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12. Reihen in:

Michael Merz, Mario V. Wüthrich

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, page 303 - 329

Die Einführung mit vielen ökonomischen Beispielen

1. Edition 2012, ISBN print: 978-3-8006-4482-7, ISBN online: 978-3-8006-4483-4, https://doi.org/10.15358/9783800644834_303

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Kapitel12 Reihen Kapitel 12 Reihen 12.1 Reihenbegriff Eine bedeutende Klasse von Folgen sind (unendliche) Reihen. Bei Reihen handelt es sich um spezielle Folgen (sn)n∈N0 , bei denen die einzelnen Folgenglieder sn durch die sogenannten Partialsummen sn := n∑ k=0 ak einer Folge (an)n∈N0 gegeben sind. Unendliche Reihen sind ein wichtiges Hilfsmittel der Analysis. Sie spielen z. B. eine bedeutende Rolle bei der Approximation und Darstellung von reellwertigen Funktionen (siehe Abschnitt 17.3) und bei der Definition des Integralbegriffs (siehe Abschnitt 19.2). Auch die Lösung von Differenzenund Differentialgleichungen erfordert oftmals den Umgang mit Reihen. Darüber hinaus stößt man in vielen wirtschaftswissenschaftlichen Anwendungen auf ganz natürliche Art und Weise auf Reihen (vgl. Beispiel 12.7) und viele für ökonomische Anwendungen bedeutende reelle Funktionen, wie z. B. die Exponential-, die Logarithmus-, die Sinus- und die Kosinusfunktion, können erst in ihrer Reihendarstellung vollständig verstanden werden (siehe hierzu die Abschnitte 17.3 und 17.4). Definition 12.1 (Reihe) Für eine Folge (an)n∈N0 heißt für n ∈ N0 die Summe sn := a0 + a1 + . . .+ an = n∑ k=0 ak n-te Partialsumme der Folge (an)n∈N0 und die Folge (sn)n∈N0 der Partialsummen von (an)n∈N0 wird als (unendliche) Reihe bezeichnet. Die reellen Zahlen ak heißen Reihenglieder und für die Reihe (sn)n∈N0 schreibt man – unabhängig davon, ob (sn)n∈N0 konvergiert oder nicht – symbolisch ∞∑ k=0 ak. Eine Reihe ∑∞ k=0 ak sollte nicht einfach als eine „Summe von unendlich vielen Summanden“ aufgefasst werden. Dies würde nämlich fälschlicherweise suggerieren, dass für Reihen die gleichen Rechenregeln wie für endliche Summen gelten. Eine Reihe ist vielmehr nichts anderes als eine neue Schreibweise für eine Folge, nämlich die Folge (sn)n∈N0 der Partialsummen sn. Umgekehrt kann eine beliebige Folge (bn)n∈N0 auch als Reihe aufgefasst werden. Denn setzt man a0 := b0 und ak := bk − bk−1 für alle k ∈ N, dann gilt bn = an + bn−1 = . . . = an + an−1 + . . .+ a0 und damit ist ∑∞ k=0 ak die Folge der Partialsummen (bn)n∈N0 . Das heißt, Reihen und Folgen sind dasselbe nur in unterschiedlicher Gestalt. Bei einer Reihe ∑∞ k=0 ak muss die Indizierung nicht immer bei k = 0 beginnen. Denn bei einigen Anwendungen ist es zweckmäßig, wenn die Summation der Reihenglieder ak erst ab einem Index p ∈ N startet, also die Reihe ∑∞k=p ak betrachtet wird. Gelegentlich kommen bei Reihen auch negative Indizes vor. Wie bei Folgen und endlichen Summen kommt es auch bei Reihen nicht auf die Bezeichnung des Summationsindexes an. Folglich sind die Reihen ∞∑ k=0 ak, ∞∑ i=0 ai, ∞∑ j=0 aj , ∞∑ p=0 ap usw. bedeutungsäquivalent. Beispiel 12.2 (Partialsummen) a) Gegeben sei die Folge (an)n∈N0 mit an := (−1)n für alle n ∈ N0. Dann gilt für die n-te Partialsumme sn := n∑ k=0 (−1)k = { 1 für n ∈ N0 gerade 0 für n ∈ N0 ungerade und die Folge der Partialsummen ist gegeben durch (vgl. Abbildung 12.1, links) 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, . . . b) Gegeben sei die Folge (an)n∈N0 mit an := (−1) n 2n+1 für alle n ∈ N0. Dann gilt für die n-te Partialsumme sn := n∑ k=0 (−1)k 2k + 1 und die Folge der Partialsummen ist gegeben durch (vgl. Abbildung 12.1, rechts) 1, 2 3 , 13 15 , 76 105 , 263 315 , . . . 298 Kapitel 1212.2 Konvergente und divergente Reihen 5 10 15 20 −1 −0.5 0 0.5 1 0 5 10 15 20 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Abb. 12.1: Partialsummen sn = ∑nk=0(−1)k (links) und sn = ∑n k=0 (−1)k 2k+1 (rechts) c) Gegeben sei die Folge (an)n∈N0 mit an := 1n! für alle n ∈ N0. Dann gilt für die n-te Partialsumme sn := n∑ k=0 1 k! und die Folge der Partialsummen ist gegeben durch 1, 2, 5 2 , 8 3 , 65 24 , 163 60 , . . . 12.2 Konvergente und divergente Reihen Analog zu Folgen ist es auch für die Anwendung von Reihen erforderlich, diese auf Konvergenz bzw. Divergenz zu untersuchen. Da es sich jedoch bei Reihen um Folgen in einer etwas anderen Gestalt handelt, erweisen sich dabei die Konzepte und Methoden aus Kapitel 11 als sehr hilfreich. Definition 12.3 (Konvergenz und Divergenz einer Reihe) Eine Reihe ∑∞ k=0 ak konvergiert genau dann gegen s ∈ R, wenn die Folge (sn)n∈N0 ihrer Partialsummen sn gegen s konvergiert. Das heißt, wenn s= lim n→∞ sn gilt. Man schreibt dann s = ∞∑ k=0 ak und sagt, dass die Reihe den Wert (Grenzwert, Summe, Limes) s besitzt. Die Reihe heißt divergent, falls die Folge (sn)n∈N0 divergent ist. Es ist zu beachten, dass entsprechend der beiden Definitionen 12.1 und 12.3 je nach Kontext ∑∞ k=0 ak unabhängig vom Konvergenzverhalten der Folge (sn)n∈N0 ein Symbol für die Folge (sn)n∈N0 der Partialsummen sn ist (vgl. Definition 12.1) oder den Wert der Reihe (sn)n∈N0 bezeichnet, der im Fall konvergenter Reihen existiert bzw. im Fall divergenter Reihen nicht existiert (vgl. Definition 12.3). Diese Doppeldeutigkeit erscheint vielleicht zuerst etwas irritierend, dennoch ist sie nicht weiter problematisch. Denn aus dem konkreten Kontext ist stets ersichtlich, welche der beiden Bedeutungen jeweils zutreffend ist. Bei konvergenten Reihen (sn)n∈N0 ist es in vielen Fällen schwierig oder nahezu unmöglich, ihren exakten Wert s analytisch zu ermitteln. In solchen Fällen müssen numerische Verfahren zur Berechnung von s eingesetzt werden. Mittels sogenannter Konvergenzkriterien kann aber oftmals relativ 299 Kapitel 12 Reihen einfach festgestellt werden, ob eine Reihe konvergiert oder divergiert. Für viele Anwendungen ist dies bereits ausreichend. Wenn man ausdrücken möchte, dass zwei Reihen ∑∞ k=0 ak und ∑∞ k=0 bk konvergieren und denselben Grenzwert besitzen, dann schreibt man ∞∑ k=0 ak = ∞∑ k=0 bk. Dagegen sagt man, dass die beiden Reihen identisch sind, wenn sie gliedweise übereinstimmen. Das heißt, wenn ak = bk für alle k ∈ N0 gilt. Unabhängig davon, ob die beiden Reihen konvergieren oder nicht, schreibt man in diesem Fall ∞∑ k=0 ak ≡ ∞∑ k=0 bk. Um auszudrücken, dass eine konvergente Reihe ∑∞ k=0 ak mit nichtnegativen Gliedern konvergiert, wird in der Literatur häufig die Schreibweise ∑∞ k=0 ak < ∞ verwendet. Denkmal von Abel in Oslo Noch vor ca. 150–200 Jahren wurden divergente Reihen von vielen bekannten Mathematikern verteufelt. So schrieb z. B. der norwegische Mathematiker Niels Henrik Abel (1802–1829) über divergente Reihen: „Divergente Reihen sind eine Erfindung des Teufels.“ Seine Gründe für diese überaus negative Beurteilung waren die Probleme und Widersprüche, die bei der Betrachtung divergenter Reihen auftreten, wenn man ihnen ungerechtfertigterweise einen Grenzwert zuordnet. Zum Beispiel besitzt die Reihe aus Beispiel 12.2a), d. h. die Reihe ∞∑ k=0 (−1)k = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 ± . . . , die Partialsummen s0 = 1, s1 = 0, s2 = 1, s3 = 0, s4 = 1 usw. Die Folge (sn)n∈N0 ist somit nicht konvergent, also die Reihe divergent (vgl. Abbildung 12.1, links). Dennoch wurde in der Vergangenheit – vor der Entwicklung der Theorie konvergenter Folgen und Reihen – dieser Reihe immer wieder und mit unterschiedlicher Begründung der Wert 0 oder 1 zugeordnet. Dabei erschien keiner dieser beiden Werte als eindeutig richtig oder falsch. Denn zwei aufeinanderfolgende Glieder dieser Reihe können auf zwei verschiedene Arten zusammengefasst werden und man erhält dann: 1. Möglichkeit: ∞∑ i=0 (−1)i = 1 − 1︸ ︷︷ ︸ =0 + 1 − 1︸ ︷︷ ︸ =0 + 1 − 1︸ ︷︷ ︸ =0 + . . . 2. Möglichkeit: ∞∑ i=0 (−1)i = 1 + (−1 + 1) ︸ ︷︷ ︸ =0 + (−1 + 1) ︸ ︷︷ ︸ =0 + (−1 + 1) ︸ ︷︷ ︸ =0 + . . . Die erste Möglichkeit diente als Rechtfertigung, der Reihe den Wert s = 0 zuzuordnen, und die zweite Möglichkeit erweckte den Eindruck, dass die Reihe den Wert s = 1 besitzt. G. Grandi Eine dritte Möglichkeit bestand darin, der Reihe als Wert s das arithmetische Mittel 12 der beiden Werte 0 und 1 zuzuordnen. Das heißt, es wurde insbesondere von der Gültigkeit der Beziehung 0 + 0 + 0 + . . . = 1 2 ausgegangen. Dieser Sachverhalt wurde von dem italienischen Mathematiker Guido Grandi (1671–1742) sogar als „Beweis“ dafür betrachtet, dass Gott die Welt aus dem Nichts erschaffen hat. Bei dieser Schlussfolgerung wurde jedoch nicht beachtet, dass sie ausschließlich auf einer ungerechtfertigten Zuweisung eines Grenzwertes für die divergente Reihe ∑∞ k=0(−1)k basiert und sie damit keinerlei – zumindest mathematische – Gültigkeit besitzt. 12.3 Arithmetische und geometrische Reihen Aus der arithmetischen und der geometrischen Folge (vgl. Definition 11.5) erhält man unmittelbar die arithmetische bzw. die geometrische Reihe. Vor allem die geometrische Reihe ist ein wichtiges Hilfsmittel bei der Untersuchung anderer Reihen auf Konvergenz sowie in der Finanzmathematik bei der Berechnung von Zinseszinsen: 300 Kapitel 1212.3 Arithmetische und geometrische Reihen Definition 12.4 (Arithmetische und geometrische Reihe) Eine Reihe ∞∑ k=0 ak heißt a) arithmetische Reihe, wenn (an)n∈N0 eine arithmetische Folge ist, und b) geometrische Reihe, wenn (an)n∈N0 eine geometrische Folge ist. Konvergenz und Divergenz Bei arithmetischen und geometrischen Reihen lässt sich sehr einfach eine Aussage über ihr Konvergenz- und Divergenzverhalten machen und im Falle der Konvergenz auch leicht der Grenzwert berechnen: Satz 12.5 (Konvergenz bei arithmetischen und geometrischen Reihe) a) Ist ∞∑ k=0 ak eine arithmetische Reihe mit an+1−an = d für alle n ∈ N0 und ein geeignetes d ∈ R, dann gilt für die Partialsummen sn = n∑ k=0 (a0 + k d) = (n+ 1) ( a0 + n d 2 ) für alle n ∈ N0, und die arithmetische Reihe ist genau dann konvergent, wenn a0 = d = 0 gilt. Der Wert der arithmetischen Reihe beträgt in diesem Fall 0. b) Ist ∞∑ k=0 ak eine geometrische Reihe mit an+1 = qan für alle n ∈ N0, a0 = 0 und ein geeignetes q ∈ R, dann gilt für die Partialsummen sn = a0 n∑ k=0 qk = { a0 1−qn+1 1−q für q = 1 a0(n+ 1) für q = 1 (12.1) für alle n ∈ N0, und die geometrische Reihe ist genau dann konvergent, wenn |q| < 1 gilt. Der Wert der geometrischen Reihe ist in diesem Fall gegeben durch a0 ∞∑ k=0 qk = a0 1 − q . Beweis: Zu a): Für eine arithmetische Folge gilt an = a0+nd für alle n ∈ N0 (vgl. (11.4)). Dies impliziert sn = n∑ k=0 ak = n∑ k=0 (a0 + kd) = (n+ 1)a0 + d n∑ k=1 k = (n+ 1)a0 + d n(n+ 1) 2 = (n+ 1) ( a0 + dn 2 ) für alle n ∈ N0. Die arithmetische Reihe ∞∑ k=0 (a0 + kd) ist somit offensichtlich genau dann konvergent, wenn a0 = d = 0 gilt. Zu b): Für eine geometrische Folge gilt an = a0qn für alle n ∈ N0 (vgl. (11.5)). Dies impliziert sn = n∑ k=0 ak = n∑ k=0 a0q k = a0 n∑ k=0 qk (12.2) für alle n ∈ N0. Ferner gilt (1 − q) n∑ k=0 qk = (1 − q)(1 + q + q2 + . . .