4 Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung
4.1 Grundlagen der dynamischen Investitionsrechnung
Aufgabe 4.1: Berechnung von Verzinsungsfaktoren12
Ermitteln Sie die Aufzinsungsfaktoren für einen Zinssatz von i = 4 % p. a. und
Verzinsungszeiträume von einem Jahr bis zu zehn Jahren (t = 1, ... , 10). Weshalb steigen diese Aufzinsungsfaktoren überproportional an? Wie wird diese
Art von Wachstum bezeichnet?
Lösung
Jahr t (l + 0,04)' Jahr t Cl + 0,04)'
1 1,040000 6 1,265319
2 1,081600 7 1,315932
3 1,124864 8 1,368569
4 1,169859 9 1,423312
5 1,216653 10 1,480244
Das überproportionale Ansteigen der Aufzinsungsfaktoren beruht auf dem
Zinseszinseffekt. Die Zinsen der einzelnen Jahre werden dem jeweils zu verzinsenden Betrag zugeschlagen. Bei diesem Sachverhalt handelt es sich um
eine geometrische Reihe.
12 Modifiziert entnommen aus Trr~ßmann, Ernst; Werkmeister, Clemens: Arbeitsbuch Investition, Stuttgart 2001, S. 7 und S. 99.
54 Investition in Übungen
Aufgabe 4.2: Zinseszinsrechnung13
a) Ein Sparkonto in Höhe von 25.300 EUR wird 8 Jahre lang mit 4,5 % p. a.
verzinst. Wie groß ist das Endvermögen?
b) Frau Neureich erwirbt ein abgezinstes Wertpapier mit einem Nominalwert
von l.000 EUR, einer Laufzeit von 6 Jahren und einem nominellen Jahreszinssatz von 4,4 %. Wie hoch ist der Kurs des Wertpapiers beim Erwerb?
c) Berechnen Sie den effektiven Jahreszinssatz, wenn Frau Neureich - siehe
Teilaufgabe b) - für den Kauf des abgezinsten Wertpapiers noch Transaktionskosten in Höhe von 2,5 %0 des Nominalwerts bezahlen muss!
d) Nach wie vielen Jahren verdoppelt sich der Betrag eines Sparkontos bei
einem Jahreszinssatz von 4,5 %?
Lösung
Teilaufgabe a)
Das Endvermögen (K n ) berechnet sich aus der Aufzinsung des Anfangsvermögens (KIJ mit dem einheitlichen Zinssatz i über n Jahre nach folgender
Gleichung:
K n =Ko·(I+i)"
Hier: Ks = 25.300 EUR· (1+ 0,045)8 = 35.979,15 EUR
Das Endvermögen beträgt nach 8 Jahren 35.979,15 EUR.
Teilaufgabe b)
Der Kurs des Wertpapiers beim Erwerb (Ko) ermittelt sich durch Umformung
der Ausgangsgleichung aus Teilaufgabe a) wie folgt:
Kn=Ko·(I+i)"
K-~
0- Cl +it
13 Geringfügig modifiziert entnommen aus Grundmann, Wolfgang: Finanz- und Versicherungsmathematik, Leipzig 1996, S. 17.
Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung
Hier: K = l.OOOEUR = 772,32 EUR
o (1 + 0,044)6
Der Kurs des Wertpapiers beim Erwerb (= Kaufpreis) beträgt 772,32 EUR.
Teilaufgabe c)
55
Die Transaktionskosten - sie führen zu einer Erhöhung des Kaufpreises des
abgezinsten Wertpapiers - betragen 2,5 %0 . 1.000 EUR = 2,50 EUR. Der effektive Jahreszinssatz ergibt sich durch Umformung der Ausgangsgleichung
aus Teilaufgabe a) und Auflösen nach dem Zinssatz i wie folgt:
K n =Ko ·(l+it
i=~-I
l.000 Hier: 6 -1 = 4,3438 % p. a.
772,32 + 2,50
Der effektive Jahreszins beläuft sich auf 4,3438 % p. a.
Teilaufgabe d)
Die Anzahl der Jahre ergibt sich durch Umformung der Ausgangsgleichung
aus Teilaufgabe a) und Auflösen nach n (Jahre) durch Verwendung des Logarithmus (In) wie folgt:
K n =Ko ·(l+it
I Kn nn= Ko
In Cl + i)
2 In-
Hier: K n = 2· K o => n = __ I - = 15,75 Jahre
In 1,045
Nach 15 Jahren und 9 Monaten hat sich der Betrag des Sparkontos verdoppelt.
56 Investition in Übungen
Aufgabe 4.3: Zinseszins rechnung und Zinssätze
Herr Sparsam erbt am 01.01.06 12.000 EUR, die er gleich zur Bank bringt
und anlegt. Es wird ein nomineller jährlicher Zinssatz von 6 % vereinbart.
Welchen Wert wird die Erbschaft am 31.12.16 haben, wenn die Bank
a) eine einfache Verzinsung bzw.
b) eine Zinseszinsrechnung
zusagt und die Verzinsung bei Letzterer alternativ jährlich, vierteljährlich,
monatlich bzw. kontinuierlich vorgenommen wird? Wie groß sind die effektiven Jahreszinssätze bei monatlicher und vierteljährlicher Verzinsung?
