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4.1 Grundlagen in:

Hartmut Bieg, Heinz Kußmaul

Investition, page 95 - 122

2. Edition 2009, ISBN print: 978-3-8006-3658-7, ISBN online: 978-3-8006-4434-6, https://doi.org/10.15358/9783800644346_95

Series: Vahlens Handbücher der Wirtschafts- und Sozialwissenschaften

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4 Die dynamischen Verfahren der Investitionsrechnung Grundlagen 4.1 Grundlagen 4.1.1 Die finanzmathematischen Grundlagen der Investitionsrechnung 4.1.1.1 Die Bedeutung der Finanzmathematik für die Investitionsrechnung Der Investitionsprozess lässt sich in die Planungsphase, die Realisationsphase und die Kontrollphase zerlegen, wobei die Investitionsrechnung vorrangig als Instrument im Rahmen der Investitionsplanung eingesetzt wird.134 Sie bildet neben den nicht quantifizierbaren Faktoren die Grundlage der Investitionsentscheidung. Investitionen lassen sich durch einen Zahlungsstrom kennzeichnen, der mit einer Auszahlung beginnt.135 Eine einfache Unterscheidung der Investitionsrechnungsverfahren, die diese Zahlungsströme in unterschiedlicher Weise berücksichtigen, führt zu einer Einteilung in statische und dynamische Verfahren.136 Statische Verfahren basieren auf der Annahme, dass die Zeit keinen Einfluss auf den Wert einer Geldgröße hat. Demzufolge werden beispielsweise Einzahlungen immer mit dem nominellen Wert im Investitionskalkül berücksichtigt. Beispiel: Ein Investor muss sich zwischen zwei qualitativ gleichwertigen Investitionsobjekten entscheiden, die sich lediglich durch ihre Zahlungsströme unterscheiden. Weiterhin wird unterstellt, dass die Zahlungsströme das Entscheidungskriterium für den Investor darstellen. Die Einzahlungsüberschüsse werden in Abbildung 21 dargestellt. t0 t1 t2 t3 t4 – 250.000 – 250.000 250.00050.000 50.000 50.000 50.000 50.000 250.000 50.000 Anschaffungskosten Einzahlungsüberschuss Einzahlungsüberschuss Einzahlungsüberschuss Einzahlungsüberschuss Überschuss insgesamt 150.000 150.000 Investitionsobjekt 1 Investitionsobjekt 2 Abbildung 21: Einfache Überschussrechnung 134 Vgl. Abschnitt 2.1.1. 135 Vgl. Abschnitt 1.3.1. 136 Vgl. Abschnitt 2.2.6. 4 Die dynamischen Verfahren der Investitionsrechnung72 Ein Investor, der keine zeitlichen Präferenzen bezüglich des Anfalls der Zahlungsströme hat, wird zu dem Ergebnis kommen, dass ihm beide Investitionsobjekte den gleichen Nutzen stiften werden. Dynamische Verfahren hingegen berücksichtigen die Zeit in ihren Verknüpfungen, indem sie unterstellen, dass Einzahlungen bzw. Auszahlungen, die den gleichen Betrag aufweisen, aber zu unterschiedlichen Zeitpunkten anfallen, einen voneinander abweichenden Wert haben.137 Dieser Gedanke bildet die Schnittstelle zu einem Spezialgebiet der angewandten Mathematik, der Finanzmathematik.138 Diese beschäftigt sich mit dem Problem, Zahlungsgrößen, die zu unterschiedlichen Zeitpunkten anfallen, unter Berücksichtigung von Zinsund Zinseszinseffekten vergleichbar zu machen.139 Beispiel: Auf der Grundlage der Daten des vorangegangenen Beispiels ergibt sich, dass der Investor, der in Bezug auf den zeitlichen Anfall der einzelnen Zahlungen nicht indifferent ist, sich eindeutig für das Investitionsobjekt 2 entscheidet. Die Begründung für seine Entscheidung liegt in der Überlegung, dass ihm die Einzahlungen aus einem Investitionsobjekt, die näher am Investitionszeitpunkt liegen, eher wieder zur Verfügung stehen und in Form einer erneuten Anlage zu weiteren Einzahlungsströmen oder aufgrund einer dadurch möglichen Kreditrückzahlung zur Minderung von Zinsauszahlungen führen. Die oben stehenden Beispiele verdeutlichen, dass im Rahmen der dynamischen Verfahren nicht ausschließlich die absolute Höhe der Zahlungsströme über die Vorteilhaftigkeit einer Investition entscheidet, sondern ebenso deren zeitliche Reihenfolge. Zur Anwendung der dynamischen Verfahren sind die grundlegenden Fragestellungen der Zins- und Zinseszinsrechnung sowie der Renten- und Annuitätenrechnung zu erörtern.140 4.1.1.2 Die Grundlagen der Zinsrechnung im Rahmen der Investitionsrechnung Der Zins stellt den Preis für die Überlassung von Kapital für eine bestimmte Zeitdauer dar.141 Dabei ergeben sich die Zinsen (z) aus dem Produkt von Anfangskapital (K0), Zinssatz (i) und der Anzahl der Zinsperioden (n) in Jahren: 0z K i n? ? ? Zinsperioden sind als gleich lange Zeiträume definiert, in denen keine weiteren Zahlungen anfallen.142 Damit können relevante Zahlungen nur am Anfang oder am Ende einer Zinsperiode auftreten. Der zu verzinsende Betrag bleibt während dieser Zeit gleich. Diese Definition orientiert sich somit an diskontinuierlichen, punktuellen Zahlungen. Auch wenn im Folgenden eine Zinsperiode aus Vereinfachungsgründen stets mit einem Jahr angenommen 137 Vgl. Lücke, Wolfgang (Hrsg.): Investitionslexikon. 2. Aufl., München 1991, S. 57. 138 Vgl. Lücke, Wolfgang (Hrsg.): Investitionslexikon. 2. Aufl., München 1991, S. 93. 139 Vgl. Bitz, Michael: Grundlagen der Finanzwirtschaft. In: Studienbriefe der FernUniversität Hagen 000089, Hagen 1999, S. 37. 140 Vgl. Bitz, Michael: Grundlagen der Finanzwirtschaft. In: Studienbriefe der FernUniversität Hagen 000089, Hagen 1999, S. 37. 141 Vgl. Lücke, Wolfgang (Hrsg.): Investitionslexikon. 2. Aufl., München 1991, S. 424. 142 Vgl. Altrogge, Günter: Investition. 4. Aufl., München/Wien 1996, S. 55. 4.1 Grundlagen 73 wird, sind durchaus kürzere Zeitintervalle denkbar. In diesen Fällen spricht man von einer unterjährlichen oder unterjährigen Zinsperiode.143 Als Maß der Verzinsung gilt der Zinssatz (i), der im Rahmen unserer Überlegungen in der Dezimalschreibweise angewendet wird. Beispiel: Bei einer Zinssatzangabe von 6 % wird mit dem Dezimalwert von 0,06 gerechnet. Im Regelfall wird der Zinssatz (i) auf eine Zinsperiode von der Länge eines Jahres bezogen, so dass von einem jährlichen Zinssatz oder einem Zinssatz per annum gesprochen wird.144 Zu beachten ist aber, dass durchaus auch Zinssätze in Anwendung gebracht werden können, die sich auf einen kürzeren Zeitraum beziehen und damit nicht ohne Weiteres vergleichbar sind. Die Vergleichbarkeit von Zinssätzen wird darüber hinaus auch durch unterschiedliche Modalitäten in Bezug auf die Zuschreibung der Zinsen auf das Kapital erschwert, so dass aus einem bestimmten nominellen Jahreszinssatz verschiedene effektive Zinssätze resultieren können. Der Zinssatz stellt ein relatives Maß dar, das auf eine Bezugsgröße angewandt wird. Dabei kann zum einen auf das Anfangskapital (K0), zum anderen auf das Endkapital (Kn) abgestellt werden. Wachsen die Zinsen proportional zum Anfangskapital, spricht man von nachschüssiger Verzinsung; erfolgt das Wachstum proportional zum Endkapital, liegt eine vorschüssige Verzinsung vor:145 ? Vorschüssige Zinsen ergeben sich aus: Anfangskapital gleich Endkapital abzüglich Zinsen vom Endkapital. Es gilt: ? ?0 n n vor n vorK K K i K 1 i? ? ? ? ? ? mit: ivor: vorschüssiger Zinssatz. ? Nachschüssige Zinsen ergeben sich aus: Endkapital gleich Anfangskapital zuzüglich Zinsen vom Anfangskapital. Es gilt: ? ?n 0 0 0K K K i K 1 i? ? ? ? ? ? mit: i: nachschüssiger Zinssatz. Die vor- und nachschüssige Zinsrechnung führen bei gleichem Zinssatz nicht zum gleichen Ergebnis, wie das folgende Beispiel zeigt. 143 Vgl. Altrogge, Günter: Investition. 4. Aufl., München/Wien 1996, S. 55. 144 Vgl. Altrogge, Günter: Investition. 4. Aufl., München/Wien 1996, S. 56. 145 Vgl. Schindler, Klaus: Mathematik für Ökonomen. 5. Aufl., Wiesbaden 2005, S. 79. 4 Die dynamischen Verfahren der Investitionsrechnung74 Beispiel: Wird ein in einem Jahr fälliger Wechsel, der einen Nominalbetrag von 10.000 EUR aufweist, mit einem vorschüssigen Zinssatz von 10 % bei einer Bank diskontiert, so erhält der Einreicher nach obiger Formel einen Betrag von 9.000 EUR gutgeschrieben. ? ?0 n n vor n vorK K K i K 1 i 10.000 (1 0,10) 9.000 EUR? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Die Bank erhält als vorschüssigen Zins 1.000 EUR. Der Kunde erhält demnach einen Kredit in Höhe von 9.000 EUR. Nimmt er diesen Betrag alternativ bei einer Bank als Darlehen bei nachschüssiger Zinsrechnung auf, so wird er bei einjähriger Laufzeit einen Gesamtbetrag von 9.900 EUR zurückzahlen müssen; zur Einlösung des von der A- Bank diskontierten Wechsels benötigt er hingegen 10.000 EUR. ? ?n 0 0 0K K K i K 1 i 9.000 (1 0,10) 9.900 EUR? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Die Formeln zur Berechnung des Endkapitals bei vor- bzw. nachschüssiger Zinsrechnung erlauben jedoch durch Gleichsetzung, Kürzen des Anfangskapitals (K0) und Auflösung nach dem vorschüssigen Zins ivor bzw. nach dem nachschüssigen Zins i eine einfache Umrechnung eines vorschüssigen Zinssatzes in einen nachschüssigen Zinssatz.146 Ausgangspunkt bilden die Ausdrücke: ? ? ? ? n 0 0 n vor K K 1 i KK 1 i ? ? ? ? ? Durch Gleichsetzen ergibt sich: ? ? ? ? 0 0 vor KK 1 i 1 i ? ? ? ? Die gesuchten Zinssätze lassen sich durch einfaches Umformen aus dem obigen Ausdruck gewinnen: ? ? ? ? vor vor vor ii 1 i ii 1 i ? ? ? ? Beispiel: Der vorschüssige Zins von 10 % in der vorangestellten Überlegung entspricht somit einem nachschüssigen Zins in Höhe von 11,11 %. ? ? vor vor i 0,10i 0,1111 1 i (1 0,10) ? ? ? ? ? 146 Vgl. Köhler, Harald: Finanzmathematik. 4. Aufl., München/Wien 1997, S. 65. 4.1 Grundlagen 75 4.1.1.3 Die Zins- und Zinseszinsrechnung Die grundlegende Fragestellung, mit der sich die Zins- und Zinseszinsrechnung auseinander setzt, ist die nach dem Wert, den eine heute geleistete Zahlung in der Zukunft hat, bzw. welchen Wert eine erst in der Zukunft fällige Zahlung heute hat.147 Dabei kann der Zeitraum zwischen der heute geleisteten bzw. der zukünftigen Zahlung, eine bis mehrere Perioden umfassen. Abbildung 22 stellt diesen Zusammenhang dar. In Abhängigkeit von der Behandlung der Zinszahlungen, die sich während der Laufzeit ergeben, wird zwischen der einfachen Zinsrechung und der Zinseszinsrechnung unterschieden. ? t0 tn t0 tn ? Wert der Zahlung heute (K0) ist bekannt Wert der Zahlung in der Zukunft (Kn) ist bekannt Wert der heutigen Zahlung nach n Perioden (Kn) ist gesucht Wert der Zahlung heute (K0) ist gesucht Abbildung 22: Fragestellungen der Zinsrechnung148 Während im Rahmen der einfachen Zinsrechnung die Zinsen dem Anfangskapital (K0) für die Berechnung der Zinsen in den folgenden Perioden nicht zugeschlagen werden und sich damit die Berechnungsbasis für die Zinsen der folgenden Zinsperioden nicht erhöht, ist dies im Rahmen der Zinseszinsrechnung gerade der Fall. Damit lässt sich das Endkapital (Kn) bei einjähriger Geldanlage auf der Grundlage der einfachen Zinsrechnung mit der folgenden Formel ermitteln: n 0 0K K K i? ? ? 147 Vgl. Bitz, Michael: Grundlagen der Finanzwirtschaft. In: Studienbriefe der FernUniversität Hagen 000089, Hagen 1999, S. 37. 148 Vgl. Däumler, Klaus-Dieter: Grundlagen der Investitions- und Wirtschaftlichkeitsrechnung. 12. Aufl., Herne 2007, S. 49. 4 Die dynamischen Verfahren der Investitionsrechnung76 Im Fall der mehrjährigen Geldanlage muss bei der Berechnung des Endkapitals berücksichtigt werden, dass die Zinsen aus den vorhergehenden Zinsperioden nicht mitverzinst werden. Das Endkapital setzt sich somit aus dem Anfangskapital und den Zinszahlungen aus den jeweiligen Perioden zusammen. n 0 0K K K i n? ? ? ? Beispiel: Investor A legt 1.000 EUR zu 3 % für 4 Jahre an, wobei die Zinsen auf der Grundlage der einfachen Zinsrechnung ermittelt werden. Die Zinsgutschrift am Ende des 1. Jahres (z =K0 ? i ?n=1.000 ?0,03=30) beträgt demnach 30 EUR, ebenso nach dem zweiten, dritten und vierten Jahr. In der Summe hält er nach 4 Jahren 1.120 EUR Endkapital in den Händen. n 0 0K K K i n 1.000 1.000 0,03 4 1.120 EUR? ? ? ? ? ? ? ? ? Im Rahmen der Zinseszinsrechnung werden die Zinsen, die dem Kapitalgeber für die vergangenen Zinsperioden zustehen, jeweils dem zinsbringenden Kapital zugeschlagen, so dass diese Zinsen in der nächsten Periode die Berechnungsgrundlage erhöhen. In der Berechnung des Endkapitals schlägt sich dieses wie in Abbildung 23 (Seite 77) nieder.149 Der Ausdruck (1+ i) = q wird als Zinsfaktor bezeichnet. So ergibt sich die folgende Gleichung zur Ermittlung des Endkapitals nach n Jahren unter Berücksichtigung des Zinseszinseffektes bei einem einheitlichen Zinssatz (i): ? ?n nn 0 0K K 1 i K q? ? ? ? ? Das Endvermögen (Kn) berechnet sich aus der Aufzinsung des Anfangsvermögens (K0) mit dem einheitlichen Zinssatz (i) über n Jahre. Durch diese Rechenoperation wird also der zukünftige Wert eines gegenwärtigen Geldbetrages unter der Berücksichtigung von Zins und Zinseszinsen bestimmt.150 Der Ausdruck qn stellt den sogenannten Aufzinsungsfaktor (AUF(i;n)) dar, der in Abhängigkeit von der Laufzeit (n) und dem Zinssatz (i) aus finanzmathematischen Tabellen151 entnommen bzw. mittels Taschenrechner leicht bestimmt werden kann. 149 Vgl. Däumler, Klaus-Dieter: Grundlagen der Investitions- und Wirtschaftlichkeitsrechnung. 12. Aufl., Herne 2007, S. 49. 150 Vgl. Bitz, Michael: Grundlagen der Finanzwirtschaft. In: Studienbriefe der FernUniversität Hagen 000089, Hagen 1999, S. 42. 151 Vgl. Däumler, Klaus-Dieter: Finanzmathematisches Tabellenwerk. 4. Aufl., Herne/ Berlin 1998. 4.1 Grundlagen 77 Kapital am Ende der 1. Periode ? ? 1 0 0 0 K K K i K 1 i ? ? ? ? ? ? Kapital am Ende der 2. Periode ? ? ? ? ? ? ? ? 2 1 1 1 0 2 0 K K K i K 1 i K 1 i 1 i K 1 i ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Kapital am Ende der 3. Periode ? ? ? ? ? ? ? ? 3 2 2 2 2 0 3 0 K K K i K 1 i K 1 i 1 i K 1 i ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Kapital am Ende der n-ten Periode ? ? ? ? ? ? ? ? n n 1 n 1 n 1 n 1 0 n 0 K K K i K 1 i K 1 i 1 i K 1 i ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Abbildung 23: Zeitliche mathematische Entwicklung des Endkapitals bei Zinseszinsrechnung Beispiel (vgl. dazu Abbildung 24): Welchen Kontostand weist ein Sparbuch mit einem Anfangskapital von 1.000 EUR nach 4 Jahren aus, wenn ein Zinssatz von 3 % vergütet wird? K0= 1 000 K4= 1 125,50 t0 t2 t3 t4t1 AUF(0,03;4) Abbildung 24: Ermittlung des Endwertes . , , = . 4 Die dynamischen Verfahren der Investitionsrechnung78 ? ?n nn 0 0 0K K 1 i K q K AUF(i;n)? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?44 AUF(0,03;4) K 1.000 1 0,03 1.000 1,12550 1.125,50 EUR? ? ? ? ? ? ????? Der Kontostand wird sich nach 4 Jahren auf 1.125,50 EUR belaufen. Gibt man für einen Augenblick die oben gesetzte Prämisse auf, dass sich die Verzinsung stets auf eine Zinsperiode von der Dauer eines Jahres bezieht und lässt kürzere Verzinsungszeiträume zu, so liegt eine unterjährliche bzw. unterjährige Verzinsung vor. Es stellt sich dann die Frage, wie sich beispielsweise das Endkapital entwickelt, wenn die Zinsen, die bis zum Zinstermin aufgelaufen sind, mitverzinst werden, also der Zinseszinseffekt eintritt. Beispiel Ein Sparer legt zu Beginn der Periode 01 bei der A-Bank 1.000 EUR zu einem Zinssatz von 6 % an. Die A-Bank schreibt die Zinsen zum Ende der Periode 01 gut. Alternativ kann der Sparer seine Einlage bei der B-Bank tätigen. Diese bietet ebenfalls 6 % an. Jedoch berechnet die B-Bank jeweils halbjährlich die Zinsen, die dann der Spareinlage zugeschlagen werden. Das Endkapital der Einlage nach einem Jahr bei der A-Bank berechnet sich wie folgt: ? ?n nn 0 0K K 1 i K q? ? ? ? ? 1 1K 1.000 (1 0,06) 1.000 1,06 1.060 EUR? ? ? ? ? ? Um das Endkapital der Einlage bei der B-Bank nach einem Jahr berechnen zu können, muss eine Vorüberlegung angestellt werden. Der Zins, den die B-Bank ihrem Kunden angeboten hat, ist ein Jahreszins. Geht man davon aus, dass ein Jahr 360 Zinstage aufweist und bezeichnet den Zinssatz in nicht dezimaler Schreibweise mit p, so gilt: p 360 6 360i 0,06 100 360 100 360 ? ? ? ? ? ? ? Da sich der Berechnungszeitraum aber auf ein halbes Jahr bezieht, muss der Zins entsprechend angepasst werden. In unserem Beispiel wird der Zins auf zwei gleich lange Zeiträume verteilt, so dass gilt: angepasst p 180 p 6i 0,03 100 360 100 2 100 2 ? ? ? ? ? ? ? ? Nunmehr kann das Endkapital berechnet werden. Allerdings muss hierbei beachtet werden, dass sich die Berechnung über zwei unterjährige Zinsperioden (m) erstreckt, die in der Summe ein Jahr ergeben. ? ?m mn 0 angepasst 0 angepasstK K 1 i K q? ? ? ? ? 