82 Investition in Übungen 4.3 Annuitätenmethode Aufgabe 4.13: Annuitätenmethode Erläutern Sie die Annuitätenmethode in Stichwortform! Gehen Sie dabei auf die Begriffe äquivalent, äquidistant und uniform ein! Stellen Sie die Bestimmungsgleichung für die Annuitätenmethode auf! Lösung Bei der Annuitätenmethode wird der Erfolg anhand von Periodenerfolgen und nicht von Totalerfolgen ausgewiesen. Die ursprüngliche Zahlungsreihe wird in eine geänderte Zahlungsreihe mit folgenden Eigenschaften transformiert: Äquivalent: Der Kapitalwert der ursprünglichen Zahlungsreihe und der Kapitalwert der geänderten Zahlungsreihe sind identisch. Äquidistant: Die Zahlungen weisen denselben zeitlichen Abstand auf. Uniform: Die Zahlungen der geänderten Reihe sind alle gleich groß. Kapitalwert der transformierten Zahlungsreihe: Co = IZt ·(I+i)-t t~l Gemäß dem Erfordernis der Uniformität im Rahmen der Annuitätenmethode gilt: Co =Z· I(l+i)-t =Z·RBP·(i%/nJahre) ~ t~l Dabei gilt: Co: Kapitalwert der Investition zum Zeitpunkt t = 0; Zt : gleich hohe jährliche Einzahlungsüberschüsse; i: Kalkulationszinssatz p. a.; t: Periode (t = 1,2, ... , n); G n : Annuität einer Investition. Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 83 Aufgabe 4.14: Annuitätenmethode Die Gummi AG (siehe Aufgabe 4.9 auf Seite 72) möchte die zwei Maschinen, die zur Auswahl stehen, um die Produktionsmenge an Gummiteilen zu erhöhen, nach der Anwendung der Kapitalwertmethode mit einer weiteren Methode vergleichen. Der relevante Kalkulationszinssatz beträgt weiterhin 10 % p. a. Die Daten der beiden Maschinen gibt die folgende Tabelle wieder: t 0 I 2 3 4 5 ZcA (TEUR) - 300 85 90 80 80 70 Zr ß (TEUR) - 230 95 95 95 - - Dabei gilt: Zt: Differenz zwischen den Ein- und Auszahlungen von Maschine A bzw. von Maschine B der Periode t mit folgender Wirkung: ---7 Einzahlungsüberschuss der Periode t, wenn Zt > 0 bzw. ---7 Auszahlungsüberschuss der Periode t, wenn Zt < O. a) Führen Sie einen Vorteilhaftigkeitsvergleich mit Hilfe der Annuitätenmethode durch! b) Erklären Sie möglichst genau, welche ökonomische Bedeutung eine Annuität von z. B. 10 EUR hat! c) Führen die Kapitalwertmethode und die Annuitätenmethode (1) bei Beurteilung eines einzelnen Investitionsobjekts, (2) beim Vergleich sich gegenseitig ausschließender Investitionsobjekte bei jeweils gleicher Laufzeit immer zur gleichen Investitionsentscheidung? Begründen Sie Ihre Antwort! Lösung Teilaufgabe a) Kapitalwert der Maschine A (COA): COA - 300 + 85 . 1,1-1 + 90 . 1,1-2 + 80 . 1,1-3 + 80 . 1,1-4 + 70 . 