Teil VII: Differential- und Integralrechnung im Rn in:

Michael Merz

Übungsbuch zur Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, page 316 - 363

450 Klausur- und Übungsaufgaben mit ausführlichen Lösungen

1. Edition 2013, ISBN print: 978-3-8006-4720-0, ISBN online: 978-3-8006-4721-7, https://doi.org/10.15358/9783800647217_316

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Teil VII: Differential- und Integralrechnung im Rn 21. Folgen, Reihen und reellwertige Funktionen im Rn * Aufgabe 21.1 (MC-Aufgaben zu Folgen im Rn) Kreuzen Sie an, welche der Aussagen a) bis e) wahr und welche falsch sind: a) Eine Folge (ak)k∈N0 im Rn ist konvergent, wenn mindestens eine der n Koordinatenfolgen konvergent ist. b) Eine Folge (ak)k∈N0 im Rn konvergiert genau dann gegen den Grenzwert a, wenn es zu jedem ε > 0 ein k0 ∈ N0 gibt, so dass für alle k ≥ k0 gilt ‖ak − a‖ = √√√√ n∑ i=1 ( a (i) k − a(i) )2 < ε. c) Für konvergente Folgen (ak)k∈N0 im Rn gelten analoge Rechenregeln wie für konvergente Folgen in R. d) Eine beschränkte Folge (ak)k∈N0 im Rn ist konvergent. e) Eine Folge (ak)k∈N0 im Rn ist genau dann beschränkt, wenn alle ihre Folgenglieder ak in einem echten Unterraum des Rn liegen. a) b) c) d) e) Wahr Falsch Lehrbuch: Abschnitt 21.1 Lösung: Zu a): Falsche Aussage. Eine Folge (ak)k∈N0 im R n ist genau dann konvergent, wenn alle n Koordinatenfolgen konvergent sind (vgl. Satz 21.3 im Lehrbuch). Zu b): Wahre Aussage. Dies folgt unmittelbar aus der Definition der Konvergenz einer Folge (ak)k∈N0 im R n (vgl. Definition 21.2 und (21.4) im Lehrbuch). Zu c): Wahre Aussage (vgl. Folgerung 21.5 im Lehrbuch). Zu d): Falsche Aussage. Eine beschränkte Folge (ak)k∈N0 im R n muss nicht konvergent sein, wie bereits das einfache Beispiel der Folge (ak)k∈N0 mit ak = ( (−1)k, (−1)k)T ∈ R2 zeigt. Diese Folge wechselt zwischen (1, 1)T und (−1,−1)T und ist damit beschränkt, aber nicht konvergent. Zu e): Falsche Aussage. Für eine beschränkte Folge (ak)k∈N0 im R n gilt ‖ak‖ ≤ c für alle k ∈ N0 und eine geeigneteKonstante c ∈ R (vgl.Definition 21.9 imLehrbuch).Daraus folgt jedochnicht, dass alle Folgenglieder in einem echten Unterraum des Rn liegen müssen. * Aufgabe 21.2 (MC-Aufgaben zu Folgen und Reihen im Rn) Kreuzen Sie an, welche der Aussagen a) bis e) wahr und welche falsch sind: a) Eine Folge (ak)k∈N0 im Rn konvergiert genau dann gegen den Grenzwert a, wenn in jeder offenen Kugel um a mit einem Radius ε > 0 fast alle Folgenglieder von (ak)k∈N0 liegen. b) Der Grenzwert einer konvergenten Folge (ak)k∈N0 im Rn ist im Allgemeinen nicht eindeutig. c) Eine konvergente Folge (ak)k∈N0 im Rn ist beschränkt. 307 Kapitel 21 Teil VII: Differential- und Integralrechnung im Rn d) Die Konvergenz einer Reihe ∑∞ l=0 al im Rn kann nicht mittels Konvergenzkriterien für Reihen in R untersucht werden. e) Eine konvergente Reihe ∑∞ l=0 al im Rn ist beschränkt. a) b) c) d) e) Wahr Falsch Lehrbuch: Abschnitt 21.1 Lösung: Zu a): Wahre Aussage (vgl. Seite 621 im Lehrbuch). Zu b): Falsche Aussage. Analog zu Folgen in R ist auch bei konvergenten Folgen im Rn der Grenzwert stets eindeutig (vgl. Folgerung 21.4 im Lehrbuch). Zu c): Wahre Aussage (vgl. Folgerung 21.10 im Lehrbuch). Zu d): Falsche Aussage. Eine Reihe im Rn ist genau dann konvergent, wenn ihre n Koordinaten konvergente Reihen in R sind (vgl. Seite 625 im Lehrbuch). Die Konvergenz einer Reihe im Rn kann folglich mit Hilfe von Konvergenzkriterien für Reihen in R untersucht werden. Zu e): Wahre Aussage. Dies folgt aus der Tatsache, dass es sich bei einer Reihe im Rn um eine Folge von Partialsummen im Rn handelt (vgl. Definition 21.12 im Lehrbuch) und konvergente Folgen stets beschränkt sind (vgl. Folgerung 21.10 im Lehrbuch). ** Aufgabe 21.3 (MC-Aufgaben zu topologischen Grundbegriffen) Kreuzen Sie an, welche der Aussagen a) bis e) wahr und welche falsch sind: a) Eine beliebig kleine Umgebung eines Randpunktes von M ⊆ Rn enthält sowohl Punkte aus M als auch außerhalb von M . b) Ist a Randpunkt von M ⊆ Rn, dann gilt a ∈ M . c) Die Mengen Rn und ∅ besitzen keine Randpunkte. d) Die Mengen Rn und ∅ sind offen und abgeschlossen. e) Die Mengen Rn und ∅ sind kompakt. a) b) c) d) e) Wahr Falsch Lehrbuch: Abschnitt 21.2 Lösung: Zu a): Wahre Aussage (vgl. Definition 21.15b) im Lehrbuch). Zu b): Falsche Aussage. Ein Randpunkt einer Menge M muss nicht zur Menge M gehören (vgl. Definition 21.15b) im Lehrbuch). Zu c): Wahre Aussage. Würde die Menge Rn einen Randpunkt a besitzen, dann müsste jede Umgebung von a mindestens einen Punkt aus Rn und mindestens einen Punkt aus Rn \Rn = ∅ besitzen. Analog müsste bei einem Randpunkt a der Menge ∅ jede Umgebung von a mindestens einen Punkt aus ∅ und mindestens einen Punkt aus Rn \ ∅ = Rn enthalten (vgl. Definition 21.15b) im Lehrbuch). Beides ist jedoch nicht möglich, da die leere Menge ∅ keine Elemente besitzt. Zu d): Wahre Aussage. Gemäß Aufgabenteil c) besitzen die MengenRn und ∅ keine Randpunkte. Sie bestehen somit ausschließlich aus inneren Punkten und sind daher offen (vgl. Definition 21.17a) im Lehrbuch). Ferner gilt für den Rand dieser beiden Mengen ∂Rn = ∅ und ∂∅ = ∅. Daraus folgt ∂Rn ⊆ Rn und ∂∅ ⊆ ∅. Die beiden Mengen Rn und ∅ sind daher auch abgeschlossen (vgl. Definition 21.17b) im Lehrbuch). Zu e): FalscheAussage. EineTeilmenge desRn ist genau dann kompakt,wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist (vgl. Definition 21.22 im Lehrbuch). Gemäß Aufgabenteil d) sind die beiden Mengen Rn und ∅ zwar abgeschlossen, aber nur die Menge ∅ ist zusätzlich auch beschränkt. Folglich ist von den beiden Mengen nur die Menge ∅ kompakt. 308 Kapitel 21Folgen, Reihen und reellwertige Funktionen im Rn * Aufgabe 21.4 (Rechenregeln für Grenzwerte im Rn) Berechnen Sie den Grenzwert der folgenden vier Folgen, sofern dieser existiert: a) Folge (ak)k∈N mit ak = 5− 4 k2 + 1 k 3+ 2 k3 + 7 k 8− 1 k3 + 4 k b) Folge (bk)k∈N0 mit bk = ( k k+1 2−k ) c) Folge (ck)k∈N mit ck = ( k2 5k2−k k √ k ) d) Folge (dk)k∈N0 mit dk = 2k 2 4k + k 0,5k Lehrbuch: Abschnitt 21.1 Lösung: Zu a): Es gilt: lim k→∞ ( 5− 4 k2 + 1 k ) = 5− 4 lim k→∞ k 2 + 1 lim k→∞ k = 5− 0+ 0 = 5 lim k→∞ ( 3+ 2 k3 + 7 k ) = 3+ 2 lim k→∞ k 3 + 7 lim k→∞ k = 3+ 0+ 0 = 3 lim k→∞ ( 8− 1 k3 + 4 k ) = 8− 1 lim k→∞ k 3 + 4 lim k→∞ k = 8− 0+ 0 = 8 Die Folge (ak)k∈N besitzt somit den Grenzwert (5, 3, 8)T . Zu b): Es folgt: lim k→∞ k k + 1 = limk→∞ 1 1+ 1 k = 1 1+ 1lim k→∞ k = 1 lim k→∞ 2 −k = 2− limk→∞ k = 0 Die Folge (bk)k∈N0 besitzt damit den Grenzwert (1, 0) T . Zu c): Es gilt: lim k→∞ k2 5k2 − k = limk→∞ 1 5− 1 k = 1 5− lim k→∞ 1 k = 1 5 lim k→∞ k √ k = 1 (vgl. Beispiel 11.24c) im Lehrbuch). Die Folge (ck)k∈N besitzt somit den Grenzwert ( 1 5 , 1 )T . 309 Kapitel 21 Teil VII: Differential- und Integralrechnung im Rn Zu d): Es gilt: lim k→∞ 2k 2 = 2 lim k→∞ k 2 = ∞ lim k→∞ ( 4k + k ) = 4 limk→∞ k + lim k→∞ k = ∞ lim k→∞ 0,5 k = 0,5 limk→∞ k = 0 Die Folge (dk)k∈N0 ist folglich bestimmt divergent und besitzt den uneigentlichenGrenzwert (∞,∞, 0)T (vgl. Definition 11.20 im Lehrbuch). ** Aufgabe 21.5 (Topologische Grundbegriffe) Skizzieren Sie die folgenden drei Teilmengen desR2 und geben Sie an, ob diese Mengen beschränkt, offen, abgeschlossen oder kompakt sind: a) M1 = { x ∈ R2 : |x1| + |x2| ≤ 4 } b) M2 = { x ∈ R2 : 〈x, a〉 > 1} mit a = (−1, 1)T c) M3 = { x ∈ R2 : x1, x2 ∈ Z } Lehrbuch: Abschnitt 21.2 Lösung: Für eine Veranschaulichung der drei Teilmengen M1,M2 und M3 des R 2 siehe Abbildung 21.1. R R 4 4 ∂M 1 M 1 R R 1 1 ∂M 2M 2 R R M 3 1 1 Abb. 21.1: Die drei Teilmengen M1,M2 und M3 im R2 Zu a): Die Menge M1 ist beschränkt, da zum Beispiel ‖x‖ ≤ 5 für alle x ∈ M1 gilt. Der Rand von M1 ist gegeben durch ∂M1 = { x ∈ R2 : |x1| + |x2| = 4 } und es gilt somit ∂M1 ⊆ M1. Das heißt, die Menge M1 ist abgeschlossen (vgl. Definition 21.17b) im Lehrbuch) und damit insbesondere auch kompakt (vgl. Definition 21.22 im Lehrbuch). Zu b): Es gilt: 〈x, a〉 > 1 ⇐⇒ −x1 + x2 > 1 ⇐⇒ x2 > x1 + 1 Die Menge M2 ist somit gleich der Halbebene oberhalb der Geraden x2 = x1 + 1. Sie ist folglich nicht beschränkt und daher insbesondere auch nicht kompakt. Der Rand von M2 ist gegeben durch ∂M2 = { x ∈ R2 : x2 = x1 + 1 } . Das heißt, es gilt ∂M2 ⊆ R2 \ M2 und M2 = M◦2 . Die Menge M2 ist daher nicht abgeschlossen, sondern offen (vgl. Definition 21.17a) im Lehrbuch). Zu c): DieMengeM3 ist offensichtlich nicht beschränkt und daher auch nicht kompakt. Ferner gilt ∂M3 = M3. Das heißt, die Menge M3 ist abgeschlossen. 310 Kapitel 21Folgen, Reihen und reellwertige Funktionen im Rn * Aufgabe 21.6 (MC-Aufgaben zu Funktionen in mehreren Variablen) Kreuzen Sie an, welche der Aussagen a) bis e) für den Graph der Funktion f : R2 −→ R, (x, y) *→ z = 3x + y + 2 wahr und welche falsch sind. a) Der Graph von f ist eine Ebene, die mit der x-y-Ebene die Schnittgerade y = −3x−2 gemeinsam hat. b) Der Graph von f ist ein Raum, der von den Koordinatenachsen und den Schnittgeraden y = −3x − 2, z = y + 2 und x = 13z− 23 begrenzt wird. c) Der Graph von f ist eine Ebene, welche die z-Achse an der Stelle z = 2 schneidet. d) Der Graph von f ist keine Ebene, sondern eine kegelförmige Fläche. e) Der Graph von f ist eine Ebene, welche die z-y-Ebene in der Geraden y = z − 2 schneidet. a) b) c) d) e) Wahr Falsch Lehrbuch: Abschnitt 21.3 Lösung: Zu a): Wahre Aussage. Die Funktion f schneidet die x-y-Ebene genau dann, wenn z = f (x, y) = 3x + y + 2 = 0 gilt. Daraus folgt y = −3x − 2. Zu b): Falsche Aussage. Zu c): Wahre Aussage. Es gilt z = f (0, 0) = 2. Zu d): Falsche Aussage. Zu e): Wahre Aussage. Es gilt z = f (0, y) = y + 2. Daraus folgt y = z− 2. * Aufgabe 21.7 (MC-Aufgaben zu Funktionen in mehreren Variablen) Kreuzen Sie an, welche der Aussagen a) bis e) wahr und welche falsch sind: a) Der Graph einer reellwertigen Funktion f mit den unabhängigen Variablen x1, . . . , xn ist eine Teilmenge des Rn+1. b) Jede Parallele zur z-Achse (Applikate) schneidet den Graphen einer Funktion f : D ⊆ R2 −→ R höchstens einmal. c) Isohöhenlinien einer Funktion f : D ⊆ R2 −→ R sind stets Linien (Kurven). d) Eine globale Minimal- oder Maximalstelle einer reellwertigen Funktion f : D ⊆ Rn −→ R ist stets eindeutig. e) Eine konkave Funktion f : D ⊆ Rn −→ R besitzt höchstens ein lokales Maximum. a) b) c) d) e) Wahr Falsch Lehrbuch: Abschnitt 21.3 Lösung: Zu a): Wahre Aussage. Es gibt n unabhängige Variablen x1, . . . , xn und eine abhängige Variable y = f (x1, . . . , xn). Der Graph von f muss daher eine Teilmenge desRn+1 sein (vgl. Seite 629 im Lehrbuch). Zu b): Wahre Aussage. Würde dies nicht gelten, wäre f keine Funktion (vgl. Seite 630 im Lehrbuch). Zu c): Falsche Aussage. Selbst bei einer Funktion f : D ⊆ R2 −→ R mit nur zwei unabhängigen Variablen können Isohöhenlinien ganze Flächen umfassen (vgl. Seite 631 im Lehrbuch). 311 Kapitel 21 Teil VII: Differential- und Integralrechnung im Rn Zu d): Falsche Aussage. Analog zu reellwertigen Funktionen in einer Variablen können auch reellwertige Funktionen in n Variablen mehrere globale Minimal- und Maximalstellen besitzen. Sie besitzen jedoch höchstens ein globales Minimum und höchstens ein globales Maximum (vgl. Seite 641 im Lehrbuch). Zu e): Wahre Aussage. Analog zu reellwertigen Funktionen in einer Variablen gilt, dass ein lokales Maximum einer konkaven Funktion f : D ⊆ Rn −→ R stets auch das globale Maximum von f ist (vgl. Satz 21.43 im Lehrbuch). Da jedoch das globale Maximum einer Funktion stets eindeutig ist, impliziert dies, dass eine konkave Funktion f höchstens ein lokales Maximum besitzen kann. ** Aufgabe 21.8 (Isohöhenlinien) Ermitteln Sie für die folgenden beiden Funktionen die Isohöhenlinien für die angegebenen Niveaus c und skizzieren Sie diese: a) f1 : R2 −→ R, (x, y) *→ 2x2 + 3y2 (c = 1, 3, 6) b) f2 : R2 −→ R, (x, y) *→ x2 + x + 4− y (c = 0, 1, 2, 3) Lehrbuch: Abschnitt 21.3 Lösung: Zu a): Die Isohöhenlinie von f1 zum Niveau c erhält man dadurch, dass man die Gleichung c = f1(x, y) nach y auflöst. Dies liefert: c = 2x2 + 3y2 ⇐⇒ y2 = c 3 − 2 3 x2 ⇐⇒ y = ± √ c 3 − 2 3 x2 für |x| ≤ √ c 2 Für eine Veranschaulichung der Isohöhenlinien zu den Niveaus c = 1, 3, 6 siehe Abbildung 21.2, links. f1(x, y) = 2x2 + 3y2 0 1 2 0 1 2 f2(x, y) = x2 + x + 4 − y 0 2 4 0 2 4 6 8 10 12 Abb. 21.2: Isohöhenlinien der Funktion f1 : R2 −→ R, (x, y) *→ 2x2+3y2 zu den Niveaus c = 1, 3, 6 (links) und f2 : R2 −→ R, (x, y) *→ x2 + x + 4− y zu den Niveaus c = 0, 1, 2, 3 (rechts) Zu b): Die Isohöhenlinie von f2 zum Niveau c erhält man analog: c = x2 + x + 4− y ⇐⇒ y = x2 + x + 4− c Durch quadratische Ergänzung erhält man daraus die Scheitelpunktsform y = x2 + x + 4− c = ( x + 1 2 )2 − 1 4 + 4− c = ( x + 1 2 )2 + 15 4 − c. Aus der Scheitelpunktsform lässt sich leicht ablesen, dass der Scheitelpunkt der Parabel y = x2+x+4−c durch( − 12 , 154 − c ) gegeben ist (vgl. (4.14)–(4.15) im Lehrbuch). Für eine Veranschaulichung der Isohöhenlinien für c = 0, 1, 2, 3 siehe Abbildung 21.2, rechts. 