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3. Zahlenbereiche und Rechengesetze in:

Michael Merz, Mario V. Wüthrich

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, page 55 - 80

Die Einführung mit vielen ökonomischen Beispielen

1. Edition 2012, ISBN print: 978-3-8006-4482-7, ISBN online: 978-3-8006-4483-4, https://doi.org/10.15358/9783800644834_55

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Kapitel3 Zahlenbereiche und Rechengesetze Kapitel 3 Zahlenbereiche und Rechengesetze 3.1 Aufbau des Zahlensystems R. Dedekind Das Zahlensystem stellt eine der wichtigsten Grundlagen der Mathematik dar. Nach dem deutschen Mathematiker Richard Dedekind (1831–1916) sind Zahlen nicht einfach „naturgegeben“, sondern „freie Schöpfungen des menschlichen Geistes“. In seinem 1887 erschienenen Werk „Was sind und was sollen die Zahlen?“ schreibt er zur Entwicklung des Zahlenbegriffs „Die Zahlen sind freie Schöpfungen des menschlichen Geistes, sie dienen als ein Mittel, um die Verschiedenheit der Dinge leichter und schärfer aufzufassen.“ Dabei sind mit „freien Schöpfungen des menschlichen Geistes“ gerade die mengentheoretischen Begriffsbildungen gemeint, wie sie in Kapitel 2 eingeführt worden sind. Eine etwas andere Auffassung zum Ursprung der Zahlen hatte dagegen der deutsche Mathematiker Leopold Kronecker (1823– 1891). Von ihm ist der bekannte Ausspruch überliefert „Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk.“ Aufgrund dieser Sichtweise war Kronecker der Meinung, dass der Zahlenbereich der ganzen Zahlen, d. h. die Menge Z := {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .} , L. Kronecker den natürlichen Ausgangspunkt für die Entwicklung des Zahlensystems darstellt. Seit Ende des 19. Jahrhunderts erfolgt der Aufbau des Zahlensystems gewöhnlich auf Grundlage der in Kapitel 2 eingeführten mengentheoretischen Begriffe. Bei diesem klassischen Aufbau beginnt man mit der Menge N der natürlichen Zahlen und erweitert dann diesen Zahlenbereich schrittweise zur Menge Z der ganzen Zahlen, zur Menge Q der rationalen Zahlen, zur Menge R der reellen Zahlen und schließlich zur Menge C der komplexen Zahlen. Diese Reihenfolge bietet sich an, da für die Zahlenbereiche N, Z, Q, R und C die Inklusionen N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C gelten (vgl. (3.13) und Abbildung 3.10) und somit bei diesem Vorgehen immer größere und damit mächtigere Zahlenbereiche resultieren. Historisch betrachtet, erfolgte jedoch der Aufbau des Zahlensystems in einer etwas anderen Reihenfolge. Ausgehend von den natürlichen Zahlen wurde das Zahlensystem zuerst um die rationalen und irrationalen Zahlen erweitert, bevor dann die negativen und zum Schluss die komplexen Zahlen hinzukamen. Diese Erweiterungen des Zahlensystems waren dabei stets darauf ausgerichtet, algebraische oder geometrische Aufgaben lösen zu können, die zuvor nicht lösbar waren. Bei dem folgenden Aufbau des Zahlensystems wird weder der klassische noch der historische Weg gewählt, sondern ein etwas pragmatischerer Zugang. Er beginnt mit einer Erweiterung der Menge N der natürlichen Zahlen um die Zahl 0 zur Menge N0 der erweiterten natürlichen Zahlen. Anschlie- ßend wird der Zahlenbereich R der reellen Zahlen eingeführt und die darauf geltenden Rechengesetze betrachtet. Die Zahlenbereiche der ganzen Zahlen Z, der rationalen Zahlen Q und der irrationalen Zahlen I ergeben sich als Teilmengen der Menge R der reellen Zahlen. Zum Schluss wird dann der Zahlenbereich C der komplexen Zahlen eingeführt. 3.2 Zahlenbereiche N und N0 In Abschnitt 1.3 wurde bereits die Menge N der natürlichen Zahlen mit Hilfe des Axiomensystems von Peano (vgl. Definition 1.1) eingeführt und es wurden die wichtigsten Rechengesetze für die Addition und die Multiplikation formuliert. Die Menge N der natürlichen Zahlen lässt sich geometrisch durch äquidistante (d. h. gleich weit voneinander entfernte) Punkte auf dem positiven Teil des sogenannten Zahlenstrahls veranschaulichen (siehe Abbildung 3.1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 N Abb. 3.1: Geometrische Veranschaulichung von N auf dem Zahlenstrahl Mit Hilfe der Multiplikation lässt sich die m-te Potenz einer natürlichen Zahl n durch n1 := n und nN(m) := nm · n 44 Kapitel 33.3 Zahlenbereiche R, R+ und R für alle m ∈ N definieren. Wie man leicht zeigen kann, gelten für den Umgang mit Potenzen die folgenden Rechengesetze (m · n)l = ml · nl, nl+m = nl · nm und (nl)m = nl·m für alle l, m, n ∈ N. Erweitert man die Menge N der natürlichen Zahlen um die Zahl 0, dann erhält man die Menge der erweiterten natürlichen Zahlen N0 := N ∪ {0} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .} . Die Addition und Multiplikation wird dann von N auf N0 wie folgt erweitert: 0 + n := n und n+ 0 := n (3.1) 0 · n := 0 und n · 0 := 0 (3.2) für alle n ∈ N. Für die Menge N0 der erweiterten natürlichen Zahlen gelten analog zu N die Assoziativ- und Kommutativgesetze sowie das Distributivgesetz (vgl. Abschnitt 1.2). Dar- über hinaus folgt aus den Definitionen (3.1) und (3.2), dass die Zahl 0 ein neutrales Element der Addition und die Zahl 1 ein neutrales Element der Multiplikation ist. Die Zahl Null und das dafür verwendete Symbol „0“ wurden ca. 500 n. Chr. in Indien bei der Entwicklung des heute üblicherweise verwendeten Dezimalsystems (Zehnersystems, dekadischen Systems) eingeführt (siehe auch Abschnitt 3.5). In Europa setzte sich jedoch die Verwendung der Zahl 0 erst ab dem 14. Jahrhundert durch. Zur Menge N0 der erweiterten natürlichen Zahlen und den Rechengesetzen für die Addition und die Multiplikation gelangt man auch, wenn man in den Axiomen (P1) und (P5) des Axiomensystems von Peano (vgl. Definition 1.1) die Zahl 1 durch die Zahl 0 ersetzt. 3.3 Zahlenbereiche R, R+ und R Eine Möglichkeit, zum Zahlenbereich der reellen Zahlen zu gelangen, besteht darin, die reellen Zahlen analog zum Zahlenbereich der natürlichen Zahlen axiomatisch einzuführen (siehe z. B. Forster [17], Seiten 11–17). Bei einem gänzlich anderen Ansatz wird, von der Mengenlehre ausgehend, über die natürlichen, die ganzen und die rationalen Zahlen die Menge der reellen Zahlen als Zahlbereichserweiterung der rationalen Zahlen konstruiert (siehe z. B. Landau [38]). Dieses Vorgehen war im 19. Jahrhundert ein wichtiger Schritt, um die Analysis auf ein solides mathematisches Fundament zu stellen, und geht auf den deutschen Mathematiker Karl Weierstraß (1815–1897) zurück. K. Weierstraß Da sich jedoch diese beiden Möglichkeiten zur Einführung der reellen Zahlen deutlich aufwendiger gestalten als die axiomatische Begründung der natürlichen Zahlen in Abschnitt 1.2, wird im Folgenden auf eine rigorose Einführung des Zahlenbereichs der reellen Zahlen verzichtet. Stattdessen wird ein intuitiver und anschaulicher Standpunkt eingenommen, bei dem die Menge der reellen Zahlen, bezeichnet durch das Symbol R, als die Menge aller Zahlen auf dem Zahlenstrahl verstanden wird. Das heißt, eine reelle Zahl wird mit einem Punkt auf der Zahlengerade und umgekehrt jeder Punkt auf der Zahlengerade wird mit einer reellen Zahl identifiziert (siehe Abbildung 3.2). 0 R Abb. 3.2: Geometrische Veranschaulichung von R als Zahlenstrahl Darüber hinaus wird angenommen, dass für zwei beliebige reelle Zahlen x und y klar ist, was unter der Summe x + y und dem Produkt x · y zu verstehen ist. Auch werden die an verschiedenen Stellen bereits stillschweigend verwendeten mathematischen Symbole =, =, <, >, ≤ und ≥ weiterhin verwendet. Diese Symbole bedeuten bekanntlich: x = y : x ist gleich y x = y : x ist ungleich y x < y : x ist kleiner als y x > y : x ist größer als y x ≤ y : x ist kleiner oder gleich y x ≥ y : x ist größer oder gleich y Durch die Ungleichungen x ≤ y und x ≥ y wird jeweils eine sogenannte Relation aufR definiert (zum Begriff der Relation siehe Abschnitt 6.2). Die Relation x ≤ y besitzt die Eigenschaften: 45 Kapitel 3 Zahlenbereiche und Rechengesetze a) Reflexivität: Es gilt x ≤ x für alle x ∈ R. b) Antisymmetrie: Für alle x, y ∈ R mit x ≤ y und y ≤ x folgt x = y. c) Transitivität: Für alle x, y, z ∈ R mit x ≤ y und y ≤ z folgt x ≤ z. d) Vollständigkeit: Für alle x, y ∈ R gilt entweder x ≤ y oder y ≤ x. Das heißt, die durch x ≤ y definierte Relation ist sowohl eine Ordnungsrelation als auch eine Präferenzrelation. Analoge Aussagen gelten auch für x ≥ y (zur Erläuterung der Begriffe „Relation“, „Ordnungsrelation“ und „Präferenzrelation“ siehe Abschnitt 6.2). Für die Regeln, die für das Rechnen mit Gleichungen und Ungleichungen gelten, siehe die Abschnitte 4.2 und 4.5. Eine reelle Zahl x heißt positiv, wenn x > 0 gilt, und negativ, falls x < 0 erfüllt ist. Für viele Fragestellungen ist auch die als Menge der nichtnegativen reellen Zahlen bezeichnete Teilmenge R+ := {x ∈ R : 0 ≤ x} ⊆ R von Bedeutung. Diese Menge wird auch positive Halbachse genannt und entspricht dem positiven Teil des Zahlenstrahls inklusive der Zahl 0 (siehe Abbildung 3.3). 