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4 Risikoanalyse in:

Hans Blohm, Klaus Lüder, Christina Schaefer

Investition, page 248 - 273

Schwachstellenanalyse des Investitionsbereichs und Investitionsrechnung

10. Edition 2012, ISBN print: 978-3-8006-3937-3, ISBN online: 978-3-8006-3938-0, https://doi.org/10.15358/9783800639380_248

Series: Vahlens Handbücher der Wirtschafts- und Sozialwissenschaften

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4 Risikoanalyse 4.1 Allgemeines 4.1.1 Vorbemerkung Unter dem Begriff Risikoanalyse (risk analysis)21 werden diejenigen Verfahren zusammengefasst, deren Zweck die Gewinnung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung für das Investitions-Entscheidungskriterium (z. B. Kapitalwert) ist. Diese Wahrscheinlichkeitsverteilung basiert gewöhnlich auf subjektiven Glaubwürdigkeitsvorstellungen – es handelt sich um eine Verteilung „subjektiver Wahrscheinlichkeiten“. Bevor auf die Verfahren der Risikoanalyse im einzelnen eingegangen wird, erscheint es zweckmäßig, einige wichtige wahrscheinlichkeitstheoretische und entscheidungstheoretische Grundlagen zu erörtern. 4.1.2 Wahrscheinlichkeitstheoretische Grundlagen (1) Arten von Wahrscheinlichkeiten: w (A) : Wahrscheinlichkeit oder einfache Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A; w (A ∩ B) : verbundene Wahrscheinlichkeit der Ereignisse A und B. Dies ist die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl das Ereignis A als auch das Ereignis B eintreten. w (A ∩ B) w (B/A) = ––––––––– : bedingte Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B bei gew (A) gebenem Ereignis A. Dies ist die Eintrittswahrscheinlichkeit für das Ereignis B unter der Voraussetzung, dass das Ereignis A eingetreten ist. (2) Abhängigkeiten zwischen zwei Ereignissen: Zwei Ereignisse A und B heißen stochastisch (oder statistisch) unabhängig, wenn gilt w (A ∩ B) = w (A) · w (B), d. h. w (B) = w (B/A). Anderenfalls heißen sie stochastisch abhängig. (3) Abhängigkeiten zwischen zwei Zufallsvariablen: Als Zufallsvariable wird eine Größe bezeichnet, „die bei jedem Versuchsausgang eine bestimmte reelle Zahl als Messwert annimmt.“22 In der folgenden Darstellung wird von einer endlichen Anzahl von Ereignissen i (i = 1, ..., n) ausgegangen. Die Zufallsvariable x ordnet dann jedem Ereignis i einen Zahlenwert xi zu. 236 4. Kapitel: Berücksichtigung unsicherer Erwartungen 21 Vgl. Hertz, D. B., Risk Analysis in Capital Investment, HBR 1/1964, S.95ff. Deutsche Übersetzung abgedruckt in Lüder, K., (Hrsg.), Investitionsplanung, a. a. O., S.157 ff. 22 Basler, H., Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung und statistischen Methodenlehre, 11.Auflage, Heidelberg 1994, S.85. Vgl. dort auch die exakte Definition. 005-Kapitel_4 14.05.12 09:58 Seite 236 w(xi) sei dann die Wahrscheinlichkeit, mit der die Zufallsvariable x den Wert xi annimmt. Zwei Zufallsvariable x und y heißen stochastisch unabhängig, wenn gilt w(xi ∩ yj) = w(xi) · w(yj) (i, j {1, …, n}) Anderenfalls heißen sie stochastisch abhängig. Für den Fall, dass zwei Zufallsvariable x und y stochastisch unabhängig sind, beträgt ihr Korrelationskoeffizient Darin symbolisieren cov die Kovarianz, σ die Standardabweichung, E und μ Erwartungswerte [E(x) = μx]. Aus r = 0 folgt jedoch nicht notwendig die stochastische Unabhängigkeit der Zufallsvariablen x und y. Bei stochastischer Abhängigkeit zwischen x und y können noch folgende Fälle unterschieden werden: 1. Funktionale Abhängigkeit a) Lineare Abhängigkeit zwischen x und y. Eine lineare Abhängigkeit zwischen x und y besteht genau dann, wenn ⎜r ⎜= 1 (Allgemein ist ⎜r ⎜ein Maß dafür, wie gut die Abhängigkeit zwischen x und y als lineare Abhängigkeit dargestellt werden kann23. In diesem Fall gilt24 σyyi = axi + b mit ⎜a ⎜= –– .σx Dies ist der Fall der vollständigen Korrelation. b) Nichtlineare Abhängigkeit zwischen x und y. Es gilt ⎜r ⎜< 1 yi = f(xi) nichtlinear. Aus der nichtlinearen funktionalen Abhängigkeit folgt ⎜r ⎜< 1. Umgekehrt kann jedoch aus ⎜r ⎜< 1 nicht auf eine nichtlineare funktionale Abhängigkeit zwischen x und y geschlossen werden. 2. Nichtfunktionale Abhängigkeit zwischen x und y. Es gilt w(xi ∩ yj) = w(xi) · w(yj/xi) 0 < ⎜r ⎜< 1 Aus der stochastischen, nichtfunktionalen Abhängigkeit folgt 0 < ⎜r ⎜< 1. Umgekehrt kann jedoch aus 0 < ⎜r ⎜< 1 nicht auf eine stochastische, nichtfunktionale Abhängigkeit zwischen x und y geschlossen werden. (4) Erwartungswert und Varianz einer Summe von Zufallsvariablen: Der Erwartungswert einer Summe von Zufallsvariablen ist gleich der Summe ihrer einzelnen Erwartungswerte. Für zwei Zufallsvariablen x und y gilt E(x + y) = E(x) + E(y). 23 Vgl. Basler, H., a. a. O., S.139. 24 Vgl. Mao, J. C. T., Quantitative Analysis …, a. a. O., S.273. 4 Risikoanalyse 237 005-Kapitel_4 14.05.12 09:58 Seite 237 Die Varianz einer Summe von Zufallsvariablen ist gleich der Summe der Einzelvarianzen und den zwischen den Zufallsvariablen gegebenen Kovarianzen. Für zwei Zufallsvariable x und y gilt V(x + y) = V(x) + V(y) + 2 cov (x, y) = σ 2x + σ 2y + 2 r σ x σ y. 4.1.3 Entscheidungstheoretische Grundlagen (1) Bernoulli-Prinzip: Die neuere, auf dem so genannten Bernoulli-Prinzip aufbauende Entscheidungstheorie lässt sich kurz wie folgt charakterisieren – bei Entscheidungen unter Unsicherheit kann der Entscheidende eine subjektive Nutzenfunktion angeben, die jedem Ergebnis einer Entscheidungsalternative einen bestimmten Nutzen zuordnet (Bernoulli-Nutzen, Neumann-Morgenstern-Nutzen, Risikonutzen), – die Nutzenfunktion muss mit dem Axiomensystem des Bernoulli-Prinzips vereinbar sein (Ordinales Prinzip, Dominanzprinzip, Stetigkeitsaxiom, Substitutions- oder Unabhängigkeitsaxiom25) ; – der Nutzen einer Entscheidungsalternative ist gleich dem Erwartungswert des Nutzens der Ergebnisse für diese Alternative; – der Entscheidende wählt von mehreren Entscheidungsalternativen diejenige mit dem höchsten Erwartungswert des Nutzens (Maximierung der Nutzenerwartung). Eine Entscheidung unter Unsicherheit, die diesen Anforderungen genügt, wird als rational (im Sinne des Bernoulli-Prinzips) bezeichnet. (2) Risikoverhalten: Die Grundtypen des Risikoverhaltens (Risikofreude, Risikoneutralität, Risikoscheu) finden in der Form der Nutzenfunktion ihren Ausdruck. Sie lassen sich mit Hilfe des Sicherheitsäquivalentes leicht kennzeichnen. Als Sicherheits - äquivalent einer durch die Wahrscheinlichkeitsverteilung W von Ergebnissen xi gekennzeichneten Alternative bezeichnet man dasjenige sichere Ergebnis S, dessen Nutzen dem Nutzen der Alternative gleich ist, d. h. Risikofreudiges Verhalten liegt vor, wenn das Sicherheitsäquivalent größer ist als der Erwartungswert der Ergebnisverteilung, wenn also gilt 238 4. Kapitel: Berücksichtigung unsicherer Erwartungen 25 Vgl. Schneeweiß, H., Entscheidungskriterien bei Risiko, Berlin/Heidelberg/New York 1967, S.74f. 005-Kapitel_4 14.05.12 09:58 Seite 238 Eine konvexe Nutzenfunktion entspricht diesem Risikoverhalten. Dies lässt sich graphisch einfach zeigen im Fall der folgenden aus lediglich zwei Werten bestehenden Wahrscheinlichkeitsverteilung (Siehe hierzu folgende Abbildung) Risikoneutrales Verhalten liegt vor, wenn das Sicherheitsäquivalent gleich dem Erwartungswert der Ergebnisverteilung ist, wenn also gilt Eine lineare Nutzenfunktion entspricht diesem Risikoverhalten, wie sich unter Verwendung der Zahlen des obigen Beispiels graphisch zeigen lässt: Risikoscheues Verhalten liegt vor, wenn das Sicherheitsäquivalent kleiner als der Erwartungswert der Ergebnisverteilung ist, wenn also gilt 4 Risikoanalyse 239 005-Kapitel_4 14.05.12 09:58 Seite 239 Eine konkave Nutzenfunktion entspricht diesem Risikoverhalten, wie sich unter Verwendung der Zahlen des obigen Beispiels graphisch zeigen lässt: (3) Spezielle Nutzenfunktionen und zugehörige Entscheidungsregeln: Für spezielle Arten von Nutzenfunktionen lassen sich Entscheidungsregeln angeben, die ohne oder zumindest ohne vollständige Kenntnis der Parameter der Nutzenfunktion die Bestimmung der optimalen (nutzenerwartungsmaximalen) Entscheidungsalternative gestatten. In diesem Zusammenhang werden in der Literatur insbesondere die folgenden Nutzenfunktionen diskutiert: 1. Lineare Nutzenfunktionen Gegeben sei eine Nutzenfunktion u = a + b · x mit b > 0 und a, b = const. Für den Erwartungswert des Nutzens gilt dann E(u) = a + b · E(x) = a + b · μx. Der Erwartungswert des Nutzens ist in diesem Fall bei gegebenen Werten für a und b allein vom Erwartungswert der Verteilung der Ergebnisse μx abhängig. Zur Ermittlung der optimalen Entscheidungsalternative müssen lediglich die Erwartungswerte μx bekannt sein. Es lässt sich demnach folgende Entscheidungsregel formulieren: Wähle die Entscheidungsalternative mit μx = max! Auf die Investitionsentscheidung übertragen bedeutet dies, dass unter mehreren alternativen Investitionsprojekten dasjenige mit dem maximalen Erwartungswert des Kapitalwertes zu wählen ist. Der Erwartungswert des Kapitalwertes für ein Investitionsprojekt beträgt Nt j: Nettozahlungen zum Zeitpunkt t bei Eintritt der j-ten Zukunftslage wt j: Wahrscheinlichkeit für den Eintritt der j-ten Zukunftslage im Zeitpunkt t Bt: Barwert der Nettozahlungen des Zeitpunkts t 240 4. Kapitel: Berücksichtigung unsicherer Erwartungen 005-Kapitel_4 14.05.12 09:58 Seite 240 Die Anwendung der Erwartungswertregel führt bei Existenz einer linearen Nutzenfunktion, d. h. bei risikoneutralem Verhalten, zu einer rationalen Entscheidung im Sinne des Bernoulli-Prinzips. Sie empfiehlt sich in erster Linie für kleine und mittlere Projekte, da verhaltenswissenschaftliche Untersuchungen gezeigt haben, dass bei kleinen Investitionssummen die Nutzenfunktionen unabhängig von der Risikobereitschaft annähernd linear verlaufen.26 2. Quadratische Nutzenfunktionen Gegeben sei eine Nutzenfunktion u = a + b · x + c · x2 mit b > 0 sowie c < 0 bei risikoscheuem Verhalten , bzw. c > 0 bei risikofreudigem Verhalten . Für den Erwartungswert des Nutzens gilt dann E(u) = a + bE(x) + cE(x 2) = a + bμx + cμx2 Da σ x2 = E {x – E(x)}2 = E {x2 – 2x · E(x) + [E(x)]2} = E (x2) – 2E(x)E(x) + [E(x)]2 = E (x2) – [E(x)]2 = μx2 – μx2 kann man den Erwartungswert des Nutzens auch schreiben E (u) = a + bμx + c (μx2 + σ x2). Der Erwartungswert des Nutzens ist in diesem Fall bei gegebenen Werten für a, b und c vom Erwartungswert μx und der Varianz σ x2 der Verteilung der Ergebnisse abhängig. Zur Ermittlung der optimalen Entscheidungsaltercnative müssen der Risikoaversionskoeffizient –, die Erwartungswerte μx undb die Varianzen σ x2 bekannt sein. Es lässt sich demnach folgende Entscheidungsregel formulieren: Wähle die Entscheidungsalternative mit cμx + – (μx2 + σ x2) = max!b Auf die Investitionsentscheidung übertragen bedeutet dies, dass unter mehreren alternativen Investitionsprojekten dasjenige zu wählen ist, für welches cder Ausdruck E(C0) + – [E 2(C0) + V(C0)] ein Maximum annimmt. Dieb Varianz des Kapitalwertes V(CO) eines Investitionsprojektes ergibt sich aus 26 Vgl. Mao, J. C. T., Quantitative Analysis ..., a. a. O., S.268. 4 Risikoanalyse 241 005-Kapitel_4 14.05.12 09:58 Seite 241 Die Anwendung der Erwartungswert-Varianz-Regel führt bei Existenz einer quadratischen Zielfunktion zu einer rationalen Entscheidung im Sinne des Bernoulli-Prinzips, wenn die Risikoneigung des Entscheidenden, die in dem cKoeffizienten – zum Ausdruck kommt, bekannt ist. b 3. Stufige Nutzenfunktionen Gegeben sei eine Nutzenfunktion Für den Erwartungswert des Nutzens gilt dann Der Erwartungswert des Nutzens ist in diesem Fall bei gegebenem a allein abhängig von der Wahrscheinlichkeit der Unterschreitung des vorgegebenen Ergebnisses x*. Zur Ermittlung der optimalen Entscheidungsalternative müssen die Ergebnisverteilungen und die Schrankenwerte x* bekannt sein. Es lässt sich demnach folgende Entscheidungsregel formulieren: Wähle die Entscheidungsalternative mit w(x < x*) → min., d. h. minimiere die Verlust (Ruin-)Wahrscheinlichkeit. Auf die Investitionsentscheidung übertragen bedeutet dies, dass unter mehreren alternativen Investitionsprojekten dasjenige zu wählen ist, für welches die Wahrscheinlichkeit der Unterschreitung eines vorgegebenen Kapitalwertes C*0 (z. B. C*0 = 0) minimal wird. Es finden sich häufig die folgenden Abwandlungen