4: Aufgaben zu Entscheidungen bei Risiko in:

Günter Bamberg, Franz Baur, Michael Krapp

Arbeitsbuch zur betriebswirtschaftlichen Entscheidungslehre, page 57 - 88

3. Edition 2012, ISBN print: 978-3-8006-4523-7, ISBN online: 978-3-8006-4360-8, https://doi.org/10.15358/9783800643608_57

Series: Vahlens Kurzlehrbücher

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4. Kapitel Aufgaben zu Entscheidungen bei Risiko Aufgabe 4.1 Das Jahresgehalt y des Geschäftsführers der Kraus GmbH ist folgenderma- ßen vom Jahresgewinn x der GmbH abhängig: Jahresgehalt y D 200 000C p 100 .x Ox/I dabei ist p ein noch auszuhandelnder Prozentsatz .0 5 p 5 100/ und Ox ein vorgegebener Zielgewinn. Setzen Sie Ox D 1 000 000 und nehmen Sie an, dass der Jahresgewinn X (vor Geschäftsführerentlohnung) verteilt ist gemäß Realisation x 950 000 1 000 000 1 050 000 Wahrscheinlichkeit 0,25 0,50 0,25 Welcher Prozentsatz p ist für den Geschäftsführer optimal, wenn er a) risikoneutral ist, b) die Risikonutzenfunktion u.y/ D lny, c) eine beliebige streng konkave und monoton steigende Risikonutzenfunktion u verwendet? Aufgabe 4.2 Anlageberater Clever kennt sich in der traditionellen Kapitalmarkttheorie aus. Er hat in den einschlägigen Kursen viel über . ; /-Effizienz, das CAPM, die Kapitalmarktlinie etc. gehört. Deshalb erscheint es ihm kaum vorstellbar, dass eine Rendite Y , die sowohl bezüglich „Risiko“ als auch „Ertrag“ schlechter als eine Rendite X ist, dennoch von einem risikoaversen Anleger bevorzugt werden kann. a) Vergleichen Sie die beiden Renditen X und Y mit P.X D 0;9/ D 0;1 und P.X D 0;3/ D 0;9 P.Y D 0;4/ D 0;4 und P.Y D 0;5/ D 0;6 bezüglich Erwartungswert und Varianz. 54 4. Kapitel. Aufgaben zu Entscheidungen bei Risiko b) Berechnen Sie fürX und Y den Nutzenerwartungswert unter Zugrundelegung der Risikonutzenfunktion u.x/ D ln.1C x/. Ist die Vermutung von Herrn Clever haltbar? Aufgabe 4.3 Unternehmer Braun hat ein Anfangsvermögen von v0 Geldeinheiten. Bei seinen Entscheidungen orientiert er sich am Periodenendvermögen v. Jede seiner denkbaren Aktionen a führt zu einem im Allgemeinen risikobehafteten Endvermögen Va. Das Endvermögen Va kann eindeutig auch durch die stetige Rendite Xa beschrieben werden, da der folgende Zusammenhang gilt: Va D v0 eXa : Unternehmer Braun handelt rational im Sinne des Bernoulli-Prinzips. Seine auf Endvermögenspositionen v definierte Risikonutzenfunktion ist u.v/. Wegen des eindeutigen Zusammenhangs zwischen V und X lässt sich auch eine gleichwertige Risikonutzenfunktion Qu.x/ finden, die auf Realisationen x der stetigen Rendite definiert ist. a) Berechnen Sie allgemein Qu.x/ aus u.v/ sowie den Zusammenhang zwischen den zugehörigen Arrow-Pratt-Maßen Qr und r . b) Diskutieren Sie die Spezialfälle u.v/ D v sowie u.v/ D ln v und klären Sie damit die Frage, ob sich die Risikoeinstellung bezüglich Endvermögenspositionen von der Risikoeinstellung bezüglich Werten der stetigen Rendite unterscheiden kann. Aufgabe 4.4 In einer Stadt betreibt eine Drogeriewarenkette derzeit einen Laden im Zentrum, der nicht vergrößert werden kann. Alternativ zum bisherigen Laden könnte die Drogeriewarenkette einen größeren Laden am Stadtrand einrichten. Momentan hat die Kette in der Stadt einen Marktanteil in Höhe von 14%; bei Umzug an den Stadtrand kann der prozentuale Marktanteil als Zufallsvariable X mit folgender Verteilung angesehen werden: mögliche Werte von X 5 17;5 30 zugehörige Wahrscheinlichkeiten 0;4 0;4 0;2 Für prozentuale Marktanteile x im Bereich Œ0I 50 werde vom Management der Drogeriewarenkette die folgende Bernoulli-Nutzenfunktion benutzt: u.x/ D ´ x2 100 für 0 5 x 5 10 p 0;4 x 3 für 10 < x 5 50: 4. Kapitel. Aufgaben zu Entscheidungen bei Risiko 55 a) Berechnen Sie den Erwartungswert von X , den Nutzenerwartungswert von X , das Sicherheitsäquivalent zu X . b) Berechnen Sie die Werte des Arrow-Pratt-Maßes r.x/ für x D 5 und für x D 17;5. c) Empfiehlt sich für das Management – bei Orientierung am Marktanteil und obiger Nutzenfunktion – der Umzug an den Stadtrand? Aufgabe 4.5 Aus der Fusion zweier renommierter Großbanken ist die Com-Post-Bank hervorgegangen. Zur Straffung der Strukturen wurden auch die für das Wertpapiermanagement zuständigen Abteilungen der beiden vormaligen Banken zusammengeführt – mit der Folge, dass die beiden Analysten Dr. Omedar und Dr. Krüger-Rand nunmehr zusammenarbeiten müssen. Leider sind sich die beiden Experten bei der Bewertung eines neu aufgelegten Fonds uneinig: Dr. Omedar, welcher seinen Analysen grundsätzlich die auf Jahresrenditen (in Prozent) bezogene Bernoulli-Nutzenfunktion u1.x/ D 3px zu Grunde legt, nimmt an, dass die Jahresrendite X des zu bewertenden Fonds im Intervall Œ10I 20 gleichverteilt ist. Dr. Krüger-Rand hingegen verwendet die (ebenfalls auf prozentuale Jahresrenditen bezogene) Bernoulli-Nutzenfunktion u2.x/ D x2 5. Außerdem ist er der festen Überzeugung, dass für die Jahresrendite des Fonds ausschließlich die Werte 10, 12, 15, 18 und 20 Prozent infrage kommen, wobei er eine Jahresrendite in Höhe von 15 Prozent als drei mal so wahrscheinlich wie eine Jahresrendite in Höhe von 10 Prozent einstuft. Alle anderen Fälle sind nach Einschätzung von Dr. Krüger-Rand gleich wahrscheinlich; ihre Wahrscheinlichkeit ist jeweils gleich dem arithmetischen Mittelwert der beiden zuvor angesprochenen Wahrscheinlichkeiten. Bitte bestimmen Sie für beide Experten a) die erwartete Jahresrendite des Fonds, b) den erwarteten Nutzen der Jahresrendite, c) das Sicherheitsäquivalent der Jahresrendite, d) sowie die zu Grunde liegende Risikoeinstellung. 56 4. Kapitel. Aufgaben zu Entscheidungen bei Risiko Aufgabe 4.6 Bernd Noulli möchte gerne 1 000 Euro anlegen. Nach längerer Recherche ist er zur Überzeugung gekommen, dass für ihn lediglich zwei Anlagealternativen infrage kommen. Bei der ersten Alternative handelt es sich um einen Sparbrief mit einer Laufzeit von einem Jahr und einer garantierten Verzinsung in Höhe von 10%. Die zweite Alternative ist hingegen risikobehaftet: Entweder verdoppelt sich das eingesetzte Kapital binnen Jahresfrist oder es halbiert sich, wobei Bernd schätzt, dass letzterer Fall mit einer Wahrscheinlichkeit in Höhe von 30% eintreten wird. Bernd besitzt die auf Endvermögenspositionen x nach einem Jahr bezogene Bernoulli-Nutzenfunktion u.x/ D ln x. a) Berechnen Sie das Sicherheitsäquivalent des Endvermögens, falls Bernd seine 1 000 Euro riskant investiert. b) Zunächst beabsichtigt Bernd, sich für genau eine der beiden oben genannten Alternativen zu entscheiden, also entweder einen Sparbrief zum Kaufpreis von 1 000 Euro zu erwerben oder die gesamten 1 000 Euro riskant zu investieren. Für welche dieser beiden Möglichkeiten sollte er sich entscheiden? c) Nach einem längerem Gespräch mit Günter Gambert, einem in finanzwirtschaftlichen Fragen erfahrenen Experten, reift in Bernd die Einsicht, dass es sinnvoll sein könnte, nur einen Teil des Geldes riskant zu investieren und mit dem Restbetrag einen Sparbrief in entsprechender Höhe zu erwerben. Bitte bestimmen Sie für Bernd, wie er seine 1 000 Euro optimalerweise auf diese beiden Anlagealternativen verteilen sollte. Aufgabe 4.7 Ein Entscheidungsträger trifft seine