0 R+ Abb. 3.3: Geometrische Veranschaulichung vonR+ als (einseitiger) Zahlenstrahl Endliche Intervalle Wichtige spezielle Teilmengen von R sind durch die sogenannten endlichen Intervalle gegeben. Darunter werden zusammenhängende Teilmenge von R mit endlichen Grenzen verstanden: Definition 3.1 (Endliche Intervalle) Für a, b ∈ R mit a ≤ b unterscheidet man die folgenden Teilmengen von R: a) Abgeschlossenes Intervall: [a, b] := {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} b) Rechtsseitig offenes Intervall: [a, b[:= [a, b) := {x ∈ R : a ≤ x < b} c) Linksseitig offenes Intervall: ]a, b] := (a, b] := {x ∈ R : a < x ≤ b} d) Offenes Intervall: ]a, b[:= (a, b) := {x ∈ R : a < x < b} Für a = b gilt somit [a, b) = (a, b] = (a, b) = ∅ und [a, b] = {a} = {b}. Addition Auf der Menge R der reellen Zahlen ist eine Addition mit den folgenden Eigenschaften definiert: a) Assoziativgesetz: x + (y + z) = (x + y) + z für alle x, y, z ∈ R. b) Kommutativgesetz: x + y = y + x für alle x, y ∈ R. c) Existenz des Neutralelements: 0+x = x = x+0 für alle x ∈ R. d) Existenz inverser Elemente: (−x) + x = 0 = x + (−x) für alle x ∈ R. Die Subtraktion zweier beliebiger reeller Zahlen x und y ist durch x − y := x + (−y) und somit als die Summe von x und der additiven Inversen −y definiert. Multiplikation Auf der Menge R der reellen Zahlen ist ferner eine Multiplikation definiert, welche die folgenden Eigenschaften besitzt: a) Assoziativgesetz: x ·(y ·z) = (x ·y) ·z für alle x, y, z ∈ R. b) Kommutativgesetz: x · y = y · x für alle x, y ∈ R. c) Existenz des Neutralelements: 1 · x = x = x · 1 für alle x ∈ R. d) Existenz inverser Elemente: x−1 ·x = 1 = x ·x−1 für alle x ∈ R \ {0}. Aus den Rechengesetzen für die Addition und die Multiplikation erhält man die folgenden Regeln für das Rechnen mit 46 Kapitel 33.3 Zahlenbereiche R, R+ und R Klammern: −(x) = −x = (−x) −(−x) = x (x + y) = x + y −(x + y) = −x − y −(x − y) = −x + y −(x · y) = (−x) · y = −x · y (−x) · (−y) = x · y Die Division zweier reeller Zahlen x ∈ R und y ∈ R \ {0} ist durch x : y := x y := x · y−1 , (3.3) d. h. als das Produkt von x und der multiplikativen Inversen y−1, definiert. Dabei wird der Ausdruck (3.3) als Bruch von x und y, die reelle Zahl x als Zähler und die reelle Zahl y als Nenner des Bruchs bezeichnet. Unter der Voraussetzung, dass der Nenner der Brüche jeweils von 0 verschieden ist, gelten für das Rechnen mit Brüchen die folgenden Regeln: x y = x · w y · w x y + w y = x + w y und x y − w y = x − w y x y + v w = x · w y · w + y · v y · w = x · w + y · v y · w und x y − v w = x · w − y · v y · w x y · v w = x · v y · w x y : v w = x y · w v = x · w y · v Ferner gilt für zwei beliebige Elemente x, y ∈ R+ stets x + y ∈ R+ und x · y ∈ R+ . Das heißt, die Menge R+ der nichtnegativen reellen Zahlen ist analog zuR abgeschlossen bzgl. der Addition und der Multiplikation. Betrag Stellt man die reellen Zahlen auf der Zahlengeraden dar, dann haben die beiden reellen Zahlen x und −x den gleichen Abstand zum Nullpunkt 0. Man sagt deshalb auch, dass die beiden Zahlen x und −x den gleichen (absoluten) Betrag besitzen: Definition 3.2 (Betrag einer reellen Zahl) Der (absolute) Betrag |x| einer reellen Zahl x ist definiert durch |x| := { x für x ≥ 0 −x für x < 0 . Der Übergang von einer reellen Zahl x zu ihrem Betrag |x| kann so interpretiert werden, dass sie mit einem positiven Vorzeichen versehen wird. Es gilt daher offensichtlich stets |x| ≥ 0. Auf dem Zahlenstrahl gibt der Betrag |x| einer reellen Zahl x ihren Abstand zum Nullpunkt 0 an. Analog entspricht der Betrag |x − y| der reellen Zahl x − y dem Abstand der Zahlen x und y auf dem Zahlenstrahl (vgl. Abbildung 3.4). 0 R −x x y |x − y|| − x| = |x| Abb. 3.4: Geometrische Veranschaulichung des Betrags einer reellen Zahl auf dem Zahlenstrahl. Für den Betrag reeller Zahlen lassen sich leicht die folgenden Rechenregeln nachweisen: a) | − x| = |x| b) |x| ≥ x und |x| ≥ −x c) |x · y| = |x| · |y| d) ∣ ∣∣ ∣ x y ∣∣ ∣∣ = |x| |y| e) |x| ≤ b ⇔ −b ≤ x ≤ b Die wichtigsten Resultate im Umgang mit dem Betrag sind die beiden folgenden Dreiecksungleichungen. Sie gehören zu den wichtigsten Hilfsmitteln in der Analysis: Satz 3.3 (Dreiecksungleichungen für reelle Zahlen) Für reelle Zahlen x und y gelten die beiden Dreiecksungleichungen: |x + y| ≤ |x| + |y| (3.4) ||x| − |y|| ≤ |x − y| (3.5) 47 Kapitel 3 Zahlenbereiche und Rechengesetze Beweis: Zu (3.4): Es gilt x ≤ |x| und y ≤ |y| für alle x, y ∈ R. Daraus folgt durch Addition x + y ≤ |x| + |y| (3.6) für alle x, y ∈ R. Völlig analog folgt aus −x ≤ |x| und −y ≤ |y| die Ungleichung −(x + y) ≤ |x| + |y| . (3.7) Die beiden Ungleichungen (3.6) und (3.7) implizieren zusammen die Dreiecksungleichung (3.4). Zu (3.5): Mit der Dreiecksungleichung (3.4) erhält man |x| = |x − y + y| ≤ |x − y| + |y| und |y| = |y − x + x| ≤ |x − y| + |x| . Subtrahiert man in diesen beiden Ungleichungen |y| bzw. |x|, dann erhält man (3.5). Die beiden Dreiecksungleichungen (3.4) und (3.5) besagen, dass der Betrag einer Summe nicht größer als die Summe der Beträge der Summanden und nicht kleiner als der Betrag der Differenz dieser Beträge ist. Wie der Name nahelegt, kann die Dreiecksungleichung (3.4) sehr gut an einem Dreieck verdeutlicht werden (siehe Abbildung 3.5). |x + y| |x| |y| Abb. 3.5: Dreiecksungleichung |x + y| ≤ |x| + |y| Beispiel 3.4 (Rechnen mit dem Betrag) a) |7 · (−3)| = |7| · | − 3| = 7 · 3 = 21 b) ∣ ∣∣ ∣ −2 5 ∣ ∣∣ ∣ = | − 2| |5| = 2 5 c) | − 6 + 5| = | − 1| = 1 d) | − 6 − 5| = | − 11| = 11 Zahlenbereich R Die Menge R der reellen Zahlen kann um zwei Symbole +∞ und −∞ für eine unendlich große bzw. eine unendlich kleine Zahl erweitert werden. Die so entstehende Menge R := R ∪ {−∞,+∞} wird als Menge der erweiterten reellen Zahlen bezeichnet. Dabei gelte −∞ ≤ x ≤ +∞ für alle x ∈ R und damit insbesondere −∞ < x < +∞ für alle x ∈ R. Anstelle des Symbols +∞ wird sehr häufig auch das Symbol ∞ verwendet. Die Addition und Multiplikation reeller Zahlen wird durch die folgenden Definitionen (teilweise) auf die Menge R der erweiterten reellen Zahlen übertragen. Dabei wird festgelegt, dass die Addition und die Multiplikation auch auf R kommutativ ist: x + (−∞) := −∞ x + (+∞) := +∞ (−∞)+ (−∞) := −∞ (+∞)+ (+∞) := +∞ für alle x ∈ R und x · (−∞) := { +∞ für x < 0 −∞ für x > 0 x · (+∞) := { −∞ für x < 0 +∞ für x > 0 sowie (−∞) · (−∞) := +∞ (−∞) · (+∞) := −∞ (+∞) · (+∞) := +∞ (−∞)−1 := 0 (+∞)−1 := 0 Es ist zu beachten, dass die folgenden Ausdrücke nicht definiert sind: (−∞)+ (+∞), 0 · (+∞), 0 · (−∞), +∞ · (+∞)−1, +∞ · (−∞)−1 Unbeschränkte Intervalle In Analogie zur Definition (endlicher) Intervalle als Teilmengen von R (siehe Definition 3.1) können nun auch unbeschränkte Intervalle als Teilmengen von R definiert werden: 48 Kapitel 33.4 Zahlenbereiche Z, Q und I Definition 3.5 (Unbeschränkte Intervalle) Für c ∈ R unterscheidet man die folgenden Teilmengen von R: a) Abgeschlossene (unbeschränkte) Intervalle: (−∞, c] := {x ∈ R : x ≤ c} und [c,+∞) := {x ∈ R : c ≤ x} b) Rechtsseitig offenes (unbeschränktes) Intervall: (−∞, c[:= (−∞, c) := {x ∈ R : x < c} c) Linksseitig offenes (unbeschränktes) Intervall: ]c,+∞) := (c,+∞) := {x ∈ R : c < x} d) Offenes (unbeschränktes) Intervall: ] −∞,+∞[:= (−∞,+∞) := R 3.4 Zahlenbereiche Z, Q und I Die Menge R der reellen Zahlen enthält als wichtige Teilmengen den Zahlenbereich Z der ganzen Zahlen, den Zahlenbereich Q der rationalen Zahlen und den Zahlenbereich I der irrationalen Zahlen. Zahlenbereich Z Die Menge der ganzen Zahlen ist gegeben durch Z := {x : x ∈ N0 oder − x ∈ N0} = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .} und lässt sich geometrisch durch äquidistante Punkte auf dem Zahlenstrahl veranschaulichen (siehe Abbildung 3.6). Es gilt offensichtlich N ⊂ N0 ⊂ Z ⊂ R . Der Zahlenbereich Z ist bzgl. der Grundrechenarten Addition, Multiplikation und Subtraktion abgeschlossen. Das heißt, sind x und y zwei beliebige ganze Zahlen, dann sind auch x + y, x − y und x · y wieder ganze Zahlen. Dies gilt jedoch im Allgemeinen nicht für die Division zweier ganzer Zahlen, wie z. B. 1 : 2 = 12 ∈ Z zeigt. Ist jedoch der Bruch p q zweier ganzer Zahlen p und q wieder ganzzahlig, dann sagt man, dass „p ohne Rest durch q teilbar ist“. Der Nenner q wird dann als Teiler von p und p als Vielfaches von q bezeichnet. −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 Abb. 3.6: Geometrische Veranschaulichung von Z auf dem Zahlenstrahl. Zahlenbereich Q Die Menge der rationalen Zahlen ist gegeben durch Q := { x : x = p q mit p, q ∈ Z und q = 0 } . Es gilt somit offensichtlich N ⊂ N0 ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R . Im Vergleich zur Menge Z umfasst die Menge Q auch die nicht ganzzahligen Brüche p q für beliebige ganze Zahlen p und q mit q = 0. Der Zahlenbereich Q ist somit neben den Grundrechenarten Addition, Multiplikation und Subtraktion auch bzgl. der Grundrechenart Division abgeschlossen. Neben x = p q besitzt eine rationale Zahl auch eine Darstellung als abbrechende oder nicht abbrechende, jedoch periodische Dezimalzahl (vgl. Abschnitt 3.5). Darüber hinaus lässt sich die Menge Q der rationalen Zahlen ebenfalls durch den Zahlenstrahl veranschaulichen. Allerdings sind die rationalen Zahlen auf dem Zahlenstrahl nicht mehr äquidistant verteilt, sondern liegen dicht geordnet auf dem Zahlenstrahl. Das heißt, zwischen zwei verschiedenen rationalen Zahlen x und y mit x < y liegt stets eine weitere rationale Zahl. Eine solche Zahl ist z. B. durch x+y2 gegeben. Durch Iteration dieser Schlussweise folgt unmittelbar, dass zwischen zwei beliebigen rationalen Zahlen x und y mit x < y stets sogar unendlich viele weitere rationale Zahlen liegen (siehe Abbildung 3.7). Umso erstaunlicher ist es, dass die Menge Q der rationalen Zahlen trotzdem nicht „mächtiger“ – d. h. im mathematischen Sinne nicht größer – als die Menge N der natürlichen Zahlen oder die Menge Z der ganzen Zahlen ist (siehe hierzu Abschnitt 3.7). x y x + y 2 Abb. 3.7: Geometrische Veranschaulichung von Q auf dem Zahlenstrahl 49 Kapitel 3 Zahlenbereiche und Rechengesetze Zahlenbereich I Obwohl die rationalen Zahlen beliebig dicht geordnet auf dem Zahlenstrahl liegen, entspricht nicht jedem Punkt auf dem Zahlenstrahl eine rationale Zahl. Es gibt z. B. keine rationale Zahl x, deren Quadrat gleich 2 ist. Zusammen mit dem Satz des Pythagoras (siehe Satz 5.3) impliziert dies geometrisch, dass die Länge √ 2 der Diagonalen eines Quadrats mit der Seitenlänge 1 auf dem Zahlenstrahl keiner rationalen Zahl entspricht. √ 2 1 1 Abb. 3.8: Länge √ 2 der Diagonalen eines Quadrats mit der Seitenlänge 1 Ein Nachweis für die Irrationalität der Zahl √ 2 ist bereits in dem Werk „Die Elemente“ des griechischen Mathematikers Euklid von Alexandria (ca. 360–280 v. Chr.) zu finden. Dieser Beweis ist auch in Beispiel 1.27c) angegeben. Die Menge aller nicht rationalen Zahlen ist durch I := R \Q = { x : x = p q für alle p, q ∈ Z mit q = 0 } gegeben und wird als Menge der irrationalen Zahlen bezeichnet. Eine irrationale Zahl kann als nicht abbrechende