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6.4 Spezielle Methoden zur Erfassung der Unsicherheit in:

Hartmut Bieg, Heinz Kußmaul, Gerd Waschbusch

Investition in Übungen, page 191 - 215

2. Edition 2009, ISBN print: 978-3-8006-3659-4, ISBN online: 978-3-8006-4881-8, https://doi.org/10.15358/9783800648818_191

Series: Vahlens Übungsbücher der Wirtschafts- und Sozialwissenschaften

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170 Investition in Übungen Im vorliegenden Fall bei A = 0,4 ergeben sich folgende Zahlungen (Beträge in EUR): Um- U, U2 U3 U4 Us (\- 0,4 . (3) = welt- 0,4) . max (1) + zu- mm KW (2) (2) stand KW(1) A, 390,76 927,99 623,56 211,68 301,22 127,01 371,20 498,21 A2 334,20 974,46 611,65 120,78 227,49 72,47 389,78 462,25 A3 303,13 1.084,08 641,54 42,82 172,98 25,69 433,63 459,32 A4 565,13 1.544,67 989,59 238,61 401,87 143,17 617,87 761,04 9A4 >A1 >A2 >A3 ! Nach der Hurwicz-Regel sollte von dem Unternehmen das Investitionsprojekt A4 ausgewählt werden. Teilaufgabe e) Die Erwartungswertregel berechnet bei Vorliegen von Eintrittswahrschein- Iichkeiten für die möglichen Umweltzustände (Uj ) den Erwartungswert für die vier Investitionsprojekte (EWJ wie folgt: Umwelt- Ul (0,15) U2 (0,2) U3 (0,5) U4 (0,1) U5 (0,05) EWj zustand Al 390,76 927,99 623,56 211,68 301,22 592,22 A2 334,20 974,46 611,65 120,78 227,49 574,30 A, 303,13 1.084,08 641,54 42,82 172,98 595,99 A4 565,13 1.544,67 989,59 238,61 401,87 932,45 9 A4 > A 3 > Al > A2 ! Nach der Erwartungswertregel sollte von dem Unternehmen das Investitionsprojekt A 4 ausgewählt werden. 6.4 Spezielle Methoden zur Erfassung der Unsicherheit Aufgabe 6.9: Korrekturverfahren Der Investor Ralf Riskant empfiehlt seinem Kollegen Siegfried Sicherheit die Durchführung einer Investition mit folgender Zahlungsreihe und Unterstellung eines Kalkulationszinssatzes von 10 % p. a. bei Bestehen eines vollkommenen Kapitalmarkts: Unsicherheit bei Investitions entscheidungen 171 t 0 I 2 3 4 Investitionsauszahlung 250.000 (EUR) Einzahlungsüberschuss 100.000 80.000 90.000 70.000 (EUR) Liquidationserlös (EUR) 10.000 a) Prüfen Sie, ob unter Verwendung der Kapitalwertmethode die von Ralf Riskant empfohlene Investition vorteilhaft ist! b) Siegfried Sicherheit - bekannt als risikoscheuer Investor - hat massive Bedenken hinsichtlich der Sicherheit der von seinem Kollegen Ralf Riskant ermittelten Daten der Investition, weshalb er einige Korrekturen vornimmt. Siegfried Sicherheit geht davon aus, dass die Investitionsauszahlung zum Zeitpunkt t = 0 um 10 % höher ausfällt, im darauf folgenden Jahr eine zusätzliche Investitionsauszahlung in Höhe von 3 % der modifizierten Investitionsauszahlung zum Zeitpunkt t = 0 anfällt, die laufenden Einzahlungen in t = 1 und t = 2 jeweils um 5.000 EUR niedriger und in t = 3 und t = 4 um jeweils 4 % niedriger ausfallen sowie der Liquidationserlös lediglich 2 % der modifizierten Investitionsauszahlung zum Zeitpunkt t = 0 beträgt. Darüber hinaus legt er einen Kalkulationszinsfuß von 12 % p. a. zugrunde. Berechnen Sie unter Verwendung der Kapitalwertmethode und unter Berücksichtigung der Modifikationen der Ausgangsgrößen, ob die geplante Investition für Siegfried Sicherheit vorteilhaft ist! Lösung Teilaufgabe a) Co = - 250.000 + 100.000 . 1,1.1 + 80.000 . 1,1.2 + 90.000 . 1,1.3 + 70.000 '1,1-4 + 10.000' 1,1-4 + 29.284,20 EUR Die von Ralf Riskant empfohlene Investition ist vorteilhaft. Teilaufgabe b) Co = - 250.000 '1,1 - 250.000 . 1,1 . 0,03 . 1,121 + (100.000 - 5.000) . 1,12 1 + (80.000 - 5.000)' 1,122 + 90.000 . 0,96 . 1,123 + 70.000' 0,96' 1,12-4 + 250.000' 1,1 . 0,02' 1,12-4 - 30.055,12 EUR Im Vergleich zur Teilaufgabe a) ist aus einer ursprünglich attraktiven Investition eine unvorteilhafte Investition mit einem negativen Kapitalwert entstan- 172 Investition in Übungen den. Es ist nachvollziehbar, dass auf diese Art und Weise jede Investition "totgerechnet" werden kann. Aufgabe 6.10: Sensitivitätsanalyse Die Sensitivitätsanalyse ist ein Verfahren zur Bestimmung der Empfindlichkeit von Zielgrößenwerten in Bezug auf Variationen verschiedener Einflussgrößen. Erläutern Sie dieses Verfahren als Instrument zur Berücksichtigung der Unsicherheit für den Fall, dass der Kapitalwert von Investitionen als Zielgröße herangezogen wird! Gehen Sie dabei insbesondere auf die Veränderung der Nutzungsdauer, des Absatzpreises und der variablen Stückkosten sowie des