72 Investition in Übungen Dies führt dazu, dass es bei unterschiedlicher Kapitalbindung, die z. B. auf unterschiedlichen Anschaffungsauszahlungen oder unterschiedlich langen Nutzungsdauern basieren kann, aufgrund der unterschiedlichen Wiederanlageprämisse der internen Zinsfußmethode bei der Vorteilhaftigkeitsentscheidung zwischen mehreren Investitionsobjekten zu anderen Rangfolgen kommen kann als bei der Kapitalwertmethode. Die Wiederanlageprämisse des internen Zinsfußes ist jedoch in sich bereits widersprüchlich, da sie einerseits davon ausgeht, dass Kapitalbeschaffung und -anlage jeweils zum internen Zinsfuß erfolgen können, andererseits aber als Vergleichsmaßstab der Kalkulationszinsfuß herangezogen wird, der genau den Zins angibt, zu dem eine Kapitalbeschaffung und -anlage alternativ erfolgen könnte. Der Vollständigkeit halber ist an dieser Stelle zu erwähnen, dass ein großer Nachteil der internen Zinsfußmethode darin liegt, dass der interne Zinsfuß nicht immer exakt bestimmt werden kann. So gibt es Situationen, in denen es keinen eindeutig bestimmbaren internen Zinsfuß gibt, sondern mehrere interne Zinsfüße nebeneinander existieren oder aber sich kein einziger interner Zinsfuß berechnen lässt. 4.2 Kapitalwertmethode Aufgabe 4.9: Kapitalwertmethode Ein in der Gummibranche tätiges Unternehmen, die Gummi AG, beabsichtigt, aufgrund eines neu gewonnenen Großkunden die jährliche Produktionsmenge an Gummiteilen zu erhöhen. Voraussetzung hierfür ist die Anschaffung einer neuen Maschine. Die zur Auswahl stehenden Maschinen A und B werden im Fall ihrer Anschaffung in den nächsten Jahren während ihrer wirtschaftlichen Nutzungsdauer folgende Zahlungsreihen verursachen: t 0 1 2 3 4 5 'LeA (TEUR) - 300 85 90 80 80 70 'LeB (TEUR) - 230 95 95 95 - - Dabei gilt: Zt: Differenz zwischen den Ein- und Auszahlungen von Maschine A bzw. von Maschine B der Periode t mit folgender Wirkung: ~ Einzahlungsüberschuss der Periode t, wenn Zt > 0 bzw. ~ Auszahlungsüberschuss der Periode t, wenn Zt < O. Der relevante Kalkulationszinssatz beträgt 10 % p. a. Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 73 a) Führen Sie einen Vergleich mit Hilfe der Kapitalwertmethode durch! b) Erklären Sie möglichst genau, welche ökonomische Bedeutung ein Kapitalwert von z. B. 100 EUR hat! c) Was halten Sie von dem Argument, dass der unter Teilaufgabe a) vorgenommene Vergleich unvollständig ist, weil sich die beiden Investitionsobjekte in Anschaffungsauszahlung, Nutzungsdauer und Zahlungsstruktur unterscheiden? Lösung Teilaufgabe a) Kapitalwert A (COA) Kapitalwert B (COB) - 300 + 85·1,1·1 + 90·1,1·2 + 80·1,1·3 + 80·1,1-4 +70·1,1·5 9,86 TEUR - 230 + 95 . RBF (10 %/3 Jahre) 113 -1 - 230 + 95 . -'-- = - 230 + 95 . 