312 Kapitel 21Folgen, Reihen und reellwertige Funktionen im Rn * Aufgabe 21.9 (Produktionsfunktionen) Betrachtet wird die Cobb-Douglas-Produktionsfunktion f (0,∞)2 −→ R, (x, y) *→ f (x, y) = α0xα1yα2 mit α0, α1, α2 ∈ (0,∞). a) Geben Sie an, welche Beziehung zwischen α1 und α2 bestehen muss, damit die Produktionsfunktion unterlinear-homogen, linear-homogen bzw. oberlinear-homogen ist. b) Zwischen α1 und α2 bestehe nun die Beziehung α1 = 1 − α2. Erläutern Sie, wie sich die Produktionsmenge f (x, y) verändert, wenn die eingesetzten Mengen x und y der beiden Produktionsfaktoren verdoppelt werden, und geben Sie an, wie diese Eigenschaft bezeichnet wird. c) Ermitteln Sie die Isohöhenlinie von f zum Niveau c = 1000. Lehrbuch: Abschnitte 21.3 und 21.4 Lösung: Zu a): Es gilt: f (γ x, γy) = α0(γ x)α1 (γy)α2 = α0γ α1xα1γ α2yα2 = γ α1+α2α0xα1yα2 = γ α1+α2f (x, y) Die Cobb-Douglas-Produktionsfunktion f ist somit homogen vom Grad β = α1 + α2. Es gilt somit: β < 1 ⇐⇒ α1 < 1− α2 β = 1 ⇐⇒ α1 = 1− α2 β > 1 ⇐⇒ α1 > 1− α2 Die Cobb-Douglas-Produktionsfunktion f ist unterlinear-homogen, falls α1 < 1− α2, linear-homogen, falls α1 = 1− α2 und oberlinear-homogen, falls α1 > 1− α2 gilt (vgl. Seite 638 im Lehrbuch). Zu b): Im Falle von α1 = 1 − α2 gilt gemäß Aufgabenteil a) f (γ x, γy) = γf (x, y). Eine Verdopplung der eingesetzten Mengen an Produktionsfaktoren liefert somit f (2x, 2y) = 2f (x, y), also eine Verdopplung der Produktionsmenge f (x, y). Dies wird als die Eigenschaft der konstanten Skalenerträge bezeichnet (vgl. Seite 638 im Lehrbuch). Zu c): Durch Auflösen der Gleichung 1000 = f (x, y) nach der Variablen y erhält man die Isohöhenlinie von f zum Niveau c = 1000: 1000 = α0xα1yα2 ⇐⇒ yα2 = 1000 α0 x−α1 ⇐⇒ y = ( 1000 α0 x−α1 ) 1 α2 ** Aufgabe 21.10 (Homogene Funktionen) Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Homogenität und bestimmen Sie gegebenenfalls deren Homogenitätsgrad und die Art der Homogenität: a) f1 : D ⊆ R2 −→ R, (x, y) *→ √ 5x2y2 + 3x4 + 3xy3 b) f2 : D ⊆ R2 −→ R, (x, y) *→ xy + 3x 2 2x2y + xy2 c) f3 : D ⊆ R2 −→ R, (x, y) *→ √ 3x2 +√x4 ln(ex) Lehrbuch: Abschnitte 21.3 und 21.4 313 Kapitel 21 Teil VII: Differential- und Integralrechnung im Rn Lösung: Zu a): Für γ > 0 gilt: f1(γ x, γy) = √ 5(γ x)2(γy)2 + 3(γ x)4 + 3(γ x)(γy)3 = √ γ 4(5x2y2 + 3x4 + 3xy3) = γ 2 √ 5x2y2 + 3x4 + 3xy3 = γ 2f1(x, y) Das heißt, die Funktionf1 ist homogen vomGradβ = 2, also oberlinear-homogen (vgl. Seite 638 imLehrbuch). Zu b): Für γ > 0 folgt: f2(γ x, γy) = (γ x)(γy)+ 3(γ x) 2 2(γ x)2(γy)+ (γ x)(γy)2 = γ 2(xy + 3x2) γ 3(2x2y + xy2) = xy + 3x 2 γ (2x2y + xy2) = γ −1f2(x, y) Die Funktion f2 ist somit homogen vom Grad β = −1, also unterlinear-homogen. Zu c): Für γ > 0 erhält man: f3(γ x, γy) = √ 3(γ x)2 + √ (γ x)4 ln ( eγ x ) = √ γ 2(3x2 + √ x4)γ x = γ √ (3x2 + √ x4)γ ln(ex) = γ 2f3(x, y) Die Funktion f3 ist folglich homogen vom Grad β = 2, also oberlinear-homogen. ** Aufgabe 21.11 (Homogene Funktionen) Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Homogenität und bestimmen Sie gegebenenfalls deren Homogenitätsgrad und die Art der Homogenität: a) f1 : D ⊆ R2 −→ R, (x, y) *→ 2x 2y − x3 + 3y3 xy2 + 2x2y b) f2 : D ⊆ R2 −→ R, (x, y) *→ 3 √ 5x2y4 + 2x5y c) f3 : D ⊆ R2 −→ R, (x, y) *→ √ x5y + 2x3 cos(80◦) 2x2y + 3xy2 Lehrbuch: Abschnitte 21.3 und 21.4 Lösung: Zu a): Für γ > 0 gilt: f1(γ x, γy) = 2(γ x) 2(γy)− (γ x)3 + 3(γy)3 (γ x)(γy)2 + 2(γ x)2(γy) = γ 3(2x2y − x3 + 3y3) γ 3(xy2 + 2x2y) = 2x 2y − x3 + 3y3 xy2 + 2x2y = γ 0f1(x, y) Das heißt, die Funktion f1 ist homogen vom Grad β = 0, also unterlinear-homogen (vgl. Seite 638 im Lehrbuch). 314 Kapitel 21Folgen, Reihen und reellwertige Funktionen im Rn Zu b): Für γ > 0 folgt: f2(γ x, γy) = 3 √ 5(γ x)2(γy)4 + 2(γ x)5(γy) = 3 √ γ 6(5x2y4 + 2x5y) = γ 2 3 √ 5x2y4 + 2x5y = γ 2f2(x, y) Die Funktion f2 ist somit homogen vom Grad β = 2, also oberlinear-homogen. Zu c): Für γ > 0 erhält man: f3(γ x, γy) = √ (γ x)5(γy)+ 2(γ x)3 cos(80◦) 2(γ x)2(γy)+ 3(γ x)(γy)2 = √ γ 6x5y + 2γ 3x3 cos(80◦) 2γ 3x2y + 3γ 3xy2 = γ 3 (√ x5y + 2x3 cos(80◦) ) γ 3(2x2y + 3xy2) = γ 0f3(x, y) Die Funktion f3 ist folglich homogen vom Grad β = 0, also unterlinear-homogen. ** Aufgabe 21.12 (Produktionsfunktionen) a) Betrachtet wird ein Herstellungsprozess, bei der die Abhängigkeit zwischen Produktionsmenge und den Mengen der beiden eingesetzten Produktionsfaktoren durch die Cobb-Douglas-Produktionsfunktion f : (0,∞)2 −→ R, (x, y) *→ 2√xy beschrieben wird. Ferner sei angenommen, dass von den beiden Produktionsfaktoren bisher x = 100 und y = 150 Mengeneinheiten eingesetzt wurden. Ermitteln Sie, wie viele Mengeneinheiten vom zweiten Produktionsfaktor eingespart werden können, wenn vom ersten Produktionsfaktor eine Mengeneinheit mehr eingesetzt wird und das Produktionsniveau unverändert bleiben soll. b) Geben Sie eine Produktionsfunktion mit vier unabhängigen Variablen an, deren Homogenitätsgrad 3 ist. c) Gegeben sei eine linear-homogene (makroökonomische) Produktionsfunktion f : (0,∞)2 −→ R, (A,K) *→ Y = f (A,K), welche die Abhängigkeit zwischen Sozialprodukt Y und den Produktionsfaktoren Arbeit A und Kapital K angibt. Zeigen Sie, dass das relative Sozialprodukt Y A nur von der relativen Kapitalausstattung K A abhängt. Lehrbuch: Abschnitte 21.3 und 21.4 Lösung: Zua):Mitx = 100 undy = 150 ergibt sich eineProduktionsmenge vonf (100, 150) = 2√100 · 150. Da dieser Output auch beim Einsatz von 101 Mengeneinheiten vom ersten Produktionsfaktor erzielt werden soll, muss folglich 2 √ 100 · 150 = 2√101 · y gelten. Daraus folgt nach kurzer Umformung y = 100 · 150 101 = 148,5149. Das heißt, vom zweiten Produktionsfaktor können 150 − 148,5149 = 1,4851 Mengeneinheiten eingespart werden. 315 Kapitel 21 Teil VII: Differential- und Integralrechnung im Rn Zu b): Eine Cobb-Douglas-Produktionsfunktion mit vier unabhängigen Variablen ist von der Form f (x1, x2, x3, x4) = α0xα11 x α2 2 x α3 3 x α4 4 und besitzt den Homogenitätsgrad β = α1+α2+α3+α4 (vgl. Beispiel 21.35b) im Lehrbuch). Daraus folgt, dass zum Beispiel eine Cobb-Douglas-Produktionsfunktion mit α1 = α2 = α3 = α4 = 34 , d.h. mit der Zuordnungsvorschrift f (x1, x2, x3, x4) = α0x 3 4 1 x 3 4 2 x 3 4 3 x 3 4 4 , den Homogenitätsgrad 3 besitzt. Zu c): Aufgrund der linearen Homogenität von f gilt f (γA, γK) = γf (A,K) = γ Y (vgl. Seite 638 im Lehrbuch). Mit γ = 1 A folgt daraus Y A = γ Y = γf (A,K) = f (γA, γK) = f ( A A , K A ) = f ( 1, K A ) =: g ( K A ) . Das heißt, das relative Sozialprodukt Y A ist nur eine Funktion der relativen Kapitalausstattung K A . ** Aufgabe 21.13 (Grenzwerte reellwertiger Funktionen in mehreren Variablen) Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte, sofern diese existieren: a) lim (x,y)→(π,0) e −xy cos(x) b) lim (x,y)→(3,3) x − 3 x − y c) lim (x,y)→(2,−2) exp ( 4(x + y) ln(y2x) x2 − y2 ) Lehrbuch: Abschnitt 21.6 Lösung: Zu a): Mit den Rechenregeln für die Grenzwerte konvergenter Funktionen (vgl. Satz 13.41 im Lehrbuch) erhält man: lim (x,y)→(π,0) e −xy cos(x) = lim (x,y)→(π,0) e −xy lim (x,y)→(π,0) cos(x) = lim (x,y)→(π,0) e −xy lim x→π cos(x) = e0 cos(π) = −1 Das heißt, der Grenzwert existiert und ist gegeben durch −1 (vgl. Definition 21.45 im Lehrbuch). Zu b): Dieser Grenzwert existiert nicht. Zum Beispiel konvergieren die beiden Folgen ( 3+ 1 k , 3− 1 k ) k∈N und( 3+ 1 k , 3− 2 k ) k∈N für k → ∞ gegen (3, 3), aber es gilt lim k→∞ ( 3+ 1 k ) − 3( 3+ 1 k ) − ( 3− 1 k ) = lim k→∞ 1 k 2 k = lim k→∞ 1 2 = 1 2 und lim k→∞ ( 3+ 1 k ) − 3( 3+ 1 k ) − ( 3− 2 k ) = lim k→∞ 1 k 3 k = lim k→∞ 1 3 = 1 3 . Das heißt, der Grenzwert existiert nicht. 316 Kapitel 21Folgen, Reihen und reellwertige Funktionen im Rn Zu c): Mit den Rechenregeln für die Grenzwerte konvergenter Funktionen folgt: lim (x,y)→(2,−2) exp ( 4(x + y) ln(y2x) x2 − y2 ) = lim (x,y)→(2,−2) exp ( 4(x + y) ln(y2x) (x + y)(x − y) ) = lim (x,y)→(2,−2) exp ( 4 ln(y2x) x − y ) = exp lim(x,y)→(2,−2) 4 ln(y 2x) lim (x,y)→(2,−2) x − y = 4 ln(8) 4 = ln(8) Das heißt, der Grenzwert existiert und ist gleich ln(8). ** Aufgabe 21.14 (Stetigkeit von Funktionen in mehreren Variablen) Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Stetigkeit: a) f1 : R× R+ −→ R, (x, y) *→ sin ( 2xy +√y) b) f2 : { (x, y)T ∈ R2 : xy > 0} −→ R, (x, y) *→ ln (2x2 + 3√xy) c) f3 : R2 −→ R, (x, y) *→ 2xy(y2 − x2) x2 + y2 für (x, y) = (0, 0) 0 für (x, y) = (0, 0) Lehrbuch: Abschnitte 21.6 und 21.7 Lösung: Zu a) und b): Die Funktionen f1 und f2 sind als Verknüpfungen stetiger Funktionen selbst wieder stetig (vgl. Satz 21.49 und 21.51 im Lehrbuch). Zu c): Bei 2xy(y 2−x2) x2+y2 für (x, y) = (0, 0) handelt es sich um eine rationale Funktion (in zwei Variablen). Die Funktion f3 ist daher für alle (x, y) ∈ R2 \ {(0, 0)} stetig (vgl. Beispiel 21.50b) im Lehrbuch) und muss somit nur noch an der Stelle (0, 0) auf Stetigkeit untersucht werden. Wegen 0 ≤ ∣∣∣∣∣2xy(y2 − x2)x2 + y2 ∣∣∣∣∣ = 2|xy| · ∣∣∣∣∣y2 − x2x2 + y2 ∣∣∣∣∣ ≤ 2|xy| gilt jedoch lim (x,y)→(0,0) f3(x, y) = lim(x,y)→(0,0) 2xy(y2 − x2) x2 + y2 = 0 = f3(0, 0). Folglich ist die Funktion f3 auch an der Stelle (0, 0) stetig (vgl. Definition 21.47 im Lehrbuch). ** Aufgabe 21.15 (Stetigkeit von Funktionen in mehreren Variablen) Untersuchen Sie die beiden folgenden Funktionen auf Stetigkeit: a) f1 : R2 −→ R, (x, y) *→ x2y x2 + y2 für (x, y) = (0, 0) 0 für (x, y) = (0, 0) b) f2 : R2 −→ R, (x, y) *→ x2 − y2 x2 + y2 für (x, y) = (0, 0) 0 für (x, y) = (0, 0) 317 Kapitel 21 Teil VII: Differential- und Integralrechnung im Rn Lehrbuch: Abschnitte 21.6 und 21.7 Lösung: Zu a): Bei x 2y x2+y2 für (x, y) = (0, 0) handelt es sich um eine rationale Funktion (in zwei Variablen). Die Funktion f1 ist daher für alle (x, y) ∈ R2 \ {(0, 0)} stetig (vgl. Beispiel 21.50b) im Lehrbuch) und muss somit nur noch an der Stelle (0, 0) auf Stetigkeit untersucht werden. Wegen 0 ≤ ∣∣∣∣∣ x2yx2 + y2 ∣∣∣∣∣ ≤ ∣∣∣∣∣x2yx2 ∣∣∣∣∣ ≤ |y| gilt jedoch lim (x,y)→(0,0) f1(x, y) = lim(x,y)→(0,0) x2y x2 + y2 = 0 = f1(0, 0). Folglich ist die Funktion f1 auch an der Stelle (0, 0) stetig (vgl. Definition 21.47 im Lehrbuch). Zu b): Analog zu Aufgabenteil a) erhält man, dass die Funktion f2 für alle (x, y) ∈ R2 \ {(0, 0)} stetig ist und somit nur noch an der Stelle (0, 0) auf Stetigkeit untersucht werden muss. Der Grenzwert lim (x,y)→(0,0) f2(x, y) existiert jedoch nicht. Zum Beispiel konvergieren die beiden Folgen ( 1 k , 0 ) k∈N und ( 0, 1 k ) k∈N für k → ∞ gegen (0, 0), aber es gilt: lim (x,y)→(0,0) f2 ( 1 k , 0 ) = lim (x,y)→(0,0) 1 k2 1 k2 = 1 = lim (x,y)→(0,0) f2 ( 0, 1 k ) = lim (x,y)→(0,0) − 1 k2 1 k2 = −1 Die Funktion f2 besitzt somit an der Stelle (0, 0) eine Unstetigkeitsstelle. *** Aufgabe 21.16 (Stetigkeit von Funktionen in mehreren Variablen) Untersuchen Sie die Funktion f : R2 −→ R, (x, y) *→ 1 für x, y < 0√ x3y + 2 für x, y > 0√ 2exy für xy ≤ 0 auf Stetigkeit. Lehrbuch: Abschnitte 21.6 und 21.7 Lösung: Die Funktion f ist auf den drei Teilbereichen (−∞, 0)× (−∞, 0), (0,∞)× (0,∞) und (−∞, 0)× (0,∞) ∪ (0,∞)× (−∞, 0) des Definitionsbereichs R2 stetig. Es muss daher nur noch untersucht werden, ob die Funktion f auch an den Stellen (0, y) mit y = 0, (x, 0) mit x = 0 und (0, 0), d.h. in den beiden Koordinatenachsen, stetig ist. Man erhält: positive y-Achse (y > 0): lim x↓0 f (x, y) = limx↓0 √ x3y + 2 = √2 und lim x↑0 f (x, y) = limx↑0 √ 2exy = √2 negative y-Achse (y < 0): lim x↓0 f (x, y) = limx↓0 √ 2exy = √2 und lim x↑0 f (x, y) = limx↑0 1 = 1 positive x-Achse (x > 0): lim y↓0 f (x, y) = limy↓0 √ x3y + 2 = √2 und lim y↑0 f (x, y) = limy↑0 √ 2exy = √2 negative x-Achse (x < 0): lim y↓0 f (x, y) = limy↓0 √ 2exy = √2 und lim y↑0 f (x, y) = limy↑0 1 = 1 318 Kapitel 21Folgen, Reihen und reellwertige Funktionen im Rn Das heißt, es gilt: lim x↓0 f (x, y) = limx↑0 f (x, y) für y > 0 lim x↓0 f (x, y) = limx↑0 f (x, y) für y < 0 lim y↓0 f (x, y) = limy↑0 f (x, y) für x > 0 lim y↓0 f (x, y) = limy↑0 f (x, y) für x < 0 Folglich ist die Funktionf auf den beiden positivenHalbachsen { (0, y)∈R2 : y > 0} und {(x, 0)∈R2 : x > 0} stetig und auf den beiden negativen Halbachsen { (0, y) ∈ R2 : y < 0} und {(x, 0) ∈ R2 : x < 0} unstetig. Ferner gilt im Ursprung (0, 0): lim x↑0,y↑0 f (x, y) = limx↑0,y↑0 1 = 1 und f (0, 0) = √ 2e0 = √2. Das heißt, die Funktion f ist im Ursprung (0, 0) nicht stetig (vgl. Definition 21.47 im Lehrbuch). Insgesamt erhält man somit, dass die Funktion f überall stetig ist, bis auf die Stellen, die auf den beiden Halbachsen{ (0, y) ∈ R2 : y ≤ 0} und {(x, 0) ∈ R2 : x ≤ 0} liegen. 