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28. Spline-Interpolation in:

Michael Merz, Mario V. Wüthrich

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, page 816 - 828

Die Einführung mit vielen ökonomischen Beispielen

1. Edition 2012, ISBN print: 978-3-8006-4482-7, ISBN online: 978-3-8006-4483-4, https://doi.org/10.15358/9783800644834_816

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Kapitel28 Spline-Interpolation Kapitel 28 Spline-Interpolation 28.1 Grundlagen Im Abschnitt 27.1 zur Polynominterpolation wurde bereits gezeigt, wie zu n+1 vorgegebenen verschiedenen Stützpunkten (x0, y0), . . . , (xn, yn) (28.1) ein Polynom p vom Grad kleiner gleich n bestimmt werden kann, für das p(xi) = yi für alle i = 0, . . . , n gilt und dessen Graph somit durch die Stützpunkte (28.1) geht. Dabei wurde insbesondere gezeigt, dass das Polynom p durch die n+1 Stützpunkte (28.1) eindeutig bestimmt ist (vgl. Satz 27.1). Aufgrund der guten analytischen Eigenschaften von Polynomen, wie z.B. deren Differenzier- und Integrierbarkeit, wird die Polynominterpolation in den verschiedensten wirtschaftswissenschaftlichen Anwendungsbereichen zur Interpolation von Stützpunkten eingesetzt. Wie sich aber in Abschnitt 27.5 gezeigt hat, besitzt die Polynominterpolation auch den erheblichen Nachteil, dass sich die Interpolationsgüte mit zunehmender Anzahl von Stützpunkten (xi, yi) mit äquidistanten Stützstellen xi deutlich verschlechtern kann. Dieses als Runges Phänomen bekannte Verhalten von Interpolationspolynomen stellt sich typischerweise mit einer wachsenden Anzahl von äquidistanten Stützstellen ein und drückt sich vor allem durch ein stark oszillierendes Verhalten des Interpolationspolynoms p am Rande des Interpolationsbereiches aus (vgl. Abbildung 27.2). Jedoch ist im Allgemeinen nicht sichergestellt, dass die Interpolation von n+1 Stützpunkten (28.1) durch Polynome mit vernünftigen (d.h. nicht zu großen) Polynomgraden auch zu einer akzeptablen Approximationsgüte an eine vorgegebene I. J. Schoenberg Funktion f mit f (xi) = yi für i=0, . . . , n führt. Dies gilt selbst dann, wenn die Stützstellen x0,. . . ,xn optimal gewählt werden, so wie es bei Verwendung von Tschebyscheff-Stützstellen der Fall ist (vgl. (27.16)). Einen Ausweg aus diesem Dilemma liefert jedoch die naheliegende Idee, für die interpolierende Funktion anstelle eines einzelnen Polynoms hohen Grades für den gesamten Interpolationsbereich eine Funktion zu wählen, die abschnittsweise aus Polynomen geringen Grades zusammengesetzt ist. Solche Funktionen werden Splinefunktionen oder auch Splines genannt. Splinefunktionen sind durch ihre abschnittsweise Definition flexibler als Polynome und dennoch relativ einfach und glatt. Durch ihre Verwendung können die Probleme, die durch die starke Oszillation von Polynomen höheren Grades und die Unbeschränktheit von Polynomen bei der Polynominterpolation entstehen, vermieden werden. Splines im Schiffsbau Die Bezeichnung „Spline“ wurde in der Mathematik zum ersten Mal 1946 in einer Veröffentlichung des rumänischen Mathematikers Isaac Jacob Schoenberg (1903–1990) für glatte, aus Polynomen dritten Grades zusammengesetzte, mathematische Kurven verwendet und entstammt dem Schiffsbau. Dort wurden in früheren Zeiten lange biegsame Holzlatten, die an einzelnen Punkten durch Nägel fixiert waren und sich optimal an die Schiffsform anpassen sollten, als „Straklatte“ (englisch: spline) bezeichnet. Splinefunktion In der Mathematik sind Splinefunktionen (Splines) wie folgt definiert: Definition 28.1 (Splinefunktion) Eine reelle Funktion S : [a, b] −→ R heißt Splinefunktion oder Spline der Ordnung k ∈ N zu der Zerlegung a =: x0 < x1 < . . . < xn−1 < xn := b, falls sie a) (k − 1)-mal stetig differenzierbar ist und b) die n Restriktionen S|[xi ,xi+1] von S auf die n Teilintervalle [xi, xi+1] für i = 0, . . . , n− 1 Polynome vom Grad kleiner gleich k sind. Eine Splinefunktion S : [a, b] −→ R vom Grad k ist somit im Allgemeinen kein Polynom. Lediglich ihre Restriktionen S|[xi ,xi+1] auf die n Teilintervalle [xi, xi+1] für i = 0, . . . , n−1 stellen Polynome vom Grad kleiner gleich k dar. Eine Splinefunktion der Ordnung k besitzt jedoch zusätzlich die „Glatt- 826 Kapitel 2828.1 Grundlagen heitseigenschaft“, dass sie – auch an den Stützstellen xi – (k−1)-mal differenzierbar und die (k−1)-te Ableitung noch stetig ist. Die erreichbare Glattheit bei einer Splinefunktion hängt somit vom Polynomgrad k ∈ N ab, der auf den n Teilintervallen zugelassen wird (vgl. Abbildung 28.1). Aus historischen Gründen werden die Stützstellen x0, . . . , xn oftmals auch als Knoten bezeichnet. Freiheitsgrade und Randbedingungen Setzt man etwa für eine Splinefunktion S der Ordnung k auf jedem der n Teilintervalle [xi, xi+1] für i = 0, . . . , n− 1 die allgemeine Darstellung S(x) = a[i]0 + a[i]1 x + . . .