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4. Terme, Gleichungen und Ungleichungen in:

Michael Merz, Mario V. Wüthrich

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, page 81 - 98

Die Einführung mit vielen ökonomischen Beispielen

1. Edition 2012, ISBN print: 978-3-8006-4482-7, ISBN online: 978-3-8006-4483-4, https://doi.org/10.15358/9783800644834_81

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Kapitel4 Terme, Gleichungen und Ungleichungen Kapitel 4 Terme, Gleichungen und Ungleichungen 4.1 Konstanten, Parameter, Variablen und Terme In den vorausgegangenen Kapiteln wurden bereits Symbole wie a, b, c usw. verwendet, die stellvertretend für eine beliebige, aber fest gewählte Zahl stehen. Solche Symbole werden als Parameter bezeichnet und unterscheiden sich von gewöhnlichen Konstanten wie z. B. 1, π, e, 17, √ 2, . . . dadurch, dass sie zwar auch konstante Größen sind, aber – im Rahmen gewisser Bedingungen – beliebig gewählt werden können. Aryabhata I. Dienen dagegen Symbole, wie etwa x, y, . . . als Platzhalter für Rechengrößen wie z. B. reelle Zahlen, die nicht konstant, sondern variabel sind, dann spricht man von Variablen oder auch Veränderlichen. Genauer spricht man von einer freien Variablen, wenn der Wert der Variablen innerhalb eines Definitionsbereichs D frei gewählt werden kann, und von einer abhängigen Variablen, wenn der Wert der Variablen von den Werten einer oder mehrerer anderer Variablen abhängt. Die Menge der möglichen Werte einer abhängigen Variablen wird als Wertebereich W bezeichnet. Variablen sind bereits in den Arbeiten des bedeutenden indischen Mathematikers Aryabhata I. (ca. 476 – ca. 550 n. Chr.) zu finden. Werden Konstanten, Parameter und/oder Variablen durch algebraische Operationen, mathematische Verknüpfungen oder Klammern miteinander verbunden, wie z. B. in x + y 3y , √ x2y + b + π, (a + b)2 oder x3 + bx + 1, dann spricht man von einem (mathematischen) Term oder Ausdruck. Dabei ist bei Termen, in denen Parameter und/oder Variablen auftreten, wie z. B. a, b, x und y in den obigen Beispielen, zusätzlich anzugeben, aus welcher Grundmenge die Werte für die Parameter und Variablen zu wählen sind. In einem solchen Fall erhält der Term erst durch das Einsetzen von Elementen der Grundmenge einen konkreten Wert. Die Teilmenge der Grundmenge, für die der Term wohldefiniert ist, wird als Definitionsbereich D des Terms bezeichnet. Ein Term ist somit keine Aussage, sondern ein Symbol für ein mathematisches Objekt und damit selbst weder wahr noch falsch. Ein Term kann jedoch zu einer Aussageform wie einer Gleichung oder Ungleichung zusammengefügt werden, die durch Einsetzen von Werten aus dem Definitionsbereich der auftretenden Variablen oder durch Quantifizierung in eine Aussage übergeht und damit insbesondere entweder wahr oder falsch ist (siehe hierzu auch Abschnitt 1.4). 4.2 Gleichungen Gleichungen sind für die Mathematik von fundamentaler Bedeutung. Viele bedeutende Sätze in der Mathematik können dem Lösen oder der Gültigkeit bzw. Nichtgültigkeit von Gleichungen zugeordnet werden. A. Einstein Die Bedeutung von Gleichungen ist aber auch außerhalb der Mathematik, vor allem in den Natur-, Ingenieur- und Wirtschaftswissenschaften, sehr groß. Von dem berühmten Physiker und Nobelpreisträger Albert Einstein (1879–1955) ist sogar das Zitat überliefert: „Gleichungen sind wichtiger für mich, weil die Politik für die Gegenwart ist, aber eine Gleichung für die Ewigkeit.“ A. Einstein auf einer deutschen Sonderbriefmarke Einsteins sehr besondere Beziehung zu Gleichungen drückt sich auch darin aus, dass die wohl berühmteste Gleichung der Welt, nämlich E = mc2 im Jahre 1905 von ihm selbst entdeckt wurde. Sie besagt, dass Energie E gleich Masse m mal Lichtgeschwindigkeit c zum Quadrat ist, und drückt damit insbesondere die Äquivalenz von Masse und Energie aus. Allgemein entsteht eine Gleichung, wenn zwei Terme T1 und T2 durch ein Gleichheitszeichen „=“ miteinander verbunden werden: T1 = T2 (4.1) Bei der Gleichung (4.1) handelt es sich dann um eine Aussage, die entweder wahr oder falsch ist, wenn die beiden Terme T1 und T2 nicht von Variablen abhängen. Andernfalls handelt 70 Kapitel 44.2 Gleichungen es sich bei (4.1) um eine Aussageform. Dies bedeutet, es ist dann von den konkret für die Variablen eingesetzten Werten oder der Quantifizierung durch einen Quantor abhängig, ob die dadurch resultierende Aussage den Wahrheitswert w oder f besitzt. Ist eine Gleichung von einer Variablen x abhängig, dann werden die Werte der Variablen, die zum Definitionsbereich D der Variablen gehören und für welche die Gleichung wahr ist, als Lösungen der Gleichung bezeichnet. Die Menge aller Lösungen heißt entsprechend Lösungsmenge L der Gleichung. Gilt für die Lösungsmenge einer GleichungL = ∅, dann wird die Gleichung als unerfüllbar oder unlösbar über dem Definitionsbereich D bezeichnet. Besitzt z. B. die Variable x der Gleichung x2 = 2 (4.2) den Definitionsbereich D = R, dann existieren zwei Lösungen. Die Lösungsmenge ist also zweielementig und durch L = {−√2,√2} gegeben. Für den Definitionsbereich D = N gilt hingegen L = ∅. Demnach ist die Gleichung (4.2) über D = N unlösbar. Sind mehrere Gleichungen gegeben, dann spricht man auch von einem Gleichungssystem. Eine Lösung des Gleichungssystems muss alle Gleichungen simultan erfüllen. Zum Beispiel besitzt das (lineare) Gleichungssystem x + y + z = 6 2x − y − 3z = −9 −x − y + 2z = 3 genau eine Lösung, nämlich (1, 2, 3), weshalb die Lösungsmenge einelementig und durch L = {(1, 2, 3)} gegeben ist. Identitäts-, Bestimmungs- und Definitionsgleichung Gleichungen können nach unterschiedlichen Gesichtspunkten klassifiziert werden. Eine häufig verwendete Einteilung erfolgt anhand des Gültigkeitsbereichs einer Gleichung. Man unterscheidet dann zwischen Identitäts-, Bestimmungs- und Definitionsgleichung: a) Ist eine Gleichung über einer vorgegebenen Grundmenge allgemeingültig, wird sie als Identitätsgleichung oder Identität bezeichnet. Zum Beispiel ist – der Satz von Pythagoras c2 = a2 + b2 für alle rechtwinkligen Dreiecke mit der Hypotenuse c und den Katheten a und b wahr (siehe Satz 5.3) – und die zweite Binomische Formel (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 für alle a, b ∈ R eine wahre Aussage (siehe (5.2)). Zur besseren Unterscheidung wird bei Identitätsgleichungen oftmals anstatt des Gleichheitszeichens „=“ auch das Kongruenzzeichen „≡“ verwendet. b) Eine Gleichung, die nicht allgemeingültig ist, sondern nur für gewisse Werte aus einer vorgegebenen Grundmenge, wird als Bestimmungsgleichung bezeichnet. Über der Menge R der reellen Zahlen ist z. B. – die lineare Gleichung ax = b mit a, b ∈ R und a = 0 nur für x = b a eine wahre Aussage und – die quadratische Gleichung x2 = 2 nur für x = √2 und x = −√2 wahr. c) Wird eine Gleichung zur Definition neuer Symbole verwendet, wird sie als Definitionsgleichung bezeichnet. Das zu definierende mathematische Objekt steht dann auf der linken Seite und wird durch den Ausdruck auf der rechten Seite definiert. Zur besseren Unterscheidung wird bei Definitionsgleichungen oftmals anstelle des Gleichheitszeichens „=“ das Definitionszeichen „:=“ verwendet oder „def“ über das Gleichheitszeichen geschrieben. Zum Beispiel wird – durch i2 := −1 die imaginäre Einheit i (vgl. (3.12)) und – durch N := {1, 2, 3, 4, 5, . . .