11. Auktionen in:

Thomas Riechmann

Spieltheorie, page 195 - 202

4. Edition 2013, ISBN print: 978-3-8006-4750-7, ISBN online: 978-3-8006-4751-4, https://doi.org/10.15358/9783800647514_195

Series: Vahlens Kurzlehrbücher

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11. Auktionen 11.1 Einleitung Versteigerungen oder Auktionen sind wichtige Allokationsmechanismen in der Ökonomie und werden in der Ökonomik häufig als einleitende Beispiele für die Funktionsweise von Konkurrenzmärkten genannt („Walrasianische Auktion“). Es gibt eine Reihe (vermeintlich unterschiedlicher) Arten von Auktionen. Viele davon lassen sich leicht mit Mitteln der Spieltheorie beschreiben und analysieren. In Verkaufsauktionen (und hierauf soll sich dieses Kapitel konzentrieren) wird ein Gegenstand von einem Anbieter per Versteigerung an einen von vielen Nachfragern verkauft. Wer der Nachfrager ist, der den Gegenstand erhält, entscheidet sich im Laufe des Auktionsprozesses. Verkaufsauktionen ist gemeinsam, dass jeder Nachfrager mindestens ein Gebot abgibt, also einen Geldbetrag nennt, für den er den Auktionsgegenstand erwerben möchte. Die verschiedenen Arten von Verkaufsauktionen unterscheiden sich unter anderem durch – die Art des Gebotes (offen oder verborgen), – den vom Auktionsgewinner zu zahlenden Preis (Erstpreisauktionen, Zweitpreisauktionen), – die Reihenfolge der Gebote (aufsteigend oder absteigend) und – die Information über den Auktionsgegenstand. Spieltheoretisch gesehen handelt es sich bei Auktionen um Spiele mit unvollkommener Information. Jeder Bieter (Spieler) kennt seine eigene Wertschätzung des Auktiongegenstandes (weiß also, was der Gegenstand ihm wert ist), aber kein Spieler kennt die Wertschätzungen der anderen Bieter. 11.2 Zweitpreisauktionen Zunächst soll die Form der Zweitpreisauktionen mit privater Wertschätzung und verborgenen Geboten betrachtet werden. Bei dieser Auktionsform kennt jeder Bieter nur seine eigene Wertschätzung („private Information“), und die Gebote werden verborgen abgegeben, d.h. kein Bieter kennt die Gebote der anderen Bieter. Gewinner der Auktion ist der Bieter, der das höchste Gebot abgibt. Der zu zahlende Preis ist gleich dem zweithöchsten abgegebenen 188 11. Auktionen Gebot.1 Für den Fall, dass sich nur zwei Bieter, A und B, an der Auktion beteiligen,2 ergeben sich die Auszahlungen für Bieter i ∈ {A; B}, πi, wie folgt. Falls das abgegebene Gebot bi höher ist als das des anderen Spielers, −i, ist i der Auktionsgewinner. Seine Auszahlung ist gleich dem Unterschied zwischen seiner Wertschätzung vi und dem gezahlten Preis. Der Preis ist im Fall der Zweitpreisauktion gleich dem Gebot des anderen Spielers, also bi. Bieten beide Spieler denselben Betrag, teilen sie sich die Auszahlung. Falls Bieter i die Auktion verliert, ist seine Auszahlung gleich Null. πi = vi −b−i falls bi > b−i 1 2 (vi −b−i) falls bi = b−i 0 falls bi < b−i (11.1) Die Herleitung der besten Strategiewahl und des resultierenden Gleichgewichts lässt sich anhand eines nummerischen Beispiels leicht illustrieren. Es soll eine Auktion mit den zwei Bietern A und B betrachtet werden. Die Wertschätzungen der beiden Bieter seien gleich 4 bzw. 3, vA = 4, vB = 3. Gebote seien nur in Höhe von ganzen Zahlen zulässig. Das höchst mögliche Gebot sei gleich 5. Hieraus und aus den Auszahlungen (11.1) lässt sich eine Auszahlungstabelle zusammenstellen (Tab. 11.1). Spieler sind die Bieter, Aktionen die Gebote. Da es sich um ein Spiel bei imperfekter Information handelt, sind die Strategien nicht von den Geboten anderer Bieter abhängig, sondern identisch mit den Aktionen. Spieler B bB = 0 bB = 1 bB = 2 bB = 3 bB = 4 bB = 5 bA = 0 2, 1.5 0, 3 0, 3 0, 3 0, 3 0, 3 bA = 1 4, 0 1.5, 1 0, 2 0, 2 