4 Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 4.1 Grundlagen der dynamischen Investitionsrechnung Aufgabe 4.1: Berechnung von Verzinsungsfaktoren12 Ermitteln Sie die Aufzinsungsfaktoren für einen Zinssatz von i = 4 % p. a. und Verzinsungszeiträume von einem Jahr bis zu zehn Jahren (t = 1, ... , 10). Weshalb steigen diese Aufzinsungsfaktoren überproportional an? Wie wird diese Art von Wachstum bezeichnet? Lösung Jahr t (l + 0,04)' Jahr t Cl + 0,04)' 1 1,040000 6 1,265319 2 1,081600 7 1,315932 3 1,124864 8 1,368569 4 1,169859 9 1,423312 5 1,216653 10 1,480244 Das überproportionale Ansteigen der Aufzinsungsfaktoren beruht auf dem Zinseszinseffekt. Die Zinsen der einzelnen Jahre werden dem jeweils zu verzinsenden Betrag zugeschlagen. Bei diesem Sachverhalt handelt es sich um eine geometrische Reihe. 12 Modifiziert entnommen aus Trr~ßmann, Ernst; Werkmeister, Clemens: Arbeitsbuch Investition, Stuttgart 2001, S. 7 und S. 99. 54 Investition in Übungen Aufgabe 4.2: Zinseszinsrechnung13 a) Ein Sparkonto in Höhe von 25.300 EUR wird 8 Jahre lang mit 4,5 % p. a. verzinst. Wie groß ist das Endvermögen? b) Frau Neureich erwirbt ein abgezinstes Wertpapier mit einem Nominalwert von l.000 EUR, einer Laufzeit von 6 Jahren und einem nominellen Jahreszinssatz von 4,4 %. Wie hoch ist der Kurs des Wertpapiers beim Erwerb? c) Berechnen Sie den effektiven Jahreszinssatz, wenn Frau Neureich - siehe Teilaufgabe b) - für den Kauf des abgezinsten Wertpapiers noch Transaktionskosten in Höhe von 2,5 %0 des Nominalwerts bezahlen muss! d) Nach wie vielen Jahren verdoppelt sich der Betrag eines Sparkontos bei einem Jahreszinssatz von 4,5 %? Lösung Teilaufgabe a) Das Endvermögen (K n ) berechnet sich aus der Aufzinsung des Anfangsvermögens (KIJ mit dem einheitlichen Zinssatz i über n Jahre nach folgender Gleichung: K n =Ko·(I+i)" Hier: Ks = 25.300 EUR· (1+ 0,045)8 = 35.979,15 EUR Das Endvermögen beträgt nach 8 Jahren 35.979,15 EUR. Teilaufgabe b) Der Kurs des Wertpapiers beim Erwerb (Ko) ermittelt sich durch Umformung der Ausgangsgleichung aus Teilaufgabe a) wie folgt: Kn=Ko·(I+i)" K-~ 0- Cl +it 13 Geringfügig modifiziert entnommen aus Grundmann, Wolfgang: Finanz- und Versicherungsmathematik, Leipzig 1996, S. 17. Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung Hier: K = l.OOOEUR = 772,32 EUR o (1 + 0,044)6 Der Kurs des Wertpapiers beim Erwerb (= Kaufpreis) beträgt 772,32 EUR. Teilaufgabe c) 55 Die Transaktionskosten - sie führen zu einer Erhöhung des Kaufpreises des abgezinsten Wertpapiers - betragen 2,5 %0 . 1.000 EUR = 2,50 EUR. Der effektive Jahreszinssatz ergibt sich durch Umformung der Ausgangsgleichung aus Teilaufgabe a) und Auflösen nach dem Zinssatz i wie folgt: K n =Ko ·(l+it i=~-I l.000 Hier: 6 -1 = 4,3438 % p. a. 772,32 + 2,50 Der effektive Jahreszins beläuft sich auf 4,3438 % p. a. Teilaufgabe d) Die Anzahl der Jahre ergibt sich durch Umformung der Ausgangsgleichung aus Teilaufgabe a) und Auflösen nach n (Jahre) durch Verwendung des Logarithmus (In) wie folgt: K n =Ko ·(l+it I Kn nn= Ko In Cl + i) 2 In- Hier: K n = 2· K o => n = __ I - = 15,75 Jahre In 1,045 Nach 15 Jahren und 9 Monaten hat sich der Betrag des Sparkontos verdoppelt. 56 Investition in Übungen Aufgabe 4.3: Zinseszins rechnung und Zinssätze Herr Sparsam erbt am 01.01.06 12.000 EUR, die er gleich zur Bank bringt und anlegt. Es wird ein nomineller jährlicher Zinssatz von 6 % vereinbart. Welchen Wert wird die Erbschaft am 31.12.16 haben, wenn die Bank a) eine einfache Verzinsung bzw. b) eine Zinseszinsrechnung zusagt und die Verzinsung bei Letzterer alternativ jährlich, vierteljährlich, monatlich bzw. kontinuierlich vorgenommen wird? Wie groß sind die effektiven Jahreszinssätze bei monatlicher und vierteljährlicher Verzinsung? Lösung Teilaufgabe a) Einfache Verzinsung: K n = Ko + Ko . i + Ko . i + ... + Ko . i K n = Ko + n· Ko . i = Ko . (l + n· i) Dabei gilt: K ll : Kapitalwert der Investition nach n Jahren; Ko: Anfangsvermögen; i : Zinssatz p. a.; n: Jahre. K jj = 12.000EUR· (l + 11· 0,06) = 19.920 EUR Teilaufgabe b) Jährliche Verzinsung: K j = Ko + Ko . i = Ko . Cl + i) K 2 =KJ·(l+i) =Ko ·(l+i)2 K n =Ko .