und nicht periodische Dezimalzahl dargestellt werden. Neben der Zahl√ 2 = 1,41421 . . . sind auch die Kreiszahl und die Eulersche Zahl π := 3,14159 . . . bzw. e := 2,71828 . . . bekannte Beispiele für irrationale Zahlen. J. H. Lambert Die Irrationalität der Kreiszahl π wurde 1761 vom schweizer Mathematiker Johann Heinrich Lambert (1728–1777) nachgewiesen, während dasselbe Leonhard Euler (1707–1783) bereits 1737 für die nach ihm benannte Eulersche Zahl e gelang. Weitere Beispiele für irrationale Zahlen sind der Goldene Schnitt φ := 1 + √ 5 2 = 1,618034 . . . und die Wurzeln √ n+ 1 n für beliebige n ∈ N. L. Euler Die Tatsache, dass es in der Regel sehr schwierig ist, für eine reelle Zahl ihre vermeintliche Irrationalität nachzuweisen, zeigt sich vor allem darin, dass es eine ganze Reihe von „einfachen“ Ausdrücken wie z. B. π − e, π + e, π · e, π e , πe, ππ , ee gibt, deren Irrationalität stark vermutet wird, aber bis heute nicht bewiesen ist. In Abschnitt 3.7 wird gezeigt, dass es viel mehr irrationale Zahlen als rationale Zahlen gibt. Aus diesem Grund sind die rationalen Zahlen – trotz ihrer großen Dominanz bei den allermeisten praktischen Problemstellungen und im täglichen Leben – bezüglich der Häufigkeit ihrer Existenz eher als die Ausnahme und die irrationalen Zahlen eher als die Regel zu betrachten. Aus den obigen Ausführungen erhält man (vgl. Abbildung 3.9) N ⊂ N0 ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ R . Erweiterte reelle Zahlen R Reelle Zahlen R Rationale Zahlen Q Ganze Zahlen Z Erweiterte natürliche Zahlen N0 Natürliche Zahlen N Abb. 3.9: Hierarchischer Aufbau N ⊂ N0 ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ R des Zahlensystems 50 Kapitel 33.5 Dezimal- und Dualsystem 3.5 Dezimal- und Dualsystem Zur numerischen Berechnung werden reelle Zahlen in Zahlensystemen als Folge von Ziffern dargestellt. Da diese Ziffern von einer Basis b abgeleitet werden, spricht man oftmals von einem b-adischen Zahlensystem. Dabei kann prinzipiell jede ganze Zahl b ≥ 2 als Basis verwendet werden, wobei dann für die Darstellung die Ziffern 0 bis b−1 benötigt werden. Die gängigsten Basen sind b = 10 (sogenanntes Dezimalsystem) und 2 (sogenanntes Dual- oder Binärsystem). Dezimalsystem Das Dezimalsystem (d. h. b = 10) wurde ca. 500 n. Chr. in der indischen Zahlschrift entwickelt und durch arabische Vermittlung an die europäischen Länder weitergegeben. Seit einigen hundert Jahren hat es sich weltweit als der internationale Standard durchgesetzt. Im Dezimalsystem wird eine reelle Zahl x durch eine Folge der 10 Ziffern 0, 1, . . . , 9 und eventuell ein Trennzeichen „ , “ dargestellt: x = ±znzn−1 . . . z1z0, z−1z−2 . . . z−m (3.8) mit n ∈ N und m ∈ N ∪ {∞} und zi ∈ {0, 1, . . . , 9}. Dies bedeutet, dass sich die Zahl x in der Form x = ±(zn · 10n + zn−1 · 10n−1 + . . .+ z1 · 101 + z0 · 100 + z−1 · 10−1 + z−2 · 10−2 + . . .+ z−m · 10−m ) = ± n∑ i=−m zi · 10i darstellen lässt. Diese Darstellung einer reellen Zahl x wird als Dezimalbruchentwicklung bezeichnet. Mit ihrer Hilfe kann jeder reellen Zahl x eine (eventuell unendliche) Folge (3.8) von Ziffern zugeordnet werden und jeder endliche Teil dieser Folge definiert einen Dezimalbruch, der eine Näherung für die reelle Zahl x ist. Man sagt, dass die Dezimalbruchentwicklung abbricht, wenn die Ziffernfolge ab einer Stelle nur noch aus Nullen besteht. Man kann zeigen, dass eine reelle Zahl x genau dann eine abbrechende oder nicht abbrechende, aber periodische Dezimalbruchentwicklung besitzt, wenn x eine rationale Zahl ist. Das heißt umgekehrt, dass eine irrationale Zahl x stets eine nicht abbrechende und nicht periodische Dezimalbruchentwicklung besitzt. Für m = 0 resultiert offensichtlich eine ganze Zahl und das Trennzeichen „ , “ wird dann weggelassen. Beispiel 3.6 (Dezimalbruchentwicklung reeller Zahlen) a) 21 = 2 b) 13 = 0,3333 . . . = 0,3 c) 38 = 0,375 d) − 247 = −3,428571428571 . . . = −3,428571 e) 2 √ 2 = 2,665144143 . . . f) eπ = 23,14069263 . . . Dabei ist der waagerechte Strich bei den beiden rationalen Zahlen 0,3 und −3,428571 eine verbreitete Schreibweise dafür, dass sich die Ziffer 3 bzw. die Ziffernfolge 428571 unendlich oft wiederholt. Dualsystem Das Dual- oder Binärsystem (d. h. b = 2) wurde in Europa wahrscheinlich erstmals im Jahre 1670 durch den späteren spanischen Bischof Juan Caramuel y Lobkowitz (1606–1682) J. C. y Lobkowitz veröffentlicht. Aufgrund seiner großen Bedeutung in der Informatik und in der Digitaltechnik hat sich das Dual- neben dem Dezimalsystem zu dem wichtigsten Zahlensystem entwickelt. Im Dualsystem wird eine reelle Zahl x durch eine Folge der beiden Ziffern 0 und 1 und eventuell ein Trennzeichen „ , “ dargestellt: x = ±znzn−1 . . . z1z0,z−1z−2 . . . z−m (3.9) mit n ∈ N und m ∈ N∪ {∞} und zi ∈ {0, 1}. Dies bedeutet, dass sich die Zahl x in der Form x =± (zn · 2n + zn−1 · 2n−1 + . . .+ z1 · 21 + z0 · 20 + z−1 · 2−1 + z−2 · 2−2 + . . .+ z−m · 2−m ) =± n∑ i=−m zi · 2i darstellen lässt. Diese Darstellung einer reellen Zahl x wird als Dualzahl- oder Binärzahlentwicklung bezeichnet. 51 Kapitel 3 Zahlenbereiche und Rechengesetze Mit den Dualzahlen können analog zu den Dezimalzahlen die Grundrechenarten Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division durchgeführt werden. Tatsächlich ist es sogar so, dass die dazu benötigten Algorithmen einfacher werden und sich effizient mit logischen Schaltungen elektronisch realisieren lassen. Zum Beispiel besteht das „kleine Einmaleins“ lediglich aus den vier Multiplikationen 0 · 0 = 0, 0 · 1 = 0, 1 · 0 = 0 und 1 · 1 = 1 . Der Einsatz von Dualzahlen in der Informatik und Digitaltechnik brachte daher viele Vorteile mit sich. Die reellen Zahlen besitzen jedoch im Dualsystem eine sehr lange und un- übersichtliche Darstellung. Zum Beispiel entspricht einer 12stelligen Dezimalzahl eine 40-stellige Dualzahl, die nur aus „Nullen“ und „Einsen“ besteht. Während dieser Sachverhalt zwar in der Informatik und Digitaltechnik kaum Bedeutung besitzt, macht er die Verwendung von Dualzahlen im täglichen Leben sehr unpraktikabel. Beispiel 3.7 (Dualdarstellung rationaler Zahlen) a) Die Dualdarstellungen der Zahlen 6 und 7 sind gegeben durch 6 = 1 · 22 + 1 · 21 + 0 · 20 bzw. 7 = 1·22+1·21+1·20. Die folgende Tabelle enthält die Dualdarstellungen der Zahlen 0, 1, . . . , 15: 23 22 21 20 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 1 0 3 0 0 1 1 4 0 1 0 0 5 0 1 0 1 6 0 1 1 0 7 0 1 1 1 8 1 0 0 0 9 1 0 0 1 10 1 0 1 0 11 1 0 1 1 12 1 1 0 0 13 1 1 0 1 14 1 1 1 0 15 1 1 1 1 b) Die rationale Zahl 14 besitzt die Dualdarstellung 0,01. c) Die rationale Zahl 38 besitzt die Dualdarstellung 0,011. d) Die rationale Zahl 37 besitzt die Dualdarstellung 0,011. e) Die rationale Zahl 712 besitzt die Dualdarstellung 0,10010101. Dabei ist der waagerechte Strich bei 0,011 und 0,10010101 wieder eine Schreibweise dafür, dass sich die Ziffernfolge 011 bzw. 10010101 unendlich oft wiederholt. 3.6 Zahlenbereich C Bei der Untersuchung von quadratischen Gleichungen ist früh entdeckt worden, dass bereits die einfache Gleichung x2 = −1 (3.10) in der Menge R der reellen Zahlen keine Lösung besitzt. Allgemeiner kann keine quadratische Gleichung der Form x2 = −b2 (3.11) mit b = 0 durch reelle Zahlen x gelöst werden. G. Cardano Mitte des 16. Jahrhunderts kam daher der italienische Arzt, Philosoph und Mathematiker Gerolamo Cardano (1501–1576) auf den Gedanken, dass man mit Wurzeln aus negativen Zahlen (d. h. negativen Radikanden), wie z. B. √−1, nach den üblichen Regeln rechnen sollte. Dies stellte eine erstaunliche Erkenntnis dar, denn bis zu diesem Zeitpunkt war die übliche Lehrmeinung unter Mathematikern, dass Radikanden nichtnegativ sein müssten. Eine der wenigen Ausnahmen war der griechische Mathematiker Diophantos von Alexandria, der einige Jahrhunderte zuvor, zwischen 100 v. Chr. und 350 n. Chr., lebte. Der französische Philosoph und Mathematiker René Descartes (1596–1650) verwendete ungefähr ein Jahrhundert später bei der Behandlung derartiger Größen den Namen 52 Kapitel 33.6 Zahlenbereich C R. Descartes imaginäre Zahlen, was soviel wie „eingebildete“ oder „unwirkliche“ Zahlen – im Gegensatz zu den „wirklichen“ reellen Zahlen – bedeutet. Diese Bezeichnung hat sich bis heute gehalten und spiegelt sich auch in dem 1777 vom schweizer Mathematiker Leonhard Euler (1707–1783) eingeführten Symbol i für die sogenannte imaginäre Einheit wieder. Die imaginäre Einheit i ist definiert durch i 2 := −1 (3.12) und die Zahlen x1 = i sowie x2 = −i sind damit per Definition Lösungen der quadratischen Gleichung (3.10). Entsprechend sind die Zahlen x1 = i b und x2 = −i b Lösungen der quadratischen Gleichung (3.11). Bei den Zahlen x1 = i b und x2 = −i b handelt es sich wie bei den Zahlen i = i ·1 und −i = −i ·1 um Elemente der Menge der sogenannten komplexen Zahlen. Deren theoretische Begründung und Veranschaulichung in der euklidischen Ebene (vgl. Abbildung 3.11) erfolgte – unabhängig voneinander – zuerst durch den französischen Mathematiker Augustin Louis Cauchy (1789–1857) und anschließend durch den deutschen Mathematiker Carl Friedrich Gauß (1777–1855). A. L. Cauchy Aufbauend auf diesen Ergebnissen haben die komplexen Zahlen in den Ingenieur- und Naturwissenschaften nach und nach die gleiche Bedeutung erlangt wie die reellen Zahlen. Mittlerweile treten sie aber auch bei zahlreichen wirtschaftswissenschaftlichen Fragestellungen auf, wie z. B. in der Zeitreihenanalyse oder bei der Bewertung von Optionen. Einer der Gründe für den großen Nutzen der komplexen Zahlen ist ihre algebraische Abgeschlossenheit. Dies bedeutet, dass jede Gleichung vom Grad größer gleich 1 über der Menge der komplexen Zahlen eine Nullstelle besitzt, was für die Menge der reellen Zahlen bekanntlich nicht gilt (siehe z. B. (3.10)). Diese Eigenschaft ist der Inhalt des bekannten Fundamentalsatzes der Algebra (siehe Satz 4.2). Zwei weitere Gründe für die Bedeutung komplexer Zahlen sind ihre Beziehung zur Exponentialfunktion und dass über sie ein Zusammenhang zwischen trigonometrischen Funktionen und der Exponentialfunktion hergestellt werden kann. Definition 3.8 (Komplexe Zahlen) Die Menge der komplexen Zahlen ist definiert durch C := {z : z = a + i b mit a, b ∈ R}, wobei i 2 := −1 gilt und i die imaginäre Einheit ist. Für eine komplexe Zahl z = a+ i b ∈ C wird Re(z) := a als Realteil und Im(z) := b als Imaginärteil von z bezeichnet. Ist z = a + i b eine komplexe Zahl mit Im(z) = 0, dann gilt z = a und z ist somit eine reelle Zahl. Umgekehrt kann man jede reelle Zahl z als komplexe Zahl mit einem Imaginärteil Im(z) = 0 auffassen, wenn man einfach b = 0 setzt. Die Menge R der reellen Zahlen ist somit in der Menge der komplexen Zahlen C enthalten, d. h. es gilt R ⊂ C und damit insgesamt N ⊂ N0 ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C . (3.13) Ist dagegen Re(z) = 0, dann gilt z = i b und z wird als rein imaginäre Zahl bezeichnet. Analog zur Menge R der reellen Zahlen kann auch die Menge C der komplexen Zahlen veranschaulicht werden. Während dies bei den reellen Zahlen durch den Zahlenstrahl geschieht (vgl. Abbildung 3.2), Komplexe Zahlen C Reelle Zahlen R Rationale Zahlen Q Ganze Zahlen Z Erweiterte natürliche Zahlen N0 Natürliche Zahlen N Abb. 3.10: Hierarchischer Aufbau N ⊂ N0 ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C des Zahlensystems. 