Lösung
Teilaufgabe a)
Einfache Verzinsung:
K n = Ko + Ko . i + Ko . i + ... + Ko . i
K n = Ko + n· Ko . i = Ko . (l + n· i)
Dabei gilt:
K ll : Kapitalwert der Investition nach n Jahren;
Ko: Anfangsvermögen;
i : Zinssatz p. a.;
n: Jahre.
K jj = 12.000EUR· (l + 11· 0,06) = 19.920 EUR
Teilaufgabe b)
Jährliche Verzinsung:
K j = Ko + Ko . i = Ko . Cl + i)
K 2 =KJ·(l+i) =Ko ·(l+i)2
K n =Ko .(l+i)n=Ko .qn
Dabei gilt:
qll: Aufzinsungsfaktor.
K[[ = 12.000EUR· (I +0,06t = 22.779,58 EUR
Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 57
Vierteljährliche Verzinsung:
Kn = Ko -(1+ ~ r In
Dabei gilt:
m : Anzahl der Zinszuschlagstermine.
( 006)11'4 K ll = 12.000EUR· 1 +---':i- = 23.104,00 EUR
Monatliche Verzinsung:
( 006)11'12 K)) =12.000EUR· l+-t- =23.179,36 EUR
Kontinuierliche/stetige Verzinsung:
K n =Ko{l~(l+ ~rr =Ko·ein
Dabei gilt:
e: Eulersche Zahl (= 2,71828 ... ).
K ll = 12.000EUR ·eO,0611 = 23.217,51 EUR
Berechnung des effektiven lahreszinses (iett) bei vierteljährlicher Verzinsung:
KO'(1+icff)=Ko-(l+ ~r
i .. = 1+~ -1= 1+-'- -1",6,1364 % p.a. ( .)m (006)4
eft m 4
Berechnung des effektiven lahreszinses (ieff) bei monatlicher Verzinsung:
( .)m (006)12 i etT = 1+ ~ -1= l+-t- -1",6,1678 % p.a.
58 Investition in Übungen
Aufgabe 4.4: Rentenrechnung14
a) Der Käufer einer Villa hat sich verpflichtet, 30 Jahre lang jeweils zum
Jahresende (nachschüssig) eine Rente von 15.000 EUR an den Verkäufer
zu entrichten. Welchem Barwert bzw. Endwert entspricht diese Zahlungsform, wenn ein Zinssatz von 6 % p. a. unterstellt wird?
b) Herr Spar zahlt jährlich 2.300 EUR auf ein Konto ein. Vereinfachend
wird unterstellt, dass der Zeitpunkt der jährlichen Zinszahlung stets mit
dem Zeitpunkt der jährlichen Einzahlung übereinstimmt. Welcher (durchschnittliche effektive) Zinssatz wurde erzielt, wenn nach 2 Jahren 4.800
EUR zur Verfügung stehen?
c) Frau Konto spart jedes Jahr 4.000 EUR. Die Einzahlung erfolgt jeweils
zum Ende eines Jahres. Mit dem Kreditinstitut wird ein langfristiger Zinssatz von 5 % p. a. vereinbart. Nach wie vielen Jahren wird die Spargrenze
von 100.000 EUR erreicht?
d) Herr Haben verfügt über ein Guthaben von 160.000 EUR. Welche jährliche Rentenzahlung könnte er bei einem Zinssatz von 5 % p. a. bei Vereinbarung einer ewigen Rente erhalten?
Lösung
Teilaufgabe a)
Ermittlung des Barwerts der Rente (Ko):
K =a.(l+it-1
o . (1 ')Il l' +1
Dabei gilt:
Ko: Barwert der Rente;
a : Jährliche Rente;
i: Zinssatz p. a.;
n: Jahre.
14 Modifiziert entnommen aus Grundmann, Wolf gang: Finanz- und Versicherungsmathematik, Leipzig 1996, S. 32-34.
Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung
Hier: K = 15.000 EUR. (1 + 0,06)30 -1 206.472 47 EUR
o 0,06 . (1 + 0,06)30 ,
Der Barwert der Rente beträgt 206.472,47 EUR.
Ermittlung des Endwerts der Rente (Kn):
K =a. (I+i)n -1
n .
I
Dabei gilt:
K n : Endwert der Rente;
a : Jährliche Rente;
i: Zinssatz p. a.;
n: Jahre.
. (1+0,06fo-1
HIer: K30 = 15.000 EUR· = 1.185.872,79 EUR - 0,06
Der Endwert der Rente beträgt 1.185.872,79 EUR.
Teilaufgabe b)
59
Gegeben ist ein nachschüssiger Rentenendwert in Höhe von 4.800 EUR. Es
wurden 2 Raten zu je 2.300 EUR eingezahlt.
Ermittlung des durchschnittlichen effektiven Zinssatzes (i):
(I+i)" -I Kn
Hier:
a
4. 800 EUR
2.300EUR
1+2·i+i2 -1 4.800EUR 2+i 4.800EUR {::::> {::::>--=----
2.300EUR 1 2.300EUR
{::::> i = 4.800EUR - 2 = 0,086957 = 8,6957 % p. a.
2.300EUR
Es wurde von Herrn Spar ein (durchschnittlicher effektiver) Zinssatz von ungefähr 8,6957 % p. a. erzielt.