der dargestellten Nutzenfunktion und der Entscheidungsregel: (a) An die Stelle des konstanten Nutzens a tritt ein vom Ergebnis x abhängiger Nutzen, z. B. eine lineare oder quadratische Nutzenfunktion. Die optimale Entscheidungsalternative wird dann nicht mehr allein durch w(x < x*), sondern auch von μx und gegebenenfalls von σ x2 bestimmt. (b)An die Stelle der unbeschränkten Nutzenfunktion tritt eine durch eine Wahrscheinlichkeitsnebenbedingung beschränkte Nutzenfunktion, z. B. u = a + bx (b > 0) w (x < x*) ≤ w* wobei w* eine vorgegebene Wahrscheinlichkeit bezeichnet, die aus Sicherheitsgründen nicht überschritten werden darf. Demnach werden zunächst alle Entscheidungsalternativen eliminiert, die die Nebenbedin- 242 4. Kapitel: Berücksichtigung unsicherer Erwartungen :Korrelationskoeffizienten 005-Kapitel_4 14.05.12 09:58 Seite 242 gung nicht erfüllen. Aus den verbleibenden Alternativen wird die optimale aufgrund des Erwartungswertes μx bestimmt. Unbeschränkte stufige Nutzenfunktionen der dargestellten Art führen nicht zu einer rationalen Entscheidung im Sinne des Bernoulli-Prinzips, da diese Nutzenfunktionen das für die Rationalität geforderte Stetigkeitsaxiom nicht erfüllen. Gleiches gilt auch für beschränkte Nutzenfunktionen der unter (b) angegebenen Art.Darüber hinaus garantiert die im letzteren Fall angewendete Entscheidungsregel nicht die Wahl der nutzenerwartungsmaximalen Alternative. Obgleich die Verlustwahrscheinlichkeits-Entscheidungsregel und ihre Varianten nicht zu bernoulli-rationalen Entscheidungen führen, wird aber doch eingeräumt, dass sie zumindest im Falle existenz-gefährdender Entscheidungen nicht unvernünftig sind.27 Daraus lässt sich schließen, dass sie nur bei Entscheidungen über „große“ Investitionsprojekte angewendet werden sollten, deren Ergebnis von erheblichem Einfluss auf das Gesamtergebnis des Unternehmens ist. 4.2 Darstellung des Verfahrens 28 Eine Risikoanalyse umfasst die Verfahrensschritte – Auswahl der (im Rahmen des Verfahrens) als unsicher erachteten Inputgrößen – Schätzung subjektiver Wahrscheinlichkeitsverteilungen für die ausgewählten Inputgrößen – Berücksichtigung stochastischer Abhängigkeiten zwischen den unsicheren Inputgrößen – Ermittlung der Ergebnisverteilung (hier: der Kapitalwertverteilung) aus den Verteilungen der Inputgrößen – Analyse und Interpretation der Ergebnisverteilung. Diese Verfahrensschritte werden in den folgenden Abschnitten erläutert. (1) Die Offenlegung der Unsicherheit und ihrer Auswirkungen lässt eine möglichst weitgehende Detaillierung des Daten-Inputs wünschenswert erscheinen. Mit zunehmender Detaillierung des Daten-Inputs steigt jedoch die Anzahl der Inputgrößen und damit auch der Datengewinnungs- und Rechenaufwand. Eine gewisse Aggregation ist daher unumgänglich. Dabei sollte beachtet werden, dass nach Möglichkeit nur eng miteinander zusammenhängende Größen und Größen mit etwa gleichem Unsicherheitsgrad zusammengefasst werden. Diesen Anforderungen dürfte die nachfolgende Aufgliederung der Inputgrößen entsprechen.29 27 Vgl. Schneider, D., a. a. O. S.122ff. 28 Vgl. dazu insbes. Lüder, K.: Risikoanalyse bei Investitionsentscheidungen, in: Angewandte Planung 3 (1979), S.224ff. 29 Vgl. Hertz, D. B., a. a. O., S.100; Emmert, P. H., a. a. O., S.39. 4 Risikoanalyse 243 005-Kapitel_4 14.05.12 09:58 Seite 243 – Absatzmenge(n) je Periode – Produktpreis(e) – variable Stückkosten – ausgabenwirksame Fixkosten je Periode – Investitionsausgaben (je Periode) – Lebensdauer der Investition – Kalkulationszinssatz. Ob im Rahmen einer Risikoanalyse alle oder nur einige dieser Größen als unsicher zu betrachten sind, hängt von der erzielbaren Prognosegenauigkeit und von der Empfindlichkeit des Projektergebnisses gegenüber Prognosefehlern ab. Informationen über die Prognosegenauigkeit einzelner Inputgrößen der Investitionsrechnung lassen sich durch summarische Auswertung von Investitionskontrollen gewinnen30. Wie empirsche Untersuchungen ergeben haben, zeigen sich hier gewisse Regelmäßigkeiten31. Als Ursachen für die Abweichungen zwischen dem geplanten und dem tatsächlichen Projektergebnis wurden in der Reihenfolge abnehmender relativer Bedeutung genannt – Produktpreise und Absatzmengen – Investitionsausgaben – Makroökonomische Eckdaten (z. B. Wechselkurse, Inflationsraten) – Inbetriebnahmezeitpunkt – laufende Kosten des Anlagenbetriebes – Lebensdauer. Dabei ist allerdings zu berücksichtigen, dass eine Fehlschätzung der makro - ökonomischen Eckdaten entsprechende Abweichungen bei den Ausgaben und Einnahmen zur Folge hat. Die makroökonomischen Eckdaten wirken also nur über die anderen genannten Größen auf das Projektergebnis. Die angegebene Rangfolge der Inputgrößen gilt für Investitionen, bei denen die Unsicherheit im technisch-verfahrensmäßigen Bereich zumindest nicht größer ist als die Marktunsicherheit. Bei technisch noch nicht erprobten oder nicht ausgereiften Verfahren kann die Situation anders sein: in diesem Fall können Projektergebnisabweichungen durchaus in erster Linie durch Fehlschätzungen der Ausgabenbestandteile verursacht werden. Die Empfindlichkeit des Projektergebnisses bei Änderung der Inputgrößenwerte (bei antizipierten Prognosefehlern) lässt sich mit Hilfe der Sensitivitätsanalyse in jedem Einzelfall überprüfen32. Einzelfallanalysen für Neu- und Erweiterungsinvestitionen bei Anwendung der Kapitalwertmethode lassen aber auch hier gewisse Regelmäßigkeiten erkennen: der Kapitalwert reagiert am empfindlichsten auf Änderungen der Produktpreise. Es folgen Absatzmengen, variable Stückkosten und Investitionssumme (insbesondere die beiden letztgenannten gelegentlich auch in umgekehrter Reihenfolge). Gegenüber Änderungen der Lebensdauer ist der Kapitalwert gerade bei langlebigen Großinvestitionen relativ unempfindlich, was aufgrund der Kapitalwertformel unmittelbar einsichtig ist. 244 4. Kapitel: Berücksichtigung unsicherer Erwartungen 30 Vgl. Lüder, K.: Investitionskontrolle, a. a. O., S.139ff. 31 Vgl. Lüder, K./Neumann, H., a. a. O., S.153 ff. 32 Vgl. dazu S.230ff. 005-Kapitel_4 14.05.12 09:58 Seite 244 Aus den Überlegungen zur Prognoseunsicherheit