254 Investition in Übungen 9.2 Portfolio Selection und Capital Asset Pricing Model (CAPM) Aufgabe 9.3: Fragestellung des Portfolio Selection- Modells nach Markowitz Beschreiben Sie in einem Satz, wie das Portfolio Selection-Modell nach Markowitz einem Investor bei der Beurteilung seiner Investitionsentscheidung behilflich sein kann! Lösung Das Portfolio Selection-Modell nach Markowitz kann einem Investor relativ einfach diejenige Wertpapierkombination aufzeigen, die für ein jeweils gegebenes Risikoniveau (ap) die zu erwartende Rendite des Portfolios ([lp) maximiert. Aufgabe 9.4: Prämissen des Portfolio Selection-Modells nach Markowitz Erläutern Sie die wesentlichen Prämissen, die dem Modell der "Portfolio Selection" nach Markowitz zugrunde liegen! Lösung Dem Portfolio Selection-Modell nach Markowitz liegen folgende wesentlichen Prämissen zugrunde: Die Renditen an den Kapitalmärkten folgen einer Normalverteilung. Das hat den Vorteil, dass sich die Normalverteilung durch zwei Parameter - den Erwartungswert und die Standardabweichung - vollständig beschreiben lässt. Es liegen Informationen über die Präferenzen des Investors hinsichtlich der erwarteten Renditen (Beschreibung durch den Erwartungswert) und der damit verbundenen Risiken (Beschreibung durch die Varianz bzw. die Standardabweichung; Abbildung mit Hilfe von Indifferenzkurven) vor. Transaktionskosten und Steuern sowie Handlungsbeschränkungen beim Wertpapierkauf bzw. -verkauf existieren nicht (Vorliegen eines vollkommenen Kapitalmarktes). Entscheidungen über FinClnzinvestitionen 255 Das Volumen aller am Kapitalmarkt gehandelten Wertpapiere ist gegeben. Die Wertpapiere sind beliebig teilbar, weil nur dann die Portfolio-Gewichtung frei wählbar ist. Der Betrachtungszeitraum beträgt genau eine Periode, d. h., Wertpapiere werden in to gekauft und in t1 wieder verkauft. Alle Entscheidungsträger sind risikoavers und verhalten sich rational. Aufgabe 9.5: Systematisches und unsystematisches Risiko Was versteht man unter dem Begriff des systematischen bzw. des unsystematischen Risikos? Lösung Das durch Diversifikation potenziell eliminierbare Portfoliorisiko bezeichnet man als unsystematisches Risiko. Im Gegensatz dazu spricht man beim Vorliegen unvermeidbarer Portfoliorisiken vom systematischen Risiko. Aufgabe 9.6: Effizientes bzw. optimales Portfolio und Minimum-Varianz-Portfolio Was versteht man unter einem effizienten und was unter einem optimalen Portfolio? Was drückt in diesem Zusammenhang der Punkt MVP aus? Lösung Ein effizientes Portfolio, d. h. die effiziente Kombination von erwarteter Rendite (llp) und Risiko ( O'~ = q; . 0'; + (1- 2· q\ + q;). 0'; + 2· q\ . 0'12 - 2· q; . 0'\2 <=> O'~ = q~ . 0'; + q~ . 0'; - 2· q; . 0'12 - 2· ql . 0'; + 2· ql . 0'12 + 0'; dO'~ 2 2 2 -a-=2'O'I 'ql +2·O'2·ql-4·O'I2·ql-2·O'2+2·O'I2 q, Diese erste Ableitung (dO'~ ) muss gleich Null gesetzt werden, um das Minidq\ mum der Portfoliovarianz ( o'~ ) zu erhalten. 260 Investition in Übungen Zur Überprüfung der Minimumbedingung muss die zweite Ableitung der Portfoliovarianz (a~) nach dem Anteil der Aktie 1 (qj) positiv sein: Die Varianz der Rendite des Portfolios errechnet man, indem die Standardabweichung für die Aktie "High Risk" und "Low Return" quadriert wird: 0"] = 0,25 => 0"; = 0,0625 0"2 = 0,19 => 0"; = 0,0361 " = 0,0361- 0,0285 = ° 182692 q, 0,0625 + 0,0361- 2·0,0285 ' q~ = 1- q, "" 0,817308 Überprüfung der Minimumbedingung mittels der zweiten Ableitung: a~~ = 2. (0,0625 + 0,0361- 2·0,0285) = 0,0832 > ° a qj Der risikoscheue Investor wird, um das risikominimale Portfolio (MVP) zu erwerben, die Aktie 1 anteilig mit 18,2692 % und die Aktie 2 anteilig mit 81,7308 % in sein Depot legen. Mit dieser Aufteilung erzielt der Investor eine Rendite von IIp = 0,11 ·0,182692 + 0,09·0,817308 = 9,3654 % p. a. Die Standardabweichung der Portfoliorendite im Punkt MVP beläuft sich auf: O"p = ~0,1826922 .0,25 2 + 0,8173082 .0,192 + 2 . 