319 22. Differentialrechnung im Rn * Aufgabe 22.1 (MC-Aufgaben zur Differentialrechnung im Rn) Kreuzen Sie an, welche der Aussagen a) bis e) wahr und welche falsch sind: a) Der partielle Differenzenquotient einer reellwertigen Funktion f : D ⊆ Rn −→ R bzgl. der i-ten Variablen xi ist ein Maß für die „mittlere Steigung“ der Funktion f entlang der i-ten Achse. b) Eine reellwertige Funktion f : D ⊆ Rn −→ R heißt bzgl. der i-ten Variablen xi partiell differenzierbar, wenn der Grenzwert des partiellen Differenzenquotienten bzgl. der i-ten Variablen existiert. c) Eine reellwertige Funktion f : D ⊆ Rn −→ R heißt partiell differenzierbar, wenn sie bzgl. mindestens einer der n Variablen x1, . . . , xn partiell differenzierbar ist. d) Eine reellwertige Funktion f : D ⊆ Rn −→ R heißt stetig partiell differenzierbar, wenn sie bzgl. aller n Variablen x1, . . . , xn stetig und partiell differenzierbar ist. e) Bei der Bildung der ersten partiellen Ableitungen einer reellwertigen Funktion f : D ⊆ Rn −→ R bzgl. der Variablen xi werden alle anderen n − 1 Variablen als Konstanten betrachtet. a) b) c) d) e) Wahr Falsch Lehrbuch: Abschnitt 22.1 Lösung: Zu a): Wahre Aussage (vgl. Seite 652 im Lehrbuch). Zu b): Wahre Aussage (vgl. Definition 22.2 im Lehrbuch). Zu c): Falsche Aussage. Eine reellwertige Funktion f : D ⊆ Rn −→ R heißt partiell differenzierbar, wenn sie bzgl. aller n Variablen x1, . . . , xn partiell differenzierbar ist (vgl. Definition 22.2 im Lehrbuch). Zu d): Falsche Aussage. Eine reellwertige Funktion f : D ⊆ Rn −→ R heißt stetig partiell differenzierbar, wenn sie bzgl. aller n Variablen x1, . . . , xn partiell differenzierbar ist und die n partiellen Ableitungen erster Ordnung stetig sind (vgl. Definition 22.2 im Lehrbuch). Zu e): Wahre Aussage (vgl. Seite 653 im Lehrbuch). * Aufgabe 22.2 (MC-Aufgaben zur Differentialrechnung im Rn) Kreuzen Sie an, welche der Aussagen a) bis e) wahr und welche falsch sind: a) Bei der Berechnung partieller Ableitungen einer reellwertigen Funktion f : D ⊆ Rn −→ R können die Ableitungsregeln für reellwertige Funktionen in einer Variablen verwendet werden. b) Die partielle Ableitung ∂f (x) ∂xi einer partiell differenzierbaren Funktion f : D ⊆ Rn −→ R stimmt im Falle von n = 1 mit der gewöhnlichen ersten Ableitung einer Funktion in einer Variablen überein. c) Die partielle Ableitung ∂f (x) ∂xi einer partiell differenzierbaren Funktion f : D ⊆ Rn −→ R gibt nur im Falle von n = 1 und n = 2 die Steigung von f bzgl. der i-ten Koordinatenachse an. d) Eine reellwertige Funktion f : D ⊆ Rn −→ R besitzt an jeder Stelle x0 ∈ D einen (eventuell unterschiedlichen) Gradienten grad f (x0). e) Die Tangentialhyperebene einer reellwertigen Funktion f : D ⊆ Rn −→ R an der Stelle x0 ∈ D ist eine Hyperebene im Rn+1, die an der Stelle x0 ∈ D den gleichen 320 Kapitel 22Differentialrechnung im Rn Funktionswert und in Richtung der nKoordinatenachsen die gleichen Steigungen wie f aufweist. a) b) c) d) e) Wahr Falsch Lehrbuch: Abschnitt 22.1 Lösung: Zu a): Wahre Aussage. Bei der Bildung einer partiellen Ableitung einer reellwertigen Funktion f : D ⊆ Rn −→ R werden alle Variablen bis auf eine als Konstanten betrachtet. Auf diese Weise resultiert eine reellwertige Funktion in nur einer Variablen, auf welche die Ableitungsregeln für reellwertige Funktionen in einer Variablen angewendet werden können (vgl. Seite 653 im Lehrbuch). Zu b): Wahre Aussage. In diesem Fall handelt es sich bei f um eine reellwertige Funktion in einer Variablen, so dass die beiden Ableitungskonzepte zusammenfallen (vgl. Seite 653 im Lehrbuch). Zu c): Falsche Aussage. Die Interpretation der i-ten partiellen Ableitung ∂f (x) ∂xi als Steigung von f : D ⊆ Rn −→ R bzgl. der i-ten Koordinatenachse gilt für alle n ∈ N (vgl. Seite 654 im Lehrbuch). Zu d): Falsche Aussage. Für die Existenz des Gradienten von f : D ⊆ Rn −→ R an der Stelle x0 ∈ D ist es erforderlich, dass f an der Stelle x0 partiell differenzierbar ist (vgl. Definition 22.5 im Lehrbuch). Zu e): Wahre Aussage (vgl. Seiten 657–658 im Lehrbuch). * Aufgabe 22.3 (Partielle Ableitung erster Ordnung) Bestimmen Sie für die Funktionen mit den folgenden Zuordnungsvorschriften die partiellen Ableitungen erster Ordnung und vereinfachen Sie diese soweit wie möglich: a) f1(x, y) = 4x3 − 23y2 b) f2(x, y) = 2x3e2y c) f3(x, y, z) = ln(xy)+ 2 ln ( z√ zy ) − ln(zx) Lehrbuch: Abschnitt 22.1 Lösung: Zu a): Es gilt: ∂f1(x, y) ∂x = 12x2 und ∂f1(x, y) ∂y = − 4 3 y Zu b): Man erhält: ∂f2(x, y) ∂x = 6x2e2y und ∂f2(x, y) ∂y = 4x3e2y Zu c): Mit den Rechenregeln für die Logarithmusfunktion (vgl. Satz 14.35b) und c) im Lehrbuch) folgt: f3(x, y, z) = ln(xy)+ 2 ln ( z√ zy ) − ln(zx) = ln(x)+ ln(y)+ 2(ln (z)− ln (√zy))− (ln(z)+ ln(x)) = ln(x)+ ln(y)+ 2 ( ln (z)− 1 2 ln (zy) ) − ln(z)− ln(x) = ln(x)+ ln(y)+ 2 ln (z)− (ln (z)+ ln (y))− ln(z)− ln(x) = 0 Folglich gilt: ∂f3(x, y, z) ∂x = ∂f3(x, y, z) ∂y = ∂f3(x, y, z) ∂z = 0 321 Kapitel 22 Teil VII: Differential- und Integralrechnung im R ** Aufgabe 22.4 (Partielle Ableitung erster Ordnung) Bestimmen Sie für die Funktionen mit den folgenden Zuordnungsvorschriften die partiellen Ableitungen erster Ordnung und vereinfachen Sie diese soweit wie möglich: a) f1(x, y) = √2x + 3xy + 4y b) f2(x, y) = x2 e2y + arctan ( x+y 1−xy ) c) f3(x, y, z) = 6xz+3y2ey + 3 2 √ x3+1 z2+2 Lehrbuch: Abschnitt 22.1 Lösung: Zu a): Aus f1(x, y) = (2x + 3xy + 4y) 1 2 und der Kettenregel (vgl. (16.15) im Lehrbuch) folgt: ∂f1(x, y) ∂x = 1 2 (2x + 3xy + 4y)− 12 (2+ 3y) = 1+ 3 2 y√ 2x + 3xy + 4y ∂f1(x, y) ∂y = 1 2 (2x + 3xy + 4y)− 12 (3x + 4) = 3 2 x + 2√ 2x + 3xy + 4y Zu b):Mit (arctan(x))′ = 1 1+x2 (vgl. Satz 16.18c) im Lehrbuch), der Kettenregel und derQuotientenregel (vgl. Satz 16.6e) im Lehrbuch) erhält man: ∂f2(x, y) ∂x = 1 2 e2y + 1 1+ ( x+y 1−xy )2 · (1− xy)− (x + y)(−y)(1− xy)2 = 1 2 e2y + 1 (1−xy)2+(x+y)2 (1−xy)2 · 1+ y 2 (1− xy)2 = 1 2 e2y + 1+ y 2 (1+ y2)+ x2(1+ y2) = 1 2 e2y + 1 1+ x2 ∂f2(x, y) ∂y = xe2y + 1 1+ ( x+y 1−xy )2 · (1− xy)− (x + y)(−x)(1− xy)2 = xe2y + 1 (1−xy)2+(x+y)2 (1−xy)2 · 1+ x 2 (1− xy)2 = xe2y + 1+ x 2 (1+ x2)+ y2(1+ x2) = xe2y + 1 1+ y2 Zu c): Mit der Kettenregel und der Quotientenregel folgt: ∂f3(x, y, z) ∂x = 6z ey + 3 2 (x 3 + 1)− 12 3x2 2(z2 + 2) = 6z ey + 9x 2 4 √ x3 + 1(z2 + 2) ∂f3(x, y, z) ∂y = 6ye y − (6xz+ 3y2)ey (ey)2 = 6y − 6xz− 3y 2 ey ∂f3(x, y, z) ∂z = 6x ey − 3 2 √ x3 + 1 (z2 + 2)2 2z = 6x ey − 3z √ x3 + 1 (z2 + 2)2 322 Kapitel 22Differentialrechnung im Rn * Aufgabe 22.5 (Gradient und Tangentialebene) Bestimmen Sie für die folgenden beiden Funktionen den Gradienten und die Tangentialebene an der jeweils angegebenen Stelle (x0, y0): a) f : R2 −→ R, (x, y) *→ x2 + y2 und (x0, y0) = (1, 1) b) g : R2 −→ R, (x, y) *→ x2 + 4xy − 2y2 und (x0, y0) = (−1, 2) Lehrbuch: Abschnitt 22.1 Lösung: Zu a): Die beiden partiellen Ableitungen erster Ordnung von f sind gegeben durch: ∂f (x, y) ∂x = 2x und ∂f (x, y) ∂y = 2y Der Gradient von f an der Stelle (x, y) ∈ R2 lautet somit grad f (x, y) = ( 2x 2y ) (vgl. Definition 22.5 im Lehrbuch). Für die Tangentialebene t an der Stelle (x0, y0) = (1, 1) erhält man somit t (x, y) = f (1, 1)+ grad f (1, 1)T ( x − 1 y − 1 ) = 2+ 2(x − 1)+ 2(y − 1) = 2x + 2y − 2 (vgl. Seite 658 im Lehrbuch). Zu b): Die beiden partiellen Ableitungen erster Ordnung von g lauten: ∂g(x, y) ∂x = 2x + 4y und ∂g(x, y) ∂y = −4y + 4x Der Gradient von g an der Stelle (x, y) ∈ R2 ist daher gegeben durch grad g(x, y) = ( 2x + 4y 4x − 4y ) . Für die Tangentialebene t an der Stelle (x0, y0) = (−1, 2) erhält man folglich t (x, y) = g(−1, 2)+ grad g(−1, 2)T ( x + 1 y − 2 ) = −15+ 6(x + 1)− 12(y − 2) = 6x − 12y + 15. ** Aufgabe 22.6 (Gradient, Tangentialebene und Tangentialhyperebene) a) Ermitteln Sie den Gradienten und die Tangentialebene der Funktion f : R2 −→ R, (x, y) *→ x2 + y in einer beliebigen Stelle (x0, y0) ∈ R2. Bestimmen Sie alle Tangentialebenen, welche die y-Achse an der Stelle y = 2 schneiden. b) Ermitteln Sie den Gradienten und die Tangentialhyperebene der Funktion g : R3 −→ R, (x, y, z) *→ 2e2y+z − 2x cos(y)+ 3x2yz3 an der Stelle (−2, 0, 1). Lehrbuch: Abschnitt 22.1 323 Kapitel 22 Teil VII: Differential- und Integralrechnung im R Lösung: Zu a): Die beiden partiellen Ableitungen erster Ordnung von f sind gegeben durch: ∂f (x, y) ∂x = 2x und ∂f (x, y) ∂y = 1 Der Gradient von f an der Stelle (x, y) ∈ R2 lautet somit grad f (x, y) = ( 2x 1 ) (vgl. Definition 22.5 im Lehrbuch). Für die Tangentialebene t an einer beliebigen Stelle (x0, y0) ∈ R2 gilt somit t (x, y) = f (x0, y0)+ grad f (x0, y0)T ( x − x0 y − y0 ) = x20 + y0 + 2x0(x − x0)+ (y − y0) = 2x0x + y − x20 (vgl. Seite 658 im Lehrbuch). Die Tangentialebene t schneidet die y-Achse genau dann an der Stelle y = 2, wenn t (0, 2) = 0 gilt (vgl. Abbildung 22.4 im Lehrbuch). Dies liefert: t (0, 2) = 0 ⇐⇒ x20 = 2 ⇐⇒ x0 = ± √ 2 Folglich sind durch t1(x, y) = 2 √ 2x + y − 2 und t2(x, y) = −2 √ 2x + y − 2 die Tangentialebenen von f gegeben, welche die y-Achse an der Stelle y = 2 schneiden. Zu b): Die drei partiellen Ableitungen erster Ordnung von g lauten: ∂g(x, y, z) ∂x = −2 cos(y)+ 6xyz3 ∂g(x, y, z) ∂y = 4e2y+z + 2x sin(y)+ 3x2z3 ∂g(x, y, z) ∂z = 2e2y+z + 9x2yz2 Der Gradient von g an der Stelle (−2, 0, 1) lautet somit grad g(−2, 0, 1) = ∂g(−2,0,1) ∂x ∂g(−2,0,1) ∂y ∂g(−2,0,1) ∂z = −24e + 12 2e (vgl. Definition 22.5 im Lehrbuch). Für die Tangentialhyperebene t an der Stelle (−2, 0, 1) erhält man damit t (x, y, z) = g(−2, 0, 1)+ grad g(−2, 0, 1)T x + 2y − 4e − 12 z− 2e = 2e + 4− 2(x + 2)+ (4e + 12)(y − 4e − 12)+ 2e(z− 2e) = −2x + (4e + 12)y + 2ez− 20e2 − 94e − 144 (vgl. (22.10) im Lehrbuch). *** Aufgabe 22.7 (Tangentialebene) Betrachtet wird die reellwertige Funktion f : R2 −→ R, (x, y) *→ 89x2 − 96xy + 61y2 − 260x + 70y + q. Bestimmen Sie die Konstante q ∈ R so, dass der Graph von f die x-y-Ebene berührt. Ermitteln Sie ferner die Koordinaten des Berührungspunktes. Lehrbuch: Abschnitt 22.1 324 Kapitel 22Differentialrechnung im Rn Lösung: Es sei P = (x0, y0, 0) ∈ R3 der gesuchte Berührungspunkt des Graphen von f mit der x-y-Ebene. Das heißt, es wird angenommen, dass die x-y-Ebene die Tangentialebene t von f an der Stelle (x0, y0) ist. Da die x-y-Ebene sowohl in x-Achsenrichtung als auch in y-Achsenrichtung jeweils die Steigung Null aufweist, impliziert dies für die partiellen Ableitungen erster Ordnung ∂f (x0, y0) ∂x = ∂f (x0, y0) ∂y = 0. Dies führt zum linearen Gleichungssystem: 178x0 − 96y0 = 260 −96x0 + 122y0 = − 70 Dividiert man beide Gleichungen durch 2 und multipliziert anschließend die erste Gleichung mit 61 und die zweite mit 48, dann erhält man das äquivalente lineare Gleichungssystem: 5429x0 − 2928y0 = 7930 −2304x0 + 2928y0 = −1680 Die Addition dieser beiden Gleichungen liefert 3125x0 = 6250 ⇐⇒ x0 = 2. Wird der Wert x0 = 2 z.B. in die letzte Gleichung eingesetzt, dann folgt für die zweite Koordinate −4608+ 2928y0 = −1680 ⇐⇒ y0 = 1. Das heißt, der gesuchte Berührungspunkt ist gegeben durch (2, 1, 0). Da ferner f (x0, y0) = 0 gelten muss, erhält man damit für die Konstante q die Bestimmungsgleichung f (2, 1) = −225+ q = 0. Folglich muss für die Konstante q = 225 gelten und die Zuordnungsvorschrift lautet f (x, y) = 89x2−96xy+ 61y2 − 260x + 70y + 225. * Aufgabe 22.8 (MC-Aufgaben zur Differentialrechnung im Rn) Kreuzen Sie an, welche der Aussagen a) bis e) wahr und welche falsch sind: a) Eine partiell differenzierbare Funktion f : D ⊆ Rn −→ R ist stetig. b) Eine stetige und partiell differenzierbare Funktion f : D ⊆ Rn −→ R ist stetig partiell differenzierbar. c) Eine zweimal partiell differenzierbare Funktion f : D ⊆ Rn −→ R besitzt insgesamt n2 partielle Ableitungen zweiter Ordnung. d) Bei der Bildung partieller Ableitungen höherer Ordnung kommt es auf die Reihenfolge der Variablen, nach denen partiell differenziert wird, nicht an. e) Existiert für eine reellwertige Funktion f : D ⊆ Rn −→ R die Hesse-Matrix an der Stelle x ∈ D, dann existiert auch ihr Gradient an der Stelle x. a) b) c) d) e) Wahr Falsch Lehrbuch: Abschnitte 22.1 und 22.2 Lösung: Zua): FalscheAussage. PartielleDifferenzierbarkeit einer reellwertigenFunktionf : D ⊆ Rn −→ R impliziert im Allgemeinen nicht deren Stetigkeit (vgl. Beispiel 22.7 im Lehrbuch). Zu b): Falsche Aussage. Die partiellen Ableitungen einer stetigen und partiell differenzierbaren Funktion f : D ⊆ Rn −→ R müssen im Allgemeinen nicht stetig sein. Zu c): Wahre Aussage. Die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung ∂ 2f (x) ∂xj ∂xi von f resultieren durch partielles Ableiten der n partiellen Ableitungen erster Ordnung ∂f (x) ∂xi nach einer der n Variablen xj . Folglich besitzt 325 Kapitel 22 Teil VII: Differential- und Integralrechnung im R eine zweimal partiell differenzierbare Funktion f insgesamt n · n partielle Ableitungen zweiter Ordnung (vgl. Seite 660 im Lehrbuch). Zu d): Falsche Aussage. Im Allgemeinen kommt es bei der Bildung partieller Ableitungen höherer Ordnung auf die Reihenfolge der Variablen an, nach denen partiell differenziert wird (vgl. Beispiel 22.11 im Lehrbuch). Unter bestimmten (in denmeisten ökonomischen Anwendungen erfüllten) Voraussetzungen hat jedoch die Reihenfolge der partiellen Differentiationen keinen Einfluss auf das Ergebnis (vgl. Satz 22.12 im Lehrbuch). Zu e): Wahre Aussage. Wenn die Hesse-Matrix von f an der Stelle x ∈ D existiert, dann ist f dort zweimal partiell differenzierbar (vgl. Definition 22.13 im Lehrbuch). Dies impliziert jedoch auch die Existenz der partiellen Ableitungen erster Ordnung an der Stelle x (vgl. Definition 22.8 im Lehrbuch) und damit insbesondere die Existenz des Gradienten von f an dieser Stelle (vgl. Definition 22.5 im Lehrbuch). ** Aufgabe 22.9 (Partielle Ableitung erster und zweiter Ordnung) Bestimmen Sie für die Funktionen mit den folgenden Zuordnungsvorschriften die partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung und vereinfachen Sie diese soweit wie möglich: a) f1(x, y) = 3x2 − 4y2 + 5xy + 4y b) f2(x, y) = x 4 − 3x2y 3x + 2y2 c) f3(x, y, z) = 5x2yz4 + 8 y2x5 Lehrbuch: Abschnitte 22.1 und 22.2 Lösung: Zu a): Für die partiellen Ableitungen erster Ordnung gilt ∂f1(x, y) ∂x = 6x + 5y und ∂f1(x, y) ∂y = −8y + 5x + 4. Damit folgt für die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung ∂2f1(x, y) ∂x2 = 6, ∂ 2f1(x, y) ∂y∂x = ∂ 2f1(x, y) ∂x∂y = 5 und ∂ 2f1(x, y) ∂y2 = −8. Zu b): Für die partiellen Ableitungen erster Ordnung erhält man mit der Quotientenregel (vgl. 16.6e) im Lehrbuch): ∂f2(x, y) ∂x = (4x 