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3.1 Grundlagen in:

Andreas Schüler

Finanzmanagement mit Excel, page 173 - 177

Grundlagen und Anwendungen

1. Edition 2011, ISBN print: 978-3-8006-3662-4, ISBN online: 978-3-8006-4872-6, https://doi.org/10.15358/9783800648726_173

Series: Finance Competence

Bibliographic information
3. Risiko & Rendite 3.1 Grundlagen Bereits im Kapitel zur Investitionsrechnung hatten wir dafür plädiert, riskanten Projekten höhere Kapitalkosten bzw. geforderte Renditen zuzuweisen als weniger riskanten Projekten. Hintergrund war die Annahme, dass Investoren risikoavers (risikoscheu) sind. Das bedeutet nicht, dass sie Risiko verabscheuen, sondern lediglich, dass sie für die Übernahme von Risiko kompensiert werden wollen. Vor diesem Hintergrund scheint die Annahme der Risikoaversion vermutlich schnell plausibel. In dem Zusammenhang ist ein Blick auf ein Spiel von Interesse, das Nicolaus Bernoulli 1713 in einem Briefwechsel diskutiert und das in der Literatur auch als Petersburger Spiel, St.-Petersburg-Paradoxon oder Petersburger Problem bekannt ist. Daniel Bernoulli beschreibt es wie folgt:40 „Peter wirft eine Münze in die Höhe und zwar so lange, bis sie nach dem Niederfallen die Kopfseite zeigt; geschieht dies nach dem ersten Wurf, so soll er dem Paul 1 Dukaten geben; wenn aber erst nach dem zweiten: 2, nach dem dritten: 4, nach dem vierten: 8, und so fort in der Weise, dass nach jedem Wurfe die Anzahl der Dukaten verdoppelt wird. Man fragt: Welchen Wert hat die Gewinnhoffnung für Paul?“ Was antwortet man? Dass der gesuchte Wert die mit den Eintrittswahrscheinlichkeiten gewichtete Summe der zustandsabhängigen Gewinne, also der erwartete Gewinn, ist:41 = ⋅ + ⋅ + ⋅ + = ⋅ + ⋅ + ⋅ + = + + + 1 2 1 2 3 1 1 1 1 1 1 Erwarteter Gewinn 1 2 4 ... 1 2 2 ... 2 4 8 2 2 2 0,5 0,5 0,5 ... Wie man sieht, geht der Gewinn gegen unendlich. Bei realer Anwendung wäre freilich auch die begrenzte Zahlungsfähigkeit der Bank bzw. des Gegenparts zu beachten. Die spannende Frage ist dann, wie hoch der Einsatz ist, den der Spieler zu zahlen bereit ist. Nun beobachtet Bernoulli, dass eher bescheidene Beiträge geboten werden. Wir können dies als Indikator von Risikoaversion werten, da die potentiellen Spieler nicht bereit sind, auch „nur“ einen beträcht- 40 Bernoulli (1896), S. 46. 41 In der Literatur wird das Beispiel gerne etwas abgewandelt präsentiert dergestalt, dass der Gewinn beim ersten „Kopfwurf“ 2 beträgt, beim zweiten 4 usw. Man erkennt unschwer, dass der erwartete Gewinn dann der Anzahl der möglichen Versuche n entspricht und ebenfalls unendlich groß wird, wenn n gegen Unendlich geht: = ⋅ + ⋅ + ⋅ + = + + + = 1 1 1 Erwarteter Gewinn 2 4 8 ... 1 1 1 ... 2 4 8 n Fotosatz Buck – Vahlen Competence – Schüler – Finanzmanagement mit Excel – Herstellung: Frau Deuringer Stand: 1. Juli 2011, 9:47 vorm. Druckdaten Seite 155 3. Risiko & Rendite156 lichen Teil ihres Vermögens einzusetzen. Das zugrundeliegende Risiko wird also nicht ausgeblendet, sondern mindert die Höhe des Gebots der Teilnehmer. Wenden wir uns dem Zusammenhang zwischen Rendite und Risiko nun aus der Perspektive eines Finanzmanagers zu. Nehmen wir an, dem Management eines Unternehmens bietet sich ein Projekt A mit einer Laufzeit von einem Jahr, wobei die Cashflows im Jahr 1 szenarioabhängig sind. Wir unterschieden drei mögliche Szenarien, denen wir vereinfachend die gleiche Eintrittswahrscheinlichkeit (p) – also ein Drittel – zusprechen. Die szenarioabhängigen Cashflows sind 200, 100 und 50. Der Erwartungswert der Cashflows – gekennzeichnet durch den „Balken“ über der Abkürzung für den Cashflow (CF), zustandsabhängige Variablen tragen eine Tilde – beträgt: k = = = ⋅ + ⋅ + ⋅ =¦3 1 1 1 1 200 100 50 116,67 3 3 3jA j Aj CF p CF Die erwartete Rendite auf diese Investition (I0) berechnen wir, indem wir die Differenz zwischen erwartetem Cashflow und Kapitaleinsatz in Relation zum eingesetzten Kapital (105) setzen: − = = − = 116,67 105 11,67 1 0,1111 105 105A r Allgemein können wir die erwartete Rendite als Durchschnitt