(l+i)n=Ko .qn Dabei gilt: qll: Aufzinsungsfaktor. K[[ = 12.000EUR· (I +0,06t = 22.779,58 EUR Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 57 Vierteljährliche Verzinsung: Kn = Ko -(1+ ~ r In Dabei gilt: m : Anzahl der Zinszuschlagstermine. ( 006)11'4 K ll = 12.000EUR· 1 +---':i- = 23.104,00 EUR Monatliche Verzinsung: ( 006)11'12 K)) =12.000EUR· l+-t- =23.179,36 EUR Kontinuierliche/stetige Verzinsung: K n =Ko{l~(l+ ~rr =Ko·ein Dabei gilt: e: Eulersche Zahl (= 2,71828 ... ). K ll = 12.000EUR ·eO,0611 = 23.217,51 EUR Berechnung des effektiven lahreszinses (iett) bei vierteljährlicher Verzinsung: KO'(1+icff)=Ko-(l+ ~r i .. = 1+~ -1= 1+-'- -1",6,1364 % p.a. ( .)m (006)4 eft m 4 Berechnung des effektiven lahreszinses (ieff) bei monatlicher Verzinsung: ( .)m (006)12 i etT = 1+ ~ -1= l+-t- -1",6,1678 % p.a. 58 Investition in Übungen Aufgabe 4.4: Rentenrechnung14 a) Der Käufer einer Villa hat sich verpflichtet, 30 Jahre lang jeweils zum Jahresende (nachschüssig) eine Rente von 15.000 EUR an den Verkäufer zu entrichten. Welchem Barwert bzw. Endwert entspricht diese Zahlungsform, wenn ein Zinssatz von 6 % p. a. unterstellt wird? b) Herr Spar zahlt jährlich 2.300 EUR auf ein Konto ein. Vereinfachend wird unterstellt, dass der Zeitpunkt der jährlichen Zinszahlung stets mit dem Zeitpunkt der jährlichen Einzahlung übereinstimmt. Welcher (durchschnittliche effektive) Zinssatz wurde erzielt, wenn nach 2 Jahren 4.800 EUR zur Verfügung stehen? c) Frau Konto spart jedes Jahr 4.000 EUR. Die Einzahlung erfolgt jeweils zum Ende eines Jahres. Mit dem Kreditinstitut wird ein langfristiger Zinssatz von 5 % p. a. vereinbart. Nach wie vielen Jahren wird die Spargrenze von 100.000 EUR erreicht? d) Herr Haben verfügt über ein Guthaben von 160.000 EUR. Welche jährliche Rentenzahlung könnte er bei einem Zinssatz von 5 % p. a. bei Vereinbarung einer ewigen Rente erhalten? Lösung Teilaufgabe a) Ermittlung des Barwerts der Rente (Ko): K =a.(l+it-1 o . (1 ')Il l' +1 Dabei gilt: Ko: Barwert der Rente; a : Jährliche Rente; i: Zinssatz p. a.; n: Jahre. 14 Modifiziert entnommen aus Grundmann, Wolf gang: Finanz- und Versicherungsmathematik, Leipzig 1996, S. 32-34. Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung Hier: K = 15.000 EUR. (1 + 0,06)30 -1 206.472 47 EUR o 0,06 . (1 + 0,06)30 , Der Barwert der Rente beträgt 206.472,47 EUR. Ermittlung des Endwerts der Rente (Kn): K =a. (I+i)n -1 n . I Dabei gilt: K n : Endwert der Rente; a : Jährliche Rente; i: Zinssatz p. a.; n: Jahre. . (1+0,06fo-1 HIer: K30 = 15.000 EUR· = 1.185.872,79 EUR - 0,06 Der Endwert der Rente beträgt 1.185.872,79 EUR. Teilaufgabe b) 59 Gegeben ist ein nachschüssiger Rentenendwert in Höhe von 4.800 EUR. Es wurden 2 Raten zu je 2.300 EUR eingezahlt. Ermittlung des durchschnittlichen effektiven Zinssatzes (i): (I+i)" -I Kn Hier: a 4. 800 EUR 2.300EUR 1+2·i+i2 -1 4.800EUR 2+i 4.800EUR {::::> {::::>--=---- 2.300EUR 1 2.300EUR {::::> i = 4.800EUR - 2 = 0,086957 = 8,6957 % p. a. 2.300EUR Es wurde von Herrn Spar ein (durchschnittlicher effektiver) Zinssatz von ungefähr 8,6957 % p. a. erzielt. 60 Investition in Übungen Teilaufgabe c) In(Kn·i+IJ (I+i)"-I a K = a . {::::} n = -"------.:... n i In(l+i) In(100.000.0,05 +IJ Hier: n = 4.000 = 16,62 Jahre ln(l +0,05) Nach 16 Jahren ist die Spargrenze von 100.000 EUR noch nicht erreicht. Nach 17 Jahren wird die Spargrenze von 100.000 EUR überschritten. Teilaufgabe d) K =a.(I+i)"-1 o . (I .)n 1· +1 K=a.[~.(I+i)"_ 1 ] o i (I+i)" i.(I+i)" lim K = a .l~. (I + i)" _ I j H= 0 i~ ~ 1 -->0 I K =a·-o . 1 Hier: a = Ko . i = 160.000 EUR· 0,05 = 8.000 EURlJahr Herr Haben könnte eine ewige Rente in Höhe von 8.000 EUR/Jahr erhalten. Aufgabe 4.5: Klassische Verfahren der dynamischen Investitionsrechnung a) Erläutern Sie die Kapitalwertmethode, die Annuitätenmethode sowie die Methode des internen Zinsfußes und geben Sie jeweils die Definitionsgleichung und das Vorteilhaftigkeitskriterium an! b) Schildern Sie die wesentlichen Mängel, die den klassischen Verfahren der dynamischen Investitionsrechnung anhaften! Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 61 Lösung Teilaufgabe a) Bei den dynamischen Verfahren der Investitionsrechnung wird die Vorteilhaftigkeit einer Investition über deren gesamte Lebensdauer hinweg betrachtet. Es erfolgt keine Bildung von Periodendurchschnittswerten. Die im Zeitablauf jeweils schwankenden Einzahlungen bzw. Einnahmen und Auszahlungen bzw. Ausgaben werden auf einen festgelegten Investitionszeitpunkt diskontiert. Eine synonyme Verwendung dieser beiden Begriffspaare ist allerdings nur dann erlaubt, wenn durch Kreditbewegungen keine zeitlichen Verwerfungen zwischen den Zahlungsmittel- und Geldvermögensveränderungen auftreten. Kapitalwertmethodel5 Im Rahmen der Kapitalwertmethode wird jede Investition durch eine bestimmte Zahlungsreihe repräsentiert. Der Kapitalwert einer Investition entspricht dem Barwert dieser Zahlungsreihe, also der Summe aller mit einem Kalkulationszinssatz i auf den Zeitpunkt t = 0, den Investitionszeitpunkt, abgezinsten Ein- und Auszahlungen, die durch das Investitionsprojekt ausgelöst werden; er stellt demnach den durch die Investition verursachten Vermögenszuwachs, bezogen auf t = 0, dar. Definitionsgleichung der Kapitalwertmethode: Die Summe aller Barwerte der durch ein Investitionsvorhaben verursachten Zahlungen wird als Kapitalwert Co dieser Investition bezeichnet: Dabei gilt: Co : Kapitalwert der Investition; E,: Einzahlungen der Periode t; At: Auszahlungen der Periode t; Zt : Differenz zwischen den Ein- und Auszahlungen der Periode t mit folgender Wirkung: 15 Vg!. Bieg, Hartmut; Kußmaul, Heinz: Investition, 2. Auf!., München 2009, Kapitel 2.3.2. 62 Investition in Übungen ~ Einzahlungsüberschuss der Periode t, wenn Zl > 0 bzw. ~ Auszahlungsüberschuss der Periode t, wenn Zt < 0; i : Kalkulationszinssatz; n: Nutzungsdauer des Investitionsobjekts; t: Periode (t = 0, 1,2, ... , n). Die folgende Darstellung berücksichtigt explizit, dass zum Zeitpunkt t = 0 bei Realisierung der Investition keine Einzahlungen vorliegen (Eo = 0 und damit Zo = Ao), am Ende der Nutzungsdauer eine Liquidationseinzahlung (ein Liquidationserlös) bzw. eine Liquidationsauszahlung (z. B. Abbruch- und/oder Entsorgungskosten) anfallen kann (Ln> 0 bzw. Ln< 0). Es ergibt sich daher folgende abgewandelte Formel: n Zt Ln Co =-Ao + I ---+---t~l Cl + i)t Cl + i)n Dabei gilt: Ao: Anschaffungsauszahlung im Zeitpunkt t = 0; Ln: Liquidationseinzahlung (Liquidationserlös), falls Ln > 0 bzw. Liquidationsauszahlung, falls Ln < O. Im Falle der Fremdfinanzierung der Investition entspricht der Kalkulationszinssatz dem tatsächlich zu zahlenden effektiven Sollzinssatz. Bei Eigenfinanzierung sind die Eigenkapitalkosten im Sinne von Opportunitätskosten als Kalkulationszinssatz heranzuziehen. Nach der Kapitalwertmethode ist ein einzelnes Investitionsprojekt dann vorteilhaft, wenn sein Kapitalwert größer als Null ist. Von mehreren zur Verfügung stehenden Investitionsalternativen ist diejenige für den Investor am günstigsten, die den größten positiven Kapitalwert besitzt. Annuitätenmethode16 Auch bei der Annuitätenmethode, die eine Variante der Kapitalwertmethode darstellt, wird in einem ersten Schritt der Kapitalwert ermittelt. Dieser wird dann in einem zweiten Schritt mit Hilfe des Kapitalwiedergewinnungsfaktors in eine Annuität, also eine äquivalente, äquidistante und uniforme Zahlungs- 16 Vgl. Bieg, Hartrnut; Kußmaul, Heinz: Investition, 2. Aufl., München 2009, Kapitel 2.3.2. Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 63 reihe, transformiert. Die Annuität kann als der durch die Investition verursachte Einkommenszuwachs verstanden werden, also als der Betrag, der neben Tilgung und Verzinsung in jeder Periode verfügbar ist. Definitionsgleichung der Annuitätenmethode: G =I~' i·{l+i}" =C ·KWF " l ~() (l+i)' {l+i)"-l 0 Dabei gilt: G" : Annuität bei einer Nutzungsdauer von n Jahren; Co: Kapitalwert der Investition; Zt : Differenz zwischen den Ein- und Auszahlungen der Periode t mit folgender Wirkung: ~ Einzahlungsüberschuss der Periode t, wenn Zt > 0 bzw. ~ Auszahlungsüberschuss der Periode t, wenn Zt < 0; i : Kalkulationszinssatz; n : Nutzungsdauer des Investitionsobjekts; t: Periode (t = 0, I, 2, ... , n); KWF: Kapitalwiedergewinnungsfaktor. Eine einzelne Investition ist nach dieser Methode vorteilhaft, wenn ihre Annuität größer als Null ist. Von mehreren alternativen Handlungsmöglichkeiten des Investors ist diejenige mit der größten positiven Annuität vorzuziehen. Bei mehreren Handlungsmöglichkeiten ist zu beachten, dass die in den Vergleich einbezogenen Projekte dieselbe Nutzungsdauer aufweisen. Methode des internen Zinsfußes17 Bei der Methode des internen Zinsfußes wird die effektive Verzinsung des jeweils gebundenen Kapitals ermittelt. Die Methode des internen Zinsfußes stellt eine Abwandlung der Kapitalwertmethode dar, indem nicht von einem gegebenen Kalkulationszinssatz ausgegangen wird, sondern derjenige Diskontierungszinsfuß gesucht wird, der zu einem Kapitalwert von Null führt. Ein Kapitalwert von Null bedeutet eine Identität zwischen dem Barwert der Einzahlungsreihe und dem Barwert der Auszahlungsreihe. 17 Vg!. Bieg, Hartmut; Kußmaul, Heinz: Investition, 2. Auf!., München 2009, Kapitel 2.3.2. 64 Investition in Übungen Definitionsgleichung des internen Zinsfußes: ± Zt . (1 + r)-t = 0 t=O Dabei gilt: Zt: Einzahlungs- bzw. Auszahlungsüberschuss der Periode t; r : Interner Zinsfuß; n: Nutzungsdauer des Investitionsobjekts; t: Periode (t = 0, 1,2, ... , n). Der interne Zinsfuß r ist dem gegebenen Kalkulationszinssatz i (Vergleichsalternative) gegenüberzustellen. Liegt der interne Zinsfuß über dem Mindestzinsfuß i, der erzielt werden soll, so ist die Investition vorteilhaft. Bei einem Vergleich mehrerer Alternativen ist diejenige Investition am vorteilhaftesten, die den höchsten internen Zinsfuß aufweist, sofern dieser gleichzeitig größer als der Mindestzinsfuß i ist. Teilaufgabe b) Bei den dynamischen Investitionsrechnungsverfahren ergeben sich Probleme, wenn die zu vergleichenden Investitionen keine vollständigen Alternativen darstellen, weil die Lebensdauern der einzelnen Investitionsobjekte unterschiedlich lang sind und/oder weil die Anschaffungsauszahlungen der einzelnen Investitionsobjekte unterschiedlich hoch sind. Diese beiden Probleme werden bei den verschiedenen dynamischen Investitionsrechnungsverfahren durch unterschiedliche Wiederanlageprämissen "gelöst". Dabei handelt es sich um Unterstellungen, wie sich alle Zahlungs- überschüsse, Ergänzungs- und Anschlussinvestitionen verzinsen. Bei der Kapitalwertmethode - und damit auch bei der Annuitätenmethode - wird unterstellt, dass eine "Wiederanlage" zum Kalkulationszinssatz erfolgt. Gilt diese Prämisse, was insbesondere bei Gültigkeit der Prämisse des vollkommenen Kapitalmarktes zutreffen wird, so ist sichergestellt, dass die in einen Vergleich einzubeziehenden Alternativen vollständig sind, denn sowohl Differenzen in der Höhe des gebundenen Kapitals als auch Differenzen hinsichtlich der Nutzungsdauern sind dann ohne Einfluss auf die Kapitalwerte der Projekte und damit auf das Entscheidungskriterium der Kapitalwertmethode. Ergänzungs- und Anschlussinvestitionen können nur zu einem jährlichen Wertzuwachs in Höhe ihres Betrages multipliziert mit dem Kalkulationszinssatz führen. Genau diese Verzinsung wird aber durch die Diskontierung mit dem Kalkulationszinssatz auf den Zeitpunkt t = 0 wieder rückgängig gemacht, so dass der entsprechende Differenzkapitalwert immer gleich Null ist. Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 65 Ein zweites Problem ergibt sich daraus, dass in einem Betrieb i. d. R. mehrere Investitionen gleichzeitig oder zeitlich gestaffelt realisiert werden sollen. Bei der Untersuchung eines einzelnen Vorhabens weiß man jedoch noch nicht, welche Investitionsvorhaben sich insgesamt in der Planungsperiode als vorteilhaft erweisen werden. Somit kennt man den Gesamtkapitalbedarf noch nicht, weiß damit auch nicht, welche Finanzierungsform zu welchen Konditionen in Frage kommt. Damit fehlt aber eine wichtige Basis zur Ermittlung der durch die Investition verursachten zusätzlichen oder entgangenen Zinsen und somit auch zur Bestimmung des Kalkulationszinssatzes. Auch dieses Problem "lösen" die Prämissen des vollkommenen und unbeschränkten Kapitalmarkts. Diese sehr starke Vereinfachung ist allerdings nur zulässig, wenn der Zinssatz für aufzunehmendes Kapital zumindest annähernd gleich dem für anzulegendes Kapital ist. Da dies in der Realität im Allgemeinen nicht der Fall ist, ist das Ergebnis der Kapitalwertmethode nur noch als grober Anhaltspunkt anzusehen und nicht mehr in jedem Fall richtig. Die Kapitalwertmethode steht und fällt denmach mit der Wiederanlage- und den Kapitalmarktprämissen. Ihre Nachteile beruhen primär auf diesen - häufig unrealistischen - Unterstellungen. Die Annuitätenmethode als eine Modifikation der Kapitalwertmethode baut auf deren Prämissen auf. Dementsprechend gelten grundsätzlich dieselben Kritikpunkte. Zusätzlich kommen folgende Nachteile hinzu: Die Annuitätenmethode erfordert einen zusätzlichen Rechenaufwand, da in einem ersten Schritt ohnehin die Kapitalwerte der Investitionsalternativen zu bestimmen sind. Die Annuitätenmethode birgt die Gefahr von Fehlentscheidungen, wenn Investitionsobjekte mit unterschiedlichen Lebensdauern anhand ihrer auf die jeweilige Projektdauer berechneten Annuitäten verglichen werden. Die Mängel der Methode des internen Zinsfußes liegen nicht nur in der mangelnden Interpretierbarkeit ihrer Ergebnisse (als Effektivverzinsung oder Gesamtkapitalrentabilität), sondern auch in ihrer Wiederanlageprämisse. Hier wird die "Wiederanlage" jeweils zum internen Zinsfuß des betrachteten Investitionsprojekts unterstellt, so dass sich Zahlungsüberschüsse, Ergänzungs- und Anschlussinvestitionen bei jedem Investitionsprojekt in unterschiedlicher Weise auswirken. Technische Voraussetzungen für die Gültigkeit dieser Prämisse sind zum einen die mehrmalige gleichzeitige, aber auch spätere Durchführung des Projekts sowie zum anderen die beliebige Teilbarkeit des Projekts bei gleicher interner Rendite - eine üblicherweise nicht erfüllte Voraussetzung. Die Wiederanlageprämisse wird dubios, sobald mehrere Investitionsprojekte mit verschiedenen internen Zinsfüßen beurteilt werden sollen. 66 Investition in Übungen Ein weiteres Problem der Methode des internen Zinsfußes besteht darin, dass zuweilen keine oder nur eine nicht eindeutige Bestimmung des internen Zinsfußes möglich ist. Aufgabe 4.6: Gemeinsamkeiten der dynamischen Verfahren Skizzieren Sie in Stichwortform die Gemeinsamkeiten der dynamischen Verfahren der Investitionsrechnung! Lösung Die Gemeinsamkeiten der dynamischen Verfahren der Investitionsrechnung sind darin zu sehen, dass erstens Zahlungsgrößen und keine periodisierten Erfolgsgrößen heranzuziehen sind, zweitens regelmäßig ein einheitlicher Zahlungs zeitpunkt zu Grunde gelegt wird, wobei typischerweise mit nachschüssigen, d. h. am Ende einer Periode anfallenden Zahlungen gerechnet wird, drittens ein einheitlicher Bezugszeitpunkt gewählt werden muss, der bei den meisten Verfahren am Beginn der Zahlungsreihe, zum Teil aber auch zu anderen Zeitpunkten wie dem Ende des Zahlungszeitraums liegt, und viertens mit einem Kalkulationszinssatz alle Zahlungen auf einen einheitlichen Bezugszeitpunkt auf- oder abgezinst und damit vergleichbar gemacht werden. Aufgabe 4.7: Kalkulationszinssatz und Kapitalwert Stellen Sie für eine typische Sachinvestition den funktionalen Zusammenhang zwischen der Höhe des Kalkulationszinssatzes und dem Kapitalwert grafisch dar und interpretieren Sie die Schnittstellen des entsprechenden Graphen mit der Ordinate und der Abszisse! Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 67 Lösung Eine typische Sachinvestition ist dadurch gekennzeichnet, dass ihre Zahlungsreihe mit einer einzelnen Auszahlung oder mit mehreren Auszahlungen beginnt, auf die dann nur noch Einzahlungsüberschüsse folgen, für sie zumindest an der Stelle i = 0 der Kapitalwert Co positiv ist, die einfache Summe der Einzahlungen also höher ist als die der Auszahlungen (Deckungskriterium), und am Ende der Nutzungsdauer eine Liquidationseinzahlung (ein Liquidationserlös) bzw. eine Liquidationsauszahlung (z. B. Abbruchkosten) anfallen können, d. h. Ln > 0 bzw. Ln< o. Sind die mit einer Sachinvestition zusammenhängenden Ein- und Auszahlungen bei einer angenommenen Nutzungsdauer gegeben, so ergibt sich der entsprechende Kapitalwert Co als eine lediglich vom Kalkulationszinssatz i abhängige Größe. Dieser stellt bei einer Entscheidung über ein einzelnes Investitionsprojekt die Vergleichsaltemative dar, da vorhandenes Eigenkapital zu diesem Zinssatz angelegt werden kann bzw. bei einem Verzicht auf Aufnahme zusätzlichen Fremdkapitals entsprechend geringere Zinszahlungen entstehen. Mit fallendem Kalkulationszinssatz steigt der Kapitalwert einer Investition, mit steigendem Kalkulationszinssatz fällt er unter sonst gleichen Gegebenheiten. Kapitalwertfunktion: C (.) A Ln z, Ln 1 =- + ---+--- Ü Ü (1 .)t (1 .)n t = 1 +1 +1 Dabei gilt: CO: Kapitalwert der Investition; i: Kalkulationszinssatz; Ao : Anschaffungsauszahlung im Zeitpunkt t = 0; Zt : Zahlungsüberschuss der Periode t mit Zt > 0 oder Zt < 0; Ln: Liquidationseinzahlung (Liquidationserlös), falls Ln > 0 oder Liquidationsauszahlung, falls Ln < 0; t: Periode (t = 1,2, ... , n); n : Nutzungsdauer des Investitionsobjekts. 68 Investition in Übungen Grafische Darstellung: Co (EUR) o Abbildung 5: s i (p.a.) Verlauf der Kapitalwertfunktion einer typischen Sachinvestition Der Verlauf der Kapitalwertfunktion einer typischen Sachinvestition kann dabei folgendermaßen charakterisiert werden: Die Kapitalwertfunktion hat mit wachsendem Kalkulationszinssatz einen degressiven Verlauf. An der Stelle, an der die Kapitalwertfunktion die Ordinate schneidet (Punkt P), also bei einem Kalkulationszinssatz von Null, hat sie einen Wert, der den aufsummierten nicht abgezinsten Ein- und Auszahlungen entspricht: n Also: Co(O) = - Ao + IZ t + Ln l ~l Entsprechend dem oben vorausgesetzten Deckungskriterium ist der Kapitalwert an dieser Stelle positiv. Der Schnittpunkt der Kapitalwertfunktion mit der Abszisse (Punkt S) bezeichnet den Wert, an dem der Kalkulationszinssatz dem internen Zinsfuß dieser Investition entspricht. Der Kapitalwert beträgt hier Null. Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 69 Aufgabe 4.8: Dynamische Investitionsrechenverfahren a) Stellen Sie die Gemeinsamkeiten und Besonderheiten der verschiedenen dynamischen Investitionsrechenverfahren dar! Gehen Sie dabei auf die Zahlungsgrößen, den Zahlungszeitpunkt, den Bezugszeitpunkt und den Kalkulationszinssatz ein! b) Kritisieren Sie kurz die Methode des internen Zinsfußes! Lösung Teilaufgabe a) 1. Zahlungsgrößen und Zahlungszeitpunkt: Alle dynamischen Investitionsverfahren gehen von dem pagatorischen Investitionsbegriff aus, d. h., sie orientieren sich an den durch das Investitionsobjekt hervorgerufenen Zahlungsströmen. Die Berücksichtigung der unterschiedlichen Zahlungszeitpunkte erfolgt durch den Zinssatz. Dieser ist Ausdruck der Zeitpräferenz des Investors, denn dieser schätzt einen heute verfügbaren Geldbetrag i. d. R. höher ein als einen gleich hohen Betrag, der ihm erst später zur Verfügung steht. Liquidität bedeutet Konsummöglichkeiten, daher wird der Zins auch als Preis für entgangene anderweitige Nutzungsmöglichkeiten, als Entgelt für den Konsumverzicht bzw. als Ausdruck der Liquiditätspräferenz des Investors bezeichnet. Eine Auszahlung, die der Investor heute tätigen muss, trifft ihn also härter als eine Auszahlung, die erst in der darauf folgenden Periode erfolgen muss. Aus diesem Grund müssen die zu unterschiedlichen Zeitpunkten anfallenden Ein- und Auszahlungen mit Hilfe des Zinses auf einen einheitlichen Bezugszeitpunkt bezogen werden, um vergleichbar gemacht zu werden. Um die angesprochene Zins wirkung exakt zu berücksichtigen, müssten die Zahlungen eigentlich taggenau erfasst werden. Dies würde die Investitionsrechnung allerdings u. U. sehr arbeitsaufwendig machen. Zudem ist es bei den meisten Investitionsobjekten nur schwer möglich, die tatsächlichen Zeitpunke der Ein- und Auszahlungen im Voraus exakt zu bestimmen, wie dies z. B. bei einem festverzinslichen Wertpapier möglich ist. Die tatsächlichen Zeitpunkte der Ein- und Auszahlungen müssen häufig ebenso wie ihre tatsächliche Höhe geschätzt werden. Daher hat man folgende sinnvolle Vereinfachungen für die Rechnungen vereinbart. Man unterteilt den gesamten zu betrachtenden Investitionszeitraum in Perioden. In der Regel entspricht eine Periode einem Jahr. Man kann jedoch auch kürzere Perioden (Monate, Quartale) oder längere Perioden (S-Jahreszeiträume) wählen. 