} das Symbol für die Menge der natürlichen Zahlen (vgl. Seite 6) definiert. Analytische und numerische Lösung Bei der Art und Weise, wie eine Bestimmungsgleichung gelöst werden kann, unterscheidet man zwischen analytischer und numerischer Lösung: a) Man spricht von analytischer Lösung einer Bestimmungsgleichung, wenn die Lösungen exakt ermittelt werden können. Dabei wird versucht, mit Hilfe von Äquivalenzumformungen die Gleichung schrittweise in eine Gleichung mit derselben Lösungsmenge umzuformen, deren 71 Kapitel 4 Terme, Gleichungen und Ungleichungen Lösung einfach bestimmt werden kann. Zum Beispiel kann die quadratische Gleichung ax2 + bx + c = 0 für a, b, c ∈ R mit a = 0 stets mit Hilfe von Äquivalenzumformungen analytisch gelöst werden (siehe hierzu den Beweis von Satz 4.6). b) In den meisten Fällen kann eine Bestimmungsgleichung nicht analytisch gelöst werden. Dies gilt z. B. für die Gleichung x7 + 2x6 + 5x4 + sin(x) = ln(x). In solchen Fällen kommen dann Computer und Näherungsverfahren wie z. B. das Regula-falsi- oder das Newton-Verfahren zum Einsatz, um wenigstens näherungsweise eine numerische Lösung der Gleichung zu berechnen (siehe Kapitel 17). Äquivalenzumformungen Die Umformung einer Gleichung wird als Äquivalenzumformung bezeichnet, wenn sie die Lösungsmenge L der Gleichung nicht verändert. Äquivalenzumformungen stellen die wichtigste Methode zum analytischen Lösen von Gleichungen dar. Mit ihrer Hilfe wird versucht, eine Gleichung schrittweise in einfachere, aber äquivalente Gleichungen – d. h. Gleichungen mit derselben Lösungsmenge L – umzuformen. Das Ziel ist es dabei, eine äquivalente Gleichung zu erhalten, deren Lösungen einfacher bestimmt werden können. Bei den folgenden Umformungen handelt es sich um Äquivalenzumformungen einer gegebenen Gleichung T1 = T2: a) Vertauschen der Seiten: T2 = T1 b) Addition und Subtraktion eines Terms A auf beiden Seiten: T1 + A = T2 + A bzw. T1 − A = T2 − A c) Multiplikation und Division mit einem Term A = 0 auf beiden Seiten: T1 · A = T2 · A bzw. T1 A = T2 A Die Multiplikation und Division beider Seiten einer Gleichung mit 0 stellt offensichlich keine Äquivalenzumformung dar. Zum Beispiel besitzt die Gleichung x2 = −1 über der Menge R der reellen Zahlen die Lösungsmenge L = ∅ und nach Multiplikation beider Seiten mit der Zahl 0 die Lösungsmenge L = R. Oftmals ist es nicht so einfach zu erkennen, dass die Umformung einer Gleichung einer Multiplikation oder Division der Gleichung mit der Zahl 0 entspricht und somit keine Äquivalenzumformung darstellt. Häufig muss durch eine Fallunterscheidung sichergestellt werden, dass eine Multiplikation oder Division mit der Zahl 0 nicht stattfinden kann. Durch eine Probe am Ende der Umformungen – d. h. durch Einsetzen der resultierenden Lösungen – kann jedoch stets vermieden werden, dass Werte fälschlicherweise als Lösungen der Gleichung aufgefasst werden (siehe hierzu Beispiel 4.1). Allgemein gilt, dass die Anwendung einer injektiven Funktion auf beiden Seiten einer Gleichung eine Äquivalenzumformung ist (zum Begriff der Injektivität siehe Abschnitt 6.7). Das heißt insbesondere, dass z. B. exp(T1) = exp(T2) sowie ln(T1) = ln(T2) für T1, T2 > 0 und √ T1 = √ T2 für T1, T2 ≥ 0 Äquivalenzumformungen der Gleichung T1 = T2 darstellen. Das Quadrieren der beiden Seiten einer Gleichung ist jedoch keine Äquivalenzumformung, da das Quadrieren über der Menge R der reellen Zahlen keine injektive Abbildung ist (siehe Beispiel 6.27c)). Zum Beispiel besitzt die Gleichung x = 1 eine reelle Lösung, die quadrierte Gleichung x2 = 1 besitzt dagegen zwei reelle Lösungen: −1 und 1. Das heißt, durch das Quadrieren hat sich die Lösungsmenge verändert. Beispiel 4.1 (Vorsicht bei Äquivalenzumformungen) Die Gleichung x x − 1 = x + 2 x + 1 x(x − 1) ist für x = 0 und x = 1 nicht definiert und besitzt daher den Definitionsbereich D = R\{0, 1}. Multiplizieren der beiden Seiten der Gleichung mit x(x − 1) liefert x2 = (x + 2)(x − 1)+ 1 72 Kapitel 44.3 Algebraische Gleichungen bzw. nach Ausmultiplizieren und Kürzen x = 1. Der Wert x = 1 ist jedoch nicht im Definitionsbereich D enthalten. Die Gleichung hat somit keine Lösung. Tatsächlich war die durchgeführte Umformung, nämlich die Multiplikation mit dem Term x(x− 1) keine Äquivalenzumformung. Denn das Produkt x(x−1) ergibt für x = 1 den Wert 0 und die Multiplikation mit 0 ist keine Äquivalenzumformung. 4.3 Algebraische Gleichungen Von besonders großer Bedeutung für viele Anwendungen sind sogenannte algebraische Gleichungen. Dabei handelt es sich um Gleichungen der Gestalt anx n + an−1xn−1 + . . .+ a1x + a0 = 0 (4.3) mit an = 0 und n ∈ N0, wobei die Parameter a0, a1, . . . , an als Koeffizienten und der höchste Exponent n als Grad der algebraischen Gleichung bezeichnet werden. Wenn die Koeffizienten nicht genauer spezifiziert sind, wird in der Regel davon ausgegangen, dass es sich bei ihnen um reelle Zahlen handelt. Algebraische Gleichungen können jedoch problemlos und völlig analog zum reellen Fall auch für komplexe Koeffizienten, d. h. Koeffizienten a0, a1, . . . , an ∈ C, betrachtet werden. Die Lösungen einer algebraischen Gleichung werden oft auch als Wurzeln (engl. „roots“) der Gleichung bezeichnet. Für n = 1 spricht man genauer auch von einer linearen Gleichung (z. B. 2x + 3 = 0) und für n ≥ 2 von einer nichtlinearen Gleichung. Wichtige Spezialfälle nichtlinearer Gleichungen ergeben sich für n = 2, n = 3 und n = 4. Man spricht dann von a) quadratischen Gleichungen, z. B. −3x2 + 52x − 1 = 0, b) kubischen Gleichungen, z. B. 17x 3 + x2 + 13x + 12 = 0, bzw. c) quartischen Gleichungen, z. B. −5x4+x3−16x2+4x+37 =0. Dividiert man Gleichung (4.3) durch den Leitkoeffizienten an = 0 und definiert man bi := aian für i = 0, 1, . . . , n, dann erhält man die sogenannte Normalform xn + bn−1xn−1 + . . .