+ a[i]k−1xk−1 + a[i]k xk (28.2) eines Polynoms k-ten Grades an, dann führt dieser Ansatz zunächst einmal zu insgesamt (k+ 1) · n frei wählbaren Parametern a [0] 0 , . . . , a [0] k , a [1] 0 , . . . , a [1] k , . . . , a [n−1] 0 , . . . , a [n−1] k . (28.3) Denn die jeweils (k + 1) Polynomkoeffizienten der Polynome auf den n verschiedenen Teilintervallen [xi, xi+1] können unterschiedlich ausfallen. Zur Lösung des Interpolationsproblems S(xi) = yi (28.4) 0 a = x0 x1 x2 x3 x4 x5 = b 0 0.5 1 1.5 2 2.5 l l l l l l S (x) a = x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 = b 0 2 4 6 8 10 l l l l l l l S (x) Abb. 28.1: Lineare Splinefunktion S mit sechs nicht äquidistanten Stützstellen x0, . . . , x5 (links) und quadratische Splinefunktion S mit sieben nicht äquidistanten Stützstellen x0, . . . , x6 (rechts) für n+ 1 vorgegebene Stützpunkte (xi, yi) mit i = 0, . . . , n werden aber lediglich n+ 1 dieser (k + 1) · n Freiheitsgrade (d.h. n+1 der frei wählbaren Parameter) verbraucht. Die Forderung in Definition 28.1, dass neben der Splinefunktion S auch ihre ersten k − 1 Ableitungen S ′, S ′′, . . . , S(k−1) an den n− 1 inneren Stützstellen x1, . . . , xn−1 stetig sein müssen, führt zusammen mit (28.4) und (28.2) zu den k · (n−1) linearen Gleichungen für die (k+1)·n freien Parameter (28.3) k∑ m=j m(m− 1) · · · (m− j + 1) a[i−1]m xm−ji = k∑ m=j m(m− 1) · · · (m− j + 1) a[i]m xm−ji (28.5) für i = 1, . . . , n−1 und j = 0, . . . , k−1. Zur Bestimmung der (k+1) ·n freien Parameter (28.3) verbleiben somit noch (k + 1) · n− k · (n− 1) = n+ k (28.6) Freiheitsgrade, mit denen das Interpolationsproblem (28.4) gelöst werden kann. Mit anderen Worten: Nach Berücksichtigung der n + 1 Interpolationsbedingungen (28.4) und der k · (n+ 1) linearen Gleichungen (28.5) verbleiben noch n+ k − (n+ 1) = k − 1 (28.7) Freiheitsgrade, welche im Falle von k > 1 in der Regel dazu benutzt werden, an den äußeren Stützstellen x0 und xn 827 Kapitel 28 Spline-Interpolation gewisse zusätzliche Forderungen zu stellen. Solche zusätzlichen Bedingungen werden als Randbedingungen bezeichnet. Die Anzahl der Stützstellen wird dabei typischerweise so gewählt, dass n deutlich größer als k ist. Trotz der allgemeinen Definition von Splinefunktionen für beliebige k ∈ N kommen in den meisten praktischen Anwendungen nur Splinefunktionen der Ordnung k = 1 (sog. lineare Splines), k = 2 (sog. quadratische Splines) und k = 3 (sog. kubische Splines) zum Einsatz. In den folgenden drei Abschnitten werden daher ausschließlich lineare, quadratische und kubische Splinefunktionen betrachtet. 28.2 Lineare Splinefunktion Die Lösung des Interpolationsproblems S(xi) = yi für n+1 vorgegebene Stützpunkte (xi, yi) mit i = 0, . . . , n ist für Splinefunktionen S der Ordnung k = 1, d.h. für lineare Splines S, sehr einfach. Denn lineare Splines bestehen aus stückweise affin-linearen Funktionen, d.h. aus sogenannten Polygonzügen. Eine lineare Splinefunktion S besitzt auf dem Teilintervall [xi, xi+1] die Darstellung S(x) = ai + bi(x − xi) für alle x ∈ [xi, xi+1] und i ∈ {0, . . . , n− 1}. Mit den Interpolationsbedingungen S(xi) = yi und S(xi+1) = yi+1 sowie der Stetigkeitsforderung an S folgt somit ai = yi und ai + bi(xi+1 − xi) = yi+1 bzw. ai = yi und bi = yi+1 − yi xi+1 − xi . Da im Falle linearer Splines k = 1 gilt, beträgt die Anzahl verbleibender Freiheitsgrade 0 (vgl. (28.7)) und die 2n Koeffizienten a0, b0, . . . , an−1, bn−1 für die insgesamt n Teilintervalle [xi, xi+1] sind somit eindeutig festgelegt. Durch diese Überlegungen ist bereits die Existenz und Eindeutigkeit einer linearen Splinefunktion und damit der erste Teil des folgenden Satzes nachgewiesen: Satz 28.2 (Existenz und Eindeutigkeit linearer Splinefunktionen) Es sei a =: x0 < x1 < . . . < xn−1 < xn := b eine Zerlegung des Intervalls [a, b] und (xi, yi) für i = 0, . . . , n seien n+ 1 Stützstellen. a) Dann gibt es genau eine lineare Splinefunktion S : [a, b] −→ R, die den Interpolationsbedingungen S(xi) = yi für alle i = 0, . . . , n genügt, und für diese Splinefunktion gilt S(x) = ai + bi(x − xi) für alle x ∈ [xi, xi+1] mit ai = yi und bi = yi+1 − yi xi+1 − xi (28.8) für alle i = 0, . . . , n− 1. b) Ist f : [a, b] −→ R eine zweifach stetig differenzierbare Funktion mit f (xi) = yi für alle i = 0, . . . , n, dann gilt die Fehlerabschätzung max x∈[a,b] |f (x)− S(x)| ≤ h 2 8 max x∈[a,b] |f ′′(x)| (28.9) mit h := max i∈{0,...,n−1} (xi+1 − xi). Beweis: Zu a): Die Aussage folgt aus den Ausführungen unmittelbar vor Satz 28.2. Zu b): Für jedes i ∈ {0, . . . , n− 1} stimmt die lineare Splinefunktion S auf dem Intervall [xi, xi+1] mit dem zu interpolierenden Polynom vom Grad kleiner gleich eins durch die beiden Punkte (xi , yi) und (xi+1, yi+1) überein. Mit Satz 27.9 folgt somit f (x)− S(x) = f ′′(ξ) 2! (x − xi)(x − xi+1) für alle x ∈ [xi, xi+1] und einen Zwischenwert ξ ∈ [xi, xi+1]. Zusammen mit der Abschätzung |x − xi ||x − xi+1| ≤ (xi+1 − xi) 2 4 folgt daraus |f (x)− S(x)| ≤ (xi+1 − xi) 2 8 max x∈[xi ,xi+1] |f ′′(x)| für alle x ∈ [xi, xi+1] und i = 0, . . . , n− 1. Folglich gilt max x∈[a,b] |f (x)− S(x)| ≤ h2 8 max x∈[a,b] |f ′′(x)| mit h := max i∈{0,...,n−1}(xi+1 − xi) und damit die Behauptung b). Die Fehlerabschätzung (28.9) besagt, dass bei einer Erhöhung der Anzahl von Stützstellen, bei der die maximale Schrittweite h gegen 0 konvergiert, die lineare Splinefunktion S (gleichmäßig) gegen die zu interpolierende Funktion 828 Kapitel 2828.3 Quadratische Splinefunktion f konvergiert. Dieser Sachverhalt demonstriert das deutlich bessere Konvergenzverhalten von linearen Splinefunktionen im Vergleich zur Polynominterpolation. Für n+1 vorgegebene Stützpunkte (xi, yi) mit i = 0, . . . , n ist die lineare Splinefunktion einfach durch den Polygonzug gegeben, der durch geradlinige Verbindung der Stützpunkte entsteht (vgl. Abbildung 28.1, links). Beispiel 28.3 (Lineare Splinefunktion) Gegeben sind die Koordinaten von sechs Stützpunkten: i 0 1 2 3 4 5 xi 1 2 52 3 4 5 yi 1 32 5 2 1 2 2 3 2 Dann erhält man mit (28.8) für die Parameter a0, b0, . . . , a4, b4 der linearen Splinefunktion S die folgenden Werte: i xi yi ai bi 0 1 1 1 12 1 2 32 3 2 2 2 52 5 2 5 2 −4 3 3 12 1 2 3 2 4 4 2 2 − 12 5 5 32 Das heißt, die lineare Splinefunktion auf dem Intervall [1, 5] ist gegeben durch S : [1, 5] −→ R, x %→ S(x) = ⎧ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩ 1 + 12 (x − 1) für 1 ≤ x < 2 3 2 + 2(x − 2) für 2 ≤ x < 52 5 2 − 4 ( x − 52 ) für 52 ≤ x < 3 1 2 + 32 (x − 3) für 3 ≤ x < 4 2 − 12 (x − 4) für 4 ≤ x ≤ 5 (vgl. Abbildung 28.1, links). 