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5.3 Anwendungen und Erweiterungen in:

Norbert Hirschauer, Oliver Mußhoff

Modernes Agrarmanagement, page 220 - 238

Betriebswirtschaftliche Analyse- und Planungsverfahren

3. Edition 2013, ISBN print: 978-3-8006-4743-9, ISBN online: 978-3-8006-4457-5, https://doi.org/10.15358/9783800644575_220

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5.3 Anwendungen und Erweiterungen 209 ݒ௄௔, dann ergibt sich das in Tab. 5-9 dargestellte neue Simplextableau. In der letzten Zeile sind nurnoch negative Werte ausgewiesen. Damit ist das Endtableau bzw. die Optimallösung gefunden. Bezogenauf das Primalproblem bedeutet die Optimallösung des Dualproblems, dass 80 ha Kartoffeln angebautund 20 ha Fläche nicht genutzt werden. Die Optimallösung des Dualproblems ist damit auch eine zulässi-ge Lösung des Primalproblems.Um das Verständnis des dualen Problems zu erleichtern, haben wir in Tab. 5-10 die leicht zu interpretie-renden Ergebniswerte des primalen Problems aus Tab. 5-5 den Ergebniswerten des korrespondierendendualen Problems aus Tab. 5-9 gegenübergestellt. Dabei wird explizit darauf hingewiesen, in welchem Tab-leaubereich die Werte stehen. Die Gegenüberstellung in Tab. 5-10 erklärt, warum man beim primalenProblem den maximierten Gesamtdeckungsbeitrag alternativ über die Betriebswerte der Ressourcen be-rechnen kann (vgl. Gleichung (5-19)), die als Schattenpreise des Maximierungsproblems ausgewiesenwerden. Analog kann man beim dualen Problem die Gesamtopportunitätskosten alternativ über dieUmfänge der Produktionsverfahren berechnen, die sich als Schattenpreise des Minimierungsproblemsergeben. 5.3 Anwendungen und ErweiterungenIm Folgenden wird zunächst erläutert, welche Erweiterungen sich ergeben, wenn bei der linearen Pro-grammierung zusätzliche Aktivitäten und Restriktionen zu berücksichtigen sind (Punkt 5.3.1). InPunkt 5.3.2 wird beschrieben, wie LP-Probleme unter Verwendung von Tabellenkalkulationsprogrammengelöst werden können. In Punkt 5.3.3 wird dargelegt, wie man praxisrelevante Sachverhalte, wie z.B.Fruchtfolgerestriktionen oder saisonale Arbeitsanforderungen, in LP-Modellen abbildet. 5.3.1 Zusätzliche Aktivitäten und RestriktionenDas in Abschnitt 5.2 anhand eines 2x2-Problems beschriebene Simplexverfahren kann ohne Weiteres aufrealistische betriebliche Planungssituationen und damit größere LP-Probleme übertragen werden. Diedamit verbundenen Erweiterungen äußern sich in den folgenden Veränderungen: • Durch die Berücksichtigung von zusätzlichen Produktionsaktivitäten ergeben sich mehr Spalten. Durchdie Abbildung von zusätzlichen betrieblichen Kapazitätsrestriktionen ergeben sichmehr Zeilen. • Mit der Zahl der Aktivitäten und Restriktionen steigt die Zahl der Werte, die in jedem Tableau zuberechnen sind. Gleichzeitig sind i.d.R. mehr Iterationen nötig, um - ausgehend von einer zufälliggewählten Startlösung - die Optimallösung zu finden. • Lässt man c.p. eine zusätzliche Aktivität als Wahlmöglichkeit zu, wird der Lösungsmöglichkeitenraumerweitert. Der resultierende maximale Gesamtdeckungsbeitrag ist demzufolge mindestens genau sohoch wie ohne zusätzliche Wahlmöglichkeit. • Berücksichtigt man c.p. eine zusätzliche betriebliche Einschränkung als Restriktion, wird derLösungsmöglichkeitenraum verkleinert. Der resultierende maximale Gesamtdeckungsbeitrag ist dem-zufolge maximal so hoch wie ohne zusätzliche Restriktion.Um von der 2x2-Perspektive weg und hin zu einer allgemein gültigen Problemformulierung zukommen, führen wir zunächst einen Laufparameter ݇ (݇ = 1, 2, … , ܭ) ein, der die zur Auswahl stehen-den Aktivitäten bezeichnet. Mit einem weiteren Laufparameter ݅ (݅ = 1, 2, … , ܫ) bezeichnen wir die zuberücksichtigenden Restriktionen. Zudem nutzen wir die Symbole ݓ und ܼ, um in allgemeiner Form dieZielfunktionskoeffizienten bzw. den Zielfunktionswert zu bezeichnen. Kennzeichnet man die Kapazi-tätsansprüche der einzelnen Aktivitäten mit ܾ, lässt sich das lineare Optimierungsproblem allgemeinwie folgt schreiben: 210 5 Produktionsprogrammplanung max௨ೖ ܼ = max௨ೖ ൭෍ݓ௞ ∙ ݑ௞௄௞ୀଵ ൱unter den Nebenbedingungen:෍ܾ௜;௞ ∙ ݑ௞௄௞ୀଵ ≤ ̅ݔ௜, für ݅ = 1, 2, … , ܫ (5-29) In einer etwas ausführlicheren Form lässt sich dies auch folgendermaßen darstellen:max௨భ,௨మ,…,௨಼ܼ = max௨భ,௨మ,…,௨಼(ݓଵ ∙ ݑଵ + ݓଶ ∙ ݑଶ + ⋯+ ݓ௄ ∙ ݑ௄)unter den Nebenbedingungen:ܾଵ;ଵ ∙ ݑଵ + ܾଵ;ଶ ∙ ݑଶ + ⋯+ ܾଵ;௄ ∙ ݑ௄ ≤ ̅ݔଵܾଶ;ଵ ∙ ݑଵ + ܾଶ;ଶ ∙ ݑଶ + ⋯+ ܾଶ;௄ ∙ ݑ௄ ≤ ̅ݔଶ⋮ܾ ூ;ଵ ∙ ݑଵ + ܾூ;ଶ ∙ ݑଶ + ⋯+ ܾூ;௄ ∙ ݑ௄ ≤ ̅ݔூ (5-30) Neben den dargestellten Restriktionen ist bei den meisten praktischen Optimierungsproblemen zusätzlichdie Nichtnegativitätsbedingung einzuhalten (vgl. Gleichung (5-4)). In Tab. 5-11 werden die genutztenSymbole zusammengefasst, kurz erklärt und mit dem bereits bekannten Beispiel der Optimierung desAnbauprogramms in Verbindung gebracht. Tab. 5-11: Bei der Formulierung des linearen Maximierungsproblems genutzte SymboleSymbol Erklärung Beispiel: 2x2-Problem der Planung des Anbauprogrammsܼ Zielfunktionswert Gesamtdeckungsbeitrag ܩܦܤݑ௞ Entscheidungsvariablen Umfang Weizen ݑௐ௘, Umfang Kartoffeln ݑ௄௔ݓ௞ Zielfunktionskoeffizienten Deckungsbeitrag Weizen ܦܤௐ௘,Deckungsbeitrag Kartoffeln ܦܤ௄௔ܾ௜;௞ Kapazitätsansprüche Verfahrensbezogener Flächen- und Arbeitsbedarf(z.B. ஺ܾ௥;ௐ௘ = 10 bedeutet 10 Akh für 1 Einheit Weizen)̅ݔ௜ Ausstattung mit der jeweiligenKapazität Flächenkapazität ̅ݔி௟, Arbeitszeitkapazität ̅ݔ஺௥ܫ Anzahl der Kapazitäten ܫ = 2 (Fläche und Arbeit)ܭ Anzahl der Aktivitäten ܭ = 2 (Weizen und Kartoffeln)Im Folgenden erweitern wir unser bereits bekanntes Beispiel um ein weiteres Verfahren und eine weitereRestriktion. Auf dieses 3x3-Problem wenden wir nochmals die Tableauschreibweise des Simplexver-fahrens an, um die grundsätzlichen Zusammenhänge bei der Problemerweiterung zu verdeutlichen. Die-ses Problem bildet zum einen das Beispiel, anhand dessen wir in Punkt 5.3.2 erläutern, wie man Optimie-rungsprobleme praktisch mit Hilfe gängiger Softwarepakete löst. Zum anderen stellt es das Ausgangs-modell dar, auf das wir in Punkt 5.3.3 bei der Beschreibung der modelltechnischen Abbildung betrieblicherKomplexitäten Bezug nehmen.Neben dem Weizen und den Kartoffeln steht ein zusätzliches Produktionsverfahren „Raps“ zur Auswahl,das einen Deckungsbeitrag von 1 250 €/ha liefert und dafür einen Flächenanspruch von 1 ha und einenArbeitsanspruch von 8 Akh/ha hat. Neben der vorgegebenen Fläche und Arbeitszeit gibt es einen weiterenknappen Produktionsfaktor und damit eine weitere Restriktion: Kapital in Form liquider Mittel zur Finan-zierung der erforderlichen Betriebsmittel steht nur in einem begrenzten Umfang von 195 T€ zur Verfü-gung. Die einzelnen Verfahren verursachen unterschiedlich hohe Betriebsmittelausgaben und habendamit auch unterschiedliche Kapitalansprüche. Weizen benötigt 500 €/ha, Kartoffeln 2 500 €/ha undRaps 800 €/ha. 5.3 Anwendungen und Erweiterungen 211 Als lineares Optimierungsproblem lässt sich dies wie folgt darstellen:max௨ೈ೐,௨಼ೌ,௨ೃೌܩܦܤ = max௨ೈ೐,௨಼ೌ,௨ೃೌ(1 000 ∙ ݑௐ௘ + 4 000 ∙ ݑ௄௔ + 1 250 ∙ ݑோ௔) (5-31)unter den Nebenbedingungen:1 ∙ ݑௐ௘ +1 ∙ ݑ௄௔ +1 ∙ ݑோ௔ ≤ 10010 ∙ ݑௐ௘ +30 ∙ ݑ௄௔ +8 ∙ ݑோ௔ ≤ 2 400500 ∙ ݑௐ௘ +2 500 ∙ ݑ௄௔ +800 ∙ ݑோ௔ ≤ 195 000ݑௐ௘, ݑ௄௔, ݑோ௔ ≥ 0Die als Ungleichungen formulierten Kapazitätsrestriktionen können in Gleichungen überführt werden,indem man die Schlupfvariablen „Nichtnutzung von Fläche ݒி௟“, „Nichtnutzung von Arbeit ݒ஺௥“ und„Nichtnutzung von Kapital ݒ஼“ einführt.Nutzt man zur Lösung dieses 3x3-Optimierungsproblems die Tableauschreibweise und wählt die Null-lösung als Startlösung, findet man nach drei Iterationen das Produktionsprogramm mit dem maximalenGesamtdeckungsbeitrag. Das heißt, wenn man die Lösungsschritte vollständig zeigen wollte, müsste manbei diesem Problem bereits vier Tableaus darstellen, nämlich das Ausgangstableau, zwei Zwischentab-leaus und das Endtableau. In Tab. 5-12 und Tab. 5-13 sind nur das Ausgangs- bzw. das Endtableau darge-stellt. Tab. 5-12: Ausgangstableau des 3x3-Problems a) Nichtbasisvariablen Basisvariablen −࢛ࢃࢋ(Hauptvariable: Anbauumfang Weizen) −࢛ࡷࢇ(Hauptvariable: Anbauumfang Kartoffeln) −࢛ࡾࢇ(Hauptvariable: Anbauumfang Raps) Umfang ࢜ࡲ࢒ (Schlupfvariable:Nichtnutzung von Fläche) c 1 1 1 d 100࢜࡭࢘ (Schlupfvariable:Nichtnutzung von Arbeit) 10 30 8 2 400࢜࡯ (Schlupfvariable:Nichtnutzung von Kapital) 500 2 500 800 195 000ࡳࡰ࡮ (Zielgröße: Gesamtdeckungsbeitrag) e −1 000 −4 000 −1 250 f 0 a) Die grau hervorgehobene Spalte (Zeile) kennzeichnet die Pivotspalte (Pivotzeile). Tab. 5-13: Endtableau des 3x3-Problems Nichtbasisvariablen Basisvariablen −࢜࡭࢘(Schlupfvariable: Nichtnutzung von Arbeit) −࢜࡯(Schlupfvariable: Nichtnutzung von Kapital) −࢜ࡲ࢒(Schlupfvariable: Nichtnutzung von Fläche) Umfang ࢛ࡾࢇ (Hauptvariable:Anbauumfang Raps) c −1/5 1/500 1 d 10࢛ࢃࢋ (Hauptvariable:AnbauumfangWeizen) 17/100 −11/5 000 2/5 19࢛ࡷࢇ (Hauptvariable:Anbauumfang Kartoffeln) 3/100 1/5 000 −2/5 71ࡳࡰ࡮ (Zielgröße: Gesamtdeckungsbeitrag) e 40 11/10 50 f 315 500 212 5 Produktionsprogrammplanung Das Endtableau zeigt, dass man bei dem betrachteten 3x3-Problem ein Produktionsprogramm mit 19 haWeizen, 71 ha Kartoffeln und 10 ha Raps umsetzen sollte. Dabei werden alle drei Kapazitäten vollständiggenutzt. Es ergibt sich ein Gesamtdeckungsbeitrag von 315 500 €.Eine hier nicht dargestellte Variantenrechnung zeigt, dass ohne die zusätzliche Kapitalrestriktion (alsobei einem 3x2-Problem mit drei Wahlmöglichkeiten und zwei Restriktionen) nur zwei Verfahren in derOptimallösung sind (27,27 ha Raps und 72,73 ha Weizen). Mit diesem Produktionsprogramm erzielt maneinen Gesamtdeckungsbeitrag von 325 T€. Eine weitere hier nicht dargestellte Variantenrechnung ohnedie zusätzliche Aktivität „Raps“ (also bei einem 2x3-Problem mit zwei Wahlmöglichkeiten und drei Rest-riktionen) führt zu einem optimalen Produktionsprogramm mit 15 ha Weizen und 75 ha Kartoffeln. Dabeiwird ein Gesamtdeckungsbeitrag von 315 T€ erzielt. Wir erinnern uns zudem daran, dass im 2x2-Problemein Gesamtdeckungsbeitrag von 320 T€ zu erzielen war (vgl. z.B. Tab. 5-5). Diese drei Ergebnisse bestäti-gen die eingangs gemachten Aussagen, dass sich zum einen der Zielfunktionswert durch zusätzliche Wahl-möglichkeiten erhöht oder gleich bleibt. Zum anderen wird der Zielfunktionswert durch zusätzlicheRestriktionen reduziert oder nicht verändert.Der Vergleich des 3x2- und des 3x3-Problems zeigt auch den noch nicht explizit angesprochenen Sachver-halt, dass die Anzahl der Kapazitätsrestriktionen die Zahl der Aktivitäten begrenzt, die in der Optimallösung enthalten sein können. Bei zwei Restriktionen und drei zur Wahl stehenden Aktivitätenmuss also mindestens eine Aktivität gleich Null sein. Technisch gesehen hat das Simplextableau nur zweiZeilen, in die von Null verschiedene Variablen eintreten können. Inhaltlich gesehen verwertet immer einVerfahren die beiden Kapazitäten schlechter als eines der anderen beiden Verfahren. Weizen wird im 3x2-Problem nicht umgesetzt, weil durch die Kartoffelproduktion die Fläche und über die Rapsproduktion dieArbeit besser verwertet wird. Erst wenn es auch eine dritte Restriktion gibt, können auch drei Aktivitätenin die Optimallösung kommen. Im betrachteten 3x3-Fall ist dies der Fall, da die Kartoffeln die Fläche, derRaps die Arbeit und der Weizen das Kapital am besten verwertet. 5.3.2 Nutzung von TabellenkalkulationsprogrammenBei der Erweiterung des 2x2-Problems (vgl. Tab. 5-4) auf das 3x3-Problem (vgl. Tab. 5-12) haben wirgesehen, dass sowohl die Zahl der zu berechnenden Tableauwerte als auch die Zahl der erforderlichenIterationen mit der Größe des Problems zunimmt, gleichzeitig aber immer dieselben Ablaufschritte zuwiederholen sind. Hier kommt der Vorteil moderner Computer zum Tragen, deren Stärke in der schnellenund wiederholten Ausführung systematischer Rechenschritte liegt. Mit Hilfe von Tabellenkalkulationspro-grammen, wie z.B. MS-EXCEL, oder spezieller Optimierungssoftware lässt sich der Simplexalgorithmusleicht auch für umfangreiche reale Planungsprobleme operationalisieren. In MS-EXCEL kann dazu der sog. Solver verwendet werden. Der Solver ist ein MS-EXCEL Zusatzprogramm (Add-In), das in seiner Standard-form in jeder MS-EXCEL-Version integriert ist. a) Lösung eines LP-Problems mit Hilfe von MS-EXCELVoraussetzung für die Lösung eines LP-Problems unter Verwendung des Solvers ist ein „funktionsfähiges Modell“. Im vorliegenden Fall braucht man ein Modell, das den Gesamtdeckungsbeitrag und die Kapazi-tätsnutzung in Abhängigkeit vom Anbauprogramm berechnet. In einem funktionsfähigen Modell sind nurdie vorgegebenen Planannahmen (Modellinputs), auf die bei der Berechnung der Zielgrößen des Modells(Modelloutputs) Bezug genommen wird, als Zahlenwerte spezifiziert. Alle Modellberechnungen müssenals Formeln in Abhängigkeit von den Modellinputs dargestellt werden. Ein funktionsfähiges Modell stelltsicher, dass bei einer im Rahmen von Variantenrechnungen vorgenommenen Veränderung der Planan-nahmen die Zielgröße des Modells automatisch als Ergebnis der veränderten Modellinputs ausgewiesenwird. 5.3 Anwendungen und Erweiterungen 213 Grundsätzlich gibt es für die Darstellung eines Modells in einem Arbeitsblatt große Freiheiten. Das heißt,man kann im Prinzip die Planannahmen und die hiervon abhängigen Modellberechnungen beliebig aufdem Arbeitsblatt anordnen. Das MS-EXCEL-Arbeitsblatt in Tab. 5-14 zeigt eine mögliche Darstellungsformfür unser 3x3-Produktionsprogrammplanungsproblem. Diese Darstellung folgt wieder einer Konventionund greift auf eine Zeilen- und Spaltenanordnung zurück, die eine große Ähnlichkeit mit dem Simplex-Ausgangstableau aufweist.In der Zeile 2 sind die Deckungsbeiträge der Produktionsverfahren eingetragen. In den Zellen B6 bis D8sind die Kapazitätsansprüche festgehalten. Die Zellen E6 bis E8 geben Auskunft über die Kapazitätsaus-stattung. Aufgrund der großen Verbreitung dieser Art der Darstellung haben sich die Begriffe „Left-Hand- Side“ (LHS) und „Right-Hand-Side“ (RHS) als eigenständige Fachbegriffe durchgesetzt. LHS wird alsKurzbezeichnung für die Kapazitätsansprüche und RHS als Kurzbezeichnung für die vorhandenen Kapazi-täten benutzt. Tab. 5-14: GDB-Modell als Voraussetzung zur Lösung eines LP-Problems a)A B C D E F1 Aktivität Weizen Kartoffeln Raps2 DB (€/ha) 1 000 4 000 1 2503 Umfang (ha) 19 71 1045 LHS: Kapazitäts-ansprüche RHS: Kapazitäts-ausstattung KN: Kapazitäts-nutzung6 Fläche (ha) 1 1 1 100 1007 Arbeit (Akh) 10 30 8 2 400 2 4008 Kapital (€) 500 2 500 800 195 000 195 000910 GDB (€) 315 500a) Alle Nebenbedingungen sind als Maximalrestriktionen definiert, d.h. die im Zellbereich F6:F8 berech-neten Werte müssen kleiner oder gleich den im Zellbereich E6:E8 definierten Werten sein. Zellen, dieFormeln beinhalten, sind grau unterlegt.Eine zentrale Bedeutung kommt den Anbauumfängen in der Zeile 3 zu. Sie stellen die Entscheidungsvari-ablen der Optimierung und gleichzeitig Inputs des GDB-Modells dar. In Tab. 5-14 sind bereits die Werteangezeigt, die sich nach der Optimierung mit dem Solver ergeben haben. Vor der Optimierung stehen indiesen Zellen beliebige Werte. In Abhängigkeit von den Umfängen der Verfahren wird in den Zellen F6 bisF8 die Kapazitätsnutzung (KN) berechnet. Dazu werden folgende Formulierungen genutzt:F6: =B6*B3+C6*C3+D6*D3F7: =B7*B3+C7*C3+D7*D3F8: =B8*B3+C8*C3+D8*D3In der Zelle B10 wird die Zielgröße des GDB-Modells, die gleichzeitig den Zielfunktionswert des LP-Problems darstellt, berechnet. Dazu wird folgende Formel umgesetzt:B10: =B2*B3+C2*C3+D2*D3Für die in den Zellen F6, F7, F8 sowie B10 erforderliche Multiplikation und anschließende Addition derProdukte kann auch die MS-EXCEL-Funktion „SUMMENPRODUKT(Matrix 1; Matrix 2)“ genutzt werden.Zur Beschleunigung des Solvers wird dies sogar empfohlen. Dementsprechend wäre bspw. in Zelle F6 zuformulieren:F6: =SUMMENPRODUKT(B6:D6;$B$3:$D$3) 214 5 Produktionsprogrammplanung Durch die Verwendung von „$“ in der Formel werden Zellfixierungen vorgenommen. Damit ist es möglich,die in Zelle F6 spezifizierte Funktion einfach in die Zellen F7 und F8 zu kopieren.Dieses funktionsfähige GDB-Modell liefert für beliebig variierte Anbauumfänge automatisch die Modell-outputs in Form des Gesamtdeckungsbeitrags und der jeweiligen Kapazitätsnutzung. Man könnte alsoverschiedene Anbauprogramme ausprobieren und schauen, ob sie mit ihren Kapazitätserfordernisseninnerhalb der gegebenen Grenzen bleiben, und welchen Gesamtdeckungsbeitrag man erzielt. Anstelledieser zufälligen Suche nach dem besten gangbaren Produktionsprogramm nutzt man den Solver.Abb. 5-6 liefert einen Überblick der Einstellungen, die dabei vorzunehmen sind. Abb. 5-6: Einsatz des Solvers zur Lösung des LP-Problems a) a) Verwendete MS-OFFICE-Version: 2007. Die Zellverweise beziehen sich auf das in Tab. 5-14 angezeigteMS-EXCEL-Arbeitsblatt. Die Nichtnegativitätsbedingung wird unter „Optionen“ festgelegt.Die Zielzelle entspricht der Zelle B10 (Gesamtdeckungsbeitrag) aus Tab. 5-14. Der Zielfunktionswertwird maximiert. Die Produktionsumfänge, die in den Zellen B3 bis D3 stehen, stellen die veränderbaren Zellen dar. Als Nebenbedingungen wird festgelegt, dass die Kapazitätsnutzung kleiner oder gleich derKapazitätsausstattung ist. Die Formulierung „F6:F8 ≤ E6:E8“ ist eine praktische Kurzschreibweise. Siebedeutet, dass die Werte im Zellbereich F6:F8 kleiner oder gleich ihren jeweils entsprechendenWerten imZellbereich E6:E8 sein müssen. Man könnte auch die aufwändigere und weniger praktische Formulierung„F6 ≤ E6, F7 ≤ E7 und F8 ≤ E8“ nutzen. Die Nichtnegativität der Entscheidungsvariablen wird sicher-gestellt, indem man in den Solver-Optionen „Nicht-Negativ voraussetzen“ auswählt. Die Nichtnegativitäts-bedingung könnte auch als eigenständige Nebenbedingung spezifiziert werden, d.h. man könnte explizitformulieren, dass die Zellen B3 bis D3 größer oder gleich Null sein müssen (B3:D3 ≥ 0).Wählt man nach der Spezifikation der Solver-Parameter den Button „Lösen“, dann schreibt der Solver dieOptimallösungen in das Arbeitsblatt, in dem das GDB-Modell spezifiziert ist. Im vorliegenden Fall wird dasoptimale Produktionsprogramm (19 ha Weizen, 71 ha Kartoffeln, 10 ha Raps) in den Zellen B3 bis D3 aus-gewiesen. Im funktionsfähigen GDB-Modell werden dann alle davon abhängigen Werte automatisch be-rechnet. In den Zellen F6 bis F8 sieht man, dass alle drei Kapazitäten voll genutzt werden. In der Zelle B10kann man den erzielten maximalen Gesamtdeckungsbeitrag von 315 500 € ablesen. b) Interpretation von SensitivitätsberichtenBei der Optimierung mit dem Solver kann man sich zusätzliche Ergebnisberichte anzeigen lassen. Der sog. Antwortbericht wiederholt in tabellarischer Form die Ergebnisse, die auch im Arbeitsblatt mit dem GDB-Modell nach der Optimierung ersichtlich sind. Weiterführende Informationen liefert der sog. Sensitivitätsbericht, der für das vorliegende Beispiel in Tab. 5-15 dargestellt ist. Der Sensitivitätsbericht des Solvers gibtim Unterschied zum Simplex-Endtableau keine Auskunft bzgl. der Substitutionskoeffizienten. Dafür werdendie Stabilitäts- bzw. Gültigkeitsbereiche der Schattenpreise numerisch ausgetestet und ausgewiesen. 