0, 2 0, 2 bA = 2 4, 0 3, 0 1, 0.5 0, 1 0, 1 0, 1Spieler A bA = 3 4, 0 3, 0 2, 0.5 0.5, 0 0, 0 0, 0 bA = 4 4, 0 3, 0 2, 0 1, 0 0, -0.5 0, -1 bA = 5 4, 0 3, 0 2, 0 1, 0 0, 0 -0.5, -2 Tabelle 11.1: simples Auktionsspiel Aus der Tabelle ergibt sich, dass besonders auch die beste Strategie eines Spielers nicht von dem Gebot des Gegners abhängt. Jeder Spieler hat eine schwach dominante Strategie: Es ist in jedem Fall eine beste Antwort, ein Gebot in Höhe der eigenen Wertschätzung zu machen, egal was der andere bietet. Im Nash–Gleichgewicht macht also jeder Spieler ein Gebot in Höhe 1 Dieses Verfahren ist ähnlich dem, das bei EBay angewendet wird. Hier zahlt der Gewinner das Gebot des Zweitplatzierten plus einem geringen Aufschlag. Weil dieser kleine Aufschlag kaum strategische Bedeutung hat, soll er hier ignoriert werden. 2 Alle Fälle mit mehr als zwei Bietern lassen sich hieraus leicht ableiten, sind aber weniger einfach in Auszahlungstabellen darstellbar. 11.3 Erstpreisauktionen 189 seiner Wertschätzung, hier also b⋆A = vA = 4 und b ⋆ B = vB = 3. Spieler A gewinnt die Auktion und erhält eine Auszahlung in Höhe von πA = vA−vB = 4−3 = 1. An dem simplen Beispiel ist eine auf den ersten Blick erstaunliche Tatsache erkennbar: Der Modus der Auktion, also etwa die Regelung, in welcher Reihenfolge die Gebote abgegeben werden, aufsteigend, absteigend oder sogar ohne Reihenfolge, spielt laut Spieltheorie für das Ergebnis der Auktion keine Rolle.3 11.3 Erstpreisauktionen In Erstpreisauktionen gewinnt der Bieter die Versteigerung, der das höchste Gebot abgibt. Er zahlt einen Preis in Höhe seines Gebotes. Die Auszahlungen in einer Zwei–Bieter–Erstpreisauktion ergeben sich analog zu denen in einer entsprechenden Zweitpreisauktion (wie in (11.1)). πi = vi −bi falls bi > b−i 1 2 (vi −bi) falls bi = b−i 0 falls bi < b−i (11.2) 11.3.1 Vollkommene Information Im — hauptsächlich pädagogisch bedeutenden — Fall von vollkommener Information kennt jeder Spieler das Gebot des Gegners. Das Spiel ist ähnlich einem „invertierten“ Bertrand–Spiel (Abschnitt 7.5). Es gewinnt der Bieter mit dem höheren Gebot. Um eine positive Auszahlung zu erreichen, darf das Gebot aber nicht höher als die eigene Wertschätzung sein. Folglich gewinnt der Bieter mit der höchsten Wertschätzung und gibt ein Gebot ab, das ein wenig höher ist als die Wertschätzung des Gegners. Falls also Bieter i die höchste Wertschätzung und Bieter −i die zweithöchste Wertschätzung besitzt, bietet − im Gleichgewicht b⋆i = v−i + ε , wobei ε ein sehr kleiner Aufschlag ist. Die resultierende Auszahlung an den Auktionsgewinner beträgt πi (b⋆i ) = vi − v−i − ε . 11.3.2 Unvollkommene Information Im Fall unvollkommener Information kennt keiner der Spieler die Wertschätzung und damit das Gebot des Gegners. Die angemessene Analyse ist die Bayesianische. Die möglichen Typen von Spielern bzw. von Gegenspielern sind identisch mit deren Wertschätzungen. 3 Dass in der Realität der Auktionsmodus sehr wohl eine Rolle spielt, zeigen vielfältige Laborexperimente. Ein guter – wenn auch schon älterer — Überblick findet sich in Kagel (1995). 190 11. Auktionen Wieder soll ein einfaches Beispiel betrachtet werden. Bieter sind die Spieler A und B. Die Wertschätzung jedes Spielers sei unabhängig von der Wertschätzung des jeweiligen Gegners und stetig gleichverteilt zwischen (inklusive) Null und Eins, [0; 1]. Jeder Spieler kennt seine eigene Wertschätzung vi, i ∈ {A, B} und die Verteilung der Wertschätzung des anderen Spielers (prior beliefs).4 Es wird sich zeigen, dass das Auktionsspiel ein symmetrisches Gleichgewicht besitzt, in dem jeder Spieler genau die Hälfte seiner Wertschätzung bietet. Wieder hängen die Gebote allein von der eigenen Wertschätzung