72 Investition in Übungen
Dies führt dazu, dass es bei unterschiedlicher Kapitalbindung, die z. B. auf
unterschiedlichen Anschaffungsauszahlungen oder unterschiedlich langen
Nutzungsdauern basieren kann, aufgrund der unterschiedlichen Wiederanlageprämisse der internen Zinsfußmethode bei der Vorteilhaftigkeitsentscheidung zwischen mehreren Investitionsobjekten zu anderen Rangfolgen kommen kann als bei der Kapitalwertmethode.
Die Wiederanlageprämisse des internen Zinsfußes ist jedoch in sich bereits
widersprüchlich, da sie einerseits davon ausgeht, dass Kapitalbeschaffung
und -anlage jeweils zum internen Zinsfuß erfolgen können, andererseits aber
als Vergleichsmaßstab der Kalkulationszinsfuß herangezogen wird, der genau
den Zins angibt, zu dem eine Kapitalbeschaffung und -anlage alternativ erfolgen könnte. Der Vollständigkeit halber ist an dieser Stelle zu erwähnen, dass
ein großer Nachteil der internen Zinsfußmethode darin liegt, dass der interne
Zinsfuß nicht immer exakt bestimmt werden kann. So gibt es Situationen, in
denen es keinen eindeutig bestimmbaren internen Zinsfuß gibt, sondern mehrere interne Zinsfüße nebeneinander existieren oder aber sich kein einziger
interner Zinsfuß berechnen lässt.
4.2 Kapitalwertmethode
Aufgabe 4.9: Kapitalwertmethode
Ein in der Gummibranche tätiges Unternehmen, die Gummi AG, beabsichtigt,
aufgrund eines neu gewonnenen Großkunden die jährliche Produktionsmenge
an Gummiteilen zu erhöhen. Voraussetzung hierfür ist die Anschaffung einer
neuen Maschine. Die zur Auswahl stehenden Maschinen A und B werden im
Fall ihrer Anschaffung in den nächsten Jahren während ihrer wirtschaftlichen
Nutzungsdauer folgende Zahlungsreihen verursachen:
t 0 1 2 3 4 5
'LeA (TEUR) - 300 85 90 80 80 70
'LeB (TEUR) - 230 95 95 95 - -
Dabei gilt:
Zt: Differenz zwischen den Ein- und Auszahlungen von Maschine A bzw.
von Maschine B der Periode t mit folgender Wirkung:
~ Einzahlungsüberschuss der Periode t, wenn Zt > 0 bzw.
~ Auszahlungsüberschuss der Periode t, wenn Zt < O.
Der relevante Kalkulationszinssatz beträgt 10 % p. a.
Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 73
a) Führen Sie einen Vergleich mit Hilfe der Kapitalwertmethode durch!
b) Erklären Sie möglichst genau, welche ökonomische Bedeutung ein Kapitalwert von z. B. 100 EUR hat!
c) Was halten Sie von dem Argument, dass der unter Teilaufgabe a) vorgenommene Vergleich unvollständig ist, weil sich die beiden Investitionsobjekte in Anschaffungsauszahlung, Nutzungsdauer und Zahlungsstruktur
unterscheiden?
Lösung
Teilaufgabe a)
Kapitalwert A (COA)
Kapitalwert B (COB)
- 300 + 85·1,1·1 + 90·1,1·2 + 80·1,1·3 + 80·1,1-4
+70·1,1·5
9,86 TEUR
- 230 + 95 . RBF (10 %/3 Jahre)
113 -1 - 230 + 95 . -'-- = - 230 + 95 . 2,486852
0,1·1,13
6,25 TEUR
Entscheidung: COA > COB > O. Da Maschine A einen höheren Kapitalwert als
Maschine B aufweist, sollte Maschine A ausgewählt werden.
Teilaufgabe b)
Annahme eines Kapitalwerts von Co = 100 EUR:
Co gibt den auf den Bezugszeitpunkt t = 0 bezogenen Vermögenszuwachs des
Investors an, der ihm über die Tilgung seiner Anschaffungsauszahlung und
die Verzinsung des eingesetzten Kapitals hinaus zu x % p. a. (gewünschte
jährliche Mindestverzinsung) zufließt.