Ertragsteuersatzes ein! Stellen Sie hilfsweise eine entsprechende Kapitalwertfunktionsgleichung auf! Lösung Unsicherheitsmomente werden bei Sensitivitätsanalysen nicht schon im Rahmen der Datenbeschaffung behandelt. Vielmehr verarbeitet man hier in der Investitionsrechnung alternative bzw. parametrisch variable Datenkonstellationen, um festzustellen, in welchen Intervallen eine oder mehrere zufallsabhängige Größen schwanken dürfen, ohne dass die einmal gefundene Lösung eines Entscheidungsproblems ihre Optimalität verliert bzw. ohne dass der Zielfunktionswert (z. B. der Kapitalwert, die Amortisationsdauer) eine vom Investor vorgegebene Schranke unter- bzw. überschreitet; in welchem Ausmaß sich der Zielfunktionswert verändert, wenn eine oder mehrere Zufallsvariablen innerhalb der möglichen Grenzen variieren. Sensitivitätsanalysen beschäftigen sich demnach mit den Fragen, inwieweit eine Optimallösung bei zufallsabhängigen Datenveränderungen stabil bleibt und welche Bedeutung Zufallsschwankungen für den Grad der monetären Zielerreichung des Investors besitzen. Im einfachsten Fall dienen Sensitivitätsbetrachtungen der Ermittlung kritischer Werte: kritische Auslastungsmengen, Höchstamortisationsdauern, interne Zinssätze. Unsicherheit bei Investitions entscheidungen 173 Bei Vorteilhaftigkeitsproblemen mit einer einzigen Zufallsvariablen existiert nur ein eindeutiger kritischer Wert. Sind mehrere Faktoren vom Zufall abhängig (z. B. die Absatzmenge und der Absatzpreis), so gibt es auch mehrere kritische Kombinationen. Hier soll die Sensitivitätsanalyse in dem Sinne verwandt werden, dass die Auswirkungen von Zufallsschwankungen der Inputgrößen auf den Kapitalwert untersucht werden. In einem ersten Schritt der Sensitivitätsanalyse sind die als unsicher angesehenen Inputgrößen zu bestimmen. In der hier gestellten Aufgabe sind dies: die Nutzungsdauer n, der Absatzpreis p und die variablen Stückkosten k v sowie der Ertragsteuersatz s er . In einem zweiten Schritt ist dann die Kapitalwertfunktion zu formulieren, wobei Zusammenhänge zwischen einzelnen Inputgrößen zu berücksichtigen sind. Bei den hier vorgegebenen variablen Inputgrößen hat die Nutzungsdauer n Auswirkungen auf andere Inputgrößen. Zum einen sind die im Rahmen der Ermittlung der Ertragsteuerbemessungsgrundlage zu verrechnenden Abschreibungen von der Nutzungsdauer abhängig. FormeImäßig kann dies durch AfA[ (n) ausgedrückt werden. Unterstellt man - wie im vorliegenden Fall eine lineare Abschreibung, kann der Ausdruck AfA[ (n) durch den Term Ao , n der die Höhe der jährlichen Abschreibung errechnet, ersetzt werden. Unterstellt man andere Abschreibungsverfahren, so kann in Abhängigkeit von verschiedenen Nutzungsdauern deren Formel zur Ermittlung der Abschreibungsbeträge in die Kapitalwertfunktion eingesetzt werden. Weit schwieriger sind die Auswirkungen unterschiedlicher Nutzungsdauern auf einen etwaigen Liquidationserlös zu erfassen. Dies kann allgemein nur durch Ln (n) ausgedrückt werden, da es keine gesetzmäßige Beziehung zwischen dem Liquidationserlös und der Nutzungsdauer gibt. Im Einzelfall wäre eine Gesetzmäßigkeit zu ermitteln und entsprechend in die Kapitalwertfunktion einzubeziehen. Bei den folgenden angenommenen Liquidationserlösen (Beträge in EUR) könnte dies so geschehen: Man ersetzt in diesem Fall Ln in der Kapitalwertfunktion durch 10.000 - 2.000 . n, wobei keine negativen Werte entstehen dürfen, wenn man davon ausgeht, dass keine Abbruchkosten etc. vorliegen. 174 Investition in Übungen Der Absatzpreis p und die (auszahlungswirksamen) variablen Stückkosten k y haben Einfluss auf die Ein- bzw. Auszahlungen der einzelnen Perioden, so dass diese in der Formel durch (p - k y) . x - K p ersetzt werden, wobei x die produzierte und abgesetzte Menge und Kp die (auszahlungswirksamen) fixen Gesamtkosten darstellen. Die Auswirkungen des Absatzpreises p und der variablen Stückkosten k y auf den Ertragsteuersatz Ser (höhere Gewinne bedingen u. U. einen höheren Steuersatz) bleiben unberücksichtigt, da man in der Investitionsrechnung (vereinfachenderweise) von einem in allen Perioden unveränderten Ertragsteuersatz Ser ausgeht. Die Höhe des Ertragsteuersatzes Ser wiederum hat Auswirkungen auf die Höhe der verbleibenden Einzahlungsüberschüsse und auf den Kalkulationszinssatz nach Steuern iso Ersteres wird in jeder Kapitalwertfunktion berücksichtigt, indem die zu zahlenden