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2. Mengenlehre in:

Michael Merz, Mario V. Wüthrich

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, page 43 - 54

Die Einführung mit vielen ökonomischen Beispielen

1. Edition 2012, ISBN print: 978-3-8006-4482-7, ISBN online: 978-3-8006-4483-4, https://doi.org/10.15358/9783800644834_43

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Kapitel2 Mengenlehre Kapitel 2 Mengenlehre 2.1 Mengen und Elemente G. Cantor Die Mengenlehre ist für die Mathematik von grundlegender Bedeutung. So gut wie jedes mathematische Teilgebiet lässt sich mengentheoretisch begründen. Hierzu zählen insbesondere die mathematischen Teilgebiete Algebra, Analysis, Wahrscheinlichkeitstheorie, Statistik und Optimierungstheorie, die für die Wirtschaftswissenschaften von zentraler Bedeutung sind. Die Begriffe und Symbole der Mengenlehre ermöglichen zusammen mit den Grundlagen der Aussagenlogik (siehe Abschnitt 1.3) und den Prinzipien der mathematischen Beweisführung (siehe Abschnitt 1.6) zum einen die exakte Formulierung mathematischer Definitionen und zum anderen den widerspruchsfreien Beweis mathematischer Aussagen. Mengen Der Begründer der Mengenlehre, der deutsche Mathematiker Georg Cantor (1845–1918), definierte Ende des 19. Jahrhunderts den Begriff der Menge wie folgt: Definition 2.1 (Menge) Eine Menge M ist eine Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen. Die zu einer Menge zusammengefassten Objekte heißen Elemente der Menge und man schreibt m ∈ M , falls m ein Element der Menge M ist und m ∈ M , falls m kein Element der Menge M ist. Bei Verwendung dieser Definition ist jedoch zu beachten, dass sie keine exakte Definition im engeren mathematischen Sinne darstellt, da die Begriffe „Zusammenfassung“, „Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens“ und „Ganzes“ zu unbestimmt sind (siehe hierzu auch Seite 33). Aus diesem Grund wird die auf der Definition 2.1 basierende Mengentheorie als naive Mengenlehre bezeichnet. Mengen werden in der Regel in aufzählender oder in beschreibender Form zwischen zwei geschweiften Klammern „{“ und „}“ angegeben. Zum Beispiel gilt für die Menge der möglichen Augenzahlen bei einem Würfelwurf M = {1, 2, 3, 4, 5, 6} aufzählende Angabe M = {a : a ist eine natürliche beschreibende Angabe Zahl mit 1 ≤ a ≤ 6} Dabei ist bei der beschreibenden Angabe einer Menge die „Doppelpunkt-Notation“ M = {x : x besitzt die Eigenschaft E} wie folgt zu lesen: M ist die Menge aller x mit der Eigenschaft E. Die aufzählende Angabe einer Menge M ist nur dann sinnvoll, wenn die MengeM nicht allzu viele Elemente enthält. In allen anderen Fällen erfolgt die Angabe einer Menge in beschreibender Form mit Hilfe einer Eigenschaft, welche die Elemente der Menge charakterisiert. In der Regel werden Mengen mit Großbuchstaben M,N, . . . und die Elemente von Mengen mit Kleinbuchstaben m, n, . . . bezeichnet. Eine wichtige Eigenschaft von Mengen ist, dass die Reihenfolge und ein eventuell mehrfaches Vorkommen einzelner Elemente keine Rolle spielt. Das heißt, eine Menge ist stets eine ungeordnete Zusammenfassung wohlunterscheidbarer Objekte und zwei Mengen M und N werden daher genau dann als gleich bezeichnet, in Zeichen M = N , wenn sie die gleichen Elemente enthalten. Das heißt, es gilt M = N ⇐⇒ (m ∈ M ⇔ m ∈ N). Sind zwei Mengen M und N nicht gleich, dann heißen sie ungleich, in Zeichen M = N . Es gilt somit z. B. {a, b, c} = {c, b, a} = {b, a, a, c, b}, aber {a, b, c} = {c, b, a, d}. Endliche und unendliche Mengen Eine Menge M kann keine, endlich viele oder auch unendlich viele Elemente enthalten: 32 Kapitel 22.1 Mengen und Elemente Definition 2.2 (Leere Menge, endliche Menge und unendliche Menge) Eine Menge M heißt a) leere Menge (Nullmenge), falls sie keine Elemente enthält, b) endliche Menge, wenn sie endlich viele verschiedene Elemente besitzt und c) unendliche Menge, wenn sie unendlich viele verschiedene Elemente enthält. Eine leere Menge wird mit {} oder ∅ bezeichnet. Ferner schreibt man für die Anzahl der Elemente einer endlichen Menge M mit n verschiedenen Elementen |M| = n und für die Anzahl der Elemente einer Menge N mit unendlich vielen verschiedenen Elementen |N | = ∞. J. Wallis Das Zeichen ∞ wird in der Mathematik in den verschiedensten Zusammenhängen als Symbol für unendlich oder unbeschränkt verwendet. Zum Beispiel wird es benutzt, wenn wie in Definition 2.2 ausgedrückt