Teilaufgabe c)
Problematiken: I) Ergänzungsinvestition (70 TEUR);
11) Anschlussinvestitionen (4. und 5. Jahr);
III) Zahlungsstrukturdifferenzen (10 TEUR im 1. Jahr,
5 TEUR im 2. Jahr, 15 TEUR im 3. Jahr).
74 Investition in Übungen
Unter Zugrundelegung eines vollkommenen Kapitalmarkts ist der Vergleich
vollständig, da die Kapitalwerte der Teilproblembereiche jeweils Null sind. 18
Aufgabe 4.10: Kapitalwertmethode
Ein Tankstellenpächter, dessen Pachtvertrag in 5 Jahren abläuft, plant die Anschaffung einer Auto-Waschanlage zum Preis von 100.000 EUR. Wegen der
technischen Ausgereiftheit von Auto-Waschanlagen rechnet er damit, in 5
Jahren noch einen Liquidationserlös von 25.000 EUR zu erzielen. Weiterhin
glaubt er, schon im ersten Jahr 5.000 Kunden abfertigen und danach noch jeweils eine 10 %ige Steigerung gegenüber dem Vorjahr erreichen zu können.
Als Werbepreis will er im ersten Jahr das Angebot von 3,50 EUR je Waschvorgang einführen. Doch soll der Preis zu Beginn jedes neuen Jahres um 0,50
EURje Waschvorgang angehoben werden.
An fixen Gesamtkosten - vorwiegend Instandhaltungskosten - fallen 2.000
EUR in den ersten bei den und 2.500 EUR in den letzten drei Jahren an. Durch
den Verbrauch an Strom, Wasser und Reinigungsmitteln fallen zudem bei jedem Waschvorgang Kosten in Höhe von 0,60 EUR an, die sich jedes Jahr
wahrscheinlich um 0,04 EURje Waschvorgang vergrößern werden.
Unterstellen Sie zunächst einen Kalkulationszinssatz von 10% p. a.
a) Stellen sie in einem ersten Schritt anhand der folgenden Tabelle die relevanten Daten zusammen! Runden Sie hierbei Ihre Ergebnisse auf volle
Euro-Beträge.
Jahr 1 Jahr 2 Jahr 3 Jahr 4 Jahr 5
Anzahl der Kunden
(Waschvorgänge )
Preis je Waschvorgang
Umsatzerlöse
Variable Stückkosten
Variable Gesamtkosten
Fixe Gesamtkosten
Kalkulatorische
Abschreibungen
Kalkulatorische Zinsen
18 V gl. dazu auch Aufgabe 4.5, Teilaufgabe b), Seite 64.
Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 75
b) Treffen Sie eine Investitionsentscheidung nach der Gewinnvergleichsrechnung!
c) Treffen Sie eine Investitionsentscheidung nach der Kapitalwertmethode
und vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit Teilaufgabe b)! Gehen Sie bei Ihrer
Berechnung vereinfachend davon aus, dass sowohl die Umsatzerlöse als
auch die variablen Gesamtkosten und die InstandhaItungskosten jeweils
zum Ende einer Periode zahlungswirksam werden.
d) Wie hoch müsste der Liquidationserlös im fünften Jahr sein, damit der
Tankstellenpächter nach der Kapitalwertmethode gerade indifferent hinsichtlich seiner Entscheidung ist?
e) Unterstellen Sie nunmehr, dass der Kapitalmarkt unvollkommen ist. Einzahlungsüberschüsse können zu 6 % p. a. angelegt werden, Kredite müssen zu 10 % p. a. verzinst werden. Berechnen Sie den Vermögensendwert
der Investition, wenn der Tankstellenpächter zu Beginn der Investition
über Eigenmittel in Höhe von 50.000 EUR verfügt! Unterstellen Sie, dass
eingehende Einzahlungsüberschüsse zunächst zur Kredittilgung verwendet werden, bis der Kredit vollständig zurückgezahlt ist.