ab, so dass im Gleichgewicht gilt, dass b⋆i = bi(vi) = 1 2 vi ∀ i ∈ {A, B} (11.3) Die Funktion bi(vi) heißt „Bietfunktion“ von Spieler i. Dass (11.3) in einer Erstpreisauktion mit verborgenen Geboten bei unabhängiger privater Wertschätzung das Gleichgewicht beschreibt, lässt sich recht leicht, aber etwas aufwändig beweisen. Der Beweis besteht darin zu zeigen, dass b⋆A und b ⋆ B gegenseitig beste Antworten sind. Spieler As erwartete Auszahlung im Fall, dass B seine Gleichgewichtsstrategie b⋆B spielt, beträgt E [πA (bA)] = 0 ·Prob(bA < b⋆B) ︸ ︷︷ ︸ A verliert +(vA −bA) Prob(bA > b⋆B) ︸ ︷︷ ︸ A gewinnt (11.4) + 1 2 (vA −bA) Prob(bA = b⋆B) ︸ ︷︷ ︸ unentschieden Einsetzen von 12 vB für b ⋆ B führt zu πA (bA) = 0 ·Prob ( bA < 1 2 vB ) +(vA −bA) Prob ( bA > 1 2 vB ) + 1 2 (vA −bA) Prob ( bA = 1 2 vB ) Wegen der Annahme, vB sei eine Zufallsvariable mit stetiger Verteilung, ist die Wahrscheinlichkeit eines „Unentschieden“ eine Punktwahrscheinlichkeit einer stetigen Verteilung und damit gleich Null. Prob ( bA = 1 2 vB ) = 0 . 4 Im Grunde sind die Grenzen des Intervalls unerheblich. Die Untergrenze als Null anzunehmen, ist relativ eingängig. Die Obergrenze ist hier auf Eins gesetzt, weil die folgenden Berechnungen damit simpler werden. 11.3 Erstpreisauktionen 191 Folglich wird (11.4) zu E [πA(bA)] = (vA −bA) Prob ( bA > 1 2 vB ) (11.5) Da vB stetig gleichverteilt auf [0; 1] ist, folgt Prob ( bA > 1 2 vB ) = Prob ( 1 2 vB ≤ bA ) = Prob(vB ≤ 2bA) = min{2bA, 1} Bei einem Gebot von bA = 12 gewinnt A sicher die Auktion. Höhere Gebote als 12 (also bA > 1 2 ) erhöhen die Wahrscheinlichkeit, die Auktion zu gewinnen, nicht. (vB kann nicht höher sein als 1). Ein Gebot von A, das höher ist als 12 , führt dazu, dass A die Auktion sicher gewinnt. (Es gelten die Voraussetzungen, dass Bs mögliche Wertschätzungen gleichverteilt zwischen Null und Eins sind, und dass B die Hälfte seiner Wertschätzung bietet.) Prob ( bA > 1 2 vB ) = 1 ∀ bA ≥ 1 2 , so dass die Analyse auf bA < 12 beschränkt werden kann. Es gibt also einen sicheren Weg, die Auktion zu gewinnen: Biete mindestens 12 ! Hohe Gebote steigern also die Gewinnwahrscheinlichkeit, senken aber die erwartete Auszahlung. Für Gebote in Höhe von maximal 12 beträgt die Wahrscheinlichkeit, die Auktion zu gewinnen, zu Prob ( bA > 1 2 vB ) = 2bA Hieraus lässt sich der Ausdruck für die erwartete Auszahlung an Spieler A, (11.5), vereinfachen zu πA(bA) = (va −bA) ·2bA . (11.6) Maximierung von (11.6) über bA führt zu As bester Antwort auf Bs Spiel von π⋆B = 1 2 vB: d E [πA(bA)] d bA = 2vA −4bA != 0 ⇒ b⋆A (vA) = 1 2 vA Die Strategie b⋆A = 1 2 vA ist also eine beste Antwort auf Bs b ⋆ B. 192 11. Auktionen Der zweite Teil des Beweises besteht nun daraus zu zeigen, dass auch b⋆B = 1 2 vB eine beste Antwort auf b ⋆ A ist. Diese Prozedur ist das direkte Analog zur oben demonstrierten Vorgehensweise. Nach diesen zwei Schritten ist klar, dass b⋆A und b ⋆ B gegenseitig beste Antworten sind und daher ein Nash–Gleichgewicht bilden. Das allgemeine Ergebnis für Erstpreisauktionen mit verborgenen Geboten und voneinander unabhängigen privaten Wertschätzungen ist die Erkenntnis, dass Bieter systematisch unterhalb ihrer Wertschätzungen bieten werden. Der Bieter mit der höheren Wertschätzung wird die Auktion gewinnen und weniger als seine Wertschätzung zahlen. 