werden soll, dass eine Menge unerschöpflich oder unbeschränkt ist. Es wird aber auch verwendet, wenn ausgedrückt werden soll, dass ein mathematisches Objekt, wie z. B. eine Folge (siehe Abschnitt 11.1) oder eine Funktion (siehe Abschnitt 13.1), über alle Grenzen wächst. Es geht auf den englischen Mathematiker John Wallis (1616–1703) zurück. Ursprünglich wurde das Symbol ∞ im alten Rom als Zeichen für die Zahl 1000 verwendet. Historische Bilderbibel Einer anderen verbreiteten Deutung zufolge entstand das Symbol ∞ aus dem letzten Buchstaben des klassischen griechischen Alphabets, d. h. dem Buchstaben ω, welcher ein gebräuchliches Synonym für das Wort „Ende“ ist. Zum Beispiel bezeichnet sich Jesus Christus in der Offenbarung des Johannes (Bibel, Kap. 22,13) als „das Alpha und das Omega, der Erste und der Letzte, der Anfang und das Ende.“ Beispiel 2.3 (Mengen und die Anzahl ihrer Elemente) a) M = {a, b, c} ist die Menge der ersten drei lateinischen Kleinbuchstaben. Das heißt, es gilt |M| = 3 und z. B. b ∈ M , aber d ∈ M . b) N = {2, 4, 6, 8, 10, . . .} ist die Menge aller geraden Zahlen. Das heißt, es gilt |N | = ∞ und z. B. 1000 ∈ N , aber 5 ∈ N . c) A = {x : 0 < x < 9 und x ist eine Primzahl} ist gleich der Menge {2, 3, 5, 7}. Das heißt, es gilt |A| = 4 und z. B. 7 ∈ A, aber 23 ∈ A. d) B = {a : a ist ein deutscher Erstliga-Fußballklub}. Das heißt, es gilt |B| = 18 und z. B. FC Barcelona ∈ B. e) C = {x > 0 und x < 0} ist gleich der leeren Menge {}. Das heißt, es gilt |C| = 0. f) D = {x : x ist eine reelle Zahl mit x2 = 1} ist gleich der Menge {−1, 1}. Das heißt, es gilt |D| = 2. g) N ist als Menge aller natürlichen Zahlen eine unendliche Menge. Es gilt z. B. 23 ∈ N, aber −10 ∈ N. h) P sei die Menge aller Primzahlen. Gemäß Beispiel 1.27b) ist P eine unendliche Menge. Es gilt z. B. 2 ∈ P, aber 1 ∈ P (vgl. hierzu auch Beispiel 1.20b)). Russellsche Antinomie B. Russell Die Definition 2.1 besitzt die große Schwäche, dass sie prinzipiell beliebige Mengenbildungen erlaubt und damit auch Raum für Widersprüche lässt. Eines der bekanntesten Beispiele hierfür ist die nach dem britischen Mathematiker, Philosophen und Nobelpreisträger für Literatur Bertrand Russell (1872–1970) benannte Russellsche Antinomie. Diese tritt auf, wenn man die Menge M aller Mengen betrachtet, die sich nicht selbst als Element enthalten. Denn diese Mengenbetrachtung führt zum Widerspruch, dass sich die Menge M genau dann 33 Kapitel 2 Mengenlehre selbst enthält, wenn sie sich nicht selbst enthält. Das heißt, es gilt M ∈ M ⇐⇒ M ∈ M. Eine bekannte Variante dieses Paradoxons wurde 1918 von Russell angegeben und ist unter dem Namen Barbier- Paradoxon bekannt: Beispiel 2.4 (Barbier-Paradoxon) Das Barbier-Paradoxon lautet: „Ein Barbier rasiert genau die Männer eines Dorfes, die sich nicht selbst rasieren.“ Barbier Das heißt, gehört der Barbier nicht zu der Menge M aller männlichen Dorfbewohner, die sich selbst rasieren, dann wird er laut Definition von dem Barbier, also sich selbst, rasiert. Dies widerspricht jedoch der Annahme, dass Barbier ∈ M gilt. Gehört er dagegen zu der Menge M aller männlichen Dorfbewohner, die sich selbst rasieren, dann gehört er laut Definition zu den Personen, die nicht vom Barbier rasiert werden. Er rasiert sich somit nicht selbst. Dies widerspricht jedoch der Annahme, dass Barbier ∈ M gilt. Man erhält somit insgesamt den Widerspruch, dass sich der Barbier genau dann selbst rasiert, wenn er sich nicht selbst rasiert: Barbier ∈ M ⇐⇒ Barbier ∈ M. E. Zermelo Glücklicherweise können im innerhalb der zu Beginn des 20. Jahrhunderts begründeten axiomatischen Mengenlehre solche Widersprüche vollständig ausgeschlossen werden. Zum Beispiel ist im Rahmen der nach dem deutschen Mathematiker Ernst Zermelo (1871–1953) sowie dem deutsch-israelischen Mathematiker Abraham Fraenkel (1891– 1965) benannten erweiterten Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre sichergestellt, dass keine Widersprüche entstehen. Die erweiterte Zermelo-Fraenkel- Mengenlehre dient deshalb heute als solides Fundament für die gesamte Mathematik. A. Fraenkel Da jedoch eine Axiomatisierung der Mengenlehre den formalen Anspruch dieses Lehrbuches bei weitem sprengen würde, wird im weiteren Verlauf des Lehrbuches für Mengen die intuitive Definition 2.1 zugrunde gelegt. Dieser naive Standpunkt ist für alle wirtschaftswissenschaftlichen Fragestellungen ausreichend, da Widersprüche der obigen Bauart einfach dadurch vermieden werden können, dass bei der Bildung/Definition einer Menge M darauf geachtet wird, dass stets eindeutig entschieden werden kann, ob ein Objekt ein Element der Menge M ist oder nicht. 