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5. Berücksichtigung der Unsicherheit bei Investitionsentscheidungen in:

Louis Perridon, Manfred Steiner, Andreas W. Rathgeber

Finanzwirtschaft der Unternehmung, page 124 - 169

16. Edition 2012, ISBN print: 978-3-8006-3991-5, ISBN online: 978-3-8006-4900-6, https://doi.org/10.15358/9783800649006_124

Series: Vahlens Handbücher der Wirtschafts- und Sozialwissenschaften

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B. Management der Vermögensstruktur108 1. Welchen Stellenwert nimmt die Frage nach dem optimalen Investitionsprogramm im Rahmen der von der Investitionstheorie behandelten Fragen ein? 2. Zeigen Sie die Grenzen der Eignung dynamischer Verfahren zur Bestimmung des optimalen Investitionsprogramms auf. 3. Versuchen Sie die unterschiedlichen Abhängigkeiten von Investition und Finanzierung herauszuarbeiten. 4. Wo liegen die Unterschiede zwischen den von Hax und Albach verwendeten Zielfunktionen? 5. Welche Annahmen werden bei der Einkommensmaximierung bezüglich des Endvermögens getroffen? 6. Die angeführten Verfahren setzen die Festlegung eines Planungszeitraums voraus; nach welchen Kriterien würden Sie den Planungshorizont festlegen? 7. Wo liegen die Vorteile der Simultanplanung mithilfe der Linearprogrammierung, wo ihre Schwächen? 8. Auf welches Merkmal bezieht sich die Unterscheidung in Ein- und Mehrperiodenmodelle? 9. Wodurch ist die seltene praktische Anwendung dieser Modelle zu erklären? 5.  Berücksichtigung der Unsicherheit bei Investitionsentscheidungen Investitionsentscheidungen beruhen im Allgemeinen auf einer Reihe von Daten, die mit Unsicherheit behaftet sind. Dies resultiert aus dem Charakter der Investitionsrechnung als zukunftsorientierte Planungsrechnung. Die Aufgabe besteht nun darin, eine Investitionsrechnung so zu gestalten, dass auch bei Berücksichtigung von unsicheren zukünftigen Größen ein Ergebnis geliefert werden kann, das eine tragfähige Grundlage bildet, von der ausgehend die anstehenden Investitionsentscheidungen rational getroffen werden können. Investitionsrechnungen, bei denen für mindestens eine Entscheidungsalternative mehrere Ergebnisse für möglich gehalten werden, sind somit Investitionsentscheidungen unter Unsicherheit. Die in den vorangehenden Abschnitten dargestellten Investitionsrechenverfahren dienen grundsätzlich zur Entscheidungsfindung unter Sicherheit, weil hierbei für jede Investitionsalternative ein sicheres Ergebnis ermittelt werden kann, d. h. jeder Investitionsalternative kann ein Ergebniswert zugeordnet werden, und nur dieser Wert wird für möglich gehalten. Das Entscheidungsproblem bestand darin, für jede Investitionsalternative den Beitrag zur Zielerreichung zu berechnen und unter den gegebenen Möglichkeiten die optimale auszuwählen. Voraussetzung war hierzu, dass vollkommene Information bezüglich der zielrelevanten Größen vorhanden waren. Obwohl dies in der Praxis nur sehr selten der Fall ist, haben diese deterministischen Verfahren große praktische Bedeutung. In der Realität sind Entscheidungen, insbesondere Investitionsentscheidungen, jedoch fast ausschließlich bei unvollkommener Information zu treffen. I. Investitionsrechnung 109 Im Einzelfall kann nicht damit gerechnet werden, dass der ermittelte Zielbetrag auch tatsächlich eintrifft, weil dieser das Ergebnis aus zahlreichen unsicheren Einflussgrö- ßen, wie z.B. Verkaufspreisen, Absatzmengen, Faktorpreisen usw., ist. Wie solch eine Unsicherheit erfasst, gemessen und in das Entscheidungskalkül mit einbezogen werden kann, soll nun im nachfolgenden Abschnitt behandelt werden. Dabei wird sich herausstellen, dass die bislang beschriebenen Investitionsverfahren unter Sicherheit auch unter Unsicherheit mit veränderten Eingangsparametern verwendet werden können. Dies entspricht einer Kalkulation unter Quasi-Sicherheit. a) Die Unsicherheitssituation und ihre Formen Bei einer Beurteilung der Vorteilhaftigkeit von Investitionsalternativen muss die zukünftige Entwicklung der Umwelt in das Kalkül einbezogen werden, weil Investitionen das Betriebsgeschehen langfristig determinieren und die Gefahr einer Fehlentscheidung – und damit verbunden die Möglichkeit des Verlustes des eingesetzten Kapitals – mit zunehmendem Planungshorizont ansteigt. Dieser Tatsache wird in der Entscheidungstheorie durch die Formulierung von stochastischen Modellen Rechnung getragen. Die Unsicherheitssituation wird dabei unterteilt in Risiko- und Ungewissheitssituationen (vgl. Abbildung B 50).69 69 Vgl. Bamberg, Coenenberg, Krapp, Betriebswirtschaftliche Entscheidungslehre, 2008, S. 13 ff. Abb. B 50: Risiko und Ungewissheit B. Management der Vermögensstruktur110 aa) Risiko Eine Risikosituation ist nach Bamberg/Coenenberg/Krapp dadurch charakterisiert, dass dem Entscheidungsträger Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten der möglichen Umweltzustände bekannt sind.70 Häufig wird mit dem Begriff Risiko auch die Gefahr einer Fehlentscheidung bezeichnet.71 Diese Auslegung ist jedoch unzweckmäßig, weil hierbei offen bleibt, wie die Gefahr einer Fehlentscheidung zu messen ist. Das Risiko einer Handlungsmöglichkeit, hier Investition, lässt sich nur durch die Gesamtheit der alternativen Zielbeiträge und deren Glaubwürdigkeit im Einzelnen kennzeichnen. Dies äußert sich aber nur in der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zielbeiträge. Für das Aufstellen der benötigten Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Umweltzustände gibt es zwei grundsätzliche Möglichkeiten: 1. Objektive Wahrscheinlichkeiten werden aus empirischen Häufigkeitsverteilungen der Ergebnisse von gleichwertigen Entscheidungssituationen gewonnen. Die Wahrscheinlichkeiten können häufig durch kombinatorische Überlegungen oder aufgrund von statistischem Datenmaterial exakt berechnet werden. Als Beispiele können hier die Teilnahme an den staatlichen Lotterien oder die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten für den Eintritt eines Versicherungsfalls angeführt werden. 2. Subjektive Wahrscheinlichkeiten, auch Glaubwürdigkeitsziffern, werden auf der Basis subjektiver Erfahrung und Überlegung gebildet. Diese numerischen Werte dienen ebenso wie die objektiven Wahrscheinlichkeiten zur Beurteilung, in welchem Maße verschiedene Situationen eintreten werden. bb) Ungewissheit Können bei einer Investitionsentscheidung für das Eintreten der relevanten Umweltzustände keine Wahrscheinlichkeiten, also weder objektive noch subjektive, angegeben werden, dann handelt es sich um eine Entscheidung unter Ungewissheit.72 Der Entscheidende weiß in einem solchen Falle nicht, welche Werte eine Zustandsvariable annehmen könnte. Die rationale Lösung von Entscheidungsproblemen bei völliger Unkenntnis über die relevanten Faktoren ist natürlich unmöglich, weil es bei völliger Unkenntnis der künftigen Entwicklung für den Entscheider gleichgültig ist, welche Alternative er wählt. Der hier dargestellten und in der Literatur häufig anzutreffenden Dreiteilung der Unsicherheitsgrade in Sicherheit, Risiko und Ungewissheit folgt Schneider nicht. Für ihn erweist sich ein Herausheben der Risikosituation als überflüssig. Ist eine Entscheidung beliebig oft wiederholbar und kann somit eine Häufigkeitsverteilung aufgestellt werden, handle es sich nicht mehr um eine Entscheidung unter Risiko, sondern unter Sicherheit, weil sich bei hinreichend vielen Wiederholungen die Häufigkeitsverteilung verwirkliche. Ist diese Entscheidung aber nicht beliebig wiederholbar, liege Ungewissheit vor.73 Es müssten mindestens zwei mögliche Aktionen des Entscheidenden bekannt sein, sowie eine Funktion – z. B. Nutzenfunktion –, die die Handlungsfolgen in Abhängigkeit von 70 Vgl. Bamberg, Coenenberg, Krapp, Betriebswirtschaftliche Entscheidungslehre, 2008, S. 67. 71 Vgl. Krelle, Preisbildung, 1957. 72 Vgl. Bamberg, Coenenberg, Krapp, Betriebswirtschaftliche Entscheidungslehre, 2008, S. 111 ff. 73 Vgl. Schneider, Investition und Finanzierung, 1980, S. 71 f. I. Investitionsrechnung 111 der gewählten Aktion und dem tatsächlichen, aber unbekannten Zustand beschreibt, um von Entscheidung unter Ungewissheit sprechen zu können. Bei Investitionsentscheidungen tritt in der Praxis häufig der Fall auf, dass subjektive Einschätzungen über die relevanten Faktoren einer Entscheidung vorliegen, weil für betriebswirtschaftliche Entscheidungsprobleme ein rationales Handeln unter Berücksichtigung der Reaktionen der möglichen „Konkurrenten“ unterstellt wird und der Entscheidende somit aus den ihm vorliegenden Unterlagen für eine Investitionsalternative subjektive Glaubwürdigkeitsziffern für verschiedene Zukunftslagen ableiten kann, auf denen seine Entscheidung letztlich beruht. Die praktische Erfahrung zeigt weiter, dass besonders bei Planungsrechnungen, wie es die Investitionsrechnung ist, Entscheidungen getroffen werden müssen, welche das Unternehmen langfristig belasten. Investitionsentscheidungen sind im Allgemeinen einmalige Einzelentscheidungen, so dass nur in Ausnahmefällen mehrere gleichartige Entscheidungssituationen vorliegen, für die objektive Wahrscheinlichkeiten angegeben werden können. Die Unterteilung in objektive und subjektive oder in bekannte und unbekannte Wahrscheinlichkeiten ist für das weitere Vorgehen unerheblich, weil objektive oder subjektive Wahrscheinlichkeiten die Beurteilung eines oder mehrerer Investitionsobjekte in gleichem Maße beeinflussen. Aus diesem Grunde wird im Folgenden nur noch von Wahrscheinlichkeiten gesprochen.74 Abschließend ist festzuhalten, dass Unsicherheit im Hinblick auf die künftige Entwicklung der für eine Investitionsentscheidung relevanten Daten allein nicht ausreicht, um dieser Entscheidung ein „Risiko“ – als Gefahr negativer Folgewirkungen – beizumessen. Kann eine im Zeitpunkt t0 getroffene Entscheidung – wenn es erforderlich ist – sofort und ohne zusätzliche Kosten korrigiert werden, so geht das Unternehmen mit einer solchen Entscheidung keinerlei „Risiko“ ein. Anders liegen die Dinge, wenn das Unternehmen an eine Entscheidung langfristig gebunden ist und diese nur durch einen außerordentlichen Aufwand rückgängig machen oder korrigieren kann, was für Investitionsentscheidungen im Allgemeinen zutreffen dürfte.75 Das „Risiko“ einer Entscheidung beruht somit auf zwei Komponenten: 1. der Unsicherheit über die künftige Entwicklung der relevanten Größen, also unvollkommener Information und 2. der Inflexibilität von Entscheidungen, d. h., dass kurzfristig diese Entscheidungen bzw. ihre Auswirkungen nicht rückgängig gemacht oder abgeändert werden können.76 Bei der Beurteilung von Entscheidungen unter Berücksichtigung der Unsicherheit ist streng zwischen der Situation vor und nach der Entscheidung zu trennen. Heute – zum Zeitpunkt der Entscheidung (t0) – sind eine Reihe von Zielwerten für die Zukunft (tn) möglich. Zum Zeitpunkt tn ist dann bekannt, dass einer der möglichen Werte eingetreten ist. Im Nachhinein lässt sich somit stets sagen, ob die Entscheidung zu investieren „falsch“ oder „richtig“ war. 74 Der interessierte Leser sei auf die unterschiedlichen Meinungen in der Literatur hingewiesen. Siehe z.B. Schneider, Investition und Finanzierung, 1980, S. 67 ff., und Bamberg, Coenenberg, Krapp, Betriebswirtschaftliche Entscheidungslehre, 2008, S. 68 ff. und die dort aufgeführte Literatur. 75 Vgl. Jacob, Investitionsplanung und Investitionsentscheidung, 1976, S. 110 f. 76 Vgl. Jacob, Investitionsplanung und Investitionsentscheidung, 1976, S. 111. B. Management der Vermögensstruktur112 b) Traditionelle Lösung durch Korrekturverfahren In der Literatur77 wird häufig der Vorschlag gemacht, die Unsicherheit bei der Datenermittlung in der Investitionsrechnung durch die Variation bestimmter Eingangsgrößen zu berücksichtigen, und zwar in der Weise, dass „Risikoabschläge“ bzw. „Risikozuschläge“ angesetzt werden, insbesondere für den kalkulatorischen Zinssatz, die Nutzungsdauer bzw. Lebensdauer und die Rückflüsse oder Gewinne bzw. Kosteneinsparungen. Trotz der oft erhobenen Einwände und der Kritik78 an dieser Vorgehensweise kann davon ausgegangen werden, dass diese Verfahren häufig zur Berücksichtigung des Risikos einer Investition in der Praxis Anwendung finden. 1. Variation des kalkulatorischen Zinssatzes Die Höhe des Kalkulationszinssatzes richtet sich nach der Unsicherheit des Projektes. Wird die Unsicherheit hoch eingeschätzt, bedeutet dies einen ebenfalls hohen Zinssatz. Dadurch ergibt sich bei unsicheren Erwartungen ein niedrigerer Kapitalwert als ohne Berücksichtigung des Risikos, d. h. aber auch, dass sichere Investitionen bei gleicher Höhe der Rückflüsse risikoreichen Investitionen vorgezogen werden. In der Praxis haben sich mehrere Risikokategorien herausgebildet, die mit unterschiedlichen Zinssätzen berücksichtigt werden (vgl. Abb. B 51).79 Die Höhe der Zinssätze ist abhängig von der Einschätzung der Risikosituation. Variationsmöglichkeiten bestehen z.B. bei Anwendung der Kapitalwertmethode durch eine Diskontierung mit ansteigenden Zinssätzen, d. h. je weiter die erwarteten Rückflüsse in der Zukunft liegen, desto unsicherer sind sie und desto höher wird deshalb der Diskontierungszinssatz gewählt.80 2. Kürzung der Nutzungsdauer Die voraussichtliche Nutzungsdauer kann bei Berücksichtigung der Ungewissheit gekürzt werden, d. h. je größer die Ungewissheit ist, desto kürzer wird die Nutzungs- 77 Vgl. Blohm, Lüder, Schaefer, Investition, 2010, S. 213; Biergans, Investitionsrechnung, 1979, S.253ff.; Gutenberg, Investitionsplanung, 1954, S.563ff.; Priewasser, Investitionsentscheidungen, 1972, S.55. 78 Vgl. Priewasser, Investitionsentscheidungen, 1972, S. 55, der diese Verfahren aus grundsätzlichen Erwägungen generell ablehnt; siehe auch Biergans, Investitionsrechnung, 1979, S. 254 f.; Blohm, Lüder, Schaefer, Investition, 2010, S. 215. 79 Vgl. Blohm, Lüder, Schaefer, Investition, 2010, S. 213. 80 Vgl. Blohm, Lüder, Schaefer, Investition, 2010, S. 214. Abb. B 51: Variation des kalkulatorischen Zinssatzes I. Investitionsrechnung 113 dauer angesetzt. Der Kapitaleinsatz muss sich dann in kürzerer Zeit amortisieren, damit eine Investition als vorteilhaft eingestuft wird. Der Kapitalwert muss c. p. umso niedriger sein, je unsicherer die Erwartungen sind und je kürzer die Nutzungsdauer gewählt wurde. 3. Risikobewusste Schätzung der Gewinne bzw. Kosteneinsparungen Bei Investitionsentscheidungen, die mit hoher Unsicherheit belastet sind, werden die Rückflüsse niedriger angesetzt als bei sicheren Investitionen. Der Kapitalwert ist dann umso niedriger, je unsicherer die zukünftige Situation eingeschätzt wird. Beurteilung der Korrekturverfahren 1. Für die Bestimmung von Risikozu- oder -abschlägen gibt es nur sehr vage Maßstäbe. Statt effektiv die Gefahr der Fehleinschätzung zukünftiger Entwicklungen zu berücksichtigen, verfälscht man die eigentliche Aussage der Investitionsrechnung, weil die Unsicherheit „summarisch“ bestimmt und verrechnet und nicht „analytisch“ aus der Unsicherheit der Einflussfaktoren ermittelt wird.81 Ein auf diese Weise durchgeführter Investitionsvergleich ist ungenau und vermittelt nur vage Vorstellungen von der zukünftigen Auswirkung der geplanten Investitionsentscheidung. 