2 1K 1.000 (1 0,03) 1.000 1,0609 1.060,90 EUR? ? ? ? ? ? Wie das Beispiel zeigt, steigt der Endwert der Spareinlage mit der Anzahl der unterjährigen Zinsperioden. Dies lässt sich dadurch erklären, dass die in der unterjährigen Laufzeit angefallenen Zinsen gutgeschrieben werden und damit für den nächsten Zinszeitraum die Grundlage der Verzinsung erhöhen. 4.1 Grundlagen 79 Werden die Überlegungen nun darauf abgestellt, dass die Zahl der Zinsperioden keine endliche Zahl annimmt, sondern über alle Grenzen wächst, so wird von einer stetigen, kontinuierlichen oder natürlichen Verzinsung gesprochen. Ausgangspunkt ist die modifizierte Formel zur Berechnung des Endwertes bei unterjährlicher Verzinsung. Dabei stellt m die Anzahl der gleichlangen Verzinsungzeiträume binnen eines Jahres dar: m n n n 0 0 pK K q K 1 m 100 ? ? ?? ? ? ? ?? ??? ? Die Zahl der gleichlangen Zeiträume soll nun gegen unendlich laufen:152 ? ? m n n n 0 0 m m m n n 0 m nm n 0 m pK K q K 1lim lim m 100 pK K 1lim m 100 pK K 1lim m 100 ? ?? ?? ? ?? ?? ? ?? ?? ?? ? ? ? ?? ??? ?? ?? ? ? ?? ?? ?? ? ?? ??? ?? ?? ? ? ?? ?? ?? ? ?? ??? ?? ?? ? Nun wird der Ausdruck p m 100 ? ? ? ??? ? in der folgenden Weise modifiziert: p 1 m 100 z p zm 100 ? ? ?? ??? ? ?? ?? ? ? ? ? Daraus folgt durch Einsetzen in den obigen Ausdruck: nn pp z z 100100 n 0 0 z z 1 1K K 1 K 1lim lim z z ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ?? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ?? ?? ? ? ?? ? Der Ausdruck z z 11lim z?? ? ??? ? ? ? nimmt den Wert der Eulerschen Zahl e an. Damit ergibt sich der Endwert bei kontinuierlicher Verzinsung wie folgt: 152 Vgl. hierzu Köhler, Harald: Finanzmathematik. 4. Aufl., München/Wien 1997, S. 57-58. 4 Die dynamischen Verfahren der Investitionsrechnung80 p n i n100n 0 0 np i n100 n 0 0 K K e K e K K e K e ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? Für die folgenden Betrachtungen gilt wieder die Prämisse der jährlichen Verzinsung. Analog zur Ermittlung des künftigen Wertes einer heutigen Zahlung lässt sich der heutige Wert einer Zahlung ermitteln, die erst in der Zukunft erfolgt. Diese Rechenoperation wird als Abzinsung bezeichnet. Sie stellt die Umkehroperation zur Aufzinsung dar und bestimmt den Wert einer Geldgröße im Zeitpunkt t = 0, der auch als Barwert (K0) bezeichnet wird.153 ? ? ? n n n 0 0 0 n n n 0 nn n AB(0,03;4) K K 1 i K q K AUF(i;n) K KK K q (1 i) q ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Der Ausdruck q? n wird als Abzinsungsfaktor (AB(i;n)) bezeichnet und ist ebenfalls aus finanzmathematischen Tabellen154 abzulesen bzw. mit Hilfe des Taschenrechners ermittelbar. Beispiel (vgl. dazu Abbildung 25; Seite 81): Welcher Betrag muss heute angelegt werden, damit unter Berücksichtigung von Zins und Zinseszinsen ein Sparbuch nach 4 Jahren Anlagezeit, bei einer Verzinsung von 3 %, ein Guthaben von 1.125,50 EUR aufweist? n n 0 n nn KK K q K AB(i;n) q ?? ? ? ? ? 4 0 4 AB(0,03;4) 1.125,50K 1.125,50 (1 0,03) 1.125,50 0,88849 1.000 EUR (1 0,03) ?? ? ? ? ? ? ? ? ????? Es müssen 1.000 EUR angelegt werden, damit das gewünschte Guthaben ausgewiesen wird. 153 Vgl. Bitz, Michael: Grundlagen der Finanzwirtschaft. In: Studienbriefe der FernUniversität Hagen 000089, Hagen 1999, S. 43. 154 Vgl. Däumler, Klaus-Dieter: Finanzmathematisches Tabellenwerk. 4. Aufl., Herne/Berlin 1998. 4.1 Grundlagen 81 K0= 1 000 K4= 1 125,50 t0 t2 t3 t4t1 AB (0,03;4) Abbildung 25: Ermittlung des Barwertes Mittels dieser Transformation wird die Gleichwertigkeit (Äquivalenz) einer Zahlung, die zum heutigen Zeitpunkt getätigt wird, zu einer Zahlung, die zu einem späteren Zeitpunkt erfolgt, hergestellt. Wie die beiden obigen Beispiele zeigen, entspricht ein Betrag von 1.250,50 EUR im Jahr t = 4 einem Betrag von 1.000 EUR in der Gegenwart, also in t = 0 , wenn unterstellt wird, dass ein unveränderlicher Zinssatz von 3 % gegeben ist. 4.1.1.4 Die Rentenrechnung Gegenstand der Zins- und Zinseszinsrechnung war die Ermittlung des gegenwärtigen Wertes eines Betrages (Barwert) bzw. die Ermittlung des künftigen Wertes (Endwert). Im Mittelpunkt steht also ein einzelner Geldbetrag. Die Rentenrechnung hingegen beschäftigt sich mit der Frage, welchen Wert ein Zahlungsstrom, der über mehrere Perioden in gleicher Höhe anfällt, heute hat bzw. welchen Wert er in der Zukunft hat. Somit wird eine Zahlungsreihe auf einen Wert komprimiert.155 Gemäß der anfangs gesetzten Prämissen betrachten wir Perioden von jährlicher Dauer, in denen Zahlungen stets zum Periodenende anfallen sollen. Darüber hinaus soll die Höhe der anfallenden Zahlungen (a) konstant sein. Es handelt sich bei diesen Zahlungen also um nachschüssige Renten.156 Der Endwert einer Rente, also der Wert, den die einzelnen, zu unterschiedlichen Zeitpunkten angefallenen Rentenzahlungen (a) am Ende des Rentenzahlungszeitraums haben, lässt sich grundsätzlich in der Form ermitteln, dass die einzelnen Rentenzahlungen (a) mit dem einheitlichen Zinssatz (i) auf den Zeitpunkt t = n aufgezinst werden. Die Summe aus diesen einzelnen Endwerten ergibt dann den Rentenendwert (REW). Somit sind die einzelnen 155 Vgl. Bitz, Michael: Grundlagen der Finanzwirtschaft. In: Studienbriefe der FernUniversität Hagen 000089, Hagen 1999, S. 46. 156 Vgl. Däumler, Klaus-Dieter: Grundlagen der Investitions- und Wirtschaftlichkeitsrechnung. 12. Aufl., Herne 2007, S. 58. AB(0,03;4) K0 = 1.000 K4 = 1.125,50 4 Die dynamischen Verfahren der Investitionsrechnung82 zukünftigen Zahlungen in einen einzigen äquivalenten endwertorientierten Wert transformiert worden. Abbildung 26 verdeutlicht diese Vorgehensweise grafisch. REW=? a1 a2 an t1 t2 AUF(i;n-1) AUF(i;n-2) AUF(i;0) tntnt0 Abbildung 26: Rentenendwert157 Die Zahlungsreihe zur Ermittlung des Rentenendwertes hat das folgende Aussehen:158 ? ? ? ? ? ?1 2 n 1n n 1 n 2 1REW a a 1 i a 1 i a 1 i ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? Sofern Zahlungsbeträge in gleicher Höhe gegeben sind, gilt: an= an-1 =...= a1= a: ? ? ? ? ? ? ? ? 1 n 12 1 2 n 1 n 1 t 0 REW a a q a (q) ... a q REW a 1 q q q REW a AUF i;n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? Der obige Summenausdruck ? ? n 1 t 0 AUF i;n ? ? ? wird als Rentenendwertfaktor (REF(i;n)) bezeichnet und ist durch die Laufzeit n sowie den Zinssatz i bestimmt. Grundsätzlich lässt sich der Rentenendwert durch die Addition der einzelnen Endwerte ermitteln, wie Abbildung 26 zeigt. Dies führt aber bei Rentenzahlungen, die über einen längeren Zeitraum erfolgen, zu erheblichem Rechenaufwand. Jedoch kann unter der Prämisse der gleich bleibenden Rentenzahlungen auf ein einfacheres Verfahren zurückgegriffen werden. Aus der Herleitung des Rentenendwertes wurde ersichtlich, dass die aufzuaddierenden Aufzinsungsfaktoren eine geometrische Reihe bilden, da sich jedes Reihenelement aus 157 Aus optischen Gründen wird hier und in einigen folgenden Abbildungen ein Zeitpunkt (hier: t = n) mit zwei Elementen belegt; dies wird durch den Kasten um die Zeitpunktangaben bei den Elementen zum Ausdruck gebracht. 158 Vgl. Kruschwitz, Lutz: Finanzmathematik. 4. Aufl., München 2006, S. 50. 