60 Investition in Übungen
Teilaufgabe c)
In(Kn·i+IJ
(I+i)"-I a
K = a . {::::} n = -"------.:...
n i In(l+i)
In(100.000.0,05 +IJ
Hier: n = 4.000 = 16,62 Jahre
ln(l +0,05)
Nach 16 Jahren ist die Spargrenze von 100.000 EUR noch nicht erreicht. Nach
17 Jahren wird die Spargrenze von 100.000 EUR überschritten.
Teilaufgabe d)
K =a.(I+i)"-1
o . (I .)n 1· +1
K=a.[~.(I+i)"_ 1 ]
o i (I+i)" i.(I+i)"
lim K = a .l~. (I + i)" _ I j
H= 0 i~ ~
1 -->0
I
K =a·-o .
1
Hier: a = Ko . i = 160.000 EUR· 0,05 = 8.000 EURlJahr
Herr Haben könnte eine ewige Rente in Höhe von 8.000 EUR/Jahr erhalten.
Aufgabe 4.5: Klassische Verfahren der dynamischen
Investitionsrechnung
a) Erläutern Sie die Kapitalwertmethode, die Annuitätenmethode sowie die
Methode des internen Zinsfußes und geben Sie jeweils die Definitionsgleichung und das Vorteilhaftigkeitskriterium an!
b) Schildern Sie die wesentlichen Mängel, die den klassischen Verfahren der
dynamischen Investitionsrechnung anhaften!
Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 61
Lösung
Teilaufgabe a)
Bei den dynamischen Verfahren der Investitionsrechnung wird die Vorteilhaftigkeit einer Investition über deren gesamte Lebensdauer hinweg betrachtet.
Es erfolgt keine Bildung von Periodendurchschnittswerten. Die im Zeitablauf
jeweils schwankenden Einzahlungen bzw. Einnahmen und Auszahlungen
bzw. Ausgaben werden auf einen festgelegten Investitionszeitpunkt diskontiert. Eine synonyme Verwendung dieser beiden Begriffspaare ist allerdings
nur dann erlaubt, wenn durch Kreditbewegungen keine zeitlichen Verwerfungen zwischen den Zahlungsmittel- und Geldvermögensveränderungen auftreten.
Kapitalwertmethodel5
Im Rahmen der Kapitalwertmethode wird jede Investition durch eine bestimmte Zahlungsreihe repräsentiert. Der Kapitalwert einer Investition entspricht dem Barwert dieser Zahlungsreihe, also der Summe aller mit einem
Kalkulationszinssatz i auf den Zeitpunkt t = 0, den Investitionszeitpunkt, abgezinsten Ein- und Auszahlungen, die durch das Investitionsprojekt ausgelöst
werden; er stellt demnach den durch die Investition verursachten Vermögenszuwachs, bezogen auf t = 0, dar.
Definitionsgleichung der Kapitalwertmethode:
Die Summe aller Barwerte der durch ein Investitionsvorhaben verursachten
Zahlungen wird als Kapitalwert Co dieser Investition bezeichnet:
Dabei gilt:
Co : Kapitalwert der Investition;
E,: Einzahlungen der Periode t;
At: Auszahlungen der Periode t;
Zt : Differenz zwischen den Ein- und Auszahlungen der Periode t
mit folgender Wirkung:
15 Vg!. Bieg, Hartmut; Kußmaul, Heinz: Investition, 2. Auf!., München 2009, Kapitel
2.3.2.
62 Investition in Übungen
~ Einzahlungsüberschuss der Periode t, wenn Zl > 0 bzw.
~ Auszahlungsüberschuss der Periode t, wenn Zt < 0;
i : Kalkulationszinssatz;
n: Nutzungsdauer des Investitionsobjekts;
t: Periode (t = 0, 1,2, ... , n).
Die folgende Darstellung berücksichtigt explizit, dass
zum Zeitpunkt t = 0 bei Realisierung der Investition keine Einzahlungen
vorliegen (Eo = 0 und damit Zo = Ao),
am Ende der Nutzungsdauer eine Liquidationseinzahlung (ein Liquidationserlös) bzw. eine Liquidationsauszahlung (z. B. Abbruch- und/oder Entsorgungskosten) anfallen kann (Ln> 0 bzw. Ln< 0).
Es ergibt sich daher folgende abgewandelte Formel:
n Zt Ln Co =-Ao + I ---+---t~l Cl + i)t Cl + i)n
Dabei gilt:
Ao: Anschaffungsauszahlung im Zeitpunkt t = 0;
Ln: Liquidationseinzahlung (Liquidationserlös), falls Ln > 0 bzw. Liquidationsauszahlung, falls Ln < O.
Im Falle der Fremdfinanzierung der Investition entspricht der Kalkulationszinssatz dem tatsächlich zu zahlenden effektiven Sollzinssatz. Bei Eigenfinanzierung sind die Eigenkapitalkosten im Sinne von Opportunitätskosten als
Kalkulationszinssatz heranzuziehen.
Nach der Kapitalwertmethode ist ein einzelnes Investitionsprojekt dann vorteilhaft, wenn sein Kapitalwert größer als Null ist. Von mehreren zur Verfügung stehenden Investitionsalternativen ist diejenige für den Investor am
günstigsten, die den größten positiven Kapitalwert besitzt.