Lösung
Teilaufgabe a)
Jahr 1 Jahr 2 Jahr 3 Jahr 4 Jahr 5
Anzahl der Kunden 5.000 5.500 6.050 6.655 7.321
(Waschvorgänge )
Preis je Wasch vorgang 3,50 4,00 4,50 5,00 5,50
(EURIME)
Umsatzerlöse (EUR) 17.500 22.000 27.225 33.275 40.266
Variable Stückkosten 0,60 0,64 0,68 0,72 0,76
(EURIME)
Variable Gesamtkosten 3.000 3.520 4.ll4 4.792 5.564
(EUR)
Fixe Gesamtkosten 2.000 2.000 2.500 2.500 2.500
(EUR)
Kalkulatorische 15.000 15.000 15.000 15.000 15.000
Abschreibungen (EUR)
Kalkulatorische 6.250 6.250 6.250 6.250 6.250
Zinsen (EUR)
76 Investition in Übungen
o kalkulatorische Abschreibungen = 100.000 - 25.000 = 15.000 EUR/J ahr
5
o kalkulatorische Zinsen = 100.000 + 25.000. 0,1 = 6.250 EUR/Jahr
2
Teilaufgabe b)
o Umsatzerlöse 28.053 EUR
.I. o kalkulatorische Abschreibungen 15.000EUR
.I. o kalkulatorische Zinsen 6.250EUR
.I. o fixe Gesamtkosten 2.300EUR
.I. o variable Gesamtkosten 4.198 EUR
- o Gewinne 305 EUR > 0
Nach der Gewinnvergleichsrechnung sollte die Auto-Waschanlage angeschafft werden.
Kritik an den statischen Methoden:
- Die Kapitalbindung wird falsch eingeschätzt.
- Es werden keine genauen Zahlungszeitpunkte berücksichtigt.
- Die Zinsen werden nur grob eingerechnet.
Teilaufgabe c)
in EUR 1 2 3 4 5
Et 17.500 22.000 27.225 33.275 40.266
Ls + 25.000
At 5.000 5.520 6.614 7.292 8.064
Zt 12.500 16.480 20.611 25.983 32.202
L s + 25.000
Co = - 100.000 + 12.500 .1,1-1 + 16.480 .1,1-2 + 20.611·1,1-3 + 25.983 .1,1-4
+ 32.202·1,1-5 +25.000·1,1-5
= - 21.789,53 + 25.000 .1,1-5
= - 6.266,50 EUR
Dabei gilt:
E[: Einzahlungen zum Zeitpunkt t;
At: Auszahlungen zum Zeitpunkt t;
Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 77
Z, : Einzahlungsüberschüsse zum Zeitpunkt t;
L5 : Liquidationserlös zum Zeitpunkt t = 5;
Co: Kapitalwert zum Zeitpunkt t = O.
Da der Kapitalwert negativ ist, sollte der Tankstellenpächter die Auto-
Waschanlage nicht erwerben. Aufgrund der Einbeziehung der Zahlungszeitpunkte der einzelnen Zahlungen, insbesondere aufgrund der "späten" Einzahlungen, erhält man ein anderes Vorteilhaftigkeitsergebnis als bei Teilaufgabe b).
Teilaufgabe d)
L 5 '1,1-5 = 21.789,53 {:::} L s :::::35.092EUR
Teilaufgabe e)
Ct_ l (EUR)
Verzinsung (p. a.) Ifd. Z, bzw. Ln C,(EUR) t (EUR) i,= 0,1; ih = 0,06
1 - 100.000,00 - 5.000,00 + 12.500 -42.500,00
+ 50.000,00
= - 50.000,00
2 -42.500,00 -4.250,00 + 16.480 - 30.270,00
3 - 30.270,00 - 3.027,00 + 20.611 - 12.686,00
4 - 12.686,00 - 1.268,60 + 25.983 + 12.028,40
5 + 12.028,40 + 721,70 + 32.202 + 69.952,10
+ 25.000
Eine Finanzinvestition mit einem Habenzinssatz von 6 % p. a. weist einen
Vermögensendwert (Co) in Höhe von 66.911,28 EUR (= 50.000 . 1,065) auf.