2. Bei der Berücksichtigung der Unsicherheit durch Korrektur verschiedener Einflussgrößen besteht die Möglichkeit, jede Investitionsalternative nachteilig erscheinen zu lassen. Durch einen Kumulationseffekt, dessen Auswirkungen nicht mehr zu überschauen sind, ist es möglich, Projekte „totzurechnen“;82 eine Kritik, die aber generell auch Entscheidungen unter Sicherheit betrifft. 3. Der wichtigste Kritikpunkt besteht aber darin, dass kein geschlossenes Model vorliegt, aus dem Bewertungsmaßstäbe für die Investitionsentscheidungen abgeleitet werden können. Wegen der angeführten Mängel können die Korrekturverfahren lediglich als praktikable Faustregeln bezeichnet werden, die dem Vorsichtsprinzip durch globale Risikoabschläge Rechnung tragen. c)  Investitionsentscheidungen auf der Grundlage von  Wahrscheinlichkeiten Investitionsentscheidungen unter Unsicherheit werden ebenso wie im Fall sicherer Erwartungen anhand des Kapitalwerts, der Annuität, des Werts des Endvermögens und ähnlicher Größen getroffen. Allerdings kann jede Investitionsplanung zu verschiedenen Werten der jeweiligen Zielgröße führen, je nachdem, wie das Risiko nach den subjektiven Vorstellungen des Investors angesetzt wird. Ähnlich wie bei mehrperiodigen Investitionsobjekten die unterschiedliche zeitliche Struktur der Zahlungsströme die Vergleichbarkeit erschwert und diese erst durch Ab- oder Aufzinsung auf einen Bezugszeitpunkt erreicht werden kann, ist es hier die Unsicherheitsstruktur, die geeignete Kalküle für die Erstellung einer Rangordnung von Investitionsalternativen erforderlich macht.83 81 Vgl. Blohm, Lüder, Schaefer, Investition, 2010, S. 214; teilweise anderer Ansicht Ballwieser, Die Wahl des Kalkulationszinsfußes, 1981. 82 Vgl. Rühli, Investitionsrechnung, 1970, S. 168. 83 Vgl. Drukarczyk, Finanzierungstheorie, 1980, S. 104 ff. B. Management der Vermögensstruktur114 aa) μσ-Prinzip Unterstellt man, dass der Entscheidende zumindest subjektive Wahrscheinlichkeiten, mit denen verschiedene Ereignisse eintreten, angeben kann, lässt sich die Entscheidung nach dem Erwartungswert treffen (μ-Prinzip). So fordert eine der bekanntesten Entscheidungsregeln die Maximierung des Erwartungswertes aus der Wahrscheinlichkeitsverteilung.84 Es ist somit diejenige Alternative zu wählen, bei der der mathematische Erwartungswert der Zielgröße ein Maximum aufweist, d. h. der mit den Wahrscheinlichkeitswerten wi gewogene Durchschnitt aller möglichen Zielbeiträge Zi (i = 1,2,…,n) der Wahrscheinlichkeitsverteilung ist zu maximieren. Diese Entscheidungsregel, nach Th. Bayes Bayessches Kriterium genannt, verlangt eine genaue Kenntnis der Wahrscheinlichkeitsverteilung der alternativen Zukunftslagen. Die Zielwerte, z. B. Zahlungsüberschüsse, werden mit den Wahrscheinlichkeitswerten der entsprechenden Zustände gewichtet und für jede Investitionsalternative aufsummiert. Auf diese Weise erhält man für jedes betrachtete Investitionsobjekt einen Erwartungswert. Aus den betrachteten Strategien ist diejenige auszuwählen, bei der der Erwartungswert der Zielgröße ein Maximum erreicht. Für die Anwendung dieses Entscheidungskriteriums ist es also Voraussetzung, Kenntnis über die Wahrscheinlichkeitsverteilungen zu haben, die als a-priori-Verteilungen bezeichnet werden, weil man davon ausgeht, dass sie vor der Lösung des Entscheidungsproblems bekannt sind.85 Orientiert sich ein Investor an dieser Regel, so muss er für die geplanten Vorhaben verschiedene für möglich gehaltene Datenkonstellationen berücksichtigen, um den einzelnen Alternativen aufgrund seiner Erfahrung und seiner Einschätzung subjektive Wahrscheinlichkeitskoeffizienten zwischen 0 und 1 zuzuordnen. Gegen die dargestellte Methode zur Berücksichtigung der Unsicherheit wird oft geäu- ßert, dass der Investor die Wahrscheinlichkeit des Eintretens der für möglich gehaltenen Entwicklungen nicht exakt numerisch festlegen kann.86 Ein Investor kann im Allgemeinen verschiedene Trends der für einen Vergleich relevanten Größen angeben; verlangt man aber eine Quantifizierung der Wahrscheinlichkeit seiner Erwartungen, so wird dies nicht möglich sein. Hax hält es außerdem für fraglich, „ob eine Entscheidungstheorie, die in dieser Weise sich auf subjektive Gegebenheiten stützt, noch zu praktisch relevanten Aussagen kommen kann.“87 Der zweite Einwand zielt auf die völlige Vernachlässigung der persönlichen Risikoeinstellung gegenüber zu vergleichenden Investitionsalternativen. Die Bayes-Regel unterstellt, dass sich der Entscheidungsträger indifferent verhält bei einem sicheren 84 Vgl. Hax, Investitionstheorie, 1985, S. 133 f.; zur Eignung von Entscheidungsregeln aufgrund subjektiver Wahrscheinlichkeit siehe auch Bamberg, Coenenberg, Krapp, Betriebswirtschaftliche Entscheidungslehre, 2008, S. 68 ff.; Menges, Grundmodelle wirtschaftlicher Entscheidungen, 1974, S. 26 ff.; Schneeweiß, Entscheidungskriterien, 1967, S. 27 ff. 85 Vgl. Menges, Grundmodelle wirtschaftlicher Entscheidungen, 1974, S. 179. 86 Vgl. Schwarz, Optimale Investitionsentscheidungen, 1967, S. 137; vgl. Menges, Grundmodelle wirtschaftlicher Entscheidungen, 1974, S.179, der vier Vorschläge für den Ansatz von Wahrscheinlichkeitsverteilungen macht, wenn keine a-priori-Verteilung angegeben werden kann. 87 Hax, Investitionstheorie, 1985, S. 134. I. Investitionsrechnung 115 Gewinn G und einer Möglichkeit, mit der Wahrscheinlichkeit jeweils von 0,5 einen Gewinn von 2 G zu erzielen bzw. keinen Gewinn zu machen. Das μ-Prinzip ist also nur bei Risikoneutralität des Investors ein angemessenes Entscheidungskriterium. Es soll nun ein weiteres Beispiel betrachtet werden. Bei Berücksichtigung der Unsicherheit ergebe sich für unterschiedlich stark konjunkturabhängige Investitionen A und B folgendes Bild (Abbildung B 53) unter der Annahme dreier verschiedener Wirtschaftslagen. An dieser Stelle soll auch das Risiko der Investition berücksichtigt werden. Für die Berücksichtigung des Risikos existieren zahlreiche Maße. In der Entscheidungstheorie haben sich Streuungsmaße der Zielbeiträge, wie die Varianz (σ2), etabliert. Danach ist das Risiko einer Investitionsalternative umso höher, je größer der Wert der Varianz bzw. Standardabweichung (σ) ist. Abb. B 52: Beispiel für die Erwartungswertberechnung und Entscheidungsfindung nach der Bayes-Regel Beispiel: Ein Investor hat die Wahl zwischen zwei Investitionsalternativen A und B, die beide den gleichen Kapitaleinsatz erfordern. In den Vorteilsvergleich wurden je vier Situationen einbezogen und Wahrscheinlichkeiten zugeordnet. Aufgrund des Erwartungswertes (E) erweist sich das Vorhaben B als vorteilhafter. Abb. B 53: Beispiel für die Bayes-Regel und die damit verbundene Vernachlässigung der Risikoeinstellung Erwartungswert von Investition A: EA = 400 · 0,2 + 500 · 6 + 600 · 0,2 = 500 Erwartungswert von Investition B: EB = 0 · 0,2 + 500 · 0,6 + 1.000 · 0,2 = 500 Eine Aussage über die Vorteilhaftigkeit aufgrund des Erwartungswerts kann in diesem Beispiel nicht gemacht werden. B. Management der Vermögensstruktur116 Die Entscheidungsregel lautet somit: Bei gleichem Erwartungswert sind bei Risikoaversion Investitionsalternativen mit niedrigen Standardabweichungen vorteilhafter als solche mit höheren Standardabweichungen (einfaches μσ-Prinzip). Für das obige Beispiel ergeben sich folgende Werte: Alternative A Alternative B (400–500)2 · 0,2 = 2.000 (0–500)2 · 0,2 = 50.000 (500–500)2 · 0,6 = 0 (500–500)2 · 0,6 = 0 (600–500)2 · 0,2 = 2.000 (1000–500)2 · 0,2 = 50.000 σ2A = 4.000 σ2B = 100.000 Standardabweichung Standardabweichung Alternative A ist vorteilhafter als B, weil sie ein geringeres Risiko aufweist. Diese Vorgehensweise erweitert die Bayes-Regel, indem nicht nur von der Gewinnerwartung ausgegangen wird, sondern auch von der Streuung σ2 der Gewinne um ihren Erwartungswert, womit ein Risikomaßstab angegeben werden kann. Eine weitere Möglichkeit der Messung des Risikos besteht in der Ermittlung des Abweichungskoeffizienten A (Coefficient of Variation) Hierbei werden die beiden Maßstäbe, Erwartungswert und Risiko, gemeinsam zur Beurteilung einer Investition herangezogen. Auf dieser Basis könnte die Entscheidungsregel lauten: Je kleiner der Abweichungskoeffizient ist, desto vorteilhafter ist das Investitionsprojekt. Auf obiges Beispiel bezogen ist nach dieser Regel Alternative A der Alternative B vorzuziehen: Dieses Ergebnis ist selbstverständlich, da Alternative A und B den gleichen Erwartungswert aber unterschiedliche Standardabweichungen besitzen. Eine sinnvollere Anwendung des Abweichungskoeffizienten erweist sich bei dem Beispiel aus Abbildung B 52. Dort errechnet man für die Standardabweichungen σA = 9,54 sowie σB = 105 und für die Abweichungskoeffizienten AA = 0,74 sowie AB = 7. Während eine Entscheidung rein nach dem Erwartungswert Alternative B als vorteilhafter erachtet, würde ein Entscheider auf Grundlage des Abweichungskoeffizienten Alternative A vorziehen. I. Investitionsrechnung 117 Offensichtlich handelt es sich bei den Entscheidungsproblemen unter Unsicherheit im Rahmen der Investition um ein Abwägen zwischen (a) einem größeren Zahlungsüberschuss verbunden mit höherem Risiko oder (b) einem kleineren Zahlungsüberschuss mit niedrigerem Risiko. Dieses Abwägen kommt in der Präferenzfunktion zum Ausdruck. Sie gibt als klassisches Entscheidungsprinzip Auskunft darüber, welche Anzahl zusätzlicher Erfolgseinheiten der Investor für notwendig erachtet, um eine zusätzliche Risikoeinheit zu kompensieren. Als Risikopräferenzfunktion wird die Abhängigkeit des Risikonutzens vom Erwartungswert des Einkommens und vom Risiko bezeichnet.88 Ist der Risikonutzen Φ nur abhängig von μ, dem Erwartungswert der zufallsabhängigen Zielgröße x, und σ, deren Streuung, so erhält man allgemein folgendes Präferenzfunktional: Φ (x) = Φ (μ, σ) (μσ-Prinzip) In der Risikopräferenzfunktion hängt somit der Risikonutzen nicht von der vollen ursprünglichen Wahrscheinlichkeitsverteilung ab, sondern von den Ersatzgrößen Erwartungswert und Streuung. Alle „klassischen“ Entscheidungsprinzipien bei Risiko sind durch das gemeinsame Merkmal charakterisiert, dass der Wert Φ (x) nicht von der gesamten Wahrscheinlichkeitsverteilung, sondern nur von einigen Verteilungsparametern abhängt.89 Beim μσ-Prinzip sind dies die beiden ersten Verteilungsmomente 88 Vgl. Schneider, Investition und Finanzierung, 1980, S. 131 ff. 89 Vgl. Bamberg, Coenenberg, Krapp, Betriebswirtschaftliche Entscheidungslehre, 2008, S. 103 ff. Abb. B 54: Indifferenzlinien einer Präferenzfunktion bei Risikofreude B. Management der Vermögensstruktur118 Erwartungswert des Einkommens μ und der Streuung σ. Während nur ein μσ-Prinzip existiert, gibt es je nach Festlegung der Präferenzfunktion Φ eine Reihe von μσ-Regeln, so insbesondere für Risikoaversion, Risikofreude und Risikoneutralität des Investors. Graphisch lassen sich Präferenzfunktionen für einen gegebenen Wert des Risikonutzens in Form von Risikoindifferenzkurven darstellen. Gelangt man bei konstantem μ = μ0 und wachsendem σ zu Indifferenzlinien höherer Präferenz, dann liegt Risikofreude vor (Abbildung B 54). Ein risikofreudiger Investor bevorzugt bei festem Erwartungswert μ0 unter verschiedenen Alternativen diejenige Alternative mit dem größten σ (Alternative A4 in Abbildung B 54). Er schätzt also eine Alternative mit einer breiten Streuung der möglichen Zielwerte um den Erwartungswert höher ein als Alternativen, die eine kleinere Streuung aufweisen. Dies ist gleichbedeutend damit, dass er die Alternative mit hohen Gewinnchancen und Verlustrisiken anderen mit kleineren Werten (in Abbildung B 54 die Alternativen A1, A2 und A3) vorzieht. Kommt man bei konstantem μ = μ0 und sinkendem σ zu Indifferenzlinien höherer Präferenz, so liegt risikoscheues Verhalten vor (Abbildung  B  55). Im Gegensatz zum risikofreudigen Investor schätzt der risikoscheue bei gleichem Erwartungswert eine Alternative mit einer geringen Streuung der möglichen Zielwerte um den Erwartungswert besser ein als solche mit breiterer Streuung. Es wird also die Alternative mit den im Vergleich zu den anderen Alternativen kleinsten Gewinnchancen bzw. Verlustrisiken vorgezogen (Alternative A1 in Abbildung B 55). Abb. B 55: Indifferenzlinien einer Präferenzfunktion bei Risikoaversion I. Investitionsrechnung 119 Risikoindifferentes Verhalten ist dadurch gekennzeichnet, dass der Investor verschiedene Alternativen nur nach den jeweiligen Erwartungswerten beurteilt. Eine die Risikoindifferenz widerspiegelnde lineare Präferenzfunktion entspricht somit der Bayes-Regel, d.h. die Streuung der möglichen Zielwerte um den Erwartungswert als Ausdruck des Risikos der einzelnen Alternativen bleibt unberücksichtigt. Der risikoindifferente Investor zieht die Alternative mit dem höchsten Erwartungswert vor (in Abbildung B 56 Alternative A4). bb) Bernoulli-Prinzip Das Bernoulli-Prinzip ist ein Entscheidungsgrundsatz, der, aufbauend auf der kardinalen Messbarkeit des Nutzens, die subjektive Einstellung des Entscheidenden zum Risiko berücksichtigt.90 Es handelt sich um ein sehr allgemeines Prinzip zur Auswahl von Entscheidungsalternativen mit unsicheren Ergebnissen, d. h. mit einer Wahrscheinlichkeitsverteilung möglicher Ergebnisse, die nun nicht mehr unbedingt messbare, quantifizierbare Grö- ßen sein müssen, sondern bei denen es sich auch um qualitativ definierte Ergebnisse handeln kann. Entscheidend ist, dass sich die Ergebnisse je einzeln über die zugrunde gelegte Nutzenfunktion in quantitative Nutzenwerte transformieren lassen. Bezogen auf die individuellen Nutzenfunktionen von Investoren bedeutet dies, dass jedem Zielwert (Z) ein bestimmter Nutzen (U) zugeordnet wird. Es gilt somit U = U (Z). 90 Vgl. Blohm, Lüder, Schaefer, Investition, 2010, S.223 f.; Hax, Investitionstheorie, 1985, S.134 f.; Hax, Entscheidungsmodelle, 1974, S.58 f. Abb. B 56: Indifferenzlinien einer Präferenzfunktion bei Risikoindifferenz B. Management der Vermögensstruktur120 Für den Entscheidenden kann eine persönliche Nutzenfunktion, die jedem Ergebnis Z einen Nutzen U zuordnet, aufgestellt werden. Alternativen mit größerem Erwartungswert der zugeordneten Nutzenwerte sind denen mit kleineren Werten vorzuziehen. Optimal ist nach der Bernoulli-Regel die Alternative, bei der die mathematische Erwartung des Nutzens ein Maximum erreicht. Bei der Risikonutzenfunktion hängt der Risikonutzen von den Gewinnchancen ab, während bei der Risikopräferenzfunktion der Risikonutzen vom Erwartungswert des Gewinns und dem Risikomaß, z. B. der Varianz, abhängig ist. Bei den Risikonutzenfunktionen wird der Zielbeitrag einer jeden zukünftigen Alternative zunächst auf seinen Nutzenwert hin ausgewertet, während bei der Risikopräferenzfunktion die Wahrscheinlichkeitsverteilung jeder Alternative erst auf Ersatzgrößen (z. B. μ und σ) umgerechnet wird, ehe der Risikonutzen einer Alternative angegeben werden kann.91 Entschieden wird nach der Regel Max. (Bernoulli-Prinzip) 1. Bei einer linearen Nutzenfunktion ist die Maximierung des Erwartungswertes des Nutzens gleichbedeutend mit der Maximierung des Erwartungswertes der Zielgröße. Unterstellt man den Fall, dass bei der Durchführung einer Investition mit einer Wahrscheinlichkeit von jeweils 0,5 ein Gewinn von G1 oder G2 erzielt werden kann, so ist der erwartete Nutzen 0,5 [U(G1) + U (G2)] gleich dem Nutzen des Erwartungswertes U [0,5 (G1 + G2)]. 