5.3 Anwendungen und Erweiterungen 215 Tab. 5-15: Sensitivitätsbericht des Solvers a)Veränderbare ZellenZelle Name LösungEndwert ReduzierteKosten Ziel-koeffizient ZulässigeZunahme ZulässigeAbnahme1 B3 Umfang Weizen 19 0 1 000 500 125,002 C3 Umfang Kartoffeln 71 0 4 000 125 1 333,333 D3 Umfang Raps 10 0 1 250 200 50,00NebenbedingungenZelle Name LösungEndwert Schattenpreis RechteSeite ZulässigeZunahme ZulässigeAbnahme4 F6 Flächennutzung 100 50,00 100 177,50 10,005 F7 Arbeitsnutzung 2 400 40,00 2 400 50,00 111,766 F8 Kapitalnutzung 195 000 1,10 195 000 8 636,36 5 000,00a) Die Zellverweise beziehen sich auf das in Tab. 5-14 angezeigte MS-EXCEL-Arbeitsblatt.Der automatisch in der dargestellten Form generierte Sensitivitätsbericht, in dem sich alle Zellverweiseauf das Arbeitsblatt mit dem GDB-Modell beziehen (Tab. 5-14), ist weitgehend selbsterklärend. In demmit„veränderbare Zellen“ überschriebenen oberen Zeilenblock werden die Lösungswerte für die Umfänge dereinzelnen Aktivitäten und die jeweiligen Zielkoeffizienten (Zielfunktionsbeiträge) ausgewiesen. Die inte-ressante Zusatzinformation sind hier die Grenzverlustwerte, die man unter der Bezeichnung „ReduzierteKosten“9 findet. Da im vorliegenden Fall alle Produktionsaktivitäten in der Optimallösung sind, sind alleGrenzverlustwerte gleich Null. Hätte man in der Optimallösung eine nicht realisierte Aktivität, würde hierein negativer Wert stehen. In den letzten beiden Spalten findet man den sog. Stabilitätsbereich. Eine„zulässige Zunahme“ von 500 beim Weizen bedeutet bspw., dass das optimale Anbauprogramm stabil(unverändert) bleibt, solange der Weizendeckungsbeitrag c.p. 1 500 €/ha nicht übersteigt. Steigt er aberauf 1 501 €/ha, verändert sich das optimale Anbauprogramm und es werden nur noch Weizen und Kartof-feln angebaut. Der Grenzverlustwert für Raps wäre dann ungleich Null. Analog ist die Interpretation beider „zulässigen Abnahme“ vorzunehmen.Der mit „Nebenbedingungen“ überschriebene untere Zeilenblock ist in gleicher Art und Weise aufgebaut.Hier bezeichnen die Lösungswerte die Umfänge, mit denen die jeweiligen Kapazitäten in der Optimallö-sung genutzt werden. Die verfügbare Kapazitätsausstattung wird unter der Bezeichnung „Rechte Seite“wiederholt. Das Interessante sind hier die Betriebswerte, die man unter der Bezeichnung „Schattenpreis“findet. Sie sind im vorliegenden Fall alle positiv, da alle Kapazitäten voll genutzt werden. Man sagt in die-sem Zusammenhang auch, dass alle Kapazitäten bindend oder einschränkend sind. Bei einer nicht voll ge-nutzten und damit nicht bindenden Kapazität würde hier ein Wert von Null stehen. In den letzten beidenSpalten findet man für jede Kapazität die Gültigkeitsbereiche der Betriebswerte. Eine zulässige Abnahmevon 10 und eine zulässige Zunahme von 177,5 bei der Fläche bedeutet bspw., dass die angezeigten Be-triebswerte (50 €/ha Fläche, 40 €/Akh und 1,10 €/€ Kapital) c.p. in einem Bereich der Flächenaus-stattung zwischen 90 ha und 277,5 ha gültig sind. Analog sind die Werte in den Zeilen 5 und 6 zu inter-pretieren. 9 Im Zusammenhang mit der Produktionsprogrammplanung ist die Bezeichnung „Reduzierte Kosten“(reduced cost), die aus der Kostenminimierung kommt, zunächst irreführend. Bei einem Minimie-rungsproblem geben die „Reduzierten Kosten“ an, um wie viel der Zielfunktionsbeitrag reduziert wer-den müsste, damit die betreffende Nichtbasisvariable in die Lösung kommt. Da die lineare Programmie-rung historisch gesehen zunächst bei Minimierungsproblemen verbreitet war, hat sich der Begriff all-gemein als Terminus technicus durchgesetzt. Bei Maximierungsproblemen besagt er, um wie viel derZielfunktionsbeitrag steigen müsste, damit eine Nichtbasisvariable in die Lösung kommt. 216 5 Produktionsprogrammplanung Wir wissen, dass für die Betriebswerte in Abhängigkeit von der jeweils c.p. variierten Kapazitätsausstat-tung ein treppenförmiger Verlauf gilt (vgl. Abb. 5-5). Mit Hilfe des Sensitivitätsberichts kann man- ausgehend vom jeweils betrachteten Kapazitätsniveau - eine Stufe dieser Treppe identifizieren. Im vor-liegenden Fall ist bekannt, dass der Wert der innerbetrieblichen Nutzung von Fläche bei 50 €/ha liegt, undzwar im Bereich zwischen 90 ha (= 100 − 10) und 277,5 ha (= 100 + 177,5). Hat man bspw. die Möglich-keit, 10 ha Fläche zu 500 €/ha zu verpachten, sollte man dies tun. Genauer gesagt können wir mit 10 ha,die wir für 500 €/ha verpachten, den Zielfunktionswert um 4 500 € erhöhen. Erzielt man bei der Verpach-tung dagegen weniger als 50 €/ha, so sollte man die Fläche selbst nutzen. Aus dem Schattenpreis weißman aber bspw. noch nicht, ob man auch mehr als 10 ha Fläche verpachten sollte. Dazu muss man die üb-rigen Stufen des Betriebswertes bestimmen. Hierfür nutzt man die sog. parametrische Programmierung, die man auch als erweiterte Sensitivitätsanalyse betrachten kann. Bei der parametrischenProgrammierung wird eine Kapazitätsgrenze systematisch variiert und jeweils das optimale Programmbestimmt. Im vorliegenden Fall würde man also eine erste Variantenoptimierung mit 90 ha Flächenaus-stattung durchführen. Hieraus ergibt sich ein Betriebswert von 250 €/ha mit seinem Gültigkeitsbereichzwischen 90 und 78 ha. Dieses Ergebnis ist dann der Ausgangspunkt für die Berechnung der nächstenTreppenstufe etc. 5.3.3 Hinweise zur modelltechnischen Abbildung realer KomplexitätenIm Folgenden werden ausgewählte Modellverfeinerungen angesprochen, die eine realistischere Abbildungvon realen Zusammenhängen wie Fruchtfolgen, Lieferverträgen etc. ermöglichen. Den Ausgangspunkt derÜberlegungen bildet immer noch das in Tab. 5-12 beschriebene Planungsproblem mit den drei zur Aus-wahl stehenden Aktivitäten (Weizen, Kartoffeln und Raps) und den drei Kapazitätsrestriktionen (100 haAckerfläche, 2 400 Akh und 195 T€ Kapital). FruchtfolgerestriktionenNicht jeder Standort ist gleichermaßen für den Anbau einer Fruchtart geeignet. Außerdem sind Unverträg-lichkeiten der Fruchtarten untereinander und mit sich selbst zu beachten. Um dies in einem LP-Modell zuberücksichtigen, werden sog. Fruchtfolgerestriktionen eingeführt. Fruchtfolgerestriktionen kennzeichnendie maximal oder minimal zu realisierenden Anbauumfänge einzelner Fruchtarten.Beispielsweise sollten Kartoffeln aus pflanzenbaulicher Sicht nur alle vier Jahre auf dem gleichen Standortangebaut werden. Wenn man bei 100% kartoffelfähiger Fläche den Kartoffelanteil in der Fruchtfolge dau-erhaft auf über 25% steigern würde, wäre die Annahme eines unabhängig vom Anbauumfang zu erzielen-den gleich bleibenden Deckungsbeitrags unrealistisch. Der wachsende Schaderregerdruck würde bspw. zuhöheren variablen Kosten oder/und geringeren Leistungen führen. Bei einer Gesamtfläche von 100 hakönnte ein maximaler Kartoffelanteil von 25% berücksichtigt werden, indem man das in Gleichung (5-31)formulierte Optimierungsproblem um die folgende Fruchtfolgerestriktion (Obergrenzen) für den Kartof-felanbau erweitert:0 ∙ ݑௐ௘ + 1 ∙ ݑ௄௔ + 0 ∙ ݑோ௔ ≤ 25 (5-32)Die Formulierung in Gleichung (5-32) bezeichnet man auch als externe Formulierung der Fruchtfolge-restriktion. Sie hat den Nachteil, dass man auf der RHS explizit den Bezug zur vorhandenen Gesamtflächeherstellen muss. Man spricht mit Blick auf eine sich möglicherweise verändernde Gesamtfläche von einerstarren Formulierung. Bei der internen Formulierung der Fruchtfolgerestriktion werden die Flächen-anteile relativ, d.h. ohne Bezug zur absoluten Höhe der Gesamtfläche definiert. Dies hat den Vorteil, dasseine ggf. durch Zupachtungen oder Zukäufe veränderte Flächenausstattung automatisch Berücksichtigungfindet. Die Koeffizienten der Kartoffel- und Nichtkartoffel-Aktivitäten findet man, indem man die Frucht-folgerestriktion „maximal 25% Kartoffeln“ mathematisch formuliert und umformt: 5.3 Anwendungen und Erweiterungen 217 ܭܽݎݐ݋݂݂݈݂݈݁äܿℎ݁ܰ݅ܿℎݐ݇ܽݎݐ݋݂݂݈݂݈݁äܿℎ݁ ≤ 0,251 − 0,25⇔ +0,75 ∙ ܭܽݎݐ݋݂݂݈݂݈݁äܿℎ݁ − 0,25 ∙ ܰ݅ܿℎݐ݇ܽݎݐ݋݂݂݈݂݈݁äܿℎ݁ ≤ 0 (5-33)Bezogen auf das betrachtete Beispiel mit den alternativen Produktionsverfahren „Weizen“ und „Raps“ergibt sich für einen maximalen Kartoffelanteil von 25% die folgende Restriktion:−0,25 ∙ ݑௐ௘ + 0,75 ∙ ݑ௄௔ − 0,25 ∙ ݑோ௔ ≤ 0 (5-34)Die Definition der Flächenanteile ohne Bezug zur vorhandenen Gesamtfläche ist zwar einerseits flexib-ler. Andererseits hat die interne Formulierung, die in Gleichung (5-34) beschrieben ist, aber den Nach-teil, dass sich die prozentuale Aufteilung nur auf die Fläche beziehen kann, die von den realisierten Pro-duktionsverfahren genutzt wird. Hierdurch kann es zu Problemen kommen, wenn mehrere Obergren-zen gleichzeitig berücksichtigt werden müssen. Nehmen