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17. Taylor-Formel und Potenzreihen in:

Michael Merz, Mario V. Wüthrich

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, page 488 - 511

Die Einführung mit vielen ökonomischen Beispielen

1. Edition 2012, ISBN print: 978-3-8006-4482-7, ISBN online: 978-3-8006-4483-4, https://doi.org/10.15358/9783800644834_488

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Kapitel17 Taylor-Formel und Potenzreihen Kapitel 17 Taylor-Formel und Potenzreihen 17.1 Taylor-Polynom Im Abschnitt 16.2 wurde bereits gezeigt, dass eine differenzierbare reelle Funktion f : D ⊆ R −→ R in der Umgebung einer Stelle x0 ∈ D in erster Näherung durch ihre Tangente im Punkt (x0, f (x0)), d. h. durch die Gerade t (x) = f (x0)+ f ′(x0)(x − x0), (17.1) approximiert werden kann. Da es sich bei einer Tangente um eine affin-lineare Funktion handelt, spricht man in diesem Zusammenhang auch genauer von einer linearen Approximation der reellen Funktion f in der Umgebung der Stelle x0 durch die Tangente t . Für die affin-lineare Funktion (17.1) gilt offensichtlich t (x0) = f (x0) und t ′(x0) = f ′(x0). (17.2) Das heißt, die Tangente t besitzt die Eigenschaft, dass sie bezüglich des Funktionswertes und der ersten Ableitung an der Stelle x0 mit der Funktion f übereinstimmt. Die Qualität der linearen Approximation an einer Stelle x = x0 ist jedoch im Allgemeinen umso schlechter, je weiter x von x0 entfernt ist und je gekrümmter der Graph der Funktion f in der Umgebung von x0 ist (vgl. Abbildung 17.1). Affin-lineare Funktionen liefern daher oftmals keine ausreichend gute Approximation und es ist eine naheliegende Idee, eine gegebene reelle Funktion f : D ⊆ R −→ R an der Stelle x0 ∈ D nicht durch eine affin-lineare Funktion, sondern l t1(x) f (x) x0 f (x0) = t1(x0) l t2(x) f (x1) = t2(x1) x1 Abb. 17.1: Lineare Approximation der reellen Funktion f : D ⊆ R −→ R an den Stellen x0 und x1 durch die Tangenten t1 bzw. t2 durch ein Polynom des Grades n > 1, also eine reelle Funktion der Form p(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anxn = n∑ k=0 akx k, zu approximieren. Analog zur Interpolation von reellen Funktionen durch Polynome (siehe Kapitel 27) besitzt die Verwendung von Polynomen zur Approximation von reellen Funktionen den Vorteil, dass sich diese analytisch bequem handhaben lassen. Zum Beispiel lassen sich Polynome sehr leicht differenzieren und integrieren. Wie der folgende Satz zeigt, besitzt ein Polynom p vom Grad n darüber hinaus die Eigenschaft, dass die Kenntnis des Funktionswertes p(x0) und der ersten n Ableitungen p′(x0), p′′(x0), . . . , p(n)(x0) an einer einzigen Stelle x0 ∈ R ausreicht, um aus ihnen die Funktionswerte von p an jeder Stelle x ∈ R zu berechnen. Satz 17.1 (Charakterisierung eines Polynoms durch seine Ableitungen) Es sei p(x) = ∑nk=0 akxk ein Polynom vom Grad n ∈ N0 und x0 ∈ R. Dann gilt p(x) = n∑ k=0 p(k)(x0) k! (x − x0) k (17.3) für alle x ∈ R, wobei p(0)(x0) := p(x0) gesetzt wird. 488 Kapitel 1717.1 Taylor-Polynom Beweis: Es gilt p(x) = n∑ k=0 ak(x0 + (x − x0))k für alle x ∈ R. Werden alle Binome (x0 + (x−x0))k nach dem Binomischen Lehrsatz (x0+(x−x0))k = ∑ki=0 ( k i ) xi0(x−x0)k−i entwickelt (vgl. (5.11)) und die Ergebnisse nach Potenzen von (x − x0) geordnet, dann entsteht ein Polynom n-ten Grades in x − x0 der Form p(x) = n∑ k=0 bk(x − x0)k. (17.4) Werden von dieser Gleichung die ersten n Ableitungen nach x gebildet und anschließend x = x0 gesetzt, dann erhält man mit der Bezeichnung p(0)(x0) := p(x0) die Gleichungen p(k)(x0) = k! bk für k = 0, . . . , n. Durch Einsetzen in (17.4) erhält man daraus für das Polynom die Darstellung p(x) = n∑ k=0 p(k)(x0) k! (x − x0) k für alle x ∈ R und damit auch die Behauptung. Bei der Darstellung (17.3) spricht man davon, dass das „Polynom p um die Stelle x0 entwickelt“ worden ist. Aus Satz 17.1 und Satz 14.3 folgt, dass ein Polynom n-ten Grades durch die Kenntnis seines Funktionswertes und der ersten n Ableitungen an einer einzigen Stelle x0 ∈ R bereits eindeutig festgelegt ist. Die Idee ist nun, zur Approximation einer reellen n-mal differenzierbaren Funktion f : D ⊆ R −→ R das Vorgehen bei der linearen Approximation (17.1) durch eine Tangente t mit der Eigenschaft (17.2) zu verallgemeinern, indem zur Approximation ein Polynom n-ten Grades verwendet wird, das an einer vorgegebenen Stelle x0 ∈ D bezüglich des Funktionswertes und der ersten n Ableitungen mit f übereinstimmt. Durch dieses Vorgehen ist dann das Polynom p bereits eindeutig bestimmt und es ist zu erwarten, dass sich das Polynom p und die reelle Funktion f in einer hinreichend kleinen Umgebung von x0 nicht allzu stark unterscheiden. Verglichen mit der in Kapitel 27 beschriebenen Polynominterpolation einer reellen Funktion f verfolgt man bei der hier beschriebenen Approximation nicht das Ziel, ein Polynom zu finden, das an n+ 1 vorgegebenen Stellen x0, . . . , xn die gleichen Funktionswerte wie f besitzt, sondern es geht vielmehr darum, die Funktion f in der Umgebung einer vorgegebenen Stelle x0 durch ein Polynom „möglichst gut“ anzunähern. Im Folgenden sei f : D ⊆ R −→ R eine beliebige n-mal differenzierbare Funktion, die an der Stelle x0 ∈ D durch ein mit Tn;x0 (x) bezeichnetes Polynom vom Grad n approximiert werden soll. Dabei setzt man für die 0-te Ableitung von f und Tn;x0 wie üblich f (0)(x) := f (x) bzw. T (0)n;x0 (x) := Tn;x0 (x) für alle x ∈ D. Bei der Ermittlung des Polynoms Tn;x0 ist es aufgrund von (17.3) zweckmäßig, das Polynom Tn;x0 um die Stelle x0 zu entwickeln. Das heißt, als Ausgangspunkt für die Bestimmung des Näherungspolynoms Tn;x0 wird die Darstellung Tn;x0 (x) = a0 + a1(x − x0)+ . . .+ an(x − x0)n = n∑ k=0 ak(x − x0)k (17.5) mit a0, . . . , an ∈ R gewählt. Für Tn;x0 wird nun gefordert, dass neben Tn;x0 (x0) = f (x0) und T ′n;x0 (x0) = f ′(x0) auch alle höheren Ableitungen von f und Tn;x0 bis einschließlich zum Grad n an der Stelle x0 übereinstimmen. Folglich soll gelten: T (k) n;x0 (x0) = f (k)(x0) für alle k = 0, . . . , n (17.6) Wegen T (0) n;x0 (x) = a0 + a1(x − x0)+ a2(x − x0)2 + . . . + an(x − x0)n, T ′n;x0 (x) = a1 + 2a2(x − x0)+ 3a3(x − x0)2 + . . . + nan(x − x0)n−1, T ′′n;x0 (x) = 2a2 + 6a3(x − x0)+ 12a4(x − x0)2 + . . . + n(n− 1)an(x − x0)n−2, ... T (n) n;x0 (x) = n! an und T (n+k) n;x0 (x) = 0 für alle k ∈ N erhält man für den Funktionswert und die ersten n Ableitungen des Polynoms Tn;x0 (x) an der Stelle x0 T (k) n;x0 (x0) = { k! ak für k = 0, 1, . . . , n 0 für k > n . (17.7) Zusammen mit (17.6) liefert dies für die Koeffizienten ak des Näherungspolynoms (17.5) die Bedingungen ak = f (k)(x0) k! für alle k = 0, 1, . . . , n. (17.8) 489 Kapitel 17 Taylor-Formel und Potenzreihen B. Taylor Das durch die Koeffizienten (17.8) eindeutig festgelegte Polynom wird nach dem britischen Mathematiker Brook Taylor (1685–1731) als Taylor-Polynom bezeichnet. Neben seiner mathematischen Begabung ist Taylor auch als hochbegabter Künstler aufgefallen, der im Rahmen seiner Ausarbeitungen über die Grundlagen der Perspektive als erster das Prinzip des Fluchtpunktes beschrieb. Definition 17.2 (Taylor-Polynom n-ten Grades) Es sei f : D ⊆ R −→ R eine n-mal differenzierbare reelle Funktion und x0 ∈ D. Dann heißt das Polynom Tn;x0 (x) : = f (x0)+ f ′(x0)(x − x0) + f ′′(x0) 2! (x−x0) 2+. . .+ f (n)(x0) n! (x−x0) n = n∑ k=0 f (k)(x0) k! (x − x0) k (17.9) Taylor-Polynom n-ten Grades der Funktion f um den Entwicklungspunkt x0. Ein Taylor-Polynom Tn;x0 mit n ≥ 2 hat per Konstruktion mit der reellen Funktion f gemeinsam, dass es auch durch den Punkt (x0, f (x0)) geht und an der Stelle x0 dieselbe Steigung und Krümmung wie die Funktion f besitzt. Darüber hinaus stimmt Tn;x0 mit f an der Stelle x0 auch in allen anderen Eigenschaften überein, die sich aus den Ableitungen bis zur Ordnung n ergeben. Die Approximation einer reellen Funktion f durch ein Taylor-Polynom Tn;x0 vom Grad n > 1 ist daher im Allgemeinen besser als eine affin-lineare C. Maclaurin Approximation. Das Taylor-Polynom T1;x0 vom Grad 1 um den Entwicklungspunkt x0 liefert die affin-lineare Funktion (17.1) und stimmt somit mit der Tangente von f an der Stelle x0 überein. Das Taylor-Polynom n-ten Grades einer n-mal differenzierbaren Funktion f ist offensichtlich abhängig vom gewählten Entwicklungspunkt x0. Das heißt, ein anderer Entwicklungspunkt x0 führt zu anderen Polynomkoeffizienten f (k)(x0) k! und damit zu einem anderen Taylor-Polynom. Ein Taylor-Polynom n-ten Grades speziell um den Entwicklungspunkt x0 = 0 wird oft auch nach dem schottischen Mathematiker Colin Maclaurin (1698–1746) als Maclaurinsches Polynom n-ten Grades bezeichnet. Durch eine geeignete Substitution kann jedoch ein Taylor-Polynom um einen beliebigen Entwicklungspunkt x0 stets als Maclaurinsches Polynom gleichen Grades darstellt werden. Beispiel 17.3 (Taylor-Polynome) a) Ein Polynomp(x) = ∑nk=0 akxn stimmt trivialerweise mit seinem Taylor-Polynom n-ten Grades um den Entwicklungspunkt x0 = 0, d. h. mit dem Maclaurinschen Polynom n-ten Grades von f , überein. Denn für die Koeffizienten f (k)(0) k! des Taylor-Polynoms Tn;0 und die Koeffizienten ak