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2. Extrapolierende Verfahren in:

Louis Perridon, Manfred Steiner, Andreas W. Rathgeber

Finanzwirtschaft der Unternehmung, page 684 - 695

16. Edition 2012, ISBN print: 978-3-8006-3991-5, ISBN online: 978-3-8006-4900-6, https://doi.org/10.15358/9783800649006_684

Series: Vahlens Handbücher der Wirtschafts- und Sozialwissenschaften

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II. Prognosemethoden im Rahmen der Finanzplanung 673 2. Extrapolierende Verfahren Mithilfe der extrapolierenden Verfahren wird untersucht, ob die zeitliche Entwicklung einer Größe (z. B. Umsatz) bestimmte Gesetzmäßigkeiten aufweist. Die zeitlich geordneten Beobachtungswerte bilden eine Zeitreihe, ihre Analyse wird als Zeitreihenanalyse bezeichnet. Die untersuchte Größe wird ausschließlich als zeitabhängig gesehen; die Zeitreihenanalyse hat damit rein beschreibenden Charakter und bietet für die Ursache einer beobachteten Veränderung keine Erklärung. Eine Zeitreihe yt setzt sich aus der Trendkomponente ut, der zyklischen Komponente zt, der Saisonkomponente st und der irregulären Komponente rt zusammen: yt = f (ut, zt, st, rt). Der Trend einer Zeitreihe gibt deren grundsätzliche Entwicklungsrichtung an. Eine Zeitreihe kann mit steigendem oder fallendem, aber auch ohne Trend verlaufen. Der Zyklus ist die langfristige Schwankung um den Trend (z. B. durch Konjunktur bedingte Umsatzschwankungen), die Saison eine kurzfristige Bewegung um Trend und Zyklus (z. B. monatliche Umsatzschwankungen). Die irreguläre Komponente ist als zufällig auftretende Störgröße aufzufassen. Treten in einer Zeitreihe alle aufgezählten Komponenten gleichzeitig auf, so ist eine Analyse einer der Komponenten oft sehr erschwert. Soll etwa der Trend einer Zeitreihe mit starken saisonalen Schwankungen untersucht werden, ist es deshalb häufig empfehlenswert, die Saisoneinflüsse auf rechnerischem Weg aus den Ausgangsdaten zu eliminieren, die Zeitreihe wird bereinigt. Entsprechendes gilt für die Bereinigung von Zeitreihen um zyklische Schwankungen. In der folgenden Darstellung (vgl. Abschnitt a) wird zunächst angenommen, dass nur die jeweils betrachtete Komponente und die Störgröße wirksam sind. Mit extrapolierenden Verfahren sollen zeitlich regelmäßig anfallende Bewegungen einer Zeitreihe aufgezeigt werden, umso ein Fortschreiben in die Zukunft für Prognose- und Planungszwecke zu ermöglichen. Voraussetzung dafür ist eine ausreichend lange Zeitreihe. Ist dies nicht der Fall, so kann zwischen den einzelnen Komponenten, etwa Trend und Zyklus, oft nicht hinreichend genau unterschieden werden. Darüber hinaus ist die Treffsicherheit einer Prognose davon abhängig, dass die in der Vergangenheit wirksamen Einflussfaktoren einer Größe auch in der Zukunft in der gleichen relativen Stärke zueinander wirksam sind. a) Trendanalyse Einfache Mittelwertbildung Bei dem Verfahren der einfachen Mittelwertbildung wird aus allen m Gliedern einer Zeitreihe der Mittelwert gebildet: Für Prognosewerte soll für die folgende Darstellung die Bezeichnung xt (1) als Prognosewert des Zeitpunktes t für die Periode t + 1 festgelegt werden. Entsprechend ist dann x (k) der in t bestimmte Prognosewert für den Zeitpunkt t + k (k = 1, 2, …). F. Finanzplanung674 Dieses Verfahren ist nur bei Zeitreihen ohne Trend anwendbar, da andernfalls die Prognosewerte erheblich hinter der tatsächlichen Trendentwicklung zurückbleiben. Eine Zeitreihe ohne Trend ist in der folgenden Abbildung skizziert: Verfahren der gleitenden Durchschnitte Das Verfahren der gleitenden Durchschnitte basiert ebenfalls auf der Berechnung von Mittelwerten. Im Unterschied zur einfachen Mittelwertbildung wird hier ein Mittelwert nicht mehr mit allen m Werten der Zeitreihe, sondern