28.3 Quadratische Splinefunktion Eine Splinefunktion S der Ordnung k = 2, also eine quadratische Splinefunktion, besitzt auf dem Teilintervall [xi, xi+1] die Darstellung S(x) = ai + bi(x − xi)+ ci(x − xi)2 (28.10) für i ∈ {0, . . . , n− 1}. Das heißt, die ersten beiden Ableitungen von S sind gegeben durch S ′(x) = bi + 2ci(x − xi) bzw. S ′′(x) = 2ci (28.11) für alle x ∈ [xi, xi+1] und i ∈ {0, . . . , n− 1}. Bezeichnen im Folgenden y ′i und y ′′ i die unbekannten ersten beiden Ableitungswerte von S an der Stelle xi für i = 0, . . . , n, d.h. gilt y ′i = S ′(xi) und y ′′i = S ′′(xi) für i = 0, . . . , n, dann erhält man zusammen mit der Interpolationsbedingung S(xi) = yi und (28.10)–(28.11) für die Parameter von S ai = yi, bi = y ′i und ci = y ′′i 2 (28.12) für alle i = 0, . . . , n−1. Das heißt, die Splinefunktion S und ihre erste Ableitung S ′ besitzen auf [xi, xi+1] die Darstellung S(x) = yi + y ′i (x − xi)+ y ′′i 2 (x − xi)2 bzw. S ′(x) = y ′i + y ′′i (x − xi). Daraus folgt nach Einsetzen von xi+1 für die Variable x aufgrund der Stetigkeitsforderung an S und S ′ yi+y ′i (xi+1−xi)+ y ′′i 2 (xi+1−xi)2 = yi+1 bzw. y ′i + y ′′i (xi+1 − xi) = y ′i+1 (28.13) für i = 0, . . . , n − 1. Nach einigen elementaren Umformungen erhält man schließlich aus (28.13) das lineare Gleichungssystem y ′i + y ′i+1 = 2 yi+1 − yi xi+1 − xi (28.14) y ′′i = y ′i+1 − y ′i xi+1 − xi (28.15) für i = 0, . . . , n− 1. Die Lösung des Interpolationsproblems S(xi) = yi für i = 0, . . . , n – und damit insbesondere auch die Lösung des linearen Gleichungssystems (28.14)–(28.15) – ist für Splinefunktionen S der Ordnung k = 2 jedoch nicht mehr eindeutig. Denn im Falle von k = 2 beträgt die Anzahl der verbleibenden Freiheitsgrade eins (vgl. (28.7)). Das heißt, um eine eindeutige Lösung zu erzwingen, muss nun eine zusätzliche Randbedingung aufgestellt werden. In der Praxis wird häufig die erste Ableitung y ′0 = S ′(x0) oder y ′n = S ′(xn) vorgegeben oder ein Näherungswert ỹ ′0 oder ỹ ′n, falls y ′ 0 und y ′ n nicht bekannt sind. Zusammen mit den 829 Kapitel 28 Spline-Interpolation Stützpunkten (xi, yi) für i = 0, . . . , n können dann mit Hilfe von (28.14) leicht die anderen Ableitungswerte y ′1, . . . , y ′ n (bei Vorgabe von y ′0) bzw. y ′ 0, . . . , y ′ n−1 (bei Vorgabe von y ′n) berechnet werden. Eingesetzt in (28.15) liefert dies dann schließlich auch die Werte y ′′0 , . . . , y ′′ n−1. Wegen (28.12) sind damit aber auch die Parameter der quadratischen Splinefunktion S bestimmt. Durch diese Überlegungen ist bereits der folgende Satz bzgl. der Existenz und Eindeutigkeit einer quadratischen Splinefunktion bewiesen: Satz 28.4 (Existenz und Eindeutigkeit quadratischer Splinefunktionen) Es sei a =: x0 < x1 < . . . < xn−1 < xn := b eine Zerlegung des Intervalls [a, b] und (xi, yi) für i = 0, . . . , n seien n+1 Stützstellen. Dann gibt es genau eine quadratische Splinefunktion S : [a, b] −→ R, die den Interpolationsbedingungen S(xi) = yi für i = 0, . . . , n genügt und deren erste Ableitung S an der Stelle x0 einen vorgegebenen Wert y ′0 oder an der Stelle xn einen vorgegebenen Wert y ′n annimmt. Diese Splinefunktion ist gegeben durch S(x) = ai + bi(x − xi)+ ci(x − xi)2 für alle x ∈ [xi, xi+1] mit ai = yi, bi = y ′i und ci = y ′′i 2 (28.16) für i = 0, . . . , n− 1. Dabei erfüllen die Werte y ′i und y ′′i die Gleichungen y ′i + y ′i+1=2 yi+1 − yi xi+1 − xi und y ′′ i = y ′i+1 − y ′i xi+1 − xi (28.17) für i = 0, . . . , n− 1. Beweis: Die Aussage folgt aus den Ausführungen unmittelbar vor Satz 28.4. Im Gegensatz zur Verwendung linearer Splinefunktionen (vgl. Abschnitt 28.2) muss bei der Interpolation mittels quadratischer Splines ein zusätzlicher Wert angegeben werden, um die Eindeutigkeit der Splinefunktion sicherzustellen. Hierzu existieren viele verschiedene Möglichkeiten. In der Praxis wird dazu am häufigsten ein Näherungswert ỹ ′0 oder ỹ ′n für die erste Ableitung y ′ 0 bzw. y ′ n angegeben. Wenn bei einem praktischen Problem keine ausreichenden Informationen über die Ableitungswerte y ′0 oder y ′ n vorhanden sind, kann man z.B. die Sekantensteigungen ỹ ′0 := y1−y0x1−x0 und ỹ ′n := yn−yn−1xn−xn−1 als Näherungswerte für y ′0 bzw. y ′n verwenden. Eine andere Möglichkeit besteht z.B. darin, durch die ersten drei Stützpunkte x0, x1, x2 oder die letzten drei Stützpunkte xn−2, xn−1, xn ein quadratisches Polynom p zu legen und ỹ ′0 := p′(x0) als Näherungswert für y ′0 bzw. ỹ ′n := p′(xn) als Näherungswert für y ′n heranzuziehen. Das konkrete Vorgehen bei der Berechnung einer quadratischen