+ b1x + b0 = 0 der algebraischen Gleichung. Wird als Definitionsbereich D für die Variable x nur die Menge R der reellen Zahlen zugelassen, dann besitzt nicht jede algebraische Gleichung eine Lösung. Das einfachste Beispiel für diese Aussage ist die quadratische Gleichung x2 + 1 = 0. Denn es gibt bekanntlich keine reelle Zahl x, die quadriert den Wert −1 ergibt. Dies gilt jedoch nicht für die Menge C der komplexen Zahlen, denn für die imaginäre Einheit i ∈ C gilt per Definition i2 = −1 (vgl. (3.12)). J. B. D’Alembert Weitet man daher die Suche nach den Lösungen einer algebraischen Gleichung vom Grad n ≥ 1 auf den Zahlenbereich C der komplexen Zahlen aus, dann lässt sich der bedeutende Fundamentalsatz der Algebra beweisen. Er besagt, dass über der Menge C der komplexen Zahlen jede algebraische Gleichung vom Grad n ≥ 1 genau n (nicht notwendigerweise verschiedene) Lösungen besitzt. Auf der Liste der 100 wichtigsten mathematischen Sätze von Paul und Jack Abad belegt dieses mathematische Resultat einen bemerkenswerten 2. Platz. C. F. Gauß Der wohl erste Beweis für den Fundamentalsatz der Algebra wurde 1746 von dem französischen Mathematiker Jean- Baptiste le Rond d’Alembert (1717–1783) veröffentlicht. Dieser Beweis enthielt jedoch Lücken, die erst mit den Methoden der Analysis des 19. Jahrhunderts geschlossen werden konnten. Vollständig wurde der Fundamentalsatz der Algebra erstmals 1799 von dem deutschen Mathematiker Carl Friedrich Gauß (1777–1855) im Rahmen seiner Dissertation bewiesen. Aufgrund dieser und vieler weiterer herausragender mathematischer Leistungen wird Gauß von vielen als der bedeutendste Mathematiker aller Zeiten eingestuft. Dies zeigt sich z. B. darin, dass bereits im Jahre 1856 der 73 Kapitel 4 Terme, Gleichungen und Ungleichungen König von Hannover Gedenkmünzen mit dem Bild von Gauß und der Inschrift „Mathematicorum Principi“ (lat. für „dem Fürsten der Mathematiker“) prägen ließ. Satz 4.2 (Fundamentalsatz der Algebra) Über der Menge C der komplexen Zahlen besitzt jede algebraische Gleichung anx n + an−1xn−1 + . . .+ a1x + a0 = 0 vom Grad n ≥ 1 mit reellen oder komplexen Koeffizienten a0, a1, . . . , an genau n (nicht notwendigerweise verschiedene) Lösungen. Sind diese Lösungen und die zugehörigen Vielfachheiten durch x1, . . . , xr bzw. k1, . . . , kr gegeben, dann gilt r∑ i=1 ki = n und die Gleichung besitzt die Produktdarstellung an(x − x1)k1(x − x2)k2 · . . . · (x − xr)kr = 0. Beweis: Für einen rein analytischen Beweis dieses Satzes siehe z. B. Storch-Wiebe [65], Seite 260. Beispiel 4.3 (Fundamentalsatz der Algebra) a) Die quadratische Gleichung x2 + 1 = 0 (4.4) besitzt über der Menge R der reellen Zahlen keine Lösung. Dagegen existieren über der Menge C der komplexen Zahlen die beiden Lösungen x1 = i und x2 = −i, wie sich durch Einsetzen dieser beiden Werte in die Gleichung (4.4) leicht nachweisen lässt. Gemäß dem Fundamentalsatz der Algebra gibt es keine weiteren Lösungen. Die quadratische Gleichung besitzt somit die Produktdarstellung (x − i)(x + i) = 0. b) Die quartische Gleichung x4 + 1 = 0 (4.5) besitzt über der Menge R der reellen Zahlen keine Lösung. Dagegen existieren über der Menge C der komplexen Zahlen die vier Lösungen x1= 1√2 (−1+i), x2 = 1√2 (−1− i), x3= 1√2 (1+ i) und x4 = 1√2 (1− i), wie sich durch Einsetzen dieser Werte in die Gleichung (4.5) leicht nachweisen lässt. Mit dem Fundamentalsatz der Algebra folgt, dass darüber hinaus keine weiteren Lösungen existieren. Die quartische Gleichung besitzt somit die Produktdarstellung ( x + 1√ 2 (1 − i) ) × ( x + 1√ 2 (1 + i) ) × ( x − 1√ 2 (1 + i) ) × ( x − 1√ 2 (1 − i) ) = 0. Die beiden in Beispiel 4.3 betrachteten Polynome lassen vermuten, dass bei einer algebraischen Gleichung mit ausschließlich reellen Koeffizienten a0, a1, . . . , an und einer komplexen Lösung xi auch die dazugehörige konjugierte komplexe Zahl xi eine Lösung der Gleichung ist. Diese Vermutung wird durch den folgenden Satz bestätigt, dessen Beweis eine gute Übungsaufgabe für das Rechnen mit den Rechenregeln (3.14) für konjugierte komplexe Zahlen ist: Satz 4.4 (Lösungen algebraischer Gleichungen als konjugierte Paare) Eine komplexe Zahl xi ist genau dann die Lösung einer algebraischen Gleichung anx n + an−1xn−1 + . . .+ a1x + a0 = 0 mit reellen Koeffizienten a0, a1, . . . , an, wenn auch xi eine Lösung ist. Beweis: Nach Voraussetzung gilt a0, a1, . . . , an ∈ R. Dies impliziert aj = aj für j = 0, . . . , n. Zusammen mit den Rechenregeln (3.14) folgt daraus 0 = anxni + an−1xn−1i + . . .+ a1xi + a0 = anxni + an−1xn−1i + . . .+ a1xi + a0 = anxni + an−1xn−1i + . . .+ a1xi + a0. Damit ist mit der komplexen Zahl xi auch die dazugehörige konjugierte komplexe Zahl xi eine Lösung der algebraischen Gleichung. Aus Satz 4.4 erhält man für algebraische Gleichungen mit ungeradem Grad n ≥ 1 und reellen Koeffizienten a0, a1, . . . , an das folgende nützliche Resultat: 74 Kapitel 44.3 Algebraische Gleichungen Folgerung 4.5 (Reelle Lösungen bei algebraischen Gleichungen) Eine algebraische Gleichung mit reellen Koeffizienten a0, a1, . . . , an und ungeradem Grad n ≥ 1 besitzt mindestens eine reelle Lösung. Beweis: Ist der Grad n der algebraischen Gleichung ungerade und größer gleich 1, dann existieren gemäß Satz 4.2 genau n und damit eine ungerade Anzahl von Lösungen. Da jedoch nach Satz 4.4 Lösungen nur als konjugierte komplexe Paare auftreten, muss es mindestens eine Lösung mit der Eigenschaft xi = xi geben, d. h. es gilt xi ∈ R. Der Fundamentalsatz der Algebra ist trotz seiner enormen Bedeutung für die gesamte Mathematik „nur“ eine reine Existenzaussage für Lösungen algebraischer Gleichungen. Er macht also keinerlei Aussagen darüber, wie diese Lösungen ermittelt werden können. Es stellt sich somit die Frage, wie die Lösungen einer algebraischen Gleichung berechnet werden sollen. Für algebraische Gleichungen ersten Grades, d. h. lineare Gleichungen der Form ax + b = 0 mit a = 0, kann die einzige gemäß Satz 4.4 existierende Lösung durch x = −b a (4.6) schnell berechnet werden. Für algebraische Gleichungen zweiten Grades, d. h. quadratische Gleichungen der Bauart ax2 + bx + c = 0 mit a = 0, gibt es mit der sogenannten a-b-c-Formel – häufig auch Mitternachtsformel genannt – ebenfalls eine sehr einfache Lösungsformel, die den meisten Studierenden aus ihrer Schulzeit wohlbekannt sein sollte. Aufgrund ihrer großen Bedeutung werden quadratische Gleichungen ausführlich in einem eigenen Abschnitt behandelt (siehe Abschnitt 4.4). Weiter existieren noch für algebraische Gleichungen 3-ten und 4-ten Grades ähnlich aufgebaute, aber wesentlich kompliziertere Lösungsformeln. Die Formel für kubische Gleichungen wird nach ihrem Entdecker, dem italienischen Mathematiker Gerolamo Cardano (1501–1576), als Cardano- G. Cardano Formel bezeichnet. Wenig später gelang dann – unter seiner fachlichen Anleitung – seinem Ziehsohn, dem Mathematiker Lodovico Ferrari (1522–1565), die Herleitung einer Lösungsformel für algebraische Gleichungen 4-ten Grades. Diese Lösungsformeln sind jedoch so komplex, dass sie angesichts leistungsfähiger Computer heutzutage kaum noch Anwendung finden. N. H. Abel Darüber hinaus sind jedoch keine weiteren Lösungsformeln mehr herleitbar. Denn 1824 gelang dem norwegischen Mathematiker Niels Henrik Abel (1802–1829) im Alter von nur 22 Jahren der Nachweis, dass es unmöglich ist, für algebraische Gleichungen vom Grad größer als vier, geschlossene Lösungsformeln zu finden – und seien sie noch so kompliziert. Bedauerlicherweise war Abel nur ein sehr kurzes, von Krankheit und Armut geprägtes Leben vergönnt. Aus diesem Grund konnte sich trotz seiner einmaligen mathematischen Begabung der folgende Eintrag seines Mathematiklehrers Bernt Michael Holmboe (1795–1850) im Klassenbuch nicht vollständig bewahrheiten: „... dass er der größte Mathematiker der Welt werden kann, wenn er lange genug lebt ...