wiederholt mit einer Anzahl von g Werten berechnet. Abb. F 5: Beispiel für das Verfahren der einfachen Mittelwertbildung Abb. F 6: Einfache Mittelwertbildung für Zeitreihen ohne Trend II. Prognosemethoden im Rahmen der Finanzplanung 675 Der gleitende Durchschnitt einer Zahlenreihe aus jeweils g = 3 Werten für t = 3 und t = 4 entspricht dem Mittelwert aus x1, x2 und x3 für t = 3 und aus x2, x3 und x4 für t = 4. Die allgemeine Berechnungsformel für das gleitende Mittel Mt lautet: Für den Prognosewert xt (k) aus dem Zeitpunkt t für die Periode t + k gilt entsprechend: Die Berechnungen gleitender Durchschnitte und Ableitungen von Prognosewerten ist in folgendem Beispiel für g = 3 und g = 5 dargestellt: Das Beispiel verdeutlicht, dass dieses Verfahren einem einsetzenden Trend (ab Periode 6) folgen kann. Die Reagibilität ist von der Wahl von k abhängig. Aber bereits bei einem g  =  3 ist festzustellen, dass die Prognosewerte den Trend nicht ausreichend fortschreiben. Die gleitenden Durchschnitte eignen sich offensichtlich dazu, Zeitreihentrends zu glätten. Als Prognoseverfahren sollten sie nur bei Zeitreihen ohne Trend zur Anwendung kommen. Methode der kleinsten quadratischen Abweichung Der Trend einer Zeitreihe wird häufig durch die Methode der kleinsten quadratischen Abweichung bestimmt. Kann von einer Größe lineare Zeitabhängigkeit angenommen werden, so wird der Trend durch die Gerade xt = a + b · t beschrieben. Die Geradenparameter a und b werden so bestimmt, dass die Summe der Abweichungsquadrate der Werte xt von der Trendgeraden minimal wird. m t=1 f(a, b) : (xt – (a + b · t)) 2 → Min! Abb. F 7: Beispiel für das Verfahren der gleitenden Durchschnitte 1 2 3 4 5 6 7 8 9 xi 169,0 165,0 173,0 170,0 168,0 176,0 184,0 198,0 209,0 Mt für g = 3 169,0 169,3 170,3 171,3 176,0 186,0 197,0 Mt für g = 5 169,0 170,4 174,2 179,2 187,0 5 6 7 8 9 10 11 12 13 xi 168,0 176,0 184,0 198,0 209,0 xt (k) für g = 3 197,0 201,3 202,4 200,3 xt (k) für g = 5 187,0 192,8 197,9 201,6 F. Finanzplanung676 Durch partielles Differenzieren können die Geradenparameter a und b für m Beobachtungspunkte folgendermaßen mit bestimmt werden. Abb. F 8: Methode der Minimierung der Summe der Abweichungsquadrate Abb. F 9: Beispiel für die Trendbestimmung nach der Methode der kleinsten  quadratischen Abweichung II. Prognosemethoden im Rahmen der Finanzplanung 677 Das Verfahren reagiert auf anhaltende Trendänderungen nur relativ langsam. Dies liegt u.a. daran, dass alle Zeitreihenwerte, die für die Berechnung der Gleichungsparameter herangezogen werden, mit gleicher Gewichtung eingehen. Für eine schnellere Anpassung an Trendbewegungen bietet es sich an, die zeitlich jüngsten Werte einer Zeitreihe stärker zu gewichten. Dies geschieht bei den Methoden der exponentiellen Glättung. Exponentielle Glättung erster Ordnung Für eine endliche Zeitreihe ergibt sich folgende Formel für die exponentielle Glättung 1. Ordnung: ersetzt und dieses Verfahren für xt–2 (1), xt –3 (1) … entsprechend wiederholt, so ergibt sich für eine unendliche Zeitreihe: In den Prognosewert für die Periode t + 1 gehen also die tatsächlichen Werte einer unendlichen Zeitreihe mit exponentiell abnehmender Gewichtung ein. Daraus leitet sich die Bezeichnung exponentielle Glättung ab. Von großer Bedeutung ist die Wahl von α, da durch α der Einfluss der Vergangenheit und somit die Reagibilität des Verfahrens beeinflusst wird. In den Extremfällen bleibt für α = 1 die Vergangenheit unberücksichtigt, für α = 0 wird der jüngste tatsächliche Wert nicht in die Glättung einbezogen. Eine Abschätzung von α ist u. a. auf dem nachfolgend aufgezeigten Wege möglich: Das mittlere Alter der Daten kann folgendermaßen mit bestimmt werden. Wird nun vom Anwender der exponentiellen Glättung festgelegt, dass k