Splinefunktion wird im folgenden Beispiel verdeutlicht: Beispiel 28.5 (Quadratische Splinefunktion) Gegeben sind die Koordinaten von sieben Stützpunkten: i 0 1 2 3 4 5 6 xi 0 2 5 7 9 12 15 yi 0,6 1,4 2 3,4 6,4 10 11 Für die erste Ableitung von S an der Stelle x0 gelte y ′0 = 0,6555. Dann erhält man mit (28.16)–(28.17) für die Parameter a0, b0, c0, . . . , a5, b5, c5 der quadratischen Splinefunktion S die Werte: i xi yi ai y ′ i bi y ′′ i ci 0 0 0,6 0,6 0,6555 0,6555 −0,2555 −0,1278 1 2 1,4 1,4 0,1445 0,1445 0,0370 0,0185 2 5 2 2 0,2555 0,2555 0,4445 0,2223 3 7 3,4 3,4 1,1445 1,1445 0,3555 0,1778 4 9 6,4 6,4 1,8555 1,8555 −0,4370 −0,2185 5 12 10 10 0,5445 0,5445 −0,1408 −0,0704 6 15 11 0,1222 Das heißt, die quadratische Splinefunktion auf dem Intervall [0, 15] ist gegeben durch S : [0, 15] −→ R, x %→ S(x) = ⎧ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩ 0,6 + 0,6555x − 0,1278x2 für 0 ≤ x < 2 1,4 + 0,1445(x − 2)+ 0,0185(x − 2)2 für 2 ≤ x < 5 2 + 0,2555(x − 5)+ 0,2223(x − 5)2 für 5 ≤ x < 7 3,4 + 1,1445(x − 7)+ 0,1778(x − 7)2 für 7 ≤ x < 9 6,4 + 1,8555(x − 9)− 0,2185(x − 9)2 für 9 ≤ x < 12 10 + 0,5445(x − 12)− 0,0704(x − 12)2 für 12 ≤ x ≤ 15 (vgl. Abbildung 28.1, rechts). 830 Kapitel 2828.4 Kubische Splinefunktion 28.4 Kubische Splinefunktion In der Praxis werden Splinefunktionen der Ordnung k = 3, also kubische Splinefunktionen, am häufigsten eingesetzt. Kubische Splinefunktionen verbinden in hervorragender Weise die besonderen Vorzüge der einfachen Darstellung von Polynomen niedrigen Grades mit dem glatten Gesamtverlauf von Splinefunktionen, ohne dass sie die Nachteile von Polynomen höheren Grades besitzen. Kubische Splines entsprechen auch den eingangs erwähnten Straklatten, die Splines ursprünglich ihren Namen gegeben haben. Eine kubische Splinefunktion besitzt auf dem Teilintervall [xi, xi+1] die Darstellung S(x)=ai+bi(x − xi)+ci(x − xi)2+di(x − xi)3 (28.18) für i ∈ {0, . . . , n− 1}. Das heißt, die ersten drei Ableitungen von S sind gegeben durch S ′(x) = bi + 2ci(x − xi)+ 3di(x − xi)2, S ′′(x) = 2ci + 6di(x − xi) und S ′′′(x) = 6di (28.19) für alle x ∈ [xi, xi+1] und i ∈ {0, . . . , n− 1}. Bezeichnen y ′i , y ′′i und y ′′′ i wieder die unbekannten ersten drei Ableitungswerte von S an der Stelle xi für i = 0, . . . , n, d.h. gilt y ′i = S ′(xi), y ′′i = S ′′(xi) und y ′′′i = S ′′′(xi) für i = 0, . . . , n, dann erhält man mit der Interpolationsbedingung S(xi) = yi und (28.18)–(28.19) für die Parameter von S ai = yi, bi = y ′i , ci = y ′′i 2 und di = y ′′′ i 6 (28.20) für alle i = 0, . . . , n−1. Das heißt, die Splinefunktion S und ihre ersten beiden Ableitungen S ′ und S ′′ besitzen auf dem Teilintervall [xi, xi+1] die Darstellung S(x) = yi + y ′i (x − xi)+ y ′′i 2 (x − xi)2 + y ′′′ i 6 (x − xi)3, S ′(x) = y ′i + y ′′i (x − xi)+ y ′′′i 2 (x − xi)2 und S ′′(x) = y ′′i + y ′′′i (x − xi). Aufgrund der Stetigkeitsforderung an S und S ′′ folgt nach Einsetzen von xi+1 für die Variable x in S und S ′′ yi+y ′i (xi+1−xi)+ y ′′i 2 (xi+1−xi)2+ y ′′′ i 6 (xi+1−xi)3=yi+1 und y ′′i +y ′′′i (xi+1−xi)=y ′′i+1 (28.21) für i = 0, . . . , n − 1. Nach einigen elementaren Umformungen erhält man schließlich aus (28.21) das lineare Gleichungssystem y ′′′i = y ′′i+1 − y ′′i xi+1 − xi (28.22) y ′i = yi+1 − yi xi+1 − xi − xi+1 − xi 6 (y ′′i+1 + 2y ′′i ) (28.23) für i = 0, . . . , n− 1. Die auf diese Weise konstruierte Splinefunktion S ist an den Stützstellen x0, . . . , xn stetig, ebenso ihre zweite Ableitung S ′′. Die Stetigkeitsforderung an S ′ liefert nach Einsetzen von xi für x in die erste Ableitung S ′ y ′i−1 + y ′′i−1(xi − xi−1)+ y ′′′i−1 2 (xi − xi−1)2 = y ′i für i = 1, . . . , n. Daraus erhält man zusammen mit (28.22)– (28.23) yi − yi−1 xi − xi−1 − xi − xi−1 6 (y ′′i + 2y ′′i−1)+ y ′′i−1(xi − xi−1) + 1 2 (y ′′i − y ′′i−1)(xi − xi−1) = yi+1 − yi xi+1 − xi − xi+1 − xi 6 (y ′′i+1 + 2y ′′i ) für i = 1, . . . , n−1. Nach einer kurzen Umformung resultiert daraus das lineare Gleichungssystem (xi − xi−1)y ′′i−1 + 2(xi+1 − xi−1)y ′′i + (xi+1 − xi)y ′′i+1 = 6yi+1 − yi xi+1 − xi − 6 yi − yi−1 xi − xi−1 (28.24) für i = 1, . . . , n− 1. In den n − 1 Gleichungen (28.24) tauchen die n + 1 Unbekannten y ′′0 , . . . , y ′′ n auf, welche oftmals als Momente der kubischen Splinefunktion S bezeichnet werden. Das heißt, es liegen n + 1 − (n − 1) = 2 Freiheitsgrade vor und die Lösung des Interpolationsproblems S(xi) = yi für i = 0, . . . , n – und insbesondere auch die Lösung des linearen Gleichungssystems (28.22)–(28.23) – ist damit für Splinefunktionen S der Ordnung k = 3 nicht mehr eindeutig (vgl. auch (28.7)). Um eine eindeutige Lösung zu erzwingen, müssen zusätzlich zwei Randbedingungen vorgegeben werden. Sehr häufig wird hierzu eine der folgenden drei Alternativen verwendet: a) Natürliche Randbedingung: y ′′0 = y ′′n = 0 b) Vollständige Randbedingung: Vorgabe von Werten für y ′0 und y ′n c) Periodische Randbedingung: y ′0 = y ′n und y ′′0 = y ′′n 831 Kapitel 28 Spline-Interpolation Ausgehend von den Stützpunkten (xi, yi) für i = 0, . . . , n können mit (28.24) und einer der Randbedingungen a), b) oder c) die noch fehlenden zweiten Ableitungen y ′′i berechnet werden. Eingesetzt in (28.22)–(28.23) erhält man dann auch die Werte y ′′′0 , . . . , y ′′′ n−1 und y ′ 0, . . . , y ′ n−1. Wegen (28.20) sind damit auch die Parameter der kubischen Splinefunktion S bestimmt. Mit den Bezeichnungen hi := xi+1 − xi für i = 0, . . . , n− 1 und gi := 6yi+1 − yi xi+1 − xi − 6 yi − yi−1 xi − xi−1 für i = 1, . . . , n − 1 kann das Gleichungssystem (28.24) zusammen mit einer der Randbedingungen a), b) oder c) übersichtlicher in Matrixschreibweise geschrieben werden. Je nach verwendeter Randbedingung resultiert dann eines der folgenden drei linearen Gleichungssysteme in Matrixschreibweise: a) Natürliche Randbedingung Die natürlichen Randbedingungen y ′′0 = y ′′n = 0 und die n−1 linearen Gleichungen (28.24) führen zu dem (n−1)×(n−1)dimensionalen linearen Gleichungssystem ⎛ ⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ 2(h0 + h1) h1 0 . . . . . . 