2,486852 0,1·1,13 6,25 TEUR Entscheidung: COA > COB > O. Da Maschine A einen höheren Kapitalwert als Maschine B aufweist, sollte Maschine A ausgewählt werden. Teilaufgabe b) Annahme eines Kapitalwerts von Co = 100 EUR: Co gibt den auf den Bezugszeitpunkt t = 0 bezogenen Vermögenszuwachs des Investors an, der ihm über die Tilgung seiner Anschaffungsauszahlung und die Verzinsung des eingesetzten Kapitals hinaus zu x % p. a. (gewünschte jährliche Mindestverzinsung) zufließt. Teilaufgabe c) Problematiken: I) Ergänzungsinvestition (70 TEUR); 11) Anschlussinvestitionen (4. und 5. Jahr); III) Zahlungsstrukturdifferenzen (10 TEUR im 1. Jahr, 5 TEUR im 2. Jahr, 15 TEUR im 3. Jahr). 74 Investition in Übungen Unter Zugrundelegung eines vollkommenen Kapitalmarkts ist der Vergleich vollständig, da die Kapitalwerte der Teilproblembereiche jeweils Null sind. 18 Aufgabe 4.10: Kapitalwertmethode Ein Tankstellenpächter, dessen Pachtvertrag in 5 Jahren abläuft, plant die Anschaffung einer Auto-Waschanlage zum Preis von 100.000 EUR. Wegen der technischen Ausgereiftheit von Auto-Waschanlagen rechnet er damit, in 5 Jahren noch einen Liquidationserlös von 25.000 EUR zu erzielen. Weiterhin glaubt er, schon im ersten Jahr 5.000 Kunden abfertigen und danach noch jeweils eine 10 %ige Steigerung gegenüber dem Vorjahr erreichen zu können. Als Werbepreis will er im ersten Jahr das Angebot von 3,50 EUR je Waschvorgang einführen. Doch soll der Preis zu Beginn jedes neuen Jahres um 0,50 EURje Waschvorgang angehoben werden. An fixen Gesamtkosten - vorwiegend Instandhaltungskosten - fallen 2.000 EUR in den ersten bei den und 2.500 EUR in den letzten drei Jahren an. Durch den Verbrauch an Strom, Wasser und Reinigungsmitteln fallen zudem bei jedem Waschvorgang Kosten in Höhe von 0,60 EUR an, die sich jedes Jahr wahrscheinlich um 0,04 EURje Waschvorgang vergrößern werden. Unterstellen Sie zunächst einen Kalkulationszinssatz von 10% p. a. a) Stellen sie in einem ersten Schritt anhand der folgenden Tabelle die relevanten Daten zusammen! Runden Sie hierbei Ihre Ergebnisse auf volle Euro-Beträge. Jahr 1 Jahr 2 Jahr 3 Jahr 4 Jahr 5 Anzahl der Kunden (Waschvorgänge ) Preis je Waschvorgang Umsatzerlöse Variable Stückkosten Variable Gesamtkosten Fixe Gesamtkosten Kalkulatorische Abschreibungen Kalkulatorische Zinsen 18 V gl. dazu auch Aufgabe 4.5, Teilaufgabe b), Seite 64. Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 75 b) Treffen Sie eine Investitionsentscheidung nach der Gewinnvergleichsrechnung! c) Treffen Sie eine Investitionsentscheidung nach der Kapitalwertmethode und vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit Teilaufgabe b)! Gehen Sie bei Ihrer Berechnung vereinfachend davon aus, dass sowohl die Umsatzerlöse als auch die variablen Gesamtkosten und die InstandhaItungskosten jeweils zum Ende einer Periode zahlungswirksam werden. d) Wie hoch müsste der Liquidationserlös im fünften