2.2 Mengenoperationen J. Venn Eigenschaften von Mengen und Beziehungen zwischen Mengen können mit Hilfe von sogenannten Venn-Diagrammen, benannt nach dem britischen Mathematiker John Venn (1834–1923), oftmals sehr gut veranschaulicht werden. Darunter versteht man Flächenstücke, die durch geschlossene Linien gekennzeichnet sind. Die dargestellte Menge kann dabei sowohl aus allen Punkten des eingeschlossenen Flächenstücks bestehen oder auch nur aus isolierten Punkten des Flächenstücks (siehe Abbildung 2.1). Es ist jedoch zu beachten, dass Venn-Diagramme zwar sehr hilfreich zur Veranschaulichung von Mengenbeziehungen sind, sie aber keine Beweismittel im strengen mathematischen Sinne darstellen. Inklusionen Analog zu Zahlen kann man auch die Größe von Mengen miteinander vergleichen. Dies führt zu den Begriffen (echte) Teilmenge und (echte) Obermenge: 34 Kapitel 22.2 Mengenoperationen a b de c M Abb. 2.1: Venn-Diagramme der Mengen {a, b, c, d, e} (links) und M (rechts) Definition 2.5 (Inklusion) a) Eine MengeM heißt Teilmenge einer MengeN , kurz: M ⊆ N oder N ⊇ M , wenn jedes Element von M auch ein Element von N ist. Die Menge N wird dann als Obermenge von M und die Aussage M ⊆ N bzw. N ⊇ M als Inklusion bezeichnet. Es gilt M ⊆ N ⇔ ((m ∈ M) ⇒ (m ∈ N)). Ist M keine Teilmenge von N , dann schreibt man M ⊆ N bzw. N ⊇ M . b) Eine Menge M heißt echte Teilmenge einer Menge N , kurz: M ⊂ N oder N ⊃ M , wenn jedes Element von M auch ein Element von N ist und es mindestens ein Element in N gibt, das kein Element von M ist. Die Menge N wird dann als echte Obermenge von M und die Aussage M ⊂ N bzw. N ⊃ M als echte Inklusion bezeichnet. Es gilt M ⊂ N ⇔ ( (M ⊆ N) ∧ (M = N) ). Ist M keine echte Teilmenge von N , dann schreibt man M ⊂ N bzw. N ⊃ M . N M M N Abb. 2.2: Venn-Diagramme für die (echte) Inklusion M ⊂ N (links) und die Mengenbeziehung (M ⊆ N) ∧ (N ⊆ M) (rechts) Offensichtlich gilt M = N ⇔ (M ⊆ N) ∧ (N ⊆ M) . Die Gleichheit zweier Mengen M und N beweist man daher im Allgemeinen dadurch, dass man zeigt, dass sowohl M ⊆ N als auch N ⊆ M erfüllt ist. Die leere Menge ∅ ist Teilmenge jeder Menge M und eine Menge M ist stets eine (nicht echte) Teilmenge von sich selbst. Das heißt, es gilt ∅ ⊆ M bzw. M ⊆ M und M ⊂ M für jede Menge M . Ferner folgt aus M ⊂ N stets M ⊆ N . Darüber hinaus gilt für zwei endliche Mengen M und N : M = N ⇒ |M| = |N | M ⊆ N ⇒ |M| ≤ |N | M ⊂ N ⇒ |M| < |N | Dabei ist jedoch zu beachten, dass für unendliche Mengen M und N nur noch die ersten beiden Aussagen Gültigkeit besitzen (siehe hierzu Abschnitt 3.7). Beispiel 2.6 (Teilmengenbeziehungen) a) Es sei M = {10, 11, 12}, N = {10, 12}, O = {11, 12, 10} und P = {{11}}. Dann gilt N⊆M⊆O, N ⊂ M , M ⊂ O, M = O, P ⊆ M und P ∈ M . b) Es sei A = {x : x2 = 4}, N die Menge der natürlichen Zahlen und Z die Menge der ganzen Zahlen (siehe Abschnitt 3.4). Dann gilt A ⊆ N und A ⊂ Z. Potenzmengen Betrachtet man das System aller Mengen, die Teilmengen einer gegebenen Menge M sind, so ist dieses Mengensystem eine Zusammenfassung wohlunterschiedener Objekte und damit wieder eine Menge, welche als Potenzmenge der Menge M bezeichnet wird: Definition 2.7 (Potenzmenge) Die Menge aller Teilmengen A einer Menge M heißt Potenzmenge von M . Sie wird mit P(M) (oder auch 2M ) bezeichnet und es gilt P(M) = {A : A ⊆ M}. 35 Kapitel 2 Mengenlehre Die Elemente A einer Potenzmenge P(M) sind also selbst wieder Mengen und es gilt A ⊆ M ⇐⇒ A ∈ P(M). Aus M ⊆ M und ∅ ⊆ M für jede beliebige Menge M folgt, dass stets M ∈ P(M) und ∅ ∈ P(M) gilt. Beispiel 2.8 (Potenzmengen) a) Es sei M = {1, 2}. Dann ist die Potenzmenge von M gegeben durch P(M) = {∅, {1}, {2},M} und es gilt somit |P(M)| = 4 = 22. b) Es sei N = {1, 2, 3}. Dann ist die Potenzmenge von N gegeben durch P(N) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, N} und es gilt somit |P(N)| = 8 = 23. c) Die Potenzmenge der leeren Menge ∅ ist gegeben durch P(∅) = {∅}, da ∅ ⊆ ∅ gilt. Daraus folgt |P(∅)| = 1 = 20. d) Es sei O = {∅, a, {a, b}}. Dann ist die Potenzmenge von O gegeben durch P(O) = {∅, {∅} , {a} , {{a, b}} , {∅, a} , {∅, {a, b}} , {a, {a, b}} ,O} und es gilt somit |P(O)| = 8 = 23. Das Beispiel 2.8 legt die Vermutung nahe, dass die Anzahl