232,50 4 4 −+ +⋅⋅ = 6.232,50 ⋅ 0,315471 = 1.966,17 EUR G4B = 6.011,00 ⋅ KWF (i = 10 %/n = 4 Jahre) = 10,1)(1 0,1)(1 0,1 6.011,00 4 4 −+ +⋅⋅ = 6.011,00 ⋅ 0,315471 = 1.896,30 EUR Da die Annuität des Investitionsprojekts A (G4A) positiv und größer als die Annuität des Investitionsprojekts B (G4B) ist, sollte sich der Investor für Investitionsprojekt A entscheiden. Teilaufgabe b) Die Entscheidung würde sich gegenüber Teilaufgabe a) nicht ändern, da der Kapitalwert bei beiden Investitionsprojekten lediglich über einen längeren Zeitraum verteilt wird, die Rangfolge der Investitionsprojekte sich somit nicht ändern kann. Dies wird im Folgenden gezeigt. KWF (i = 10 %/n = 10 Jahre) = 0,162745 10,1)(1 0,1)(1 0,1 10 10 = −+ +⋅ G10A = 6.232,50 ⋅ 0,162745 = 1.014,31 EUR G10B = 6.011,00 ⋅ 0,162745 = 978,26 EUR Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 89 4.4 Methode des internen Zinsfußes Aufgabe 4.18: Methode des internen Zinsfußes Die Gummi AG (siehe Aufgabe 4.9 auf Seite 72 und Aufgabe 4.14 auf Seite 83) möchte − neben der Kapitalwertmethode und der Annuitätenmethode − einen weiteren Vergleich der zwei Investitionsobjekte durchführen. Dabei fällt die Entscheidung auf die Anwendung der internen Zinsfußmethode. t 0 1 2 3 4 5 Zt A (TEUR) − 300 85 90 80 80 70 Zt B (TEUR) − 230 95 95 95 − − Dabei gilt: tZ : Differenz zwischen den Ein- und Auszahlungen von Maschine A bzw. von Maschine B der Periode t mit folgender Wirkung: − Einzahlungsüberschuss der Periode t, wenn Zt > 0 bzw. − Auszahlungsüberschuss der Periode t, wenn Zt < 0. Der Kalkulationszinssatz beträgt weiterhin 10 % p. a. a) Stellen Sie die allgemeine Bestimmungsgleichung für den internen Zinsfuß r unter Anwendung der linearen Interpolation auf! b) Berechnen Sie für beide Investitionsobjekte den internen Zinsfuß (jeweils zwei Iterationsschritte)! Vergleichen und interpretieren Sie die gewonnenen Daten mit dem Ergebnis bei Anwendung der Kapitalwertmethode der Aufgabe 4.9 auf Seite 73! c) Führen die Kapitalwertmethode und die interne Zinsfußmethode immer zur gleichen Investitionsentscheidung (1) bei der Beurteilung eines einzelnen Investitionsobjekts, (2) beim Vergleich sich gegenseitig ausschließender Investitionsobjekte? Begründen Sie Ihre Antwort! Lösung Teilaufgabe a) Der interne Zinsfuß r eines Investitionsvorhabens ist so zu wählen, dass die erwirtschafteten Zahlungsüberschüsse Zt gerade ausreichen, das eingesetzte Kapital A0 zurückzugewinnen und die Verzinsung des Kapitals zum internen 90 Investition in Übungen Zinsfuß r sicherzustellen (d. h., der interne Zinsfuß ist so zu wählen, dass der Kapitalwert C0 der Zahlungsreihe gleich Null ist). 0 r)(1ZAC ! t n 1t t00 =+⋅+−= − = Lineare Interpolation: 1. Schritt: Bestimmung eines Versuchszinssatzes i1, bei dem C01 > 0 ist. 2. Schritt: Bestimmung eines Versuchszinssatzes i2, bei dem C02 < 0 ist. 3. Schritt: Lineare Interpolation. Die Gleichung der Methode der linearen Interpolation zur Ermittlung des internen Zinsfußes beruht auf den mathematischen Strahlensätzen und hat folgendes Aussehen:22 r̂ = i1 – C01 ∙ i2 – i1C02 – C01 Bei der Methode der linearen Interpolation wird auf eine approximative Lösung zurückgegriffen, um die obige Gleichung zu bestimmen. Bei diesem Näherungsverfahren berechnet man in einem ersten Schritt den Kapitalwert C01 für einen Kalkulationszinssatz i1, in dessen Nähe man den internen Zinsfuß vermutet. Ist dieser positiv (negativ), so wird im zweiten Schritt ein höherer (niedrigerer) Kalkulationszinssatz i2 gewählt und für diesen ebenfalls der Kapitalwert C02 berechnet. Unter Verwendung der beiden auf diese Weise ermittelten Kapitalwerte lässt sich dann eine erste Näherungslösung r̂ für den internen Zinsfuß mit Hilfe der linearen Interpolation bestimmen. Teilaufgabe b) Investitionsobjekt A: 1. Iterationsschritt: Versuchszinssatz i1: 10 % p. a. Versuchszinssatz i2: 13 % p. a. C01 = 5432 0,1)(1 70 0,1)(1 80 0,1)(1 80 0,1)(1 90 0,11 85 300 + + + + + + + + + +− 9,86 TEUR 22 Vgl. zur Herleitung dieser Gleichung sowie nachfolgend Bieg, Hartmut; Kußmaul, Heinz; Waschbusch, Gerd: Investition, 3. Aufl., München 2016, S. 109–110. Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 91 C02 = 5432 0,13)(1 70 0,13)(1 80 0,13)(1 80 0,13)(1 90 0,131 85 300 + + + + + + + + + +− – 11,79 TEUR Ar̂ = 0,1 – 9,86 ∙ 9,8611,79 0,100,13 −− − 11,3663 % p. a. 2. Iterationsschritt: Versuchszinssatz i1: 11,00 % p. a. Versuchszinssatz i2: 11,3663 % p. a. C01 = 5432 0,11)(1 70 0,11)(1 80 0,11)(1 80 0,11)(1 90 0,111 85 300 + + + + + + + + + +− 2,36 TEUR C02 = 4 3 2 0,113663)(1 80 0,113663)(1 80 0,113663)(1 90 0,1136631 85 300 + + + + + + + +− 5)113663,01( 70 + + – 0,34 TEUR Ar̂ = 0,11 – 2,36 ∙ 2,360,34 0,110,113663 −− − 11,3202 % p. a. Investitionsobjekt B: 1. Iterationsschritt: Versuchszinssatz i1: 10 % p. a. Versuchszinssatz i2: 13 % p. a. C01 = 32 0,1)(1 95 0,1)(1 95 0,11 95 230 + + + + + +− 6,25 TEUR C02 = 32 0,13)(1 95 0,13)(1 95 0,131 95 230 + + + + + +− – 5,69 TEUR Br̂ = 0,1 – 6,25 ∙ 6,255,69 0,100,13 −− − 11,5704 % p. a. 2. Iterationsschritt: Versuchszinssatz i1: 11,00 % p. a. Versuchszinssatz i2: 11,5704 % p. a. C01 = 32 0,11)(1 95 0,11)(1 95 0,111 95 230 + + + + + +− 2,15 TEUR 92 Investition in Übungen C02 = – 230 + 95 1 + 0,115704 + 95 (1 + 0,115704)2 + 95 (1 + 0,115704)3 – 0,13 TEUR r̂B = 0,11 – 2,15 ∙ 0,115704 – 0,11 – 0,13 – 2,15 11,5379 % p. a. Entscheidung: Br̂ > Ar̂ > i. Da Maschine B einen höheren internen Zinsfuß als Maschine A und Maschine A einen höheren internen Zinsfuß als den Kalkulationszinssatz i. H. v. 10 % aufweist, sollte Maschine B ausgewählt werden. Beachte: Im Rahmen der in Aufgabe 4.9 auf Seite 72 durchgeführten Kapitalwertmethode galt C0A > C0B > 0 und es wurde Maschine A ausgewählt. Es treten somit bei Anwendung der Kapitalwertmethode und bei Anwendung der internen Zinsfußmethode u. U. unterschiedliche Rangfolgen auf. Dies ist darauf zurückzuführen, dass unterschiedliche Kapitalbindungen und Nutzungsdauern vorliegen. Diese können bei der Kapitalwertmethode (Anlage der Mittel zu i) und der internen Zinsfußmethode (Anlage der Mittel zum jeweiligen Zinssatz r) – wie im vorliegenden Fall – zu unterschiedlichen Ergebnissen führen (widersprüchliche Wiederanlageprämissen).23 Problem: Es ist eine Gleichung n-ten Grades zu lösen. Es besteht also die Möglichkeit, dass man n verschiedene Lösungen erhält (gemäß dem Fundamentalsatz der Algebra). Besteht in der zu lösenden Gleichung nur ein Vorzeichenwechsel, so existiert nur eine Lösung (wobei der interne Zinsfuß genau dann positiv ist, wenn die kumulierten Einzahlungen größer sind als die kumulierten Auszahlungen). Teilaufgabe c) (1) Vorteilhaftigkeitsproblem: Ein positiver Kapitalwert bedingt immer einen internen Zinsfuß r, der größer als der Kalkulationszinsfuß i ist. Bei Vorteilhaftigkeitsproblemen kommen die Kapitalwertmethode und die interne Zinsfußmethode immer zu gleichen Ergebnissen. (2) Wahlproblem: Es lässt sich zeigen, dass bei bestimmten Funktionsverläufen zweier Investitionsalternativen aus der Anwendung der Kapitalwertmethode und der internen Zinsfußmethode unterschiedliche Ergebnisse resultieren können. 23 Vgl. dazu Aufgabe 4.5, Teilaufgabe b), S. 64. Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 93 Bei Wahlproblemen kommen die Kapitalwertmethode und die interne Zinsfußmethode nicht immer zu gleichen Ergebnissen. Aufgabe 4.19: Methode des internen Zinsfußes24 Einem Unternehmen stehen drei Investitionsprojekte zur Auswahl. Für die jeweiligen Projekte werden folgende Zahlungen prognostiziert: Jahr Projekt I (EUR) Projekt II (EUR) Projekt III (EUR) 0 – 150.000 – 210.000 – 180.000 1 20.000 – 30.000 30.000 2 30.000 – 20.000 – 20.000 3 40.000 20.000 120.000 4 50.000 120.000 – 20.000 5 60.000 170.000 220.000 6 – 20.000 120.000 – 20.000 Bestimmen Sie die internen Zinsfüße der drei Projekte! Verwenden Sie als Versuchszinssätze a. p.%5i1 = und a. p.%15i2 = (jeweils nur einen Iterationsschritt)! Lösung Die internen Zinsfüße sind mit der Methode der linearen Interpolation nach der folgenden Formel zu ermitteln: 0102 12 011 CC ii Cir̂ − −⋅−= Dabei gilt: r̂ : Interner Zinsfuß p. a. der Investition; 1i : Versuchszinssatz 1 p. a.; 2i : Versuchszinssatz 2 p. a.; 01C : Kapitalwert der Investition zum Zeitpunkt t = 0 und bei Verwendung des Versuchszinssatzes 1 p. a.; 24 Modifiziert entnommen aus Troßmann, Ernst; Werkmeister, Clemens: Arbeitsbuch Investition, Stuttgart 2001, S. 29 und S. 131–132. 94 Investition in Übungen 02C : Kapitalwert der Investition zum Zeitpunkt t = 0 und bei Verwendung des Versuchszinssatzes 2 p. a. Projekt I: C01 = – 150.000 + 20.000 (1 + 0,05) 1 + 30.000 (1 + 0,05) 2 + 40.000 (1 + 0,05) 3 + 50.000 (1 + 0,05) 4 + 60.000 (1 + 0,05) 5 – 20.000 (1 + 0,05) 6 = + 4.034,39 EUR C02 = – 150.000 + 20.000 (1 + 0,15) 1 + 30.000 (1 + 0,15) 2 + 40.000 (1 + 0,15) 3 + 50.000 (1 + 0,15) 4 + 60.000 (1 + 0,15) 5 – 20.000 (1 + 0,15) 6 = – 33.852,02 EUR r̂I = 0,05 – 4.034,39 ∙ 0,15 – 0,05 – 33.852,02 – 4.034,39 = 6,0649 % p. a. Projekt II: C01 = – 210.000 – 30.000 (1 + 0,05) 1 – 20.000 (1 + 0,05) 2 + 20.000 (1 + 0,05) 3 + 120.000 (1 + 0,05) 4 + 170.000 (1 + 0,05) 5 + 120.000 (1 + 0,05) 6 = + 82.034,33 EUR C02 = – 210.000 – 30.000 (1 + 0,15) 1 – 20.000 (1 + 0,15) 2 + 20.000 (1 + 0,15) 3 + 120.000 (1 + 0,15) 4 + 170.000 (1 + 0,15) 5 + 120.000 (1 + 0,15) 6 = – 33.049,76 EUR r̂II = 0,05 – 82.034,33 ∙ 0,15 – 0,05 – 33.049,76 – 82.034,33 = 12,1282 % p. a. Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 95 Projekt III: C01 = – 180.000 + 30.000 (1 + 0,05) 1 – 20.000 (1 + 0,05) 2 + 120.000 (1 + 0,05) 3 – 20.000 (1 + 0,05) 4 + 220.000 (1 + 0,05) 5 – 20.000 (1 + 0,05) 6 = + 75.088,75 EUR C02 = – 180.000 – 30.000 (1 + 0,15) 1 – 20.000 (1 + 0,15) 2 + 120.000 (1 + 0,15) 3 – 20.000 (1 + 0,15) 4 + 220.000 (1 + 0,15) 5 – 20.000 (1 + 0,15) 6 = – 836,70 EUR r̂III = 0,05 – 75.088,75 ∙ 0,15 – 0,05 – 836,70 – 75.088,75 = 14,8898 % p. a. Aufgabe 4.20: Methode des internen Zinsfußes a) Für welches der in Aufgabe 4.11 auf Seite 78 dargestellten Investitionsprojekte A und B sollte sich der Investor entscheiden, wenn er die Methode des internen Zinsfußes verwendet und den internen Zinsfuß mittels der linearen Interpolation ermittelt? Verwenden Sie dabei 11,5 % p. a. und 12 % p. a. als Versuchszinssätze! Der vom Investor vorgegebene Vergleichszinssatz beträgt 10 % p. a. b) Wie ist der Wechsel der Vorteilhaftigkeit der beiden Investitionsprojekte zwischen der Kapitalwertmethode (Aufgabe 4.11, Teilaufgabe a), Seite 79) und der Methode des internen Zinsfußes (siehe Teilaufgabe a) der vorliegenden Aufgabe) zu erklären? Lösung Teilaufgabe a) Investitionsprojekt A: .a.p%5,11i1 = ; EUR02,982C01 += .a.p%12i2 = ; EUR92,705C02 −= a. p.%11,7909= −− −⋅−= − −⋅−= 02,98292,705 115,012,0 02,982115,0 CC ii Cir̂ 0102 12 011A 96 Investition in Übungen Dabei gilt: Ar̂ : Interner Zinsfuß des Investitionsprojektes A p. a.; 1i : Versuchszinssatz 1 des Investitionsprojektes A p. a.; 2i : Versuchszinssatz 2 des Investitionsprojektes A p. a.; 01C : Kapitalwert des Investitionsprojektes A zum Zeitpunkt t = 0 und bei Verwendung des Versuchszinssatzes 1 p. a.; 02C : Kapitalwert des Investitionsprojektes A zum Zeitpunkt t = 0 und bei Verwendung des Versuchszinssatzes 2 p. a. Investitionsprojekt B: .a.p%5,11i1 = ; EUR40,321.1C01 += .a.p%12i2 = ; EUR79,188C 02 −= a. p.% 11,9375= −− −⋅−= − −⋅−= 40,321.179,188 115,012,0 40,321.1115,0 CC ii Cir̂ 0102 12 011B Dabei gilt: Br̂ : Interner Zinsfuß des Investitionsprojektes B p. a.; 1i : Versuchszinssatz 1 des Investitionsprojektes B p. a.; 2i : Versuchszinssatz 2 des Investitionsprojektes B p. a.; 01C : Kapitalwert des Investitionsprojektes B zum Zeitpunkt t = 0 und bei Verwendung des Versuchszinssatzes 1 p. a.; 02C : Kapitalwert des Investitionsprojektes B zum Zeitpunkt t = 0 und bei Verwendung des Versuchszinssatzes 2 p. a. Da der interne Zinsfuß des Investitionsprojektes B höher als der des Investitionsprojektes A ist und auch über dem vom Investor vorgegebenen Vergleichszinssatz liegt, sollte sich der Investor für Investitionsprojekt B entscheiden. Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 97 Teilaufgabe b) Der Grund für den Wechsel der Vorteilhaftigkeit der beiden Investitionsprojekte ist in den unterschiedlichen Wiederanlageprämissen zu sehen. Während in Aufgabe 4.11, Teilaufgabe a) auf Seite 79 davon ausgegangen wird, dass bei beiden Investitionsprojekten die Wiederanlage zum Kalkulationszinsfuß i. H. v. 10 % p. a. erfolgt, wird in Teilaufgabe a) der vorliegenden Aufgabe unterstellt, dass die Wiederanlage bei Investitionsprojekt A zu 11,7909 % p. a. und bei Investitionsprojekt B zu 11,9375 % p. a. erfolgt. Bei sich schneidenden Kapitalwertfunktionen kann es demnach – wie im vorliegenden Fall – zu einem Wechsel der Vorteilhaftigkeit der Investitionsprojekte kommen. Dies setzt allerdings voraus, dass sich der zum Vergleich herangezogene Kalkulationszinsfuß links vom Schnittpunkt der sich schneidenden Kapitalwertfunktionen befindet. Aufgabe 4.21: Methode des internen Zinsfußes Gegeben sind die folgenden Zahlungen in den Perioden 0 bis 5: Periode 0 1 2 3 4 5 Einzahlungen (EUR) 10.000 20.000 10.000 50.000 30.000 20.000 Auszahlungen (EUR) 50.000 10.000 10.000 30.000 15.000 12.000 Berechnen Sie den internen Zinsfuß mithilfe der Methode der linearen Interpolation! Wählen Sie als Versuchszinssätze a) 6 % p. a. bzw. 13 % p. a., b) 7 % p. a. bzw. 12 % p. a., c) 8 % p. a. bzw. 11 % p. a., d) 9 % p. a. bzw. 10 % p. a. Lösung25 Teilaufgabe a) 9,6511 % p. a. 25 Zur Vorgehensweise der Berechnung vgl. die Lösung zu Aufgabe 4.19 auf den Seiten 93 bis 95. 98 Investition in Übungen Teilaufgabe b) 9,5248 % p. a. Teilaufgabe c) 9,4405 % p. a. Teilaufgabe d) 9,3984 % p. a. 4.5 Dynamische Amortisationsrechnung Aufgabe 4.22: Dynamische Amortisationsrechnung Die Gummi AG (siehe Aufgabe 4.9 auf Seite 72) strebt eine Erweiterung der Gummiproduktion an und möchte zwei in Frage kommende Maschinen mit der dynamischen Amortisationsrechnung vergleichen. Der Kalkulationszinssatz beträgt 10 % p. a. t 0 1 2 3 4 5 Zt A (TEUR) − 300 85 90 80 80 70 Zt B (TEUR) − 230 95 95 95 − − a) Für welches Investitionsobjekt sollte sich die Gummi AG entscheiden, wenn sie zur Beurteilung der Vorteilhaftigkeit die dynamische Amortisationsdauer zugrunde legt? b) Welche Bedeutung sollte ein Entscheidungsträger Ihrer Meinung nach der dynamischen Amortisationsdauer beimessen? Lösung Teilaufgabe a) Bei der Berechnung der dynamischen Amortisationsdauer wird nach dem Zeitraum gesucht, in dem die Summe der Barwerte der Einzahlungsüberschüsse die Anschaffungsauszahlung deckt. Für diesen mit der Periode w endenden Zeitraum gilt folgende Gleichung: t w 1t t0 t w 1t t00 i)(1ZA0 ! i)(1ZAC − = − = +⋅ =→=+⋅ +−= Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 99 Dabei gilt: Zt: Differenz zwischen den Ein- und Auszahlungen der Periode t mit folgender Wirkung: − Einzahlungsüberschuss der Periode t, wenn Zt > 0 bzw. − Auszahlungsüberschuss der Periode t, wenn Zt < 0; t: Periode (t = 0, 1, 2, 3, 4, 5); i: Kalkulationszinssatz; A0: Anschaffungsauszahlung; w: Zeitraum (Amortisationsdauer), in dem die Summe der Barwerte der Einzahlungsüberschüsse die Anschaffungsauszahlung deckt. Die dynamische Amortisationsdauer ist somit die Zeitspanne w, innerhalb derer die Anschaffungsauszahlung A0 durch die späteren Einzahlungsüberschüsse Zt zurückgewonnen und die gewünschte Mindestverzinsung des eingesetzten Kapitals zum Kalkulationszinssatz i erzielt wird. Maschine A: t Zt Zt ∙ (1 + i) –t Zt n t=1 ∙ (1 + i)–t (TEUR) (Barwerte) (TEUR) (Kumulierte Barwerte) (TEUR) 1 85 77,27 77,27 2 90 74,38 151,65 3 80 60,11 211,76 4 80 54,64 266,40 5 70 43,46 309,86 > 300 (= A0) Die dynamische Amortisationsdauer der Maschine A (tAmA) beträgt 5 Jahre. Maschine B: t Zt Zt ∙ (1 + i) –t Zt n t=1 ∙ (1 + i)–t (TEUR) (Barwerte) (TEUR) (Kumulierte Barwerte) (TEUR) 1 95 86,36 86,36 2 95 78,51 164,87 3 95 71,37 236,24 > 230 (= A0) Die dynamische Amortisationsdauer der Maschine B (tAmB) beträgt 3 Jahre. 100 Investition in Übungen Da die dynamische Amortisationsdauer des Investitionsobjekts B (tAmB) geringer ist als die dynamische Amortisationsdauer des Investitionsobjekts A (tAmA), sollte das Investitionsobjekt B ausgewählt werden. Voraussetzung hierfür ist, dass die dynamische Amortisationsdauer des Investitionsobjekts B unterhalb der gewünschten Höchstamortisationsdauer liegt. Teilaufgabe b) Die dynamische Amortisationsrechnung berücksichtigt ausschließlich Risikogesichtspunkte. Sie benachteiligt Investitionsprojekte mit anfänglich niedrigen Einzahlungsüberschüssen, die jedoch im Zeitablauf kontinuierlich steigen, da solche Investitionsprojekte i. d. R. abgelehnt werden (obwohl u. U. ein hoher Kapitalwert vorliegt). Ebenso erfolgt eine willkürliche Festlegung der Höchstamortisationsdauer (je größer die Risikoscheu des Investors, desto geringer wird die vorgegebene Höchstamortisationsdauer sein). Die dynamische Amortisationsrechnung sollte höchstens ein Ergänzungs- und kein Entscheidungskriterium sein (wenn Investitionsprojekte denselben Gewinn/Kapitalwert erwirtschaften, kann die dynamische Amortisationsrechnung zu Rate gezogen werden). Aufgabe 4.23: Dynamische Amortisationsrechnung Für welches der in Aufgabe 4.11 auf Seite 78 dargestellten Investitionsprojekte A und B sollte sich der Investor entscheiden, wenn er seine Entscheidung nach der dynamischen Amortisationsrechnung trifft, sein Kalkulationszinssatz 11,9 % p. a. beträgt und er eine Höchstamortisationsdauer von 4 Jahren vorgibt? Lösung Periode t Investitionsprojekt A (Beträge in EUR) Zt Zt ⋅ (1+i)-t Kumulierte Barwerte 0 – 150.000 – 150.000,00 – 150.000,00 1 40.000 35.746,20 – 114.253,80 2 50.000 39.930,97 – 74.322,83 3 50.000 35.684,51 – 38.638,32 4 60.000 38.267,57 – 370,75 Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 101 Periode t Investitionsprojekt B (Beträge in EUR) Zt Zt ⋅ (1+i)-t Kumulierte Barwerte 0 – 150.000 – 150.000,00 – 150.000,00 1 64.700 57.819,48 – 92.180,52 2 30.000 23.958,58 – 68.221,94 3 60.000 42.821,41 – 25.400,53 4 40.000 25.511,71 111,18 Die Amortisationsdauer des Investitionsprojektes B liegt zwischen 3 und 4 Jahren und damit unter der vom Investor vorgegebenen Höchstamortisationsdauer; das Investitionsprojekt A amortisiert sich hingegen nie. Daher sollte sich der Investor für das Investitionsprojekt B entscheiden. Aufgabe 4.24: Dynamische Amortisationsrechnung26 a) In einem Betrieb wurde eine maximal zulässige Amortisationsdauer von 5 Jahren festgelegt. Es ist eine Rationalisierungsinvestition geplant, durch die eine alte Anlage mit einem Stundenkostensatz von 8 EUR durch eine neue Anlage mit einem Stundenkostensatz von 5,50 EUR ersetzt werden soll. Die Anlage wird 2.400 Stunden pro Jahr benötigt. Sollte man dem Betrieb den Kauf der neuen Anlage unter Zugrundelegung der statischen Amortisationsrechnung empfehlen, falls Anschaffungskosten i. H. v. 24.000 EUR anfallen? b) Berechnen Sie, ob sich die in Teilaufgabe a) beschriebene Investition innerhalb der maximal zulässigen Zeit von 5 Jahren unter Zugrundelegung der dynamischen Version der Amortisationsrechnung amortisieren wird (i = 10 % p. a.)