des Polynoms gilt f (k)(0) k! = ak für alle k = 0, 1, . . . , n (vgl. (17.8)). Folglich gilt Tn;0(x) = p(x) für alle x ∈ R. b) Das Taylor-Polynom dritten Grades der Exponentialfunktion f : R −→ R, x %→ ex um den Entwicklungspunkt x0 = 1 ist wegen f (0)(x) = f ′(x) = f ′′(x) = f ′′′(x) = ex gegeben durch (vgl. Abbildung 17.2, links) T3;1(x)=e + e 1! (x − 1)+ e 2! (x − 1) 2 + e 3! (x − 1) 3 = e 6 (x3 + 3x + 2). c) Für die ersten drei Ableitungen der Wurzelfunktion f : (−1,∞) −→ R, x %→ √1 + x gilt f ′(x) = 1 2 √ 1 + x , f ′′(x) = − 1 4 √ (1 + x)3 und f ′′′(x) = 3 8 √ (1 + x)5 . Das Taylor-Polynom dritten Grades um den Entwicklungspunkt x0 = 1 lautet somit (vgl. Abbil- 490 Kapitel 1717.1 Taylor-Polynom −2 −1 1 2 3 4 −10 10 20 30 40 50 T3;1(x) f (x) l x0 f (x0) −1 0 1 2 3 4 5 1 2 3 T3;1(x) f (x) l x0 f (x0) Abb. 17.2: Exponentialfunktion f : R −→ R, x %→ ex und das zugehörige Taylor-Polynom dritten Grades um den Entwicklungspunkt x0 = 1 (links) und Wurzelfunktion f : (−1,∞) −→ R, x %→ √ 1 + x und das zugehörige Taylor-Polynom dritten Grades um den Entwicklungspunkt x0 = 1 (rechts) dung 17.2, rechts) T3;1(x) = √ 2 + 1 2 √ 2 (x − 1)− 1 2!4√23 (x − 1) 2 + 3 3!8√25 (x − 1) 3. (17.10) Die Approximation von reellen Funktionen durch Taylor- Polynome besitzt in den Wirtschaftswissenschaften viele Anwendungen. Eine typische Anwendung ist das folgende Beispiel aus dem Bereich des Risikomanagements. Beispiel 17.4 (Quadratische Approximation des Zinsänderungsrisikos) Betrachtet wird die Situation aus Beispiel 16.36. Das heißt, für eine Investition I mit den erwarteten Auszahlungen K0, . . . , Kn > 0 zu den Zeitpunkten t = 0, . . . , n und dem Barwert I0(p) = n∑ t=0 Kt (1 + p)−t in Abhängigkeit vom Zinssatzp wird das Zinsänderungsrisiko untersucht. Die in Beispiel 16.36 ermittelte lineare Approximation −DA(p) p (vgl. (16.28)) zur Annäherung der Barwertänderung I0 = I0(p+ p)− I0(p) kann dadurch verbessert werden, dass das Taylor-Polynom zweiten Grades um den Entwicklungspunktp zur Approximation der Barwertfunktion I0(p) verwendet wird. Diese Approximation ist gegeben durch I0(p + p) ≈ I0(p)+ I ′0(p) p + 1 2 I ′′0 (p)( p) 2 = I0(p)−DA(p) p + 1 2 CA(p)( p) 2, (17.11) wobei DA(p) = −I ′0(p) die aus Beispiel 16.36 bereits bekannte absolute Duration ist (vgl. (16.27)) und CA(p) := I ′′0 (p) = 1 (1 + p)2 n∑ t=0 t (t + 1)Kt (1 + p)−t >0 als absolute Konvexität bezeichnet wird (für I ′′0 (p) siehe (16.26)). Mit (17.11) erhält man für die Barwertänderung 491 Kapitel 17 Taylor-Formel und Potenzreihen 0 p + Δp p 0 I0(p) l l l l l l ΔI0 − DA(p)Δp 1 2 CA(p)(Δp)2 −3 −2 −1 0 1 2 3 0.2 0.4 0.6 0.8 1 f (x) T0(x) lx0 Abb. 17.3: Verbesserung der linearen Approximation−DA(p) p für die Barwertänderung I0 durch zusätzliche Berücksichtigung des Terms 12CA(p)( p) 2 mit der absoluten Konvexität CA(p) (links) und reelle Funktion f : R −→ R mit f (x) = e− 1 x2 für x = 0 und f (x) = 0 für x = 0 mit Taylor-Reihe T0(x) von f um den Entwicklungspunkt x0 = 0 (rechts) I0 die quadratische Approximation I0 ≈ −DA(p) p + 1 2 CA(p)( p) 2. Im Vergleich zur linearen Approximation −DA(p) p erfasst die quadratische Approximation durch den Term 1 2CA(p)( p) 2 zusätzlich noch die absolute Barwertänderung aufgrund des quadratischen Anteils, der durch die Krümmung der Barwertfunktion I0 an der Stelle p verursacht wird. Dies führt oftmals zu einer verbesserten Approximation für die Barwertänderung I0 (vgl. Abbildung 17.3, links). Aus der absoluten KonvexitätCA(p) erhält man nach Division durch I0(p) die sogenannte Konvexität C(p) := CA(p) I0(p) = 1 (1+p)2 n∑ t=0 t (t + 1)Kt (1 + p)−t I0(p) . 17.2 Taylor-Formel Bei der Verwendung eines Taylor-Polynoms Tn;x0 zur Approximation einer reellen Funktion f in der Umgebung einer Stelle x0 stellt sich unmittelbar die Frage, wie gut diese Näherung ist. Anders ausgedrückt interessiert man sich für die Größe des als n-tes Restglied bezeichneten Approximationsfehlers Rn;x0 (x) := f (x)− Tn;x0 (x), der bei der Annäherung von f (x) durch Tn;x0 (x) entsteht. In der Regel ist der Approximationsfehler Rn;x0 (x) umso kleiner, je näher x beim Entwicklungspunkt x0 liegt. Der Entwicklungspunkt x0 sollte daher stets so gewählt werden, dass er möglichst nahe bei der zu approximierenden Stelle x liegt (vgl. dazu auch Abbildung 17.2). B. Taylor Eine Anwort auf die Frage, wie gut das Taylor-Polynom Tn;x0 (x) den Funktionswert f (x) approximiert, gibt der folgende Satz, der als Satz von Taylor bekannt ist und (ohne Restgliedangabe) erstmals von Brook Taylor (1685– 1731) im Jahre 1715 veröffentlicht wurde. Der Satz von Taylor ist einer der bedeutendsten Sätze der Analysis und ein wichtiges mathematisches Hilfsmittel in den Wirtschaftswissenschaften. 492 Kapitel 1717.2 Taylor-Formel Satz 17.5 (Satz von Taylor) Es sei f : I ⊆ R −→ R eine auf dem Intervall I (n+1)mal differenzierbare Funktion und x0, x ∈ I . Dann gilt f (x) = Tn;x0 (x)+ Rn;x0 (x) = n∑ k=0 f (k)(x0) k! (x − x0) k + Rn;x0 (x) (17.12) mit dem n-ten Restglied Rn;x0 (x) = f (n+1)(ξ) n!p (x − x0) p(x − ξ)n+1−p (17.13) (Schlömilchs Restgliedformel). Dabei ist p eine beliebige Zahl aus {1, 2, . . . , n+ 1} und ξ im Fall von x = x0 ein Wert zwischen x und x0, dessen Lage von x, x0, p und n abhängt. Im Fall x = x0 ist ξ = x0 zu setzen. Für die beiden Spezialfälle p = n+ 1 und p = 1 erhält man aus (17.13) die Lagrangesche Restgliedformel Rn;x0 (x) = f (n+1)(ξ) (n+ 1)! (x − x0) n+1 (17.14) bzw. die Cauchysche Restgliedformel Rn;x0 (x) = f (n+1)(ξ) n! (x − x0)(x − ξ) n. (17.15) Beweis: Es sei p ∈ {1, 2, . . . , n+ 1} beliebig, aber fest gewählt. Im Fall x = x0 gilt Rn;x0 (x) = 0 (nach (17.13)) und die Gleichung (17.12) ist erfüllt. Es sei daher im Folgenden ohne Beschränkung der Allgemeinheit x = x0 angenommen und es wird ein cx ∈ R bestimmt, so dass f (x) = n∑ k=0 f (k)(x0) k! (x − x0) k + cx(x − x0)p (17.16) gilt. Ersetzt man in (17.16) den Wert x0 durch eine Variable u, dann erhält man die durch F(u) := n∑ k=0 f (k)(u) k! (x − u) k + cx(x − u)p (17.17) definierte reelle Funktion F auf I . Für diese Funktion gilt offenbar F(x) = f (0)(x) = f (x) und F(x0) = f (x), also insbesondere F(x) = F(x0). Gemäß dem Satz von Rolle (vgl. Satz 16.27) gibt es somit ein ξ zwischen x und x0 mit F ′(ξ) = 0. Für die erste Ableitung von F nach u gilt F ′(u) = f (n+1)(u) n! (x − u) n − cxp(x − u)p−1, wie man durch gliedweises Ableiten von (17.17) leicht zeigt. Wegen F ′(ξ) = 0 wird dieser Ausdruck bei Einsetzen von ξ für u gleich Null und anschließendes Auflösen nach cx ergibt somit cx = f (n+1)(ξ) n!p (x − ξ) n+1−p. Wird dieser Ausdruck für cx in (17.16) eingesetzt, dann erhält man für f (x) die Darstellung (17.12) mit dem Restglied (17.13) und damit die Behauptung. Die Formel (17.12) mit einer der Restglieddarstellungen (17.13), (17.14) und (17.15) wird als Taylor-Formel der Funktion f um den Entwicklungspunkt x0 bezeichnet. Sie ist eine direkte Verallgemeinerung der Formel (17.3) für Polynome. Denn ist f ein Polynom m-ten Grades mit m ≤ n, dann gilt f (n+1)(x) = 0 für alle x ∈ R. Dies impliziert jedoch für das Restglied Rn:x0 (x) = 0 und damit insbesondere auch f (x) = n∑ k=0 f (k)(x0) k! (x − x0) k. Es ist jedoch zu beachten, dass im Fall eines Polynoms m-ten Grades mit m > n ein von Null verschiedenes Restglied resultiert. Denn in diesem Fall wird bei der Approximation von f durch Tn;x0 ein Polynom durch ein anderes Polynom kleineren Grades approximiert. Bei der Anwendung des Satzes von Taylor ist zu beachten, dass für eine gegebene reelle Funktion f die genaue Lage der Zwischenstelle ξ normalerweise nicht bekannt ist und von x, x0, p und n abhängt. Ändert sich auch nur eine dieser vier Größen, dann wird sich in der Regel auch die Lage von ξ verändern. Obwohl man vom Wert ξ im Allgemeinen nur Denkmal für J.