Ertragsteuern von den Einzahlungsüberschüssen abgezogen werden. Die Änderung des Kalkulationszinssatzes nach Steuern is wird in die Funktion einbezogen, indem i, durch i . (l - ser) ersetzt wird. Die Kapitalwertfunktion hat dann folgendes Aussehen: Co = - Ao + ± [(P - kJ· x - K p - Ser [(p - k y )· x - K p _ A O ]] t~1 n . [1 + i· (1- ser)]-t + [Ln(n) - Ser . Ln(n)]· [1 + i· (1- se,.) r" Dabei gilt: Co: Kapitalwert bezogen auf die Periode t = 0; Ao : Anschaffungsauszahlung in der Periode t = 0; t: Periodenl, ... ,n; n: Nutzungsdauer; p: Absatzpreis; k v : (Auszahlungswirksame) variable Stückkosten; x : Produzierte und abgesetzte Produktmenge; K F : (Auszahlungswirksame) fixe Gesamtkosten; ser: Ertragsteuersatz; Ln: Liquidationserlös in Periode t = n; i : Kalkulationszinssatz vor Steuern; is : Kalkulationszinssatz nach Steuern. Unsicherheit bei Investitions entscheidungen 175 Bei der Betrachtung des Liquidationserlöses muss ein Restbuchwert nicht beachtet werden, da er durch die Vornahme der Abschreibungen in Höhe von Ao in t = n immer Null ist. n Als nächster Schritt ist für die unsicheren Inputgrößen jeweils eine Schwankungsgröße vorzugeben (z. B. der Absatzpreis steigt um 10 % oder die variablen Stückkosten sinken um 5 %), und in einem letzten Schritt sind die Auswirkungen dieser Schwankungen auf den Kapitalwert zu errechnen. Entsprechend den Ergebnissen dieser Berechnung müssen dann die Schlussfolgerungen auf die Durchführung der betrachteten Investition gezogen werden. Bleibt der Kapitalwert beispielsweise bei allen Schwankungen positiv, würde man sich für eine Durchführung der Investition entscheiden, da die absolute Vorteilhaftigkeit (selbst) durch die (negativen) Schwankungen nicht beeinträchtigt wird. Nimmt der Kapitalwert bei der einen oder anderen Schwankung negative Werte an, muss überlegt werden, wie wahrscheinlich die vorgegebene Schwankung ist und ob die Investition in Abhängigkeit hiervon durchgeführt werden soll. Aufgabe 6.11: Sensitivitätsanalyse42 Ein Automobilhersteller steht vor der Entscheidung, ein für die Produktion benötigtes Vorprodukt selbst herzustellen oder weiter zu einem Preis von 50 EURJStück von einem Zulieferer zu beziehen. Um das Vorprodukt im eigenen Werk zu fertigen, müsste er eine Maschine anschaffen. Hier bestehen zwei Alternativen, die folgende Daten aufweisen: Maschine I Maschine II Fixe Gesamtkosten (EUR/Jahr) 50.000 70.000 Variable Gesamtkosten (EUR/Jahr) 200.000 120.000 Kapazität (Stück/Jahr) 5.000 8.000 Es ist ZU unterstellen, dass die variablen Gesamtkosten in einem proportionalen Verhältnis zur Produktionsmenge stehen. Da der Automobilhersteller nicht sicher bezüglich der benötigten Ausbringungsmenge ist, möchte er herausfinden, für welche Alternative er sich in Abhängigkeit von der Produktionsmenge entscheiden sollte. Führen Sie dazu eine Sensitivitätsanalyse durch! 42 Stark modifiziert entnommen aus Götze, Uwe: Investitionsrechnung: Modelle und Analysen zur Beurteilung von Investitionsvorhaben, 6. Aufl., Berlin/Heidelberg 2008, S.372-375. 176 Investition in Übungen Lösung Rechnerische Ermittlung der kritischen Produktionsmenge: (1) Aufstellung der Kostenfunktionen für die einzelnen Alternativen: Die allgemeine Form der Kostenfunktion lautet: Dabei gilt: K(x): Kostenfunktion; K F : Fixe Gesamtkosten; k v : Variable Stückkosten; x : Ausbringungsmenge. K Maschine I = 50.000 + 200.000 . x = 50.000 + 40 . x, für O:S x :S 5.000 . 5.000 K Maschine II = 70.000 + 120.000 . x = 70.000 + 15 . x, für 0 :S x :S 8.000 8.000 K Fremdbezug = 50 . x, für x :::0: 0 (2) Gleichsetzen der Kostenfunktionen, um die kritische Produktionsmenge x zu berechnen: K Maschine I = K Maschine II 50.000 + 40· x = 70.000 + 15 . x 25 . x = 20.000 x = 800 Stück/Jahr Bei einer Produktionsmenge von 800 StückIJahr sind die Gesamtkosten der Maschinen I und 11 gleich hoch. Bei einer niedrigeren Produktionsmenge ist die Maschine I vorteilhafter, da diese die geringeren Fixkosten aufweist. Bei einer höheren Produktionsmenge ist die Maschine 11 kostengünstiger. K Maschine I = K Fremdbezug 50.000 + 40 . x = 50 . x 50.000 = 10 . x X = 5.000 Stück/Jahr Bis zu einer Produktionsmenge von 5.000 StückIJahr ist der Fremdbezug günstiger als die Maschine I. Unsicherheit bei Investitionsentscheidungen K Maschine II = K Fremdbezug 70.000 + 15 . X = 50 . X 70.000 = 35 . X X = 2.000 Stück/Jahr 177 Bis zu einer Produktionsmenge von 2.000 