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6. Kartesische Produkte, Relationen und Abbildungen in:

Michael Merz, Mario V. Wüthrich

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, page 117 - 143

Die Einführung mit vielen ökonomischen Beispielen

1. Edition 2012, ISBN print: 978-3-8006-4482-7, ISBN online: 978-3-8006-4483-4, https://doi.org/10.15358/9783800644834_117

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Kapitel6 Kartesische Produkte, Relationen und Abbildungen Kapitel 6 Kartesische Produkte, Relationen und Abbildungen 6.1 Kartesische Produkte R. Descartes Für die mathematische Definition einer Relation in Abschnitt 6.2 ist der Begriff des kartesischen Produkts – benannt nach dem französischen Philosophen und Mathematiker René Descartes (1596–1650) – eine unverzichtbare Grundlage. In Abschnitt 2.1 wurde bereits erläutert, dass Mengen ungeordnete Zusammenfassungen sind. Damit spielt die Reihenfolge der Elemente bei einer Menge keine Rolle und es gilt somit z. B.: {a, b, c} = {a, c, b} = {b, a, c} = {b, c, a} = {c, a, b} = {c, b, a} In vielen Bereichen oder Fragestellungen, wie z. B. in der Kombinatorik (siehe Abschnitt 5.4), ist auch die Reihenfolge, in der Elemente auftreten, von Bedeutung. In solchen Fällen ist man demnach an geordneten Zusammenfassungen und damit an sogenannten kartesischen Produkten und n-Tupeln interessiert: Definition 6.1 (Kartesisches Produkt und n-Tupel) Es seien M1,M2, . . . ,Mn beliebige Mengen. Dann heißt die Menge n× i=1 Mi := M1 ×M2 × . . .×Mn = {(x1, x2, . . . , xn) : xi ∈ Mi für i = 1, . . . , n} n-faches kartesisches Produkt der Mengen M1,M2, . . . ,Mn. Die Elemente (x1, x2, . . . , xn) von ×ni=1 Mi werden als (geordnete) n-Tupel und xi ∈ Mi wird als die i-te Koordinate von (x1, x2, . . . , xn) bezeichnet. Ein n-Tupel (x1, x2, . . . , xn) ist stets geordnet. Das heißt, es gilt (x1, . . . , xn) = (y1, . . . , yn) ⇐⇒ xi = yi für i = 1, . . . , n. Ist eine der n Mengen M1, . . . ,Mn leer, d. h. gilt Mi = ∅ für mindestens ein i = 1, . . . , n, dann vereinbart man n× i=1 Mi = ∅. Für M1 = . . . = Mn = M schreibt man vereinfachend Mn := n× i=1 Mi. Durch Mn ist somit die Menge aller n-Tupel, deren n Koordinaten x1, x2, . . . , xn Elemente von M sind, gegeben. Die bekanntesten Beispiele für n-fache kartesische Produkte der Form Mn sind: R n Menge aller (geordneten) n-Tupel (x1, . . . , xn) reeller Zahlen R n + Menge aller (geordneten) n-Tupel (x1, . . . , xn) nichtnegativer reeller Zahlen C n Menge aller (geordneten) n-Tupel (x1, . . . , xn) komplexer Zahlen N n Menge aller (geordneten) n-Tupel (x1, . . . , xn) natürlicher Zahlen Z n Menge aller (geordneten) n-Tupel (x1, . . . , xn) ganzer Zahlen Versehen mit einer Addition und einer sogenannten skalaren Multiplikation wird das n-fache kartesische Produkt Rn auch als n-dimensionaler euklidischer Raum bezeichnet (siehe hierzu Abschnitt 7.3). Die wichtigsten Spezialfälle eines n-dimensionalen euklidischen Raums sind die (zweidimensionale) euklidische Ebene R2 und der dreidimensionale euklidische Raum (Anschauungsraum) R3. Für n = 2, 3, 4, 5 spricht man anstelle von einem (geordneten) n-Tupel oft auch von einem (geordneten) Paar (x1, x2), Tripel (x1, x2, x3), Quadrupel (x1, x2, x3, x4) bzw. Quintupel (x1, x2, x3, x4, x5). Von besonders großer Bedeutung ist der Fall n = 2 und damit zweifache kartesische Produkte M×N bestehend aus nur zwei Mengen M und N . Ein solches kartesisches Produkt wird gelesen als „M Kreuz N“ und es gilt im Falle von M,N = ∅: M ×N = N ×M ⇐⇒ M = N Das heißt, im Falle von nichtleeren Mengen M und N mit M = N gilt M ×N = N ×M (vgl. auch Beispiel 6.3a)). Für die Anzahl der Elemente eines n-fachen kartesischen Produkts ×ni=1 Mi erhält man den folgenden Satz: 106 Kapitel 66.2 Relationen Satz 6.2 (Mächtigkeit eines kartesischen Produkts) Es seien M1, . . . ,Mn endliche Mengen mit |Mi | = mi für alle i = 1, . . . , n. Dann gilt: a) ∣∣∣∣ n× i=1 Mi ∣∣∣∣ = n∏ i=1 mi < ∞ b) ∣∣∣∣ n× i=1 Mi ∣∣∣∣ = 0, falls Mi = ∅ für ein i = 1, . . . , n Beweis: Die Gültigkeit dieser Aussage ist offensichtlich und ein formaler Beweis kann leicht mittels vollständiger Induktion nach n geführt werden. Beispiel 6.3 (Kartesische Produkte) a) Gegeben seien M = {a, b, c} und N = {x, y}. Dann gilt: M ×N={(a, x), (a, y), (b, x), (b, y), (c, x), (c, y)} N ×M={(x, a), (x, b), (x, c), (y, a), (y, b), (y, c)} Damit gilt |M×N | = |N ×M| = 6, aber M×N = N ×M (vgl. Abbildung 6.1, links). b) Es sei M = {0, 1}. Dann gilt M3 = M ×M ×M = {(0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1)} M N x y a b c M N 1 1 Abb. 6.1: Veranschaulichung der kartesischen Produkte M×N mit M = {a, b, c} und N = {x, y} (links) und M×N mit M = N = [0, 1] (rechts) und ∣∣M3 ∣∣ = 8. Die Elemente von M3 sind die Eckpunkte des Einheitswürfels im R3. c) Gegeben seien M = [0, 1] und N = [0, 1]. Dann ist M ×N = M2 = [0, 1]2 = {(x, y) : 0 ≤ x, y ≤ 1} das Einheitsquadrat in der euklidischen Ebene R2 (vgl. Abbildung 6.1, rechts). d) Gegeben seien M = {xi : i-ter Auftrag} und N = {yj : j -te Maschine}. Dann enthält das kartesische Produkt M ×N = {(xi, yj ) : xi ∈ M und yj ∈ N} alle möglichen Zuordnungen der vorhandenen Aufträge xi zu den verschiedenen Maschinen yj . 6.2 Relationen Viele Vorgänge und Tätigkeiten im täglichen Leben, oder speziell in den Wirtschaftswissenschaften, haben in der einen oder anderen Weise etwas mit Ordnen, Vergleichen oder Klassifizieren zu tun. So werden in der Investitionsrechnung verschiedene zur Auswahl stehende Investitionen oftmals anhand ihres erwarteten diskontierten Cashflows geordnet oder in Personalabteilungen erfolgt die Klassifikation und Auswahl von Bewerbungen auf eine offene Stelle nach verschiedenen Kriterien. 107 Kapitel 6 Kartesische Produkte, Relationen und Abbildungen Alle diese Vorgänge und Tätigkeiten haben offensichtlich gemeinsam, dass Elemente aus einer gegebenen Menge von Alternativen oder Objekten, wie zum Beispiel der Menge der zur Auswahl stehenden Investitionen oder der Menge der Bewerber und Bewerberinnen auf eine offene Stelle, anhand von objektiven oder subjektiven Kriterien in Beziehung, d. h. in Relation zueinander gesetzt werden. Durch den mathematischen Begriff der Relation wird ein abstrakter Rahmen zur Analyse solcher Beziehungen zwischen gegebenen Objekten oder Alternativen bereitgestellt. Dabei handelt es sich um Teilmengen R von (geordneten) Paaren (x, y) eines kartesischen Produkts M × N . Aufgrund ihrer Allgemeinheit gehört die Relation zu den wichtigsten mathematischen Begriffen. So wird sich u. a. zeigen, dass Funktionen (Abbildungen) nichts anderes als Relationen mit einer speziellen zusätzlichen Eigenschaft sind. Definition 6.4 (Relation) Gegeben seien zwei nichtleere Mengen M und N . Dann heißt eine Teilmenge R des kartesischen Produkts M × N Relation von der Menge M in die Menge N . Für die Elemente von R schreibt man (x, y) ∈ R und sagt „x steht in Relation R zu y“. Gilt (x, y) ∈ R, dann sagt man „x steht nicht in Relation R zu y“. Für M = N wird R ⊆ M ×M als Relation auf der Menge M bezeichnet und man schreibt dann auch x R y. M N 1 2 4 − 2 − 1 0 1 2 1 2 3 4 5 Abb. 6.2: Veranschaulichung der Relationen R = {(−2, 4), (−1, 1), (0, 1), (1, 2), (2, 4)} ⊆ {−2,−1, 0, 1, 2} × {1, 2, 4} (links) und R = {(x, y) ∈ R× N : x ≤ y} ⊆ R× N (rechts) Der mathematische Relationsbegriff ist offenbar so allgemein, dass auch so „exotische“ Teilmengen wie die leere Menge ∅ und das kartesische Produkt M × N jeweils eine Relation R von der Menge M in die Menge N darstellen. Im ersten Fall existiert dann kein Paar (x, y) mit der Eigenschaft, dass x ∈ M in Relation R zu y ∈ N steht, während im zweiten Fall jedes x ∈ M mit jedem y ∈ N in Relation R steht. Diese beiden Extremfälle von Relationen sind jedoch meistens uninteressant. Von Bedeutung sind vor allem Relationen R, die durch nichtleere echte Teilmengen eines zweifachen kartesischen Produkts M×N gegeben sind. Bei einem kartesischen Produkt M×N mit |M×N | = n Elementen können insgesamt 2n verschiedene RelationenR ⊆ M×N gebildet werden. In diesem Fall besitzt nämlich die Potenzmenge P(M×N) von M×N gemäß Satz 2.9 genau 2n Elemente und es können somit 2n verschiedene Teilmengen, d. h. Relationen R ⊆ M ×N , gebildet werden. Bei einer Teilmenge R ⊆ M × N wird anstelle von Relation manchmal auch genauer von binärer Relation gesprochen. Dadurch wird dann ausgedrückt, dass in Definition 6.4 lediglich (geordnete) Paare (x, y) betrachtet werden. Völlig analog können aber auch dreistellige Relationen als Teilmengen eines dreifachen kartesischen Produkts M1 ×M2 ×M3 oder allgemein n-stellige Relationen als Teilmengen eines nfachen kartesischen Produkts ×ni=1 Mi definiert werden. Binäre Relationen, d. h. der Fall n = 2, stellen jedoch den weitaus bedeutendsten Fall dar. Aus diesem Grund werden 108 Kapitel 66.2 Relationen im weiteren Verlauf dieses Lehrbuchs ausschließlich binäre Relationen betrachtet und – wie allgemein üblich – kurz als Relationen bezeichnet. Falls M und N Mengen von Zahlen sind, kann eine Relation R ⊆ M×N durch einen sogenannten Relationsgraphen veranschaulicht werden. Siehe hierzu das folgende Beispiel 6.5 und die Abbildungen 6.2 und 6.3. Beispiel 6.5 (Relationen) a) Betrachtet werden M = {−2,−1, 0, 1, 2} und N = {1, 2, 4}. Dann ist R={(−2, 4), (−1, 1), (0, 1), (1, 2), (2, 4)}⊆M×N eine Relation von der Menge M in die Menge N (vgl. Abbildung 6.2, links). b) Gegeben seien M = R und N = N. Dann ist R = {(x, y) ∈ R× N : x ≤ y} ⊆ R× N eine Relation von der Menge R in die MengeN. Zwei Elemente x ∈ R und y ∈ N stehen somit genau dann in der Relation R zueinander, wenn x ≤ y gilt (vgl. Abbildung 6.2, rechts). c) Es sei M = N = R. Dann ist R = {(x, y) ∈ R2 : y = x2} ⊆ R2 eine Relation auf der Menge R. Zwei Elemente x, y ∈ R stehen somit genau dann in der Relation 1 2 3 4 0 1 2− 1− 2 M M 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 Abb. 6.3: Veranschaulichung der Relationen R = {(x, y) ∈ R2 : y = x2} (links) und R = {(x, x) : x ∈ M} (rechts) R zueinander, also x R y, wenn y = x2 gilt. Damit enthält die Menge R alle Zahlenpaare (x, y) ∈ R2, die auf der Normalparabel mit dem Scheitel im Nullpunkt (0, 0) liegen (vgl. Abbildung 6.3, links). d) Es seien M und N die nichtleeren Mengen der Studentinnen bzw. Studenten der Vorlesung „Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler“. Dann ist R = {(x, y) ∈ M ×N : Studentin x ist eine Verwandte von Student y } eine Teilmenge von M ×N , also eine Relation von der Menge M in die Menge N . e) Es sei M eine nichtleere Menge. Dann ist R = {(x, x) : x∈M} ⊆ M2 eine Relation auf der Menge M . Diese Relation heißt Gleichheitsrelation auf M . Zwei Elemente x, y ∈ M stehen somit genau dann in der Relation R zueinander, also x R y, wenn y = x gilt (vgl. Abbildung 6.3, rechts). f) Es sei M die nichtleere Menge aller Schüler der Bismarckschule Elmshorn. Dann ist R = {(x, y) ∈ M ×M : Schüler x und Schüler y gehen in dieselbe Klasse } eine Teilmenge von M2 und damit eine Relation auf der Menge M . 