-L. Lagrange in Turin weiß, dass er zwischen x und x0 liegt, lässt sich jedoch häufig der Betrag |Rn;x0 (x)| des Restglieds nach oben abschätzen. Auf diese Weise kann man eine Aussage darüber treffen, wie gut der Funktionswert f (x) durch Tn;x0 (x) approximiert wird. Betrachtet man z. B. die Lagrangesche Restgliedformel (17.14), die nach dem italienischen Mathematiker Joseph-Louis Lagrange (1736–1813) benannt ist und am häufigsten zur Darstellung des Restglieds Rn;x0 (x) verwendet wird, und ist die (n + 1)-te 493 Kapitel 17 Taylor-Formel und Potenzreihen Ableitung f (n+1) auf I zusätzlich beschränkt, d. h. es gibt eine Konstante M > 0 mit ∣∣f (n+1)(x) ∣∣ ≤ M für alle x ∈ I , dann gilt offenbar die Abschätzung ∣∣Rn;x0 (x) ∣∣ ≤ M (n+ 1)! |x − x0| n+1 (17.18) für alle x ∈ I . Wie die nachfolgenden Beispiele zeigen, lässt sich mit dieser Abschätzung in vielen Anwendungen gut arbeiten. Das Restglied gemäß der Lagrangeschen Restgliedformel (17.14) hat die gleiche Gestalt wie die übrigen Summanden der Taylor-Formel. Lediglich die (n + 1)-te Ableitung wird nicht am Entwicklungspunkt x0, sondern an einer Stelle ξ zwischen x und x0 ausgewertet. Aus der Taylor-Formel (17.12) mit Lagrangeschem Restglied (17.14) erhält man für n = 0 f (x) = f (x0)+ f ′(ξ)(x − x0) bzw. f (x)− f (x0) x − x0 = f ′(ξ) und damit den Mittelwertsatz der Differentialrechnung (vgl. Satz 16.28). O. Schlömilch Die Schlömilchsche Restgliedformel (17.13) ist nach dem deutschen Mathematiker Oskar Schlömilch (1823–1901) und die Cauchysche Restgliedformel (17.15) nach dem einflußreichen französischen Mathematiker Augustin Louis Cauchy (1789–1857) benannt. Welche der drei Restgliedformeln (17.13)–(17.15) zur Abschätzung des Approximationsfehlers besser geeignet ist, hängt von der Funktion f und gelegentlich auch von den Werten n und x ab. Aufgrund der etwas einfacheren Gestalt der Lagrangeschen Restgliedformel (17.14) wird diese allerdings meist priorisiert. Beispiel 17.6 (Anwendung der Taylor-Formel) a) Die Exponentialfunktion f : R −→ R, x %→ ex soll im Intervall ( 1 2 , 3 2 ) durch das Taylor-Polynom dritten Grades um den Entwicklungspunkt x0 = 1 angenähert werden. Gemäß Beispiel 17.3b) ist das Taylor- Polynom für alle x ∈ R gegeben durch T3;1(x) = e 6 (x3 + 3x + 2) (17.19) und für das Restglied gemäß Restgliedformel (17.14) gilt R3;1(x) = e ξ 4! (x − 1) 4 für ein ξ zwischen x und 1. Mit (17.18) erhält man somit für das Restglied die Abschätzung |R3;1(x)| ≤ e 1,5 4! ( 1 2 )4 ≈ 0,01167 für alle x ∈ ( 12 , 32 ) . Das heißt, die mittels dem Taylor-Polynom (17.19) ermittelten Näherungswerte weichen im Intervall ( 1 2 , 3 2 ) weniger als 0,012 von den tatsächlichen Funktionswerten f (x) = ex ab (vgl. Abbildung 17.2, links). b) Die Wurzelfunktion f : (−1,∞) −→ R, x %→√ 1 + x besitzt die vierte Ableitung f (4)(x) = − 15 16 √ (1 + x)7 (für die ersten drei Ableitungen siehe Beispiel 17.3c)). Mit (17.10) erhält man somit, dass die Taylor-Formel der Funktion f um den Entwicklungspunkt x0 = 1 mit einem Taylor-Polynom dritten Grades und Lagrangeschem Restglied gegeben ist durch f (x) = T3;1(x)+ R3;1(x) = √2 + 1 2 √ 2 (x − 1)− 1 2! 4√23 (x − 1) 2 + 3 3! 8√25 (x − 1) 3 − 15 4! 16√(1 + ξ)7 (x − 1) 4 für ein ξ zwischen x und 1 (vgl.Abbildung 17.2, rechts). Eine einfache Folgerung aus Satz 17.5 ist die folgende hinreichende Bedingung für Polynome: 494 Kapitel 1717.3 Taylor-Reihe Folgerung 17.7 (Hinreichende Bedingung für Polynome) Es sei f : (a, b) ⊆ R −→ R eine (n + 1)-mal differenzierbare Funktion mit f (n+1)(x) = 0 für alle x ∈ (a, b). Dann ist f ein Polynom vom Grad kleiner gleich n. Beweis: Es seien x0, x ∈ (a, b) beliebig gewählt. Dann gilt gemäß Satz 17.5 f (x) = Tn;x0 (x)+ Rn;x0 (x). Wegen f (n+1)(x) = 0 für alle x ∈ (a, b) gilt jedoch für das Restglied Rn;x0 (x) = 0 und damit insbesondere f (x) = Tn;x0 (x) für alle x ∈ (a, b). Die Funktion f ist somit ein Polynom vom Grad kleiner gleich n. 17.3 Taylor-Reihe Erfüllt eine reelle Funktion f : I ⊆ R −→ R nicht nur die Voraussetzungen von Satz 17.5, sondern ist sie sogar unendlich oft differenzierbar, dann kann man die Taylor-Formel (17.12) für alle n ∈ N0 anwenden. In einem solchen Fall stellt sich dann die Frage, ob die dadurch entstehende Folge von Taylorpolynomen ( Tn;x0 (x) ) n∈N0 für n → ∞ für alle x ∈ I konvergiert. Im Fall der Konvergenz bezeichnet man den Grenzwert der Folge ( Tn;x0 (x) ) n∈N0 als Taylor-Reihe von f um den Entwicklungspunkt x0: Definition 17.8 (Taylor-Reihe) Es sei f : I ⊆ R −→ R eine auf dem Intervall I unendlich oft differenzierbare Funktion, x0 ∈ I und die Folge der Taylor-Polynome ( Tn;x0 (x) ) n∈N0 konvergiere für n → ∞ und alle x ∈ I . Dann wird ihr Grenzwert, d. h. die Reihe Tx0 (x) := lim n→∞ Tn;x0 (x) = ∞∑ k=0 f (k)(x0) k! (x − x0) k, als Taylor-Reihe von f um den Entwicklungspunkt x0 bezeichnet. Gilt zusätzlich f (x) = Tx0 (x) für alle x ∈ I , dann sagt man, f lässt sich im Intervall I um den Entwicklungspunkt x0 in eine Taylor-Reihe entwickeln oder f besitzt im Intervall I eine Taylor-Reihe um den Entwicklungspunkt x0. Mit der Taylor-Formel (17.12) erhält man unmittelbar, dass sich eine unendlich oft differenzierbare Funktion f : I ⊆ R −→ R im Intervall I um den Entwicklungspunkt x0 ∈ I genau dann in eine Taylor-Reihe entwickeln lässt, wenn für das Restglied lim n→∞Rn;x0 (x) = f (x)− n∑ k=0 f (k)(x0) k! (x − x0) k = 0 (17.20) für alle x ∈ I gilt. Der folgende Satz liefert eine einfache hinreichende Bedingung für (17.20), d. h. für die Existenz der Taylor-Reihe Tx0 einer reellen Funktion f : I ⊆ R −→ R um einen Entwicklungspunkt x0 ∈ I : Satz 17.9 (Hinreichende Bedingung für die Existenz der Taylor-Reihe) Es sei f : I ⊆ R −→ R eine auf dem Intervall I unendlich oft differenzierbare Funktion und x0 ∈ I . Ferner existieren Konstanten p, q ∈ R mit der Eigenschaft ∣ ∣f (n)(x) ∣∣ ≤ pqn (17.21) für alle n ∈ N und x ∈ I . Dann lässt sich f im Intervall I um den Entwicklungspunkt x0 in eine Taylor-Reihe entwickeln. Das heißt, es gilt dann lim n→∞Rn;x0 (x) = 0 und damit insbesondere für alle x ∈ I f (x) = Tx0 (x) = ∞∑ k=0 f (k)(x0) k! (x − x0) k. (17.22) Beweis: Es seien x0, x ∈ I beliebig vorgegeben und es gelte die Abschätzung (17.21) für geeignete Konstanten p, q ∈ R. Dann folgt mit der Lagrangeschen Restgliedformel (17.14) ∣∣Rn;x0 (x) ∣∣= ∣∣f (n+1)(ξ) ∣∣ (n+ 1)! · |x−x0| n+1≤p q n+1 (n+1)! · |x−x0| n+1 =p (q|x − x0|) n+1 (n+ 1)! . 495 Kapitel 17 Taylor-Formel und Potenzreihen Daraus erhält man mit t := q|x − x0| die Abschätzung ∣ ∣Rn;x0 (x) ∣ ∣ ≤ p t n+1 (n+ 1)! . (17.23) Da jedoch lim n→∞ tn+1 (n+ 1)! = 0 für alle t ≥ 0 gilt (vgl. Beispiel 11.24), folgt aus (17.23) lim n→∞Rn;x0 (x) = 0 und damit auch (17.22). Analog zu den Taylor-Polynomen Tn;x0 wird eine Taylor- Reihe Tx0 um den Entwicklungspunkt x0 = 0 oft auch als Maclaurinsche Reihe bezeichnet. Die große Bedeutung von Taylor-Reihen resultiert zum einen daraus, dass man mit ihrer Hilfe eine unendlich oft differenzierbare reelle Funktion f : I ⊆ R −→ R häufig mit jeder gewünschten Genauigkeit berechnen kann. Dazu werden lediglich der Funktionswert und die Ableitungen von f an einer Stelle x0 benötigt. Zum anderen ist es durch diesen Zusammenhang zwischen reellen Funktionen und Reihen überhaupt erst möglich, reelle Funktionen, wie z. B. exp(x), ln(x), sin(x), cos(x), tan(x), cot(x) usw., vollständig zu verstehen. Denn wie sich in Abschnitt 17.4 zeigen wird, handelt es sich bei Taylor-Reihen um sogenannte Potenzreihen, die sich durch besonders gute analytische Eigenschaften auszeichnen. Dabei ist jedoch zu beachten, dass es durchaus möglich ist, dass eine reelle Funktion f : I ⊆ R −→ R unendlich oft differenzierbar ist, aber der Grenzwert Tx0 (x) = lim n→∞ Tn;x0 (x) und damit auch die Taylor-Reihe ∑∞ k=0 f (k)(x0) k! (x−x0)k von f nur für den Entwicklungspunkt x = x0 konvergiert. Darüber hinaus ist es auch möglich, dass die Taylor-Reihe Tx0 einer Funktion f um den Entwicklungspunkt x0 existiert, d. h. für alle x ∈ I konvergiert, aber ihre Werte nicht mit den Funktionswerten von f übereinstimmen. Das heißt, die Konvergenz der Folge der Taylor-Polynome ( Tn;x0 (x) ) n∈N0 ist eine notwendige, aber keine hinreichende Bedingung für die Übereinstimmung Tx0 (x) = f (x). Ein sehr bekanntes Beispiel hierfür, welches bereits auf den französischen Mathematiker Augustin Louis Cauchy (1789–1857) zurückgeht, ist die Funktion f : R −→ R, x %→ f (x) = { e − 1 x2 für x = 0 0 für x = 0 . Man kann zeigen, dass die Funktion f unendlich oft differenzierbar ist und für ihre Ableitungen f (n)(0) = 0 für alle n ∈ N0 gilt. Die Taylor-Reihe von f um den Entwicklungspunkt x0 = 0 ist somit gegeben durch T0(x) = 0 für alle x ∈ R. Dies bedeutet jedoch, dass die Taylor-Reihe T0 um den Entwicklungspunkt x0 = 0 nur an der Stelle x = 0 mit der Funktion f übereinstimmt (vgl. Abbildung 17.3, rechts). Beispiel 17.10 (Taylor-Reihen von exp(x) und ln(1 + x)) a) Die Exponentialfunktion f : R −→ R, x %→ ex ist unendlich oft differenzierbar und besitzt die Ableitungen f (k)(x) = ex bzw. f (k)(0) = 1 für alle k ∈ N0. Die Taylor-Formel von f (x) = ex , entwickelt um x0 = 0, mit Lagrangeschem Restglied ist somit gegeben durch ex = 1 + x + x 2 2! + x3 3! + . . .+ xn n!︸ ︷︷ ︸ Tn;0(x) + x n+1 (n+ 1)!e ξ ︸ ︷︷ ︸ Rn;0(x) für alle x ∈ R und n ∈ N0. Dabei ist ξ ein von x und n abhängiger Wert zwischen 0 und x. Wegen |ξ | ≤ |x| gilt für das Restglied die Abschätzung ∣∣Rn;0(x) ∣∣ ≤ |x| n+1 (n+ 1)!e |x|, also lim n→∞Rn;0(x) = 0 für alle x ∈ R (vgl. Beispiel 11.24). Die Exponentialfunktion f (x) = ex besitzt somit um x0 = 0 für alle x ∈ R die Taylor- Reihenentwicklung ex = lim n→∞ Tn;0(x) = ∞∑ k=0 xk k! (17.24) (vgl. Abbildung 17.4, links). Speziell für x = 1 erhält man daraus die bereits aus Abschnitt 12.4 bekannte Exponentialreihe e = ∞∑ k=0 1 k! = 1 + 1 1! + 1 2! + 1 3! + 1 4! + . . . . Die Taylor-Reihe (17.24) wird auch für ein beliebiges x ∈ R als Exponentialreihe bezeichnet. Insbesondere 496 Kapitel 1717.3 Taylor-Reihe erhält man für a > 0, a = 1 ax = ex ln(a) = ∞∑ k=0 (x ln(a))k k! für alle x ∈ R. Die Exponentialreihe (17.24) ist eine der berühmtesten und wichtigsten Reihen der Mathematik. b) Die Logarithmusfunktion ln(x) kann nicht um 0 entwickelt werden, da sie dort eine Polstelle besitzt. Man entwickelt sie daher um 1 oder – äquivalent dazu – die Funktion ln(1+x) um 0. Im Folgenden wird deshalb die Funktion f : (−1,∞) −→ R, x %→ ln(1 + x) um x0 = 0 entwickelt. Die Funktion f ist unendlich oft differenzierbar und besitzt die Ableitungen f (0)(x) = ln(1 + x), f (1)(x) = (1 + x)−1, f (2)(x) = −(1 + x)−2 bzw. allgemein f (k)(x) = −(−1)k(k − 1)!