2. Bei einer konvexen Nutzenfunktion ergibt sich folgende Situation: 91 Vgl. Schneider, Investition und Finanzierung, 1980, S. 131. Abb. B 57: Nutzenfunktion bei Risikofreude I. Investitionsrechnung 121 Aus der Abbildung B 57 ist ersichtlich, dass im Falle von Risikofreude der erwartete Nutzen 0,5 [U (G1) + U (G2)] größer ist als der Nutzen des Erwartungswertes U [0,5 (G1 + G2)]. Dies besagt nun, dass der Möglichkeit, mit einer Wahrscheinlichkeit von jeweils 0,5 ein Gewinn von G1 und G2 zu erzielen, der Vorzug gegeben wird vor dem sicheren Gewinn92 0,5 (G1 + G2). 3. Unterstellt man risikoscheues Verhalten, so ergibt sich gerade das Gegenteil von Fall 2: Hier wird der sichere Gewinn der Möglichkeit vorgezogen, einen Gewinn von G1 oder G2 bei gleichem Erwartungswert zu erzielen, d. h., dass der erwartete Nutzen kleiner ist als der Nutzen des Erwartungswertes.93 Im Folgenden wird eine Nutzenfunktion vorausgesetzt, die hier als streng monoton wachsend (positiver Grenznutzen des Geldes) angenommen wird und für die das Bernoulli-Prinzip gilt. Damit lässt sich einer unsicheren Zahlung Z ein Erwartungsnutzen zuweisen: BU = E(U(Z)). 92 Vgl. Hax, Entscheidungsmodelle, 1974, S. 62. 93 Vgl. auch die Ausführungen bei Blohm, Lüder, Schaefer, Investition, 2010, S. 225-227; Hax, Investitionstheorie, 1985, S. 135 ff.; Drukarczyk, Finanzierungstheorie, 1980, S. 129 ff., über quadratische und stufige Nutzenfunktionen. Abb. B 58: Nutzenfunktion bei Risikoscheu B. Management der Vermögensstruktur122 Dabei stellt Z eine Zufallsvariable dar; E() ist der Erwartungswertoperator. Über die Umkehrfunktion lässt sich diesem wiederum ein Geldbetrag zuordnen, der auch als Sicherheitsäquivalent interpretiert werden kann.94 Dieser Betrag SA(Z)=U-1(E(U(Z))) entspricht der sicheren Zahlung, die einem Investor den identischen Nutzen bietet wie der unsichere Zahlungsstrom. SA ist hierbei eine deterministische Größe. Auf Basis des Sicherheitsäquivalents können nun Entscheidungen nach der Regel getroffen, bei der die Alternative mit dem höchsten Sicherheitsäquivalent ausgewählt wird. Bei Kenntnis der Bernoulli-Nutzenfunktion ist es möglich, für jede Alternative den Risikonutzen zu ermitteln. Die individuelle Risikoeinstellung des Investors kann durch eine für die relevanten Bereiche gültige Nutzenfunktion ausgedrückt werden. Bezeichnet man die Zahlungsüberschüsse bzw. die Zielwerte allgemein mit Z, so nimmt eine quadratische Nutzenfunktion für den Fall der Risikoscheu die Form U = –aZ2 + bZ – c an. Der Grenznutzen solchen risikoaversen Verhaltens widerspiegelnden Nutzenfunktionen ist fallend: . Legt man dem Beispiel in Abbildung B 53 (zum μσ-Prinzip) die Nutzenfunktion zugrunde, kann der Risikonutzen bzw. Bernoulli-Nutzen (BU) der beiden Alternativen wie folgt bestimmt werden: BU = w1 · U (Z1) + w2 · U(Z2) + w3 · U(Z3) + … + wn · U(Zn). Für Alternative A gilt dann: Für Alternative B erhält man durch analoges Vorgehen: BUB = 325. Der risikoscheue Investor wird also Alternative A gegenüber Alternative B vorziehen. 1. Das Rangordnungsprinzip Der Entscheidende muss in der Lage sein, einzelne Zukunftslagen einer Handlungsalternative im Hinblick auf Sachziel (z.B. Einkommensstreben) und Sicherheitsstreben zu vergleichen und widerspruchsfreie Präferenzordnungen aufzustellen, wobei die Rangordnung durchgehend sein muss. 2. Das Stetigkeitsprinzip Dieses Prinzip verlangt, dass für jede Wahrscheinlichkeitsverteilung aus zwei alter- 94 Vgl. Bamberg, Dorfleitner, Krapp, Unternehmensbewertung unter Unsicherheit, 2006. I. Investitionsrechnung 123 nativen Zukunftslagen ein Umrechnungswert (Sicherheitsäquivalent) existiert, der die zwei unsicheren Einkommenschancen in eine einzige sichere Einkommenshöhe umwandelt. Nicht gefordert wird die Angabe des Sicherheitsäquivalents für beliebig große Wahrscheinlichkeitsverteilungen, da dies die Lösung des Entscheidungsproblems zugunsten der Alternative mit dem höchsten Sicherheitsäquivalent bereits vorwegnehmen würde und eine derartige Forderung praktisch auch nicht erfüllbar wäre. 3. Das Unabhängigkeits- oder Substitutionsprinzip Die Rangordnung der Handlungsmöglichkeiten darf sich durch das Hinzutreten oder Wegfallen einer alternativen Zukunftslage, mit gleichem Zielbeitrag und gleicher Glaubwürdigkeit für jede Alternative, nicht ändern. Das Unabhängigkeitsprinzip fordert vom Entscheidenden ein Denken in strengen Alternativen, d. h. in sich ausschließenden Zukunftslagen. Kombinationen von sich ausschließenden Ereignissen stellen einen Verstoß gegen das Unabhängigkeitsprinzip dar. Bei der Anwendung des Bernoulli-Prinzips – und damit auch des μσ-Prinzips – werden drei Grundannahmen an die Präferenzrelation getroffen, die rationale Entscheidungen unter Unsicherheit ermöglichen:95 Die Bernoulli-Funktion U(G), die der Entscheidungsträger individuell festlegt, wird implizit von zwei Kriterien bestimmt. Zum einen wird die Höhe des Geldbetrags, auf den sich die Entscheidung bezieht, von Interesse sein, während zum anderen jeder Mensch eine unterschiedliche Einstellung zum Risiko, also eine Risikopräferenz, haben wird. Der erstgenannte Faktor, der die Nutzenvorstellung gegenüber sicheren (Geld-)96Ergebnissen ausdrückt, wird Höhenpräferenz H(G) oder volkswirtschaftlich Geldnutzen genannt.97 Bitz und Rogusch haben diesen Sachverhalt, bei dem der Entscheidungsträger unbewusst erst die möglichen Ergebnisse mit H(G) und nachfolgend mit der Risikopräferenz R[H(G)] bewertet, graphisch so dargestellt wie in Abbildung B 59.98 Über die Aussagekraft der Bernoulli-Funktion wird seit 1975 intensiv diskutiert. Kritiker99 versuchen zu beweisen, dass die Risikopräferenzfunktion linear sein müsse, womit dann die Nutzenfunktion nur für eine Klasse von risikoneutral eingestellten Entscheidungsträgern repräsentativ wäre.100 Die Verteidiger101 des Bernoulli-Prinzips betonen dagegen die Allgemeingültigkeit des Verfahrens. 95 Vgl. Bamberg, Coenenberg, Krapp: Entscheidungslehre, 2008, S.90 ff. Schneider verlangt zusätzlich zwei weitere Axiome. Vgl. Schneider, Entscheidung unter Ungewissheit, 1973, S. 292 f. 96 Im Allgemeinen geht man davon aus, dass die Ergebnisse, die mit dem Bernoulli-Kriterium bewertet werden, Geldbeträge sind. 97 Vgl. Bitz, Rogusch, Risiko-Nutzen, 1976, S.856 f. 98 Vgl. Bitz, Rogusch, Risiko-Nutzen, 1976, S.857. 99 Vgl. die Beiträge von Leber, Entscheidungskriterien, 1975; Jacob, Leber, Bernoulli-Prinzip, 1976; dieselben, Ergänzung, 1978; Jacob, Anmerkungen, 1978; Hieronimus, Einbeziehung, 1979; Schildbach, Ewert, Bemerkungen, 1983; dieselben, Bernoulli-Prinzip, 1984; dieselben, Gegenposition, 1984; Kruse, Kardinalität und Aufspaltung 1997; Bitz, Bernoulliprinzip, 1997; Schildbach, Bernoulliprinzip, 1999; Bitz, Bernoulliprinzip, 1999. 100 Es sei darauf hingewiesen, dass der Begriff Risikoscheu bzw. -freude im Gegensatz zu oben nicht auf U(G) sondern auf R(G) bezogen wird. 101 Vgl. Coenenberg, Kleine-Doepke, Risikopräferenz, 1975; Krelle, Bemerkungen, 1976; Bitz, Rogusch, Risiko-Nutzen, 1976; Wilhelm, Bernoulli-Prinzip, 1977; Krelle, Replik, 1978; ders., Erwiderung, 1978; Albrecht, Bernoulli-Prinzip, 1982; ders., Erwiderung, 1983; Vetschera, Bernoulli-Prinzip, B. Management der Vermögensstruktur124 Der Grundgedanke, der den weitaus detaillierteren Kritiken zugrunde liegt, ist relativ einfach. Mit der Höhenpräferenz bewertet der Entscheidungsträger sichere Geldbeträge. Die Nutzenfunktion dagegen berücksichtigt unsichere Ergebnisse. Andererseits ist die Sicherheit ein Grenzfall unsicherer Erwartungen, bei dem einem Zustand die Wahrscheinlichkeit 1 und allen anderen die von 0 zugeordnet wird. Aus diesem Grund müssen die Höhenpräferenz und die Nutzenfunktion bei Sicherheit zu gleichen Entscheidungen führen. Das aber ist nur gewährleistet, wenn die Bernoulli-Funktion als lineare Transformation aus der Geldnutzenfunktion hervorgeht oder deutlicher, wenn R(G) Risikoneutralität ausdrückt. Die Befürworter einer freien Wahl der Risikopräferenz entgegnen darauf u. a., dass der Sinn des Bernoulli-Prinzips in der Bewertung und Reihung von Alternativen bestehe und dass hierzu eine ordinale Messung ausreiche. Folgt man dieser Interpretationsweise, so muss die Risikopräferenzfunktion lediglich eine monoton steigende Funktion sein und kann daher jede Einstellung zum Risiko ausdrücken. Letztere Auffassung scheint sich dabei in der Literatur durchzusetzen. 1984; Albrecht, Risikopräferenzen, 1984; Bitz, Diskussion, 1984; Wilhelm, Ende, 1985; Bamberg, Coenenberg, Krapp: Betriebswirtschaftliche Entscheidungslehre, 2008. Abb. B 59: Die Bernoulli-Funktion als Resultierende aus Höhen- und Risikopräferenz I. Investitionsrechnung 125 Neben diesem grundlegenden Streit um die Allgemeingültigkeit ist an der Konzeption des Bernoulli-Prinzips weitere Kritik zu üben. Die Berücksichtigung des Risikos erfolgt bei den genannten Verfahren im Rahmen der Investitionsrechnung durch Risikonutzenfunktionen des Investors, wobei der Nutzen zahlenmäßig festzulegen ist. Eine Quantifizierung des Nutzens ist aber in der Praxis häufig nicht möglich. Wird dennoch ein Weg gefunden, kann die Risikopräferenz niemals allgemein gültig festgelegt werden, da die Risikoneigung zum einen von der Situation des Unternehmens, verbunden mit den jeweiligen Umweltbedingungen, und zum anderen von der Art der Investition, also von den einzelnen Handlungsmöglichkeiten, abhängig ist, die ihrerseits die psychische Einstellung zum Risiko mitbestimmen. Die Unabhängigkeit der Risikoneigung des Investors von den verschiedenen Handlungsmöglichkeiten und den sie begrenzenden Umweltbedingungen – eine Voraussetzung sämtlicher Entscheidungsregeln – ist also i. d. R. nicht gegeben.102 Die, abgesehen von dem Ableiten aus früheren Entscheidungen, zur Nutzenquantifizierung prinzipiell denkbaren Methoden, wie Befragung, Introspektion oder Entscheidungsspiele, sind zumindest insoweit fraglich, als nicht sichergestellt ist, dass ein Investor seine für einen hypothetischen Fall erfragte Risikoneigung auch für reale Investitionsentscheidungen beibehält. Somit scheint eine Investitionsentscheidung unter Unsicherheit auf Basis des Bernoullinutzens nur schwer möglich, eine Delegation der Investitionsentscheidung an Dritte fast nicht durchführbar und eine Aggregation des Bernoullinutzen bei Investitionsprojekten mit verschiedenen Teilnehmern, wie etwa bei Investitionen einer Aktiengesellschaft unmöglich. Einen Ausweg aus diesem Dilemma bietet wieder der Kapitalmarkt. cc) (Semi-)Subjektive Investitionsbewertung Aus den Überlegungen zu streng monoton wachsenden Risikonutzenfunktionen lassen sich dann Überlegungen zur Bewertung von Investitionen ableiten. Diese Überlegungen kombinieren eine zahlungsbasierte Sichtweise in Anlehnung an die Vorgehensweise zur Fisher-Separation mit individuellen Risikonutzenfunktionen. Deswegen werden sie in der Literatur gerne auch als semisubjektive, teilweise auch als semiobjektive Verfahren bezeichnet.103 Dies unterscheidet die Verfahren von typischen subjektiven Bewertungsverfahren, wie sie im Abschnitt C III 2 a bb als Gewinnkapitalisierungsmodell dargestellt sind. Aus der dargestellten Risikonutzentheorie folgt in natürliche Weise die Bewertung von Zahlungsströmen unter Unsicherheit. Gemäß Definition stellt eine Investition einen Zahlungsstrom dar, so dass auf diese Weise Investitionen bewertet werden können. Dabei ist die Ausgestaltung der Nutzenfunktion für die Höhe und Ableitung des Ergebnisses entscheidend. In der allgemeinsten Form unterstellt man eine multiattributive Nutzenfunktion die den gesamten Zahlungsstrom umfasst.104 U(Z0, Z1, Z2,… Zn) 102 Vgl. Schneider, Gewinnbesteuerung, 1977, S. 665. 103 Vgl. Kruschwitz, Löffler, Semi-subjektive Bewertung, 2003; Kürsten, Unternehmensbewertung unter Unsicherheit. 2002; Schwetzler, Unternehmensbewertung unter Unsicherheit, 2000. 104 Vgl. Dorfleitner, Krapp, On Multiattributive Risk Aversions, 2007. B. Management der Vermögensstruktur126 Ergibt sich eine Nutzensteigerung gegenüber Null oder einem alternativen Zahlungsstrom, so ist die Investition zu tätigen. Dazu ist es nötig, dass der Nutzen des Zahlungsstroms inklusive des Anfangsvermögens mit dem Nutzen des Anfangsvermögens V0 alleine verglichen wird: BU(V0 + Z0, Z1, Z2, …, Zn) <=> U(V0, 0, …, 0). Hierbei ist zu beachten, dass Z0 bei einer Investition per definitionem negativ ist. Nach Anwendung der Umkehrfunktion folgt für das Anfangsvermögen105 U–1(BU(V0 + Z0, Z1, Z2, …, Zn)) <=> V0. Man sieht an dieser Formulierung, dass neben dem Zahlungsstrom der Investition auch der aktuelle Vermögensstand die Vorteilhaftigkeit einer Investition beeinflusst. Insgesamt stellt dies ein sehr allgemeines Konzept dar, in dem nur mit großem Aufwand Aussagen über die Vorteilhaftigkeit von Investitionen getroffen werden können. Den Aufwand verursacht die Bestimmung der multiattributiven Nutzenfunktion, die einer Nutzenbestimmung des kompletten Zahlungsstroms bedarf. Ausgehend von der sehr allgemeinen Formulierung kann man Spezialfälle ableiten, welche einfache Schlüsse erlauben. Handelt es sich eine einperiodige Investition, lässt sich sofort der Nutzen dieser als BU(Z0, Z1) darstellen. Setzt man ferner keine Abhängigkeit vom Anfangsvermögen BU(Z0 + V0, Z1) = U(V0) + BU(Z0,Z1) voraus, so kann man die Nutzenfunktion auf BU(Z0, Z1) = U(Z0) + BU(Z1) modifizieren, wobei der erste Summand, die Zahlung im Investitionszeitpunkt, deterministisch ist. Der zweite Nutzen stellt dagegen eine Zufallsvariable dar. Geht man etwa von einer linearen Nutzenfunktion aus, ergibt sich daraus BU(Z0, Z1) = a0 + b0Z0 + a1 + b1E(Z1) und damit das klassische Erwartungswertprinzip: Danach ist die Investition zu tätigen, falls a0 + b0Z0 + a1 + b1E(Z1) > 0 und –Z0 < a + bE(Z1) gilt. Für a0 = a1 und b0 = 1 und 1 1 b 1 i als Diskontfaktor ergibt dies 1 1 0 E(Z ) SA(Z ) Z 1 i 1 i , was letztendlich zu der folgenden einfachen Aussage führt: Ist der Barwert des Erwartungswerts der Zahlungen größer als die Auszahlung, lohnt sich die Investition. Da hier der Vergleich mit einer sicheren Zahlung im Ausgangszeitpunkt erfolgt, kann die 105 Vgl. Bamberg, Dorfleitner, Krapp, Unternehmensbewertung unter Unsicherheit, 2006. I. Investitionsrechnung 127 stochastische Zahlung auch als Sicherheitsäquivalent geschrieben werden. Allerdings ist aufgrund der Risikoneutralität, die diese lineare Nutzenfunktion beinhaltet, die Aussage trivial. Das Sicherheitsäquivalent entspricht hier dem Erwartungswert. Das ändert sich, wenn man einen risikoscheuen Investor betrachtet, was etwa durch eine konkave Nutzenfunktion modelliert werden kann. Nach Einführung etwa einer quadratischen Nutzenfunktion, die der Bedingung c1<0 genügt, erhält man im Einperiodenfall für einen Zahlungsstrom Z0 und Z1 die Nutzenfunktion U(Z0, Z1) =a0 + b0Z0 + a1 + b1E(Z1) + c1E(Z12). Betrachtet man zur Vereinfachung nur die beiden letzten Ausdrücke, ist das Ergebnis eine Nutzenfunktion, die von Erwartungswert und – nach Anwendung des Verschiebungssatz der Varianz – von der Varianz abhängt. Dazu wird die Nutzenfunktion auf U(Z1) = a1 + b1E(Z1) + c1E(Z12) – c1E(Z1)2 + c1E(Z1)2 = a1 + b1E(Z1) + c1Var(Z1) + c1E(Z1)2 umgeschrieben. Am zweiten Term erkennt man, wie die Varianz den Nutzen beeinflusst. Für a0 = a1 und b0 = 1 kann man dies wiederum in eine Sicherheitsäquivalentschreibweise überführen. Für eine positive Investitionsentscheidung muss ' 1 1 1 1 1 0 b f(E(Z )) c Var(Z ) SA(Z ) Z 1 i 1 i gelten. Hier kann deutlich die Wirkweise der Risikoeinstellung abgelesen werden. Negatives c1 impliziert einen Abschlag für die Varianz, einen Risikoabschlag und damit Risikoaversion. Im Falle eines positiven c1 wird Risikofreude angenommen. Bei Risikoneutralität erhält man obiges Ergebnis bei linearen Nutzenfunktionen. Der Abschlag kann dabei als Maß für die Risikoaversion interpretiert werden. Diese Logik kann auch auf mehrperiodige Investitionsprojekte ausgedehnt werden. Hier ist von entscheidender Bedeutung, wie die verschiedenen Zahlungen zu den unterschiedlichen Zeitpunkten in den Nutzen und damit ins Sicherheitsäquivalent eingehen (Intertemporale Abhängigkeit). Liegt der allgemeinste Fall einer multiattributive Nutzenfunktion vor, ist die Bewertung wie oben angesprochen nicht trivial. Versucht man hier ein Sicheräquivalent zu definieren, ist dies immer noch komplex. Die Vereinfachung auf n t 0 t t 1 SA(Z ) Z (1 i) ! ¦ ist nur dann möglich, wenn eine bestimmte, nämlich lineare Nutzenfunktion vorliegt. Solch eine Nutzenfunktion wird im Übrigen als geldmarktinvariant bezeichnet und für sie gilt:106 n t 0 1 n t t 0 Z U Z ,Z ,...,Z U ,0,...,0 (1 i) § · ¨ ¸ © ¹ ¦ . Diese dann lineare Nutzenfunktion impliziert wiederum Risikoneutralität, womit das Sicheräquivalent wieder trivial zum Erwartungswert wird. Ansonsten ist diese Vorge- 106 Vgl. Kruschwitz, Löffler, Semi-subjektive Bewertung, 2003. B. Management der Vermögensstruktur128 hensweise nicht gestattet und die intertemporalen Abhängigkeiten führen dazu, dass das Sicherheitsäquivalent über den ganzen Zahlungsstrom gebildet werden muss.107 Liegen hingegen uniattributive Nutzenfunktionen vor, so kann die Formulierung U(f(Z)) = U(f(Z), 0, …, 0) gewählt werden. Dann sind zwei Formen zu unterscheiden. Die erste wird auch als Sicherheitsäquivalentmethode bezeichnet und bestimmt den Wert eines Zahlungsstroms und damit einer Investition als 1n nt t t t t 0 t 0 U BU(Z ) SA(Z ) (1 i) (1 i) ¦ ¦ . 