109 Kapitel 6 Kartesische Produkte, Relationen und Abbildungen g) Es sei M eine nichtleere Menge von Mengen. Dann ist R = {(A,B)∈M×M : Menge A ist gleichmächtig zur Menge B } eine Teilmenge von M2 und damit eine Relation auf der Menge M (zum Begriff der Gleichmächtigkeit von Mengen siehe Definition 3.18). Umkehrrelationen Zu jeder Relation R ⊆ M×N existiert eine sogenannte Umkehrrelation R−1 ⊆ N ×M . Durch sie wird die umgekehrte Relation zwischen den Elementen von M und N zum Ausdruck gebracht: Definition 6.6 (Umkehrrelation) Ist R ⊆ M × N eine Relation von der Menge M in die Menge N , dann heißt R−1 := {(y, x) : (x, y) ∈ R} ⊆ N ×M Umkehrrelation (inverse Relation) von R. Offensichtlich gilt stets ( R−1 )−1 = R. Im folgenden Beispiel werden die Umkehrrelationen der fünf Relationen aus Beispiel 6.5 explizit angegeben: Beispiel 6.7 (Umkehrrelationen) a) Die Umkehrrelation R−1 der Relation R = {(−2, 4), (−1, 1), (0, 1), (1, 2), (2, 4)} von Beispiel 6.5a) ist gegeben durch R−1 = {(4,−2), (1,−1), (1, 0), (2, 1), (4, 2)}. b) Die Umkehrrelation R−1 der Relation R = {(x, y) ∈ R×N : x ≤ y} von Beispiel 6.5b) ist gegeben durch R−1 = {(y, x) ∈ N× R : y ≥ x} . Den Graphen der Umkehrrelation R−1 erhält man durch Spiegelung des Graphen von R an der Geraden y = x und umgekehrt. c) Die Umkehrrelation R−1 der Relation R = {(x, y) ∈ R 2 : y = x2} von Beispiel 6.5c) ist gegeben durch R−1 = {(y, x) ∈ R2 : y = x2} . Den Graphen der Umkehrrelation R−1 erhält man wieder durch Spiegelung des Graphen von R an der Geraden y = x und umgekehrt. d) Die Umkehrrelation R−1 der Relation R von Beispiel 6.5d) ist gegeben durch R−1 = {(y, x) ∈ N×M : Student y ist ein Verwandter von Studentin x } . e) Die Umkehrrelation R−1 der Relation R = {(x, x) : x ∈ M} von Beispiel 6.5e) ist gegeben durch R−1 = {(x, x) : x ∈ M} = R. Das heißt, die Umkehrrelation R−1 der Gleichheitsrelation R auf einer Menge M stimmt mit der Gleichheitsrelation R überein. Eigenschaften von Relationen Von besonderem Interesse sind Relationen R ⊆ M ×M , d. h. Relationen auf einer Menge M , mit besonderen Eigenschaften. Zum Beispiel handelt es sich bei sogenannten Äquivalenzrelationen (siehe Abschnitt 6.3), Ordnungsrelationen (siehe Abschnitt 6.4) und Präferenzrelationen (siehe Abschnitt 6.5) stets um Relationen R ⊆ M ×M mit speziellen zusätzlichen Eigenschaften. Die folgende Definition fasst die wichtigsten Eigenschaften zusammen, die eine Relation R ⊆ M ×M aufweisen kann: Definition 6.8 (Eigenschaften von Relationen) Eine Relation R ⊆ M ×M heißt: a) reflexiv, falls (x, x) ∈ R für alle x ∈ M b) transitiv, falls (x, y)∈R∧ (y, z) ∈ R ⇒ (x, z)∈R für alle x, y, z ∈ M c) symmetrisch, falls (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ R für alle x, y ∈ M d) antisymmetrisch, falls (x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R ⇒ x = y für alle x, y ∈ M e) vollständig, falls (x, y) ∈ R ∨ (y, x) ∈ R für alle x, y ∈ M 110 Kapitel 66.2 Relationen Bei einer gegebenen Relation R ⊆ M×M können die Eigenschaften aus Definition 6.8 in der Regel direkt nachgeprüft werden. Für den sehr häufigen Fall, dass es sich bei M um eine Menge von reellen Zahlen handelt und somit die Relation R durch einen Relationsgraphen in der euklidischen Ebene R 2 dargestellt werden kann, lässt sich hierzu sehr bequem der Relationsgraph von R verwenden: Die Eigenschaft der Reflexivität von R bedeutet dann, dass alle Punkte (x, y) auf der Diagonalen {(x, x) : x ∈ M} zur Relation R gehören. Symmetrie liegt bei einer Relation R vor, wenn mit jedem Punkt (x, y) auch der an der Diagonalen {(x, x) : x ∈ M} gespiegelte Punkt (y, x) zur Relation R zählt. Dagegen besagt die Eigenschaft der Antisymmetrie, dass für einen nicht auf der Diagonalen {(x, x) : x ∈ M} liegenden Punkt (x, y) aus R niemals auch der an der Diagonalen {(x, x) : x ∈ M} gespiegelte Punkt (y, x) ein Element der Relation R ist. Eine Relation R ist schließlich vollständig, wenn von zwei zur Diagonalen {(x, x) : x ∈ M} spiegelbildlich liegenden Punkten (x, y) und (y, x) stets mindestens einer zur Relation R gehört. Dies heißt insbesondere, dass bei einer vollständigen Relation R stets auch die Punkte auf der Diagonalen {(x, x) : x ∈ M} zu R zählen. Damit ist jede vollständige Relation R auch reflexiv. Die Eigenschaft der Transitivität von R lässt sich dagegen nicht so einfach aus dem Relationsgraphen ablesen. Eine Relation R ist transitiv, wenn für zwei Punkte (x, y) und (y, z) aus R stets auch der Punkt (x, z) zur Relation R gehört. Im folgenden Beispiel werden die Relationen aus Beispiel 6.5c), e), f) und g) auf das Vorhandensein der verschiedenen Eigenschaften in Definition 6.8 untersucht: Beispiel 6.9 (Eigenschaften von Relationen) a) Die Relation R = {(x, y) ∈ R2 : y = x2} in Beispiel 6.5c) ist nicht reflexiv, nicht transitiv, nicht symmetrisch und nicht vollständig. Dies lässt sich leicht mit Hilfe von Abbildung 6.3, links verifizieren. Die Relation R ist jedoch antisymmetrisch. Denn gilt sowohl (x, y) ∈ R als auch (y, x) ∈ R, dann bedeutet dies, dass y = x2 und x = y2 gilt. Dies impliziert jedoch die Gleichung y = y4, welche nur für die reelle Zahl y = 1 erfüllt ist. Wegen x = y2 folgt daraus aber auch x = 1 und somit x = y. Das heißt, die Relation R ist antisymmetrisch. b) Die Relation R = {(x, x) : x ∈ M} in Beispiel 6.5e) ist reflexiv, symmetrisch, transitiv und antisymmetrisch, wie sich leicht mit Hilfe von Abbildung 6.3, rechts verifizieren lässt. Sie ist jedoch nicht vollständig. Denn z. B. gilt weder (1, 2) ∈ R noch (2, 1) ∈ R. c) Die Relation R in Beispiel 6.5f) ist reflexiv, symmetrisch und transitiv. Denn offensichtlich geht ein Schüler x stets in dieselbe Klasse wie er selbst (Reflexivität). Geht ein Schüler x in dieselbe Klasse wie ein Schüler y, dann geht auch der Schüler y in dieselbe Klasse wie Schüler x (Symmetrie). Gehen schließlich zwei Schüler x und y sowie zwei Schüler y und z jeweils in dieselbe Klasse, dann gehen auch x und z in dieselbe Klasse (Transitivität). Besitzt die Bismarckschule Elmshorn mindestens eine Klasse mit mindestens zwei Schülern, dann ist die Relation R nicht antisymmetrisch. Die Relation R ist im Allgemeinen auch nicht vollständig, wenn die Bismarckschule Elmshorn mindestens zwei Klassen besitzt. d) Die Relation R in Beispiel 6.5g) ist reflexiv, symmetrisch und transitiv. Denn offensichtlich ist eine Menge A stets gleichmächtig zu sich selbst (Reflexivität). Ist eine Menge A gleichmächtig zu einer Menge B, dann ist die Menge B auch gleichmächtig zur Menge A (Symmetrie). Sind schließlich zwei Mengen A und B sowie zwei Mengen B und C gleichmächtig, dann sind auch A und C gleichmächtig (Transitivität). Im Allgemeinen ist die Relation R nicht antisymmetrisch und auch nicht vollständig. Das folgende Beispiel aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung demonstriert, dass im Allgemeinen Wahrscheinlichkeiten nicht transitiv sind. Dies mag vielen überraschend erscheinen: Beispiel 6.10 (Wahrscheinlichkeiten sind nicht transitiv) Betrachtet werden drei Würfel A, B und C, bei denen zwei gegen- überliegende Seiten jeweils dieselbe Zahl anzeigen. Es wird weiter angenommen, dass der Würfel A mit den Zahlen 3, 4, 8, der Würfel B mit den 111 Kapitel 6 Kartesische Produkte, Relationen und Abbildungen Zahlen 2, 6, 7 und der Würfel C mit den Zahlen 1, 5, 9 beschriftet ist. Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses, dass bei einem Wurf von A und B der Würfel A eine grö- ßere Zahl als der Würfel B anzeigt, sind alle Paare (x, y) des kartesischen Produkts {3, 4, 8}× {2, 6, 7} zu bestimmen, für die x > y gilt. Da dies genau für die fünf Paare (3, 2), (4, 2), (8, 2), (8, 6) und (8, 7) gilt, aber ingesamt |{3, 4, 8} × {2, 6, 7}| = 9 verschiedene Paare (x, y) möglich sind (vgl. Satz 6.2a)), erhält man für die gesuchte Wahrscheinlichkeit den Wert 59 (vgl. (5.17)). Analog erhält man, dass bei einem Wurf der beiden Würfel B und C der Würfel B sowie bei einem Wurf der beiden Würfel C und A der Würfel C jeweils mit der Wahrscheinlichkeit 5 9 eine größere Zahl aufweist. Die Relation R, die zwei Würfel genau dann in Beziehung zueinander setzt, wenn der erste Würfel eine höhere Gewinnchance besitzt als der zweite Würfel, ist somit nicht transitiv. Diese Nichttransitivität der Gewinnchancen kann leicht zur Konstruktion von unfairen Spielen eingesetzt werden. Zum Beispiel hat in einem Würfelspiel, bei dem der erste Spieler den Würfel auswählen darf, der zweite Spieler den Vorteil, dass er stets einen Würfel mit einer höheren Gewinnchance auswählen kann. Denn wählt der erste Spieler den Würfel A, dann ist für den zweiten Spieler der Würfel C vorteilhaft. Wählt der erste Spieler dagegen den Würfel B, dann wählt der zweite Spieler klugerweise den Würfel A und wählt der erste Spieler den Würfel C, dann ist der zweite Spieler mit dem Würfel B gut beraten. In den folgenden drei Abschnitten 6.3, 6.4 und 6.5 werden mit den Äquivalenzrelationen, Ordnungsrelationen und Präferenzrelationen drei wichtige Klassen von Relationen betrachtet. 