(1 + x)−k für alle k∈N. Somit gilt f (0)(0) = 0 und f (k)(0) = −(−1)k(k − 1)! für alle k ∈ N. Die Taylor-Formel von f , entwickelt um x0 = 0, ist somit gegeben durch ln(1+x)=x− x 2 2 + x 3 3 − x 4 4 +. . .− (−x) n n︸ ︷︷ ︸ Tn;0(x) +Rn;0(x) für alle x ∈ (−1,∞) und n ∈ N0. Für x ∈ [0, 1] erhält man mit der Lagrangeschen Restgliedformel und einem ξ ∈ (0, x) die Abschätzung ∣ ∣Rn;0(x) ∣∣ = 1 n+ 1 · xn+1 (1 + ξ)n+1 ≤ 1 n+ 1 . Das heißt, es gilt lim n→∞Rn;0(x) = 0 für alle x ∈ [0, 1]. Für x ∈ (−1, 0) ist es dagegen zweckmäßiger die Cauchysche Restgliedformel (17.15) zu verwenden. Mit einem ξ ∈ (x, 0) erhält man dann ∣∣Rn;0(x) ∣∣ = |x||x − ξ | n (1 + ξ)n+1 = |x| 1 + ξ · ∣ ∣∣∣ x − ξ 1 + ξ ∣ ∣∣∣ n . Wegen ∣∣∣∣ x − ξ 1 + ξ ∣∣∣∣ = |x| − |ξ | 1 − |ξ | = |x| − |ξ | 1 − |x| 1 − |ξ | ≤ |x| und 1 + ξ > 1 + x folgt daraus weiter ∣∣Rn;0(x) ∣∣ ≤ |x| 1 + x |x| n. Folglich gilt lim n→∞Rn;0(x) = 0 auch für alle x ∈ (−1, 0). Für x > 1 konvergiert das Restglied Rn;0(x) für n → ∞ dagegen nicht gegen 0. Die Logarithmusfunktion f (x) = ln(1 + x) besitzt somit um x0 = 0 für alle x ∈ (−1, 1] die Taylor-Reihenentwicklung ln(1 + x) = lim n→∞ Tn;0(x) = ∞∑ k=1 (−1)k+1 x k k (17.25) (vgl. Abbildung 17.4, rechts). Die Reihe (17.25) wird als Logarithmusreihe bezeichnet. Speziell für x = 1 erhält man für die bereits aus Beispiel 12.10a) bekannte alternierende harmonische Reihe die bemerkenswerte Formel ln(2) = ∞∑ k=1 (−1)k+1 1 k = 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + 1 5 ∓ . . . . Die Taylor-Reihe (17.25) der Logarithmusfunktion ln(1+x) für x ∈ (−1, 1] kann auch zur Berechnung der Logarithmen ln(y) für y > 0 eingesetzt werden. Denn aus (17.25) folgt ln(1 − x) = − ∞∑ k=1 xk k (17.26) für alle x ∈ [−1, 1). Der gemeinsame Gültigkeitsbereich von (17.25) und (17.26) ist (−1, 1). Durch Subtraktion dieser beiden Taylor-Reihen für x ∈ (−1, 1) erhält man daher ln ( 1+x 1−x ) = ln(1+x)−ln(1 − x)=2 ∞∑ k=0 x2k+1 2k+1 (17.27) (siehe hierzu auch Satz 17.17c)). Setzt man nun x := y − 1 y + 1 497 Kapitel 17 Taylor-Formel und Potenzreihen −2 −1 1 2 3 −5 5 10 15 20 l x0 T0;0(x) T1;0(x) T2;0(x) e x T3;0(x) T4;0(x) T5;0(x) −1 −0.5 0.5 1 −1 −0.5 0.5 1 T1;0(x) T2;0(x) T3;0(x) T4;0(x) T5;0(x) T6;0(x) ln(1 + x) l x0 Abb. 17.4: Exponentialfunktion f : R −→ R, x %→ ex mit den Taylor-Polynomen Tn;0 um den Entwicklungspunkt x0 = 0 für n = 0, 1, 2, 3, 4, 5 (links) und Logarithmusfunktion f : (−1,∞) −→ R, x %→ ln(1 + x) mit den Taylor-Polynomen Tn;0 um den Entwicklungspunkt x0 = 0 für n = 1, 2, 3, 4, 5, 6 (rechts) für ein y > 0, dann gilt x ∈ (−1, 1) und durch Umformen folgt y = 1 + x 1 − x . Mit (17.27) erhält man somit schließlich für alle y > 0 die Formel ln(y) = ln ( 1 + x 1 − x ) = 2 ∞∑ k=0 1 2k + 1 ( y − 1 y + 1 )2k+1 . Die trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus besitzen ebenfalls eine Darstellung als Taylor-Reihe: Beispiel 17.11 (Taylor-Reihen von sin(x) und cos(x)) a) Die Sinusfunktion f : R −→ R, x %→ sin(x) ist unendlich oft differenzierbar und besitzt die Ableitungen f (k)(x)= { (−1) k2 sin(x) für k=2r mit r ∈N0 (−1) k−12 cos(x) für k=2r+1 mit r ∈N0 (vgl. Satz 16.16a) und b)). Folglich gilt f (k)(0) = { 0 für k = 2r mit r ∈ N0 (−1) k−12 für k = 2r + 1 mit r ∈ N0 . In der Taylor-Formel von f (x) = sin(x), entwickelt um x0 = 0, können daher nur ungerade Potenzen von x auftreten. Mit der Lagrangeschen Restgliedformel erhält man sin(x)=x− x 3 3! + x5 5! − x7 7! +. . .︸ ︷︷ ︸ Tn;0(x) + x n+1 (n+1)!f (n+1)(ξ) ︸ ︷︷ ︸ Rn;0(x) für alle x ∈ R. Wegen | sin(x)| ≤ 1 und | cos(x)| ≤ 1 für alle x ∈ R gilt insbesondere auch ∣∣f (n+1)(ξ)∣∣ ≤ 1 für alle x ∈ R und n ∈ N. Mit Satz 17.9 folgt daher lim n→∞Rn;0(x) = 0 für alle x ∈ R. Das heißt, die Sinusfunktion f (x) = sin(x) besitzt um x0 = 0 die Taylor- Reihenentwicklung sin(x) = lim n→∞ Tn;0(x) = ∞∑ k=0 (−1)k (2k + 1)!x 2k+1 (17.28) für alle x ∈ R, die oftmals als Sinusreihe bezeichnet wird (vgl. Abbildung 17.5, links). 498 Kapitel 1717.3 Taylor-Reihe − 2π − π π 2π −6 −4 −2 2 4 6 sin(x) T11;0(x) T9;0(x) T7;0(x) T5;0(x) T3;0(x) T1;0(x) l x0 − 2π − π π 2π −6 −4 −2 2 4 6 cos (x) T12;0(x) T10;0(x) T8;0(x) T6;0(x) T4;0(x) T2;0(x) l x0 Abb. 17.5: Sinusfunktion f : R −→ R, x %→ sin(x) mit den Taylor-Polynomen Tn;0 um den Entwicklungspunkt x0 = 0 für n = 1, 3, 5, 7, 9, 11 (links) und Kosinusfunktion f : R −→ R, x %→ cos(x) mit den Taylor-Polynomen Tn;0 um den Entwicklungspunkt x0 = 0 für n = 2, 4, 6, 8, 10, 12 (rechts) b) Die Kosinusfunktion f : R −→ R, x %→ cos(x) ist unendlich oft differenzierbar und besitzt die Ableitungen f (k)(x)= { (−1) k2 cos(x) für k=2r mit r ∈N0 (−1) k+12 sin(x) für k=2r+1 mit r ∈N0 . Folglich gilt f (k)(0)= { (−1) k2 für k = 2r mit r ∈ N0 0 für k = 2r + 1 mit r ∈ N0 . In der Taylor-Formel von f (x) = cos(x), entwickelt um x0 = 0, können daher nur gerade Potenzen von x auftreten. Völlig analog zur Sinusfunktion in Beispiel a) erhält man für die Kosinusfunktion f (x) = cos(x) um x0 = 0 die Taylor-Reihenentwicklung cos(x) = lim n→∞ Tn;0(x) = ∞∑ k=0 (−1)k (2k)! x 2k (17.29) für alle x ∈ R, welche oftmals auch als Kosinusreihe bezeichnet wird (vgl. Abbildung 17.5, rechts). Übersicht über wichtige Taylor-Reihen Die Tabelle 17.1 enthält die Taylor-Reihen um den Entwicklungspunkt x0 = 0 einiger ausgewählter reeller Funktionen. Die Taylor-Reihen von ex , ax , ln(x), sin(x) und cos(x) wurden dabei bereits in den Beispielen 17.10 und 17.11 ermittelt. Titelseite des Traktats Ars Conjectandi von J. Bernoulli Zum Zwecke einer übersichtlicheren Darstellung werden in den Taylor-Reihen von tan, cot, tanh und coth die Bernoulli-Zahlen Bn verwendet. Dabei handelt es sich um rationale Zahlen, die in der Mathematik in den verschiedensten Zusammenhängen auftreten. Sie sind nach ihrem Entdecker, dem schweizer Mathematiker Jakob Bernoulli (1655–1705), benannt, der sie in seinem 1713 – also post mortem – veröffentlichten Traktat „Ars Conjectandi“ zum ersten Mal erwähnte. In dieser wissenschaftlichen Ausarbeitung fasst er eigene Arbeiten zur Wahrscheinlichkeitsrechnung mit den Ausarbeitungen anderer bedeutender Autoren wie Christiaan Huygens (1629–1695), Gerolamo Cardano (1501–1576), Pierre de Fermat (1608–1665) und Blaise Pascal (1623–1662) zusammen. Aufgrund dieser wissen- 499 Kapitel 17 Taylor-Formel und Potenzreihen schaftlichen Abhandlung wird Bernoulli von vielen als der Begründer der Wahrscheinlichkeitstheorie betrachtet. Die Bernoulli-Zahlen lassen sich rekursiv aus B0 := 1 und n∑ k=0 ( n+ 1 k ) Bk = 0 für n ∈ N berechnen. Man erhält auf diese Weise B1 = −1 2 , B2 = 1 6 , B4 = − 1 30 , B6 = 1 42 , B8 = − 1 30 , B10 = 5 66 , B12 = − 691 2730 usw., während B2l+1 = 0 für alle l ∈ N gilt. Funktion Zugehörige Taylor-Reihe um den f (x) Entwicklungspunkt x0 = 0 1 1−x ∞∑ k=0 xk für x ∈ (−1, 1) (1 + x)n n∑ k=0 ( n k ) xk für n ∈ N0 und alle x ∈ R (1 + x)α ∞∑ k=0 ( α k ) xk für α ∈ R und alle x ∈ (−1, 1) ex ∞∑ k=0 xk k! für alle x ∈ R ax ∞∑ k=0 (x ln(a))k k! für a > 0, a = 1 und alle x ∈ R ln(1 + x) ∞∑ k=1 (−1)k+1 xk k für alle x ∈ (−1, 1] sin(x) ∞∑ k=0 (−1)k (2k+1)!x 2k+1 für alle x ∈ R cos(x) ∞∑ k=0 (−1)k (2k)! x 2k für alle x ∈ R tan(x) ∞∑ k=1 (−1)k+1 22k(22k−1) (2k)! B2kx 2k−1 für alle x ∈ (− π2 , π2 ) cot(x) ∞∑ k=0 (−1)k 22k (2k)!B2kx 2k−1 für alle 0 < |x| < π arcsin(x) ∞∑ k=0 (2k)! 22k (k!)2 x2k+1 2k+1 für alle x ∈ [−1, 1] arccos(x) π2 − arcsin(x) für alle x ∈ [−1, 1] arctan(x) ∞∑ k=0 (−1)k 2k+1 x 2k+1 für alle x ∈ [−1, 1] arccot(x) π2 − arctan(x) für alle x ∈ [−1, 1] Tabelle 17.1: Taylor-Reihen um den Entwicklungspunkt x0 = 0 für einige ausgewählte elementare Funktionen Aus den Taylor-Reihen in Tabelle 17.1 lassen sich unmittelbar einige handliche Näherungsformeln ableiten, die für x- Werte „nahe bei 0“ bei schnellen Überschlagsrechnungen oftmals brauchbare Werte liefern. Zum Beispiel erhält man die Näherungsformeln: (1 + x)α ≈ 1 + αx + α(α − 1) 2 x2 √ 1 + x ≈ 1 + x 2 ex ≈ 1 + x + x 2 2 sin(x) ≈ x − x 3 6 cos(x) ≈ 1 − x 2 2 17.4 Potenzreihen und Konvergenzradius In Abschnitt 17.3 wurden bei der Entwicklung unendlich oft differenzierbarer reeller Funktionen f : I ⊆ R −→ R in Taylor-Reihen ∑∞ k=0 = f (k)(x0) k! (x−x0)k Reihen der speziellen Form ∞∑ k=0 ak(x − x0)k (17.30) mit Koeffizienten ak ∈ R für k ∈ N0 und x, x0 ∈ R betrachtet. Potenzreihen Reihen der „Bauart“ (17.30) werden als Potenzreihen um den Entwicklungspunkt x0 bezeichnet. Speziell für den Entwicklungspunkt x0 = 0 vereinfacht sich ihre Gestalt zu ∞∑ k=0 akx k. (17.31) Durch die Transformation y := x − x0 kann jedoch offensichtlich eine Potenzreihe der Form (17.30) stets in die spezielle Gestalt (17.31) gebracht werden. Wenn eine reelle Funktion f : I ⊆ R −→ R für alle x ∈ I in der Form f (x) =∑∞ k=0 ak(x− x0)k dargestellt werden kann, spricht man analog zu Taylor-Reihen von der Entwicklung der Funktion f in eine Potenzreihe um den Entwicklungspunkt x0 (vgl. Abschnitt 17.3). Wie sich im weiteren Verlauf dieses Abschnitts zeigen wird, zeichnen sich Potenzreihen durch sehr gute analytische Eigenschaften und eine relativ einfache Konvergenztheorie aus. 500 Kapitel 1717.4 Potenzreihen und Konvergenzradius Konvergenzradius Bei der Untersuchung einer Potenzreihe interessiert man sich vor allem für diejenigen x ∈ R, für welche die Potenzreihe konvergiert. Das heißt, man interessiert sich für die Menge M := { x ∈ R : ∞∑ k=0 ak(x − x0)k konvergiert } . (17.32) Die Menge M ist niemals leer, da offensichtlich jede Potenzreihe ∑∞ k=0 ak(x − x0)k für x = x0 gegen den Grenzwert a0 konvergiert. Bezüglich der Struktur der MengeM unterscheidet man die folgenden drei Fälle: 1) M = {x0}, d. h. die Potenzreihe konvergiert nur für x = x0 und divergiert sonst. 