StückIJahr ist der Fremdbezug günstiger als die Maschine 11. Insgesamt ist also bis zu einer Produktionsmenge von 2.000 Stück/Jahr der Fremdbezug vorzuziehen, ab einer Produktionsmenge von 2.000 Stück/Jahr erweist sich die Maschine 11 als vorteilhaft. Die Maschine I ist in keinem Fall auszuwählen, da sie sich erst ab einer Produktionsmenge von 5.000 Stück/Jahr als vorteilhaft erweist, ihre Kapazität allerdings auch auf 5.000 StückIJahr beschränkt ist. Zeichnerische Ermittlung der kritischen Produktionsmengen: Vorteilhaftigkeitsbereiche der drei Alternativen 450.000 400.000 'i:' 350.000 -= '" ~ 300.000 => 5250.000 = ~ ~ e ;;i " Abbildung 6: 200.000 150.000 100.000 50.000 0 0 1.000 2.000 3.000 4.000 5.000 6.000 7.000 8.000 Produktionsmenge (Stück/Jahr) 1--MaSchine] ..... Maschinell --Fremdbezug I Zeichnerische Ermittlung der kritischen Produktionsmengen 178 Investition in Übungen Aufgabe 6.12: Sensitivitätsanalyse Die Geschäftsführung eines Unternehmens steht vor der Entscheidung, ob ein neues Produkt in das Produktionsprogramm aufgenommen werden soll. Die Controlling-Abteilung erhält daher die Aufgabe, entscheidungsrelevante Daten für die nächste Vorstandssitzung zusammenzutragen. Aus der Planungsabteilung stehen folgende Zahlen zur Verfügung: Anschaffungsauszahlung (Ao) für eine neue Produktionsanlage - Durchschnittliche jährliche Absatzmenge (x) - Auszahlungswirksame variable Stückkosten (k v ) - Auszahlungswirksame gesamte Fixkosten (K F ) - Vertrieb - Werbung Angestrebter Absatzpreis pro Stück (p ) Voraussichtliche Nutzungsdauer der Anlage (n ) - Kalkulationszinssatz für die Investitionsrechnung 1.200.000 EUR 85.000 Stück/Jahr 8 EUR/Stück 260.000 EUR/Jahr 170.000 EUR/Jahr 21 EURIStück 3 Jahre 10 % p.a. a) Ermitteln Sie mit Hilfe der Investitionsrechnung (Anwendung der Kapitalwertmethode) die kritischen prozentualen Abweichungen bei der Absatzmenge, dem Absatzpreis, den variablen Stückkosten und den gesamten Fixkosten! Verwenden Sie dabei folgende Kapitalwertformel: Co = -Ao + (x· (p- kJ - K F )· 2,486852 b) Untersuchen Sie für die Absatzmenge und den Absatzpreis die kritischen Abweichungen (in %) mit Hilfe der "klassischen" Break-Even-Analyse! c) Wie erklären Sie der Geschäftsleitung die unterschiedlichen Ergebnisse aus Teilaufgabe a) und Teilaufgabe b)? Lösung Teilaufgabe a) (1) Ermittlung der kritischen Absatzmenge: Co =-Ao +(x·(p-ky )-Kp )·2,486852 Co=O Unsicherheit bei Investitionsentscheidungen __ A~o_-x.(p_k )-K 2,486852 - v F (2,4~;852 +KF}-(P-kJ=X ( 1.200.000 ) ---+430.000 7(21-8)= 70.195,21 Stück/Jahr 2,486852 Abweichung: -17,4174 % (2) Ermittlung des kritischen Absatzpreises: Co = -Ao + (x· (p- k y ) - K F )· 2,486852 ( Ao +K )7X+k =p 2,486852 F v (482.537,76+430.000)785.000+8 = 18,74 EUR/Stück Abweichung: - 10,7619 % (3) Ermittlung der kritischen variablen Stückkosten: Co = -Ao + (x· (p- k y ) - KF )· 2,486852 k v =P-(2,4~;852 +K F )7X = 21,00-10,74 = 10,26 EURlStück Abweichung: + 28,25 % (4) Ermittlung der kritischen gesamten Fixkosten: Co =-Ao +(x·(p-ky )-KF )·2,486852 Ao +x·(p-k) 2,486852 y = -482.537,76+ 1.105.000 = 622.462,24 EURIJahr Abweichung: + 44,7587 % 179 180 Investition in Übungen Teilaufgabe b) (1) Break-Even-Analyse: Gewinn (G) = Umsatz (U) - Gesamtkosten (K) = p·x-k y ·x-K F G=O (2) Ermittlung der kritischen Absatzmenge: x ~ p-k y K F = 430.000 + 1.200.000 + 1.200.000.0.1 = 890.000 EUR/Jahr 3 2 x 890.000 21-8 = 68.461,54 Stück/Jahr Abweichung: - 19,4570 % (3) Ermittlung des kritischen Absatzpreises: K p=_F+k y x = 890.000 +8 P 85.000 = 18,47 EUR/Stück Abweichung: - 12,0476 % Teilaufgabe c) Die größeren möglichen Abweichungen bei der Break-Even-Analyse sind auf die Vernachlässigung der finanzmathematisch berechneten Zinswirkungen zurückzuführen, d. h., die "genaueren" Ergebnisse liefert die Investitionsrechnung. Unsicherheit bei Investitions entscheidungen 181 Aufgabe 6.13: Sensitivitätsanalyse Der Investor Leo Liquide hat die Möglichkeit, das folgende Investitionsprojekt durchzuführen: Anschaffungsauszahlung 10.000 EUR, Einzahlungsüberschüsse in t l und t2 jeweils 10.000 EUR, lineare Abschreibung über 2 Perioden. Leo Liquide rechnet mit einem Kalkulationszinssatz von 12 % p. a. vor Ertragsteuern. Sein Ertragsteuersatz beträgt 25 %. a) Wie hoch ist der Kapitalwert dieser Investition nach Steuern? b) Leo Liquide ist sich bezüglich der Höhe der Einzahlungsüberschüsse des Investitionsprojektes