Entscheidungen gemäß dem Bernoulli- Prinzip und gibt bei einer Befragung die folgenden Indifferenzbeziehungen an: 0 1 000 0,6 0,4 ist gleichwertig zu 2001 0 1 000 0,5 0,5 ist gleichwertig zu 4001 0 1 000 0,2 0,8 ist gleichwertig zu 6001 4. Kapitel. Aufgaben zu Entscheidungen bei Risiko 57 a) Normieren Sie die Risikonutzenfunktion u so, dass u.0/ D 0 und u.1 000/ D 1 gelten, und berechnen Sie alle Funktionswerte, die durch obige Angaben festgelegt sind. b) Ist der Entscheidungsträger risikoneutral? Aufgabe 4.8 Die auf Endvermögenspositionen x (gemessen in 1 000 Euro definierte Risikonutzenfunktion eines mittelständischen Unternehmers sei u.x/ D ´ x; falls x 5 500 250C 0;5 x; falls x > 500: Das Anfangsvermögen betrage v0 D 1 000 000 Euro. Sei ferner PR die Prämie für die Vollversicherung eines Schadens, der in der betrachteten Periode nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 10% eintritt. Im Schadensfall sind die Schadenshöhen folgendermaßen verteilt: Schadenshöhe (in 1 000 Euro) 100 200 600 Wahrscheinlichkeit 40% 40% 20% Bei welcher Höhe der Prämie ist der Unternehmer indifferent zwischen dem Abschluss eines Versicherungsvertrages und dem Verzicht auf die Versicherung? Aufgabe 4.9 Das Anfangsvermögen v0, die Risikonutzenfunktion u sowie die Schadensverteilung seien wie in Aufgabe 4.8 spezifiziert. Die Prämie für die Vollversicherung sei nun mit 25 000 Euro festgesetzt. Ferner biete die Versicherungsgesellschaft eine Teilversicherung des Typs an: Selbstbehalt in Höhe von 100 000 Euro bei einer reduzierten Prämie in Höhe von 10 000 Euro. Für welche der drei Aktionen a1: Verzicht auf Versicherung a2: Teilversicherung a3: Vollversicherung sollte sich der Unternehmer entscheiden? 58 4. Kapitel. Aufgaben zu Entscheidungen bei Risiko Aufgabe 4.10 Eine (gegenüber der Realität vereinfachte) Staatliche Lotterie bietet Lose zu einem Stückpreis von 100 Euro an. Mit der Wahrscheinlichkeit 10 8 gewinnt ein derartiges Los 1 Mio. Euro; mit der Wahrscheinlichkeit 1 10 8 geht der Losbesitzer leer aus. a) Wird sich eine Person (mit einem Los) an der Lotterie beteiligen, wenn ihre Risikonutzenfunktion durch u1.x/ D 375 x C 488 beziehungsweise u2.x/ D .x C 100/2 gegeben ist? Dabei ist als x der Gewinn abzüglich des Einsatzes zu verwenden. b) Berechnen Sie das jeweilige Arrow-Pratt-Maß r1.x/ bzw. r2.x/. c) Die Lotteriegesellschaft erwägt, die Nachfrage dadurch zu beleben, dass der Gewinn (auf 2 106) verdoppelt wird, die Gewinnwahrscheinlichkeit jedoch gleichzeitig halbiert wird. Ist diese Maßnahme (bei Zugrundelegung obiger u1.x/ beziehungsweise u2.x/) erfolgreich? Aufgabe 4.11 Zur Bergung einer gekenterten Fähre mietet die Reederei Schnell & Billich bei der Nautilus AG zwei Bergungsboote inklusive der benötigten Zusatzausrüstung. Letztere umfasst insbesondere auch ein Spezialseil pro Bergungsboot, insgesamt also zwei Spezialseile. Bei diesen Seilen handelt es sich um Verschleißteile, die erfahrungsgemäß gelegentlich reißen. Um eine reibungslose Bergung sicherzustellen, schlägt die Nautilus AG den Kauf einiger Ersatzseile vor. Werden diese sofort mit der Bergungsausrüstung bestellt, so verlangt die Nautilus AG den Listenpreis in Höhe von 8 000 Euro pro Seil und nimmt nicht gebrauchte Ersatzseile nach Abschluss der Bergung zum halben Preis wieder zurück. Sollten bei der Bergung mehr Ersatzseile benötigt werden als zuvor beschafft wurden, so müssen die fehlenden Seile mit einem Hubschrauber zum Ort der Bergung geflogen werden, was die Kosten dieser Seile gegenüber dem Listenpreis verdoppelt. Gehen Sie vereinfachend davon aus, dass bei Auftreten eines Seilrisses das dann als Ersatz verwendete Seil im Ablauf der weiteren Bergung nicht mehr reißen wird. Nehmen Sie ferner an, dass die beiden Seile stochastich unabhängig voneinander reißen und dass jedes Seil mit einer Wahrscheinlichkeit von 50 % reißt. Die Reederei Schnell & Billich bewertet jede mögliche Aktion gemäß der Entscheidungsregel ˆ. ; 2/ D C 1 10 2, wobei bzw. 2 den Erwartungswert bzw. die Varianz der mit der Aktion verbundenen zufallsabhängigen Schäden (ausgedrückt durch die entstehenden Kosten in Tausend Euro) bezeichnet. 4. Kapitel. Aufgaben zu Entscheidungen bei Risiko 59 a) Erstellen Sie für die Reederei Schnell & Billich die Schadensmatrix, deren Komponenten die jeweils resultierenden Kosten (in Tausend Euro) beziffern. b) Wie viele Ersatzseile werden optimalerweise bestellt? c) Als weitere Möglichkeit biete die Nautilus AG zu einem noch zu bestimmenden Preis einen Pauschal-Service-Vertrag an. Schließen Schnell & Billich diesen Vertrag ab, so übernimmt die Nautilus AG unabhängig von der Anzahl Seilrisse die damit verbundenen Kosten. Wie viel darf dieser Vertrag maximal kosten? Aufgabe 4.12 Eine Unternehmung stellt ein Konsumgut K1 her, dessen Hauptabsatzchancen im Weihnachtsgeschäft liegen. Die Produktion von K1 erfolgt auf einer MaschineM1, deren Lebensdauer jeweils nur ein Jahr beträgt. Kurz vor dem Wiederbeschaffungszeitpunkt erwägt die Geschäftsleitung, an Stelle der MaschineM1 für denselben Kapitaleinsatz die MaschineM2 zu beschaffen, deren Lebensdauer ebenfalls ein Jahr beträgt und auf der ein Konsumgut K2 hergestellt werden kann, dessen Hauptabsatzchancen auch im Weihnachtsgeschäft liegen. Der ArtikelK2 ist ein höherwertiges und entsprechend teureres Konsumgut. Welcher Artikel in der nächsten Saison eine bessere Absatzlage haben wird, hängt entscheidend von Faktoren ab, wie zum Beispiel der Entwicklung des Zinssatzes für Kleinkredite, demVerhalten der inländischen Konkurrenz, dem Verhalten der ausländischen Konkurrenz und des Wechselkurses und so weiter. Die wichtigsten Kombinationen dieser Faktoren führen zu den vier Umfeldzuständen ´1, ´2, ´3, ´4. Der Gewinn in Abhängigkeit von der Aktion (ai D Entscheidung für MaschineMi ) und dem Zustand kann durch folgende Ergebnismatrix erfasst werden: 150 000 100 000 0 100 000 200 000 100 000 200 000 400 000 Unter Abwägung aller Umstände hält es die Geschäftsleitung für angemessen, ihren Kalkulationen folgende Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten der Zustände zu Grunde zu legen: P.´1/ D 210 , P.´2/ D 310 , P.´3/ D 310 und P.´4/ D 210 . a) Welche Aktion ist zu ergreifen bei Verwendung 1. der speziellen -Regel ˆ. / D 3 , 2. der speziellen . ; )-Regelˆ. ; / D 1000 1 1000 . 2C 2/, 3. der speziellen . ; /-Regelˆ. ; / D 90 000 , wobei die Verlustwahrscheinlichkeit bedeutet? 