Vergangenheitswerte berücksichtigt werden sollen, so können k und α folgendermaßen mit berechnet werden. F. Finanzplanung678 Die Bestimmung von α kann auch zeitabhängig mit erfolgen, um die Reaktionsfähigkeit des exponentiellen Glättungsverfahrens zu verbessern.13 Die exponentielle Glättung erster Ordnung soll am folgenden Beispiel demonstriert werden. Aus dem Beispiel wird deutlich, dass die exponentiell geglätteten Werte dem nach Periode 5 einsetzenden Trend nur zögernd folgen. Die Prognosewerte der exponentiellen Glättung erster Ordnung verlaufen ohne Trend. Damit wird deutlich, dass dieses Verfahren nur bei Zeitreihen ohne Trend zur Anwendung kommen sollte. Exponentielle Glättung erster Ordnung mit Trend14 Die exponentielle Glättung erster Ordnung kann einem linearen Trend nicht ausreichend folgen. Nach r Zeitperioden beträgt der Fehler wobei b als Steigung der Trendgeraden zu verstehen ist. Für r → ∞ geht der Fehler gegen Dieser Wert kann zur Anpassung an einen linearen Trend folgendermaßen mit verwendet werden. 13 Vgl. Griese, Adaptive Verfahren, 1972. 14 Vgl. Gahse, Mathematische Vorhersageverfahren, 1971, S. 47 ff. Abb. F 10: Beispiel für das Verfahren der exponentiellen Glättung erster Ordnung II. Prognosemethoden im Rahmen der Finanzplanung 679 Für eine weitere Verbesserung der Extrapolation wird die Steigung b selbst als zeitlich veränderlich angesehen und ihrerseits einer exponentiellen Glättung erster Ordnung unterzogen und folgendermaßen mit bestimmt. Mit diesem Steigungswert bt wird dann die exponentielle Glättung erster Ordnung mit Trend folgendermaßen mit berechnet. Das folgende Beispiel veranschaulicht diese Berechnung (dabei wurde α = β = 0,2 gesetzt): Dieses Verfahren reagiert auf den einsetzenden Trend schnell und zieht mit dem Trend stark mit. Auch bei Trendumkehr (nach Periode 9) reagiert es schnell und recht genau. Problematisch ist eine k-Schritt-Prognose wegen der Berechnung von bt, da dieser Berechnung tatsächliche Werte zugrunde liegen und somit eine Berechnung nach obigem Verfahren für Prognosewerte k > 1 nicht fortgesetzt werden kann. Es ist möglich, die Prognose mit einem konstanten Steigerungswert, der etwa durch die Methode der kleinsten Quadrate gewonnen wird, fortzuführen, doch kann damit bei weitem keine so schnelle Reaktionsfähigkeit erwartet werden. Diese Prognoseproblematik wird noch durch die Schwierigkeiten der k-Schritt Prognose bei exponentieller Glättung erster Ordnung kompliziert, auf die wir bereits eingegangen sind. Exponentielle Glättung zweiter Ordnung Die Verfahren der exponentiellen Glättung höherer Ordnung sind auf bestimmte Trendverläufe einer Zeitreihe ausgerichtet. Die exponentielle Glättung zweiter Ordnung ist anzuwenden, wenn von der Zeitreihe ein linearer Trend angenommen werden kann. Bei diesem Verfahren wird die Summe der diskontierten Abweichungsquadrate von der Trendgerade minimiert: Mit den Ergebnissen der partiellen Ableitungen nach den Parametern a und b unter Berücksichtigung einer endlichen Zeitreihe ergibt sich folgendes schrittweises Vor- Abb. F 11: Beispiel für das Verfahren der exponentiellen Glättung erster Ordnung mit Trend t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 xt 169 165 173 170 168 176 184 198 209 195 186 185 bt 0 – 0,8 0,96 0,17 – 0,26 1,39 2,71 4,97 6,17 2,14 0,01 – 0,2 x^t (1) (169) 169 168 169 169 169 170 173 178 184 186 186 186 v^t (1) – 169 164 174 170 168 177 187 203 215 197 186 185 F. Finanzplanung680 gehen für die Berechnung der Prognosewerte durch exponentielle Glättung zweiter Ordnung: Aus den Schritten 3 und 4 ergeben sich die Geradenparameter bt (direkt aus Schritt 4) und at (durch Einsetzen von bt in die Gleichung des 3. Schrittes). Daraus lässt sich die Ein-Schritt-Prognose mit und die k-Schritt-Prognose