Da der Vermögensendwert der Investition höher ist als der Vermögensendwert einer vergleichbaren Finanzinvestition, sollte der Tankstellenpächter die
Auto-Waschanlage erwerben.
78 Investition in Übungen
Aufgabe 4.11: Kapitalwertmethode
Ein Investor hat die Möglichkeit, 150.000 EUR entweder in das Investitionsprojekt A oder in das Investitionsprojekt B zu investieren. Die bei den Investitionsprojekte sind durch die folgenden Zahlungsreihen gekennzeichnet (alle
Angaben in EUR):
Investitionsprojekt A:
Periode 0 I 2 3 4
Anschaffungs- 150.000 - - - -auszahlung
Laufende 60.000 80.000 90.000 90.000 Einzahlungen
-
Laufende 20.000 30.000 40.000 50.000 Auszahlungen
-
Liquidationserlös - - - - 20.000
Investitionsprojekt B:
Periode 0 I 2 3 4
Anschaffungs- 150.000 - - - -auszahlung
Laufende 84.700 50.000 100.000 90.000 Einzahlungen
-
Laufende 20.000 20.000 40.000 80.000 Auszahlungen
-
Liquidationserlös - - - - 30.000
a) Für welches der beiden Investitionsprojekte sollte sich der Investor entscheiden, wenn er die Kapitalwertmethode verwendet und sein Kalkulationszinssatz 10% p. a. beträgt (Bezugszeitpunkt ist das Ende der Periode O)?
b) Berechnen Sie für die bei den Investitionsprojekte den Kapitalwert, wenn
der Kalkulationszinssatz 10% p. a. beträgt und als Bezugszeitpunkt das
Ende der Periode 4 gewählt wird!
Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 79
Lösung
Teilaufgabe a)
Kapitalwert des Investitionsprojekts A (COA):
COA = - 150.000 + 40.000 . 1,1-1 + 50.000 . 1,1-2 + 50.000 . 1,1-3 + 60.000
. 1,1-4
= + 6.232,50 EUR
Kapitalwert des Investitionsprojekts B (COB):
COB = -150.000 + 64.700 . 1,1-1 + 30.000 . 1,1-2 + 60.000 . 1,1-3 + 40.000
. 1,1 4
= + 6.011,00 EUR
Da der Kapitalwert des Investitionsprojekts A positiv und größer als der des
Investitionsprojekts B ist, sollte sich der Investor für das Investitionsprojekt A
entscheiden.
Teilaufgabe b)
Kapitalwert des Investitionsprojekts A zum Ende der Periode 4 (C4A):
C4A = COA . 1,1 4 = 6.232,50 . 1,1 4 = + 9.125,00 EUR
Kapitalwert des Investitionsprojekts B zum Ende der Periode 4 (C4B):
C4B = COB · 1,1 4 = 6.011,00.1,1 4 = + 8.800,71 EUR
Aufgabe 4.12: Kapitalwertmethode
Gegeben sind die folgenden Zahlungen in den Perioden 0 bis 4:
Periode 0 1 2 3 4
Einzahlungeu 100.000 150.000 200.000 250.000 300.000 inEUR
Auszahlungen 150.000 140.000 70.000 0 200.000 inEUR
Wie hoch ist der Kapitalwert (Co) bei einem Kalkulationszinssatz i von
a) 0 % p. a.,
b) 1 % p. a.,
c) 2%p.a.,
80 Investition in Übungen
d) 3%p.a.,
e) 4%p.a.,
f) 5%p.a.,
g) 6%p.a.,
h) 7%p.a.,
i) 8%p.a.,
j) 9%p.a.,
k) 10% p.a.?