70 Investition in Übungen Man unterstellt sodann, dass die einzelnen Einzahlungen (Et) und Auszahlungen (At) einer Periode jeweils zum gleichen Zeitpunkt anfallen. In der Mehrzahl der Fälle ist dies das Periodenende. Man bezeichnet eine auf dieser Prämisse beruhende Rechnung als nachschüssig. Man kann allerdings auch die Annahme treffen, dass die Zahlungen zu Beginn der einzelnen Perioden anfallen. In diesem Fall handelt es sich dann um eine vorschüssige Rechnung. Im Folgenden wird nur auf die nachschüssige Rechnung eingegangen. Aufgrund dieser getroffenen Annahme können die Ein- und Auszahlungen einer Periode problemlos miteinander saldiert werden, so dass zur Rechnungsvereinfachung nur die saldierten Nettozahlungen (Zt = Et - At) in die Rechnung einfließen. Sind die Nettozahlungen positiv (Zt > 0), so liegt ein Überschuss der Einzahlungen über die Auszahlungen vor. Man spricht dann von einem Einzahlungsüberschuss. Bei negativen Nettozahlungen (Z[ < 0) besteht ein Überschuss der Auszahlungen über die Einzahlungen. Dieser wird als Auszahlungsüberschuss bezeichnet. 2. Bezugszeitpunkt: Wie bereits erwähnt, müssen die zu unterschiedlichen Zeitpunkten anfallenden Nettozahlungen durch Auf- bzw. Abzinsung auf einen Bezugszeitpunkt vergleichbar gemacht werden, um zu einer einheitlichen Beurteilungsgröße zusammengefasst werden zu können. Mit Hilfe dieser Beurteilungsgröße kann dann sowohl über die absolute Vorteilhaftigkeit eines einzelnen Investitionsobjektes als auch über die relative Vorteilhaftigkeit mehrerer Investitionsaltemativen entschieden werden. Der Bezugszeitpunkt kann beliebig gewählt werden. Er hat selbst keinen Einfluss auf die Entscheidung der Vorteilhaftigkeit der Investition. Üblich ist es jedoch, die einzelnen Zahlungen auf den Anfang oder das Ende des Planungszeitraumes ab- bzw. aufzuzinsen. Wählt man das Ende des Planungszeitraumes, so erhält man den Endwert einer Investition, der den Betrag ausdrückt, um den das Endvermögen des Investors aufgrund dieser Investition höher sein wird als ohne ihre Realisation. Wählt man hingegen als Bezugszeitpunkt den Beginn eines Planungszeitraumes, so erhält man den Kapitalwert einer Investition. Dieser Wert drückt den Betrag aus, um den der Gegenwartswert des Vermögens des Investors aufgrund der Investition ansteigt. Beide Größen entsprechen dem Ziel des Vermögensstrebens des Investors, zum einen der Maximierung des Endwertes des Vermögens ohne zwischenzeitliche Entnahmen des Investors und zum anderen der Maximierung des Gegenwartswertes des Vermögens, wenn in Zukunft keine weiteren Entnahmen während des Planungszeitraumes getätigt werden. Am häufigsten wählt man in der Praxis die Abzinsung auf den Beginn des Investitionsprojekts; man erhält so den Kapitalwert der Investition. Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 71 3. Kalkulationszinssatz: Die Auf- bzw. Abzinsung der Nettozahlungen erfolgt mit einem speziellen Zinssatz, dem Kalkulationszinssatz i. Die Wahl des Kalkulationszinssatzes ist dabei von entscheidendem Einfluss auf das Ergebnis der Investitionsrechnung, weshalb seiner Festlegung große Bedeutung zukommt. Die Frage der Ermittlung des Kalkulationszinsfußes wird in der Literatur z. T. heftig diskutiert. Aus Vereinfachungsgründen leitet man ihn in der Praxis von den tatsächlich anfallenden Kapitalkosten ab. So entspricht er bei einer Finanzierung der Investition durch Fremdkapital dem tatsächlich zu zahlenden Fremdkapitalzins, d. h. dem effektiven Sollzins bzw. dem