unsicher. Er beauftragt Sie daher, zu ermitteln, wie weit die in beiden Perioden gleich hohen Einzahlungsüberschüsse von den oben genannten abweichen dürfen, damit Leo Liquide hinsichtlich der Durchführung der Investition indifferent ist. c) Aufgrund der Finanznot der öffentlichen Haushalte geht Leo Liquide für die Zukunft davon aus, dass erstens der Fiskus Abschreibungen steuerlich nicht mehr anerkennt und dass zweitens der Ertragsteuersatz erhöht wird. Leo Liquide möchte von Ihnen wissen, wie hoch unter diesen Annahmen ein neuer Ertragsteuersatz sein muss, damit er hinsichtlich der Durchführung der Investition indifferent ist. Lösung Teilaufgabe a) Der um den Ertragsteuersatz korrigierte Kalkulationszinssatz lautet: i s = i . (1- seT) = 0,12· (1- 0,25) = 0,09 Dabei gilt: i s : Kalkulationszinssatz nach Steuern; i : Kalkulationszinssatz vor Steuern; seT: Ertragsteuersatz. Der Kapitalwert nach Steuern (Cos) beträgt: COs = -10.000 + [10.000 - 0,25· (10.000 - 5.000) ].1,09-1 + [10.000 -0,25· (10.000-5.000)].1,09-2 = + 5.392,22 EUR 182 Investition in Übungen Teilaufgabe b) Da der Kapitalwert nach Steuern positiv ist, müssen die Einzahlungsüberschüsse sinken, damit der Investor hinsichtlich der Durchführung der Investition indifferent ist. Zu diesem Zweck ist der Kapitalwert gleich Null zu setzen und nach den gesuchten Einzahlungsüberschüssen x aufzulösen: Cos = 0= -10.000+ [x -0,25 ·(x -5.000)].1,09- 1 + [x -0,25· (x -5.000)].1,09-2 {::::} 10.000.1,092 = (x - 0,25· x + l.250) ·1,09 + (x - 0,25· x + l.250) {::::} 10.000.1,092 = (x - 0,25· x + 1.250)· (1,09 + 1) {::::} 10.000.1,092 = 0,75· x + 1.250 = + 5.912,92 EUR 2,09 Probe: COs = -10.000 + [5.912,92-0,25· (5.912,92 -5.000)],1,09-1 + [5.912,92 - 0,25· (5.912,92 - 5.000)],1,09-2 = 0,0018 EUR (Rundungsfehler) Da sich bei gleich hohen Einzahlungsüberschüssen in Höhe von 5.912,92 EUR in t1 und t2 ein Kapitalwert von Null ergibt, müssen die Einzahlungs- überschüsse um 4.087,08 EUR pro Periode sinken, damit der Investor bezüglich der Durchführung der Investition indifferent ist. Teilaufgabe c) Zur Lösung dieses Problems ist der Kapitalwert nach Steuern gleich Null zu setzen und nach dem gesuchten Ertragsteuersatz Ser aufzulösen. Co = 0 = _ 10.000 + 10.000 -10.000 . se; + 10.000 -10.000 . s~r s [1+0,12.(I-s er )] [1+0,12'(l-scr)] {::::} 10.000 = 10.000 -10.000· Sc; + 10.000 -10.000· s;r [1 + 0,12· (1- Ser)] [1 + 0,12· (1- ser)] {::::} 10.000· (1,12 - 0,12· seY = (10.000 -10.000· ser)' (1,12 - 0,12· ser) + 10.000-10.000· ser {::::} 10.000· (1,2544 - 0,1344· scr - 0,1344· scr + 0,0144· scr 2) = 2 11.200 -1.200· ser -11.200· ser + 1.200· ser + 1 0.000 -I 0.000· ser 2 2 {::::} l2.544-2.688·ser +144,s er = 21.200-22.400·ser +1.200·ser Unsicherheit bei Investitions entscheidungen 183 <=> - 8.656 + 19.712· scr -1.056· scr 2 = 0 2 8.656 <=> ser -18,67· ser + 1.056 = 0 I s. =9 33±[(18,67 i2 _ 8.656]2 ell,2' 2) 1.056 <=> serl.2 = 9,33 ± 8,88 serl = 18,21 und ser2 = 0,45 Da ein Ertragsteuersatz von 1.821 % nicht realistisch ist, lautet der gesuchte Ertragsteuersatz: ser 2 = 45 %. Daraus ergibt sich ein Kalkulationszinssatz nach Steuern in Höhe von: is = 0,12' (1 - 0,45) = 0,066. Probe: c = _ 10 000 + 10.000 - 10.000· 0,45 + 10.000 - 10.000· 0,45 = 0 49 EUR os' 1,066 1,0662 ' (Rundungsfehler) Unter der Annahme, dass Abschreibungen steuerlich nicht mehr anerkannt werden, muss der Ertragsteuersatz 45 % betragen, damit der Investor hinsichtlich der Durchführung der Investition indifferent ist. Aufgabe 6.14: Dreifach-Rechnung43 a) Was wird unter einer Dreifach-Rechnung verstanden? Welche Vor- und Nachteile sind mit einer Dreifach-Rechnung verbunden? b) Hinsichtlich einer geplanten Investition sind folgende Zahlungsreihe sowie ein Kalkulationszinssatz von 8 % p. a. gegeben: t 0 I 2 3 Z, (EUR) -100.000 + 50.000 + 30.000 + 25.000 Darüber hinaus sind folgende Zukunftseinschätzungen hinsichtlich der geplanten Investition bekannt: 43 Vgl. Bieg, Hartmut; Kußmaul, Heinz: Investition, 2. Aufl., München 2009, Kapitel 2.5.4; Däumler, Klaus-Dieter: Anwendung von Investitionsrechnungsverfahren in der Praxis, 4. Aufl., Herne/Berlin 1996, S. 185-188. 