6.3 Äquivalenzrelationen Für Anwendungen in den Wirtschaftswissenschaften ist die Klasse der Äquivalenzrelationen von besonders großer Bedeutung. Der Begriff der Äquivalenzrelation ist dabei folgt definiert: Definition 6.11 (Äquivalenz- und Identitätsrelation) Eine Relation R ⊆ M × M heißt Äquivalenzrelation auf M , wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist. Für die Elemente (x, y) von R schreibt man dann oftmals x ∼ y und sagt, x ist äquivalent zu y. Ist eine Äquivalenzrelation R zusätzlich antisymmetrisch, dann wird sie als Identitätsrelation bezeichnet. IstR eine Äquivalenzrelation aufM , dann wird für ein x ∈ M die Menge [x] := {y ∈ M : x ∼ y} als die Äquivalenzklasse zu x bezeichnet. Sie enthält alle zu x äquivalenten Elemente aus M . Wegen der Reflexivität einer Äquivalenzrelation gilt stets x ∈ [x], d. h. Äquivalenzklassen sind stets nichtleere Mengen. Die Elemente einer Äquivalenzklasse [x] heißen Vertreter oder Repräsentanten dieser Äquivalenzklasse. Enthält eine Menge B ⊆ M aus jeder Äquivalenzklasse [x] genau ein Element, dann wird die Teilmenge B als vollständiges Repräsentantensystem für die Relation R bezeichnet. Ist eine Äquivalenzrelation R auf M zusätzlich antisymmetrisch, dann folgt aus (x, y) ∈ R, dass x = y gelten muss. Das heißt, bei einer Identitätsrelation sind die Äquivalenzklassen [x] die einelementigen Teilmengen {x} von M . Beispiel 6.12 (Äquivalenz- und Identitätsrelationen) a) Die Relation R = {(x, y) ∈ R2 : y = x2} in Beispiel 6.5c) ist keine Äquivalenzrelation (vgl. auch Beispiel 6.9a)). b) Die Relation R = {(x, x) : x ∈ M} in Beispiel 6.5e) ist eine Äquivalenzrelation. Da R auch antisymmetrisch ist, handelt es sich sogar um eine Identitätsrelation (vgl. auch Beispiel 6.9b)). Die Äquivalenzklassen [x] dieser Äquivalenzrelation sind somit die einelementigen Teilmengen {x} von M . c) Die Relation R in Beispiel 6.5f) ist eine Äquivalenzrelation. Da R aber nicht antisymmetrisch ist, handelt es sich um keine Identitätsrelation (vgl. auch Beispiel 6.9c)). Die Äquivalenzklassen [x] sind gegeben durch die Schulklassen des Bismarckschule Elmshorn. 112 Kapitel 66.3 Äquivalenzrelationen d) Die Relation R in Beispiel 6.5g) ist eine Äquivalenzrelation. Da R aber nicht antisymmetrisch ist, handelt es sich wieder um keine Identitätsrelation (vgl. auch Beispiel 6.9d)). Eine Äquivalenzklasse [x] von M besteht aus Mengen gleicher Mächtigkeit. e) Die Relation auf M = {x1, x2, x3, x4, x5, x6} sei gegeben durch die Abbildung 6.4, links. Es ist zu erkennen, dass es sich bei R um eine Äquivalenzrelation handelt. Wegen x1 ∼ x1 und x1 ∼ x4, aber x1 ∼ x2, x1 ∼ x3, x1 ∼ x5 und x1 ∼ x6 ist die Äquivalenzklasse von x1 gegeben durch [x1] = {x1, x4}. Analog erhält man [x1] = [x4] = {x1, x4} , [x2] = [x3] = [x5] = {x2, x3, x5} und [x6] = {x6} . Die Äquivalenzklassen sind nach Umsortierung leicht zu erkennen (Abbildung 6.4, rechts). Bei näherer Betrachtung des Beispiels 6.12b)–d) fällt auf, dass die auftretenden Äquivalenzklassen paarweise disjunkt sind und ihre Vereinigung jeweils die Ausgangsmenge M ergibt. Das heißt, durch die Äquivalenzklassen wird die jeweilige Menge M in paarweise disjunkte Teilmengen „zerlegt“. Die Äquivalenzklassen bilden somit eine Partition (Zerlegung)P(M) der jeweiligen MengeM (zum Begriff der Partition siehe Abschnitt 2.5). Das folgende Resultat zeigt, dass alle Äquivalenzrelationen diese Eigenschaft besitzen: M M x1 x2 x3 x4 x5 x6 x1 x2 x3 x4 x5 x6 M M x1 x4 x2 x3 x5 x6 x1 x4 x2 x3 x5 x6 Abb. 6.4: Veranschaulichung einer ÄquivalenzrelationR auf einer MengeM (links) und ihre Umsortierung zum besseren Erkennen der Äquivalenzklassen (rechts) Satz 6.13 (Äquivalenzrelationen liefern Partitionen) Es sei ∼ eine Äquivalenzrelation auf der Menge M . Dann gilt: a) x ∼ y ⇐⇒ [x] = [y] für alle x, y ∈ M b) [x] = [y] oder [x] ∩ [y] = ∅ für alle x, y ∈ M c) M = ⋃ x∈M [x] Demnach bilden die Äquivalenzklassen eine Partition P(M) der Menge M . Beweis: Zu a): Es gelte zunächst [x] = [y]. Dann folgt y ∈ [y] = [x] und damit y ∼ x, woraus x ∼ y folgt. Umgekehrt gelte nun x ∼ y. Für ein beliebiges a ∈ [x] gilt a ∼ x. Zusammen mit der Transitivität einer Äquivalenzrelation impliziert dies a ∼ y und damit auch a ∈ [y]. Es gilt somit [x] ⊆ [y]. Völlig analog zeigt man [y] ⊆ [x] und damit insbesondere [x] = [y]. Zu b): Es sei angenommen, dass [x]∩[y] = ∅ gilt. Dann existiert ein a ∈ [x] ∩ [y]. Für dieses Element gilt a ∼ x und a ∼ y bzw. wegen der Symmetrie einer Äquivalenzrelation auch x ∼ a und a ∼ y. Mit der Transitivität einer Äquivalenzrelation folgt daraus weiter x ∼ y bzw. mit Teil a) schließlich [x] = [y]. Zu c) Die Aussage M = ⋃ x∈M [x] folgt unmittelbar aus x ∈ [x] und [x] ⊆ M für alle x ∈ M . Eine Äquivalenzrelation R auf einer Menge M liefert somit stets eine Partition P(M) von M , d. h. eine Zerlegung von M in disjunkte Äquivalenzklassen. Der folgende Satz be- 113 Kapitel 6 Kartesische Produkte, Relationen und Abbildungen sagt, dass auch die Umkehrung dieser Aussage gilt. Das heißt, durch eine Partition P(M) von M wird stets auch eine Äquivalenzrelation R festgelegt. Satz 6.14 (Partitionen liefern Äquivalenzrelationen) Es sei P(M) = {Ai : Ai ⊆ M und i ∈ I } eine Partition der nichtleeren Menge M . Dann ist die Relation R = {(x, y) ∈ M ×M : es gibt ein i ∈ I mit x, y ∈ Ai} eine Äquivalenzrelation auf M mit den Äquivalenzklassen (Ai)i∈I . Beweis: Für den ersten Teil der Aussage ist zu zeigen, dass die Relation R reflexiv, symmetrisch und transitiv ist. Reflexivität: Wegen M = ⋃i∈I Ai gibt es zu jedem x ∈ M einen Index i ∈ I mit x ∈ Ai . Das heißt, es gilt (x, x) ∈ R. Symmetrie: Gilt (x, y) ∈ R, dann ist auch (y, x) ∈ R erfüllt. Dies folgt unmittelbar aus der Definition von R. Transitivität: Es gelte x, y, z ∈ M sowie (x, y) ∈ R und (y, z) ∈ R. Dann gibt es ein i ∈ I mit x, y ∈ Ai und einen Index j ∈ I mit y, z ∈ Aj . Somit gilt insbesondere y ∈ Ai ∩Aj . Wegen Ai ∩ Aj = ∅ für i = j muss aber i = j gelten. Das heißt, es existiert ein i ∈ I mit x, y, z ∈ Ai und folglich gilt auch (x, z) ∈ R. Bei R handelt es sich somit um eine Äquivalenzrelation. Für den zweiten Teil der Aussage ist zu zeigen, dass die Äquivalenzrelation R die Äquivalenzklassen (Ai)i∈I besitzt. Hierzu sei x ∈ M beliebig gewählt. Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Index i ∈ I mit der Eigenschaft x ∈ Ai und für die Äquivalenzklasse von x gilt [x] = {y ∈ M : (x, y) ∈ R} = Ai . Bezüglich einer Äquivalenzrelation R werden Elemente derselben Äquivalenzklasse als gleichwertig (äquivalent) und Elemente verschiedener Äquivalenzklassen als nicht gleichwertig betrachtet. Das heißt, durch eine Äquivalenzrelation wird der kognitive Prozess einer Identifizierungsabstraktion (mathematisch) formalisiert. Klasseneinteilungen – und damit nach Satz 6.14 auch Äquivalenzrelationen – spielen im täglichen Leben eine wichtige Rolle. Sie werden jedoch sehr häufig durchgeführt, ohne dass man sich ihrer so richtig bewusst ist. Zum Beispiel ist die Einteilung von Büchern einer Bibliothek nach Fachgruppen oder die Einteilung der Jahrestage nach Monaten eine Klasseneinteilung bzw. Äquivalenzrelation. 6.4 Ordnungsrelationen Eine weitere bedeutende Klasse von Relationen sind die Ordnungsrelationen, die wie folgt definiert sind: Definition 6.15 (Präordnungs- und Ordnungsrelation sowie Totalordnung) Eine Relation R ⊆ M × M heißt Präordnungsrelation auf M , wenn sie reflexiv und transitiv ist. Ist eine Präordnungsrelation R auf M zusätzlich antisymmetrisch, dann heißt sie Ordnungsrelation auf M und für die Elemente (x, y) von R schreibt man dann oftmals x ≤ y und sagt, dass x kleiner gleich y ist. Eine Ordnungsrelation R auf M heißt vollständig oder Totalordnung, falls R zusätzlich vollständig ist. Im folgenden Beispiel sind einige Beispiele für diese Klasse von Relationen aufgeführt: Beispiel 6.16 (Präordnungs- und Ordnungsrelationen sowie Totalordnungen) a) Auf der MengeM = N (oderM = Z,Q,R) ist durch die Kleiner-Gleich-Relation ≤ zwischen zwei Zahlen x und y eine (natürliche) Ordnungsrelation bzw. sogar eine Totalordnung definiert. b) Es sei ≤ eine Ordnungsrelation auf der Menge M . Ferner bezeichne x < y für x, y ∈ M den Fall, dass sowohl x ≤ y als auch x = y gilt. Dann wird durch (x1, x2, . . . , xn) ≤ (y1, y2, . . . , yn) :⇐⇒ (x1, x2, . . . , xn) = (y1, y2, . . . , yn) oder (x1 < y1) oder (x1 = y1 und x2 < y2) oder (x1 = y1 und x2 = y2 und x3 < y3) ... (6.1) oder (x1 = y1, . . . , xn−1 = yn−1 und xn < yn) eine Ordnungsrelation auf dem n-fachen kartesischen Produkt Mn definiert. Diese Ordnungsrelation wird 114 Kapitel 66.4 Ordnungsrelationen als lexikographische Ordnung auf Mn bezeichnet. Ist die Relation x ≤ y sogar eine Totalordnung auf M , dann ist auch die Relation (6.1) aufMn eine Totalordnung. Die lexikographische Ordnung hat ihren Namen von der Anordnung der Wörter in einem Lexikon: Die Wörter werden zunächst nach ihren Anfangsbuchstaben geordnet, dann die Wörter mit gleichen Anfangsbuchstaben nach dem jeweils zweiten Buchstaben usw. c) Die Relation auf M = {x1, x2, x3, x4, x5, x6} sei gegeben durch die Abbildung 6.5, links. Es ist zu erkennen, dass es sich bei R um eine Ordnungsrelation handelt, aber nicht um eine Totalordnung. d) Auf der Potenzmenge M = P(A) einer Menge A sei die Relation R = {(B,C) ∈ M ×M : B ⊆ C} definiert. Wegen B ⊆ B für jede Menge B ∈ M ist die Relation R reflexiv. Ferner gilt für drei beliebige Mengen B,C,D ∈ M mit B ⊆ C und C ⊆ D stets B ⊆ D. Das heißt, die Relation R ist ebenfalls transitiv. Darüber hinaus ist sie auch antisymmetrisch. Denn für zwei beliebige Mengen B,C ∈ M mit B ⊆ C und C ⊆ B folgt stets B = C. Bei R handelt es sich somit um eine Ordnungsrelation. Diese Ordnungsrelation ist jedoch im Allgemeinen nicht vollständig und damit insbesondere keine Totalord- M M x1 x2 x3 x4 x5 x6 x1 x2 x3 x4 x5 x6 M M x1 x2 x3 x4 x5 x6 x1 x2 x3 x4 x5 x6 Abb. 6.5: Veranschaulichung einer Ordnungsrelation R auf einer Menge M (links) und einer Präferenzrelation R auf einer Menge M (rechts) nung. Denn die Potenzmenge M kann MengenB und C enthalten, für die weder B ⊆ C noch C ⊆ B gilt, wie es z. B. bei zwei disjunkten Mengen der Fall ist. e) Auf der Potenzmenge M = P(A) einer Menge A sei nun die Relation R = {(B,C) ∈ M ×M : |B| ≤ |C|} definiert. Wegen |B| ⊆ |B| für alle B ∈ M ist auch diese Relation R reflexiv. Sie ist aber auch transitiv, da für drei beliebige Mengen B,C,D ∈ M mit |B| ≤ |C| und |C| ≤ |D| stets auch |B| ≤ |D| gilt. Darüber hinaus ist R auch vollständig. Denn für zwei Mengen B,C ∈ M ist offensichtlich stets mindestens eine der beiden Ungleichungen |B| ≤ |C| oder |C| ≤ |B| erfüllt. Bei R handelt es sich somit um eine vollständige Präordnungsrelation. Diese Präordnungsrelation ist aber keine Ordnungsrelation, da sie im Allgemeinen nicht antisymmetrisch ist. Denn die Potenzmenge M kann Mengen B und C mit B = C enthalten, für die |B| = |C| und damit insbesondere auch |B| ≤ |C| und |C| ≤ |B| gilt. 115 Kapitel 6 Kartesische Produkte, Relationen und Abbildungen 6.5 Präferenzrelationen In den Wirtschaftswissenschaften werden zur Erklärung des Verhaltens von Verbrauchern oder Marktteilnehmern häufig sogenannte Präferenzrelationen betrachtet. Sie erlauben es z. B. verschiedene Güterbündel, d. h. festgelegte Zusammenfassungen von Gütern, bezüglich ihres Nutzens miteinander zu vergleichen. Präferenzrelationen sind wie folgt definiert: Definition 6.17 (Präferenzrelation) Eine Relation R ⊆ M × M heißt Präferenzrelation auf M , wenn sie