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4 Theorie der Portefeuille-Auswahl in:

Hans Blohm, Klaus Lüder, Christina Schaefer

Investition, page 323 - 330

Schwachstellenanalyse des Investitionsbereichs und Investitionsrechnung

10. Edition 2012, ISBN print: 978-3-8006-3937-3, ISBN online: 978-3-8006-3938-0, https://doi.org/10.15358/9783800639380_323

Series: Vahlens Handbücher der Wirtschafts- und Sozialwissenschaften

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4 Theorie der Portefeuille-Auswahl 4.1 Darstellung des Grundmodells Das Problem der Bestimmung von Wertpapier-Portefeuilles, die bei gegebenen finanziellen Mitteln und unter Berücksichtigung des Risikos mit Hilfe der Varianz den Erwartungswert des Ertrages maximieren, wurde erstmals von Markowitz14 behandelt. Sein Ansatz wurde von einer großen Zahl von Autoren vereinfacht, ergänzt und weiterentwickelt.15 Unter anderem wurde der Markowitz-Ansatz auch zum Zwecke der Bestimmung von Realinvestitionsprogrammen modifiziert.16 Das Lorie-Savage-Problem17 kann entsprechend der Theorie der Portefeuille-Auswahl wie folgt formuliert werden oder oder σij: Varianz von cj für j = i bzw. Kovarianz zwischen cj und ci für j ≠ i. Die erste Nebenbedingung stellt sicher, dass die Varianz des optimalen Investitionsprogramms den vorgegebenen Wert V– nicht übersteigt. Die Lösung des angegebenen Portefeuille-Problems wird als „effiziente“ Lösung bezeichnet. Variiert man V– parametrisch, so erhält man die Menge der effizienten Lösungen, aus denen mit Hilfe einer Risikopräferenzfunktion die optimale Lösung bestimmt werden kann.18 312 6. Kapitel: Berücksichtigung unsicherer Erwartungen 14 Vgl. Markowitz, H., Portfolio Selection, The Journal of Finance 1952, S.77f. Markowitz, H., The Optimization of a Quadratic Function Subject to Linear Constraints, Naval Research Logistics Quarterly 1956, S.111ff. Markowitz, H., Portfolio Selection, New York/London/Sydney 1959. 15 Vgl. die Literaturhinweise bei Hielscher, U., Das optimale Aktienportefeuille, 2.Aufl., Frankfurt/M. 1969. 16 Vgl. Weingartner, H. M., Capital Budgeting of Interrelated Projects: Survey and Synthesis, M. Sc. (1966) 7, S.485ff. Brockhoff, K., Zum Problem des optimalen Wertpapierbudgets, Unternehmensforschung 1967, S.169ff. Peters, L., Simultane Produktions-Investitionsplanung mit Hilfe der Theorie der Portfolio-Selection. Berlin 1971. Lüder, K./Streitferdt, L., a. a. O., S.B-89ff. 17 Vgl. S.305. 18 Vgl. Farrar, D. E., The Investment Decision under Uncertainty, 1962, S.26ff.; Weingartner, H. M., 1966, a. a.O., S.500ff. 007-Kapitel_6 14.05.12 10:25 Seite 312 Die Bestimmung der Menge der effizienten Lösungen ist prinzipiell auf folgende Weise möglich: 1. Nichtganzzahliger Fall (0 ≤ xj ≤ 1): a) Lösung je eines nichtganzzahligen quadratischen Programms für alle Vu ≤ V – ≤ V0, V– diskret. Vu ist eine untere Schranke, V0 eine obere Schranke für die Varianz des Portefeuilles. b) Lösung eines einparametrischen quadratischen Programms mit dem Parameter λ in der Varianznebenbedingung für Parameterwerte 2. Ganzzahliger Fall (xj = 0 oder 1): Lösung je eines ganzzahligen Programms für alle Vu ≤ V– ≤ V0. Die Lösung im Fall 1 a) erfolgt zweckmäßigerweise über eine Linearisierung der Varianznebenbedingung.19 Für die Lösung des Falles 2. steht eine Reihe von Verfahren zur