53 Kapitel 3 Zahlenbereiche und Rechengesetze erfolgt die Darstellung der Menge C der komplexen Zahlen in Form von Punkten in der Gaußschen Zahlenebene, welche auch komplexe Zahlenebene genannt wird. Darin bildet die Teilmenge R der reellen Zahlen (d. h. z ∈ C mit Im(z) = 0) die waagerechte Achse, welche als reelle Achse (kurz: Re) bezeichnet wird. Die Teilmenge der rein imaginären Zahlen (d. h. z ∈ C mit Re(z) = 0) ist durch die senkrechte Achse gegeben und wird imaginäre Achse (kurz: Im) genannt. Auf diese Weise ist jeder komplexen Zahl z = a + i b ein Punkt (a, b) der Gaußschen Zahlenebene mit der horizontalen Koordinate a und der vertikalen Koordinate b eindeutig zuzuordnen und umgekehrt (vgl. Abbildung 3.11). Re Im i b z = a + i b a i 1 Abb. 3.11: Veranschaulichung der Menge C der komplexen Zahlen z = a + ib in der Gaußschen Zahlenebene Zwei komplexe Zahlen z1 = a + i b und z2 = c + i d sind offensichtlich genau dann gleich, wenn Re(z1) = Re(z2) und Im(z1) = Im(z2) gilt. Aus z = 0 folgt ferner Re(z) = Im(z) = 0. Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division Die Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division komplexer Zahlen werden formal wie gewohnt ausgeführt. Bei der Multiplikation und Division ist lediglich i 2 = −1 zu beachten. Für zwei beliebige komplexe Zahlen z1 = a + i b und z2 = c + i d sind die vier Grundrechenarten wie folgt definiert: Addition: z1 + z2 = (a + i b)+ (c + i d) = (a + c)︸ ︷︷ ︸ Re(z1+z2) + i (b + d) ︸ ︷︷ ︸ Im(z1+z2) Subtraktion: z1 − z2 = (a + i b)− (c + i d) = (a − c)︸ ︷︷ ︸ Re(z1−z2) + i (b − d) ︸ ︷︷ ︸ Im(z1−z2) Multiplikation: z1z2 = (a + i b)(c + i d) = (ac − bd)︸ ︷︷ ︸ Re(z1z2) + i (ad + bc) ︸ ︷︷ ︸ Im(z1z2) Division für z2 = 0: z1 z2 = a + i b c + i d = (a + i b)(c − i d) (c + i d)(c − i d) = ac + bd c2 + d 2︸ ︷︷ ︸ Re(z1/z2) +i bc − ad c2 + d 2︸ ︷︷ ︸ Im(z1/z2) Das heißt, Summen, Differenzen, Produkte und Quotienten komplexer Zahlen sind wieder komplexe Zahlen. Die Addition und Subtraktion lässt sich dabei leicht als Vektoraddition in der Gaußschen Zahlenebene verstehen (siehe Abbildung 3.12). Die vier Grundrechenarten genügen auf der Menge C der komplexen Zahlen den gleichen Rechengesetzen wie auf der Menge R der reellen Zahlen. Denn sind z1, z2 und z3 beliebige komplexe Zahlen, dann lässt sich leicht nachweisen, dass die folgenden Gesetze gelten: a) Assoziativgesetze: z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2)+ z3 z1(z2z3) = (z1z2)z3 b) Kommutativgesetze: z1 + z2 = z2 + z1 z1z2 = z2z1 c) Distributivgesetz: z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3 d) Existenz von Neutralelementen: 0 + z1 = z1 = z1 + 0 1 · z1 = z1 = z1 · 1 54 Kapitel 33.6 Zahlenbereich C Re Im i 1 z2 z1 z1 + – z2 Re Im i 1 z2 z1 z2 z1 Abb. 3.12: Veranschaulichung der Addition (links) und Subtraktion (rechts) von komplexen Zahlen z1 und z2 in der Gaußschen Zahlenebene e) Existenz inverser Elemente für z1 = 0: (−z1)+ z1 = 0 = z1 + (−z1) z−11 z1 = 1 = z1z−11 Das Potenzieren einer komplexen Zahl z = a+ i b mit einer natürlichen Zahl k ∈ N liefert zk = (a + i b)k = (a + i b)(a + i b) · . . . · (a + i b) ︸ ︷︷ ︸ k-mal z−k = (a + i b)−k = 1 (a + i b)k , falls z = 0 Auch beim Potenzieren gelten die gleichen Rechenregeln wie auf der Menge der reellen Zahlen. Zum Beispiel gilt für alle z1, z2 ∈ C und k, l ∈ N: zk1z l 1 = zk+l1 zk1 zl1 = zk−l1 für z1 = 0 ( zk1 )l = zk·l1 zk1z k 2 = (z1z2)k zk1 zk2 = ( z1 z2 )k für z2 = 0 Darüber hinaus gelten auch die üblichen Bruchrechnungsregeln für komplexe Zahlen. Beispiel 3.9 (Rechnen mit komplexen Zahlen) Für die komplexen Zahlen z1 = 3 + 4 i, z2 = 1 − 2 i, w1 = 2 + 5 i und w2 = 3 + 7 i gilt: a) z1 + z2 = 4 + 2 i b) w1 + w2 = 5 + 12 i c) z1 − z2 = 2 + 6 i d) w1 − w2 = −1 − 2 i e) z1z2 = (3 + 4 i)(1 − 2 i) = (3 · 1 + 4 · 2)+ (3 · (−2)+ 4 · 1) i = 11 − 2 i f) w1w2 = (2+5 i)(3+7 i) = (2·3−5·7)+(2·7+5·3) i = −29 + 29 i g) z1 z2 = 3 + 4 i 1 − 2 i = 3 + 4 i 1 − 2 i · 1 + 2 i 1 + 2 i = 3 − 8 5 + 6 + 4 5 i = −1 + 2 i h) w1 w2 = 2 + 5 i 3 + 7 i = 2 + 5 i 3 + 7 i · 3 − 7 i 3 − 7 i = 41 58 + 1 58 i i) z21 = (3 + 4 i)2 = 9 + 24 i − 16 = −7 + 24 i 55 Kapitel 3 Zahlenbereiche und Rechengesetze Die obigen Ausführungen zeigen, dass auf der Menge C der komplexen Zahlen bezüglich der vier Grundrechenarten die gleichen Rechengesetze gelten wie auf der Menge R der reellen Zahlen. Ein wesentlicher Unterschied zu R ist aber, dass auf C keine sogenannte vollständige Ordnungsrelation (Totalordnung) „≤“ definiert werden kann (zu den Begriffen Relation, Ordnungsrelation und Totalordnung siehe Abschnitt 6.2). Das heißt, bei Vorliegen von zwei verschiedenen komplexen Zahlen z1 und z2 kann im Allgemeinen nicht gesagt werden, welche von beiden die größere bzw. die kleinere Zahl ist. Zum Beispiel kann weder i > 0 noch i < 0 gelten. Denn angenommen, es gelte i > 0, dann würde dies wegen i > 0 ⇐⇒ i · i > i · 0 ⇐⇒ i 2 > 0 die falsche Aussage−1 > 0 implizieren. Wird dagegen i < 0 angenommen, dann folgt i < 0 ⇐⇒ i · i > i · 0 ⇐⇒ i 2 > 0 und damit ebenfalls die falsche Aussage −1 > 0. Dabei wurde im zweiten Schritt berücksichtigt, dass i < 0 angenommen wurde und ein Ungleichheitszeichen bei Multiplikation mit einer negativen Zahl stets umgedreht werden muss (siehe Abschnitt 4.5). Konjugierte komplexe Zahl Bei verschiedenen Problemstellungen treten sogenannte konjugierte komplexe Zahlen auf. Ein Beispiel hierfür ist das Lösen sogenannter algebraischer Gleichungen (siehe hierzu Satz 4.4 in Abschnitt 4.3). Die konjugierte komplexe Zahl zu einer komplexen Zahl z ist wie folgt definiert: Definition 3.10 (Konjugierte komplexe Zahl) Für eine komplexe Zahl z = a+ i b wird z := a− i b als die zu z konjugierte komplexe Zahl bezeichnet. Für eine reelle Zahl z gilt offensichtlich z = z. Ferner liegen zwei zueinander konjugierte komplexe Zahlen z und z stets symmetrisch zu der reellen Achse Re (vgl. Abbildung 3.13). Durch Nachrechnen lässt sich sehr einfach nachweisen, dass zwischen komplexen Zahlen und ihren konjugierten kom- Re Im z = a − i b z = a + i b i 1 Abb. 3.13: Komplexe Zahl z und die zu z konjugierte komplexe Zahl z plexen Zahlen die folgenden Zusammenhänge existieren: z1 + z2 = z1 + z2 z1 − z2 = z1 − z2 −z1 = −z1 z1z2 = z1 · z2 zn1 = z1n für n ∈ N0 ( z1 z2 ) = z1 z2 für z2 = 0 z1 = z1 Re(z1) = 1 2 (z1 + z1) Im(z1) = 1 2 i (z1 − z1) (3.14) Beispiel 3.11 (Rechnen mit konjugierten komplexen Zahlen) Gegeben sei die komplexe Zahl z = 1 + i. Dann gilt: a) z = 1 − i b) z+ z = 1 + i + (1 − i) = 2 = 2 Re(z) c) z− z = 1 + i − (1 − i) = 2 i = 2 i Im(z) d) zz = (1 + i)(1 − i) = 1 − i 2 = 2 e) z z = 1 + i 1 − i · 1 + i 1 + i = 1 + 2 i + i 2 2 = i 56 Kapitel 33.6 Zahlenbereich C Absoluter Betrag Analog zu reellen Zahlen kann auch für komplexe Zahlen z ein (absoluter) Betrag definiert werden: Definition 3.12 (Betrag einer komplexen Zahl) Der (absolute) Betrag |z| einer komplexen Zahl z = a+ i b ist definiert durch |z| := √ a2 + b2 ∈ R. (3.15) Der Betrag einer komplexen Zahl z ist somit eine reelle Zahl und es gilt stets |z|2 = |z|2 = zz = a2 + b2. (3.16) In der Gaußschen Zahlenebene entspricht der Betrag |z| einer komplexen Zahl z = a + i b ihrem Abstand zum Urspung (0, 0) (vgl. Abbildung 3.14, links). Falls z = a + i b eine reelle Zahl ist, also b = 0 gilt, dann stimmt der Betrag |z| =√ a2 = |a| mit dem für reelle Zahlen definierten (absoluten) Betrag überein. Entsprechend ist der Betrag von z = i b, d. h. für a = 0, durch |z| = b gegeben (vgl. Definition 3.2). Durch Nachrechnen kann man verifizieren, dass für den Betrag komplexer Zahlen die folgenden einfachen Rechenregeln gelten: a) | − z| = |z| b) |z1 · z2| = |z1| · |z2| c) ∣ ∣∣ ∣ z1 z2 ∣ ∣∣ ∣ = |z1| |z2| Re Im i b z = a + i b a i 1 |z | = √a 2 + b2 Re Im i 1 z1 z2 z1 + z2 |z1 | |z2 | |z 1 + z 2 | Abb. 3.14: Betrag einer komplexen Zahl z = a + i b (links) und Veranschaulichung der Dreiecksungleichung (rechts) Für den Betrag komplexer Zahlen gelten die beiden gleichen Dreiecksungleichungen wie für reelle Zahlen (vgl. Abbildung 3.14, rechts): Satz 3.13 (Dreiecksungleichungen für komplexe Zahlen) Für komplexe Zahlen z1 und z2 gelten die beiden Dreiecksungleichungen |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2| (3.17) ||z1| − |z2|| ≤ |z1 − z2| (3.18) Beweis: Zu (3.17): Aus (3.15) folgt unmittelbar, dass Re(z) ≤ |z| für jede komplexe Zahl z gilt. Damit folgt für die komplexe Zahl z1z2 Re(z1z2) ≤ |z1z2| = |z1||z2| = |z1||z2|. (3.19) Weiter erhält man durch kurzes Nachrechnen, dass für zwei beliebige komplexe Zahlen z1 und z2 2 Re(z1z2) = z1z2 + z2z1 (3.20) gilt. Mit (3.16), (3.20) und (3.19) erhält man somit |z1+z2|2 = (z1 + z2)(z1 + z2) = (z1 + z2)(z1 + z2) = z1z1 + z1z2 + z2z1 + z2z2 = |z1|2 + 2 Re(z1z2)+ |z2|2 ≤ |z1|2 + 2|z1||z2| + |z2|2 = (|z1| + |z2|)2 und damit auch die Behauptung |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2|. 