wir bspw. an, dass neben der Kartoffelober-grenze von 25% auch noch ein maximaler Weizenanteil von 33% und ein maximaler Rapsanteil von33% einzuhalten sind. Diese Obergrenzen ergeben in der Summe nur 91%, also weniger als 100%. Fügtman lediglich die internen Fruchtfolgeformulierungen analog zu Gleichung (5-34) in das Modell ein, istnur die Nulllösung gangbar.Um zu gewährleisten, dass sich die Fruchtfolgerestriktionen nicht auf die tatsächlich für die Produk-tion genutzte Fläche, sondern auf die insgesamt vorhandene Fläche beziehen, muss man die interne Formulierung um die zusätzliche Aktivität „Brache“ (࢛࡮࢘) erweitern. Im Optimierungsproblem(5-31) sind damit die folgenden Fruchtfolgerestriktionen für Kartoffeln, Weizen und Raps aufzu-nehmen:−0,25 ∙ ݑௐ௘ + 0,75 ∙ ݑ௄௔ − 0,25 ∙ ݑோ௔ − 0,25 ∙ ݑ஻௥ ≤ 0 (5-35)+0,67 ∙ ݑௐ௘ − 0,33 ∙ ݑ௄௔ − 0,33 ∙ ݑோ௔ − 0,33 ∙ ݑ஻௥ ≤ 0 (5-36)−0,33 ∙ ݑௐ௘ − 0,33 ∙ ݑ௄௔ + 0,67 ∙ ݑோ௔ − 0,33 ∙ ݑ஻௥ ≤ 0 (5-37)Wenn eine Untergrenze für den Anbauumfang einer Fruchtart berücksichtigt werden soll, kann man ganzanalog vorgehen. Dabei ist aus technischer Sicht erwähnenswert, dass man eine Minimalrestriktion durchMultiplikation mit -1 in eine Maximalrestriktion überführen kann. Soll bspw. der Rapsanbau wegen seinerguten Fruchtfolgewirkung mindestens 10% der Gesamtfläche umfassen, sind die für die interne Formulie-rung erforderlichen Fruchtfolgekoeffizienten wie folgt abzuleiten:ܴܽ݌ݏ݂݈äܿℎ݁ܰ݅ܿℎݐݎܽ݌ݏ݂݈äܿℎ݁ ≥ 0,11 − 0,1⇔ −0,9 ∙ ܴܽ݌ݏ݂݈äܿℎ݁ + 0,1 ∙ ܰ݅ܿℎݐݎܽ݌ݏ݂݈äܿℎ݁ ≤ 0 (5-38)Bezogen auf das betrachtete Beispiel mit den alternativen Produktionsverfahren „Weizen“ und „Kartof-feln“ ergibt sich für die interne Formulierung unter Berücksichtigung der Aktivität „Brache“ damit folgen-de Formulierung:+0,1 ∙ ݑௐ௘ + 0,1 ∙ ݑ௄௔ − 0,9 ∙ ݑோ௔ + 0,1 ∙ ݑ஻௥ ≤ 0 (5-39)Integriert man die zusätzliche Aktivität „Brache“ sowie die vier Fruchtfolgerestriktionen (5-35) bis (5-37)und (5-39) in das Ausgangsmodell (vgl. Tab. 5-14), ergibt sich das in Tab. 5-16 dargestellte Modell. In derOptimallösung sind die Anbauumfänge aller Kulturen bis an die Anbauobergrenze ausgedehnt. Es handeltsich damit um bindende Maximalrestriktionen. Zur Rapsproduktion werden mehr als 10% der Fläche ein-gesetzt. Die Fruchtfolgeuntergrenze für Raps ist damit eine nicht einschränkende Minimalrestriktion.Gegenüber dem Basismodell mit einem ausgewiesenen Gesamtdeckungsbeitrag von 315 500 € (vgl.Tab. 5-14) wird der Zielfunktionswert durch die zusätzliche Berücksichtigung der Fruchtfolgerestrik-tionen auf 174 250 € reduziert. 218 5 Produktionsprogrammplanung Tab. 5-16: GDB-Modell zur Berücksichtigung von Fruchtfolgerestriktionen (interne Formulierung erweitert um die Aktivität „Brache“) a)A B C D E F G1 Aktivität Weizen Kartoffeln Raps Brache2 DB (€/ha) 1 000 4 000 1 250 03 Umfang (ha) 33 25 33 945 LHS RHS KN6 Fläche (ha) 1 1 1 1 100 1007 Arbeit (Akh) 10 30 8 0 2 400 1 3448 Kapital (€) 500 2 500 800 0 195 000 105 4009 Weizen max. 33% 0,67 -0,33 -0,33 -0,33 0 010 Kartoffeln max. 25% -0,25 0,75 -0,25 -0,25 0 011 Raps max. 33% -0,33 -0,33 0,67 -0,33 0 012 Raps min. 10% 0,10 0,10 -0,90 0,10 0 -231314 GDB (€) 174 250a) Alle Nebenbedingungen sind als Maximalrestriktionen definiert, d.h. die im Zellbereich G6:G12 be-rechneten Werte müssen kleiner oder gleich den im Zellbereich F6:F12 definierten Werten sein.Im gerade betrachteten Beispiel haben wir bei der Spezifizierung der einzelnen Produktionsverfahren hin-sichtlich der Erträge, variablen Kosten, Arbeitszeitansprüche etc. einen mittleren Anbauumfang innerhalbdes minimal und maximal zulässigen Anbauumfangs unterstellt. Durch zusätzliche Fruchtfolgerestriktionenhaben wir verhindert, dass der prozentuale Anteil der jeweiligen Fruchtart im Produktionsprogramm zuhoch oder zu niedrig wird. Demzufolge konnte man zumindest näherungsweise unterstellen, dass der De-ckungsbeitrag pro ha und die Ansprüche des jeweiligen Verfahrens an die restlichen Kapazitäten konstantsind. In Erweiterung dazu könnte man auch höhere prozentuale Anteile einer Fruchtart zulassen. Hierzumüssten alternative „Fruchtfolgeverfahren“ für ein und dasselbe Produkt definiert werden. So könnteman bspw. drei Fruchtfolgeverfahren für Weizen differenzieren: Weizen bei einem Anteil von 0% bis 33%,Weizen bei einem Anteil von 33% bis 66% und Weizen bei einem Anteil von 66% und mehr. Diese drei Ver-fahren unterscheiden sich technisch. Sie haben unterschiedliche Leistungen, unterschiedliche variable Kos-ten, unterschiedliche Fruchtfolgekoeffizienten und ggf. unterschiedliche Ansprüche an die festen Kapazitä-ten. Da Produktionsverfahren bei einem höheren Anteil im Produktionsprogramm aber häufig nicht wett-bewerbsfähig sind, umgeht man oft die zusätzliche Mühe der Modellierung und sortiert sie a priori aus. Anbau- oder LieferverpflichtungenAnbau- oder Lieferverpflichtungen können ähnlich wie Fruchtfolgerestriktionen berücksichtigt werden.Auch hier kann es sich um Obergrenzen (Lieferrechte, wie z.B. für Zuckerrüben) oder um Untergrenzenhandeln. Sind bspw. aufgrund einer vertraglichen Vereinbarung mindestens 10 ha Fläche mit Raps zubewirtschaften, ist das Optimierungsproblem (5-31) um folgende Restriktion zu ergänzen:0 ∙ ݑௐ௘ + 0 ∙ ݑ௄௔ + 1 ∙ ݑோ௔ ≥ 10⇔ −0 ∙ ݑௐ௘ − 0 ∙ ݑ௄௔ − 1 ∙ ݑோ௔ ≤ −10 (5-40)Besteht eine vertragliche Vereinbarung, eine bestimmte Menge zu liefern, liegt es nahe, auch bei der For-mulierung der entsprechenden Restriktion auf den Ertrag abzustellen. Bei einer vereinbarten Liefermengevon mindestens 400 dt Raps und einem Rapsertrag von 40 dt/ha kann die Lieferrestriktion wie folgtformuliert werden: 5.3 Anwendungen und Erweiterungen 219 0 ∙ ݑௐ௘ + 0 ∙ ݑ௄௔ + 40 ∙ ݑோ௔ ≥ 400⇔ −0 ∙ ݑௐ௘ − 0 ∙ ݑ௄௔ − 40 ∙ ݑோ௔ ≤ −400 (5-41) Differenzierte ArbeitszeitrestriktionenAgrotechnische Termine für Aussaat, Pflege und Ernte sind fruchtartspezifisch. In einem Ackerbaubetriebentstehen bspw. während der Getreide- oder Hackfruchternte oftmals kritische Arbeitsspitzen. Bei einerausschließlichen Berücksichtigung der insgesamt pro Jahr vorhandenen Arbeitsausstattung kann es pas-sieren, dass ein hoher Getreideanteil (Hackfruchtanteil) realisierbar erscheint, obwohl in den Monaten Juliund August (September und Oktober) mehr Arbeitsstunden anfallen als tatsächlich verfügbar sind. DiesenSachverhalt kann man abbilden, indem man kritische Arbeitsperioden definiert und die einzelnen Ar-beitsgänge mit ihrem Zeitanspruch diesen Perioden zuordnet.Der Einfachheit halber sei unterstellt, dass der Landwirt nur die Arbeitszeit als kritisch einschätzt, die wäh-rend der Erntezeit für die Kartoffeln im September und Oktober verfügbar ist. In der kritischen Arbeitsperi-ode „September und Oktober“ stehen 600 Akh zur Verfügung. Die Kartoffeln haben in diesem Zeitraum einenArbeitsanspruch von 24 Akh/ha. Gleichzeitig entsteht ein Arbeitsbedarf für die Bestellung sowie Dünge- undPflanzenschutzmaßnahmen von 4 Akh/ha imWeizen und von 1 Akh/ha im Raps. Um diesen Sachverhalt ab-zubilden, ist die folgende Restriktion für die Arbeitsperiode „September und Oktober“ zu formulieren:4 ∙ ݑௐ௘ + 24 ∙ ݑ௄௔ + 1 ∙ ݑோ௔ ≤ 600 (5-42) Möglichkeiten der KapazitätsänderungIn manchen Planungssituationen möchte man auch eine mögliche Veränderung der bisher fest vorgegebe-nen Kapazitätsausstattung in das Optimierungsproblem integrieren. Zum Beispiel könnte die Möglichkeitbestehen, Arbeitskapazität durch Saisonarbeitskräfte zu erweitern oder verfügbare Ackerfläche durchZupachtung, Verpachtung, Zukauf oder Verkauf zu verändern. Beim Einsatz von Saisonarbeitskräften undbei der temporären Zupachtung von Ackerfläche sind die damit verbundenen Kosten auf eine Produktions-periode bezogen. Diese Möglichkeiten der Kapazitätserweiterungen können deshalb direkt als zusätzliche Aktivität bei der Optimierung berücksichtigt werden. Beim Zukauf von dauerhaften Produktions-mitteln müssen die Investitionskosten erst auf eine Produktionsperiode bezogen werden. Wie man dabeivorgehen muss, wird in Punkt 6.3.3d) erläutert.Schauen wir uns den Fall an, dass Ackerfläche für 500 €/ha und Jahr sowohl zu verpachten als auch zupachten ist. Eine Möglichkeit, die Frage nach der optimalen Zu- und Verpachtung zu beantworten, habenwir mit dem Sensitivitätsbericht und der parametrischen Programmierung bereits kennen gelernt (vgl.Punkt 5.3.2b). Im Folgenden wird ein alternativer Ansatz beschrieben, in dem die Verpachtungs- und dieZupachtungsmöglichkeit nicht über eine exogene Variation der Kapazität, sondern als eigenständige Akti-vitäten im Modell abgebildet werden (vgl. Tab. 5-17, Spalte E und F). Die Aktivität „Verpachtung“ weisteinen positiven Zielfunktionsbeitrag von 500 €/ha auf und beansprucht pro realisierter Einheit 1 haAckerfläche. Die Aktivität „Zupachtung“ verursacht dagegen einen negativen Zielfunktionsbeitrag undliefert 1 ha Fläche pro realisierte Einheit, auf dem dann über die Produktion von Weizen, Kartoffeln undRaps ein entsprechender Deckungsbeitrag erzielt werden kann. Wir unterstellen, dass beide Aktivitätenerst am Ende der Produktionsperiode Zahlungen verursachen, so dass sich keine Auswirkungen auf dieKapitalrestriktion ergeben.Wir wissen, dass im Basismodell der Betriebswert für Fläche nur 50 €/ha beträgt (vgl. Tab. 5-15). Deshalbist schon vor der Optimierung des erweiterten