+ qn) = 1 − qn+1. Daraus folgt n∑ k=0 qk = 1 − q n+1 1 − q für q = 1 und alle n ∈ N0. Zusammen mit (12.2) erhält man daraus sn = a0 n∑ k=0 qk = { a0 1−qn+1 1−q für q = 1 a0(n+ 1) für q = 1 für alle n ∈ N0. Wegen a0 = 0 impliziert dies für |q| < 1 lim n→∞ sn = a0 1 1 − q . Für |q| ≥ 1 ist die Folge (sn)n∈N0 offensichlich nicht konvergent und a0 ∞∑ k=0 qk damit divergent. Die beiden folgenden Beispiele zeigen, wie verschiedene ökonomische Problemstellungen zu arithmetischen und vor allem zu geometrischen Reihen führen. Beispiel 12.6 (Produktionsmenge als arithmetische und geometrische Reihe) a) Ein Unternehmen produziert aktuell von einem Produkt 100 Einheiten pro Periode. Es beabsichtigt in den kommenden Perioden seine Produktionsmenge um 30 Einheiten pro Periode zu erhöhen. Die Pro- 301 Kapitel 12 Reihen 0 5 10 15 20 0 100 200 300 400 500 600 700 arithm. Folge geom. Folge 0 5 10 15 20 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 arithm. Reihe geom. Reihe Abb. 12.2: Arithmetische und geometrische Folge (an)n∈N0 mit a0 = 100, d = 30 bzw. q = 1,1 (links) sowie die Partialsummen der zugehörigen arithmetischen bzw. geometrischen Reihe ∑∞ k=0 ak (rechts) duktionsmenge in der n-ten Periode ist dann gegeben durch an := 100 + 30n für alle n ∈ N0 und die Gesamtproduktion in den ersten n Perioden beträgt sn = n∑ k=0 (100 + 30k) = (n+ 1) ( 100 + 30n 2 ) . Wegen a0 = 100 = 0 und d = an+1 − an = 30 = 0 ist die arithmetische Reihe ∞∑ k=0 (100+30k) divergent (vgl. Satz 12.5a)). Zum Beispiel gilt nach 20 Perioden s20 = 8400. (vgl. Abbildung 12.2). b) Das Unternehmen aus Teil a) beabsichtigt nun in den kommenden Perioden ausgehend von einer Produktionsmenge von 100 Einheiten seine Produktionsmenge um 10 Prozent pro Periode zu erhöhen. Die Produktionsmenge in der n-ten Periode ist dann gegeben durch an := 100 · 1,1n für alle n ∈ N0 und die Gesamtproduktion in den ersten n Perioden beträgt sn = n∑ k=0 100 · 1,1k = 100 1 − 1,1 n+1 1 − 1,1 . Wegen q = 1,1 ≥ 1 ist die geometrische Reihe ∞∑ k=0 100 · 1,1k divergent (vgl. Satz 12.5b)). Zum Beispiel gilt nach 20 Perioden s20 = 6400,25 (vgl. Abbildung 12.2). Das folgende Beispiel zeigt, wie der sogenannte Multiplikatoreffekt einer Investition und der sogenannte Fundamentalwert einer Firma mit Hilfe von konvergenten geometrischen Reihen berechnet werden können: Beispiel 12.7 (Multiplikatoreffekt und Fundamentalwert einer Firma) a) Betrachtet wird ein einfaches volkswirtschaftliches Modell zur Beschreibung der Auswirkungen von Investitionen auf das Volkseinkommen. Dabei wird an- 302 Kapitel 1212.3 Arithmetische und geometrische Reihen genommen, dass alle produzierenden und konsumierenden Mitglieder der Volkswirtschaft durchgehend 3 5 ihres Einkommens für Verbrauchsgüter ausgeben (sog. Grenzneigung zum Verbrauch). Die Investition eines beliebigen Unternehmens in der Höhe von 1.000.000€ (z. B. für die Anschaffung einer Produktionsmaschine, den Bau einer Lagerhalle, die Erweiterung des Fuhrparks usw.) führt dann dazu, dass die Erstempfänger dieses Geldbetrags (z. B. Maschinenbauer, Maurer, Autohändler usw.) davon 35 , d. h. den Betrag 35 ·1.000.000€, ebenfalls für Verbrauchsgüter ausgeben. Die Empfänger dieses Geldbetrags (sog. Zweitempfänger) geben davon wiederum 3 5 · ( 3 5 · 1.000.000€ ) = ( 3 5 )2 1.000.000€ für Verbrauchsgüter aus usw. Das heißt, nachdem die Empfänger auf der n-ten Stufe ( 3 5 )n 1.000.000€ für Verbrauchsgüter ausgegeben haben, sind durch die Anfangsinvesitition von 1.000.000€ insgesamt Ausgaben in der Höhe von n∑ k=0 ( 3 5 )k 1.000.000€ = 1.000.000€ n∑ k=0 ( 3 5 )k = 1.000.000€1 − ( 3 5 )n+1 1 − 35 initiiert worden. Für n → ∞ erhält man schließlich, dass sich durch die Investition das Volkseinkommen um den Geldbetrag 1.000.000€ ∞∑ k=0 ( 3 5 )k = 1.000.000€ 1 1 − 35 = 2.500.000€ erhöht (vgl. Satz 12.5b)). Dabei wird der Faktor 1 1− 35 = 2,5 als Multiplikatoreffekt bezeichnet. Er gibt an, um wie viel sich das Einkommen einer Volkswirtschaft erhöht, wenn die Investitionen um einen bestimmten Wert ansteigen. Aus diesem einfachen Beispiel wird die Bedeutung von Investitionen, insbesondere von Staatsinvestitionen, für eine Volkswirtschaft deutlich (vgl. Abbildung 12.3, links). Für eine ausführliche Darstellung von Multiplikatormodellen siehe z. B. Samuelson & Nordhaus [57]. b) Betrachtet wird ein einfaches betriebswirtschaftliches Modell zur Bestimmung des Wertes eines Unternehmens. Dabei wird angenommen, dass das Unternehmen in jedem Jahr n = 0, 1, 2, . . . einen sicheren Gewinn in der Höhe von 1.000.000€ erwirtschaftet und der Marktzins r = 4% konstant ist. Der sogenannte Fundamentalwert eines Unternehmens berechnet sich dann als aktueller Wert der zukünftigen Rückflüsse (sogenannter Barwert aller zukünftigen Zahlungsströme (Cashflows)) und entspricht damit dem Kapitalbetrag, der zur Finanzierung aller zukünftigen Profite des Unternehmens benötigt werden würde. Da jedoch für den Kapitalbetrag Kn, der zur Finanzierung des Gewinns im n-ten Jahr benötigt wird, Kn(1 + r)n = 1.000.000€ bzw. Kn = 1 (1 + r)n 1.000.000€ gelten muss, heißt dies, dass der Fundamentalwert des Unternehmens durch ∞∑ n=0 Kn = 1.000.000€ ∞∑ n=0 1 (1 + r)n = 1.000.000€ 1 1 − 11+0,04 = 26.000.000€ (12.3) gegeben ist (vgl. Satz 12.5b)). Aus dem Fundamentalwert lässt sich unmittelbar auch eine Faustformel für „vernünftige“ Aktienpreise ableiten. Denn aus (12.3) erhält man unmittelbar, dass bei einem Marktzins von r = 4% der Aktienpreis ungefähr das 26fache der (konstanten) Dividende betragen sollte. Da Anleger jedoch häufig auf hohe Profite spekulieren, kann der Aktienpreis auch höher sein. Diese Wachstumsphantasie wird u. a. von der Qualität des Managements, der Stärke der Märkte und der Innovationskraft des Unternehmens beeinflusst (vgl. Abbildung 12.3, rechts). 303 Kapitel 12 Reihen 0 20 40 60 80 100 0 0.5 Mio. 1 Mio. 1.5 Mio. 2 Mio. 2.5 Mio. 0 20 40 60 80 100 0 5 Mio. 10 Mio. 15 Mio. 20 Mio. 25 Mio. Abb. 12.3: Erhöhung des Volkseinkommens durch eine Investition von 1.000.000€ bei einer Grenzneigung zum Verbrauch von 3 5 (links) und der Fundamentalwert einer Firma mit einem jährlichen Gewinn von 1.000.000€ bei einem Marktzins von r = 4% (rechts) Der Teil b) des Satzes 12.5 besagt, dass eine geometrische Reihe a0 ∑∞ k=0 q k für |q| < 1 den endlichen Wert a01−q besitzt. Dieses Phänomen, nämlich dass unendlich viele positive Zahlen addiert werden können und trotzdem eine endliche Zahl resultiert, hielt man in der Antike für unmöglich und es hat deshalb auch zu einigen Paradoxien geführt. Das berühmteste Paradoxon dieser Art ist vom griechischen Philosophen Zenon von Elea (ca. 490–430 v. Chr.) überliefert und als Paradoxon von Achilles und der Schildkröte bekannt. Mit Hilfe des Satzes 12.5b) lässt sich jedoch dieses Paradoxon auflösen. Beispiel 12.8 (Paradoxon von Achilles und der Schildkröte) Der griechische Philosoph Zenon behauptete, dass bei einem Wettlauf zwischen Achilles, dem schnellsten Läufer der Antike, und einer Schildkröte Achilles die Schildkröte niemals einholen wird, wenn die Schildkröte zu Beginn einen Vorsprung bekommt. Dabei wird ohne Beschränkung der Allgemeinheit zum einen an- Büste von genommen, dass Achilles mit ei- Zenon von Elea einer Geschwindigkeit von 10 m/s läuft und damit 10-mal so schnell ist wie die Schildkröte, die sich nur mit einer Geschwindigkeit von 1 m/s bewegt. Zum anderen wird angenommen, dass die Schildkröte zu Beginn einen Vorsprung von 100 Metern bekommt. Zenon argumentierte dann wie folgt: Achilles muss nach dem Start zunächst einmal die Stelle erreichen, an der die Schildkröte gestartet ist. Das heißt, er muss 100 Meter zurücklegen. In dieser Zeit ist jedoch die Schildkröte um 10 Meter weitergelaufen. In der Zeit, in der Achilles diese 10 Meter zurücklegt, ist die Schildkröte wieder um einen 1 Meter weitergelaufen usw. Der Vorsprung der Schildkröte wird somit zwar immer kleiner, aber die Annäherung von Achilles an die Schildkröte dauert unendlich lange und Achilles hat deshalb keine Chance, die Schildkröte jemals einzuholen (vgl. Abbildung 12.4). Die Argumentation von Zenon ist zwar bestechend, aber die Erfahrung von ähnlichen Situationen lehrt, dass Achilles die Schildkröte irgendwann einmal einholen wird. Das heißt, die Argumentation von Zenon kann nicht richtig sein. Da jedoch der „Denkfehler“ hinter der Argumentation von Zenon für die Philosophen der Antike nicht offensichtlich war, rätselten viele Generationen von Philosophen über die Auflösung dieses Paradoxons. Zenon 304 Kapitel 1212.4 Konvergenzkriterien Abb. 12.4: Wettlauf zwischen Achilles und der Schildkröte war von der Richtigkeit seiner Argumentation sogar so stark überzeugt, dass er aufgrund dieses Paradoxons behauptete, dass das gesamte Konzept der Bewegung Unsinn ist. Die Ursache für dieses scheinbare Paradoxon ist, dass zur Zeit von Zenon noch kein widerspruchsfreier Konvergenzbegriff zur Verfügung stand. Insbesondere wurde damals geglaubt, dass bei der Addition von unendlich vielen positiven Zahlen niemals ein endlicher Wert resultieren kann. Für das Paradoxon von Achilles und der Schildkröte heißt dies, dass Zenon fälschlicherweise geglaubt hat, die Annäherung von Achilles an die Schildkröte würde unendlich lange andauern, da die Addition unendlich vieler Zeitintervalle, auch wenn diese immer kleiner werden, notwendigerweise immer einen unendlich langen Zeitraum ergibt. Dies ist jedoch falsch, wie die folgende Rechnung zeigt. Bei der Argumentation