der Inputgrößen und zur Empfindlichkeit des Projektergebnisses lässt sich schließen, dass die im Rahmen einer Risikoanalyse als unsicher zu betrachtenden und oben genannten Inputgrößen in der Regel ohne Beeinträchtigung der Analyseergebnisse weiter reduziert werden können. Allerdings sollte man dabei, je nach Risikosituation, differenziert vorgehen. Verwendet man zur Kennzeichnung unterschiedlicher Risikosituationen von Neu- und Erweiterungsinvestitionen das Dean’sche Klassifizierungsschema33, dann erscheinen die folgenden Empfehlungen vertretbar und zweckmäßig: (2) Die Schätzung der Wahrscheinlichkeitsverteilungen für die unsicheren Inputgrößen kann entweder unter der Voraussetzung eines gegebenen Verteilungstyps (z. B. Normalverteilung) oder ohne a priori-Festlegung der Verteilungsform geschehen. Der Verteilungstyp muss insbesondere dann von vornherein festgelegt werden, wenn eine rechnerische Zusammenfassung der Verteilungen der einzelnen Inputgrößen zur Verteilung des Projektergebnisses erfolgen soll (sog. analytische Risikoanalyse)34. In diesem Zusammenhang sind als plausible Verteilungstypen die Normalverteilung35 und die auch beim PERT-Verfahren der Netzplantechnik verwendete und besonders „schätzfreundliche“ Beta-Verteilung vorgeschlagen worden36. Weitere Vorteile der Beta-Verteilung gegenüber der Normalverteilung werden in der Be- 33 Vgl. S.227f. 34 Vgl. z. B. Hillier, F. S.: The Derivation of Probabilistic Information for the Evaluation of Risky Investments, in: Management Science 9 (1962/63), S.443ff.; Hillier, F. S./Heebink, D. V.: Evaluating Risky Capital Investments, in: California Management Review 8 (1965) 2, S.71ff.; Wagle, B.: A Statistical Analysis of Risk in Capital Investment Projects, in: Operations Research Quarterly 18 (1967) 1, S.13 ff. Abgedruckt in Lüder, K. (Hrsg.): Investitionsplanung, a. a. O., S.174 ff. 35 Vgl. z. B. Hillier, F. S., a. a. O., S.446: „In particular, the probability distribution … may not be normal. On the other hand, it would seem that, for many types of prospective cash flows, one’s best subjective probability distribution would be nearly a symmetrical distribution resembling the normal distribution.“ 36 Vgl. z. B. Wagle, B., a. a. O., S.19f.; Heider, M.: Simulationsmodell zur Risikoanalyse für Investitionsplanungen, Diss. Bonn 1969. 4 Risikoanalyse 245 005-Kapitel_4 14.05.12 09:58 Seite 245 grenzung des Wertebereichs und in der Flexibilität der Verteilungsfunktion gesehen37. Bei Verwendung definierter Verteilungstypen beschränkt sich die Schätzung der Wahrscheinlichkeitsverteilung auf die Schätzung der Verteilungspara meter. – Die Parameter der Normalverteilung sind der Erwartungswert μ (= derjenige Wert, der mit ebenso großer Wahrscheinlichkeit überschritten wie unterschritten wird) und die Standardabweichung σ. Schätztechnisch ist es güns tiger, anstelle von σ die dreifache Standardabweichung 3σ zu schätzen. Da die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Realisation im Bereich μ ± 3σ liegt, 99,73% beträgt, bedeutet das faktisch die Schätzung der maximal möglichen Abweichung vom Erwartungswert. – Die Parameter der Beta-Verteilung sind der häufigste Wert m, bei dem die Dichtefunktion ihr Maximum annimmt, sowie der obere Grenzwert b („optimistischer“ Wert) und der untere Grenzwert a („pessimistischer“ Wert) des Wertebereichs der Verteilung. Daraus lassen sich Erwartungswert und Varianz der Verteilung (wenigstens näherungsweise) bestimmen. Es gilt: Ist der Verteilungstyp nicht vorgegeben, dann kann man bei der Schätzung wie folgt vorgehen: 1. Kontinuierliche Verteilung – Direkte Schätzung der Verteilungsfunktion durch Schätzung des Wertebereiches, des Erwartungswertes und gegebenenfalls der Wahrscheinlichkeit einer Über- bzw. Unterschreitung weiterer Werte der Verteilungsfunktion38 und lineare Interpolation zwischen den ermittelten Wahrscheinlichkeiten. – Indirekte Schätzung der Verteilungsfunktion über eine „Gewichtsdichtefunktion“. Zunächst wird der Wertebereich geschätzt und einzelnen Werten aus diesem Bereich werden Gewichte aus einem gegebenen „Gewichtsvorrat“ zugeordnet. Durch lineare Interpolation erhält man eine „Gewichtsdichtefunktion“, die dann in eine Wahrscheinlichkeitsfunktion transformiert werden kann39. 2. Diskrete Verteilung Es werden zunächst die (mit unterschiedlicher Wahrscheinlichkeit) erwarteten Werte der Inputgröße angegeben. Entsprechend der Einschätzung der Eintrittswahrscheinlichkeit werden diesen Werten dann entweder direkt 246 4. Kapitel: Berücksichtigung unsicherer Erwartungen 37 Vgl. Heider, M., a. a. O., S.45. 38 Vgl. z. B. Hertz, D. B., a. a. O., S.101. 39 Vgl. dazu S.257. 005-Kapitel_4 14.05.12 09:58 Seite 246 Wahrscheinlichkeiten zugeordnet, womit man die Dichtefunktion hat. Man kann aber auch hier zunächst mit Gewichtungsfaktoren arbeiten und diese dann mit Hilfe der Transformationsfunktion in Wahrscheinlichkeiten umrechnen.40 (3) Zwischen einzelnen unsicheren Inputgrößen (z. B. zwischen Absatzmenge und Produktpreis oder zwischen Investitionsausgaben und Lebensdauer oder zwischen Absatzmenge der Periode t und Absatzmenge der Periode t + 1) können stochastische Abhängigkeiten bestehen. Das bedeutet, dass bei einer bestimmten Realisation der unabhängigen Inputgröße die stochastisch abhängige Inputgröße nicht jeden beliebigen Wert aus dem gesamten Wertebereich, sondern nur einen ganz bestimmten Wert oder einen Wert aus einem Teilbereich annehmen kann. Die Berücksichtigung derartiger stochastischer Abhängigkeiten erfordert entweder die Schätzung von Korrelationskoeffizienten bzw. Kovarianzen oder die Einführung bedingter Wahrscheinlichkeitsverteilungen („wenn-dann“-Verteilungen). Dazu sind im Einzelnen folgende Vorschläge gemacht worden: 1. Schätzung von Korrelationskoeffizienten. – Zwischen je zwei unsicheren Inputgrößen besteht entweder vollkommene Korrelation (r = 1; funktionale Abhängigkeit) oder stochastische Unabhängigkeit (r = 0). Das Schätzproblem reduziert sich damit auf die Frage, zwischen welchen Inputgrößen r = 1 und zwischen welchen Inputgrößen r = 0 angenommen werden soll41. – Es wird vorausgesetzt, dass alle bedingten Wahrscheinlichkeitsverteilungen Beta-Verteilungen sind. Die Parameter a, m, b einer solchen Verteilung sind unter der Annahme der Realisation eines beliebigen Wertes x1 der unabhängigen Inputgröße x zu schätzen (es wird vorgeschlagen, x1 vorzugsweise entweder gleich dem oberen oder dem unteren Grenzwert der Verteilung zu setzen). Damit kann der Erwartungswert der bedingten Verteilung der abhängigen Inputgröße y : E (y/x1) = (a + 4m + b) /6 berechnet werden. Mit Hilfe der Beziehung E (y/x1) = E (y) + r (σy/σx) [x1 – E (x)], in der nur r unbekannt ist, lässt sich der gesuchte Korrelationskoeffizient bestimmen42. 