Jahr sein, damit der Tankstellenpächter nach der Kapitalwertmethode gerade indifferent hinsichtlich seiner Entscheidung ist? e) Unterstellen Sie nunmehr, dass der Kapitalmarkt unvollkommen ist. Einzahlungsüberschüsse können zu 6 % p. a. angelegt werden, Kredite müssen zu 10 % p. a. verzinst werden. Berechnen Sie den Vermögensendwert der Investition, wenn der Tankstellenpächter zu Beginn der Investition über Eigenmittel in Höhe von 50.000 EUR verfügt! Unterstellen Sie, dass eingehende Einzahlungsüberschüsse zunächst zur Kredittilgung verwendet werden, bis der Kredit vollständig zurückgezahlt ist. Lösung Teilaufgabe a) Jahr 1 Jahr 2 Jahr 3 Jahr 4 Jahr 5 Anzahl der Kunden 5.000 5.500 6.050 6.655 7.321 (Waschvorgänge ) Preis je Wasch vorgang 3,50 4,00 4,50 5,00 5,50 (EURIME) Umsatzerlöse (EUR) 17.500 22.000 27.225 33.275 40.266 Variable Stückkosten 0,60 0,64 0,68 0,72 0,76 (EURIME) Variable Gesamtkosten 3.000 3.520 4.ll4 4.792 5.564 (EUR) Fixe Gesamtkosten 2.000 2.000 2.500 2.500 2.500 (EUR) Kalkulatorische 15.000 15.000 15.000 15.000 15.000 Abschreibungen (EUR) Kalkulatorische 6.250 6.250 6.250 6.250 6.250 Zinsen (EUR) 76 Investition in Übungen o kalkulatorische Abschreibungen = 100.000 - 25.000 = 15.000 EUR/J ahr 5 o kalkulatorische Zinsen = 100.000 + 25.000. 0,1 = 6.250 EUR/Jahr 2 Teilaufgabe b) o Umsatzerlöse 28.053 EUR .I. o kalkulatorische Abschreibungen 15.000EUR .I. o kalkulatorische Zinsen 6.250EUR .I. o fixe Gesamtkosten 2.300EUR .I. o variable Gesamtkosten 4.198 EUR - o Gewinne 305 EUR > 0 Nach der Gewinnvergleichsrechnung sollte die Auto-Waschanlage angeschafft werden. Kritik an den statischen Methoden: - Die Kapitalbindung wird falsch eingeschätzt. - Es werden keine genauen Zahlungszeitpunkte berücksichtigt. - Die Zinsen werden nur grob eingerechnet. Teilaufgabe c) in EUR 1 2 3 4 5 Et 17.500 22.000 27.225 33.275 40.266 Ls + 25.000 At 5.000 5.520 6.614 7.292 8.064 Zt 12.500 16.480 20.611 25.983 32.202 L s + 25.000 Co = - 100.000 + 12.500 .1,1-1 + 16.480 .1,1-2 + 20.611·1,1-3 + 25.983 .1,1-4 + 32.202·1,1-5 +25.000·1,1-5 = - 21.789,53 + 25.000 .1,1-5 = - 6.266,50 EUR Dabei gilt: E[: Einzahlungen zum Zeitpunkt t; At: Auszahlungen zum Zeitpunkt t; Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 77 Z, : Einzahlungsüberschüsse zum Zeitpunkt t; L5 : Liquidationserlös zum Zeitpunkt t = 5; Co: Kapitalwert zum Zeitpunkt t = O. Da der Kapitalwert negativ ist, sollte der Tankstellenpächter die Auto- Waschanlage nicht erwerben. Aufgrund der Einbeziehung der Zahlungszeitpunkte der einzelnen Zahlungen, insbesondere aufgrund der "späten" Einzahlungen, erhält man ein anderes Vorteilhaftigkeitsergebnis als bei Teilaufgabe b). Teilaufgabe d) L 5 '1,1-5 = 21.789,53 {:::} L s :::::35.092EUR Teilaufgabe e) Ct_ l (EUR) Verzinsung (p. a.) Ifd. Z, bzw. Ln C,(EUR) t (EUR) i,= 0,1; ih = 0,06 1 - 100.000,00 - 5.000,00 + 12.500 -42.500,00 + 50.000,00 = - 50.000,00 2 -42.500,00 -4.250,00 + 16.480 - 30.270,00 3 - 30.270,00 - 3.027,00 + 20.611 - 12.686,00 4 - 12.686,00 - 1.268,60 + 25.983 + 12.028,40 5 + 12.028,40 + 721,70 + 32.202 + 69.952,10 + 25.000 Eine Finanzinvestition mit einem Habenzinssatz von 6 % p. a. weist einen Vermögensendwert (Co) in Höhe von 66.911,28 EUR (= 50.000 . 