4.1 Grundlagen 83 dem jeweils vorhergehenden Element durch Multiplikation mit dem Faktor q1 bilden lässt. Die Summe einer geometrischen Reihe berechnet sich nach der folgenden Formel:159 n n 1 f 1s x f 1 ? ? ? ? Dabei sind die Symbole wie folgt zu interpretieren: ns Summe von n Gliedern der geometrischen Reihe nK 1x Erstes Glied der geometrischen Reihe a f Faktor, mit dem das vorherige Glied der geometrischen Reihe zu multiplizieren ist, um das nachfolgende zu erhalten ? ?1 11 i q? ? Bei Anwendung der Summenformel einer geometrischen Reihe auf die oben stehende Zahlungsreihe ergibt sich der nachstehende Ausdruck: ? ? ? ? n n n n 1 i 1 q 1 q 1K a a a 1 i 1 q 1 i ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Der Term nq 1 q 1 ? ? wird ebenfalls als Rentenendwertfaktor (REF(i;n)) bezeichnet und nimmt damit den gleichen Wert an wie ? ? n 1 t 0 AUF i;n ? ? ? . Er kann in Abhängigkeit von der Laufzeit n und dem Zinssatz i ebenso wie der Abzinsungsfaktor (AB) und der Aufzinsungsfaktor (AUF) aus finanzmathematischen Tabellen160 entnommen oder mittels Taschenrechner bestimmt werden. Der Endwert einer t-jährigen nachschüssigen Rente wird demnach durch die Multiplikation des entsprechenden Rentenendwertfaktors (REW(i;n)) mit dem gleich bleibenden Rentenbetrag (a) ermittelt. Die Anwendung dieser Formel führt aber nur dann zu korrekten Ergebnissen, wenn die eingangs erwähnten Prämissen erfüllt sind. Danach müssen die Zahlungen immer am Periodenende erfolgen, der zeitliche Abstand zwischen den Zahlungen muss gleich (äquidistant) sein und die Zahlungsreihe darf nur Beträge von gleicher nomineller Höhe aufweisen (uniforme Zahlungen). Wird eine dieser Prämissen nicht erfüllt, so ist der Barwert nur zu ermitteln, indem die einzelnen Zahlungen mit dem entsprechendem Aufzinsungsfaktor (AUF(i;n)) multipliziert und anschließend aufsummiert werden. 159 Vgl. Däumler, Klaus-Dieter: Grundlagen der Investitions- und Wirtschaftlichkeitsrechnung. 12. Aufl., Herne 2007, S. 55. 160 Vgl. Däumler, Klaus-Dieter: Finanzmathematisches Tabellenwerk. 4. Aufl., Herne/Berlin 1998. 4 Die dynamischen Verfahren der Investitionsrechnung84 Beispiel:161 Der Mieter eines kleinen Gartengrundstücks erhält am Jahresende jeweils eine Rechnung über 200 EUR. Der Mietvertrag läuft über 10 Jahre. Der Mieter möchte wissen, welchen Endwert diese Zahlungsreihe bei einem Zinssatz von 4% hat. ? ?n n 1 i 1 K a i ? ? ? ? 10 10 REW (0,04;10) (1 0,04) 1K 200 200 12,006 2.401,20 EUR 0,04 ? ? ? ? ? ? ???? Würde der Mieter die 200 EUR jeweils am Jahresende auf ein Sparbuch mit 4 % Verzinsung anlegen, hätte er nach 10 Jahren ein Guthaben von 2.401,20 EUR. Wird hingegen nach dem Barwert einer Rente gefragt, ergibt sich die in Abbildung 27 dargestellte Situation. Zur Berechnung des Rentenbarwertes kann eine zweistufige Vorgehensweise eingeschlagen werden.162 In einer ersten Stufe werden die Rentenzahlungen aufgezinst und ergeben damit den Rentenendwert. Führt man sich vor Augen, dass durch die Abzinsung dieses Endwertes mit dem einheitlichen Zinssatz über die Laufzeit der Rente ein gleichwertiger Barwert gemäß des Ausdrucks163 K0=Kn ? q –n berechnet werden kann, ergibt sich der gesuchte Rentenbarwert (K0). RBW=? a1 a2 a3 an t1 t2 t3 tn AB(i;1) AB(i;2) AB(i;3) AB(i;n) t0 Abbildung 27: Rentenbarwert 161 Vgl. Däumler, Klaus-Dieter: Grundlagen der Investitions- und Wirtschaftlichkeitsrechnung. 12. Aufl., Herne 2007, S. 59-60. 162 Vgl. Däumler, Klaus-Dieter: Grundlagen der Investitions- und Wirtschaftlichkeitsrechnung. 12. Aufl., Herne 2007, S. 58. 163 Vgl. Kruschwitz, Lutz: Finanzmathematik. 4. Aufl., München 2006, S. 53. RB ? 4.1 Grundlagen 85 Abbildung 28 verdeutlicht die Vorgehensweise, die im Folgenden rechnerisch umgesetzt wird. REW a1 a2 an t1 t2 tn AUF(i;n-1) AUF(i;n-2) AUF(i;0) t0 tn RBW=? 1. Stufe: Ermittlung des Rentenendwertes 2. Stufe: Abzinsen des bekannten Rentenendwertes AB(i;n) Abbildung 28: Ermittlung des Rentenbarwertes Mit Hilfe des Rentenendwertfaktors wird in einem ersten Schritt der Rentenendwert für äquidistante, uniforme und nachschüssige Rentenzahlungen ermittelt: ? ?n n 1 i 1 K a i ? ? ? ? Im zweiten Schritt wird dieser Endwert auf den Zeitpunkt, in dem die Rentenzahlungen beginnen, abgezinst: ? ? 0 n n 0 K K AB (i;n) 1 i 1 K a AB (i;n) i ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? Damit ergibt sich die folgende Formel zur Berechnung des Rentenbarwertes (RBW): ? ? ? ? n 0 n 1 i 1 K a i 1 i ? ? ? ? ? ? ? 4 Die dynamischen Verfahren der Investitionsrechnung86 Der Ausdruck ? ?n n 1 i 1 i (1 i) ? ? ? ? wird als Rentenbarwertfaktor (RBF(i;n)) bezeichnet und erlaubt die Berechnung der einmaligen Zahlung zum Zeitpunkt t = 0, die einer Zahlungsreihe – beginnend in t = 1 – mit gleichbleibenden nachschüssigen Jahreszahlungen bei einem Zinssatz von i gleichwertig ist.164 Beispiel:165 Dem Inhaber eines Patentes stehen in den nächsten 15 Jahren jährlich nachschüssige Ansprüche in Höhe von 5.000 EUR zu. Der Nutzer des Patents möchte diese Rentenzahlungen aber in einen heute fälligen Einmalbetrag transformieren. Welcher Betrag muss dem Erfinder angeboten werden, damit er sich auf der Grundlage eines Zinssatzes von 5 % wirtschaftlich nicht schlechter stellt? ? ?n 0 n 1 i 1 K a i (1 i) ? ? ? ? ? ? ? ?15 0 15 RBF (0,05;15) 1 0,05 1 K 5.000 5.000 10,37966 51.898,30 EUR 0,05 (1 0,05) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????? Dem Erfinder müssen heute 51.898,30 EUR angeboten werden, um die wirtschaftliche Gleichwertigkeit zwischen den Rentenzahlungen und dem Einmalbetrag herzustellen. 4.1.1.5 Der Sonderfall des Rentenbarwertes: Ewige Rente Die Rentenrechnung stellt auf endlich lange fließende Zahlungsströme ab. Bei Aufgabe dieser Prämisse wird von einer ewigen Rente gesprochen.166 Zur Ermittlung des Barwertes einer ewigen Rente kann von der allgemeinen Formel für den Rentenbarwert ausgegangen werden, indem die Laufzeit n gegen unendlich geht. Der Grenzwert des so ermittelten Rentenbarwertes ist der Barwert der ewigen Rente: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n n 0 n n n n 0 n nn 1 0 0 1 i 1 1 i1 1K a a ii 1 i 1 i i 1 i 1 i1 1lim K a i 1 i i 1 i 1K a i ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ????? ????? 164 Vgl. Bitz, Michael: Grundlagen der Finanzwirtschaft. In: Studienbriefe der FernUniversität Hagen 000089, Hagen 1999, S. 49. 165 Vgl. Bitz, Michael: Grundlagen der Finanzwirtschaft. In: Studienbriefe der FernUniversität Hagen 000089, Hagen 1999, S. 46. 166 Vgl. Kruschwitz, Lutz: Finanzmathematik. 4. Aufl., München 2006, S. 132. 4.1 Grundlagen 87 Der Ausdruck 1 i wird auch als Kapitalisierungsfaktor bezeichnet.167 Beispiel:168 Der Begünstigte einer Stiftung erhält in Zukunft – bis in alle Ewigkeit – an jedem Jahresende 250 EUR ausgezahlt, womit ein typischer Fall der ewigen Rente vorliegt. Nach der Formel zur Berechnung des Barwertes dieser Rente ergibt sich bei einem Zinssatz von 10 %: 0 1 1K a 250 2.500 EUR i 0,1 ? ? ? ? ? Mit anderen Worten, wenn heute 2.500 EUR angelegt werden und ein Zinssatz von 10 % unterstellt wird, der bis in alle Ewigkeit garantiert ist, dann kann exakt in der Höhe der jährlichen Zinsgutschrift die jährliche Rentenzahlung aus dem Anfangskapital geleistet werden. Von praktischer Bedeutung ist der Barwert einer ewigen Rente bei überschlägigen Kalkulationen, da er eine gute Approximation des exakten Rentenbarwertes darstellt und diesem umso näher kommt, je höher der Zinssatz (i) und je länger die Laufzeit (n) ist.169 4.1.1.6 Die Annuitätenrechnung Ausgangspunkt der Rentenrechnung war die Umrechnung eines Zahlungsstroms von gleich bleibenden Zahlungen (Renten) in einen einzigen äquivalenten Betrag, den Rentenbarwert (RBW) oder den Rentenendwert (REW). Im Rahmen der Annuitätenrechnung wird die umgekehrte Fragestellung behandelt. Aus einem vorgegebenen Betrag soll ein äquivalenter Strom gleich bleibender Zahlungen (a) bestimmt werden. Dabei kann es sich um die Transformation eines gegenwärtigen oder die eines zukünftigen Betrages handeln. Mit anderen Worten, es soll eine Einmalzahlung in eine Zahlungsreihe umgewandelt werden.170 Die Verrentung einer heutigen Einmalzahlung stellt sich grafisch wie in Abbildung 29 (Seite 88) dar. Grundlage für die Ermittlung der Annuität (a), die aus einem heute zu leistenden Betrag (K0) über eine bestimmte Laufzeit (n) zu tätigen ist, bildet die Überlegung, die im Rahmen der Rentenrechnung bereits angestellt wurde. Aus der Formel zur Ermittlung des Rentenbarwertes kann durch einfache Umformung die gesuchte Größe, nämlich die Annuität (a), ermittelt werden: 167 Vgl. Kahle, Egbert/Lohse, Dieter: Grundkurs Finanzmathematik. 4. Aufl., München 1997, S. 50. 168 Vgl. Bitz, Michael: Grundlagen der Finanzwirtschaft. In: Studienbriefe der FernUniversität Hagen 000089, Hagen 1999, S. 50. 