108 Die zweite stellt ein spezielles Verfahren der Risikoanalyse (vgl. Abschnitt B I 5 e) dar, wird zur Unterscheidung von obigem auch als Risikoanalyse zur Investitionsrechnung oder kurz Risikoanalyse bezeichnet und bestimmt den Wert des Zahlungsstroms folgendermaßen:109 n 1 t t t 0 U(Z ) U E (1 i) § ·§ · ¨ ¸¨ ¸ © ¹© ¹ ¦ . Dass beide Formulierungen nicht äquivalent sind, liegt auf der Hand. Dass beide Formulierungen aber auch zu stark unterschiedlichen Ergebnissen führen können, wurde in der Literatur nachgewiesen.110 Ferner kann gezeigt werden, dass die zweite Formulierung stets einen mindestens so großen Geldbetrag liefert wie die erste. Nur wenn alle weiteren Zahlungen stets positive Vielfache der ersten Zahlung sind, sind beider Ergebnisse identisch. Somit ist die Risikoanalyse zwar theoretisch allgemeiner, aber benötigt zur Berechnung auch die gemeinsamen Verteilungen der verschiedenen Zufallsvariablen. Zur Erläuterung der Bewertung mag hier ein einfaches Beispiel in Abbildung B 60 dienen. Insgesamt gesehen fordert eine Bewertung mit Hilfe von Nutzenfunktionen und daraus resultierenden Sicherheitsäquivalenten eine Kenntnis der Nutzenfunktion und damit einhergehend die Risikoeinstellung des Investors. Letzteres ist allerdings meist nur schwer zu ermitteln. Insbesondere die Aggregation über Risikonutzenfunktionen mehrerer Investoren ist nur schwer durchführbar. Somit ist die Anwendung tendenziell eingeschränkt auf Investitionssituationen, bei denen keine Aggregation erfolgen muss. Dies ist etwa bei Einzelunternehmen oder Familienunternehmen denkbar. Um eine Anwendung darüber hinaus sinnig zu machen, sind jedoch weitere Einschränkungen nötig. Insbesondere die Möglichkeit in alternative Kapitalmarktinstrumente zu investieren, verändert das Kalkül stark, sodass neben der nicht nötigen Aggregation der Nutzenfunktionen auch ein eingeschränkter Kapitalzugang vorhanden sein muss, um dieses beschriebene Kalkül einzusetzen. Alternativ können Gleichgewichtsmodelle Verwendung finden. 107 Vgl. Bamberg, Dorfleitner, Krapp, Unternehmensbewertung unter Unsicherheit, 2006, S. 296. 108 Vgl. Wiese, Zur theoretischen Fundierung der Sicherheitsäquivalentmethode, 2003. 109 Vgl. Kürsten, Unternehmensbewertung unter Unsicherheit. 2002. 110 Vgl. Buch, Dorfleitner, Sicherheitsäquivalentmethode, 2007. I. Investitionsrechnung 129 Zur Erläuterung des Kalküls wird wiederum auf das Ausgangsbeispiel bei Anlage B zurückgegriffen. Für die Anlage B stehen folgende Informationen bei Unsicherheit zur Verfügung: Die Absatzzahlen der Anlage sind abhängig von der Konjunkturentwicklung (Rezession, Stagnation, Expansion und Boom): Wahrscheinlichkeit 0,1 0,3 0,4 0,2 Jahr 1 R S E B Absatz pro Jahr 4.000 6.000 8.000 11.000 Jahr 2 Absatz pro Jahr 3.000 6.000 9.000 12.000 Ferner liegt eine uniattributive Nutzenfunktion vor, die eine Bewertung über ein Sicherheitsäquivalent zulässt: ¦ 1 2 t 0 t t 0 f U ZU E C 1 R Dabei ist 1 t t PF tD VU E U Z E Z Z Somit handelt es sich um einen risikoaversen Investor, der als Risikomaß die Standardabweichung zu Grunde legt. Des Weiteren wird die unternehmenseinheitliche Risikopräferenz mit αPF = 0,1 festgesetzt. Der risikolose Kapitalmarktzinssatz Rf ist für alle Perioden identisch 10%. Auf Basis der Wahrscheinlichkeiten und Zustände lassen sich dann die Erwartungswerte und Standardabweichungen für die Zahlungen bestimmen. Jahr 1 μ σ2 σ Absatz pro Jahr 7.600 4.440.000 2.107 Jahr 2 Absatz pro Jahr 8.100 7.290.000 2.700 Um nun den subjektiven Wert zu bestimmen, wird der erwartete Einzahlungsüberschuss sowie dessen Standardabweichung bestimmt: 1E Z 7.600 6,7 7.600 3,6516 22.668 V 1Z 2.107 6,7 2.107 3,6516 6.423 2E Z 24.192 und V 2Z 8.231 Der Wert der Investition bestimmt sich dann aus 0 2 22.668 0,1 6.423 24.192 0,1 8.231 V 30.000 1 10% 1 10% zu 9.337 GE. Er liegt damit trotz der höheren Erwartungen unterhalb des Wertes, der bei Sicherheit eintritt. Abb. B 60: Beispiel zur Semi-subjektiven Investitionsbewertung B. Management der Vermögensstruktur130 dd) Investitionsentscheidung auf Basis von Kapitalmarktgleichgewichtsmodellen Wie sich unter Sicherheit am Kapitalmarkt der risikolose Zins für den Konsumverzicht einstellt (vgl. Fisher-Separation, Abschnitt B I 1 c), stellt sich am Kapitalmarkt unter Unsicherheit für jedes eingegangene Risiko ein spezifischer Preis ein. Kapitalmarktanleger gehen Risiko nach ihren individuellen Risikonutzenfunktionen ein. Stärker Risikoaverse versichern sich bei weniger Risikoaversen durch Verkauf der Risikoposition. Der sich so einstellende Marktpreis des Risikos bietet gleichzeitig das Entscheidungskriterium für die Investition in riskante Realinvestitionen. Nur Investitionen, die sich mindestens so hoch verzinsen wie der Marktpreis des Risikos, werden durchgeführt. Die Investitionsentscheidung wird somit unabhängig von der Risikopräferenz des Einzelnen, wodurch allgemein gültige Entscheidungen möglich werden. Es liegt wieder ein Separationstheorem vor, die sog. „Two Fund“- oder auch Tobin Separation. Diese besagt, dass die Zusammensetzung des riskanten Teils eines Portefeuilles unabhängig ist von der Risikopräferenz. Die individuelle Risikopräferenz entscheidet nur über die Höhe der Beimischung einer risikolosen Anlage in das jeweilige Portefeuille. Der Preis riskanter Anlagen ist damit unabhängig von der individuellen Risikopräferenz. Die Annahme eines vollkommenen Kapitalmarkts unter Risiko wird hierbei weniger als zu kritisierende Annahme betrachtet, sondern im Gegenteil als elegante Möglichkeit, logisch einwandfrei eine allgemein gültige Lösung abzuleiten. Es sei dann der empirische Überprüfung der Ergebnisse überlassen, ob diese Annahme annähernd oder plausibel erfüllt ist. Die Investitionsentscheidung unter Unsicherheit ähnelt derjenigen bei Sicherheit verblüffend. Da durch die Einbeziehung des Kapitalmarkts sowohl unterschiedliche Konsum- als auch Risikopräferenzen die optimale Entscheidung nicht beeinflussen, kann wieder die Kapitalwertmethode herangezogen werden. Die sicheren Rückflüsse werden durch den Erwartungswert E(Zt) der Zufallsvariable „unsichere Rückflüsse“ ersetzt und als Diskontierungssatz R dient der sich am Kapitalmarkt bildende Marktpreis für die jeweiligen Risiken. Es gelten alle Aussagen, die schon unter Sicherheit getroffen wurden. Dies ist ein Hinweis darauf, dass auch aus vermeintlich unrealistischen Annahmen, wie Sicherheit, bereits sehr viel Nützliches über die komplexe reale Welt abgeleitet werden kann. Das Kernproblem besteht in der Ermittlung des risikoadäquaten Kapitalmarktzinssatzes. Diese zentrale Frage der modernen Finanzierungstheorie wurde erstmalig geschlossen durch das Capital Asset Pricing Modell (CAPM) 1964 gelöst. Seitdem sind mehrere Modelle hinzugekommen wie die Arbitrage Pricing Modelle oder Mehrfaktorenmodelle. In der weltweiten Lehrbuchliteratur wird für Investitionsentscheidungen fast ausschließlich das CAPM verwendet. (Zur Herleitung und Kritik siehe Abschnitt C IV 2b). Da nach den Annahmen des CAPM alle Anleger Anteile am Marktportefeuille halten, zählt für sie nicht das gesamte Risiko einer Investition, sondern nur der Teil, der durch I. Investitionsrechnung 131 diese Investition zum Marktportefeuille hinzugefügt wird, das sog. systematische oder β-Risiko. Dieses β-Risiko bestimmt die Risikogleichgewichtsrendite in der Form Ri = Rf + (Rm – Rf) · β mit Rf = risikoloser Zinssatz und Rm = Rendite des Marktportefeuilles. Zu beachten ist hier, dass nicht das Risiko des Eigenkapitals oder des Unternehmens den Diskontierungsfaktor bestimmt, sondern das systematische Risiko der Investition, unabhängig von dem Risiko des Unternehmens, das die Investition durchführt. Die in den Diskontierungsfaktoren impliziten Kalkulationszinsätze bringen die risikoadäquaten Opportunitätskosten zum Ausdruck, also diejenige Renditeforderung bzw. Renditeerwartung, welche der Anleger für gleich riskante Anlagen am Kapitalmarkt erzielen will bzw. zu erzielen hofft und die sich deshalb am Kapitalmarkt als Marktpreise bilden. Diese Renditeerwartungen bzw. Renditeforderungen werden als Kapitalkosten bezeichnet. Zur Erläuterung der Vorgehensweise wird das Kalkül der semi-subjektiven Bewertung in Abbildung B 61 fortgesetzt. Am Kapitalmarkt stellt sich unter Unsicherheit für jedes eingegangene Risiko ein spezifischer Preis ein. Aus dem oben Gesagten folgt, dass für Investitionsentscheidungen immer die Kapitalkosten des Projekts und nicht die Kapitalkosten des Unternehmens relevant sind. Falls die β von Investitionsprojekten nicht über Kapitalmarktdaten geschätzt werden können, kann man analytisch über die Konjunkturabhängigkeit der einzelnen mit der Investition verbundenen Zahlungen und den Operating Leverage (Verhältnis von fixen zu variablen Bestandteilen der Produktionskosten) das Investitions-β schätzen. In jedem Fall ist von allgemeinen Risikoanpassungen abzusehen, da nur das systematische Risiko entscheidungsrelevant ist. Mit der Einbeziehung der Unsicherheit in die Investitionsentscheidung wird auch die Frage der Berücksichtigung der Finanzierung in der Investitionsrechnung relevant. Da unterschiedliche Finanzierungsarten auch unterschiedliche Kapitalkosten aufweisen, könnten unterschiedliche Finanzstrukturen auch unterschiedliche durchschnittliche Zur Erläuterung des Kalküls wird wiederum auf das Ausgangsbeispiel bei Anlage B und die Informationen aus Abbildung B 60 zurückgegriffen. Ferner gelten die Daten bzgl. Unsicherheit der Absatzzahlen wie im subjektiven Kalkül. Zusätzlich sind nun Marktdaten vorhanden: Dem Investitionsprojekt kann ein konstanter Betafaktor von β = 1,2 zugeordnet werden. Die Rendite des Marktportefeuilles E[Rm] beträgt in beiden Perioden 15%. Das CAPM gilt in allen Perioden gleichermaßen. Somit lässt sich der risikoadjustierte Zins als iR 10% (15% 10%) 1,2 16% bestimmen. Der Kapitalwert des Projekts errechnet sich damit zu 0 2 22.668 24.1921 C 30.000 7.455 1 16% 1 16% . Auch in diesem Beispiel ist der Wert deutlich unter dem Wert bei Sicherheit, da die Abzinsung mit dem höheren Zins stärker zu Buche schlägt. Abb. B 61: Beispiel zur Investitionsbewertung mit Hilfe des CAPM B. Management der Vermögensstruktur132 Kapitalkosten und damit auch unterschiedlich Diskontierungssätze erfordern. Hierzu existieren unterschiedliche Verfahren der Einbeziehung (WACC, APV) (siehe Abschnitt C III 2 b). Die moderne Finanzierungstheorie ist sich allerdings nicht sicher, ob tatsächlich von der Finanzierung Einflüsse auf die Kapitalkosten ausgehen. Deshalb ist es häufig ausreichend, Investitionen bei der Beurteilung so zu behandeln, als ob sie voll eigenfinanziert wären (vgl. Abschnitt D IV). Die Anwendungsprobleme bestehen in der Ermittlung von β und der Ermittlung von Erwartungswerten der Rückflüsse. Die richtige Schätzung der Verteilung und damit des Erwartungswerts der Rückflüsse stellt das Zentralproblem der Entscheidung dar. Neben den konzeptionellen Problemen – wie relevante oder nicht relevante Zahlungen, Inflation und Steuern – bleibt vor allem das Problem der Ermittlung der wahrscheinlichen (tatsächlichen) Höhe. Dieses Problem ist so gravierend, dass es häufig sogar mit der tatsächlichen Investitionsentscheidung verwechselt wird. So werden Sensitivitätsanalyse, Monte Carlo Simulation und Entscheidungsbaumverfahren oft als Investitionsentscheidungsverfahren unter Unsicherheit bezeichnet, stellen aber eigentlich nur Verfahren zur besseren Schätzung der Erwartungswerte der Rückflüsse (Cashflows) dar oder zeigen unterschiedliche Realoptionen auf, wie Handlungsmöglichkeiten zukünftige Rückflüsse beeinflussen. d) Sensitivitätsanalyse Eine spezifische Rechentechnik, die der Eingrenzung und Absicherung von unsicheren Größen dient, ist die Methode der kritischen Werte oder die Sensitivitätsanalyse. Ausgehend von den grundsätzlich möglichen Verfahren zur Beurteilung einer Investition  – Kosten-, Gewinnvergleich-, Kapitalwertmethode o. ä. – soll die Sensitivitätsanalyse Antwort auf die Frage geben, wie weit eine Größe von ihrem ursprünglichen Wertansatz abweichen kann, ohne dass das Ergebnis einen festgelegten Wert über- oder unterschreitet, oder in welchem Maße sich ein Ergebnis ändert, wenn eine oder mehrere Inputgrößen von ihrem ursprünglichen Wertansatz abweichen.111 Wird wie oben der Kapitalwert für die Beurteilung der Vorteilhaftigkeit einer Investition herangezogen, erkennt man an folgender Formel die Abhängigkeit des Zielwertes von den Variablen i, Et, At und n (= Investitionslaufzeit): Die Einzahlungsbeträge Et hängen im Wesentlichen von den abgesetzten Produktmengen xt und den Produktpreisen pt in der jeweiligen Periode t ab. Die Auszahlungsbeträge At enthalten einmal sämtliche Beträge für die Bereitstellung von Arbeitskräften, für dispositive Aufgaben, deren Höhe vom Produktions- und Absatzvolumen unabhängig ist, und auch alle zur mengenmäßigen Produktion proportionalen Beträge.112 Geht man hiervon aus, kann die Kapitalwertfunktion wie folgt formuliert werden: 111 