1,1-5 = + 9,86 TEUR 84 Investition in Übungen Kapitalwert der Maschine B (COB ): COB = - 230 + 95· RBF (10 %/3 Jahre) = - 230 + 95·2,486852 = + 6,25 TEUR Annuität der Maschine A (GSA): GSA = COA . KWF (i = 10 %/n = 5 Jahre) = 9,86·0,263797 = + 2,60 TEUR Annuität der Maschine B (GSB): GSB = COB . KWF (i = 10 %/n = 5 Jahre) = 6,25 ·0,263797 = + 1,65TEUR Entscheidung: GnA > GnB > O. Da Maschine A eine höhere Annuität aufweist als Maschine B, sollte Maschine A ausgewählt werden. Darüber hinaus ist zu beachten, dass grundsätzlich keine Abweichung in den Nutzungsdauem der zwei Maschinen bestehen darf, weshalb in dem vorliegenden Fall eine Anpassung insoweit vorgenommen werden muss, als die Annuitäten der bei den Maschinen auf die gleiche Zeitdauer, hier 5 Jahre, errechnet werden. Ansonsten würde eine Verteilung des Kapitalwertes auf jeweils unterschiedliche Zeiträume vorgenommen werden. Teilaufgabe b) Unterstellung einer Annuität von Gn = 10 EUR: Eine positive Annuität gibt den konstanten Betrag an, den der Investor (während der Nutzungsdauer) der Investition am Ende jeder Periode entnehmen könnte, ohne die Tilgung der Anschaffungsauszahlung und die gewünschte Mindestverzinsung des gebundenen Kapitals zum Kalkulationszinssatz zu gefährden. Teilaufgabe c) (l) Vorteilhaftigkeitsproblem: Co KWF (i %/n Jahre) Gn = Co . KWF (i %/n Jahre) >0 >0 >0 =0 >0 =0 <0 >0 <0 Bei Beurteilung eines einzelnen Investitionsobjekts führen Kapitalwertmethode und Annuitätenmethode immer zur gleichen Investitionsentscheidung. Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 85 (2) Wahlproblem: C < C G nA < G nB G < G OA = OB ~ ~ nA = I1B > KWF(i %/nJahreh KWF(i %/nJahre) > Auch bei einem Vergleich sich gegenseitig ausschließender Investitionsobjekte führen Kapitalwertmethode und Annuitätenmethode unter der Prämisse, dass keine Abweichung in den Nutzungsdauern der einbezogenen Investitionsobjekte besteht, immer zur gleichen Investitionsentscheidung. Ansonsten würde eine Verteilung des Kapitalwerts auf jeweils unterschiedliche Zeiträume erfolgen. Aufgabe 4.15: Annuitätenmethode19 Ein Unternehmen investiert in eine Maschine 5.000 EUR und erwartet für den Zeitraum der Nutzungsdauer von drei Jahren die folgenden Überschüsse: Jahr 1 2 3 Einzahlungsüberschuss (EUR) 2.700 2.200 1.500 Der Kalkulationszinssatz i beträgt 8 % p. a. Welcher Betrag könnte am Ende eines jeden Jahres entnommen werden, ohne die Verzinsung und die Tilgung zu gefährden? Lösung Zuerst ist nach der Kapitalwertmethode vorzugehen: Jahr Zahlungs- Abzinsungsfaktor Barwerte Kumulation der strom (EUR) (EUR) Barwerte n 1 (EUR) -- (I + i)n 0 - 5.000 1 - 5.000,00 1 2.700 0,925926 2.500,00 - 2.500,00 2 2.200 0,857339 1.886,15 - 613,85 3 1.500 0,793832 1.190,75 576,90 Kapitalwert der Investition (Co) 576,90 19 Stark modifiziert entnonunen aus Olfert, Klaus; Reichei, Christopher: Kompakt- Training Investition, 4. Aufl., Ludwigshafen (Rhein) 2006, S. 126-127. 86 Investition in Übungen Der Kapitalwert wird daraufhin in die Annuitätenformel eingesetzt: G3 = Co' KWF (i = 8 %/n = 3 Jahre) = Co' 0,08 '31,083 1,08 -I = 576,90 EUR . 