3 − 6xy)(3x + 2y2)− (x4 − 3x2y) · 3 (3x + 2y2)2 = 9x4 + 8x3y2 − 9x2y − 12xy3 (3x + 2y2)2 ∂f2(x, y) ∂y = −3x 2(3x + 2y2)− (x4 − 3x2y)4y (3x + 2y2)2 = −9x3 + 6x2y2 − 4x4y (3x + 2y2)2 Mit der Quotientenregel folgt somit für die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung: ∂2f2(x,y) ∂x2 = (36x 3+24x2y2−18xy−12y3)(3x+2y2)2−(9x4+8x3y2−9x2y−12xy3)·6(3x+2y2) (3x+2y2)4 = (36x 3+24x2y2−18xy−12y3)(3x+2y2)−6(9x4+8x3y2−9x2y−12xy3) (3x+2y2)3 = 54x 4+96x3y2+48x2y4−24y5 (3x+2y2)3 ∂2f2(x,y) ∂y2 = (12x 2y−4x4)(3x+2y2)2−(−9x3+6x2y2−4x4y)·8y(3x+2y2) (3x+2y2)4 = (12x 2y−4x4)(3x+2y2)−8y(−9x3+6x2y2−4x4y) (3x+2y2)3 = −12x 5+108x3y+24x4y2−24x2y3 (3x+2y2)3 326 Kapitel 22Differentialrechnung im Rn und ∂2f2(x,y) ∂y∂x = ∂ 2f2(x,y) ∂x∂y = (16x 3y−9x2−36xy2)(3x+2y2)2−(9x4+8x3y2−9x2y−12xy3) ·8y(3x+2y2) (3x+2y2)4 = (16x 3y−9x2−36xy2)(3x+2y2)−8y(9x4+8x3y2−9x2y−12xy3) (3x+2y2)3 = −24x 4y−27x3−32x3y3−54x2y2+24xy4 (3x+2y2)3 Zu c): Die partiellen Ableitungen erster Ordnung sind gegeben durch: ∂f3(x, y, z) ∂x = 10xyz4 − 40 y 2 x6 , ∂f3(x, y, z) ∂y = 5x2z4 + 16 y x5 und ∂f3(x, y, z) ∂z = 20x2yz3 Für die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung gilt: ∂2f3(x, y, z) ∂x2 = 10yz4 + 240 y 2 x7 ∂2f3(x, y, z) ∂y2 = 16 x5 ∂2f3(x, y, z) ∂z2 = 60x2yz2 ∂2f3(x, y, z) ∂y∂x = ∂ 2f3(x, y, z) ∂x∂y = 10xz4 − 80 y x6 ∂2f3(x, y, z) ∂z∂x = ∂ 2f3(x, y, z) ∂x∂z = 40xyz3 ∂2f3(x, y, z) ∂z∂y = ∂ 2f3(x, y, z) ∂y∂z = 20x2z3 * Aufgabe 22.10 (Gradient und Hesse-Matrix) Bestimmen Sie für die beiden folgenden Funktionen jeweils den Gradienten und die Hesse-Matrix an einer allgemeinen Stelle des Definitionsbereichs: a) f : R2 −→ R, (x, y) *→ x(3− x2)− y2 + 4y + 9 b) g : R× (0,∞)× R −→ R, (x, y, z) *→ 3x2 ln(y)+ 4x3z2 − y2z3 Lehrbuch: Abschnitte 22.1 und 22.2 Lösung: Zu a):DerGradient und dieHesse-Matrix von f an einer allgemeinen Stelle (x, y) ∈ R2 sind gegeben durch grad f (x, y) = ( 3− 3x2 4− 2y ) und Hf (x, y) = ( −6x 0 0 −2 ) . Zu b): Der Gradient und die Hesse-Matrix von g an einer allgemeinen Stelle (x, y, z) ∈ R× (0,∞)×R sind gegeben durch grad g(x, y, z) = 6x ln(y)+ 12x2z2 3x2 1y − 2yz3 8x3z− 3y2z2 und Hg(x, y, z) = 6 ln(y)+ 24xz2 6 xy 24x2z 6 xy −3 x 2 y2 − 2z3 −6yz2 24x2z −6yz2 8x3 − 6y2z . 327 Kapitel 22 Teil VII: Differential- und Integralrechnung im R ** Aufgabe 22.11 (Ökonomische Anwendung der Differentialrechnung im Rn) Betrachtet wird die (makroökonomische) Produktionsfunktion f : (0,∞)2 −→ R, (A,K) *→ Y = f (A,K) = −3A3 + 2A2 + 50A− 3A2K + 2AK2 − 3K3 + 5K2, welche die Abhängigkeit zwischen dem Sozialprodukt Y und den Produktionsfaktoren Arbeit A und Kapital K angibt. a) Bestimmen Sie den Gradienten und die Hesse-Matrix der Produktionsfunktion f für die beiden Faktorkombinationen A = 2 und K = 5 bzw. A = 10 und K = 2. b) Geben Sie anhand der partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung eine ökonomische Charakterisierung des Verhaltens der Produktionsfunktion in der näheren Umgebung der beiden Faktorkombinationen aus Teil a) an. Lehrbuch: Abschnitte 22.1 und 22.2 Lösung: Zu a): Der Gradient und die Hesse-Matrix von f an einer allgemeinen Stelle (A,K) ∈ (0,∞)2 sind gegeben durch grad f (A,K) = ( −9A2 + 4A+ 50− 6AK + 2K2 −3A2 + 4AK − 9K2 + 10K ) und Hf (A,K) = ( −18A+ 4− 6K −6A+ 4K −6A+ 4K 4A− 18K + 10 ) . Der Gradient und die Hesse-Matrix für die beiden Faktorkombinationen A = 2 und K = 5 bzw. A = 10 und K = 2 lauten somit grad f (2, 5) = ( 12 −147 ) und Hf (2, 5) = ( −62 8 8 −72 ) bzw. grad f (10, 2) = ( −922 −236 ) und Hf (10, 2) = ( −188 −52 −52 14 ) . Zu b): An den Einträgen des Gradienten grad f (2, 5) ist abzulesen, dass in der Umgebung der Faktorkombination A = 2 und K = 5 die Produktionsfunktion f bzgl. der Arbeit A streng monoton wachsend und bzgl. des Kapitals K streng monoton fallend ist (vgl. Satz 16.31c) und d) im Lehrbuch). An den Einträgen der Hesse- Matrix Hf (2, 5) ist zu erkennen, dass die Krümmung von f bzgl. beider Produktionsfaktoren A undK streng konkav ist (vgl. Folgerung 16.34d) im Lehrbuch). Das heißt, die Grenzproduktivität der Produktionsfaktoren A und K ist streng monoton fallend (vgl. Satz 16.33b) im Lehrbuch). Ferner ist abzulesen, dass die Grenzproduktivität der Arbeit A bzgl. des Kapitals K und des Kapitals K bzgl. der Arbeit A jeweils streng monoton wachsend ist. Analog ist an den Einträgen des Gradienten grad f (10, 2) abzulesen, dass in der Umgebung der Faktorkombination A = 10 und K = 2 die Produktionsfunktion f bzgl. der Arbeit A und bzgl. des Kapitals K jeweils streng monoton fallend verläuft. Die Einträge der Hesse-Matrix Hf (10, 2) verraten, dass die Krümmung von f bzgl. dem Produktionsfaktor A streng konkav und bzgl. dem Produktionsfaktor K streng konvex ist. Das heißt, die Grenzproduktivität des Produktionsfaktors A ist streng monoton fallend und die Grenzproduktivität des Produktionsfaktors K ist streng monoton wachsend. Ferner ist zu erkennen, dass die Grenzproduktivität der Arbeit A bzgl. des Kapitals K und des Kapitals K bzgl. der Arbeit A jeweils streng monoton fallend ist. 328 Kapitel 22Differentialrechnung im Rn * Aufgabe 22.12 (MC-Aufgaben zur Differentialrechnung im Rn) Kreuzen Sie an, welche der Aussagen a) bis e) wahr und welche falsch sind: a) Die Hesse-Matrix Hf (x) einer zweimal stetig partiell differenzierbaren Funktion f : D ⊆ Rn −→ R ist für alle x ∈ D symmetrisch. b) Die partielle Ableitung ist das Analogon zum gewöhnlichen Ableitungsbegriff für eine Funktion in einer Variablen. c) Ist f : D ⊆ Rn −→ R an der Stelle x ∈ D total differenzierbar, dann ist f an dieser Stelle auch stetig partiell differenzierbar. d) Eine stetig partiell differenzierbare Funktion f : D ⊆ Rn −→ R ist stetig. e) Die Existenz aller partiellen Ableitungen erster Ordnung von f : D ⊆ Rn −→ R an der Stelle x ∈ D ist nur eine notwendige, aber keine hinreichende Bedingung für die totale Differenzierbarkeit von f an dieser Stelle. a) b) c) d) e) Wahr Falsch Lehrbuch: Abschnitte 22.1 bis 22.3 Lösung: Zu a): Wahre Aussage (vgl. Folgerung 22.14 im Lehrbuch). Zu b): FalscheAussage. Die totale Ableitung ist das eigentlicheAnalogon zumgewöhnlichenAbleitungsbegriff für eine Funktion in einer Variablen (vgl. Seite 665 im Lehrbuch). Zu c): Falsche Aussage. Ist f an der Stelle x ∈ D total differenzierbar, dann ist f an dieser Stelle sowohl stetig als auch partiell differenzierbar, aber im Allgemeinen nicht stetig partiell differenzierbar (vgl. Satz 22.17 im Lehrbuch). Zu d): Wahre Aussage (vgl. Folgerung 22.20 im Lehrbuch). Zu e): Wahre Aussage (vgl. Seite 667 im Lehrbuch). ** Aufgabe 22.13 (Totale Ableitung und totales Differential) Bestimmen Sie für die folgenden beiden Funktionen jeweils die totale Ableitung und das totale Differential an einer allgemeinen Stelle des Definitionsbereichs: a) f : {(x, y) ∈ R2 : xy > 0} −→ R, (x, y) *→ ln(xy) b) g : R3 −→ R, (x, y, z) *→ √x2 + y2 + z2 + 5 Lehrbuch: Abschnitt 22.3 Lösung: Zu a): Es gilt ln(xy) = ln(x)+ ln(y) (vgl. Satz 14.35b) im Lehrbuch). Für die totale Ableitung an einer allgemeinen Stelle (x, y) ∈ {(x, y) ∈ R2 : xy > 0} erhält man somit f ′(x, y) = grad f (x, y) = ( 1 x 1 y ) (vgl. Satz 22.17b) im Lehrbuch). Damit folgt für das totale Differential von f (vgl. (22.20) im Lehrbuch) df = f ′(x, y)T d(x, y) = 1 x dx + 1 y dy. 329 Kapitel 22 Teil VII: Differential- und Integralrechnung im R Zu b): Es gilt √ x2 + y2 + z2 + 5 = (x2+y2+ z2+5) 12 . Für die totale Ableitung und das totale Differential an einer allgemeinen Stelle (x, y, z) ∈ R3 erhält man mit der Kettenregel (vgl. (16.15) im Lehrbuch) g′(x, y, z) = grad g(x, y, z) = 1 2 (x 2 + y2 + z2 + 5)− 12 2x 1 2 (x 2 + y2 + z2 + 5)− 12 2y 1 2 (x 2 + y2 + z2 + 5)− 12 2z = x√ x2+y2+z2+5 y√ x2+y2+z2+5 z√ x2+y2+z2+5 und dg = g′(x, y, z)T d(x, y, z) = x√ x2 + y2 + z2 + 5 dx + y√ x2 + y2 + z2 + 5 dy + z√ x2 + y2 + z2 + 5 dz = x dx + y dy + z dz√ x2 + y2 + z2 + 5 . * Aufgabe 22.14 (Ökonomische Anwendung des totalen Differentials) Betrachtet wird die Produktionsfunktion f : (0,∞)3 −→ R, (r1, r2, r3) *→ y = 1 2 r 1 2 1 r 1 2 2 + 1 10 r 2 5 1 r 3 5 3 + 1 5 r 3 10 2 r 7 10 3 , welche die Abhängigkeit zwischen demOutput y und den drei Produktionsfaktoren r1, r2 und r3 angibt. a) Ermitteln Sie die Grenzproduktivitäten der drei Produktionsfaktoren. b) Bestimmen Sie für die Faktorkombination (r1, r2, r3) = (4, 5, 9) das totale Differential, wenn man den ersten Produktionsfaktor um 0,2 Mengeneinheiten erhöht und gleichzeitig den zweiten und dritten Produktionsfaktor jeweils um 0,1 Mengeneinheiten verringert. Lehrbuch: Abschnitte 22.1 und 22.3 Lösung: Zu a): Die Grenzproduktivitäten der drei Produktionsfaktoren sind gegeben durch: ∂f (r1, r2, r3) ∂r1 = 1 4 r − 12 1 r 1 2 2 + 1 25 r − 35 1 r 3 5 3 ∂f (r1, r2, r3) ∂r2 = 1 4 r 1 2 1 r − 12 2 + 3 50 r − 710 2 r 7 10 3 ∂f (r1, r2, r3) ∂r3 = 3 50 r 2 5 1 r − 25 3 + 7 50 r 3 10 2 r − 310 3 Zu b): Für die Faktorkombination (r1, r2, r3) = (4, 5, 9) erhält man mit den Grenzproduktivitäten aus Aufgabenteil a) und d(r1, r2, r3) = (0,2,−0,1,−0,1) das totale Differential (vgl. (22.20) im Lehrbuch): df = ∂f (4, 5, 9) ∂r1 dr1 + ∂f (4, 5, 9) ∂r2 dr2 + ∂f (4, 5, 9) ∂r3 dr3 = 0,068915− 0,031415− 0,016075 = 0,021425 ** Aufgabe 22.15 (Totale Ableitung und totales Differential) Bestimmen Sie für die folgenden beiden Funktionen jeweils die totale Ableitung und das totale Differential an einer allgemeinen Stelle des Definitionsbereichs: a) f : {(x, y) ∈ R2 : x = −y} −→ R, (x, y) *→ x x + y b) g : R2 \ {(0, 0)} −→ R, (x, y) *→ ln ( y +√x2 + y2) 330 Kapitel 22Differentialrechnung im Rn Bestimmen Sie ferner die beiden totalen Ableitungen (f + g)′(x, y) und (fg)′(x, y). Lehrbuch: Abschnitt 22.3 Lösung: Zu a): Für die totale Ableitung an einer allgemeinen Stelle (x, y) ∈ {(x, y) ∈ R2 : x = −y} erhält man mit der Quotientenregel (vgl. Satz 16.6e) im Lehrbuch) f ′(x, y) = grad f (x, y) = 1·(x+y)−x·1(x+y)2 0·(x+y)−x·1 (x+y)2 = y(x+y)2 − x (x+y)2 (22.1) (vgl. Satz 22.17b) im Lehrbuch). Damit folgt für das totale Differential von f (vgl. (22.20) im Lehrbuch) df = f ′(x, y)T d(x, y) = y (x + y)2 dx − x (x + y)2 dy = y dx − x dy (x + y)2 . Zu b): Mit der Kettenregel (vgl. (16.15) im Lehrbuch) und (ln(x))′ = 1x (vgl. Satz 16.14a) im Lehrbuch) folgt für die totale Ableitung und das totale Differential an einer allgemeinen Stelle (x, y) ∈ R2 \ {(0, 0)} g′(x, y) = grad g(x, y) = 1y+√x2+y2 · 12 (x2 + y2)− 1 2 2x 1 y+ √ x2+y2 · ( 1+ 12 (x2 + y2)− 1 2 2y ) = 1 y+ √ x2+y2 · x√ x2+y2 1 y+ √ x2+y2 · √ x2+y2+y√ x2+y2 = xy√x2+y2+x2+y21√ x2+y2 (22.2) und dg = g′(x, y)T d(x, y) = x y √ x2 + y2 + x2 + y2 dx + 1√ x2 + y2 dy. Mit (22.1)–(22.2) und den Rechenregeln für totale Ableitungen (vgl. Satz 22.22a) und c) im Lehrbuch) erhält man (f + g)′(x, y) = f ′(x, y)+ g′(x, y) = y (x+y)2 + x y √ x2+y2+x2+y2 − x (x+y)2 + 1√ x2+y2 und (fg)′(x, y) = f ′(x, y)g(x, y)+ f (x, y)g′(x, y) = y(x+y)2 · ln ( y + √ x2 + y2 ) − x (x+y)2 · ln ( y + √ x2 + y2 ) + xx+y · xy√x2+y2+x2+y2 x x+y · 1√x2+y2 = y ln ( y+ √ x2+y2 ) (x+y)2 + x2 (x+y) ( y √ x2+y2+x2+y2 ) − x ln ( y+ √ x2+y2 ) (x+y)2 + x (x+y) √ x2+y2 . ** Aufgabe 22.16 (Verallgemeinerte Kettenregel) Bestimmen Sie mit Hilfe der verallgemeinerten Kettenregel für die beiden folgenden zusammengesetzten Funktionen jeweils die erste Ableitung nach der Variablen t : a) f ◦ g mit f (x, y) = x2 + 6xy + 2y2 und g(t) = (g1(t), g2(t))T = ( cos(t), sin(t) )T b) f ◦ g mit f (x, y) = ln((x + y)xy) und g(t) = (g1(t), g2(t))T = (t2 − 1, t2 + 1)T 331 Kapitel 22 Teil VII: Differential- und Integralrechnung im R Lehrbuch: Abschnitt 22.3 Lösung: Zu a): Die partiellen Ableitungen erster Ordnung von f sind gegeben durch ∂f (x, y) ∂x = 2x + 6y und ∂f (x, y) ∂y = 6x + 4y. Ferner besitzen die beiden Koordinatenfunktionen von g die ersten Ableitungen g′1(t) = − sin(t) und g′2(t) = cos(t). Zusammenmit der verallgemeinerten Kettenregel (vgl. (22.21) im Lehrbuch) liefert dies für die erste Ableitung von f ◦ g nach der Variablen t : (f ◦ g)′(t) = ∂f (g(t)) ∂x g′1(t)+ ∂f (g(t)) ∂y g′2(t) = (2 cos(t)+ 6 sin(t))(− sin(t))+ (6 cos(t)+ 4 sin(t)) cos(t) = 2 cos(t) sin(t)− 6 sin2(t)+ 6 cos2(t) = 2 cos(t) sin(t)− 6 sin2(t)+ 6(1− sin2(t)) = 2 cos(t) sin(t)− 12 sin2(t)+ 6 Zu b): Es gilt ln ( (x + y)xy) = ln(x + y)+ ln(x)+ ln(y) (vgl. Satz 14.35b) im Lehrbuch). Für die partiellen Ableitungen erster Ordnung von f erhält man somit ∂f (x, y) ∂x = 1 x + y + 1 x und ∂f (x, y) ∂y = 1 x + y + 1 y . Ferner besitzen die beiden Koordinatenfunktionen von g die ersten Ableitungen g′1(t) = 2t und g′2(t) = 2t. Mit der verallgemeinerten Kettenregel für die erste Ableitung von f ◦ g nach der Variablen t folgt daher: (f ◦ g)′(t) = ∂f (g(t)) ∂x g′1(t)+ ∂f (g(t)) ∂y g′2(t) = ( 1 2t2 + 1 t2 − 1 ) 2t + ( 1 2t2 + 1 t2 + 1 ) 2t = 1 t + 2t t2 − 1 + 1 t + 2t t2 + 1 = (t 2 − 1)(t2 + 1)+ 2t2(t2 + 1)+ (t2 − 1)(t2 + 1)+ 2t2(t2 − 1) t (t2 − 1)(t2 + 1) = 6t 4 − 2 t5 − t ** Aufgabe 22.17 (Verallgemeinerte Kettenregel) Bestimmen Sie mit Hilfe der verallgemeinerten Kettenregel für die beiden folgenden zusammengesetzten Funktionen jeweils die erste Ableitung nach der Variablen t : a) f ◦ g mit f (x, y) = ln(x2 + y2) und g(t) = (g1(t), g2(t))T = ( t, cos(t) )T b) f ◦ g mit f (x, y, z) = xz y und g(t) = (g1(t), g2(t), g3(t))T = (et , t, ln(t))T Lehrbuch: Abschnitt 22.3 Lösung: Zu a): Mit der (gewöhnlichen) Kettenregel (vgl. (16.15) im Lehrbuch) und (ln(x))′ = 1x (vgl. Satz 16.14a) im Lehrbuch) erhält man für f die folgenden partiellen Ableitungen erster Ordnung ∂f (x, y) ∂x = 2x x2 + y2 und ∂f (x, y) ∂y = 2y x2 + y2 . 