Vgl. Blohm, Lüder, Schaefer, Investition, 2010, S. 215; Hax, Investitionstheorie, 1985, S. 12 ff. 112 Vgl. Kilger, Investitions- und Wirtschaftlichkeitsrechnung, 1965, S. 339. I. Investitionsrechnung 133 I0 = Kapitaleinsatz für das Investitionsprojekt xt = Absatzmenge in Periode t pt = Absatzpreis in Periode t kt = Faktorpreis in Periode t Aft = von Produktions- und Absatzvolumen unabhängige Auszahlungen (Gehälter) Die Methodik der Sensitivitätsanalyse besteht darin, dass man diese Gleichung nach den Variablen auflöst, die als besonders unsicher angesehen werden, während man die anderen Größen als gegeben (sicher) erachtet. Der kritische Wert bei positiver Abhängigkeit zwischen Variablen (etwa der Absatzmenge) und Kapitalwert ist derjenige Variablenwert, bei dem sich ein Kapitalwert von Null errechnet. Für kleinere Variablenwerte wird der Kapitalwert negativ.113 Bei negativer Abhängigkeit (mit steigendem Variablenwert, etwa Faktorpreis, sinkt der Kapitalwert) gibt der kritische Wert die Obergrenze an, die die betreffende Variable nicht überschreiten darf, damit das Investitionsvorhaben nicht unvorteilhaft wird.114 Je weiter die Bandbreite der unsicheren Variablen über (unter) dem kritischen Wert liegt, desto „sicherer“ ist der Zielbeitrag der Investition bezüglich dieser Größe. Beispielhaft für die Bestimmung von kritischen Werten wird die Ermittlung der kritischen Absatzmenge dargestellt. Besonders unsicher sind bei vielen Investitionsrechnungen die Prognosen über die möglichen Absatzmengen. Eine vorsichtige Einschätzung der zukünftigen Situation ist sicherlich angebracht, denn das zukünftige Absatzvolumen beeinflusst nicht nur die Investitionsentscheidungen, sondern alle betrieblichen Teilbereiche. Aus diesem Grunde beschränkt man sich bei der Mengenplanung auf die Angabe eines bestimmten Intervalls, sodass hier die Methode des kritischen Wertes eine zweckmäßige Ergänzung bildet. Die kritische Absatzmenge stellt erstens die Untergrenze dar, bei deren Unterschreiten sich die Investition nicht einmal mehr zum Kalkulationszinsfuß verzinst. Zweitens vermittelt sie im Vergleich mit der prognostizierten Absatzmenge einen Eindruck von der Sicherheit des Investitionsprojektes. Liegt die geplante Absatzmenge deutlich genug über der kritischen Menge, so ist das Vorhaben ziemlich sicher wirtschaftlich; mit anderen Worten, es kann selbst unter Einbeziehung von Risiko damit gerechnet werden, dass der Kapitalwert positiv ist. Setzt man voraus, dass nur eine Anfangsauszahlung im Zeitpunkt Null anfällt und die ausbringungsunabhängigen Auszahlungen im Zeitablauf nicht verändert werden und die Absatzpreise sowie die Faktorpreise konstant sind, erhält man unter Berücksichtigung obiger Gleichung folgenden Ausdruck für die kritische Absatzmenge:115 113 Vgl. Kilger, Investitions- und Wirtschaftlichkeitsrechnung, 1965, S. 341. 114 Vgl. Schneider, Wirtschaftlichkeitsrechnung, 1973, S.62 f. 115 Vgl. Kilger, Investitions- und Wirtschaftlichkeitsrechnung, 1965, S. 340. B. Management der Vermögensstruktur134 Af = ausbringungsunabhängige Auszahlung pro Periode I0 = Anschaffungsauszahlung im Zeitpunkt Null a(i,n) = Wiedergewinnungsfaktor beim Kalkulationszinsfuß i und einer Investitionslaufzeit von n Jahren p = Preis für abgesetzte Einheiten k = mengeninduzierte Auszahlungen pro Einheit Bei einer Auszahlung von 1.600.000 GE im Zeitpunkt Null, einer Nutzungsdauer von 10 Jahren, einem Kalkulationszinssatz von 8 %, laufenden fixen Auszahlungen von 300.000 GE und einem Absatzpreis von 20 GE/ME sowie variable Kosten von 10 GE/ ME für die Produktionsfaktoren erhält man eine kritische Menge von =  53.845 ME pro Periode, die nicht unterschritten werden darf, wenn die Vorteilhaftigkeit dieser Investition gewährleistet sein soll. Es empfiehlt sich, den kritischen Wert in Prozent der zugehörigen Plangröße anzugeben, um eine Messzahl zu erhalten, die besagt, dass in den einzelnen Perioden die Absatzmenge höchstens um x % unter den Planangaben liegen darf, wenn die Investition gerade noch den Kalkulationszinsfuß erwirtschaften soll. Analog hierzu lassen sich kritische Werte für alle in der Zielfunktion angesetzten Variablen ermitteln. Neben der Bestimmung kritischer Werte kann mithilfe der Sensitivitätsanalyse die Veränderung des Kapitalwertes bei Variation der unsicheren Einflussgrößen untersucht werden. Dabei können die Einflussgrößen willkürlich um einen bestimmten Betrag oder Prozentsatz vom Ausgangswert verändert werden oder aber für die betreffenden Werte eine optimistische oder pessimistische Einschätzung der zukünftigen Situation zugrunde gelegt werden. Wird die Veränderung der unsicheren Einflussgröße der jeweils resultierenden Veränderung des Kapitalwertes gegenübergestellt, ist man somit in der Lage, Aussagen darüber zu machen, um welchen Prozentsatz sich der Kapitalwert eines Investitionsvorhabens ändert, wenn für die Einflussgröße bestimmte, in Zukunft für möglich gehaltene Änderungen angesetzt werden (z.B.: Bei einer Absatzpreisminderung um 10 % sinkt der Kapitalwert c. p. um 30%). Beurteilung des Verfahrens Als Nachteil dieser Methode erweist sich die für eine Periodenanalyse typische isolierte Betrachtungsweise. Die Analyse bezieht sich nur auf jeweils eine Größe, wobei die anderen unsicheren Größen als konstant vorausgesetzt werden. Es ist allerdings auch möglich, diese Analyse für mehrere Variablen gleichzeitig durchzuführen. Wird eine Globalanalyse vorgenommen oder eine Variation mehrerer Inputgrößen zugelassen, so muss vorausgesetzt werden, dass die unterstellten funktionalen Abhängigkeiten zwischen diesen Größen richtig wiedergegeben werden. Außerdem muss eine Abweichung mit gleicher Wahrscheinlichkeit für positive und negative Änderungen auftreten können.116 116 Vgl. Blohm, Lüder, Schäfer, Investition, 2010, S. 220. I. Investitionsrechnung 135 Eine Lösung für das Investitionsentscheidungsproblem kann sowohl die Methode der kritischen Werte als auch die Sensitivitätsanalyse nicht bieten. Sie vermitteln aber wertvolle Einblicke in die Struktur eines Investitionsvorhabens, insbesondere liefern sie zusätzliche Informationen über die unsicheren Größen. Man ermittelt nicht nur einen kritischen Bereich der Inputgrößen, sondern auch einen Bereich, in dem die Zielgrößen sehr wahrscheinlich liegen werden, woraus wiederum Aussagen über die Sicherheit eines Investitionsvorhabens gemacht werden können.117 e) Risikoanalyse aa) Einsatzbereich und Verfahrensablauf Risikoanalyse ist der Sammelbegriff für Operations-Research-Verfahren, mit denen die Wahrscheinlichkeitsverteilungen einzelner unsicherer Daten so überlagert werden, dass nach Anwendung der Verfahren eine einzige Verteilung für das Entscheidungskriterium der Investitionsrechnung entsteht.118 Bspw. lässt sich mit der Risikoanalyse aus den Beschaffungs- und Absatzschätzungen für ein Investitionsprojekt die Wahrscheinlichkeitsverteilung seiner Zahlungsströme ermitteln. Andererseits, und hier liegen die Grenzen des Verfahrens, wird nicht angegeben, ob das zugehörige Projekt vorteilhaft ist. Aus diesem Grund ergänzt die Risikoanalyse als entscheidungsvorbereitende Technik grundsätzlich alle Investitionsentscheidungsmodelle unter Unsicherheit. Aufgrund der Freiheiten, die das Verfahren bei der Modellbildung erlaubt, ist seine Anwendung nicht auf die Investitionsrechnung beschränkt, sondern auch in verschiedenen anderen Bereichen, wie etwa der Finanzplanung, möglich. Verfahrensschritte Die Durchführung der Risikoanalyse erfordert das Durchlaufen folgender drei Schritte:119 1. Voruntersuchung und Modellbildung Die oben angesprochene Universalität der Risikoanalyse drückt sich bei der Modellbildung in nur einer zwingenden Restriktion aus:120 Im Modell muss das Entscheidungskriterium in Abhängigkeit von Inputdaten dargestellt sein, die entweder deterministisch oder stochastisch sind. Die Voruntersuchung und Modellbildung ist ein grundlegender Schritt. Insbesondere muss das basierende Investitionsrechenverfahren gewählt werden. Die nachfolgende, schrittweise Verfeinerung des gewählten Grundmodells wird sich zum einen an der Beschaffbarkeit von Wahrscheinlichkeiten und zum anderen an der Beachtung von Abhängigkeiten stochastischer und deterministischer Art orientieren. Die konjunkturelle Entwicklung als Beispiel wird sich bei langfristigen Investitionen auf Absatzpreis und -menge auswirken. Bei guter (schlechter) Entwicklung werden nämlich beide Größen steigen (sinken). Würden unabhängige Verteilungen für Preis 117 Vgl. Kilger, Investitions- und Wirtschaftlichkeitsrechnung, 1965, S. 341; Schneider, Wirtschaftlichkeitsrechnung, 1973, S. 63; Hax, Investitionstheorie, 1985, S.132 f. 118 Vgl. Schindel, Risikoanalyse, 1977, S.30. 119 Vgl. Müller-Merbach, Risikoanalyse, 1971, S.180; Diruf, Die quantitative Risikoanalyse, 1972, S. 823. 120 Vgl. Müller-Merbach, Risikoanalyse, 1971, S. 180 f.; Schindel, Risikoanalyse, 1977, S. 31 f. B. Management der Vermögensstruktur136 und Menge eingesetzt, so würde die Schwankungsbreite möglicher Ergebnisse des Investitionsprojekts unterschätzt. 2. Datenbeschaffung Aus dem Modell heraus ergeben sich die zu schätzenden Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Die benötigten Daten können dabei mithilfe von Prognoseverfahren beschafft werden (vgl. Abschnitt F II). Grundsätzlich werden die Probleme der Datenschätzung durch die Risikoanalyse nicht beseitigt, sondern nur deren Auswirkungen gemildert, weil das Modell bewusst so gebildet werden kann, dass die Daten für den Planenden vorstellbar sind. Einfacher zu schätzen sind z.B. Verteilungen der Verkaufsmengen, Preisentwicklungen, Ausfallwahrscheinlichkeiten von Maschinen u. ä., während eine direkte Schätzung des Kapitalwerts kaum sinnvoll möglich und nachvollziehbar sein kann. 3. Berechnung und Darstellung der Ergebnisverteilung Die Verarbeitung der Inputdaten kann grundsätzlich auf verschiedene Arten erfolgen. Zu nennen sind hier etwa die Vollenumeration, analytische Ansätze oder die Monte-Carlo-Methode. Analytische Ansätze errechnen auf der Basis des Grenzwertsatzes der Statistik die Ergebnisverteilung. Allerdings sind analytischen Rechnungen durch restriktive Annahmen enge Grenzen gesetzt.121 Die wachsende Leistungsfähigkeit moderner IT-Systeme favorisiert jedoch die Simulation mit Zufallszahlen, auch Monte-Carlo-Methode genannt. Im Mittelpunkt der Simulation steht ein Zufallszahlengenerator, mit dessen Hilfe Zufallszahlen erzeugt werden können, deren Verteilung der jeweils betrachteten Wahrscheinlichkeitsverteilung entspricht. In jedem Simulationsdurchlauf wird für jede Einflussgröße ein Wert durch Zufallsauswahl realisiert, der Ergebniswert wird mit den Realisationen aller Einflussgrößen errechnet. Nach einer genügend großen Anzahl von Durchläufen können dann die Wahrscheinlichkeitsverteilung und interessierende Kennziffern, wie Erwartungswert, Varianz und Konfidenzintervalle, berechnet werden. Hilfreich für das Vorstellungsvermögen kann darüber hinaus eine graphische Abbildung der Ergebnisverteilung sein. Der große Vorteil einer simulativen Risikoanalyse gegenüber analytischen Lösungen ist darin zu sehen, dass völlige Freiheit bei der Modellierung und Datenschätzung besteht. Hierdurch wird es möglich, Abhängigkeiten so in das Modell einzubeziehen, dass sie der Vorstellung der Planenden entsprechen. Der Einfluss der konjunkturellen Entwicklung auf die Absatzmengenverteilung kann etwa durch die Korrelationen beider Größen berücksichtigt werden; man kann aber auch den Erwartungswert der Absatzmenge in Abhängigkeit vom Index der Gesamtentwicklung darstellen.122 Daneben ist eine Vielzahl anderer Möglichkeiten denkbar. Kritisiert wird häufig der Aufwand für Programmerstellung und Simulation. In Zeiten rasanten Fortschritts im IT-Bereich, der sich nicht nur auf die Hardware, sondern auch auf komfortable, Laufzeit sparende Simulationssprachen bezieht, verliert dieser Gesichtspunkt zunehmend an Gewicht. 121 Vgl. Hillier, Information, 1963, S. 448 und die Weiterentwicklungen von Wagle, Analysis, 1967, S.20 ff. und Jöckel, Pflaumer, Investitionsrechnung, 1981, S. 41 ff. 122 Vgl. die Vorschläge von Heselich, Risikosimulation, 1975, S. 42 ff., und Hertz, Risk Analysis, 1964, S.103. I. Investitionsrechnung 137 Dem Aufwand der simulativen Risikoanalyse steht die Möglichkeit gegenüber, komplexe und wirklichkeitsnahe betriebswirtschaftliche Analysen durchzuführen und damit eine Vorstellung über die Risiken und Chancen von Investitionsprojekten zu gewinnen. bb) Anwendung der Simulationstechnik auf Investitionsentscheidungen Soll eine geplante Investition z. B. anhand des Kapitalwerts beurteilt werden, so sind zunächst die in das Simulationsmodell aufzunehmenden Parameter festzustellen, wie z.B. Marktvolumen, Verkaufspreise, Entwicklung der Nachfrage, Marktanteil, Kapitaleinsatz, Nutzungsdauer, Auszahlungen usw.; danach müssen die Abhängigkeiten der Größen untereinander und die Auswirkungen auf den Kapitalwert (Prognoseproblem) ermittelt werden. Für die einzelnen Faktoren sind für den Planungszeitraum subjektive Wahrscheinlichkeitsverteilungen zu bestimmen. Aus diesen Wahrscheinlichkeitsverteilungen wird dann rein zufällig ein Wert ausgewählt und in die Funktion des Zielwerts eingesetzt. Die zufällige Auswahl der Werte geschieht nach den erzeugten Zufallszahlen,123 deren Verteilung der jeweils betrachteten Wahrscheinlichkeitsverteilung entspricht. In jedem Simulationsdurchlauf wird für jede Einflussgröße ein Wert durch Zufallsauswahl realisiert, der Zahlungsstrom wird mit den Realisationen aller Einflussgrößen errechnet. Ablaufschema der Investitionssimulation:124 1. Bestimmung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen der relevanten Einflussgrößen, 2. Zufallsauswahl von Kombinationen dieser Werte unter Berücksichtigung der Wahrscheinlichkeit, 3. Ermittlung des Zielwerts für jede Kombination und 4. Darstellung der Ergebnisverteilung. cc) Beispiel einer Investitionssimulation Ein Betrieb steht vor der Aufgabe, die Vorteilhaftigkeit einer Investition zu beurteilen. Hierzu stehen folgende Angaben zur Verfügung: Die Anschaffungskosten A0, die Nutzungsdauer des Investitionsprojektes t, die variablen Kosten kv des produzierten Gutes, die jährliche Absatzmenge x und der Verkaufspreis p pro Mengeneinheit (vgl. Abbildung B 62). Der Kalkulationszinsfuß sei i = 10 %. Im vorliegenden Fall wird ein einfacher Zufallsmechanismus verwendet, ein Würfel, jedoch mit der Einschränkung, dass nur fünf Zahlen – von 1 bis 5 – verwendet werden. Wird eine Sechs gewürfelt, muss nochmals gewürfelt werden, d. h. die Wahrscheinlichkeit w(i) für jede Zahl i beträgt 1/5. Alle simulierten Zufallsvariablen sind voneinander unabhängig. 123 Vgl. Schneeweiß, Monte-Carlo-Methode, 1969, S. 119; mathematische Darstellung der Monte- Carlo-Methode bei Churchman, Ackoff, Arnoff, Operations-Research, 1957, S. 166–175. 