von Zenon erfolgen die Messungen der Abstände zwischen Achilles und der Schildkröte zu den Zeitpunkten (in Sekunden) t1=10, t2 = t1 + 1, t3= t2 + 0,1, t4 = t3 + 0,01 usw. Das heißt, für die Zeit bis zur n-ten Messung erhält man mit Satz 12.5b) tn = n∑ i=0 10 ( 1 10 )i = 10 1 − ( 1 10 )n+1 1 − 110 . Durch Betrachtung des Grenzübergangs n → ∞ resultiert daraus die Zeit, die vergeht bis Achilles die Schildkröte eingeholt hat. Mit Satz 12.5b) erhält man somit, dass dies lim n→∞ tn = 10 1 1 − 110 = 11,111 . . . Sekunden dauert. Nach ca. 11,111 Sekunden hat Achilles folglich die Schildkröte eingeholt und nach 11,112 Sekunden hat er sie bereits überholt. Dieses Ergebnis löst das Paradoxon von Achilles und der Schildkröte auf. 12.4 Konvergenzkriterien Gemäß Satz 12.5b) ist eine geometrische Reihe genau dann konvergent, wenn |q| < 1 gilt, und der Grenzwert ist durch a01−q gegeben. Bei den meisten anderen Reihen ist es jedoch nicht so einfach, Aussagen über deren Konvergenz bzw. Divergenz zu machen. Sehr oft müssen zur Untersuchung der Konvergenzeigenschaften sogenannte Konvergenzkriterien für Reihen herangezogen werden. Diese Kriterien zielen bei der Konvergenzuntersuchung einer Reihe zum Teil auf unterschiedliche Eigenschaften und Besonderheiten von Reihen ab. Je nach Art des Kriteriums erhält man eine notwendige und/oder eine hinreichende Bedingung für die Konvergenz einer Reihe. Aber auch mit diesen Konvergenzkriterien kann der Grenzwert einer konvergenten Reihe in der Regel nicht analytisch berechnet werden. In diesen Fällen muss dann die Berechnung des Grenzwertes numerisch erfolgen oder es müssen andere mathematische Hilfsmittel wie z. B. Taylor-Reihen (siehe Abschnitt 17.3) oder Potenzreihen (siehe Abschnitt 17.4) herangezogen werden. Für viele Anwendungen ist es jedoch nicht primär entscheidend, den genauen Grenzwert einer konvergenten Reihe zu kennen. Oftmals genügt es lediglich zu wissen, ob eine Reihe konvergiert oder nicht. Cauchy-Kriterium A. L. Cauchy auf einer französischen Briefmarke Das wohl bedeutendste Konvergenzkriterium für Reihen ist das nach Augustin Louis Cauchy (1789–1857) benannte Cauchy- Kriterium. Es liefert eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Konvergenz einer Reihe. 305 Kapitel 12 Reihen Mit seiner Hilfe kann somit grundsätzlich bei jeder Reihe entschieden werden, ob sie konvergiert oder divergiert. Das Cauchy-Kriterium lässt sich unmittelbar aus dem Konvergenzkriterium von Cauchy für Folgen ableiten (vgl. Satz 11.37). Satz 12.9 (Cauchy-Kriterium für Reihen) Eine Reihe ∑∞ k=0 ak konvergiert genau dann, wenn die Folge ihrer Partialsummen (sn)n∈N0 eine Cauchy-Folge ist. Das heißt, wenn für jedes ε > 0 ein n0 ∈ N0 existiert, so dass für alle n,m ≥ n0 gilt ∣∣∣∣∣ m∑ k=n+1 ak ∣∣∣∣∣ < ε. (12.4) Beweis: Eine Reihe konvergiert genau dann, wenn die Folge ihrer Partialsummen (sn)n∈N0 konvergiert (vgl. Definition 12.3). Gemäß dem Konvergenzkriterium von Cauchy (vgl. Satz 11.37) ist dies genau dann der Fall, wenn (sn)n∈N0 eine Cauchy-Folge ist. Das heißt, wenn es ein n0 ∈ N0 gibt, so dass für alle m, n ≥ n0 gilt |sm − sn| = ∣ ∣∣ ∣∣ m∑ k=0 ak − n∑ k=0 ak ∣ ∣∣ ∣∣ = ∣ ∣∣ ∣∣ ∣ m∑ k=n+1 ak ∣ ∣∣ ∣∣ ∣ < ε. Das Cauchy-Kriterium besitzt den großen Vorteil, dass es universell angewendet werden kann. Aufgrund seiner Allgemeinheit besitzt das Cauchy-Kriterium jedoch auch den Nachteil, dass es nicht auf die Besonderheiten einer Reihe reagieren kann und deshalb oftmals nicht leicht anzuwenden ist. Aus dem Cauchy-Kriterium folgt, dass eine konvergente Reihe konvergent bleibt und eine divergente Reihe divergent bleibt, wenn endlich viele Reihenglieder verändert werden. Der Wert einer konvergenten Reihe wird jedoch durch die Veränderung von Reihengliedern sehr wohl beeinflusst. Das folgende Beispiel zeigt anhand der alternierenden harmonischen Reihe und der harmonischen Reihe, wie das Cauchy-Kriterium bei Konvergenzuntersuchungen angewendet werden kann: Beispiel 12.10 (Anwendung des Cauchy-Kriteriums) a) Die Reihe ∞∑ k=1 (−1)k+1 k = 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + 1 5 − 1 6 ± . . . wird als alternierende harmonische Reihe bezeichnet. Für ihre Partialsummen sn := ∑nk=1(−1)k+1 1k erhält man mit m := n + p und einem beliebigen p ∈ N0 die Abschätzung |sm − sn| = ∣∣∣∣∣ n+p∑ k=n+1 (−1)k+1 1 k ∣∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ 1 n+ 1 − 1 n+ 2 + . . .± 1 n+ p − 1 ∓ 1 n+ p ∣∣∣∣ < 1 n+ 1 . Es gibt somit für jedes ε > 0 ein n0 ∈ N0, so dass |sm − sn| < ε für alle m, n ≥ n0 gilt. Das heißt, die Folge (sn)n∈N ist eine Cauchy-Folge. Mit dem Cauchy-Kriterium (vgl. Satz 12.9) folgt somit, dass die alternierende harmonische Reihe konvergent ist und mit Hilfe der Theorie der Taylor-Reihen kann gezeigt werden, dass die Reihe den Wert ln(2) besitzt (vgl. Abbildung 12.5, links und Beispiel 17.10b)). b) Die Reihe ∞∑ k=1 1 k = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + 1 6 + . . . wird als harmonische Reihe bezeichnet. Für ihre Partialsummen sn := ∑nk=1 1k erhält man für jedes n ∈ N die Abschätzung |s2n − sn| = ∣ ∣∣ ∣∣ 2n∑ k=1 1 k − n∑ k=1 1 k ∣ ∣∣ ∣∣ = ∣∣ ∣∣ ∣ 2n∑ k=n+1 1 k ∣ ∣∣ ∣∣ > n 1 2n = 1 2 . Die Folge (sn)n∈N0 der Partialsummen ist somit keine Cauchy-Folge und mit dem Cauchy-Kriterium (vgl. Satz 12.9) folgt daher, dass die harmonische Reihe divergent ist (vgl. Abbildung 12.5, rechts). 306 Kapitel 1212.4 Konvergenzkriterien 0 10 20 30 40 50 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 10 20 30 40 50 0 1 2 3 4 5 Abb. 12.5: Partialsummen sn = ∑nk=1 (−1) k+1 k (links) und sn = ∑nk=1 1k (rechts) Nullfolgenkriterium Aus dem Cauchy-Kriterium erhält man die folgende notwendige Bedingung für die Konvergenz einer Reihe. Diese notwendige Bedingung wird als Nullfolgenkriterium oder Trivialkriterium bezeichnet: Satz 12.11 (Nullfolgenkriterium) Ist die Reihe ∑∞ k=0 ak konvergent, dann ist die Folge (an)n∈N0 eine Nullfolge. Das heißt, es gilt lim n→∞ an = 0. Beweis: Es sei ε > 0. Dann folgt mit dem Cauchy-Kriterium (vgl. Satz 12.9) und m = n + 1, dass es ein n0 ∈ N0 gibt mit |an+1| < ε für alle n ≥ n0. Das heißt, (an)n∈N0 ist eine Nullfolge. Die Umkehrung von Satz 12.11 gilt nicht. Denn die Bedingung limn→∞ an = 0 ist lediglich eine notwendige und keine hinreichende Bedingung für die Konvergenz einer Reihe. Ein Beispiel hierfür ist die harmonische Reihe ∑∞ k=1 1 k , für die limn→∞ 1n = 0 gilt, obwohl sie nicht konvergent ist (vgl. Beispiel 12.10b)). Eine Reihe ∑∞ k=0 ak , bei der die Folge (an)n∈N0 nicht gegen 0 konvergiert, ist notwendigerweise divergent. Beispiel 12.12 (Anwendung des Nullfolgenkriteriums) Für die Reihenglieder der Reihe ∞∑ k=1 kk k! = 1 + 2 + 9 2 + 32 3 + 625 24 + 324 5 + . . . gilt kk k! = k k · k k − 1 · k k − 2 · . . . · k 2 · k 1 ≥ 1 für alle k ∈ N. Das heißt, ( nn n! ) n∈N ist keine Nullfolge. Die Reihe erfüllt somit nicht das Nullfolgenkriterium 12.11 und ist daher divergent. Monotoniekriterium Aus dem Monotoniekriterium für beschränkte Folgen (vgl. Satz 11.23) erhält man eine weitere notwendige und auch hinreichende Bedingung für die Konvergenz einer Reihe, welche als Monotoniekriterium bezeichnet wird. Das Monotoniekriterium besitzt im Vergleich zum Cauchy-Kriterium den Nachteil, dass es nur auf Reihen mit nichtnegativen Reihen- 307 Kapitel 12 Reihen gliedern angewendet werden kann. Dafür hat es den Vorteil, dass es mit der Nichtnegativität der Reihenglieder eine spezielle Eigenschaft der Reihe ausnutzt und daher in der Regel leichter anzuwenden ist als das Cauchy-Kriterium. Satz 12.13 (Monotoniekriterium) Eine Reihe ∑∞ k=0 ak mit nichtnegativen Reihengliedern ak konvergiert genau dann, wenn die Folge ihrer Partialsummen (sn)n∈N0 nach oben beschränkt ist. Beweis: Eine Reihe konvergiert genau dann, wenn die Folge ihrer Partialsummen (sn)n∈N0 konvergiert (vgl. Definition 12.3). Für eine Reihe ∑∞ k=0 ak mit nichtnegativen Reihengliedern ak ist die Folge (sn)n∈N0 monoton wachsend. Gemäß dem Monotoniekriterium für beschränkte Folgen (vgl. Satz 11.23) konvergiert somit (sn)n∈N0 genau dann, wenn (sn)n∈N0 beschränkt ist. Eine Reihe, die dem Monotoniekriterium genügt, ist nicht „nur“ konvergent, sondern sogar absolut konvergent. Zum Begriff „absolute Konvergenz“ siehe Abschnitt 12.6. Beispiel 12.14 (Anwendung des Monotoniekriteriums) Betrachtet wird die Reihe ∞∑ k=1 1 k2 = 1 + 1 4 + 1 9 + 1 16 + 1 25 + 1 36 + . . . und eine Folge (tn)n≥2 bestehend aus den „Teleskopsummen“ tn := n∑ k=2 ( 1 k − 1 − 1 k ) = 1 − 1 n (12.5) für alle n ≥ 2. Für diese Folge gilt offensichtlich lim n→∞ tn=1. Weiter gilt für die einzelnen Summanden 1 k − 1 − 1 k = k − (k − 1) k(k − 1) = 1 k2 − k > 1 k2 (12.6) für alle k ≥ 2. Mit (12.5) und (12.6) erhält man somit 1 > n∑ k=2 ( 1 k − 1 − 1 k ) > n∑ k=2 1 k2 für alle n ≥ 2. Daraus folgt für die Partialsummen der Reihe sn = n∑ k=1 1 k2 = 1 + n∑ k=2 1 k2 < 1 + n∑ k=2 ( 1 k − 1 − 1 k ) < 1 + 1 = 2 für alle n ∈ N. Das heißt, die Folge der Partialsummen (sn)n∈N ist nach oben durch den Wert 2 beschränkt und die Reihenglieder sind alle nichtnegativ. Aus dem Monotoniekriterium (vgl. Satz 12.13) folgt somit, dass die Reihe ∑∞ k=1 1 k2 konvergiert. Man kann zeigen, dass der Wert dieser Reihe durch π 2 6 gegeben ist. Es gilt somit (vgl. Abbildung 12.6, links) ∞∑ k=1 1 k2 = π 2 6 . Exponentialreihe Mit Hilfe des Monotoniekriteriums (vgl. Satz 12.13) kann auch die Konvergenz der Exponentialreihe ∞∑ k=0 1 k! = 1 + 1 + 1 2 + 1 6 + 1 24 + 1 120 + . . . nachgewiesen werden. Sie ist eine der bedeutendsten Reihen und konvergiert gegen den Wert e = lim n→∞ ( 1 + 1 n )n (vgl. (11.10)). Mit dem Binomischen Lehrsatz (5.11) erhält man ( 1 + 1 n )n = n∑ k=0 ( n k )( 1 n )k (12.7) = n∑ k=0 n! k!(n− k)! 1 nk = n∑ k=0 1 k! k−1∏ j=0 n− j n für alle n ∈ N. Es sei nun m > n. Dann folgt mit (12.7) die Ungleichung ( 1 + 1 m )m = m∑ k=0 1 k! k−1∏ j=0 m− j m ≥ n∑ k=0 1 k! k−1∏ j=0 m− j m . 