184 Investition in Übungen Zukunftseinschätzung (in % der Ausgangsdaten) optimistisch neutral pessimistisch Kalkulations- 80 95 110 zinssatz Investitions- 90 98 120 auszahlung Einzahlungs- 110 102 85 überschüsse Überprüfen Sie die geplante Investition unter Verwendung der Dreifach- Rechnung (Kapitalwertmethode ) auf ihre Vorteilhaftigkeit! Lösung Teilaufgabe a) Die zu bestimmende Ziel größe - beispielsweise der Kapitalwert - wird bei Anwendung der Dreifach-Rechnung auf der Basis von drei unterschiedlichen Zukunftsprognosen - einer optimistischen, einer neutralen und einer pessimistischen - berechnet. Dabei werden sämtliche unsicheren Ausgangsgrößen gleichzeitig modifiziert. Ergebnis einer Dreifach-Rechnung können die Konstellationen der nachfolgenden Ergebnismatrix sein: Datenkonstellation Entscheidungsregel optimistisch neutral pessimistisch + + + Investition durchführen Vorzeichen + + - Entscheidung nach des Kapital- + subjektivem Ermessen werts - - des Investors - - - Investition unterlassen Abbildung 7: Mögliche Ergebnisse einer Dreijach-Rechnunl4 Die Investition sollte auf jeden Fall durchgeführt werden, sofern auch bei einer pessimistischen Zukunftsprognose die Investition einen positiven Kapitalwert aufweist. Weist die Investition hingegen selbst bei einer optimistischen Zukunftsprognose einen negativen Kapitalwert auf, sollte die Investition un- 44 Modifiziert entnommen aus Däumler, Klaus-Dieter: Anwendung von Investitionsrechnungsverfahren in der Praxis, 4. Aufl., Herne/Berlin 1996, S. 187. Unsicherheit bei Investitions entscheidungen 185 terlassen werden. In den beiden anderen Konstellationen ist keine eindeutige Vorteilhaftigkeitsaussage möglich, so dass die Entscheidung im subjektiven Ermessen des Investors liegt. Vorteilhaft an der Dreifach-Rechnung ist insbesondere die relativ einfache Realisierung und die leichte Auslegung der Ergebnisse sowie die Möglichkeit, das Ausmaß von Chance und Risiko gleichermaßen zu quantifizieren.45 Teilaufgabe b) Kapitalwert (Co) bei einer optimistischen Zukunftseinschätzung: Co = - 100.000 . 0,90 + 50.000 . I, I . (I + 0,08 . 0,8)"1 + 30.000 . I, I . (l + 0,08 . 0,8)"2 + 25.000 . 1,1 . (l + 0,08 . 0,8)"3 = + 13.671,30 EUR Kapitalwert (Co) bei einer neutralen Zukunftseinschätzung: Co = - 100.000 . 0,98 + 50.000 . 1,02 . (1 + 0,08 . 0,95)1 + 30.000 . 1,02 . (I + 0,08 . 0,95)"2 + 25.000 . 1,02 . (I + 0,08 . 0,95)3 = - 3.702.93 EUR Kapitalwert (Co) bei einer pessimistischen Zukunftseinschätzung: Co = - 100.000 . 1,20 + 50.000 . 0,85 . (I + 0,08 . 1,1)"1 + 30.000 . 0,85 . (I + 0,08 . 1,1)·2 + 25.000 . 0,85 . (I + 0,08 . 1,1)·3 = - 42.896,12 EUR Ergebnismatrix: Angaben Datenkonstellation Entscheidungsregel inEUR optimistisch neutral pessimistisch Vorzeichen + - - Entscheidung nach des Kapital- (+ 13.671,30) (- 3.702,93) (- 42.896,12) subjektivem Ermessen werts des Investors Die Durchführung der Investition unter Zugrundelegung der Dreifach- Rechnung (Kapitalwertmethode) ist somit bei den vorliegenden Daten abhängig vom subjektiven Ermessen des Investors. 45 V gl. Däumler, Klaus-Dieter: Anwendung von Investitionsrechnungsverfahren in der Praxis, 4. Aut1., HernelBerlin 1996, S. 188. 186 Investition in Übungen Aufgabe 6.15: Investitionssimulation46 Ein Unternehmen erwägt die Anschaffung einer neuen Maschine. Um die Vorteilhaftigkeit dieser Anschaffung zu beurteilen, ermittelt das Unternehmen bei einem Kalkulationszinssatz von 10 % p. a. als Ziel wert den maximalen Gewinn pro Jahr und stützt sich dabei auf die folgenden Vorgaben: Ausprägung/Bereich (Wahrscheinlichkeit) A o (TEUR) 120-140 140-160 160-180 (0,2) (0,2) (0,4) n (Jahre) 8 9 10 (0,2) (0,2) (0,2) k v 30-35 35-40 (EURlME) (0,2) (0,6) x (ME) 400-500 500-600 600-700 700-800 (0,2) (0,2) (0,2) (0,2) P (EURIME) 60-70 70-80 80-90 (0,2) (0,4) (0,2) . i·(1+i)" Z= x'(p-k)-Ao ' KWF(I,n); KWF=--'------ , (1+i)"-1 Dabei gilt: Z: Ziel wert; x: Jährliche Absatzmenge; p: Verkaufspreis pro Mengeneinheit; k,: Variable Stückkosten des produzierten Gutes; An : Anschaffungsauszahlung im Zeitpunkt t = 0; i : Kalkulationszinssatz; n : Nutzungsdauer der Maschine. Mittlerer Wert 180-200 162 (0,2) 11 9,8 (0,4) 40-45 37,5 (0,2) 800-900 650 (0,2) 90-100 79 (0,2) a) Ermitteln Sie anhand dieser Vorgaben den schlechtesten Wert (Zmin), den mittleren Wert (Z~) und den besten Wert (Zmax) für den maximalen Gewinn pro Jahr! 46 Modifiziert entnommen aus Perridon, Louis; Steiner, Manfred: Finanzwirtschaft der Unternehmung, 14. Aufl., München 2007, S. 117-120. Unsicherheit bei Investitions entscheidungen 187 b) Für die Simulation verwendet das Unternehmen einen einfachen Zufallsmechanismus, indem die Unternehmensleitung