Teil IX: Numerische Verfahren in:

Michael Merz

Übungsbuch zur Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, page 420 - 427

450 Klausur- und Übungsaufgaben mit ausführlichen Lösungen

1. Edition 2013, ISBN print: 978-3-8006-4720-0, ISBN online: 978-3-8006-4721-7, https://doi.org/10.15358/9783800647217_420

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Teil IX: Numerische Verfahren 26. Intervallhalbierungs-, Regula-falsi- und Newton-Verfahren * Aufgabe 26.1 (MC-Aufgaben zu Intervallhalbierungs- und Regula-falsi- Verfahren) Kreuzen Sie an, welche der Aussagen a) bis e) wahr und welche falsch sind: a) Ist f : [a, b] −→ R eine stetige Funktion mit einer Nullstelle, dann kann diese Nullstelle stets mit dem Intervallhalbierungsverfahren berechnet werden. b) Der Approximationsfehler beim Intervallhalbierungsverfahren halbiert sich bei jedem Iterationsschritt. c) Beim Regula-falsi-Verfahren konvergieren die Näherungswerte stets schneller gegen eine Nullstelle als beim Intervallhalbierungsverfahren. d) Im Gegensatz zum Regula-falsi-Verfahren werden beim Intervallhalbierungsverfahren die beiden Intervallgrenzen a und b einer Funktion f : [a, b] −→ R als Startwerte verwendet. e) Das Intervallhalbierungsverfahren kann unter allgemeineren Voraussetzungen als das Regula-falsi-Verfahren angewendet werden. a) b) c) d) e) Wahr Falsch Lehrbuch: Abschnitte 26.2 und 26.3 Lösung: Zu a): Wahre Aussage (vgl. Satz 26.1 im Lehrbuch). Zu b): Wahre Aussage (vgl. Seite 800 im Lehrbuch). Zuc): FalscheAussage.BeimRegula-falsi-VerfahrenkonvergierendieNäherungswerte oftmals deutlich schneller gegen eine Nullstelle als beim Intervallhalbierungsverfahren. Trotzdem kann es in einzelnen Fällen vorkommen, dass beim Intervallhalbierungsverfahren eine schnellere Konvergenz gegen eine Nullstelle stattfindet (vgl. Seite 803 und Beispiel 26.4 im Lehrbuch). Zu d): Falsche Aussage. Auch beim Regula-falsi-Verfahren werden die beiden Intervallgrenzen a und b als Startwerte verwendet (vgl. Seite 801 im Lehrbuch). Zu e): Falsche Aussage. Sowohl das Intervallhalbierungsverfahren als auch das Regula-falsi-Verfahren setzen lediglich die Stetigkeit der betrachteten Funktion voraus (vgl. Satz 26.1 und Satz 26.3 im Lehrbuch). * Aufgabe 26.2 (MC-Aufgaben zum Sekantenverfahren und Newton-Verfahren) Kreuzen Sie an, welche der Aussagen a) bis e) wahr und welche falsch sind: a) Das Newton-Verfahren basiert auf einer sukzessiven Linearisierung der betrachteten Funktion. b) Ist f : [a, b] −→ R eine stetig differenzierbare Funktion, für welche die Folge der mittels Newton-Verfahren berechneten Näherungswerte (xn)n∈N0 gegen ein x ∈ R konvergiert, dann ist x eine Nullstelle von f . c) Falls die Folge der Näherungswerte (xn)n∈N0 konvergiert, verdreifacht sich beim Newton-Verfahren die Anzahl der korrekten Nachkommastellen der Näherungswerte mit jedem Iterationsschritt. d) Das Sekantenverfahren und das vereinfachte Newton-Verfahren besitzen im Vergleich zum Newton-Verfahren den Vorteil, dass sie ganz ohne Ableitungen auskommen. 