Content

3.10 Anhang in:

Andreas Schüler

Finanzmanagement mit Excel, page 253 - 273

Grundlagen und Anwendungen

1. Edition 2011, ISBN print: 978-3-8006-3662-4, ISBN online: 978-3-8006-4872-6, https://doi.org/10.15358/9783800648726_253

Series: Finance Competence

Bibliographic information
3.10 Anhang 235 r Erwartete Rendite eines Objekts gem. Indexmodell: α β= + ⋅j j j Mr r r Schätzung der Kovarianz zwischen zwei Aktien: 2 ij i j M für i jσ β β σ= ≠ r Varianz der Portfoliorendite: εσ β σ σ= +2 2 2 2j j M j 3.10 Anhang 3.10.1 Herleitung des Intervalls möglicher Korrelationskoeffizienten Wenn zwei Zufallsvariablen linear miteinander verknüpft sind i. S.v. = +Y a bX ; dann gilt für die Varianz bzw. Standardabweichung von Y σ σ=2 2 2Y Xb ; σ σ=Y Xb und für die Kovarianz von X und Y σ σ= 2XY Xb . Für den Korrelationskoeffizienten folgt dann σ σρ σ σ σ σ = = = 2 XY X XY X Y X X b b b b Für b < 0 erhalten wir dann einen Korrelationskoeffizienten von –1, für b > 0 beträgt er +1. Dass die Cashflows bzw. Renditen in unserem Beispiel (Abschnitt 3.1) linear verknüpft sind, erkennt man aus der Formulierung von zwei Gleichungen, z. B. auf Basis der Renditen der Szenarios 1 und 2 für Projekt A und B: (I) -0,59 = a + 0,905b (II) 0,23 = a – 0,048b Nach Subtraktion der Gleichung (II) von (I) resultiert: 0,953b = -0,82 b = -0,8604 Den Wert von b setzen wir dann in eine der beiden Gleichungen ein und können so a berechnen. Ohne darüber zu sprechen, hatte ich im Beispiel also folgenden Zusammenhang unterstellt: = −0,1887 0,8604B Ar r Da gilt b < 0, liegt ein Korrelationskoeffizient von – 1 vor. Fotosatz Buck – Vahlen Competence – Schüler – Finanzmanagement mit Excel – Herstellung: Frau Deuringer Stand: 1. Juli 2011, 9:47 vorm. Druckdaten Seite 235 3. Risiko & Rendite236 3.10.2 Histogramm zur Illustration von Renditedaten Excel-Tipp 34: Histogramm zur Illustration von Renditedaten Dem Histogramm (Abbildung 3-5, Abbildung 3-6) liegen Jahreszahlen samt den zugehörigen Renditen zu Grunde. Ziel ist es, die Jahre entsprechend ihrer Rendite in Klassen einzuteilen und innerhalb einer Klasse die Jahre in zeitlicher Reihenfolge zu stapeln. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 A B C D E F G H I J Histogramm Rendite REXP (1955-2009) 15 14 2009 13 2005 12 2003 11 2001 10 1988 9 1983 8 1981 2008 7 2006 1972 1998 6 1990 2007 1970 2002 1991 5 1989 1980 1964 2004 1986 1985 4 1979 1978 1963 2000 1974 1976 1992 3 1969 1973 1962 1997 1971 1967 1984 2 1966 1965 1957 1996 1968 1959 1977 1 1994 1999 1956 1960 1955 1987 1961 1958 1975 < -0,02 -0,02 - 0 0 - 0,02 0,02 - 0,04 0,04 - 0,06 0,06 - 0,08 0,08 - 0,1 0,1 - 0,12 0,12 - 0,14 -2% 0% 2% 4% 6% 8% 10% 12% 14% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Um die Klassen zu bilden, werden entlang der x-Achse des späteren Histogramms die Klassengrenzen abgetragen und eine Zeile darunter (Zeile 21) jeder Klasse eine Ordnungszahl zugewiesen. 18 19 20 21 B C D E F G H I J < -0,02 -0,02 - 0 0 - 0,02 0,02 - 0,04 0,04 - 0,06 0,06 - 0,08 0,08 - 0,1 0,1 - 0,12 0,12 - 0,14 -2% 0% 2% 4% 6% 8% 10% 12% 14% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 In einer Berechnungstabelle wird eine Spalte für jede Klasse generiert, in der wir mittels einer WENN-Bedingung prüfen, ob die Jahresrendite in diese Klasse fällt. Ist dies der Fall, wird die Ordnungszahl der Klasse, ansonsten Null zurückgegeben. Um diese Information in einer einzigen Spalte „Gruppe“ zu verdichten, können wir die Funktion SUMME über mehrere Spalten hinweg nutzen, da in einer Zeile nur einmal eine Ordnungszahl auftauchen kann, während alle anderen Felder den Wert Null annehmen. Auf das naheliegende Abprüfen aller Klassen in einer einzigen WENN-Funktion verzichten wir, um überlange Schachtelungen zu vermeiden. Fotosatz Buck – Vahlen Competence – Schüler – Finanzmanagement mit Excel – Herstellung: Frau Deuringer Stand: 1. Juli 2011, 9:47 vorm. Druckdaten Seite 236 3.10 Anhang 237 1 2 57 58 59 P Q R S T U V W X Y Z AA AB AC AD AE AF AG x-Achse y-Achse Jahr REXP Gruppe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Rang 1955 5,9% 5 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 1 =SUMME(S57:AD57) =ZÄHLENWENN(R57:R$57;R57) =WENN(UND(B$20<$Q57;$Q57<=C$20);C$21;0) Zudem sollen die Jahreszahlen entlang der y-Achse des Histogramms zeitlich aufsteigend geordnet werden. Hierzu benötigen wir in der Berechnungstabelle für jede Klasse eine neue Spalte (AF), in der wir zählen, wie oft bereits eine Zuordnung zu einer Klasse vorgenommen wurde, beginnend mit dem am weitesten zurückliegenden Jahr. Die Umsetzung erfolgt mittels der Funktion ZÄH- LENWENN. Diese beiden Informationen „Gruppe“ und „Rang“ werden mittels der Funktion VERKETTEN(Gruppe; „_“; Rang) zu einer Informationseinheit zusammengeführt. Durch dieses Vorgehen konnten wir nun neben dem Jahr und seiner Rendite ein weiteres Feld generieren, welches eine Gruppenzuordnung sowie die Position innerhalb der Gruppe enthält. 