reflexiv, transitiv und vollständig ist. Für die Elemente (x, y) von R schreibt man dann oftmals x $ y und sagt, dass x höchstens so gut wie y ist. Eine Präferenzrelation ist somit nichts anderes als eine vollständige Präordnungsrelation. Ist eine Präferenzrelation zusätzlich noch antisymmetrisch, dann handelt es sich sogar um eine Totalordnung. Da eine vollständige Relation R stets reflexiv ist (siehe Seite 111), kann man in der Definition 6.17 auf die Forderung der Reflexivität auch verzichten. Im folgenden Beispiel sind zwei exemplarische Präferenzrelationen angegeben: Beispiel 6.18 (Präferenzrelationen) a) Die Relation auf M = {x1, x2, x3, x4, x5, x6} sei gegeben durch die Abbildung 6.5, rechts. Es ist zu er- Reflexive Relation Präordnungsrelation Transitivität AntisymmetrieVollständigkeitSymmetrie PräferenzrelationÄquivalenzrelation Ordnungsrelation Antisymmetrie Antisymmetrie Identitätsrelation Totalordnung Vollständigkeit Abb. 6.6: Hierarchischer Aufbau der verschiedenen Relationen kennen, dass es sich bei R um eine Präferenzrelation handelt, aber nicht um eine Totalordnung. b) Es sei M eine nichtleere Menge von Güterbündeln und durch die Nutzenfunktion u : M −→ R werde jedem Güterbündel x ∈ M eine reelle Zahl u(x) zugewiesen, die als „geldwerter“ Nutzen des Güterbündels x interpretiert wird. Durch R = {(x, y) ∈ M ×M : u(x) ≤ u(y)} (6.2) ist dann eine Präferenzrelation auf M definiert. Das heißt, das Güterbündel x wird als höchstens so gut wie das Güterbündel y angesehen, wenn der Nutzen u(x) von x kleiner oder gleich dem Nutzen u(y) von y ist. Ist M z. B. durch das n-fache kartesische Produkt M = [0,∞) × . . . × [0,∞) und die Nutzenfunktion durch u : M −→ R, x %→ u(x1, . . . , xn) := n∑ i=1 xi gegeben, dann ist (6.2) für alle n ∈ N eine Präferenzrelation auf M . Für n ≥ 2 handelt es sich jedoch bei (6.2) um keine Ordnungsrelation, da die Forderung der Antisymmetrie nicht erfüllt ist. Denn z. B. gilt (2, 8) ∈ R und (8, 2) ∈ R, aber es ist (2, 8) = (8, 2). In Abbildung 6.6 ist der hierarchische Aufbau der verschiedenen betrachteten Relationen dargestellt. Vor allem Präferenzrelationen und Äquivalenzrelationen sind in den Wirtschaftswissenschaften im Rahmen der Nutzen- und Entscheidungstheorie von großer Bedeutung. Der wesentliche Unterschied zwischen diesen beiden Arten von Relationen besteht dar- 116 Kapitel 66.6 Abbildungen in, dass man durch Äquivalenzrelationen lediglich Gleichheit innerhalb und Verschiedenheit zwischen den unterschiedlichen Klassen ausdrücken kann. Dagegen wird bei Präferenzrelationen eine Ordnungsrelation der Form „höchstens so gut wie“ oder „kleiner oder gleich“ ausgedrückt. Entsprechendes gilt für den Vergleich zwischen Identitätsrelation und Totalordnung. 6.6 Abbildungen G. W. Leibniz Das Konzept der Abbildung oder Funktion steht im Zentrum der gesamten Analysis und besitzt für die moderne Wirtschaftswissenschaft eine außerordentlich große Bedeutung. Der Begriff „Funktion“ wurde im Jahre 1694 von dem bedeutenden deutschen Philosophen, Mathematiker und Diplomaten Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) eingeführt, der von vielen als letzter Universalgelehrter betrachtet wird. Eine Abbildung beschreibt eine Beziehung zwischen zwei Mengen, die jedem Element der einen Menge genau ein Element der anderen Menge zuordnet. Abbildungen (Funktionen) dienen somit ganz allgemein zur Beschreibung und Analyse von Abhängigkeiten zwischen verschiedenen Objekten. Zum Beispiel ist die Menge eines Wirtschaftsguts, die von den Konsumenten in einer Zeitperiode nachgefragt wird, von Faktoren wie dem Einkommen, dem Preis des Gutes, der Jahreszeit, dem Vermögen, den Preisen anderer Güter usw. abhängig, während der Preis einer Option auf eine Aktie vom aktuellen Wert der Aktie, dem Marktzins, der Volatilität, dem Ausübungspreis und der Restlaufzeit der Option bestimmt wird. Darüber hinaus spielen in den Wirtschaftswissenschaften Abbildungen bei der Beschreibung und Lösung von Entscheidungs- und Optimierungsproblemen eine zentrale Rolle. Einige Beispiele für typische betriebs- oder volkswirtschaftliche Entscheidungs- und Optimierungsprobleme sind: • Ermittlung der optimalen Produktionsmenge • Bestimmung eines rentablen Wertpapierportfolios • Auswahl von geeigneten Investitionen • Bewertung des Nutzens eines ökonomischen Objekts • Minimierung der Produktionskosten • Berechnung optimaler Laufzeiten von Produktionsprozessen • Bestimmung des optimalen Angebotspreises • Ermittlung von risikogerechten Versicherungsprämien Der Abbildungs- und Funktionsbegriff In Abschnitt 6.2 wurde mit dem Begriff der Relation R ⊆ M × N auf einem kartesischen Produkt M × N eine sehr allgemeine Möglichkeit eingeführt, die Beziehung zwischen den Elementen x einer Menge M und den Elementen y einer MengeN auszudrücken. Dabei wurde bei der Definition einer Relation zugelassen, dass sowohl zu einem x ∈ M mehrere y ∈ N mit (x, y) ∈ R existieren können als auch der Fall eintreten kann, dass für ein x ∈ M kein y ∈ N mit (x, y) ∈ R existiert. Im Folgenden werden nun RelationenF ⊆ M×N betrachtet, bei denen dies nicht vorkommen kann. Somit werden Relationen F ⊆ M×N untersucht, welche die Eigenschaft besitzen, dass es zu jedem x ∈ M genau ein y ∈ N mit (x, y) ∈ F gibt. Eine solche spezielle Relation wird als Abbildung oder Funktion bezeichnet: Definition 6.19 (Abbildung) Es seien M und N nichtleere Mengen. Eine Abbildung (Funktion) von M nach N ist eine Vorschrift, die jedem x ∈ M genau ein y ∈ N zuordnet. Für diese Zuordnung schreibt man f : M −→ N, x %→ y = f (x) und bezeichnet die Menge M als Definitions- und die Menge N als Wertebereich der Abbildung (Funktion) f . Die Elemente x des Definitionsbereichs M werden Urbilder oder Argumente und die Elemente y = f (x) des Wertebereichs N werden Bilder oder Funktionswerte von f genannt. Ferner heißt die Menge aller y ∈ N , die mindestens ein Urbild x ∈ M besitzen, d. h. die Menge f (M) :={y ∈ N : es gibt ein x ∈ M mit y = f (x)}⊆N, Bildbereich oder Bild von f . Die Bezeichnungen Abbildung und Funktion sind prinzipiell deckungsgleich. In der Analysis spricht man jedoch eher von 117 Kapitel 6 Kartesische Produkte, Relationen und Abbildungen Funktionen und in der Algebra und Geometrie häufiger von Abbildungen. Gelegentlich wird x auch als unabhängige Variable der Abbildung f bezeichnet. In diesem Fall heißt dann y = f (x) abhängige Variable von f . Speziell in den Wirtschaftswissenschaften ist für x und y auch die Bezeichnung exogene bzw. endogene Variable verbreitet. In der Analysis ist die Wahl der Buchstaben x und y für die unabhängige bzw. abhängige Variable üblich. Man könnte jedoch genauso gut andere Buchstaben verwenden. Insbesondere ökonomische Größen werden oft nach dem ersten Buchstaben ihres Namens benannt. Zum Beispiel verwendet man k oder K für Kosten, c oder C für Konsum (engl. „consumption“), e oder E für Erlös, p oder P für Preis, u oder U für Umsatz, g oder G für Gewinn usw. Auch die Bezeichnung einer Abbildung kann beliebig erfolgen. Allerdings wird der Name einer Abbildung oft so gewählt, dass er einen Bezug zum betrachteten Problem herstellt. Zum Beispiel verwendet man häufig N für eine Nachfragefunktion, G für eine Gewinnfunktion, K für eine Kostenfunktion,P für eine Produktionsfunktion,U für eine Nutzenfunktion (engl. „utility“) usw. Bei der Bezeichnung einer Abbildung ist jedoch zu beachten, dass zwischen der Abbildung f und dem Wert f (x) der Abbildung f an der Stelle x, d. h. dem Funktionswert, zu unterscheiden ist. Es ist aber auch durchaus verbreitet, eine Abbildung f : M−→N, x %→f (x) kurz mit f (x) zu bezeichnen, wenn keine Missverständnisse zu befürchten sind. So spricht man z. B. einfach von der Abbildung (Funktion) x3. Entsprechend der Definition 6.19 ist eine Abbildung f : M −→ N, x %→ f (x) durch die Angabe 1) des Definitionsbereichs M , 2) des Wertebereichs N und 3) der Zuordnungsvorschrift f festgelegt. Zwei Abbildungen f1 : M1 −→ N1 und f2 : M2 −→ N2 stimmen somit genau dann überein, wenn M1 = M2, N1 = N2 und f1(x) = f2(x) für alle x∈M1 gilt. Durch die Abbildung f : M −→ N wird stets die Relation F = {(x, f (x)) : x ∈ M} ⊆ M ×N definiert. Sie wird als Graph von f bezeichnet und man schreibt für sie häufig auch graph(f ). Die durch eine Abbildung f : M −→ N induzierte Relation F = graph(f ) besitzt im Vergleich zu einer „gewöhnlichen“ Relation R ⊆ M×N per Definition die beiden zusätzlichen Eigenschaften: 1) Für alle x ∈ M gibt es ein y ∈ N mit (x, y) ∈ F 2) Für alle x∈M und y, z∈N mit (x, y)∈F und (x, z) ∈ F gilt y = z Eine Abbildung f ist somit eine spezielle Relation, bei der jedem x ∈ M genau ein y ∈ N zugeordnet wird. Es ist jedoch zu beachten, dass es bei einer Abbildung f im Allgemeinen durchaus vorkommen kann, dass a) nicht alle Elemente vonN das Bild eines x ∈ M sind oder b) ein y ∈ N verschiedene Urbilder x1 und x2 aus M besitzt (siehe hierzu auch die Begriffe Injektivität, Surjektivität und Bijektivität in Abschnitt 6.7). Umgekehrt lässt sich jede Relation R ⊆ M × N mit den beiden zusätzlichen Eigenschaften 1) für alle x ∈ M gibt es ein y ∈ N mit (x, y) ∈ R und 2) für alle x∈M und y, z∈N mit (x, y)∈R und (x, z)∈R gilt y = z als Graph graph(f ) der Abbildung f : M −→ N mit f (x) := y für (x, y) ∈ R auffassen. Das folgende Beispiel 6.20 demonstriert, wie sich im Falle eines endlichen Definitionsbereichs M mit Hilfe einer Wertetabelle oder eines Graphen feststellen lässt, ob eine Zuordnungsvorschrift f : M −→ N eine Abbildung ist oder nicht: Beispiel 6.20 (Abbildungen) a) Betrachtet werden eine Menge M = {x1, x2, x3, x4, x5, x6} von Aufträgen und eine Menge N = {y1, y2, y3, y4} mit den zur Verfügung stehenden Produktionsmaschinen. Durch die Wertetabelle xi x1 x2 x3 x4 x5 x6 f1(xi) y2 y1 y3 y4 f2(xi) y2 y1 y2 y3, y4 y2 y4 f3(xi) y3 y3 y3 y3 y3 y3 f4(xi) y4 y1 y2 y2 y3 y3 werden vier Zuordnungsvorschriften f1, f2, f3 und f4 beschrieben. Dabei ist festzustellen, dass f1 keine Abbildung von M nach N ist, da die Elemente x3, x5 ∈ M kein Bild besitzen. Durch f2 ist ebenfalls keine Abbildung von M nach N gegeben, da 118 Kapitel 66.6 Abbildungen das Element x4 ∈ M zwei Bilder y3 und y4 besitzt. Die Zuordnungsvorschrift f3 ist dagegen eine Abbildung von M nach N , obwohl das Bild y3 sechs verschiedene Urbilder besitzt. Genauso ist f4 eine Abbildung von M nach N . Sie schöpft im Gegensatz zu f3 den Wertebereich N voll aus. Das heißt, es gilt f4(M) = N . b) Gegeben seien M = {x1, x2, x3, x4} und N = {y1, y2, y3}. Dann handelt es sich