Verfügung, die allerdings verlangen, dass die Größe des Problems relativ enge Grenzen nicht überschreitet.20 Da jedoch die Verfahren der linearen ganzzahligen Programmierung auch nicht effizienter sind als die Verfahren der nichtlinearen ganzzahligen Programmierung, bringt im ganzzahligen Fall die Linearisierung der Varianznebenbedingung keinen Vorteil. Eines der schwierigsten Probleme bei der Anwendung des Ansatzes der Portefeuille-Theorie zur Bestimmung eines Programmes von Realinvestitionen besteht in der Schätzung der Kovarianzen zwischen den Kapitalwerten der einzelnen Projekte. Anders als bei Wertpapieren ist man bei Realinvestitionsprojekten auf subjektive Schätzungen der Kovarianzen angewiesen, da keine Zeitreihen für die Kapitalwerte vorliegen. Kovarianzen können jedoch kaum direkt geschätzt werden. Cohen/Elton21 schlagen deshalb vor, zunächst durch Anwendung der Simulationstechnik Kapitalwertreihen für die einzelnen Projekte zu gewinnen und da raus die Schätzwerte für Erwartungswerte, Varianzen und Kovarianzen zu errechnen. Im einzelnen ist wie folgt vorzugehen: 19 Vgl. Abschnitt 3, Seite 308ff. 20 Vgl. z.B. Lüder, K./Streitferdt, L., a. a. O., S.B-105ff. 21 Vgl. Cohen, K. J./Elton, E. J., Inter-Temporal Portfolio Analysis Based on Simulation of Joint Returns, M. Sc. 1967, S.5ff. 4 Theorie der Portefeuille-Auswahl 313 007-Kapitel_6 14.05.12 10:25 Seite 313 1. Für jedes Projekt sind die Inputgrößen der Kapitalwertrechnung zu ermitteln. 2. Für die einzelnen Inputgrößen sind subjektive Wahrscheinlichkeitsverteilungen unter Beachtung stochastischer Abhängigkeiten anzugeben.22 3. Mit Hilfe von Zufallszahlengeneratoren wird in einem Simulationsdurchlauf je ein Wert der Inputgrößen ausgewählt und für jedes Projekt ein Kapitalwert errechnet.23 4. Nach m Simulationsdurchläufen hat man für jedes Investitionsprojekt eine Kapitalwertreihe mit m Gliedern ermittelt. 5. Aus den Kapitalwertreihen bestimmt man sodann für jedes Projekt j den Schätzwert für den Erwartungswert den Schätzwert für die Varianz 6. Für ein Projekt j bestimmen sich die Schätzwerte für die Kovarianzen mit anderen Projekten i ≠ j nach sofern i und j gemeinsame Inputgrößen für die Kapitalwertrechnung besitzen, oder sofern bei Projektverschiedenheit der Inputgrößen stochastische Abhängigkeiten zwischen den Inputgrößen von i und j bestehen und in Schritt 2. explizit berücksichtigt wurden. 314 6. Kapitel: Berücksichtigung unsicherer Erwartungen 22 Vgl. 4. Kapitel, Abschnitt 4.2, S.243ff., und 4.3.2, S.254ff. 23 Vgl. 4. Kapitel, Abschnitt 4.2, S.243ff., und 4.3.2, S.254ff. 007-Kapitel_6 14.05.12 10:25 Seite 314 Für ein Projekt j müssen die Kovarianzen mit anderen Projekten i ≠ j den Wert Null annehmen, wenn die Kapitalwerte von i und j ausschließlich voneinander verschiedene Inputgrößen besitzen und stochastische Abhängigkeiten zwischen den projektverschiedenen Inputgrößen nicht bestehen oder nicht angenommen wurden. Zu dem Simulationsverfahren von Cohen/Elton ist abschließend zu bemerken, dass es zwar das Problem der Schätzung von Kovarianzen zwischen den Kapitalwerten einzelner Investitionsprojekte löst. Es bleibt jedoch weiterhin das Problem der Erfassung stochastischer Abhängigkeiten zwischen den Inputgrößen der Kapitalwertrechnung. 