0,182692 . 0,817308 . 0,0285 O"p "" 18,6310 % Entscheidungen über FinClnzinvestitionen 261 0,10 0,01 0,15 0,20 0,25 ° Abbildung 15: Standardabweichung der Portfoliorendite im Punkt MVP Teilaufgabe c) Eine perfekt negative Korrelation bedeutet, dass der Korrelationskoeffizient der Renditen von zwei Wertpapieren (Aktien) genau p = - 1 beträgt In diesem Fall gilt für die Standardabweichung eines Portfolios bestehend aus zwei Titeln: Mit q2 = 1 - ql folgt: 0 p = qj . 0 j - (1- qj)' 02 Um das risikolose Portfolio zu ermitteln, ist 0p = 0 zu setzen. Mit den Werten 0'1 = 25 % und 0'2 = 19 % ergibt sich: o = qj . 25 % - (1- qj) . 19 % Daraus folgt: ql = 43,1818 % und q2 = 56,8182 % Die Rendite des Null-Risiko-Portfolios beträgt somit: IlP = 0,431818· 11 % + 0,568182·9 % = 9,8636 % p. a. 262 Investition in Übungen Für den Fall, dass die Renditen von zwei Wertpapieren (Aktien) perfekt negativ korreliert sind, lässt sich das Risiko durch eine bestimmte Zusammensetzung des Portfolios aus beiden Titeln vollständig eliminieren. Im Beispiel beträgt die Rendite des Null-Risiko-Portfolios 9,8636 % p. a. Aufgabe 9.9: Minimum-Varianz-Portfolio (MVP) Ein Investor möchte sein Vermögen für ein Jahr möglichst ertragreich und zugleich möglichst risikolos anlegen, wobei sich ihm der Kauf von drei Wertpapierarten (A, Bund C) anbietet. Die Rückflüsse (Dividende und Kurswert der Wertpapiere) lassen sich nicht mit Sicherheit vorhersagen. Bekannt ist lediglich die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Wertpapierrenditen. Im Zuge der Vorbereitung auf das Beratungsgespräch haben Sie als Privatkundenberater der Hausbank des Kunden folgende Daten ermittelt: Zustandsabhängige Rendite in % p. a. , PI =0,2 P2 = 0,1 P3 = 0,4 P4 = 0,3 fln O"~ (% p. a.) (%) Wertpapier A 10 12 15 18 14,6 8,44 Wertpapier B 8 16 10 20 13,2 24,16 Wertpapier C 18 16 10 4 10,4 27,04 Der Investor wägt die Chancen und Risiken der verschiedenen Anlagen gegeneinander ab und entschließt sich für den Kauf eines Wertpapierportfolios, das aus dem Wertpapier B und dem Wertpapier C bestehen soll. a) Bestimmen Sie rechnerisch die risikominimale Wertpapiermischung (MVP)! Wie lauten die zugehörige Portfoliorendite und das Portfoliorisiko? b) Der Erwartungswert der Portfoliorendite wird mit !lp bezeichnet und das Risiko des Portfolios mit O'p. Stellen Sie alle Wertpapiermischungen aus Wertpapier Bund C in einem (!lp; O'p)-Diagramm grafisch dar, wobei der Anteilsprozentsatz von B zwischen 0 % und 100 % variieren kann! c) Wie ist eine effiziente Wertpapiermischung aus Wertpapier Bund C definiert? Bestimmen Sie in Ihrer unter Teilaufgabe b) erstellten Grafik alle effizienten Wertpapiermischungen! Entscheidungen über FinClnzinvestitionen Lösung Teilaufgabe a) Erwartungswert der Rendite des Portfolios: I1p =E[P]=E(rl·xI +r2 ·x2 )=E[rl ]·xI +E[r2]·x2 =111· XI +112 ·x2 Varianz der Rendite des Portfolios: Ci~ =Var[P]=Var(rl·x I +r2 ·x2 ) = Var(rl . XI) + Var(r2 . x 2 ) + 2· Cov(rl . XI ;r2 . x 2 ) Ci! = x~ . Var[rl ] + x~ . Var[r2] + 2· XI· x 2 . Cov[rl ,r2 ] = x; . Ci~ + x~ . Ci; + 2· XI· x 2 . Cil2 Budgetrestriktion: X I + X 2 = 1 <=> X 2 = 1 - X I 263 Berechnung der Kovarianz der Renditen von Wertpapier 1 (Wertpapier B) und Wertpapier 2 (Wertpapier C): 4 Ci l2 = Cov[rl ,r2] = E[(rl -111)· (r2 -112)] = L (rls -111)· (r2s -112)· Ps s=l Ci l2 = (0,08 -0,132)· (0,18 -0,104)·0,2+ (0,16-0,132)· (0,16 -0,104)·0,1 + (0,10-0,132)· (0,10- 0,1 04)·0,4 + (0,20 -0,132)· (0,04 -0,104)·0,3 =- 0,001888 Berechnung des Korrelationskoeffizienten von Wertpapier 1 (Wertpapier B) und Wertpapier 2 (Wertpapier C): Cov[rl ,r2 ] Ci l2 PI2 = Korr[rp r2 ] = --;===~~~= .JVar[rl]· Var[r2] Ci l · Ci2 P,2 = .JO,24 16 . 