57 Kapitel 3 Zahlenbereiche und Rechengesetze Zu (3.18): Mit der Dreiecksungleichung (3.17) erhält man |z1| = |z1 − z2 + z2| ≤ |z1 − z2| + |z2| und |z2| = |z2 − z1 + z1| ≤ |z1 − z2| + |z1|. Subtrahiert man in diesen beiden Ungleichungen |z2| bzw. |z1|, dann erhält man (3.18). Beispiel 3.14 (Rechnen mit dem Betrag komplexer Zahlen) Für die komplexen Zahlen z1 = 3+ 4 i und z2 = 1− 2 i gilt: a) |z1| = √ 32 + 42 = 5 und |z2| = √ 12 + (−2)2 = √5 b) |z1z2| = √ 112 + (−2)2 = √125 = 5√5 (vgl. Beispiel 3.9e)) c) ∣∣∣∣ z1 z2 ∣∣∣∣ = √ (−1)2 + 22 = √5 (vgl. Beispiel 3.9g)) Polarkoordinaten Neben der Angabe einer komplexen Zahl z mit Hilfe ihrer kartesischen Koordinaten (a, b) in der sogenannten algebraischen Form z = a + i b, kann eine komplexe Zahl z auch mit Hilfe ihrer Polarkoordinaten (r, x) in der sogenannten trigonometrischen Darstellung (Polarform) angegeben werden. Dabei ist die reelle Zahl r = √ a2 + b2 (3.21) der Betrag |z| der komplexen Zahl z = a+ i b und die reelle Zahl x der (entgegen dem Uhrzeigersinn) gemessene Winkel im Bogenmaß in der Gaußschen Zahlenebene, der von der positiven reellen Achse Re und der Strecke vom Ursprung (0, 0) zur komplexen Zahl z eingeschlossen wird. Bei x handelt es sich somit um die Länge des Kreisbogens auf dem Einheitskreis (d. h. dem Kreis mit Radius 1 um den Ursprung (0, 0)) zwischen reeller Achse Re und der Strecke vom Ursprung (0, 0) zur komplexen Zahl z (vgl. Abbildung 3.15). Da ein Kreis mit dem Radius 1 den Umfang 2π besitzt, gilt zwischen dem Winkel x im Bogenmaß und dem zugehörigen Winkel ϕ im Gradmaß die wichtige Beziehung ϕ = x 2π 360◦ bzw. x = ϕ 360◦ 2π. ϕ Re Im i 10 z = a + i b r = |z | x Abb. 3.15: Die komplexe Zahl z = a+ i b und ihre Polarkoordinaten r und x Offensichtlich besteht zwischen den kartesischen Koordinaten (a, b) und den Polarkoordinaten (r, x) einer komplexen Zahl z = 0 der trigonometrische Zusammenhang cos(x) = a r = a√ a2 + b2 und sin(x) = b r = b√ a2 + b2 (3.22) (für die Definition von Sinus und Kosinus siehe Abschnitt 5.1). Daraus erhält man unmittelbar für die komplexe Zahl z = a + i b die trigonometrische Darstellung (Polarform) z = r cos(x)+ i r sin(x), (3.23) wobei z = 0 wegen r = |z| = 0 ein beliebiger Winkel x zugeordnet wird. Der Winkel x wird auch Argument oder Phase von z genannt und man schreibt x = arg(z). Die Phase x ist jedoch nicht eindeutig festgelegt. Denn aufgrund von sin(x) = sin(x + 2kπ) und cos(x) = cos(x + 2kπ) (3.24) für alle k ∈ Z wird x und x+2kπ für alle k ∈ Z durch (3.23) die gleiche komplexe Zahl z zugeordnet. In der Regel wählt man daher die Phase x von z so, dass −π < x ≤ π 58 Kapitel 33.6 Zahlenbereich C gilt. Der Wert x wird dann Hauptargument von z genannt und man schreibt x = Arg(z). In der Regel wird bei der Angabe der Polarkoordinaten (r, x) einer komplexen Zahl z = a + i b = 0 für x das Hauptargument x gewählt. Das Argument x ist dann eindeutig bestimmt und gegeben durch x = Arg(z) = { arccos ( a r ) für b ≥ 0 − arccos ( a r ) für b < 0 . (3.25) Umgekehrt lassen sich der Realteil a und der Imaginärteil b einer komplexen Zahl z = a+ i b mit (3.22) aus den Polarkoordinaten (r, x) berechnen: a = r cos(x) und b = r sin(x) Das heißt, zwischen den kartesischen Koordinaten (a, b) und den Polarkoordinaten (r, x) einer komplexen Zahl z = a + i b = reix besteht die Beziehung (a, b) = (r cos(x), r sin(x)), wobei x das Hauptargument von z ist. Eulersche Formel L. Euler Einer der Gründe für die große Bedeutung der Menge C der komplexen Zahlen liegt darin begründet, dass sie einen Zusammenhang zwischen Sinus und Kosinus sin(x) bzw. cos(x) (vgl. Abschnitt 5.1) auf der einen Seite und den Potenzen ex der Eulerschen Zahl e (vgl. Abschnitt 11.44) auf der anderen Seite herstellt. Dieser Zusammenhang wird durch die nach dem schweizer Mathematiker Leonhard Euler (1707–1783) benannte Eulersche Formel ausgedrückt: Satz 3.15 (Eulersche Formel) Für alle x ∈ R gilt eix = cos(x)+ i sin(x). (3.26) Beweis: Der Beweis ergibt sich durch eine Taylor-Reihenentwicklung der Funktionen ex , sin(x) und cos(x) (siehe hierzu die Beispiele 17.10a) und 17.11). Bei eix handelt es sich somit um eine komplexe Zahl, welche die kartesischen Koordinaten (cos(x), sin(x)) besitzt. Sie liegt damit in der Gaußschen Zahlenebene auf der Einheitskreislinie (vgl. Abbildung 3.16). Re Im z = eix = cos( x ) + i sin(x ) 1 i si n( x ) cos(x ) x Abb. 3.16: Die komplexe Zahl z = eix auf der Einheitskreislinie Mathematical Intelligencer Wegen cos(π) = −1 und sin(π) =0 erhält man mit (3.26) für das Argument x = π die bemerkenswerte Formel eiπ + 1 = 0, die als Eulersche Identität bekannt ist. Bei einer Umfrage der Zeitschrift The Mathematical Intelligencer im Jahre 1988 wurde diese Formel zur „schönsten Formel der Welt“ gewählt (vgl. Mathematical Intelligencer [45]). Sie stellt einen verblüffend eleganten Zusammenhang zwischen fünf der bedeutendsten Zahlen her: Der Eulerschen Zahl e, der imaginären Einheit i, der Kreiszahl π sowie den Zahlen 0 und 1. Mit der Eulerschen Formel (3.26) und der Polarform (3.23) erhält man für eine komplexe Zahl zmit den Polarkoordinaten (r, x) die exponentielle Darstellung z = reix . (3.27) 59 Kapitel 3 Zahlenbereiche und Rechengesetze Mit (3.24) folgt, dass die Periodizität z = reix = rei(x+2kπ) (3.28) für alle k ∈ Z gilt. Im Vergleich zu den Darstellungen z = a + i b und (3.23) ist die exponentielle Darstellung (3.27) z. B. für die Ausführung von Multiplikation und Division von komplexen Zahlen besser geeignet. Denn wie man zeigen kann, gelten die von den reellen Zahlen bekannten Rechengesetze für Potenzen auch für die komplexen Zahlen eix . Damit erhält man z1z2 = r1eix1 · r2eix2 = r1r2ei(x1+x2), z1 z2 = r1e ix1 r2eix2 = r1 r2 ei(x1−x2) für z2 = 0, zn = (reix)n = rneinx für n ∈ N0, eix = e−ix . Bei der Multiplikation zweier komplexer Zahlen r1eix1 und r2e ix2 multiplizieren sich somit die Beträge r1 und r2 und addieren sich die Argumente x1 und x2. Anschaulich entspricht dies einer Drehstreckung in der Gaußschen Zahlenebene. Dagegen werden bei der Division zweier komplexer Zahlen die Beträge r1 und r2 dividiert und die Argumente x1 und x2 subtrahiert (vgl. Abbildung 3.17). ϕ1 + ϕ2 ϕ2 ϕ1 Re Im z1 = r 1eix 1 z2 = r 2eix 2 z1z2 = r 1r 2ei (x 1 + x 2 ) 1 i Abb. 3.17: Multiplikation komplexer Zahlen z1 = r1eix1 und z2 = r2eix2 durch Multiplikation der Beträge r1 und r2 und Addition der Argumente x1 und x2 Formeln von de Moivre A. de Moivre Mit ( reix )n = rneinx und der Eulerschen Formel (3.26) erhält man (cos(x)+ i sin(x))n = (eix)n = einx = cos(nx)+ i sin(nx) für alle x ∈ R und n ∈ N0. Der Zusammenhang (cos(x)+ i sin(x))n = cos(nx)+ i sin(nx) für alle x ∈ R und n ∈ N wird nach dem französischen Mathematiker Abraham de Moivre (1667–1754) als Formel von de Moivre bezeichnet. Die Abbildung 3.18 zeigt für die kartesischen Koordinaten (a, b) einiger ausgewählter komplexer Zahlen z = a + i b die Polarkoordinaten (r, x) der zugehörigen exponentiellen Darstellung z = reix mit r = 1. Beispiel 3.16 (Rechnen mit komplexen Zahlen) a) Gegeben seien die beiden komplexen Zahlen z1 = 1 + i und z2 = 1 + √ 3 i. Für die Polarkoordinaten von z1 und z2 erhält man mit (3.21) und (3.25): r1 = √ 12 + 12 = √2 und x1 = arccos ( 1√ 2 ) = π 4 bzw. r2 = √ 12 + (√ 3 )2 = 2 und x2 = arccos ( 1 2 ) = π 3 Die exponentielle Darstellung von z1 und z2 lautet somit z1 = √ 2ei π 4 bzw. z2 = 2ei π3 . Damit erhält man z. B. für das Produkt z21z 3 2 die exponentielle Darstellung 60 Kapitel 33.6 Zahlenbereich C Re Im 0◦ 30◦ 60◦ 90◦ 120◦ 150◦ 180◦ 210◦ 240◦ 270◦ 300◦ 330◦ 360◦ π 6 π 4 π 3 π 2 2π 3 3π 4 5π 6 π 7π 6 5π 4 4π 3 3π 2 5π 3 7π 4 11π 6 2π (√ 3 2 , 1 2 ) (√ 2 2 , √ 2 2 ) ( 1 2 , √ 3 2 ) ( − √ 3 2 , 1 2 ) ( − √ 2 2 , √ 2 2 ) ( −12 , √ 3 2 ) ( − √ 3 2 ,−12 ) ( − √ 2 2 ,− √ 2 2 ) ( −12 ,− √ 3 2 ) (√ 3 2 ,−12 ) (√ 2 2 ,− √ 2 2 ) ( 1 2 ,− √ 3 2 ) (−1, 0) (1, 0) (0,−1) (0, 1) C Abb. 3.18: Zusammenhang zwischen den kartesischen Koordinaten (a, b) und den entsprechenden Polarkoordinaten (r, x) einer komplexen Zahl z = a + i b = reix mit r = 1 z21z 3 2 = (√ 2ei π 4 )2 ( 2ei π 3 )3 = 24ei ( 1 2 +1 ) π = 16ei 3π2 = −16 i. b) Gegeben seien die beiden komplexen Zahlen z1 = −2√3 − 2 i und z2 = −1 + √ 3 i. Für die Polarkoordinaten von z1 und z2 erhält man mit (3.21) und (3.25): r1 = √( −2√3 )2 + (−2)2 = 4 und x1 = − arccos ( − √ 3 2 ) = −5 6 π bzw. r2 = √ (−1)2 + (√ 3 )2 = 2 und x2 = arccos ( −1 2 ) = 2 3 π Die exponentielle Darstellung von z1 und z2 lautet somit z1 = 4e−i 56 π bzw. z2 = 2ei 23 π . Damit erhält man z. B. für das Produkt z1z2 und den Quotienten z12z2 die exponentielle Darstellung z1z2 = ( 4e−i 5 6 π ) ( 2ei 2 3 π ) = 8e−i π6 = 8 ( cos ( −π 6 ) + i sin ( −π 6 )) = 4√3 − 4 i, z1 2z2 = 4e −i 56 π 4ei 2 3 π = e−i 32 π = ei π2 = i. 61 Kapitel 3 Zahlenbereiche und Rechengesetze c) Es sei 1+i1−i zu berechnen. Mit (3.21) und (3.25) erhält man für den Zähler und den Nenner die exponentielle Darstellung 1 + i = √2ei π4 bzw. 1 − i = √2e−i π4 . Das heißt, es gilt 1 + i 1 − i = √ 2ei π 4√ 2e−i π 4 = ei π2 = i. d) Es sei (1 + i)5 zu berechnen. Mit 1 + i = √2ei π4 (vgl. Beispiel c)) erhält man (1 + i)5 = (√ 2ei π 4 )5 = (√ 2 )5 ei 5 4 π = 4√2 ( cos ( 5 4 π ) + i sin ( 5 4 π )) = 4√2 ( − √ 2 2 − √ 2 2 i ) = −4(1 + i). Komplexe Wurzeln Es sei z eine beliebige komplexe Zahl. Dann heißt jede komplexe Zahl w mit der Eigenschaft wn = z (3.29) n-te Wurzel von z. Setzt man z = reix und w = Reiy , dann erhält man für die Gleichung (3.29) die Darstellung Rneiny = reix . Daraus folgt unmittelbar für den Betrag der n-ten Wurzel w R = n√r. Bei Berücksichtigung der Periodizität (3.28) erhält man, dass für das Argument y der n-ten Wurzel w ny = x + 2kπ bzw. y = x n + k 2π n mit k ∈ Z gelten muss. Aufgrund der Periodizität (3.28) gibt es somit genau n verschiedene n-te Wurzeln. Diese erhält man z. B. für k = 0, 1, . . . , n− 1 und sie sind gegeben durch wk := n √ r e i ( x n+k 2πn ) . (3.30) Die für k = 0 resultierende Wurzel, d. h. w0 := n√r ei xn , wird als Hauptwert bezeichnet. Damit erhält man über der Menge C der komplexen Zahlen für die n-te Wurzel n √ z genau n verschiedene Werte. In der Gaußschen Zahlenebene liegen diese Werte auf einem Kreis um den Ursprung (0, 0) mit dem Radius n √ r und bilden ein regelmäßiges n-Eck (vgl. auch Abbildung (3.19)). Diese Eigenschaft von C stellt einen großen Unterschied zu der Menge R der reellen Zahlen dar, da man über der Menge R für n √ a mit a ≥ 0 nur einen Wert (n ungerade) oder zwei Werte (n gerade) erhält. Beispiel 3.17 (Berechnung der n-ten Wurzel) Zu berechnen sei die 5-te Wurzel der komplexen Zahl i. Da die komplexe Zahl i die exponentielle Darstellung i = ei π2 besitzt (d. h. hier ist r = 1 und x = π2 ), erhält man mit (3.30) für die 5-te Wurzel von i, d. h. für 5 √ i, die fünf Lösungen w0 = ei π10 , w1 = ei 510 π , w2 = ei 910 π , w3 = ei 1310 π , w4 = ei 1710 π . Damit schließen die fünf 5-ten Wurzeln von i mit der reellen Achse die Winkel 18◦, 90◦, 162◦, 234◦ und 306◦ ein (siehe auch Abbildung (3.19)). Setzt man z = 1 in (3.29), dann erhält man die Gleichung wn = 1. Die n Lösungen dieser Gleichung werden als die n-ten Einheitswurzeln bezeichnet und sind wegen 1 = ei0, d. h. r = 1 und x = 0, gegeben durch wk = eik 2πn (3.31) für k = 0, 1, . . . , n− 1 (vgl. (3.30)). Ist n eine gerade Zahl, dann sind für k = 0 und k = n2 die reellen Zahlen 1 und−1 unter diesen Werten. Ist n ungerade, so ist für k = 0 die reelle Wurzel 1 wieder eine Lösung, aber −1 ist in diesem Fall keine n-te Einheitswurzel. 62 Kapitel 33.7 Mächtigkeit von Mengen Re Im 1 i w0 w1 w2 w3 w4 Abb. 3.19: Die fünf 5-ten Wurzeln 5 √ i Mit (3.30) erhält man die Zerlegung wk = n √ r e i ( x n+k 2πn ) = n√r ei xn · eik 2πn = w0 · eik 2πn für k = 0, 1, . . . , n − 1. Zusammen mit (3.31) folgt daraus, dass man alle n-ten Wurzeln w0, . . . , wn−1 einer komplexen Zahl z erhält, wenn man den Hauptwertw0 nacheinander mit den n n-ten Einheitswurzeln multipliziert. Anschaulich bedeutet dies, dass die n-ten Wurzeln w1, . . . , wn−1 in der Gaußschen Zahlenebene durch wiederholtes Drehen des Hauptwerts w0 um den Ursprung (0, 0) und Winkel 2πn aus w0 hervorgehen. 3.7 Mächtigkeit von Mengen In Kapitel 2 wurden eine ganze Reihe von Mengen betrachtet, die endlich viele Elemente besitzen und deshalb als endliche Mengen bezeichnet werden. Dagegen handelt es sich bei den in den vorhergehenden Abschnitten dieses Kapitels betrachteten Zahlenbereichen N,N0,Z,Q, I,R,R+,R und C um Mengen, die nicht aus endlich vielen Elementen bestehen und deshalb als unendliche Mengen bezeichnet werden (vgl. Definition 2.2). Die Größe zweier endlicher Mengen M und N kann leicht anhand der Anzahl ihrer Elemente |M| bzw. |N | verglichen werden. Zum Beispiel besagt die Ungleichung |N | > |M|, dass die Menge N in dem Sinne größer als die Menge M ist, dass sie mehr Elemente besitzt. Auch wurde in Satz 2.9 für die Potenzmenge P(M) einer endlichen Menge M mit |M| = n Elementen nachgewiesen, dass |P(M)| = 2n gilt. Demnach gilt für eine endliche Menge stets |P(M)| > |M|. Mit anderen Worten: Die Potenzmenge P(M) einer endlichen Menge M ist bezüglich der Anzahl der Elemente immer größer als die Menge M selbst. Für den Vergleich der Größe zweier unendlicher Mengen ist jedoch die Anzahl der Elemente kein geeignetes Kriterium. Denn die Menge N ist z. B. eine echte Teilmenge von R und dennoch gilt |N| = |R| = ∞. Um jedoch auch unendliche Mengen vergleichen und damit klassifizieren zu können, wird das für endliche Mengen verwendete Zählen von Elementen auf unendliche Mengen verallgemeinert. Dies geschieht durch das Konzept der Gleichmächtigkeit von Mengen, das im Spezialfall einer endlichen Menge mit dem Zählen der Elemente einer Menge übereinstimmt. Gleichmächtige Mengen Das Konzept der Gleichmächtigkeit zweier Mengen ist wie folgt definiert: Definition 3.18 (Mächtigkeit einer Menge) Zwei Mengen M und N besitzen die gleiche Mächtigkeit bzw. heißen gleichmächtig, wenn jedem Element m ∈ M genau ein Element n ∈ N zugeordnet werden kann und umgekehrt. Man schreibt dann M glm N . Durch diese Definition entstehen Klassen von Mengen gleicher Mächtigkeit, die durch den Mächtigkeitstyp, die sogenannte Kardinalzahl (oder Kardinalität), charakterisiert sind. Offensichtlich sind zwei endliche Mengen M und N genau dann gemäß Definition 3.18 gleichmächtig, wenn sie gleich viele Elemente besitzen, also |M| = |N | = n 63 Kapitel 3 Zahlenbereiche und Rechengesetze für ein n ∈ N gilt. Für eine endliche Menge ist daher die Mächtigkeit gleich der Anzahl ihrer Elemente (vgl. Abbildung 3.20). Zum Beispiel sind die drei Mengen M1 = {gelb, blau, rot} , M2 = {√ 5, √ 6, √ 7 } , M3 = {{1} , {2} , ∅} gleichmächtig und besitzen die Mächtigkeit 3. Das heißt, sie gehören zur Klasse der dreielementigen Mengen. M N Abb. 3.20: Zwei gleichmächtige endliche Mengen M und N Für zwei unendliche gleichmächtige Mengen M und N muss jedoch nicht gelten, dass sie gleich viele Elemente besitzen. Zum Beispiel sind die beiden unendlichen Mengen N und N0 = N∪{0} gleichmächtig. Denn zwischen den Elementen von N und den Elementen von N0 existiert eine umkehrbar eindeutige Zuordnung (siehe Abbildung 3.21). N0 N n ←→ n+ 1 0 ←→ 1 1 ←→ 2 2 ←→ 3 3 ←→ 4 . . . . . . Abb. 3.21: Umkehrbar eindeutige Zuordnung zwischen den Elementen von N0 und den Elementen von N Wegen 0 ∈ N und 0 ∈ N0, ist die Menge N aber auch eine echte Teilmenge von N0. Demnach gilt: N ⊂ N0 Abzählbar und überabzählbar unendliche Mengen Bei unendlichen Mengen unterscheidet man zwischen abzählbar unendlichen Mengen und überabzählbar unendlichen Mengen: Definition 3.19 (Abzählbar und überabzählbar unendliche Mengen) Eine unendliche Menge M heißt abzählbar unendlich, falls M gleichmächtig zur Menge N der natürlichen Zahlen ist. Ist die unendliche Menge M nicht gleichmächtig zur Menge N, dann heißt sie überabzählbar unendlich. Eine abzählbar unendliche Menge M besitzt somit die Eigenschaft, dass jedem Element m aus M genau eine natürliche Zahl n zugeordnet werden kann und umgekehrt. Mit anderen Worten: Die Elemente von M lassen sich mit Hilfe der natürlichen Zahlen durchnummerieren. Damit lassen sich die Elemente einer abzählbar unendlichen Menge – natürlich unendlich viel Zeit vorausgesetzt – abzählen, oder äquivalent dazu, nacheinander aufschreiben ohne dabei auch nur ein Element auszulassen. Überabzählbar unendliche Mengen sind dagegen viel größer. Sie lassen sich nicht durchnummerieren, abzählen oder nacheinander aufschreiben, da bei einem solchen Vorgang unweigerlich immer Elemente der Menge ausgelassen werden. Die Unterscheidung zwischen abzählbar unendlichen und überabzählbar unendlichen Mengen ist nicht nur von rein akademischer Bedeutung, wie es vielleicht auf den ersten Blick erscheinen mag. Sie ist auch in verschiedenen praxisnahen Bereichen von Relevanz. So wird man in der Optionspreistheorie, Statistik, Ökonometrie usw. immer wieder mit dieser wichtigen Unterscheidung konfrontiert. Darüber hinaus basiert die Notwendigkeit einer Abgrenzung zwischen diskreten und stetigen Zufallsvariablen in der Stochastik gerade auf diesem Unterschied. Oft werden endliche und abzählbar unendliche Mengen unter dem Sammelbegriff höchstens abzählbar unendliche Mengen zusammengefasst. Beispiel 3.20 (Abzählbar unendliche Mengen) a) Die Menge N ist offensichtlich gleichmächtig zu sich selbst und damit nach Definition 3.19 abzählbar unendlich. b) Die Menge N0 ist gleichmächtig zu N (siehe Abbildung 3.21) und damit abzählbar unendlich. c) Die Menge P := {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, . . .} der Primzahlen ist ebenfalls abzählbar unendlich. Denn 64 Kapitel 33.7 Mächtigkeit von Mengen einerseits ist P eine Teilmenge der Menge N der natürlichen Zahlen und andererseits ist P nach dem Satz von Euklid unendlich (siehe Beispiel 1.27b)). d) Die Menge Z der ganzen Zahlen ist gleichmächtig zu N und damit abzählbar unendlich. Denn zwischen den Elementen von N und den Elementen von Z existiert die folgende umkehrbar eindeutige Zuordnung: Z N − n−12 ←→ n ungerade n 2 ←→ n gerade 0 ←→ 1 1 ←→ 2 −1 ←→ 3 2 ←→ 4 −2 ←→ 5 ... ... Die Beispiele 3.20b), c) und d) zeigen, dass sowohl echte Teilmengen einer unendlichen Menge als auch echte Obermengen einer unendlichen Menge dieselbe Mächtigkeit besitzen können wie die Ausgangsmenge. Dies ist ein starker Gegensatz zu endlichen Mengen. Bei endlichen Mengen besitzen echte Teilmengen immer eine kleinere und echte Obermengen immer eine größere Mächtigkeit (Kardinalzahl) als die Ausgangsmenge. Aufgrund mangelnder Erfahrung im Umgang mit unendlichen Mengen widersprechen die Eigenschaften unendlicher Mengen oft der natürlichen Intuition und weisen teilweise einen verblüffenden, wenn nicht sogar paradoxen, Charakter auf. Dies wird z. B. durch das von dem deutschen Mathematiker David Hilbert (1862–1943) erdachte Gedankenexperiment, das unter dem Namen Hilberts Hotel bekannt ist, eindrucksvoll veranschaulicht. Beispiel 3.21 (Hilberts Hotel) In Hilberts Hotel gibt es abzählbar unendlich viele Zimmer, die bereits alle durch Gäste belegt sind. Dennoch ist es möglich durch Umbelegung der bereits vorhandenen Gäste noch für endlich viele, ja sogar für abzählbar unendlich viele Gäste Platz zu schaffen. Dazu wird der Gast von Zimmer 1 in das Zimmer 2, der Gast von Zimmer 2 in Zimmer 4, der Gast von Zimmer 3 in Zimmer 6 usw. verlegt. Auf diese Weise werden alle Zimmer mit einer ungeraden Nummer frei. Dies ist jedoch eine abzählbar unendliche Anzahl von Zimmern, da ja nach Beispiel 3.20c) bereits die Menge der Primzahlen abzählbar unendlich ist. Die abzählbar unendlich vielen neu hinzukommenden Gäste können somit problemlos in Hilberts Hotel untergebracht werden. Benötigt jedoch die Umlegung eines Gastes in ein anderes Zimmer auch nur eine Sekunde, dann würde dieser Vorgang unendlich lange dauern. Dies ist nur eine der vielen verblüffenden Schlussfolgerungen, die beim Umgang mit unendlichen Mengen entstehen können. Abzählbarkeit von Q G. Cantor Der folgende verblüffende Satz wurde erstmals 1867 von dem deutschen Mathematiker Georg Cantor (1845–1918) mit Hilfe des nach ihm benannten ersten Cantorschen Diagonalarguments bewiesen. Der Satz besagt, dass auch die Menge Q der rationalen Zahlen gleichmächtig zur Menge N der natürlichen Zahlen und damit ebenfalls eine abzählbar unendliche Menge ist. Da dieses Ergebnis der menschlichen Intuition stark widerspricht und deshalb sehr überraschend ist, wurde es im Juli 1999 von den beiden Mathematikern Paul und Jack Abad auf Platz 3 der 100 wichtigsten mathematischen Sätze gewählt (vgl. auch Beispiel 1.27c)). Satz 3.22 (Abzählbarkeit von Q) Die Menge Q der rationalen Zahlen ist abzählbar unendlich. Beweis: Der Beweis erfolgt mit dem ersten Cantorschen Diagonalargument. Dabei werden die positiven rationalen Zahlen p q mit p, q ∈ N in einem zweidimensionalen Schema wie folgt angeordnet: 65 Kapitel 3 Zahlenbereiche und Rechengesetze 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 . . . 