der Elemente einer PotenzmengeP(M) durch 2n gegeben ist, wenn n die Anzahl der Elemente von M bezeichnet. Der folgende Satz besagt, dass diese Vermutung für alle endlichen Mengen M richtig ist: Satz 2.9 (Anzahl der Elemente von P(M)) Es sei M eine endliche Menge mit |M| = n. Dann gilt |P(M)| = 2n. (2.1) Beweis: Es sei M eine beliebige Menge mit |M| = n und A(n) bezeichne die Aussage |P(M)| = 2n. Es wird nun mit Hilfe vollständiger Induktion bewiesen, dass die Aussage A(n) für alle n ∈ N0 wahr ist. Induktionsanfang: Die Aussage A(0) ist wahr. Denn für n = 0 ist die Menge M leer und es gilt somit |P(M)| = |{∅}| = 1 = 20. Induktionsschritt: Es wird angenommen, dass die AussageA(n) für ein beliebiges n ∈ N0 wahr ist. Ferner wird die Menge M = {x1, . . . , xn+1} mit xi = xj für i = j und die Teilmenge A = {x1, . . . , xn} ⊂ M betrachtet. Es gilt somit |M| = n + 1 und |A| = n und gemäß der Induktionsannahme besitzt A genau 2n verschiedene Teilmengen. Durch Hinzufügen oder nicht Hinzufügen von xn+1 zu diesen 2n Teilmengen, resultieren jeweils zwei verschiedene Teilmengen von M . Es gilt somit für die Anzahl von Teilmengen |P(M)| = 2 · |P(A)| = 2 · 2n = 2n+1. Damit ist gezeigt, dass (2.1) für alle n ∈ N0 gilt. Schnitt-, Vereinigungs-, Differenz- und Komplementärmenge Durch die Mengenoperationen Schnittmenge, Vereinigungsmenge, Differenzmenge und Komplementärmenge können Mengen zu neuen Mengen verknüpft werden: Definition 2.10 (Schnitt, Vereinigung, Differenz und Komplement) Es seien M und N beliebige Mengen. Dann gilt: a) Die Menge aller Elemente, die sowohl zur Menge M als auch zur Menge N gehören, heißt Schnittmenge von M und N . Man schreibt: M ∩N = {x : x ∈ M ∧ x ∈ N} Gilt M ∩ N = ∅, d. h. besitzen M und N keine gemeinsamen Elemente, dann heißen die Mengen M und N disjunkt oder elementfremd. b) Die Menge aller Elemente, die zur Menge M oder zur Menge N gehören, heißt Vereinigungsmenge von M und N . Man schreibt: M ∪N = {x : x ∈ M ∨ x ∈ N} c) Die Menge aller Elemente, die zur Menge M , aber nicht zur Menge N gehören, heißt Differenzmenge oder Differenz von M und N . Man schreibt: M \N = {x : x ∈ M ∧ x ∈ N} 36 Kapitel 22.3 Rechnen mit Mengenoperationen d) Ist M eine Teilmenge von N , d. h. gilt M⊆N , dann heißt die Menge aller Elemente, die zur Menge N , aber nicht zur Menge M gehören, Komplementärmenge oder Komplement von M bzgl. N . Man schreibt: MN = N \M = {x : x ∈ N ∧ x ∈ M} M N M\ N M N M [N Abb. 2.3: Venn-Diagramme für die Schnittmenge M ∩ N (links) und die Vereinigungsmenge M ∪ N (rechts) Aus der Definition 2.10d) ist ersichtlich, dass die Komplementärmenge MN nur für M ⊆ N definiert ist und in diesem Fall auch gleich der Differenzmenge N \M ist. Die Differenzmenge N \ M ist dagegen auch für M ⊆ N definiert. Das heißt, die Differenzmenge ist der allgemeinere Begriff. M N M \ N M N (M\N)M \N Abb. 2.4: Venn-Diagramm für die Differenzmenge M \ N (links) und die Komplementärmenge (M ∩ N)M∪N (rechts) 2.3 Rechnen mit Mengenoperationen Das Rechnen mit Mengenoperationen wird auch als Mengenalgebra bezeichnet. Mit Hilfe von Venn-Diagrammen kann leicht die Gültigkeit einer ganzen Reihe von Rechenregeln und Rechengesetzen verifiziert werden. Zum Beispiel gilt für zwei beliebige Mengen M und N mit M ⊆ N : M ∪ ∅ = M und M ∩ ∅ = ∅ M ∪N = N und M ∩N = M M ∪MN = N und M ∩MN = ∅ (MN)N = M Regeln von De Morgan A. De Morgan Die nach dem englischen Mathematiker Augustus De Morgan (1806–1871) benannten Regeln von De Morgan sind oftmals besonders hilfreich. Sie besagen, dass für drei beliebige Mengen L, M und N mit L,M ⊆ N stets gilt: (L ∪M)N = LN ∩MN (L ∩M)N = LN ∪MN Die Komplementärmenge einer Vereinigungsmenge zweier Mengen ist somit die Schnittmenge der beiden einzelnen Komplementärmengen. Umgekehrt stimmt die Komplementärmenge einer Schnittmenge zweier Mengen mit der Vereinigungsmenge der beiden Komplementärmengen überein. Die Regeln von De Morgan sind auch für die Aussagenlogik von Bedeutung (vgl. Satz 1.17f)). Mengenalgebra In Abschnitt 2.2 wurden mit den Definitionen 2.5 und 2.10 die wichtigsten Mengenoperationen eingeführt. Analog zur Arithmetik und Aussagenlogik (siehe Abschnitt 1.3) werden auch in der Mengenlehre Klammern eingesetzt, um die Reihenfolge bei der Durchführung mehrerer Mengenoperationen eindeutig festzulegen. Zur Minimierung der dazu benötigten Anzahl von Klammern werden insbesondere die in Tabelle 2.1 angegebenen Konventionen