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8.3 Modifizierung der Forderungen des Unmöglichkeitstheorems in:

Günter Bamberg, Adolf Gerhard Coenenberg, Michael Krapp

Betriebswirtschaftliche Entscheidungslehre, page 229 - 233

15. Edition 2012, ISBN print: 978-3-8006-4518-3, ISBN online: 978-3-8006-4519-0, https://doi.org/10.15358/9783800645190_229

Series: Vahlens Kurzlehrbücher

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8.3 Modi zierung der Forderungen des Unmöglichkeitstheorems 219 Sa 8.2: Besteht A nur aus zwei Alternativen, so erfüllt die Mehrheitsentscheidung die Forderungen 1 bis 4. Der (einfache) Beweis dieses „Möglichkeitstheorems“ ist beispielsweise bei Arrow (1963, S. 46–47) zu finden. Nach Arrow kann Sa 8.2 als eine gewisse theoretische Grundlage des anglo-amerikanischen Zweiparteiensystems aufgefasst werden. Da in den Entscheidungssituationen der betriebswirtschaftlichen Praxis meist mehr als zwei Alternativen zur Deba e stehen und die Ansichten der Gremienmitglieder bezüglich der Alternativen im Allgemeinen differieren, bleiben angesichts des negativen arrowschen Resultates nur zwei Möglichkeiten zur Lösung derartiger Konfliktsituationen: • Man behält die Problemformulierung bei, das heißt, man versucht aus den gegebenen (ordinalen) Präferenzordnungen derGremienmitglieder eine kollektive Präferenzordnung herzustellen, verzichtet aber auf eine oder einige der vier Forderungen (oder modifiziert diese Forderungen). • Man ändert die Problemformulierung ab. 8.3 Modi zierung der Forderungen des Unmöglichkeitstheorems Forderung 1 (universeller Definitionsbereich) ist weniger durch normative, sondern eher durch pragmatische Gesichtspunkte bestimmt; man will vermeiden, dass das Gremium vom Aggregationsmechanismus in bestimmten Situationen im Stich gelassen wird. Andererseits zeigt das Wählerparadoxon, dass sich wohl kein vernünftiger Aggregationsmechanismus finden lassen wird, wenn chaotische Diskrepanzen zwischen den individuellen Präferenzordnungen möglich sind. Die arrowsche Einschränkung des Definitionsbereiches, welche in Verbindung mit der Murakami-Version des Diktaturverbots noch zu einem Unmöglichkeitstheorem führt, wurde bereits in Abschni 8.2 im Anschluss an Sa 8.1 erwähnt. Eine andere Einschränkung, die zu einem Möglichkeitstheorem führt, geht auf die Arbeiten von Black zurück. Black (1948a,b,c) stellte bei seinen Untersuchungen über Mehrheitsentscheidungen die „Eingipfelbedingung“ (singlepeakedness condition) auf. Durch Beschränkung auf Präferenzordnungsprofile, die einer Eingipfelbedingung genügen, erreicht man eine Verträglichkeit der vier Forderungen (vgl. Sa 8.3). Dabei ist die Eingipfelbedingung folgendermaßen definiert:⁹ Ein Präferenzordnungsprofil genügt einer Eingipfelbedingung, wenn die Alternativen so angeordnet werden können, dass jedes Gremienmitglied beim Übergang von einer Alternative zur nächsten bis zu einer bestimmten Alternative (die für jedes Mitglied eine andere sein kann) stets ⁹ Der Leser, der an einer weiteren Erörterung interessiert ist, sei auf Black (1948a,b,c); Arrow (1963, S. 77); Rapoport (1989) und Bossert/Stehling (1990) verwiesen. 220 8. Entscheidungen durch Entscheidungsgremien zu einer präferierten und von dieser bestimmten Alternative ab stets zu einer weniger präferierten Alternative gelangt. Diese Bedingung ist erfüllt, wenn sich die Alternativen bezüglich eines eindimensionalen Merkmales auf der Abszisse eines Koordinatensystems so anordnen lassen, dass für jedes Gremienmitglied die Präferenzordnung (dargestellt durch irgendeine ordinale Nu enfunktion) eine eingipfelige Kurve darstellt. Bei dem Präferenzordnungsprofil, das dem Wählerparadoxon zu Grunde liegt R1 R2 R3 a b c b c a c a b ist diese Bedingung nicht erfüllt, da bei jeder Anordnung genau eine Kurve zweigipfelig ist; trägt man die Alternativen z. B. in der Reihenfolge a, b, c auf (vgl. Abbildung 8.2), so hat der R3 entsprechende Graf (der eigentlich nur aus drei Punkten besteht, die der Anschaulichkeit halber durch einen Polygonzug verbunden wurden) zwei Gipfel, nämlich einen bei a und einen bei c. a b c R1 R2 R3 Abb. 8.2: Präferenzordnungsprofil des Wählerparadoxons Häufig wurde argumentiert, dass die Eingipfelbedingung im politischen Bereich recht plausibel ist, da sich dort Alternativen nach einem „Links-Rechts- Schema“ oder einem „Liberal-Konservativ-Schema“ anordnen lassen. Es muss dahingestellt bleiben, ob die Eingipfelbedingung auch im (weniger ideologisierten) betriebswirtschaftlichen Gebiet als ebenso plausibel gelten kann. Rein formal lässt sich die Forderung 1 natürlich folgendermaßen abschwächen. Forderung 1a: Der Aggregationsmechanismus F ist auf allen Präferenzordnungsprofilen definiert, die einer Eingipfelbedingung genügen. Damit lässt sich folgender Sa beweisen (Arrow, 1951, nach Vorarbeit von Black, 1948). Sa 8.3: Ist die Gremiengröße N eine ungerade Zahl, so sind die Forderungen 1a, 2, 3 und 4 miteinander verträglich; die Mehrheitsentscheidung ist ein Aggregationsmechanismus, der diesen Forderungen gleichzeitig genügt. 8.3 Modi zierung der Forderungen des Unmöglichkeitstheorems 221 Ein Beweis ist z. B. bei Arrow (1963, S. 78–79) zu finden. Dort (S. 80) wird auch gezeigt, dass die Vorausse ung eines ungeraden N nicht überflüssig ist. Ist nämlich N = 2 und m = 3 und besteht das Präferenzordnungsprofil (R1, R2) aus R1 R2 a b b c c a (es erfüllt mit der Anordnung a, b, c die Eingipfelbedingung), so ergibt sich durch Mehrheitsentscheidung: c ∼ a und a ∼ b aber b ≻ c (an Stelle von c ∼ b) . Die Mehrheitsentscheidung verle t die Transitivitätsbedingung und stellt somit keinen Aggregationsmechanismus in unserem Sinne dar. Forderung 2 (Einstimmigkeitsbedingung) ist im Kern wohl unverzichtbar. Sie ist durch ihren normativen Gehalt so weit gehend vorprogrammiert, dass lediglich unbedeutende Abänderungen oder Abschwächungen infrage kommen. Arrow führte sta der Forderung 2 die beiden folgenden Forderungen ein.¹⁰ Forderung 2a (Positive Assoziation individueller und kollektiver Präferenzen): Führt F bei dem Präferenzordnungsprofil (R1, . . . , RN) zu einer Präferenz der Alternative a gegenüber b, so soll dies auch beim Übergang zu einem Präferenzordnungsprofil (R′1, . . . , R ′ N) der Fall sein, bei dem a bezüglich jedem Mitglied seine Position gehalten oder verbessert hat (und die Präferenzen zwischen den von a verschiedenen Alternativen unverändert geblieben sind). Forderung 2b (Souveränität der Gremienmitglieder): Es gibt kein Paar (a, b) verschiedener Alternativen, so dass bezüglich der kollektiven Präferenzordnung stets (das heißt für jedes Präferenzordnungsprofil) a gegenüber b präferiert wird. Auch bei der Erse ung von Forderung 2 durch 2a und 2b ergibt sich (Arrow, 1963, S. 97) eine Unverträglichkeit, wie der nachfolgende Sa belegt. Sa 8.4: Ist m ≧ 3, so sind die Forderungen 1, 2a, 2b, 3 und 4 nicht miteinander zu vereinbaren. Das heißt, erfüllt ein Aggregationsmechanismus F die Forderungen 1, 2a, 2b und 3, so ist er entweder aufgezwungen oder diktatorisch. Blau (1972) schwächt die Einstimmigkeitsbedingung dadurch ab, dass eine einstimmige strikte Präferenz von a gegenüber b nur noch eine kollektive Präferenz von a gegenüber b oder eine kollektive Indifferenz zwischen a und b zur Folge haben muss. ¹⁰ Da Forderung 2 unter Benu ung von Forderung 3 aus den nachfolgenden Forderungen 2a und 2b gefolgert werden kann (Arrow, 1963, S. 97), stellt die Erse ung von 2 durch 2a und 2b keine schwächere, sondern eine stärkere Forderung dar. 222 8. Entscheidungen durch Entscheidungsgremien Forderung 2c: Gilt für ein Paar (a, b) von Alternativen und für jedes Gremienmitglied i die strikte Präferenz a Pi b, so muss a R b (bezüglich der kollektiven Präferenzordnung R) gelten. Bei Erse ung von Forderung 2 durch 2c ergibt sich nach Blau (1972) nachfolgender Sa . Sa 8.5: Für N ≧ 2 und m ≧ 3 sind die Forderungen 1, 2c, 3 und 4 miteinander zu vereinbaren; der einzige Aggregationsmechanismus F0, der diesen Forderungen gleichzeitig genügt, produziert aus jedem Präferenzordnungsprofil diejenige kollektive Präferenzordnung R0, bezüglich der alle Alternativen gleichwertig sind. Bezüglich diesem offensichtlich äußerst unbefriedigenden Aggregationsmechanismus F0 ist jedes Gremienmitglied i ein „schwacher Diktator“ in dem Sinne, dass keine kollektive strikte Präferenz a P b entstehen kann, die einer strikten Präferenz b Pi a des Mitglieds i entgegensteht. Stellt man an F die Forderung 4a, so ergibt sich aus Sa 8.5 der nachfolgende Sa 8.6. Forderung 4a: Es existiert kein schwacher Diktator, das heißt, es existiert kein Gremienmitglied i, so dass für alle Alternativen a, b