2. Einführung bedingter Wahrscheinlichkeitsverteilungen. – Für die einzelnen Werte der Verteilung der unabhängigen Inputgröße oder für Teil-Wertebereiche dieser Verteilung werden bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilungen angegeben. Für den einfachen Fall einer Dreipunkt-Verteilung zeigt die folgende Abbildung die Zusammen hänge. 40 Vgl. dazu das Beispiel auf S.256. 41 Vgl. Hillier, F. S., a. a. O., S.448; Hillier, F. S./Heebink, D. Va. a. O., S.74 ff. 42 Vgl. Wagle, B., a. a. O., S.22 f. 4 Risikoanalyse 247 005-Kapitel_4 14.05.12 09:58 Seite 247 Bedingte Wahrscheinlichkeitsdichten einer stochastisch abhängigen Inputgröße (z. B. Absatzmenge X). Jede bedingte Verteilung der abhängigen Inputgröße gilt für jeweils einen Wert der unabhängigen Inputgröße. – Der Wertebereich der Verteilung der unabhängigen Inputgröße wird in (z. B. drei) Teilbereiche unterteilt und ebenso der Wertebereich der (unbedingten) Verteilung der abhängigen Inputgröße. Sodann wird jeder Teilbereich der Verteilung der abhängigen Inputgröße einem Teilbereich der Verteilung der unabhängigen Inputgröße zugeordnet. Damit ist festgelegt, in welchem Bereich die Realisation der abhängigen Inputgröße liegen muss, wenn eine bestimmte Realisation der unabhängigen Inputgröße erfolgt ist43. Dies ist nichts anderes als ein Spezialfall des zuerst beschriebenen Verfahrens, wobei angenommen wird, dass die bedingten Wahrscheinlichkeitsverteilungen Rechteckverteilungen sind. – Für alle Verteilungen wird der Typ der Beta-Verteilung unterstellt, deren Parameter zu schätzen sind. Bedingte Verteilungen werden mit Hilfe sog. Einflussfunktionen bestimmt, die eine Beziehung zwischen dem Erwartungswert und der Standardabweichung der Verteilung der unabhängigen Inputgröße und den entsprechenden Parametern der bedingten Verteilung herstellen. M.a.W.: liegen die Verteilungen der unabhängigen Inputgrö- ßen und die Einflussfunktionen fest, dann kann daraus für jede Realisation einer unabhängigen Inputgröße die bedingte Verteilung der abhängigen Inputgröße bestimmt werden44. Die bedingten Verteilungen liegen also nicht von vornherein fest, sondern werden bei Bedarf generiert. Problematisch an diesem Verfahren ist vor allem die Schätzung der 248 4. Kapitel: Berücksichtigung unsicherer Erwartungen 43 Vgl. dazu z.B, Kryzanowski, L./Lusztig, P./Schwab, B.: Monte Carlo Simulation and Capital Expenditure Decisions – A Case Study, in: The Engineering Economist 18 (1972/73) 1, insbes. S.43 ff. 44 Vgl. Heider, M., a. a. O. Wahrscheinlichkeitsdichte einer unabhängigen Inputgröße (z. B. Verkaufspreis v) 005-Kapitel_4 14.05.12 09:58 Seite 248 Einflussfunktionen. Durch die Einführung solcher Funktionen wird das Schätzproblem nicht erleichtert, sondern nur auf eine andere Ebene verlagert. Das Dilemma, in dem man sich bei der Berücksichtigung stochastischer Abhängigkeiten zwischen den unsicheren Inputgrößen befindet, lässt sich wie folgt umreißen: je detaillierter die Betrachtung der Abhängigkeiten erfolgt, des to größer sind die Schätzprobleme, die Gefahr von Fehlschätzungen und daraus resultierende Fehlinformationen. Je globaler andererseits die Abhängigkeiten berücksichtigt werden, desto geringer sind zwar die Schätzprobleme, desto größer ist jedoch die Gefahr von Fehlinformationen wegen Nichtberücksichtigung bestehender Abhängigkeiten. (4) Für die Ermittlung der Verteilung des Projektergebnisses aus den Verteilungen der Inputgrößen gibt es prinzipiell zwei Vorgehensweisen: die rechnerische Zusammenfassung der Verteilungen (analytische Risikoanalyse) und die „experimentelle“ Bestimmung einer Häufigkeitsverteilung des Projektergebnisses als Näherung für die Dichtefunktion (simulative Risikoanalyse). Ein analytisches Verfahren setzt mindestens Annahmen über den Typ der Projektergebnisverteilung voraus. In der Regel werden darüber hinaus aber auch die Verteilungen der Inputgrößen dem Typ nach festgelegt. Mit Hilfe der Erwartungswerte und der Varianzen der Verteilungen der Inputgrößen werden der Erwartungswert und die Varianz der Projektergebnisverteilung berechnet. Erwartungswert und Varianz determinieren diese Verteilung eindeutig, wenn man den Typ der Normalverteilung als gegeben annimmt. Unter dieser Voraussetzung gilt für die Berechnung der Parameter der gemeinsamen Verteilung zweier Zufallsvariablen x und y:45 Bei den simulativen Verfahren werden die Realisationen der unsicheren Inputgrö- ßen durch Folgen von Zufallszahlen simuliert (Monte-Carlo-Simulation), die die Eigenschaft besitzen, dass ihre Häufigkeitsverteilung der Dichtefunktion der zugehörigen Inputgröße entspricht. Für jede der Inputgrößen wird durch Zufallsauswahl eine Zahl aus der zugehörigen Zahlenfolge bestimmt. Jeder ausgewählten Zahl ist ein bestimmter Wert der Inputgröße zugeordnet (z. B. ein bestimmter Preis, eine bestimmte Absatzmenge, eine bestimmte Nutzungsdauer). Aus diesen Werten wird sodann unter Einbeziehung der deterministischen Größen ein Ergebniswert (z. B. ein Kapitalwert) berechnet. Durch Wiederholung dieses Verfahrens erhält man nach einer gewissen Zahl von Simulationsläufen eine ausreichend sta- 45 Vgl. dazu z. B. S.237f. und Wagle, B., a. a. O., S.21. 