! Lösung Teilaufgabe a) Eine alte Anlage soll durch eine neue kostengünstiger arbeitende Anlage ersetzt werden. In diesem Fall (Vorliegen einer Rationalisierungsinvestition) findet die statische Amortisationsrechnung (∅-Methode) wie folgt Anwendung: 26 Modifiziert entnommen aus Däumler, Klaus-Dieter; Grabe, Jürgen; Meinzer, Christoph R.: Investitionsrechnung verstehen, 14. Aufl., Herne 2019, S. 265–266 und S. 424–425. 102 Investition in Übungen Amortisationszeit Jahre tAm = Anschaffungskosten (neu)Minderauszahlungen der neuen Anlage Jahre 4= ⋅− = Jahr Std. 400.2) Std. EUR 50,5 Std. EUR 8( EUR000.24 Die errechnete Amortisationszeit ist geringer als die maximal zulässige Amortisationsdauer von 5 Jahren. Daher sollte die neue Anlage gekauft werden. Beachte: Die Anschaffungskosten der alten Anlage dürfen nicht angesetzt werden, da diese entscheidungsirrelevant sind. Die alte Anlage wurde in der Vergangenheit angeschafft („sunk costs“). Hingegen sind die Stundenkostensätze der alten Anlage anzusetzen, da diese bei einem Kauf der neuen Anlage tatsächlich wegfallen würden (sogenannte entscheidungsrelevante Kosten). Teilaufgabe b) t Minderauszahlungen (EUR) Barwerte (EUR) Kumulierte Barwerte (EUR) (1) (2) = (1) ⋅ (1+ i)-t (3) = = n 1t )2( 1 (8 − 5,5) ⋅ 2.400 = 6.000 5.454,55 5.454,55 2 6.000 4.958,68 10.413,23 3 6.000 4.507,89 14.921,12 4 6.000 4.098,08 19.019,20 5 6.000 3.725,53 22.744,73 6 6.000 3.386,84 26.131,57 > 24.000 Dabei gilt: t: Periode (t = 1, 2, 3, 4, 5, 6); i: Kalkulationszinssatz. Erst im 6. Jahr übersteigen die kumulierten Barwerte der jährlichen Minderauszahlungen die Anschaffungskosten der neuen Anlage. Die durch die dynamische Version der Amortisationsrechnung ermittelte Amortisationsdauer beträgt somit 6 Jahre und überschreitet die maximal zulässige Amortisationsdauer von 5 Jahren. Die alte Anlage sollte demnach weiterbetrieben werden. Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 103 Aufgabe 4.25: Discounting Methods27 The toy company “Play and Fun” plans on producing a new special speaking teddy bear. Therefore, “Play and Fun” needs to buy a new machine. The company can choose from the three alternatives A, B and C. Each of these alternatives has an anticipated average life of 5 years and generates one of the following cash flows: Amounts in EUR 0 1 2 3 4 5 A – 90,000 + 20,000 + 20,000 + 20,000 + 20,000 + 20,000 + 25,000 B – 110,000 + 20,000 + 25,000 + 30,000 + 25,000 + 25,000 + 30,000 C – 140,000 + 25,000 + 35,000 + 40,000 + 25,000 + 30,000 + 40,000 A discount rate of 10 % applies. a) Compare the three alternatives by using the Net Present Value Method! b) Compare the three alternatives by using the Annuity Method! c) Compare the three alternatives by using the Internal Rate of Return Method! Use 10 % and 15 % as discount rates (use one iterative step)! d) Compare the three alternatives by using the Discounting Payback Method! Lösung Teilaufgabe a) NPVA = – 5- 5 5 1.1 25´ 0.1 1.1 1 1.1 20´ 90´ ⋅+ ⋅ −⋅+ = EUR 1,338.77 NPVB = – 110´ + 20´ ∙ 1.1 -1 + 25´ ∙ 1.1-2 + 30´ ∙ 1.1-3 + 25´ ∙ 1.1-4 + 55´ ∙ 1.1-5 = EUR 2,608.43 NPVC = – 140´ + 25´ ∙ 1.1 -1 + 35´ ∙ 1.1-2 + 40´ ∙ 1.1-3 + 25´ ∙ 1.1-4 + 70´ ∙ 1.1-5 = EUR 2,245.31 B generates the highest Net Present Value and should therefore be preferred. 27 Zur englischen Terminologie vgl. den Anhang auf S. 293–294. 104 Investition in Übungen Teilaufgabe b) annuityA = 1 1.1 1.0 1.1 77.338,1 5 5 − ⋅⋅ = EUR 353.16 annuityB = 1 1.1 1.0 1.1 43.608,2 5 5 − ⋅⋅ = EUR 688.10 annuityC = 1 1.1 1.0 1.1 31.245,2 5 5 − ⋅⋅ = EUR 592.31 B generates the highest annuity and should therefore be preferred. Teilaufgabe c) Internal Rate of Return A: NPV1 = 5- 5 5 1.1 25´ 0.1 1.1 1 1.1 20´ 90´ ⋅+ ⋅ −⋅+− = EUR 1,338.77 NPV2 = 5- 5 5 1.15 25´ 0.15 1.15 1 1.15 20´ 90´ ⋅+ ⋅ −⋅+− = EUR –10,527.48 IRRA = 1,338.77 48.527,10 0.1 0.15 1,338.77 0.1 −− −⋅− = 10.5641 % Internal Rate of Return B: NPV1 = – 110´ + 20´ ∙ 1.1 -1 + 25´ ∙ 1.1-2 + 30´ ∙ 1.1-3 + 25´ ∙ 1.1-4 + 55´ ∙ 1.1-5 = EUR 2,608.43 NPV2 = – 110´ + 20´ ∙ 1.15 -1 + 25´ ∙ 1.15-2 + 30´ ∙ 1.15-3 + 25´ ∙ 1.15-4 + 55´ ∙ 1.15-5 = EUR –12,341.07 IRRB = 2,608.43 07.341,12 0.1 0.15 2,608.43 0.1 −− −⋅− = 10.8724 % Internal Rate of Return C: NPV1 = – 140´ + 25´ ∙ 1.1 -1 + 35´ ∙ 1.1-2 + 40´ ∙ 1.1-3 + 25´ ∙ 1.1-4 + 70´ ∙ 1.1-5 = EUR 2,245.31 NPV2 = – 140´ + 25´ ∙ 1.15 -1 + 35´ ∙ 1.15-2 + 40´ ∙ 1.15-3 + 25´ ∙ 1.15-4 + 70´ ∙ 1.15-5 = EUR – 16,398.99 IRRC = 2,245.31 99.398,16 0.1 0.15 2,245.31 0.1 −− −⋅− = 10.6021 % B generates the highest internal rate of return and should therefore be preferred. Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 105 Teilaufgabe d) Payback Period A: period cash inflow [EUR] discounted cash inflow [EUR] cumulated discounted cash inflow [EUR] 1 20,000 18,181.82 18,181.82 2 20,000 16,528.93 34,710.75 3 20,000 15,026.30 49,737.05 4 20,000 13,660.27 63,397.32 5 45,000 27,941.46 91,338.78 > 90,000 tA = 5 – 1 + 90,000 – 63,397.32 27,941.46 = 4,95 years Payback Period B: period cash inflow [EUR] discounted cash inflow [EUR] cumulated discounted cash inflow [EUR] 1 20,000 18,181.82 18,181.82 2 25,000 20,661.16 38,842.98 3 30,000 22,539.44 61,382.42 4 25,000 17,075.34 78,457.76 5 55,000 34,150.67 112,608.43 > 110,000 tB = 5 – 1 + 110,000 – 78,457.76 34,150.67 = 4,92 years Payback Period C: period cash inflow [EUR] discounted cash inflow [EUR] cumulated discounted cash inflow [EUR] 1 25,000 22,727.27 22,727.27 2 35,000 28,925.62 51,652.89 3 40,000 30,052.59 81,705.48 4 25,000 17,075.34 98,780.82 5 70,000 43,464.49 142,245.31 > 140,000 tC = 5 – 1 + 140,000 – 98,780.82 43,464.49 = 4,95 years B has the shortest payback period and should therefore be preferred. 106 Investition in Übungen 4.6 Varianten der „klassischen“ dynamischen Verfahren Aufgabe 4.26: Kontenausgleichsverbot28 Der Pfennigfuchs GmbH stehen hinsichtlich einer geplanten Investition folgende sich gegenseitig ausschließende Alternativen zur Verfügung: t 0 1 2 3 Zt I (EUR) – 10.000 3.000 4.000 6.000 Zt II (EUR) – 12.000 3.500 5.000 5.500 Die Zinsraff-Bank bietet dem Unternehmen einen Habenzinssatz von 4 % p. a. und einen Sollzinssatz von 8 % p. a. an. a) Erklären Sie kurz die Vermögensendwertmethode unter der Nebenbedingung des Kontenausgleichsverbots verbal und rechnerisch! b) Berechnen Sie den Vermögensendwert der beiden Investitionsobjekte unter der Nebenbedingung des Kontenausgleichsverbots! Welchem Investitionsobjekt geben Sie den Vorzug? Lösung Teilaufgabe a) Bei der Vermögensendwertmethode wird der Vermögensendwert einer Investition durch Aufzinsung aller Zahlungen auf das Ende des Planungszeitraums bestimmt. Unter der realistischen Annahme, dass der Sollzinssatz über dem Habenzinssatz liegt, ist eine Einzelinvestition als vorteilhaft anzusehen, wenn sie einen positiven Vermögensendwert besitzt, da dann eine über dem Sollzinssatz (Kalkulationszinssatz für Kapitalaufnahme) liegende Investitionsrendite erzielt wird.29 Für den Alternativenvergleich gilt, dass die Investition mit dem höheren Vermögensendwert vorteilhafter ist. Die Kalkülformulierung kann vereinfacht werden, wenn unterstellt wird, dass für die Einzahlungsbzw. Auszahlungsüberschüsse während des Planungszeitraums jeweils eine getrennte Vermögensbestandsführung ohne Ausgleich erfolgt und erst am Ende des Planungshorizonts eine Zusammenführung zur Ermittlung des Vermö- 28 Modifiziert entnommen aus Perridon, Louis; Steiner, Manfred; Rathgeber, Andreas: Finanzwirtschaft der Unternehmung, 17. Aufl., München 2017, S. 95–96. 29 Vgl. Bieg, Hartmut; Kußmaul, Heinz; Waschbusch, Gerd: Investition, 3. Aufl., München 2016, S. 123–124. Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 107 gensendwertes Cn vorgenommen wird (Kontenausgleichsverbot). Ferner wird angenommen, dass sich das negative Vermögenskonto C– mit dem Sollzinssatz isoll und das positive Vermögenskonto C + mit dem Habenzinssatz ihaben während des gesamten Planungszeitraums verzinst. Positives Vermögenskonto am Ende des Planungszeitraums: ( ) tnhaben n 1t + tn i1 ZC − = + +⋅= Negatives Vermögenskonto am Ende des Planungszeitraums: ( ) tnsoll n 0t tn i1 ZC − = −− +⋅= Vermögensendwert der Investition: ( ) ( ) = −− = −+−+ +⋅−+⋅=−= n 0t tn sollt n 1t tn habentnnn i1Zi1ZCCC Dabei gilt: nC : Vermögensendwert der Investition am Ende der Periode t = n; + tZ : Einzahlungsüberschuss der Periode t; − tZ : Auszahlungsüberschuss der Periode t; habeni : Zinssatz für Kapitalanlage (Habenzinssatz); solli : Zinssatz für Kreditaufnahme (Sollzinssatz); n: Nutzungsdauer des Investitionsobjekts; t: Periode (t = 0, 1, 2, ..., n). Teilaufgabe b) Der Vergleich zweier alternativer Investitionen anhand ihrer Vermögensendwerte in n = 3 für den Fall eines Habenzinssatzes von 4 % p. a. und eines Sollzinssatzes von 8 % p. a. und unter der Nebenbedingung des Kontenausgleichsverbots führt zu folgendem Ergebnis: 108 Investition in Übungen Investitionsobjekt I: t −tZ (EUR) + tZ (EUR) Aufzinsungsfaktoren − nC (EUR) (EUR) 0 1 2 3 10.000 3.000 4.000 6.000 1,259712 1,081600 1,040000 1,000000 12.597,12 3.244,80 4.160,00 6.000,00 12.597,12 13.404,80 Investitionsobjekt II: t −tZ (EUR) + tZ (EUR) Aufzinsungsfaktoren − nC (EUR) (EUR) 0 1 2 3 12.000 3.500 5.000 5.500 1,259712 1,081600 1,040000 1,000000 15.116,54 3.785,60 5.200,00 5.500,00 15.116,54 14.485,60 Cn I = Cn+ – Cn– = 13.404,80 EUR – 12.597,12 EUR = + 807,68 EUR Das