11.4 Erlösäquivalenz Im Folgenden soll die erstaunliche Tatsache demonstriert werden, dass die Erlöse, die der Auktionator bei Erstpreis– und Zweitpreisauktionen erzielt, im Erwartungswert gleich hoch sind. 11.4.1 Erlöse bei Erstpreisauktionen Bei einer Erstpreisauktion gewinnt der Bieter mit der höchsten Wertschätzung. Er zahlt einen Preis in Höhe der Hälfte seiner Wertschätzung.5 Der Erlös R1 ist gleich dem Preis, den der Gewinner — im Gleichgewicht — zahlt. Der (erwartete) Erlös aus einer Erstpreisauktion beträgt E [R1] = max{bA, bB} = max { 1 2 vA, 1 2 vB } = 1 2 max{vA, vB} (11.7) Im Beispielfall, der im vorhergehenden Abschnitt betrachtet wurde, sind die Wertschätzungen beider Bieter gleichmäßig und voneinander unabhängig auf dem Intervall [0, 1] verteilt. Die Wertschätzungen sind also Zufallsvariablen. Das Maximum zweier Zufallsvariablen ist selbst eine Zufallsvariable, eine Faltung von zwei anderen Zufallsvariablen. Für den Erwartungwert einer Maximums–Faltung der Zufallsvariablen Y und Z, die beide stetig und identisch unabhängig auf dem Intervall [a, b] gleichverteilt sind, gilt dass 5 Dieses Resultat gilt unter den in Abschnitt 11.3.2 genutzten Annahmen. 11.4 Erlösäquivalenz 193 E [max{Y, Z}] = 2 3 b3 + 1 3 a3 −ab2 Diese Regel lässt sich für den erwarteten Erlös aus (11.7) anwenden. In einer Erstpreisauktion beträgt also der erwartete Erlös E [R1] = max{bA, bB} = max { 1 2 vA, 1 2 vB } = 1 2 max{vA, vB} = 1 2 ( 2 3 13 + 1 3 03 −0 ·12 ) E [R1] = 1 3 (11.8) 11.4.2 Erlöse bei Zweitpreisauktionen In einer Zweitpreisauktion ist es die beste Strategie, die eigene Wertschätzung zu bieten. Der Gewinner der Auktion ist der Bieter mit der höchsten Wertschätzung, aber der Preis, den der Gewinner zahlt, ist gleich dem zweithöchsten Gebot, in einer Zwei–Bieter–Auktion also gleich dem Minimum der Wertschätzungen der Spieler. Falls die Wertschätzungen verteilt sind wie oben (für die Erstpreisauktion) angenommen, beträgt der Erlös einer Zweitpreisauktion E [R2] = min{vA, vB} . Auch R2 ist eine Zufallsvariable und entsteht als eine Faltung. Für den Erwartungwert einer Minimums–Faltung der Zufallsvariablen Y und Z, die beide stetig und identisch unabhängig auf dem Intervall [a, b] gleichverteilt sind, gilt dass E [min{Y, Z}] = 2 3 a3 + 1 3 b3 −ba2 Durch Anwendung dieser Regel lässt sich der erwartete Erlös einer Zweitpreisauktion bestimmen. E [R2] = min{vA, vB} = 2 3 03 + 1 3 13 −02 ·1 E [R2] = 1 3 (11.9) 194 11. Auktionen 11.4.3 Erlös–Äquivalenz–Theorem Aus dem oben gezeigten folgt das Erlös–Äquivalenz–Theorem: Falls die (privaten) Wertschätzungen der Bieter auf identische Weise verteilt sind, sind die Erwartungswerte der Erlöse aus einer Erstpreis– und einer Zweitpreisauktion (mit verborgenen Geboten) gleich hoch. Nach kurzem Erstaunen und weiterem Nachdenken ist dieses Resultat nicht all zu kontraintuitiv: Zwar machen in Erstpreisauktionen die Bieter niedrigere Gebote als in Zweitpreisauktionen. Aber diese Tatsache wird dadurch ausgeglichen, dass der Gewinner einer Zweitpreisauktion nur einen Erlös in Höhe des zweithöchsten Gebotes verursacht. Beide Einflüsse auf den Erlös gleichen sich gegenseitig genau aus. 11.5 Winner’s Curse Eine weitere — auf den ersten Blick — erstaunliche Tatsache im Zusammenhang mit Auktionen ist die Existenz eines „winner’s curse“ (übersetzt etwa „Fluch des (Auktions–) Gewinners“). Gemeint ist die beinahe unvermeidliche Tatsache, dass der Gewinner einer Auktion fast immer einen Verlust macht, also eine negative Auszahlung erhalten wird. Dieses Phänomen lässt sich leicht erklären. Gewinner einer Auktion ist immer der Bieter, der das höchste Gebot macht. Das Gebot hängt positiv monoton von der Wertschätzung ab: Wer den Wert des Auktionsgegenstandes am höchsten einschätzt, gewinnt ihn. Oft ist aber diese maximale Wertschätzung übertrieben, Auktionen werden meist von denen gewonnen, die sich am schlimmsten verschätzen und damit am meisten zahlen. Der Auktionsgegenstand erweist sich als weniger wert, als vom Auktionsgewinner gedacht. Die Differenz zwischen gezahltem Preis und tatsächlichem Wert des Auktionsgegenstandes ist der winner’s curse.