mit berechnen. Ein Vergleich dieser Werte mit den durch die Methode der kleinsten Quadrate errechneten Prognosewerten in Höhe von t 13 14 15 16 x12 (k) 200 203 206 208 Abb. F 12: Beispiel für das Verfahren der exponentiellen Glättung zweiter Ordnung t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 xt 169 165 173 170 168 176 184 198 209 195 186 185 xt (169) 169 168 169 169 169 170 173 178 184 186 186 186 xt 169 169 169 169 169 169 169 170 172 174 176 178 at + bt · t 169 167 169 169 169 171 177 186 196 198 196 194 bt 0,00 –0,25 0,00 0,00 0,00 0,25 1,00 2,00 3,00 3,00 2,50 2,00 Für t = 12 wird also ein Wert von 194 ermittelt. x12 (0) wird folgendermaßen berechnet: a12 + b12 · 12 = 194 b12 = 2 dann ist a12 = 170 und x12 (1) = 170 + 2 · 13 = 198 der Prognosewert für die 13. Periode. Die weiteren Prognosewerte ergeben sich entsprechend. t 13 14 15 16 x12 (k) 198 200 202 204 II. Prognosemethoden im Rahmen der Finanzplanung 681 macht deutlich, dass die exponentielle Glättung zweiter Ordnung wesentlich wirkungsvoller auf den nach Periode 9 einsetzenden Trendabschwung reagiert. Dies wird durch die stärkere Gewichtung der jüngsten Zeitreihenwerte bei der exponentiellen Glättung zweiter Ordnung erreicht. Langfristige Vorhersageverfahren Die bisher dargestellten Verfahren können für kurz- bis mittelfristige Prognosen und Planungen herangezogen werden. Die Verfahren basieren alle auf der Annahme, dass die Einflussfaktoren einer untersuchten Größe auch in Zukunft in gleicher relativer Stärke wirksam sind. Für langfristige Vorhersagen ist diese Annahme nicht realistisch, die dargestellten Methoden können deshalb bei langfristiger Prognose keine Verwendung finden. Langfristige Vorhersagen beziehen sich meist auf makroökonomische Größen, bspw. soll der Bedarf von Taschenrechnern in Deutschland geschätzt werden. Der Absatz eines Produkts wird nicht linear steigend verlaufen, sondern er wird an eine Sättigungsgrenze stoßen, die eine Bedarfsobergrenze darstellt. So ist der Absatz von Taschenrechnern wohl kaum mehr zu steigern, falls jeder Haushalt in Deutschland über zwei Rechner verfügt. Eine langfristige Wachstumsfunktion lässt sich als logistische Kurve beschreiben. Diese Kurve hat etwa folgenden Verlauf (vgl. Abbildung F 13): Abb. F 13: Langfristige Wachstumsfunktion als logistische Kurve F. Finanzplanung682 Neben der logistischen Funktion ist als weitere bekannte Wachstumsfunktion die Gompertz-Funktion zu erwähnen. Wachstumskurven werden in der Praxis häufig für langfristige Bedarfsprognosen von Gebrauchsgütern herangezogen. Ihre Anwendung wirft Probleme auf, die hier nur andeutungsweise angesprochen werden können: 1. Wachstumskurven beziehen sich auf makroökonomische Größen. Das einzelne Unternehmen muss bei der Ableitung des langfristigen Absatzplanes aus Wachstumsfunktionen Veränderungen zukünftiger Marktanteile berücksichtigen, die oft schwer abzuschätzen sind. Veränderungen von Marktanteilen werden in Wachstumsfunktionen nicht berücksichtigt. 2. Die Lebensdauer eines Gutes muss bekannt sein. Es muss meist zwischen Erst- und Ersatzbedarf unterschieden werden. 3. Die Sättigungsgrenze sollte autonom geschätzt werden. Langfristig kann sie sich durch soziographische Veränderungen oder Verhaltens- und Einstellungswandel ändern. b) Berücksichtigung von Zyklus und Saison Eine zyklisch um einen linearen Trend verlaufende Zeitreihe ist in Abbildung F 14 dargestellt. Soll bei dieser Zeitreihe das zyklische Verhalten untersucht werden, ist es oft Abb. F 14: Zyklischer Verlauf einer Zeitreihe um einen linearen Trend II. Prognosemethoden im Rahmen der Finanzplanung 683 zweckmäßig, die Zeitreihe durch Drehung und Parallelverschiebung so zu bewegen, dass Trendgerade und Zeitachse deckungsgleich sind (vgl. Abbildung F 15). Ist