bzgl. der Priorität der verschiedenen Mengenoperationen getroffen (vgl. hierzu auch Abschnitt 1.3 zur Aussagenlogik). Priorität Junktor Mengenoperation hoch Negation Komplementär- und Differenzmenge mittel Konjunktion, Schnitt- und Vereinigungs- Disjunktion menge gering Implikation, Inklusion und Gleichheit Äquivalenz Tabelle 2.1: Konventionen bzgl. der Priorität der verschiedenen Junktoren (logische Operatoren) und Mengenoperationen 37 Kapitel 2 Mengenlehre Der folgende Satz besagt, dass analog zur Arithmetik auch für die Mengenoperationen Schnitt- und Vereinigungsmenge Assoziativ-, Kommutativ- und Distributivgesetze gelten: Satz 2.11 (Rechengesetze für Mengenoperationen) Es seienL,M undN drei beliebige Mengen. Dann gelten: a) Assoziativgesetze: (L ∪M) ∪N = L ∪ (M ∪N) (L ∩M) ∩N = L ∩ (M ∩N) (2.2) b) Kommutativgesetze: L ∪M = M ∪ L M ∩ L = L ∩M (2.3) c) Distributivgesetze: L ∩ (M ∪N) = (L ∩M) ∪ (L ∩N) L ∪ (M ∩N) = (L ∪M) ∩ (L ∪N) (2.4) Beweis: Die Gültigkeit dieser Aussagen ist leicht einzusehen und ihr Beweis wird deshalb dem Leser zur Übung überlassen. Ein mathematischer Beweis der einzelnen Aussagen kann z. B. dadurch erfolgen, dass man nachweist, dass jedes Element der links stehenden Menge auch ein Element der rechts stehenden Menge ist und umgekehrt. Beispiel 2.12 (Mengenalgebra) a) Gegeben seien die Mengen M = {1, 2, 3, 4} und N = {4, 5, 6}. Dann gilt M \N = {1, 2, 3}, N \M = {5, 6}, M ∪N = {1, 2, 3, 4, 5, 6} und M ∩N = {4}. b) Gegeben seien die Mengen A = {a, b, c, d, e, f, g, h} und B = {e, f, g, h, i, j}. Dann gilt A ∪ B = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j}, A ∩ B = {e, f, g, h}, A \ B = {a, b, c, d} und B \ A = {i, j}. c) Gegeben seien die Mengen M = {A,B,C,D,E}, N = {B,D,F } und L = {A,F }. Dann gilt M∩N = {B,D}, M∩L = {A}, N∩L = {F }, M∩N∩L = ∅, M ∪ N = {A,B,C,D,E, F } = M ∪ L = M ∪ N ∪ L, N ∪ L = {A,B,D,F }, M ∪ (N ∩ L) = M ∪{F } = {A,B,C,D,E, F } und M ∩ (N ∪L) = M ∩ {A,B,D,F } = {A,B,D}. Der folgende Satz enthält zwei nützliche Gleichungen zur Berechnung der Anzahl von Elementen bei der Bildung von Schnittmengen, Vereinigungsmengen und Differenzmengen endlicher Mengen: Satz 2.13 (Rechenregeln für die Anzahl von Elementen) Es seien M und N zwei endliche Mengen. Dann gilt: |M ∪N | = |M| + |N | − |M ∩N | (2.5) |M\N | = |M| − |M ∩N | = |M ∪N | − |N | (2.6) Beweis: Zu (2.5): Da die Elemente in M ∩ N sowohl in M als auch in N liegen werden bei der Addition |M| + |N | die Elemente inM∩N doppelt gezählt. Folglich ist |M∪N | gegeben durch |M| + |N | − |M ∩N |. Zu (2.6): Da die Elemente in M\N zwar in M , aber nicht in N liegen, muss zur Berechnung von |M\N | von der Anzahl |M| noch die Anzahl der Elemente abgezogen werden, die sowohl in M als auch in N liegen. Folglich ist |M\N | gleich |M| − |M∩N |. Analog folgert man, dass die Differenz |M∪N |−|N | die Anzahl der Elemente liefert, welche in M , aber nicht in N liegen. Folglich ist |M\N | auch gleich |M ∪N | − |N |. Sind M und N zwei endliche disjunkte Mengen, dann gilt |M ∩N | = 0 und (2.5) vereinfacht sich dann offensichtlich zu |M ∪N | = |M| + |N |. Der Nutzen der Rechenregeln (2.5) und (2.6) wird in Beispiel 2.15 deutlich. Bei der Betrachtung konkreter mengentheoretischer Probleme ist es oft zweckmäßig, eine sogenannte Grundmenge oder Allmenge anzugeben, die definitionsgemäß alle in der jeweiligen Problemstellung vorkommenden Mengen als Teilmengen besitzt. Die Grundmenge wird dann in den meisten Fällen mit dem griechischen Buchstaben bezeichnet. Ein typisches Beispiel für solch eine Grundmenge ist die Ergebnismenge bei einem Zufallsexperiment in der Statistik. Zum Beispiel ist bei einem einmaligen Wurf mit einem Würfel die Ergebnismenge = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Das Ereignis, eine ungerade Zahl zu werfen, ist dann durch die Teilmenge {1, 3, 5} ⊆ gegeben. Für die Komplementärmenge einer Menge M bzgl. einer gegebenen Grundmenge schreibt man vereinfachend M anstelle von M . 