0,388034 = 223,86 EUR Ergebnis: Der Betrag von 223,86 EUR kann jedes Jahr entnommen werden, ohne die Verzinsung und die Tilgung zu gefährden. Zur Probe und zur Veranschaulichung soll folgende Tabelle dienen: Jahre Kapital (EUR) Zins (EUR) Tilgung (EUR) 0 3 Erlös (EUR) (EUR) 1 5.000,00 400,00 2.076,14 223,86 2.700 2 2.923,86 233,91 1.742,23 223,86 2.200 3 1.181,63 94,53 1.181,61 223,86 1.500 Aufgabe 4.16: Annuitätenmethode Es ist die Dicke der Isolierung einer Heizungsanlage festzulegen. Dicke der Isolierung Anschaffungskosten der Kosten des Energie- (in cm) Isolierung verlustes pro Jahr (in EUR) (in EUR) 0 0 4.000 1 4.000 2.200 2 5.800 1.100 3 7.600 821 4 9.600 640 Die Lebensdauer der Isolierung beträgt 10 Jahre, der Kalkulationszinsfuß 10 % p.a. Ermitteln Sie die kostenminimale Dicke der Isolierung mittels der dynamischen Annuitätenmethode und interpretieren Sie das Ergebnis! Lösung Bei der Ermittlung der Annuitäten der verschiedenen Isolierungen ist davon auszugehen, dass die Anschaffungskosten der Isolierungen und die Energiekosten jeweils zahlungswirksam sind. Üblicherweise werden Kapitalwerte und Annuitäten auf der Grundlage von Einzahlungsüberschüssen ermittelt, wobei die Investitionsalternative mit dem höchsten positiven Kapitalwert bzw. der Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 87 höchsten positiven Annuität gesucht wird. Da hier jedoch nur Auszahlungen gegeben sind, ist sinnvollerweise die (kosten-)minimale Annuität gesucht. Grundsätzlich werden bei der Annuitätenmethode zunächst die Kapitalwerte ermittelt. Diese werden dann mit dem entsprechenden Kapitalwiedergewinnungsfaktor multipliziert. Bei der hier vorliegenden AufgabensteIlung kann allerdings einfacher vorgegangen werden. Da die Kosten des Energieverlustes in jedem Jahr konstant sind, stellen sie eine eigenständige Annuität dar. Folglich sind nur noch die Anschaffungskosten durch Multiplikation mit dem Kapitalwiedergewinnungsfaktor in eine (Teil-)Annuität umzurechnen, die dann zu den Energiekostenannuitäten zu addieren ist, um die gesamte Annuität zu erhalten. Allgemein: Anschaffungskosten . KWF (i = 10 %/n = 10 Jahre) + Energiekostenannuität = gesamte Annuität Ocm: 0·0,162745 + 4.000 0 + 4.000 4.000,00 EUR 1 cm: 4.000 . 0,162745 + 2.200 650,98 + 2.200 2.850,98 EUR 2cm: 5.800·0,162745 + 1.100 943,92 + 1.100 2.043,92 EUR 3 cm: 7.600·0,162745 + 821 = 1.236,86 + 821 2.057,86 EUR 4cm: 9.600·0,162745 + 640 = 1.562,35 + 640 2.202,35 EUR Die kostenminimierende Isolierung hat eine Dicke von 2 cm. Sie verursacht 2.043,92 EUR ("Annuitäts-")Kosten pro Jahr. Aufgabe 4.17: Annuitätenmethode a) Ermitteln Sie - ausgehend von den Angaben aus Aufgabe 4.11 auf Seite 78 - für welches der bei den Investitionsprojekte sich der Investor entscheiden sollte, wenn er seine Entscheidung nach der Annuitätenmethode trifft und sein Kalkulationszinssatz weiterhin 10 % p. a. beträgt! b) Wie würde die Entscheidung lauten, wenn die Annuität nicht über die Nutzungsdauer der Investitionsprojekte (4 Jahre), sondern über 10 Jahre berechnet würde? 