1,065) auf. Da der Vermögensendwert der Investition höher ist als der Vermögensendwert einer vergleichbaren Finanzinvestition, sollte der Tankstellenpächter die Auto-Waschanlage erwerben. 78 Investition in Übungen Aufgabe 4.11: Kapitalwertmethode Ein Investor hat die Möglichkeit, 150.000 EUR entweder in das Investitionsprojekt A oder in das Investitionsprojekt B zu investieren. Die bei den Investitionsprojekte sind durch die folgenden Zahlungsreihen gekennzeichnet (alle Angaben in EUR): Investitionsprojekt A: Periode 0 I 2 3 4 Anschaffungs- 150.000 - - - -auszahlung Laufende 60.000 80.000 90.000 90.000 Einzahlungen - Laufende 20.000 30.000 40.000 50.000 Auszahlungen - Liquidationserlös - - - - 20.000 Investitionsprojekt B: Periode 0 I 2 3 4 Anschaffungs- 150.000 - - - -auszahlung Laufende 84.700 50.000 100.000 90.000 Einzahlungen - Laufende 20.000 20.000 40.000 80.000 Auszahlungen - Liquidationserlös - - - - 30.000 a) Für welches der beiden Investitionsprojekte sollte sich der Investor entscheiden, wenn er die Kapitalwertmethode verwendet und sein Kalkulationszinssatz 10% p. a. beträgt (Bezugszeitpunkt ist das Ende der Periode O)? b) Berechnen Sie für die bei den Investitionsprojekte den Kapitalwert, wenn der Kalkulationszinssatz 10% p. a. beträgt und als Bezugszeitpunkt das Ende der Periode 4 gewählt wird! Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 79 Lösung Teilaufgabe a) Kapitalwert des Investitionsprojekts A (COA): COA = - 150.000 + 40.000 . 1,1-1 + 50.000 . 1,1-2 + 50.000 . 1,1-3 + 60.000 . 1,1-4 = + 6.232,50 EUR Kapitalwert des Investitionsprojekts B (COB): COB = -150.000 + 64.700 . 1,1-1 + 30.000 . 1,1-2 + 60.000 . 1,1-3 + 40.000 . 1,1 4 = + 6.011,00 EUR Da der Kapitalwert des Investitionsprojekts A positiv und größer als der des Investitionsprojekts B ist, sollte sich der Investor für das Investitionsprojekt A entscheiden. Teilaufgabe b) Kapitalwert des Investitionsprojekts A zum Ende der Periode 4 (C4A): C4A = COA . 1,1 4 = 6.232,50 . 