Lösung
Teilaufgabe a)
Co = - 50.000 + 10.000 + 130.000 + 250.000 + 100.000 = + 440.000 EUR
Teilaufgabe b)
Co = _ 50.000 + 10.000 + 130.000 + 250.000 + 100.000
1 + 0,01 (1 + 0,01)2 Cl + 0,01)3 Cl + 0,01)4
= + 426.085,05 EUR
Teilaufgabe c)
Co = _ 50.000 + 10.000 + 130.000 + 250.000 + 100.000
1 + 0,02 (I + 0,02)2 (I + 0,02)3 (I + 0,02)4
= + 412.720,99 EUR
Teilaufgabe d)
Co = _ 50.000 + 10.000 + 130.000 + 250.000 + 100.000
1 + 0,03 (1 + 0,03)2 (1 + 0,03)3 (1 + 0,03)4
= + 399.880,33 EUR
Teilaufgabe e)
Co = _ 50.000 + 10.000 + 130.000 + 250.000 + 100.000
1 + 0,04 (I + 0,04)2 (I + 0,04)3 (I + 0,04)4
= + 387.537,20 EUR
Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung
Teilaufgabe f)
Co = _ 50.000 + 10.000 + 130.000 + 250.000 + 100.000
1 + 0,05 (1 + 0,05)2 (1 + 0,05)3 (1 + 0,05/
= + 375.667,29 EUR
Teilaufgabe g)
Co = _ 50.000 + 10.000 + 130.000 + 250.000 + 100.000
1 + 0,06 (I + 0,06)2 (I + 0,06)3 (I + 0,06)4
= + 364.247,69 EUR
Teilaufgabe h)
Co = _ 50.000 + 10.000 + 130.000 + 250.000 + 100.000
1 + 0,07 (1 + 0,07)2 (1 + 0,07)3 (1 + 0,07)4
= + 353.256,82 EUR
Teilaufgabe i)
Co = _ 50.000 + 10.000 + 130.000 + 250.000 + 100.000
1 + 0,08 (l + 0,08)2 (l + 0,08)3 (l + 0,08)4
= + 342.674,35 EUR
Teilaufgabe j)
Co = _ 50.000 + 10.000 + 130.000 + 250.000 + 100.000
1 + 0,09 (I + 0,09)2 (I + 0,09)3 (I + 0,09)4
= + 332.481,10 EUR
Teilaufgabe k)
_ 50 000 10.000 130.000 250.000 100.000 Co - - . +---+ + +----
1 + 0,10 (1 + 0,10)2 (1 + 0,10)3 (1 + 0,10)4
= + 322.658,97 EUR
81
82 Investition in Übungen
4.3 Annuitätenmethode
Aufgabe 4.13: Annuitätenmethode
Erläutern Sie die Annuitätenmethode in Stichwortform! Gehen Sie dabei auf
die Begriffe äquivalent, äquidistant und uniform ein! Stellen Sie die Bestimmungsgleichung für die Annuitätenmethode auf!
Lösung
Bei der Annuitätenmethode wird der Erfolg anhand von Periodenerfolgen und
nicht von Totalerfolgen ausgewiesen. Die ursprüngliche Zahlungsreihe wird
in eine geänderte Zahlungsreihe mit folgenden Eigenschaften transformiert:
Äquivalent: Der Kapitalwert der ursprünglichen Zahlungsreihe und der
Kapitalwert der geänderten Zahlungsreihe sind identisch.
Äquidistant: Die Zahlungen weisen denselben zeitlichen Abstand auf.
Uniform: Die Zahlungen der geänderten Reihe sind alle gleich groß.
Kapitalwert der transformierten Zahlungsreihe:
Co = IZt ·(I+i)-t
t~l
Gemäß dem Erfordernis der Uniformität im Rahmen der Annuitätenmethode
gilt:
Co =Z· I(l+i)-t =Z·RBP·(i%/nJahre) ~
t~l
Dabei gilt:
Co: Kapitalwert der Investition zum Zeitpunkt t = 0;
Zt : gleich hohe jährliche Einzahlungsüberschüsse;
i: Kalkulationszinssatz p. a.;
t: Periode (t = 1,2, ... , n);
G n : Annuität einer Investition.
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References
Zusammenfassung
Investition in Übungen.
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