Modells klar, dass eine Flächenzupacht für 500 €/ha nicht inFrage kommt. Tatsächlich finden wir im Ergebnis der Optimierung, dass 22 ha Ackerfläche verpachtet wer-den, da die außerbetriebliche Verwertung mehr bringt als die innerbetriebliche Nutzung. Die restlichen78 ha werden für die Kartoffelproduktion genutzt. Anstelle des Gesamtdeckungsbeitrags von 315 500 € im 220 5 Produktionsprogrammplanung Basismodell wird durch die Verpachtungsmöglichkeit ein um 7 500 € höherer Gesamtdeckungsbeitrag er-zielt. Tab. 5-17: GDB-Modell zur Berücksichtigung einer veränderlichen Faktorausstattung a)A B C D E F G H1 Aktivität Weizen Kartoffeln Raps Landver-pachtung Landzu-pachtung2 DB (€/ha) 1 000 4 000 1 250 500 -5003 Umfang (ha) 0 78 0 22 045 LHS RHS KN6 Fläche (ha) 1 1 1 1 -1 100 1007 Arbeit (Akh) 10 30 8 0 0 2 400 2 3408 Kapital (€) 500 2 500 800 0 0 195 000 195 000910 GDB (€) 323 000a) Alle Nebenbedingungen sind als Maximalrestriktionen definiert, d.h. die im Zellbereich H6:H8 berech-neten Werte müssen kleiner oder gleich den im Zellbereich G6:G8 definierten Werten sein. Differenzierte FlächenrestriktionenVerschiedene Standorte unterscheiden sich hinsichtlich ihrer Eigenschaften (Bodengüte, Klima, Hang-neigung etc.). Oftmals wird in diesem Zusammenhang zwischen Ackerland und Grünland unterschieden.Aber auch innerhalb dieser beiden Kategorien kann es relevante Qualitätsunterschiede geben, die bei derPlanung des Anbauprogramms zu berücksichtigen sind und bspw. eine ackerschlagbezogene Programm-planung erfordern könnten. Im Folgenden wird dargelegt, wie im Modell zwischen beregnungsfähigen und nicht-beregnungsfähigen Flächen differenziert werden kann (vgl. Tab. 5-18). Im Vergleich zumBasismodell bestehen folgende Unterschiede: • Weizen und Kartoffeln kommen für den Anbau unter Beregnung in Betracht. In den Spalten E und Fwerden deshalb zwei zusätzliche Produktionsverfahren definiert: „Weizen bewässert“ und „Kartoffelnbewässert“. Diese Verfahren liefern im Vergleich zu den Verfahren ohne Beregnung einen höherenDeckungsbeitrag. Gleichzeitig sind diese Verfahren aber auch mit höheren Ansprüchen an Arbeit undKapital verbunden. • In Zeile 9 wird berücksichtigt, dass man zur Realisation von Weizen und Kartoffeln mit Beregnung1 ha beregnungsfähige Fläche benötigt, die im Betrieb annahmegemäß nur in einem Umfang voninsgesamt 30 ha verfügbar ist. • Obwohl in Zeile 9 schon ein Teil der Gesamtfläche als „beregnungsfähige Fläche“ berücksichtigt wird,ist in Zeile 6 die gesamte Flächenausstattung von 100 ha als Kapazitätsobergrenze definiert. Damitwird sichergestellt, dass Flächen mit Beregnungsmöglichkeit auch ohne Beregnung bewirtschaftetwerden könnten, also bspw. im Extremfall die Weizenproduktion ohne Beregnung einen Umfang von100 ha annehmen kann. Dies wäre nicht möglich, wenn man in Zeile 6 als Kapazitätsobergrenze nur70 ha eintragen würde.Im Ergebnis der Optimierung zeigt sich, dass die beregnungsfähige Fläche von 30 ha vollständig für Kar-toffeln genutzt werden sollte. Auf der nicht-beregnungsfähigen Ackerfläche werden 20,2 ha Weizen,36,8 ha Kartoffeln und 13 ha Raps umgesetzt. Damit wird insgesamt ein Gesamtdeckungsbeitrag von363 650 € erzielt. 5.3 Anwendungen und Erweiterungen 221 Tab. 5-18: GDB-Modell zur Berücksichtigung unterschiedlicher Flächenqualitäten a)A B C D E F G H1 Aktivität Weizen Kartoffeln Raps Weizenbewässert Kartoffelnbewässert2 DB (€/ha) 1 000 4 000 1 250 1 400 6 0003 Umfang (ha) 20,2 36,8 13 0 3045 LHS RHS KN6 Fläche (ha) 1 1 1 1 1 100 1007 Arbeit (Akh) 10 30 8 11,5 33 2 400 2 4008 Kapital (€) 500 2 500 800 750 2 750 195 000 195 0009 BeregnungsfähigeFläche (ha) 0 0 0 1 1 30 301011 GDB (€) 363 650a) Alle Nebenbedingungen sind als Maximalrestriktionen definiert, d.h. die im Zellbereich H6:H9 berech-neten Werte müssen kleiner oder gleich den im Zellbereich G6:G9 definierten Werten sein. Innerbetrieblich verwertbare ProdukteGrundsätzlich kann man zwischen (1) ausschließlich marktfähigen Produkten, (2) ausschließlich inner-betrieblich verwertbaren Produkten und (3) fakultativ marktfähigen Produkten unterscheiden. In unseremBasisbeispiel ging es bisher um Weizen, Kartoffeln und Raps; drei Produkte, die annahmegemäß aus-schließlich durch den Verkauf am Markt verwertet werden konnten. Ein anschauliches Beispiel für aus-schließlich innerbetrieblich verwertbare Produkte ist das Grünfutter für die Milchviehhaltung. In mehre-ren Richtungen innerbetrieblich verwertbar sind oftmals pflanzliche Nebenprodukte (z.B. Stroh oderZuckerrübenblatt). Hier kann man sich die Frage stellen, ob man die Nebenprodukte bergen und in derTierhaltung einsetzen soll oder ob es vorteilhafter ist, die Düngewirkung zu nutzen und Futtermittelzuzukaufen. Ein Beispiel für ein fakultativ marktfähiges Produkt ergibt sich, wenn man unterstellt, dassWeizen entweder verkauft oder innerbetrieblich über einen Betriebszweig „Schweinemast“ verwertet- man spricht in diesem Fall auch von „veredelt“ - werden kann.Um uns an unser bisheriges Basismodell anlehnen zu können, betrachten wir eine Situation, in der nebender Ackerfläche zusätzlich 200 Plätze für die Schweinemast zur Verfügung stehen. Der Betriebsleiter habevorweg die Entscheidung getroffen, die Schweine - falls sich die Schweinemast überhaupt lohnt - mitselbst erzeugtem Weizen zu füttern, sonst aber keinen Weizen zu produzieren. Der Weizen wird dadurchzu einem ausschließlich innerbetrieblichen Produkt. In Tab. 5-19 sind die Veränderungen gegenüber demBasismodell leicht zu erkennen: • In Spalte B ist das Produktionsverfahren „Schweinemast“ spezifiziert. Es hat einen Zielfunktions-beitrag („futterweizenkostenfreier Deckungsbeitrag“) von 225 € pro Mastplatz und Jahr. Dafür sindpro Mastplatz und Jahr 1 Akh, 100 € Kapital und 2,5 dt Futterweizen erforderlich. • In Spalte C ist das neue Verfahren „Produktion von Weizen“ definiert, das wegen fehlender Erlöseeinen Zielfunktionsbeitrag („Deckungsbeitrag in Höhe der variablen Kosten“) von -500 €/ha hat.Dafür liefert das Verfahren aber innerbetrieblich 60 dt Futterweizen. • In Zeile 9 ist die Stallplatzrestriktion definiert. Zur Realisation einer Einheit des Produktionsverfah-rens „Schweinemast“ benötigt man einen der insgesamt 200 Mastplätze. 222 5 Produktionsprogrammplanung • In Zeile 10 werden der Futterweizenbedarf und die Futterweizenlieferung bilanziert. Die Schweine-mast braucht pro Stallplatz und Jahr (neben etwa 5 dt zugekauften Futtermitteln, für die die Kostenbereits im Deckungsbeitrag enthalten sind) 2,5 dt Weizen. Das Verfahren „Produktion von Weizen“liefert 60 dt/ha. Die Futterbilanz muss mindestens ausgeglichen sein, d.h. man muss mindestens soviel Futter bereitstellen wie benötigt wird. Tab. 5-19: GDB-Modell zur Berücksichtigung innerbetrieblich verwertbarer Produkte a)A B C D E F G1 Aktivität Schweine-mast ProduktionvonWeizen Kartoffeln Raps2 DB (€/ha, €/Platz) 225 -500 4 000 1 2503 Umfang (ha, Plätze) 200 8,33 68,33 045 LHS RHS KN6 Fläche (ha) 0 1 1 1 100 76,677 Arbeit (Akh) 1 10 30 8 2 400 2 3338 Kapital (€) 100 500 2 500 800 195 000 195 0009 Stallplätze 1 0 0 0 200 20010 Futtermenge (dt) 2,5 -60 0 0 0 01112 GDB (€) 314 167a) Alle Nebenbedingungen sind als Maximalrestriktionen definiert, d.h. die im Zellbereich G6:G10 be-rechneten Werte müssen kleiner oder gleich den im Zellbereich F6:F10 definierten Werten sein.Im Ergebnis der Optimierung wird die gesamte verfügbare Stallplatzkapazität ausgelastet. Dadurch ergibtsich ein Futterweizenbedarf von 500 dt, der über den Anbau von 8,33 ha Weizen bereitgestellt wird. Auf68,33 ha werden Kartoffeln angebaut. Raps ist nicht in der Optimallösung enthalten. Kapital, Stallplätzeund Futter sind knapp, während die Flächen- und Arbeitskapazität nicht voll genutzt werden. Durch dieMöglichkeit der Verwertung des Weizens in der Schweinemast und die gleichzeitige Einschränkung, denWeizen nur als Futter in Betracht ziehen zu können, ergibt sich gegenüber dem Basismodell ein etwas ge-ringerer Gesamtdeckungsbeitrag von 314 167 €.Wir haben in Zeile 10 der Tab. 5-19 gesehen, wie man Liefer- und Verbrauchsaktivitäten mit Hilfe einer Bilanzzeile für Futter verknüpft. Dies könnte man noch verfeinern, indem man mehrere im Modell mit-einander konkurrierende Lieferaktivitäten einführt, die verschiedene Futtermittel mit unterschiedlichenFutterinhaltsstoffen und Kapazitätsansprüchen bereitstellen. Ein Beispiel ist die Grundfutterbereitstellungin der Milchviehhaltung über Wiese oder Weide. Man könnte auch dem jahreszeitlich unterschiedlichenFutterangebot (z.B. Grünfutter während der Vegetationsperiode und Silage im Winter) Rechnung tragen,indem man - analog zum saisonalen Arbeitsbedarf - jahreszeitbezogene Bilanzen für Futterlieferung und-verbrauch aufstellt. Fakultativ marktfähige ProdukteNun gehen wir einen Schritt weiter und unterstellen, dass nicht nur eine innerbetriebliche Weizenver-wertung über die Schweinemast möglich ist, sondern auch Weizenverkauf und -zukauf in Betrachtkommen. Bei dem in Tab. 5-20 dargestellten Modell wird zunächst offen gelassen, ob die vorhandenenStallkapazitäten von 200 Mastplätzen ausgelastet, der betriebsintern erzeugte Weizen als Futter in derSchweinemast eingesetzt und Futtermittel am Markt dazugekauft werden. 