124 Vgl. Blohm, Lüder, Schäfer, Investition, 2010, S. 290 ff.; Weston, Brigham, Managerial Finance, 1981, S.201 ff.; Hertz, Risk Analysis, 1964. B. Management der Vermögensstruktur138 Den gewürfelten Zahlen (Zufallszahlen) werden die folgenden Werte der Zufallsvariablen zugeordnet (vgl. Abbildung B 63): Als Zielwert dient der Einzahlungsüberschuss pro Jahr: Aus dem angegebenen Zahlenmaterial lassen sich die folgenden Werte ohne Simulation ermitteln (vgl. die Angaben in Abbildung B 62). Schlechtester Wert: Zmin = xmin(pmin – kvmax) – A0max · a(tmin) 750 · (80 – 65) – 280.000 · 0,18744 = – 41.233 GE Bester Wert: Zmax = xmax (pmax – kvmin) – A0min · a(tmax) 1.250 · (120 – 50) – 200.000 · 0,15396 = 56.708 GE Mittlerer Wert: 1.000 · (101 – 57,5) – 238.000 · 0,166813 = 3.798,51 GE Abb. B 62: Daten des Beispiels einer Investitionssimulation Ausprägung/Bereich (Wahrscheinlichkeit) mittlerer Wert ∅ Ao (in td.) 200–220 (0,2) 220–240 (0,4) 240–260 (0,2) 260–280 (0,2) 238 t 8 (0,2) 9 (0,2) 10 (0,4) 11 (0,2) 9,6 kv 50–55 (0,2) 55–60 (0,6) 60–65 (0,2) 57,5 x 750–850 (0,2) 850–950 (0,2) 950–1.050 (0,2) 1.050–1.150 (0,2) 1.150–1.250 (0,2) 1.000 p 80–90 (0,2) 90–100 (0,2) 100–110 (0,4) 110–120 (0,2) 101 Abb. B 63: Zuordnung der Zufallszahlen zu den Werten des Beispiels I. Investitionsrechnung 139 Die Simulation wird nun nach folgenden, mit dem Würfel ermittelten Zufallszahlen durchgeführt: 3 2 4 1 2 5 5 4 4 5 5 2 2 3 1 1 5 5 3 3 4 3 2 3 2 1 5 1 5 5 2 5 1 5 4 2 2 5 1 4 Bringt man die Zielwerte in eine Rangfolge, so ergibt sich folgende Abbildung B 65: Trägt man die durch die Simulation ermittelten Zielwerte auf der Abszisse eines Koordinaten-Systems und die kumulierte relative Häufigkeit der aufgetretenen Zielwerte auf der Ordinate ab, erhält man eine Verteilung der Ergebnisse, aus der abgelesen werden kann, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass die Durchführung der Investition Abb. B 64: Simulationsläufe des Beispiels Abb. B 65: Rangordnung der Zielwerte des Beispiels B. Management der Vermögensstruktur140 vorteilhaft ist, oder anders formuliert, mit welchem Maß an Risiko dieses Investitionsprojekt verbunden ist (vgl. Abbildung B 66). dd) Beurteilung des Simulationsverfahrens Mithilfe der Simulation können betriebswirtschaftliche Analysen durchgeführt werden, die sonst in anderer Form nicht möglich sind. Gegenüber analytischen Methoden bringt die Simulation den Vorteil, dass komplexere Situationen behandelt werden können und damit wirklichkeitsnahe Modelle entstehen.125 Änderungen der Datenkonstellationen werden ohne große Abänderung des Modells berücksichtigt. Als nachteilig erweist sich der relativ hohe Aufwand für die Datenerfassung und IT- Systeme. Die Grenzen der Simulation liegen dort, wo es nicht mehr möglich ist, die Vielzahl der Abhängigkeitsbeziehungen der Inputgrößen zu ermitteln und zu berücksichtigen; oder 125 Vgl. Blohm, Lüder, Schaefer, Investition, 2010, S. 248; Mertens, Simulation, 1982, S. 90 ff. Abb. B 66: Risikoprofil des Beispiels I. Investitionsrechnung 141 wo es nicht mehr möglich ist, eine Schätzung der Wahrscheinlichkeitsverteilungen für alle unsicheren Einflussgrößen anzugeben. Ferner gilt das gleiche Argument wie bei der Sensitivitätsanalyse. Simulationsverfahren stellen keine Investitionsentscheidungsverfahren dar, sondern dienen nur der unterstützenden Analyse der Entscheidungssituation respektive der Gewinnung von Eingangsparametern. f) Entscheidungsbaumverfahren Die zentrale Idee des Entscheidungsbaumverfahrens besteht darin, dass nicht nur eine Entscheidung am Anfang getroffen werden kann, die dann für alle Zeiten fix vorgegeben ist, sondern mehrere Entscheidungen im Zeitablauf, die zum Teil ursprüngliche Entscheidungen revidieren können. Das Entscheidungsbaumverfahren bietet somit die Möglichkeit, die Auswirkungen von Handlungsflexibilitäten auf den erwarteten Zahlungsstrom zu bestimmen. Diese Flexibilität wird im Entscheidungsbaum durch die verschiedenen Äste abgebildet, die eine Entscheidung gefolgt von einem möglichen Umweltzustand darstellen. Allerdings bietet das Entscheidungsbaumverfahren per se noch keine Lösung des Investitionsentscheidungsproblems unter Unsicherheit. Nur unter Berücksichtigung einer Regel wie etwa der Investitionsentscheidung bei vorliegendem Kapitalmarktgleichgewicht erhält man eine eindeutige Entscheidungsempfehlung. Mit diesem Verfahren lassen sich komplexe Probleme unter unsicheren Bedingungen lösen. Dabei wird berücksichtigt, dass Entscheidungen von großer Bedeutung in mehreren Stufen getroffen werden. Deshalb kann zwischen der ursprünglichen Investitionsentscheidung und den Folgeentscheidungen, die die Vorteilhaftigkeit der ursprünglichen Alternativen beeinflussen, unterschieden werden. Mithilfe eines Entscheidungsbaums lassen sich solche komplexen Problemstellungen graphisch darstellen und durch den Einsatz verschiedener Methoden auch optimieren, d. h. die optimale der in Betracht gezogenen Alternativen wird ermittelt. Jeder Pfad vom Ursprung eines Entscheidungsbaums, dem ersten Entscheidungsknoten, über verschiedene Zufallsereignisknoten und weitere Entscheidungsknoten zu den Endpunkten – den Ergebnisknoten – stellt eine vollständige Entscheidung dar. Die Aufgabe besteht darin, den optimalen Weg durch einen Entscheidungsbaum zu finden, d.h. den Weg, bei dessen Verfolgung die Zielgröße, der Kapitalwert, ein Maximum aufweist. Durch die graphische Darstellung eines Entscheidungsproblems in Form eines Baumes können alle in Betracht gezogenen zukünftigen Alternativen berücksichtigt werden, und der Investor kann sich entscheiden, welche Maßnahmen er zunächst einleiten will. Bei sehr umfangreichen Problemen kann die Zahl dieser Pfade so groß werden, dass eine Berechnung des gesamten Entscheidungsbaums vom wirtschaftlichen Standpunkt aus nicht vertretbar ist. Die Anwendung des Entscheidungsbaums in der Investitionstheorie, insbesondere zur Berücksichtigung unsicherer Erwartungen, bringt genau genommen keine neuen Aspekte; positiv wirken sich jedoch die klare Formulierung und die übersichtliche Darstellung des Entscheidungsspielraums und auch des Entscheidungsvorgangs aus. Beispiel: Ein Betrieb steht vor der Frage, ob er zur Produktion eines neuen Artikels die Alternative A1 oder A2 einsetzen bzw. kaufen soll: A1 vollautomatische Fertigung A2 Vergabe von Lohnaufträgen B . M an ag em en t d er V erm ö g en sstru ktu r 142 A b b . B  67: En tsch eid u n g sb au m I. Investitionsrechnung 143 1. Entscheidung in Knoten II (Einführung auf Exportmarkt) a) Einführung b) keine Einführung Aufgrund der Erwartungswerte kann für den Entscheidungsknoten II folgendes Ergebnis festgehalten werden: Die Einführung des Produkts auf dem Exportmarkt ist vorteilhaft. Abb. B 68: Entscheidung in Knoten II Abb. B 69: Entscheidung in Knoten III 2. Entscheidung in Knoten III (Werbefeldzug) a) Durchführung b) keine Werbung Unter Berücksichtigung der angegebenen Daten ergibt sich für die Äste 9 und 10 ein Erwartungswert von 1,1 Mill. GE. Der Werbefeldzug wird somit durchgeführt. B. Management der Vermögensstruktur144 Für die Realisierung der Alternative A1 ist eine Investition in Höhe von 1,8 Mio. GE zu tätigen, während bei A2 nur ein Kapitaleinsatz von 1,1 Mio. GE erforderlich ist. Auf die Verzinsung des eingesetzten Kapitals wird verzichtet, d. h. der Kalkulationszinssatz beträgt 0%. Die maximale Produktionsmenge liegt bei A1 wesentlich höher als im Falle von A2 und weist daher gegenüber dem Alternativprojekt die höhere Gewinnchance auf. Kann jedoch ein bestimmter Auslastungsgrad nicht erreicht werden – bedingt durch einen zu geringen Absatz –, so erwirtschaftet die Alternative A1 Verluste, während A2 sich unter diesen Bedingungen als bessere Alternative erweist. Außerdem müssen Folgeentscheidungen getroffen werden, und zwar: 1. Soll bei A1 bei steigender Nachfrage eine Einführung des Produktes auf ausländischen Märkten erfolgen, 2. kann bei sinkender Nachfrage bei A1 der Absatz durch eine Werbekampagne erhöht werden oder 3. ist die Realisierung einer Zusatzinvestition zu A2 bei steigendem Absatz vorteilhaft? Für die Entscheidung können grundsätzlich die dynamische Programmierung respektive das Roll-Back-Verfahren Anwendung finden. Das Roll-Back-Verfahren beruht und auf der Rekursion, d. h. einer Optimierung vom Prozessende her. Die zeitlich am weitesten in die Zukunft reichenden Entscheidungen werden zuerst getroffen. Sind die jeweils optimalen Alternativen bestimmt, sind diese Grundlage für das weitere Vorgehen, bis schließlich der Entscheidungspunkt erreicht wird und die im gegenwärtigen Zeitpunkt relevante Entscheidung gefällt werden kann.126 126 Vgl. Blohm, Lüder, Schaefer, Investition, 2010, S. 251. 3. Entscheidung im Knoten IV (Zusammeninvestition) a) Realisierung b) keine Investition Für die Äste 14, 15 und 16 ergibt sich ein Erwartungswert von 1.430.000,– GE. Die Entscheidung in Knoten IV lautet somit, die Zusatzinvestition nicht zu realisieren. Abb. B 70: Entscheidung in Knoten IV I. Investitionsrechnung 145 Gemäß dem Roll-Back-Verfahren ist zuerst eine Entscheidung zu treffen, ob das Produkt auf dem Exportmarkt eingeführt werden soll oder nicht. Die Bestimmung der optimalen Alternative erfolgt anhand des Kapitalwertkriteriums. Analog ist für die Entscheidungen in den Knoten III und IV zu kalkulieren (vgl. Abbildungen B 68, B 69 und B 70). Die Alternative mit dem höheren Kapitalwert ist vorteilhafter. Auf der Basis der bisherigen Resultate kann nun bereits in Knoten I die endgültige Entscheidung zwischen A1 und A2 mithilfe der Erwartungswerte errechnet werden (vgl. Abbildung B 71). 4. Entscheidung in Knoten I a) A1 b) A2 Man erhält somit als Ergebnis für Knoten I: Der Erwartungswert für A1 liegt über dem für A2, d. h. die Alternative A1 – vollautomatische Fertigung – wird der Alternative A2 – Vergabe von Lohnaufträgen – vorgezogen. Abb. B 71: Entscheidung in Knoten I B. Management der Vermögensstruktur146 Beurteilung des Verfahrens Werden Investitionsprobleme mithilfe des Entscheidungsbaumverfahrens beurteilt, so ist es erforderlich, über die vereinfachenden Voraussetzungen Kenntnis zu haben.127 1. Im Entscheidungsbaumverfahren können nur gleichartige Entscheidungen eingesetzt werden, d. h. das eigentliche Entscheidungsproblem und die Zusatz- bzw. Folgeentscheidungen sind Investitionsentscheidungen. 2. Die Ergebnisverteilungen sind entscheidungsunabhängig, d. h. die Entscheidungen beeinflussen nicht den Zufallsmechanismus der Ergebnisse. 3. Wird wie im Beispiel das einfache Roll-Back-Verfahren, das den maximalen Erwartungswert des Kapitalwerts ermittelt, als Lösungsmethode eingesetzt, so unterstellt dies Risikoneutralität beim Entscheidungsträger. Es kann aber selbstverständlich das Risiko, wie in Abschnitt B I 5 c cc beschrieben, über einen risikoadjustierten Diskontierungszins mit einbezogen werden. 4. Es muss möglich sein, die relevanten Daten zur Bestimmung des Kapitalwerts und die Wahrscheinlichkeiten zu quantifizieren; dies setzt u.a. voraus, dass die Größen bis zum Ende der Planperiode (identisch mit der Lebensdauer des langlebigsten Objektes) determiniert werden können. Das Entscheidungsbaumverfahren ist ein typisches Instrument für die sequentielle Behandlung von Investitionsentscheidungen. Durch die Graphen erfolgt eine übersichtliche Darstellung der gegenseitigen Abhängigkeiten von gegenwärtigen und zukünftigen Entscheidungen, wobei insbesondere beachtet wird, dass die gegenwärtigen Entscheidungen die zukünftigen in eine gewisse Richtung festlegen und dass die optimalen Entscheidungen durch Auswirkungen zukünftiger Handlungen beeinflusst werden. g) Realoptionen Die Entscheidungsbaumverfahren sind nach dem Prinzip der flexiblen Planung konzipiert. Der Projektverlauf wird dabei nicht starr geplant, sondern von den später eintretenden Umweltzuständen abhängig gemacht (bedingte Folgeentscheidungen). Je mehr Handlungsspielräume offen gehalten werden, umso vorteilhafter stellt sich c. p. ein zu beurteilendes Investitionsprojekt dar. Der Zeitpunkt der endgültigen Entscheidung wird selbst zu einem wichtigen Dispositionsparameter. Wegen der Parallelen zu finanzwirtschaftlichen Optionen werden Handlungsspielräume im Leistungsbereich auch als Realoptionen bezeichnet. Teilweise wird die Auffassung vertreten, die Kapitalwertmethode ist nicht in der Lage, Realoptionen korrekt zu bewerten.128 Stattdessen wird die analoge Anwendung der Bewertungstheorie für finanzwirtschaftliche Optionen vorgeschlagen.129 Diese beruht auf der Erkenntnis, dass an einem vollkommenen und vollständigen Kapitalmarkt das Zahlungsprofil einer Option durch eine geeignete Mischung aus Basispapier und risikolosem Wertpapier perfekt dupliziert werden kann. Da bei Arbitragefreiheit identische Güter den gleichen Marktpreis besitzen, muss der Wert der Option dem Wert des 127 Vgl. Blohm, Lüder, Schaefer, Investition, 2010, S.253 ff. 128 Vgl. Luehrman, Strategy, 1998, S. 89; Trigeorgis, Overview, S. 1; Laux, Handlungsspielräume, 1993, S.933. Ähnlich auch: Copeland, Keenan, Making real options real, 1998. 129 Vgl. zur Optionspreistheorie grundlegend Black, Scholes, Pricing of options, 1973; Merton, Rational option pricing, 1973; Cox, Ross, Rubinstein, Simplified approach, 1979. I. Investitionsrechnung 147 Duplikationsportefeuille entsprechen. Der Optionspreis wird somit derivativ aus beobachtbaren Kursen anderer Wertpapiere hergeleitet. Dieses Bewertungsprinzip besitzt den Vorzug, dass die Präferenzen der Anleger für die Optionspreisbestimmung nicht benötigt werden (präferenzfreie Bewertung). Sie fließen vielmehr über den Marktpreis des Basispapiers indirekt in die Rechnung ein. An einem Beispiel soll das Grundprinzip der Bewertung aufgezeigt werden. Ein Unternehmen besitzt die Option, in einem Jahr (t1) ein Projekt mit einer Investitionssumme von 100 GE zu initiieren. Die Projektlaufzeit beträgt ein Jahr, an dessen Ende (t2) je nach Umweltzustand unterschiedliche Rückflüsse entstehen werden. Die Rückflüsse fallen höher aus, wenn sich vom Gegenwartszeitpunkt t0 bis zum Zeitpunkt t1 die Marktlage vorteilhaft entwickelt. Die Wahrscheinlichkeit hierfür beträgt 0,6. Abbildung B 72a enthält den Zustandsbaum der Investition. Der risikolose Zinssatz betrage konstant 5 %. Es sei angenommen, dass zur Bewertung der in t1 durchgeführten Investition unabhängig von der vorherigen Marktentwicklung ein einheitlicher Diskontierungszinssatz von 10% anzusetzen ist. Der gleiche Zinssatz gelte für die Diskontierung des aus der Sicht von t0 für den Zeitpunkt t1 erwarteten Kapitalwerts. Daraus ergeben sich die in Abbildung B 72b abgetragenen Marktwerte.130 Der Marktwert der Investition beträgt unter der Bedingung, dass sie in t1 auf jeden Fall durchgeführt wird, 7,44 GE. Tatsächlich wird jedoch der Entscheider in t1 im Falle einer ungünstigen Marktlage von einer Investition absehen, weil dann der Kapitalwert negativ ist. Das Zahlungsprofil der Investitionsmöglichkeit entspricht daher der Abbildung B 72c. Der Marktwert der Investitionsmöglichkeit wird demnach in t1 entweder 22,73 GE oder Null betragen (vgl. Abbildung B 72d). Diese Verteilung in t1 ist die gleiche wie bei einer Beteiligung von 62,5 % an der in jedem Fall durchgeführten Investition zuzüglich einer risikolosen Anlage in Höhe von 8,12 GE, denn: 0,625 · 22,73 + 8,12 · 1,05 = 22,73 GE 0,625 · (–13,64) + 8,12 · 1,05 = 0 GE Aufgrund der gleichen Zahlungsstruktur muss der Wert der Investitionsmöglichkeit (C) dem Marktpreis der äquivalenten Mischung aus (unbedingter) Investition und risikoloser Anlage entsprechen: C = 0,625 · 7,44 + 8,12 = 12,77 GE Würde der erwartete Marktpreis in t1 mit dem bisher verwendeten Zinssatz von 10 % diskontiert, ergäbe sich ein unzutreffender Wert von Darin wird deutlich, dass der Optionscharakter der Investition perioden- und zustandsabhängige risikoadäquate Diskontierungssätze erfordert.131 Um die Investitionschance korrekt zu bewerten, müsste in der ersten Periode ein Kalkulationszinssatz von 6,82 % verwendet werden.132 Demnach wird durch den Ausschluss des Verlustrisikos ein geringerer Risikozuschlag benötigt als bei unbedingter Durchführung der Investition. Die Kapitalwertmethode ist in diesem Beispiel zwar grundsätzlich zur Bewertung des 130 Beispiel: (0,5 · 150 + 0,5 · 120)/1,1 – 100 = 22,73. 