bei der linken Zuordnung f1 : M −→ N in Abbildung 6.7 um keine Abbildung von M nach N , da das Element x4 kein Bild besitzt. Ebenso ist auch die mittlere Zuordnung f2 : M −→ N in Abbildung 6.7 keine Abbilung von M nach N , denn das Element x1 besitzt die zwei Bilder y1 und y2. Die rechte Zuordnung f3 : M −→ N in Abbildung 6.7 ist dagegen eine Abbildung von M nach N mit dem Bildbereich f (M) = {y1, y2}. x1 x4 x2 x3 M f1 y1 y2 y3 N x1 x4 x2 x3 M f2 y1 y2 y3 N x1 x4 x2 x3 M f3 y1 y2 y3 N Abb. 6.7: Zuordnungsvorschriften f1 : M −→ N (links) und f2 : M −→ N (Mitte) sowie Abbildung f3 : M −→ N (rechts) Die Einschränkung einer Abbildung f : M −→ N auf eine Teilmenge L ⊆ M wird Restriktion von f auf L genannt und mit f|L : L −→ N, x %→ f|L(x) bezeichnet. Für die Restriktion gilt per Definition f|L(x) := f (x) für alle x ∈ L. Damit stimmen die beiden Abbildungen f|L und f auf der Menge L überein. Darstellung von Abbildungen Die Darstellung einer Abbildung f : M −→ N kann im Wesentlichen erfolgen durch a) eine Wertetabelle oder einen Graphen, falls der Definitionsbereich M endlich ist; b) die Funktionsgleichung y = f (x); c) den Graphen graph(f ) = {(x, f (x)) : x ∈ M} in der euklidischen Ebene R2, falls M,N ⊆ R gilt. R. Descartes Sind sowohl der DefinitionsbereichM als auch der Wertebereich N einer Abbildung f : M −→ N Teilmengen von R, dann gilt für den Graphen graph(f ) ⊆ R2 und die Darstellung von graph(f ) erfolgt dann in der Regel in einem (rechtwinkligen) kartesischen Koordinatensystem im R 2. Eine solche Darstellung des Graphen von f heißt Schaubild der Abbildung f . Kartesische Koordinatensysteme sind nach dem französischen Philosophen und Mathematiker René Descartes (1596- 1650) benannt, da er dieses Konzept bekannt gemacht hat. Sie bestehen aus zwei senkrecht zueinander stehenden Zahlengeraden, so dass im Schnittpunkt beider Geraden x = y = 0 gilt. Dieser Schnittpunkt heißt Nullpunkt oder Ursprung des Koordinatensystems, die horizontale Achse wird als Abszissenachse (Abzisse, x-Achse) und die vertikale Achse als Ordinatenachse (Ordinate, y-Achse) bezeichnet. Für einen Punkt (x, y) der euklidischen Ebene R2 erhält man dann durch senkrechte Projektion auf die beiden Achsen seine beiden Koordinaten x und y als Werte auf der Abszissenbzw. Ordinatenachse (siehe Abbildung 6.8, links). Durch das kartesische Koordinatensystem wird die euklidische Ebene R 2 in vier gleich große Bereiche zerlegt. Diese werden rechts oben beginnend und entgegen dem Uhrzeigersinn, d. h. im mathematisch positiven Drehsinn, der Reihe nach mit 1. Quadrant, 2. Quadrant, 3. Quadrant und 4. Quadrant bezeichnet (siehe Abbildung 6.8, rechts). Für das kartesische Koordinatensystem im n-dimensionalen euklidischen Raum Rn siehe Seite 7.10. Im folgenden Beispiel wird der Abbildungsbegriff anhand einer einfachen wirtschaftswissenschaftlichen Anwendung verdeutlicht: Beispiel 6.21 (Telefonkosten in Abhängigkeit der Uhrzeit) Die untenstehende Tabelle zeigt drei verschiedene Telefontarife eines Mobilfunkanbieters. Die Telefontarife sind dabei in Sekunden s pro Telefoneinheit (12 Cent) angegeben: 119 Kapitel 6 Kartesische Produkte, Relationen und Abbildungen x y 1 1 b a P(a, b) Q(c, d) d c x y 1 1 1. Quadrant2. Quadrant 3. Quadrant 4. Quadrant Abb. 6.8: Kartesisches Koordinatensystem in der euklidischen Ebene R2 Uhrzeit t Ortstarif Tarif 1 Tarif 2 03.00 – 06.00 180s 60s 45s 06.00 – 09.00 120s 45s 20s 09.00 – 12.00 120s 30s 20s 12.00 – 18.00 90s 30s 20s 18.00 – 22.00 150s 60s 30s 22.00 – 24.00 240s 90s 30s 24.00 – 03.00 240s 120s 45s Diese drei Telefontarife tragen der Tatsache Rechnung, dass zur Geschäftszeit zwischen 9.00 Uhr und 18.00 Uhr die Auslastung des Telefonnetzes höher ist als außerhalb. Zum Beispiel haben alle drei Tarife gemeinsam, dass zwischen 12.00 Uhr und 18.00 Uhr pro Telefoneinheit (12 Cent) nicht so lange telefoniert werden kann wie zwischen 24.00 Uhr und 3.00 Uhr. Die Telefonkosten Cent/Minute in Abhängigkeit von der Uhrzeit t lassen sich für die drei verschiedenen Tarife durch Abbildungen fO, f1 und f2 beschreiben. Zum Beispiel betragen beim Ortstarif die Telefonkosten zwischen 18.00 Uhr und 22.00 Uhr 12 Cent 150 60 Minute = 4,8 Cent/Minute und man erhält insgesamt für den Ortstarif die Abbildung fO : [0, 24]→R, t %→fO(t) := ⎧ ⎪⎪⎪⎪⎪⎨ ⎪⎪⎪⎪⎪⎩ 4 für 3 ≤ t < 6 6 für 6 ≤ t < 12 8 für 12 ≤ t < 18 4,8 für 18 ≤ t < 22 3 für 22 ≤ t < 3 . Analog erhält man für die Tarife 1 und 2 die Abbildungen f1 bzw. f2, die die Telefonkosten in Cent/Minute in Abhängigkeit von der Uhrzeit t angeben. Mit Hilfe der drei Abbildungen fO, f1 und f2 können automatische Aufgaben, wie z. B. das Senden eines Faxes, optimiert werden, indem die Versendung zu den kostengünstigsten Uhrzeiten erfolgt. Die Abbildung 6.9 zeigt die Graphen der drei verschiedenen Abbildungen fO, f1 und f2. Ist f : M −→ N eine Abbildung, deren Definitionsbereich M eine Teilmenge der zweidimensionalen euklidischen Ebene R2 und deren Wertebereich N eine Teilmenge von R ist, dann gilt graph(f ) ⊆ R3. Damit ist der Graph (Schaubild) von f eine Punktewolke im dreidimensionalen euklidischen Raum (Anschauungsraum)R3. Analog zum Fall graph(f ) ⊆ R2 erfolgt dann die Darstellung des Graphen graph(f ) von f häufig in einem kartesischen Koordinatensystem im R3. Zur Abszissen- und Ordinatenachse kommt somit noch eine dritte räumliche Achse hinzu, welche senkrecht auf der Abszissen- und Ordinatenachse steht und als Applikatenachse (Applikate, z-Achse) bezeichnet wird. Meistens liegen die Abszissen- und Ordinatenachse in der Ebene, während die Applikate zur Höhenanzeige dient (vgl. Abbildung 6.10 und Abschnitt 21.3). 120 Kapitel 66.6 Abbildungen 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 l l l l l l fO l l l l l l f1 l l l f2 Abb. 6.9: Telefonkosten Cent/Minute in Abhängigkeit von der Uhrzeit t für den Ortstarif und die Tarife 1 und 2 Beispiel 6.22 (Abbildungen) a) Betrachtet werden die drei Zuordnungsvorschriften: f1 : R −→ R, x %→ √x f2 : R −→ R, x %→ x2 + 1 f3 : {−3,−1, 0, 1, 2, 3} −→ R, x %→ x2 + 1 Dann ist die Zuordnungsvorschrift f1 keine Abbildung, da f (x) = √x für x < 0 nicht definiert ist und somit die Werte x < 0 kein Bild besitzen. Die Restriktion von f1 auf das Intervall [0,∞), d. h. die Zuordnungsvorschrift f1|[0,∞) : [0,∞) −→ R, x %→ f1|[0,∞)(x), ist jedoch eine Abbildung von [0,∞) nach R. Die beiden anderen Zuordnungsvorschriften f2 und f3 sind dagegen auf dem gesamten Definitionsbereich R bzw. {−3,−1, 0, 1, 2, 3} Abbildungen und besitzen die Bildbereiche f2(R) = [1,∞) bzw. f3({−3,−1, 0, 1, 2, 3}) = {1, 2, 5, 10}. b) Betrachtet wird die Zuordnungsvorschrift f : R2 −→ R, (x, y) %→ x2 + y2. Diese Zuordnungsvorschrift ordnet offensichtlich jedem Punkt (x, y) ∈ R2 genau eine reelle Zahl z zu und ist somit eine Abbildung. Wegen x2 + y2 ≥ 0 für alle (x, y) ∈ R2 gilt für den Bildbereich dieser Abbildung f (R2) = [0,∞) (vgl. Abbildung 6.10). − 4 − 2 0 2 4 − 5 0 5 0 20 40 x y z f (x, y ) = x 2 + y2 Abb. 6.10: Abbildung f : R2 −→ R, (x, y) %→ x2 + y2 Das folgende Beispiel zeigt, dass nicht der Graph jeder Abbildung f : M −→ N mit M,N ⊆ R in einem kartesischen Koordinatensystem dargestellt werden kann: Beispiel 6.23 (Dirichletsche Sprungfunktion) Die Abbildung f : [0, 1] −→ R, x %→ f (x) = { 1 für x rational 0 für x irrational 121 Kapitel 6 Kartesische Produkte, Relationen und Abbildungen P. G. Dirichlet heißt Dirichlet-Funktion oder Dirichletsche Sprungfunktion und ist nach dem deutschen Mathematiker Peter Gustav Dirichlet (1805–1859) bezeichnet. Da die Menge Q der rationalen Zahlen abzählbar unendlich ist (vgl. Satz 3.22), besitzt die Dirichlet-Funktion abzählbar unendlich viele „Sprungstellen“. Aufgrund dieser großen Unregelmäßigkeit ist der Graph der Dirichlet-Funktion f so komplex, dass er nicht einmal ansatzweise skizziert werden kann. Dirichlet trat 1855 in Göttingen als Professor der höheren Mathematik die Nachfolge von Carl Friedrich Gauß (1777–1855) an und war mit einer Schwester des deutschen Komponisten Felix Mendelssohn Bartholdy (1809–1847) verheiratet. Bild und Urbild von Teilmengen Für eine gegebene Abbildung f : M −→ N ist man häufig daran interessiert, wie sich ganz spezielle Teilmengen A des Definitionsbereichs M und/oder gewisse Teilmengen B des WertebereichsN unter der Abbildung f verhalten. Für solche Überlegungen wird die folgende Definition benötigt. Definition 6.24 (Bild und Urbild einer Teilmenge) Es sei f : M −→ N eine Abbildung. Dann heißt für eine Teilmenge A des Definitionsbereichs M die Menge f (A) := {y ∈ N : es gibt ein x ∈ A mit y = f (x)} das Bild von A unter der Abbildung f . Entsprechend wird für eine Teilmenge B des Wertebereichs N die Menge f −1(B) := {x ∈ M : f (x) ∈ B} (6.3) als Urbild von B unter der Abbildung f bezeichnet. Die Elemente y der Bildmenge f (A) ⊆ N sind jeweils das Bild mindestens eines Elements x aus der Menge A ⊆ M und die Elemente x der Urbildmenge f −1(B) ⊆ M werden durch die Abbildung f auf ein Element der Menge B ⊆ N abgebildet. Es gilt damit stets A ⊆ f −1 (f (A)) und f (f −1(B)) ⊆ B für alle A ⊆ M und B ⊆ N . Dieser Sachverhalt wird durch die Abbildung 6.11 und Beispiel 6.25a) verdeutlicht. Beachte, dass für eine nichtleere Menge A ⊆ M stets f (A) = ∅ gilt, während jedoch f −1(B) = ∅ durchaus auch für nichtleere Mengen B ⊆ N möglich ist. x1 x2 x3 x4 x5 M f A f − 1( f (A)) y1 y2 y3 y4 N f (A) x1 x2 x3 x4 x5 M f f − 1(B) y1 y2 y3 y4 N f ( f − 1(B)) B Abb. 6.11: Es gilt A ⊆ f−1(f (A)) (links) und f (f−1(B)) ⊆ B (rechts) Die nachfolgenden Beispiele dienen der Verdeutlichung der Begriffe Bild und Urbild einer Teilmenge: Beispiel 6.25 (Bild und Urbild von Teilmengen) a) Für die Abbildung f : Z −→ Z, n %→ n2 gilt z. B. f ({1,2,3})={1,4,9} f −1({1,2,3,4,5,6,7,8,9,10})={−3,−2,−1,1,2,3} und damit insbesondere {1, 2, 3} ⊆ {−3,−2,−1, 1, 2, 3} = f −1 ({1, 4, 9}) = f −1 (f ({1, 2, 3})) bzw. f ( f −1({1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10})) = f ({−3,−2,−1, 1, 2, 3}) = {1, 4, 9} ⊆ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} . b) Gegeben seien M = {x1, x2, x3, x4, x5} und N = {y1,y2,y3,y4,y5}. Dann gilt für die Abbildung f1 : M −→ N in Abbildung 6.12, links und die Ab- 122 Kapitel 66.7 Injektivität, Surjektivität und Bijektivität bildung f2 : M −→ N in Abbildung 6.12, rechts: f1({x1}) = f1({x1, x2, x3}) = {y2} , f1({x1, x4}) = {y2, y4} , f −11 ({y2}) = f −11 ({y1, y2}) = {x1, x2, x3} , f −11 ({y4}) = {x4} bzw. f2({x1, x4}) = {y1, y3} , f2({x4, x5}) = {y3, y5} , f −12 ({y1, y2, y3}) = {x1, x2, x3, x4} , f −12 ({y2, y3}) = {x3, x4} , f −12 ({y1}) = {x1, x2} x1 x2 x3 x4 x5 M f1 y1 y2 y3 y4 y5 N x1 x2 x3 x4 x5 M f2 y1 y2 y3 y4 y5 N Abb. 6.12: Urbildmenge f−1(V ) von V 6.7 Injektivität, Surjektivität und Bijektivität Eine Abbildung f : M −→ N ordnet gemäß Definition 6.19 jedem Element x aus dem Definitionsbereich M genau ein Element y aus dem Wertebereich N als Bild zu. Von „links nach rechts“ betrachtet ist eine Abbildung f somit stets eine eindeutige Zuordnungsvorschrift. Im Allgemeinen gilt für eine Abbildung f : M −→ N jedoch nicht, dass auch jedes Element y aus dem Wertebereich N genau ein Element x aus dem Definitionsbereich M als Urbild besitzt. Eine solche vollständige und eindeutige Rückidentifizierung von „rechts nach links“ ist nicht bei allen Abbildungen f möglich und stellt deshalb eine besondere Eigenschaft einer Abbildung dar. Solche Betrachtungen führen zu den Begriffen Injektivität, Surjektivität und Bijektivität, die wie folgt definiert sind: Definition 6.26 (Injektivität, Surjektivität und Bijektivität) Es sei f : M −→ N eine Abbildung (Funktion). Dann gilt: a) f heißt injektiv, falls f (x1) =f (x2) für alle x1,x2 ∈M mit x1 = x2 gilt. b) f heißt surjektiv, falls es zu jedem y ∈ N mindestens ein x ∈ M mit y = f (x) gibt und damit f (M) = N gilt. c) f heißt bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist. Eine injektive Abbildung f : M −→ N hat somit die Eigenschaft, dass ein Element y aus dem Wertebereich N maximal ein Urbild x ∈ M besitzt. Das heißt, es ist auch eine Rückidentifizierung von „rechts nach links“ möglich. Injektive Abbildungen werden deshalb oft als eineindeutig bezeichnet, was als Kurzform für eindeutig-eindeutig zu verstehen ist. Für eine surjektive Abbildung f : M −→ N gilt hingegen, dass der Wertebereich N so klein ist, dass jedes Element y aus dem Wertebereich N mindestens ein Urbild x ∈ M hat. Eine bijektive Abbildung f : M −→ N besitzt somit die Eigenschaft, dass nicht nur jedes Element x aus der Definitionsmenge M genau ein Bild y ∈ N besitzt, sondern dass umgekehrt auch jedes Element y aus dem Wertebereich N genau ein Urbild x ∈ M hat. Mit anderen Worten: Jedem Element x ∈ M wird durch die Zuordnungsvorschrift f (x) = y genau ein y ∈ N zugeordnet und umgekehrt. Dies heißt insbesondere, dass bei einer bijektiven Abbildung f : M −→ N die beiden Mengen M und N gleichmächtig sind (zum Begriff der Gleichmächtigkeit von Mengen siehe Definition 3.18). Beispiel 6.27 (Injektivität, Surjektivität und Bijektivität) a) Gegeben seien M1 = {x1, x2, x3, x4}, M2 = {x1, x2, x3}, N1 = {y1, y2, y3, y4} und N2 = {y1, y2, y3}. Dann gilt: 1) Die Abbildung f1 : M1 −→ N2 in Abbildung 6.13, links oben ist surjektiv, da jedes Ele- 123 Kapitel 6 Kartesische Produkte, Relationen und Abbildungen x1 x4 x2 x3 M1 f1 y1 y2 y3 N2 x1 x2 x3 M2 f2 y1 y2 y3 y4 N1 x1 x4 x2 x3 M1 f3 y1 y2 y3 y4 N1 x1 x2 x3 x4 M1 f4 y1 y2 y3 y4 N1 Abb. 6.13: Abbildungen f1 : M1 −→ N2 (links oben), f2 : M2 −→ N1 (rechts oben), f3 : M1 −→ N1 (links unten) und f4 : M1 −→ N1 (rechts unten) ment des Wertebereichs N2 ein Urbild besitzt. Sie ist aber nicht injektiv, denn das Element y2 ∈ N2 hat zwei Urbilder x1 und x3. 2) Die Abbildung f2 : M2 −→ N1 in Abbildung 6.13, rechts oben ist injektiv, da jedes Element des Wertebereichs N1 maximal ein Urbild besitzt. Sie ist aber nicht surjektiv, denn das Element y4 ∈ N1 hat kein Urbild. 3) Die Abbildung f3 : M1 −→ N1 in Abbildung 6.13, links unten ist weder injektiv noch surjektiv, denn die Elemente y2, y3 ∈ N1 besitzen zwei Urbilder und die Elemente y1, y4 ∈ N1 haben keine Urbilder. 4) Die Abbildung f4 : M1 −→ N1 in Abbildung 6.13, rechts unten ist bijektiv, denn alle Elemente des Wertebereichs N1 besitzen genau ein Urbild. b) Betrachtet werden die drei Abbildungen: f1 : N −→ R, x %→ 2x x + 1 f2 : R −→ R, x %→ 3x − 1 f3 : N −→ N, x %→ 3x − 1 Die Abbildung f1 ist nicht surjektiv, da f1(N) ⊆ [1, 2] gilt und somit kein x∈N mit f1(x) > 2 existiert. Sie ist jedoch injektiv, denn aus f1(x1) = f1(x2) folgt 2x1 x1 + 1 = 2x2 x2 + 1 ⇒ 2x1x2 + 2x1 = 2x1x2 + 2x2 ⇒ x1 = x2. Die Abbildung f2 ist surjektiv. Denn für alle y ∈ R existiert ein x = y+13 ∈ R mit f2(x) = f2 ( y + 1 3 ) = 3y + 1 3 − 1 = y. Die Abbildung f2 ist auch injektiv und damit insgesamt bijektiv. Denn aus x1 = x2 folgt f2(x1) = 3x1 − 1 = 3x2 − 1 = f2(x2). Die Abbildung f3 ist analog zur Abbildung f2 injektiv, aber sie ist nicht surjektiv. Denn für x ∈ N resultieren nur die Werte 2, 5, 8, 11, . . . als Bilder von f3. c) Die folgenden vier Abbildungen f1, f2, f3 und f4 genügen alle derselben Zuordnungsvorschrift fi(x) = x2 für i = 1, 2, 3, 4. Da sich jedoch die Abbildungen bzgl. ihres Definitions- und/oder Wertebereichs unterscheiden, besitzen sie auch unterschiedliche Zuordnungseigenschaften (vgl. auch Abbildung 6.14): f1 : R −→ R, x %→ x2 ist weder injektiv noch surjektiv f2 : R −→ R+, x %→ x2 ist nicht injektiv, aber surjektiv f3 : R+ −→ R, x %→ x2 ist injektiv, aber nicht surjektiv f4 : R+ −→ R+, x %→ x2 ist bijektiv 6.8 Komposition von Abbildungen In wirtschaftswissenschaftlichen Anwendungen betrachtet man häufig ökonomische Größen z, die eine Funktion z = f (y) einer anderen ökonomischen Größe y sind, die für sich selbst wieder in einer funktionalen Beziehung y = g(x) zu einer weiteren ökonomischen Größe x steht. 124 Kapitel 66.8 Komposition von Abbildungen 1 1− 1 − 1 f1 + 1 1− 1 f2 + 1 1 − 1 f3 + + 1 1 f4 Abb. 6.14: Abbildungen f1 : R → R, x %→ x2 (links oben), f2 : R → R+, x %→ x2 (rechts oben), f3 : R+ → R, x %→ x2 (links unten) und f4 : R+ → R+, x %→ x2 (rechts unten) Beschreibt z. B. a = f (p) den Absatz a eines bestimmten Produkts in Abhängigkeit vom Produktpreis p und p = g(t) den Produktpreis in Abhängigkeit von der Zeit t , dann ist es in einigen wirtschaftswissenschaftlichen Anwendungen von Interesse auch die Abhängigkeit des Absatzes a von der Zeit t zu untersuchen. Das heißt, man ist dann am funktionalen Zusammenhang zwischen dem Absatz a und der Zeit t interessiert: a = f (g(t)) Solche und viele ähnliche Fragestellungen führen zur Komposition (Hintereinanderausführung) von mehreren Abbildungen, bei der eine neue Abbildung entsteht: Definition 6.28 (Komposition) Es seien f : M −→ N und g : L −→ M zwei Abbildungen. Dann wird die Abbildung f ◦ g : L −→ N, x %→ (f ◦ g)(x) := f (g(x)) als Komposition oder Hintereinanderausführung von f und g bezeichnet (gelesen: „f nach g“). Bei der Komposition f◦g von f :M−→N und g :L−→M wird jedem Urbild x aus der Menge L genau ein Bild (f ◦ g)(x) aus der Menge N zugeordnet. Dabei ist es wichtig zu beachten, dass zuerst g auf x und danach f auf g(x) angewendet wird (siehe Abbildung 6.15). Die beiden Abbildungen f und g werden deshalb häufig als äußere bzw. innere Abbildung der Komposition f ◦ g bezeichnet. L g : L M, x y = g(x) x M f : M N, y f (y) = f (g(x)) g(x) N f (g(x)) → → → → Abb. 6.15: Komposition der beiden Abbildungen f : M −→ N und g : L −→ M Eigenschaften von Kompositionen Bei der Hintereinanderausführung von zwei Abbildungen f : M −→ N und g : L −→ M ist zu beachten, dass die Existenz der Komposition f ◦ g nicht impliziert, dass auch die Komposition g◦f existiert (vgl. Beispiel 6.29a)). Für die Existenz von g◦f ist es nämlich notwendig, dass f (M) ⊆ L gilt. Aber selbst im Falle der Existenz beider Hintereinanderausführungen f ◦ g und g ◦ f gilt im Allgemeinen nicht das Kommutativgesetz f ◦ g = g ◦ f (vgl. Beispiel 6.29b)). Mit anderen Worten: Bei der Komposition von Abbildungen muss stets auf die Reihenfolge, in der die Komposition der Abbildungen erfolgen soll, geachtet werden. Die Komposition von Abbildungen f :M−→N , g :L−→M und h : K −→ L genügt jedoch dem Assoziativgesetz f ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g) ◦ h, denn es gilt (f ◦ (g ◦ h))(x) = f ((g ◦ h)(x)) = f (g(h(x))) = (f ◦ g)(h(x)) = ((f ◦ g) ◦ h)(x) für alle x ∈ K . Das heißt, bei einer mehrfachen Komposition können die Klammern beliebig gesetzt und daher auch weggelassen werden. Durch die (mehrfache) Komposition können aus einfachen Abbildungen schnell komplexe Abbildungen entstehen. 125 Kapitel 6 Kartesische Produkte, Relationen und Abbildungen Beispiel 6.29 (Komposition von Abbildungen) a) Es werden die beiden Abbildungen f : R −→ R, x %→ x3 und g : [−√2,√2] −→ R, x %→ √2 − x2 betrachtet. Wegen g([−√2,√2]) ⊆ R existiert die Komposition f ◦ g und ist gegeben durch f ◦ g : [−√2,√2] −→ R, x %→ (f ◦ g)(x) mit (f ◦ g)(x) = (√ 2 − x2 )3 = (2 − x2) 32 . Die Komposition g ◦ f ist dagegen nicht definiert. Denn es gilt f (R) ⊆ [−√2,√2]. b) Betrachtet werden die beiden Abbildungen f : R \ {0} −→ R, x %→ 1 x und g : R −→ R, x %→ x45 + 2. Wegen g(R) ⊆ R\{0} und f (R\{0}) ⊆ R existieren beide Kompositionen f ◦ g und g ◦ f . Diese sind gegeben durch f ◦ g : R −→ R, x %→ (f ◦ g)(x) = 1 x4 5 + 2 = 5 x4 + 10 und g ◦ f : R \ {0} −→ R, x %→ (g ◦ f )(x) = 1 5x4 + 2 = 1 + 10x 4 5x4 . Das heißt, es gilt f ◦g = g◦f (vgl. Abbildung 6.16). −2 −1 1 2 −10 −8 −6 −4 −2 2 4 6 8 10 f (x) g(x) f (g(x)) g(f (x)) Abb. 6.16: Die beiden Abbildungen f : R \ {0} −→ R, x %→ 1x und g : R −→ R, x %→ x 4 5 + 2 sowie die beiden Kompositionen f ◦ g und g ◦ f Der folgende Satz besagt, dass sich die Eigenschaften Surjektivität, Injektivität und Bijektivität zweier Abbildungen f : M −→ N und g : L −→ M auf deren Komposition f ◦g vererben: Satz 6.30 (Eigenschaften von Kompositionen) Es seien f : M −→ N und g : L −→ M zwei Abbildungen. Dann gilt: a) Sind f und g injektiv, dann ist auch f ◦ g injektiv. b) Sind f und g surjektiv, dann ist auch f ◦g surjektiv. c) Sind f und g bijektiv, dann ist auch f ◦ g bijektiv. Beweis: Zu a): Sind f und g injektiv und x1, x2 ∈ L mit x1 = x2, dann gilt g(x1) = g(x2) und daher auch f (g(x1)) = f (g(x2)). Die Abbildung f ◦ g ist somit injektiv. Zu b): Sind f und g surjektiv, dann existiert zu jedem y ∈ M ein x ∈ L mit g(x) = y und zu jedem z ∈ N ein y ∈ M mit f (y) = z. Das heißt, zu jedem z ∈ N gibt es ein x ∈ L mit f (g(x)) = z. Die Abbildung f ◦ g ist somit surjektiv. Zu c): Sind f und g bijektiv, dann sind sie auch surjektiv und injektiv (vgl. Definition 6.26c)). Daraus folgt mit Teil a) und b), dass auch die Abbildung f ◦g injektiv und surjektiv und damit insbesondere bijektiv ist. 126 Kapitel 66.9 Umkehrabbildungen n-fache Komposition und Identität Ist f : M −→ M eine Abbildung, bei welcher der Definitionsbereich mit dem Wertebereich übereinstimmt, dann kann die n-fache Komposition (n-fache Hintereinanderausführung) von f gebildet werden. Diese Komposition ist ebenfalls