nicht Zyklus oder Saison, sondern der Trend Untersuchungsgegenstand, kann die Zeitreihe um die zyklische bzw. die saisonale Komponente bereinigt werden. Verfahren zur Bereinigung der Zeitreihe lassen sich grundsätzlich auf beide Komponenten anwenden. In vielen Fällen der Finanzplanung wird die Saisonbereinigung einer Zeitreihe vorzunehmen sein, wobei als Saison die monatlichen Veränderungen aufgefasst werden. Ein einfaches Verfahren zur Ermittlung der Saisonschwankungen läuft folgendermaßen ab: 1. Für mehrere Jahre wird durch einfache Mittelwertbildung die durchschnittliche Monatsgröße eines jeden Jahres berechnet (z. B. durchschnittliche monatliche Umsatzeinnahmen für die Jahre 1982, 1983 usw.). 2. Die tatsächlichen Monatsgrößen werden für jedes Jahr als Prozentsätze der unter (1) errechneten Durchschnittsgröße angegeben. 3. Aus den monatlichen Prozentzahlen der einzelnen Jahre wird der einfache Mittelwert gebildet. Die Mittelwerte ergeben für jeden Monat einen Indexwert, aus den zwölf Indexwerten sind die Saisonbewegungen der untersuchten Zeitreihe ersichtlich. Ist der Trend einer Zeitreihe durch ein geeignetes Verfahren, etwa durch exponentielle Glättung zweiter Ordnung, ermittelt worden, so liegen die Prognosewerte auf der Trendkurve. Hat die Vergangenheit zyklische Bewegungen um den Trend gezeigt, so Abb. F 15: Transformation des zyklischen Verlaufs einer Zeitreihe auf die  Zeitachse ( Abszisse) F. Finanzplanung684 können diese nach einem Verfahren, das Gahse angibt,15 auch um die prognostizierte Trendkurve fortgeschrieben werden. Die korrigierten Prognosewerte sind das Produkt aus ursprünglichen auf der Trendkurve liegenden Werten und einem Zyklusfaktor. Vt (k) = zk · xt (k). Gahse ermittelt die Zyklusfaktoren durch exponentielle Glättung erster Ordnung. Alternativ könnten nach obigem Verfahren berechnete Indexwerte, für Zyklen entsprechend aufgestellt, als Zyklusfaktoren dienen. 3. Kausale Prognosen In den bisher dargestellten Verfahren wurde eine Größe rein zeitabhängig gesehen. Dagegen stellen kausale Prognosen eine Größe in Abhängigkeit von einer anderen dar, bspw. kann der Lagerbestand in Abhängigkeit vom Umsatz untersucht werden. Für zwei Größen y, x gilt allgemein: y = f (x). Für die Prognose von y aus x sind zwei Konstellationen denkbar: 1. Wurde x beobachtet, kann nach k Perioden regelmäßig mit der Beobachtung von y gerechnet werden (Time Lag): y (t + k) = f (x (t)). 2. y und x treten regelmäßig gleichzeitig auf, wobei x durch ein extrapolierendes Verfahren prognostiziert werden kann: y (t + k) = f (x (t + k)). Kausale Prognosen treten als deterministische oder stochastische Prognosen auf. 1. deterministische Prognosen Von den Größen y und x wird angenommen, dass sie in einem eindeutigen Ursache- Wirkungs-Zusammehang stehen. Die Prognose erfolgt damit unter der Hypothese sicherer Erwartungen und ist somit eindeutig möglich. 2. stochastische Prognosen Die Zusammenhänge zwischen den Größen sind nicht eindeutig determiniert, sondern nur durch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung anzugeben. Die Prognose ist dann immer mit einer Unsicherheit belastet, die Prognosewerte werden ebenfalls durch Wahrscheinlichkeitsverteilungen beschrieben. Als kausale Prognoseverfahren finden häufig einfache und multiple Regressionsansätze Verwendung. Bei der linearen Einfachregression stehen zwei Größen y und x in folgendem linearen Zusammenhang: y = a + b · x wobei x die erklärende und y die erklärte Größe ist. Das Verfahren ist analog zur Methode der kleinsten quadratischen Abweichung (Vgl. F II 2. a) anzuwenden, jedoch wird hier eine allgemein erklärende Variable regressiert und nicht eine zeitabhängige Variable wie vorher. 15 Vgl. Gahse, Mathematische Vorhersageverfahren, 1971, S. 70 ff.