60 4. Kapitel. Aufgaben zu Entscheidungen bei Risiko b) Gibt es eine zur speziellen . ; /-Regel aus a), 2. verträgliche Nutzenfunktion, d.h. eine Funktion u.x/, so dass stetsˆ. ; / D Eu.X/ gilt? Falls ja, geben Sie u.x/ an und bestimmen Sie den x-Bereich, in dem u.x/ streng monoton wachsend ist. Aufgabe 4.13 Die Varianz behandelt Unter- und Überschreitungen (des Erwartungswertes) in symmetrischer Weise. Zur besseren Übereinstimmung von Alltagssprachgebrauch und theoretischem Konstrukt wurde deshalb die Semivarianz vorgeschlagen. Dabei kann der Erwartungswert oder auch ein anderer besonders relevanter Bezugspunkt c zur Definition der Unterschreitungen dienen. Bei risikobehafteten Renditen wird c oft als risikofreie Rendite gewählt. Die Definition der Semivarianz SV von X bezüglich des Referenzpunkts c ist wie folgt: SV D Eh.X/ mit h.x/ D ´ .x c/2; für c 5 x 0; für c > x a) Welche Konsequenzen ergeben sich aus der gleichzeitigen Gültigkeit des Bernoulli-Prinzips und des . ; SV/-Prinzips? b) Skizzieren Sie die im Fall der Kompatibilität resultierende Indifferenzkurvenschar und die Nutzenfunktion u. Aufgabe 4.14 Die Value at Risk-Diskussion hat das Interesse an „ausfallorientierten Risikomaßen“, wie etwa der Verlustwahrscheinlichkeit, stimuliert. Ist nicht nur das Auftreten eines Verlustes, sondern auch sein Ausmaß relevant, so ist die Verwendung des erwarteten Verlustes Nv nahe liegend. Es werde deshalb das . ; Nv/-Prinzip betrachtet, wobei wie üblich den Erwartungswert der zu beurteilenden Zufallsvariablen bedeutet. Weiterhin werde Normalverhalten unterstellt, das heißt je größer und je kleiner Nv, desto besser. a) Welche Konsequenzen folgen aus der gleichzeitigen Gültigkeit des Bernoulli-Prinzips und des . ; Nv/-Prinzips? Skizzieren Sie die Indifferenzkurvenschar und die Risikonutzenfunktion u. b) Was lässt sich im Falle der Kompatibilität über den Vergleich von E.X/ mit dem Sicherheitsäquivalent s aussagen, wenn X die Eigenschaften hat: Fall 1: P.X > 0/ D 1 Fall 2: P.X < 0/ D 1 Fall 3: P.X < 0/ > 0 und P.X > 0/ > 0 4. Kapitel. Aufgaben zu Entscheidungen bei Risiko 61 Aufgabe 4.15 Zwei Investitions-Alternativen führen zu den risikobehafteten Ergebnissen X und Y , wobei X FSD Y gelte; das heißt X dominiert Y stochastisch vom Grade 1. Bei X und Y handelt es sich allerdings um Vorsteuer-Ergebnisse. Prüfen Sie nach, ob die FSD-Relation auch für die Nachsteuer-Ergebnisse gültig bleibt. Dabei werde ein Proportionaltarif mit vollem Verlustausgleich unterstellt. Letzteres bedeute, dass für den Steuersatz s das Nachsteuer-Ergebnis sowohl für positive wie negative Vorsteuer-Ergebnisse x gemäß .1 s/ x berechnet wird. Aufgabe 4.16 In der Fragestellung von Aufgabe 4.15 werde an Stelle des Proportionaltarifs t .x/ D s x ein allgemeiner Steuertarif t .x/ betrachtet, der nicht demotivierend ist, das heißt die Eigenschaft besitzt: Das Nachsteuer-Einkommen n.x/ D x t .x/ ist eine streng monoton steigende Funktion des Vorsteuer-Einkommens x. Wiederum werde ein voller Verlustausgleich (das heißt die Gültigkeit von n.x/ auch für negative x) unterstellt. Trifft die Dominanz-Beziehung X FSD Y der Vorsteuer-Ergebnisse nun ebenfalls für die Nachsteuer-Ergebnisse zu? Kann man umgekehrt auch aus der FSD-Beziehung zwischen den Nachsteuer-Einkommen auf die FSD-Beziehung zwischen den Vorsteuer-Einkommen schließen? Aufgabe 4.17 Wie in den Aufgaben 4.15 und 4.16 ist wieder ein Vor- und Nachsteuer-Vergleich durchzuführen. Der Steuertarif t .x/ sehe vollen Verlustausgleich vor, sei differenzierbar und progressiv (t 00.x/ > 0); der Grenzsteuersatz t 0.x/ sei positiv und stets kleiner als 1. Im Vorsteuervergleich dominiere X die Alternative Y stochastisch vom Grade 2. Bleibt diese SSD-Relation auch beim Nachsteuer-Vergleich bestehen? Aufgabe 4.18 Die Rendite X einer Aktie sei zwischen 0% und 20% gleichverteilt. Investiert man also 1 Geldeinheit in die Aktie, so ist der Wert am Periodenende gleichverteilt zwischen 1 und 1,2. Ferner existiere eine risikolose Anlagemöglichkeit von r D 5%. Bildet man aus beiden Anlagemöglichkeiten ein Portfolio mit dem Aktienanteil a 2 .0I 1/, so ist die Portfoliorendite bekanntlich Xa D aX C .1 a/ r: 62 4. Kapitel. Aufgaben zu Entscheidungen bei Risiko Anlageberater Dreist behauptet, dass es ein Portfolio gibt, das von allen Anlegern besser als die reine Aktienanlage beurteilt wird. Er präzisiert diese Aussage so: Es existiert ein geeigneter Anteil a, so dass Xa FSD X gilt. Suchen Sie diesen Anteil a oder begründen Sie, dass er nicht existieren kann. Aufgabe 4.19 Ein (positives) Anfangsvermögen von v0 führt bei den Investitionsalternativen a beziehungsweise b zu den (positiven) Endvermögen Va beziehungsweise Vb , wobei Va bezüglich FSD gegenüber Vb präferiert wird: Va FSD Vb . a) Herr Müller hat eine Banklehre absolviert, rechnet deshalb lieber mit Renditen als mit Endvermögen und behauptet, dass für die zugehörigen Renditen Xa und Xb ebenfalls eine derartige Beziehung zutrifft. b) Diplom-Kaufmann Klug ist sogar mit stetigen Renditen vertraut und behauptet, dass für die zugehörigen stetigen Renditen Ra beziehungsweise Rb ebenfalls Ra FSD Rb gilt. Welcher der beiden Fachleute hat recht? Aufgabe 4.20* Mit dem gleichen Kapitaleinsatz kann eine Bank entweder das Portfolio a oder das Portfolio b aufbauen, wobei die Differenz Xa beziehungsweise Xb zwischen dem Portfoliowert am Ende der Halteperiode und dem Kapitaleinsatz folgendermaßen verteilt sei: Realisation von Xa bzw. Xb (in Mio. Euro) 5 4 3 2 1 0 3 4 Wahrscheinlichkeit (in %) bei a 0,5 1 1,5 1,5 3 22,5 40 30 Wahrscheinlichkeit (in %) bei b 1 0,5 1 2 3 22,5 40 30 Die Existenz der negativen (und nur mit kleinen Wahrscheinlichkeiten vorkommenden) Werte signalisiert infolgedessen Verluste. Es lässt sich nachweisen (wird aber nicht verlangt), dass a stets gegenüber b präferiert wird, gleichgültig wie die (positive) Risikoaversion beschaffen ist. Es gilt nämlich Xa SSD Xb: 4. Kapitel. Aufgaben zu Entscheidungen bei Risiko 63 In diesem Sinne ist Portfolio a weniger riskant als b. Beim Value at Risk- Ansatz wird eine kleine Wahrscheinlichkeit ˛ vorgegeben und der minimale Verlust (D VaR.˛/) gesucht, der höchstens mit Wahrscheinlichkeit ˛ überschritten wird. a) Berechnen Sie für die Portfolios a und b jeweils den VaR.˛/ für ˛ D 0;5%I 1%I 1;5%I 2;75%: b) Das Eigenkapital der Bank erlaube auf Grund von Restriktionen der Regulierungsbehörde nur Positionen mit einem VaR von höchstens 2,4. Nehmen Sie unter Verwendung der Ergebnisse aus a) Stellung zu der These, dass VaR-Restriktionen dazu führen können, dass die Bank eine ineffiziente Aktion wählen muss. Aufgabe 4.21 Eine Factoring-Bank bietet ihre Dienste an: „Kaum ist Ihre Ware unterwegs, verwandeln sich Ihre Forderungen in Liquidität. Für jede gekaufte Forderung tragen wir das Ausfallrisiko zu 100%.“ Unternehmer Schulz geht auf Grund seiner Erfahrung davon aus, dass eine Forderung über 1 Mio. Euro mit einer Wahrscheinlichkeit von 85% vom Abnehmer problemlos beglichen wird und dass ein Totalausfall nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 5% zu erwarten ist. Mit der Wahrscheinlichkeit von 10% kommt es zu Zahlungsverzögerungen und sonstigen Transaktionskosten, was den Wert der schließlich eingehenden Zahlung auf 800 000 Euro reduziert. Es sei ferner angenommen, dass die Factoring-Bank für die Inanspruchnahme ihrer Dienste 10% der Forderung verlangt. a) Soll Schulz die Factoring-Bank einschalten, wenn er risikoneutral ist? b) Sei X die risikobehaftete Rückzahlung im Falle des Verzichts auf die Dienste der Factoring-Bank. Bestimmen Sie das Sicherheitsäquivalent s von X für den Fall, dass Unternehmer Schulz sich an der Risikonutzenfunktion u.x/ D ln.100 000C x/ orientiert. Wie fällt nun die Entscheidung bezüglich des Forderungsverkaufs an die Factoring-Bank aus? 64 4. Kapitel. Aufgaben zu Entscheidungen bei Risiko Aufgabe 4.22 Die Top-Manager der Vola AG können zwischen einem ergebnisabhängigen und damit risikobehafteten