eine Abbildung von M nach M und wird für n ∈ N mit f n := f ◦ f ◦ . . . ◦ f ︸ ︷︷ ︸ n-mal (6.4) bezeichnet. Die spezielle Abbildung idM : M −→ M, x %→ idM(x) := x (6.5) heißt Identität auf M . Diese Abbildung bildet jedes Element x aus dem Definitionsbereich M auf sich selbst ab. Sie ist offensichtlich bijektiv und für die n-fache Komposition gilt idnM = idM. Ist f : M −→ N eine weitere Abbildung, dann gelten die Beziehungen idN ◦ f = f und f ◦ idM = f. Daraus folgt für den Spezialfall M = N , d. h. für eine Abbildung f : M −→ M , idM ◦ f = f ◦ idM. Beispiel 6.31 (Eigenschaften von Kompositionen) a) Es gilt (vgl. auch Beispiel 6.27b) und c)): f1 : R −→ R, x %→ 3x − 1 ist bijektiv f2 : N −→ N, x %→ 3x − 1 ist injektiv f3 : R −→ R+, x %→ x2 ist surjektiv f4 : N −→ N, x %→ x2 ist injektiv x1 x2 x3 x4 M f f 2 x1 x2 x3 x4 M f x1 x2 x3 x4 M f f 3 x1 x2 x3 x4 M f f 4 = idM x1 x2 x3 x4 M Abb. 6.17: Abbildung f : M −→ M und ihre 4-fache Hintereinanderausführung f 4 : M −→ M Mit Satz 6.30a) folgt daher, dass auch die Komposition f3 ◦ f1 : R −→ R+, x %→ (3x − 1)2 surjektiv ist. Ebenso erhält man mit Satz 6.30b), dass auch die beiden Kompositionen f4 ◦ f2 : N −→ N, x %→ (3x − 1)2 und f2 ◦ f4 : N −→ N, x %→ 3x2 − 1 injektiv sind. b) Es sei f : M −→ M eine Abbildung mit M := {x1, x2, x3, x4} und f (x1) := x4, f (x2) := x1, f (x3) := x2 und f (x4) := x3. Die Abbildung f ist bijektiv. Mit Satz 6.30c) folgt, dass auch alle n-fachen Hintereinanderausführungen f n bijektiv sind. Aus Abbildung 6.17 ist ersichtlich, dass gilt: f 4 = idM, f 5 = f, f 6 = f 2, f 7 = f 3, f 8 = f 4 = idM usw. 6.9 Umkehrabbildungen In vielen ökonomischen Fragestellungen wird man mit dem Problem konfrontiert, dass eine Gleichung der Form f (x) = y nach x aufzulösen ist. Zum Beispiel ist bei einer Brauerei die produzierte Menge y an Bier eine Funktion der verbrauchten Menge x an Hopfen. Bei einer bestimmten Nachfrage y an Bier stellt sich somit für die Brauerei unmittelbar die Frage, welche Menge x an Hopfen zur Produktion der Nachfrage- 127 Kapitel 6 Kartesische Produkte, Relationen und Abbildungen menge y benötigt wird. Das heißt, die Brauerei interessiert sich für den funktionalen Zusammenhang g(y) = x. Die Funktion g wird dabei als Umkehrabbildung von f bezeichnet und ist wie folgt definiert: Definition 6.32 (Umkehrabbildung) Es sei f : M −→ N eine bijektive Abbildung. Dann heißt f umkehrbar und die Abbildung f −1 : N −→ M, y %→ f −1(y) := x, die jedem Element y aus dem Wertebereich N von f das eindeutig bestimmte Urbild x ∈ M zuordnet, wird als Umkehrabbildung, Umkehrfunktion oder Inverse von f bezeichnet. Für eine bijektive Abbildung f : M −→ N gilt somit per Definition y = f (x) ⇐⇒ x = f −1(y) für alle x ∈ M . Die Umkehrabbildung einer bijektiven Abbildung f : M −→ N darf aber nicht mit der Urbildabbildung (6.3) verwechselt werden. Denn die Urbildabbildung (6.3) existiert stets und ordnet gemäß der Vorschrift f −1(B) = {x ∈ M : f (x) ∈ B} jeder Teilmenge B von N die Teilmenge f −1(B) von M zu. Die Existenz der Umkehrabbildung ist dagegen nur dann sichergestellt, wenn die Abbildung f auch bijektiv, also injektiv und surjektiv, ist. Nur unter dieser Voraussetzung ordnet die Umkehrabbildung f −1 : N −→ M jedem Element y seines Definitionsbereichs N genau ein Element x aus M zu und ist damit eine Abbildung gemäß der Definition 6.19 (vgl. Abbildung 6.18). Genauer gilt: Ist die Abbildung f : M −→ N nicht injektiv, dann gibt es mindestens ein y ∈ N mit zwei verschiedenen Urbildern x1, x2 ∈ M und eine Umkehrung von f würde somit den Wert y sowohl auf x1 als auch auf x2 abbilden. Das heißt, bei der Umkehrung von f würde die in Definition 6.19 geforderte Eindeutigkeit der Zuordnung verloren gehen. Im Falle fehlender Surjektivität von f gibt es dagegen mindestens ein y ∈ N , welches kein Urbild x ∈ M besitzt. Eine Umkehrung von f würde damit diesem Wert y kein Bild zuordnen und daher ebenfalls nicht der Definition 6.19 genügen. M f : M N x N f −1 : N M y → → Abb. 6.18: Abbildung f : M −→ N und ihre Umkehrabbildung f−1 : N −→ M Bei einer bijektiven Abbildung f : M −→ N besteht jedoch zwischen Urbild- und Umkehrabbildung der Zusammenhang f −1({y}) = {f −1(y)} . (6.6) Dabei steht das Symbol f −1 auf der linken Seite der Gleichung (6.6) für die Urbildabbildung und auf der rechten Seite von (6.6) für die Umkehrabbildung. Ist f : M −→ N eine bijektive Abbildung mit M,N ⊆ R und soll die Umkehrabbildung f −1 in dasselbe kartesische Koordinatensystem wie f eingezeichnet werden, dann ist es zweckmäßig bei der Zuordnungsvorschrift f −1(y) = x die beiden Variablenbezeichnungen x und y zu vertauschen. Die beiden Abbildungen f −1 und f besitzen dann die gleiche unabhängige und die gleiche abhängige Variable x bzw. y und können somit in dasselbe (x, y)-kartesische Koordinatensystem eingezeichnet werden. Darüber hinaus gilt, dass die Graphen von f und f −1 symmetrisch zur 45°-Achse y = x liegen. Denn im kartesischen Koordinatensystem geht ein Punkt (a, b) durch Spiegelung an der Geraden y = x in den Punkt (b, a) über. Das heißt, der Graph graph(f ) = {(x, f (x)) : x ∈ M} der Abbildung f geht durch Spiegelung an der Geraden y = x in die Punktemenge {(f (x), x) : x ∈ M} über, welche der Graph der Umkehrabbildung f −1 ist (vgl. Abbildung 6.19). Für eine bijektive Abbildung f : M −→ M , bei welcher der Definitionsbereich mit dem Wertebereich übereinstimmt, wird die n-fache Hintereinanderausführung ihrer Umkehrabbildung f −1 für n ∈ N mit f −n := f −1 ◦ f −1 ◦ . . . ◦ f −1 ︸ ︷︷ ︸ n-mal bezeichnet. Zusammen mit der Bezeichnung f 0 := idM und (6.4) ist damit die „Potenz-Abbildung“ einer bijektiven Abbildung f : M −→ M für alle n ∈ Z definiert. 128 Kapitel 66.9 Umkehrabbildungen y = x l l a b b a (a, b) (b, a) y = f −1(x) y = f (x) Abb. 6.19: Graph einer Abbildung f : M −→ N und ihrer Umkehrabbildung f−1 : N −→ M Der folgende Satz fasst einige wichtige Eigenschaften von umkehrbaren Abbildungen zusammen: Satz 6.33 (Eigenschaften von umkehrbaren Abbildungen) Es seien f : M −→ N und g : L −→ M zwei umkehrbare Abbildungen. Dann gilt: a) f −1 ist umkehrbar mit ( f −1 )−1 = f . b) f ◦ g ist umkehrbar mit (f ◦ g)−1 = g−1 ◦ f −1. c) f −1 ◦ f = idM und f ◦ f −1 = idN . Beweis: Zu a): Dies folgt unmittelbar aus den Definitionen 6.26 und 6.32. Zu b): Aus der Umkehrbarkeit (d. h. Bijektivität) von f und g folgt mit Satz 6.30c), dass auch f ◦ g umkehrbar (bijektiv) ist. Dabei gilt für die Umkehrabbildung (f ◦ g)−1: x = (f ◦ g)−1(z) ⇐⇒ (f ◦ g)(x) = z ⇐⇒ f (g(x)) = z ⇐⇒ g(x) = f−1(z) ⇐⇒ x = g−1(f−1(z)) = (g−1 ◦ f−1)(z) für alle z ∈ N . Das heißt, es gilt (f ◦ g)−1 = g−1 ◦ f−1. Zu c) Es gilt z = (f−1 ◦ f )(x) = f−1(f (x)) ⇐⇒ f (z) = f (x) für alle x ∈ M . Da f bijektiv ist, impliziert dies x = z und damit ( f−1 ◦ f ) (x) = x für alle x ∈ M . Das heißt, es gilt f−1 ◦ f = idM . Analog erhält man ( f ◦ f−1) (z) = z für alle z ∈ N und damit f ◦ f−1 = idN . Ist f : M −→ N, x %→ y = f (x) eine bijektive Abbildung mit M,N ⊆ R, dann erhält man für die Umkehrabbildung f −1 die Zuordungsvorschrift x = f −1(y) durch Auflösung der Gleichung y = f (x) nach x. Wie die folgende Beispiele 6.34b), c) und d) zeigen, ist dies in einfachen Fällen analytisch möglich: Beispiel 6.34 (Umkehrabbildungen) a) Betrachtet wird die bijektive Abbildung f :M−→M aus Beispiel 6.31b). Für die Umkehrabbildung f −1 : M −→ M gilt offensichtlich f −1(x1) = x2, f −1(x2) = x3, f −1(x3) = x4 und f −1(x4) = x1. Da diese Zuordnungsvorschrift mit derjenigen von f 3 übereinstimmt und f 4 = idM gilt (vgl. Abbildung 6.17), erhält man: f −1 = f 3 f −2 = f −1 ◦ f −1 = f 3 ◦ f −1 = f 2 f −3 = f −2 ◦ f −1 = f 2 ◦ f −1 = f f −4 = f −3 ◦ f −1 = f ◦ f −1 = idM b) Die Abbildung f : R+ −→ R+, x %→ x2 ist bijektiv (vgl. Beispiel 6.27c)). Durch Auflösen der Gleichung y = x2 nach x erhält man x = √y für alle y ∈ R+. Vertauschen der Variablen x und y führt zu der Umkehrabbildung f −1 : R+ −→ R+, x %→ √ x. 129 Kapitel 6 Kartesische Produkte, Relationen und Abbildungen c) Die Abbildung f : R−→R, x %→4x−3 ist bijektiv. Durch Auflösen der Gleichung y = 4x − 3 nach x erhält man x = 1 4 y + 3 4 für alle y ∈ R. Vertauschen der Variablen x und y führt zu der Umkehrabbildung f −1 : R −→ R, x %→ 1 4 x + 3 4 . d) Die Abbildung f : [−1,∞) −→ R+, x %→ 5 √ x + 1 ist bijektiv. Durch Auflösen der Gleichung y = 5 √ x + 1 nach x erhält man x = y5 − 1 für alle y ∈ R+. Vertauschen der Variablen x und y führt zu der Umkehrabbildung f −1 : R+ −→ [−1,∞), x %→ x5 − 1 (vgl. Abbildung 6.20, links). Das Konzept invertierbarer Abbildungen lässt sich schließlich noch wie folgt verallgemeinern: −1 1 2 3 4 −1 1 2 3 4 f −1(x) f (x) −20 −10 10 20 −20 −10 10 20 f (x) f −1(x) Abb. 6.20: Abbildungen f : [−1,∞) −→ R+, x %→ 5 √ x + 1 (links) und f : (−4,∞) −→ R, x %→ 3x−1 x+4 (rechts) und zugehörige Umkehrfunktionen Ist eine Abbildung f : M −→ N injektiv, aber nicht surjektiv, dann erhält man durch Einschränkung des Wertebereichs N auf den Bildbereich f (M) eine bijektive und damit umkehrbare Abbildung f̃ : M −→ f (M), x %→ f̃ (x) := f (x). Ihre Umkehrabbildung f̃ −1 : f (M) −→ M ist dann jedoch nur noch auf der Menge f (M) ⊆ N definiert (vgl. Beispiel 6.35a)). Ist eine Abbildung f : M −→ N nicht injektiv, dann resultiert durch Einschränkung des Definitionsbereichs von f auf eine Teilmenge A ⊆ M mit der Eigenschaft f (x1) = f (x2) für alle x1, x2 ∈ A mit x1 = x2 und Einschränkung des Wertebereichs N auf den Bildbereich f (A) eine umkehrbare Abbildung f̃|A : A −→ f (A) (vgl. Beispiel 6.35b)). Beispiel 6.35 (Umkehrabbildungen von Restriktionen) a) Die Abbildung f : (−4,∞) −→ R, x %→ 3x−1 x+4 ist injektiv, aber nicht surjektiv. Wird jedoch der Wertebereich R auf den Bildbereich f ((−4,∞)) = (−∞, 3) eingeschränkt, dann erhält man die bijektive Abbildung f̃ : (−4,∞) −→ (−∞, 3), x %→ 3x−1 x+4 . 130 Kapitel 66.9 Umkehrabbildungen Auflösen der Gleichung y = 3x−1 x+4 nach x liefert x = 4y + 1 3 − y für alle y ∈ (−∞, 3) und anschließendes Vertauschen der Variablen x und y führt zu der Umkehrfunktion f̃ −1 : (−∞, 3) −→ (−4,∞), x %→ 4x + 1 3 − x (vgl. Abbildung 6.20, rechts). b) Die Abbildung f : R −→ R, x %→ x2 ist nicht injektiv und nicht surjektiv (vgl. Beispiel 6.27c)). Wird jedoch der Definitions- und Wertebereich jeweils von R auf R+ eingeschränkt, dann resultiert die bijektive Abbildung f̃|R+ : R+ −→ R+. Auflösen der Gleichung y = x2 nach x liefert x = √y für alle y ∈ R+ und anschließendes Vertauschen der Variablen x und y führt zu der Umkehrfunktion f̃|R+ : R+ −→ R+, x %→ √ x. 131