308 Kapitel 1212.4 Konvergenzkriterien Dies impliziert jedoch für alle n ∈ N0 e = lim m→∞ ( 1 + 1 m )m ≥ lim m→∞ n∑ k=0 1 k! k−1∏ j=0 m− j m = n∑ k=0 1 k! k−1∏ j=0 lim m→∞ ( 1 − j m ) = n∑ k=0 1 k! . (12.8) Die Folge (sn)n∈N0 der Partialsummen sn = ∑n k=0 1 k! ist somit durch e nach oben beschränkt und die Exponentialreihe besitzt nur nichtnegative Reihenglieder. Aus dem Monotoniekriterium folgt daher, dass die Reihe ∑∞ k=0 1 k! konvergiert und der Wert kleiner gleich e ist. Weiter folgt mit (12.7) e = lim n→∞ ( 1 + 1 n )n = lim n→∞ n∑ k=0 1 k! k−1∏ j=0 n− j n ≤ lim n→∞ n∑ k=0 1 k! = ∞∑ k=0 1 k! . (12.9) Aus (12.8) und (12.9) folgt somit schließlich, dass die Exponentialreihe konvergiert und den Wert e besitzt. Das heißt, es gilt (vgl. Abbildung 12.6, rechts) ∞∑ k=0 1 k! = e = limn→∞ ( 1 + 1 n )n . (12.10) Je nach Problemstellung ist die Folgendarstellung lim n→∞ ( 1+ 1 n )n oder die Reihendarstellung ∑∞ k=0 1 k! der 0 5 10 15 20 25 30 35 40 0 0.5 1 1.5 2 0 5 10 15 20 25 30 35 40 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 s n ⎛ ⎝⎜ 1 + 1 n ⎞ ⎠⎟ n Abb. 12.6: Partialsummen sn = ∑nk=1 1k2 (links) sowie Partialsumme sn = ∑n k=0 1k! und Folgenglieder an = ( 1 + 1n )n (rechts) Eulerschen Zahl e praktikabler. Für die numerische Berechnung von e ist jedoch die Reihendarstellung viel geeigneter. Denn während sich ( 1 + 1 n )n für wachsende n nur sehr langsam e annähert, konvergieren die Partialsummen sn = ∑nk=0 1k! für wachsende n sehr schnell gegen e (vgl. Abbildung 12.6, rechts und Tabelle 12.1). n ( 1 + 1 n )n n∑ k=0 1 k! 1 2 2 2 2,25 2,5 4 2,4414062500 2,7083333333 6 2,5216263717 2,7180555555 8 2,5657845139 2,7182787698 10 2,5937424600 2,7182818011 12 2,6130352901 2,7182818281 ... ... ... 10000 2,7181459268 2,7182818284 Tabelle 12.1: Approximation der Eulerschen Zahl e durch ( 1 + 1n )n bzw. n∑ k=0 1 k! Die Exponentialreihe ∑∞ k=0 1 k! ist für viele Bereiche der Analysis und zahlreiche ökonomische Anwendungen von großer Bedeutung. In Beispiel 17.10a) in Abschnitt 17.3 wird ge- 309 Kapitel 12 Reihen zeigt, dass sogar die Identitäten ex = ∞∑ k=0 xk k! bzw. limn→∞ ( 1 + x n )n = ∞∑ k=0 xk k! für alle x ∈ R gelten. Für x = 1 erhält man daraus den Spezialfall (12.10). Majoranten- und Minorantenkriterium Zwei weitere wichtige und anschauliche Konvergenz- und Divergenzkriterien für Reihen sind das Majoranten- bzw. Minorantenkriterium: Satz 12.15 (Majoranten- und Minorantenkriterium) Es sei ∑∞ k=0 ak eine Reihe mit nichtnegativen Reihengliedern. Dann gilt: a) Die Reihe konvergiert, wenn es eine Folge (bn)n∈N0 mit 0 ≤ an ≤ bn für alle n ≥ n0 gibt und die Reihe∑∞ k=0 bk konvergiert (Majorantenkriterium). b) Die Reihe divergiert, wenn es eine Folge (bn)n∈N0 mit 0 ≤ bn ≤ an für alle n ≥ n0 gibt und die Reihe∑∞ k=0 bk divergiert (Minorantenkriterium). Beweis: Zu a): Es gibt ein n0 ∈ N0, so dass n∑ k=n0 ak ≤ n∑ k=n0 bk ≤ ∞∑ k=0 bk =: s für alle n ≥ n0 gilt. Das heißt, die Reihe ∑∞k=0 ak besitzt nichtnegative Reihenglieder und ist durch den Wert ∑n0−1 k=0 ak + s nach oben beschränkt. Aus dem Monotoniekriterium (vgl. Satz 12.13) folgt somit, dass die Reihe ∑∞ k=0 ak konvergiert. Zu b): Es gibt ein n0 ∈ N0, so dass tn :=a0+. . .+an0−1+ n∑ k=n0 bk ≤ a0+. . .+an0−1+ n∑ k=n0 ak=:sn für alle n ≥ n0 gilt. Mit dem Vergleichssatz 11.41 folgt somit limn→∞ tn ≤ limn→∞ sn. Da jedoch die Folge (tn)n≥n0 gegen∞ divergiert, impliziert dies die Divergenz von (sn)n∈N0 bzw.∑∞ k=0 ak . Das Majoranten- und das Minorantenkriterium sind besonders einfach anzuwenden. Sie besitzen allerdings den Nachteil, dass sie nur dann angewendet werden können, wenn die zu untersuchende Reihe gliedweise mit einer anderen Reihe verglichen werden kann, deren Konvergenz bzw. Divergenz bereits bekannt ist. Die Reihe ∑∞ k=0 bk im Majorantenkriterium wird dann als konvergente Majorante der Reihe ∑∞ k=0 ak und die Reihe ∑∞ k=0 bk im Minorantenkriterium als divergente Minorante der Reihe ∑∞ k=0 ak bezeichnet. Oft werden das Majoranten- und das Minorantenkriterium zusammen mit der geometrischen Reihe als Vergleichsreihe eingesetzt. Dies führt dann zu weiteren wichtigen Konvergenzkriterien wie dem Quotientenkriterium und dem Wurzelkriterium (vgl. Abschnitt 12.7). Eine Reihe, die dem Majorantenkriterium genügt, ist sogar absolut konvergent. Zum Begriff „absolute Konvergenz“ siehe Abschnitt 12.6. Beispiel 12.16 (Anwendung des Majoranten- und Minorantenkriteriums) a) Betrachtet wird die Reihe ∞∑ k=1 2 k2 − k + 1 . (12.11) Aus k2 − k + 1 = (k − 1)2 + k ≥ (k − 1)2 für alle k ∈ N folgt 0 ≤ 2 k2 − k + 1 ≤ 2 (k − 1)2 für alle k ≥ 2. Da jedoch die Reihe 2+∑∞k=2 2(k−1)2 = 2 + 2∑∞k=1 1k2 konvergiert (vgl. Beispiel 12.14), ist sie eine konvergente Majorante der Reihe (12.11). Mit dem Majorantenkriterium 12.15a) folgt somit, dass auch die Reihe (12.11) konvergiert (vgl. Abbildung 12.7, links). b) Die Reihe ∞∑ k=1 1 kα (12.12) für α ∈ R wird als verallgemeinerte harmonische Reihe bezeichnet. Es gilt 0 < 1 k ≤ 1 kα für alle k ∈ N und α ≤ 1. Da die harmonische Reihe ∑∞k=1 1k divergiert (vgl. Beispiel 12.10b)), ist die harmonische Reihe eine divergente Minorante der verallgemeinerten harmonischen Reihe (12.12) für α ≤ 1. Mit dem Minorantenkriterium (vgl. Satz 12.15b)) folgt somit, dass die verallgemeinerte harmonische Reihe (12.12) 310 Kapitel 1212.5 Rechenregeln für konvergente Reihen 0 10 20 30 40 50 0 1 2 3 4 5 6 0 5 10 15 20 25 0 5 10 15 Abb. 12.7: Partialsummen sn = 2 + 2∑nk=1 1k2 und sn = ∑n k=1 2k2−k+1 (links, von oben nach unten) sowie sn = ∑n k=1 1k1/4 , sn = ∑nk=1 1k , sn = ∑n k=1 1k2 und sn = ∑n k=1 1k3 (rechts, von oben nach unten) für α ≤ 1 divergiert. Ferner gilt 0 < 1 kα ≤ 1 k2 für alle k ∈ N und α ≥ 2. Da jedoch die Reihe ∑∞k=1 1k2 konvergiert (vgl. Beispiel 12.14), ist sie eine konvergente Majorante der verallgemeinerten harmonischen Reihe (12.12) für α ≥ 2. Mit dem Majorantenkriterium (vgl. Satz 12.15a)) folgt somit, dass die verallgemeinerte harmonische Reihe (12.12) für α ≥ 2 konvergiert (vgl. Abbildung 12.7, rechts). 12.5 Rechenregeln für konvergente Reihen Es wurde bereits erwähnt, dass eine Reihe nicht einfach als „Summe von unendlich vielen Summanden“ aufgefasst werden sollte, da sich Reihen in mancher Hinsicht anders verhalten als Summen. Dennoch gelten auch für konvergente Reihen einige Rechenregeln, wie man sie bereits von Summen kennt. Summen und Differenzen konvergenter Reihen Der folgende Satz fasst die wichtigsten Rechenregeln für konvergente Reihen zusammen: Satz 12.17 (Rechenregeln für konvergente Reihen) Die Reihen ∑∞ k=0 ak und ∑∞ k=0 bk seien konvergent und besitzen die Grenzwerte ∞∑ k=0 ak = a bzw. ∑∞k=0 bk = b. Dann sind auch die Reihen ∑∞ k=0 cak mit c ∈ R,∑∞ k=0(ak + bk) und ∑∞ k=0(ak − bk) konvergent und für deren Grenzwert gilt: a) ∞∑ k=0 cak = c ∞∑ k=0 ak = ca b) ∞∑ k=0 (ak + bk) = ∞∑ k=0 ak + ∞∑ k=0 bk = a + b c) ∞∑ k=0 (ak − bk) = ∞∑ k=0 ak − ∞∑ k=0 bk = a − b Beweis: Da es sich bei konvergenten Reihen um konvergente Folgen von Partialsummen handelt, erhält man die Gültigkeit der Behauptungen aus den entsprechenden Rechenregeln für konvergente Folgen (siehe Satz 11.39a), b) und d)). 311 Kapitel 12 Reihen Der obige Satz besagt somit, dass konvergente Reihen gliedweise addiert, subtrahiert und mit einer Konstanten multipliziert werden dürfen. Das heißt, bezüglich dieser drei Rechenoperationen verhalten sich konvergente Reihen wie endliche Summen. Beispiel 12.18 (Anwendung der Rechenregeln für konvergente Reihen) a) Die Reihe ∞∑ k=1 ( 2 ( 1 2 )k + 3 k! − 10 k(k + 1) ) (12.13) setzt sich aus den konvergenten Reihen ∑∞ k=1 ( 1 2 )k = ∑∞ k=0 ( 1 2 )k − 1, ∑∞k=1 1k! = ∑∞ k=0 1 k! − 1 und∑∞ k=1 1 k(k+1) mit den Grenzwerten 2−1 = 1, e−1 bzw. 1 zusammen. Mit Satz 12.17 folgt somit, dass auch die Reihe (12.13) konvergent ist und den Grenzwert ∞∑ k=1 ( 2 ( 1 2 )k + 3 k! − 10 k(k + 1) ) = 2 ( ∞∑ k=0 ( 1 2 )k − 1 ) + 3 ( ∞∑ k=0 1 k! − 1 ) − 10 ∞∑ k=1 1 k(k + 1) = 2 · 1 + 3 · (e − 1)− 10 · 1 = 3e − 11 besitzt (vgl. Abbildung 12.8, links). b) Betrachtet wird die Reihe ∞∑ k=1 2 + 3k cos(kπ) k2 . (12.14) Wegen cos(kπ) = (−1)k für alle k ∈ N gilt ∞∑ k=1 2 + 3k cos(kπ) k2 = ∞∑ k=1 ( 2 k2 + 3 (−1) k k ) . Die beiden Reihen ∑∞ k=1 1 k2 und ∑∞ k=1 (−1)k+1 k sind konvergent und besitzen die Grenzwerte π 2 6 bzw. ln(2). Mit Satz 12.17 folgt daher, dass auch die Reihe (12.14) konvergent ist und den Grenzwert ∞∑ k=1 2 + 3k cos(kπ) k2 = 2 ∞∑ k=1 1 k2 + 3 ∞∑ k=1 (−1)k k = 2π 2 6 − 3 ∞∑ k=1 (−1)k+1 k = π 2 3 − 3 ln(2) besitzt (vgl. Abbildung 12.8, rechts). Klammern bei konvergenten Reihen Neben den Rechenregeln aus Satz 12.17 gilt für konvergente Reihen, dass man beliebig Klammern setzen darf: Satz 12.19 (Klammern bei konvergenten Reihen) Eine konvergente Reihe ∑∞ k=0 ak verändert ihr Konvergenzverhalten und ihren Grenzwert nicht, wenn die Reihenglieder durch Klammern beliebig zusammengefasst werden. Genauer gilt: Ist (kn)n∈N eine Folge natürlicher Zahlen mit 0 ≤ k1 < k2 < . . . und setzt man A1 := a0 + a1 + . . .+ ak1 , A2 := ak1+1 + ak1+2 + . . .+ ak2 usw., dann gilt ∞∑ n=1 An = ∞∑ k=0 ak. (12.15) Beweis: Die Folge der Teilsummen ∑n k=0 Ak ist eine Teilfolge der Folge (sn)n∈N0 der Partialsummen sn = ∑n k=0 ak . Da jedoch (sn)n∈N0 konvergiert und jede Teilfolge einer konvergenten Folge ebenfalls konvergent ist sowie gegen den gleichen Grenzwert der Folge konvergiert, erhält man (12.15). Die beiden Sätze 12.17 und 12.19 könnten zur Annahme verleiten, dass man mit konvergenten Reihen wie mit endlichen Summen rechnen kann. Wie bereits mehrfach erwähnt, ist dies jedoch falsch und beim Umgang mit konvergenten Reihen daher große Vorsicht geboten. Die Analogie zwischen endlichen Summen und Reihen hat enge Grenzen. Das heißt, es gibt elementare Umformungen, die bei endlichen Summen den Summenwert nicht verändern, aber bei Reihen zu einer Veränderung des Grenzwertes der Reihe oder gar des Konvergenzverhaltens führen. 