Brutto-Jahreseinkommen und einer Fixentlohnung wählen. Sei t .x/ die Steuerschuld, die bei einem Brutto-Jahreseinkommen (D zu versteuerndem Einkommen) x fällig ist. Der Steuertarif sei progressiv, das heißt der Grenzsteuersatz t 0.x/ ist streng monoton wachsend und kleiner als 1. Bezüglich Nettoeinkommen sei Manager Spitz risikoneutral. Für ihn seien das Bruttoeinkommen X und die Fixentlohnung s gleichwertig. Klären Sie die Frage, ob s D E.X/; s < E.X/ oder s > E.X/ gilt. Aufgabe 4.23 Investorin Reich hat ein Anfangsvermögen v0 und kann sowohl risikolos investieren (zum Zinssatz i ) als auch risikobehaftet investieren (zur stochastischen Rendite R). Beide Anlageformen können beliebig kombiniert werden. Frau Reich besitze eine konstante Risikoaversion ˛ > 0 für Endvermögen. Die risikobehaftete Rendite R sei normalverteilt mit E.R/ D > i und Var.R/ D 2: a) Berechnen Sie den Geldbetrag x, den Frau Reich risikobehaftet investieren soll. b) Diskutieren Sie die Abhängigkeit des optimalen x von den gegebenen Problemgrößen , i , 2, ˛, v0. Aufgabe 4.24* Mit dem gleichen Kapitaleinsatz von 50Mio. Euro kann zum Zeitpunkt t D 0 genau eines der drei verschiedenen Investitionsprojekte a, b, c initiiert werden. Die Einzahlungsüberschüsse zu den Zeitpunkten t D 1 und t D 2 (D Planungshorizont) sind in unterschiedlichem Maße risikobehaftet und werden so bezeichnet: bei a: X1 und X2 bei b: Y1 und Y2 bei c: Z1 und Z2. Die Investitions-Experten Klein und Groß müssen im Auftrag des Vorstands eine „Hitparade“ der Investitionsprojekte aufstellen. Beide Experten kennen Lösungen zu Kapitel 4 65 sich mit dem Kapitalwert bei sicheren Zahlungsströmen aus, haben die gleiche konstante Risikoaversion ˛ und verwenden denselben Diskontfaktor q D 1;1. Experte Klein ermittelt seine Bewertungsziffer in der Weise, dass er zuerst den Kapitalwert (als Zufallsvariable) berechnet und dann hiervon das Sicherheitsäquivalent. Experte Groß berechnet periodenweise das Sicherheitsäquivalent und bildet hieraus den Kapitalwert. Prüfen Sie nach, ob beide Experten zu derselben Rangfolge kommen, wenn von folgenden Daten ausgegangen wird: X1 und X2 seien normalverteilt mit der Eigenschaft, dass stets X1 D X2 gilt (das heißt sie sind insbesondere perfekt positiv korreliert), wobei E.Xi / D 35 (Mio. Euro); Var.Xi / D 2x : Y1 und Y2 seien normalverteilt und stochastisch unabhängig mit E.Yi / D 40 (Mio. Euro); Var.Yi / D 2y : Z1 und Z2 seien sichere Einzahlungsüberschüsse in Höhe von jeweils 33,5 (Mio. Euro). Ferner seien x und y so gewählt, dass ˛2 2 x D 1 und ˛2 2y D 7 gilt. Lösungen zu Kapitel 4 Lösung zu Aufgabe 4.1 Es gilt E.X/ D 1 000 000 D Ox. a) Für den Geschäftsführer ist nur das erwartete Jahresgehalt E.Y / maßgeblich. Wegen E.Y / D 200 000C p 100 ŒE.X/ Ox D 200 000 für jedes p sind alle Prozentsätze p gleichwertig. b) Nun orientiert sich der Geschäftsführer am Nutzenerwartungswert E ln.Y / D 1 4 ln.200 000 500p/C1 2 ln.200 000/C1 4 ln.200 000C500p/: Die Ableitung nach p ist 500 4 1 200 000C 500p 1 200 000 500p : Sie wird null für p D 0 und ist für 0 < p 5 100 stets negativ. Folglich liegt für p D 0 ein (Rand-)Maximum vor. Der Geschäftsführer präferiert das Fixgehalt von 200 000. 66 4. Kapitel. Aufgaben zu Entscheidungen bei Risiko c) Weil sich für p D 0 das sichere Gehalt 200 000 ergibt, ist auch das Sicherheitsäquivalent gleich 200 000. Für p > 0 ist das Jahresgehalt Y dagegen risikobehaftet und hat ein Sicherheitsäquvalent s, das kleiner als der Erwartungswert E.Y / D 200 000 ist. Da man Aktionen ebenso gut mittels ihrer Sicherheitsäquivalente wie mittels ihrer Nutzenerwartungswerte vergleichen kann, muss p D 0 (das heißt das Fixgehalt) für jeden beliebigen risikoaversen Geschäftsführer optimal sein. Lösung zu Aufgabe 4.2 a) Es ist E.X/D 0;1 . 0;9/C 0;9 0;3 D 0;18 E.Y /D 0;4 . 0;4/C 0;6 0;5 D 0;14 Var.X/DE.X2/ .EX/2 D 0;81 0;1C 0;09 0;9 0;182 D 0;1296 Var.Y /DE.Y 2/ .EY /2 D 0;16 0;4C 0;25 0;6 0;142 D 0;1944: Verglichen mit Y hat die Rendite X sowohl einen höheren „Ertrag“ als auch ein geringeres „Risiko“. b) Die Nutzenerwartungswerte sind Eu.X/ D E ln.1CX/ D 0;1 ln 0;1C 0;9 ln 1;3 D 0;00587 Eu.Y / D E ln.1C Y / D 0;4 ln 0;6C 0;6 ln 1;5 D 0;03895: Die bezüglich des . ; /-Kriteriums ineffiziente Rendite Y besitzt den größeren Nutzenerwartungswert. Da die Risikonutzenfunktion u.x/ D ln.1 C x/ konkav ist, gibt es demnach risikoaverse Investoren, die die (scheinbar) ineffiziente Rendite Y gegenüber X präferieren. Das „Weltbild“ von Herrn Clever ist demnach ergänzungsbedürftig. Bemerkung zu Aufgabe 4.2 Für normalverteilte Renditen X; Y ist Clevers Weltbild allerdings korrekt. Lösung zu Aufgabe 4.3 a) Wegen der Gleichheit der Nutzenerwartungswerte Eu.V / D Eu.v0 eX / D E Qu.X/ lautet die auf stetige Renditen x bezogene Risikonutzenfunktion Qu.x/ D u.v0 ex/: Lösungen zu Kapitel 4 67 Die Ableitungen Qu0.x/ D u0.v0 ex/ v0 ex Qu00.x/ D u00.v0ex/.v0ex/2 C u0.v0 ex/ v0 ex ergeben den gesuchten Zusammenhang der Arrow-Pratt-Maße Qr.x/ D Qu 00.x/ Qu0.x/ D r.v0 e x/ v0 ex 1: b) Speziell für u.v/ D v erhält man wegen r.v/ D 0 das Arrow-Pratt- Maß Qr.x/ D 1 und damit eine Risikofreude (obwohl u Risikoneutralität beinhaltet). Speziell für u.v/ D ln v erhält man dagegen (wegen r.x/ D 1 x ) Qr.x/ D v0 e x v0 ex 1 D 0: Hier korrespondiert die Risikoaversion bezüglich Endvermögen mit einer Risikoneutralität bezüglich der stetigen Rendite. Letzteres sieht man beispielsweise auch so: Eu.V / D E ln.V / D E ln.v0 eX / D ln v0CE ln.eX / D ln v0CE.X/I der Nutzenerwartungswert Eu.V /wird also durch den Erwartungswert E.X/ der stetigen Rendite bestimmt (bis auf den irrelevanten Summanden ln v0). Lösung zu Aufgabe 4.4 a) E.X/ D 5 0;4C 17;5 0;4C 30 0;2 D 15 Eu.X/ D 25 100 0;4Cp7 3 0;4Cp12 3 0;2 D 1;5 Für das Sicherheitsäquivalent s gilt: u.s/ D Eu.X/ D 1;5. Wegen 1;5 > u.10/ D 1 ist s > 10 und mithin u.s/ D p0;4 s 3. Aus p 0;4 s 3 D 1;5 ergibt sich 0;4 s D 2;25 C 3 und somit s D 13;125. b) Für 0 < x < 10 ist u0.x/ D x 50 ; u00.x/ D 1 50 und somit r.x/ D 1 x I folglich ist r.5/ D 0;2. Für 10 < X < 50 ist u0.x/ D 1 2 .0;4 x 3/ 12 0;4; u00.x/ D 1 4 .0;4x 3/ 32 0;42 68 4. Kapitel. Aufgaben zu Entscheidungen bei Risiko und somit r.x/ D 0;2 0;4 x 3 D 1 2 x 15 I folglich ist r.17;5/ D 0;05. c) Da das Sicherheitsäquivalent s D 13;125 zu X unter dem Marktanteil 14 des bisherigen Ladens liegt, empfiehlt sich der Umzug nicht. Lösung zu Aufgabe 4.5 a) Dr. Omedar nimmt an, dass X im Intervall Œ10I 20 gleichverteilt ist. Damit gilt für den Erwartungswert E.X/ D 10C 20 2 D 15: Dr. Krüger-Rand geht hingegen von folgender diskreten Verteilung aus: P.X D 10/ D p; P.X D 15/ D 3p; P.X D 12/ D P.X D 18/ D P.X D 20/ D 2p: Berücksichtigt man darüber hinaus P.X D 10/ C P.X D 12/ C P.X D 15/ C P.X D 18/ C P.X D 20/ D 10p D 1, so folgt p D 0;1. Somit resultiert die Verteilung mögliche Werte von X 10 12 15 18 20 zugehörige Wahrscheinlichkeiten 0;1 0;2 0;3 0;2 0;2 und der zugehörige Erwartungswert E.X/ D 10 0;1C C 20 0;2 D 15;5: b) Mit Hilfe der Dichte der Gleichverteilung im Intervall Œ10I 20 , f .x/ D ´ 1 10 ; falls 10 5 x 5 20 0 ; sonst, berechnet Dr. Omedar den Nutzenerwartungswert Eu1.X/ D Z 20 10 3 p x 1 10 dx D 3 10 2 3 x 3 2 ˇ̌̌ ˇ 20 10 D 