“ Das Ergebnis von Abel ist auch als Satz von Abel-Ruffini bekannt, wobei Paolo Ruffini (1765–1822) ein italienischer Mathematiker war, der bereits 1799 für dasselbe Resultat einen – jedoch noch unvollständigen – Beweis angab. Auf der 1999 von Paul und Jack Abad veröffentlichten Liste der 100 wichtigsten mathematischen Sätze belegt dieses Ergebnis den 16. Platz. Um diese mathematische Leistung und weitere herausragende Resultate von Abel angemessen würdigen zu können, wurde anlässlich seines 200. Geburtstages im Jahre 2002 durch die norwegische Regierung eine Stiftung zur Verleihung des sogenannten Abelpreises eingerichtet. Diese noch recht junge 75 Kapitel 4 Terme, Gleichungen und Ungleichungen P. Ruffini Auszeichnung gilt mittlerweile nach der Fields-Medaille (siehe Seite 68) als die bedeutendste mathematische Auszeichnung. Sie wird jährlich von der Norwegischen Akademie der Wissenschaften an Mathematiker verliehen, deren Lebenswerk einen besonders großen Einfluss auf die Entwicklung des Faches Mathematik hatte. Mit einem Preisgeld von ca. 750.000€ ist der Abelpreis darüber hinaus die höchstdotierte mathematische Auszeichnung und im Gegensatz zur Fields-Medaille gibt es keine Alterseinschränkung für die Preisträger. In dieser Hinsicht kommt der Abelpreis sogar dem Nobelpreis etwas näher als die Fields-Medaille. É. Galois Die Ergebnisse von Abel und Ruffini wurden etwas später von dem französischen Mathematiker Évariste Galois (1811–1832) noch einmal beträchtlich erweitert. Galois entdeckte, dass die Symmetrien von Lösungen algebraischer Gleichungen Aussagen über die Lösbarkeit der Gleichung erlauben. Mit seiner Entdeckung begründete Galois die heute nach ihm benannte Galois-Theorie. Neben seiner großen mathematischen Begabung teilte Galois mit Abel auch das bedauernswerte Schicksal eines sehr frühen Todes. Während jedoch Abel wenigstens ein natürlicher Tod vergönnt war, erlag Galois einem Bauchschuss, den er sich im Zuge eines Pistolenduells um ein Mädchen zugezogen hatte. Aufgrund der Komplexität der Lösungsformeln für algebraische Gleichungen 3-ten und 4-ten Grades und der Aussage des Satzes von Abel-Ruffini kommen bei der Berechnung der Lösungen algebraischer Gleichungen vom Grad größer als zwei in aller Regel Näherungsverfahren, wie z. B. das Regula-falsi- oder das Newton-Verfahren, zum Einsatz (siehe Kapitel 26). Mit Näherungsverfahren ist es möglich, die Lösungen algebraischer Gleichungen beliebig hohen Grades und von vielen anderen nichtlinearen Gleichungen mit hoher Genauigkeit zu approximieren. 4.4 Quadratische Gleichungen Für viele Anwendungen sind algebraische Gleichungen vom Grad n = 2, d. h. quadratische Gleichungen der Form ax2 + bx + c = 0 (4.7) mit a = 0, von besonders großer Bedeutung. Gilt b = 0, dann spricht man oft auch von einer reinquadratischen Gleichung. Aus der Schule ist bereits wohlbekannt, dass die linke Seite der quadratischen Gleichung (4.7), d. h. ax2+bx+c, ein sogenanntes Polynom 2. Grades ist, dessen Schaubild als Parabel bezeichnet wird (zu Polynomen siehe Abschnitt 14.1). Weiter ist es Gegenstand des Schulunterrichts, dass sich die reellen Lösungen von (4.7) im kartesischen Koordinatensystem anschaulich als Schnittpunkte der quadratischen Parabel mit der x-Achse beschreiben lassen (vgl. Abbildung 4.1). Für den Begriff des kartesischen Koordinatensystems siehe auch Seite 119. Wie bereits im letzten Abschnitt erwähnt, existiert zur Berechnung der Lösungen einer quadratischen Gleichung eine sehr einfache Lösungsformel. Diese Formel wird als a-b-c- Formel oder auch als Mitternachtsformel bezeichnet: Satz 4.6 (a-b-c-Formel für quadratische Gleichungen) Eine quadratische Gleichung ax2 + bx + c = 0 mit a = 0 und b2 − 4ac ≥ 0 besitzt die beiden (nicht notwendigerweise verschiedenen) reellen Lösungen x1,2 = −b ± √ b2 − 4ac 2a . (4.8) Gilt b2 − 4ac < 0, dann besitzt die quadratische Gleichung keine reellen Lösungen. Beweis: Mit quadratischer Ergänzung erhält man 0 = ax2 + bx + c = a ( x + b 2a )2 − b 2 4a + c. Daraus folgt durch Division mit a = 0 ( x + b 2a )2 = b 2 4a2 − c a = b 2 − 4ac 4a2 . 76 Kapitel 44.4 Quadratische Gleichungen l x1 l x2 l x3 = x4 p1 p2 p3 Disk > 0 Disk = 0 Disk < 0 Abb. 4.1: Drei Parabeln p1, p2 und p3 mit Disk(p1) > 0, Disk(p2) = 0 bzw. Disk(p3) < 0 Dies impliziert für b2 − 4ac ≥ 0 x + b 2a = ± √ b2 − 4ac 4a2 = ± 1 2a √ b2 − 4ac bzw. x1,2 = −b ± √ b2 − 4ac 2a . Für b2−4ac < 0 besitzt die quadratische Gleichung offensichtlich keine reellen Lösungen. Gemäß dem obigen Satz 4.6 wird die Anzahl der reellen Lösungen durch das Vorzeichen der Diskriminante Disk := b2 − 4ac bestimmt: Für Disk < 0 existiert keine reelle Lösung, für Disk = 0 gibt es eine (doppelte) reelle Lösung bei x1,2 = − b2a und für Disk > 0 existieren zwei verschiedene reelle Lösungen bei x1 = −b + √ b2 − 4ac 2a und x2 = −b − √ b2 − 4ac 2a . Diese drei Fälle sind in Abbildung 4.1 veranschaulicht. Werden jedoch für eine quadratische Gleichung auch komplexe Lösungen zugelassen, dann besagt der Fundamentalsatz der Algebra (siehe Satz 4.2), dass stets genau zwei Lösungen existieren. Falls für die Diskriminante Disk ≥ 0 gilt, lassen sich diese beiden Lösungen direkt mit der a-b-c-Formel (4.8) berechnen. Im Falle von Disk < 0 ist jedoch in (4.8) unter der Wurzel die Diskriminante Disk < 0 durch den Ausdruck i2Disk = −(b2 − 4ac) > 0 zu ersetzen. Damit sind die Lösungen gegeben durch x1,2 = ⎧ ⎪⎪⎪⎨ ⎪⎪⎪⎩ −b ±√b2 − 4ac 2a für Disk ≥ 0 −b ± i√−(b2 − 4ac) 2a für Disk < 0 . (4.9) Ist die algebraische Gleichung in der Normalform x2 + px + q = 0 (4.10) gegeben (d. h. gilt a = 1, b = p und c = q), dann erhält man für die Diskriminante den Ausdruck Disk = p2 − 4q und die a-b-c-Formel (4.8) vereinfacht sich zu x1,2 = −p 2 ± 1 2 √ p2 − 4q = −p 2 ± √(p 2 )2 − q. (4.11) Diese Formel ist als p-q-Formel bekannt und liefert die beiden Lösungen x1,2 = ⎧ ⎪⎪⎨ ⎪⎪⎩ −p 2 ± 1 2 √ p2 − 4q für Disk ≥ 0 −p 2 ± i 2 √ −(p2 − 4q) für Disk < 0 . 