Investitionsobjekt I besitzt einen positiven Vermögensendwert und ist damit absolut gesehen vorteilhaft. Cn II = Cn+ – Cn– = 14.485,60 EUR – 15.116,54 EUR = – 630,94 EUR Das Investitionsobjekt II ist absolut gesehen nicht vorteilhaft. Daher ist das Investitionsobjekt I vorzuziehen; es besitzt einen höheren und positiven Vermögensendwert. Eine Vergleichbarkeit der Investitionsalternativen ist nur gegeben, wenn die Vermögensendwerte für den gleichen Endzeitpunkt ermittelt werden. Unterschiedliche Investitionslaufzeiten können durch Berücksichtigung von Ergänzungsinvestitionen (Ergänzung der kürzeren Laufzeit) oder Restnutzungswerten (Verkürzung der längeren Laufzeit) auf einen einheitlichen Vergleichszeitpunkt bezogen werden. Dabei ist allerdings zu berücksichtigen, dass reine Finanzinvestitionen bei einem über dem Anlagezinssatz liegenden Kapitalaufnahmezinssatz zu einem negativen Vermögensendwert führen. Finanzergänzungsinvestitionen sind daher bei diesen Bedingungskonstellationen nicht zweckmäßig. Dagegen können bereits planbare Sachinvestitionen als Ergänzung in das Kalkül mit einbezogen werden. Cn + Cn + Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 109 Aufgabe 4.27: Kontenausgleichsgebot a) Erklären Sie kurz die Vermögensendwertmethode unter der Nebenbedingung des Kontenausgleichsgebots verbal und rechnerisch! b) Es gelten die Daten der Aufgabe 4.26 auf Seite 106. Berechnen Sie den Vermögensendwert der beiden Investitionsobjekte unter der Nebenbedingung des Kontenausgleichsgebots! Welchem Investitionsobjekt geben Sie den Vorzug? Lösung Teilaufgabe a) Bei der Vermögensendwertmethode mit Kontenausgleichsgebot wird der Einzahlungsüberschuss der jeweiligen Periode in voller Höhe zunächst zum Abbau eines eventuell bestehenden negativen Vermögens (der Schulden) genutzt, und erst nach dessen (deren) Tilgung ist eine Anlage dieser erwirtschafteten finanziellen Mittel zum Habenzinssatz ihaben möglich. Es gilt deshalb: 30 z)(1CZz)(1C)A(EC 1tt1tttt +⋅+=+⋅+−= −− mit: 0C wenn ,iz 1tsoll <= − 0C wenn ,iz 1thaben >= − Dabei gilt: tC : Vermögenswert der Investition am Ende der Periode t; 1tC − : Vermögenswert der Investition am Ende der Periode t − 1; tE : Einzahlungen der Periode t; tA : Auszahlungen der Periode t; tZ : Zahlungsüberschuss der Periode t (Differenz zwischen Einzahlungen und Auszahlungen der Periode t) mit Zt > 0 oder Zt < 0; t: Periode (t = 0, 1, 2, ..., n). 30 Vgl. Bieg, Hartmut; Kußmaul, Heinz; Waschbusch, Gerd: Investition, 3. Aufl., München 2016, S. 124–125. 110 Investition in Übungen Teilaufgabe b) Der Vergleich zweier alternativer Investitionen anhand ihrer Vermögensendwerte in n = 3 für den Fall eines Habenzinssatzes von 4 % p. a. und eines Sollzinssatzes von 8 % p. a. und unter der Nebenbedingung des Kontenausgleichsgebots führt zu folgendem Ergebnis: t Investitionsobjekt I Investitionsobjekt II I tZ ≤− ≥− − 0I 1tC;08,1 0I 1tC;04,1 I 1tC I tC II tZ ≤− ≥− − 0II 1tC;08,1 0II 1tC;04,1 II 1tC II tC (EUR) (EUR) (EUR) (EUR) (EUR) (EUR) 0 − 10.000 − − 10.000 – 12.000 − − 12.000 1 + 3.000 − 10.800 − 7.800 + 3.500 − 12.960 − 9.460 2 + 4.000 − 8.424 − 4.424 + 5.000 – 10.216,80 – 5.216,80 3 + 6.000 − 4.777,92 + 1.222,08 + 5.500 – 5.634,14 – 134,14 Der Vergleich zeigt, dass das Investitionsobjekt I einen höheren Vermögensendwert besitzt und damit vorteilhafter ist als das Investitionsobjekt II. Zudem gilt: Nur das Investitionsobjekt I ist auch absolut vorteilhaft. Aufgabe 4.28: Teichroew, Robichek, Montalbano (TRM)- Methode Die von einer Investition ausgelösten Zahlungsgrößen lauten: t 0 1 2 Zt (EUR) − 550.000 600.000 80.000 a) Erläutern Sie kurz die Teichroew, Robichek, Montalbano (TRM)-Methode und stellen Sie die dazugehörige Bestimmungsgleichung auf! b) Berechnen Sie den kritischen Sollzinssatz der Investition nach der TRM- Methode für einen Habenzinssatz von 5 % p. a.! Verwenden Sie als Versuchs-Sollzinssätze rs1 = 20 % p. a. und rs2 = 25 % p. a.! Lösung Teilaufgabe a) Bei der TRM-Methode der dynamischen Investitionsrechnung wird ein kritischer Sollzinssatz berechnet, bei dem der Vermögensendwert einer Investition gleich Null ist. Diese Methode repräsentiert eine Sollzinssatzmethode mit Kontenausgleichsgebot, d. h., der Einzahlungsüberschuss der jeweiligen Periode findet zunächst in voller Höhe Verwendung zum Abbau eines eventuell Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 111 bestehenden negativen Vermögens und erst nach dessen Tilgung erfolgt eine Anlage dieser erwirtschafteten finanziellen Mittel zum Habenzinssatz ihaben; Auszahlungsüberschüsse werden primär über eigengebildete Projektmittel finanziert.31 Formal kann die TRM-Methode folgendermaßen dargestellt werden: Ct = Zt + Ct−1 ∙ (1 + z) = 0 mit: 0C wenn ,rz 1ts <= − 0C wenn ,iz 1thaben >= − Dabei gilt: Ct: Vermögenswert der Investition am Ende der Periode t; Ct−1: Vermögenswert der Investition am Ende der Periode t − 1; Zt: Zahlungsüberschuss der Periode t (Differenz zwischen Einzahlungen und Auszahlungen der Periode t) mit Zt > 0 oder Zt < 0; rs: Kritischer Sollzinssatz; ihaben: Zinssatz für Kapitalanlage (Habenzinssatz); t: Periode (t = 0, 1, 2, ..., n). Durch die Verwendung eines mathematischen Näherungsverfahrens kann ein Nutzenwert für den kritischen Sollzinssatz ermittelt werden. Teilaufgabe b) 1. Versuchszinssatz (rs1 = 20 % p. a.): t Ct-1 (EUR) z Zt (EUR) Ct (EUR) 0 – – − 550.000 − 550.000 1 − 550.000 20 % 600.000 − 60.000 2 − 60.000 20 % 80.000 C21 = 8.000 31 Vgl. Bieg, Hartmut; Kußmaul, Heinz; Waschbusch, Gerd: Investition, 3. Aufl., München 2016, S. 125–127; vgl. allgemein zur TRM-Methode Teichroew, Daniel; Robichek, Alexander A.; Montalbano, Michael: An Analysis of Criteria for Investment and Financing Decisions under Certainty, in: Management Science 1965/66, S. 155–179. 112 Investition in Übungen 2. Versuchszinssatz (rs2 = 25 % p. a.): t Ct-1 (EUR) z Zt (EUR) Ct (EUR) 0 − − − 550.000 − 550.000 1 − 550.000 25 % 600.000 − 87.500 2 − 87.500 25 % 80.000 C22 = − 29.375 000.8375.29 20,025,0 000.820,0 CC rr Crr̂ 2122 s1s2 211ss −− −⋅−= − − ⋅−= = 0,210702 Der kritische Sollzinssatz nach der TRM-Methode beträgt 21,0702 % p. a. Aufgabe 4.29: Vermögensrentabilitäts (VR)-Methode Gegeben seien die folgenden Daten für ein Investitionsobjekt: t 0 1 2 Zt (EUR) − 70.000 80.000 10.000 a) Erläutern Sie kurz die Vermögensrentabilitäts (VR)-Methode und stellen Sie die dazugehörige Bestimmungsgleichung auf! b) Berechnen Sie den kritischen Sollzinssatz dieser Investition nach der VR- Methode! Verwenden Sie für Ihre Rechnung den Habenzinssatz von 5 % p. a. sowie die Versuchs-Sollzinssätze rs1 = 10 % p. a. und rs2 = 20 % p. a.! Lösung Teilaufgabe a) Bei der VR-Methode – einer weiteren Ausprägungsform der Sollzinssatzmethode – wird ein kritischer Sollzinssatz berechnet, bei dem der Vermögensendwert einer Investition unter der Nebenbedingung eines Kontenausgleichsverbots gleich Null ist. Der kritische Sollzinssatz rs ist derjenige Zinssatz, bei dem der Stand des positiven Vermögenskontos am Ende des Planungszeitraums gleich dem Stand des negativen Vermögenskontos am Ende des Planungszeitraums ist. Eine Verzinsung der Einzahlungsüberschüsse der jeweiligen Perioden erfolgt also bis zum Ende des Planungszeitraums zum Habenzinssatz ihaben; Auszahlungsüberschüsse müssen durch Zuführung von Kapital finanziert werden, für das eine Verzinsung in Höhe des Sollzinssatzes Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 113 rs angenommen wird und das außerdem erst am Ende des Planungszeitraums zurückgezahlt wird.32 Formeln: tn n 1t habentn )i(1EC − = + +⋅= tn n 0t stn )r1(AC − = − +⋅= −+−+ =→=−= n ! n ! nnn CC 0CCC Dabei gilt: Cn: Vermögensendwert der Investition am Ende der Periode t = n; Et: Einzahlungen der Periode t; At: Auszahlungen der Periode t; ihaben: Zinssatz für Kapitalanlage (Habenzinssatz); rs: Kritischer Sollzinssatz; n: Nutzungsdauer des Investitionsobjekts; t: Periode (t = 0, 1, 2, ..., n). Teilaufgabe b) 1. Versuchszinssatz ( 1sr = 10 % p. a.): + 21C = 80.000 EUR ∙ 1,05 + 10.000 EUR = 94.000 EUR − 21C = 70.000 EUR ∙ 1,1 2 = 84.700 EUR 21C = 94.000 EUR – 84.700 EUR = 9.300 EUR > 0 2. Versuchszinssatz ( 2sr = 20 % p. a.): + 22C = + 21C = 94.000 EUR − 22C = 70.000 EUR ∙ 1,2 2 = 100.800 EUR 22C = 94.000 EUR – 100.800 EUR = – 6.800 EUR < 0 32 Vgl. Bieg, Hartmut; Kußmaul, Heinz; Waschbusch, Gerd: Investition, 3. Aufl., München 2016, S.125–127; vgl. dazu ausführlich Henke, Manfred: Vermögensrentabilität – ein einfaches dynamisches Investitionskalkül, in: Zeitschrift für Betriebswirtschaft 1973, S. 177–198. 114 Investition in Übungen Lineare Interpolation: 300.9800.6 10,020,0 300.910,0 CC rr Crr̂ 2122 1s2s 211ss −− −⋅−= − − ⋅−= = 15,7764 % p. a. Da der Planungszeitraum nur zwei Perioden umfasst, lässt sich für den kritischen Sollzinssatz auch eine exakte Lösung angeben: EUR000.1005,1EUR000.80)r1(EUR000.70 2s +⋅=+⋅ → rs = 15,8817 % p. a. Aufgabe 4.30: Baldwin-Methode Hinsichtlich einer geplanten Investition sind folgende Daten gegeben: t 0 1 2 3 Investitionsauszahlung (EUR) 150.000 50.000 Einzahlungen (EUR) 120.000 150.000 160.000 Auszahlungen (EUR) 40.000 60.000 80.000 Liquidationserlös (EUR) 10.000 a) Erläutern Sie kurz die Baldwin-Methode und stellen Sie die dazugehörige Bestimmungsgleichung auf! b) Berechnen Sie den kritischen Sollzinssatz dieser Investition nach der Baldwin-Methode für einen Habenzinssatz von 3 % p. a.! Lösung Um den kritischen Sollzinssatz nach der Baldwin-Methode berechnen zu können, muss in einem ersten Schritt der Vermögensendwert der Investition unter Verwendung der mit dem Habenzinssatz aufgezinsten Einzahlungsüberschüsse ohne Berücksichtigung eventueller Investitionsauszahlungen ermittelt werden.33 Anschließend ist mittels des Habenzinssatzes der Barwert der Summe aus Investitionsauszahlungen und Liquidationserlös zu berechnen. Im letzten Schritt wird nun der kritische Sollzinssatz ermittelt, der dem Zinssatz entspricht, mit dem der Barwert der Summe aus Investitionsauszahlungen und Liquidationserlös auf das Ende des Planungszeitraums aufgezinst wird, damit der aufgezinste Barwert dem Vermögensendwert der Einzahlungsüberschüsse entspricht. 