1 5 p x3 ˇ̌̌ ˇ 20 10 D 1 5 p 8000 p1000 D 11;56: Lösungen zu Kapitel 4 69 Dr. Krüger-Rand legt seinem Kalkül hingegen die in Teil a) ermittelte diskrete Verteilung zu Grunde und errechnet Eu2.X/ D 102 0;1C C 202 0;2 5 D 246;1: c) Dr. Omedar geht von der Bedingung u1.s1/ D 3ps1 D Eu1.X/ D 11;56 aus und erhält s1 D 11;56 3 2 D 14;85; während Dr. Krüger-Rand aus u2.s2/ D s22 5 D Eu2.X/ D 246;1 das Sicherheitsäquivalent s2 D p 246;1C 5 D 15;85 berechnet. d) Dr. Omedar besitzt die konkave Risikonutzenfunktion u1 und ist demnach risikoavers, während Dr. Krüger-Rand auf Grund der Konvexität von u2 als risikofreudig einzustufen ist. Lösung zu Aufgabe 4.6 a) Im Fall der riskanten Anlagealternative erzielt Bernd nach einem Jahr entweder ein Endvermögen in Höhe von 2 000 Euro (mit Wahrscheinlichkeit 0,7) oder 500 Euro (mit Wahrscheinlichkeit 0,3). Demnach ist sein Nutzenerwartungswert Eu.X/ D ln.2 000/ 0;7C ln.500/ 0;3 D 7;185: Zusammen mit u.s/ D ln s D Eu.X/ impliziert dies ein Sicherheitsäquivalent in Höhe von s D e7;185 D 1 319;49: b) Da der Sparbrief risikolos ist, genügt es, das Sicherheitsäquivalent aus Teil a) mit dem aus dem Sparbrief resultierenden (sicheren) Endvermögen zu vergleichen. Wegen 1 319;49 > 1 100 D 1 000 1;1 sollte sich Bernd für die riskante Anlagealternative entscheiden. c) Im Folgenden bezeichnet a (mit a 2 Œ0I 1 ) den von Bernd riskant investierten Anteil seiner 1 000 Euro. Entsprechend investiert er 1 000 a Euro riskant und erwirbt einen Sparbrief in Höhe des Restbetrages 70 4. Kapitel. Aufgaben zu Entscheidungen bei Risiko 1 000 .1 a/ Euro. Aus letzterer Geldanlage resultiert ein sicherer Endvermögensanteil in Höhe von 1 000 .1 a/ 1;1 D 1 100 1 100 a: Der riskant investierte Betrag in Höhe von 1 000 a Euro verdoppelt sich mit Wahrscheinlichkeit 0,7 und generiert dann einen Endvermögensanteil in Höhe von 2 000 a Euro; ansonsten, also mit Wahrscheinlichkeit 0,3, resultiert ein Endvermögensanteil in Höhe von 500 a Euro. Somit gilt für das Endvermögen insgesamt: X D ´ 1 100C 900 a mit Wahrscheinlichkeit 0,7 1 100 600 a mit Wahrscheinlichkeit 0,3. Hieraus errechnet sich ein Nutzenerwartungswert in Höhe von Eu.X/ D ln.1 100C 900 a/ 0;7C ln.1;100 600 a/ 0;3: Dieser wird nun bezüglich a maximiert. Die notwendige Bedingung erster Ordnung lautet d Eu.X/ d a D 630 1 100C 900 a 180 1 100 600 a D 0: Dies ist äquivalent zu 630 .1 100 600 a/ D 180 .1 100C 900 a/ ” 495 000 D 540 000 a ” a D 0;917: Da d2 Eu.X/ d a2 D 630 900 .1 100C 900 a/2 180 600 .1 100 600 a/2 offenkundig negativ ist, wird Bernds Nutzenerwartungswert an der Stelle a D 0;917 maximal. Bernd Noulli sollte also optimalerweise 917 Euro riskant und den Restbetrag in Höhe von 83 Euro in einen Sparbrief investieren. Lösungen zu Kapitel 4 71 Lösung zu Aufgabe 4.7 a) Es ist u.200/ D 0;4 u.1 000/C 0;6 u.0/ D 0;4 u.400/ D 0;5 u.1 000/C 0;5 u.0/ D 0;5 u.600/ D 0;8 u.1 000/C 0;2 u.0/ D 0;8: Mit den per Normierung festgelegten Werten sind damit 5 Funktionswerte von u bekannt. b) Er kann nicht risikoneutral sein, da die Sicherheitsäquivalente (200, 400, 600) jeweils kleiner als die entsprechenden Erwartungswerte sind. Lösung zu Aufgabe 4.8 Bei Verzicht auf eine Versicherung beträgt das Endvermögen V D 1 000 S , wobei S folgendermaßen verteilt ist Realisation von S (in 1 000 Euro) 0 100 200 600 Wahrscheinlichkeit 90% 4% 4% 2% Der Nutzenerwartungswert ist Eu.1 000 S/ D 0;90 u.1 000/C 0;04 u.900/C 0;04 u.800/C 0;02 u.400/ D 0;90 750C 0;04 700C 0;04 650C 0;02 400 D 737: BeimAbschluss der Vollversicherung gilt für das Endvermögen dagegen V D 1 000 PR und folglich für den Nutzenerwartungswert u.1 000 PR/. Indifferenz tritt ein, wenn beide Nutzenerwartungswerte gleich sind: u.1 000 PR/ D 737 Die Auswertung dieser Gleichung erfordert eine Klärung, ob in den oberen oder unteren Zweig der stückweise definierten Funktion u eingesetzt werden muss. Da der im oberen Zweig maximal erreichbare Nutzenwert gleich 500 (< 737) ist, muss in den unteren Zweig eingesetzt werden. Hieraus ergibt sich die Gleichung u.1 000 PR/ D 250C 0;5 .1 000 PR/ D 737; aus der PR D 26 resultiert. Damit erhält man das Ergebnis: Indifferenz tritt bei einer Versicherungsprämie von PR D 26 000 Euro ein. 72 4. Kapitel. Aufgaben zu Entscheidungen bei Risiko Lösung zu Aufgabe 4.9 Bei a1 resultiert (wie in der Lösung von 4.8 ausgeführt) ein Nutzenerwartungswert von 737. Bei a2 kann das Endvermögen V nur die beiden Werte 990 und 890 annehmen mit P.V D 990/ D 0;90 und P.V D 890/ D 0;10: Der Nutzenerwartungswert ist Eu.V / D 0;90 .250C 0;5 990/C 0;10 .250C 0;5 890/ D 740: Bei a3 ist das Endvermögen sicher gleich 975 (Tausend Euro) und der Nutzen(erwartungs)wert u.975/ D 250C0;5 975 D 737;5. Demnach sollte sich der Unternehmer für die Teilversicherung entscheiden. Lösung zu Aufgabe 4.10 a) Bei Nichtbeteiligung ist wegen x D 0 der Nutzen(erwartungs)wert durch u.0/ gegeben. Für u1.x/ ist u1.0/ D 488. Der Nutzenerwartungswert bei Beteiligung ist Eu1.Gewinn 100/ D 375 .10 8 106 100/C 488 D 37 008;25: Ein Loskauf ist deshalb nicht zu empfehlen. Für u2.x/ ist u2.0/ D 10 000. Nun erhält man Eu2.Gewinn 100/D 10 8 u2.106 100/C .1 10 8/ u2. 100/ D 10 8 1012 C .1 10 8/ 0 D 10 000 und damit eine Gleichwertigkeit von Loskauf und Nichtbeteiligung. b) Die Arrow-Pratt-Maße sind r1.x/ D 0; da u001.x/ D 0: Es liegt Risikoneutralität vor. Dies erklärt auch, weshalb das Los mit einem Gewinnerwartungswert (D 0;01), der kleiner als der Einsatz ist, nicht gekauft werden sollte. Für u2.x/ errechnet man u02.x/ D 2 .x C 100/ und u002.x/ D 2; Lösungen zu Kapitel 4 73 woraus man r2.x/ D 2 2 .x C 100/ D 1 x C 100 .< 0 W Risikofreude liegt vor/ erhält. c) Der Gewinnerwartungswert bleibt gleich. Deshalb ist bezüglich u1.x/ nach wie vor die Nichtbeteiligung optimal. Bezüglich u2.x/ errechnet man den mit u2.0/ D 10 000 zu vergleichenden Nutzenerwartungswert Eu2.Gewinn 100/ D 12 10 8 4 1012 C .1 12 10 8/ 0 D 20 000: Für risikofreudige Personen des Typs u2.x/ steigert die Maßnahme der Lotteriegesellschaft die Nachfrage. Lösung zu Aufgabe 4.11 a) Da annahmegemäß maximal zwei Seile im Zuge der Bergung reißen werden, besteht der Zustandsraum aus den Fällen ´0, ´1, ´2, wobei j́ bedeutet: Im Laufe der Bergung reißen j Seile. Dementsprechend wird die Reederei Schnell & Billich auf keinen Fall mehr als zwei Ersatzseile mitbestellen. Der Aktionenraum besteht folglich aus den Aktionen ai D i (i D 0; 1; 2), wobei i die Anzahl der zu bestellenden Ersatzseile angibt. Die Schadenswerte sij (gemessen in 1 000 Euro) lassen sich auf Grund der Angaben wie folgt ermitteln: sij D ´ 8i 4.i j / für i = j; 8i C 16.j i/ für i < j: Somit ergibt sich die Schadensmatrix S ´0 ´1 ´2 a0 0 16 32 a1 4 8 24 a2 8 12 16 : b) Auf Grund der unterstellten Unabhängigkeit der Seilrisse beträgt die Wahrscheinlichkeit für keinen Seilriss P.´0/ D 0;5 0;5 D 0;25. Gleiches gilt für den Fall, dass beide Seile reißen: P.´2/ D 0;5 0;5 D 0;25. 74 4. Kapitel. Aufgaben zu Entscheidungen bei Risiko Mit der Restwahrscheinlichkeit P.