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Zusammenfassung

Vorteile

- Alle wichtigen Konzepte der modernen Spieltheorie

- Ein Klassiker in Neuauflage

Stimmen zum Werk

"(…) Wer eine kompakte und verständliche Einführung in die moderne Spieltheorie sucht, ist mit dem "Riechmann" hervorragend bedient. Das Buch enthält nicht nur alles Wissenswerte zu diesem Thema, es überzeugt auch durch eine sehr eingängige Stoffvermittlung, durch die selbst komplizierte Zusammenhänge verständlich werden. (…)"

in: Studium, 20.04.2008, 2. Auflage 2008

Zum Werk

Spieltheorie intuitiv - das muss nicht bedeuten: Spieltheorie ohne Mathematik. Dieses Lehrbuch gibt eine Einführung in alle wichtigen Konzepte der modernen Spieltheorie, indem es die "Idee" in den Mittelpunkt stellt, ohne dabei die notwendigen Formalia zu vernachlässigen.

Der Inhalt des Buches erstreckt sich von den Grundlagen der Spieltheorie über fortgeschrittene Themen wie Lernen in Spielen oder dynamische Gleichgewichtskonzepte in der evolutionären Spieltheorie.

Die Einbeziehung von Resultaten ökonomischer Laborexperimente erweitert die Perspektive des Buches über den Horizont herkömmlicher Werke zur Spieltheorie hinaus.

Insofern ist das Buch sowohl für Anfänger als auch für fortgeschrittene Spieltheoretiker gleichermaßen geeignet und nützlich.

Autor

Prof. Dr. Thomas Riechmann, Kaiserslautern.

Zielgruppe

Studierende der Wirtschaftswissenschaften.