4 Risikoanalyse 249 005-Kapitel_4 14.05.12 09:58 Seite 249 bile Häufigkeitsverteilung des Ergebniswertes. In der Regel ist das nach „einigen Hundert“ Simulationsdurchläufen der Fall – die Häufigkeitsverteilung ändert sich dann nur noch geringfügig. In der folgenden Abbildung ist die grundlegende Vorgehensweise bei der simulativen Risikoanalyse noch einmal zusammenfassend dargestellt46. (5) Das Ergebnis einer Risikoanalyse für ein Investitionsprojekt ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Projektergebnisses – das Risikoprofil der Inves tition (vgl. folgende Abbildung). Man kann daraus den Erwartungswert unmittelbar entnehmen. Ferner lässt sich ablesen, welches Projektergebnis mit welcher Wahrscheinlichkeit erreicht oder überschritten (bzw. unterschritten) wird, so z. B. mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Projektergebnis von Null erreicht oder unterschritten wird (Verlustwahrscheinlichkeit). Die „Steilheit“ des Verlaufs des Risikoprofils lässt darüber hinaus auf die Streuung des Projektergebnisses schließen, deren Maße (etwa Varianz oder Standardabweichung) selbstverständlich auch berechnet werden können. Je „senkrechter“ das Risikoprofil verläuft, desto geringer ist die Streuung des Projektergebnisses. 250 4. Kapitel: Berücksichtigung unsicherer Erwartungen 46 Vgl. auch Mertens, P., Simulation, 2. Aufl., Stuttgart 1982, S.112; Emmert, P. K, a. a. O., S.56. 005-Kapitel_4 14.05.12 09:58 Seite 250 Die folgende Abbildung zeigt das Risikoprofil für eine Investition bei Verwendung des Kapitalwertkriteriums. Bei diesem Beispiel ist der Erwartungswert des Kapitalwerts E (C0) > 0. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Verzinsung mindestens in Höhe des Kalkulationszinssatzes erreicht wird, beträgt w(C0 ≥ 0) ≈ 0,7 (oder 70%). Die Wahrscheinlichkeit der Nichterreichung einer Verzinsung in Höhe des Kalkulationszinssatzes ergibt sich dann als Differenz zwischen 1,0 und 0,7: sie beträgt also 0,3. Mit anderen Worten: bei einer Chance von 70%, den Kalkulationszinssatz zu erreichen oder zu überschreiten, ist ein Risiko der Nichterreichung von 30% zu tragen. Ob dieses Risiko-Chancen-Verhältnis für den Entscheidungsträger akzeptabel ist, hängt von seiner Bereitschaft ab, Risiken zu tragen, d. h. von seiner Risikoeinstellung oder seinem Risikoverhalten47. 4.3 Beispiele 4.3.1 Ermittlung der Wahrscheinlichkeitsverteilung für den Kapitalwert einer Investition nach dem analytischen Verfahren von Hillier/Heebink48 (1) Gegeben sind – die sicheren Inputgrößen: Lebensdauer T = 7 Jahre Kalkulationszinssatz p = 10%, – die als unsicher angenommenen (stark aggregierten) Inputgrößen: jährliche Einzahlungen N̄ (t = 0, …, T) jährliche Auszahlungen N̂ (t = 0, …, T). (2) Für die unsicheren Inputgrößen werden die Erwartungswerte μ und die dreifachen Standardabweichungen 3 σ geschätzt. Die auf S.252 folgende Tabelle enthält die Schätzungen. (3) Für die jährlichen Einzahlungen wird vollkommene Korrelation unterstellt: rN̄tN̄k = 1 (t, k = 0, …, T; t k). Von den jährlichen Auszahlungen wird an genommen, dass sie voneinander stochastisch unabhängig sind: rN̄tN̄k = 0 (t, k = 0, …, T; t k). 47 Vgl. dazu S.238f. 48 Vgl. Hillier, F. S./Heebink, D. V., a. a.O., insbes. S.76 f. 4 Risikoanalyse 251 005-Kapitel_4 14.05.12 09:58 Seite 251 Die jährlichen Einzahlungen und die jährlichen Auszahlungen sollen ebenfalls stochastisch unabhängig voneinander sein. Die Annahmen über die stochastische Abhängigkeit der Zeitwerte der jährlichen Zahlungen gelten auch für deren Barwerte Bt = Nt · q–t (rB̄t B̄k = 1; rB̄t B̄k = 0). (4) Die Kapitalwertverteilung ist eine Normalverteilung. Sie ist durch ihren Erwartungswert und ihre Standardabweichung eindeutig bestimmt. Der Erwartungswert des Kapitalwertes ergibt sich als Summe der Barwerte der Nettozahlungen49: Bei stochastischer Unabhängigkeit der jährlichen Einzahlungen und der jährlichen Auszahlungen ergibt sich die dreifache Standardabweichung des Kapitalwertes als Wurzel aus der Summe der neunfachen Varianz des Barwertes sämtlicher Einzahlungen und der neunfachen Varianz des Barwertes sämtlicher Auszahlungen50: 252 4. Kapitel: Berücksichtigung unsicherer Erwartungen 49 Vgl. S.240. 50 Vgl. dazu auch S.241f. 005-Kapitel_4 14.05.12 09:58 Seite 252 Für die Berechnung der neunfachen Varianz des Barwertes der Einzahlungen gilt wegen rB̃tB̃k = 1: Für die Berechnung der neunfachen Varianz des Barwertes der Auszahlungen gilt wegen rB̂tB̂k = 0: Die dreifache Standardabweichung des Kapitalwertes beträgt somit und die einfache Standardabweichung 4 Risikoanalyse 253 005-Kapitel_4 14.05.12 09:58 Seite 253 Damit erhält man die in der folgenden Abbildung dargestellte Kapitalwert verteilung. (5) Der Kapitalwert des Projektes liegt mit einer Wahrscheinlichkeit von 99,73% zwischen + 314000,– € und – 206400,– €. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Kapitalwert gleich oder größer als Null ist, beträgt ca. 73%. 4.3.2 Ermittlung der Wahrscheinlichkeitsverteilung für den Kapitalwert einer Investition nach einem simulativen Verfahren51 (1) Gegeben sind – die sicheren Inputgrößen: Investitionssausgaben mit I0 = 50000,– €; I1 = 10000,– €; I3 = 10000,– € Kalkulationszinssatz p = 10%. – die als unsicher angenommenen Inputgrößen: Lebensdauer T jährliche Produktionsmengen Xt (t = 0, …, T) Produktionspreise für die einzelnen Jahre der Lebensdauer vt (t = 0, …, T) Sonstige Einnahmen Est (t = 0, …, T) Personalausgaben Kpt (t = 0, …, T) Sachausgaben Kst (t = 0, …, T). Unter Berücksichtigung dieser Inputgrößengliederung lautet die Kapitalwertformel: 254 4. Kapitel: Berücksichtigung unsicherer Erwartungen 51 Vgl. Mirani, A./Schmidt, H.: Investitionsrechnung bei unsicheren Erwartungen, in: Busse v. Colbe, W. (Hrsg.): Das Rechnungswesen als Instrument der Unternehmensführung, Bielefeld 1969, S.123ff. 005-Kapitel_4 14.05.12 09:58 Seite 254 (2) Für die unsicheren Inputgrößen werden jeweils drei bis fünf Realisationen und die zugehörigen „Gewichts-Dichten“ geschätzt. Lebensdauer (Jahre): 1 2 3 4 5 Gewicht 1 3 4 2 1 Produktionsmenge 1. Jahr Wert (St.) 10000 12000 14000 16 000 Gewicht 0 2 4 3 2. Jahr Wert (St.) 10000 12000 14000 16000 Gewicht 0 2 4 3 3. Jahr Wert (St.) 9000 11000 15000 20000 Gewicht 0 2 4 3 4. Jahr Wert (St.) 9000 11000 15000 20000 Gewicht 0 2 4 3 5. Jahr Wert (St.) 8000 12000 15000 22000 Gewicht 0 2 4 3 Preis/Stück 1. Jahr Wert (€) 1 2 3 Gewicht 0 2 1 2. Jahr Wert (€) 1 2 4 Gewicht 0 2 1 3. Jahr Wert (€) 1 3 4 Gewicht 0 2 1 4. Jahr Wert (€) 1 4 5 Gewicht 0 2 1 5. Jahr Wert (€) 1 4 5 Gewicht 0 2 1 Sonstige Einnahmen 1. Jahr Wert (€) 50000 60000 70000 80000 90000 Gewicht 0 1 3 4 1 2. Jahr Wert (€) 50000 60000 80000 Gewicht 0 2 2 3. Jahr Wert (€) 40000 50000 60000 Gewicht 0 2 1 4. Jahr Wert (€) 40000 50000 60000 Gewicht 0 2 1 5. Jahr Wert (€) 20000 30000 40000 Gewicht 0 1 4 Personalausgaben 1. Jahr Wert 10000 15000 20000 22000 Gewicht 0 2 4 1 Es wird angenommen, dass die Personalausgaben jährlich um 5% steigen, so dass gilt: K pt = 1,05 Kpt–1 (t = 2, … 5). 