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 . . . 3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 . . . 4 1 4 2 4 3 4 4 4 5 . . . 5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dieses Schema wird diagonal durchlaufen (abgezählt), wobei die nicht gekürzten Brüche (in rot angegeben) übersprungen werden. Man erhält dann: 1 → 2 5 → 6 11 → ↙ ↗ ↙ ↗ 3 — 7 — 25 . . .↓ ↗ ↙ ↗ 4 8 — 34 3 5 . . .↙ ↗ 9 — 43 4 4 4 5 . . .↓ ↗ 10 52 5 3 5 4 5 5 . . . Auf diese Weise erhält man die folgende Abzählung der Menge der positiven rationalen Zahlen: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 . . . ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ . . . 1 12 2 3 1 3 1 4 2 3 3 2 4 5 1 5 1 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 . . . Um die Gleichmächtigkeit von Q und N zu zeigen, erweitert man diese Abzählung der Menge der positiven rationalen Zahlen um die 0 und die negativen rationalen Zahlen. Man erhält dann: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 . . . ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ . . . 0 1 −1 12 − 12 2 −2 3 −3 13 − 13 14 − 14 23 − 23 32 − 32 . . . Dies zeigt, dass die beiden Mengen Q und N gleichmächtig sind und somit die Menge Q der rationalen Zahlen abzählbar ist. Die Aussage von Satz 3.22 ist bereits mehr als verblüffend. Dennoch lässt sich dieses Resultat noch beträchtlich verstärken, da sogar jede Vereinigung höchstens abzählbar unendlich vieler Mengen, die selbst jeweils höchstens abzählbar unendlich sind, wieder höchstens abzählbar unendlich ist. Denn betrachtet man mit M1 := {m11, m12, m13, . . .} , M2 := {m21, m22, m23, . . .} , M3 := {m31, m32, m33, . . .} , . . . höchstens abzählbar unendlich viele Mengen, die jeweils höchstens abzählbar unendlich viele Elemente enthalten, dann können die Elemente mij der Vereinigungsmenge ⋃ i≥1 Mi völlig analog zu den Elementen der Menge Q der rationalen Zahlen in einem solchen Schema m11 m12 m13 m14 . . . m21 m22 m23 m24 . . . m31 m32 m33 m34 . . . m41 m42 m43 m44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . angeordnet und damit auch abgezählt werden (vgl. Beweis von Satz 3.22). Diese Ergebnisse zeigen, dass eine Menge selbst dann abzählbar unendlich sein kann, wenn sich ihre Struktur sehr stark von der Menge N der natürlichen Zahlen unterscheidet. Diese Beobachtung könnte nun zur Vermutung verleiten, dass nicht nur alle endlichen Mengen, sondern auch alle unendlichen Mengen abgezählt werden können und es somit keine Abstufungen im Unendlichen gibt. Der folgende Satz 3.23 zeigt jedoch, dass eine solche Annahme falsch wäre. Überabzählbarkeit von R und I Das folgende Resultat wurde 1877 von Cantor mit Hilfe des sogenannten zweiten Cantorschen Diagonalarguments bewiesen und zeigt, dass es im Unendlichen durchaus Abstufungen gibt. Denn es besagt, dass die Menge (0, 1] – und damit insbesondere auch R – überabzählbar unendlich ist. Demnach gibt es Mengen, die nicht abgezählt werden können, weil sie zu viele Elemente enthalten. Diese bedeutende Erkenntnis belegt in der Liste der 100 wichtigsten mathematischen Sätze von Paul und Jack Abad immerhin einen respektablen 22. Platz. Satz 3.23 (Überabzählbarkeit von R) Das Intervall (0, 1] und die Menge R der reellen Zahlen sind überabzählbar unendlich. Beweis: Der Beweis der Überabzählbarkeit von (0, 1] erfolgt durch Widerspruch mit Hilfe des zweiten Cantorschen Diagonalarguments. Dabei werden die reellen Zahlen x ∈ (0, 1] in ihrer Dezimalbruchentwicklung (vgl. Abschnitt 3.5) betrachtet und es wird angenommen, dass die Menge (0, 1] abzählbar unendlich ist. Dann lassen sich alle Zahlen x1, x2, x3, . . . aus (0, 1] 66 Kapitel 33.7 Mächtigkeit von Mengen wie folgt untereinanderschreiben: x1 = 0,a11a12a13a14 . . . x2 = 0,a21a22a23a24 . . . x3 = 0,a31a32a33a34 . . . x4 = 0,a41a42a43a44 . . . x5 = . . . . . . (3.32) Aus den Diagonalelementen ann wird nun durch zn := { 1 für ann = 2 2 für ann = 2 für alle n ∈ N eine neue reelle Zahl z = 0,z1z2z3 . . . aus (0, 1] konstruiert. Für die so konstruierte Zahl z gilt dann offensichtlich z = xn für alle n ∈ N. Damit unterscheidet sich die Zahl z ∈ (0, 1] von allen Zahlen x1, x2, x3, . . . in der Aufzählung (3.32) in mindestens einer Dezimalstelle. Dies stellt jedoch einen Widerspruch zu der Annahme dar, dass die Menge (0, 1] abzählbar unendlich ist und die Aufzählung damit alle Zahlen x1, x2, . . . aus (0, 1] enthält. Da (0, 1] ⊂ R gilt, ist mit (0, 1] auch die Menge R der reellen Zahlen überabzählbar unendlich. Eine Menge, die gleichmächtig zu der Menge R der reellen Zahlen ist, wird häufig als Kontinuum bezeichnet. Mit Hilfe des Satzes 3.23 kann leicht gezeigt werden, dass für a < b jedes offene Intervall (a, b), jedes rechts- oder linksseitig offene Intervall (a, b] bzw. [a, b) und auch jedes abgeschlossene Intervall [a, b] überabzählbar unendlich ist. Ferner erhält man nun auch, dass die Menge I der irrationalen Zahlen überabzählbar unendlich und damit viel größer als die Menge Q der rationalen Zahlen ist: Folgerung 3.24 (Überabzählbarkeit von I) Die Menge I der irrationalen Zahlen ist überabzählbar unendlich. Beweis: Angenommen die Menge I wäre höchstens abzählbar unendlich, dann wäre auch die Menge R = Q ∪ I als Vereinigung zweier höchstens abzählbar unendlicher Mengen selbst wieder höchstens abzählbar unendlich (vgl. Ausführungen nach Satz 3.22). Dies wäre jedoch ein Widerspruch zur Aussage von Satz 3.23. Somit ist die Menge I der irrationalen Zahlen analog zu der Menge R der reellen Zahlen überabzählbar unendlich. In Satz 2.9 wurde gezeigt, dass die Potenzmenge P(M) einer endlichen Menge M mit n Elementen genau 2n Elemente besitzt. Damit besitzt die Potenzmenge P(M) einer endlichen Menge M eine größere Mächtigkeit als die Menge M selbst. Mit Hilfe einer Verallgemeinerung des zweiten Cantorschen Diagonalarguments kann gezeigt werden, dass dies auch für unendliche Mengen gilt. Die Potenzmenge P(M) einer beliebigen Menge M besitzt also stets eine größere Mächtigkeit als die Menge M . Dieses Ergebnis ist als Satz von Cantor bekannt und führt zur erstaunlichen Einsicht, dass – etwas journalistisch ausgedrückt – unendlich viele Abstufungen im Unendlichen, also unendlich viele verschieden große Unendlichkeiten existieren. Nach der von Cantor formulierten Kontinuumshypothese gibt es jedoch keine überabzählbar unendliche Teilmenge der Menge R der reellen Zahlen, die in ihrer Mächtigkeit echt kleiner ist als die Menge der reellen Zahlen. Mit anderen Worten: Es gibt keine Menge, deren Mächtigkeit zwischen abzählbar unendlich (Mächtigkeit von N) und überabzählbar unendlich (Mächtigkeit von R) liegt. D. Hilbert In der berühmten Liste von 23 ungelösten mathematischen Problemen, die der bedeutende Mathematiker David Hilbert (1862– 1943) am Internationalen Mathematikerkongress 1900 in Paris vortrug, steht die Frage, ob die Kontinuumshypothese wahr oder falsch ist, an erster Stelle. Mittlerweile ist dieses mathematische Problem jedoch gelöst worden, wenn auch in einem anderen Sinne als es Hilbert erwartet hatte. Denn zum einen hat der österreichisch-amerikanische Mathematiker Kurt Gödel (1906–1978) im Jahre 1938 bewiesen, dass die Kontinuumshypothese im Rahmen der üblichen Axiomensysteme der Mengenlehre nicht widerlegt werden kann, und auf der anderen Seite hat der US-amerikanische Mathematiker Paul Cohen (1934–2007) nachgewiesen, dass die Kontinuumshypothese im Rahmen der üblichen Axiomensysteme auch nicht zu beweisen ist. 67 Kapitel 3 Zahlenbereiche und Rechengesetze K. Gödel Demnach kann der Kontinuumshypothese im Rahmen der Standardaxiome der Mengenlehre keiner der beiden Wahrheitswerte w oder f zugewiesen werden. Anders ausgedrückt: Sie kann – ebenso gut wie ihre Negation – als neues Axiom verwendet werden. Die Kontinuumshypothese ist damit das erste relevante Beispiel für den Gödelschen Unvollständigkeitssatz, welcher auf der Liste der 100 wichtigsten mathematischen Sätze von Paul und Jack Abad den 6. Platz belegt und im Wesentlichen besagt, dass es in jedem hinreichend mächtigen System (wie z. B. der Arithmetik oder der Mengenlehre) stets Aussagen gibt, die man weder beweisen noch widerlegen kann. Im Jahre 1966 erhielt Cohen für seine bemerkenswerte mathematische Leistung mit der Fields-Medaille die höchste Auszeichnung, die man als Mathematiker bekommen kann und die als gleichrangiger Ersatz für einen nicht existierenden Nobelpreis für Mathematik angesehen wird. Fields-Medaille Einer historisch nicht belegten Anekdote zufolge, wurde der Stifter des Nobelpreises, der schwedische Chemiker und Erfinder Alfred Nobel (1833–1896), einst von seiner Verehrten zugunsten eines Mathematikprofessors zurückgewiesen, weshalb er in seiner Verbitterung darüber einen bereits geplanten Nobelpreis für Mathematik nachträglich aus seinem Testament gestrichen haben soll. 68