411 Kapitel 26 Teil IX: Numerische Verfahren e) Das Sekantenverfahren und das vereinfachte Newton-Verfahren weisen dieselbe Konvergenzgeschwindigkeit wie das Newton-Verfahren auf. a) b) c) d) e) Wahr Falsch Lehrbuch: Abschnitte 26.4 und 26.5 Lösung: Zu a): Wahre Aussage (vgl. Seiten 804 und 805 im Lehrbuch). Zu b): Wahre Aussage (vgl. (26.13)–(26.16) im Lehrbuch). Zu c): Falsche Aussage. Es erfolgt lediglich eine Verdopplung der korrekten Nachkommastellen. Das heißt, das Newton-Verfahren weist eine quadratische Konvergenzgeschwindigkeit auf. Zu d): Falsche Aussage. Lediglich das Sekantenverfahren kommt ganz ohne Ableitungen aus. Bei der Anwendung des vereinfachten Newton-Verfahrens wird jedoch die Ableitung der betrachteten Funktion an der Stelle des Startwertes x0 benötigt (vgl. Seite 809 im Lehrbuch). Zu e): Falsche Aussage. Beim Sekantenverfahren und vereinfachten Newton-Verfahren wird im n-ten Iterationsschritt die erste Ableitung der betrachteten Funktion im Gegensatz zum Newton-Verfahren nicht exakt berechnet, sondern nur approximiert.Dies hat zur Folge, dass sich dieKonvergenzgeschwindigkeit dieser beiden Funktionen im Vergleich zum Newton-Verfahren oftmals deutlich verringert (vgl. Seite 809 im Lehrbuch). * Aufgabe 26.3 (Regula-falsi-Verfahren) Betrachtet wird die Gleichung x = cos(x). a) Erläutern Sie, ob die Gleichung im Intervall [0, 1] eine Lösung besitzt. b) Ermitteln Sie mit Hilfe von vier Iterationsschritten des Regula-falsi-Verfahrens einen Näherungswert für eine Nullstelle von f . Lehrbuch: Abschnitt 26.3 Lösung: Zu a): Die Berechnung einer Lösung der Gleichung x = cos(x) im Intervall [0, 1] ist äquivalent zur Bestimmung einer Nullstelle der Funktion f : [0, 1] −→ R, x *→ x − cos(x). Aus f (0) = −1 < 0 und f (1) = 1− cos(1) > 0 folgt zusammen mit der Stetigkeit von f , dass sie im Intervall (0, 1) mindestens eine Nullstelle besitzt (vgl. Satz 15.27 im Lehrbuch). Zu b): Das Rekursionsschema zur Berechnung von Nullstellen einer Funktion f : [a, b] −→ R mit Hilfe des Regula-falsi-Verfahrens lautet xn = an − bn − an f (bn)− f (an) f (an) mit a0 := a, b0 := b sowie an+1 := { xn falls f (xn) ≤ 0 an falls f (xn) > 0 und bn+1 := { bn falls f (xn) ≤ 0 xn falls f (xn) > 0 für alle n ∈ N0 (vgl. (26.8) und (26.9) im Lehrbuch). Damit erhält man für eine Nullstelle von f im Intervall [0, 1] die folgenden Näherungswerte: n an bn f (an) f (bn) xn 0 0,0 1,0 −1,0 0,4597 0,6851 1 0,6851 1,0 −0,0893 0,4597 0,7363 2 0,7363 1,0 −0,0047 0,4597 0,7389 3 0,7389 1,0 −0,0002 0,4597 0,7391 4 0,7391 1,0 −0,00002 0,4597 0,7391 Das heißt, nach vier Iterationen resultiert für eine Nullstelle von f der Näherungswert x4 = 0,7391. 412 Kapitel 26Intervallhalbierungs-, Regula-falsi- und Newton-Verfahren ** Aufgabe 26.4 (Newton-Verfahren) Gegeben sei die Funktion f : R −→ R, x *→ x3 − 3x2 + x − 1. a) Erläutern Sie, weshalb die Funktion f mindestens eine reelle Nullstelle besitzt. b) Berechnen Sie unter Verwendung des Startwertes x0 = 1 die ersten sechs Iterationen des Newton-Verfahrens. Erläutern Sie das dabei auftretende Szenario. c) Berechnen Sie nun unter Verwendung des Newton-Verfahrens und des Startwertes x0 = 52 eine Nullstelle von f auf fünf Iterationen genau. d) Skizzieren Sie in der untenstehenden Abbildung 26.1 die Vorgehensweise des Newton-Verfahrens bei der Bestimmung der Näherungswerte x1 und x2 für die beiden unterschiedlichen Startwerte x0 = 1 und x0 = 52 . e) Erläutern Sie, weshalb beimNewton-Verfahren keine stationäre Stelle von f als Startwert x0 verwendet werden kann. −1 1 2 3 −2 2 4 f (x) Abb. 26.1: Graph der Funktion f : R −→ R, x *→ x3 − 3x2 + x − 1 Lehrbuch: Abschnitt 26.4 Lösung: Zu a): Die Funktion f ist als Polynom dritten Grades stetig und es gilt lim x→∞ f (x) = ∞ und lim x→−∞ f (x) = −∞. Aus demNullstellensatz für stetige Funktionen (vgl. Satz 15.27 imLehrbuch) folgt somit, dass f mindestens eine reelle Nullstelle besitzt. Zu b): Die Rekursionsformel zur Berechnung von Nullstellen von f mit Hilfe des