169 Vgl. Bitz, Michael: Grundlagen der Finanzwirtschaft. In: Studienbriefe der FernUniversität Hagen 000089, Hagen 1999, S. 51. 170 Vgl. Bitz, Michael: Grundlagen der Finanzwirtschaft. In: Studienbriefe der FernUniversität Hagen 000089, Hagen 1999, S. 37. 4 Die dynamischen Verfahren der Investitionsrechnung88 ? ? ? ? ? ? ? ? n 0 n n 0 n 1 i 1 K a i 1 i i 1 i K a 1 i 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Dabei wird der Ausdruck ? ? ? ? n n i 1 i 1 i 1 ? ? ? ? der vom Zinssatz (i) und der Laufzeit (n) abhängt, als Kapitalwiedergewinnungsfaktor (KWF(i;n)) oder als Annuitätenfaktor bezeichnet. Durch die Multiplikation des Kapitalwiedergewinnungsfaktors mit dem heute fälligen Betrag kann dieser in jährlich gleiche Zahlungen (a) auf die Laufzeit (n) verteilt werden.171 K0 a1=? a2=? a3=? an=? t1 t2 t3 tnt0 Abbildung 29: Verteilung eines Gegenwartswertes172 Beispiel:173 Die Anschaffungskosten einer Investition belaufen sich auf 100.000 EUR. Der Investor wünscht eine Verzinsung von 10 %. Welchen Betrag a muss die Investition jährlich nachschüssig abwerfen, damit die Anschaffungskosten nach 4 Jahren zurückgeflossen sind und die gewünschte Verzinsung erreicht wurde? ? ? ? ? n 0 n i 1 i K a 1 i 1 ? ? ? ? ? ? 171 Vgl. Däumler, Klaus-Dieter: Grundlagen der Investitions- und Wirtschaftlichkeitsrechnung. 12. Aufl., Herne 2007, S. 127-128. 172 Vgl. Däumler, Klaus-Dieter: Grundlagen der Investitions- und Wirtschaftlichkeitsrechnung. 12. Aufl., Herne 2007, S. 126. 173 Vgl. Däumler, Klaus-Dieter: Grundlagen der Investitions- und Wirtschaftlichkeitsrechnung. 12. Aufl., Herne 2007, S. 129-130. a1 ? a2 ? a3 ? an ? 4.1 Grundlagen 89 ? ? ? ? 4 4 0,1 1 0,1 100.000 31.547,08 EUR 1 0,1 1 ? ? ? ? ? ? Die Investition muss demnach jährlich eine Auszahlung von 31.547,08 EUR an den Investor ermöglichen, damit die gewünschten Kriterien erfüllt werden. Durch Abzinsung der einzelnen Annuitätenzahlungen auf den Zeitpunkt t = 0 ergibt sich der heute fällige Betrag; die wirtschaftliche Gleichwertigkeit (Äquivalenz) zwischen der Summe der Annuitätenzahlungen und dem Einmalbetrag zum Zeitpunkt t = 0 ist gegeben. Eine Gegenüberstellung des Kapitalwiedergewinnungsfaktors mit dem Rentenbarwertfaktor zeigt, dass sich dieser als Kehrwert des Kapitalwiedergewinnungsfaktors darstellt: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n n 1n n n n 1 i 1 Rentenbarwertfaktor: i 1 i 1 i 1 Bildung des Kehrwertes des Rentenbarwertfaktors: i 1 i i 1 i Kapitalwiedergewinnungsfaktor als Ergebnis: 1 i 1 ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? Beispiel: Die oben stehende Investition erzielte eine Rente von 31.547,08 EUR. Unter den Prämissen eines Zinssatzes von 10 % und einer Laufzeit von 4 Jahren ergibt sich der Barwert dieser Zahlungsreihe mit Hilfe des Rentenbarwertfaktors. ? ? ? ? n 0 n 1 i 1 K a i 1 i ? ? ? ? ? ? ? ?4 0 4 RBF (0,1;4) 1 0,1 1 K 31.547,08 31.547,08 3,16986 99.999,82 EUR 0,1 (1 0,1) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????? Der ermittelte Barwert von annähernd 100.000 EUR (Rundungsdifferenz) entspricht den Anschaffungskosten des Investors im Zeitpunkt t = 0 und führt damit im Vergleich zum vorherigen Beispiel zu einem schlüssigen Ergebnis. Die Verrentung einer später anfallenden Einmalzahlung hat das in Abbildung 30 (Seite 90) dargestellte Aussehen. Hier ergibt sich demnach das Problem, die Höhe der Rentenzahlung (a) zu ermitteln, die nach einer bestimmten Laufzeit wertmäßig dem später fälligen Betrag entspricht. Für die 4 Die dynamischen Verfahren der Investitionsrechnung90 Lösung dieser Frage bietet sich die in Abbildung 31 (Seite 91) verdeutlichte Vorgehensweise an.174 In einem ersten Schritt kann der in der Zukunft fällige Betrag mit Hilfe des Abzinsungsfaktors (AB(i;n)) in den Betrag transformiert werden, dem er, würde er heute geleistet, entsprechen würde. Es handelt sich um den Barwert. Kn a2=? an=?a1=? t1 t2 tntnt0 Abbildung 30: Verteilung des Rentenendwertes175 Dieser Wert ist aber der Ausgangspunkt der vorangegangenen Überlegung zur Verrentung einer heutigen Zahlung gewesen, so dass in einem zweiten Schritt durch die Anwendung des Kapitalwiedergewinnungsfaktors (KWF(i;n)) die gesuchte Rentenhöhe (a) ermittelt werden kann. Durch die Zusammenfassung von Schritt eins und Schritt zwei kann der Rückwärtsverteilungsfaktor (RVF(i;n)) – auch bezeichnet als Restwertverteilungsfaktor – gewonnen werden, der durch Multiplikation mit dem in der Zukunft liegenden Betrag die Ermittlung der Annuität (a) in einem Schritt gestattet. 1. Schritt: Ermittlung des Barwertes der in der Zukunft liegenden Zahlung: ? ? ? ? nn n n0 n nn n K KK K q K 1 i q1 i ??? ? ? ? ? ? ? ? 2. Schritt: Verteilung des Barwertes auf die Zukunft, in Form gleich hoher Zahlungen (Annuitäten): 174 Vgl. Däumler, Klaus-Dieter: Grundlagen der Investitions- und Wirtschaftlichkeitsrechnung. 12. Aufl., Herne 2007, S. 131-133. 175 Vgl. Däumler, Klaus-Dieter: Grundlagen der Investitions- und Wirtschaftlichkeitsrechnung. 12. Aufl., Herne 2007, S. 131. a1 ? a2 ? an ? 4.1 Grundlagen 91 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n n n n n nn i 1 i a K 1 i 1 i 1 ia K K RVF i;n 1 i 1 ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Kn a1=? a2=? an=? t1 t2 tnt0 tn 2. Stufe: Verrentung des Barwertes auf die n Rentenperioden 1. Stufe: Abzinsung des bekannten in der Zukunft liegenden Wertes RBW KWF(i;n) AB(i;n) Abbildung 31: Ermittlung der Annuitäten aus dem Rentenendwert176 Beispiel: Im Rahmen seiner Altersvorsorge möchte ein Investor bis zum Eintritt in den Ruhestand, der in 20 Jahren sein wird, ein Kapital von 750.000 EUR zusammengespart haben. Er möchte dabei in Form von jährlich, zum Jahresende fälligen Sparraten ansparen, die mit einem Zinssatz von 5 % verzinst werden. Welche Zahlungen muss der Investor erbringen? ? ? n n ia K 1 i 1 ? ? ? ? ? ?20 RVF(0,05;20) 0,05a 750.000 750.000 0,030243 22.681,94 EUR (1 0,05) 1 ? ? ? ? ? ? ? ????? Der Sparer muss Ratenzahlungen in Höhe von 22.681,94 EUR aufbringen. 176 Vgl. Däumler, Klaus-Dieter: Grundlagen der Investitions- und Wirtschaftlichkeitsrechnung. 12. Aufl., Herne 2007, S. 131. 1 ? 2 ? n ? 4 Die dynamischen Verfahren der Investitionsrechnung92 4.1.2 Die Gemeinsamkeiten der dynamischen Verfahren 4.1.2.1 Die Grundlagen 4.1.2.1.1 Die Verwendung von Zahlungsgrößen Bei Anwendung der dynamischen Verfahren der Investitionsrechnung lassen sich einige bei den statischen Verfahren vorhandene Ungenauigkeiten bzw. Fehler vermeiden: (1) Die Beurteilung von Investitionsvorhaben erfolgt – ausgehend vom zahlungsorientierten Investitionsbegriff –177 nicht nach Erfolgsgrößen, sondern anhand der durch sie ausgelösten Zahlungsströme. (2) Es erfolgt keine Bildung von Periodendurchschnitten; vielmehr werden die zeitlichen Unterschiede im Entstehen der Ein- und Auszahlungen für den gesamten Betrachtungs- bzw. Planungszeitraum explizit berücksichtigt. Man kann erkennen, dass die dynamischen Verfahren der Investitionsrechnung wesentlich aussagestärker, aber rechentechnisch auch schwieriger zu handhaben sind als die statischen Verfahren. Da die Ein- und Auszahlungen zu unterschiedlichen Zeitpunkten anfallen, ergibt sich durch Auf- oder Abzinsung auf einen einheitlichen Bezugszeitpunkt eine Vergleichbarkeit der einzelnen Größen miteinander. Obgleich die pagatorischen Begriffe Einzahlungen bzw. Auszahlungen nicht deckungsgleich mit den Begriffen Einnahmen bzw. Ausgaben sind, werden beide Begriffspaare häufig synonym verwendet. Meistens erfolgt nicht einmal ein Hinweis darauf, dass eine Abgrenzung dieser Begriffe voneinander aus investitionsrechnerischer Sicht nicht für notwendig gehalten wird. Geht man aber von der klassischen betriebswirtschaftlichen Definition der Begriffe aus (Einzahlung: Erhöhung des Zahlungsmittelbestandes, d.h. der Kassenbestände und der jederzeit verfügbaren Bankguthaben; Auszahlung: Verminderung des Zahlungsmittelbestandes; Einnahme: Erhöhung des Geldvermögens; Ausgabe: Verminderung des Geldvermögens; Geldvermögen: Summe aus Zahlungsmittelbestand zuzüglich Bestand an sonstigen, d.h. im Zahlungsmittelbestand noch nicht enthaltenen Geldforderungen abzüglich Bestand an Geldverbindlichkeiten),178 so stellt man fest, dass nur Ein- und Auszahlungen Zinswirkungen haben können und dass sich Einnahmen und Ausgaben von diesen liquiditätswirksamen Transaktionen durch die zusätzliche Berücksichtigung von Kreditbeziehungen unterscheiden. Eine synonyme Verwendung der Begriffspaare ist also nur zweckmäßig, wenn zeitliche Verwerfungen der Zahlungsmittel- und Geldvermögensveränderungen durch Kreditbeziehungen nicht auftreten.179 4.1.2.1.2 Der Zahlungszeitpunkt Bezüglich einer exakten Ermittlung der Zinswirkungen müsste grundsätzlich eine taggenaue Einbeziehung aller Zahlungszeitpunkte in die Investitionsrechnung erfolgen. Das Problem dabei ist, dass derart exakte Schätzungen zukünftiger Ein- und Auszahlungen nur vereinzelt möglich sind und die rechentechnische Erfassung der unterschiedlichen Zahlungszeitpunkte 177 Vgl. dazu Abschnitt 1.3.1. 