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Zusammenfassung

"...gehört zu den etablierten Standardwerken für den gesamten Bereich der Investition und Finanzierung." boerse.de-MAGAZIN

Dieses Lehrbuch und Nachschlagewerk ist das Standardwerk für den gesamten Bereich der Investition und Finanzierung nach deutschem Recht. Neben den wichtigen Methoden der klassischen Finanz- und Investitionstheorie werden auch neue Finanzinstrumente und Erkenntnisse im Bereich der Kapitalmärkte erläutert, sodass dem Leser ein fundierter Überblick über den aktuellsten Stand der Forschung ermöglicht wird.

Aus dem Inhalt

- Management der Vermögensstruktur - Investitionsrechnung und Disposition des Umlaufvermögens

- Wertpapiergeschäfte - Analyse von Aktien und Aktienindizes sowie Wertpapierprogrammentscheidungen und Risikomanagement mit Termingeschäften

- Alternativen der Kapitalaufbringung - Finanzierungsformen, Kapitalstruktur und Verschuldungspolitik

- Finanzanalyse - Kennzahlenanalyse und Kapitalflussrechnung

- Finanzplanung - Kapitalbedarf- und Liquiditätsplanung, Plananpassung und Kontrolle

Die Autoren

Dr. Dr. h.c. Louis Perridon und Dr. Manfred Steiner waren bis zu ihrer Emeritierung Professoren für Betriebswirtschaftslehre an der Universität Augsburg. Dr. Andreas Rathgeber ist Professor am Institut Materials Resource Management und am Kernkompetenzzentrum Finanz- und Informationsmanagement an der Universität Augsburg.