38 Kapitel 22.3 Rechnen mit Mengenoperationen Wie man leicht einsieht, gilt dann z. B.: M ∪M = und M ∩M = ∅ M = M ∅ = und = ∅ In dieser Schreibweise lauten die Regeln von De Morgan für zwei Mengen M und N : M ∪N = M ∩N bzw. M ∩N = M ∪N Beispiel 2.14 (Mengenalgebra) a) Für die drei Mengen L = {1, 2, 3, 4}, M = {1, 2} und N = {2, 3, 4} gilt: L \M = ML = {3, 4} L \N = NL = {1} M \ L = N \ L = ∅ (M ∪N)L = ML ∩NL = ∅ (M ∩N)L = ML ∪NL = {1, 3, 4} , (M ∪N)\(M ∩N)=(M\N) ∪ (N \M)={1, 3, 4} b) Für die Grundmenge = {a, b, c, d, e, f, g, h, i} und die Mengen K = {a, d, h}, L = {a, d, i}, M = {i} und N = {b, c, e, f, g, i} gilt: K ∩M = ∅, aber K = M = {a, b, c, d, e, f, g, h} K = N = {a, d, h} L ∩N = {i} = M Die Mengen K und M sind somit disjunkt, aber nicht komplementär; die Mengen K und N sind komplementär und damit auch disjunkt, und die Mengen L und N sind nicht disjunkt und somit auch nicht komplementär. Das folgende etwas umfangreichere Beispiel ist eine gute Übung für den Umgang mit den verschiedenen Mengenoperationen und Rechenregeln: Beispiel 2.15 (Anwendungsbeispiel zu Mengenoperationen) Zum Zwecke einer Verbesserung der Studienorganisation wird an der Wirtschafts- und Sozialwissenschaftlichen Fakultät der Universität Hamburg unter 100 BWL- und und VWL-Studierenden eine Erhebung bezüglich ihrer persönlichen Präferenzen bei verschiedenen angebotenen Lehrveranstaltungen durchgeführt. Dabei ergab sich das folgende Meinungsbild: • 48 Studierende hören Vorlesungen über betriebliche Finanzwirtschaft. • 26 Studierende hören Vorlesungen über Statistik. • 8 Studierende hören Vorlesungen über betriebliche Finanzwirtschaft und Ökonometrie. • 23 Studierende hören Vorlesungen über Statistik, aber nicht über Ökonometrie. • 18 Studierende hören nur Vorlesungen über Statistik. • 8 Studierende hören Vorlesungen über betriebliche Finanzwirtschaft und Statistik. • 24 Studierende hören keine Vorlesungen in betrieblicher Finanzwirtschaft, Statistik und Ökonometrie. S B O Abb. 2.5: Venn-Diagramm zu Beispiel 2.15 mit den Mengen , S, B und O Aufgrund der Planung der benötigten Anzahl von Seminaren stellen sich nun für die Mitarbeiter des Studienbüros die folgenden Fragen: 39 Kapitel 2 Mengenlehre a) Wie viele Studierende hören Vorlesungen über Ökonometrie und Statistik, aber nicht über betriebliche Finanzwirtschaft? b) Wie viele Studierende hören Vorlesungen über Ökonometrie? c) Wie viele Studierende hören Vorlesungen über Statistik, aber auch über Ökonometrie oder betriebliche Finanzwirtschaft? Zur Beantwortung dieser drei Fragen werden die folgenden vier Mengen betrachtet: : Grundmenge aller 100 befragten Studierenden S: Menge aller Studierenden, die Statistik hören B: Menge aller Studierenden, die betriebliche Finanzwirtschaft hören O: Menge aller Studierenden, die Ökonometrie hören (vgl. Abbildung 2.5). Aus dem bereits Bekannten erhält man dann |B| = 48, |S| = 26, |B ∩O| = 8, |S ∩O| = 23, ∣∣S ∩ B ∩O∣∣ = 18, |S ∩ B| = 8, S ∪ B ∪O = 24. Zur a): Gesucht ist die Anzahl der Elemente der Menge O ∩ S ∩ B. Für diese Menge gilt O ∩ S ∩ B = S \ ((S ∩ B ∩O) ∪ (S ∩ B)) . Zusammen mit (2.6) folgt daraus für die Anzahl der Elemente ∣∣O ∩ S ∩ B∣∣ = |S| − ∣∣S ∩ ((S ∩ B ∩O) ∪ (S ∩ B))∣∣ = |S| − ∣∣(S ∩ B ∩O) ∪ (S ∩ B)∣∣ . Da die Mengen S ∩B ∩O und S ∩B disjunkt sind, folgt mit (2.5) |O ∩ S ∩ B| = |S| − (|S ∩ B ∩O| + |S ∩ B|) = 26 − (18 + 8) = 0. Es gilt somit O ∩ S ∩ B = ∅. Das heißt, keiner der 100 befragten Studierenden hört Vorlesungen über Statistik und Ökonometrie, aber nicht über betriebliche Finanzwirtschaft. Zu b): Gesucht ist die Anzahl der Elemente der Menge O. Für diese Menge erhält man mit dem ErgebnisO∩S∩B = ∅ aus Teil a) O= \(S ∪ B ∪ S ∪ B ∪O) ∪ (O ∩ B) ∪ (O ∩ S ∩ B) = \(S ∪ B ∪ S ∪ B ∪O) ∪ (O ∩ B). Da die Mengen \(S ∪ B ∪ S ∪ B ∪O) und O∩B disjunkt sind, folgt mit (2.5) |O| = ∣∣ \ (S ∪ B ∪ S ∪ B ∪O)∣∣+ |O ∩ B|. Weiter implizieren (2.6) und (2.5) ∣∣ \ (S ∪ B ∪ S ∪ B ∪O)∣∣ = | | − ∣∣ ∩ (S ∪ B ∪ S ∪ B ∪O)∣∣ = | | − ∣∣S ∪ B ∪ S ∪ B ∪O∣∣ = | | − (|S ∪ B| + ∣∣S ∪ B ∪O∣∣) = | | − (|S| + |B| − |S ∩ B| + ∣∣S ∪ B ∪O∣∣) = 100 − 90 = 10. Zusammen mit |O ∩ B| = 8 folgt daraus: |O| = ∣∣ \ (S ∪ B ∪ S ∪ B ∪O)∣∣+ |O ∩ B| = 10 + 8 = 18. Das heißt, 18 Studierende hören Vorlesungen über Ökonometrie. Zu c): Gesucht ist die Anzahl der Elemente der Menge S ∩ (B ∪O). Mit den Distributivgesetzen (2.4) und (2.5) folgt |S ∩ (B ∪O)| = |(S ∩ B) ∪ (S ∩O)| = |S ∩ B| + |S ∩O| − |S ∩ B ∩O|. Eine erneute Anwendung der Distributivgesetze (2.4) liefert S = S ∩ = S ∩ (O ∪O) = (S ∩O) ∪ (S ∩O) . Da die Mengen S∩O und S∩O disjunkt sind, impliziert dies zusammen mit (2.5) |S ∩O| = |S| − ∣∣S ∩O∣∣ = 26 − 23 = 3. Nochmalige Anwendung der Distributivgesetze (2.4) liefert auch S ∩O = (S ∩ B ∩O) ∪ (S ∩ B ∩O) . Aus der Disjunktheit der Mengen S∩B∩O und S∩B∩O folgt mit (2.5) |S ∩ B ∩O| = |S ∩O| − ∣∣S ∩ B ∩O∣∣ . 