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References

Zusammenfassung

"uneingeschränkt zu empfehlen, [...] insbesondere als Einstiegslektüre im Bachelor-Studium". In: Studium, 2013.

So zentral die Rolle der Mathematik in der Ökonomie ist, so schwer tun sich die Studierenden mit mathematischen Methoden und Konzepten. Umso wichtiger ist es, die Studierenden bei ihrem aktuellen Wissensstand abzuholen und vorsichtig an den Stoff heranzuführen. Diesem Ziel verschreibt sich dieses Lehrbuch. Es führt mit vielen interessanten Beispielen aus der Ökonomie, kurzen Anekdoten und einem modernen mehrfarbigen Design in die zentralen mathematischen Methoden für ein erfolgreiches Wirtschaftsstudium ein, ohne dabei auf mathematische Klarheit sowie die notwendige Formalität und Stringenz zu verzichten. Auch nach dem Studium ist dieses Buch ein wertvoller Begleiter bei der mathematischen Lösung wirtschaftswissenschaftlicher Problemstellungen.

Aus dem Inhalt:

* Mathematische Grundlagen

* Lineare Algebra

* Matrizentheorie

* Folgen und Reihen

* Reellwertige Funktionen in einer und mehreren Variablen

* Differential- und Integralrechnung

* Optimierung mit und ohne Nebenbedingungen

* Numerische Verfahren

Dozenten finden auf der Website zum Buch unter www.vahlen.de zusätzliche Materialien zum Download.

"Indem Sie den Lehrstoff schrittweise aufbereiten und den Leser bei seinem aktuellen Wissenstand abholen, gelingt es ihnen [den Autoren], auch komplexe Zusammenhänge leicht nachvollziehbar zu vermitteln. Geschickt bauen sie immer wieder kurze Anekdoten, historische Ereignisse und überraschende Erkenntnisse in den Text ein". In: Studium, 2013.

Prof. Dr. Michael Merz ist Inhaber des Lehrstuhls für Mathematik und Statistik in den Wirtschaftswissenschaften an der Universität Hamburg. Prof. Dr. Mario V. Wüthrich forscht und lehrt am Department für Mathematik der ETH Zürich.