332 Kapitel 22Differentialrechnung im Rn Ferner besitzen die beiden Koordinatenfunktionen von g die ersten Ableitungen g′1(t) = 1 und g′2(t) = − sin(t). Zusammenmit der verallgemeinerten Kettenregel (vgl. (22.21) im Lehrbuch) liefert dies für die erste Ableitung von f ◦ g nach der Variablen t : (f ◦ g)′(t) = ∂f (g(t)) ∂x g′1(t)+ ∂f (g(t)) ∂y g′2(t) = 2t t2 + cos2(t) · 1+ 2 cos(t) t2 + cos2(t) (− sin(t)) = 2t − 2 cos(t) sin(t) t2 + cos2(t) Zu b): Für die partiellen Ableitungen erster Ordnung von f gilt ∂f (x, y, z) ∂x = z y , ∂f (x, y, z) ∂y = − xz y2 und ∂f (x, y, z) ∂z = x y . Ferner besitzen die drei Koordinatenfunktionen von g die ersten Ableitungen g′1(t) = et , g′2(t) = 1 und g′3(t) = 1 t . Mit der verallgemeinerten Kettenregel folgt für die erste Ableitung von f ◦ g nach der Variablen t daher: (f ◦ g)′(t) = ∂f (g(t)) ∂x g′1(t)+ ∂f (g(t)) ∂y g′2(t)+ ∂f (g(t)) ∂z g′3(t) = ln(t) t et − e t ln(t) t2 · 1+ e t t · 1 t = t ln(t)e t − et ln(t)+ et t2 = ( t ln(t)− ln(t)+ 1)et t2 ** Aufgabe 22.18 (Richtungsableitung) Bestimmen Sie für die beiden folgenden Funktionen sowie die jeweils angegebene Stelle x0 und den angegebenen Richtungsvektor r die Richtungsableitung ∂f (x0) ∂r . Ermitteln Sie ferner für die beiden Funktionen und die jeweils angegebene Stelle die Richtung des steilsten Anstiegs und berechnen Sie den Wert des größten Anstiegs: a) f : R2 −→ R, (x, y) *→ sin(2x + 3y) mit x0 = ( π 2 , π 3 )T und r = ( 1√ 2 ,− 1√ 2 )T b) g : R3 −→ R, (x, y, z) *→ z2ex2+yz mit x0 = (1, 1, 1)T und r = ( 1√ 3 ,− 1√ 3 , 1√ 3 )T Lehrbuch: Abschnitt 22.4 Lösung: Zu a): Allgemein gilt für die Richtungsableitung von f an der Stelle x0 ∈ R2 in die Richtung r ∈ R2 mit ‖r‖ = 1 ∂f (x0) ∂r = grad f (x0)T r = ∂f (x0) ∂x r1 + ∂f (x0) ∂y r2 (vgl. (22.32) im Lehrbuch). Zusammen mit den partiellen Ableitungen erster Ordnung ∂f (x0) ∂x = 2 cos(2x0 + 3y0) und ∂f (x0) ∂y = 3 cos(2x0 + 3y0) liefert dies ∂f (x0) ∂r = 2 cos(2x0 + 3y0) r1 + 3 cos(2x0 + 3y0) r2. 333 Kapitel 22 Teil VII: Differential- und Integralrechnung im R Das heißt, speziell für die Stelle x0 = ( π 2 , π 3 )T und die Richtung r = ( 1√ 2 ,− 1√ 2 )T gilt ∂f (x0) ∂r = 2√ 2 cos(2π)− 3√ 2 cos(2π) = − 1√ 2 . Die Richtung des steilsten Anstiegs an der Stelle x0 = ( π 2 , π 3 )T ist durch den Gradienten grad f (π 2 , π 3 ) = ( 2 cos(2π) 3 cos(2π) ) = ( 2 3 ) gegeben (vgl. Seite 676 im Lehrbuch), und der Wert des stärksten Anstiegs beträgt somit∥∥∥grad f (π 2 , π 3 )∥∥∥ = √22 + 33 = √13. Zu b): Mit den partiellen Ableitungen erster Ordnung ∂f (x0) ∂x = 2xz2ex2+yz, ∂f (x0) ∂y = z3ex2+yz und ∂f (x0) ∂z = (2z+ yz2)ex2+yz erhält man für die Richtungsableitung an einer allgemeinen Stelle x0 ∈ R3 in eine allgemeine Richtung r ∈ R3 mit ‖r‖ = 1 ∂f (x0) ∂r = 2x0z20ex 2 0+y0z0 r1 + z30ex 2 0+y0z0 r2 + (2z0 + y0z20)ex 2 0+y0z0 r3. Das heißt, speziell für die Stelle x0 = (1, 1, 1)T und die Richtung r = ( 1√ 3 ,− 1√ 3 , 1√ 3 )T gilt ∂f (x0) ∂r = 2√ 3 e2 − 1√ 3 e2 + 3√ 3 e2 = 4√ 3 e2. Die Richtung des steilsten Anstiegs an der Stelle x0 = (1, 1, 1)T ist gleich dem Gradienten grad f (1, 1, 1) = 2e2e2 3e2 , und der Wert des stärksten Anstiegs beträgt daher ‖grad f (1, 1, 1)‖ = √ (2e2)2 + (e2)2 + (3e2)2 = √ 14e4 = √14e2. ** Aufgabe 22.19 (MC-Aufgaben zu partiellen Elastizitäten) Kreuzen Sie an, welche der Aussagen a) bis e) wahr und welche falsch sind: a) Die partielle Elastizität εf,xi (x) berücksichtigt das Ausgangsniveau der unabhängigen Variablen x1, . . . , xn und der abhängigen Variablen y = f (x). b) Für eine partiell differenzierbare Funktion f : D⊆Rn−→R gilt εf,xi (x)=xiρf,xi (x). c) Bei einer homogenen und total differenzierbaren Funktion f : D ⊆ Rn −→ R ist der Homogenitätsgrad β stets gleich der Summe der partiellen Elastizitäten von f . d) Die Exponenten αi einer CES-Produktionsfunktion f : (0,∞)n −→ R, x *→ α0 (∑n i=1 αixdi )1/d stimmen mit den partiellen Elastizitäten εf,xi (x) überein. e) Die partielle Änderungsrate ρf,xi (x) und die partielle Elastizität εf,xi (x) einer partiell differenzierbaren Funktion f : (0,∞)n −→ R besitzen stets das gleiche Vorzeichen. a) b) c) d) e) Wahr Falsch 334 Kapitel 22Differentialrechnung im Rn Lehrbuch: Abschnitt 22.5 Lösung: Zu a): FalscheAussage. Die partielle Elastizität εf,xi (x) berücksichtigt lediglich dasAusgangsniveau der unabhängigen Variablen xi und der abhängigen Variablen y = f (x) (vgl. Seite 677 im Lehrbuch). Zu b): Wahre Aussage (vgl. Seite 677 im Lehrbuch). Zu c): Wahre Aussage (vgl. Folgerung 22.33 im Lehrbuch). Zu d): Falsche Aussage (vgl. Beispiel 22.34a) im Lehrbuch). Diese Aussage ist nur für eine Cobb-Douglas- Produktionsfunktion richtig (vgl. Beispiel 22.34b) im Lehrbuch). Zu e): Wahre Aussage. Für eine partiell differenzierbare Funktion f : D ⊆ Rn −→ R gilt εf,xi (x) = xiρf,xi (x) (vgl. Seite 677 im Lehrbuch). Im Falle des Definitionsbereichs D = (0,∞)n gilt ferner x1, . . . , xn > 0. Folglich besitzen die partielle Änderungsrate ρf,xi (x) und die partielle Elastizität εf,xi (x) bei einer partiell differenzierbaren Funktion f : (0,∞)n −→ R stets das gleiche Vorzeichen. * Aufgabe 22.20 (Anwendung von partiellen Änderungsraten und Elastizitäten) Betrachtet wird die Cobb-Douglas-Produktionsfunktion f : (0,∞)2 −→ R, (x, y) *→ √ xy3. a) Berechnen Sie den Output f (x, y) für einen Faktoreinsatz von x = y = 100. b) Berechnen Sie die partiellen Grenzproduktivitäten, Faktoränderungsraten und Faktorelastizitäten. c) Interpretieren Sie die partiellen Faktorelastizitäten. d) Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Exponenten der Cobb-Douglas-Produktionsfunktion f und den partiellen Faktorelastizitäten? Lehrbuch: Abschnitt 22.5 Lösung: Zu a): Der Output für einen Faktoreinsatz von x = y = 100 beträgt f (100, 100) = √ 1004 = 1002 = 10000. Zu b): Es gilt f (x, y) = √ xy3 = x 12 y 32 . Für die partiellen Grenzproduktivitäten von f erhält man somit: ∂f (x, y) ∂x = 1 2 x − 12 y 3 2 = 1 2x x 1 2 y 3 2 = 1 2x f (x, y) ∂f (x, y) ∂y = 3 2 x 1 2 y 1 2 = 3 2y x 1 2 y 3 2 = 3 2y f (x, y) Mit den Ergebnissen für die partiellen Grenzproduktivitäten folgt für die partiellen Faktoränderungsraten (vgl. Definition 22.32a) im Lehrbuch): ρf,x(x, y) = ∂f (x,y) ∂x f (x, y) = 1 2x f (x, y) f (x, y) = 1 2x ρf,y(x, y) = ∂f (x,y) ∂y f (x, y) = 3 2y f (x, y) f (x, y) = 3 2y Damit erhält man für die partiellen Faktorelastizitäten (vgl. Definition 22.32b) im Lehrbuch): εf,x(x, y) = xρf,x(x, y) = x 12x = 1 2 εf,y(x, y) = yρf,y(x, y) = y 32y = 3 2 335 Kapitel 22 Teil VII: Differential- und Integralrechnung im R Zu c): Gemäß Aufgabenteil b) sind die partiellen Faktorelastizitäten unabhängig vom Faktoreinsatz gegeben durch εf,x(x, y) = 12 und εf,y(x, y) = 32 . Das heißt, unabhängig vom Ausgangsniveau beim ersten und zweiten Produktionsfaktor nimmt die Produktion näherungsweise um 0,5% bzw. 1,5% zu, wenn sich der erste Produktionsfaktor bzw. der zweite Produktionsfaktor um 1% erhöht. Zu d): Es gilt f (x, y) = √ xy3 = x 12 y 32 sowie εf,x(x, y) = 12 und εf,y(x, y) = 32 . Das heißt, die partielle Faktorelastizität entspricht dem Exponenten des jeweiligen Faktors. ** Aufgabe 22.21 (Anwendung von partiellen Elastizitäten) a) Betrachtet werden zwei Nachfragefunktionen f1, f2 : D ⊆ (0,∞)2 −→ (0,∞) mit den Zuordnungsvorschriften f1(p1, p2) = 100− 0,8p1 + 0,3p2 und f2(p1, p2) = 150+ 0,5p1 − 0,6p2, welche in Abhängigkeit der Güterpreise p1 und p2 die Nachfrage nach zwei verschiedenen Gütern angeben. Untersuchen Sie mit Hilfe der Kreuzpreiselastizitäten εf1,p2(p1, p2) und εf2,p1(p1, p2), ob es sich bei den beiden Gütern um Substitutionsoder Komplementärgüter handelt. Interpretieren Sie das Ergebnis und geben Sie ein passendes Beispiel an. b) Betrachtet werden nun die beiden Nachfragefunktionen f1, f2 : D ⊆ (0,∞)2 −→ (0,∞) mit den Zuordnungsvorschriften f1(p1, p2) = 200 p1p2 und f2(p1, p2) = 5ep2−p1 . Untersuchen Sie wieder mit Hilfe der Kreuzpreiselastizitäten, ob es sich bei den beiden Gütern um Substitutions- oder Komplementärgüter handelt. Interpretieren Sie das Ergebnis und geben Sie ein passendes Beispiel an. c) Bestimmen Sie den Homogenitätsgrad β der homogenen Produktionsfunktion g : (0,∞)2 −→ R, (x, y) *→ ( 2x− 1 2 + 4y− 12 )−2 mit Hilfe der partiellen Elastizitäten. Lehrbuch: Abschnitt 22.5 Lösung: Zu a): Für die beiden Kreuzpreiselastizitäten gilt für alle (p1, p2) ∈ D (vgl. Seite 678 im Lehrbuch): εf1,p2 (p1, p2) = ∂f1(p1, p2) ∂p2 · p2 f1(p1, p2) = 0,3 · p2 100− 0,8p1 + 0,3p2 = 0,3p2 100− 0,8p1 + 0,3p2 > 0 εf2,p1 (p1, p2) = ∂f2(p1, p2) ∂p1 · p1 f2(p1, p2) = 0,5 · p1 150+ 0,5p1 − 0,6p2 = 0,5p1 150+ 0,5p1 − 0,6p2 > 0 Da die Kreuzpreiselastizitäten positiv sind, handelt es sich bei den beiden Gütern um Substitutionsgüter. Das heißt, bei einer Preiserhöhung kann der Konsument von einem Gut auf das andere Gut ausweichen, da beide dieselben oder ähnliche Bedürfnisse stillen (z.B. Margarine und Butter). Zu b): Für die beiden Kreuzpreiselastizitäten erhält man nun: εf1,p2 (p1, p2) = ∂f1(p1, p2) ∂p2 · p2 f1(p1, p2) = − 200 p1p 2 2 · p2 200 p1p2 = −1 < 0 εf2,p1 (p1, p2) = ∂f2(p1, p2) ∂p1 · p1 f2(p1, p2) = −5ep2−p1 · p1 5ep2−p1 = −p1 < 0 Da die Kreuzpreiselastizitäten negativ sind, handelt es sich bei den beiden Güter um Komplementärgüter. Das heißt, dieNachfrage nach dem erstenGut fällt, wenn sich der Preis des zweitenGutes erhöht und umgekehrt. Die 336 Kapitel 22Differentialrechnung im Rn beiden Güter werden gemeinsam nachgefragt, da sie sich in ihremNutzen gegenseitig ergänzen (z.B. Computer und Software). Zu c): Die partiellen Elastizitäten von g sind gegeben durch: εg,x(x, y) = ∂g(x,y) ∂x g(x,y) x = −2 ( 2x− 1 2 + 4y− 12 )−3 ( −x− 32 ) · x( 2x− 1 2 + 4y− 12 )−2 = 2x− 1 2 2x− 1 2 + 4y− 12 εg,y(x, y) = ∂g(x,y) ∂y g(x,y) y = −2 ( 2x− 1 2 + 4y− 12 )−3 ( −2y− 32 ) · y( 2x− 1 2 + 4y− 12 )−2 = 4y− 1 2 2x− 1 2 + 4y− 12 Damit erhält man für den Homogenitätsgrad von g β = εg,x(x, y)+ εg,y(x, y) = 2x − 12 2x− 1 2 + 4y− 12 + 4y − 12 2x− 1 2 + 4y− 12 = 2x − 12 + 4y− 12 2x− 1 2 + 4y− 12 = 1 (vgl. Folgerung 22.33 im Lehrbuch). ** Aufgabe 22.22 (Partielle Elastizitäten, Richtungsableitung und totales Differential) Die Wirkung einer Werbekampagne auf den Absatz eines Produkts in Abhängigkeit von den für zwei verschiedene Werbemittel eingesetzten Budgets x und y sei gegeben durch die Funktion f : R2+ −→ R, (x, y) *→ 20 √ x + 40 ln(y + 1)+ 100. a) Berechnen Sie f (100, 100), sowie die partiellen Änderungsraten und Elastizitäten der Absatzwirkung für die Werbebudgets (x, y) = (100, 100). b) Bestimmen Sie die Richtungsableitung von f an der Stelle (x, y) = (100, 100) bzgl. der Richtungsvektoren r1 = ( 1√ 5 , 2√ 5 )T und r2 = ( 2√ 5 , 1√ 5 )T . Interpretieren Sie das Ergebnis. c) Bestimmen Sie alle Werbebudgets (x, y) ∈ (0,∞)2, für welche die Grenzrate der Substitution von y bzgl. x gleich −1 ist. d) Ermitteln Sie für dx = dy = 1 näherungsweise die Veränderung der Absatzwirkung df (100, 100) := f (100+ dx, 100+ dy)− f (100, 100) mit Hilfe des totalen Differentials und vergleichen Sie das Ergebnis mit dem exakten Wert df (100, 100). Lehrbuch: Abschnitte 22.3 bis 22.6 Lösung: Zu a): Es gilt f (100, 100) = 20 · 10+ 40 ln(101)+ 100 ≈ 484,605 und für die partiellen Ableitungen erster Ordnung erhält man ∂f (x, y) ∂x = 20 2 √ x und ∂f (x, y) ∂y = 40 y + 1 . (22.3) Damit folgt für die partiellen Änderungsraten und Elastizitäten für die Werbebudgets (x, y) = (100, 100) (vgl. Definition 22.32a) und b) im Lehrbuch): 337 Kapitel 22 Teil VII: Differential- und Integralrechnung im R ρf,x(100, 100) = ∂f (100,100) ∂x f (100, 100) ≈ 20 2·10 484,605 ≈ 0,0021 ρf,y(100, 100) = ∂f (100,100) ∂y f (100, 100) ≈ 40 101 484,605 ≈ 0.0008 εf,x(100, 100) = 100ρf,x(100, 100) ≈ 0,2064 εf,y(100, 100) = 100ρf,y(100, 100) ≈ 0,0817 Zu b): Allgemein gilt für die Richtungsableitung von f an der Stelle (x0, y0) ∈ R2 in die Richtung r ∈ R2 mit ‖r‖ = 1 ∂f (x0, y0) ∂r = grad f (x0, y0)T r = ∂f (x0, y0) ∂x r1 + ∂f (x0, y0) ∂y r2 (vgl. (22.32) im Lehrbuch). Zusammen mit (22.3) liefert dies für die Richtungsableitung von f an der Stelle (100, 100) bzgl. der Richtungsvektoren r1 = ( 1√ 5 , 2√ 5 )T und r2 = ( 2√ 5 , 1√ 5 )T die Werte: ∂f (100, 100) ∂r1 = 20 2 · 10 · 1√ 5 + 40 101 · 2√ 5 ≈ 0,8014 ∂f (100, 100) ∂r2 = 20 2 · 10 · 2√ 5 + 40 101 · 1√ 5 ≈ 1,0715 Das heißt, wird dasWerbebudget x doppelt so stark erhöht wie das Budget y, dann ist dies für den Produktabsatz wegen 1,0715 > 0,8014 günstiger als eine Erhöhung des Budgets y um das Doppelte von x. Zu c): Die Grenzrate der Substitution von y bzgl. x ist gegeben durch − ∂f (x,y) ∂x ∂f (x,y) ∂y = − 20 2 √ x 40 y+1 = − y + 1 4 √ x (vgl. Seite 683 im Lehrbuch). Daraus folgt −y + 1 4 √ x = −1 ⇐⇒ y = 4√x − 1 für alle (x, y) ∈ (0,∞)2. Ferner gilt y > 0 ⇐⇒ 4√x − 1 > 0 ⇐⇒ x > 1 16 . Folglich ist die Grenzrate der Substitution von y bzgl. x für die Werbebudgets (x, y) mit y = 4√x − 1 und x > 116 gleich −1 und es gilt (x, y) ∈ (0,∞)2. Zu d): Der exakte Wert der Veränderung der Absatzwirkung ist gegeben durch df (100, 100) = f (101, 101)− f (100, 100) = 20√101+ 40 ln(102)+ 100− 20 · 10− 40 ln(101)− 100 ≈ 1,3916. Mit Hilfe des totalen Differentials erhält