40 Kapitel 22.4 Mengenoperationen für beliebig viele Mengen und Partitionen Mit dem Ergebnis |O ∩ S ∩ B| = 0 aus Teil a) und |S ∩O| = 3 erhält man weiter |S ∩ B ∩O| = 3 − 0 = 3. Dies ergibt schließlich |S ∩ (B ∪O)| = |S ∩ B| + |S ∩O| − |S ∩ B ∩O| = 8 + 3 − 3 = 8. Das heißt, 8 Studierende hören Vorlesungen über Statistik und daneben auch Vorlesungen über Ökonometrie oder betriebliche Finanzwirtschaft. Die Ergebnisse dieses Abschnitts zeigen, dass eine starke Analogie zwischen Aussagenlogik (siehe Abschnitt 1.3) und Mengenalgebra, d. h. dem Rechnen mit Mengenoperationen, besteht. Dies ist jedoch nicht überraschend, sondern eine direkte Konsequenz der Tatsache, dass die Mengenoperationen mit Hilfe der Aussagenlogik über die Verknüpfung von Aussagen mittels Junktoren definiert sind (vgl. hierzu die Definitionen 2.5 und 2.10). In Tabelle 2.2 sind die wichtigsten Analogien noch einmal zusammengefasst. Aussagenlogik Mengenalgebra Negation ¬A Komplementärmenge M Konjunktion A ∧ B Schnittmenge M ∩N Disjunktion A ∨ B Vereinigungsmenge M ∪N Implikation A ⇒ B Inklusion M ⊆ N Äquivalenz A ⇔ B Gleichheit M = N Tautologie Grundmenge Kontradiktion Leere Menge ∅ Tabelle 2.2: Analogien zwischen Aussagenlogik und Mengenalgebra 2.4 Mengenoperationen für beliebig viele Mengen und Partitionen Wie bereits die Konjunktion und die Disjunktion von Aussagen lassen sich auch die beiden mengentheoretischen Gegenstücke Schnittmenge und Vereinigungsmenge von zwei Mengen M und N auf beliebig viele Mengen (Mi)i∈I verallgemeinern: Definition 2.16 (Schnitt und Vereinigung beliebig vieler Mengen) Es sei I eine beliebige Indexmenge, so dass für alle i ∈ I eine Menge Mi existiert. a) Die Menge aller Elemente, die zu allen Mengen Mi gehören, heißt dann Schnittmenge der Mengen Mi mit i ∈ I . Man schreibt ⋂ i∈I Mi := { x : ∧ i∈I x ∈ Mi } . Gilt Mi∩Mj = ∅ für alle i, j ∈ I mit i = j , d. h. besitzen die Mengen Mi keine gemeinsamen Elemente, dann werden die Mengen (Mi)i∈I als disjunkt oder elementfremd bezeichnet. b) Die Menge aller Elemente, die mindestens zu einer Menge Mi mit i ∈ I gehören, heißt dann Vereinigungsmenge der Mengen Mi mit i ∈ I . Man schreibt ⋃ i∈I Mi := { x : ∨ i∈I x ∈ Mi } . Die Definition 2.16 ist sehr allgemein. Denn die Indexmenge I kann endlich oder unendlich sein. Im Falle einer endlichen Indexmenge I = {1, . . . , n} schreibt man auch ⋂ i∈I Mi = n⋂ i=1 Mi = M1 ∩ . . . ∩Mn bzw. ⋃ i∈I Mi = n⋃ i=1 Mi = M1 ∪ . . . ∪Mn und im Falle der unendlichen Indexmenge I = N ∞⋂ i=1 Mi = M1 ∩M2 ∩ . . . bzw. ∞⋃ i=1 Mi = M1 ∪M2 ∪ . . . . Die Regeln von De Morgan lauten nun in ihrer allgemeinen Fassung ⋃ i∈I Mi = ⋂ i∈I Mi bzw. ⋂ i∈I Mi = ⋃ i∈I Mi. (2.7) 41 Kapitel 2 Mengenlehre Beispiel 2.17 (Mengenalgebra) a) Gegeben seien die endliche Indexmenge I = {1, 2, 3} und die Mengen M1 = {a, f }, M2 = {b, d, f } und M3 = {a, b, c, d, e}. Dann gilt ⋂ i∈I Mi = M1 ∩M2 ∩M3 = ∅ bzw. ⋃ i∈I Mi = M1 ∪M2 ∪M3 = {a, b, c, d, e, f } . b) Gegeben seien die unendliche Indexmenge I = N und die Mengen Mi = {1, . . . , i} für alle i ∈ N. Dann gilt ⋂ i∈N Mi = M1 ∩M2 ∩ . . . = {1} bzw. ⋃ i∈N Mi = M1 ∪M2 ∪ . . . = N (für die Definition der Menge N der natürlichen Zahlen siehe Abschnitt 3.2). 2.5 Partitionen In vielen wirtschaftswissenschaftlichen Fragestellungen ist es notwendig, eine gegebene Menge M in einzelne Teilmengen Ai mit i ∈ I zu zerlegen. Im Falle von paarweise disjunkten Teilmengen Ai , d. h. Ai ∩ Aj = ∅ für alle i, j ∈ I mit i = j , deren Vereinigungsmenge ⋃i=I Ai wieder gleich der Menge M ist, spricht man bei der Menge P(M) = {Ai : Ai ⊆ M und i ∈ I } von Partition, Zerlegung oder auch Klasseneinteilung vonM . Bei einer Partition P(M) liegt jedes Element der Menge M in genau einer Teilmenge Ai mit i ∈ I , d. h. in genau einem Element der Partition P(M). Die Elemente von P(M) werden deshalb auch als Klassen von M bezeichnet. Die Partition P(M) einer Menge M darf nicht mit der Potenzmenge P(M) verwechselt werden (vgl. Definition 2.7). Beispiel 2.18 (Partitionen) a) Die Menge M = {a, b, c} besitzt die folgenden fünf möglichen Partitionen P(M) {{a, b, c}} , {{a, b} , {c}} , {{a} , {b, c}} , {{a, c} , {b}} , {{a} , {b} , {c}} . b) Die Menge {{A,B} , {B,C}} ist für keine Menge M eine Partition, da ihre Elemente {A,B} und {B,C} nicht disjunkt sind. c) Die Menge {{3, 7} , {4, 6, 8} , {10, 11}} ist zwar eine Partition der Menge M = {3, 4, 6, 7, 8, 10, 11}, aber keine Partition von N = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}. 42