1,1 4 = + 9.125,00 EUR Kapitalwert des Investitionsprojekts B zum Ende der Periode 4 (C4B): C4B = COB · 1,1 4 = 6.011,00.1,1 4 = + 8.800,71 EUR Aufgabe 4.12: Kapitalwertmethode Gegeben sind die folgenden Zahlungen in den Perioden 0 bis 4: Periode 0 1 2 3 4 Einzahlungeu 100.000 150.000 200.000 250.000 300.000 inEUR Auszahlungen 150.000 140.000 70.000 0 200.000 inEUR Wie hoch ist der Kapitalwert (Co) bei einem Kalkulationszinssatz i von a) 0 % p. a., b) 1 % p. a., c) 2%p.a., 80 Investition in Übungen d) 3%p.a., e) 4%p.a., f) 5%p.a., g) 6%p.a., h) 7%p.a., i) 8%p.a., j) 9%p.a., k) 10% p.a.? Lösung Teilaufgabe a) Co = - 50.000 + 10.000 + 130.000 + 250.000 + 100.000 = + 440.000 EUR Teilaufgabe b) Co = _ 50.000 + 10.000 + 130.000 + 250.000 + 100.000 1 + 0,01 (1 + 0,01)2 Cl + 0,01)3 Cl + 0,01)4 = + 426.085,05 EUR Teilaufgabe c) Co = _ 50.000 + 10.000 + 130.000 + 250.000 + 100.000 1 + 0,02 (I + 0,02)2 (I + 0,02)3 (I + 0,02)4 = + 412.720,99 EUR Teilaufgabe d) Co = _ 50.000 + 10.000 + 130.000 + 250.000 + 100.000 1 + 0,03 (1 + 0,03)2 (1 + 0,03)3 (1 + 0,03)4 = + 399.880,33 EUR Teilaufgabe e) Co = _ 50.000 + 10.000 + 130.000 + 250.000 + 100.000 1 + 0,04 (I + 0,04)2 (I + 0,04)3 (I + 0,04)4 = + 387.537,20 EUR Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung Teilaufgabe f) Co = _ 50.000 + 10.000 + 130.000 + 250.000 + 100.000 1 + 0,05 (1 + 0,05)2 (1 + 0,05)3 (1 + 0,05/ = + 375.667,29 EUR Teilaufgabe g) Co = _ 50.000 + 10.000 + 130.000 + 250.000 + 100.000 1 + 0,06 (I + 0,06)2 (I + 0,06)3 (I + 0,06)4 = + 364.247,69 EUR Teilaufgabe h) Co = _ 50.000 + 10.000 + 130.000 + 250.000 + 100.000 1 + 0,07 (1 + 0,07)2 (1 + 0,07)3 (1 + 0,07)4 = + 353.256,82 EUR Teilaufgabe i) Co = _ 50.000 + 10.000 + 130.000 + 250.000 + 100.000 1 + 0,08 (l + 0,08)2 (l + 0,08)3 (l + 0,08)4 = + 342.674,35 EUR Teilaufgabe j) Co = _ 50.000 + 10.000 + 130.000 + 250.000 + 100.000 1 + 0,09 (I + 0,09)2 (I + 0,09)3 (I + 0,09)4 = + 332.481,10 EUR Teilaufgabe k) _ 50 000 10.000 130.000 250.000 100.000 Co - - . +---+ + +---- 1 + 0,10 (1 + 0,10)2 (1 + 0,10)3 (1 + 0,10)4 = + 322.658,97 EUR 81 82 Investition in Übungen 4.3 Annuitätenmethode Aufgabe 4.13: Annuitätenmethode Erläutern Sie die Annuitätenmethode in Stichwortform! Gehen Sie dabei auf die Begriffe äquivalent, äquidistant und uniform ein! Stellen Sie die Bestimmungsgleichung für die Annuitätenmethode auf! Lösung Bei der Annuitätenmethode wird der Erfolg anhand von Periodenerfolgen und nicht von Totalerfolgen ausgewiesen. Die ursprüngliche Zahlungsreihe wird in eine geänderte Zahlungsreihe mit folgenden Eigenschaften transformiert: Äquivalent: Der Kapitalwert der ursprünglichen Zahlungsreihe und der Kapitalwert der geänderten Zahlungsreihe sind identisch. Äquidistant: Die Zahlungen weisen denselben zeitlichen Abstand auf. Uniform: Die Zahlungen der geänderten Reihe sind alle gleich groß. Kapitalwert der transformierten Zahlungsreihe: Co = IZt ·(I+i)-t t~l Gemäß dem Erfordernis der Uniformität im Rahmen der Annuitätenmethode gilt: Co =Z· I(l+i)-t =Z·RBP·(i%/nJahre) ~ t~l Dabei gilt: Co: Kapitalwert der Investition zum Zeitpunkt t = 0; Zt : gleich hohe jährliche Einzahlungsüberschüsse; i: Kalkulationszinssatz p. a.; t: Periode (t = 1,2, ... , n); G n : Annuität einer Investition.