man für df (100, 100) den Näherungswert df = ∂f (100, 100) ∂x dx + ∂f (100, 100) ∂y dy = 20 2 · 10 · 1+ 40 101 · 1 ≈ 1,3960 (vgl. (22.20) im Lehrbuch). ** Aufgabe 22.23 (Implizite Differentiation) Ermitteln Sie die erste Ableitung der durch f (x, g(x)) = 0 implizit definierten Funktion g. Bestimmen Sie den Wert der ersten Ableitung von g speziell im Punkt (x0, y0): a) f (x, y) = sin(xy)− exy − x2y − 1+ π2 + e π 2 mit (x0, y0) = ( 1, π2 ) b) f (x, y) = e√x tan(y)+ y x − 3(x2 − 1)− π mit (x0, y0) = (1, π) Lehrbuch: Abschnitt 22.6 338 Kapitel 22Differentialrechnung im Rn Lösung: Zu a): Für die partiellen Ableitungen erster Ordnung von f erhält man ∂f (x, y) ∂x = y cos(xy)− yexy − 2xy und ∂f (x, y) ∂y = x cos(xy)− xexy − x2. Damit folgt für die erste Ableitung von g g′(x) = − ∂f (x,y) ∂x ∂f (x,y) ∂y = − y cos(xy)− ye xy − 2xy x cos(xy)− xexy − x2 (vgl. (22.39) im Lehrbuch). Speziell im Punkt ( 1, π2 ) besitzt die erste Ableitung von g den Wert g′(1) = −− π 2 e π 2 − π −e π2 − 1 = − π 2 ( e π 2 + 2 ) e π 2 + 1 ≈ −1,841135. Zu b): Mit ( e √ x )′ = 1 2 √ x e √ x und (tan(y))′ = 1 cos2(y) folgt für die partiellen Ableitungen erster Ordnung von f ∂f (x, y) ∂x = 1 2 √ x e √ x tan(y)− y x2 − 6x und ∂f (x, y) ∂y = e √ x 1 cos2(y) + 1 x . Damit folgt für die erste Ableitung von g g′(x) = − ∂f (x,y) ∂x ∂f (x,y) ∂y = − 1 2 √ x e √ x tan(y)− y x2 − 6x e √ x 1 cos2(y) + 1x . Speziell im Punkt (1, π) besitzt die erste Ableitung von g den Wert g′(1) = −−π − 6 e + 1 = π + 6 e + 1 ≈ 2,458553. ** Aufgabe 22.24 (Implizite Differentiation) Ermitteln Sie die partiellen Ableitungen erster Ordnung der durch f (x,y,g(x,y))= 0 implizit definierten Funktion g. Bestimmen Sie den Wert der partiellen Ableitungen erster Ordnung von g speziell im Punkt (x0, y0, z0): a) f (x, y, z) = x2 + y2 + z2 − 2xz− 25 mit (x0, y0, z0) = (4, 3, 0) b) f (x, y, z) = z+ x ln(z)+ y mit (x0, y0, z0) = (5,−1, 1) Lehrbuch: Abschnitt 22.6 Lösung: Zu a): Für die partiellen Ableitungen erster Ordnung von f erhält man ∂f (x, y, z) ∂x = 2x − 2z, ∂f (x, y, z) ∂y = 2y und ∂f (x, y, z) ∂z = 2z− 2x. Damit folgt für die beiden partiellen Ableitungen erster Ordnung von g (vgl. (22.39) im Lehrbuch): ∂g(x, y) ∂x = − ∂f (x,y,z) ∂x ∂f (x,y,z) ∂z = − 2x − 2z 2z− 2x = 1 ∂g(x, y) ∂y = − ∂f (x,y,z) ∂y ∂f (x,y,z) ∂z = − 2y 2z− 2x Speziell im Punkt (4, 3, 0) gilt ∂g(4, 3) ∂x = 1 und ∂g(4, 3) ∂y = 3 4 . 339 Kapitel 22 Teil VII: Differential- und Integralrechnung im R Zu b): Für die partiellen Ableitungen erster Ordnung von f erhält man ∂f (x, y, z) ∂x = ln(z), ∂f (x, y, z) ∂y = 1 und ∂f (x, y, z) ∂z = 1+ x z . Damit folgt für die beiden partiellen Ableitungen erster Ordnung von g: ∂g(x, y) ∂x = − ∂f (x,y,z) ∂x ∂f (x,y,z) ∂z = − ln(z) 1+ xz = − z ln(z) z+ x ∂g(x, y) ∂y = − ∂f (x,y,z) ∂y ∂f (x,y,z) ∂z = − 1 1+ xz = − z z+ x Speziell im Punkt (5,−1, 1) gilt ∂g(5,−1) ∂x = 0 und ∂g(5,−1) ∂y = − 1 6 . ** Aufgabe 22.25 (Implizite Differentiation) a) Durch f (x, y) = 2x3−x2y2−3x+y+7 = 0 wird implizit eine Funktion y = g(x) definiert. Bestimmen Sie die Geradengleichung der Tangente im Punkt (1,−2) des Graphen von g. b) Bestimmen Sie die Geradengleichungen der Tangenten in den Nullstellen der durch die Gleichung f (x, y) = ey + y + x2 − x − 3 = 0 implizit definierten Funktion y = g(x). Lehrbuch: Abschnitt 22.6 Lösung: Zu a): Für die partiellen Ableitungen erster Ordnung von f erhält man ∂f (x, y) ∂x = 6x2 − 2xy2 − 3 und ∂f (x, y) ∂y = −2yx2 + 1. Für die erste Ableitung von g folgt damit (vgl. (22.39) im Lehrbuch) g′(x) = − ∂f (x,y) ∂x ∂f (x,y) ∂y = − 6x 2 − 2xy2 − 3 −2yx2 + 1 . Das heißt, im Punkt (1,−2) besitzt die erste Ableitung von g den Wert g′(1) = − 6− 8− 3 4+ 1 = 1. Zusammenmit der Punkt-Steigungs-Formel (vgl. Seite 442 im Lehrbuch) liefert dies für die Tangente im Punkt (1,−2) die Geradengleichung y = −2+ 1 · (x − 1) = x − 3. Zu b): Mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen erhält man für die Nullstellen von g: y = g(x) = 0 und f (x, y) = ey + y + x2 − x − 3 = 0 ⇐⇒ 1+ x2 − x − 3 = 0 ⇐⇒ x2 − x − 2 = 0 ⇐⇒ x1,2 = 1± √ 1+ 8 2 ⇐⇒ x1 = −1 und x2 = 2 Das heißt, die Funktion g besitzt die beiden Nullstellen x1 = −1 und x2 = 2. Ferner gilt ∂f (x, y) ∂x = 2x − 1 und ∂f (x, y) ∂y = ey + 1. 340 Kapitel 22Differentialrechnung im Rn Daraus folgt für die erste Ableitung von g g′(x) = − ∂f (x,y) ∂x ∂f (x,y) ∂y = − 2x − 1 ey + 1 . Die Tangenten in den beiden Nullstellen x1 = −1 und x2 = 2 besitzen folglich die Steigung g′(−1) = 32 bzw. g′(2) = − 32 . Zusammen mit der Punkt-Steigungs-Formel liefert dies für die Tangenten in den beiden Nullstellen von g die Geradengleichungen y = 3 2 (x − (−1)) = 3 2 x + 3 2 bzw. y = − 3 2 (x − 2) = − 3 2 x + 3. ** Aufgabe 22.26 (Implizite Differentiation) a) Durch f (x, y) = yey2 +x3−3x+2 = 0 wird implizit eine Funktion y = g(x) definiert. Bestimmen Sie mit Hilfe der ersten Ableitung von g die lokalen Extremalstellen von g. b) Durch f (x, y) = x2−10x+y2+4y+20 = 0 wird implizit eine Funktion y = g(x) definiert. Ermitteln Sie alle Stellen, an denen g eine waagerechte Tangente besitzt. Lehrbuch: Abschnitt 22.6 Lösung: Zu a): Für die partiellen Ableitungen erster Ordnung von f erhält man ∂f (x, y) ∂x = 3x2 − 3 und ∂f (x, y) ∂y = 1 · ey2 + y · 2yey2 . Daraus folgt für die erste Ableitung von g (vgl. (22.39) im Lehrbuch) g′(x) = − ∂f (x,y) ∂x ∂f (x,y) ∂y = − 3x 2 − 3 ey 2 + 2y2ey2 = − 3x 2 − 3 ey 2 (1+ 2y2) . Das heißt, die Funktiong besitzt die beiden stationären Stellen x1 = −1 und x2 = 1. Ferner gilt ey2+2y2ey2 >0 für alle y ∈ R und damit g′(x) < 0 für x ∈ (−∞,−1) > 0 für x ∈ (−1, 1) < 0 für x ∈ (1,∞) . Die erste Ableitung von g wechselt somit an der Stelle x1 = −1 ihr Vorzeichen von − zu + und an der Stelle x2 = 1 von + zu −. Folglich besitzt die Funktion g an der Stelle x1 = −1 ein lokales Minimum und an der Stelle x2 = 1 ein lokales Maximum (vgl. Satz 18.2 im Lehrbuch). Zu b): Für die partiellen Ableitungen erster Ordnung von f erhält man ∂f (x, y) ∂x = 2x − 10 und ∂f (x, y) ∂y = 2y + 4. Die erste Ableitung von g ist somit gegeben durch g′(x) = − ∂f (x,y) ∂x ∂f (x,y) ∂y = − 2x − 10 2y + 4 = − x − 5 y + 2 . Es gilt somit g′(x) = 0 genau dann, wenn x = 5. Das heißt, die Funktion g besitzt an der Stelle x = 5 eine waagerechte Tangente. 341 Kapitel 22 Teil VII: Differential- und Integralrechnung im R ** Aufgabe 22.27 (Krümmungseigenschaften) Untersuchen Sie die beiden folgenden reellwertigen Funktionen auf ihre Krümmungseigenschaften: a) f : R2 −→ R, (x, y) *→ x4 + x2 − 2xy + y2 b) g : R3 −→ R, (x, y, z) *→ − 12x4 + 4x − 23y4 − 2y2 + 3y − 2z2 Lehrbuch: Abschnitt 22.7 Lösung: Zu a): Die Funktion f besitzt die partiellen Ableitungen erster Ordnung ∂f (x, y) ∂x = 4x3 + 2x − 2y und ∂f (x, y) ∂y = −2x + 2y. Für die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung erhält man ∂2f (x, y) ∂x2 = 12x2 + 2, ∂ 2f (x, y) ∂y∂x = ∂ 2f (x, y) ∂x∂y = −2 und ∂ 2f (x, y) ∂y2 = 2. Die Hesse-Matrix von f an der Stelle (x, y) ∈ R2 ist somit gegeben durch Hf (x, y) = ( 12x2 + 2 −2 −2 2 ) . Aus 12x2 + 2 > 0, 2 > 0 und (12x2 + 2) · 2− (−2)2 = 24x2 ≥ 0 folgt, dass die Hesse-Matrix Hf (x, y) für alle (x, y) ∈ R2 positiv semidefinit ist (vgl. Folgerung 10.40c) im Lehrbuch). Dies bedeutet, dass die Funktion f konvex ist (vgl. Satz 22.45a) im Lehrbuch). Zu b): Die Funktion g besitzt die partiellen Ableitungen erster Ordnung ∂g(x, y, z) ∂x = −2x3 + 4, ∂g(x, y, z) ∂y = − 8 3 y3 − 4y + 3 und ∂g(x, y, z) ∂z = −4z. Für die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung erhält man ∂2g(x, y, z) ∂x2 = −6x2, ∂ 2g(x, y, z) ∂y2 = −8y2 − 4, ∂ 2g(x, y, z) ∂z2 = −4 und ∂2g(x, y, z) ∂y∂x = ∂ 2g(x, y, z) ∂x∂y = ∂ 2g(x, y, z) ∂z∂x = ∂ 2g(x, y, z) ∂x∂z = ∂ 2g(x, y, z) ∂z∂y = ∂ 2g(x, y, z) ∂y∂z = 0. Die Hesse-Matrix von g an der Stelle (x, y, z) ∈ R3 ist somit gegeben durch Hg(x, y, z) = −6x2 0 00 −8y2 − 4 0 0 0 −4 . Das heißt, bei der Hesse-Matrix Hg(x, y, z) handelt es sich für alle (x, y, z) ∈ R3 um eine Diagonalmatrix mit nicht-positiven Einträgen auf der Hauptdiagonalen. Folglich ist die Hesse-Matrix Hg(x, y, z) für alle (x, y, z) ∈ R3 negativ semidefinit (vgl. Satz 10.32 im Lehrbuch). Dies impliziert, dass die Funktion g konkav ist (vgl. Satz 22.45b) im Lehrbuch). ** Aufgabe 22.28 (Krümmungseigenschaften) Untersuchen Sie die beiden folgenden reellwertigen Funktionen auf ihre Krümmungseigenschaften: a) f : R3 −→ R, (x, y, z) *→ −3x2 + 13y3 − 12z2 + 2xz− 2x + z+ e b) g : R3 −→ R, (x, y, z) *→ 3x2 + 5y2 + 7z2 + 2xy − 8xz− 2yz Lehrbuch: Abschnitt 22.7 342 Kapitel 22Differentialrechnung im Rn Lösung: Zu a): Die Funktion f besitzt die partiellen Ableitungen erster Ordnung ∂f (x, y, z) ∂x = −6x + 2z− 2, ∂f (x, y, z) ∂y = y2 und ∂f (x, y, z) ∂z = −z+ 2x + 1. Für die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung gilt ∂2f (x, y, z) ∂x2 = −6, ∂ 2f (x, y, z) ∂y2 = 2y, ∂ 2f (x, y, z) ∂z2 = −1 und ∂2f (x, y, z) ∂y∂x = ∂ 2f (x, y, z) ∂x∂y = 0 ∂2f (x, y, z) ∂z∂x = ∂ 2f (x, y, z) ∂x∂z = 2 ∂2f (x, y, z) ∂z∂y = ∂ 2f (x, y, z) ∂y∂z = 0. Für die Hesse-Matrix von f an der Stelle (x, y, z) ∈ R3 liefert dies Hf (x, y, z) = −6 0 20 2y 0 2 0 −1 . Zur Untersuchung der Definitheitseigenschaften von Hf (x, y, z) werden die Eigenwerte von f ermittelt. Das charakteristische Polynom von Hf (x, y, z) ist gegeben durch p(λ) = det −6− λ 0 20 2y − λ 0 2 0 −1− λ = (−6− λ)(2y − λ)(−1− λ)+ 0+ 0− 2 · (2y − λ) · 2− 0− 0 = (6+ λ)(2y − λ)(1+ λ)− 4(2y − λ) = (2y − λ)((6+ λ)(1+ λ)− 4) = (2y − λ)(λ2 + 7λ+ 2) (vgl. (8.44) im Lehrbuch). Aus dieser Darstellung des charakteristischen Polynoms p(λ) folgt unmittelbar, dass λ1 = 2y ein Eigenwert von Hf (x, y, z) ist. Mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen (vgl. (4.8) im Lehrbuch) erhält man die beiden anderen Eigenwerte von Hf (x, y, z): λ2 + 7λ+ 2 = 0 ⇐⇒ λ2,3 = −7± √ 49− 8 2 = − 1 2 (7±√41) < 0 Das heißt, die beiden Eigenwerte λ2,3 sind stets negativ und der Eigenwert λ1 = 2y ist negativ, falls y < 0 gilt. Für (x, y, z) ∈ {(x, y, z) ∈ R3 : y < 0} sind folglich alle drei Eigenwerte negativ. Die Hesse-Matrix Hf (x, y, z) ist daher für alle (x, y, z) ∈ { (x, y, z) ∈ R3 : y < 0}negativdefinit (vgl. Satz10.34b) imLehrbuch) und damit ist die Funktion f für alle (x, y, z) ∈ {(x, y, z) ∈ R3 : y < 0} streng konkav (vgl. Satz 22.45d) im Lehrbuch). Die Funktion f ist dagegen an keiner Stelle (streng) konvex, da die beiden Eigenwerte λ2,3 stets negativ sind und somit die Hesse-Matrix Hf (x, y, z) für alle (x, y, z) ∈ R3 weder positiv semidefinit noch positiv definit ist (vgl. Satz 10.34a) und c) im Lehrbuch). Zu b): Die Funktion g besitzt die partiellen Ableitungen erster Ordnung ∂g(x, y, z) ∂x = 6x + 2y − 8z, ∂g(x, y, z) ∂y = 10y + 2x − 2z und ∂g(x, y, z) ∂z = 14z− 8x − 2y. Für die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung erhält man ∂2g(x, y, z) ∂x2 = 6, ∂ 2g(x, y, z) ∂y2 = 10, ∂ 2g(x, y, z) ∂z2 = 14 343 Kapitel 22 Teil VII: Differential- und Integralrechnung im R und ∂2g(x, y, z) ∂y∂x = ∂ 2g(x, y, z) ∂x∂y = 2 ∂2g(x, y, z) ∂z∂x = ∂ 2g(x, y, z) ∂x∂z = −8 ∂2g(x, y, z) ∂z∂y = ∂ 2g(x, y, z) ∂y∂z = −2. Die Hesse-Matrix von g an der Stelle (x, y, z) ∈ R3 ist somit gegeben durch Hg(x, y, z) = 6 2 −82 10 −2 −8 −2 14 , und für die drei Hauptminoren der Hesse-Matrix Hg(x, y, z) erhält man det(H1) = 6 det(H2) = det ( 6 2 2 10 ) = 6 · 10− 2 · 2 = 56 det(H3) = det 6 2 −82 10 −2 −8 −2 14 = 6 · 10 · 14+ 2 · (−2) · (−8)+ (−8) · 2 · (−2)− (−8) · 10 · (−8)− (−2) · (−2) · 6− 14 · 2 · 2 = 184 (vgl. (8.42) und (8.44) im Lehrbuch). Das heißt, alle drei Hauptminoren von Hg(x, y, z) sind positiv und die Hesse-Matrix Hg(x, y, z) ist daher für alle (x, y, z) ∈ R3 positiv definit (vgl. Satz 10.38a) im Lehrbuch). Dies impliziert, dass die Funktion g streng konvex ist (vgl. Satz 22.45c) im Lehrbuch). ** Aufgabe 22.29 (Taylor-Polynome und Taylor-Formel im Rn) Bestimmen Sie für die beiden folgenden Funktionen die partiellenAbleitungen erster und zweiter Ordnung sowie das Taylor-Polynom zweiten Grades für den jeweils angegebenen Entwicklungspunkt x0 = (x0, y0): a) f : R× R \ {0} −→ R, (x, y) *→ x y mit x0 = (2, 1) b) g : R× R \ {1} −→ R, (x, y) *→ e x 1− y mit x0 = (0, 0) Lehrbuch: Abschnitt 22.7 Lösung: Zu a): Für die partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung von f gilt ∂f (x, y) ∂x = 1 y und ∂f (x, y) ∂y = − x y2 sowie ∂2f (x, y) ∂x2 = 0, ∂ 2f (x, y) ∂y2 = 2x y3 und ∂2f (x, y) ∂y∂x = ∂ 2f (x, y) ∂x∂y = − 1 y2 . Der Gradient und die Hesse-Matrix von f am Entwicklungspunkt x0 = (2, 1) sind somit gegeben durch grad f (2, 1) = ( 1 −2 ) und Hf (2, 1) = ( 0 −1 −1 4 ) . 