´1/ D 1 0;25 0;25 D 0;5 kommt es zu genau einem Seilriss. Für die zu Aktion ai gehörenden Werte i und 2i ergibt sich somit: 0 D 0 14 C 16 12 C 32 14 D 16; 20 D 162 14 C 0 12 C 162 14 D 128I 1 D 4 14 C 8 12 C 24 14 D 11; 21 D 72 14 C 32 12 C 132 14 D 59I 2 D 8 14 C 12 12 C 16 14 D 12; 22 D 42 14 C 0 12 C 42 14 D 8: Eingesetzt in die Entscheidungsregel ˆ. ; 2/ ergeben sich die Werte ˆ. 0; 2 0 / D 16 C 12;8 D 28;8; ˆ. 1; 21 / D 11 C 5;9 D 16;9 und schließlich ˆ. 2; 22 / D 12C 0;8 D 12;8. Da ˆ auf Schadenswerte angewandt wird und dabei ein sicherer Schaden der Höhe gemäß ˆ. ; 0/ D bewertet wird, ist klar, dass die Aktion mit dem minimalen ˆ-Wert die beste ist. Folglich werden optimalerweise zwei Seile bestellt. c) In die Schadensmatrix ist nun zusätzlich noch die Zeile a3 k k k aufzunehmen, wobei a3 den Abschluss des Pauschal-Service-Vertrages bedeutet und k die Kosten dieses Vertrages (in 1 000 Euro) sind. Wegen 3 D k und 23 D 0 gilt ˆ. 3; 23 / D k; somit ist a3 genau dann optimal, wenn k 5 min 05 i52 ˆ. i ; 2 i / D 12;8 gilt. Der Pauschalvertrag darf also höchstens 12 800 Euro kosten. Lösung zu Aufgabe 4.12 a) 1. Wegen der alleinigen Orientierung am Erwartungswert liegt Risikoneutralität vor. Die Aktion a1 hat ein risikobehaftetes Ergebnis X zur Folge, dessen 4 Realisationen aus der ersten Zeile der Ergebnismatrix zu entnehmen sind. Der Erwartungswert ist E.X/D 2 10 150 000C 3 10 100 000C 3 10 0C 2 10 . 100 000/ D 40 000: Analog ermittelt man für das mit a2 korrespondierende Ergebnis Y den Erwartungswert E.Y / D 70 000. Also ist a2 zu präferieren. Lösungen zu Kapitel 4 75 2. Wir berechnen zunächst für X die Hilfsgröße 2 C 2 D E.X2/D 2 10 150 0002 C 3 10 100 0002 C 3 10 0C 2 10 . 100 000/2 D 9;5 109: Analog berechnet man für Y : 2C 2 D E.Y 2/ D 5;5 1010. Damit sind die Bewertungsziffern ˆ. ; / ermittelbar. Man erhält für X : ˆ. ; / D 4 107 9;5 106 D 3;05 107 für Y : ˆ. ; / D 7 107 5;5 107 D 1;5 107: Infolgedessen ist die Aktion a1 zu präferieren. 3. Für X beträgt die Verlustwahrscheinlichkeit D P.X < 0/ D P.´4/ D 0;2 und für Y D P.Y < 0/ D P.´1/C P.´2/ D 0;5: Damit ist ˆ. ; / D 40 000 90 000 0;2 D 22 000 die Bewertungsziffer bezüglich X und ˆ. ; / D 70 000 90 000 0;5 D 25 000 diejenige von Y . Nun ist wiederum die Aktion a2 zu präferieren. b) Die Gleichung ˆ. ; / D 1 000 1 1000 . 2 C 2/ D Eu.X/ trifft genau dann für alle X (mit existierendem 2) zu, wenn u.x/ D 1 000 x 1 1000 x2 gilt, vergleiche zum Beispiel Abschnitt 4.8 in Bamberg et al. (2012b). Wegen u0.x/ D 1 000 2x 1000 = 0 ” x 5 500 000 ist . 1I 500 000 der Bereich, in dem u streng monoton wachsend ist. 76 4. Kapitel. Aufgaben zu Entscheidungen bei Risiko Lösung zu Aufgabe 4.13 a) Auf Grund des einschlägigen Satzes (zumBeispiel Bamberg et al. 2012b, Kapitel 4, wobei b0 D 0 gesetzt wurde) gilt: ˆ.X/ D Eu.X/ D b1 C b2 SV: Das heißt, die Parameter ; SV des klassischen Prinzips dürfen nur linear kombiniert werden. Dabei gelten bei Normalverhalten (je mehr, desto besser, Aversion gegenüber dem Risiko) die Vorzeichen b1 > 0 und b2 < 0. Die Risikonutzenfunktion u.x/ ist eine entsprechende Linearkombination der Funktionen, die und SV als Erwartungswerte darstellen: u.x/ D ´ b1 x C b2 .x c/2; für x 5 c b1 x; für x > c: b) SV Indifferenzkurvenschar. Der Pfeil zeigt in Richtung aufsteigender Präferenz. x u b1 x b2 .x c/2c u.x/ Das zugehörige konkave u.x/. Lösungen zu Kapitel 4 77 Lösung zu Aufgabe 4.14 a) Die Parameter und Nv lassen sich als Erwartungswerte D Eh1.X/ und Nv D Eh2.X/ darstellen, wobei die Parameter erzeugenden Funktionen durch h1.x/ D x und h2.x/ D ´ x; falls x 5 0 0; sonst bestimmt sind. Deshalb darf das Gütemaß ˆ. ; Nv/ nur linear sein und u nur eine entsprechende Linearkombination von h1.x/ und h2.x/: ˆ. ; Nv/ D b1 C b2 Nv mit b1 > 0 und b2 < 0 u.x/ D b1 x C b2 h2.x/ D ´ .b1 b2/ x; für x 5 0 b1 x; für x > 0 Nv Die Indifferenzkurven sind parallele Geraden. Der Pfeil zeigt in Richtung aufsteigender Präferenz. x u b1 x .b1 b2/ x Das zugehörige stückweise lineare u.x/. 78 4. Kapitel. Aufgaben zu Entscheidungen bei Risiko b) In den Fällen 1 und 2 liegen die Werte von X ganz in einem geradlinigen Teil von u.x/. Deshalb gilt hier s D E.X/. Im Fall 3 gilt dagegen s < E.X/, da die Risikonutzenfunktion u „über den Nullpunkt hinweg“ konkav ist und damit Risikoaversion beinhaltet. Lösung zu Aufgabe 4.15 Bezeichnen F und G die zu X und Y gehörenden Verteilungsfunktionen, so gilt wegen X FSD Y : F.x/ 5 G.x/ für alle x 2 R und F.x0/ < G.x0/ für mindestens ein x0 2 R: Bezeichne ferner s 2 .0I 1/ den Steuersatz, so ist wegen des vollen Verlustausgleichs das Nachsteuer-Ergebnis durch .1 s/X beziehungsweise .1 s/ Y gegeben. Für die zugehörigen Verteilungsfunktionen gilt: P Œ.1 s/X 5 x D P.X 5 x 1 s / D F. x1 s / 5 G. x1 s / D P Œ.1 s/ Y 5 x für alle x 2 R, wobei für x D x0 .1 s/ eine strikte Ungleichung zwischen den Verteilungsfunktionswerten resultiert. Damit ist die stochastische Dominanz-Beziehung auch für die Nachsteuer-Ergebnisse nachgewiesen. Lösung zu Aufgabe 4.16 Zwei gleichermaßen praktikable Lösungswege führen zur gesuchten Antwort. Zum einen kann wie in der Lösung von Aufgabe 4.15 ein Größenvergleich der Verteilungsfunktionen durchgeführt werden: P ŒX t .X/ 5 x D P Œn.X/ 5 x D P ŒX 5 n 1.x/ D F Œn 1.x/ 5 GŒn 1.x/ D P ŒY 5 n 1.x/ D P Œn.Y / 5 x : Diese Gleichungs- und Ungleichungskette folgt aus der strengen Monotonie von n.x/ und aus X FSD Y . Aus letzerem folgt, dass für mindestens ein x auch die strikte Ungleichung und somit n.X/ FSD n.Y / Gültigkeit hat. Zum anderen könnte man auch an der nutzentheoretischen Definition von X FSD Y anknüpfen und damit die Gleichwertigkeit der Vorsteuer- und Nachsteuer-FSD-Beziehung transparent machen. X FSD Y bedeutet, dass Eu.X/ < Eu.Y / für alle u 2 U1 gilt; wobei U1 die Klasse aller streng monoton wachsenden Nutzenfunktionen ist. n.X/ FSD n.Y / Lösungen zu Kapitel 4 79 bedeutet entsprechend, dass Eu.n.X// > Eu.n.Y // für alle u 2 U1: Weil die Schachtelung v.x/ D u.n.x// zweier streng monoton wachsender Funktionen ebenfalls streng monoton wachsend ist, gilt E v.X/ > E v.Y / für alle so erzeugten v 2 U1. Andererseits gilt für jedes v 2 U1, indem man u.x/ D v.n 1.x// bildet, die Darstellung u.n.x// D v.n 1.n.x/// D v.x/. Die Menge aller v-Funktionen ist demnach mit U1 identisch. Somit ist geklärt: X dominiert Y gemäß FSD genau dann, wenn auch im Nachsteuer-Vergleich X die Alternative Y gemäß FSD dominiert. Lösung zu Aufgabe 4.17 Annahmegemäß gilt X SSD Y , das heißt Eu.X/ > Eu.Y / für alle u 2 U2, wobei U2 die Klasse aller streng monoton wachsenden und streng konkaven Nutzenfunktionen bedeutet. Um nachzuweisen, dass auch beim Nachsteuer- Vergleich dieselbe SSD-Relation gilt, muss nachgeprüft werden, ob Eu.n.X// > Eu.n.Y // für alle u 2 U2 gilt. Dazu muss die geschachtelte Funktion v.x/ D u.n.x// untersucht werden. Falls sich ergibt, dass v 2 U2, überträgt sich die Vorsteuer-SSD-Beziehung auf die Nachsteuer-SSD-Beziehung. Es ist v0.x/ D u0.n.x// n0.x/ D u0.n.x//.1 t 0.x// > 0; da sowohl u0 > 0 als auch t 0 < 1 gelten. Ferner ist v00.x/ D u00.n.x//.n0.x//2 C u0.n.x// n00.x/ < 0; da u00 < 0 und n00.x/ D t 00.x/ < 0. Damit gehört v ebenfalls zur Klasse U2, womit die Vermutung n.X/ SSD n.Y / in der Tat bestätigt wird. 80 4. Kapitel. Aufgaben zu Entscheidungen bei Risiko Lösung zu Aufgabe 4.18 Die Verteilungsfunktion F vonX ist im relevantenWertebereich 0 5 x 5 