mit einem Würfel würfelt, von dem nur die Zahlen von 1 bis 5 gültig sind. Wird eine Sechs gewürfelt, ist nochmals zu würfeln, so dass die Wahrscheinlichkeit w(i) für jede Zahl i 1/5 beträgt. Den gewürfelten Zufallszahlen werden die folgenden Werte der Zufallsvariablen zugeordnet: Gewürfelte Zahl Ao n k, x P (EUR) (Jahre) (EUR/ME) (ME) (EUR/ME) 1 130.000 8 32,5 450 65 2 150.000 9 37,5 550 75 3 170.000 10 37,5 650 75 4 170.000 11 37,5 750 85 5 190.000 II 42,5 850 95 Mit dem Würfel ermittelt die Unternehmensleitung die folgenden Zufallszahlen: Lauf Ao n k, x P (EUR) (Jahre) (EUR/ME) (ME) (EUR/ME) 1 4 2 3 5 3 2 3 4 2 3 3 3 2 5 I 5 4 4 5 1 2 3 4 5 3 5 5 4 5 6 4 2 2 4 4 7 3 2 2 4 I 8 5 2 5 I 2 Berechnen Sie die Ziel werte für die einzelnen Läufe und bringen Sie die Zielwerte zusammen mit dem schlechtesten Wert, dem mittleren Wert und dem besten Wert in eine Rangfolge! Wie viel Prozent der Werte sind vorteilhaft? 188 Lösung Teilaufgabe a) Schlechtester Wert: Investition in Übungen Zmin =x rnin . (Pmin -kvmax)-AOmax ·KWF(n min ) Zmin =400· (60-45) -200.000·0,187444= - 31.488,80 EUR Mittlerer Wert: Z$ =x$ .(p$ -kv$)-AO$ . KWF(n$) Z$ = 650· (79 - 37,5) -162.000·0,164735= + 287,93 EUR Bester Wert: Zmax =x max . (Pmax -kvmin)-AOmin . KWF(n max ) Zmax = 900· (100 - 30) -120.000·0,153963 = + 44.524,44 EUR Teilaufgabe b) Lauf Ao n kv x P (EUR) (Jahre) (EURIME) (ME) (EURIME) I 170.000 9 37,5 850 75 2 170.000 11 37,5 650 75 3 150.000 II 32,5 850 85 4 190.000 8 37,5 650 85 5 170.000 11 42,5 750 95 6 170.000 9 37,5 750 85 7 170.000 9 37,5 750 65 Z (EUR) 2.356,03 - 1.798,71 21.530,55 - 4.739,36 13.201,29 6.106,03 - 8.893,97 8 190.000 9 42,5 450 75 -18.366,79 Bringt man die Ziel werte in eine Rangfolge, so ergibt sich folgende Tabelle: Rang Ziel wert Nr. Zielwert in EUR I bester Wert 44.524,44 2 3 21.530,55 3 5 13.201,29 4 6 6.106,03 5 I 2.356,03 6 mittlerer Wert 287,93 7 2 - 1.798,71 8 4 - 4.739,36 9 7 - 8.893,97 10 8 - 18.366,79 II schlechtester Wert - 31.488,80 Unsicherheit bei Investitionsentscheidungen 189 AA , 80 6 '''' 'A [\ 'l() \.. ,.,,, "" " ~ A -----40.000 -20.000 o 20.000 40.000 60.000 Zielwert [EURj Abbildung 8: Risikoprofil der Investition Die Gewinnschwelle liegt bei etwa 50 %. 54,55 % der Werte liegen über o EUR und sind damit vorteilhaft. Aufgabe 6.16: Entscheidungsbaumverfahren Der Vorstand eines Unternehmens steht vor der Entscheidung, ob zur Erweiterung seiner Produktionskapazität eine neue Produktionsmaschine angeschafft werden soll. Dem Vorstand stehen zwei alternative Maschinen - Maschine A und Maschine B - zur Auswahl. Bei beiden Maschinen ist die Höhe der erzielbaren Einzahlungsüberschüsse (Zt) pro Periode abhängig von der zukünftigen Konjunkturlage. Der Vorstand kalkuliert mit zwei unterschiedlichen Konjunkturszenarien. Darüber hinaus ist bekannt, dass die erzielbaren Einzahlungsüberschüsse der Maschine A im Falle einer positiven Konjunktur über denen der Maschine B liegen. Ferner besteht die Möglichkeit, die Investition vorzeitig nach dem ersten Jahr zu beenden. Maschine A könnte dann zu einem Preis von 650.000 EUR verkauft werden. Für Maschine B könnte noch ein Liquidationserlös von 800.000 EUR erzielt werden. Ferner liegen folgende Informationen für einen Planungszeitraum von zwei Jahren vor: Zj in TEUR Z2in TEUR Zoin TEUR Konjunkturszenarien positiv negativ positiv negativ Maschine A - 1.700 1.200 700 1.800 600 Maschine B - 1.350 1.100 800 975 700 190 Investition in Übungen Der Vorstand des Unternehmens kalkuliert im Jahr 1 mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,35 (0,65) mit einer positiven (negativen) Entwicklung. Im Jahr 2 wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,55 (0,45) angenommen, dass sich die Konjunktur positiv (negativ) entwickelt. Beschreiben Sie das vorstehende Entscheidungsproblem unter Verwendung eines Entscheidungsbaums! Geben Sie für die jeweiligen Entscheidungsmöglichkeiten auch die Kapitalwerte unter Verwendung eines Kalkulationszinssatzes von 5 % p. a. an! Welche Handlungsweise ist unter diesen Bedingungen zu empfehlen? 192 Investition in Übungen Kapitalwerte für alle 16 Entscheidungsmöglichkeiten (Ri,j) in TEUR: ZI Ver- Z2 Entschei- positiv negativ kaufs- positiv negativ Kapital-dungsmög- 4J erlös lichkeiten Ende werte Jahr I R2,1 - \,700 1.200 - - 1,800 - 1,075,51 R2,2 - \,700 1.200 - - - 600 -12,93 R23 - \,700 1,200 - 650 - - 61,90 R2,4 - \,700 1,200 - 650 - - 61,90 R2,j - \,700 - 700 - 1,800 - 599,32 R2,6 - \,700 - 700 - - 600 -489,12 R2,7 - \,700 - 700 650 - - - 414,29 R2,g - \,700 - 700 650 - - - 414,29 R2,9 - 1,350 LlOO - - 975 - 581,97 R2,IO - 1,350 \,100 - - - 700 332,54 R2. 