2) M = R, d. h. die Potenzreihe konvergiert für alle x ∈ R. 3) M = I für ein Teilintervall I ⊆ R mit dem Mittelpunkt x0, d. h. es gibt ein 0 < R < ∞, so dass die Potenzreihe für alle x ∈ R mit |x−x0| < R konvergiert und für x ∈ R mit |x − x0| > R divergiert. Dies motiviert die folgende Definition des Begriffes Konvergenzradius einer Potenzreihe: Definition 17.12 (Konvergenzradius einer Potenzreihe) Es sei ∑∞ k=0 ak(x− x0)k eine Potenzreihe und R > 0, so dass die Potenzreihe für alle x ∈ R mit |x − x0| < R absolut konvergiert und für alle x ∈ R mit |x − x0| > R divergiert. Der Wert R wird dann als Konvergenzradius der Potenzreihe bezeichnet. Konvergiert die Potenzreihe nur für x = x0, dann setzt man für den Konvergenzradius R := 0 und sagt, dass die Potenzreihe nirgends konvergent ist. Konvergiert dagegen die Potenzreihe für alle x ∈ R absolut, dann setzt man für den Konvergenzradius R := ∞ und sagt, dass die Potenzreihe überall oder beständig konvergent ist. Formel von Cauchy-Hadamard Der folgende Konvergenzsatz für Potenzreihen ist fundamental für die weitere Untersuchung von Potenzreihen. Er besagt, dass jede Potenzreihe einen Konvergenzradius R besitzt, J. Hadamard und liefert darüber hinaus mit der nach den beiden bekannten französischen Mathematikern Augustin Louis Cauchy (1789– 1857) und Jacques Hadamard (1865–1963) benannten Formel von Cauchy-Hadamard eine Berechnungsmöglichkeit für R. Der Beweis des Konvergenzsatzes für Potenzreihen basiert auf dem Wurzelkriterium für Reihen: Satz 17.13 (Konvergenzsatz für Potenzreihen) Jede Potenzreihe ∞∑ k=0 ak(x−x0)k besitzt einen Konvergenzradius R ∈ [0,∞) ∪ {∞}. Dieser Konvergenzradius berechnet sich nach der sogenannten Formel von Cauchy- Hadamard zu R = 1 lim sup k √|ak| . (17.33) Dabei ist im Fall von lim sup k √|ak| = 0 für den Konvergenzradius R = ∞ und im Fall von lim sup k√|ak| = ∞ für den Konvergenzradius R = 0 zu setzen. Beweis: Nach dem Wurzelkriterium für Reihen (vgl. Satz 12.26) ist eine Potenzreihe ∑∞ k=0 ak(x−x0)k absolut konvergent oder divergent, je nachdem ob lim sup k √∣∣ak(x − x0)k ∣∣ = |x − x0| · lim sup k √|ak | kleiner oder größer als 1 ist. Das heißt, die absolute Konvergenz oder Divergenz der Potenzreihe ist von dem Wert lim sup k √|ak | abhängig. Es sei lim sup k √|ak | = ∞: Dann gilt auch |x − x0| · lim sup k √|ak | = ∞ für jedes x = x0 und die Potenzreihe konvergiert somit nur für x = x0 absolut und ist für x = x0 divergent. Folglich gilt in diesem Fall R = 0. Es sei lim sup k √|ak | = 0: Dann ist |x− x0| · lim sup k√|ak | = 0 für alle x ∈ R erfüllt. Das heißt, die Potenzreihe konvergiert für alle x ∈ R absolut und es gilt damit R = ∞. Es sei 0 < lim sup k √|ak | < ∞: Dann gilt auch 0 < |x − x0| · lim sup k √|ak | < ∞ für jedes x = x0. Folglich konvergiert oder divergiert die Potenzreihe für ein x ∈ R, je nachdem ob |x − x0| < 1 lim sup k √|ak | oder |x − x0| > 1 lim sup k √|ak | gilt. 501 Kapitel 17 Taylor-Formel und Potenzreihen Der Satz 17.13 besagt somit, dass eine Potenzreihe∑∞ k=0 ak(x−x0)k mit KonvergenzradiusR für alle x∈(x0−R, x0 +R) absolut konvergiert und für alle x < x0 −R oder x > x0 +R divergiert. Für die Randstellen x = x0 − R und x = x0 + R des Intervalls [x0 − R, x0 + R] macht der Satz 17.13 jedoch keine Aussage. Folglich kann ohne weitere Untersuchung über das Konvergenzverhalten der Potenzreihe an den Randstellen x = x0 −R und x = x0 +R keine Aussage getroffen werden. Je nach vorliegender Potenzreihe kann dort Konvergenz oder Divergenz vorliegen. Somit kommt bei einer Potenzreihe mit Konvergenzradius R für die Menge (17.32) nur einer der folgenden vier Fälle in Betracht: 1) M = (x0 − R, x0 + R) 2) M = [x0 − R, x0 + R) 3) M = (x0 − R, x0 + R] 4) M = [x0 − R, x0 + R] Aus diesem Grund wird die Menge (17.32) auch als Konvergenzintervall bezeichnet. Darüber hinaus stellt der Satz 17.13 sicher, dass eine Potenzreihe für Werte aus dem Inneren seines Konvergenzintervalls M sogar absolut konvergiert, und er ist auch die Hauptursache dafür, dass die Konvergenztheorie von Potenzreihen vergleichsweise einfach ist. Denn Satz 17.13 besagt, dass das Konvergenzverhalten von Potenzreihen im Wesentlichen durch eine einzige nichtnegative Zahl, nämlich den Konvergenzradius R, beschrieben werden kann (vgl. Abbildung 17.6). Aus Satz 17.13 ergibt sich unmittelbar die folgende nützliche Tatsache: Konvergiert eine Potenzreihe ∑∞ k=0 ak(x−x0)k für einen Wert x = x1 mit x1 = x0, dann konvergiert sie erst recht (und zwar absolut) für alle x, die näher bei x0 liegen als x1, für die also |x−x0| < |x1−x0| gilt. Divergiert jedoch die Potenzreihe für einen Wert x = x2, dann divergiert sie auch für alle x, die weiter von x0 entfernt sind als x2, für die x0 − R x0 x0 + R l l absolute Konvergenz DivergenzDivergenz keine allgemeine Konvergenzaussage möglich reelle Zahlen Abb. 17.6: Veranschaulichung des Konvergenzintervalls M also |x − x0| > |x2 − x0| gilt. Hat man für eine Potenzreihe∑∞ k=0 ak(x − x0)k ein R ∈ R+ oder R = ∞ mit der Eigenschaft gefunden, so dass sie für alle x ∈ R mit |x− x0| < R konvergiert, während sie im Fall von |x−x0| > R divergiert, dann muss R der Konvergenzradius der Potenzreihe sein. Eine Potenzreihe ∑∞ k=0 ak(x − x0)k mit Konvergenzradius R > 0 definiert auf dem Intervall (x0 − R, x0 + R) eine reelle Funktion f : (x0 − R, x0 + R)−→R, x %→ f (x) := ∞∑ k=0 ak(x − x0)k, die als Summenfunktion oder auch kurz als Summe der Potenzreihe bezeichnet wird. Falls die Potenzreihe auch in den Randstellen x = x0 − R und/oder x = x0 + R konvergiert, dann ist die Summenfunktion f auch in diesen Randstellen definiert. In den folgenden Betrachtungen wird sich zeigen, dass die Summenfunktion f gute analytische Eigenschaften besitzt. Eine reelle Funktion f : I ⊆ R −→ R heißt analytisch an der Stelle x0 ∈ R, wenn es eine Potenzreihe ∑∞k=0 ak(x−x0)k gibt, die auf einer Umgebung (x0 − δ, x0 + δ) mit δ > 0 gegen f konvergiert. Ist die Funktion f an jeder Stelle x0 ∈ I analytisch, dann heißt die Funktion f analytisch. Die volle Bedeutung von Potenzreihen ∑∞ k=0 ak(x−x0)k als Werkzeug der Analysis kommt erst richtig zum Vorschein, wenn für die Koeffizienten ak und die Werte x, x0 auch komplexe Zahlen zugelassen und damit sogenannte komplexe Potenzreihen betrachtet werden. Die Ausführungen in diesem Abschnitt sind jedoch so angelegt, dass die Ausdehnung der Resultate auf den komplexen Fall problemlos erfolgen kann. Im Fall von komplexen Potenzreihen ist dann die Menge M eine offene Kreisscheibe in der Gaußschen Zahlenebene mit dem Mittelpunkt x0 und dem (eventuell unendlichen) Radius R. Die Menge M wird dann sinnvollerweise nicht mehr Konvergenzintervall, sondern Konvergenzkreis der Potenzreihe genannt. Mit anderen Worten ist dann für die Gültigkeit der 502 Kapitel 1717.5 Quotienten- und Wurzelkriterium für Potenzreihen Sätze in diesem Abschnitt lediglich das Wort Konvergenzintervall durch das Wort Konvergenzkreis zu ersetzen. Beispiel 17.14 (Potenzreihen) a) Betrachtet wird die Potenzreihe ∞∑ k=0 kxk um den Entwicklungspunkt x0 = 0. Es gilt ak = k für alle k ∈ N0. Aus lim k→∞ k √ k = 1 (vgl. Beispiel 11.24c)) folgt unmittelbar lim sup k √|ak| = 1. Mit der Formel von Cauchy-Hadamard (17.33) erhält man somit für den Konvergenzradius R = 1. Für die Randstellen x = −1 und x = 1 ist die Potenzreihe offensichtlich divergent. Das Konvergenzintervall ist daher gegeben durch das offene Intervall M = (−1, 1). b) Betrachtet wird die Potenzreihe ∞∑ k=1 (−1)k+1 x k k um den Entwicklungspunkt x0 = 0. Es gilt ak = (−1)k+1 1 k für alle k ∈ N. Aus lim k→∞ k √ k = 1 folgt lim k→∞ k √ 1 k = lim k→∞ 1 k√ k = 1 und damit insbesondere lim sup k √|ak| = 1. Mit der Formel von Cauchy-Hadamard (17.33) folgt somit für den Konvergenzradius R = 1. Für die Randstelle x = 1 erhält man die alternierende harmonische Reihe ∑∞ k=1(−1)k+1 1k , welche gegen den Grenzwert ln(2) konvergiert (vgl. Beispiel 12.10a)). Dagegen erhält man für die Randstelle x = −1 die Reihe ∑∞k=1(−1)k+1 (−1) k k = −∑∞k=1 1k , welche divergent ist (vgl. Beispiel 12.10b)). Das Konvergenzintervall ist somit gegeben durch das linksseitig offene Intervall M = (−1, 1]. In Beispiel 17.10b) wurde bereits gezeigt, dass für alle x ∈ (−1, 1] gilt: ln(1 + x) = ∞∑ k=1 (−1)k+1 x k k c) Betrachtet wird die Potenzreihe ∞∑ k=1 xk kk um den Entwicklungspunkt x0 = 0. Es gilt ak = 1kk für alle k ∈ N. Wegen lim k→∞ k √ 1 kk = lim k→∞ 1 k = 0 folgt lim sup k √|ak| = 0. Mit der Formel von Cauchy- Hadamard (17.33) erhält man daher R = ∞. Die Potenzreihe ist somit überall konvergent und das Konvergenzintervall ist gegeben durch M = R. d) Betrachtet wird die Potenzreihe ∞∑ k=0 k!xk um den Entwicklungspunkt x0 = 0. Es gilt ak = k! für alle k ∈ N0. Wegen lim k→∞ k √ k! = ∞ (vgl. Beispiel 11.19) folgt lim sup k √|ak| = ∞. Mit der Formel von Cauchy-Hadamard (17.33) erhält man daher für den Konvergenzradius R = 0. Die Potenzreihe ist somit nirgends konvergent und das Konvergenzintervall ist folglich gegeben durch M = {0}. 