344 Kapitel 22Differentialrechnung im Rn Für das Taylor-Polynom zweiten Grades von f um den Entwicklungspunkt x0 = (2, 1) erhält man damit T2;x0 (x) = f (x0)+ grad f (x0)T (x − x0)+ 1 2 (x − x0)T Hf (x0)(x − x0) = f (2, 1)+ (1,−2) ( x − 2 y − 1 ) + 1 2 (x − 2, y − 1) ( 0 −1 −1 4 )( x − 2 y − 1 ) = 2+ (x − 2)− 2(y − 1)+ 1 2 ( −(x − 2)(y − 1)− (x − 2)(y − 1)+ 4(y − 1)2 ) = 2+ x − 2y + 1 2 ( −(xy − x − 2y + 2)− (xy − x − 2y + 2)+ (4y2 − 8y + 4) ) = 2+ 2x − 4y − xy + 2y2 (vgl. (22.47) im Lehrbuch). Zu b): Für die partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung von g gilt ∂g(x, y) ∂x = e x 1− y und ∂g(x, y) ∂y = e x (1− y)2 sowie ∂2g(x, y) ∂x2 = e x 1− y , ∂2g(x, y) ∂y2 = 2e x (1− y)3 und ∂2g(x, y) ∂y∂x = ∂ 2g(x, y) ∂x∂y = e x (1− y)2 . Der Gradient und die Hesse-Matrix von g am Entwicklungspunkt x0 = (0, 0) sind somit gegeben durch grad g(0, 0) = ( 1 1 ) und Hg(0, 0) = ( 1 1 1 2 ) . Für das Taylor-Polynom zweiten Grades von g um den Entwicklungspunkt x0 = (0, 0) erhält man damit T2;x0 (x) = g(x0)+ grad g(x0)T (x − x0)+ 1 2 (x − x0)T Hg(x0)(x − x0) = g(0, 0)+ (1, 1) ( x − 0 y − 0 ) + 1 2 (x − 0, y − 0) ( 1 1 1 2 )( x − 0 y − 0 ) = 1+ x + y + 1 2 (x(x + y)+ y(x + 2y)) = 1+ x + y + xy + 1 2 x2 + y2. *** Aufgabe 22.30 (Taylor-Polynome und Taylor-Formel im Rn) Betrachtet wird die Funktion f : R2 −→ R, (x, y) *→ (x − y)ex+y. a) Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen erster, zweiter und dritter Ordnung. b) Geben Sie das Taylor-Polynom zweiten Grades von f und das zugehörige Lagrangesche Restglied für den Entwicklungspunkt x0 = (0, 0) an. c) Bestimmen Sie mit Hilfe des Taylor-Polynoms zweiten Grades einen Näherungswert für f (0,2; 0,1) und schätzen Sie den Approximationsfehler nach oben ab. Lehrbuch: Abschnitt 22.7 Lösung: Zua):Für diepartiellenAbleitungenerster undzweiterOrdnungvonf erhältmanmit derProduktregel (vgl. Satz 16.6c) im Lehrbuch): ∂f (x, y) ∂x = ex+y + (x − y)ex+y = (x − y + 1)ex+y ∂f (x, y) ∂y = −ex+y + (x − y)ex+y = (x − y − 1)ex+y 345 Kapitel 22 Teil VII: Differential- und Integralrechnung im R ∂2f (x, y) ∂x2 = ex+y + (x − y + 1)ex+y = (x − y + 2)ex+y ∂2f (x, y) ∂y2 = −ex+y + (x − y − 1)ex+y = (x − y − 2)ex+y ∂2f (x, y) ∂x∂y = ex+y + (x − y − 1)ex+y = (x − y)ex+y ∂2f (x, y) ∂y∂x = −ex+y + (x − y + 1)ex+y = (x − y)ex+y Die partiellen Ableitungen dritter Ordnung lauten: ∂3f (x, y) ∂x3 = ex+y + (x − y + 2)ex+y = (x − y + 3)ex+y ∂3f (x, y) ∂y3 = −ex+y + (x − y − 2)ex+y = (x − y − 3)ex+y ∂3f (x, y) ∂y∂x2 = ∂ 3f (x, y) ∂x∂y∂x = ∂ 3f (x, y) ∂x2∂y = −ex+y + (x − y + 2)ex+y = (x − y + 1)ex+y ∂3f (x, y) ∂x∂y2 = ∂ 3f (x, y) ∂y∂x∂y = ∂ 3f (x, y) ∂y2∂x = ex+y + (x − y − 2)ex+y = (x − y − 1)ex+y Zu b): Der Gradient und die Hesse-Matrix von f am Entwicklungspunkt x0 = (0, 0) sind gegeben durch grad f (0, 0) = ( 1 −1 ) und Hf (0, 0) = ( 2 0 0 −2 ) . Für das Taylor-Polynom zweiten Grades von f um den Entwicklungspunkt x0 = (0, 0) erhält man damit T2;x0 (x) = f (x0)+ grad f (x0)T (x − x0)+ 1 2 (x − x0)T Hf (x0)(x − x0) = f (0, 0)+ (1,−1) ( x − 0 y − 0 ) + 1 2 (x − 0, y − 0) ( 2 0 0 −2 )( x − 0 y − 0 ) = 0+ x − y + 1 2 (2x2 − 2y2) = x − y + x2 − y2 (vgl. (22.47) im Lehrbuch). Mit den partiellen Ableitungen dritter Ordnung folgt für das zugehörige Lagrangesche Restglied R2;x0 (x) = 1 3! ( ∂3f (ξ) ∂x3 (x − x0)3 + 3 ∂ 3f (ξ) ∂x2∂y (x − x0)2(y − y0) + 3 ∂ 3f (ξ) ∂x∂y2 (x − x0)(y − y0)2 + ∂ 3f (ξ) ∂y3 (y − y0)3 ) = 1 6 eλ(x+y) (( λ(x − y)+ 3)x3 + 3(λ(x − y)+ 1)x2y + 3(λ(x − y)− 1)xy2 + (λ(x − y)− 3)y3) (22.4) für ein geeignetes λ ∈ (0, 1) (vgl. Satz 22.42 und Seite 688 im Lehrbuch). Zu c): Mit Hilfe des Taylor-Polynoms zweiten Grades erhält man für f (0,2; 0,1) den Näherungswert T2;x0 (0,2; 0,1) = 0,2− 0,1+ 0,22 − 0,12 = 0,13. Mit (22.4) erhält man für den Approximationsfehler die Abschätzung |R2;x0 (x)| ≤ 1 6 e0,3 (( 0,1+ 3) · 0,23 + 3(0,1+ 1) · 0,22 · 0,1+ 3(0,1− 1) · 0,2 · 0,12 + (0,1− 3) · 0,13) ≈ 0,00668. 346 Kapitel 22Differentialrechnung im Rn *** Aufgabe 22.31 (Taylor-Polynome und Taylor-Formel im Rn) Betrachtet wird die Funktion f : R2 −→ R, (x, y) *→ cos(x) cos(y). a) Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen erster, zweiter und dritter Ordnung. b) Geben Sie das Taylor-Polynom zweiten Grades von f und das zugehörige Lagrangesche Restglied für den Entwicklungspunkt x0 = (0, 0) an. c) Bestimmen Sie mit Hilfe des Taylor-Polynoms zweiten Grades einen Näherungswert für f (0,2; 0,1) und schätzen Sie den Approximationsfehler nach oben ab. Lehrbuch: Abschnitt 22.7 Lösung: Zua):Für diepartiellenAbleitungenerster undzweiterOrdnungvonf erhältmanmit derProduktregel (vgl. Satz 16.6c) im Lehrbuch) sowie (cos(x))′ = − sin(x) und (sin(x))′ = cos(x) (vgl. Satz 16.16a) und b) im Lehrbuch): ∂f (x, y) ∂x = − sin(x) cos(y) ∂f (x, y) ∂y = − cos(x) sin(y) ∂2f (x, y) ∂x2 = − cos(x) cos(y) ∂2f (x, y) ∂y2 = − cos(x) cos(y) ∂2f (x, y) ∂y∂x = sin(x) sin(y) ∂2f (x, y) ∂x∂y = sin(x) sin(y) Die partiellen Ableitungen dritter Ordnung lauten: ∂3f (x, y) ∂x3 = sin(x) cos(y) ∂3f (x, y) ∂y3 = cos(x) sin(y) ∂3f (x, y) ∂y∂x2 = ∂ 3f (x, y) ∂x∂y∂x = ∂ 3f (x, y) ∂x2∂y = cos(x) sin(y) ∂3f (x, y) ∂x∂y2 = ∂ 3f (x, y) ∂y∂x∂y = ∂ 3f (x, y) ∂y2∂x = sin(x) cos(y) Zu b): Der Gradient und die Hesse-Matrix von f am Entwicklungspunkt x0 = (0, 0) sind gegeben durch grad f (0, 0) = ( 0 0 ) und Hf (0, 0) = ( −1 0 0 −1 ) . Für das Taylor-Polynom zweiten Grades von f um den Entwicklungspunkt x0 = (0, 0) erhält man damit T2;x0 (x) = f (x0)+ grad f (x0)T (x − x0)+ 1 2 (x − x0)T Hf (x0)(x − x0) = f (0, 0)+ (0, 0) ( x − 0 y − 0 ) + 1 2 (x − 0, y − 0) ( −1 0 0 −1 )( x − 0 y − 0 ) = 1+ 1 2 (−x2 − y2) = 1− 1 2 x2 − 1 2 y2 347 Kapitel 22 Teil VII: Differential- und Integralrechnung im R (vgl. (22.47) im Lehrbuch). Mit den partiellen Ableitungen dritter Ordnung folgt für das zugehörige Lagrangesche Restglied R2;x0 (x) = 1 3! ( ∂3f (ξ) ∂x3 (x − x0)3 + 3 ∂ 3f (ξ) ∂x2∂y (x − x0)2(y − y0) + 3 ∂ 3f (ξ) ∂x∂y2 (x − x0)(y − y0)2 + ∂ 3f (ξ) ∂y3 (y − y0)3 ) = 1 6 ( sin(λx) cos(λy)x3 + 3 cos(λx) sin(λy)x2y + 3 sin(λx) cos(λy)xy2 + cos(λx) sin(λy)y3 ) = 1 6 (( x3 + 3xy2) sin(λx) cos(λy)+ (3x2y + y3) cos(λx) sin(λy)) (22.5) für ein geeignetes λ ∈ (0, 1) (vgl. Satz 22.42 und Seite 688 im Lehrbuch). Zu c): Mit Hilfe des Taylor-Polynoms zweiten Grades erhält man für f (0,2; 0,1) den Näherungswert T2;x0 (0,2; 0,1) = 1− 1 2 · 0,22 − 1 2 · 0,12 = 0,975. Für den Approximationsfehler folgt aus (22.5) mit | sin(λx)| ≤ 1, | cos(λx)| ≤ 1 und der Dreiecksungleichung (vgl. (3.4) im Lehrbuch) die Abschätzung |R2;x0 (x)| ≤ 1 6 ( 0,23 + 3 · 0,2 · 0,12 + 3 · 0,22 · 0,1+ 0,13 ) = 1 6 (0,2+ 0,1)3 = 0,0045. 348 23. Riemann-Integral im Rn * Aufgabe 23.1 (Zweifache Riemann-Integrale) Berechnen Sie die beiden zweifachen Riemann-Integrale∫ π/4 0 ∫ 1 0 x cos(2y) dx dy und ∫ 1 0 ∫ 1 0 ex+y dx dy. Lehrbuch: Abschnitt 23.3 und Tabelle 19.1 Lösung: Durch Herausintegrieren der beiden Variablen x und y erhält man für das erste Riemann-Integral∫ π/4 0 ∫ 1 0 x cos(2y) dx dy = ∫ π/4 0 ( 1 2 x2 cos(2y) )∣∣∣∣1 0 dy = ∫ π/4 0 ( 1 2 cos(2y)− 0 ) dy = 1 2 ∫ π/4 0 cos(2y) dy = 1 4 sin(2y) ∣∣π/4 0 = 1 4 (sin(π/2)− sin(0)) = 1 4 (1− 0) = 1 4 . Auf die gleiche Weise folgt für das zweite Riemann-Integral∫ 1 0 ∫ 1 0 ex+y dx dy = ∫ 1 0 ( ex+y ) ∣∣∣1 0 dy = ∫ 1 0 ( e1+y − ey ) dy = ( e1+y − ey ) ∣∣∣1 0 = e2 − e − (e − 1) = e2 − 2e + 1 = (e − 1)2. ** Aufgabe 23.2 (Zweifache Riemann-Integrale) Berechnen Sie die beiden zweifachen Riemann-Integrale∫ 3 1 ∫ 2 0 (3x2 − 2y + 9xy2) dx dy und ∫ 2π 0 ∫ 1 0 ( x + x2 cos(y)+ x2 sin(y) ) dx dy. Lehrbuch: Abschnitt 23.3 und Tabelle 19.1 Lösung: Durch Herausintegrieren der beiden Variablen x und y erhält man für das erste Riemann-Integral∫ 3 1 ∫ 2 0 (3x2 − 2y + 9xy2) dx dy = ∫ 3 1 ( x3 − 2xy + 9 2 x2y2 )∣∣∣∣2 0 dy = ∫ 3 1 ( 8− 4y + 18y2 − 0 ) dy = ( 8y − 2y2 + 6y3 )∣∣∣3 1 = 24− 18+ 162− (8− 2+ 6) = 156. 349 Kapitel 23 Teil VII: Differential- und Integralrechnung im R Analog berechnet sich das zweite Riemann-Integral zu∫ 2π 0 ∫ 1 0 ( x + x2 cos(y)+ x2 sin(y) ) dx dy = ∫ 2π 0 ( 1 2 x2 + 1 3 x3 cos(y)+ 1 3 x3 sin(y) )∣∣∣∣1 0 dy = ∫ 2π 0 ( 1 2 + 1 3 cos(y)+ 1 3 sin(y)− 0 ) dy = ( 1 2 y + 1 3 sin(y)− 1 3 cos(y) )∣∣∣∣2π 0 = π + 1 3 sin(2π)− 1 3 cos(2π) − ( 0+ 1 3 sin(0)− 1 3 cos(0) ) = π − 1 3 + 1 3 = π. ** Aufgabe 23.3 (Dreifache Riemann-Integrale) Berechnen Sie das dreifache Riemann-Integral∫ 1 −1 ∫ 1 −1 ∫ 1 −1 (x2 + y2) dx dy dz. Lehrbuch: Abschnitt 23.3 und Tabelle 19.1 Lösung: Durch sukzessives Herausintegrieren von x, y und z folgt für das Riemann-Integral∫ 1 −1 ∫ 1 −1 ∫ 1 −1 (x2 + y2) dx dy dz = ∫ 1 −1 ∫ 1 −1 ( 1 3 x3 + y2x )∣∣∣∣1−1 dy dz = ∫ 1 −1 ∫ 1 −1 ( 1 3 + y2 − ( −1 3 − y2 )) dy dz = ∫ 1 −1 ∫ 1 −1 ( 2 3 + 2y2 ) dy dz = ∫ 1 −1 ( 2 3 y + 2 3 y3 )∣∣∣∣1−1 dz = ∫ 1 −1 ( 2 3 + 2 3 − ( −2 3 − 2 3 )) dz = ∫ 1 −1 8 3 dz = 8 3 z ∣∣∣∣1−1 = 8 3 (1− (−1)) = 16 3 . ** Aufgabe 23.4 (Dreifache Riemann-Integrale) Berechnen Sie das dreifache Riemann-Integral∫ π 0 ∫ π/2 0 ∫ 1 0 cos(z+ y)e3x dx dy dz. Lehrbuch: Abschnitt 23.3 und Tabelle 19.1 350 Kapitel 23Riemann-Integral im Rn Lösung: Sukzessives Herausintegrieren der drei Variablen x, y und z liefert∫ π 0 ∫ π/2 0 ∫ 1 0 cos(z+ y)e3x dx dy dz = ∫ π 0 ∫ π/2 0 ( cos(z+ y)1 3 e3x )∣∣∣∣1 0 dy dz = 1 3 (e3 − 1) ∫ π 0 ∫ π/2 0 cos(z+ y) dy dz = 1 3 (e3 − 1) ∫ π 0 sin(z+ y) ∣∣π/20 dz = 1 3 (e3 − 1) ∫ π 0 (sin (z+ π/2)− sin (z)) dz. Wegen sin (z+ π/2) = cos(z) (vgl. Satz 5.1e) im Lehrbuch) folgt daraus weiter∫ π 0 ∫ π/2 0 ∫ 1 0 cos(z+ y)e3x dx dy dz = 1 3 (e3 − 1) ∫ π 0 (cos (z)− sin (z)) dz = 1 3 (e3 − 1) (sin (z)+ cos (z)) ∣∣π0 = 1 3 (e3 − 1)(sin (π)+ cos (π)− (sin (0)+ cos (0))) = 1 3 (e3 − 1)(0− 1− 0− 1) = 2 3 (1− e3). *** Aufgabe 23.5 (Dreifache Riemann-Integrale über Normalbereiche) Berechnen Sie das dreifache Riemann-Integral ∫ B f (x, y, z) d(x, y, z) der reellwertigen Funktion f : R3 −→ R, (x, y, z) *→ f (x, y, z) = y über dem Normalbereich B = { (x, y, z) ∈ R3 : y2 ≤ x ≤ √ 2− y2 ∧ 0 ≤ y ≤ 1 ∧ 0 ≤ z ≤ 2π } . Lehrbuch: Abschnitt 23.4 und Tabelle 19.1 Lösung: Es gilt ∫ B f (x, y, z) d(x, y, z) = ∫ 2π 0 ∫ 1 0 ∫ √2−y2 y2 y dx dy dz (vgl. Folgerung 23.14 im Lehrbuch). Herausintegrieren der drei Variablen x, y und z liefert für das Riemann- Integral ∫ 2π 0 ∫ 1 0 ∫ √2−y2 y2 y dx dy dz = ∫ 2π 0 ∫ 1 0 (y x) ∣∣√2−y2 y2 dy dz = ∫ 2π 0 ∫ 1 0 ( y (√ 2− y2 − y2 )) dy dz = ∫ 2π 0 ( −1 3 √ (2− y2)3 − 1 4 y4 )∣∣∣∣1 0 dz = ∫ 2π 0 ( −1 3 − 1 4 − ( −1 3 √ 8− 0 )) dz = ∫ 2π 0 ( − 7 12 + 2 3 √ 2 ) dz = ∫ 2π 0 8 √ 2− 7 12 dz = ( 8 √ 2− 7 12 z )∣∣∣∣∣ 2π 0 = 8 √ 2− 7 12 (2π − 0) = (8 √ 2− 7)π 6 . 351 Kapitel 23 Teil VII: Differential- und Integralrechnung im R *** Aufgabe 23.6 (Dreifache Riemann-Integrale über Normalbereiche) Berechnen Sie das dreifache Riemann-Integral ∫ B f (x, y, z) d(x, y, z) der reellwertigen Funktion f : R3 −→ R, (x, y, z) *→ f (x, y, z) = 4yx sin(z) über dem Normalbereich B = { (x, y, z) ∈ R3 : y ≤ x ≤ y2 ∧ 0 ≤ y ≤ 1 ∧ π ≤ z ≤ 2π } . Lehrbuch: Abschnitt 23.4 und Tabelle 19.1 Lösung: Es gilt ∫ B f (x, y, z) d(x, y, z) = 4 ∫ 2π π ∫ 1 0 ∫ y2 y yx sin(z) dx dy dz (vgl. Folgerung 23.14 im Lehrbuch). Werden die drei Variablen x, y und z nacheinander herausintegriert, dann folgt für das Riemann-Integral weiter 4 ∫ 2π π ∫ 1 0 ∫ y2 y yx sin(z) dx dy dz = 4 ∫ 2π π ∫ 1 0 ( 1 2 yx2 sin(z) )∣∣∣∣y2 y dy dz = 4 ∫ 2π π ∫ 1 0 1 2 y sin(z)(y4 − y2) dy dz = 2 ∫ 2π π ∫ 1 0 sin(z)(y5 − y3) dy dz = 2 ∫ 2π π sin(z) ( 1 6 y6 − 1 4 y4 )∣∣∣∣1 0 dz = 2 ∫ 2π π sin(z) ( 1 6 − 1 4 − (0− 0) ) dz = − 1 6 ∫ 2π π sin(z) dz = − 1 6 (− cos(z)) ∣∣2π π = 1 6 ( cos(2π)− cos(π)) = 1 6 (1− (−1)) = 1 3 . ** Aufgabe 23.7 (Parameterintegrale mit festen Integrationsgrenzen) Berechnen Sie die erste Ableitung des folgenden Parameterintegrals F : (0,∞) −→ R, x *→ ∫ 4 2 ext 2 t dt. Lehrbuch: Abschnitt 23.5 und Tabelle 19.1 352 Kapitel 23Riemann-Integral im Rn Lösung: Zur Berechnung der erstenAbleitung vonF darf unter dem Integralzeichen differenziert werden (vgl. Satz 23.16 im Lehrbuch). Auf diese Weise erhält man F ′(x) = ∫ 4 2 ∂ ∂x ext 2 t dt = ∫ 4 2 t2 ext 2 t dt = ∫ 4 2 t ext 2 dt = ( 1 2x ext 2 )∣∣∣∣4 2 = 1 2x e16x − 1 2x e4x = 1 2x ( e16x − e4x ) . ** Aufgabe 23.8 (Parameterintegrale mit festen Integrationsgrenzen) Berechnen Sie die partiellen Ableitungen erster Ordnung des folgenden Parameterintegrals F : R3 −→ R, (x, y, z) *→ ∫ 1 0 ( 2t2y4 + 3t3(x3 + z) ) dt. Lehrbuch: Abschnitt 23.5 und Tabelle 19.1 Lösung: Zur Berechnung der ersten partiellen Ableitungen von F darf unter dem Integralzeichen differenziert werden (vgl. Satz 23.16 im Lehrbuch). Auf diese Weise erhält man ∂F (x, y, z) ∂x = ∫ 1 0 ∂ ∂x ( 2t2y4 + 3t3(x3 + z) ) dt = ∫ 1 0 9x2t3 dt = ( 9 4 x2t4 )∣∣∣∣1 0 = 9 4 x2 − 0 = 9 4 x2 ∂F (x, y, z) ∂y = ∫ 1 0 ∂ ∂y ( 2t2y4 + 3t3(x3 + z) ) dt = ∫ 1 0 8y3t2 dt = ( 8 3 y3t3 )∣∣∣∣1 0 = 8 3 y3 − 0 = 8 3 y3 ∂F (x, y, z) ∂z = ∫ 1 0 ∂ ∂z ( 2t2y4 + 3t3(x3 + z) ) dt = ∫ 1 0 3t3 dt = ( 3 4 t4 )∣∣∣∣1 0 = 3 4 − 0 = 3 4 . 353 Kapitel 23 Teil VII: Differential- und Integralrechnung im R ** Aufgabe 23.9 (Parameterintegrale mit variablen Integrationsgrenzen) Berechnen Sie die erste Ableitung des folgenden Parameterintegrals F : (0,∞) −→ R, x *→ ∫ x2 −1/x xt2 dt. Lehrbuch: Abschnitt 23.5 und Tabelle 19.1 Lösung: Mit der Leibnizschen Formel (vgl. Satz 23.18 im Lehrbuch) erhält man für die erste Ableitung F ′(x) = ∫ x2 −1/x ∂ ∂x xt2 dt + x(x2)22x − x ( − 1 x )2 1 x2 = ∫ x2 −1/x t2 dt + 2x6 − 1 x3 = ( 1 3 t3 )∣∣∣∣x2−1/x + 2x6 − 1x3 = 1 3 x6 + 1 3x3 + 2x6 − 1 x3 = 7 3 x6 − 2 3x3 . *** Aufgabe 23.10 (Parameterintegrale mit variablen Integrationsgrenzen) Berechnen Sie die erste Ableitung des folgenden Parameterintegrals F : R −→ R, x *→ ∫ 1+x2 x sin(xt) t dt. Lehrbuch: Abschnitt 23.5 und Tabelle 19.1 Lösung: Mit der Leibnizschen Formel (vgl. Satz 23.18 im Lehrbuch) erhält man für die erste Ableitung F ′(x) = ∫ 1+x2 x ∂ ∂x sin(xt) t dt + sin(x(1+ x 2)) 1+ x2 2x − sin(x2) x = ∫ 1+x2 x cos(xt) dt + sin(x(1+ x 2)) 1+ x2 2x − sin(x2) x = 1 x sin(xt) ∣∣∣1+x2 x + sin(x(1+ x 2)) 1+ x2 2x − sin(x2) x = 1 x sin(x(1+ x2))− 1 x sin(x2)+ sin(x(1+ x 2)) 1+ x2 2x − sin(x2) x = 1+ 3x 2 x + x3 sin(x + x 3)− 2 x sin(x2). 354