der mit den Eintrittswahrscheinlichkeiten gewichteten szenariospezifischen Renditen formulieren: i i i i k = = − = + + = =¦ ¦3 3 01 1 2 2 3 3 1 1 0 j A j j j j j CF I r p r p r p r p r p I In Zahlen: ( ) ( ) − − − = ⋅ + ⋅ + ⋅ = = ⋅ + ⋅ − + ⋅ − = 1 200 105 1 100 105 1 50 105 3 105 3 105 3 105 1 1 1 0,9048 0,0476 0,524 0,1111 3 3 3 Ar Die erwartete Rendite ist zwar positiv, aber offensichtlich handelt es sich um ein riskantes Projekt, da die zustandsabhängigen Renditen schwanken. In den Szenarios 2 und 3 sind sie sogar negativ. Das Risiko messen wir anhand der Varianz bzw. der Standardabweichung. Die Varianz einer Zufallsvariablen ist definiert als die erwartete, also mit den Szenariowahrscheinlichkeiten gewichtete, quadrierte Abweichung der zustandsabhängigen Ausprägungen vom Erwartungswert. Auf unser Beispiel übertragen stellt die Varianz der Rendite die quadrierten, mit der jeweiligen Wahrscheinlichkeit gewichteten Abweichungen der Szenariorenditen von der erwarteten Rendite dar: j( )σ = = −¦3 22 1 A jr j A A j p r r Fotosatz Buck – Vahlen Competence – Schüler – Finanzmanagement mit Excel – Herstellung: Frau Deuringer Stand: 1. Juli 2011, 9:47 vorm. Druckdaten Seite 156 3.1 Grundlagen 157 Die Standardabweichung ist die Wurzel aus der Varianz: σ σ= 2 A Ar r Zunächst ist die Varianz zu berechnen. Im Einklang mit Theorie und Praxis des Portfoliomanagements erfolgen Kommunikation und Diskussion von Risiko aber auf Basis von Standardabweichungen. Hintergrund ist, dass die Standardabweichung in der gleichen „Einheit“ wie die zugrundeliegende Variable bzw. deren Verteilung definiert ist und insofern auch leichter interpretierbar ist. Nachfolgender Screenshot enthält die entsprechenden Daten für Projekt A. 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 A B C F J W'keit A A Szenario 1 0,33 200 0,905 Szenario 2 0,33 100 -0,048 Szenario 3 0,33 50 -0,524 Kapitaleinsatz 105 A Erwarteter CF 116,7 =$B5*C5+$B6*C6+$B7*C7 Varianz der Cashflows 3.888,9 Standardabweichung der Cashflows 62,4 =C12^0,5 A Erwartete Rendite 0,1111 =B5*F5+B6*F6+B7*F7 Varianz der Renditen 0,3527 Standardabweichung der Renditen 0,5939 =WURZEL(C17) Cashflow Jahr 1 Rendite =$B5*(C5-C11)^2+$B6* (C6-C11)^2+$B7*(C7-C11)^2 =B5*(F5-C16)^2+B6* (F6-C16)^2+B7*(F7-C16)^2 Die Standardabweichung des Cashflows kann aus der der Rendite aufgrund von = − 0 1AA CF r I ( )= + 01A ACF r I wie folgt hergeleitet werden: σ σ= ⋅ 0A ACF r I Für das Beispiel (C13): σ = ⋅ =0,5939 105 62,4 ACF Für die Varianz hingegen gilt: σ σ= ⋅2 2 20A ACF r I Fotosatz Buck – Vahlen Competence – Schüler – Finanzmanagement mit Excel – Herstellung: Frau Deuringer Stand: 1. Juli 2011, 9:47 vorm. Druckdaten Seite 157 3. Risiko & Rendite158 Für das Beispiel (C12): σ = ⋅ =2 20,3527 105 3.889 ACF Nehmen wir an, dem Management bietet sich die Gelegenheit, zusätzlich auch Projekt B zu realisieren. Das Investitionsprogramm des Unternehmens könnte dann aus den Projekten A und B bestehen: 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 A B C D E F G H I W'keit A B A+B A B A+B Szenario 1 0,33 200 50 250 0,905 -0,590 0,101 =E5/$E$8-1 Szenario 2 0,33 100 150 250 -0,048 0,230 0,101 Szenario 3 0,33 50 200 250 -0,524 0,639 0,101 Kapitaleinsatz 105 122 227 A B A+B Erwarteter CF 116,7 133,3 250,0 =$B5*C5+$B6*C6+$B7*C7 Varianz der Cashflows 3.888,9 3.888,9 0,0 =$B5*(C5-C11)^2+$B6*(C6-C11)^2+$B7*(C7-C11)^2 Standardabweichung der Cashflows 62,4 62,4 0,0 =C12^0,5 A B A+B Erwartete Rendite 0,1111 0,0929 0,1013 =B5*F5+B6*F6+B7*F7 Varianz der Renditen 0,3527 0,2613 0,0000 =B5*(F5-C16)^2+B6*(F6-C16)^2+B7*(F7-C16)^2 Standardabweichung der Renditen 0,5939 0,5112 0,0000 =WURZEL(C17) Kovarianz -0,3036 =B5*(F5-C16)*(G5-D16)+B6*(F6-C16)*(G6-D16)+B7*(F7-C16)*(G7-D16) Korrelation -1,0000 =B21/(C18*D18) Cashflow Jahr 1 Rendite Wie man unschwer erkennt, sind die szenarioabhängigen Cashflows des Projekts B so gewählt, dass der Cashflow des Investitionsportfolios unabhängig vom Szenario 250 beträgt (E5:E7). Die erwartete Gesamtrendite beläuft sich dann auf etwas mehr als 10 % (E16) und ist