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References

Zusammenfassung

"uneingeschränkt zu empfehlen, [...] insbesondere als Einstiegslektüre im Bachelor-Studium". In: Studium, 2013.

So zentral die Rolle der Mathematik in der Ökonomie ist, so schwer tun sich die Studierenden mit mathematischen Methoden und Konzepten. Umso wichtiger ist es, die Studierenden bei ihrem aktuellen Wissensstand abzuholen und vorsichtig an den Stoff heranzuführen. Diesem Ziel verschreibt sich dieses Lehrbuch. Es führt mit vielen interessanten Beispielen aus der Ökonomie, kurzen Anekdoten und einem modernen mehrfarbigen Design in die zentralen mathematischen Methoden für ein erfolgreiches Wirtschaftsstudium ein, ohne dabei auf mathematische Klarheit sowie die notwendige Formalität und Stringenz zu verzichten. Auch nach dem Studium ist dieses Buch ein wertvoller Begleiter bei der mathematischen Lösung wirtschaftswissenschaftlicher Problemstellungen.

Aus dem Inhalt:

* Mathematische Grundlagen

* Lineare Algebra

* Matrizentheorie

* Folgen und Reihen

* Reellwertige Funktionen in einer und mehreren Variablen

* Differential- und Integralrechnung

* Optimierung mit und ohne Nebenbedingungen

* Numerische Verfahren

Dozenten finden auf der Website zum Buch unter www.vahlen.de zusätzliche Materialien zum Download.

"Indem Sie den Lehrstoff schrittweise aufbereiten und den Leser bei seinem aktuellen Wissenstand abholen, gelingt es ihnen [den Autoren], auch komplexe Zusammenhänge leicht nachvollziehbar zu vermitteln. Geschickt bauen sie immer wieder kurze Anekdoten, historische Ereignisse und überraschende Erkenntnisse in den Text ein". In: Studium, 2013.

Prof. Dr. Michael Merz ist Inhaber des Lehrstuhls für Mathematik und Statistik in den Wirtschaftswissenschaften an der Universität Hamburg. Prof. Dr. Mario V. Wüthrich forscht und lehrt am Department für Mathematik der ETH Zürich.