1 2 52 53 54 55 56 57 O P Q R AE x/y Position x-Achse y-Achse Position Jahr REXP Gruppe Rang 4_1 1960 3,3% 4 1 8_2 1959 11,0% 8 2 8_1 1958 10,3% 8 1 5_2 1957 5,0% 5 2 3_1 1956 0,9% 3 1 5_1 1955 5,9% 5 1 Mittels dieser Information wird nun das Jahr auf der x- und y-Achse des Histogramms platziert. Hierzu werden im Histogramm nun auch die Zeilen von unten aufsteigend nummeriert, bevor ein SVERWEIS (vgl. Excel-Tipp 54) konstruiert wird, der als Suchkriterium die Zeilen- und Spaltennummerierung der jeweiligen Zelle mittels einem Unterstrich verknüpft und in jede Zelle des Histogramms kopiert wird. Da diese Verknüpfung von Zellen- und Spaltennummerierung unserer Verkettung von „Gruppe“ und „Rang“ entspricht, können hiermit aus der DATENTABELLE die zugehörigen Jahreszahlen abgerufen werden. Fotosatz Buck – Vahlen Competence – Schüler – Finanzmanagement mit Excel – Herstellung: Frau Deuringer Stand: 1. Juli 2011, 9:47 vorm. Druckdaten Seite 237 3. Risiko & Rendite238 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 A B C D E F G H I J Histogramm Rendite REXP (1955-2009) 15 14 13 =SVER EIW S(VERKETTEN(D$21;"_";$A5);$O$3:$Q$57;2;FALSCH) 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 =SVER EIW S(VERKETTEN(B 1;$2 "_";$A17);$O$3:$Q$57;2;FALSCH) < -0,02 -0,02 - 0 0 - 0,02 0,02 - 0,04 0,04 - 0,06 0,06 - 0,08 0,08 - 0,1 0,1 - 0,12 0,12 - 0,14 -2% 0% 2% 4% 6% 8% 10% 12% 14% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Viele der Felder im Histogramm sind in der DATENTABELLE natürlich nicht enthalten, können somit nicht gefunden werden und liefern den Fehler NV#, was unschön aussieht. Um dies zu vermeiden, setzen wir die Funktion ISTNV ein. Hierzu müssen die bestehenden SVERWEISe wie folgt erweitert werden: WENN (ISTNV(SVERWEIS());““;SVERWEIS()), was die Formel leider etwas sperrig erscheinen lässt. 3.10.3 Blasendiagramm zur Illustration von Renditedaten Excel-Tipp 35: Blasendiagramm zur Illustration von Renditedaten Zur Illustration von Rendite-Relationen sind „Bubbles“-Diagramme gut geeignet, da die jeweilige Rendite bzw. deren Vorzeichen grafisch über die Größe bzw. die Farbe der Blase dargestellt werden kann. Ein Beispiel ist die bereits vorne im Kapitel eingeführte Abbildung zur Höhe der Differenz zwischen CDAX- Rendite und risikoloser Rendite: Fotosatz Buck – Vahlen Competence – Schüler – Finanzmanagement mit Excel – Herstellung: Frau Deuringer Stand: 1. Juli 2011, 9:47 vorm. Druckdaten Seite 238 3.10 Anhang 239 8,6% 4,4% 52,0% 67,0% 32,6% 8,9% 1,6% 39,3% 6,9% 15,9% 1,2% 12,4% 23,0% 8,0% 2,3% 1,1% 34,9% 0,1% 67,2% 28,8% 36,5% 31,6% 15,6% 35,2% 5,0% 34,5% 33,5% 1,8% 24,1% 23,8% 17,9% 20,5% 5,5% -6,2% -17,2% -27,2% -15,2% -15,5% -28,4% -20,4% -6,6% -15,4% -0,3% -6,8% -0,5% -0,6% -40,1% -14,9% -5,0% -18,4% -2,6% -11,0% -16,3% -22,9% -49,0% -52,7% 25,2% 30,0% 27,7% 21,4% 12,8% 3,8% 3,4% 6,3% 3,7% 7,0% 1,6% 1,9% 1,7% 1,7% 0,5% 0,8% 6,2% 7,6% 20,5% 20,5% 12,3% 11,1% 18,4% 1,9% 1,1% 5,4% 6,0% 3,0% 13,7% 8,4% 15,8% 14,8% 7,1% 6,8% 20,2% 3,0% 6,7% 5,7% -0,3% -9,8% -9,5% -3,9% -8,4% -1,4% -3,9% -2,4% -1,9% -1,1% -9,7% -4,0% -10,6% -2,5% 12,5% 10,1% 9,1% 12,6% 8,1% 3,0% 2,7% 2,8% 2,8% 4,0% 4,6% 9,1% 10,5% 6,6% 8,6% 13,0% 11,2% 10,8% 8,8% 8,5% 8,3% 0,4% 2,1% 9,6% 7,2% 7,0% 6,9% 5,1% 2,0% 2,2% 2,6% 6,2% 7,0% 5,2% 4,7% -3,1% -1,2% -0,2% -1,0% -1,2% -1,1% -3,3% -0,3% -0,4% -1,6% -0,5% -1,9% 10,4% 7,9% 8,4% 8,9% 4,1% 0,5% 0,4% 1,0% 2,0% 1,4% 0,3% 6,7% 6,6% 3,1% 6,3% 9,2% 6,7% 7,4% 6,2% 7,7% 8,0% 7,1% 8,2% 10,5% 8,5% 10,8% 5,2% 3,7% 3,1% 3,5% 1,1% 3,7% 5,7% 8,1% 2,5% 4,0% 4,8% -0,8% -1,4% -1,3% -0,1% -0,5% 5,7% 6,4% 6,0% 5,7% 3,5% 0,6% 1,9% 1,8% 5,9% 6,7% 2,7% 3,8% 4,8% 5,5% 5,2% 3,6% 6,2% 6,4% 4,7% 6,3% 8,1% 7,9% 10,0% 9,0% 7,9% 5,4% 5,4% 5,4% 3,3% 4,5% 7,4% 3,3% 2,5% 4,8% -0,2% -1,7% -0,8% 4,9% 4,7% 4,9% 4,7% 4,1% 1,4% 2,8% 3,4% 2,9% 3,7% 5,1% 5,1% 5,5% 3,2% 4,2% 3,5% 4,2% 4,8% 5,7% 6,7% 8,3% 6,8% 6,5% 4,5% 5,5% 5,9% 6,7% 7,7% 8,4% 4,9% 5,7% 5,0% 5,3% 7,3% 7,5% 6,0% 5,2% 4,2% 2,6% 3,0% 3,3% 4,1% 3,9% 4,1% 5,1% 5,0% 4,9% 5,5% 5,9% 5,1% 3,1% 4,9% 5,2% 5,2% 6,5% 7,1% 5,1% 6,0% 5,1% 7,2% 6,5% 6,6% 5,9% 5,3% 3,3% 2,1% 3,0% 4,8% 4,7% 5,6% 5,6% 5,4% 2,9% 3,6% 3,2% 4,7% 5,4% 5,5% 4,6% 5,4% 4,8% 6,1% 5,6% 6,1% 6,9% 5,7% 4,9% 3,7% 3,5% 3,0% 3,6% 3,6% 4,6% 5,6% 5,1% 3,6% 3,7% 4,7% 1955 1956 1957 1958 1959 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 5 10 15 20 25 30 35 40 Ei ns tie g Haltedauer in Jahren 1 Mittelwert Überrendite Fotosatz Buck – Vahlen Competence – Schüler – Finanzmanagement mit Excel – Herstellung: Frau Deuringer Stand: 1. Juli 2011, 9:47 vorm. Druckdaten Seite 239 3. Risiko & Rendite240 Wie man dieses Diagramm entwirft, wollen wir im Folgenden beschreiben. Die zugehörigen Daten liegen in folgender Tabelle vor: 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 A B C D E F G H I J Haltedauer / Einstieg 1 5 10 15 20 25 30 35 40 1955 8,6% 25,2% 12,5% 10,4% 5,7% 4,9% 5,3% 7,2% 6,1% 1956 -6,2% 30,0% 10,1% 7,9% 6,4% 4,7% 7,3% 6,5% 5,6% 1957 4,4% 27,7% 9,1% 8,4% 6,0% 4,9% 7,5% 6,6% 6,1% 1958 52,0% 21,4% 12,6% 8,9% 5,7% 4,7% 6,0% 5,9% 6,9% 1959 67,0% 12,8% 8,1% 4,1% 3,5% 4,1% 5,2% 5,3% 5,7% 1960 32,6% -0,3% 3,0% -0,8% -0,2% 1,4% 4,2% 3,3% 4,9% 1961 -17,2% -9,8% -3,1% -1,4% -1,7% 2,8% 2,6% 2,1% 3,7% 1962 -27,2% -9,5% -1,2% -1,3% -0,8% 3,4% 3,0% 3,0% 3,5% 1963 8,9% 3,8% 2,7% 0,5% 0,6% 2,9% 3,3% 4,8% 3,0% 1964 1,6% 3,4% -0,2% 0,4% 1,9% 3,7% 4,1% 4,7% 3,6% 1965 -15,2% 6,3% -1,0% -0,1% 1,8% 5,1% 3,9% 5,6% 3,6% 1966 -15,5% 3,7% 2,8% 1,0% 5,9% 5,1% 4,1% 5,6% 4,6% 1967 39,3% 7,0% 2,8% 2,0% 6,7% 5,5% 5,1% 5,4% 5,6% 1968 6,9% 1,6% -1,2% -0,5% 2,7% 3,2% 5,0% 2,9% 5,1% 1969 15,9% -3,9% -1,1% 1,4% 3,8% 4,2% 4,9% 3,6% 3,6% 1970 -28,4% -8,4% -3,3% 0,3% 4,8% 3,5% 5,5% 3,2% 3,7% 1971 1,2% 1,9% -0,3% 6,7% 5,5% 4,2% 5,9% 4,7% 1972 12,4% -1,4% -0,4% 6,6% 5,2% 4,8% 5,1% 5,4% 1973 -20,4% -3,9% -1,6% 3,1% 3,6% 5,7% 3,1% 5,5% 1974 -6,6% 1,7% 4,0% 6,3% 6,2% 6,7% 4,9% 4,6% 1975 23,0% 1,7% 4,6% 