131 Vgl. Teisberg, Methods, 1995, S. 44. 132 (0,6 · 22,73 + 0,4 · 0)/1,0682 = 12,77. B. Management der Vermögensstruktur148 Handlungsspielraums geeignet, nicht akzeptabel wäre aber die (oft getroffene) Annahme eines konstanten Diskontierungssatzes.133 Auch wenn die Anwendung der Optionspreistheorie mit der Kapitalwertmethode und dem Entscheidungsbaumverfahren kompatibel ist und die Verfahren unter gleichen Annahmen zum gleichen Ergebnis führen, eröffnen sie doch einen unterschiedlichen Zugang zur Bewertung.134 So stellt die Bestimmung der zustandsabhängigen Diskontierungssätze in der Kapitalwertmethode ein Problem dar, das bei Anwendung der Optionspreistheorie nicht explizit auftritt, sofern der Marktpreis des Basispapiers der Realoption bekannt ist. Ein großer Vorteil der Optionspreistheorie ist darin zu sehen, dass sie die wertbestimmenden Einflussgrößen einer Realoption offen legt. Dazu gehören der Wert des Basisobjekts, der Ausübungspreis, die Laufzeit und insbesondere die Verteilung der Rendite des Basisobjekts.135 Interessant ist insbesondere der positive Einfluss der Varianz der 133 Vgl. dazu ausführlich Fischer, Hahnenstein, Heitzer, Kapitalmarkttheoretische Ansätze, 1999. 134 Vgl. Teisberg, Methods, 1995, S. 32. 135 Siehe den späteren Abschnitt C V 3 b. Abb. B 72: Zustandsbäume (a–d) I. Investitionsrechnung 149 Rendite des Basisobjekts auf den Optionspreis. Eine höhere Unsicherheit führt ceteris paribus zu einer Wertsteigerung, weil sich das Unternehmen durch seinen Handlungsspielraum von negativen Umweltzuständen abkoppeln kann, während es von positiven Entwicklungen profitiert. Es entsteht ein asymmetrisches Chancen-Risiko-Profil. Mit höherer Varianz steigt zwar auch die Gefahr eines hohen Wertverlusts des Basisobjekts, gegen dieses Risiko aber wird das Unternehmen durch die Realoption abgeschirmt. Die Optionspreistheorie verdeutlicht auch, dass es nicht immer ratsam ist, Investitionen mit positivem Kapitalwert sofort durchzuführen. Bei zeitlicher Flexibilität repräsentieren die möglichen Startzeitpunkte sich gegenseitig ausschließende Investitionsalternativen, aus denen diejenige mit dem höchsten Kapitalwert auszuwählen ist. Das Problem der Terminierung der Investition entspricht der Bestimmung des optimalen Ausübungszeitpunkts der Option. Je mehr Erträge durch das Aufschieben verloren gehen, desto früher wird die Investitionsmöglichkeit ausgenutzt. Die Grenzen der optionspreistheoretischen Bewertung von Handlungsspielräumen liegen in den Voraussetzungen einer präferenzfreien Bewertung begründet. Nur wenn es gelingt, das Zahlungsprofil einer Option perfekt mit marktgehandelten Gegenständen zu duplizieren, kann der Optionspreis ausschließlich aus dem Postulat der Arbitragefreiheit gewonnen werden. Es genügt nicht, ein Duplikationsportefeuille zu konstruieren, dessen stochastische Rendite der gleichen Wahrscheinlichkeitsverteilung gehorcht wie jene der Option. Vielmehr muss zwischen den stochastischen Komponenten der Renditen eine vollständige Abhängigkeit bestehen, so dass die Zahlungen in jedem denkbaren Umweltzustand übereinstimmen. An einem vollständigen Kapitalmarkt mit log-normalverteilten Renditen ist diese Bedingung erfüllt. Wenn eine Option hingegen eine einzigartige Zahlungsstruktur beinhaltet, die zu grundsätzlich neuen Risikoallokationsmöglichkeiten führt, scheidet eine Bewertung nach dem Duplikationsprinzip aus. Allerdings sind dann auch andere Verfahren, die das Ziel der Marktwertmaximierung verfolgen, nicht mehr ohne weiteres anwendbar.136 Die Annahme eines vollständigen Kapitalmarkts erscheint bei Realoptionen besonders kritisch, weil das Basisobjekt i.d.R. nicht an einem Markt gehandelt wird. In diesem Fall kann die Anwendung der Optionspreistheorie bestenfalls als Heuristik zur näherungsweisen Wertermittlung verstanden werden. h)  Berücksichtigung der Unsicherheit durch das Chance  Constrained Programming An den bisher dargestellten Ansätzen wird häufig kritisiert, dass durch die Annahme vollkommener Kapitalmärkte eine befriedigende Annäherung an die Realität nicht realisierbar sei. Es ist aber möglich, bei Programmierungsmodellen mögliche Restriktion durch das Chance Constrained Programming zu erfassen.137 Ansatzpunkt des Chance Constrained Programming ist die finanzielle Gleichgewichtsbedingung, die etwa im Modell von Hax folgende Form hat (vgl. Abschnitt B I 4 c bb): für t = 2, …, s – 1. 136 Vgl. Wilhelm, Marktwertmaximierung, 1983. 137 Das Verfahren wird auf Charnes, Cooper, Chance Constrained Programming, 1960, zurückgeführt. B. Management der Vermögensstruktur150 Die nahe liegendste Forderung zur Berücksichtigung der Unsicherheit besteht darin, Liquidität in jedem Fall zu fordern und mithin selbst für den schlechtesten Zustand Zahlungsbereitschaft zu gewährleisten. Das Ergebnis dieser extrem risikoscheuen Handlungsweise wäre in vielen Fällen die Empfehlung, nichts zu tun, weil kein Projekt die geforderten Eigenschaften aufweise.138 Das Chance Constrained Programming empfiehlt, diese strenge Nebenbedingung zu lockern und stattdessen die Liquiditätserhaltung nur mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit 1 – α zu fordern. Formal kann dies für Periode 1 so dargestellt werden: wobei Q den zu Beginn der Planung vorhandenen Bestand liquider Mittel und P die gesuchte Wahrscheinlichkeit darstellt. Sind die Zahlungsreihen der Investitions- und Finanzierungsvorhaben Ztr bzw. Ztu stochastisch verteilt, so sollten die Gleichgewichtsbedingungen der folgenden Perioden 138 Vgl. Schneider, Investition und Finanzierung, 1980, S. 436. Abb. B 73: Beispiel für die Änderung eines Produktionsprogramms bei Erweiterungsinvestitionen I. Investitionsrechnung 151 modifiziert werden. Aus der bisher isolierten Restriktion für eine Periode t sollte eine kumulierte Bedingung folgender Art gebildet werden:139 Durch diese Modifikation wird berücksichtigt, dass ein negativer Zahlungssaldo der Periode t nur dann zu einer Störung der Liquidität führt, wenn er nicht durch positive Zahlungssaldi der Vorperioden gedeckt ist. Damit das zugehörige Modell lösbar wird, müssen obige Gleichgewichtsbedingungen in eine deterministische Form gebracht werden. Ist nur einer der Koeffizienten Zτr oder Zτu zufallsverteilt, so lässt sich die zugehörige lineare Nebenbedingung leicht bestimmen, indem der Abszissenwert der kumulierten Wahrscheinlichkeitsverteilung zu α in obige Funktion eingesetzt wird.140 In der Realität werden jedoch mehrere Koeffizienten einer Restriktion unsicher sein, womit eine einfache Determinisierung jeder einzelnen unsicheren Größe nicht mehr möglich ist. Stattdessen müssen alle zulässigen Variablenkonstellationen gefunden und in Form einer (einwertigen) Ungleichung dargestellt werden. Sind alle Größen einer Restriktion normalverteilt, so lässt sich die Ungleichung analytisch ermitteln, weil jede Normalverteilung vollständig durch die Parameter Erwartungswert und Varianz beschrieben werden kann und weil eine Summe normalverteilter Größen selbst gegen die Normalverteilung konvergiert. Die Optimierung des aufgestellten Programms wird jedoch dadurch erschwert, dass die aus normalverteilten Variablen ermittelten Ungleichungen nicht mehr linear, sondern quadratisch in xu und yu sind. Bei der Anwendung des Chance Constrained Programming wird man durch die komplexeren Nebenbedingungen schnell an die Grenzen des vertretbaren Rechenaufwandes stoßen. Die Berechnung der optimalen Lösung kann dabei so aufwändig werden, dass eine Suche „per Hand“ schneller und verlässlicher ist.141 Problematisch erscheint beim Chance Constrained Programming auch die Festlegung des Sicherheitsniveaus. Bei der Bestimmung ist nämlich weder bekannt, wie reagibel der Finanzerfolg auf veränderte Sicherheitsniveaus ist, noch, welche Konsequenzen eine Verletzung der Nebenbedingung für das Unternehmen hätte.142 Ein Nachteil, der alle Modelle für Programmentscheidungen gleichermaßen betrifft, ist die Starrheit der Lösung. Ergibt sich eine Datenänderung, so ist nicht bestimmt, ob der Plan angepasst werden soll oder nicht. In jedem Fall sinnvoll ist daher eine Sensitivitätsanalyse, die die gefundene Lösung auf ihr Verhalten bezüglich Daten- und Parameteränderungen untersucht. Reagiert die gefundene Optimallösung auf Änderungen der Datenkonstellation sehr empfindlich, so ist sie gegenüber Prognosefehlern sehr anfällig. In solchen Fällen besteht die Gefahr, dass dieses Moment bei finanzwirtschaftlichen Entscheidungen, die ja von Personen getroffen werden, die mit den Modellerstellern nicht unbedingt identisch sind, nicht bewusst gesehen wird, und daher der geringe Vertrauensbereich für die Optimalität der Lösung im Entscheidungsprozess gegebenenfalls nicht zum Tragen kommt. 139 Vgl. Hax, Investitionstheorie, 1985, S. 183. 140 Vgl. Bühler, Gering, Glaser, Kurzfristige Finanzplanung, 1979, S. 54 f. 141 Vgl. Schneider, Investition und Finanzierung, 1980, S. 440 und 452. 142 Vgl. Hax, Investitionstheorie, 1985, S. 184. B. Management der Vermögensstruktur152 Weiterführende Literatur zu Berücksichtigung der Unsicherheit bei Investitionsentscheidungen Adam, D.: Investitionscontrolling, 3. Auflage, München 2000. Bamberg, G.; Coenenberg, A. G., Krapp, M.: Betriebswirtschaftliche Entscheidungslehre, 14.Auflage, München 2008. Blohm, H.; Lüder, K., Schaefer, C.: Investition, 10. Auflage, München 2012. Breuer, W.: Investition. Entscheidungen bei Risiko, Wiesbaden 2001. Copeland, T. E.; Weston, J. F.; Shastri, K.: Financial Theory and Corporate Policy, 4. Auflage, Boston 2006. Hax, H.: Entscheidungsmodelle in der Unternehmung. Einführung in Operations Research, Reinbek bei Hamburg 1974. Hax, H.: Investitionstheorie, 5. Auflage, Würzburg und Wien 1993. Jacob, H.: Investitionsplanung und Investitionsentscheidung mithilfe der Linearprogrammierung, 3. Auflage, Wiesbaden 1976. Kilger, W.: Kritische Werte in der Investitions- und Wirtschaftlichkeitsrechnung, in: Zeitschrift für Betriebswirtschaft 35 (1965), S. 338–353. Kruschwitz, L.: Investitionsrechnung, 13. Auflage, München 2011. Rehkugler, H.: Grundzüge der Finanzwirtschaft, München et al. 2007. Schäfer, H.: Unternehmensinvestitionen, 2.Auflage, Heidelberg 2005. Schmidt, R. H.; Terberger, E.: Grundzüge der Investitions- und Finanzierungstheorie, 4.Auflage, Wiesbaden 1997. Schneider, D.: Investition, Finanzierung und Besteuerung, 7. Auflage, Wiesbaden 1992. Trautmann, S.: Investitionen, Bewertung, Auswahl und Risikomanagement, 2. Auflage, Berlin et al. 2007. Trigeorgis, L. (Hrsg.): Real Options in Capital Investment, Westport, Conn. 1995. Fragen: Berücksichtigung der Unsicherheit bei Investitionsentscheidungen 1. Definieren Sie die Begriffe Sicherheit, Risiko und Ungewissheit. 2. Auf welchen Grundgedanken basiert die Sensitivitätsanalyse? 3. Die P AG plant die Realisierung eines Projektes, das einen jährlichen Absatz von 1.000.000 Stück ab der zweiten Periode für fünf Perioden vorsieht. Pro abgesetzter Einheit werden zum Periodenende 5 GE erzielt, demgegenüber stehen auszahlungswirksame fixe Kosten für Löhne und Gehälter i.H.v. 1.000.000 GE pro Periode und auszahlungswirksame Kosten für Material je Einheit i. H. v. 3 GE (ebenfalls zum Periodenende). Zudem fallen auf die Nettoeinzahlung zum Periodenende Steuern i. H.v. 30% an. Die Anfangsauszahlung in t = 0 beträgt 200.000 GE. Der risikoadjustierte Zinssatz beläuft sich auf 10 %. Berechnen Sie den Kapitalwert des Projektes! 4. Ermitteln Sie die Sensitivität des Projektes auf eine marginale Änderung jeweils der Anfangsauszahlung sowie der Materialkosten je Stück! 5. Wie beurteilen Sie die traditionellen Verfahren zur Lösung des Unsicherheitsproblems? 6. Inwieweit lässt sich das Unsicherheitsproblem mithilfe von Nutzenfunktionen lösen? II. Finanzwirtschaftliche Disposition des  Umlaufvermögens 153 7. Welche Grundlagen der Ungewissheitstheorie lassen sich auf Investitionsentscheidungen anwenden? 8. Was besagt die Bayes-Regel? 9. Welche Vor- und Nachteile für Investitionsrechnungen bietet der Einsatz der Simulation zur Bewältigung des Unsicherheitsproblems? 10. Erläutern Sie die Prämissen und den Anwendungsbereich des Entscheidungsbaumverfahrens! 11. Die in der Fahrzeugproduktion tätige L AG plant für das Jahr 1 den Markteintritt in China und stellt daher Überlegungen zum Bau eines neuen Produktionskomplexes mit altbewährter Technik in Peking an (Projektdauer 2 Jahre). Das geplante Investitionsvolumen des Vorhabens wird auf 1,3 Mrd. GE geschätzt. Der Verkaufspreis eines Fahrzeuges wird entsprechend den Einkommensverhältnissen mit 15.000 GE angesetzt. Die Produktionskosten je Einheit werden auf 8.000 GE beziffert. Bei anhaltend guten Konjunkturaussichten (80% Wahrscheinlichkeit) können im ersten Jahr der Fertigung 120.000 Fahrzeuge verkauft werden. Bei stagnierender Konjunktur wird eine Verkaufszahl von 60.000 Stück erwartet. Für den Fall einer hohen Nachfrage kann im Folgejahr von einer identischen Zahl abgesetzter Einheiten ausgegangen werden. Sollte die konjunkturelle Lage in China dagegen stagnieren, so besteht eine 50/50 Chance, dass in Jahr 2 25.000 bzw. 35.000 Fahrzeuge verkauft werden können. Bei schlechter Absatzlage hat das Management zudem die Option, durch Schaltung eines zusätzlichen Marketingauftritts mit Kosten von etwa 69 Mio. GE bei zusätzlicher Preissenkung auf 12.000 GE pro Einheit mit einer Wahrscheinlichkeit von 60% eine Absatzmenge von 100.000 Einheiten zu erreichen. Ansonsten kann auch in diesem Falle nur mit 60.000 Stück gerechnet werden. Die risikoadjustierten Opportunitätskosten werden entsprechend der Risikokategorie der Investition mit 25 % berücksichtigt. Veranschaulichen Sie den Entscheidungsbaum graphisch und beurteilen Sie anschließend das Investitionsobjekt durch eine Barwertberechnung. 12. Berechnen Sie den Wert der implizierten Option. 13. Wie hoch muss der Preis eines Fahrzeugs mindestens sein, sodass sich die Vermögenslage der L AG durch die Investition nicht verschlechtert, falls bei sehr guten Konjunkturaussichten in Jahr 2 die Möglichkeit einer Preiserhöhung besteht? II. Finanzwirtschaftliche Disposition des  Umlaufvermögens Das in der Bilanz ausgewiesene Umlaufvermögen kann auch Positionen enthalten, die dem Strukturkapital zuzurechnen sind. Die Vermögensteile, die sich innerhalb eines Produktionszykluses oder mindestens innerhalb eines Jahres wieder in liquide Mittel zurückverwandeln, sind dem sog. Working Capital (Betriebskapital) zuzurechnen. Im Rahmen des Umsatzprozesses werden liquide Mittel in Vorräten gebunden, wandeln