312 Kapitel 1212.6 Absolute Konvergenz 10 20 30 40 50 −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 10 20 30 40 50 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 Abb. 12.8: Partialsummen sn = ∑nk=1 ( 2 ( 1 2 )k + 3 k! − 10k(k+1) ) (links) und sn = ∑nk=1 2+3k cos(kπ)k2 (rechts) Das folgende Beispiel zeigt, dass es im Allgemeinen nicht erlaubt ist, bei konvergenten Reihen Klammern zu entfernen (siehe Teil a)) und die Reihenglieder umzuordnen (siehe Teil c)) oder bei divergenten Reihen neue Klammern zu setzen (siehe Teil b)): Beispiel 12.20 (Klammern bei konvergenten und divergenten Reihen) a) Die Reihe ∑∞ k=0 ak mit ak := (1−1) = 0 für alle k ∈ N0 ist konvergent und besitzt den Grenzwert 0. Denn für die Partialsummen gilt s0 = s1 = s2 = . . . = 0. Durch Entfernen der Klammern resultiert jedoch die divergente Reihe ∞∑ k=0 ak = (1 − 1)+ (1 − 1)+ . . . = 1 − 1 + 1 − 1 + . . . = ∞∑ k=0 (−1)k. Denn für die Partialsummen gilt nun s2n = 1 und s2n+1 = −1 für alle N0. b) Aus der divergenten Reihe ∑∞ k=0(−1)k entsteht durch die Klammerung ak := (1−1) die konvergente Reihe∑∞ k=0 ak = 0. c) Die alternierende harmonische Reihe ∑∞ k=1 (−1)(k+1) k ist konvergent (siehe Beispiel 12.10a)) und besitzt den Grenzwert ln(2) (siehe Beispiel 17.10b) in Abschnitt 17.3). Man erhält: ln(2)=1− 12 + 13 − 14 + 15 − 16 + 17 − 18 + 19 − 110 + 111 . . . + 12 ln(2)=0+ 12 + 0− 14 + 0+ 16 + 0− 18 + 0+ 110 + 0 . . . 3 2 ln(2)=1+ 0+ 13 − 12 + 15 + 0+ 17 − 14 + 19 + 0 + 111 . . . Lässt man in der letzten Reihe die Nullen weg, dann erhält man die letzte Reihe durch Umordnung der Glieder der ersten Reihe. Das heißt, bei der alternierenden harmonischen Reihe verändert sich durch diese Umordnung der Reihenglieder der Wert der Reihe von ln(2) zu 32 ln(2). 12.6 Absolute Konvergenz Die häufig verwendete Schreibweise ∑∞ k=0 ak für Reihen ist zwar praktisch, aber auch ein wenig gefährlich. Denn sie suggeriert eine zu starke Analogie zwischen Summen und Reihen und verleitet auf diese Weise oftmals zu Fehlern beim Rechnen mit Reihen. Während z. B. bei Summen ∑n k=0 ak 313 Kapitel 12 Reihen die Summanden ak in beliebiger Weise umgeordnet werden können, ohne dass sich der Wert der Summe dadurch ver- ändert, gilt dieses Kommutativgesetz für Reihen nicht. Denn wie in Beispiel 12.20c) anhand der alternierenden harmonischen Reihe gezeigt wurde, kann sich bei einer konvergenten Reihe durch Umordnung der Reihenglieder der Wert der Reihe durchaus ändern. Unbedingte und bedingte Konvergenz Im Allgemeinen wird eine Reihe ∑∞ k=0 ank als Umordnung der Reihe ∑∞ k=0 ak bezeichnet, wenn (nk)k∈N0 eine Folge von Zahlen aus N0 ist, in der jede Zahl aus N0 genau einmal auftritt. Entsprechend heißt ∑∞ k=p ank Umordnung der Reihe ∑∞ k=p ak für ein p ∈ N0, wenn (nk)k≥p eine Folge von Zahlen aus {p, p + 1, p + 2, . . .} ist, in der jede Zahl aus {p, p + 1, p + 2, . . .} genau einmal vorkommt. Beim Umgang mit konvergenten Reihen stellt sich daher die Frage, ob es zumindest eine Teilklasse von konvergenten Reihen gibt, die das Kommutativgesetz erfüllen. Das heißt, es sind die konvergenten Reihen gesucht, bei denen alle Umordnungen konvergieren und denselben Grenzwert besitzen. Solche konvergenten Reihen werden als unbedingt konvergent bezeichnet. Dagegen heißen konvergente Reihen, bei denen das Konvergenzverhalten und der Wert der Reihe von der Anordnung der Reihenglieder abhängt, bedingt konvergent. Wie das Beispiel 12.20c) zeigt, handelt es sich bei der alternierenden harmonischen Reihe ∑∞ k=1(−1)k+1 1k um eine bedingt konvergente Reihe. Absolute Konvergenz Mit dem folgenden Umordnungssatz 12.23 wird sich überraschenderweise herausstellen, dass unbedingte Konvergenz sehr eng mit einer ganz anderen Art von Konvergenzeigenschaft verbunden ist, die als absolute Konvergenz bezeichnet wird: Definition 12.21 (Absolute Konvergenz) Eine Reihe ∑∞ k=0 ak heißt absolut konvergent, wenn die Reihe ∑∞ k=0 |ak| konvergent ist. Absolut konvergente Reihen stellen den Normalfall konvergenter Reihen dar. Reihen die konvergent, aber nicht absolut konvergent sind, bilden eher die Ausnahme. Eine solche Ausnahme ist z. B. die alternierende harmonische Reihe∑∞ k=1(−1)k+1 1k . In Beispiel 12.10a) wurde gezeigt, dass die alternierende harmonische Reihe konvergiert und in Beispiel 12.10b) wurde nachgewiesen, dass die harmonische Reihe∑∞ k=1 ∣∣(−1)k+1 1 k ∣∣ = ∑∞k=1 1k divergiert. Die bekanntesten Vertreter der Klasse der absolut konvergenten Reihen sind die Potenzreihen, die in Abschnitt 17.4 betrachtet werden. Das Beispiel der alternierenden harmonischen Reihe zeigt, dass aus der Konvergenz einer Reihe im Allgemeinen nicht die absolute Konvergenz folgt. Der folgende Satz zeigt jedoch, dass wenigstens die Umkehrung gilt. Die absolute Konvergenz impliziert somit stets die (gewöhnliche) Konvergenz: Satz 12.22 (Absolute Konvergenz impliziert Konvergenz) Eine absolut konvergente Reihe ∑∞ k=0 ak ist konvergent. Beweis: Es sei ε > 0. Da ∑∞ k=0 |ak | konvergent ist, folgt mit dem Cauchy-Kriterium 12.9, dass es ein n0 ∈ N0 gibt, so dass∑m k=n+1 |ak | < ε für alle n,m ≥ n0 gilt. Zusammen mit der Dreiecksungleichung (3.4) impliziert dies ∣∣ ∣∣ ∣∣ m∑ k=n+1 ak ∣∣ ∣∣ ∣∣ ≤ m∑ k=n+1 |ak | < ε für alle n,m ≥ n0. Mit dem Cauchy-Kriterium 12.9 folgt somit, dass auch ∑∞ k=0 ak konvergent ist. Umordnungssatz Der folgende Umordnungssatz liefert nun die Erklärung dafür, weshalb die nicht absolut konvergente alternierende harmonische Reihe ∑∞ k=1(−1)k+1 1k auch nicht unbedingt konvergent ist. Denn der Teil a) besagt, dass absolute Konvergenz und unbedingte Konvergenz äquivalente Eigenschaften sind. Bei einer konvergenten Reihe konvergieren also genau dann alle Umordnungen gegen denselben Grenzwert, wenn die Reihe absolut konvergent ist. 314 Kapitel 1212.7 Kriterien für absolute Konvergenz Satz 12.23 (Umordnungssatz) a) Eine Reihe ∑∞ k=0 ak ist genau dann absolut konvergent, wenn sie unbedingt konvergent ist. Das heißt, wenn jede umgeordnete Reihe ∑∞ k=0 ank konvergent ist und ∑∞ k=0 ak = ∑∞ k=0 ank gilt. b) Ist ∑∞ k=0 ak eine bedingt konvergente (d. h. eine konvergente, aber nicht absolut konvergente) Reihe und s eine beliebige reelle Zahl, dann existiert eine Umordnung ∑∞ k=0 ank , die gegen s konvergiert, also für die ∑∞ k=0 ank = s gilt. Beweis: Für den nicht schwierigen, aber etwas umfangreicheren Beweis siehe z. B. Heuser [25], Seiten 197–199. B. Riemann Der erste Teil des Umordnungssatzes besagt somit, dass eine konvergente Reihe ∑∞ k=0 ak genau dann bedingt konvergent ist, wenn die Reihe ∑∞ k=0 |ak| nicht konvergent ist. Absolut konvergente Reihen können folglich wie endliche Summen in beliebiger Weise umgeordnet werden, ohne dass sich dadurch ihr Wert ver- ändert. Absolut konvergente Reihen erfüllen somit auch das Kommutativgesetz. Der zweite Teil des Umordnungssatzes ist als Riemannscher Umordnungssatz bekannt und geht auf den deutschen Mathematiker Bernhard Riemann (1826–1866) zurück, welcher als einer der bedeutendsten Mathematiker gilt. Der Riemannsche Umordnungssatz ist eines der erstaunlichsten Ergebnisse der gesamten Analysis. Dieses Ergebnis zeigt noch einmal deutlich auf, wie sehr sich die Eigenschaften von Reihen von denen von Summen unterscheiden können. 12.7 Kriterien für absolute Konvergenz Gemäß dem Umordnungssatz 12.23 besitzen nur absolut konvergente Reihen die wünschenswerte Eigenschaft, dass sich das Konvergenzverhalten der Reihe nicht durch Umordnung der Reihenglieder verändert. In den beiden Abschnitten 12.8 und 12.9 wird sich darüber hinaus zeigen, dass der Zusammenhang zwischen unbedingter und absoluter Konvergenz auch im Zusammenhang mit sogenannten Doppelreihen und Produkten von Reihen von zentraler Bedeutung ist. Die Eigenschaft der absoluten Konvergenz ist daher für viele Anwendungen wichtig und es werden einfache Kriterien benötigt, die zur Untersuchung einer Reihe auf absolute Konvergenz eingesetzt werden können. In Abschnitt 12.4 wurden bereits einige Kriterien zur Untersuchung einer Reihe auf (gewöhnliche) Konvergenz vorgestellt. Zwei dieser Konvergenzkriterien, nämlich das Monotoniekriterium 12.13 und das Majorantenkriterium 12.15, lassen sich auch zur Untersuchung einer Reihe auf absolute Konvergenz einsetzen. Denn aus dem Monotoniekriterium folgt unmittelbar, dass eine Reihe ∑∞ k=0 ak genau dann absolut konvergent ist, wenn die Folge (sn)n∈N0 der Partialsummen sn = ∑nk=0 |ak| nach oben beschränkt ist. Ferner ist eine konvergente Reihe ∑∞ k=0 ak mit nichtnegativen Reihengliedern ak natürlich auch absolut konvergent. Somit sind Reihen, die dem Majorantenkriterium genügen, auch automatisch absolut konvergent. In den folgenden beiden Unterabschnitten werden mit dem Quotienten- und Wurzelkriterium zwei bekannte Konvergenzkriterien vorgestellt, die speziell auf die Überprüfung absoluter Konvergenz abzielen. Das heißt, mit diesen beiden Kriterien ist es nicht möglich, Reihen zu identifizieren, die zwar konvergieren, aber nicht absolut konvergent sind. Dar- über hinaus haben diese Kriterien gemeinsam, dass sie beide aus dem Majorantenkriterium 12.15 hergeleitet werden und auf einem Vergleich der zu überprüfenden Reihe mit der geometrischen Reihe ∑∞ k=0 q k basieren. In vielen Fällen stellen das Quotienten- oder Wurzelkriterium den einfachsten Weg dar, eine Reihe auf absolute Konvergenz zu untersuchen. Allerdings besitzen sie auch den Nachteil, dass sie nicht sehr sensitiv sind. Denn bei Reihen, die „gerade noch“ oder „gerade nicht mehr“ konvergent sind, liefern sie keine Aussage (vgl. Beispiele 12.25b) und 12.27b)). Dieser Nachteil ist dadurch bedingt, dass das Quotientenund das Wurzelkriterium auf einem einfachen Vergleich mit der geometrischen Reihe basieren und man schließlich nicht mehr aus einem Kriterium herausholen kann als man hineingesteckt hat. Quotientenkriterium Das Quotientenkriterium wurde von dem französischen Mathematiker Jean-Baptiste le Rond d’Alembert (1717–1783) gefunden. Aufgrund seiner großen mathematischen und phy- 315 Kapitel 12 Reihen d’Alembert sikalischen Leistungen gilt er als einer der bedeutendsten Mathematiker und Physiker des 18. Jahrhunderts. Das Quotientenkriterium ist ein sehr anschauliches Kriterium. Im Wesentlichen besagt es, dass eine Reihe ∑∞ k=0 ak absolut konvergiert, wenn die Quotienten∣∣∣ ak+1 ak ∣∣∣ nur hinreichend klein sind. Genauer lautet das Quotientenkriterium wie folgt: Satz 12.24 (Quotientenkriterium) Eine Reihe ∑∞ k=0 ak ist absolut konvergent, wenn es ein k0 ∈ N0 und ein 0 < q < 1 gibt, so dass ∣∣∣∣ ak+1 ak ∣∣∣∣ ≤ q (12.16) und ak = 0 für alle k ≥ k0 gilt. Gibt es dagegen ein k0 ∈ N0 mit ∣ ∣∣ ∣ ak+1 ak ∣∣ ∣∣ ≥ 1 (12.17) und ak = 0 für alle k ≥ k0, dann ist die Reihe ∑∞k=0 ak divergent. Beweis: Es sei angenommen, dass es ein k0 ∈ N0 und ein 0 < q < 1 gibt, so dass (12.16) gilt. Dann erhält man ∣ ∣∣ ∣ ak ak0 ∣ ∣∣ ∣ = ∣∣ ∣∣ ak0+1 ak0 ∣ ∣∣ ∣ ∣∣ ∣∣ ak0+2 ak0+1 ∣ ∣∣ ∣ · . . . · ∣∣ ∣∣ ak ak−1 ∣ ∣∣ ∣ ≤ q · q · . . . · q︸ ︷︷ ︸ k − k0 Faktoren = qk−k0 für alle k ≥ k0. Es gilt somit |ak | ≤ Cqk mit C := |ak0 |q−k0 für alle k ≥ k0. Das heißt, die Reihe ∑k0k=0 |ak |+ ∑∞ k=k0+1 Cq k ist eine konvergente Majorante von ∑∞ k=0 |ak | (vgl. Satz 12.5b)) und mit dem Majorantenkriterium 12.15 erhält man schließlich, dass die Reihe ∑∞ k=0 |ak | konvergiert. Damit ist die Reihe∑∞ k=0 ak absolut konvergent. Gibt es dagegen ein k0 ∈ N0, so dass (12.17) für alle k ≥ k0 gilt, dann folgt 0 < |ak0 | ≤ |ak0+1| ≤ |ak0+2| ≤ . . . Das heißt, die Folge der Reihenglieder (an)n∈N0 ist keine Nullfolge. Mit dem Nullfolgenkriterium 12.11 folgt somit, dass die Reihe ∑∞ k=0 ak divergent ist. Das Quotientenkriterium ist oftmals einfacher anzuwenden als das Wurzelkriterium (siehe Wurzelkriterium 12.26). Es ist daher das beliebteste Konvergenzkriterium und es wird häufig zuerst betrachtet, bevor andere Kriterien herangezogen werden. Das Quotientenkriterium ist vor allem dann sehr gut geeignet, wenn die Reihenglieder ak Brüche sind oder Fakultäten in den Reihengliedern auftreten. Allerdings ist zu beachten, dass das Wurzelkriterium 12.26 den Vorteil besitzt, dass es etwas schärfer als das Quotientenkriterium ist. Es gibt somit Situationen, in denen das Wurzelkriterium noch eine Konvergenzaussage erlaubt, während das Quotientenkriterium versagt (siehe Beispiel 12.28). Beim Nachweis der Konvergenz einer Reihe mittels Quotientenkriterium ist jedoch zu beachten, dass es nicht genügt, einfach ∣∣∣ ak+1 ak ∣∣∣ < 1 für alle k ≥ k0 nachzuweisen. Es ist notwendig zu zeigen, dass ein 0 < q < 1 mit der Eigenschaft (12.16) existiert. Zum Beispiel ist die harmonische Reihe ∑∞ k=1 1 k divergent (siehe Beispiel 12.10b)) und es gilt ∣∣∣ ak+1 ak ∣∣∣ = k k+1 < 1 für alle k ∈ N. Es existiert aber kein 0 < q < 1 und k0 ∈ N mit ∣∣∣ ak+1 ak ∣∣∣ = k k+1 < q für alle k ≥ k0. Die Reihe ∑∞ k=1 1 k2 ist dagegen konvergent (vgl. Beispiel 12.14) und das Quotientenkriterium liefert aus demselben Grund keine Konvergenz- oder Divergenzaussage wie bei der Reihe ∑∞ k=1 1 k (vgl. Beispiel 12.25b)). Dies zeigt: Sind die Quotienten ∣ ∣∣ ak+1 ak ∣∣ ∣ zwar kleiner als 1, aber kommen für wachsendes k beliebig nahe an 1 heran, dann versagt das Quotientenkriterium und es kann mit seiner Hilfe keine Konvergenzaussage getroffen werden. Beispiel 12.25 (Anwendung des Quotientenkriteriums) a) Für die Reihe ∞∑ k=0 k2 2k gilt für alle k ≥ 3 ∣ ∣∣ ∣ ak+1 ak ∣∣ ∣∣ = (k + 1)22k 2k+1k2 = 1 2 ( 1 + 1 k )2 ≤ 1 2 ( 1 + 1 3 )2 = 8 9 =: q < 1. Mit dem Quotientenkriterium folgt somit, dass die Reihe absolut konvergent ist (vgl. Abbildung 12.9, links). 316 Kapitel 1212.7 Kriterien für absolute Konvergenz 0 10 20 30 40 50 0 1 2 3 4 5 6 0 10 20 30 40 50 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 Abb. 12.9: Partialsummen sn = ∑nk=0 k 2 2k (links) und sn = ∑nk=0 k k 5kk! (rechts) b) Für die Reihe ∞∑ k=1 1 k2 gilt ∣∣ ∣∣ ak+1 ak ∣∣ ∣∣ = k2 (k + 1)2 < 1 für alle k ∈ N. Wegen limn→∞ ∣ ∣∣ ak+1 ak ∣ ∣∣ = 1 gibt es jedoch kein q < 1 und k ∈ N, so dass ∣∣ ∣ ak+1 ak ∣∣ ∣ ≤ q für alle k ≥ k0 gilt. Das heißt, das Quotientenkriterium erlaubt keine Konvergenz- oder Divergenzaussage. In Beispiel 12.14 wurde jedoch bereits gezeigt, dass die Reihe ∑∞ k=1 1 k2 konvergent und wegen ak > 0 damit auch absolut konvergent ist (vgl. Abbildung 12.6, links). c) Betrachtet wird die Reihe ∞∑ k=0 kk 5kk! . Dann gilt ∣∣ ∣∣ ak+1 ak ∣∣ ∣∣ = (k + 1)k+1 5k+1(k + 1)! 5kk! kk = (k + 1) k 5kk = 1 5 ( k + 1 k )k = 1 5 ( 1 + 1 k )k für alle k ∈ N. Da die Folge ((1 + 1 n )n) n∈N monoton wachsend ist (siehe Beweis von Satz 11.43) und gegen die Eulersche Zahl e = 2,718281828 . . . konvergiert (siehe Definition 11.44), gilt ∣∣ ∣∣ ak+1 ak ∣ ∣∣ ∣ ≤ e 5 =: q < 1. Mit dem Quotientenkriterium folgt somit, dass die Reihe absolut konvergent ist (vgl. Abbildung 12.9, rechts). Wurzelkriterium A. L. Cauchy Das Wurzelkriterium wurde erstmals von dem französischen Mathematiker Augustin Louis Cauchy (1789–1857) bewiesen. Nach dem Quotientenkriterium ist es das populärste Konvergenzkriterium. In manchen Fällen ist es nicht ganz so einfach anzuwenden wie das Quotientenkriterium. Allerdings kann man nachwei- 317 Kapitel 12 Reihen sen, dass das Wurzelkriterium etwas schärfer ist als das Quotientenkriterium. Denn man kann zeigen, dass lim inf k→∞ ∣∣∣∣ ak+1 ak ∣∣∣∣ ≤ lim infk→∞ k √|ak| ≤ lim sup k→∞ k √|ak| ≤ lim sup k→∞ ∣∣∣∣ ak+1 ak ∣∣∣∣ gilt (vgl. Knopp [33], Seiten 286–287). Das heißt, das Wurzelkriterium liefert in einigen Situationen noch eine Konvergenzaussage, in denen das Quotientenkriterium keine Aussage mehr erlaubt. Versagt hingegen das Wurzelkriterium, dann liefert auch das Quotientenkriterium keine Aussage (vgl. Beispiel 12.28). Satz 12.26 (Wurzelkriterium) Eine Reihe ∑∞ k=0 ak ist absolut konvergent, wenn es ein k0 ∈ N0 und ein 0 < q < 1 gibt, so dass k √|ak| ≤ q (12.18) für alle k ≥ k0 gilt. Gibt es dagegen ein k0 ∈ N0 mit k √|ak| ≥ 1 (12.19) für alle k ≥ k0, dann ist die Reihe ∑∞k=0 ak divergent. Beweis: Es sei angenommen, dass es ein k0 ∈ N0 und ein 0 < q < 1 gibt, so dass (12.18) gilt. Dies liefert dann |ak | ≤ qk für alle k ≥ k0. Die Reihe k0∑ k=0 |ak | + ∞∑ k=k0+1 qk ist somit eine konvergente Majorante von ∑∞ k=0 |ak | (vgl. Satz 12.5b)). Mit dem Majorantenkriterium 12.15 folgt daher, dass die Reihe ∑∞ k=0 |ak | konvergiert und damit die Reihe ∑∞ k=0 ak absolut konvergent ist. Gibt es dagegen ein k0 ∈ N0, so dass (12.19) für alle k ≥ k0 gilt, dann folgt |ak | ≥ 1 für alle k ≥ k0. Das heißt, die Folge der Reihenglieder (an)n∈N0 ist keine Nullfolge. Mit dem Nullfolgenkriterium 12.11 folgt somit, dass die Reihe ∑∞ k=0 ak divergent ist. Das Wurzelkriterium ist besonders dann praktikabel, wenn die Reihenglieder ak einen Exponenten enthalten und beim Ziehen der k-ten Wurzel eine einfachere Gestalt resultiert. Analog zum Quotientenkriterium (vgl. Satz 12.24) ist bei der Anwendung des Wurzelkriteriums zu beachten, dass es nicht genügt lediglich k √|ak| < 1 für alle k ≥ k0 nachzuweisen. Auch beim Wurzelkriterium ist es notwendig zu zeigen, dass ein 0 < q < 1 mit der Eigenschaft (12.18) existiert. Zum Beispiel erlaubt das Wurzelkriterium wie auch das Quotientenkriterium für die divergente harmonische Reihe ∑∞ k=1 1 k und die konvergente Reihe ∑∞ k=1 1 k2 keine Konvergenzaussage. Das Wurzelkriterium versagt immer dann, wenn die Wurzeln k √|ak| zwar kleiner als 1 sind, aber für wachsendes k beliebig nahe an 1 herankommen. In solchen Fällen kann mit Hilfe des Wurzelkriteriums keine Konvergenzaussage getroffen werden. Beispiel 12.27 (Anwendung des Wurzelkriteriums) a) Für die Reihe ∞∑ k=1 ( 2 3 − 2√ k )k gilt k √|ak| = k √∣∣ ∣∣ 2 3 − 2√ k ∣∣ ∣∣ k = ∣ ∣∣ ∣ 2 3 − 2√ k ∣∣ ∣∣ . Daraus folgt limk→∞ k √|ak| = 23 < 1. Mit dem Wurzelkriterium folgt somit, dass die Reihe absolut konvergent ist (vgl. Abbildung 12.10, links). b) Für die Reihe ∞∑ k=1 1 k2 gilt k √|ak| = k √ 1 k2 = 1 k 2 k < 1 für alle k ∈ N mit k ≥ 2. Es gibt jedoch kein q < 1 und k0 ∈ N mit der Eigenschaft k√|ak| ≤ q für alle k ≥ k0. Das heißt, das Wurzelkriterium erlaubt wie das Quotientenkriterium 12.24 keine Konvergenz- oder Divergenzaussage (vgl. auch Beispiel 12.25b)). In Beispiel 12.14 wurde jedoch bereits gezeigt, dass die Reihe ∑∞ k=1 1 k2 konvergent und wegen ak > 0 damit auch absolut konvergent ist (vgl. Abbildung 12.6, links). 318 Kapitel 1212.7 Kriterien für absolute Konvergenz 10 20 30 40 50 −1.4 −1.2 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 20 40 60 80 100 −1.05 −1 −0.95 −0.9 −0.85 −0.8 −0.75 Abb. 12.10: Partialsummen sn = ∑nk=1 ( 2 3 − 2√k )k (links) und sn = ∑nk=0 ak mit ak = − 13k für k gerade und ak = 1 9k für k ungerade (rechts) Das folgende Beispiel zeigt, dass es durchaus Situationen gibt, in denen das Quotientenkriterium versagt, das Wurzelkriterium hingegen noch eine Konvergenzaussage erlaubt: Beispiel 12.28 (Vergleich Quotienten- und Wurzelkriterium) Die Reihe ∞∑ k=0 ak mit ak := { − 1 3k für k gerade 1 9k für k ungerade wird im Folgenden mit dem Quotienten- und dem Wurzelkriterium auf Konvergenz untersucht. (1) Quotientenkriterium 12.24: Für gerades k gilt ∣∣ ∣∣ ak+1 ak ∣ ∣∣ ∣ = 1 9k+1 3k 1 = 3 k 32k+2 = 1 3k+2 ≤ 1 9 < 1. Dagegen erhält man für ungerades k ≥ 3 ∣ ∣∣ ∣ ak+1 ak ∣ ∣∣ ∣ = 1 3k+1 9k 1 = 3k−1 ≥ 9 > 1. Das Quotientenkriterium erlaubt somit keine Aussage. (2) Wurzelkriterium 12.26: Für gerades k gilt k √|ak| = 1 3 =: q < 1 und für ungerades k erhält man k √|ak| = 1 9 ≤ q < 1. Aus dem Wurzelkriterium folgt somit, dass die Reihe absolut konvergiert. Gemäß dem Umordnungssatz 12.23 können somit die Reihenglieder umgeordnet werden, ohne dass sich dabei das Konvergenzverhalten der Reihe ändert. Zerlegt man z. B. die Reihe in zwei Reihen, von denen die eine die Reihenglieder für gerade k und die andere die Reihenglieder für ungerade k enthält, kann man leicht mit Hilfe von Satz 12.5b) den Wert der Reihe berechnen (vgl. Abbildung 12.10, rechts): ∞∑ k=0 ak = ∞∑ k=0 1 92k+1 + ∞∑ k=0 −1 32k = 1 9 ∞∑ k=0 1 81k − ∞∑ k=0 1 9k = 1 9 1 1 − 181 − 1 1 − 19 = 1 9 81 80 − 9 8 = −81 80 319 Kapitel 12 Reihen 12.8 Doppelreihen Doppelreihenbegriff In vielen wirtschaftswissenschaftlichen Anwendungen und vor allem auch bei der Multiplikation von Reihen (siehe Abschnitt 12.9) treten häufig Reihen mit der Indexmenge N0 × N0 (N0 × N oder N × N) auf. Man spricht dann von einer Doppelreihe und schreibt ∞∑ k=0 ∞∑ l=0 akl oder ∞∑ k,l=0 akl . Darunter versteht man die Doppelfolge (smn)m,n∈N0 der Partialsummen smn := m∑ k=0 n∑ l=0 akl = (a00 + a01 + . . .+ a0n) + (a10 + a11 + . . .+ a1n) + . . .+ (am0 + am1 + . . .