4 Risikoanalyse 255 005-Kapitel_4 14.05.12 09:58 Seite 255 Sachausgaben 1. Jahr Wert (€) 10000 20000 25000 30000 Gewicht 0 2 3 1 2. Jahr Wert (€) 10000 20000 25000 Gewicht 0 2 3 3. Jahr Wert (€) 10000 20000 30000 40000 Gewicht 0 2 3 1 4. Jahr Wert (€) 10000 20000 30000 40000 Gewicht 0 2 3 1 5. Jahr Wert (€) 10000 20000 30000 40000 Gewicht 0 2 3 1 Die „Gewichts-Dichtefunktionen“ können nun in Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen oder auch unmittelbar in Wahrscheinlichkeitsfunktionen transformiert werden. Für die Ermittlung der Wahrscheinlichkeitsdichten gilt: Für die als diskrete Zufallsvariable interpretierte Lebensdauer ergibt sich die im folgenden graphisch dargestellte Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion und Wahrscheinlichkeitsfunktion: 256 4. Kapitel: Berücksichtigung unsicherer Erwartungen Eintrittswahrscheinlichkeit der Realisation j Gewicht der Realisation j Summe der Gewichte für die angegebenen Realisationen j = l, … j̄ 005-Kapitel_4 14.05.12 09:58 Seite 256 Von den übrigen unsicheren Inputgrößen wird angenommen, dass sie kontinuierliche Zufallsvariablen sind. Die Gewichte bzw. die Wahrscheinlichkeiten für Realisationen zwischen zwei beliebigen Schätzwerten erhält man durch lineare Interpolation zwischen diesen Schätzwerten. Für die Produktionsmengen des 1. Jahres wird dies sowie die Ableitung der Dichtefunktion und der Wahrscheinlichkeitsfunktion beispielhaft gezeigt. 4 Risikoanalyse 257 (3) Die unsicheren Inputgrößen werden als stochastisch unabhängig voneinander angenommen. Auch die Werte jeder einzelnen dieser Inputgrößen für zwei aufeinander folgende Jahre sollen – mit Ausnahme der Personalausgaben – stochastisch unabhängig sein. Für die Personalausgaben zweier aufeinander folgender Jahre wird vollkommene Korrelation unterstellt. Fj: Fläche unter der Dichtefunktion „links“ von Xj F: Fläche unter der gesamten Dichtefunktion 005-Kapitel_4 14.05.12 09:58 Seite 257 (4) Mit Hilfe von Zufallszahlen, deren Häufigkeitsverteilungen den unter (2) angegebenen Wahrscheinlichkeitsverteilungen entsprechen, werden nun Realisationen der Inputgrößen simuliert. Bei jedem Simulationslauf erhält man so eine vollständige Konfiguration von Inputwerten für die Kapitalwertrechnung, so dass ein Kapitalwert berechnet werden kann. Wird beispielsweise in einem Simulationslauf die Konfiguration „gezogen“, so errechnet sich daraus unter Berücksichtigung der sicheren Inputgrößen I0 = 50000, I1, = 10000, I3 = 10000 und p = 10% ein Kapitalwert Nach 500 Durchläufen wurde das Simulationsverfahren abgebrochen. Die Verteilung der Ergebnisse auf 20 definierte Häufigkeitsklassen, die Dichtefunk tion und die Wahrscheinlichkeitsfunktion enthält die nachstehende Tabelle. 258 4. Kapitel: Berücksichtigung unsicherer Erwartungen 005-Kapitel_4 14.05.12 09:58 Seite 258 In der folgenden Abbildung ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion noch in graphischer Form dargestellt. Der Schätzwert für den Erwartungswert des Kapitalwertes beträgt 76469,2 €52. (5) Der Kapitalwert dieses Projekts liegt mit einer Wahrscheinlichkeit von 95,6% im Bereich C0 ≥ 1771,8 €. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Kapitalwert negativ ist, ist kleiner oder höchstens gleich 4,4%. Im Vergleich zu dem auf S.251ff. behandelten Beispiel ist – der Erwartungswert des Kapitalwertes höher – die Standardabweichung geringer – die Verlustwahrscheinlichkeit geringer, Zieht man eine der in Abschnitt 4.1.3 (3) erläuterten Risikopräferenzfunktionen zur Beurteilung des Risikos heran, so ist in allen Fällen dieses Projekt das relativ vorteilhaftere. 4.4 Prämissen und Anwendungsbereich Als grundlegende Prämissen der Risikoanalyse sind zu nennen: (1) Die unsicheren Inputgrößen der Investitionsrechnung sind zufallsabhängig. Dies kann jedoch nicht ohne weiteres als der Realität entsprechend unterstellt werden, zumal einige der Inputgrößen (z. B. laufende Ausgaben, Investitionsausgaben, Lebensdauer) zumindest teilweise vom Entscheidungsträger kontrolliert und damit beeinflusst werden können. Das Ergebnis der Risikoanalyse gilt demnach streng genommen nur für den Fall, dass der Entscheidungs- 52 Die Berechnung ist für den Leser nicht nachvollziehbar, da er die 500 Einzelwerte nicht kennt. 4 Risikoanalyse 259 005-Kapitel_4 14.05.12 09:58 Seite 259 träger die Werte der sicheren Inputgrößen autonom setzen kann und dass er in die Entwicklung der unsicheren Inputgrößen nicht korrigierend eingreift. (2) Es muss möglich sein, für alle unsicheren Inputgrößen Wahrscheinlichkeitsverteilungen anzugeben – entweder explizit oder durch Festlegung des Verteilungstyps und Schätzung der Parameter. In der Regel handelt es sich dabei um Verteilungen subjektiver Wahrscheinlichkeiten. (3) Die stochastischen Abhängigkeiten zwischen den unsicheren Inputgrößen müssen geschätzt und bei der Ermittlung der Ergebnisverteilung berücksichtigt werden. Wendet man in Bezug auf die Berücksichtigung stochastischer Abhängigkeiten sehr einfache Versionen der Risikoanalyse an (z. B. Vernachlässigung vorhandener stochastischer Abhängigkeiten oder Reduzierung des Problems der stochastischen Abhängigkeit auf die beiden Extremfälle „vollkommene Korrelation“ und „stochastische Unabhängigkeit“), so besteht die Gefahr der Ermittlung einer verzerrten, d. h. dem vorliegenden realen Entscheidungsproblem nicht entsprechenden Ergebnisverteilung. (4) Die Anwendung eines analytischen Verfahrens der Risikoanalyse setzt die Normierung der Wahrscheinlichkeitsverteilungen, mindestens der Ergebnisverteilung voraus (Festlegung