4.2 Simulationsmodell zur Bestimmung effizienter Portefeuilles von Investitionsprojekten24 Von Salazar und Sen wurde ein heuristisches, für die praktische Anwendung durchaus interessantes Verfahren vorgeschlagen, mit dessen Hilfe im Hinblick auf Ertrag (hier definiert als Erwartungswert des Vermögensendwertes) und Risiko (hier definiert als Varianz des Vermögensendwertes) möglichst effiziente Investitionsprogramme bestimmt werden können. Diese Zielsetzung deckt sich mit der Zielsetzung der Portefeuille-Theorie. Der Salazar-Sen-Ansatz kann daher auch als eine Weiterführung der Theorie der Portefeuille-Auswahl zur Beurteilung von Realinvestitionsprogrammen unter Anwendung der Simulationstechnik verstanden werden. Bei der Ermittlung der Investitionsprogramme und der Wahrscheinlichkeitsverteilungen ihres Vermögensendwertes gehen die Autoren von folgenden wesentlichen Annahmen aus: – Alle investitionsbedingten Zahlungen lassen sich Investitionsprojekten zuordnen (Prämisse der Isolierbarkeit der Investitionsprojekte). Die Höhe der Nettozahlungen ist abhängig von Zufallsereignissen, die explizit in die Analyse einbezogen werden und deren Eintrittswahrscheinlichkeiten angegeben werden können. – Je Zufallsereigniskonstellation, Projekt und Jahr des Planungszeitraums kann eine Wahrscheinlichkeitsverteilung der Nettozahlungen angegeben werden. – Nettozahlungen eines Projektes in einem beliebigen Jahr des Planungszeitraums sind von den Nettozahlungen des gleichen Projektes in allen anderen Jahren und den Nettozahlungen aller übrigen Projekte stochastisch unabhängig. Die Verfasser schalten damit das schwierige Problem der Erfassung und Be rücksichtigung stochastischer Abhängigkeiten zwischen den Nettozahlungen aus der Betrachtung aus. – Die Bestimmung optimaler Investitionsprogramme bei gegebenen Nettozahlungen der Projekte erfolgt unter Verwendung des Vermögensendwertmodells („basic horizon“-Modell) von Weingartner.25 24 Vgl. Salazar, R. C./Sen, S.K., A Simulation Model of Capital Budgeting under Uncertainty, M. Sc. (1968) 4, S. B-161 ff. Abgedruckt in Lüder, K. (Hrsg.), Investitionsplanung, a. a. O., S.299ff. 25 Vgl. oben S.278ff. 4 Theorie der Portefeuille-Auswahl 315 007-Kapitel_6 14.05.12 10:25 Seite 315 Beispiel:26 Zufallsereignisse und Eintrittswahrscheinlichkeiten 316 6. Kapitel: Berücksichtigung unsicherer Erwartungen 26 Vgl. Salazar, R. C./Sen, S.K., a. a.O., S.B-165. Auf der Grundlage dieser Annahmen werden von Salazar und Sen zwei Verfahren zur Ermittlung von Investitionsprogrammen und der Wahrscheinlichkeitsverteilungen ihres Vermögensendwertes vorgeschlagen. Verfahren I Die zweite Annahme wird insofern eingeschränkt als lediglich der Erwartungswert der Nettozahlungen in die Rechnung eingeht, m.a.W. bei gegebener Zufallsereigniskonstellation sind die Nettozahlungen für jedes Projekt determiniert. – Berechnung des optimalen Investitionsprogramms für jede Zufallsereigniskonstellation. Es sind so viele deterministische Optimierungsprobleme zu lösen, wie es Zufallsereigniskonstellationen gibt (in obigem Beispiel sind es 12). – Variante A: Errechnung des Vermögensendwertes für jedes der optimalen In ves titionsprogramme bei allen Zufallsereigniskonstellationen. Kennt man für 007-Kapitel_6 14.05.12 10:25 Seite 316 ein Programm die Vermögensendwerte bei allen Zufallsereigniskonstellationen, so kennt man auch