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1.6 Annuitätenmethode in:

Andreas Schüler

Finanzmanagement mit Excel, page 68 - 73

Grundlagen und Anwendungen

1. Edition 2011, ISBN print: 978-3-8006-3662-4, ISBN online: 978-3-8006-4872-6, https://doi.org/10.15358/9783800648726_68

Series: Finance Competence

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1.6 Annuitätenmethode 49 1.6 Annuitätenmethode 1.6.1 Technik Die Annuitätenmethode bietet rechentechnische Vereinfachungen und ist daher nützlich. Sie ermöglicht es zum einen, rasch den Barwert einer Reihe konstant hoher Cashflows (Annuitäten) zu berechnen. Zum anderen kann ein gegebener Betrag in einen konstanten Einkommensstrom (Annuitäten) umgerechnet werden. Die „extremste“ Form einer annuitätischen Zahlungsreihe ist eine Reihe von Annuitäten über eine unendliche Laufzeit. Eine ewig lang andauernde Zahlungsreihe mag skurril wirken, wird aber oft unterstellt, so auch bei der Fallstudie Marvin Enterprises. In diesen Fällen ist die Barwertrechnung, wie wir gleich sehen werden, sehr einfach. Zudem kann man bei der Bewertung eines Unternehmens – der Wert eines Unternehmens ist nichts anderes als der Barwert der vom Unternehmen generierten Cashflows – nicht ein „Verfallsdatum“ schätzen, d.h. man schwenkt nach einer Detailplanungsphase regelmäßig in den sog. Rentenfall ein. Fotosatz Buck – Vahlen Competence – Schüler – Finanzmanagement mit Excel – Herstellung: Frau Deuringer Stand: 1. Juli 2011, 9:45 vorm. Druckdaten Seite 49 1. Investitionsrechnung50 Der Barwert einer Annuität von 1 €, die unendlich lange anfällt, beträgt:14 =0 1 V i Wenden wir uns nun dem Fall endlicher Laufzeit zu. Man kann den Barwert einer (endlichen) Annuität grundsätzlich auch mithilfe der NBW-Funktion berechnen. Für eine Annuität i. H.v. 10 mit einer Laufzeit von 6 Jahren und bei einem Zinssatz von 10 % folgt ein Barwert von 43,6 (B6). Alternativ kann man auch auf die Funktion BW (Barwert) zurückgreifen, die speziell für konstante Zahlungen konzipiert ist und folgende Syntax aufweist: BW(Zins;Zzr;Rmz). Zzr steht für Zahlungszeitraum und Rmz für die regelmäßige Zahlung. B5 enthält die Funktion für unser Beispiel. 3 4 5 6 A B C D E F G H t 0 1 2 3 4 5 6 Annuität 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 Barwert 43,6 =-BW(k;H3;C4) 43,6 =NBW(k;C4:H4) Zu beachten ist, dass die mit der Annuitätenmethode verbundenen Funktionen immer einen Vorzeichenwechsel eingebaut haben. Deswegen ist bei der Funktion BW ein Minuszeichen einzusetzen. In Zelle B5 heißt es denn auch „–BW…“. Dieser Hinweis gilt auch für die (noch zu erklärenden) Funktionen RMZ, ZW, ZINS und ZZR. Unabhängig von Excel erleichtert der Annuitätenfaktor (AF) bzw. der Rentenbarwertfaktor (RBF) das Rechnen erheblich. Sie sind wie folgt definiert:15 ( ) ( ) + = + − 1 1 1 n n i n i i AF i ; ( )( ) + − = = + 1 11 1 n n i nn i i RBF AF i i Den Annuitätenfaktor können wir über die Funktion RMZ berechnen (B7); der Rentenbarwertfaktor ist dann 1/RMZ (B8). Den Barwert von 43,6 erhalten wir, indem wir entweder die Annuität durch den Annuitätenfaktor teilen (B9) oder mit dem Rentenbarwertfaktor multiplizieren (B10). 3 4 5 6 7 8 9 10 A B C D E F G H t 0 1 2 3 4 5 6 Annuität 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 Barwert 43,6 =-BW(k;H3;C4) 43,6 =NBW(k;C4:H4) Annuitätenfaktor 0,22961 =RMZ(k;H3;-1) Rentenbarwertfaktor 4,3553 =1/B7 Barwert 43,6 =C4/B7 43,6 =C4*B8 14 Herleitung im Anhang, Abschnitt 1.14.1. 15 Herleitung im Anhang, Abschnitt 1.14.2. Fotosatz Buck – Vahlen Competence – Schüler – Finanzmanagement mit Excel – Herstellung: Frau Deuringer Stand: 1. Juli 2011, 9:45 vorm. Druckdaten Seite 50 1.6 Annuitätenmethode 51 Der Vollständigkeit halber sei erwähnt, dass die ZW-Funktion (B12) den Endwert einer Reihe konstanter Zahlungen liefert. 