33 Vgl. hierzu sowie nachfolgend Bieg, Hartmut; Kußmaul, Heinz; Waschbusch, Gerd: Investition, 3. Aufl., München 2016, S. 127–132. Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 115 Formal kann die von Baldwin begründete Methode in folgender Weise dargestellt werden: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nbnhabennthaben n 0t t ! tn haben n 1t t tn haben n 1t t r1i1Li1I i1Ai1E +⋅ +⋅−+⋅ =+⋅ −+⋅ −− = − = − = ( ) ( ) ( ) ( )nbnhabennthaben n 0t t ! tn haben n 1t t r1i1Li1I i1Z +⋅ +⋅−+⋅ =+⋅ −− = − = Dabei gilt: Et: Positiver Rückfluss in der Periode t (Einzahlungen in der Periode t ohne Berücksichtigung eines eventuellen Liquidationserlöses in der Periode t = n); At: Negativer Rückfluss in der Periode t (Auszahlungen ohne Berücksichtigung eventueller Investitionsauszahlungen in der Periode t); Zt: Zahlungsüberschuss der Periode t (Differenz zwischen Einzahlungen und Auszahlungen der Periode t) mit Zt > 0 oder Zt < 0; It: Investitionsauszahlungen der Periode t; Ln: Liquidationserlös im Zeitpunkt t = n; ihaben: Habenzinssatz; rb: Kritischer Sollzinssatz nach der Baldwin-Methode; n: Planungszeitraum bzw. Nutzungsdauer des Investitionsobjekts; t: Periode (t = 0, 1, 2, ..., n). Den Sollzinssatz nach Baldwin ermittelt man durch die Auflösung obiger Gleichung nach rb wie folgt: ( ) ( ) ( ) 1 i1Li1I i1Z r n n 0t n habenn t habent n 1t tn habent b − +⋅−+⋅ +⋅ = = −− = − Aus der vorliegenden Aufgabenstellung ergeben sich folgende Werte: 1. Schritt: 80.000 EUR ∙ 1,032 + 90.000 EUR ∙ 1,031 + 80.000 EUR = 257.572 EUR 2. Schritt: 150.000 EUR + 50.000 EUR ∙ 1,03-1 – 10.000 EUR ∙ 1,03-3 = 189.392,27 EUR 3. Schritt: 107930,01 27,392.189 572.257 r 3b =−= Damit beträgt der kritische Sollzinssatz dieser Investition nach der Baldwin- Methode 10,7930 % p. a. 116 Investition in Übungen 4.7 Ertragsteuern und Geldentwertung in der Investitionsrechnung Aufgabe 4.31: Berücksichtigung von Ertragsteuern Geben Sie einen kurzen Überblick über die wesentlichen Modelle zur Berücksichtigung von Ertragsteuern bei der Ermittlung der Vorteilhaftigkeit von Investitionen! Lösung In der Literatur werden im Wesentlichen folgende grundlegende Ansätze zur Berücksichtigung von Ertragsteuern bei der Ermittlung der Vorteilhaftigkeit von Investitionen diskutiert, wobei alle dargelegten Modelle auf der Kapitalwertmethode basieren:34 − Standardmodell: Zur Berücksichtigung von Ertragsteuern, bei denen die um die Absetzungen für Abnutzung (AfA) gekürzten Rückflüsse die steuerliche Bemessungsgrundlage bilden; Berücksichtigung des Entlastungseffekts durch die steuerliche Abzugsfähigkeit von Fremdkapitalzinsen im Kalkulationszinssatz. − Modifikationen des Standardmodells: − für den Fall einer projektbezogenen Finanzierung; − bei Gewährung staatlicher Investitionshilfen. − Bruttomethode: Pauschale Berücksichtigung der gesamten Ertragsteuerwirkungen über die Festlegung des Kalkulationszinssatzes; es erscheinen auch in der Rechnung nach Steuern keine Ertragsteuerzahlungen in der Zahlungsreihe der Investition. 34 Vgl. Bieg, Hartmut; Kußmaul, Heinz; Waschbusch, Gerd: Investition, 3. Aufl., München 2016, S. 163; vgl. auch Adam, Dietrich: Investitionscontrolling, 3. Aufl., München/ Wien 2000, S. 173–175; Blohm, Hans; Lüder, Klaus; Schaefer, Christina: Investition, 10. Aufl., München 2012, S. 103–104; Büschgen, Hans E.: Betriebliche Finanzwirtschaft – Unternehmensinvestitionen, Frankfurt a. M. 1981, S. 88–89; Kruschwitz, Lutz; Lorenz, Daniela: Investitionsrechnung, 15. Aufl., Berlin/Boston 2019, S. 127–146. Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 117 Aufgabe 4.32: Standardmodell zur Berücksichtigung von Ertragsteuern Welche Prämissen liegen dem Standardmodell zur Berücksichtigung von Ertragsteuern zugrunde? Lösung Dem Standardmodell zur Berücksichtigung von Ertragsteuern liegen folgende Prämissen zugrunde:35 – Existenz einer Einheitsertragsteuer, der alle Gewinne unterliegen: Charakteristisch für das Standardmodell sind eine allgemein und einheitlich definierte Bemessungsgrundlage sowie ein von der Höhe der Bemessungsgrundlage unabhängiger Steuersatz (proportionaler Tarif ohne Freibeträge: Grenzsteuersatz entspricht dem Durchschnittssteuersatz). Unberücksichtigt bleiben also beispielsweise die Unterschiede in der Bemessungsgrundlage von Einkommensteuer bzw. Körperschaftsteuer und Gewerbesteuer, die Abhängigkeit des Einkommensteuersatzes von der Höhe des Einkommens und die Abhängigkeit der Gewerbesteuer vom Hebesatz. – Heranziehung des Periodenerfolgs (Gt) und des Veräußerungserfolgs (Ln−RBn) als Bemessungsgrundlagen für die Ermittlung der Ertragsteuerzahlungen: Der Periodenerfolg (Gt) kann bestimmt werden als Differenz zwischen dem Einzahlungsüberschuss einer Periode (Et − At) und den steuerlichen Abschreibungen dieser Periode (AfAt). Keine Berücksichtigung finden steuerliche Auswirkungen der Abzugsfähigkeit aller nicht zahlungswirksamen Aufwendungen, soweit sie nicht Abschreibungen sind. Auch erfolgt eine Abstrahierung von der Tatsache, dass die Zeitpunkte der Erfolgsrealisierung und der Zahlung auseinander fallen können. Der Veräußerungserfolg (Ln – RBn) lässt sich ermitteln aus dem Liquidationserlös (Ln) abzüglich des Restbuchwertes (RBn) des Investitionsobjekts zum Zeitpunkt der Veräußerung. Eine teilweise oder vollständige Befreiung des Veräußerungserfolges von der Ertragsbesteuerung – z. B. aufgrund der Bestimmungen des § 6b EStG – bleibt außer Acht. 35 Vgl. Bieg, Hartmut; Kußmaul, Heinz; Waschbusch, Gerd: Investition, 3. Aufl., München 2016, S. 167–168; Kußmaul, Heinz: Betriebswirtschaftliche Steuerlehre, 8. Aufl., Berlin/Boston 2020, S. 170−173. 118 Investition in Übungen – Auslösung einer Steuerzahlung durch Perioden- bzw. Veräußerungsgewinn, Erlangen einer Steuerersparnis durch Perioden- bzw. Veräu- ßerungsverlust: Eine Zurechnung der Steuerwirkungen erfolgt stets zur Periode der Erfolgsentstehung (sofortige Besteuerung bzw. sofortiger Verlustausgleich); im Falle des Auftretens eines Periodenverlustes bei einem Investitionsobjekt wird also unterstellt, dass der Gesamterfolg des Unternehmens in dieser Periode nicht negativ ist bzw. eine unmittelbare Verlustrücktragsmöglichkeit besteht. – Unabhängigkeit des Steuersatzes von der Höhe des Erfolgs und Konstanz im Zeitablauf, gleichermaßen Gültigkeit für Periodenerfolg und Veräußerungserfolg: Ansatz findet im Allgemeinen der maximale Grenzsteuersatz der Einkommensteuer bzw. der Körperschaftsteuersatz, gegebenenfalls zuzüglich Gewerbesteuer und Solidaritätszuschlag. – Gleichheit des Sollzinssatzes vor Steuern und des Habenzinssatzes vor Steuern: Es erfolgt die Unterstellung eines vollkommenen und für den Investor unbeschränkten Kapitalmarktes. Aufgabe 4.33: Standardmodell zur Berücksichtigung von Ertragsteuern Die Claus Clever GmbH strebt eine Erweiterung ihres Betriebes an. Zu diesem Zweck erwägt sie die Anschaffung einer CNC-Drehmaschine, die in den nächsten fünf Jahren zu folgender Zahlungsreihe führt: t 0 1 2 3 4 5 Zt (TEUR) − 60.000 12.000 15.000 20.000 11.000 10.000 a) Berechnen Sie für das Investitionsobjekt den Kapitalwert nach Steuern unter Heranziehung des Standardmodells zur Berücksichtigung von Ertragsteuern! Gehen Sie dabei von folgenden Annahmen aus: − Körperschaftsteuersatz: sk = 0,15; − gewerbesteuerlicher Hebesatz: h = 4,50 bzw. 450 %; − Solidaritätszuschlagssatz: sSolZ = 0,055; − Kalkulationszinssatz vor Steuern: 5 % p. a.; − keine Entstehung eines Veräußerungsgewinns; − lineare Abschreibung des Investitionsobjekts. Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 119 b) Skizzieren Sie den Einfluss der Abschreibungsmethoden und eines steigenden Ertragsteuersatzes auf den Kapitalwert nach Steuern! Lösung Teilaufgabe a) Es erfolgt eine Änderung der Zahlungsreihe aufgrund der Steuerzahlungen. Berechnungsgrundlage für die Steuerzahlungen ist der Gewinn, nicht der Einzahlungsüberschuss einer Periode. Ertragsteuersatz: ser = sk ∙ (1 + sSolZ) + sge Dabei gilt: ser: Ertragsteuersatz; sk: Körperschaftsteuersatz; sge: Gewerbesteuersatz; sSolZ: Solidaritätszuschlagssatz. Gewerbesteuersatz: sge = m ∙ h Dabei gilt: m: Steuermesszahl für den Gewerbeertrag (m = 3,5 % gemäß § 11 Abs. 2 GewStG); h: Gewerbesteuerlicher Hebesatz. Bei Zugrundelegung eines gewerbesteuerlichen Hebesatzes von 450 % ergibt sich ein Gewerbesteuersatz sge i. H. v.: sge = 0,035 ∙ 4,5 = 15,75 % Für den Ertragsteuersatz ser gilt dann unter Einbeziehung des Körperschaftsteuersatzes i. H. v. 15 % sowie des Solidaritätszuschlagssatzes i. H. v. 5,5 % Folgendes: ser = 0,15 ∙ (1 + 0,055) + 0,1575 = 31,575 % Als Kalkulationszinssatz nach Ertragsteuern is erhält man also folgenden Wert: is = i ∙ (1 – ser) is = 0,05 ∙ (1 – 0,31575) = 0,034213 = 3,4213 % 120 Investition in Übungen Kapitalwert der Investition nach Steuern C0s: t 0 1 2 3 4 5 Zt (TEUR) – 60.000,00 12.000,00 15.000,00 20.000,00 11.000,00 10.000,00 AfA (TEUR) 12.000,00 12.000,00 12.000,00 12.000,00 12.000,00 Gewinn (TEUR) – 3.000,00 8.000,00 – 1.000,00 – 2.000,00 Steuern (TEUR) – 947,25 2.526,00 – 315,75 – 631,50 EZÜ (nach Steuern) (TEUR) – 60.000,00 12.000,00 14.052,75 17.474,00 11.315,75 10.631,50 AB bei is = 0,034213 1,000000 0,966919 0,934932 0,904003 0,874098 0,845182 Barwert (TEUR) – 60.000,00 11.603,03 13.138,37 15.796,55 9.891,07 8.985,55 Ergebnis: Den Kapitalwert nach Steuern erhält man durch die Ermittlung der Summe der Barwerte; er beträgt – 585,43 TEUR. Die Anschaffung der CNC-Drehmaschine sollte daher nicht durchgeführt werden. Teilaufgabe b) Einflüsse auf den Kapitalwert nach Steuern: – Abschreibungsmethoden: Durch die Vorverlagerung von Abschreibungen im Rahmen einer Abschreibungsmethode (z. B. degressive Abschreibungen) erfolgt eine Nachverlagerung des steuerpflichtigen Gewinns. Aus dem niedrigeren steuerpflichtigen Gewinn resultieren auch geringere Steuerzahlungen. Die geringeren Steuerzahlungen führen zu höheren Einzahlungsüberschüssen, wodurch der Kapitalwert nach Steuern C0s steigt. – Ertragsteuersatz: − Bei steigendem Ertragsteuersatz steigen die Steuerzahlungen und der Kapitalwert nach Steuern C0s fällt. − Bei steigendem Ertragsteuersatz sinkt der Kalkulationszinssatz. Fällt der Kalkulationszinssatz, so steigt der Kapitalwert nach Steuern C0s. Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 121 Aufgabe 4.34: Berücksichtigung von Ertragsteuern Ein Unternehmen kann einen Werkzeugautomaten für 100.000 EUR kaufen, mit dem sich ein bestimmtes Produkt X herstellen lässt. Im Falle des Kaufes braucht das Unternehmen nur 40.000 EUR anzuzahlen. Der Rest kann in vier Jahresraten i. H. v. 15.000 EUR/Jahr jeweils am Ende der folgenden Jahre bezahlt werden. Die geschätzte Nutzungsdauer beträgt 8 Jahre. Die Maschine wird linear abgeschrieben. Das Unternehmen glaubt, dass es in jedem Jahr 10.000 Einheiten des Produktes X zum Preis von 10 EUR/ME absetzen kann. Die zahlungswirksamen Fixkosten werden auf 2.000 EUR/Jahr geschätzt. Die zahlungswirksamen variablen Kosten betragen 8 EUR/ME. Das Unternehmen rechnet gewöhnlich mit einem Kalkulationszinsfuß von 10 % p. a. Sein Ertragsteuersatz beträgt 30 %. Zur Deckung eventuell auftretender Auszahlungs- überschüsse in den einzelnen Perioden stehen Eigenmittel zur Verfügung. Steuerlich besteht die Möglichkeit des sofortigen Verlustausgleichs. a) Sollte das Unternehmen unter Berücksichtigung seiner Ertragsteuersituation den Werkzeugautomaten kaufen, wenn es in jeder Periode genau das produziert, was es absetzen kann? Rechnen Sie mit Hilfe der Kapitalwertmethode! b) Wie groß muss die jährlich produzierte bzw. abgesetzte Menge mindestens sein, damit die Investition vorteilhaft wird? c) Der Werkzeugautomat kann bei gleicher Lebensdauer 15.000 ME/Jahr herstellen. Sollte der Werkzeugautomat gekauft werden, wenn bei einer vollständigen Kapazitätsauslastung in jeder Periode die Überschussproduktion, bewertet zu den variablen Stückkosten, auf Lager geht und nach Ende der Produktionszeit bei weiterhin konstanter Absatzmenge pro Jahr zu einem Preis von 16 EUR/ME verkauft werden kann? Die Lagerhaltungskosten pro Periode betragen unabhängig von dem jeweiligen Lagerbestand 5.000 EUR. Lösung Teilaufgabe a) Auszahlungen: A0 = 40.000 EUR; At = 15.000 EUR für t = 1, …, 4 Nutzungsdauer: n = 8 Jahre Unter Berücksichtigung des Ertragsteuersatzes ist der Kalkulationszinsfuß wie folgt zu korrigieren: 122 Investition in Übungen i = 0,1; ser = 0,3; is = i ∙ (1 – ser) = 0,1 ∙ (1 – 0,3) = 0,07 Abschreibung: 100.000 EUR ÷ 8 Jahre = 12.500 EUR/Jahr Produktionsmenge (= Absatzmenge): 10.000 ME/Jahr Absatzpreis: 10 EUR/ME Zahlungswirksame variable Kosten: 8 EUR/ME Zahlungswirksame Fixkosten: 2.000 EUR/Jahr In den einzelnen Perioden entstehen folgende Einzahlungsüberschüsse (EZÜ): Periode 0: EZÜ0 = – 40.000 EUR Periode 1 bis 4: EZÜt = 100.000 – 82.000 – 0,3 ∙ (100.000 – 82.000 – 12.500) – 15.000 = 1.350 EUR für t = 1, ..., 4 Periode 5 bis 8: EZÜt = 100.000 – 82.000 – 0,3 ∙ (100.000 – 82.000 – 12.500) = 16.350 EUR für t = 5, ..., 8 Der Kapitalwert nach Steuern (C0s) ergibt sich wie folgt: C0s = – 40.000 + 1.350 ∙ RBF (7 %/4 Jahre) + 16.350 ∙ RBF (7 %/4 Jahre) ∙ 1,07-4 = + 6.822,56 EUR Da der Kapitalwert nach Steuern positiv ist, ist die Investition vorteilhaft und der Werkzeugautomat sollte gekauft werden. Teilaufgabe b) Zur Lösung dieses Problems ist der Kapitalwert nach Steuern gleich Null zu setzen und nach der produzierten bzw. abgesetzten Menge x aufzulösen. C0s = 0 = – 40.000 – 15.000 ∙ RBF (7 %/4 Jahre) – 2.000 ∙ RBF (7 %/8 Jahre) + [10 ∙ x – 8 ∙ x – 0,3 ∙ (2 ∙ x – 2.000 – 12.500)] ∙ RBF (7 %/8 Jahre) → 40.000 + 50.808,17 + 11.942,60 = (1,4 ∙ x + 600 + 3.750) ∙ RBF (7 %/8 Jahre) → 8,359818 ∙ x = 102.750,77 – 25.975,15 → 359818,8 62,775.76 x = = 9.183,89 ME/Jahr Es müssen mindestens 9.184 ME pro Jahr produziert und abgesetzt werden, damit die Investition in den Werkzeugautomaten vorteilhaft ist. Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 123 Teilaufgabe c) Periode Prod. Menge (ME) – Verkäufe (ME) = Lager (ME) Kosten (EUR) 1 15.000 10.000 5.000 5.000 2 15.000 10.000 10.000 5.000 3 15.000 10.000 15.000 5.000 4 15.000 10.000 20.000 5.000 5 15.000 10.000 25.000 5.000 6 15.000 10.000 30.000 5.000 7 15.000 10.000 35.000 5.000 8 15.000 10.000 40.000 5.000 9 0 10.000 30.000 5.000 10 0 10.000 20.000 5.000 11 0 10.000 10.000 5.000 12 0 10.000 0 5.000 Da die zu den variablen Stückkosten bewertete Lagerbestandserhöhung genauso groß ist wie die für die Produktion der Lagerbestandserhöhung erforderlichen Kosten, gleichen sich diese beiden Beträge bei der Ertragsteuerberechnung der Perioden 1 bis 8 gerade aus. In den Perioden 9 bis 12 sind ein Ertrag i. H. v. 16 EUR pro Stück (= Verkaufspreis) und ein Aufwand i. H. v. 8 EUR pro Stück (= Lagerbestandsabbau) bei der Ertragsteuerberechnung zu berücksichtigen. Es entstehen in den einzelnen Perioden folgende Einzahlungsüberschüsse: Periode 0: EZÜ0 = – 40.000 EUR Periode 1 bis 4: EZÜt = – 15.000 + 10 ∙ 10.000 – 8 ∙ 15.000 – 5.000 – 2.000 – 0,3 ∙ (100.000 – 80.000 + 8 ∙ 5.000 – 8 ∙ 5.000 – 2.000 – 5.000 – 12.500) = – 42.150 EUR für t = 1, …, 4 Periode 5 bis 8: EZÜt = 10 ∙ 10.000 – 8 ∙ 15.000 – 5.000 – 2.000 – 0,3 ∙ (100.000 – 80.000 + 8 ∙ 5.000 – 8 ∙ 5.000 – 2.000 – 5.000 – 12.500) = – 27.150 EUR für t = 5, …, 8 Periode 9 bis 12: EZÜt = 16 ∙ 10.000 – 5.000 – 0,3 ∙ (16 ∙ 10.000 – 8 ∙ 10.000 – 5.000) = 132.500 EUR für t = 9, …, 12 124 Investition in Übungen C0s = – 40.000 – 42.150 ∙ RBF (7 %/4 Jahre) – 27.150 ∙ RBF (7 %/4 Jahre) ∙ 1,07-4 + 132.500 ∙ RBF (7 %/4 Jahre) ∙ 1,07-8 = 8.279,96 EUR Auch hier gilt: Da der Kapitalwert nach Steuern positiv ist, sollte die Investition in den Werkzeugautomaten durchgeführt werden. Aufgabe 4.35: Kapitalwerte nach Steuern Die Ungenau GmbH, Hersteller von Dreh- und Fräsmaschinen, hat zwei Investitionsalternativen zur Auswahl, die durch folgende Zahlungsreihen gekennzeichnet sind: t 0 1 2 3 4 5 Zt A (EUR) − 10.000 4.000 4.000 4.000 4.000 4.000 Zt B (EUR) − 10.000 − − 5.000 5.000 5.000 Der Kalkulationszinssatz vor Steuern beträgt 10 % p. a. Die Investitionsobjekte werden mit Eigenkapital finanziert. Die Abschreibung erfolgt linear. a) Berechnen Sie die Kapitalwerte (C0) der Investitionsobjekte ohne Berücksichtigung der Steuern! b) Berechnen Sie die Kapitalwerte nach Steuern (C0s) unter Berücksichtigung der Ertragsteuersätze von 20 %, 30 %, 40 % und 50 %! Differenzieren Sie zwischen der Möglichkeit des reinen Verlustvortrags und der sofortigen Verlustverrechnung! c) Interpretieren Sie die Entwicklung der Kapitalwerte nach Steuern (C0s)! Lösung Teilaufgabe a) Kapitalwertmethode ohne Berücksichtigung von Steuern: C0A = − 10.000 EUR + 4.000 EUR ∙ RBF (10 %/5 Jahre) = − 10.000 EUR + 4.000 EUR ∙ 3,790787 = + 5.163,15 EUR C0B = − 10.000 EUR + 5.000 EUR ∙ RBF (10 %/3 Jahre) ∙ 1,1-2 = − 10.000 EUR + 5.000 EUR ⋅ 2,486852 ∙ 0,826446 = + 276,24 EUR Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 125 Teilaufgabe b) Berechnung der Steuern und der Rückflüsse nach Steuern für das Investitionsobjekt A (Beträge in EUR): Nr. Periode 1 2 3 4 5 1 EZÜ 4.000 4.000 4.000 4.000 4.000 2 Abschreibungen 2.000 2.000 2.000 2.000 2.000 3 Stpfl. Gewinn (1 – 2) 2.000 2.000 2.000 2.000 2.000 4 Steuerzahlung (ser = 0,2 ⋅ (3)) 400 400 400 400 400 5 EZÜ nach Steuern (1 – 4) 3.600 3.600 3.600 3.600 3.600 6 Steuerzahlung (ser = 0,3 ⋅ (3)) 600 600 600 600 600 7 EZÜ nach Steuern (1 – 6) 3.400 3.400 3.400 3.400 3.400 8 Steuerzahlung (ser = 0,4 ⋅ (3)) 800 800 800 800 800 9 EZÜ nach Steuern (1 – 8) 3.200 3.200 3.200 3.200 3.200 10 Steuerzahlung (ser = 0,5 ⋅ (3)) 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 11 EZÜ nach Steuern (1 – 10) 3.000 3.000 3.000 3.000 3.000 Berechnung der Kapitalwerte nach Steuern (C0s) für das Investitionsobjekt A: ser = 20 %; is = 8 %: C0s = − 10.000 EUR + 3.600 EUR ∙ RBF (8 %/5 Jahre) = − 10.000 EUR + 3.600 EUR ∙ 3,992710 = + 4.373,76 EUR ser = 30 %; is = 7 %: C0s = − 10.000 EUR + 3.400 EUR ∙ RBF (7 %/5 Jahre) = − 10.000 EUR + 3.400 EUR ∙ 4,100197 = + 3.940,67 EUR 126 Investition in Übungen ser = 40 %; is = 6 %: C0s = − 10.000 EUR + 3.200 EUR ∙ RBF (6 %/5 Jahre) = − 10.000 EUR + 3.200 EUR ∙ 4,212364 = + 3.479,56 EUR ser = 50 %; is = 5 %: C0s = − 10.000 EUR + 3.000 EUR ∙ RBF (5 %/5 Jahre) = − 10.000 EUR + 3.000 EUR ∙ 4,329477 = + 2.988,43 EUR Berechnung der Steuern und der Rückflüsse nach Steuern für das Investitionsobjekt B bei Verlustvortrag (Beträge