die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Vermögensendwertes, deren Erwartungswert und Varianz sich leicht bestimmen lassen. – Variante B: = Bildung einer Rangordnung der Einzelprojekte aufgrund des Erwartungswertes ihres Auftretens in den ermittelten optimalen Lösungen. Die Rangziffer rj des j-ten Projektes berechnet sich wie folgt:27 wobei 1, falls Projekt j im optimalen Investitionsprogramm für die Zufallsxij = ereigniskonstellation i enthalten ist 0, sonst wi: = Eintrittswahrscheinlichkeit für Zufallsereigniskonstellation i. = Heuristische Aufstellung von Investitionsprogrammen in der Weise, dass das erste Programm lediglich das ranghöchste Projekt enthält, das zweite Programm die beiden ranghöchsten Projekte usw. Auf diese Weise lassen sich maximal n (n: = Anzahl der Investitionsprojekte) verschiedene Investitionsprogramme formulieren. Gegenüber der Verwendung der optimalen Investitionsprogramme kann der Zweck dieses Vorgehens darin gesehen werden, insbesondere bei wenigen Zufallsgrößenkonstellationen zusätzliche, nach Möglichkeit effizientere Investitionsprogramme zu finden. Die Zulässigkeit der heuristischen Programme ist allerdings im Gegensatz zu den optimalen Programmen nicht gesichert. = Simulative Ermittlung einer Häufigkeitsverteilung des Vermögensendwertes für jedes Investitionsprogramm und Berechnung ihres Erwartungswertes und ihrer Varianz. Verfahren II Die einschränkende Voraussetzung des Verfahrens I bezüglich der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Projekt-Nettozahlungen wird fallen gelassen. Das Verfahreil zur Bestimmung von Investitionsprogrammen sowie des Erwartungswertes und der Varianz ihres Vermögensendwertes besteht in diesem Fall aus folgenden Schritten: – Simulation der Zufallsereigniskonstellationen durch eine Folge von Zufallszahlen. Bestimmung einer Ereigniskonstellation je Simulationslauf. – Simulation der Projekt-Nettozahlungen durch eine Folge von Zufallszahlen. Für jedes Projekt ist aus den der ausgewählten Zufallsereigniskonstellation zugeordneten Nettozahlungen eine Nettozahlungskonstellation je Simulationslauf zu bestimmen. ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 27 Vgl. Salazar, R. C./Sen, S.K., a. a. O., S.B-172. 4 Theorie der Portefeuille-Auswahl 317 007-Kapitel_6 14.05.12 10:25 Seite 317 318 6. Kapitel: Berücksichtigung unsicherer Erwartungen 28 Vgl. Salazar, R. C./Sen, S.K., a. a. O., S.B-169. – Ermittlung des optimalen Investitionsprogramms aufgrund der in Schritt 2 ausgewählten Nettozahlungen. Das folgende Ablaufdiagramm28 fasst die ersten drei Schritte des Verfahrens II zusammen. – Bildung einer Rangordnung der Einzelprojekte nach der Häufigkeit ihres Auftretens in den ermittelten Programmen. Für die Rangziffer rj des j-ten Projektes gilt: wobei 1, falls Projekt j im optimalen Investitionsprogramm des Simulationsxjs = laufs s enthalten ist 0, sonst s*: = Anzahl der Simulationsläufe. ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 007-Kapitel_6 14.05.12 10:25 Seite 318 – Heuristische Aufstellung von Investitionsprogrammen in der oben beim Verfahren I, Variante B, beschriebenen Weise. – Simulative Ermittlung einer Häufigkeitsverteilung des Vermögensendwerts für jedes Investitionsprogramm und Berechnung ihres Erwartungswertes und ihrer Varianz. 