0,2704 -0,001888 - 0,001888 = -0 007387 0,4915282·0,52 ' Interpretation: Die Kovarianz ist ein Maß, welches die lineare Abhängigkeit zwischen zwei Wahrscheinlichkeits variablen beschreibt. Der Korrelationskoeffizient ist ein normiertes Maß, das die lineare Abhängigkeit zwischen zwei Wahrscheinlichkeitsvariablen beschreibt. Es gilt: - 1 ::; P ::; + 1 264 Investition in Übungen p = + 1: Vollständig positive lineare Abhängigkeit; p = 0: Lineare Unabhängigkeit; p = - 1: Vollständig negative lineare Abhängigkeit. In diesem Spezialfall lässt sich ein Portfolio bestimmen, das bei einer positiven erwarteten Rendite kein Risiko aufweist. Das MVP lässt sich mit Hilfe der Differenzialrechnung berechnen, indem aus der Varianz der Portfoliorendite die erste Ableitung nach dem Anteil des Wertpapiers 1 am Portfolio (q\) wie folgt gebildet wird: O"~ = q; . O"i + (1- ql ) 2 . 0"; + 2 . ql . (1- ql) . 0" 12 {::} O"~ =q~ 'O"~ +(l-2·q] +q~).O"; +2·q] '0"12 -2·q~ '0"12 {::} O"~ =q; '0"; +q; '0"; -2·q; '0"12 -2'ql '0"; +2'ql '0"12 +0"; dO"~ 2 2 2 -::;--=2'0", 'q1 +2'0"2 'q1 -4'0"'2 'q, -2'0"2 +2'0"12 uqj Diese erste Ableitung (dO"! ) muss gleich Null gesetzt werden, um das Minidq 1 mum der Portfoliovarianz ( O"~) zu erhalten. dO"! 2 2 2" 0"~-O"'2 --=2'q1 '(0", +0"2 -2'0"12)-2'(0"2 -0"12)=0{::}q1 =----=-2~'-c2:---=-dq, 0", +0"2 -2'0"'2 Zur Überprüfung der Minimumbedingung muss die zweite Ableitung der Portfoliovarianz (O"~) nach dem Anteil des Wertpapiers 1 (q\) positiv sein: , = 0,2704 - (-0,001888) = 0 527919 qj 0,2416 + 0,2704 - 2· (-0,001888) , q; = l-q, "" 0,472081 Überprüfung der Minimumbedingung mittels der zweiten Ableitung: d~~ = 2. (0,2416 + 0,2704 - 2· (-0,001888)) = 1 ,031552 > 0 d-qj Der risikoscheue Investor wird, um das risikominimale Portfolio (MVP) zu erwerben, das Wertpapier 1 (Wertpapier B) anteilig mit 52,7919 % und das Wertpapier 2 (Wertpapier C) anteilig mit 47,2081 % in sein Depot legen. Entscheidungen über FinClnzinvestitionen 265 Mit dieser Aufteilung erzielt der Investor eine Rendite von I1p = 0,132 . 0,527919 + 0,104 . 0,472081 = 0,118782'" 11,8782 % p. a. Die Standardabweichung der Portfoliorendite im Punkt MVP beläuft sich auf O'p = ~0,527919' ·0,2416 + 0,472081' ·0,2704 + 2·0,527919· 0,472081· (-0,001888) O'p '" 0,355890'" 35,5890 % Teilaufgabe b) Erwartete Port- Standardabweichung des Anteil Xl Anteil X2 (Wertpapier B l (Wertpapier Cl folio-Rendite J.!p Portfolios 0' p = g p. a. 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 J.!p in%·p.a. 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 10,40 % 0,5200 10,96 % 0,1821 11,52 % 0,3676 12,08 % 0,3596 12,64 % 0,1648 13,20 % 0,4915 13,20 ___________________________________________________ WPn ~ Effizienzlinie P = - I :\ :\ '\ I Effizienzlinie p = +1 \ \\\/ MVP Efflzienzlinie -- :---",- - - - -- - - - -- - - - - - -- - - - -- - - - -- - - - p ~ -0.007387 """ i\ \ ......................... : \ I ............. I \ I .................. : \ I ...... I \ I .......................... :, I ............" 1 : .................. " I I ............ " I 11,8782 10,40 I .................. I I ...... :::--... I -------------------------------------~-----------~~WPc ? '; , t 'I • 35,5890 49,15 52,00 O'p in% Abbildung 16: (Jlp;(J'p)-DiagrammJür Wertpapier B und Wertpapier C 266 Investition in Übungen Teilaufgabe c) Ein effizientes Portfolio zwischen zwei Wertpapieren ist dadurch gekennzeichnet, dass kein anderes Portfolio existiert mit gleicher Standardabweichung und höherem Erwartungswert oder gleichem Erwartungswert und niedrigerer Standardabweichung oder niedrigerer Standardabweichung und höherem Erwartungswert der Portfoliorendite. Effizient sind in der Abbildung nur solche Portfolios, die auf der Kurve zwischen MVP und WPB liegen. Dieses Kurvenstück wird als Effizienzlinie bezeichnet (hier bei einem Korrelationskoeffizient von p = - 0,007387). Weiterhin sind in