9,2% 6,4% 8,3% 5,2% 5,4% 1976 -15,4% -2,4% 9,1% 6,7% 4,7% 6,8% 5,2% 1977 -0,3% 0,5% 10,5% 7,4% 6,3% 6,5% 6,5% 1978 8,0% 0,8% 6,6% 6,2% 8,1% 4,5% 7,1% 1979 -6,8% 6,2% 8,6% 7,7% 7,9% 5,5% 5,1% 1980 2,3% 7,6% 13,0% 8,0% 10,0% 5,9% 6,0% 1981 -0,5% 20,5% 11,2% 7,1% 9,0% 6,7% 1982 1,1% 20,5% 10,8% 8,2% 7,9% 7,7% 1983 34,9% 12,3% 8,8% 10,5% 5,4% 8,4% 1984 0,1% 11,1% 8,5% 8,5% 5,4% 4,9% 1985 67,2% 18,4% 8,3% 10,8% 5,4% 5,7% 1986 -0,6% 1,9% 0,4% 5,2% 3,3% 1987 -40,1% 1,1% 2,1% 3,7% 4,5% 1988 28,8% 5,4% 9,6% 3,1% 7,4% 1989 36,5% 6,0% 7,2% 3,5% 3,3% 1990 -14,9% -1,9% 7,0% 1,1% 2,5% 1991 -5,0% -1,1% 6,9% 3,7% 1992 -18,4% 3,0% 5,1% 5,7% 1993 31,6% 13,7% 2,0% 8,1% 1994 -2,6% 8,4% 2,2% 2,5% 1995 -11,0% 15,8% 2,6% 4,0% 1996 15,6% 14,8% 6,2% 1997 35,2% 7,1% 7,0% 1998 5,0% -9,7% 5,2% 1999 34,5% -4,0% -0,5% 2000 -16,3% -10,6% -1,9% 2001 -22,9% -2,5% 2002 -49,0% 6,8% 2003 33,5% 20,2% 2004 1,8% 3,0% 2005 24,1% 6,7% 2006 23,8% 2007 17,9% 2008 -52,7% 2009 20,5% Fotosatz Buck – Vahlen Competence – Schüler – Finanzmanagement mit Excel – Herstellung: Frau Deuringer Stand: 1. Juli 2011, 9:47 vorm. Druckdaten Seite 240 3.10 Anhang 241 Die dunkle bzw. helle Färbung in Abhängigkeit des Vorzeichens kann mittels der Funktion BEDINGTE FORMATIERUNG erreichet werden. Dies erleichtert einen schnellen Überblick über die vorhandenen Daten. Da Excel die BEDINGTE FORMATIERUNG im Diagramm nicht automatisiert anbietet, greifen wir in die Trickkiste: Wir „trennen“ die obige Tabelle in verschiedene Spalten für positive und negative Werte auf. Diese werden im Diagramm als einzelne Datenreihe mit unterschiedlichen Farben (in diesem Fall dunkel und hell) abgebildet und ergeben zusammen das vollständige Diagramm. Die einzelnen Datenreihen formatieren wir im Diagramm entsprechend des Vorzeichens dunkel oder hell. Dies ist möglich, da ein Wert nur die Merkmalsausprägung positiv (dunkel) oder negativ (hell) annehmen kann. Beide Datenreihen positionieren wir am selben x-Achsen-Wert, der die Haltedauer repräsentiert, so dass sie zusammen die vollständige Reihe ergeben. Grundlage hierzu ist eine Umformung der Tabelle (der Übersichtlichkeit halber hier nur für die Jahre 1955 und 1956) in folgende Form: 3 4 5 M N O P Q Jahr Laufzeit Werte Dunkel Hell 1955 1 8,6% 8,6% 1956 1 -6,2% 6,2% Zunächst blicken wir nur auf die Spalte O. Diese enthält die Werte aus dem „dunkel-hell“-Diagramm, die wir nun über WENN-Bedingungen in positive (Spalte P) und negative (Spalte Q) Werte trennen. Nächster Schritt zur Erstellung des Blasendiagramms ist das Einbeziehen der „dunklen“ Reihe, die die positiven Werte enthält. Die Werte für die Reihe werden nach der Auswahl des Blasen-Diagramms in diese Dialogbox (nach Klick mit der rechten Maustaste über dem Diagramm und Auswahl von Daten_auswählen/ Hinzufügen) eingetragen: „Werte der Reihe X“ ist die Position auf der x-Achse und hat für alle Werte die Ausprägung „1“, da wir zunächst nur die einjährigen Halteperioden im Fokus haben. „Werte der Reihe Y“ sind die jeweiligen Einstiegsjahre, also die Jahre 1955, 1956, …, 2009. „Reihenblasengröße“ ist der Wert des jeweiligen Kreises, hier also die Werte aus Spalte P. Die angezeigten Kreise färben wir im Diagramm dunkel ein. Der Ablauf zur Erstellung der hellen Blasen bzw. Kreise ist analog, nur dass die Werte für die „Reihenblasengröße“ nun in Spalte Q stehen. Im Ergebnis erreichen wir, dass beide Datenreihen zusammen abgebildet werden. Fotosatz Buck – Vahlen Competence – Schüler – Finanzmanagement mit Excel – Herstellung: Frau Deuringer Stand: 1. Juli 2011, 9:47 vorm. Druckdaten Seite 241 3. Risiko & Rendite242 Den Wert, den die Kreise repräsentieren, lassen wir uns durch „Datenbeschriftungen hinzufügen“ und einen Haken bei der Kategorie „Blasengröße“ in der Dialogbox „Datenbeschriftung formatieren“ anzeigen. Um allen Kreisen die Renditen mit den richtigen Vorzeichen zuordnen zu können – ohne weitere Maßnahmen würden die hellen, negative Werte repräsentierende Blasen positive Renditen nennen –, ändern wir das Zahlenformat der hellen Kreise. Hierzu legen wir mit „Datenbeschriftung formatieren“ ein benutzerdefiniertes Zahlenformat an, so dass eine positive Zahl immer mit einem „-“-Zeichen versehen wird. Nun werden die Werte der hellen Kreise korrekt, also mit „-“-Zeichen, abgebildet. Fotosatz Buck – Vahlen Competence – Schüler – Finanzmanagement mit Excel – Herstellung: Frau Deuringer Stand: 1. Juli 2011, 9:47 vorm. Druckdaten Seite 242 3.10 Anhang 243 Die obigen Schritte beschreiben den Aufbau der ersten Spalte (Haltedauer 1 Jahr) des abgebildeten Diagramms. Für weitere Spalten bzw. Haltedauern verfahren wir analog. 