77 Kapitel 4 Terme, Gleichungen und Ungleichungen Eine beliebige quadratische Gleichung ax2 + bx + c = 0 kann mit Hilfe ihrer beiden Lösungen x1 und x2 stets in ihre Linearfaktoren zerlegt werden. Man erhält dann ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2) und durch Ausmultiplizieren der rechten Seite dieser Gleichung und anschließende Multiplikation beider Seiten mit 1 a folgt daraus weiter x2 + b a x + c a = x2 − (x1 + x2)x + x1x2. (4.12) F. Vieta Ein Vergleich der Koeffizienten auf der rechten und linken Seite von (4.12) liefert den nach dem französischen Mathematiker Franciscus Vieta (1540–1603) benannten Satz von Vieta. Dieser Satz macht eine Aussage über den Zusammenhang zwischen den drei Koeffizienten einer quadratischen Gleichung und ihren beiden Lösungen. Der Satz von Vieta ist damit z. B. ein einfaches Hilfsmittel zur Kontrolle, ob zwei Werte tatsächlich die Lösungen einer quadratischen Gleichung sind oder nicht. Neben diesem Satz ist Vieta auch dafür bekannt, dass er als Erster konsequent Symbole für mathematische Operationen verwendete und die lateinischen Buchstaben als Variablen in die mathematische Notation einführte. Satz 4.7 (Satz von Vieta) Sind x1 und x2 die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung ax2 + bx + c = 0 mit a = 0, dann gilt: x1 + x2 = −b a und x1x2 = c a Für eine quadratische Gleichung in Normalform vereinfacht sich dies zu x1 + x2 = −p und x1x2 = q. Beweis: Folgt unmittelbar aus den Ausführungen vor dem Satz. Der Fundamentalsatz 4.2 besagt, dass sich eine algebraische Gleichung anx n + an−1xn−1 + . . .+ a2x2 + a1x + a0 = 0 (4.13) vom Grad n ≥ 1 stets als Produkt von Linearfaktoren x − x1, . . . , x − xr darstellen lässt. Aus diesem Sachverhalt lässt sich die folgende sinnvolle Vorgehensweise für die Bestimmung der Lösungen einer algebraischen Gleichung ableiten: Ist x1 eine bereits bekannte Lösung der Gleichung, dann kann mittels Polynomdivision (siehe Satz 14.5) eine „reduzierte“ algebraische Gleichung berechnet werden, die nur noch vom Grad n−1 ist. Dadurch wird die Suche nach den anderen Lösungen der Ausgangsgleichung (4.13) vereinfacht, da eine Gleichung vom Grad n− 1 in der Regel leichter zu lösen ist als eine Gleichung vom Grad n. Wenn es anschlie- ßend gelingt, eine Lösung x2 der algebraischen Gleichung vom Grad n−1 zu ermitteln, dann kann durch erneute Polynomdivision eine „reduzierte“ algebraische Gleichung vom Grad n− 2 berechnet werden usw. (siehe Beispiel 4.8d)). Beispiel 4.8 (Anwendung der a-b-c- und p-q-Formel) a) Für die quadratische Gleichung 2x2 + 10x+ 12 = 0 erhält man mit (4.8) x1,2 = −10 ± √ 100 − 96 4 = −5 2 ± 1 2 . Damit liegen die beiden Lösungen bei x1 = −2 und x2 = −3. Für die Anwendung der p-q-Formel (4.11) muss die Gleichung zuerst normiert werden. Dividieren beider Seiten der Gleichung durch zwei liefert x2 +5x+6 = 0. Eine Anwendung der p-q-Formel liefert dann natürlich dasselbe Ergebnis: x1,2 = −5 2 ± 1 2 √ 25 − 24 = −5 2 ± 1 2 Die Überprüfung der Ergebnisse mit dem Satz von Vieta ergibt x1 + x2 = −5 und x1x2 = 6 (vgl. Abbildung 4.2, links). b) Für die Diskriminante der quadratischen Gleichung x2 + 4x + 5 = 0 gilt Disk = 16 − 20 = −4 < 0. Demnach besitzt die quadratische Gleichung keine reellen Lösungen. Mit der a-b-c-Formel (4.9) erhält man jedoch die komplexen Lösungen x1,2 = −4 ± i √−(16 − 20) 2 = −2 ± i. 78 Kapitel 44.4 Quadratische Gleichungen Die Überprüfung der Ergebnisse mit dem Satz von Vieta ergibt x1 + x2 = −4 und x1x2 = 5 (vgl. Abbildung 4.2, links). c) Die quartische Gleichung x4 +1 = 0 besitzt die folgende Faktorisierung (x2 +√2x + 1)(x2 −√2x + 1) = 0. Durch Anwendung der a-b-c-Formel (4.9) auf die beiden Faktoren (x2 +√2x+1) und (x2 −√2x+1) erhält man die vier komplexen Lösungen x1,2 = − √ 2 ± i√2 2 = 1√ 2 (−1 ± i) und x3,4 = √ 2 ± i√2) 2 = 1√ 2 (1 ± i). d) Die algebraische Gleichung 5-ten Grades x5−5x4+ 17x3−13x2 = 0 besitzt über der Menge C der komplexen Zahlen fünf Lösungen. Durch Ausklammern von x2 erhält man x2(x3 − 5x2 + 17x − 13) = 0. Daraus erhält man unmittelbar die ersten beiden Lösungen x1 = x2 = 0. Weiter liefert Probieren, dass x3 = 1 eine Lösung der kubischen Gleichung x3 − 5x2 + 17x − 13 = 0 und damit insbesondere auch eine Lösung der Ausgangsgleichung ist. Eine anschließende Division von x3 − 5x2 + 17x − 13 durch den Linearfaktor x − 1 mittels Polynomdivision liefert ( x3 − 5x2 + 17x − 13) : (x − 1) = x2 − 4x + 13 − x3 + x2 − 4x2 + 17x 4x2 − 4x 13x − 13 − 13x + 13 0 Die beiden fehlenden Lösungen können somit durch Anwendung der a-b-c-Formel (4.9) auf die quadratische Gleichung x2 −4x+13 = 0 berechnet werden. Man erhält dann x4,5 = 4 ± i √−(16 − 52) 2 = 4 ± 6i 2 = 2 ± 3i. Die algebraische Gleichung besitzt somit die drei reellen Lösungen x1 = x2 = 0 und x3 = 1 sowie die beiden komplexen Lösungen x4 = 2 + 3i und x5 = 2 − 3i. Es wurde bereits erwähnt, dass die linke Seite einer quadratischen Gleichung ax2 + bx + c = 0 mit a = 0, d. h. ax2+bx+c, ein quadratisches Polynom ist, dessen Schaubild einer Parabel entspricht. Diese Parabel lässt sich besonders schnell in ein kartesisches Koordinatensystem einzeichnen, wenn ihr Scheitel (bzw. Scheitelpunkt) S bekannt ist (siehe Seite 119). Der Scheitel einer Parabel ist ihr Maximum (d. h. der höchste Punkt), falls sie nach unten geöffnet ist, was für a < 0 der Fall ist, bzw. ihr Minimum (d. h. der tiefste Punkt), wenn sie nach oben geöffnet ist, was für a > 0 der Fall ist (vgl. Abbildung 4.2, rechts). Der Scheitel S des quadratischen Polynoms ax2 + bx + c mit a = 0 kann leicht aus der sogenannten Scheitelpunktsform abgelesen werden. Diese erhält man durch quadratische Ergänzung: ax2 + bx + c = a [ x2 + b a x + c a ] = a [( x + b 2a )2 − b 2 4a2 + c a ] = a ( x + b 2a )2 − b 2 4a + c (4.14) Da offensichtlich stets ( x + b2a )2 ≥ 0 gilt, ist aus der Scheitelpunktsform (4.14) ersichtlich, dass der höchste bzw. tiefste Punkt, d. h. der Scheitelpunkt S der Parabel, durch S = ( − b 2a , c − b 2 4a ) (4.15) gegeben ist. Aus der Scheitelpunktsform (4.14) ist ferner ersichtlich, dass die zu ax2 + bx + c gehörige Parabel durch eine horizontale Parallelverschiebung um− b2a Längeneinheiten, eine vertikale Verschiebung um c− b24a Längeneinheiten und eine Streckung bzw. Spiegelung um den Faktor a aus der sogenannten Normalparabel des quadratischen Polynoms x2 hervorgeht. Für eine wirtschaftswissenschaftliche Anwendung von (4.15) siehe Beispiel 14.11. 