völlig risikolos erzielbar. Durch Hinzunahme von B, dessen Cashflow-Verteilung genau gegenläufig zu der von Projekt A ist, wird also ein risikoloses Gesamtprogramm generiert. Diese Gegenläufigkeit zeigt sich in der negativen Kovarianz (σAB in B21); dass eine „makellose“ Gegenläufigkeit vorliegt, zeigt der Korrelationskoeffizient (ρAB in B22) an, der – das zulässige Intervall ist [–1; +1]42 – exakt –1 beträgt. Die zugehörigen Definitionen sehen so aus: j( ) j( )σ = = − −¦3 1 j jAB j A A B B j p r r r r σρ σ σ = AB AB A B Der Beitrag der Renditen eines Szenarios zur gesamten Kovarianz kann entweder ein positives oder ein negatives Vorzeichen haben. Ein positiver Beitrag liegt vor, wenn beide Renditen in einem Umweltzustand entweder kleiner oder größer als die erwartete Rendite sind. Ein negativer Beitrag tritt auf, wenn eine Rendite unter und die andere über ihrem Erwartungswert liegen, die beiden Renditen also gegenläufig sind. Ob die Kovarianz insgesamt größer oder kleiner Null ist, zeigt sich nach Saldierung der Kovarianzbeiträge der Szenarien. 42 Dass dem so ist, zeigen wir im Anhang, Abschnitt 3.10.1. Fotosatz Buck – Vahlen Competence – Schüler – Finanzmanagement mit Excel – Herstellung: Frau Deuringer Stand: 1. Juli 2011, 9:47 vorm. Druckdaten Seite 158 3.2 Beobachtungen am Kapitalmarkt 159 Durch Diversifikation wird also Risiko abgebaut; in unserem – zugegebenermaßen passend gemachten – Beispiel gelingt gar ein vollständiger Risikoabbau. Diese Botschaft und zudem die Erkenntnis, dass Risikoaversion eine plausible Annahme zur Risikoeinstellung ist, sind das Fundament, auf das wir in der Folge bauen. 3.2 Beobachtungen am Kapitalmarkt Nach diesen ersten Überlegungen zum Risiko werfen wir einen Blick auf den Kapitalmarkt, um auch aus diesem Blickwinkel den Zusammenhang zwischen Risiko und Rendite zu erkennen. Wir betrachten dazu die Performance des CDAX stellvertretend für die Rendite eines riskanten und die des REXP stellvertretend für die eines risikolosen Investments. Die beiden Indizes sind so zusammengesetzt:43 r Der CDAX (Composite Deutscher Aktienindex) enthält die Aktien aller deutschen in Prime oder General Standard gelisteten Unternehmen und ist damit breit definiert. Er ist als sog. Performance-Index konzipiert, d. h. neben den Kursgewinnen werden Dividenden durch eine unterstellte Reinvestition als Performance-Bestandteil berücksichtigt. r Der REX bzw. der REXP (Rentenindex Performance) baut auf den Marktdaten aller festverzinslichen Bundeswertpapiere mit einer Restlaufzeit zwischen 0,5 und 10,5 Jahren auf. Daraus werden 30 „idealtypische“, also synthetische Anleihen mit Laufzeiten zwischen 1 und 10 Jahren und drei Kupontypen abgeleitet. Der REXP ist ebenfalls als Performance-Index konzipiert. Er kann als Repräsentant eines risikoarmen Investments dienen, da Bundeswertpapiere wohl kaum Ausfallrisiken unterliegen; dem Zinsänderungsrisiko unterliegt er schon.44 In Abbildung 3-1 ist – auf Basis der sog. Stehle-Daten45 – dargestellt, wie sich eine Investition von jeweils 1 € in CDAX oder REXP bis zum Ende des Jahres 2009 entwickelt hat. Offensichtlich hat die CDAX-Investition trotz einiger Rückschläge auch in jüngerer Vergangenheit zu einem größerem Endvermögen geführt als eine Investition in Bundeswertpapiere. Warum sollte man dann überhaupt ein risikoloses Investment in Erwägung ziehen? Weil eine höhere Rendite mit höherem Risiko erkauft wird, wie Abbildung 3-2 illustriert. 43 Zu den Details vgl. Deutsche Börse Group (2004), Deutsche Börse AG (2010). 44 Mehr dazu unten und in Kapitel 6. 45 Diese Daten stellt Richard Stehle – einschließlich Erweiterungen („Weihnachtsgeschenk an unsere Fans“, „Ostergeschenk 2007 an unsere Fans“) – auf folgender Web- Seite zur Verfügung: http://enim.wiwi.hu-berlin.de/bb/aktien; zuletzt abgefragt am 25.3.2011. Sie liegen auch der viel zitierten Untersuchung von Stehle (2004) zugrunde. Fotosatz Buck – Vahlen Competence – Schüler – Finanzmanagement mit Excel – Herstellung: Frau Deuringer Stand: 1. Juli 2011, 9:47 vorm. Druckdaten Seite 159