5.3 Anwendungen und Erweiterungen 223 Tab. 5-20: GDB-Modell zur Berücksichtigung fakultativ marktfähiger Produkte a)A B C D E F G H I1 Aktivität Schwein emast Produk tion vonWe izen Verkauf von Weizen Zukauf von Weizen Kartoffe ln Rap s2 DB (€/ha, €/Platz,€/dt) 225 -500 25 -30 4 000 1 2503 Umfang (ha, Plätze,dt) 200 13,14 288,37 0 62,44 24,4245 LHS RHS KN6 Fläche (ha) 0 1 0 0 1 1 100 1007 Arbeit (Akh) 1 10 0 0 30 8 2 400 2 4008 Kapital (€) 100 500 -25 30 2 500 800 195 000 195 0009 Stallplätze 1 0 0 0 0 0 200 20010 Futtermenge (dt) 2,5 -60 1 -1 0 0 0 01112 GDB (€) 325 930a) Alle Nebenbedingungen sind als Maximalrestriktionen definiert, d.h. die im Zellbereich I6:I10 berech-neten Werte müssen kleiner oder gleich den im Zellbereich H6:H10 definierten Werten sein.Bei der Formulierung der nun zusätzlich erforderlichen Aktivitäten „Verkauf von Weizen“ und „Zukaufvon Weizen“ sind folgende Informationen zu berücksichtigen: • Der Weizenverkaufspreis beträgt 25 €/dt und liefert Kapital in gleicher Höhe (Spalte D). • Der Weizenzukaufspreis beträgt 30 €/dt und ist mit einem Kapitalbedarf in gleicher Höhe verbunden(Spalte E). Vordergründig mag die Schlussfolgerung nahe liegen, dass die Zukaufsmöglichkeit fürWeizen zu einem Preis von 30 €/dt niemals in der Optimallösung enthalten sein kann. Allerdings istzu beachten, dass die Schweinemast auf der Basis von 30 €/dt zugekauftem Weizen rentabel seinkönnte, aber die Verwertung der Fläche im Betrieb über Kartoffeln und Raps attraktiver ist als überWeizen, der über die Schweinemast „nur etwas über“ 30 €/dt bringt. • Die Aktivität „Produktion von Weizen“ liefert einen Ertrag von 60 dt/ha. Die Aktivität „Schweinemast“ verbraucht neben zugekauften Futtermitteln pro Stallplatz 2,5 dt Weizen. Die Aktivität „Weizen-verkauf“ verbraucht ebenfalls Weizen. Der Bedarf an Weizen zu Futterzwecken kann neben der inner-betrieblichen Produktion durch die Aktivität „Weizenzukauf“ gedeckt werden. Insgesamt muss dieBilanz aber ausgeglichen sein (Zeile 10).Weiterhin gehen wir aus didaktischen Gründen implizit davon aus, dass alle Zahlungen und Kapazitäts-anforderungen zu einem Zeitpunkt erfolgen.Im Ergebnis der Optimierung zeigt sich, dass die verfügbare Stallplatzkapazität ausgelastet wird. Durchdie Nutzung der 200 Mastplätze ergibt sich ein Futterweizenbedarf von 500 dt, der innerbetrieblich be-reitgestellt wird. Die auf 13,14 ha realisierte Weizenproduktion liefert sogar einen Ertrag von 788,37 dt,so dass 288,37 dt Weizen verkauft werden können. Auf 62,44 ha werden Kartoffeln und auf 24,42 ha Rapsangebaut. Anstelle des Gesamtdeckungsbeitrags von 315 500 € im Basismodell ohne innerbetrieblicheVerwertungsmöglichkeit für Weizen wird ein um etwa 10 500 € höherer Gesamtdeckungsbeitrag von325 930 € erzielt. 224 5 Produktionsprogrammplanung Zusammenhänge zwischen mehreren PeriodenIn der Realität bestehen oftmals Interdependenzen zwischen Entscheidungen, die zu verschiedenen Zeit-punkten getroffen werden müssen. So ist bspw. der Anbau von Energieholz im Kurzumtrieb, von Spargel,von Obst oder von Vermehrungsgras mit einer Produktionsdauer von mehreren Jahren verbunden. Auchdie Nutzung einer Milchkuh erstreckt sich über mehrere Jahre. Die Entscheidung des betrachteten Jahres,mehrperiodige Kulturen anzubauen, reduziert direkt die Fläche, die für alternative Produktionsverfahrenin den Folgejahren zur Verfügung steht. In aller Regel entstehen bei mehrperiodigen Kulturen in denersten Jahren zwar variable Kosten, aber keine oder nur geringe Leistungen. Es kommt damit zunächst zunegativen Deckungsbeiträgen. Bei einer einperiodischen Betrachtung können solche Verfahren gar nichtin die Optimallösung kommen. Damit kann die partielle Betrachtung einer Planungsperiode zu suboptima-len Ergebnissen führen. Man kann im Rahmen der linearen Programmierung aber eine simultane Planungund Optimierung über mehrere Perioden gewährleisten. Hierzu ist es erforderlich, zur mehrperiodischen linearen Programmierung überzugehen.In Tab. 5-21 ist ein zweiperiodisches LP-Modell dargestellt. Dabei bildet aus Gründen der Übersichtlich-keit nicht das 3x3-, sondern das eingangs besprochene 2x2-Problem den Ausgangspunkt (vgl. Tab. 5-1).Weizen und/oder Kartoffeln können im Jahr 1 (Spalte B und C) und im Jahr 2 (Spalte E und F) produziertwerden. Als Kapazitäten stehen in beiden Jahren 100 ha Fläche und 2 400 Akh zur Verfügung. Zusätzlichwird unterstellt, dass zweijähriges Vermehrungsgras angebaut werden kann. Im Jahr 1 (Spalte D) sind zurUmsetzung dieses Verfahrens 1 ha Fläche und 5 Akh (Bestellung, Pflanzenschutz und Düngung) erforder-lich. Außerdem liefert das Vermehrungsgras zunächst einen Deckungsbeitrag von -400 €/ha. Im Jahr 2(Spalte G) sind weiterhin 1 ha Fläche und 5 Akh (Pflanzenschutz, Düngung und Drusch) aufzuwenden. Derim Jahr 2 zu erzielende Deckungsbeitrag beläuft sich auf 2 000 €/ha. Tab. 5-21: GDB-Modell zur Berücksichtigung mehrerer Perioden a)A B C D E F G H I1 Aktivität Jahr 1 Jahr 22 Weizen Kartoffe ln Zweijäh riges Vermeh rungsgr as Weizen Kartoffe ln Zweijäh riges Vermeh rungsgr as 3 DB (€/ha) 1 000 4 000 -400 1 000 4 000 2 0004 Umfang (ha) 0 76 24 0 76 2456 LHS RHS KN7 Fläche Jahr 1 (ha) 1 1 1 0 0 0 100 1008 Arbeit Jahr 1 (Akh) 10 30 5 0 0 0 2 400 2 4009 Fläche Jahr 2 (ha) 0 0 0 1 1 1 100 10010 Arbeit Jahr 2 (Akh) 0 0 0 10 30 5 2 400 2 40011 Vermehrungsgras 0 0 -1 0 0 1 0 01213 GDB-Summe (€) 646 400a) Alle Nebenbedingungen sind als Maximalrestriktionen definiert, d.h. die im Zellbereich I7:I11 berech-neten Werte müssen kleiner oder gleich den im Zellbereich H7:H11 definierten Werten sein. 5.3 Anwendungen und Erweiterungen 225 In Zeile 11 wird modelliert, dass Vermehrungsgras eine zweijährige Kultur ist: Es kann nur dann im Jahr 2ein Deckungsbeitrag von 2 000 € erzielt werden, wenn die Produktion im Jahr 1 aufgenommen wurde.Letztlich könnte man Zeile 11 auch als mehrperiodische Bilanzzeile bezeichnen. Der als „GDB-Summe“bezeichnete Zielfunktionswert in Zeile 13 ist die Summe der Gesamtdeckungsbeiträge der beiden betrach-teten Jahre. Von Verzinsungsmöglichkeiten und -ansprüchen für Kapital wird der Einfachheit halber abs-trahiert.Bei partieller Betrachtung der Jahre 1 und 2 hätten jeweils auf 80 ha Kartoffeln produziert werden sollen(Tab. 5-5). Weizen und Vermehrungsgras wären aufgrund zu geringer oder sogar negativer Deckungs-beiträge gar nicht im Produktionsprogramm enthalten. Bei simultaner Betrachtung der Jahre 1 und 2 soll-ten im Jahr 1 Kartoffeln im Umfang von nur 76 ha und Vermehrungsgras im Umfang von 24 ha produziertwerden. Damit wird zwar zunächst ein um 25 600 € geringerer Gesamtdeckungsbeitrag erzielt als beipartieller Betrachtung. Allerdings ist der Gesamtdeckungsbeitrag im Jahr 2 im Vergleich zur partiellenBetrachtung um 32 T€ höher. Insgesamt wird bei simultaner Planung eine GDB-Summe erzielt, die um6 400 € höher ist als bei einer partiellen Planung der beiden Jahre. Unternehmerische MehrfachzieleWenn man nicht nur das Ziel „Gewinnmaximierung“ verfolgt, sondern auch Freizeit, Sicherheit oder nicht-materielle Ziele anstrebt (vgl. Abschnitt 2.2), erhöht sich die Komplexität eines Optimierungsmodells be-trächtlich. Es reicht nicht mehr aus, zu bestimmen, welche Handlung in Euro ausgedrückt am meistenbringt. Vielmehr hat man das Problem, dass man eine bestimmte Menge Äpfel mit Birnen (und womöglichgar noch mit Pflaumen) vergleichen muss. Im einfachsten Fall ignoriert man dies als Planer mit derBegründung, es gehe letztlich doch nur um ein wirklich wichtiges Ziel. Häufig ist dies dann die Gewinn-maximierung. Wenn man die mehrdimensionale Zielfunktion realer Entscheidungsträger aber nichteinfach „wegdefinieren“ und andere Ziele vernachlässigen will (Zielunterdrückung), stehen die imFolgenden angesprochenen Ansätze zur Verfügung.Beim Ausweis mehrkriterieller Ergebniskombinationen handelt es sich um ein zweistufiges Ver-fahren der Entscheidungsunterstützung, bei dem alle Zielgrößen betrachtet und sog. effiziente bzw.nicht-dominierte Ergebniskombinationen ausgewiesen werden (vgl. auch Abb. 2-4). Eine derartigemehrkriterielle Optimierung bezeichnet man auch als Pareto-Optimierung. Beispielsweise würdeman bei Verfolgung der zwei konfligierenden Ziele „Gewinnmaximierung“ und „Freizeitmaximierung“in der ersten Stufe das Niveau eines Ziels systematisch variieren und in Form eines Mindest- oderMaximalniveaus als Nebenbedingung vorgeben. Hinsichtlich des anderen Ziels würde man jeweils op-timieren. Im Ergebnis hat man sog. effiziente Lösungen ermittelt, also die bestmöglichen Ergebnis-kombinationen. Eine Wahl zwischen diesen Ergebniskombinationen ist ohne Kenntnis der Präferenzdes Entscheiders nicht möglich und wird nicht modellendogen vorgenommen. Vielmehr legt man demEntscheider in der zweiten Stufe der Entscheidungsunterstützung die effizienten Lösungen vor. Erwählt dann modellexogen eine der effizienten Lösungen aus, die am besten zu seinen persönlichenPräferenzen passt.Der Vorteil des Ausweises effizienter Ergebniskombinationen besteht darin, dass die Nutzenfunktion desEntscheiders nicht bekannt sein muss. Schwierigkeiten ergeben sich dann, wenn für ein Problem einegroße Zahl effizienter Lösungen ermittelt werden kann. Zum einen ist es rechenaufwändig, alle