der Abbildung noch die Effizienzlinien für p = + I sowie für p = - 1 angedeutet. Bei vollständiger negativer Korrelation der beiden Wertpapiere ergibt sich der Spezialfall, dass durch geeignete Mischung ein Portfolio realisiert werden kann, das ein Risiko bzgl. der (erwarteten) Portfoliorendite von Null aufweist. Aufgabe 9.10: Kovarianz und Korrelationskoeffizient Als Private-Banking Kunde empfiehlt Ihnen Ihr Vermögensberater Aktien der Alternativenergie AG (Aktie 1) sowie der Konventionalenergie AG (Aktie 2) zum Kauf. Im Zuge des Beratungsgesprächs werden Ihnen folgende Daten zur Verfügung gestellt: Umwelt- Steigende Preise Senkung der Sinkende Preise Einführung einer zustand für fossile Steuerbelastung für fossile Mindestquote Brennstoffe für fossile Brennstoffe für alternativ Brennstoffe erzeugten Strom (I) (2) (3) (4) Wahrschein- 0,70 0,10 0,05 0,15 Iichkeit (Ps) Renditen der Aktie 1 8,00 5,00 3,00 7,00 (in % p. a.) Renditen der Aktie 2 2,00 6,00 6,50 3,00 (in % p. a.) Bestimmen Sie die Kovarianz und den Korrelationskoeffizienten der Renditen von Aktie I und Aktie 2! Entscheidungen über FinClnzinvestitionen 267 Lösung Erwartungswert der Aktienrenditen pro Aktie j U = 1, 2): 4 E[rjl= Irjs ·Ps =~j s=l )..L, = 0,08·0,7 + 0,05 ·0,10 + 0,03 . 0,05 + 0,07 . 0,15 = 0,073000 = 7,30 % p. a. )..L2 = 0,02·0,7 + 0,06·0,10 + 0,065·0,05 + 0,03·0,15 = 0,027750 = 2,775 % p. a. Risiko einer Aktie j U = 1,2) in Form der Standardabweichung der Aktienrendite: ~Var[rj 1 = l~l(rjs -)..LY . Ps = a j a~ = (0,08 -0,073)2 ·0,7 + (0,05 -0,073)2·0,10+ (0,03 - 0,073)2 ·0,05 + (0,07 - 0,073) 2 ·0,15 = 0,000181 a 1 = .10,000181 = 0,013453624", 1,3454 % a; = (0,02-0,02775)2 ·0,7 + (0,06 -0,02775)2·0,10+ (0,065 -0,02775)2·0,05 + (0,03-0,02775f ·0,15 = 0,0002161 a 2 = .10,0002161 = 0,0147034 '" 1,4703 % Kovarianz der Renditen von Aktie 1 und Aktie 2: 4 a l2 = L(rls -/1I)·(r2s -/12)·Ps s=l a ,2 = (0,08 - 0,073)· (0,02 - 0,02775)·0,7 + (0,05 - 0,073)· (0,06 - 0,02775)·0,10 + (0,03 - 0,073)· (0,065 - 0,02775)·0,05 + (0,07 - 0,073)· (0,03 - 0,02775)·0,15 = -0,000193 Korrelationskoeffizient der Renditen von Aktie 1 und Aktie 2: a P ___ 12_ 12 a l ·a2 = -0,000193 = -0 975663 PI2 0,013454.0,014703 ' 268 Investition in Übungen Aufgabe 9.11: Capital Asset Pricing Model (CAPM) Worin besteht der wesentliche Unterschied des Capital Asset Pricing Models zum Portfolio Selection-Modell nach Markowitz? Lösung Das Capital Asset Pricing Model ist eine Erweiterung der Portfoliotheorie nach Markowitz um eine risikolose Anlagemöglichkeit, d. h., neben den riskanten Anlagemöglichkeiten in Wertpapieren (z. B. Aktien) existieren auch risikolose Anlagemöglichkeiten in Wertpapieren (z. B. festverzinsliche Bundes anleihen). Dadurch wird die Anlageentscheidung des Investors wesentlich vereinfacht. Die Kenntnis der persönlichen Präferenzen hinsichtlich der erwarteten Renditen und des damit verbundenen Risikos (abgebildet durch Indifferenzkurven) ist nicht mehr erforderlich; der Investor wird einen Teil seines Budgets in die Optimalkombination risikobehafteter Wertpapiere (das Marktportfolio) investieren und den anderen Teil in die risikolose Anlage. Aufgabe 9.12: Capital Asset Pricing Model (CAPM)71 Nennen Sie die wichtigsten Prämissen des Capital Asset Pricing Models! Lösung Die wichtigsten Prämissen des Capital Asset Pricing Models sind: Risikoscheues Verhalten der Investoren sowie der Versuch, ein möglichst effizientes Portfolio zu halten, um damit das Periodenendvermögen zu ma- XImIeren. Vollständige und homogene Erwartungen der Investoren. Der Marktpreis der Wertpapiere kann von den einzelnen Investoren nicht beeinflusst werden. Zum risikolosen Zinssatz können die Marktteilnehmer unbeschränkt Kapitalbeträge anlegen und aufnehmen. Existenz eines vollkommenen Kapitalmarktes. Insbesondere können Transaktionskosten und