17.5 Quotienten- und Wurzelkriterium für Potenzreihen Durch den folgenden Satz werden zwei alternative und oftmals handlichere Methoden als die Formel von Cauchy- Hadamard (17.33) zur Berechnung des Konvergenzradius R bereitgestellt. Dieses Resultat leitet sich direkt aus dem Quotienten- und Wurzelkriterium für Reihen ab. Es ist jedoch nicht immer anwendbar, da es die Existenz eines eigentlichen oder uneigentlichen Grenzwertes voraussetzt: Satz 17.15 (Quotienten- und Wurzelkriterium für Potenzreihen) Es sei ∞∑ k=0 ak(x − x0)k eine Potenzreihe. Dann gilt: a) Existiert lim k→∞ ∣ ∣∣ ak ak+1 ∣ ∣∣ als eigentlicher oder uneigentlicher Grenzwert, dann gilt für den Konvergenzradius R = lim k→∞ ∣ ∣∣ ∣ ak ak+1 ∣ ∣∣ ∣ . (17.34) b) Existiert lim k→∞ k √|ak| als eigentlicher oder uneigentlicher Grenzwert, dann gilt für den Konvergenzradius R = 1 lim k→∞ k √|ak| . (17.35) 503 Kapitel 17 Taylor-Formel und Potenzreihen Dabei ist im Fall von lim k→∞ k √|ak| = 0 für den Konvergenzradius R = ∞ und im Fall von lim k→∞ k √|ak| = ∞ für den Konvergenzradius R = 0 zu setzen. Beweis: Zu a): Eine Potenzreihe ∑∞ k=0 ak(x−x0)k ist gemäß dem Quotientenkriterium (vgl. Satz 12.24) für ein x ∈ R absolut konvergent oder divergent, je nachdem ob lim k→∞ ∣ ∣ ∣ ∣ ak+1(x − x0)k+1 ak(x − x0)k ∣ ∣ ∣ ∣ = |x − x0| · limk→∞ ∣ ∣ ∣ ∣ ak+1 ak ∣ ∣ ∣ ∣ größer oder kleiner als 1 ist. Die Potenzreihe konvergiert somit für alle x ∈ R mit |x − x0| < 1 lim k→∞ ∣ ∣ ∣ ak+1ak ∣ ∣ ∣ = lim k→∞ ∣ ∣ ∣ ∣ ak ak+1 ∣ ∣ ∣ ∣ und divergiert für alle x ∈ R mit |x − x0| > lim k→∞ ∣ ∣ ∣ ∣ ak ak+1 ∣ ∣ ∣ ∣ . Das heißt, der Konvergenzradius ist gegeben durch R = lim k→∞ ∣ ∣ ∣ akak+1 ∣ ∣ ∣. Zu b): Eine Potenzreihe ∑∞ k=0 ak(x−x0)k ist gemäß dem Wurzelkriterium (vgl. Satz 12.26) für ein x ∈ R absolut konvergent oder divergent, je nachdem ob lim k→∞ k √ |ak(x − x0)k | = |x − x0| · lim k→∞ k √|ak | größer oder kleiner als 1 ist. Die Potenzreihe konvergiert somit für alle x ∈ R mit |x − x0| < 1 lim k→∞ k √|ak | und divergiert für alle x ∈ R mit |x − x0| > 1 lim k→∞ k √|ak | . Folglich ist der Konvergenzradius gegeben durch R = 1 lim k→∞ k √|ak | , wobei im Fall von limk→∞ k √|ak | = 0 und lim k→∞ k √|ak | = ∞ für den Konvergenzradius R = ∞ bzw. R = 0 zu setzen ist. Beispiel 17.16 (Quotienten- und Wurzelkriterium für Potenzreihen) a) Betrachtet wird die Potenzreihe ∞∑ k=0 xk 2k um den Entwicklungspunkt x0 = 0. Es gilt ak = 12k für alle k ∈ N0. Mit dem Wurzelkriterium (17.35) erhält man für den Konvergenzradius R = 1 lim k→∞ k √|ak| = 1 lim k→∞ k √ 1 2k = 11 2 = 2. Für die Randstellen x = −2 und x = 2 erhält man die divergenten Reihen ∑∞ k=0(−1)k und ∑∞ k=0 1. Das Konvergenzintervall ist somit gegeben durch M = (−2, 2). b) Betrachtet wird die Exponentialreihe ex = ∞∑ k=0 xk k! um den Entwicklungspunkt x0 = 0 (vgl. Beispiel 17.10a)). Es gilt ak = 1k! für alle k ∈ N0. Mit lim k→∞ k √ k! = ∞ (vgl. Beispiel 11.19) und dem Wurzelkriterium (17.35) erhält man für den Konvergenzradius R = 1 lim k→∞ k √|ak| = 1 lim k→∞ k √ 1 k! = 1 lim k→∞ 1 k√ k! = ∞. Das heißt, man erhält das bereits bekannte Resultat, dass die Exponentialreihe überall konvergent ist und das Konvergenzintervall M = R besitzt. c) Betrachtet wird die Potenzreihe ∞∑ k=0 (−1)k x 2k+1 (2k + 1)! um den Entwicklungspunkt x0 = 0. Es gilt ak = (−1)k 1 (2k+1)! für alle k ∈ N0. Mit dem Quotientenkriterium (17.34) erhält man für den Konvergenzradius R = lim k→∞ ∣∣ ∣∣ ak ak+1 ∣∣ ∣∣ = lim k→∞ ∣ ∣∣ ∣ (−1)k(2k + 2)! (−1)k+1(2k + 1)! ∣ ∣∣ ∣ = lim k→∞ (2k + 2) = ∞. Die Potenzreihe ist somit überall konvergent und besitzt das Konvergenzintervall M = R. In Beispiel 17.11a) wurde bereits gezeigt, dass für alle x ∈ R gilt: sin(x) = ∞∑ k=0 (−1)k x 2k+1 (2k + 1)! 504 Kapitel 1717.6 Rechenregeln für Potenzreihen d) Betrachtet wird die Potenzreihe ∞∑ k=1 kk k! x k um den Entwicklungspunkt x0 = 0. Es gilt ak = kkk! für alle k ∈ N. Mit dem Quotientenkriterium (17.34) erhält man für den Konvergenzradius R = lim k→∞ ∣∣∣∣ ak ak+1 ∣∣∣∣ = limk→∞ kk(k + 1)! k!(k + 1)k+1 = lim k→∞ ( k k + 1 )k = lim k→∞ ( 1 + 1 k )−k = 1 e (vgl. Definition 11.44). Die Potenzreihe konvergiert somit für jedes x ∈ (− 1 e , 1 e ) und divergiert für alle x außerhalb des Intervalls [− 1 e , 1 e ] . 17.6 Rechenregeln für Potenzreihen In diesem Abschnitt werden die wichtigsten Rechenregeln für Potenzreihen bereitgestellt. Dabei zeigt sich, dass Potenzreihen auf ihrem gemeinsamen Konvergenzbereich addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert werden können. Diese Rechenregeln sind für die Ermittlung der Potenzreihendarstellung von reellen Funktionen oftmals sehr nützlich. Summen und Differenzen Der folgende Satz besagt, dass zwei Potenzreihen auf ihrem gemeinsamen Definitionsbereich problemlos addiert und subtrahiert werden können: Satz 17.17 (Summe und Differenz von Potenzreihen) Die Potenzreihen ∑∞ k=0 ak(x−x0)k und ∑∞ k=0 bk(x−x0)k besitzen die Konvergenzintervalle Ma bzw. Mb und es sei c ∈ R. Dann gilt: a) c ∞∑ k=0 ak(x− x0)k = ∞∑ k=0 cak(x− x0)k für alle x ∈ Ma b) ∞∑ k=0 ak(x − x0)k + ∞∑ k=0 bk(x − x0)k = ∞∑ k=0 (ak + bk)(x − x0)k für alle x ∈ Ma ∩Mb c) ∞∑ k=0 ak(x − x0)k − ∞∑ k=0 bk(x − x0)k = ∞∑ k=0 (ak − bk)(x − x0)k für alle x ∈ Ma ∩Mb Beweis: Da es sich bei einer Potenzreihe ∞∑ k=0 ak(x−x0)k für ein festes, aber beliebiges x aus ihrem Konvergenzintervall M stets um eine konvergente Reihe handelt, folgen die Aussagen a)-c) unmittelbar aus den korrespondierenden Aussagen für Reihen in Satz 12.17. Der große Nutzen dieser Rechenregeln zeigt sich bereits im folgenden Beispiel: Beispiel 17.18 (Summe und Differenz von Potenzreihen) a) Für den sogenannten Kosinus hyperbolicus cosh : R −→ R, x %→ cosh(x) := 12 ( ex + e−x) erhält man mit der Exponentialreihe ex = ∑∞k=0 x k k! (vgl. Tabelle 17.1) für alle x ∈ R die Potenzreihendarstellung cosh(x) = 1 2 ( ex + e−x) = 1 2 ( 1+x+ x 2 2! + x3 3! +. . .+1−x+ x2 2! − x3 3! +. . . ) = 1 2 ( 2 + 2x 2 2! + 2 x4 4! + . . . ) = 1 + x 2 2! + x4 4! + . . . = ∞∑ k=0 x2k (2k)! . b) Für den sogenannten Sinus hyperbolicus sinh : R −→ R, x %→ sinh(x) := 12 ( ex − e−x) erhält man mit der Exponentialreihe ex = ∑∞k=0 x k k! für alle x ∈ R die Potenzreihendarstellung sinh(x)= 1 2 ( ex − e−x) = 1 2 ( 1+x+ x 2 2! + x3 3! +. . .− ( 1−x+ x 2 2! − x3 3! +. . . )) = 1 2 ( 2x+2x 3 3! +2 x5 5! + . . . ) = x + x 3 3! + x5 5! + . . . = ∞∑ k=0 x2k+1 (2k + 1)! . 505 Kapitel 17 Taylor-Formel und Potenzreihen Produkte, Quotienten und Kompositionen Der folgende Satz besagt, dass zwei Potenzreihen auf ihrem gemeinsamen Definitionsbereich multipliziert bzw. auf einem Teilbereich ihres gemeinsamen Definitionsbereiches auch dividiert werden können. Ferner sagt der Satz aus, dass die Komposition zweier in eine Potenzreihe entwickelbarer reeller Funktionen ebenfalls eine Potenzreihenentwicklung besitzt: Satz 17.19 (Multiplikation, Division und Komposition von Potenzreihen) Die beiden Potenzreihen ∑∞ k=0 ak(x − x0)k und∑∞ k=0 bk(x−x0)k besitzen die positiven Konvergenzradien Ra bzw. Rb. Dann gilt: a) ∑∞ k=0 ak(x − x0)k ∑∞ k=0 bk(x − x0)k = ∑∞k=0(a0bk + a1bk−1 + . . .+ akb0)(x − x0)k für alle x ∈ R mit |x − x0| < min {Ra,Rb} b) Ist b0 = 0, dann gibt es ein 0 < R < min {Ra,Rb} mit ∑∞ k=0 ak(x − x0)k ∞∑ k=0 bk(x − x0)k = ∞∑ k=0 ck(x − x0)k für alle x ∈ Rmit |x−x0| < R, wobei sich die Koeffizienten c0, c1, c2, . . . sukzessive aus dem unendlichen linearen Gleichungssystem n∑ i=0 bicn−i = an für alle n ∈ N0 berechnen lassen. c) Es gelte f (x) = ∑∞k=0 ak(x − x0)k für alle x ∈ R mit |x− x0| < Ra und g(x) = ∑∞k=0 bk(x− x0)k für alle x ∈ R mit |x − x0| < Rb. Ferner existiere ein ρ ∈ R mit ρ = x0, so dass ∑∞k=0 |ak||ρ− x0|k < Rb gilt. Dann besitzt die Komposition h = g ◦ f eine mindestens für alle x ∈ R mit |x − x0| ≤ |ρ − x0| geltende Potenzreihenentwicklung h(x) := g(f (x)) = ∞∑ k=0 ck(x − x0)k. Beweis: Zu a): Für ein festes, aber beliebiges x ∈ R mit |x − x0| < min {Ra,Rb} handelt es sich bei ∑∞k=0 ak(x − x0)k und ∑∞ k=0 bk(x−x0)k jeweils um eine absolut konvergente Reihe. Gemäß Folgerung 12.33 kann daher die Berechnung des Produktes dieser beiden Reihen über das Cauchy-Produkt erfolgen, und man erhält auf diese Weise für alle x ∈ R mit |x − x0| < min {Ra,Rb}: ∞∑ k=0 ak(x − x0)k ∞∑ k=0 bk(x − x0)k = ∞∑ k=0 (a0bk + a1bk−1 + . . .+ akb0)(x − x0)k (17.36) Zu b): Siehe z. B. Heuser [25], Seiten 386–387. Zu c): Siehe z. B. Walter [67], Seite 150. Mit Hilfe dieses Resultats kann für eine ganze Reihe von reellen Funktionen relativ einfach die Potenzreihe ermittelt werden: Beispiel 17.20 (Multiplikation, Division und Komposition von Potenzreihen) a) Das Produkt der Potenzreihe ∑∞ k=0 akx k mit dem KonvergenzradiusR > 0 und der geometrischen Reihe 11−x = ∑∞ k=0 x k für x ∈ (−1, 1) (vgl. Tabelle 17.1) besitzt für alle x ∈ R mit |x| < min {1, R} die Darstellung 1 1 − x ∞∑ k=0 akx k = ∞∑ k=0 (a0 + a1 + . . .