effizientenLösungen zu bestimmen. Zum anderen fällt es dem Entscheider möglicherweise schwer, aus sehr vielenAlternativen auszuwählen. Die im Folgenden angesprochenen Vorgehensweisen liefern modellendogen eine Optimallösung.Beim lexikografischen Ansatz geht man davon aus, dass der Entscheider eine strikte Ordnung hinsicht-lich der einzelnen für ihn relevanten Ziele hat. Das heißt, dass er die verschiedenen Alternativen zunächstnur nach dem wichtigsten Ziel bewertet. Erst wenn mehrere Alternativen beim wichtigsten Ziel gleichwer- 226 5 Produktionsprogrammplanung tig sind, wird das zweite Ziel zur Beurteilung genutzt etc. Diese Art der Präferenzordnung wird als „lexi-kografisch“ bezeichnet, weil sie der Logik folgt, mit der auch Wörter in einem Lexikon angeordnet werden.Bei der Optimierung geht man mehrstufig vor: Zunächst optimiert man hinsichtlich des wichtigsten Ziels.Gelangt man hier nicht zu einer eindeutigen Lösung, d.h. sind mehrere Handlungsalternativen bzgl. desZielerreichungsgrades für das wichtigste Ziel gleichwertig, optimiert man in der zweiten Stufe hinsichtlichdes zweitwichtigsten Ziels und berücksichtigt dabei, dass das für das wichtigste Ziel in der ersten Stufebestimmte bestmögliche Niveau nicht unterschritten werden darf etc. Da nur selten mehrere Handlungs-alternativen bzgl. eines Ziels genau gleichwertig sind, entspricht der lexikografische Ansatz vielfach derZielunterdrückung.Bei der Beschränkungsmethode werden zwei Klassen von Zielen unterschieden. Ein Ziel ist die zu opti-mierende Größe. Für alle anderen Ziele werden Mindest- oder Maximalniveaus vorgegeben, die als starreRestriktionen bei der Optimierung zu berücksichtigen sind. Substitutionsmöglichkeiten zwischen den ein-zelnen Zielen bestehen damit nicht. Eine Anwendung der Beschränkungsmethode haben wir indirektschon kennen gelernt: Wenn man unterstellt, dass die zur Verfügung stehende Arbeitskapazität die eigeneArbeitskraft darstellt, bedeutet die Maximierung des Gesamtdeckungsbeitrags unter Berücksichtigung ei-ner Arbeitszeitrestriktion, dass ein Mindestmaß an Freizeit gefordert wird.Beim Strafkostenansatz optimiert man ein Oberziel. Bei den Unterzielen definiert man Wunschniveaus,bei denen es sich aber nicht mehr um starre Mindest- oder Maximalniveaus handelt. Vielmehr ist ein Un-terschreiten des gewünschten Zielerreichungsgrades möglich. Es wird aber mit sog. Strafkosten verbun-den. Ein Beispiel ist der Wunsch, ein Mindestmaß an Freizeit zu genießen und die eigene Arbeitszeit auf2 400 Akh pro Jahr zu begrenzen. Gleichzeitig möchte man möglicherweise einen höheren Arbeitseinsatzund damit weniger Freizeit nicht kategorisch ausschließen, wenn er entsprechend lukrativ ist. Wie lukra-tiv er sein muss, definiert man über die Höhe der Strafkosten. 100 € Strafkosten pro Arbeitsstunde bedeu-ten, dass man ab dem Niveau von 2 400 Akh nur dann eine Stunde Mehrarbeit leistet, wenn der Gesamt-deckungsbeitrag dadurch um mindestens 100 € gesteigert werden kann. Unterhalb des Niveaus von2 400 Akh setzt man dagegen Arbeitszeit ein, solange überhaupt eine Steigerung des Gesamtdeckungsbei-trags erzielt wird. Anders gesagt: Zusätzliche Freizeit hat keinen Wert, wenn das definierte Wunschniveauüberschritten ist. Technisch gesehen kann man Strafkosten als kapazitätserweiternde Zukaufsaktivitätenin ein Optimierungsmodell integrieren. Gedanklich kauft man zusätzliche Arbeitsstunden bei sich selber,und zwar zu Opportunitätskosten in Höhe der Strafkosten.Bei der Zielgewichtung werden alle Ziele in der Zielfunktion des Optimierungsmodells berücksichtigt.Dazu müssen die Tradeoffs zwischen den verschiedenen Zielen bekannt sein. Mit anderen Worten: Um das„Äpfel-Birnen-Pflaumen-Problem“ in den Griff zu bekommen, müssen die zu berücksichtigenden Ziele mitderselben Maßeinheit (in einer „Währung“) gemessen werden. Wenn es bspw. darum geht, die konfligie-renden Ziele „Maximierung des Gesamtdeckungsbeitrags“ und „Minimierung der Arbeitsbelastung“ zuberücksichtigen, müsste man den monetären Wert einer Stunde Freizeit und damit den monetären Nach-teil einer selbst geleisteten Arbeitsstunde kennen. Im Gegensatz zum Strafkostenansatz verliert bei derMethode der (linearen) Zielgewichtung ein Ziel (z.B. zusätzliche Freizeit) nicht seinen Wert, wenn einbestimmtes Niveau überschritten wird.Beim Goal-Programming definiert der Entscheider zunächst für alle Ziele sein Wunschniveau. Wenn esum die Ziele „Maximierung des Gesamtdeckungsbeitrags“ und „Minimierung der Arbeitsbelastung“ geht,könnte der Unternehmer z.B. einen Gesamtdeckungsbeitrag von 300 T€ und 20 Stunden Freizeit pro Ar-beitstag fordern. In der Regel ist es nutzenmaximierenden Entscheidern in einer Welt mit knappen Res-sourcen nicht möglich, alle gewünschten Zielniveaus zu erreichen. Deshalb wird das Produktionspro-gramm bestimmt, das die Summe der (gewichteten) Abweichungen der jeweiligen Zielerreichung vomZielwunschniveau minimiert. Die Gewichtungen sind in Abhängigkeit von der Präferenz des Entscheidersfestzulegen. 5.4 Zur Anwendungsrelevanz der linearen Programmierung 227 Alternative ProduktionstechnologienIn unserem Basismodell haben wir für jedes Produkt nur ein Produktionsverfahren spezifiziert und bei derOptimierung zur Auswahl gestellt. Oftmals kann man Produktionsverfahren aber auf verschiedene Weisetechnisch ausgestalten und a priori ist nicht klar, welche Form bevorzugt werden sollte. In Transformations-und Entwicklungsländern stellt sich möglicherweise die Frage, ob man in der Kartoffelproduktion dasUnkraut manuell bekämpfen oder Herbizide einsetzen soll. Im erstgenannten Fall wird vergleichsweise vielArbeit benötigt. Im zweiten Fall benötigt man relativ viel Kapital. Wenn man alternative technische Verfah-rensvarianten modellexogen ausschließt, läuft man Gefahr, dass das Optimierungsmodell die tatsächlicheOptimallösung wegen einer zu starken Einschränkung des Lösungsmöglichkeitenraums nicht findet. Daskönnte bspw. der Fall sein, wenn man nur die kapitalintensive und nicht auch die arbeitsintensive Kartoffel-produktion als Aktivität zulässt. Um Fehler durch ein modellexogenes Aussortieren möglicher Verfahrens-varianten zu vermeiden, kann manmehrere Verfahrensvarianten mit ihren jeweiligen Leistungen und Kapazitätsansprüchen in ein LP-Modell aufnehmen und direkt miteinander um die knappen Faktorenkonkurrieren lassen. Eine ähnliche Vorgehensweise haben wir mit Blick auf die Frage, ob man Verfahrenohne oder mit Bewässerung umsetzen sollte, schon kennen gelernt (vgl. Tab. 5-18). Nicht-stetige SachverhalteIn der Praxis gibt es Produktionsaktivitäten, die nur ganzzahlig realisierbar sind. Beispielsweise sindMilchkühe nicht teilbar. Andere Entscheidungsvariablen sind auf die Werte 0 oder 1 beschränkt (sog.Binärvariablen). So kann z.B. eine Investition in einen Schlepper entweder ganz oder gar nicht realisiertwerden. Werden derartige Sachverhalte bei der Optimierung berücksichtigt, spricht man von ganzzahligeroder diskreter (linearer) Programmierung. Da in aller Regel sowohl stückelbare als auch nicht stückelbareEntscheidungsvariablen vorliegen, müssen gemischt-ganzzahlige Programmierungsprobleme (mixedinteger programming) gelöst werden. Trotz der insbesondere bei vielen Aktivitäten und Restriktionenungleich größeren mathematischen Anforderungen, die die ganzzahlige Programmierung an denLösungsalgorithmus stellt, ist es für den Nutzer möglich, rein-ganzzahlige oder gemischt-ganzzahligeProbleme mit gängiger Software zu lösen. Im MS-EXCEL-Solver kann man bspw. als Nebenbedingungspezifizieren, welche Größen nur ganzzahlige oder binäre Werte annehmen dürfen. 5.4 Zur Anwendungsrelevanz der linearen ProgrammierungDie lineare Programmierung findet bereits seit vielen Jahrzehnten in der agrarökonomischen Forschungund Lehre starke Beachtung. Allerdings hat sie bisher kaum Eingang in die praktische Planung des Pro-duktionsprogramms von Agrarunternehmen gefunden. So zeigen empirische Erhebungen, dass selbst Be-triebsberater die lineare Optimierung nur in Ausnahmefällen nutzen. In der Vergangenheit haben Agrarö-konomen sogar die Frage aufgeworfen, ob mit der Behandlung der linearen Optimierung in der Lehrewertvolle Ausbildungszeit an Universitäten vergeudet wird.Mit Blick auf die Bestimmung des Produktionsprogramms wird vielfach argumentiert, dass Landwirte aufder Grundlage ihrer Erfahrung und Intuition quasi-optimal entscheiden, ohne in der Lage sein zu müssen,Planannahmen, wie z.B. differenzierte Fruchtfolgerestriktionen, explizit zu quantifizieren. Ohne expliziteDefinition des Sets von zulässigen Lösungen ist aber eine quantitative Planung im Rahmen einer Optimie-rung nicht möglich. Gleiches gilt auf der Zielebene für die subjektive Risikoeinstellung der einzelnenLandwirte, die ebenfalls nur schwer zu quantifizieren ist. Ohne Bestimmung der individuellen Zielfunktionist keine entscheidungsträgerspezifische Optimierung des Produktionsprogramms möglich. Die unzurei-chende Abbildung des Zielsystems (die Vernachlässigung des Risikos) ist neben den hohen Datenanforde-rungen ein wichtiger Grund, warum die lineare Programmierung i.d.R. nicht für die praktische Produkti-onsprogrammplanung landwirtschaftlicher Betriebe geeignet ist (vgl. Abschnitt 7.8).