Steuern vernachlässigt werden. Weiterhin ist der Markt 71 Vgl. Perridon, Louis; Steiner, Manfred: Finanzwirtschaft der Unternehmung, 14. Aufl., München 2007, S. 119-121. Entscheidungen über FinClnzinvestitionen 269 informations effizient und die Informationen stehen allen Investoren kostenlos zur Verfügung. Die auf dem Kapitalmarkt gehandelten Wertpapiere sind beliebig teilbar. Weiterhin ist die Anzahl der umlaufenden Wertpapiere fest vorgegeben. Aufgabe 9.13: Kapitalmarkt- und Wertpapiermarktlinie Erklären Sie den Zusammenhang, der zwischen der Kapitalmarktlinie und der Wertpapiennarktlinie besteht! Lösung Die Kapitalmarktlinie umfasst alle effizienten Portfolios, die durch die Kombination eines risikolosen Wertpapiers mit dem risikobehafteten Marktportfolio erreicht werden können. Dagegen bildet die Wertpapiermarktlinie den Zusammenhang zwischen der erwarteten Rendite einzelner Wertpapiere aus dem Marktportfolio und deren systematischem Risiko im Verhältnis zum Marktrisiko - gemessen durch den Betafaktor - ab. Die Abbildung 17 verdeutlicht noch einmal grafisch den Zusammenhang zwischen der Kapitalmarktlinie und der Wertpapiermarktlinie. Mit Hilfe der Kapitalmarktlinie lassen sich alle effizienten Portfolios, die durch Kombination des Marktportfolios M mit der risikolosen Anlage R erreicht werden können, darstellen. Bei den Portfolios 1 und 2 in der Abbildung handelt es sich um ineffiziente Portfolios. Das systematische Risiko (nicht durch Diversifikation zu beseitigen) dieser beiden Anlagen kann durch die Kapitalmarktlinie nicht dargestellt werden. Erst die Wertpapiermarktlinie macht die Bewertung einzeIwirtschaftlicher Risiken möglich. Im Marktportfolio M ist das Diversifikationspotenzial vollständig ausgeschöpft. Daraus folgt, dass es sich bei der Standardabweichung des Marktportfolios (O"M) vollständig um das systematische Risiko handelt. Gemessen wird das systematische Risiko einer Einzelanlage mit Hilfe des Betafaktors (ßM). Bei gleich großem Gesamtrisiko von Anlage 1 und Anlage 2 (0"1 = 0"2) fällt das systematische Risiko und damit der zu erwartende Ertrag der Anlage 2 im Vergleich zur Anlage 1 (ß2< ßl) geringer aus. 270 :::l.. :::l.. Abbildung 17: Investition in Übungen :E - - -- --- -- --- -- --- -- --- -- --- -- --- -- -- 11 d _!'l_+ __ o 11 15 Zusammenhang zwischen der Kapitalmarktlinie (KML) und der Wertpapiermarktlinie (WML)72 72 Abbildung modifiziert entnommen aus Garz, Hendrik; Günther, Stejcm; Moriahadi, Cyrus: Portfolio Management, 4, Aufl., Frankfurt a. M. 2006, S. 68. Entscheidungen über FinClnzinvestitionen 271 Aufgabe 9.14: Tobin-Separation Was versteht man im Rahmen der Kapitalmarkttheorie unter dem Begriff der "Tobin-Separation"? Lösung Unter der "Tobin-Separation" versteht man die Trennbarkeit der Entscheidung über die Zusammensetzung des Portfolios risikobehafteter Wertpapiere vom Grad der Risikoneigung des Investors. Bei Vorliegen homogener Erwartungen wird jeder Anleger in das identische Portfolio risikobehafteter Wertpapiere investieren, das sogenannte Marktportfolio. Die individuelle Präferenzstruktur des Anlegers spiegelt sich lediglich in der Auf teilung des Gesamtanlagebetrages auf das Marktportfolio und die risikolose Anlageform wider. Aufgabe 9.15: Marktportfolio73 Unternehmer Schlau möchte mit Hilfe des Capital Asset Pricing Model ein Investitionsvorhaben beurteilen, das einen Kapitaleinsatz von 250 EUR erfordert und eine Laufzeit von einem Jahr aufweist. Er hat für drei alternative Umweltzustände die Eintrittswahrscheinlichkeiten und die Rückzahlungsbeträge aus der Investition bzw. aus dem Marktportfolio ermittelt. Der sogenannte "risikofreie" Zins, zu dem Anlagen risikolos getätigt werden können, beträgt 5 % p. a. Umwelt- Eintritts- Rückzahlung aus der Rückzahlung aus dem zustand wahrscheinlichkeit Investition (EUR) Marktportfolio (EUR) 1 0,4 500 287,5 2 0,3 380 255,0 3 0,3 100 262,5 a) Ermitteln Sie die Renditen für die Investition und das Marktportfolio für alle drei Umweltzustände! b) Errechnen Sie - ausgehend von den Ergebnissen der Teilaufgabe a) - den Erwartungswert und die Standardabweichung der Investitions- und Marktrendite sowie den Korrelationskoeffizienten der Investitions- und Marktrendite und den Betafaktor! 