79 Kapitel 4 Terme, Gleichungen und Ungleichungen −6 −4 −2 0 5 10 15 20 25 l x1 l x2 2x2 + 10x + 12 x2 + 4x + 5 a < 0 a > 0 l S l S Abb. 4.2: Parabeln 2x2 + 10x + 12 und x2 + 4x + 5 (links) und eine nach unten bzw. nach oben geöffnete Parabel mit ihrem jeweiligen Scheitelpunkt S (rechts) 4.5 Ungleichungen Werden zwei Terme T1 und T2 durch ein Ungleichheitszeichen „ =, <,≤, >“ oder „≥“ miteinander verbunden, dann erhält man eine Ungleichung der Form T1 = T2, T1 < T2, T1 ≤ T2, T1 > T2 oder T1 ≥ T2. (4.16) Diese Symbole bedeuten bekanntlich: T1 = T2 : T1 ist ungleich T2 T1 < T2 : T1 ist kleiner als T2 T1 ≤ T2 : T1 ist kleiner oder gleich T2 T1 > T2 : T1 ist größer als T2 T1 ≥ T2 : T1 ist größer oder gleich T2 Bei „<“ und „>“ spricht man von einer strikten (strengen) Ungleichung und bei „≤“ und „≥“ spricht man von einer schwachen Ungleichung. Zwei (sich nicht widersprechende) Ungleichungen werden oftmals zu einer Doppelungleichung zusammengefasst. Zum Beispiel gilt (vgl. auch Abschnitt 3.3): T1 ≤ T2 und T2 < T3 ⇐⇒ T1 ≤ T2 < T3 Analog zu einer Gleichung (4.1) handelt es sich auch bei einer Ungleichung um eine Aussage, die entweder wahr oder falsch ist, wenn die beiden Terme T1 und T2 nicht von Variablen abhängen. Andernfalls handelt es sich bei den Ungleichungen (4.16) um Aussageformen. Dies bedeutet, dass es dann von den konkret für die Variablen eingesetzten Werten oder der Quantifizierung durch einen Quantor abhängig ist, ob die dadurch resultierende Aussage den Wahrheitswert w oder f besitzt. Ist eine Ungleichung von einer Variablen x abhängig, dann werden die Werte der Variablen, die zum Definitionsbereich D der Variablen gehören und für welche die Ungleichung wahr ist, als Lösungen der Ungleichung bezeichnet. Die Menge aller Lösungen heißt wiederum Lösungsmenge L der Ungleichung. Ist die Lösungsmenge L einer Ungleichung leer, d. h. gilt L = ∅, dann wird die Ungleichung als unerfüllbar oder unlösbar über dem Definitionsbereich D bezeichnet. Besitzt z. B. die Variable x in der Ungleichung |x| < 1 (4.17) den Definitionsbereich D = R, dann existieren unendlich – genauer überabzählbar – viele Lösungen. Die Lösungsmenge ist dann gegeben durch das offene Intervall L = (−1, 1). Für den DefinitionsbereichD = N gilt dagegenL = ∅. Damit ist die Ungleichung (4.17) über D = N unlösbar. Sind mehrere Ungleichungen gegeben, dann spricht man auch von einem Ungleichungssystem, wobei eine Lösung des 80 Kapitel 44.5 Ungleichungen Ungleichungssystems alle Ungleichungen simultan erfüllen muss. Zum Beispiel besitzt das einfache (lineare) Ungleichungssystem 1 − x ≤ y x ≥ y x ≤ 1 unendlich viele Lösungen, nämlich alle Zahlenpaare (x, y) mit 12 ≤ x ≤ 1 und 1− x ≤ y ≤ x. Das heißt, die Lösungsmenge ist gegeben durch (vgl. Abbildung 4.3) L = { (x, y) : x ∈ [ 1 2 , 1 ] und y ∈ [1 − x, x] } . x y 1 1 x = 1 y = x y = 1 − x Abb. 4.3: Veranschaulichung der Lösungsmenge L = {(x, y) : x ∈ [1/2, 1] und y ∈ [1 − x, x]} Ungleichungen und Ungleichungssysteme treten oftmals in Form von Definitionsbereichen oder als Nebenbedingungen bei der Optimierung von Zielfunktionen auf (vgl. z. B. Kapitel 25). Häufig werden Ungleichungen auch benutzt, um Größen, die nicht oder nur schwer exakt berechnet werden können, einzugrenzen. H. A. Schwarz Besonders bedeutende Ungleichungen sind z. B.: • Cauchy-Schwarzsche Ungleichung ( n∑ i=1 xiyi )2 ≤ n∑ i=1 x2i n∑ i=1 y2i für beliebige x1, . . . , xn, y1, . . . ,yn ∈ R (siehe Satz 7.9). • Ungleichung von Bernoulli (1 + x)n ≥ 1 + nx für alle n ∈ N und x ≥ −1 (vgl. (1.22)). • Dreiecksungleichung √√√√ n∑ i=1 (xi + yi)2 ≤ √√√√ n∑ i=1 x2i + √√√√ n∑ i=1 y2i für beliebige x1, . . . , xn, y1, . . . , yn ∈ R (siehe Satz 7.11d)). Analytische und numerische Lösung Analog zu Gleichungen unterscheidet man auch bei der Lösung von Ungleichungen zwischen analytischer und numerischer Lösung: a) Man spricht von analytischer Lösung einer Ungleichung, wenn die Lösungen einer Ungleichung exakt ermittelt werden können. Dabei wird versucht, mit Hilfe von Äquivalenzumformungen die Ungleichung schrittweise in eine Ungleichung mit derselben Lösungsmenge umzuformen, deren Lösung einfach bestimmt werden kann. Bei der analytischen Lösung einer Ungleichung muss oftmals eine Fallunterscheidung durchgeführt werden. Die analytische Lösung einer Ungleichung ist daher oftmals schwieriger als die Lösung einer Gleichung. Zum Beispiel kann die Ungleichung |x − 1| ≤ |2x + 5| mit Hilfe einer Fallunterscheidung und Äquivalenzumformungen analytisch gelöst werden (siehe Beispiel 4.9b)). b) Häufig kann eine Ungleichung nicht analytisch gelöst werden. In solchen Fällen kommen dann Computer und Näherungsverfahren zum Einsatz, um wenigstens näherungsweise eine numerische Lösung der Ungleichung zu berechnen. Äquivalenzumformungen Analog zu Gleichungen ist es auch bei Ungleichungen möglich, diese in äquivalente Ungleichungen, d. h. Ungleichungen mit derselben Lösungsmenge L, umzuformen. Solche Äquivalenzumformungen stellen die wichtigste Methode zum analytischen Lösen von Ungleichungen dar. 81 Kapitel 4 Terme, Gleichungen und Ungleichungen Bei den folgenden Umformungen handelt es sich offensichtlich um Äquivalenzumformungen einer gegebenen Ungleichung T1 < T2. Diese Regeln gelten analog auch für Ungleichungen der Form T1 > T2, T1 ≤ T2, T1 ≥ T2 und T1 = T2: a) Simultanes Vertauschen der Seiten und des Ungleichungssymbols: T2 > T1 b) Addition und Subtraktion eines Terms A auf beiden Seiten: T1 + A < T2 + A bzw. T1 − A < T2 − A c) Multiplikation und Division mit einem Term A > 0 auf beiden Seiten: T1 · A < T2 · A bzw. T1 A < T2 A d) Multiplikation und Division mit einem Term A < 0 auf beiden Seiten: T1 · A > T2 · A bzw. T1 A > T2 A Bei der Multiplikation und Division einer Ungleichung mit einem negativen Term muss demnach das Ungleichheitszeichen umgekehrt werden. Die Multiplikation beider Seiten einer Ungleichung mit 0 stellt offensichtlich keine Äquivalenzumformung dar. Zum Beispiel besitzt die Ungleichung x > 0 über der Menge R der reellen Zahlen die Lösungsmenge L = (0,∞). Nach Multiplikation beider Seiten mit der Zahl 0 erhält man jedoch die falsche Aussage 0 > 0. Allgemein gilt, dass die Anwendung einer streng monoton wachsenden Funktion auf beiden Seiten einer Ungleichung eine Äquivalenzumformung darstellt (zum Begriff der streng monoton wachsenden Funktion siehe Definition 13.7). Das heißt insbesondere, dass z. B. exp(T1) < exp(T2) sowie ln(T1) < ln(T2) für 0 < T1 < T2 und √ T1 < √ T2 für 0 ≤ T1 < T2 Äquivalenzumformungen der Ungleichung T1 < T2 sind. Dagegen muss bei der Anwendung einer streng monoton fallenden Funktion auf beiden Seiten einer Ungleichung das Ungleichheitszeichen umgekehrt werden. Damit gilt exp(−T1) > exp(−T2). Das folgende Beispiel zeigt, wie die Lösungsmenge einer Ungleichung durch eine Fallunterscheidung bestimmt werden kann. Taucht in einer Ungleichung der Betrag einer Variablen auf, wie in Beispiel 4.9b) und c), dann muss zur Bestimmung der Lösungsmenge der Betrag ebenfalls durch eine Fallunterscheidung aufgelöst werden: Beispiel 4.9 (Äquivalenzumformungen bei Ungleichungen) a) Gegeben sei die Ungleichung 9x + 2 2 − 3x ≥ −5. (4.18) Zur Bestimmung ihrer Lösungsmenge wird die Ungleichung (4.18) mit 2−3x multipliziert. Dabei sind zwei Fälle zu unterscheiden: Fall 1: Es sei 2−3x > 0 bzw. x < 23 . Dann folgt für die Ungleichung 9x + 2 ≥ −5(2 − 3x) bzw. x ≤ 2. Das heißt, die Ungleichung (4.18) ist für alle x < 23 erfüllt. Fall 2: Es sei 2−3x < 0 bzw. x > 23 . Dann folgt für die Ungleichung 9x + 2 ≤ −5(2 − 3x) bzw. x ≥ 2. Das heißt, die Ungleichung (4.18) ist für alle x ≥ 2 erfüllt. Insgesamt ist die Lösungsmenge somit gegeben durch L = { x ∈ R : x < 2 3 oder x ≥ 2 } . b) Gegeben sei die Ungleichung |x − 1| ≤ |2x + 5|. (4.19) Zur Bestimmung der Lösungsmenge dieser Ungleichung wird eine Fallunterscheidung durchgeführt: Fall 1: Es sei x ≥ 1. Dann gilt x − 1 ≤ 2x + 5 bzw. x ≥ −6. Das heißt, die Ungleichung (4.19) ist für alle x ≥ 1 erfüllt. Fall 2: Es sei − 52 ≤ x < 1. Dann gilt −(x − 1) ≤ 2x + 5 bzw. x ≥ − 43 . Das heißt, die Ungleichung (4.19) ist für alle − 43 ≤ x < 1 erfüllt. Fall 3: Es sei x<− 52 . Dann gilt −(x−1)≤−(2x+5) bzw. x ≤ −6. Das heißt, die Ungleichung (4.19) ist für alle x ≤ −6 erfüllt. 