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References

Zusammenfassung

"Der sichere Umgang mit Excel wird heute von allen Studienabgängern, die in einen finanzorientierten Beruf einsteigen wollen, vorausgesetzt. Auf die Idee, die Grundlagen des Finanzmanagements von der Investitionsrechnung über die Finanzplanung bis hin zur Unternehmensbewertung sowie zur Finanzierung mit ihrer konkreten Umsetzung in Excel praxisnah zu verbinden, ist (&) bislang noch niemand gekommen. Mit dem vorliegenden Buch wird diese Lücke nunmehr geschlossen. Ein unverzichtbares Buch für Studierende und Praktiker.

Dr. Marc Castedello, StB, WP, Partner und Head of Valuation Deutschland, KPMG AG

&sowohl für Praktiker als auch für Studenten von großem Interesse, da das Buch eine gelungene Verbindung schafft zwischen den Methoden des Finanzmanagements und den entsprechenden Excel-Anwendungen.

Dr. Gerhard Ebinger, Vice President Asset Management & Shareholder Services, BASF SE

Das Buch ist eine gelungene Synthese aus theoretischer Fundierung und deren praktischer Anwendung.

Prof. Dr. Bernhard Schwetzler, Lehrstuhl für Finanzmanagement und Banken, HHL Leipzig Graduate School of Management