+ ak) xk. b) Das Produkt der beiden Potenzreihen cos(x) =∑∞ k=0(−1)k x 2k (2k)! für x ∈ R und 11−x = ∑∞ k=0 x k für x ∈ (−1, 1) besitzt für alle x ∈ (−1, 1) die Darstellung cos(x) 1 − x = ( 1 − x 2 2! + x4 4! − . . . ) (1 + x + x2 + . . .) = 1 + x + ( 1 − 1 2! ) x2 + ( 1 − 1 2! ) x3 + ( 1 − 1 2! + 1 4! ) x4 + . . . = 1 + x + 1 2 x2 + 1 2 x3 + 13 24 x4 + . . . c) Multiplikation der beiden Potenzreihen e−x = ∑∞ k=0 (−x)k k! und sin(x)= ∑∞ k=0(−1)k x 2k+1 (2k+1)! für x∈R 506 Kapitel 1717.6 Rechenregeln für Potenzreihen und anschließende Addition der Potenzreihe 1√ 1+x =∑∞ k=0 (−1/2 k ) xk für x ∈ (−1, 1) (vgl. Tabelle 17.1) liefert für alle x ∈ (−1, 1) die Potenzreihe e−x sin(x)+ 1√ 1 + x = ( 1 − x + x 2 2! − x3 3! + . . . )( x − x 3 3! + x5 5! − . . . ) + ( 1 − 1 2 x + 3 8 x2 − 5 16 x3 + . . . ) = 1 + 1 2 x − 5 8 x2 + 1 48 x3 + . . . d) Für die Tangensfunktion tan(x) = sin(x)cos(x) erhält man mit sin(x) = ∑∞k=0(−1)k x 2k+1 (2k+1)! und cos(x) =∑∞ k=0(−1)k x 2k (2k)! für x ∈ R (vgl. Tabelle 17.1) die Darstellung tan(x) = sin(x) cos(x) = x − x3 3! + x 5 5! − . . . 1 − x22! + x 4 4! − . . . = c0 + c1x + c2x2 + c3x3 + c4x4 + . . . Aus der Gleichung ( 1− x 2 2! + x4 4! −. . . ) (c0+c1x+c2x2+c3x3+c4x4+. . .) =x − x 3 3! + x5 5! − . . . folgt durch Koeffizientenvergleich das lineare Gleichungssystem 1 · c0 = 0 1 · c1 + 0 · c0 = 1 1 · c2 + 0 · c1 − 1 2! · c0 = 0 1 · c3 + 0 · c2 − 1 2! · c1 + 0 · c0 = − 1 3! 1 · c4 + 0 · c3 − 1 2! · c2 + 0 · c1 + 1 4! · c0 = 0 1 · c5+0 · c4− 1 2! · c3+0 · c2+ 1 4! · c1+0 · c0 = 1 5! ... (vgl. (17.36)) und daraus weiter c0 =0, c1 =1, c2 =0, c3= 1 3 , c4 =0, c5= 2 15 usw. Folglich besitzt tan(x) für x ∈ R, die hinreichend nahe bei 0 liegen, die Darstellung tan(x) = x + 1 3 x3 + 2 15 x5 + . . . e) Für die Potenzreihe der Komposition h(x) = (g ◦ f )(x) = eex der beiden reellen Funktionen f (x) = g(x) = ex erhält man mit f (x) = g(x) = ∑∞k=0 x k k! (vgl. Tabelle 17.1) und ( f (x) )k = (ex)k = ekx = ∑∞n=0 k nxn n! für alle x ∈ R die Darstellung h(x) = ∞∑ k=0 (f (x))k k! = ∞∑ k=0 1 k! ( ∞∑ n=0 knxn n! ) = ∞∑ n=0 ( ∞∑ k=0 kn k! ) xn n! = e + ( ∞∑ k=0 k k! ) x + ( ∞∑ k=0 k2 k! ) x2 2! + ( ∞∑ k=0 k3 k! ) x3 3! + . . . Transformationssatz für Potenzreihen Der folgende Satz ist als Transformationssatz für Potenzreihen bekannt. Er gibt darüber Auskunft, wie sich die Koeffizienten einer Potenzreihe verändern, wenn man zu einem anderen Entwicklungspunkt übergeht: Satz 17.21 (Transformationssatz für Potenzreihen) Es sei ∞∑ k=0 ak(x − x0)k eine Potenzreihe mit Konvergenzradius R > 0 und x1 ∈ (x0 − R, x0 + R). Dann gilt ∞∑ n=0 an(x − x0)n = ∞∑ k=0 bk(x − x1)k mit bk := ∞∑ n=k ( n k ) an(x1 − x0)n−k (17.37) für alle x ∈ R mit |x − x1| < R − |x1 − x0|. 507 Kapitel 17 Taylor-Formel und Potenzreihen Beweis: Es gelte x, x1 ∈ (x0 −R, x0 +R). Mit dem Binomischen Lehrsatz (5.11) erhält man ∞∑ n=0 an(x − x0)n = ∞∑ n=0 an ( (x − x1)+ (x1 − x0) )n (17.38) = ∞∑ n=0 n∑ k=0 an ( n k ) (x1 − x0)n−k(x − x1)k. Da aber n∑ k=0 |an| ( n k ) |x1 − x0|n−k |x − x1|k=|an| (|x−x1| + |x1−x0| )n gilt und die Reihe ∑∞ n=0 |an| (|x − x1| + |x1 − x0| )n für alle x∈R mit |x − x1|+|x1−x0| 0 wünschenswerte analytische Eigenschaften. Denn sie ist sowohl stetig als auch unendlich oft differenzierbar: Satz 17.22 (Stetigkeit und Differenzierbarkeit von Potenzreihen) Es sei ∞∑ k=0 ak(x − x0)k eine Potenzreihe mit Konvergenzradius R > 0. Dann gilt: a) Die Summenfunktion f ist stetig. b) Die Summenfunktion f ist unendlich oft differenzierbar. Die Ableitungen können durch gliedweise Differentiation berechnet werden und die m-te Ableitung ist für x ∈ (x0 − R, x0 + R) gegeben durch f (m)(x) = m! ∞∑ k=m ak ( k m ) (x − x0)k−m (17.39) für alle m ∈ N. Beweis: Zu a): Es sei x1 ∈ (x0 −R, x0 +R) beliebig gewählt. Dann folgt mit Satz 17.21, dass die Summenfunktion f in einer hinreichend kleinen δ-Umgebung (x1−δ, x1+δ) von x1 in eine Potenzreihe um den Entwicklungspunkt x1 entwickelt werden kann. Das heißt, es gilt dann f (x) = ∞∑ k=0 bk(x − x1)k (17.40) für alle x ∈ (x1 − δ, x1 + δ), wobei die Koeffizienten bk wie in (17.37) angegeben definiert sind. Es wird nun gezeigt, dass limx→x1 f (x) = f (x1) = b0 gilt und damit f an der Stelle x1 stetig ist. Für einen beliebigen Wert ρ ∈ R+ mit ρ < δ gilt, dass die Reihe ∑∞ k=0 |bk |ρk konvergiert. Folglich existiert der Wert r := ∑∞k=1 |bk |ρk−1 und man erhält für x ∈ R mit |x−x1| ≤ ρ die Abschätzung |f (x)− b0| = ∣ ∣∣ ∣∣ ∞∑ k=1 bk(x − x1)k ∣ ∣∣ ∣∣ = ∣ ∣∣ ∣∣ (x − x1) ∞∑ k=1 bk(x − x1)k−1 ∣∣ ∣∣ ∣ ≤ |x − x1|r. Daraus folgt jedoch lim x→x1 f (x) = b0 = f (x1) und damit die Behauptung a). Zu b): Es sei x1 ∈ (x0 − R, x0 + R) wieder beliebig gewählt. Mit der Darstellung (17.40) und f (x1) = b0 erhält man f (x)− f (x1) x − x1 =b1 + b2(x − x1)+ b3(x − x1) 2 + . . .=:g(x). Da jedoch die Stetigkeit von f (vgl. Teil a)) auch die Stetigkeit der reellen Funktion g impliziert, folgt daraus f ′(x1)= lim x→x1 f (x)− f (x1) x − x1 = limx→x1 g(x) = b1. 508 Kapitel 1717.7 Stetigkeit und Differenzierbarkeit von Potenzreihen Die Summenfunktion f ist somit an der Stelle x1 differenzierbar und besitzt dort die erste Ableitung f ′(x1) = b1. Mit der Definition für b1 (vgl. (17.37)) folgt für die erste Ableitung weiter f ′(x1) = b1 = ∞∑ n=1 ( n 1 ) an(x1 − x0)n−1. Durch Induktion erhält man, dass f unendlich oft differenzierbar und dass die m-te Ableitung durch (17.39) gegeben ist. Der Nutzen des Satzes 17.22 bei der Herleitung interessanter Identitäten für reelle Funktionen zeigt sich im folgenden Beispiel: Beispiel 17.23 (Differenzieren von Potenzreihen) a) Durch zweifache Differentiation der geometrischen Reihe 11−x = ∑∞ k=0 x k für x ∈ (−1, 1) (vgl. Tabelle 17.1) erhält man für x ∈ (−1, 1) die Potenzreihen: 1 (1 − x)2 = ∞∑ k=1 kxk−1 = 1 + 2x + 3x2 + 4x3 + . . . 1 (1 − x)3 = 1 2 ∞∑ k=2 k(k − 1)xk−2 = 1 + 3x + 6x2 + 10x3 + . . . b) Durch zweifache Differentiation der Logarithmusreihe ln(1 + x) = ∑∞k=1 (−1) k+1xk k für x ∈ (−1, 1] (vgl. Tabelle 17.1) erhält man für x ∈ (−1, 1) die Potenzreihen: 1 1 + x = ∞∑ k=1 (−1)k+1xk−1 = ∞∑ k=0 (−1)kxk = 1 − x + x2 − x3 + . . . − 1 (1 + x)2 = ∞∑ k=1 (−1)kkxk−1 = −1 + 2x − 3x2 + 4x3 − . . . c) Durch Differentiation der Potenzreihe arcsin(x) =∑∞ k=0 (2k)! 22k (k!)2 x2k+1 2k+1 für x ∈ [−1, 1] (vgl. Tabelle 17.1) erhält man für x ∈ (−1, 1) die Potenzreihe 1√ 1 − x2 = ∞∑ k=0 (2k)! 22k(k!)2 x 2k = 1+ 1 2 x2+ 3 8 x4+ 5 16 x6+. . . d) Durch n-fache Differentiation der Potenzreihe h(x) = eex = e + ( ∞∑ k=0 k k! ) x + ( ∞∑ k=0 k2 k! ) x2 2! + ( ∞∑ k=0 k3 k! ) x3 3! + . . . (vgl. Beispiel 17.20e)) und anschließendes Einsetzen von x = 0 erhält man h(n)(0) = ∞∑ k=0 kn k! für n ∈ N0. Daraus resultieren die interessanten Beziehungen ∞∑ k=0 k2 k! = 2e, ∞∑ k=0 k3 k! = 5e, ∞∑ k=0 k4 k! = 15e usw. Mit Satz 17.22b) erhält man für die m-te Ableitung der Summenfunktion f (x) = ∑∞k=0 ak(x−x0)k an der Entwicklungsstelle x0 f (m)(x0) = m!am und damit am = f (m)(x0) m! für alle m ∈ N0. Die Summenfunktion f besitzt somit die Taylor-Reihendarstellung f (x) = ∞∑ k=0 f (k)(x0) k! (x − x0) k. Dies zeigt, dass eine Potenzreihe stets die Taylor-Reihe ihrer Summenfunktion f ist. Daraus erhält man unmittelbar den folgenden Eindeutigkeitssatz für Potenzreihen: Satz 17.24 (Eindeutigkeitssatz für Potenzreihen) Die Potenzreihen ∑∞ k=0 ak(x−x0)k und ∑∞ k=0 bk(x−x0)k besitzen einen positiven Konvergenzradius und ihre Summenfunktionen stimmen auf einem Intervall (x0−δ, x0+δ) mit δ > 0 überein. Dann sind die beiden Potenzreihen identisch und es gilt für alle k ∈ N0: ak = bk = f (k)(x0) k! Beweis: Folgt direkt aus den Überlegungen vor Satz 17.24. 509 Kapitel 17 Taylor-Formel und Potenzreihen Der Eindeutigkeitssatz 17.24 ist für das Rechnen mit Potenzreihen von großer Bedeutung. Denn soll eine vorgegebene reelle Funktion f in eine Potenzreihe mit dem Entwicklungspunkt x0 entwickelt werden, so ist dies nach Satz 17.24 – wenn überhaupt – nur auf eine Weise möglich, nämlich als Taylor-Reihe. Büste von N. H. Abel Zum Abschluss der Ausführungen zu Potenzreihen soll nicht unerwähnt bleiben, dass der nach dem norwegischen Mathematiker Niels Henrik Abel (1802–1829) benannte Grenzwertsatz von Abel besagt, dass die Summenfunktion f (x) = ∑∞k=0 ak(x − x0)k einer Potenzreihe mit Konvergenzradius R > 0 sogar auf die Ränder x0−R und/oder x0+R stetig fortgesetzt werden kann, wenn die Potenzreihe dort konvergiert. Das heißt, ist die Potenzreihe z. B. in der rechten Randstelle x0 + R konvergent, dann ist die Summenfunktion f dort auch stetig. Entsprechendes gilt für die Stetigkeit in der linken Randstelle x = x0 − R (vgl. z. B. Heuser [25], Seiten 379–380). Dieses Ergebnis ist besonders im Zusammenhang mit Taylor- Reihen interessant. Denn ist eine reelle Funktion f auf dem offenen Intervall (x0 −R, x0 +R) in eine Taylor-Reihe entwickelbar, die an einer der beiden Randstellen x0 − R oder x0+R konvergiert, und ist die Funktion f dort zusätzlich stetig, dann konvergiert die Taylor-Reihe an dieser Randstelle gegen den Funktionswert von f . 510