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References

Zusammenfassung

"uneingeschränkt zu empfehlen, [...] insbesondere als Einstiegslektüre im Bachelor-Studium". In: Studium, 2013.

So zentral die Rolle der Mathematik in der Ökonomie ist, so schwer tun sich die Studierenden mit mathematischen Methoden und Konzepten. Umso wichtiger ist es, die Studierenden bei ihrem aktuellen Wissensstand abzuholen und vorsichtig an den Stoff heranzuführen. Diesem Ziel verschreibt sich dieses Lehrbuch. Es führt mit vielen interessanten Beispielen aus der Ökonomie, kurzen Anekdoten und einem modernen mehrfarbigen Design in die zentralen mathematischen Methoden für ein erfolgreiches Wirtschaftsstudium ein, ohne dabei auf mathematische Klarheit sowie die notwendige Formalität und Stringenz zu verzichten. Auch nach dem Studium ist dieses Buch ein wertvoller Begleiter bei der mathematischen Lösung wirtschaftswissenschaftlicher Problemstellungen.

Aus dem Inhalt:

* Mathematische Grundlagen

* Lineare Algebra

* Matrizentheorie

* Folgen und Reihen

* Reellwertige Funktionen in einer und mehreren Variablen

* Differential- und Integralrechnung

* Optimierung mit und ohne Nebenbedingungen

* Numerische Verfahren

Dozenten finden auf der Website zum Buch unter www.vahlen.de zusätzliche Materialien zum Download.

"Indem Sie den Lehrstoff schrittweise aufbereiten und den Leser bei seinem aktuellen Wissenstand abholen, gelingt es ihnen [den Autoren], auch komplexe Zusammenhänge leicht nachvollziehbar zu vermitteln. Geschickt bauen sie immer wieder kurze Anekdoten, historische Ereignisse und überraschende Erkenntnisse in den Text ein". In: Studium, 2013.

Prof. Dr. Michael Merz ist Inhaber des Lehrstuhls für Mathematik und Statistik in den Wirtschaftswissenschaften an der Universität Hamburg. Prof. Dr. Mario V. Wüthrich forscht und lehrt am Department für Mathematik der ETH Zürich.