Annuitätenmethode16
Auch bei der Annuitätenmethode, die eine Variante der Kapitalwertmethode
darstellt, wird in einem ersten Schritt der Kapitalwert ermittelt. Dieser wird
dann in einem zweiten Schritt mit Hilfe des Kapitalwiedergewinnungsfaktors
in eine Annuität, also eine äquivalente, äquidistante und uniforme Zahlungs-
16 Vgl. Bieg, Hartrnut; Kußmaul, Heinz: Investition, 2. Aufl., München 2009, Kapitel
2.3.2.
Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 63
reihe, transformiert. Die Annuität kann als der durch die Investition verursachte Einkommenszuwachs verstanden werden, also als der Betrag, der neben
Tilgung und Verzinsung in jeder Periode verfügbar ist.
Definitionsgleichung der Annuitätenmethode:
G =I~' i·{l+i}" =C ·KWF
" l ~() (l+i)' {l+i)"-l 0
Dabei gilt:
G" : Annuität bei einer Nutzungsdauer von n Jahren;
Co: Kapitalwert der Investition;
Zt : Differenz zwischen den Ein- und Auszahlungen der Periode t
mit folgender Wirkung:
~ Einzahlungsüberschuss der Periode t, wenn Zt > 0 bzw.
~ Auszahlungsüberschuss der Periode t, wenn Zt < 0;
i : Kalkulationszinssatz;
n : Nutzungsdauer des Investitionsobjekts;
t: Periode (t = 0, I, 2, ... , n);
KWF: Kapitalwiedergewinnungsfaktor.
Eine einzelne Investition ist nach dieser Methode vorteilhaft, wenn ihre Annuität größer als Null ist. Von mehreren alternativen Handlungsmöglichkeiten
des Investors ist diejenige mit der größten positiven Annuität vorzuziehen. Bei
mehreren Handlungsmöglichkeiten ist zu beachten, dass die in den Vergleich
einbezogenen Projekte dieselbe Nutzungsdauer aufweisen.
Methode des internen Zinsfußes17
Bei der Methode des internen Zinsfußes wird die effektive Verzinsung des
jeweils gebundenen Kapitals ermittelt. Die Methode des internen Zinsfußes
stellt eine Abwandlung der Kapitalwertmethode dar, indem nicht von einem
gegebenen Kalkulationszinssatz ausgegangen wird, sondern derjenige Diskontierungszinsfuß gesucht wird, der zu einem Kapitalwert von Null führt. Ein
Kapitalwert von Null bedeutet eine Identität zwischen dem Barwert der Einzahlungsreihe und dem Barwert der Auszahlungsreihe.
17 Vg!. Bieg, Hartmut; Kußmaul, Heinz: Investition, 2. Auf!., München 2009, Kapitel
2.3.2.
64 Investition in Übungen
Definitionsgleichung des internen Zinsfußes:
± Zt . (1 + r)-t = 0
t=O
Dabei gilt:
Zt: Einzahlungs- bzw. Auszahlungsüberschuss der Periode t;
r : Interner Zinsfuß;
n: Nutzungsdauer des Investitionsobjekts;
t: Periode (t = 0, 1,2, ... , n).
Der interne Zinsfuß r ist dem gegebenen Kalkulationszinssatz i (Vergleichsalternative) gegenüberzustellen. Liegt der interne Zinsfuß über dem Mindestzinsfuß i, der erzielt werden soll, so ist die Investition vorteilhaft. Bei einem
Vergleich mehrerer Alternativen ist diejenige Investition am vorteilhaftesten,
die den höchsten internen Zinsfuß aufweist, sofern dieser gleichzeitig größer
als der Mindestzinsfuß i ist.
Teilaufgabe b)
Bei den dynamischen Investitionsrechnungsverfahren ergeben sich Probleme,
wenn die zu vergleichenden Investitionen keine vollständigen Alternativen
darstellen, weil die Lebensdauern der einzelnen Investitionsobjekte unterschiedlich lang sind und/oder weil die Anschaffungsauszahlungen der einzelnen Investitionsobjekte unterschiedlich hoch sind.
Diese beiden Probleme werden bei den verschiedenen dynamischen Investitionsrechnungsverfahren durch unterschiedliche Wiederanlageprämissen
"gelöst". Dabei handelt es sich um Unterstellungen, wie sich alle Zahlungs-
überschüsse, Ergänzungs- und Anschlussinvestitionen verzinsen. Bei der Kapitalwertmethode - und damit auch bei der Annuitätenmethode - wird unterstellt, dass eine "Wiederanlage" zum Kalkulationszinssatz erfolgt. Gilt
diese Prämisse, was insbesondere bei Gültigkeit der Prämisse des vollkommenen Kapitalmarktes zutreffen wird, so ist sichergestellt, dass die in einen Vergleich einzubeziehenden Alternativen vollständig sind, denn sowohl Differenzen in der Höhe des gebundenen Kapitals als auch Differenzen hinsichtlich
der Nutzungsdauern sind dann ohne Einfluss auf die Kapitalwerte der Projekte
und damit auf das Entscheidungskriterium der Kapitalwertmethode. Ergänzungs- und Anschlussinvestitionen können nur zu einem jährlichen Wertzuwachs in Höhe ihres Betrages multipliziert mit dem Kalkulationszinssatz führen. Genau diese Verzinsung wird aber durch die Diskontierung mit dem Kalkulationszinssatz auf den Zeitpunkt t = 0 wieder rückgängig gemacht, so dass
der entsprechende Differenzkapitalwert immer gleich Null ist.
Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 65
Ein zweites Problem ergibt sich daraus, dass in einem Betrieb i. d. R. mehrere
Investitionen gleichzeitig oder zeitlich gestaffelt realisiert werden sollen. Bei
der Untersuchung eines einzelnen Vorhabens weiß man jedoch noch nicht,
welche Investitionsvorhaben sich insgesamt in der Planungsperiode als vorteilhaft erweisen werden. Somit kennt man den Gesamtkapitalbedarf noch
nicht, weiß damit auch nicht, welche Finanzierungsform zu welchen Konditionen in Frage kommt. Damit fehlt aber eine wichtige Basis zur Ermittlung der
durch die Investition verursachten zusätzlichen oder entgangenen Zinsen und
somit auch zur Bestimmung des Kalkulationszinssatzes. Auch dieses Problem
"lösen" die Prämissen des vollkommenen und unbeschränkten Kapitalmarkts.
Diese sehr starke Vereinfachung ist allerdings nur zulässig, wenn der Zinssatz
für aufzunehmendes Kapital zumindest annähernd gleich dem für anzulegendes Kapital ist. Da dies in der Realität im Allgemeinen nicht der Fall ist, ist
das Ergebnis der Kapitalwertmethode nur noch als grober Anhaltspunkt anzusehen und nicht mehr in jedem Fall richtig.
Die Kapitalwertmethode steht und fällt denmach mit der Wiederanlage- und
den Kapitalmarktprämissen. Ihre Nachteile beruhen primär auf diesen - häufig
unrealistischen - Unterstellungen.
Die Annuitätenmethode als eine Modifikation der Kapitalwertmethode baut
auf deren Prämissen auf. Dementsprechend gelten grundsätzlich dieselben
Kritikpunkte. Zusätzlich kommen folgende Nachteile hinzu:
Die Annuitätenmethode erfordert einen zusätzlichen Rechenaufwand, da in
einem ersten Schritt ohnehin die Kapitalwerte der Investitionsalternativen
zu bestimmen sind.
Die Annuitätenmethode birgt die Gefahr von Fehlentscheidungen, wenn
Investitionsobjekte mit unterschiedlichen Lebensdauern anhand ihrer auf
die jeweilige Projektdauer berechneten Annuitäten verglichen werden.
Die Mängel der Methode des internen Zinsfußes liegen nicht nur in der
mangelnden Interpretierbarkeit ihrer Ergebnisse (als Effektivverzinsung oder
Gesamtkapitalrentabilität), sondern auch in ihrer Wiederanlageprämisse. Hier
wird die "Wiederanlage" jeweils zum internen Zinsfuß des betrachteten Investitionsprojekts unterstellt, so dass sich Zahlungsüberschüsse, Ergänzungs- und
Anschlussinvestitionen bei jedem Investitionsprojekt in unterschiedlicher
Weise auswirken. Technische Voraussetzungen für die Gültigkeit dieser Prämisse sind zum einen die mehrmalige gleichzeitige, aber auch spätere Durchführung des Projekts sowie zum anderen die beliebige Teilbarkeit des Projekts
bei gleicher interner Rendite - eine üblicherweise nicht erfüllte Voraussetzung. Die Wiederanlageprämisse wird dubios, sobald mehrere Investitionsprojekte mit verschiedenen internen Zinsfüßen beurteilt werden sollen.
66 Investition in Übungen
Ein weiteres Problem der Methode des internen Zinsfußes besteht darin, dass
zuweilen keine oder nur eine nicht eindeutige Bestimmung des internen Zinsfußes möglich ist.
Aufgabe 4.6: Gemeinsamkeiten der dynamischen
Verfahren
Skizzieren Sie in Stichwortform die Gemeinsamkeiten der dynamischen Verfahren der Investitionsrechnung!
Lösung
Die Gemeinsamkeiten der dynamischen Verfahren der Investitionsrechnung
sind darin zu sehen, dass
erstens Zahlungsgrößen und keine periodisierten Erfolgsgrößen heranzuziehen sind,
zweitens regelmäßig ein einheitlicher Zahlungs zeitpunkt zu Grunde gelegt
wird, wobei typischerweise mit nachschüssigen, d. h. am Ende einer Periode anfallenden Zahlungen gerechnet wird,
drittens ein einheitlicher Bezugszeitpunkt gewählt werden muss, der bei
den meisten Verfahren am Beginn der Zahlungsreihe, zum Teil aber auch
zu anderen Zeitpunkten wie dem Ende des Zahlungszeitraums liegt, und
viertens mit einem Kalkulationszinssatz alle Zahlungen auf einen einheitlichen Bezugszeitpunkt auf- oder abgezinst und damit vergleichbar gemacht werden.