11 - 1.350 1,100 - 800 - - 459,52 R2,12 - 1.350 1,100 - 800 - - 459,52 R2,13 - 1,350 - 800 - 975 - 296,26 R2. 14 - 1,350 - 800 - - 700 46,83 R2,15 - 1,350 - 800 800 - - 173,81 R2,16 - 1,350 - 800 800 - - 173,81 Wird die Lösung des Entscheidungsproblems unter Verwendung des Roll- Back-Verfahrens ermittelt, sind zunächst die besten Folgeentscheidungen zu bestimmen, Die vier möglichen Entscheidungsalternativen im Zeitpunkt t l können folgendermaßen dargestellt werden: Alternative Konjunkturlage in Entscheidungsknoten Periode 1 Maschine A positiv Eu Maschine A negativ Eu Maschine B positiv E ,,3 Maschine B negativ E1.4 Unsicherheit bei Investitions entscheidungen 193 Für sämtliche Entscheidungsalternativen ist anhand der Erwartungswerte der Kapitalwerte der einzelnen Entscheidungsalternativen zu entscheiden, ob das Projekt abgebrochen oder fortgeführt wird: Entscheidungsknoten Kapitalwert bei Fortführung Kapitalwert bei Abbruch (in TEUR) (in TEUR) Co = + 1.075,51 . 0,55 Co = + 61,90 . 0,55 E, ., - 12,93' 0,45 + 61,90 . 0,45 = + 585,71 = + 61,90 Co = + 599,32 . 0,55 Co = - 414,29' 0,55 Eu - 489,12 . 0,45 - 414,29' 0,45 = + 109,52 = - 414,29 Co = + 581,97' 0,55 Co = + 459,52 . 0,55 Eu + 332,54 . 0,45 + 459,52 . 0,45 = + 469,73 = + 459,52 Co = + 296,26 . 0,55 Co = + 173,81 . 0,55 E,,4 + 46,83 . 0,45 + 173,81' 0,45 = + 184,02 = + 173,81 Werden bei der Beurteilung der Vorteilhaftigkeit der Investitionsalternativen zum Zeitpunkt t = 0 nur die besten Folgeentscheidungen berücksichtigt, ergeben sich folgende Kapitalwerte: CO] 585,71' 0,35 + 109,52' 0,65 = 276,19 TEUR Co II 469,73 ' 0,35 + 184,02 ' 0,65 = 284,02 TEUR Der Vorstand des Unternehmens sollte Maschine B erwerben und unabhängig von der Konjunkturentwicklung über 2 Jahre in Betrieb nehmen. 7 Investitionsprogrammentscheidungen 7.1 Grundlagen: Sukzessive und simultane Investitionsprogrammplanung Aufgabe 7.1: Sukzessive und simultane Investitionsprogrammplanung Erläutern Sie die Unterschiede zwischen einer sukzessiven und einer simultanen Investitionsprogrammplanung ! Lösung Sukzessive Investitionsprogrammplanung: Im einfachsten Fall besteht das Problem der Investitionsprogrammplanung darin, einen bestimmten Bestand an Finanzierungsmitteln optimal auf eine darum konkurrierende Menge sich gegenseitig nicht ausschließender Investitionsvorhaben aufzuteilen. Die Frage lautet also: Ein Investor verfüge im Zeitpunkt t = 0 über liquide Mittel in Höhe von x EUR und eine Menge von Investitionsanträgen, deren Gesamtbetrag sich auf mehr als x EUR beläuft. Welche Investitionsprojekte sollen realisiert werden, und auf welche Vorhaben soll man verzichten? Diese Fragestellung bezeichnet man deswegen als eine sukzessive Investitionsplanung, weil in einem ersten Planungsschritt zunächst die Menge der Finanzmittel festgelegt wird und erst in einem zweiten Planungsschritt eine Auswahl der Investitionsobjekte erfolgt, ohne dass dabei die Ergebnisse des ersten Planungsschrittes, also der Finanzplanung, revidiert werden können. Die Finanzplanung ist in diesem Fall ein Datum für die Investitionsplanung. Eine sukzessive Investitionsplanung führt allerdings häufig zu schlechteren Entscheidungsergebnissen als eine nicht-sukzessive (simultane) Investitionsplanung. Begründung: Unter Umständen verfügt der Investor über so günstige Investitionsmöglichkeiten, dass es sich im ersten Planungsschritt (Finanzplanung) gelohnt hätte, einen größeren Betrag zur Verfügung zu stellen als tatsächlich geschehen. Im entgegengesetzten Fall besitzt der Investor vielleicht so wenige lohnende Investitionsvorhaben, dass es im ersten Planungsschritt (Finanzplanung) besser gewesen wäre, einen geringeren Betrag zur Verfügung zu stellen.

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Zusammenfassung

Investition in Übungen.

Alles zum Thema Investitionen bietet dieses Übungsbuch. Sie erhalten zahlreiche Anhaltspunkte zur Lösung von Investitionsfragen. Die über 140 Übungen mit umfangreichen Lösungen sind der Schlüssel zum Methodenverständnis und die Voraussetzung für den Prüfungserfolg. Damit verfügen Sie über mehr Sicherheit beim Umgang mit den zentralen Verfahren des Investitionsmanagement.