+ amn) und sagt, dass die Doppelreihe ∑∞ k,l=0 akl gegen s konvergiert oder den Wert (Grenzwert, Summe, Limes) s besitzt, falls die Doppelfolge der Partialsummen (smn)m,n∈N0 für m, n → ∞ gegen s konvergiert. Das heißt, wenn lim m,n→∞ smn = s gilt. Man schreibt dann ∞∑ k,l=0 akl = s. Sind die Reihenglieder akl nichtnegativ, dann besagt das Monotoniekriterium (vgl. Satz 12.13), dass die Doppelreihe∑∞ k,l=0 akl genau dann konvergiert, wenn die Partialsummen smn nach oben beschränkt sind. Das heißt, wenn ein c ≥ 0 mit |smn| ≤ c für alle m, n ∈ N0 existiert. Ist die Doppelreihe ∑∞ k,l=0 akl absolut konvergent, d. h. konvergiert ∑∞ k,l=0 |akl |, dann gilt analog zu einfachen Reihen, dass auch ∑∞ k,l=0 akl konvergent ist. Denn in diesem Fall konvergieren die Doppelreihen ∞∑ k,l=0 1 2 (|akl | + akl) und ∞∑ k,l=0 1 2 (|akl | − akl), da sie durch ∑∞ k,l=0 |akl | nach oben beschränkt und ihre Reihenglieder nichtnegativ sind. Damit ist aber auch die Doppelreihe ∞∑ k,l=0 akl = ∞∑ k,l=0 1 2 (|akl | + akl)− ∞∑ k,l=0 1 2 (|akl | − akl) konvergent. Werden die Glieder der Doppelreihe ∑∞ k,l=0 akl wie in Tabelle 12.2 angeordnet, dann ist es naheliegend, die Reihen ∞∑ l=0 akl und ∞∑ k=0 akl als Zeilen- bzw. Spaltensummen zu bezeichnen. Ihre Grenzwerte heißen im Falle ihrer Existenz entsprechend Zeilenbzw. Spaltenwerte der Doppelreihe. k/l 0 1 2 3 . . . 0 a00 a01 a02 a03 . . . 1 a10 a11 a12 a13 . . . 2 a20 a21 a22 a23 . . . 3 a30 a31 a32 a33 . . . ... ... ... ... ... . . . Tabelle 12.2: Quadratische Anordnung der Glieder der Doppelreihe ∑∞ k,l=0 akl Doppelreihensatz Der folgende Doppelreihensatz besagt, dass es bei einer absolut konvergenten Reihe ∑∞ k,l=0 akl keine Rolle spielt, ob man zuerst entlang der Zeilen, der Spalten oder der Diagonalen summiert. Satz 12.29 (Doppelreihensatz) Die Doppelreihe ∑∞ k,l=0 akl sei absolut konvergent. Dann gilt ∞∑ k,l=0 akl = ∞∑ k=0 ( ∞∑ l=0 akl ) (12.20) = ∞∑ l=0 ( ∞∑ k=0 akl ) = ∞∑ m=0 ( ∑ k+l=m akl ) . Beweis: Der Beweis ergibt sich als unmittelbare Folgerung aus dem sogenannten großen Umordnungssatz. Da dieser nicht Gegenstand dieses Buches ist, wird an dieser Stelle für einen ausführlichen Beweis z. B. auf Walter [67], Seiten 101–102 verwiesen. Gemäß dem Doppelreihensatz kann bei einer absolut konvergenten Doppelreihe die Summationsreihenfolge vertauscht werden. 320 Kapitel 1212.9 Produkte von Reihen Wie sich im folgenden Abschnitt 12.9 zeigen wird, ist der Doppelreihensatz ein wichtiges Hilfsmittel bei der Berechnung des Produkts absolut konvergenter Reihen. Darüber hinaus zeigt das nächste Beispiel, dass sich mit dem Doppelreihensatz viele interessante Identitäten beweisen lassen. Beispiel 12.30 (Anwendung des Doppelreihensatzes) a) Betrachtet wird die Doppelreihe ∞∑ k=0 ∞∑ l=0 pkql (12.21) mit |p| < 1 und |q| < 1. Mit Satz 12.5b) folgt m∑ k=0 n∑ l=0 ∣∣pkql ∣∣ = m∑ k=0 ∣∣pk ∣∣ n∑ l=0 ∣∣ql ∣∣ = m∑ k=0 |p|k n∑ l=0 |q|l ≤ 1 1 − |p| 1 1 − |q| . Die Partialsummen von ∑m k=0 ∑n l=0 ∣ ∣pkql ∣ ∣ sind folglich nach oben beschränkt. Die Doppelreihe (12.21) ist somit absolut konvergent und der Doppelreihensatz 12.29 kann zur Berechnung der Doppelreihe (12.21) angewendet werden. Wegen ∑∞ k=0 q k = 11−q für |q| < 1 erhält man ∞∑ k=0 ∞∑ l=0 pkql = ∞∑ k=0 ( ∞∑ l=0 pkql ) = ∞∑ k=0 pk 1 − q = 1 1 − q ∞∑ k=0 pk = 1 1 − q 1 1 − p . b) Betrachtet wird die Doppelreihe ∞∑ k=0 ∞∑ l=0 akl (12.22) mit akl := ql und |q| < 1 für l ≥ k sowie akl := 0 für l < k. Mit ∑∞ k=0 q k = 11−q für |q| < 1 (vgl. Satz 12.5b)) erhält man für diese Doppelreihe das folgende Schema: 1 + q + q2 + q3 + q4 + . . . = 11−q q + q2 + q3 + q4 + . . . = q1−q q2 + q3 + q4 + . . . = q21−q q3 + q4 + . . . = q31−q . . . . . . . . . 1 + 2q + 3q2 + 4q3 + 5q4 + . . . = 11−q ∞∑ n=0 qn Die Reihe ∑∞ n=0(n+ 1)qn ist jedoch für |q| < 1 absolut konvergent. Denn es gilt n √|(n+ 1)qn| = |q| n√n+ 1 und damit auch limn→∞ n √|(n+ 1)qn| = |q| < 1. Mit dem Wurzelkriterium 12.26 folgt somit, dass die Reihe ∑∞ n=0(n+ 1)qn absolut konvergent ist und es kann daher der Doppelreihensatz 12.29 zur Berechnung der Doppelreihe (12.22) angewendet werden. Mit 11−q ∞∑ n=0 qn = 1 (1−q)2 erhält man dann schließlich ∞∑ k=0 ∞∑ l=0 akl = ∞∑ n=0 (n+ 1)qn = 1 (1 − q)2 . 12.9 Produkte von Reihen Konvergenz bei Produkten Das Produkt zweier endlicher Summen ∑m k=0 ak und ∑n l=0 bl wird bekanntlich gebildet, indem jeder Summand ak der ersten Summe mit jedem Summanden bl der zweiten Summe multipliziert wird und die resultierenden Produkte akbl anschließend addiert werden: (a0+. . .+am)(b0+. . .+bn) = m∑ k=0 ak ( n∑ l=0 bl ) = m∑ k=0 n∑ l=0 akbl Dieses Vorgehen kann jedoch nicht ohne zusätzliche Annahmen auf das Produkt zweier konvergenter Reihen ∑∞ k=0 ak und ∑∞ l=0 bl verallgemeinert werden. Man kann zwar wieder die Produkte akbl bilden und damit eine Produktreihe ∞∑ k,l=0 akbl 321 Kapitel 12 Reihen aufstellen. Allerdings ist dabei nicht sichergestellt, dass diese Doppelreihe auch konvergiert. Aber selbst wenn diese Produktreihe Konvergenz aufweist, ist es immer noch möglich, dass sie nur bedingt konvergent ist und damit ihr Wert von der Anordnung der Produkte/Reihenglieder akbl abhängt. Da es sich jedoch bei Produktreihen um Doppelreihen handelt, kann der Doppelreihensatz 12.29 angewendet werden und man erhält dann das folgende Resultat. Es besagt, dass diese beiden angesprochenen Probleme im Falle der Berechnung des Produkts zweier absolut konvergenter Reihen∑∞ k=0 ak und ∑∞ l=0 bl nicht auftreten können: Satz 12.31 (Konvergentes Produkt bei absolut konvergenten Reihen) Die beiden Reihen ∑∞ k=0 ak und ∑∞ l=0 bl seien absolut konvergent. Dann ist jede Produktreihe ∑∞ k,l=0 akbl aus ihren Reihengliedern absolut konvergent und ihr Grenzwert ist gleich dem Produkt der Grenzwerte der beiden Reihen. Das heißt, das Produkt der beiden Reihen kann durch gliedweise Multiplikation berechnet werden und es gilt ( ∞∑ k=0 ak )( ∞∑ l=0 bl ) = ∞∑ k,l=0 akbl. (12.23) Beweis: Es sei a := ∑∞k=0 |ak | und b := ∑∞ l=0 |bl |. Dann gilt für alle m, n ∈ N0 m∑ k=0 n∑ l=0 |akbl | = m∑ k=0 |ak | n∑ l=0 |bl | ≤ m∑ k=0 |ak |b ≤ ab. Mit dem Monotoniekriterium 12.13 folgt somit, dass die Doppelreihe ∑∞ k,l=0 akbl ebenfalls absolut konvergent ist und daher der Doppelreihensatz 12.29 angewendet werden kann. Mit den Bezeichnungen a′ := ∑∞k=0 ak und b′ := ∑∞ l=0 bl erhält man dann ∞∑ k,l=0 akbl = ∞∑ k=0 ( ∞∑ l=0 akbl ) = ∞∑ k=0 ak ( ∞∑ l=0 bl ) = ∞∑ k=0 akb ′ = a′b′ = ( ∞∑ k=0 ak )( ∞∑ l=0 bl ) . Beispiel 12.32 (Produkt absolut konvergenter Reihen) Es gilt, wie in Beispiel 12.30a) gezeigt wurde, ∞∑ k=0 ∞∑ l=0 pkql = 1 1 − p 1 1 − q = ( ∞∑ k=0 pk )( ∞∑ l=0 ql ) . Cauchy-Produkt Die Schreibweise ∑∞ k,l=0 akbl in (12.23) für Produktreihen mit den beiden Indizes k und l ist in bestimmten Situationen unhandlich. Deshalb werden Produktreihen oftmals als Cauchy-Produkt ∞∑ m=0 (a0bm + a1bm−1 + . . .+ amb0) (12.24) geschrieben. Diese Schreibweise für die Produktreihe resultiert, wenn die Glieder von ∑∞ k,l=0 akbl wie in Tabelle 12.2 angeordnet werden und dann nicht erst über die Zeilen und danach über die Spalten (oder umgekehrt) aufsummiert, sondern die Summe entlang der Diagonalen gebildet wird. Das Cauchy-Produkt zweier Reihen ist nach dem französischen Mathematiker Augustin Louis Cauchy (1789–1857) benannt und besitzt den Vorteil, dass es nur noch von einem Index m abhängt und auf diese Weise aus einer Doppelreihe eine gewöhnliche Reihe wird, deren Reihenglieder endliche Summen sind. Die Darstellung (12.24) ist daher oftmals einfacher anzuwenden als die der Produktreihe ∑∞ k,l=0 akbl . Diese Vereinfachung wird z. B. im Umgang mit sogenannten Potenzreihen spürbar (siehe Abschnitt 17.4). Es stellt sich daher unmittelbar die Frage, ob das Cauchy- Produkt (12.24) zweier Reihen konvergiert, und im Falle der Konvergenz, ob der zugehörige Grenzwert mit dem Produkt der Grenzwerte der beiden zu multiplizierenden Reihen übereinstimmt. Mit Hilfe des Doppelreihensatzes 12.29 und dem Satz 12.31 kann man zeigen, dass dies für absolut konvergente Reihen stets der Fall ist: Folgerung 12.33 (Konvergentes Cauchy-Produkt bei absolut konv. Reihen) Die beiden Reihen ∑∞ k=0 ak und ∑∞ l=0 bl seien absolut konvergent. Dann ist auch das Cauchy-Produkt dieser beiden Reihen absolut konvergent und der Grenzwert des Cauchy-Produkts ist gleich dem Produkt der Grenzwerte der beiden zu multiplizierenden Reihen. Das heißt, es gilt ( ∞∑ k=0 ak )( ∞∑ l=0 bl ) = ∞∑ m=0 m∑ n=0 anbm−n = ∞∑ m=0 (a0bm + a1bm−1 + . . .+ amb0). 322 Kapitel 1212.9 Produkte von Reihen Beweis: Da die beiden Reihen ∑∞ k=0 ak und ∑∞ l=0 bl nach Voraussetzung absolut konvergent sind, folgt mit Satz 12.31, dass die Produktreihe ∑∞ k,l=0 akbl ebenfalls absolut konvergent ist. Zusammen mit dem Doppelreihensatz 12.29 und Satz 12.19 folgt dann ( ∞∑ k=0 ak )( ∞∑ l=0 bl ) = ∞∑ k,l=0 akbl = ∞∑ m=0 ( ∑ k+l=m akbl ) = ∞∑ m=0 m∑ n=0 anbm−n = ∞∑ m=0 (a0bm + a1bm−1 + . . .+ amb0). Das Cauchy-Produkt zweier Reihen stellt die Verallgemeinerung des Distributivgesetzes von endlichen Summen auf Reihen dar. Häufig wird das Cauchy-Produkt auch als Faltungsprodukt bezeichnet. F. Mertens Der nach dem österreichischen Mathematiker Franz Mertens (1840–1927) benannte Satz von Mertens besagt, dass die Voraussetzungen der Folgerung 12.33 dahingehend abgeschwächt werden können, dass beide Reihen∑∞ k=0 ak und ∑∞ l=0 bl konvergieren, aber nur eine der beiden Reihen absolut konvergent ist. Allerdings ist dann das Cauchy- Produkt im Allgemeinen nicht mehr absolut konvergent, sondern lediglich konvergent. Für die Konvergenz des Cauchy-Produkts ist aber die absolute Konvergenz wenigstens einer der beiden Ausgangsreihen notwendig (siehe hierzu z. B. Königsberger [35], Seite 74). Norwegische Banknote mit dem Porträt von N. H. Abel Eine weitere Verschärfung von Folgerung 12.33 besagt, dass im Falle zweier konvergenter Ausgangsreihen ∑∞ k=0 ak und∑∞ l=0 bl sowie Konvergenz des zugehörigen Cauchy-Produkts, der Grenzwert des Cauchy- Produkts gleich dem Produkt der Grenzwerte der beiden Ausgangsreihen ist. Dieses Ergebnis ist nach dem norwegischen Mathematiker Niels Henrik Abel (1802–1829) als Abelscher Produktsatz bekannt (vgl. Bröcker [7], Seite 99). Beispiel 12.34 (Cauchy-Produkt) Die Reihe ∞∑ k=0 1 k! ist absolut konvergent und besitzt den Grenzwert e (vgl. (12.10))). Das heißt, das Cauchy-Produkt dieser Reihe mit sich selbst ist ebenfalls absolut konvergent und für den Grenzwert des Cauchy-Produkts gilt e2 = ∞∑ m=0 m∑ n=0 anbm−n = ∞∑ m=0 m∑ n=0 1 n! 1 (m− n)! = ∞∑ m=0 1 m! m∑ n=0 m! n!(m− n)! = ∞∑ m=0 1 m! m∑ n=0 ( m n ) = ∞∑ m=0 1 m! m∑ n=0 ( m n ) 1n1m−n = ∞∑ m=0 (1 + 1)m m! = ∞∑ m=0 2m m! , wobei in der vorletzten Gleichung der Binomische Lehrsatz 5.12 verwendet wurde. Die Identität e2 = ∑∞m=0 2 m m! ist ein Spezialfall der wichtigen Identität ex = ∑∞m=0 x m m! , die für alle x ∈ R gilt (vgl. Beispiel 17.10a) in Abschnitt 17.3). 323