Newton-Verfahrens lautet xn+1 = xn − x 3 n − 3x2n + xn − 1 3x2n − 6xn + 1 (vgl. (26.13) im Lehrbuch). Mit dem Startwert x0 = 1 erhält man die folgenden Näherungswerte: n 0 1 2 3 4 5 6 xn 1 0 1 0 1 0 1 Das heißt, bei Verwendung des Startwertes x0 = 1 resultiert eine divergente, zwischen den Werten 1 und 0 oszillierende Folge von Näherungswerten x0, x1, x2, . . . Folglich liefert das Newton-Verfahren beiWahl dieses Startwertes keinen sinnvollen Näherungswert für eine Nullstelle von f . Zu c): Bei Wahl des Startwertes x0 = 52 resultieren die folgenden Näherungswerte: n 0 1 2 3 4 5 xn 5 2 2,842105 2,772827 2,769301 2,769292 2,769292 Das heißt, nach fünf Iterationen resultiert für eine Nullstelle von f der Näherungswert x5 = 2,769292. 413 Kapitel 26 Teil IX: Numerische Verfahren Zu d): Die Abbildung 26.2 zeigt die Vorgehensweise des Newton-Verfahrens bei der Berechnung der Näherungswerte x1 und x2 für eine Nullstelle von f : R −→ R, x *→ x3−3x2+x−1 ausgehend von den beiden unterschiedlichen Startwerten x0 = 1 und x0 = 52 . 1 2 3 2 4 f (x) x0 x1x2 l ll l l x0 = x2x1 ll l l Abb. 26.2: Vorgehensweise des Newton-Verfahrens bei der Berechnung einer Nullstelle von f : R −→ R, x *→ x3 − 3x2 + x − 1 ausgehend von den beiden unterschiedlichen Startwerten x0 = 1 und x0 = 52 Zu e): Ist x0 eine stationäre Stelle von f , dann gilt f ′(x0) = 0 (vgl. Definition 16.25 im Lehrbuch). Folglich liefert die Rekursionsformel xn+1 = xn − f (xn) f ′(xn) einen unbestimmten Ausdruck. Anschaulich bedeutet dies, dass die Tangente von f an der Stelle x0 waagerecht ist und somit keinen Schnittpunkt mit der x-Achse aufweist, also das Newton-Verfahren zu keinemNäherungswert x1 führt. * Aufgabe 26.5 (Newton-Verfahren und vereinfachtes Newton-Verfahren) Gegeben sei die Funktion f : R −→ R, x *→ x5 − 2x3 − 3 4 . a) Ermitteln Sie mit Hilfe von vier Iterationsschritten des Newton-Verfahrens und dem Startwert x0 = 1,7 einen Näherungswert für eine Nullstelle von f . b) Verwenden Sie nun anstelle des Newton-Verfahrens das vereinfachte Newton-Verfahren und berechnen Sie mit Hilfe von vier Iterationsschritten und dem Startwert x0 = 1,7 einen Näherungswert für eine Nullstelle von f . Lehrbuch: Abschnitte 26.4 und 26.5 Lösung: Zu a): Die Rekursionsformel zur Berechnung vonNullstellen von f mit Hilfe des Newton-Verfahrens lautet xn+1 = xn − x5n − 2x3n − 34 5x4n − 6x2n (vgl. (26.13) im Lehrbuch). Mit dem Startwert x0 = 1,7 erhält man die folgenden Näherungswerte: n 0 1 2 3 4 xn 1,7 1,551659 1,498494 1,492018 1,491928 Das heißt, nach vier Iterationen resultiert für eine Nullstelle von f der Näherungswert x4 = 1,491928. 414 Kapitel 26Intervallhalbierungs-, Regula-falsi- und Newton-Verfahren Zu b): Die Rekursionsformel zur Berechnung von Nullstellen von f mit Hilfe des vereinfachten Newton- Verfahrens ist gegeben durch xn+1 = xn − x5n − 2x3n − 34 5(1,7)4 − 6(1,7)2 (vgl. Seite 809 im Lehrbuch). Mit dem Startwert x0 = 1,7 resultieren die folgenden Näherungswerte: n 0 1 2 3 4 xn 1,7 1,551659 1,520009 1,506079 1,499262 Das heißt, nach vier Iterationen resultiert für eine Nullstelle von f der Näherungswert x4 = 1,499262. ** Aufgabe 26.6 (Newton-Verfahren und Sekantenverfahren) a) Berechnen Sie mit Hilfe von vier Iterationsschritten des Newton-Verfahrens und den beiden Startwerten x0 = − 32 und x0 = 1 Näherungswerte für zwei verschiedene Nullstellen der Funktion f : R −→ R, x *→ x4 + x − 3. b) Berechnen Sie mit Hilfe von vier Iterationsschritten des Sekantenverfahrens und den beiden Startwerten x0 = 1 und x1 = 3 einen Näherungswert für eine Lösung der Gleichung 5 1+ e−3x = x + 3. Lehrbuch: Abschnitte 26.4 und 26.5 Lösung: Zu a): Die Rekursionsformel zur Berechnung vonNullstellen von f mit Hilfe des Newton-Verfahrens lautet xn+1 = xn − x 4 n + xn − 3 4x3n + 1 (vgl. (26.13) im Lehrbuch). Mit den beiden Startwerten x0 = − 32 und x0 = 1 erhält man die folgenden Näherungswerte: n 0 1 2 3 4 xn − 32 −1,455000 −1,452633 −1,452627 −1,452627 xn 1 1,200000 1,165420 1,164037 1,164035 Das heißt, bei Verwendung der beiden Startwerte x0 = − 32 und x0 = 1 resultieren nach vier Iterationen die folgenden beiden Näherungswerte x4 = −1,452627 und x4 = 1,164035 für zwei verschiedene Nullstellen von f . Zu b): Die Berechnung einer Lösung der Gleichung 5 1+ e−3x = x + 3 (26.1) ist äquivalent zur Bestimmung einer Nullstelle der Funktion f (x) = 5 1+e−3x − x − 3. Die Rekursionsformel zur Berechnung von Nullstellen von f mit Hilfe des Sekantenverfahrens lautet xn+1 = xn − xn − xn−15 1+e−3xn − xn − 5 1+e−3xn−1 + xn−1 · ( 5 1+ e−3xn − xn − 3 ) 415 Kapitel 26 Teil IX: Numerische Verfahren (vgl. Seite 809 im Lehrbuch). Mit den beiden Startwerten x0 = 1 und x1 = 3 erhält man die folgenden Näherungswerte: n 0 1 2 3 4 5 xn 1 3 1,865184 1,983360 1,987184 1,987152 Das heißt, bei Verwendung der beiden Startwerte x0 = 1 und x1 = 3 resultiert nach vier Iterationen der Näherungswert x5 = 1,987152 für eine Nullstelle von f und damit für eine Lösung der Gleichung (26.1). ** Aufgabe 26.7 (Ökonomische Anwendung des Newton-Verfahrens) Betrachtet wird eine Investition mit den vier Auszahlungen 5€, 5€, 5€, 105€ zu den Zeitpunkten t = 1, 2, 3, 4 und der Aufwendung 95€ zum Zeitpunkt t = 0. a) Bestimmen Sie mit Hilfe von vier Iterationsschritten des Newton-Verfahrens und dem Startwert ρD0 = 4% einen Näherungswert für den Zinssatz (internen Zinsfuß) ρD , für den der Barwert dieser Investition bei diskreter Verzinsung gleich der Aufwendung zum Zeitpunkt t = 0 ist. b) Ermitteln Sie mit Hilfe von vier Iterationsschritten des vereinfachten Newton- Verfahrens und dem Startwert ρS0 = 4% einen Näherungswert für den internen Zinsfuß ρS der Investition bei stetiger Verzinsung. c) Bestimmen Sie mit Hilfe von vier Iterationsschritten des Newton-Verfahrens und dem Startwert rS0 = 5% einen Näherungswert für den Zinssatz rS , der bei einer stetigen Verzinsung der vier Auszahlungen 5€, 5€, 5€, 105€ zum Zeitpunkt t = 5 ein Kapital von 150€ liefert. Lehrbuch: Abschnitte 26.4 Lösung: Zu a): Bei diskreter Verzinsung berechnet sich der interne Zinsfuß ρD der Investition als Lösung der Gleichung 5€ · (1+ ρD)−1 + 5€ · (1+ ρD)−2 + 5€ · (1+ ρD)−3 + 105€ · (1+ ρD)−4 = 95€. Die Rekursionsformel zur numerischen Lösung dieser Gleichungmit Hilfe des Newton-Verfahrens lautet daher ρDn+1 = ρDn − 5(1+ ρDn )−1 + 5(1+ ρDn )−2 + 5(1+ ρDn )−3 + 105(1+ ρDn )−4 − 95 −5(1+ ρDn )−2 − 10(1+ ρDn )−3 − 15(1+ ρDn )−4 − 420(1+ ρDn )−5 (vgl. (26.13) im Lehrbuch). Mit dem Startwert ρD0 = 4% erhält man: n 0 1 2 3 4 ρDn 0,04 0,063227 0,064577 0,064581 0,064581 Das heißt, nach vier Iterationen resultiert für den internen Zinsfuß ρD der Näherungswert ρD4 = 6,4581%. Zu b) Bei stetiger Verzinsung ergibt sich der interne Zinsfuß ρS als Lösung der Gleichung 5€ · e−ρS + 5€ · e−2ρS + 5€ · e−3ρS + 105€ · e−4ρS = 95€. Die Rekursionsformel zur numerischen Lösung dieser Gleichung mittels vereinfachtem Newton-Verfahren ist somit gegeben durch ρSn+1 = ρSn − 5e−ρSn + 5e−2ρSn + 5e−3ρSn + 105e−4ρSn − 95 −5e−ρS0 − 10e−2ρS0 − 15e−3ρS0 − 420e−4ρS0 (vgl. Seite 809 im Lehrbuch). Mit dem Startwert ρS0 = 4% folgt: n 0 1 2 3 4 ρSn 0,04 0,061620 0,062502 0,062574 0,062580 Das heißt, nach vier Iterationen resultiert für den internen Zinsfuß ρS der Näherungswert ρS4 = 6,2580%. 