73 Modifiziert entnommen aus Schierenbeck, Henner: Grundzüge der Betriebswirtschaftslehre, Übungsbuch, 9. Aufl., München/Wien 2004, S. 130-131 und S. 520-523. 272 Investition in Übungen c) Nach diesen Vorarbeiten möchte Unternehmer Schlau den (markt-)risikoangepassten Kalkulationszinsfuß (Gleichgewichtsrendite ) für seine Investition und die Netto-Investitionsrendite als Differenz zwischen dem Renditeerwartungswert der Investition und der Gleichgewichtsrendite ermitteln. Verdeutlichen Sie ihre Ergebnisse auch grafisch! Lösung Teilaufgabe a) Bestimmung der Renditen für die Investition und das Marktportfolio: Umwelt- Eintritts- Kapital- Ertrag der Überschuss der Rendite der zustand wahrschein- einsatz Investition Investition Investition lichkeit (% p. a.) w" e~ ü~ Ü ~I U a RU =---"--J J a 1 0,4 250EUR 500EUR 250EUR 100% 2 0,3 250EUR 380EUR 130EUR 52 % 3 0,3 250 EUR 100 EUR -150 EUR -60 % Bei Eintritt von UmweItzustand I ergibt sich für das Investitionsvorhaben eine Rendite von 100 % p. a. und bei Eintritt von Umweltzustand 2 eine Rendite von 52 % p. a. Sollte dagegen Umweltzustand 3 eintreten, dann würde hieraus eine negative Rendite von - 60 % p. a. resultieren. Umwelt- Eintritts- Kapitaleinsatz Ertrag des Überschuss Rendite des zustand wahrschein- Marktport- des Markt- Marktportfolichkeit folios portfolios lios (% p. a.) "ll wU e~ "ll R~l = um u a Um a 1 0,4 250EUR 287,5 EUR 37,5 EUR 15 % 2 0,3 250EUR 255,OEUR 5,OEUR 2% 3 0,3 250EUR 262,5 EUR 12,5 EUR 5% Bei Realisierung des Marktportfolios ergibt sich bei jeder Umweltsituation eine positive Rendite, die allerdings jeweils deutlich unter den positiven Möglichkeiten des Investitionsvorhabens liegt. Bei UmweItzustand I würde sich die Rendite des Marktportfolios (kurz Marktrendite) auf 15 % p. a., bei UmweItzustand 2 auf 2 % p. a. und bei Umweltzustand 3 auf 5 % p. a. belaufen. Entscheidungen über FinClnzinvestitionen Teilaufgabe b) Erwartungswert der Investitionsrendite f1(Rj ) ).1(R ) = t w LI • R LI J u~l J ).1(R j ) = 0,4·100 % +0,3·52 % +0,3· (-60 %) =37,6%p.a. Der Erwartungswert der Investitionsrendite beläuft sich auf 37,6 % p. a. Erwartungswert der Marktrendite f1(Rm) ).1(R m ) = 0,4 . 15 % + 0,3 . 2 % + 0,3 . 5 % = 8,1 %p. a. 273 Der Erwartungswert der Marktrendite beläuft sich auf 8,1 % p. a. und liegt damit deutlich unter dem Erwartungswert der Investitionsrendite von 37,6 % p.a. Standardabweichung der Investitionsrendite O"j 3 O"j = Lw Ll .[R~ _).1(R)]2 u=l O"j = ~0,4. (1,00 -0,376)2 + 0,3· (0,52 -0,376)2 + 0,3· (-0,60 -0,376)2 = ~0,l5575 +0,00622+0,28577 = ~0,447744 = 0,669137 = 66,9137 % Die Streuung um den Erwartungswert der Investitionsrendite ist mit 66,9137 % sehr hoch und spiegelt damit die stark differierenden Überschüsse aus der Investition bei den drei alternativen Umweltzuständen wider. Standardabweichung der Marktrendite O"m °m = O"m = ~0,4. (0,15 - 0,081)2 + 0,3· (0,02 - 0,081)2 + 0,3· (0,05 - 0,081)2 = ~0,001904 + 0,001116+ 0,000288 = ~0,003308 = 0,057515 = 5,7515 % Die Streuung um den Erwartungswert der Marktrendite ist gegenüber der Investitionsrendite sehr viel geringer und beläuft sich auf nur 5,7515 % p. a. Korrelationskoeffizient der Investitions- zur Marktrendite Pjm In einem ersten Schritt ist die Kovarianz O"jm zu bestimmen: 3 u u u O"jm = LW ·[R j -).1(R j )].[R m -).1(R m )] u=! 