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Zusammenfassung

450 Aufgaben mit Lösungen zur Prüfungsvorbereitung

Vorteile

- 450 Aufgaben mit ausführlichen Lösungen und unterschiedlichen Schwierigkeitsgraden

- Abgestimmt auf das Lehrbuch "Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler" (Merz/Wüthrich)

Zum Werk

Die Mathematikausbildung spielt eine zentrale Rolle im wirtschaftswissenschaftlichen Studium, da sie die methodischen Grundlagen für zahlreiche Vorlesungen liefert. So zentral die Rolle der Mathematik in der Ökonomie ist, so schwer tun sich allerdings die Studierenden mit mathematischen Methoden und Konzepten.

Dieses Übungsbuch hilft Studierenden, ihr erworbenes Wissen anzuwenden und zu testen. Über 400 Übungsaufgaben mit ausführlichen Lösungen unterstützen bei der optimalen Prüfungsvorbereitung. Zur besseren Orientierung wird jeder Aufgabe ein Schwierigkeitsgrad zugeordnet und ein Verweis auf den entsprechenden Abschnitt im zugrunde liegenden Lehrbuch "Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler" von Merz/Wüthrich gegeben.

Autor

Prof. Dr. Michael Merz, Hamburg.

Zielgruppe

Studierende im Bachelor der Wirtschaftswissenschaften an Universitäten und Hochschulen.