416 Kapitel 26Intervallhalbierungs-, Regula-falsi- und Newton-Verfahren Zu c): Gesucht ist der Zinssatz rS für den 5€ · e4rS + 5€ · e3rS + 5€ · e2rS + 105€ · erS = 150€ gilt. Die Rekursionsformel zur numerischen Lösung dieser Gleichung mittels Newton-Verfahren lautet rSn+1 = rSn − 5e4r S n + 5e3rSn + 5e2rSn + 105erSn − 150 20e4r S n + 15e3rSn + 10e2rSn + 105erSn . Mit dem Startwert rS0 = 5% erhält man: n 0 1 2 3 4 rSn 0,05 0,185797 0,171777 0,171586 0,171586 Das heißt, nach vier Iterationen resultiert für den Zinssatz rS der Näherungswert rS4 = 17,1586%. *** Aufgabe 26.8 (Newton-Verfahren und Sekantenverfahren) a) Weisen Sie nach, dass die Gleichung x2 +√x − 3 2 = 0 im Intervall ( 1 2 , 1 ) genau eine Lösung x besitzt. b) Berechnen Sie mit Hilfe des Newton-Verfahrens einen Näherungswert für die Lösung x der obigen Gleichung, welche der Abbruchbedingung |f (xn)| ≤ 10−6 genügt. c) Berechnen Sie mit Hilfe des Sekantenverfahrens und den beiden Startwerten x0 = 1 und x1 = 3 eine Lösung der Gleichung ex = x + 2 auf fünf Iterationen genau. Lehrbuch: Abschnitte 26.4 und 26.5 Lösung: Zu a): Die Berechnung einer Lösung der Gleichung x2 +√x − 3 2 = 0 (26.2) im Intervall ( 1 2 , 1 ) ist äquivalent zur Bestimmung einer Nullstelle der Funktion f : [ 1 2 , 1 ] −→ R, x *→ x2 +√x − 32 im Intervall ( 1 2 , 1 ) . Diese Funktion ist zweimal stetig differenzierbar und es gilt f ( 1 2 ) = √ 1 2 − 5 4 < 0, f (1) = 1 2 > 0 und f ′(x) = 2x + 1 2 √ x > 0 für alle x ∈ [ 1 2 , 1 ] . Folglich besitzt f im Intervall ( 1 2 , 1 ) genau eine Nullstelle und die Gleichung (26.2) hat damit im Intervall( 1 2 , 1 ) genau eine Lösung x (vgl. Satz 26.5 im Lehrbuch). Zub):DieRekursionsformel zurBerechnungvonNullstellenderFunktionf bzw. zurBerechnungvonLösungen der Gleichung (26.2) mit Hilfe des Newton-Verfahrens lautet xn+1 = xn − x2n +√xn − 32 2xn + 12√xn (vgl. (26.13) im Lehrbuch). Ferner gilt f ′′(x) = 2− 1 4 √ x3 ≥ 2− 1 4 √( 1 2 )3 = 2− 12√2 > 0 für alle x ∈ [ 1 2 , 1 ] . 417 Kapitel 26 Teil IX: Numerische Verfahren Zusammen mit f ( 1 2 ) < 0 folgt daraus, dass die Näherungswerte (xn)n∈N0 des Newton-Verfahrens monoton gegen die Lösung x der Gleichung (26.2) konvergieren, wenn der Startwert x0 aus dem Intervall [x, 1] gewählt wird (vgl. Satz 26.5c) im Lehrbuch). Mit dem Startwert x0 = 1 erhält man die folgenden Näherungswerte: n 0 1 2 3 xn 1 0,8000000 0,7840542 0,7839560 f (xn) 0,50000000 0,03442719 0,000209395 0,000000008 Das heißt, bei Verwendung des Startwertes x0 = 1 resultiert nach drei Iterationen der Näherungswert x3 = 0,7839560, welcher der Abbruchbedingung |f (xn)| ≤ 10−6 genügt. Zu c): Die Berechnung einer Lösung der Gleichung ex = x + 2 (26.3) ist äquivalent zur Bestimmung einer Nullstelle der Funktion f (x) = ex − x − 2. Die Rekursionsformel zur Berechnung von Nullstellen von f mit Hilfe des Sekantenverfahrens lautet xn+1 = xn − xn − xn−1 exn − xn − exn−1 + xn−1 · ( exn − xn − 2 ) (vgl. Seite 809 im Lehrbuch). Mit den beiden Startwerten x0 = 1 und x1 = 3 erhält man die folgenden Näherungswerte: n 0 1 2 3 4 5 6 xn 1 3 1,036665 1,064489 1,153299 1,145755 1,146191 Das heißt, bei Verwendung der beiden Startwerte x0 = 1 und x1 = 3 resultiert nach fünf Iterationen der Näherungswert x6 = 1,146191 für eine Nullstelle von f und damit für eine Lösung der Gleichung (26.3). 418