0 h1 2(h1 + h2) h2 . . . . . . ... 0 h2 . . . . . . . . . ... ... . . . . . . . . . . . . 0 ... . . . . . . . . . . . . hn−2 0 . . . . . . 0 hn−2 2(hn−2+hn−1) ⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ × ⎛ ⎜ ⎜⎜ ⎝ y ′′1 y ′′2 ... y ′′n−1 ⎞ ⎟⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜⎜ ⎝ g1 g2 ... gn−1 ⎞ ⎟⎟ ⎟ ⎠ . b) Vollständige Randbedingung Die vollständige Randbedingung liefert y ′0 = S ′(x0) und y ′n = S ′(xn) = y ′n−1 + y ′′n−1hn−1 + y ′′′n−1 2 h2n−1. Unter Berücksichtigung von (28.22)–(28.23) führt dies zu den beiden zusätzlichen Gleichungen 2h0y ′′ 0 + h0y ′′1 = −6y ′0 + 6 y1 − y0 h0 =: g0 und hn−1y ′′n−1 + 2hn−1y ′′n = 6y ′n − 6 yn − yn−1 hn−1 =: gn. Zusammen mit den n−1 linearen Gleichungen (28.24) ergibt dies das (n+ 1)× (n+ 1)-dimensionale lineare Gleichungssystem ⎛ ⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜ ⎝ 2h0 h0 0 . . . . . . 0 h0 2(h0 + h1) h1 . . . . . . ... 0 h1 2(h1 + h2) . . . . . . ... ... . . . . . . . . . . . . 0 ... . . . . . . . . . 2(hn−2 + hn−1) hn−1 0 . . . . . . 0 hn−1 2hn−1 ⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟ ⎠ × ⎛ ⎜⎜ ⎜ ⎝ y ′′0 y ′′1 ... y ′′n ⎞ ⎟⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜⎜ ⎜ ⎝ g0 g1 ... gn ⎞ ⎟⎟ ⎟ ⎠ . c) Periodische Randbedingung Die periodische Randbedingung liefert y ′0 = y ′n = S ′(xn) = y ′n−1 + y ′′n−1hn−1 + y ′′′n−1 2 h2n−1 und y ′′0 = y ′′n . Unter Berücksichtigung von (28.22)–(28.23) führt dies zur zusätzlichen Gleichung y1 − y0 h0 − h0 6 (y ′′1 + 2y ′′0 ) = yn − yn−1 hn−1 − hn−1 6 (y ′′0 + 2y ′′n−1) + y ′′n−1hn−1 + 3(y ′′0 − y ′′n−1)hn−1 bzw. nach einer kurzen Umformung zu 2(hn−1+h0)y ′′0 +h0y ′′1 +hn−1y ′′n−1 = 6 y1 − y0 h0 − 6yn − yn−1 hn−1 =: g0. 832 Kapitel 2828.4 Kubische Splinefunktion Zusammen mit den n−1 linearen Gleichungen (28.24) ergibt dies das n× n-dimensionale lineare Gleichungssystem ⎛ ⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜ ⎝ 2(hn−1 + h0) h0 0 . . . 0 hn−1 h0 2(h0 + h1) h1 . . . . . . 0 0 h1 . . . . . . . . . ... ... . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . . . . . . . . . . hn−2 hn−1 0 . . . 0 hn−2 2(hn−2 + hn−1) ⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟ ⎠ × ⎛ ⎜⎜⎜ ⎝ y ′′0 y ′′1 ... y ′′n−1 ⎞ ⎟⎟⎟ ⎠ = ⎛ ⎜⎜⎜ ⎝ g0 g1 ... gn−1 ⎞ ⎟⎟⎟ ⎠ . Damit ist gezeigt, dass in allen drei Fällen, d.h. bei Verwendung einer der drei Randbedingungen a), b) oder c), jeweils ein lineares Gleichungssystem der Form Hy′′ = g mit einer strikt diagonaldominanten Koeffizientenmatrix H resultiert. Das heißt, für die Koeffizienten aij in der i-ten Zeile der Matrix H = (aij )i,j gilt ∑ j=1 j =i |aij | < |aii | (28.25) für alle i = 1, . . . , n. Existenz und Eindeutigkeit Diese Beobachtungen führen zu dem folgenden Satz bezüglich der Existenz und Eindeutigkeit einer kubischen Splinefunktion: Satz 28.6 (Existenz und Eindeutigkeit kubischer Splinefunktionen) Es sei a =: x0 < x1 < . . . < xn−1 < xn := b eine Zerlegung des Intervalls [a, b] und (xi, yi) für i = 0, . . . , n seien n+ 1 Stützstellen. Dann gibt es jeweils genau eine kubische Splinefunktion S : [a, b] −→ R, die den Interpolationsbedingungen S(xi) = yi für i = 0, . . . , n und a) der natürlichen Randbedingung oder b) der vollständigen Randbedingung zu vorgegebenen ersten Ableitungen y ′0 und y ′ n oder c) der periodischen Randbedingung genügt. Diese Splinefunktion ist gegeben durch S(x) = ai + bi(x − xi)+ ci(x − xi)2 + di(x − xi)3 für alle x ∈ [xi, xi+1] mit ai = yi, bi = y ′i , ci = y ′′i 2 und di = y ′′′ i 6 (28.26) für i = 0, . . . , n−1. Dabei erfüllen die Werte y ′i , y ′′i und y ′′′i die Gleichungen y ′i = yi+1 − yi hi − hi 6 (y ′′i+1 + 2y ′′i ) und y ′′′i = y ′′i+1 − y ′′i hi (28.27) mit hi := xi+1 − xi für i = 0, . . . , n− 1 sowie hi−1y ′′i−1 + 2(hi−1 + hi)y ′′i + hiy ′′i+1 = 6yi+1 − yi hi − 6yi − yi−1 hi−1 (28.28) für i = 1, . . . , n− 1. Beweis: In den Ausführungen vor Satz 28.6 wurde gezeigt, dass zu n+ 1 Stützpunkten (xi , yi) für i = 0, . . . , n stets eine kubische Splinefunktion S existiert. Ferner wurde gezeigt, dass die Splineparameter ai, bi , ci , di für i = 0, . . . , n−1 durch die Werte y′′i festgelegt sind und die Berechnung der Werte y′′i bei Verwendung der natürlichen, vollständigen oder periodischen Randbedingung jeweils auf ein lineares Gleichungssystem der Form Hy′′ = g mit einer strikt diagonaldominanten Koeffizientenmatrix H führt (vgl. (28.25)). Da jedoch aus der strikten Diagonaldominanz einer Matrix folgt, dass die Matrix auch invertierbar ist (siehe z.B. Oevel [51], Seiten 176-178), impliziert dies, dass das lineare Gleichungssystem Hy′′ = g bei