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Zusammenfassung

"...gehört zu den etablierten Standardwerken für den gesamten Bereich der Investition und Finanzierung." boerse.de-MAGAZIN

Dieses Lehrbuch und Nachschlagewerk ist das Standardwerk für den gesamten Bereich der Investition und Finanzierung nach deutschem Recht. Neben den wichtigen Methoden der klassischen Finanz- und Investitionstheorie werden auch neue Finanzinstrumente und Erkenntnisse im Bereich der Kapitalmärkte erläutert, sodass dem Leser ein fundierter Überblick über den aktuellsten Stand der Forschung ermöglicht wird.

Aus dem Inhalt

- Management der Vermögensstruktur - Investitionsrechnung und Disposition des Umlaufvermögens

- Wertpapiergeschäfte - Analyse von Aktien und Aktienindizes sowie Wertpapierprogrammentscheidungen und Risikomanagement mit Termingeschäften

- Alternativen der Kapitalaufbringung - Finanzierungsformen, Kapitalstruktur und Verschuldungspolitik

- Finanzanalyse - Kennzahlenanalyse und Kapitalflussrechnung

- Finanzplanung - Kapitalbedarf- und Liquiditätsplanung, Plananpassung und Kontrolle

Die Autoren

Dr. Dr. h.c. Louis Perridon und Dr. Manfred Steiner waren bis zu ihrer Emeritierung Professoren für Betriebswirtschaftslehre an der Universität Augsburg. Dr. Andreas Rathgeber ist Professor am Institut Materials Resource Management und am Kernkompetenzzentrum Finanz- und Informationsmanagement an der Universität Augsburg.