274 Investition in Übungen Ci jm = 0,4· (1,00 - 0,376)· (0,15 - 0,081) + 0,3· (0,52 - 0,376)· (0,02 - 0,081) + 0,3· (-0,60 - 0,376)· (0,05 - 0,081) = 0,017222 - 0,002635 + 0,009077 = 0,023662 Für den Korrelationskoeffizienten ergibt sich somit P -~ - 0,023662 = 0 614830 = 614830 % jm - Ci.Ci - 0,669137.0,057515' , J m Der Korrelationskoeffizient Pjm gibt an, wie stark das systematische Risiko der Investition j ist, welcher Teil des Gesamtrisikos also dem Marktportfoliorisiko entspricht. Bei einem Gesamtrisiko von 66,9137 % entfallen 61,4830 % hiervon, d. h. 41,14 % (Risikoeinheiten) auf das systematische Risiko. Betafaktor /lj ß = Ci jm = 0,023662 = 7 1530 J Ci~n 0,0575152 ' Der Betafaktor ßj zeigt, um welchen Faktor das markbestimmte (systematische) Risiko der Investition j höher liegt als das Marktportfoliorisiko. Ausgehend von einem auf 1 normierten Marktportfoliorisiko (ßm = 1) besagt ein Betafaktor von ca. 7,15, dass der Investition j das ca. 7, 15-fache des Marktportfoliorisikos als systematisches Investitionsrisiko innewohnt. Teilaufgabe c) Gleichgewichtsrendite (Mindestrendite) der Investition GRj GR j =R r +[Il(R m )-R r ]·ßj GR j = 5 % + (8,1 % -5 %)·7,1530 = 27,1743 % Die Gleichgewichtsrendite (risikoangepasster Kalkulationszinsfuß) ermittelt man, indem zum risikolosen Anlagezins von 5 % p. a. die Differenz aus Marktrendite und risikolosem Zins in Höhe von 3,1 % p. a. multipliziert mit dem Betafaktor von 7,1530 addiert wird. Die Gleichgewichtsrendite (Mindestrendite) der Investition j als Ausgleich für das übernommene marktbestimmte Risiko beträgt demnach 27,1743 % p. a. Dieser Wert ist die Messlatte für die Beurteilung der Vorteilhaftigkeit der Investition j gegenüber einer Anlage gemäß dem Marktportfolio. Entscheidungen über FinClnzinvestitionen 275 Ergänzende Erläuterungen zur Gleichgewichtsrendite:74 Bei risikobehafteten Investitionen setzt sich der Kalkulationszinsfuß aus dem risikolosen Marktzinssatz für entsprechende Kapitalanlagen und einer Risikoprämie zusammen. Dieser risikoangepasste Kalkulationszinsfuß ist theoretisch exakt definiert und ergibt sich entsprechend der Gleichung der Wertpapiermarktlinie als Funktion des Marktpreises für die Risikoübernahme bei Halten des Marktportfolios und der spezifischen marktbezogenen Risikohöhe des betrachteten Investitionsvorhabens. Nur dann, wenn der Ertrag einer Investition größer als der im theoretischen Gleichgewichtsmodell sich ergebende risikoangepasste Kalkulationszinsfuß ist, wird eine Investition durchgeführt, andernfalls wird sie verworfen. Netto-Investitionsrendite der Investition NIRj NIRj = IlCR) - GR j NIR j = 37,60 % -27,1743 % = 1O,4257%p. a. Abbildung 18 verdeutlicht diesen Sachverhalt noch einmal grafisch: p. a. ~(R;) = 37.6 % GRj = 27.1743 % ~(Rm) = 8,1 %. R f = 5,0 % Renditeerwartungswert G1cichgcwichlsrcndilC Risikoprämie des Markles = 3.1 %-Punklc Netto-Investitiollsrendite = 10,4257 % Wertpapiermarktlinie Risikoprämic der Investition = 22.1743 Cf-Punkte --~-+--------------------------~------~~ ß, Risiko des MarklpOrlfolios O"m = 5,7515 % ßm = 1 Abbildung 18: Netto-lnvestitionsrendite Risiko der Investition j crj = 41,14 % (=0,614830-0,669137) ßj = 7,1530 74 V gl. Schierenbec-k, Henner; Wöhle, Claudia B.: Grundzüge der Betriebswirtschaftslehre, 17. Aufl., München 2008, S. 458-462. 276 Investition in Übungen Die Netto-Investitionsrendite der Investition j ergibt sich aus der Differenz zwischen dem Renditeerwartungswert der Investition j und der Gleichgewichtsrendite der Investition j. Der positive Wert von 10,4257 % p. a. zeigt, dass die Anlage der Mittel im Investitionsvorhaben für Schlau vorteilhafter ist als eine Anlage gemäß dem Marktportfolio. Aufgabe 9.16: Capital Asset Pricing Model (CAPM) Anleger Z, ein Kunde der Hausbank AG, hat sein Vermögen im Gesamtwert von 3 Mio. EUR in ein vollkommen diversifiziertes Aktienportfolio investiert. Er möchte seinen Aktienbestand um 10.000 EUR