Verwendung einer der drei Randbedingungen jeweils genau eine Lösung y′′ = H−1g besitzt. Das heißt, die Parameter ai, bi , ci , di für i = 0, . . . , n − 1 sind eindeutig festgelegt und damit ist insbesondere auch die kubische Splinefunktion S eindeutig bestimmt. In der Praxis werden Splinefunktionen der Ordnung k ≥ 4 nicht sehr häufig eingesetzt, da Polynome höheren Grades dazu tendieren, zwischen den Stützstellen zu stark zu oszillieren. Man begnügt sich daher oft mit kubischen Splinefunktionen und wählt die Stützstellen im Rahmen der gewünschten Interpolationsgenauigkeit hinreichend dicht. Ist f : [a, b]−→R eine vierfach stetig differenzierbare Funktion mit f (xi)=yi für i=0, . . . , n und S : [a, b]−→R eine 833 Kapitel 28 Spline-Interpolation kubische Splinefunktion, die den Interpolationsbedingungen S(xi) = yi für i = 0, . . . , n − 1 sowie der vollständigen Randbedingung S ′(x0) = f ′(x0) und S ′(xn) = f ′(xn) genügt, dann gilt die Fehlerabschätzung |f (x)− S(x)| ≤ h4max · hmax hmin · max x∈[a,b] ∣∣f (4)(x) ∣∣ für alle x ∈ [a, b] mit hmax := max i=0,...,n−1 hi und hmin := min i=0,...,n−1 hi (vgl. Oevel [51], Seite 355). Das heißt, im Gegensatz zur Polynominterpolation (siehe Kapitel 27) ergibt sich bei der Spline-Interpolation mittels einer kubischen Splinefunktion S eine (gleichmäßige) Konvergenz gegen die zu interpolierende Funktion f , falls die Anzahl der n + 1 Stützstellen xi so erhöht wird, dass die maximale Schrittweite hmax gegen 0 konvergiert. Die Approximationsgüte hängt dabei von der vierten Potenz des maximalen Stützstellenabstandes hmax ab. Ein analoges Ergebnis gilt auch für den Fall, dass für die Splinefunktion S die natürliche oder die periodische Randbedingung vorgegeben wird, falls auch die zu interpolierende Funktion f die natürliche Randbedingung f ′′(x0) = f ′′(xn) = 0 bzw. die periodische Randbedingung f ′(x0) = f ′(xn) und f ′′(x0) = f ′′(xn) erfüllt. Ist dies nicht der Fall, dann ist die Approximationsgüte lediglich quadratisch vom maximalen Stützstellenabstand hmax abhängig. In praktischen Anwendungen ist es daher sinnvoll, nur reelle Funktionen f , die der natürlichen (bzw. der periodischen) Randbedingung genügen, durch eine kubische Splinefunktion mit natürlicher (bzw. periodischer) Randbedingung zu interpolieren. In anderen Fällen ist es vorteilhafter, die vollständige Randbedingung bei der Berechnung der kubischen Splinefunktion S zu verwenden. Deformation einer biegsamen Holzlatte Betrachtet man die durch Aufbringung äußerer Kräfte erzwungene Deformation einer biegsamen Holzlatte, die durch Nägel an einzelnen Klemmpunkten (xi,yi) für i = 0, . . . , n fixiert ist, so nimmt diese nach fundamentalen physikalischen Prinzipien diejenige Form an, welche die Deformationsenergie minimiert. Biegsame Holzlatten verhalten sich somit wie kubische Splines. Denn man kann zeigen, dass eine kubische Splinefunktion die Minimaleigenschaft besitzt, also unter allen zweifach stetig differenzierbaren Funktionen f , die die Interpolationsbedingungen f (x0) = y0, . . . , f (xn) = yn sowie die natürliche (bzw. die vollständige oder die periodische) Randbedingung erfüllen, die durch ∫ xn x0 (f ′′(x))2 dx definierte „mittlere Krümmung“ minimiert (vgl. Oevel [51], Seite 353). Die Bezeichnung „natürliche Randbedingung“ für y ′′0=y ′′n=0 rührt daher, dass auf eine an einzelnen Klemmpunkten (xi,yi) für i=0, . . . , n fixierte biegsame Holzlatte außerhalb des Bereiches [x0,xn] keine Kräfte einwirken. Das heißt, außerhalb dieses Bereiches weist die Holzlatte keinerlei Krümmung auf, so dass speziell in den Randpunkten x0 und xn mit der Krümmung auch die zweite Ableitung der Kurve verschwindet. Das konkrete Vorgehen bei der Berechnung einer kubischen Splinefunktion wird anhand der folgenden beiden Beispiele verdeutlicht: Beispiel 28.7 (Kubische Splinefunktion) Es seien wieder die sieben Stützpunkte aus Beispiel 28.5 gegeben und für die zweite Ableitung von S an den Stellen x0 und x6 gelte y ′′0 = y ′′6 = 0 (natürliche Randbedingung). Zur Berechnung der verbleibenden zweiten Ableitungen von S, d.h. der Werte y ′′1 , . . . , y ′′ 5 , ist das 5 × 5dimensionale lineare Gleichungssystem ⎛ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ 10 3 0 0 0 3 10 2 0 0 0 2 8 2 0 0 0 2 10 3 0 0 0 3 12 ⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ y ′′1 y ′′2 y ′′3 y ′′4 y ′′5 ⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ −1,2 3 4,8 −1,8 −5,2 ⎞ ⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ zu lösen. Es resultiert dann der Lösungsvektor (y ′′1 , y ′′ 2 , y ′′ 3 , y ′′ 4 , y ′′ 5 ) T = (−0,1922; 0,2407; 0,5850;−0,1805;−0,3882)T . Zusammen mit (28.26)–(28.27) lassen sich daraus für die kubische Splinefunktion S die Parameter ai, bi, ci , di für i = 0, . . . , 5 berechnen. Man erhält dann die Werte in der Tabelle 28.1. Das heißt, bei Verwendung der natürlichen Randbedingung ist die kubische Splinefunktion auf dem Intervall [0, 15] gegeben durch 834 Kapitel 2828.4 Kubische Splinefunktion i xi yi ai y ′ i bi y ′′ i ci y ′′′ i di 0 0 0,6 0,6 0,4641 0,4641 0 0 −0,0961 −0,01602 1 2 1,4 1,4 0,2719 0,2719 −0,1922 −0,0961 0,1443 0,02405 2 5 2 2 0,3446 0,3446 0,2407 0,1203 0,1722 0,02869 3 7 3,4 3,4 1,1702 1,1702 0,5850 0,2925 −0,3828 −0,06379 4 9 6,4 6,4 1,5746 1,5746 −0,1805 −0,0903 −0,0692 −0,01154 5 