3.10.4 Portfoliovarianz Um die Formel für die Portfoliovarianz herzuleiten, setzen wir in die Standardformulierung der Varianz (als mit den Wahrscheinlichkeiten gewichtete Summe der quadrierten Abweichungen vom Erwartungswert) die Renditedefinition ein. Es ist die erwartete Rendite jeweils von der szenarioabhängigen Rendite abzuziehen, zu quadrieren und zu gewichten: j i ( ) j( ) i( ) j( ) i( ) j( ) i( ) σ σ σ σ = = = = = ª º ª º = + − + = − + −¬ ¼ ¬ ¼ = − + − + − − = + + ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 n n P j A Aj B Bj A Aj B Bj j A Aj A B Bj B j j n n n j A Aj A j B Bj B A B j Aj A Bj B j j j A A B B A B AB p x r x r x r x r p x r r x r r p x r r p x r r x x p r r r r x x x x Die Umformung basiert im Wesentlichen auf der Definition der Varianz einer Rendite bzw. der Kovarianz zwischen den beiden Aktien, also: Fotosatz Buck – Vahlen Competence – Schüler – Finanzmanagement mit Excel – Herstellung: Frau Deuringer Stand: 1. Juli 2011, 9:47 vorm. Druckdaten Seite 243 3. Risiko & Rendite244 j( ) j( ) i( ) σ σ = = = − = − − ¦ ¦ 2 2 1 1 n A j Aj A j n AB j Aj A Bj B j p r r p r r r r 3.10.5 Minimum-Varianz-Portfolio im 2-Aktienfall Mit = −1B Ax x erhalten wir: ( ) ( ) ( ) ( ) σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ = =+ − + − = + − + − + 2 22 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 P BA A A A A AB B B BA AB A AB A x x x x x x Die erste Ableitung nach xA ist: ( ) ( )P A B AB A AB B A x x σ σ σ σ σ σ ∂ = + − + − ∂ 2 2 2 22 2 2 Nach Nullsetzen und Auflösen nach *Ax erhalten wir die o. g. Definition. σ σ σ σ σ − = + − 2 * 2 2 2 B AB A A B AB x Dass es sich um ein Minimum handelt, zeigt die zweite Ableitung der Portfoliovarianz nach dem Anteil xA: P A B AB Ax σ σ σ σ ∂ = + − ∂ 2 2 2 2 2 2 2 4 Denn man kann durch Umformung zeigen, dass diese positiv ist. Dazu kürzen wir zunächst ein wenig und arrangieren etwas um: σ σ σ σ σ σ + − > − + > 2 2 2 2 2 2 4 0 2 0 A B AB A AB B Da σ ρ σ σ=AB AB A B und der Korrelationskoeffizient ρ maximal 1 beträgt, können wir entsprechend oben einsetzen: ( ) σ σ σ σ σ σ − + > − > 2 2 2 2 0 0 A A B B A B Diese Ungleichung ist immer erfüllt, es liegt ein Minimum vor. Albrecht/Maurer (2008) weisen auf S. 267 ihres Buches mit Blick auf den Zähler der MVP-Formel darauf hin, dass die riskantere Aktie (nennen wir sie Aktie 1) Fotosatz Buck – Vahlen Competence – Schüler – Finanzmanagement mit Excel – Herstellung: Frau Deuringer Stand: 1. Juli 2011, 9:47 vorm. Druckdaten Seite 244 3.10 Anhang 245 von zwei Aktien nur dann im Minimum-Varianz-Portfolio enthalten ist, m. a. W. der Anteil x1 > 0 ist, wenn gilt: σ σ ρ σ σ σ ρ σ > = => > 2 2 12 12 1 2 2 12 1 3.10.6 Minimum-Varianz-Portfolio im 3-Aktienfall Die Standardabweichung der Renditen eines Portfolios aus 3 Aktien ist: 2 2 2 2 2 2 2 P B B B BA A C C A AB A C AC C BCx x x 2x x 2x x 2x xσ σ σ σ σ σ σ= + + + + + mieren unter der Nebenbedingung: = − −1C A Bx x x Wir können dann schreiben: ( ) ( ) ( ) σ σ σ σ σ σ σ = + + − − + + − − + − − 22 2 2 2 2 21 2 2 1 2 1 P A A B B A B C A B AB A A B AC B A B BC x x x x x x x x x x x x Nach Umformung folgt: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ = + − + + − − − − − + + − − + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 P A A C AC B B C BC A C AC B C BC A B AB C AC BC C x x x x x x Die partiellen (ersten) Ableitungen nach xA und xB sind: ( ) ( ) ( )σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ∂ = + − − − + + − −∂ 2 2 2 2 2(I) 2 2 2 2P A A C AC C AC B AB C AC BC A x x x ( ) ( ) ( )σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ∂ = + − − − + + − −∂ 2 2 2 2 2(II) 2 2 2 2P B B C BC C BC A AB C AC BC B x x x Da wir auf der Suche nach dem Minimum sind, setzten wir diese Gleichungen gleich Null. Die Matrizenrechnung hilft bei der Lösung des Problems. Wir schreiben also: ( ) ( )σ σ σ σ σ σ σ σ σ+ − + + − − = −2 2 2 22A A C AC B AB C AC BC C ACx x ( ) ( )σ σ σ σ σ σ σ σ σ+ − − + + − = −2 2 2 22A AB C AC BC B B C BC C BCx x Diese beiden Gleichungen lassen sich zwar auch direkt nach den Anteilen von A und B durch wechselseitiges Einsetzen auflösen. Nicht zuletzt um schwer verdauliche Terme zu vermeiden, bedienen wir uns einiger Matrizenrechenregeln. Denn wir können die Gleichungen in eine Matrix überführen der Form § · § ·§ ·¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸© ¹© ¹ © ¹ 11 12 1 1 21 22 2 2 a a x b = a a x b kurz Fotosatz Buck – Vahlen Competence – Schüler – Finanzmanagement mit Excel – Herstellung: Frau Deuringer Stand: 1. Juli 2011, 9:47 vorm. Druckdaten Seite 245 3. Risiko & Rendite246 ⋅ =xA b Nach dem Vektor x auflösen kann man durch Multiplikation der Gleichung mit der Inversen der Matrix A:75 − = ⋅ 1x A b Hier sind A, x und b definiert mit: ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı § ·§ · ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸© ¹ © ¹ 2 2 2 11 12 A C AC AB C AC BC 2 2 2 21 22 AB C AC BC B C BC a a + - 2 + - - A = = a a + - - + - 2 § · § ·¨ ¸ ¨ ¸© ¹ © ¹ x 1 A 2 B x x = = x x ı ı ı ı § ·§ · ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸© ¹ © ¹ 2 1 C AC 2 2 C BC b b = = b - Mithilfe der Excel-Funktion MINV kann die Matrix zu A-1 invertiert werden. Die Multiplikation dieser Inversen mit b erfolgt über MMULT; Ergebnisse sind die Anteile der Aktien A und B, d.h. xA und xB, wie wir sie in Abschnitt 3.3.3 berechnet haben. Der Anteil der Aktie C entspricht dem Teil des Portfolios, der nicht aus A oder B besteht, also = − −1C A Bx x x . Damit kennen wir die Gewichte der Aktien im Minimum-Varianz-Portfolio. 3.10.7 Effiziente Linie im 3-Aktienfall Die erwartete Portfoliorendite und deren Varianz betragen: = + +P B BA A C Cr x r x r x r σ σ σ σ σ σ σ= + + + + +2 2 2 2 2 2 2 2 2 2P B B B BA A C C A AB A C AC C BCx x xx x x x x x Um die effiziente Linie zu zeichnen, kann man bei gegebener Rendite nach dem risikominimierenden Portfolio suchen. Zielsetzung ist also die Minimierung der Portfoliovarianz unter folgenden Nebenbedingungen: P A A B B C Cr x r x r x r= + + C A Bx x x= − −1 ( ) ( ) ( ) ( ) σ σ σ σ σ σ σ λ = + + − − + + − − ª º+ − − + − − − − −¬ ¼ 22 2 2 2 2 21 2 2 1 2 1 1 P A A B B A B C A B AB A A B AC B A B BC P A A B B A B C x x x x x x x x x x x x r x r x r x x r Mit λ bezeichnen wir den Lagrange-Multiplikator. Nach Umformung folgt: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ λ = + − + + − − − − − ª º+ + − − + + − − − − −¬ ¼ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 P A A C AC B B C BC A C AC B C BC A B AB C AC BC C P C A A C B B C x x x x x x r r x r r x r r 75 Denn es gilt (mit I für die Einheitsmatrix): .