erhöhen. Als Wertpapierberater der Hausbank AG machen Sie Z folgende fünf Anlagevorschläge: Aktie Branche Betafaktor 1 Versorgungsuntemehmen 0,5 2 Lebensmitteldiscounter 0,8 3 Anlagenbauer 1,0 4 Automobilhersteller 1,2 5 Luxusgüterhersteller 1,5 a) Welchen Titel empfehlen Sie Ihrem Kunden Z, wenn er sein Geld in die Aktie mit dem niedrigsten Risiko investieren möchte? b) Am Kapitalmarkt existiert eine risikolose Anlage, deren Rendite 2 % p. a. beträgt. Die Rendite des Marktportfolios M wird von den bei den denkbaren Umweltzuständen U I und U2 beeinflusst: Konjunkturelle Entwicklung Rendite des Marktportfolios Uj gut + 20 % p.a. U2 schlecht -10 % p.a. Mit welchen Renditeschwankungen muss Ihr Kunde Z bei den jeweiligen Aktien rechnen? Welche Aktien sollten Sie Ihrem Kunden Z nicht empfehlen, wenn er einen lahresverlust von maximal 1.200 EUR aus dem Zukauf der Aktien hinzunehmen bereit ist? Entscheidungen über FinClnzinvestitionen 277 Lösung Teilaufgabe a) Das Portfolio des Kunden Z ist vollständig diversifiziert, d. h., es unterliegt ausschließlich dem nicht mehr diversifizierbaren systematischen Risiko. Der Aktienzukauf i. H. v. 10.000 EUR wird die Portfoliostruktur nicht wesentlich verändern, so dass zur Beurteilung des Risikos der neuen Aktien ausschließlich auf deren systematisches Risiko zurückgegriffen werden kann. Aktien mit niedrigem (hohem) Betawert sind in geringem (hohem) Maße konjunkturanfällig. Die Aktie 1 hat einen Betafaktor von 0,5. Das bedeutet, dass bei einem Sinken (Steigen) der Rendite des Marktportfolios um 10 Prozentpunkte die Rendite der Aktie 1 nur um 5 Prozentpunkte sinkt (steigt). Bei der Aktie 5 mit einem Betafaktor von 1,5 verhält es sich so, dass bei einer 10-prozentigen Rendite- änderung des Marktportfolios sich die Rendite der Aktie 5 um 15 Prozentpunkte ändern wird. Unter der Bedingung, möglichst wenig Risiko einzugehen, werden Sie dem Kunden Z zum Kauf der Aktie 1 raten, da diese den niedrigsten Betafaktor aufweist. Teilaufgabe b) Die Rendite einer beliebigen Aktie lässt sich im Capital Asset Pricing Model mit Hilfe der nachfolgenden Formel bestimmen: Ili = IlR + (11M - IlR ) . ßi Dabei gilt: Ili: Erwartete Rendite des Wertpapiers i; IlR : Erwartete Rendite der risikolosen Anlage; 11M: Erwartete Rendite des Marktportfolios M; ßi: Maß für die Risikohöhe der Rendite des Wertpapiers i. 278 Investition in Übungen Aktie Rendite Ili in % p. a. der Aktien bei Eintritt von U1 U2 1 2,0 + (20,0 - 2,0) . 0,5 2,0 + (- 10,0 - 2,0) . 0,5 = + 11,0 =-4,0 2 2,0 + (20,0 - 2,0) . 0,8 2,0 + (- 10,0 - 2,0) . 0,8 = + 16,4 =-7,6 3 2,0 + (20,0 - 2,0) . 1,0 2,0 + (- 10,0 - 2,0) . 1,0 = + 20,0 =-10,0 4 2,0 + (20,0 - 2,0) . 1,2 2,0 + (- 10,0 - 2,0) . 1,2 = + 23,6 = - 12,4 5 2,0 + (20,0 - 2,0) . 1,5 2,0 + (- 10,0 - 2,0) . 1,5 = + 29,0 = - 16,0 Bei Eintritt des Umweltzustandes U2 würde der Kunde Z bei einem Kapitaleinsatz von 10.000 EUR durch den Zukauf der Aktie 4 (5) einen Verlust von 1.240 EUR (1.600 EUR) hinnehmen müssen. Will der Kunde Z - wie gefordert - seinen jährlichen Verlust auf max. 1.200 EUR begrenzen, scheiden die Aktien 4 und 5 als Alternativen aus. 9.3 Die Aktienanalyse75 Aufgabe 9.17: Aufgaben der Aktienanalyse Welche Aufgaben hat die Aktienanalyse Ci. e. S.)? Lösung Aufgaben der Aktienanalyse Ci. e. S.): - Die Kaufwürdigkeit einer Aktie ist im Hinblick auf Kursgewinne und zukünftige Dividendenausschüttungen zu überprüfen. - Der optimale Zeitpunkt für den Verkauf von Aktien ist zu bestimmen, um entweder Buchgewinne zu realisieren oder sich vor einem drohenden Kursverfall zu schützen. - Die Aktienanalyse untersucht die Determinanten von Angebot und Nachfrage. 7S V gl. zur Aktienanalyse ausführlich Bieg, Hartmut; KI1ßmaul, Heinz: Investitions- und Finanzierungsmanagement, Band III: Finanzwirtschaftliche Entscheidungen, München 2000, S. 153-233.