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References

Zusammenfassung

"uneingeschränkt zu empfehlen, [...] insbesondere als Einstiegslektüre im Bachelor-Studium". In: Studium, 2013.

So zentral die Rolle der Mathematik in der Ökonomie ist, so schwer tun sich die Studierenden mit mathematischen Methoden und Konzepten. Umso wichtiger ist es, die Studierenden bei ihrem aktuellen Wissensstand abzuholen und vorsichtig an den Stoff heranzuführen. Diesem Ziel verschreibt sich dieses Lehrbuch. Es führt mit vielen interessanten Beispielen aus der Ökonomie, kurzen Anekdoten und einem modernen mehrfarbigen Design in die zentralen mathematischen Methoden für ein erfolgreiches Wirtschaftsstudium ein, ohne dabei auf mathematische Klarheit sowie die notwendige Formalität und Stringenz zu verzichten. Auch nach dem Studium ist dieses Buch ein wertvoller Begleiter bei der mathematischen Lösung wirtschaftswissenschaftlicher Problemstellungen.

Aus dem Inhalt:

* Mathematische Grundlagen

* Lineare Algebra

* Matrizentheorie

* Folgen und Reihen

* Reellwertige Funktionen in einer und mehreren Variablen

* Differential- und Integralrechnung

* Optimierung mit und ohne Nebenbedingungen

* Numerische Verfahren

Dozenten finden auf der Website zum Buch unter www.vahlen.de zusätzliche Materialien zum Download.

"Indem Sie den Lehrstoff schrittweise aufbereiten und den Leser bei seinem aktuellen Wissenstand abholen, gelingt es ihnen [den Autoren], auch komplexe Zusammenhänge leicht nachvollziehbar zu vermitteln. Geschickt bauen sie immer wieder kurze Anekdoten, historische Ereignisse und überraschende Erkenntnisse in den Text ein". In: Studium, 2013.

Prof. Dr. Michael Merz ist Inhaber des Lehrstuhls für Mathematik und Statistik in den Wirtschaftswissenschaften an der Universität Hamburg. Prof. Dr. Mario V. Wüthrich forscht und lehrt am Department für Mathematik der ETH Zürich.