stets a Pi b die Relation a R b zur Folge hat. Sa 8.6: Für m ≧ 3 sind die Forderungen 1, 2c, 3 und 4a unvereinbar. Forderung 3 (Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen) ist am einschränkendsten und wurde in der Literatur zwar gelegentlich kritisiert (z. B. Fishburn, 1970a,b); schwächtman diese Forderung jedoch in erheblichemMaße ab, so lässt sich wohl kein Unmöglichkeitstheorem aufstellen. Interpretiert man Forderung 3 so, dass die Alternativenmenge A fest gegeben ist, so wird Forderung 3 in der Literatur (z. B. bei French, 1986) auch als „binary relevance“ bezeichnet. Lässt man dagegen A variieren, so erhält man eine Verschärfung der Forderung, die bereits von Arrow diskutiert, jedoch nicht beim Beweis seines Unmöglichkeitstheorems benu t wurde. Forderung 3a: Sind A und A′ zwei Alternativenmengen, die beide a und b enthalten, und stimmen die auf A bzw. A′ definierten Präferenzordnungsprofile (R1, . . . , RN) bzw. (R′1, . . . , R ′ N) auf {a, b} überein, so stimmen auch die zugehörigen kollektiven Präferenzordnungen R bzw. R′ auf {a, b} überein. Für A = A′ ergibt sich aus Forderung 3a die Forderung 3; da A und A′ differieren können, ist Forderung 3a eine Verschärfung von Forderung 3. Nach 3a müssen beispielsweise die zu den Präferenzordnungsprofilen R1 R2 a c b b c a R′1 R ′ 2 a b b a gehörenden kollektiven Präferenzordnungen R und R′ die beiden Alternativen a und b übereinstimmend beurteilen. Forderung 3a findet man salopp 8.4 Traditionelle Entscheidungsverfahren 223 und in Analogie zu Forderung 4 von Abschni 5.4 auch so formuliert (z. B. Krelle, 1968, S. 99): „Der Ausfall oder das Hinzukommen einer Alternative darf die Präferenzordnung der übrigen Alternativen nicht beeinflussen.“ Es ist klar, dass auch diese Version von Forderung 3a sinnvoll ist. Einige Beispiele mögen die Nü lichkeit verdeutlichen: Hat sich der Vorstand einer AG auf die Durchführung eines Projekts a geeinigt, so sollte dieser Beschluss nicht dadurch infrage gestellt werden, dass sich ein anderes der ursprünglich konkurrierenden Projekte (etwa aus rechtlichen Gründen) als undurchführbar erweist. Hat sich der Stadtrat auf eine Prioritätenliste seiner Projekte geeinigt (was in der Praxis meist sehr zeitintensiv ist), so sollte diese Rangordnung nicht dadurch infrage gestellt werden, dass sich ein bisher unberücksichtigtes Projekt (etwa infolge neuer technologischer Möglichkeiten) als durchführbar erweist; dies soll natürlich nicht heißen, dass das neue Projekt unberücksichtigt bleibt, sondern bedeutet lediglich, dass das neue Projekt unter Wahrung der bisher bestehenden Rangordnung geeignet einzustufen ist. Streng genommen liegt Forderung 3a ein allgemeineres Konzept eines Aggregationsmechanismus zu Grunde. Bisher waren Aggregationsmechanismen für ein festes Paar (N,m) aus Gremiengröße N und Alternativenzahl m definiert; wir wollen sie momentan mit FN,m bezeichnen. Ein wirklich universell anwendbarer Aggregationsmechanismus F müsste aber für alle praktisch vorkommenden Werte von N und m eine Lösung parat haben; er müsste also aus einer Folge von Aggregationsmechanismen vom Typ FN,m bestehen. Da bereits Forderung 3 mit den anderen Forderungen 1, 2 und 4 unverträglich ist, sind auch erst recht die Forderungen 1, 2, 3a und 4 unverträglich. Deshalb kann ein solch universeller Aggregationsmechanismus F ebenso wenig wie einer der Teil-Aggregationsmechanismen FN,m die vier Forderungen erfüllen. 8.4 Traditionelle Entscheidungsverfahren Lässt man eine oder sogar mehrere der arrowschen Forderungen fallen, so gibt es natürlich eine große Anzahl an Aggregationsmechanismen, darunter etliche, die eine lange Tradition haben. So werden die Forderungen 1, 2 und 4 beispielsweise von dem häufig praktizierten Borda-Verfahren¹¹ erfüllt. Dabei vergibt jedes Gremienmitglied an jede dermAlternativen folgendermaßen eine Punk ahl: Die erste Wahl erhältm Punkte, die zweite Wahlm − 1 Punkte usw. (Bei Indifferenz werde die auf die gleichwertigen Alternativen fallende Punktsumme gleichmäßig aufgeteilt.) Die Gremienpräferenzordnung ergibt sich aus der Punktsumme, die die einzelnen Alternativen auf sich vereinigen können. ¹¹ Benannt nach dem französischen Ingenieur Jean-Charles de Borda (1733–1799). Als Synonyma werden benu t: Borda-Regel, Borda-Kriterium, Borda-Schema, Borda- Mechanismus.