in EUR): t 1 2 3 4 5 EZÜ 0 0 5.000 5.000 5.000 Abschreibungen 2.000 2.000 2.000 2.000 2.000 Verlustvortrag 2.000 4.000 1.000 0 0 Stpfl. Gewinn – – – 2.000 3.000 Steuerzahlung bei ser von 20 % 0 0 0 400 600 30 % 0 0 0 600 900 40 % 0 0 0 800 1.200 50 % 0 0 0 1.000 1.500 EZÜ nach Steuern bei ser von 20 % 0 0 5.000 4.600 4.400 30 % 0 0 5.000 4.400 4.100 40 % 0 0 5.000 4.200 3.800 50 % 0 0 5.000 4.000 3.500 Berechnung der Kapitalwerte nach Steuern (C0s) für das Investitionsobjekt B bei Verlustvortrag: ser = 20 %; is = 8 %: C0s = − 10.000 EUR + [0 EUR – (0 EUR – 0 EUR) ∙ 0,2] ∙ 1,08-1 (2.000 EUR werden vorgetragen) + [0 EUR – (0 EUR – 0 EUR) ∙ 0,2] ∙ 1,08-2 Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 127 (2.000 EUR werden vorgetragen; der Gesamtverlustvortrag beträgt nun 4.000 EUR) + [5.000 EUR – (5.000 EUR – 2.000 EUR – 3.000 EUR) ∙ 0,2] ∙ 1,08-3 (der Gesamtverlustvortrag beträgt nun 4.000 EUR – 3.000 EUR = 1.000 EUR) + [5.000 EUR – (5.000 EUR – 2.000 EUR – 1.000 EUR) ∙ 0,2] ∙ 1,08-4 (der Gesamtverlustvortrag ist aufgebraucht) + [5.000 EUR – (5.000 EUR – 2.000 EUR) ∙ 0,2] ∙ 1,08-5 (der Gesamtverlustvortrag ist aufgebraucht) = + 344,86 EUR ser = 30 %; is = 7 %: C0s = − 10.000 EUR + [0 EUR – (0 EUR – 0 EUR) ∙ 0,3] ∙ 1,07-1 (2.000 EUR werden vorgetragen) + [0 EUR – (0 EUR – 0 EUR) ∙ 0,3] ∙ 1,07-2 (2.000 EUR werden vorgetragen; der Gesamtverlustvortrag beträgt nun 4.000 EUR) + [5.000 EUR – (5.000 EUR – 2.000 EUR – 3.000 EUR) ∙ 0,3] ∙ 1,07-3 (der Gesamtverlustvortrag beträgt nun 4.000 EUR – 3.000 EUR = 1.000 EUR) + [5.000 EUR – (5.000 EUR – 2.000 EUR – 1.000 EUR) ∙ 0,3] ∙ 1,07-4 (der Gesamtverlustvortrag ist aufgebraucht) + [5.000 EUR – (5.000 EUR – 2.000 EUR) ∙ 0,3] ∙ 1,07-5 (der Gesamtverlustvortrag ist aufgebraucht) = + 361,47 EUR ser = 40 %; is = 6 %: C0s = − 10.000 EUR + [0 EUR – (0 EUR – 0 EUR) ∙ 0,4] ∙ 1,06-1 (2.000 EUR werden vorgetragen) + [0 EUR – (0 EUR – 0 EUR) ∙ 0,4] ∙ 1,06-2 (2.000 EUR werden vorgetragen; der Gesamtverlustvortrag beträgt nun 4.000 EUR) + [5.000 EUR – (5.000 EUR – 2.000 EUR – 3.000 EUR) ∙ 0,4] ∙ 1,06-3 128 Investition in Übungen (der Gesamtverlustvortrag beträgt nun 4.000 EUR – 3.000 EUR = 1.000 EUR) + [5.000 EUR – (5.000 EUR – 2.000 EUR – 1.000 EUR) ∙ 0,4] ∙ 1,06-4 (der Gesamtverlustvortrag ist aufgebraucht) + [5.000 EUR – (5.000 EUR – 2.000 EUR) ∙ 0,4] ∙ 1,06-5 (der Gesamtverlustvortrag ist aufgebraucht) = + 364,47 EUR ser = 50 %; is = 5 %: C0s = − 10.000 EUR + [0 EUR – (0 EUR – 0 EUR) ∙ 0,5] ∙ 1,05-1 (2.000 EUR werden vorgetragen) + [0 EUR – (0 EUR – 0 EUR) ∙ 0,5] ∙ 1,05-2 (2.000 EUR werden vorgetragen; der Gesamtverlustvortrag beträgt nun 4.000 EUR) + [5.000 EUR – (5.000 EUR – 2.000 EUR – 3.000 EUR) ∙ 0,5] ∙ 1,05-3 (der Gesamtverlustvortrag beträgt nun 4.000 EUR – 3.000 EUR = 1.000 EUR) + [5.000 EUR – (5.000 EUR – 2.000 EUR – 1.000 EUR) ∙ 0,5] ∙ 1,05-4 (der Gesamtverlustvortrag ist aufgebraucht) + [5.000 EUR – (5.000 EUR – 2.000 EUR) ∙ 0,5] ∙ 1,05-5 (der Gesamtverlustvortrag ist aufgebraucht) = + 352,34 EUR Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 129 Berechnung der Steuern und der Rückflüsse nach Steuern für das Investitionsobjekt B bei sofortiger Verlustverrechnung, d. h. sofortigem Verlustausgleich bzw. -rücktrag (Beträge in EUR): t 1 2 3 4 5 EZÜ 0 0 5.000 5.000 5.000 Abschreibungen 2.000 2.000 2.000 2.000 2.000 Verlustvortrag 0 0 0 0 0 Stpfl. Gewinn – 2.000 – 2.000 3.000 3.000 3.000 Steuerzahlung bzw. -rückerstattung bei ser von 20 % – 400 – 400 600 600 600 30 % – 600 – 600 900 900 900 40 % – 800 – 800 1.200 1.200 1.200 50 % – 1.000 – 1.000 1.500 1.500 1.500 EZÜ nach Steuern bei ser von 20 % 400 400 4.400 4.400 4.400 30 % 600 600 4.100 4.100 4.100 40 % 800 800 3.800 3.800 3.800 50 % 1.000 1.000 3.500 3.500 3.500 Berechnung der Kapitalwerte nach Steuern (C0s) für das Investitionsobjekt B bei sofortiger Verlustverrechnung, d. h. sofortigem Verlustausgleich bzw. -rücktrag: ser = 20 %; is = 8 %: C0s = − 10.000 EUR + [0 EUR – (0 EUR – 2.000 EUR) ∙ 0,2] ∙ (1,08-1 + 1,08-2) + [5.000 EUR – (5.000 EUR – 2.000 EUR) ∙ 0,2] ∙ (1,08-3 + 1,08-4 + 1,08-5) = + 434,87 EUR ser = 30 %; is = 7 %: C0s = − 10.000 EUR + [0 EUR – (0 EUR – 2.000 EUR) ∙ 0,3] ∙ (1,07-1 + 1,07-2) + [5.000 EUR – (5.000 EUR – 2.000 EUR) ∙ 0,3] ∙ (1,07-3 + 1,07-4 + 1,07-5) = + 482,75 EUR 130 Investition in Übungen ser = 40 %; is = 6 %: C0s = − 10.000 EUR + [0 EUR – (0 EUR – 2.000 EUR) ∙ 0,4] ∙ (1,06-1 + 1,06-2) + [5.000 EUR – (5.000 EUR – 2.000 EUR) ∙ 0,4] ∙ (1,06-3 + 1,06-4 + 1,06-5) = + 506,80 EUR ser = 50 %; is = 5 %: C0s = − 10.000 EUR + [0 EUR – (0 EUR – 2.000 EUR) ∙ 0,5] ∙ (1,05-1 + 1,05-2) + [5.000 EUR – (5.000 EUR – 2.000 EUR) ∙ 0,5] ∙ (1,05-3 + 1,05-4 + 1,05-5) = + 504,64 EUR Gegenüberstellung der Kapitalwerte nach Steuern (C0s) der Investitionsobjekte A und B (Ergebnisse aus Teilaufgabe a) und Teilaufgabe b)): ser is C0s A (EUR) C0s B bei Verlustvortrag (EUR) C0s B mit sofortiger Verlustverrechnung (EUR) 0 % 0,10 5.163,15 276,24 276,24 20 % 0,08 4.373,76 344,86 434,87 30 % 0,07 3.940,67 361,47 482,75 40 % 0,06 3.479,56 364,47 506,80 50 % 0,05 2.988,43 352,34 504,64 Teilaufgabe c) Das Investitionsobjekt A verhält sich „normal“, da mit steigenden Ertragsteuersätzen der Kapitalwert fällt. Bei dem Investitionsobjekt B steigt bei Einführung einer Ertragsteuer der Kapitalwert. Dies lässt sich durch die relative Betrachtungsweise erklären. Absolut sinkt das Einkommen des Unternehmens durch die Einführung einer Ertragsteuer. Bei dem Vergleich einer Sachinvestition mit einer Finanzinvestition kann sich daher die Vorteilhaftigkeit der Sachinvestition verbessern. Dies kommt zustande, wenn bei der Sachinvestition in den ersten Perioden steuerliche Verluste entstehen (Abschreibungen > erfolgswirksame Einzahlungsüberschüsse). Dadurch ergibt sich für die Sachinvestition ein Zinsgewinn, der die Sachinvestition gegenüber einer Finanzinvestition vorteilhafter erscheinen lässt, da dann die Steuerzahlungen erst später anfallen. Dieser Effekt verstärkt sich noch, wenn eine sofortige Verlustverrechnung, d. h. ein sofortiger Verlustausgleich bzw. -rücktrag mög- Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 131 lich ist. Hier fallen nicht nur die Steuerzahlungen später an, sondern in den ersten Perioden werden dem Investitionsobjekt gegenüber dem Nichtsteuerfall höhere Einzahlungsüberschüsse zugerechnet. Dies entspricht dem sogenannten Steuerparadoxon. Bei einem etwas höheren A0 könnte man sogar zeigen, dass ein negativer Kapitalwert durch Steuern positiv wird, z. B. dann, wenn man für A0 = 10.300 EUR ansetzt. Für diese Fälle gilt: Der Kapitalwert steigt zunächst bei Einführung der Steuer, erreicht ein Maximum und fällt dann. Aufgabe 4.36: Kapitalwerte nach Steuern Über eine geplante Investition der Gummi AG sind folgende Daten bekannt: − Anschaffungsauszahlung 24.000 EUR; − jährliche Einzahlungsüberschüsse 5.000 EUR; − Ertragsteuersatz 50 %; − Kalkulationszinssatz nach Steuern 7 % p. a.; − wirtschaftliche Nutzungsdauer 10 Jahre. Treffen Sie mittels der Kapitalwertmethode eine Entscheidung, ob die Investition getätigt werden soll! Dabei sind folgende Abschreibungsverfahren zu berücksichtigen: a) lineare Abschreibung; b) geometrisch-degressive Abschreibung i. H. v. 20 % des jeweiligen Restbuchwertes. Der Restbuchwert wird im letzten Jahr als Abschreibung berücksichtigt, damit der Restwert am Ende der Nutzungsdauer 0 EUR beträgt; c) geometrisch-degressive Abschreibung wie unter Teilaufgabe b), jedoch Übergang zur linearen AfA, sobald diese in einem Geschäftsjahr einen höheren Abschreibungsbetrag als die lineare AfA erbringt. Lösung Teilaufgabe a) Um die verschiedenen Abschreibungsverfahren vergleichbar zu machen, muss die Kapitalwertformel unter Berücksichtigung der Steuerwirkung wie folgt modifiziert werden: ( )( ) ( ) = −+⋅⋅−−+−= n 1t t serttt0s0 i1sAfAZZAC 132 Investition in Übungen Dabei gilt: C0s: Kapitalwert der Investition nach Steuern; A0: Anschaffungsauszahlung im Zeitpunkt t = 0; Zt: Zahlungsüberschuss der Periode t (Differenz zwischen Einzahlungen und Auszahlungen der Periode t) mit Zt > 0 oder Zt < 0; AfAt: Abschreibungen der Periode t; ser: Ertragsteuersatz; is: Kalkulationszinssatz nach Ertragsteuern; n: Nutzungsdauer des Investitionsobjekts; t: Periode (t = 0, 1, 2, ..., n). Bei der linearen Abschreibung wird der Einzahlungsüberschuss von 5.000 EUR/Jahr jeweils um den AfA-Betrag von 2.400 EUR/Jahr gemindert, so dass sich ein über die 10 Jahre konstanter steuerpflichtiger Gewinn von 2.600 EUR/Jahr ergibt. Bei Annahme eines Ertragsteuersatzes i. H. v. 50 % führt dies zu einer Ertragsteuerzahlung von 1.300 EUR/Jahr. Da der Rentenbarwertfaktor bei is = 7 % p. a. und n = 10 Jahre 7,023582 beträgt, ergibt sich nachfolgende Rechnung: C0s = − 24.000 EUR + 3.700 EUR ∙ RBF (7 %/10 Jahre) = − 24.000 EUR + 3.700 EUR ∙ 7,023582 = + 1.987,25 EUR Teilaufgabe b) Bei der geometrisch-degressiven Abschreibung ohne Übergang auf die lineare Abschreibung ergibt sich im ersten Jahr eine Abschreibung von 4.800 EUR. Durch die Verrechnung des AfA-Betrags mit dem Einzahlungsüberschuss des ersten Jahres von 5.000 EUR folgt daraus ein steuerpflichtiger Gewinn in diesem Jahr von 200 EUR. Für die folgenden Jahre ist analog vorzugehen. Unter Berücksichtigung der Anschaffungsauszahlung und der Summe der Barwerte der Einzahlungsüberschüsse ergibt sich ein Kapitalwert nach Steuern – wie aus den Berechnungen der nachfolgenden Tabelle ersichtlich – i. H. v. 2.617,65 EUR. Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 133 t AfA (EUR) RBW (EUR) EZÜ (EUR) Steuerzahlung (EUR) EZÜ nach Steuerzahlung (EUR) Barwerte (EUR) 0 – 24.000,00 – – – – 1 4.800,00 19.200,00 5.000 100,00 4.900,00 4.579,44 2 3.840,00 15.360,00 5.000 580,00 4.420,00 3.860,60 3 3.072,00 12.288,00 5.000 964,00 4.036,00 3.294,58 4 2.457,60 9.830,40 5.000 1.271,20 3.728,80 2.844,68 5 1.966,08 7.864,32 5.000 1.516,96 3.483,04 2.483,36 6 1.572,86 6.291,46 5.000 1.713,57 3.286,43 2.189,89 7 1.258,29 5.033,17 5.000 1.870,86 3.129,14 1.948,67 8 1.006,63 4.026,54 5.000 1.996,69 3.003,31 1.747,95 9 805,31 3.221,23 5.000 2.097,35 2.902,65 1.578,85 10 3.221,23 0,00 5.000 889,39 4.110,61 2.089,63 Summe der Barwerte 26.617,65 – Anschaffungsauszahlung 24.000,00 = Kapitalwert nach Steuern 2.617,65 Teilaufgabe c) Bei der geometrisch-degressiven Abschreibung mit Übergang auf die lineare Abschreibung ergibt sich bei den vorliegenden Daten der optimale Übergang am Ende des 6. Jahres. Gemäß den Berechnungen der nachfolgenden Tabelle beträgt der Kapitalwert nach Steuern bei dieser Vorgehensweise 2.670,16 EUR. 134 Investition in Übungen t AfA (EUR) RBW (EUR) EZÜ (EUR) Steuerzahlung (EUR) EZÜ nach Steuerzahlung (EUR) Barwerte (EUR) 0 – 24.000,00 – – – – 1 4.800,00 19.200,00 5.000 100,00 4.900,00 4.579,44 2 3.840,00 15.360,00 5.000 580,00 4.420,00 3.860,60 3 3.072,00 12.288,00 5.000 964,00 4.036,00 3.294,58 4 2.457,60 9.830,40 5.000 1.271,20 3.728,80 2.844,68 5 1.966,08 7.864,32 5.000 1.516,96 3.483,04 2.483,36 6 1.572,86 6.291,46 5.000 1.713,57 3.286,43 2.189,89 7 1.572,86 4.718,60 5.000 1.713,57 3.286,43 2.046,62 8 1.572,86 3.145,74 5.000 1.713,57 3.286,43 1.912,73 9 1.572,86 1.572,88 5.000 1.713,57 3.286,43 1.787,60 10 1.572,88 0,00 5.000 1.713,56 3.286,44 1.670,66 Summe 26.670,16 – Anschaffungsauszahlung 24.000,00 = Kapitalwert nach Steuern 2.670,16 Ergebnisbetrachtung: − Unter der Annahme, dass in jedem Jahr ein vollständiger Verlustausgleich oder -rücktrag möglich ist, ergibt sich ein umso höherer Kapitalwert, je eher die Abschreibungsbeträge berücksichtigt werden können (Abzinsungseffekt). − Berücksichtigt man die Zinsen, so erhöht sich der Kapitalwert durch die anfängliche Steuerersparnis. − Bedeutend wird der Einfluss der Abschreibungsmethoden immer dann, wenn zwei verschiedene Investitionsalternativen verglichen werden, von denen eine nur linear, die andere dagegen auch degressiv abgeschrieben werden kann. − Ein möglicher Restverkaufserlös wurde vernachlässigt. Ebenfalls unbeachtet geblieben sind die Ertragsteuerzahlungen (bzw. -erstattungen) auf einen etwaigen Veräußerungsgewinn (bzw. -verlust). Dies soll durch nachfolgende Ergänzung der Kapitalwertformel nachgeholt werden: ( )( ) ( ) nsnnern i1RBLsL −+⋅−⋅−+ Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 135 Dabei gilt: nL : Liquidationseinzahlung (-erlös), falls Ln > 0 bzw. Liquidationsauszahlung, falls Ln < 0; nRB : Restbuchwert im Zeitpunkt t = n. Die Ertragsteuerzahlung auf den Veräußerungsgewinn vermindert den Restverkaufserlös im Gewinnfall. Hingegen erhöht die Ertragsteuererstattung eines Veräußerungsverlustes den Restverkaufserlös. Der Einzahlungs- überschuss aus der Veräußerungshandlung (nach Steuern) wird schließlich auf den Durchführungszeitpunkt der Investition abgezinst. Aufgabe 4.37: Geldentwertung36 Die Pressbuchfix AG plant eine Erweiterung ihrer Produktionsanlagen. Dazu steht ihr eine Investition mit folgenden Zahlungen zur Verfügung: t 0 1 2 3 4 5 Zt (EUR) − 100.000 30.000 40.000 30.000 20.000 20.000 Die Pressbuchfix AG geht von einem Kalkulationszinssatz von 10 % p. a. aus. Berechnen Sie den Kapitalwert für die Investition unter den zusätzlichen Annahmen, dass die Schätzwerte für die Zahlungen deren Nominalwerte sind und dass die Geldentwertungsrate 2 % p. a. beträgt! Runden Sie Ihre Ergebnisse auf volle EUR-Beträge. Lösung Für den Kapitalwert einer Investition unter Berücksichtigung von Inflation gilt: − bei Nominalwertrechnung ( ) +⋅= = −n 0t t t N 0 i1ZC − bei Realwertrechnung ( ) ( ) +⋅+⋅= = −−n 0t tRt t R 0 i1g1ZC 36 Modifiziert entnommen aus Blohm, Hans; Lüder, Klaus; Schaefer, Christina: Investition, 10. Aufl., München 2012, S. 117–118. 136 Investition in Übungen Dabei gilt: N 0C : Kapitalwert einer Investition bei Nominalwertrechnung; i: Kalkulationszinssatz ohne Berücksichtigung der Geldentwertung; tZ : Differenz zwischen den Ein- und Auszahlungen der Periode t mit folgender Wirkung: − Einzahlungsüberschuss der Periode t, wenn Zt > 0 bzw. − Auszahlungsüberschuss der Periode t, wenn Zt < 0. R 0C : Kapitalwert einer Investition unter Berücksichtigung der Geldentwertung bei Realwertrechnung; g: Jährliche konstante Geldentwertungsrate; Ri : Realer Kalkulationszinssatz; n: Nutzungsdauer des Investitionsobjekts; t: Periode (t = 0, 1, 2, ..., n). Aus g1 gi iR + −= folgt R0 N 0 CC = , d. h., Nominalwertrechnung und Realwertrechnung führen zum selben Ergebnis. Den Berechnungen in der nachfolgenden Tabelle zur Berücksichtigung der Inflation liegt die Prämisse zugrunde, dass die Geldentwertungsrate g, der nominale Kalkulationszinssatz i und demzufolge auch der reale Kalkulationszinssatz iR im Planungszeitraum konstant sind. Die geringfügige Abweichung zwischen C 0 N und C 0 R ist hierbei durch die Rundung der Deflations- und der Abzinsungsfaktoren bedingt. Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 137 Nominalwertrechnung Realwertrechnung t Nettozahlungen (Zeitwert) Abzinsungsfaktoren Nettozahlungen (Barwert) Deflationsfaktoren (1+g)-t Nettozahlungen (Zeitwert) Abzinsungsfaktoren (1+ iR)-t Nettozahlungen (Barwert) (EUR) für i = 0,1 (EUR; gerundet) für g = 0,02 (EUR; gerundet) für iR = 0,078 (EUR; gerundet) (1) (2) (3) (4) (5) = (1) ∙ (4) (6) (7) = (5) ∙ (6) 0 − 100.000 1,000000 − 100.000 1,000000 − 100.000 1,000000 − 100.000 1 30.000 0,909091 27.273 0,980392 29.412 0,927644 27.284 2 40.000 0,826446 33.058 0,961169 38.447 0,860523 33.085 3 30.000 0,751315 22.539 0,942322 28.270 0,798259 22.567 4 20.000 0,683013 13.660 0,923845 18.477 0,740500 13.682 5 20.000 0,620921 12.418 0,905731 18.115 0,686920 12.444 N 0C = + 8.948 R 0C = + 9.062 Aufgabe 4.38: Geldentwertung37 Bei der Marken AG steht ein Investitionsvorhaben an, aus dem in den kommenden 5 Jahren auf Grundlage heutiger Preise folgende Zahlungsreihe resultiert: t 0 1 2 3 4 5 Zt real (EUR) − 1.000 300 400 500 300 400 Der reale Kalkulationszinssatz beträgt ireal = 8 % p. a. In den kommenden Jahren wird mit einer Geldentwertungsrate von 3 % p. a. gerechnet. Ermitteln Sie den Kapitalwert (C0) der Investition unter Verwendung von a) realen Größen, b) nominalen Größen! 37 Modifiziert entnommen aus Henselmann, Klaus; Kniest, Wolfgang: Unternehmensbewertung: Praxisfälle mit Lösungen, 5. Aufl., Herne 2015, S. 181–182. 138 Investition in Übungen Lösung Teilaufgabe a) Unter Verwendung von realen Größen in gegenwärtiger Kaufkraft und eines realen Zinssatzes von 8 % p. a. ergibt sich folgender Kapitalwert: C0 = – 1.000 + 300 ∙ 1,08 -1 + 400 ∙ 1,08-2 + 500 ∙ 1,08-3 + 300 ∙ 1,08-4 + 400 ∙ 1,08-5 = + 510,37 EUR Teilaufgabe b) Unter Verwendung von nominalen Größen ist die reale Zahlungsreihe wie folgt in eine nominale Zahlungsreihe zu transformieren: t 0 1 2 3 4 5 Zt real (EUR) − 1.000 300 400 500 300 400 Inflationsanpassung (g = 3 % p. a.) –– 1,03 1,032 1,033 1,034 1,035 Zt nom. (EUR) − 1.000 309 424,36 546,36 337,65 463,71 Auf die nominale Zahlungsreihe ist dann der nominale Zins anzuwenden. Aus der Transformation der Gleichung g1 gi iR + −= ergibt sich: inom. = (1 + ireal) ∙ (1 + g) – 1 = (1 + 0,08) ∙ (1 + 0,03) – 1 = 11,24 % p. a. C0 = – 1.000 + 309 ∙ 1,1124 -1 + 424,36 ∙ 1,1124-2 + 546,36 ∙ 1,1124-3 + 337,65 ∙ 1,1124-4 + 463,71 ∙ 1,1124-5 = + 510,37 EUR Beide Verfahren zur Berücksichtigung der Geldentwertung führen zum gleichen Ergebnis. Dies ist darauf zurückzuführen, dass die reale Zahlungsreihe mit dem realen Zinssatz diskontiert wird; demzufolge hebt sich damit die Inflationsbereinigung in der Rechnung auf, da bei jedem Element der Zahlungsreihe die gleiche sich neutralisierende Rechenoperation durchgeführt wird. Diese Vorgehensweise ist somit einer Rechnung unter Verwendung von nominalen Größen äquivalent.

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References

Zusammenfassung

Univ.-Prof. Dr. Hartmut Bieg, Bereich Wirtschaftswissenschaft, Universität des Saarlandes, Saarbrücken.

Univ.-Prof. Dr. Heinz Kußmaul, Direktor des Betriebswirtschaftlichen Instituts für Steuerlehre und Entrepreneurship am Lehrstuhl für Allgemeine Betriebswirtschaftslehre, insb. Betriebswirtschaftliche Steuerlehre an der Universität des Saarlandes, Saarbrücken.

Univ.-Prof. Dr. Gerd Waschbusch, Inhaber des Lehrstuhls für Allgemeine Betriebswirtschaftslehre, insb. Bankbetriebslehre an der Universität des Saarlandes, Saarbrücken.

In der Lehre zeigt sich immer wieder, dass es des intensiven Einsatzes von Beispielen – vor allem aber von Übungsaufgaben – bedarf, um Studierenden ein nachhaltiges Verständnis betriebswirtschaftlicher Methoden zu ermöglichen. Investition in Übungen hilft, diese Methodenkompetenz zu erhalten und darüber hinaus – ein nicht zu vernachlässigender Effekt – sich auf Prüfungen optimal vorzubereiten.

Dieses in vierter Auflage erschienene Übungsbuch begleitet das Lehrbuch „Investition“ von Bieg/Kußmaul/Waschbusch. Es ermöglicht den Lesern, das dort ausführlich behandelte Fachgebiet der Investition anhand rechnerisch zu lösender Aufgaben zu vertiefen und damit Sicherheit beim Umgang mit den zentralen Verfahren des Investitionsmanagements zu erlangen.