-1A ×A = I Fotosatz Buck – Vahlen Competence – Schüler – Finanzmanagement mit Excel – Herstellung: Frau Deuringer Stand: 1. Juli 2011, 9:47 vorm. Druckdaten Seite 246 3.10 Anhang 247 Die partiellen (ersten) Ableitungen nach xA, xB und b sind: ( ) ( ) ( ) ( ) σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ λ ∂ = + − − − + + − − + ∂ − − 2 2 2 2 2(I) 2 2 2 2P A A C AC C AC B AB C AC BC A A C x x x r r ( ) ( ) ( ) ( ) σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ λ ∂ = + − − − + + − − + ∂ − − 2 2 2 2 2(II) 2 2 2 2P B B C BC C BC A AB C AC BC B B C x x x r r ( ) ( )σλ∂ = − − − − −∂ 2 (III) P P C A A C B B Cr r x r r x r r Zur Ermittlung des Minimums sind diese drei Gleichungen gleich Null zu setzen. Um die Anwendung der Matrizenschreibweise vorzubereiten, können wir nach ein wenig Umformen (I), (II) und (III) so schreiben: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) σ σ σ σ σ σ σ λ σ σ σ σ σ σ σ σ σ λ σ σ + − + + − − − − = − + − + + − − − − = − 2 2 2 2 2 2 2 2 I 2 2 2 2 bzw. 2 0,5 A A C AC B AB C AC BC A C C AC A A C AC B AB C AC BC A C C AC x x r r x x r r ( ) ( ) ( ) ( )σ σ σ σ σ σ σ λ σ σ+ − − + + − − − = −2 2 2 2II 2 0,5A AB C AC BC B B C BC B C C BCx x r r ( ) ( ) ( )− + − = −III A A C B B C P Cx r r x r r r r Auch dieses Gleichungssystem lässt sich mithilfe von Matrizen zügig lösen. Denn wir können die Gleichungen wiederum in eine Matrizen-Gleichung betten § · § ·§ ·¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸© ¹© ¹ © ¹ 1 111 12 13 21 22 23 2 2 31 32 33 3 3 x ba a a a a a x = b a a a x b Nach dem Vektor x auflösen kann man durch Multiplikation beider Seiten der Gleichung mit der Inversen der Matrix A: − = ⋅ 1x A b Hier sind A, x und b definiert mit: ( ) ( ) ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ı § ·¨ ¸§ ·¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸© ¹ ¨ ¸© ¹ 2 2 2 A C AC AB C AC BC A C 11 12 13 2 2 2 21 22 23 AB C AC BC B C BC B C 31 32 33 A C B C + - 2 + - - -0,5 r - r a a a A = a a a = + - - + - 2 -0,5 r - r a a a r - r r - r 0 λ § · § ·¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸© ¹ © ¹ x 1 A 2 B 3 x x = x = x x Fotosatz Buck – Vahlen Competence – Schüler – Finanzmanagement mit Excel – Herstellung: Frau Deuringer Stand: 1. Juli 2011, 9:47 vorm. Druckdaten Seite 247 3. Risiko & Rendite248 ı ı ı ı § ·§ · ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸© ¹ © ¹ 2 C AC1 2 2 C BC 3 P C -b b = b = b r - r Über MINV kann A wieder zu A-1 invertiert werden. Die Multiplikation dieser Inversen mit b erfolgt über MMULT; Ergebnisse sind die Anteile der Aktien A und B sowie der Lagrange-Multiplikator. Der Anteil der Aktie C entspricht dem Teil des Portfolios, der nicht aus A oder B besteht, also = − −1C A Bx x x . Damit kennen wir die Gewichte der Aktien an dem Portfolio, das die vorgegebene Portfoliorendite rP bei minimaler Standardabweichung erwarten lässt. Es empfiehlt sich, die Berechnungen mit der Rendite des Minimum-Varianz- Portfolios zu beginnen und über die Excel-Funktion DATENTABELLE die Renditevorgabe zu variieren. Damit ist es möglich, die effiziente Linie basierend auf den Portefeuilles, die bei gegebener Renditeerwartung das geringste Risiko aufweisen, zu zeichnen. 3.10.8 Zusammensetzung des Marktportfolios (2 Aktien) Das Portfolio P* sei das sog. Tangential- oder Marktportfolio (M). Es ist das Portfolio, bei dem sich die Kapitalmarktlinie und die Linie effizienter Portfolios berühren. Gesucht ist die Zusammensetzung dieses Portfolios. Da es alle riskanten Wertpapiere beinhalten muss, interessiert also der Anteil der Wertpapiere am Portfolio P* bzw. M. Die Herleitung basiert auf der Maximierung der Sharpe Ratio: σ − = * * P P r i s den 2-Wertpapier-Fall.76 Gesucht ist also der Anteil des Wertpapiers A (xA); der Anteil des Wertpapiers B folgt dann sofort aus xB = 1 – xA. Wie wir wissen, gilt: = +*P A A B Br x r x r bzw. wenn man – ganz im Sinne des Zählers der Sharpe Ratio – gleich auf die Überrendite abstellt: ( ) ( )− = − + −*P A A B Br i x r i x r i σ σ σ σ= + +2 2 2 2* 2P A A B B A B ABx x x x 76 Zur Herleitung vgl. Lintner (1965b), S. 19–22; Lintner (1965a), S. 595–596. Vgl. dazu auch Breuer/Gürtler/Schuhmacher (2004), S. 178–182, die den Kehrwert der Sharpe Ratio minimieren; freilich liefern beide Ansätze die gleichen Ergebnisse. Fotosatz Buck – Vahlen Competence – Schüler – Finanzmanagement mit Excel – Herstellung: Frau Deuringer Stand: 1. Juli 2011, 9:47 vorm. Druckdaten Seite 248 3.10 Anhang 249 Somit lautet die Sharpe Ratio: ( ) ( ) ( )σ σ σ − + − = + + 1 2 2 2 2 22 A A B B A A B B A B AB r i x r i x s x x x x Diese muss in Abhängigkeit der Anteile xA, xB minimiert werden. Multipliziert man in der Sharpe Ratio xA und xB mit einer Konstanten, so tritt diese sowohl im Nenner als auch im Zähler auf und kürzt sich daher wieder heraus. Die Sharpe Ratio bleibt bei einer proportionalen Veränderung der Werte xA und xB unverändert. Deshalb kann bei der Minimierung auf die Nebenbedingung, dass sich xA und xB zu eins addieren, verzichtet werden. Das wiederum heißt, dass wir zur Ermittlung