Aufgabe 4.7: Kalkulationszinssatz und Kapitalwert
Stellen Sie für eine typische Sachinvestition den funktionalen Zusammenhang
zwischen der Höhe des Kalkulationszinssatzes und dem Kapitalwert grafisch
dar und interpretieren Sie die Schnittstellen des entsprechenden Graphen mit
der Ordinate und der Abszisse!
Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 67
Lösung
Eine typische Sachinvestition ist dadurch gekennzeichnet, dass
ihre Zahlungsreihe mit einer einzelnen Auszahlung oder mit mehreren Auszahlungen beginnt, auf die dann nur noch Einzahlungsüberschüsse folgen,
für sie zumindest an der Stelle i = 0 der Kapitalwert Co positiv ist, die einfache Summe der Einzahlungen also höher ist als die der Auszahlungen
(Deckungskriterium), und
am Ende der Nutzungsdauer eine Liquidationseinzahlung (ein Liquidationserlös) bzw. eine Liquidationsauszahlung (z. B. Abbruchkosten) anfallen
können, d. h. Ln > 0 bzw. Ln< o.
Sind die mit einer Sachinvestition zusammenhängenden Ein- und Auszahlungen bei einer angenommenen Nutzungsdauer gegeben, so ergibt sich der entsprechende Kapitalwert Co als eine lediglich vom Kalkulationszinssatz i abhängige Größe. Dieser stellt bei einer Entscheidung über ein einzelnes Investitionsprojekt die Vergleichsaltemative dar, da vorhandenes Eigenkapital zu
diesem Zinssatz angelegt werden kann bzw. bei einem Verzicht auf Aufnahme
zusätzlichen Fremdkapitals entsprechend geringere Zinszahlungen entstehen.
Mit fallendem Kalkulationszinssatz steigt der Kapitalwert einer Investition,
mit steigendem Kalkulationszinssatz fällt er unter sonst gleichen Gegebenheiten.
Kapitalwertfunktion:
C (.) A Ln z, Ln 1 =- + ---+---
Ü Ü (1 .)t (1 .)n t = 1 +1 +1
Dabei gilt:
CO: Kapitalwert der Investition;
i: Kalkulationszinssatz;
Ao : Anschaffungsauszahlung im Zeitpunkt t = 0;
Zt : Zahlungsüberschuss der Periode t mit Zt > 0 oder Zt < 0;
Ln: Liquidationseinzahlung (Liquidationserlös), falls Ln > 0 oder Liquidationsauszahlung, falls Ln < 0;
t: Periode (t = 1,2, ... , n);
n : Nutzungsdauer des Investitionsobjekts.
68 Investition in Übungen
Grafische Darstellung:
Co (EUR)
o
Abbildung 5:
s
i (p.a.)
Verlauf der Kapitalwertfunktion einer typischen Sachinvestition
Der Verlauf der Kapitalwertfunktion einer typischen Sachinvestition kann
dabei folgendermaßen charakterisiert werden:
Die Kapitalwertfunktion hat mit wachsendem Kalkulationszinssatz einen degressiven Verlauf. An der Stelle, an der die Kapitalwertfunktion die Ordinate
schneidet (Punkt P), also bei einem Kalkulationszinssatz von Null, hat sie einen Wert, der den aufsummierten nicht abgezinsten Ein- und Auszahlungen
entspricht:
n
Also: Co(O) = - Ao + IZ t + Ln
l ~l
Entsprechend dem oben vorausgesetzten Deckungskriterium ist der Kapitalwert an dieser Stelle positiv.
Der Schnittpunkt der Kapitalwertfunktion mit der Abszisse (Punkt S) bezeichnet den Wert, an dem der Kalkulationszinssatz dem internen Zinsfuß dieser Investition entspricht. Der Kapitalwert beträgt hier Null.
Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 69
Aufgabe 4.8: Dynamische Investitionsrechenverfahren
a) Stellen Sie die Gemeinsamkeiten und Besonderheiten der verschiedenen
dynamischen Investitionsrechenverfahren dar! Gehen Sie dabei auf die
Zahlungsgrößen, den Zahlungszeitpunkt, den Bezugszeitpunkt und den
Kalkulationszinssatz ein!
b) Kritisieren Sie kurz die Methode des internen Zinsfußes!
Lösung
Teilaufgabe a)
1. Zahlungsgrößen und Zahlungszeitpunkt:
Alle dynamischen Investitionsverfahren gehen von dem pagatorischen Investitionsbegriff aus, d. h., sie orientieren sich an den durch das Investitionsobjekt hervorgerufenen Zahlungsströmen. Die Berücksichtigung der unterschiedlichen Zahlungszeitpunkte erfolgt durch den Zinssatz. Dieser ist Ausdruck der Zeitpräferenz des Investors, denn dieser schätzt einen heute verfügbaren Geldbetrag i. d. R. höher ein als einen gleich hohen Betrag, der ihm erst
später zur Verfügung steht. Liquidität bedeutet Konsummöglichkeiten, daher
wird der Zins auch als Preis für entgangene anderweitige Nutzungsmöglichkeiten, als Entgelt für den Konsumverzicht bzw. als Ausdruck der Liquiditätspräferenz des Investors bezeichnet. Eine Auszahlung, die der Investor heute
tätigen muss, trifft ihn also härter als eine Auszahlung, die erst in der darauf
folgenden Periode erfolgen muss. Aus diesem Grund müssen die zu unterschiedlichen Zeitpunkten anfallenden Ein- und Auszahlungen mit Hilfe des
Zinses auf einen einheitlichen Bezugszeitpunkt bezogen werden, um vergleichbar gemacht zu werden.