0;2 durch F.x/ D 5 x gegeben. Der Vergleich mit der Verteilungsfunktion Fa der Portfoliorendite liefert wegen Fa.x/ D P.aX C .1 a/ r 5 x/ D P X 5 x .1 a/ r a D F x .1 a/ r a D 5 x .1 a/ r a das Ergebnis Fa.x/ 5 F.x/ genau dann, wenn x .1 a/ r a 5 x gilt, beziehungsweise wenn .1 a/ x 5 .1 a/ r gilt. Dies bedeutet, dass im Bereich 0 5 x < r die Ungleichung Fa.x/ < F.x/ zutrifft, im Bereich r < x 5 0;2 jedoch die Ungleichung Fa.x/ > F.x/ . Im Punkt x D r schneiden sich die beiden Verteilungsfunktionen. Damit ist die Behauptung von Herrn Dreist als falsch entlarvt. Lösung zu Aufgabe 4.19 a) Die Renditen Xi D Vi v0v0 D Vi v0 1 für i 2 ¹aI bº haben die Verteilungsfunktionen Fi , für deren Vergleich gilt: Fa.x/ D P Va v0 1 5 x D P.Va 5 v0 .1C x// D F.v0 .1C x// 5 G.v0 .1C x// D P Vb v0 1 5 x D Fb.x/; wobei F die Verteilungsfunktion von Va und G die Verteilungsfunktion von Vb bezeichnet. Das Ungleichheitszeichen resultiert aus Va FSD Vb , wobei für mindestens ein x die strikte Ungleichung gilt. Damit ist die Behauptung von Herrn Müller zutreffend, dass er sich an der Rendite orientieren kann. b) Definitionsgemäß berechnen sich die stetigen Renditen Ri gemäß Vi D v0 eRi beziehungsweise Ri D ln Viv0 für i 2 ¹aI bº: Der Vergleich der Verteilungsfunktionen liefert P.Ra 5 x/ D P ln Va v0 5 x D P.Va 5 v0 ex/ D F.v0 ex/ 5 G.v0 ex/ D P.Rb 5 x/; und damit eine stets geltende Ungleichung, die für mindestens ein x strikt ist. Damit hat auch Diplom-Kaufmann Klug recht. Lösungen zu Kapitel 4 81 Lösung zu Aufgabe 4.20* a) Wenn wir uns zunächst auf a und damit auf die Verteilung von Xa konzentrieren, so sieht man, dass ein Verlust von 5 nur mit Wahrscheinlichkeit 0 überschritten wird, ein Verlust von 4 jedoch mit der Wahrscheinlichkeit 0,5%, und ein Verlust von 3 bereits mit 1,5% Wahrscheinlichkeit. Also ist VaR.0;5%/ D 4. Ganz analog errechnet man die weiteren VaR.˛/-Größen. ˛ (in %) 0,5 1 1,5 2,75 VaR.˛/ für a 4 4 3 3 VaR.˛/ für b 5 4 3 2 b) Wird ˛ D 0;5% zu Grunde gelegt, so ist b risikoreicher als a, da b einen höheren VaR besitzt. Für ˛ D 1% und 1;5% ist der VaR gleich. Bei Zugrundelegung von ˛ D 2;75% ist jedoch a gemäß dem VaR- Ranking als risikoreicher einzustufen. Die Restriktion VaR 5 2;4 führt dann zum Ausschluss der Alternative a, obwohl diese gemäß SSD von jedem Risikoaverter gegenüber b präferiert wird. Infolgedessen können (müssen jedoch nicht!) VaR-Restriktionen dazu führen, dass (bezüglich SSD) ineffiziente Aktionen ergriffen werden müssen. Bemerkung zur Aufgabe 4.20* Die im Teil b) aufgegriffene These wird mit dem gleichen Zahlenbeispiel von Guthoff et al. (1998) ausführlich diskutiert. Lösung zu Aufgabe 4.21 a) Beim Verkauf der Forderung erhält Unternehmer Schulz 900 000 Euro. Dieser Betrag ist mit dem Rückzahlungs-Erwartungswert 0;85 1 000 000C 0;10 800 000C 0;05 0 D 930 000 zu vergleichen. Die Factoring-Bank sollte demnach nicht eingeschaltet werden. b) Das Sicherheitsäquivalent s bestimmt sich als Lösung der Gleichung ln.100000C s/D 0;85 ln 1 100 000C 0;10 ln 900 000C 0;05 ln 100 000 D 13;77 ” s D e13;77 100 000 D 855 510 Euro: Da bei Forderungsverkauf eine sichere Zahlung und damit das Sicherheitsäquivalent s D 900 000 resultiert, sollte nun die Factoring-Bank eingeschaltet werden. 82 4. Kapitel. Aufgaben zu Entscheidungen bei Risiko Lösung zu Aufgabe 4.22 Wegen der Risikoneutralität bezüglich Nettoeinkommen und wegen der Gleichwertigkeit von X und s muss gelten s t .s/ D EŒX t .X/ : Offensichtlich hat die Risikoneutralität bezüglich Nettoeinkommen genau dieselbe Wirkung wie die Risikonutzenfunktion u.x/ D x t .x/ bezüglich Bruttoeinkommen. Obige Gleichung wird mit dieser induzierten Nutzenfunktion zu u.s/ D Eu.X/: Wenn sich herausstellt, dass u.x/ konkav ist, so ist geklärt, dass s < E.X/ sein muss. Wegen u0.x/ D 1 t 0.x/ .> 0/ u00.x/ D t 00.x/ < 0 ist die Konkavität von u.x/ in der Tat zutreffend. Die gleichwertige Fixentlohnung s muss deshalb kleiner als die erwartete Bruttoentlohnung E.X/ sein. Lösung zu Aufgabe 4.23 a) Das Endvermögen V.x/ hängt vom risikobehaftet investierten Betrag x folgendermaßen ab: V.x/ D .v0 x/ .1C i/C x .1CR/ D v0 .1C i/C x .R i/: Erwartungswert und Varianz von V.x/ sind: EŒV .x/ D v0 .1C i/C x . i/ VarŒV .x/ D x2 2: Da V.x/ als lineare Funktion einer normalverteilten Zufallsvariablen ebenfalls wieder normalverteilt ist, erhält man wegen der Konstanz der Risikoaversion ˛ (vergleiche die Ausführungen am Ende von Abschnitt 4.8 in Bamberg et al., 2012b) das Sicherheitsäquivalent s.x/ D EŒV .x/ ˛ 2 VarŒV .x/ D v0 .1C i/C x . i/ ˛2 x2 2: Lösungen zu Kapitel 4 83 Das Sicherheitsäquivalent s.x/ ist eine konkave Funktion von x, wie man aus s0.x/ D i ˛ x 2 s00.x/ D ˛ 2 < 0 erkennt. Die Maximalstelle x ergibt sich aus s0.x / D 0. Somit errechnet man den optimalen Geldbetrag gemäß x D i ˛ 2 : b) Der risikobehaftet zu investierende Geldbetrag x wächst mit steigender erwarteter Überrendite i . Da letztere als positiv vorausgesetzt wurde (sonst würde die risikobehaftete Anlagemöglichkeit leerverkauft), steigt x , sobald die Risikoaversion ˛ kleiner wird oder das Risiko 2 kleiner wird. Das Anfangsvermögen v0 ist irrelevant (wie stets, wenn die Risikoaversion konstant ist). Bemerkung zu Aufgabe 4.23 Die Aufgabe ist ein prototypisches Beispiel für den LEN-Ansatz. Dabei steht L für Linearität (V.x/ ist linear von R abhängig), E für exponentielle Risikonutzenfunktion (gleichbedeutend mit konstanter absoluter Risikoaversion), N für Normalverteilung. Bei LEN-Modellen ergibt sich eine einfach zu analysierende . ; /-Welt, die zudem mit dem Bernoulli-Prinzip verträglich ist. Für die gesuchten Größen (hier x ) erhält man einfach auszuwertende quadratische Zielfunktionen und explizite Formeln. Dies alles erklärt die Beliebtheit des Ansatzes. Lösung zu Aufgabe 4.24* Bezeichnet s.X/ das Sicherheitsäquivalent vonX , so berechnet Experte Klein beispielsweise für das Investitionsprojekt a die Güteziffer ˆK.a/ D sŒ 50C 11;1 X1 C 11;12 X2 ; wohingegen Experte Groß die Güteziffer ˆG.a/ D 50C 11;1 s.X1/C 11;12 s.X2/ berechnet. Da X1 D X2 gilt, ist der (stochastische) Kapitalwert 50C 1 1;1 X1 C 11;12 X2 84 4. Kapitel. Aufgaben zu Entscheidungen bei Risiko normalverteilt mit dem Erwartungswert 50C . 1 1;1 C 1 1;12 / 35 und der Varianz . 1 1;1 C 1 1;12 /2 2x : Bildung des Sicherheitsäquivalents liefert die Güteziffer ˆK.a/ D 50C . 11;1 C 11;12 / 35 ˛2 2x . 11;1 C 11;12 /2 D 7;73; wobei ˛ 2 2x D 1 verwendet wurde: Experte Groß errechnet ˆG.a/ D 50C 11;1 .35 ˛2 2x /C 11;12 .35 ˛2 2x / D 9;01: Auch bezüglich der Investitionsalternative b ist der (stochastische) Kapitalwert normalverteilt, wobei der Erwartungswert 50C . 1 1;1 C 1 1;12 / 40 und die Varianz . 1 1;12 C 1 1;14 / 2y betragen. Damit errechnet Experte Klein ˆK.b/ D 50C . 11;1 C 11;12 / 40 ˛2 2y . 11;12 C 11;14 / D 8;86; wobei ˛ 2 2y D 7 verwendet wurde: Experte Groß berechnet ˆG.b/ D 7;27. Bezüglich der sicheren Investition c berechnen beide Experten dieselbe Bewertungsziffer 50C 33;5 . 1 1;1 C 1 1;12 / D 8;14. Beide Experten kommen zwar zu dem Fazit, dass sich jede der drei Investitionen lohnt. Experte Klein kommt jedoch zur Reihenfolge b c a; während Experte Groß die Reihenfolge a c b deduziert.