5 Flexible Investitionsprogrammplanung Flexible Investitionsprogrammplanung im Sinne von Herbert Hax und Helmut Laux bedeutet mehrperiodige konditionierte (bedingte) Investitionsprogrammplanung.29 Ihre besonderen Kennzeichen sind – die explizite Berücksichtigung alternativer zukünftiger Umweltzustände (weil sie die Entscheidungen beeinflussen) und – die Berücksichtigung künftiger Entscheidungsmöglichkeiten bei den gegenwärtigen Entscheidungen (wegen des Einflusses künftiger auf gegenwärtige Entscheidungen). Ergebnis der flexiblen Investitionsprogrammplanung sind Eventual-Investitionspläne (Alternativpläne, Schubladenpläne) für die einzelnen Teilperioden des Planungszeitraums. Sie werden insoweit realisiert, als die Umweltzustände eintreten, für die sie entwickelt wurden. Dieses Planungsprinzip liegt auch dem auf S.261ff. dargestellten Entscheidungsbaumverfahren zugrunde. Als theoretisches Konzept sind die flexible Planung allgemein und die flexible Investitionsprogrammplanung speziell unumstritten. Die Diskussion dazu erstreckte sich – abgesehen von terminologischen Auseinandersetzungen – vor allem auf die Frage der Praktikabilität des Konzeptes bei komplexen Entscheidungsproblemen sowie auf Art, Umfang und Zweckmäßigkeit von Vereinfachungen.30 Bei der Praktizierung einer flexiblen Investitionsprogrammplanung sieht man sich folgenden Problemen gegenüber: – Es besteht, wie stets bei Planungen unter Unsicherheit, unvollkommene Information über die künftigen Umweltzustände und die künftigen Entscheidungsmöglichkeiten. Das bedeutet, dass u.U. auch andere als die im Rahmen der flexiblen Investitionsprogrammplanung ermittelten Investitionspläne realisiert werden (müssen) und dass demzufolge – wegen der intertemporalen Verflechtungen zwischen den Investitionsplänen – bei den gegenwärtigen Investitionsentscheidungen (bei den Investitionsentscheidungen für die 1. Teilperiode des Planungszeitraums) von falschen Voraussetzungen über die Zukunft ausgegangen wird. 29 Vgl. Hax, H.: Investitionstheorie, a. a. O., S.165f.; Laux, H.: Entscheidungstheorie. Band1: Grundlagen, 2.Aufl., Berlin/Heidelberg/New York 1991, S.251f. 30 Vgl. Schneider, D., a. a. O., S.114ff., Laux, H.: Entscheidungstheorie, a. a. O., S.275 ff. 5 Flexible Investitionsprogrammplanung 319 007-Kapitel_6 14.05.12 10:25 Seite 319

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References

Zusammenfassung

Investitionen sicher beurteilen.

Dieses Lehrbuch führt in die Grundlagen der Investitionsrechnung ein. An die Schwachstellenanalyse des Investitionsbereichs im Unternehmen schließt sich die Vorstellung der gängigen Verfahren zur Beurteilung von Investitionen an. Hierbei wird auch der Einfluss von Steuern und der Inflation bei Investitionsentscheidungen berücksichtigt. Zahlreiche Abbildungen und Beispielrechnungen sorgen für ein zusätzliches Verständnis der Darstellungen.

Aus dem Inhalt:

- Schwachstellen im Investitionsbereich

- Beurteilung einzelner Investitionsprojekte bei sicheren und unsicheren Erwartungen

- Bestimmung von Investitionsprogrammen bei sicheren und unsicheren Erwartungen

Über die Autoren:

Begründet von Prof. Dr.-Ing. Hans Blohm (ehemals Technische Universität Berlin) und Prof. Dr. Dr. h.c. Klaus Lüder, Deutsche Universität für Verwaltungswissenschaften Speyer, ab der 9. Auflage fortgeführt mit Prof. Dr. Christina Schaefer, Helmut-Schmidt-Universität Hamburg.