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References

Zusammenfassung

Gemäß dem Motto „Nichts ist praktischer als eine gute Theorie“ geht es im vorliegenden Lehrbuch darum, Studierenden und Praktikern beim Erwerb analytischer Fähigkeiten und einer problemlösungsorientierten Methodenkompetenz zu helfen.

Für die Unternehmen der Agrar- und Ernährungswirtschaft haben sich die wirtschaftlichen Rahmenbedingungen in den letzten Jahren stark verändert. Insbesondere der Wettbewerbsdruck und das unternehmerische Risiko sind infolge der Liberalisierung der Agrarmärkte und des Klimawandels angestiegen. Hinzu kommen ein laufender Anpassungsdruck an veränderte Verbraucherwünsche, neue gesellschaftliche Anforderungen sowie eine zunehmende Verflechtung zwischen den verschiedenen Stufen der Wertschöpfungskette. Das vorliegende Lehrbuch trägt diesen Entwicklungen durch die Fokussierung auf die praktische unternehmerische Entscheidungsunterstützung unter Risiko Rechnung.

Dieses Buch schafft zum einen das theoretisch-konzeptionelle Verständnis für die grundlegenden ökonomischen Strukturen der wichtigsten unternehmerischen Entscheidungsanlässe. Zum anderen vermittelt es das handwerkliche Können im Umgang mit betriebswirtschaftlichen Analyse- und Planungsinstrumenten, über das Manager in einer unsicheren Unternehmensumwelt verfügen müssen, um erfolgreiche Entscheidungen fällen zu können.

Aus dem Inhalt:

• Grundlagen und Ziele unternehmerischen Entscheidens

• Kontrolle und Analyse

• Produktionstheorie

• Produktionsprogrammplanung

• Investitionsplanung und Finanzierung

• Querschnittsaufgabe Risikomanagement

• Bewertung und Taxation

• Corporate Social Responsibility

Über die Autoren:

Prof. Dr. Oliver Mußhoff leitet den Arbeitsbereich für Landwirtschaftliche Betriebslehre am Department für Agrarökonomie und Rurale Entwicklung der Georg-August-Universität Göttingen.

Prof. Dr. Norbert Hirschauer ist Inhaber der Professur für Unternehmensführung im Agribusiness am Institut für Agrar- und Ernährungswissenschaften der Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg.

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Für Dozenten steht auf der Website ein auf das Buch abgestimmter Foliensatz mit den Abbildungen und Tabellen des Buches zur Verfügung. Für Studierende sind Übungsaufgaben formuliert.