des Maximums die partiellen Ableitungen nach xA und xB der Sharpe Ratio bilden und diese gleich Null setzen werden. Die erste Ableitung der Sharpe Ratio nach xA – dieser und auch die folgenden Schritte sind zudem für xB zu machen – sieht so aus: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) σ σ σ σ σ σ σ σ σ − − − − − +∂ = ∂ − − − + = 1 2 * * * 2 * 2 2 * * * 1 2 2 2P A P P A A B AB A P A P P A A B AB P r i r i x xs x r i r i x x Mit der Hilfsgröße λ σ − = * 2 * P P r i können wir schreiben: ( ) ( )λ σ σ σ − − +∂ = ∂ 2 * A A A B AB A P r i x xs x Nach Nullsetzen erhalten wir: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) λ σ σ σ λ σ σ λ σ σ − − + = = − − + − = + 2 * 2 2 0 0 A A A B AB P A A A B AB A A A B AB r i x x r i x x r i x x Mit einer weiteren Hilfsgröße für jedes Wertpapier, illustriert für A λ=A Az x können wir schreiben: ( ) ( ) σ σ σ σ − = + − = + 2 2 I II A A A B AB B B B A AB r i z z r i z z Fotosatz Buck – Vahlen Competence – Schüler – Finanzmanagement mit Excel – Herstellung: Frau Deuringer Stand: 1. Juli 2011, 9:47 vorm. Druckdaten Seite 249 3. Risiko & Rendite250 Nach Auflösen von (II) nach zB erhalten wir: ( ) σ σ − − = 2 B A AB B B r i z z Eingesetzt in (I) können wir dann nach zA auflösen: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ − − − = + ª º+ − −¬ ¼ − = ª º − = + − −¬ ¼ − − − = − − − − = − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 B A AB A A A AB B A A B B A AB AB A B A B A A B B A AB AB A B B AB A A B A AB AB A B B AB A A B AB r i z r i z z r i z r i r i z r i z r i r i z z r i r i z Nach analogem Vorgehen können wir zB definieren: ( ) ( )σ σ σ σ σ − − − = − 2 2 2 2 B A A AB B B A AB r i r i z Das können wir auch einfacher haben, da wir wissen, dass xB = 1 – xA und deshalb: ( ) λ λ λ = = − = − 1 B B A A z x x z Da die Summe der Portfoliogewichte 1 ergibt, muss zudem gelten: ( )λ λ= + =¦ j A Bz x x Wir sind fast am Ziel. Denn wir müssen nur noch die wertpapierspezifischen Hilfsgrößen z durch λ bzw. die Summe der z’s dividieren: A A A A A B z z z x z z zλ= = = +¦ 3.10.9 Zusammensetzung des Marktportfolios (3 Aktien) Die Herleitung basiert auch hier auf der Maximierung der Sharpe Ratio: σ − = * * P P r i s Gesucht ist der Anteil der Wertpapiere A, B und C, der die Sharpe Ratio maximiert. Es gilt = + +*P A A B B C Cr x r x r x r Fotosatz Buck – Vahlen Competence – Schüler – Finanzmanagement mit Excel – Herstellung: Frau Deuringer Stand: 1. Juli 2011, 9:47 vorm. Druckdaten Seite 250 3.10 Anhang 251 bzw. bezogen auf die Überrendite ( ) ( ) ( )− = − + − + −*P A A B B C Cr i x r i x r i x r i und σ σ σ σ σ σ σ= + + + + +2 2 2 2 2 2* 2 2 2P A A B B C C A B AB B C BC A C ACx x x x x x x x x Auf Basis des gleichen Hinweis wie im vorangegangen Abschnitt können wir die Sharpe Ratio partiell nach den drei Aktien ableiten. Wir zeigen hier nur explizit die Ableitung nach xA: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ − − − − − + +∂ = ∂ − − − + + = 1 2 * * * 2 * 2 2 * * * 1 2 2 2 2P A P P A A B AB C AC A P A P P A A B AB C AC P r i r i x x xs x r i r i x x x Mit der Hilfsgröße λ σ − = * 2 * P P r i können wir wieder schreiben ( ) ( )λ σ σ σ σ − − + +∂ = ∂ 2 * A A A B AB C AC A P r i x x xs x und erhalten nach Nullsetzen: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) λ σ σ σ σ λ σ σ σ λ σ σ σ − − + + = = − − + + − = + + 2 * 2 2 0 0 A A A B AB C AC P A A A B AB C AC A A A B AB C AC r i x x x r i x x x r i x x x Analog gehen wir für die Wertpapiere B und C vor. Mit den Hilfsgrößen j jz xλ= (für j = A, B, C) können wir schreiben: ( ) ( ) ( ) σ σ σ σ σ σ σ σ σ − = + + − = + + − = + + 2 2 2 I II III A A A B AB C AC B B B A AB C BC C C C A AC B BC r i z z z r i z z z r i z z z Auch dieses Gleichungssystem lässt sich durch Matrizenrechnung rasch lösen. Dazu ordnen wir die Gleichungen etwas anders an: σ σ σ σ σ σ σ σ σ + + = − + + = − + + = − 2 2 2 A A B AB C AC A A AB B B C BC B A AC B BC C C C z z z r i z z z r i z z z r i Fotosatz Buck – Vahlen Competence – Schüler – Finanzmanagement mit Excel – Herstellung: Frau Deuringer Stand: 1. Juli 2011, 9:47 vorm. Druckdaten Seite 251 3. Risiko & Rendite252 Um den Lösungsvektor x über − = ⋅ 1x A b zu berechnen, sind zunächst die Matrizen bzw. Vektoren auszufüllen: ı ı ı ı ı ı ı ı ı § ·§ · ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸© ¹ © ¹ 2 11 12 13 A AB AC 2 21 22 23 AB B BC 2 31 32 33 AC BC C a a a A = a a a = a a a § · § ·¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸© ¹ © ¹ x 1 A 2 B 3 C x z = x = z x z § ·§ · ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸© ¹ © ¹ A1 2 B 3 C r - ib b = b = r - i b r - i Mithilfe der Excel-Funktion MINV können wir die Matrix A zügig zu A-1 invertieren. Die Multiplikation dieser Inversen mit b erfolgt über MMULT. Nun halten wir die z-Werte in Händen. Da die Summe der Portfoliogewichte 1 ergibt, muss zudem gelten: ( )λ λ= + + =¦ j A B Cz x x x Die Anteile der Wertpapiere A, B und C am Marktportfolio erhalten wir wiederum, indem wir die wertpapierspezifischen Hilfsgrößen z durch λ bzw. die Summe der z’s dividieren. Also z. B. für den Anteil xA: λ= = ¦A AA z z x z 3.10.10 Systematisches und unsystematisches Risiko gemäß Indexmodell Basierend auf der Varianz einer Stichprobe historischer Daten sieht der erste Schritt der Herleitung so aus: i( ) j j ( ) j( ) j j( ) σ α β ε α β β ε β σ ε β ε = = = = ª º = − = + + − +¬ ¼ − − ª ºª º = − + = + + −« »¬ ¼ − −¬ ¼ ¦ ¦ ¦ ¦ 22 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 T T j jt j j j Mt jt j j M t t T T j Mt M jt j M j j Mt M j t t r r r r T T r r r r T T Die Varianz der Rendite wird also aus den Abweichungen zwischen zustandsabhängigen Renditen und erwarteter Rendite unter Rückgriff auf die Regressionsgleichung berechnet und umgeformt. Wir nehmen an, dass die Kovarianz der Residuen Null beträgt und dass die jε jt und jMtr für t = 1,…,T unabhängig sind. Fotosatz Buck – Vahlen Competence – Schüler – Finanzmanagement mit Excel – Herstellung: Frau Deuringer Stand: 1. Juli 2011, 9:47 vorm. Druckdaten Seite 252 3.10 Anhang 253 Da wir zudem unterstellen, dass der Erwartungswert der Residuen Null beträgt( )jε = 0 , entfällt der letzte Term und der Erwartungswert der quadrierten Residuen entspricht deren Varianz. Wir können dann eben schreiben: j j M jεσ β σ σ= +2 2 2 2 , Oder wir wenden die Definition der Varianz der Gleichung a+bx+y, σ σ σ= +2 2 2 2x ya , unmittelbar auf die Regressionsgleichung i j jjt j j Mt jtr rα β ε= + + an und erhalten ebenfalls: εσ β σ σ= +2 2 2 2jj j M . 3.10.11 Kovarianz zweier Aktien gemäß Indexmodell Die Kovarianz zwischen zwei Aktien i und j kann zügig aus dem Indexmodell bzw. der zugrundeliegenden Regressionsgleichung hergeleitet werden: i( ) i( ) j j ( ) j j ( ) j( ) j j( ) j j( ) T ij it i jt j t T i i Mt it i i M j j Mt jt j j M t T T i Mt M it j Mt M jt i j Mt M t t i j M r r r r T r r r r T r r r r r r T T für i j σ α β ε α β α β ε α β β ε β ε β β β β σ = = = = = − − − ª º ª º = + + − + + + − +« » « »¬ ¼ ¬ ¼ − ª º ª º = − + − + = −« » « »¬ ¼ ¬ ¼ − − = = ¦ ¦ ¦ ¦ 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 Auch hier nehmen wir an, dass die Kovarianz der Residuen Null beträgt und für die zeitpunktabhängigen Marktrenditen und die zeitpunktabhängigen Residuen jeweils Unabhängigkeit gilt. 3.10.12 Von der diskreten zur stetigen Rendite Ausgehend von einer diskreten Rendite, sagen wir für ein Jahr, wächst das Anfangsvermögen V0 auf das Endvermögen V1 an: ( )= +1 0 1V V r Wir haben dabei unterstellt, dass der hinter der Rendite steckende Vermögenszuwachs (Ausschüttung, „Gewinn“) am Jahresende realisiert wird; impliziert sind also Einjahresschritte. Wenn wir das Intervall der Renditeberechnung verkleinern und somit das Jahr in n Teilabschnitte unterteilen, an deren Ende jeweils abgerechnet wird, können wir – ausgehend von der Jahresrendite r – schreiben: § · = +¨ ¸© ¹1 0 1 n r V V n zeitpunkte pro Jahr, übersteigt die effektive Jahresrendite, also der interne Zinsfuß, die Jahresrendite r. Wenn wir annehmen, dass die Intervalle sehr klein bzw. die Zahl der Intervalle unendlich groß werden, folgt: Fotosatz Buck – Vahlen Competence – Schüler – Finanzmanagement mit Excel – Herstellung: Frau Deuringer Stand: 1. Juli 2011, 9:47 vorm. Druckdaten Seite 253 3. Risiko & Rendite254 →∞ § · = +¨ ¸© ¹1 0lim 1 n n r V V n Wir können umformen zu: →∞ ª º§ ·« »¨ ¸« » = +¨ ¸« »¨ ¸« »© ¹« »¬ ¼ 1 0 1 lim 1 n n r r V V n r Nun ist die sog. Eulersche Zahl e gerade definiert mit: →∞ § · = + =¨ ¸© ¹ 1 lim 1 2,71828 x x e x Daher dürfen wir schreiben =1 0 rV V e und = 1 0 rV e V bzw. ( ) § ·= ¨ ¸© ¹ § · = ¨ ¸© ¹ 1 0 1 0 ln ln ln r Ve V V r V Fotosatz Buck – Vahlen Competence – Schüler – Finanzmanagement mit Excel – Herstellung: Frau Deuringer Stand: 1. Juli 2011, 9:47 vorm. Druckdaten Seite 254 4. Grundzüge der Unternehmensbewertung 4.1 Vorbemerkungen Die Frage nach dem Wert eines Unternehmens, eines Unternehmensteils oder -anteils stellt sich – vielleicht auf den ersten Blick überraschend – oft. Knowhow zur Unternehmensbewertung ist daher sehr gefragt; dies soll auch Abbildung 4-1 deutlich machen. Dort ordnen wir einem idealtypischen Lebenszyklus (Gründung, Expansion, Stagnation, Krise und – wir wollen optimistisch sein – Erholung) Bewertungsanlässe zu.77 77 Drukarczyk/Schüler (2009), S. 2. Zur Erläuterung: IPO: Initial Public Offering (Börsengang); Debt-Equity-Swap: Im Rahmen einer Sanierung tauschen Gläubiger Fremdkapitalansprüche in Eigenkapital (Aktien, GmbH-Anteile) um; Sanierungskredite: in der Unternehmenskrise ausgereichte Kredite, bei deren Ausreichung Banken gem. BGH- Rechtsprechung dokumentieren müssen, dass das Unternehmen sanierungswürdig ist; Impairment Tests: Prüfung, ob außerplanmäßiger Abschreibungsbedarf besteht; Purchase Price Allocation: Nach Kauf eines Unternehmens muss der Kaufpreis auf die Aktiva und Passiva des kaufenden Unternehmens verteilt werden. Gründung Bewertung durch Gründer Bewertung durch Kapitalgeber (z.B. Venture Capital, Private Equity) Gestaltung neuer Finanzierungsrunden Expansion Bewertung von Wachstumsoptionen Bepreisung neuer Anteile (IPO, Kapitalerhöhungen) Aufkäufe, Verkäufe von Teilbereichen Kontinuierlich Wertorientierte Unternehmenssteuerung Rechnungslegung nach IFRS/US-GAAP Impairment Tests Purchase Price Allocation Änderungen in der Eigentümerstruktur (z.B. Einstieg eines Großaktionärs bzw. privaten Investors, Squeeze-out, Abschluß von Beherrschungsverträgen) Abfindung von Minderheiten Steuerliche Anlässe Krise Bewertung von Liquidationsoptionen Bewertung im Rahmen von Restrukturierungen (z.B. Sanierungskredite, Debt-Equity- Swaps, Neugestaltung der Kapitalstruktur) Abbildung4-1: Anlässe zur Unternehmensbewertung Fotosatz Buck – Vahlen Competence – Schüler – Finanzmanagement mit Excel – Herstellung: Frau Deuringer Stand: 1. Juli 2011, 9:47 vorm. Druckdaten Seite 255