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Zusammenfassung

450 Aufgaben mit Lösungen zur Prüfungsvorbereitung

Vorteile

- 450 Aufgaben mit ausführlichen Lösungen und unterschiedlichen Schwierigkeitsgraden

- Abgestimmt auf das Lehrbuch "Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler" (Merz/Wüthrich)

Zum Werk

Die Mathematikausbildung spielt eine zentrale Rolle im wirtschaftswissenschaftlichen Studium, da sie die methodischen Grundlagen für zahlreiche Vorlesungen liefert. So zentral die Rolle der Mathematik in der Ökonomie ist, so schwer tun sich allerdings die Studierenden mit mathematischen Methoden und Konzepten.

Dieses Übungsbuch hilft Studierenden, ihr erworbenes Wissen anzuwenden und zu testen. Über 400 Übungsaufgaben mit ausführlichen Lösungen unterstützen bei der optimalen Prüfungsvorbereitung. Zur besseren Orientierung wird jeder Aufgabe ein Schwierigkeitsgrad zugeordnet und ein Verweis auf den entsprechenden Abschnitt im zugrunde liegenden Lehrbuch "Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler" von Merz/Wüthrich gegeben.

Autor

Prof. Dr. Michael Merz, Hamburg.

Zielgruppe

Studierende im Bachelor der Wirtschaftswissenschaften an Universitäten und Hochschulen.