Kapitalmarktzins für aufzunehmende Gelder entsprechender Fristigkeit; bei einer Finanzierung der Investition durch neues Eigenkapital entspricht er der Rendite einer Alternativanlage. Liegt eine Mischfinanzierung aus Eigen- und Fremdkapital vor, so ist dementsprechend ein Mischzinssatz zu ermitteln. Steht ausreichend Eigenkapital für die Realisierung der Investition zur Verfügung, so geht man vom Habenzinssatz aus, sofern das zur Verfügung stehende Kapital nicht besser zur Tilgung von Fremdkapital verwendet werden sollte. In der Regel geht man in den Rechnungen davon aus, dass der Zinssatz über den Planungszeitraum konstant bleibt. Man kann allerdings auch einen variablen Zinssatz unterstellen. In diesem Fall muss der konstante Zinssatz i durch den zeitabhängigen variablen Zinssatz it ersetzt werden. Die Rechnung wird dadurch allerdings etwas umständlicher. Teilaufgabe b) Der interne Zinsfuß wird oft als Rendite bzw. Effektivverzinsung des jeweils gebundenen Kapitals interpretiert. Somit verbessert eine Investition die Konsummöglichkeiten des Investors, wenn im Falle der Fremdfinanzierung der interne Zinsfuß größer als der Kreditzins ist bzw. wenn mindestens die Eigenkapitalkosten gedeckt sind. Diese Interpretation des internen Zinssatzes bzw. des kritischen Zinssatzes verkennt, dass auch bei der Methode des internen Zinsfußes die Wiederanlageprämisse gilt. Anders als bei der Kapitalwertmethode wird hier allerdings nicht davon ausgegangen, dass jeglicher Geldbetrag zum Kalkulationszinsfuß angelegt bzw. aufgenommen werden kann, sondern bei dieser Methode geschieht dies zum internen Zinssatz. Dies birgt mehrere Probleme in sich. So ist es nicht nur zweifelhaft, ob z. B. überschüssige Beträge tatsächlich zu einem im Vergleich mit dem Kapitalmarktzins evtl. sehr hohen internen Zins wieder angelegt werden können. Auch leidet insbesondere die Vergleichbarkeit der Investitionsobjekte darunter, dass die Wiederanlageprämisse bei jedem Objekt mit einem anderen Zinssatz erfolgen kann. 72 Investition in Übungen Dies führt dazu, dass es bei unterschiedlicher Kapitalbindung, die z. B. auf unterschiedlichen Anschaffungsauszahlungen oder unterschiedlich langen Nutzungsdauern basieren kann, aufgrund der unterschiedlichen Wiederanlageprämisse der internen Zinsfußmethode bei der Vorteilhaftigkeitsentscheidung zwischen mehreren Investitionsobjekten zu anderen Rangfolgen kommen kann als bei der Kapitalwertmethode. Die Wiederanlageprämisse des internen Zinsfußes ist jedoch in sich bereits widersprüchlich, da sie einerseits davon ausgeht, dass Kapitalbeschaffung und -anlage jeweils zum internen Zinsfuß erfolgen können, andererseits aber als Vergleichsmaßstab der Kalkulationszinsfuß herangezogen wird, der genau den Zins angibt, zu dem eine Kapitalbeschaffung und -anlage alternativ erfolgen könnte. Der Vollständigkeit halber ist an dieser Stelle zu erwähnen, dass ein großer Nachteil der internen Zinsfußmethode darin liegt, dass der interne Zinsfuß nicht immer exakt bestimmt werden kann. So gibt es Situationen, in denen es keinen eindeutig bestimmbaren internen Zinsfuß gibt, sondern mehrere interne Zinsfüße nebeneinander existieren oder aber sich kein einziger interner Zinsfuß berechnen lässt. 4.2 Kapitalwertmethode Aufgabe 4.9: Kapitalwertmethode Ein in der Gummibranche tätiges Unternehmen, die Gummi AG, beabsichtigt, aufgrund eines neu gewonnenen Großkunden die jährliche Produktionsmenge an Gummiteilen zu erhöhen. Voraussetzung hierfür ist die Anschaffung einer neuen Maschine. Die zur Auswahl stehenden Maschinen A und B werden im Fall ihrer Anschaffung in den nächsten Jahren während ihrer wirtschaftlichen Nutzungsdauer folgende Zahlungsreihen verursachen: t 0 1 2 3 4 5 'LeA (TEUR) - 300 85 90 80 80 70 'LeB (TEUR) - 230 95 95 95 - - Dabei gilt: Zt: Differenz zwischen den Ein- und Auszahlungen von Maschine A bzw. von Maschine B der Periode t mit folgender Wirkung: ~ Einzahlungsüberschuss der Periode t, wenn Zt > 0 bzw. ~ Auszahlungsüberschuss der Periode t, wenn Zt < O. Der relevante Kalkulationszinssatz beträgt 10 % p. a.