12 10 10 0,7215 0,7215 −0,3882 −0,1941 0,1294 0,02157 6 15 11 0 Tabelle 28.1: Parameter ai , bi , ci und di für das Beispiel 28.7. S : [0, 15] −→ R, x %→ S(x) = ⎧ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩ 0,6 + 0,4641x − 0,01602x3 für 0 ≤ x < 2 1,4 + 0,2719(x − 2)− 0,0961(x − 2)2 + 0,02405(x − 2)3 für 2 ≤ x < 5 2 + 0,3446(x − 5)+ 0,1203(x − 5)2 + 0,02869(x − 5)3 für 5 ≤ x < 7 3,4 + 1,1702(x − 7)+ 0,2925(x − 7)2 − 0,06379(x − 7)3 für 7 ≤ x < 9 6,4 + 1,5746(x − 9)− 0,0903(x − 9)2 − 0,01154(x − 9)3 für 9 ≤ x < 12 10+0,7215(x − 12)−0,1941(x − 12)2+0,02157(x−12)3 für 12 ≤ x ≤ 15 (vgl. Abbildung 28.2, links). Ein Vergleich dieser kubischen Splinefunktion mit der quadratischen Splinefunktion aus Beispiel 28.5 zeigt, dass die Abweichungen relativ gering sind (vgl. Abbildung 28.2, rechts). Das folgende Beispiel zeigt, wie die Spline-Interpolation bei betriebswirtschaftlichen Entscheidungsproblemen eingesetzt werden kann: Beispiel 28.8 (Kubische Spline-Interpolation der Tariffunktion) Betrachtet wird die abschnittsweise definierte Tariffunktion s : R+ −→ R aus Beispiel 15.24. Die Tariffunktion s dient zur Berechnung der Einkommensteuer in Abhängigkeit vom zu versteuernden Einkommen x (in €) und ist an den Verbindungsstellen x1 = 8.500, x2 = 13.469, x3 = 52.881 und x4 = 250.730 nicht stetig und damit insbesondere auch nicht differenzierbar. Im Rahmen von verschiedenen betriebswirtschaftlichen Optimierungsprozessen wie z.B. der Wahl einer optimalen Investitionsalternative, der bestmöglichen Rechtsform oder der vorteilhaftesten Gewinnermittlungsmethode ist es jedoch oftmals auch erforderlich, die steuerrechtlichen Regelungen zu berücksichtigen. In solchen Fällen ist es vorteilhaft, die nicht differenzierbare Tariffunktion s durch eine zweifach stetig differenzierbare kubische Splinefunktion S zu interpolieren, so dass anschließend Methoden der Differentialrechnung zur analytischen Bestimmung des Optimums herangezogen werden können (siehe Schanz [59]). Im Folgenden wird daher die Tariffunktion s auf dem Intervall [0, 300.000] durch eine kubische Splinefunktion S interpoliert. Dabei werden die folgenden sieben Stützpunkte verwendet i 0 1 2 3 4 5 6 xi 0 5.000 10.000 20.000 100.000 200.000 300.000 yi =s(xi ) 0 0 315,6045 2.701,047 33.828 75.828 119.306 und für die zweite Ableitung der Splinefunktion S an den Stellen x0 und x6 gelte y ′′0 = y ′′6 = 0 (natürliche Randbedingung). Zur Berechnung der verbleibenden zweiten Ableitungen von S, d.h. der Werte y ′′1 , . . . , y ′′ 5 , ist das 5×5dimensionale lineare Gleichungssystem ⎛ ⎜⎜ ⎜ ⎝ 20.000 5.000 0 0 0 5.000 30.000 10.000 0 0 0 10.000 180.000 80.000 0 0 0 80.000 360.000 100.000 0 0 0 100.000 400.000 ⎞ ⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜⎜ ⎝ y ′′1 y ′′2 y ′′3 y ′′4 y ′′5 ⎞ ⎟⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜⎜ ⎜ ⎝ 0,3787 1,0525 0,9033 0,1855 0,0887 ⎞ ⎟ ⎟⎟ ⎠ 835 Kapitel 28 Spline-Interpolation a = x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 = b 0 2 4 6 8 10 l l l l l l lquadratischer Spline S 2(x) kubischer Spline S 3(x) x1 x2 x3 x4 x5 x6 = b −0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 S 3(x) − S 2(x) Abb. 28.2: Quadratische SplinefunktionS2(x)und kubische SplinefunktionS3(x) (mit natürlicher Randbedingung) durch die sieben Stützpunkte aus Beispiel 28.5 (links) und Abweichung S3(x)− S2(x) (rechts) zu lösen. Es resultiert dann der Lösungsvektor ⎛ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ y ′′1 y ′′2 y ′′3 y ′′4 y ′′5 ⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ T = ⎛ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ 1,0900 · 10−5 3,2143 · 10−5 3,3738 · 10−6 −3,1819 · 10−7 3,0125 · 10−7 ⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ T . Zusammen mit (28.26)–(28.27) lassen sich daraus für die kubische Splinefunktion S die Parameter ai, bi, ci , di für i = 0, . . . , 5 berechnen. Man erhält die Werte in der Tabelle 28.2. i ai bi y ′′ i ci di 0 0 −9,0837 · 10−3 0 0 3,6335 · 10−10 1 0 1,8167 · 10−2 1,0900 · 10−5 5,4502 · 10−6 7,0810 · 10−10 2 3,1560 · 102 1,2578 · 10−1 3,2143 · 10−5 1,6072 · 10−5 −4,7949 · 10−10 3 2,7010 · 103 3,0336 · 10−1 3,3738 · 10−6 1,6869 · 10−6 −7,6916 · 10−12 4 3,3828 · 104 4,2559 · 10−1 −3,1819 · 10−7 −1,5909 · 10−7 1,0324 · 10−12 5 7,5828 · 104 4,2474 · 10−1 3,0125 · 10−7 1,5062 · 10−7 −5,0208 · 10−13 6 0 Tabelle 28.2: Parameter ai , bi , ci und di für das Beispiel 28.8. Ein Vergleich der kubischen Splinefunktion S mit der zu interpolierenden Tariffunktion s zeigt, dass die Approximation bereits relativ gut ist (vgl. Abbildung 28.3). Durch Erhöhung der Anzahl der Stützstellen kann die Approximation jedoch noch beliebig weit verbessert werden. Eine weitere wichtige Anwendung von Splinefunktionen in den Wirtschaftswissenschaften ist die Interpolation von Zinskurven aus den Werten einer vorhandenen Zinskurve zur Bestimmung von Zinssätzen für eine Zinslaufzeit und Währung, für die kein Zinssatz vorhanden ist. 836 Kapitel 2828.4 Kubische Splinefunktion 0 100000 200000 300000 0 50000 100000 ●●● ● ● ● ●Tariffunktion s(x) kubischer Spline S(x) 100000 200000 300000 −1000 −500 0 500 1000 s(x) −S(x) Abb. 28.3: Tariffunktion s und kubische Splinefunktion S (mit natürlicher Randbedingung) durch sieben Stützpunkte (links) und Abweichung s(x)− S(x) (rechts) 837