178 Vgl. dazu u.a. Wöhe, Günter/Kußmaul, Heinz: Grundzüge der Buchführung und Bilanztechnik. 6. Aufl., München 2008, S. 16-17 sowie Abschnitt 1.1.1.1. 179 Vgl. insbesondere Bieg, Hartmut: Betriebswirtschaftslehre 1: Investition und Unternehmungsbewertung. 2. Aufl., Freiburg i. Br. 1997, S. 54. 4.1 Grundlagen 93 außerdem erheblichen Arbeitsmehraufwand verursachen würde. Aus diesem Grund behilft man sich mit folgenden vereinfachenden Annahmen:180 ? Unterteilung des gesamten Investitionszeitraums in Perioden, üblicherweise in Jahre. ? Unterstellung, dass die Anschaffungsauszahlung A unmittelbar vor Beginn des ersten Jahres (im Zeitraum t = 0) anfällt. ? Der zeitliche Anfall aller laufenden, durch Investitionen ausgelösten Zahlungen liegt jeweils am Ende der folgenden Jahre (t = 1 , 2, ..., n). Dies hat den Zweck, dass eine Saldierung der Einzahlungen (Et) der einzelnen Jahre mit den in diesen Jahren jeweils anfallenden Auszahlungen (At) erfolgen kann. Bei den so ermittelten Nettozahlungen der einzelnen Perioden (Zt) kann es sich um Einzahlungsüberschüsse (Zt> 0) oder um Auszahlungsüberschüsse (Zt< 0) handeln, von denen unterstellt wird, dass sie am jeweiligen Periodenende anfallen. ? Ein in der letzten Periode (t = n) eventuell anfallender Liquidationserlös (Ln> 0) oder entstehende Abbruch- und/oder Entsorgungskosten (Ln< 0) finden eine gesonderte Berücksichtigung am Ende der letzten Periode. ? Alle Zahlungen einer Periode fallen an deren Ende an, d.h., es handelt sich um eine „nachschüssige“ Rechnung. ? Allerdings wäre auch eine „vorschüssige“ Berechnung, bei der alle Zahlungen annahmegemäß am Anfang der betreffenden Periode anfallen, möglich. Die Anschaffungsauszahlungen würden dann nicht mehr am Ende der Periode 0 anfallen, sondern zu Beginn der Periode t = 1, der Liquidationserlös ergäbe sich erst nach n Jahren, also am Anfang der Periode n = t + 1. 4.1.2.1.3 Der Bezugszeitpunkt Durch die Auf- bzw. Abzinsung der zu unterschiedlichen Zeitpunkten anfallenden Ein- und Auszahlungen und damit durch die Ausrichtung der Zahlungsströme auf einen gemeinsamen Bezugszeitpunkt wird der Tatsache Rechnung getragen, dass der Wert von Ein- und Auszahlungen umso höher anzusetzen ist, je früher sie entstehen. Hinter dieser rechentechnischen Vorgehensweise stehen folgende Überlegungen: je früher über Einzahlungen aus einer Investition verfügt werden kann und je länger Auszahlungen hinausgeschoben werden können, desto größer ist der Zinsertrag, der sich durch Reinvestition von Einzahlungsüberschüssen erzielen lässt, bzw. desto geringer ist der Zinsaufwand, der sich als Folge der Finanzierung von Auszahlungsüberschüssen ergibt. Erst durch diese Ausrichtung der Zahlungsströme auf einen einheitlichen Zeitpunkt ist es möglich, sämtliche mit dem Investitionsprojekt in Zusammenhang stehenden Ein- und Auszahlungen zu einer einzigen, letztendlich für die Beurteilung der Vorteilhaftigkeit ausschlaggebenden Größe zu verdichten. Darüber hinaus besteht die Möglichkeit einer Gegenüberstellung mehrerer zu beurtei- 180 Vgl. dazu u.a. Bieg, Hartmut: Die Verfahren der Investitionsrechnung und ihre Verwendung in der Praxis. In: Der Steuerberater 1985, S. 61. 4 Die dynamischen Verfahren der Investitionsrechnung94 lender Handlungsalternativen nur dann, wenn alle Alternativen den gleichen Bezugszeitpunkt besitzen. Wird als Bezugszeitpunkt das Ende des Planungszeitraums ausgewählt, so ergibt sich durch Aufzinsung aller durch die Investition ausgelösten Zahlungen der Endwert dieser Investition. Bei Heranziehung dieser Größe als maßgebliches Entscheidungskriterium steht das „Vermögensstreben“ des Investors181 im Mittelpunkt des Interesses, hier in der einfachen Form der Maximierung des Endwerts des Vermögens ohne zwischenzeitliche Entnahmen des Investors. Wählt man als Bezugszeitpunkt dagegen den Anfang des Planungszeitraums, so entspricht der durch Abzinsung aller durch die Investition ausgelösten Zahlungen ermittelte Kapitalwert (Barwert; C0) dem „Vermögensstreben“ des Investors in Form einer Maximierung des Gegenwartswerts des Vermögens. Allerdings ist dabei die Unterstellung notwendig, dass der Investor entweder keine Entnahmen während des Planungszeitraums tätigt oder dass er bei vollkommenem Kapitalmarkt jederzeit Fremdkapital in beliebiger Höhe zum Kalkulationszinssatz aufnehmen kann. Grundsätzlich ohne Bedeutung für die Investitionsentscheidung ist, ob man den Endwert oder den Kapitalwert von Investitionsprojekten berechnet oder aber als relevanter Bezugspunkt ein beliebiger Zeitpunkt inner- oder außerhalb des Planungszeitraums herangezogen wird. Allerdings werden in der betrieblichen Praxis i.d.R. Kapitalwerte berechnet, d.h., es werden die Zahlungen auf den Beginn des Betrachtungszeitraums abgezinst.182 4.1.2.1.4 Der Kalkulationszinssatz Mit dem Kalkulationszinssatz i werden im Rahmen der dynamischen Verfahren der Investitionsrechnung alle Zahlungen auf einen einheitlichen Bezugszeitpunkt auf- oder abgezinst und damit vergleichbar gemacht. Die Wahl der Höhe des Kalkulationszinssatzes beeinflusst in ganz entscheidender Weise das Ergebnis der Vorteilhaftigkeit von Investitionsrechnungen und damit die Entscheidung eines Investors. Von großer Bedeutung ist daher die Festlegung der Höhe des Kalkulationszinssatzes. Herrscht Klarheit darüber, dass die in Frage kommende(n) Investition(en) durch die zusätzliche Aufnahme von Eigen- oder/und Fremdkapital finanziert werden soll(en), so ist der Kalkulationszinssatz aus den anfallenden Kapitalkosten abzuleiten. Erfolgt die Finanzierung über Fremdkapital, entspricht er dem tatsächlich zu zahlenden effektiven Sollzinssatz. Da Letzterer allerdings im Vorstadium der Investitionstätigkeit nicht exakt vorhersehbar ist, werden Berechnungen stattdessen oftmals mit dem Kapitalmarktzins für aufzunehmende Gelder entsprechender Fristigkeit durchgeführt. Wird dagegen eine Finanzierung durch Zuführung von neuem Eigenkapital bevorzugt, so sind als maßgebender Kalkulationszinssatz die Eigenkapitalkosten anzusehen; in der betrieblichen Praxis werden diese im Allgemeinen aus der Rendite einer Alternativanlage abgeleitet. Bei gleichzeitiger Aufnahme von Eigen- und Fremdkapital ist ein entsprechend 181 Vgl. Abschnitt 2.2.1. 182 Vgl. dazu v.a. Bieg, Hartmut: Die Verfahren der Investitionsrechnung und ihre Verwendung in der Praxis. In: Der Steuerberater 1985, S. 61; Büschgen, Hans E.: Betriebliche Finanzwirtschaft – Unternehmensinvestitionen. Frankfurt a. M. 1981, S. 55-58. 