des Verteilungstyps). Darüber hinaus erfordert die rechnerische Bewältigung des Problems der Ableitung der Ergebnisverteilung aus den Verteilungen der Inputgrößen ein Arbeiten mit vergleichsweise hoch aggregierten Inputgrößen. Damit wird ein Vorteil der analytischen gegenüber der globalen Risikoabschätzung, nämlich die Erleichterung des Schätzproblems und die Erhöhung der Prognosegenauigkeit, mindestens zum Teil wieder aufgegeben. Diese Restriktionen gelten nicht für simulative Risikoanalysen. Die computergestützte Ermittlung der Ergebnisverteilung erlaubt die Berücksichtigung einer großen Anzahl von Inputgrößen mit unterschiedlichen und auch vom Typ her nicht festgelegten Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Die analytischen Verfahren der Risikoanalyse besitzen primär theoretische Bedeutung. Zwar empfehlen beispielsweise Hillier/Heebink53 ihr Verfahren für kleinere und weniger komplexe Projekte, bei denen sich ein Rechnereinsatz nicht rechtfertigen lässt. Die Praxis zieht jedoch bei derartigen Projekten eine globale Risikoabschätzung anhand der Amortisationszeit vor. Alle bekannt gewordenen praktischen Risikoanalyse-Konzeptionen bedienen sich der Simulation oder eines kombiniert analytisch-simulativen Verfahrens zur Ermittlung der Ergebnisverteilung. Angewendet werden solche Risikoanalysen vornehmlich zur Beurteilung des Risikos großer, komplexer und mit vielen Unsicherheiten und Unwägbarkeiten behafteter Investitionsprojekte (insbesondere Neu- und Erweiterungsinvestitionen). In Untersuchungen zur Praxis der Investitionsplanung und Investitionsrechnung nennen bis zu 30% der befragten Unternehmen die Risikoanalyse als u. a. angewendetes Risikobeurteilungsverfahren54. Bei Großunternehmen dürfte dieser Pro- 260 4. Kapitel: Berücksichtigung unsicherer Erwartungen 53 Vgl. Hillier, F. S./Heebink, d. V., a. a. O., S.71. 54 Vgl. z. B. Petry, G. H., a. a. O., S.64; Petty, J. W./Scott jr., D. F./Bird, M. M., The Capital Expenditure Decision-Making Process of Large Corporations, Economist 1975, S.167f.; 005-Kapitel_4 14.05.12 09:58 Seite 260 zentsatz noch höher liegen. Nach den Erfahrungen der Verfasser vermitteln solche Befragungsergebnisse u. U. jedoch einen falschen Eindruck von der Anwendungsbreite der Risikoanalyse-Verfahren. Nicht selten existieren in den Unternehmen zwar Computer-Programme für die Durchführung simulativer Risikoanalysen, von denen allerdings nur in Ausnahmefällen Gebrauch gemacht wird55. Die Anwendung bleibt gewöhnlich auf wenige Neu- und Erweiterungsinvestitionen je Planperiode beschränkt56. So wird z. B. in einer unternehmensinternen Richtlinie argumentiert: „Die Erstellung einer Risikoanalyse mit Hilfe eines Simulationsmodells über Wahrscheinlichkeitsverteilungen ist wegen des damit verbundenen hohen Aufwands (in erster Linie für die Datengewinnung, weniger für die Rechnung, d.V.) nur für Großprojekte möglich“. 5 Entscheidungsbaumverfahren 5.1 Darstellung des Verfahrens57 Im Unterschied zu den bisher behandelten Verfahren der Investitionsrechnung bei unsicheren Erwartungen erlaubt das (stochastische) Entscheidungsbaumverfahren die Einbeziehung zustandsabhängiger Folgeentscheidungen in das Kalkül. Aus einer Vielzahl alternativer Entscheidungsfolgen ist – bei Zufallsabhängigkeit der Ergebnisse der Einzelentscheidungen – die optimale Folge zu bestimmen. Bei Anwendung des Entscheidungsbaumverfahrens auf das Investitionsproblem kann zwischen der ursprünglichen Investitionsentscheidung und den Folge entscheidungen unterschieden werden. Letztere können wiederum Investitionsentscheidungen (Entscheidungen über zusätzlichen Kapitaleinsatz), Desinves titionsentscheidungen oder aber auch Entscheidungen anderer Art sein, die die Vorteilhaftigkeit der ursprünglichen Investitionsalternativen beeinflussen (z. B. Entscheidungen über Preise, Absatzmengen, Werbemaßnahmen). Der Graph, der ein solches Entscheidungsfolgeproblem beschreibt, heißt Entscheidungsbaum (vgl. Graphik auf S.262). Ein Entscheidungsbaum enthält Entscheidungsknoten (E), die ein Entscheidungsereignis kennzeichnen, er enthält Zufallsereignisknoten (Z), die den Eintritt eines Zufallsereignisses markieren, und er enthält Ergebnisknoten (R), in welche jede Schall, L. D./Sundem, G. L./Geijsbeck jr., W. R., a. a.O., S.284/287; KPMG, Risikomanagement in deutschen Unternehmen – Ergebnisse der Umfrage über den Status von Risikomanagement-Systemen und deren Beitrag zur Unternehmenssteuerung München 2003. 55 Vgl. auch Corr, A.V., The Capital Expenditure Decision, New York/Hamilton 1983, S.73ff. 56 „Follow-up discussions revealed that the reluctance to adopt formal risk analysis is justified on grounds of complexity, applicability, and value of such methods“ (Pike, R. H., a. a.O., S.206). 57 Vgl. Magee, J. F. Decision Trees for Decision Making, HBR (1964) 4, S.126ff. Magee, J. F., How to Use Decision Trees in Capital lnvestment, HBR (1964) 5, S.79 ff. Mao, J.C.T., Quantitative Analysis …, a. a. O., S.307ff. 5 Entscheidungsbaumverfahren 261 005-Kapitel_4 14.05.12 09:58 Seite 261

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References

Zusammenfassung

Investitionen sicher beurteilen.

Dieses Lehrbuch führt in die Grundlagen der Investitionsrechnung ein. An die Schwachstellenanalyse des Investitionsbereichs im Unternehmen schließt sich die Vorstellung der gängigen Verfahren zur Beurteilung von Investitionen an. Hierbei wird auch der Einfluss von Steuern und der Inflation bei Investitionsentscheidungen berücksichtigt. Zahlreiche Abbildungen und Beispielrechnungen sorgen für ein zusätzliches Verständnis der Darstellungen.

Aus dem Inhalt:

- Schwachstellen im Investitionsbereich

- Beurteilung einzelner Investitionsprojekte bei sicheren und unsicheren Erwartungen

- Bestimmung von Investitionsprogrammen bei sicheren und unsicheren Erwartungen

Über die Autoren:

Begründet von Prof. Dr.-Ing. Hans Blohm (ehemals Technische Universität Berlin) und Prof. Dr. Dr. h.c. Klaus Lüder, Deutsche Universität für Verwaltungswissenschaften Speyer, ab der 9. Auflage fortgeführt mit Prof. Dr. Christina Schaefer, Helmut-Schmidt-Universität Hamburg.