Um die angesprochene Zins wirkung exakt zu berücksichtigen, müssten die
Zahlungen eigentlich taggenau erfasst werden. Dies würde die Investitionsrechnung allerdings u. U. sehr arbeitsaufwendig machen. Zudem ist es bei den
meisten Investitionsobjekten nur schwer möglich, die tatsächlichen Zeitpunke
der Ein- und Auszahlungen im Voraus exakt zu bestimmen, wie dies z. B. bei
einem festverzinslichen Wertpapier möglich ist. Die tatsächlichen Zeitpunkte
der Ein- und Auszahlungen müssen häufig ebenso wie ihre tatsächliche Höhe
geschätzt werden. Daher hat man folgende sinnvolle Vereinfachungen für die
Rechnungen vereinbart. Man unterteilt den gesamten zu betrachtenden Investitionszeitraum in Perioden. In der Regel entspricht eine Periode einem Jahr.
Man kann jedoch auch kürzere Perioden (Monate, Quartale) oder längere Perioden (S-Jahreszeiträume) wählen.
70 Investition in Übungen
Man unterstellt sodann, dass die einzelnen Einzahlungen (Et) und Auszahlungen (At) einer Periode jeweils zum gleichen Zeitpunkt anfallen. In der Mehrzahl der Fälle ist dies das Periodenende. Man bezeichnet eine auf dieser Prämisse beruhende Rechnung als nachschüssig. Man kann allerdings auch die
Annahme treffen, dass die Zahlungen zu Beginn der einzelnen Perioden anfallen. In diesem Fall handelt es sich dann um eine vorschüssige Rechnung. Im
Folgenden wird nur auf die nachschüssige Rechnung eingegangen.
Aufgrund dieser getroffenen Annahme können die Ein- und Auszahlungen
einer Periode problemlos miteinander saldiert werden, so dass zur Rechnungsvereinfachung nur die saldierten Nettozahlungen (Zt = Et - At) in die
Rechnung einfließen. Sind die Nettozahlungen positiv (Zt > 0), so liegt ein
Überschuss der Einzahlungen über die Auszahlungen vor. Man spricht dann
von einem Einzahlungsüberschuss. Bei negativen Nettozahlungen (Z[ < 0)
besteht ein Überschuss der Auszahlungen über die Einzahlungen. Dieser wird
als Auszahlungsüberschuss bezeichnet.
2. Bezugszeitpunkt:
Wie bereits erwähnt, müssen die zu unterschiedlichen Zeitpunkten anfallenden Nettozahlungen durch Auf- bzw. Abzinsung auf einen Bezugszeitpunkt
vergleichbar gemacht werden, um zu einer einheitlichen Beurteilungsgröße
zusammengefasst werden zu können. Mit Hilfe dieser Beurteilungsgröße kann
dann sowohl über die absolute Vorteilhaftigkeit eines einzelnen Investitionsobjektes als auch über die relative Vorteilhaftigkeit mehrerer Investitionsaltemativen entschieden werden.
Der Bezugszeitpunkt kann beliebig gewählt werden. Er hat selbst keinen
Einfluss auf die Entscheidung der Vorteilhaftigkeit der Investition. Üblich
ist es jedoch, die einzelnen Zahlungen auf den Anfang oder das Ende des Planungszeitraumes ab- bzw. aufzuzinsen. Wählt man das Ende des Planungszeitraumes, so erhält man den Endwert einer Investition, der den Betrag
ausdrückt, um den das Endvermögen des Investors aufgrund dieser Investition
höher sein wird als ohne ihre Realisation.
Wählt man hingegen als Bezugszeitpunkt den Beginn eines Planungszeitraumes, so erhält man den Kapitalwert einer Investition. Dieser Wert
drückt den Betrag aus, um den der Gegenwartswert des Vermögens des Investors aufgrund der Investition ansteigt. Beide Größen entsprechen dem Ziel des
Vermögensstrebens des Investors, zum einen der Maximierung des Endwertes
des Vermögens ohne zwischenzeitliche Entnahmen des Investors und zum
anderen der Maximierung des Gegenwartswertes des Vermögens, wenn in
Zukunft keine weiteren Entnahmen während des Planungszeitraumes getätigt
werden.
Am häufigsten wählt man in der Praxis die Abzinsung auf den Beginn des
Investitionsprojekts; man erhält so den Kapitalwert der Investition.
Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 71
3. Kalkulationszinssatz:
Die Auf- bzw. Abzinsung der Nettozahlungen erfolgt mit einem speziellen
Zinssatz, dem Kalkulationszinssatz i.
Die Wahl des Kalkulationszinssatzes ist dabei von entscheidendem Einfluss
auf das Ergebnis der Investitionsrechnung, weshalb seiner Festlegung große
Bedeutung zukommt.