4.1 Grundlagen 95 deren Verhältnis gewichteter Mischzinssatz zu ermitteln. Ist bereits in der Planungsphase ersichtlich, dass Kapital in ausreichender Höhe vorhanden ist, das ohne die Durchführung der Investition am Kapitalmarkt angelegt werden könnte, so orientiert sich der Kalkulationszinssatz grundsätzlich am Habenzinssatz. Allerdings wird es unter Berücksichtigung der hohen Fremdkapitalquote der Unternehmungen und der zwischen Soll- und Habenzinssatz befindlichen Zinsmarge sinnvoller sein, diese freien Beträge – falls keine Investition getätigt wird – für die Kredittilgung zu verwenden; dies hätte zur Konsequenz, dass wiederum auf den Kapitalmarkt-Sollzins für Gelder entsprechender Fristigkeit zurückgegriffen wird.183 4.1.2.2 Der vollständige Finanzplan Eine rationale Entscheidung hinsichtlich bestimmter Investitionsprojekte, die zueinander in Konkurrenzbeziehung stehen, ist nur dann möglich, wenn diese echte, sich gegenseitig vollständig ausschließende Alternativen darstellen. Das Problem besteht allerdings darin, dass reale Investitionen von sich aus im Allgemeinen keine echten Alternativen sind. Oftmals unterscheiden sie sich nicht nur in der Höhe ihrer Anschaffungsauszahlungen voneinander, sondern auch in der Höhe ihrer Rückflüsse und des Weiteren auch noch in der zeitlichen Verteilung ihrer Einzahlungen und Auszahlungen. Außerdem weisen die miteinander zu vergleichenden Investitionen häufig unterschiedlich lange Nutzungsdauern auf. Prinzipiell hat ein Investor, der bestimmte Investitionsprojekte aus der Zahl der realisierbaren, sich gegenseitig nicht vollständig ausschließenden Alternativen auswählen möchte, nun zwei Möglichkeiten hinsichtlich der Berücksichtigung dieser Tatsache: zum einen kann er diese Fakten vernachlässigen, was aber im Ergebnis nicht unbedingt zu einer richtigen Entscheidung führt; zum anderen kann er versuchen, diese Kenntnis bestmöglich bezüglich der Vorbereitung einer annähernd richtigen Entscheidung zu nutzen. Zu diesem Zweck müssen allerdings die unvollständigen Investitionsalternativen in geeigneter Weise zu echten Alternativen vervollständigt werden. Dies ist durch Aufstellung sogenannter vollständiger Finanzpläne möglich. Dabei ist jede denkbare und zulässige Investitions- bzw. Finanzierungsentscheidung explizit zu berücksichtigen.184 Eigentlich sollten bei der Aufstellung solcher Pläne nur reale Investitions- und Finanzierungsprojekte Eingang finden; dabei tritt jedoch das Problem auf, dass v.a. die in der ferneren Zukunft liegenden Projekte bzw. die damit einhergehenden Zahlungen eine erhöhte Planungsunsicherheit in sich bergen. Aus diesem Grund behilft man sich in der Praxis oftmals mit fiktiven Ergänzungsinvestitionen und -krediten, die nach bislang vorliegenden Geschäftsunterlagen und -erfahrungen in ihrer Höhe und der zeitlichen Verteilung 183 Vgl. dazu u.a. Bieg, Hartmut: Betriebswirtschaftslehre 1: Investition und Unternehmungsbewertung. 2. Aufl., Freiburg i. Br. 1997, S. 57. 184 Vgl. dazu u.a. Kruschwitz, Lutz: Investitionsrechnung. 12. Aufl., München 2009, S. 45-51. 4 Die dynamischen Verfahren der Investitionsrechnung96 der Zahlungsströme bestmöglich geschätzt werden. Abbildung 32 zeigt den schematischen Aufbau eines vollständigen Finanzplans.185 Zeitpunkt t 0 1 ? n Basiszahlungen Investitionsprojekt 1 2 ? m Finanzierungsprojekt 1 2 ? p 0M I 01 1z x I 02 2z x ? I 0m mz x F 01 1z y F 02 2z y ? F 0p pz y 1M I 11 1z x I 12 2z x ? I 1m mz x F 11 1z y F 12 2z y ? F 1p pz y ? ? ? ? ? ? nM I n1 1z x I 2n2z x ? I nm mz x F 1n1z y F 2n2z y ? F np pz y Entnahmen Endvermögen 0f Y 1f Y ? nf Y nC Abbildung 32: Vollständiger Finanzplan186 Erläuterung der Symbole: Ct: Finanzmittelüberschuss/-defizit des Investors im Zeitpunkt t; i: Index für den i-ten Investitionsprojekttyp (i = 1 , 2,…, m); j: Index für den j-ten Finanzierungsprojekttyp (j = 1 , 2,…, p); Mt: Element der Basiszahlungsreihe für den Zeitpunkt t; t: Zeitindex (t = 0 , 1, 2, ..., n); n: Planungshorizont; xi : Anzahl der Investitionsprojekte vom Typ i; yi : Anzahl der Finanzierungsprojekte vom Typ j; 185 Bezüglich weitergehender Ausführungen hinsichtlich der Aufstellung vollständiger Finanzpläne sowie beispielhafter Darstellungen vgl. u.a. Adam, Dietrich: Investitionscontrolling. 3. Aufl., München/Wien 2000, S. 69-72; Altrogge, Günter: Investition. 4. Aufl., München/Wien 1996, S. 40-11, S. 309-310 und S. 375-383; Büschgen, Hans E.: Betriebliche Finanzwirtschaft – Unternehmensinvestitionen. Frankfurt a. M. 1981, S. 66-74; Busse von Colbe, Walther/Laßmann, Gert: Betriebswirtschaftstheorie. Band 3. 3. Aufl., Berlin 1990, S. 43-47 und Kruschwitz, Lutz: Investitionsrechnung. 12. Aufl., München 2009, S. 45-51 und S. 245-252. 186 Modifiziert entnommen aus Kruschwitz, Lutz: Investitionsrechnung. 12. Aufl., München 2009, S. 246. 4.1 Grundlagen 97 fnY : Entnahmen im Zeitpunkt t; I tiz : Zahlung, die die i-te Investition im Zeitpunkt t verursacht; F tjz : Zahlung, die die j-te Finanzierung im Zeitpunkt t verursacht. Die Funktionsweise des vollständigen Finanzplans wird im Folgenden anhand eines Zahlenbeispiels dargestellt.187 Beispiel: Ein Investor, dessen Planungszeitraum sich auf drei Jahre erstreckt, besitzt zum heutigen Zeitpunkt liquide Mittel in Höhe von M0 = 1.100 EUR. Es stehen ihm zwei sich gegenseitig ausschließende Investitionsalternativen zur Auswahl, die folgende Zahlungsreihen besitzen: t 0 1 2 3 Objekt A – 1.000 0 482 1.200 Objekt B – 1.200 800 900 0 Weiterhin sind folgende zusätzliche Informationen gegeben: ? Es wird ein Vermögensstreben des Investors unterstellt, d. h., der Investor möchte beginnend vom Zeitpunkt t = 0 jährlich 200 EUR entnehmen und sein Endvermögen maximieren. ? In t = 0 könnte ein Kredit mit einer Laufzeit von drei Jahren von maximal 400 EUR aufgenommen werden, wobei Ratentilgung und ein Zinssatz von 20 % p. a. vereinbart werden. ? In t = 1 könnte ebenfalls ein Kredit von maximal 300 EUR aufgenommen werden. Der Zinssatz beläuft sich auf 15 % p. a., die Laufzeit auf ein Jahr. ? In t = 0 könnte eine weitere Sachinvestition (Projekt C) erfolgen mit der Zahlungsreihe (– 200; 150; 100). ? In t = 1 könnte eine Finanzinvestition in unbeschränkter Höhe erfolgen (Zinssatz: 12 % p. a., Laufzeit: 1 Jahr). ? Es sind außer den genannten Möglichkeiten keine weiteren Investitions- und Finanzierungsmöglichkeiten existent. Allerdings ist eine Kassenhaltung zu jedem Zeitpunkt möglich. Hierbei ist festzustellen, dass für ein und dasselbe Investitionsobjekt mehrere zulässige vollständige Finanzpläne aufgestellt werden können.188 Ein möglicher vollständiger Finanzplan für Investitionsobjekt A könnte wie folgt aussehen: 187 In Anlehnung an das Beispiel bei Kruschwitz, Lutz: Investitionsrechnung. 12. Aufl., München 2009, S. 45-47. 188 Vgl. Kruschwitz, Lutz: Investitionsrechnung. 12. Aufl., München 2009, S. 49-51. 4 Die dynamischen Verfahren der Investitionsrechnung98 0 1 2 3 Basiszahlungen (liquide Mittel) 1.100 Investitionsprojekt A – 1.000 0 482 1.200 Sachinvestition (Projekt C) – 200 150 100 Kredit (20%) 300 – 160 – 140 – 120 Kredit (15%) 210 – 242 Kassenhaltung Entnahmen – 200 – 200 – 200 – 200 Endvermögen 880 Der Kapitaldienst für den Kredit (20 %) ergibt sich aus der gleich bleibenden Tilgungsleistung von jeweils 100 EUR zuzüglich der Zinszahlungen auf das jeweilige noch im Betrieb gebundene Kapital am Ende des vorangegangenen Jahres. Dem entsprechend ergibt sich für Investitionsobjekt B nachstehender vollständiger Finanzplan (als ein Beispiel für mögliche Finanzpläne): 0 1 2 3 Basiszahlungen (liquide Mittel) 1.100 Investitionsprojekt B – 1.200 800 900 0 Sachinvestition (Projekt C) Finanzinvestition (12 %) – 440 493 Kredit (20%) 300 – 160 – 140 – 120 Kassenhaltung – 1.053 1.053 Entnahmen – 200 – 200 – 200 – 200 Endvermögen 733 Der Investor wird sich in diesem Fall für Investitionsprojekt A entscheiden, da dieses neben den kontinuierlichen Entnahmen in Höhe von jährlich 200 EUR das größere Endvermögen aufweist. Ausgewählte Verfahren 4.2 Ausgewählte Verfahren 4.2.1 Die Kapitalwertmethode 4.2.1.1 Allgemeine Bemerkungen, Detaildarstellung und Interpretation Jede Investition lässt sich durch eine bestimmte Zahlungsreihe Zt (= E t?A t) ausdrücken (für t = 0 , 1, 2, ..., n). Wird eine Zahlung Zt aus dieser Folge auf den Zeitpunkt t = 0 abgezinst, so ergibt sich der Barwert (Gegenwartswert) von Zt, also der Wert des am Ende von Periode t anfallenden Ein- bzw. Auszahlungsüberschusses Zt zum Zeitpunkt t = 0. Auch im Falle der Abzinsung einzelner Einzahlungen Et oder Auszahlungen At wird von deren Barwert gesprochen. Es lässt sich also generell sagen:

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References

Zusammenfassung

Zu Beginn dieses Lehrbuches wird auf die grundlegenden Prinzipien und Bestandteile der Finanzwirtschaft eingegangen. Daran schließt sich die umfangreiche Auseinandersetzung mit der Investition (und hier vor allem mit den Verfahren der Investionsrechnung) an. Dabei werden alle theorie- und praxisrelevanten Facetten behandelt. Zur Veranschaulichung der Inhalte dient ein durchgehendes Beispiel. Im letzten Kapitel wird sich mit Fragen der Unternehmensbewertung (inkl. DCF-Verfahren) auseinandergesetzt.

- Einführendes Lehrbuch in die Verfahren der Investitionsrechnung

- Behandelt werden theoretische wie praxisrelevante Fragestellungen.

- Zusammenhänge und finanzwirtschaftliche Entscheidungskriterien

- Einordnung von Investitionsrechnung und Investitionsentscheidungen

- Statische und dynamische Verfahren der Investitionsrechnung

- Dynamische Verfahren der Investitionsrechung

- Bestimmung der optimalen Nutzungsdauer und des Ersatzzeitpunktes von Investitionen

- Unsicherheit bei Investitionsentscheidungen

- Investitionsprogrammentscheidungen

- Entscheidungen über Finanzinvestitionen

"Insgesamt betrachtet liegt hier ein beachtliches Nachschlagewerk zum Themenkomplex Investition und Finanzierung vor, das jede einschlägige Frage in ihren Grundzügen beantwortet… Angehenden Betriebswirten und Praktikern kann das Handbuch uneingeschränkt empfohlen werden."

Ingo Nautsch in "Die Bank" zur Vorauflage der Bände.

Prof. Dr. Hartmut Bieg ist Inhaber des Lehrstuhls für Bankbetriebslehre an der Universität des Saarlandes.

Professor Dr. Heinz Kußmaul ist Direktor des Betriebswirtschaftlichen Instituts für Steuerlehre und Entrepreneurship am Lehrstuhl für Allgemeine Betriebswirtschaftslehre, insbesondere Betriebswirtschaftliche Steuerlehre, an der Universität des Saarlandes.

Für Studierende der Betriebswirtschaftslehre im Bachelor für das Fach Investition & Finanzierung an Universitäten, Fachhochschulen und Berufsakademien. Das Buch bietet aber auch Praktikern zahlreiche Anhaltspunkte zur Lösung von Investitionsproblemen.