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Zusammenfassung

Vorteile

- Ein Lehr- und Lernbuch für einen einführenden Kurs in die Entscheidungstheorie

- Mit zahlreichen Aufgaben und Lösungen

Zum Werk

In Unternehmen werden und müssen Entscheidungen getroffen werden, deren Auswirkungen zum Teil große Konsequenzen auf die eigene Geschäftstätigkeit haben können.

Dieses Lehrbuch führt den Leser in die Entscheidungstheorie ein und stellt Entscheidungen bei Sicherheit, Risiko und Unsicherheit ausführlich dar. Es erläutert die Grundbegriffe der Spieltheorie ebenso wie die der dynamischen Programmierung.

Autoren

Prof. em. Dr. Dr. h.c. Günter Bamberg war Inhaber des Lehrstuhls für Statistik an der Universität Augsburg.

Prof. em. Dr. Dres. h.c. Adolf G. Coenenberg war Inhaber des Lehrstuhls für Betriebswirtschaftslehre, insbesondere Wirtschaftsprüfung und Controlling, an der Universität Augsburg.

Prof. Dr. Michael Krapp ist Extraordinarius für Quantitative Methoden an der Universität Augsburg.

Zielgruppe

Studierende der Wirtschaftswissenschaften an Universitäten, Fachhochschulen und Berufsakademien.