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References

Zusammenfassung

"uneingeschränkt zu empfehlen, [...] insbesondere als Einstiegslektüre im Bachelor-Studium". In: Studium, 2013.

So zentral die Rolle der Mathematik in der Ökonomie ist, so schwer tun sich die Studierenden mit mathematischen Methoden und Konzepten. Umso wichtiger ist es, die Studierenden bei ihrem aktuellen Wissensstand abzuholen und vorsichtig an den Stoff heranzuführen. Diesem Ziel verschreibt sich dieses Lehrbuch. Es führt mit vielen interessanten Beispielen aus der Ökonomie, kurzen Anekdoten und einem modernen mehrfarbigen Design in die zentralen mathematischen Methoden für ein erfolgreiches Wirtschaftsstudium ein, ohne dabei auf mathematische Klarheit sowie die notwendige Formalität und Stringenz zu verzichten. Auch nach dem Studium ist dieses Buch ein wertvoller Begleiter bei der mathematischen Lösung wirtschaftswissenschaftlicher Problemstellungen.

Aus dem Inhalt:

* Mathematische Grundlagen

* Lineare Algebra

* Matrizentheorie

* Folgen und Reihen

* Reellwertige Funktionen in einer und mehreren Variablen

* Differential- und Integralrechnung

* Optimierung mit und ohne Nebenbedingungen

* Numerische Verfahren

Dozenten finden auf der Website zum Buch unter www.vahlen.de zusätzliche Materialien zum Download.

"Indem Sie den Lehrstoff schrittweise aufbereiten und den Leser bei seinem aktuellen Wissenstand abholen, gelingt es ihnen [den Autoren], auch komplexe Zusammenhänge leicht nachvollziehbar zu vermitteln. Geschickt bauen sie immer wieder kurze Anekdoten, historische Ereignisse und überraschende Erkenntnisse in den Text ein". In: Studium, 2013.

Prof. Dr. Michael Merz ist Inhaber des Lehrstuhls für Mathematik und Statistik in den Wirtschaftswissenschaften an der Universität Hamburg. Prof. Dr. Mario V. Wüthrich forscht und lehrt am Department für Mathematik der ETH Zürich.