82 Kapitel 44.6 Indizierung, Summen und Produkte Insgesamt ist die Lösungsmenge somit gegeben durch L = { x ∈ R : x ≤ −6 oder x ≥ −4 3 } . c) Gegeben sei die Ungleichung 5|x − 3| + 2x − |2x + 4| < 16. (4.20) Zur Bestimmung der Lösungsmenge dieser Ungleichung wird eine Fallunterscheidung durchgeführt: Fall 1: Es sei x ≥ 3. Dann gilt 5(x − 3) + 2x − (2x + 4) < 16 bzw. x < 7. Das heißt, die Ungleichung (4.20) ist für alle 3 ≤ x < 7 erfüllt. Fall 2: Es sei −2 ≤ x < 3. Dann gilt −5(x − 3)+ 2x − (2x + 4) < 16 bzw. x > −1. Das heißt, die Ungleichung (4.20) ist für alle −1 < x < 3 erfüllt. Fall 3: Es sei x < −2. Dann gilt −5(x − 3)+ 2x + (2x + 4) < 16 bzw. x > 3. Das heißt, die Ungleichung (4.20) ist für x < −2 nie erfüllt. Insgesamt ist die Lösungsmenge somit gegeben durch L = {x ∈ R : −1 < x < 7} . 4.6 Indizierung, Summen und Produkte Indizierung In den Wirtschaftswissenschaften wird man häufig mit Problemstellungen konfrontiert, deren mathematische Beschreibung eine Vielzahl von Parametern und Variablen erfordert. Es kommt daher relativ oft vor, dass die lateinischen und/oder griechischen Buchstaben bei weitem nicht ausreichen, um alle vorkommenden Parameter und Variablen eindeutig zu bezeichnen. In einem solchen Fall verwendet man dann indizierte Symbole a1, a2, a3, . . . , b1, b2, b3, . . . Dabei wird die dem Symbol ai bzw. bi tiefer gestellte Zahl i = 1, 2, 3, . . . als Index und die Menge der möglichen Werte des Index i als Indexmenge bezeichnet. Häufig verwendet man für den Index anstelle des Buchstaben i auch die Buchstaben j, k, l,m und n. Wenn der Index mit dem Buchstaben i bezeichnet wird, muss darauf geachtet werden, dass er nicht mit der imaginären Einheit aus der Menge C der komplexen Zahlen verwechselt werden kann, die ebenfalls mit dem Buchstaben i bezeichnet wird (vgl. (3.12)). Die Indexmenge kann endlich oder unendlich sein. Häufig verwendete Indexmengen sind z. B. {1, 2, . . . , n}, {0, 1, 2, . . . , n}, {−m, . . . ,−1, 0, 1, 2, . . . , n}, N,N0 und Z. Ein Index dient zur eindeutigen Bezeichnung oder Nummerierung mathematischer Objekte wie Parameter, Variablen usw. Je nach Fragestellung kann es auch zweckmäßig sein, Doppelindizes aij , Dreifachindizes aijk usw. zu verwenden. Bei der Verwendung von Doppelindizes ist es im Allgemeinen üblich, dass bei einer schematischen Darstellung der indizierten Objekte aij in einer Tabelle der erste Index die Zeile und der zweite Index die Spalte angibt, in welcher das Objekt in der Tabelle zu finden ist (vgl. hierzu das Beispiel 4.10). Beispiel 4.10 (Doppelindizes in der Produktionsplanung) Betrachtet wird ein Unternehmen, das n Produkte P1, P2, . . . , Pn mit Hilfe von m Produktionsfaktoren F1, F2, . . . , Fm produziert. Die Produktionskoeffizienten aij mit den Doppelindizes i und j in der untenstehenden Tabelle geben dann an, wieviel Einheiten vom Produktionsfaktor Fi zur Produktion einer Einheit des Produkts Pj benötigt werden: P1 P2 . . . Pn F1 a11 a12 . . . a1n F2 a21 a22 . . . a2n ... ... ... . . . ... Fm am1 am2 . . . amn Summen Zur vereinfachten Darstellung von Summen mit vielen Summanden wird das Summenzeichen ∑ (d. h. der griechische Großbuchstabe Sigma) verwendet. Man definiert n∑ i=m ai := { am + am+1 + . . .+ an−1 + an für n ≥ m 0 für n < m . 83 Kapitel 4 Terme, Gleichungen und Ungleichungen Das Summenzeichen ∑ ist somit ein Wiederholungszeichen für die fortgesetzte Addition. Dabei werden die folgenden Bezeichnungen verwendet: n i= m ai i-ter Summand obere Summationsgrenze Summationsindex untere Summationsgrenze Bei einer Summe ∑n i=m ai durchläuft der Summationsindex i eine Teilmenge der Menge Z der ganzen Zahlen. Wird für den Summationsindex ein anderer Buchstabe als i verwendet, wie z. B. j, k, l,m oder n, dann verändert sich dadurch der Wert der Summe nicht. Das heißt, es gilt n∑ i=m ai = n∑ j=m aj = n∑ k=m ak. Wenn aus dem Zusammenhang klar hervorgeht, innerhalb welcher Summationsgrenzen und über welchen Index summiert werden soll, wird oftmals auf die Angabe der Summationsgrenzen und des Summationsindexes verzichtet: n∑ i=m ai = ∑ i ai = ∑ ai Die untere Summationsgrenze ist oftmals m = 1 oder m = 0. Gilt m = −∞ und/oder n = ∞ dann besitzt die Summe∑n i=m ai unendlich viele Summanden und man spricht dann nicht mehr von einer Summe, sondern von einer (unendlichen) Reihe (vgl. Definition 12.1). Aus den Rechenregeln für die Addition und Subtraktion reeller Zahlen lassen sich leicht die folgenden Rechenregeln für das Rechnen mit Summen herleiten: a) n∑ i=m a = a + a + . . .+ a︸ ︷︷ ︸ (n−m+ 1)-mal = (n−m+ 1) · a b) n∑ i=m cai = c · n∑ i=m ai c) n∑ i=m (ai + bi) = n∑ i=m ai + n∑ i=m bi d) n∑ i=m (ai − bi) = n∑ i=m ai − n∑ i=m bi e) n∑ i=m ai = r∑ i=m ai + n∑ i=r+1 ai , falls r ∈ Z und m ≤ r ≤ n f) n∑ i=m ai = n+r∑ i=m+r ai−r Zu beachten ist jedoch, dass im Allgemeinen n∑ i=m aibi = n∑ i=m ai · n∑ i=m bi gilt, wie bereits das folgende einfache Beispiel zeigt: 2∑ i=1 ai · 2∑ i=1 bi = (a1 + a2) · (b1 + b2) = a1b1 + a1b2 + a2b1 + a2b2 = a1b1 + a2b2 = 2∑ i=1 aibi Beispiel 4.11 (Rechnen mit Summen) a) 10∑ i=7 ui = u7 + u8 + u9 + u10 b) 4∑ k=6 ak = 0 c) 10∑ j=6 a = a + a + a + a + a = 5a d) 5∑ l=1 l2 = 4∑ l=0 (l + 1)2 = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 = 55 e) n∑ i=0 7xi = 7 n∑ i=0 xi = 7(x0 + x1 + . . .+ xn) f) 4∑ i=1 (−1)iai i = −a1 1 + a2 2 − a3 3 + a4 4 84 Kapitel 44.6 Indizierung, Summen und Produkte g) 3∑ j=−2 j 3∑ j=−2 j = (−2 − 1 + 0 + 1 + 2 + 3) (−2 − 1 + 0 + 1 + 2 + 3) = 9 h) 7∑ k=2 (2k−2 + 5k − 4) = 7∑ k=2 2k−2 + 7∑ k=2 5k − 7∑ k=2 4 = 5∑ k=0 2k + 5 7∑ k=2 k − 24 i) 4∑ i=−1 3i2 + 10∑ j=2 3(j + 3)2 = 3 4∑ i=−1 i2 + 3 13∑ i=5 i2 = 3 13∑ i=−1 i2 Für doppelindizierte Summanden aij mit i = m, . . . , n, j = k, . . . , l, n ≥ m und l ≥ k gilt entsprechend: n∑ i=m aij = amj + . . .+ anj für j = k, . . . , l l∑ j=k aij = aik + . . .+ ail für i = m, . . . , n Die Summe über zwei Indizes wird als Doppelsumme bezeichnet und ist definiert durch n∑ i=m l∑ j=k aij := { amk+. . .+aml+. . .+ank+. . .+anl für n≥m und l≥k 0 für n 0 für i = m, . . . , n Beispiel 4.13 (Rechnen mit Produkten) a) 6! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 = 720 b) 6∏ i=3 1 i = 13 · 14 · 15 · 16 = 1360 c) 5∏ k=3 ( 1 + 2 k ) = (1 + 23 ) ( 1 + 24 ) ( 1 + 25 )= 53 · 32 · 75 = 72 d) 5∏ j=1 (j − 2) = 3∏ j=−1 j = −1 · 0 · 1 · 2 · 3 = 0 e) 1∏ k=−1 3·2k k−3 = 33 · 2 −1 −4 · 2 0 −3 · 2 1 −2 = − 98 f) 1 210 12∏ i=3 2i i+2 = 12∏ i=3 2 210 12∏ i=3 i 12∏ i=3 (i+2) = 212−3+1 210 · 3·4·...·125·6·...·14 = 3·413·14 = 691 86