88 Investition in Übungen Lösung Teilaufgabe a) Kapitalwerte des Investitionsprojekts A (COA) und des Investitionsprojekts B (COB ) (siehe Lösung zu Aufgabe 4.11) bei einer Nutzungsdauer der Investitionsprojekte von jeweils 4 Jahren: COA = 6.232,50 EUR; COB = 6.011,00 EUR. Umwandlung der Kapitalwerte des Investitionsprojekts A und des Investitionsprojekts B in 4-jährige Annuitäten (G4A und G4B): G4A = 6.232,50 . KWF (i = 10 %/n = 4 Jahre) = 6.232,50. 0,1· (1 +~' 1 )4 (1+0,1) -1 = 6.232,50·0,315471 = 1.966,17 EUR G4B = 6.011,00 . KWF (i = 10 %/n = 4 Jahre) = 6.011,00. 0,1· (1 +~' 1 )4 (1+0,1) -1 = 6.011,00 ·0,315471 = 1.896,30 EUR Da die Annuität des Investitionsprojekts A (G4A) positiv und größer als die Annuität des Investitionsprojekts B (G4B) ist, sollte sich der Investor für Investitionsprojekt A entscheiden. Teilaufgabe b) Die Entscheidung würde sich gegenüber Teilaufgabe a) nicht ändern, da der Kapitalwert bei beiden Investitionsprojekten lediglich über einen längeren Zeitraum verteilt wird, die Rangfolge der Investitionsprojekte sich somit nicht ändern kann. Dies wird im Folgenden gezeigt. KWF Ci = 10 %/n = 10 Jahre) = 0,1· (1 + 0,1)10 = 0 162745 (1+0,1)1°-1 ' GlOA = 6.232,50·0,162745 = 1.014,31 EUR G lüB = 6.011,00·0,162745 = 978,26 EUR Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 89 4.4 Methode des internen Zinsfußes Aufgabe 4.18: Methode des internen Zinsfußes Die Gummi AG (siehe Aufgabe 4.9 auf Seite 72 und Aufgabe 4.14 auf Seite 83) mächte - neben der Kapitalwertmethode und der Annuitätenmethode einen weiteren Vergleich der zwei Investitionsobjekte durchführen. Dabei fällt die Entscheidung auf die Anwendung der internen Zinsfußmethode. t 0 1 2 3 4 5 Z,A (TEUR) - 300 85 90 80 80 70 Zr ß (TEUR) - 230 95 95 95 - - Dabei gilt: Zt: Differenz zwischen den Ein- und Auszahlungen von Maschine A bzw. von Maschine B der Periode t mit folgender Wirkung: ~ Einzahlungsüberschuss der Periode t, wenn Zt > 0 bzw. ~ Auszahlungsüberschuss der Periode t, wenn Zt < O. Der Kalkulationszinssatz beträgt weiterhin 10 % p. a. a) Stellen Sie die allgemeine Bestimmungsgleichung für den internen Zinsfuß r unter Anwendung der linearen Interpolation auf! b) Berechnen Sie für beide Investitionsobjekte den internen Zinsfuß (jeweils zwei Iterationsschritte)! Vergleichen und interpretieren Sie die gewonnenen Daten mit dem Ergebnis bei Anwendung der Kapitalwertmethode der Aufgabe 4.9 auf Seite 72! c) Führen die Kapitalwertmethode und die interne Zinsfußmethode immer zur gleichen Investitionsentscheidung (1) bei Beurteilung eines einzelnen Investitionsobjekts, (2) beim Vergleich sich gegenseitig ausschließender Investitionsobjekte? Begründen Sie Ihre Antwort! Lösung Teilaufgabe a) Der interne Zinsfuß reines Investitionsvorhabens ist so zu wählen, dass die erwirtschafteten Zahlungsüberschüsse Zt gerade ausreichen, das eingesetzte Kapital Ao zurückzugewinnen und die Verzinsung des Kapitals zum internen