Chapter Preview

References

Zusammenfassung

"Der sichere Umgang mit Excel wird heute von allen Studienabgängern, die in einen finanzorientierten Beruf einsteigen wollen, vorausgesetzt. Auf die Idee, die Grundlagen des Finanzmanagements von der Investitionsrechnung über die Finanzplanung bis hin zur Unternehmensbewertung sowie zur Finanzierung mit ihrer konkreten Umsetzung in Excel praxisnah zu verbinden, ist (&) bislang noch niemand gekommen. Mit dem vorliegenden Buch wird diese Lücke nunmehr geschlossen. Ein unverzichtbares Buch für Studierende und Praktiker.

Dr. Marc Castedello, StB, WP, Partner und Head of Valuation Deutschland, KPMG AG

&sowohl für Praktiker als auch für Studenten von großem Interesse, da das Buch eine gelungene Verbindung schafft zwischen den Methoden des Finanzmanagements und den entsprechenden Excel-Anwendungen.

Dr. Gerhard Ebinger, Vice President Asset Management & Shareholder Services, BASF SE

Das Buch ist eine gelungene Synthese aus theoretischer Fundierung und deren praktischer Anwendung.

Prof. Dr. Bernhard Schwetzler, Lehrstuhl für Finanzmanagement und Banken, HHL Leipzig Graduate School of Management