Die Frage der Ermittlung des Kalkulationszinsfußes wird in der Literatur z. T.
heftig diskutiert. Aus Vereinfachungsgründen leitet man ihn in der Praxis von
den tatsächlich anfallenden Kapitalkosten ab. So entspricht er bei einer Finanzierung der Investition durch Fremdkapital dem tatsächlich zu zahlenden
Fremdkapitalzins, d. h. dem effektiven Sollzins bzw. dem Kapitalmarktzins
für aufzunehmende Gelder entsprechender Fristigkeit; bei einer Finanzierung
der Investition durch neues Eigenkapital entspricht er der Rendite einer Alternativanlage. Liegt eine Mischfinanzierung aus Eigen- und Fremdkapital vor,
so ist dementsprechend ein Mischzinssatz zu ermitteln.
Steht ausreichend Eigenkapital für die Realisierung der Investition zur Verfügung, so geht man vom Habenzinssatz aus, sofern das zur Verfügung stehende
Kapital nicht besser zur Tilgung von Fremdkapital verwendet werden sollte.
In der Regel geht man in den Rechnungen davon aus, dass der Zinssatz über
den Planungszeitraum konstant bleibt. Man kann allerdings auch einen variablen Zinssatz unterstellen. In diesem Fall muss der konstante Zinssatz i
durch den zeitabhängigen variablen Zinssatz it ersetzt werden. Die Rechnung
wird dadurch allerdings etwas umständlicher.
Teilaufgabe b)
Der interne Zinsfuß wird oft als Rendite bzw. Effektivverzinsung des jeweils
gebundenen Kapitals interpretiert. Somit verbessert eine Investition die Konsummöglichkeiten des Investors, wenn im Falle der Fremdfinanzierung der
interne Zinsfuß größer als der Kreditzins ist bzw. wenn mindestens die Eigenkapitalkosten gedeckt sind. Diese Interpretation des internen Zinssatzes bzw.
des kritischen Zinssatzes verkennt, dass auch bei der Methode des internen
Zinsfußes die Wiederanlageprämisse gilt. Anders als bei der Kapitalwertmethode wird hier allerdings nicht davon ausgegangen, dass jeglicher Geldbetrag
zum Kalkulationszinsfuß angelegt bzw. aufgenommen werden kann, sondern
bei dieser Methode geschieht dies zum internen Zinssatz. Dies birgt mehrere
Probleme in sich. So ist es nicht nur zweifelhaft, ob z. B. überschüssige Beträge tatsächlich zu einem im Vergleich mit dem Kapitalmarktzins evtl. sehr hohen internen Zins wieder angelegt werden können. Auch leidet insbesondere
die Vergleichbarkeit der Investitionsobjekte darunter, dass die Wiederanlageprämisse bei jedem Objekt mit einem anderen Zinssatz erfolgen kann.
72 Investition in Übungen
Dies führt dazu, dass es bei unterschiedlicher Kapitalbindung, die z. B. auf
unterschiedlichen Anschaffungsauszahlungen oder unterschiedlich langen
Nutzungsdauern basieren kann, aufgrund der unterschiedlichen Wiederanlageprämisse der internen Zinsfußmethode bei der Vorteilhaftigkeitsentscheidung zwischen mehreren Investitionsobjekten zu anderen Rangfolgen kommen kann als bei der Kapitalwertmethode.
Die Wiederanlageprämisse des internen Zinsfußes ist jedoch in sich bereits
widersprüchlich, da sie einerseits davon ausgeht, dass Kapitalbeschaffung
und -anlage jeweils zum internen Zinsfuß erfolgen können, andererseits aber
als Vergleichsmaßstab der Kalkulationszinsfuß herangezogen wird, der genau
den Zins angibt, zu dem eine Kapitalbeschaffung und -anlage alternativ erfolgen könnte. Der Vollständigkeit halber ist an dieser Stelle zu erwähnen, dass
ein großer Nachteil der internen Zinsfußmethode darin liegt, dass der interne
Zinsfuß nicht immer exakt bestimmt werden kann. So gibt es Situationen, in
denen es keinen eindeutig bestimmbaren internen Zinsfuß gibt, sondern mehrere interne Zinsfüße nebeneinander existieren oder aber sich kein einziger
interner Zinsfuß berechnen lässt.
4.2 Kapitalwertmethode
Aufgabe 4.9: Kapitalwertmethode
Ein in der Gummibranche tätiges Unternehmen, die Gummi AG, beabsichtigt,
aufgrund eines neu gewonnenen Großkunden die jährliche Produktionsmenge
an Gummiteilen zu erhöhen. Voraussetzung hierfür ist die Anschaffung einer
neuen Maschine. Die zur Auswahl stehenden Maschinen A und B werden im
Fall ihrer Anschaffung in den nächsten Jahren während ihrer wirtschaftlichen
Nutzungsdauer folgende Zahlungsreihen verursachen:
t 0 1 2 3 4 5
'LeA (TEUR) - 300 85 90 80 80 70
'LeB (TEUR) - 230 95 95 95 - -
Dabei gilt:
Zt: Differenz zwischen den Ein- und Auszahlungen von Maschine A bzw.
von Maschine B der Periode t mit folgender Wirkung:
~ Einzahlungsüberschuss der Periode t, wenn Zt > 0 bzw.
~ Auszahlungsüberschuss der Periode t, wenn Zt < O.
Der relevante Kalkulationszinssatz beträgt 10 % p. a.
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References
Zusammenfassung
Investition in Übungen.
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