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References

Zusammenfassung

Zum Werk

Das Arbeitsbuch dient der Einübung grundlegender Begriffe und Verfahren der betriebswirtschaftlichen Entscheidungslehre. Es enthält mehr als 100 typische Klausuraufgaben betreffend

- das Grundmodell der betriebswirtschaftlichen Entscheidungslehre

- Entscheidungen bei Sicherheit und mehrfacher Zielsetzung

- Entscheidungen bei Risiko

- Entscheidungen bei Ungewissheit

- Entscheidungen bei variabler Informationsstruktur

- Grundbegriffe der Spieltheorie

- Gremienentscheidungen

- Mehrstufige Entscheidungen.

Alle Aufgaben wurden jeweils mit einer ausführlichen Musterlösung versehen.

Autoren

Prof. em. Dr. Dr. h.c. Günter Bamberg war Inhaber des Lehrstuhls für Statistik der Universität Augsburg. PD Dr. Franz Baur ist Akademischer Direktor a.D. am Lehrstuhl für Statistik der Universität Augsburg. Prof. Dr. Michael Krapp ist Extraordinarius für Quantitative Methoden an der Universität Augsburg.

Zielgruppe

Für Studierende der Wirtschaftswissenschaften an Universitäten, Fachhochschulen und Berufsakademien.