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References

Zusammenfassung

"uneingeschränkt zu empfehlen, [...] insbesondere als Einstiegslektüre im Bachelor-Studium". In: Studium, 2013.

So zentral die Rolle der Mathematik in der Ökonomie ist, so schwer tun sich die Studierenden mit mathematischen Methoden und Konzepten. Umso wichtiger ist es, die Studierenden bei ihrem aktuellen Wissensstand abzuholen und vorsichtig an den Stoff heranzuführen. Diesem Ziel verschreibt sich dieses Lehrbuch. Es führt mit vielen interessanten Beispielen aus der Ökonomie, kurzen Anekdoten und einem modernen mehrfarbigen Design in die zentralen mathematischen Methoden für ein erfolgreiches Wirtschaftsstudium ein, ohne dabei auf mathematische Klarheit sowie die notwendige Formalität und Stringenz zu verzichten. Auch nach dem Studium ist dieses Buch ein wertvoller Begleiter bei der mathematischen Lösung wirtschaftswissenschaftlicher Problemstellungen.

Aus dem Inhalt:

* Mathematische Grundlagen

* Lineare Algebra

* Matrizentheorie

* Folgen und Reihen

* Reellwertige Funktionen in einer und mehreren Variablen

* Differential- und Integralrechnung

* Optimierung mit und ohne Nebenbedingungen

* Numerische Verfahren

Dozenten finden auf der Website zum Buch unter www.vahlen.de zusätzliche Materialien zum Download.

"Indem Sie den Lehrstoff schrittweise aufbereiten und den Leser bei seinem aktuellen Wissenstand abholen, gelingt es ihnen [den Autoren], auch komplexe Zusammenhänge leicht nachvollziehbar zu vermitteln. Geschickt bauen sie immer wieder kurze Anekdoten, historische Ereignisse und überraschende Erkenntnisse in den Text ein". In: Studium, 2013.

Prof. Dr. Michael Merz ist Inhaber des Lehrstuhls für Mathematik und Statistik in den Wirtschaftswissenschaften an der Universität Hamburg. Prof. Dr. Mario V. Wüthrich forscht und lehrt am Department für Mathematik der ETH Zürich.