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References

Zusammenfassung

"uneingeschränkt zu empfehlen, [...] insbesondere als Einstiegslektüre im Bachelor-Studium". In: Studium, 2013.

So zentral die Rolle der Mathematik in der Ökonomie ist, so schwer tun sich die Studierenden mit mathematischen Methoden und Konzepten. Umso wichtiger ist es, die Studierenden bei ihrem aktuellen Wissensstand abzuholen und vorsichtig an den Stoff heranzuführen. Diesem Ziel verschreibt sich dieses Lehrbuch. Es führt mit vielen interessanten Beispielen aus der Ökonomie, kurzen Anekdoten und einem modernen mehrfarbigen Design in die zentralen mathematischen Methoden für ein erfolgreiches Wirtschaftsstudium ein, ohne dabei auf mathematische Klarheit sowie die notwendige Formalität und Stringenz zu verzichten. Auch nach dem Studium ist dieses Buch ein wertvoller Begleiter bei der mathematischen Lösung wirtschaftswissenschaftlicher Problemstellungen.

Aus dem Inhalt:

* Mathematische Grundlagen

* Lineare Algebra

* Matrizentheorie

* Folgen und Reihen

* Reellwertige Funktionen in einer und mehreren Variablen

* Differential- und Integralrechnung

* Optimierung mit und ohne Nebenbedingungen

* Numerische Verfahren

Dozenten finden auf der Website zum Buch unter www.vahlen.de zusätzliche Materialien zum Download.

"Indem Sie den Lehrstoff schrittweise aufbereiten und den Leser bei seinem aktuellen Wissenstand abholen, gelingt es ihnen [den Autoren], auch komplexe Zusammenhänge leicht nachvollziehbar zu vermitteln. Geschickt bauen sie immer wieder kurze Anekdoten, historische Ereignisse und überraschende Erkenntnisse in den Text ein". In: Studium, 2013.

Prof. Dr. Michael Merz ist Inhaber des Lehrstuhls für Mathematik und Statistik in den Wirtschaftswissenschaften an der Universität Hamburg. Prof. Dr. Mario V. Wüthrich forscht und lehrt am Department für Mathematik der ETH Zürich.