12 13 A B C D Endwert 77,2 =-ZW(k;H3;C4) Kontrolle 43,6 =B12/(1+k)^H3 1.6.2 Anwendung: Annuitätendarlehen Eine wichtige Anwendung der Annuitätenmethode ist die Berechnung des Kapitaldienstes eines Annuitätendarlehens. Der in t0 aufgenommene Kreditbetrag wird dazu mit dem Annuitätenfaktor (Funktion RMZ) multipliziert. Dass diese Annuität das hält, was sie verspricht, nämlich den jährlichen Kapitaldienst zu repräsentieren, macht eine Kontrollrechnung deutlich. Mithilfe der Funktionen ZINSZ und KAPZ lässt sich eine Annuität in Zins- und Tilgungsbestandteil aufteilen. Der durch die jährlichen Tilgungen abschmelzende Kreditbestand sinkt bis t6 auf 0 (H24); die Höhe der Annuität ist also stimmig. Die Aufteilung in Zins und Tilgung ist wichtig z. B. für die Rechnungslegung und die Besteuerung. 16 17 18 19 20 21 22 23 24 A B C D E F G H I t 0 1 2 3 4 5 6 Kreditaufnahme 10.000 Annuität 2.296 2.296 2.296 2.296 2.296 2.296 =-RMZ(k;$H$16;$B$17) Zins 1.000 870 728 571 398 209 =-ZINSZ(k;H16;$H$16;$B$17) Tilgung 1.296 1.426 1.568 1.725 1.898 2.087 =-KAPZ(k;H16;$H$16;$B$17) Summe 2.296 2.296 2.296 2.296 2.296 2.296 =H20+H21 Bestand 10.000 8.704 7.278 5.710 3.985 2.087 0 =G24-H21 Ist neben dem Kreditbetrag und der Laufzeit nur die Annuität bekannt, kann man anhand der Funktion ZINS den implizierten Zins berechnen. Ein Kredit mit einem Volumen von 20.000 und einer Annuität von 4.067 über 6 Jahre impliziert einen Zinssatz von 6 %. 27 28 29 30 A B C D E F G H t 0 1 2 3 4 5 6 Kreditaufnahme 20.000 Annuität 4.067 4.067 4.067 4.067 4.067 4.067 Implizierter Zins 6,0% =ZINS(H27;C29;-B28) Und schließlich können wir mithilfe der Funktion ZZR die implizierte Laufzeit eines Kredits ermitteln, sofern Betrag, Zinssatz und Annuität bekannt sind. 33 34 35 36 A B C D E Zinssatz 6,0% Annuität 4.067 Betrag in Jahr 0 20.000 Laufzeit 6 =ZZR(B33;-B34;B35) Fotosatz Buck – Vahlen Competence – Schüler – Finanzmanagement mit Excel – Herstellung: Frau Deuringer Stand: 1. Juli 2011, 9:45 vorm. Druckdaten Seite 51 1. Investitionsrechnung52 Excel-Tipp 19: Vor- bzw. nachschüssige Renten Alle in diesem Abschnitt besprochenen Funktionen lassen sich sowohl auf nachschüssige Zahlungen, die also am Periodenende anfallen, als auch auf vorschüssige Zahlungen, die am Periodenanfang anfallen, anwenden. Standardmäßig – so sind auch wir vorgegangen – sind Zahlungen am Periodenende unterstellt. Die entsprechende Fälligkeit kann den Wert 0 (Standardfall) oder 1 (vorschüssige Zahlung) annehmen. In unserem Annuitätenbeispiel folgt bei expliziter Formulierung für B5: -BW(k;H3;C4;0). Wir hatten bislang eine Periode als ein Jahr interpretiert. Das muss natürlich nicht sein, wir könnten ebenso auf Quartals-, Monats-, Wochen- oder gar Tagesbasis argumentieren. Wichtig ist dabei, dass neben den Cashflows auch der Diskontierungssatz zum entsprechenden periodischen Intervall passt. 1.6.3 Anwendung: Vermögensplanung Ein weiteres Anwendungsfeld für die Annuitätenmethode sind langfristige Spar- und „Entspar“-Vorgänge, wie sie z. B. in der Vermögensplanung im Rahmen der privaten Altersvorsorge vorkommen. Als Beispiel betrachten wir einen Sparvorgang über 10 Jahre: Nachdem jährlich 15 Geldeinheiten zu 10 % angespart werden, resultiert ein Kapitalvermögen (Endwert) von 239,1. Will der Sparer dieses Vermögen nun über 5 Jahre aufzehren, stehen bis Jahr 15 jährlich 63,1 zur Verfügung. 38 39 40 41 42 A B C D E F G H I J K L M N O P Q t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Spar-Annuität 15,0 15,0 15,0 15,0 15,0 15,0 15,0 15,0 15,0 15,0 Endwert Jahr 10 239,1 =-ZW(k;L38;C39) "Entspar"-Annuität 63,1 63,1 63,1 63,1 63,1 Annuitätenfaktor 0,26380 =RMZ(k;Q38-L38;-1) =$L$40*$B$42 1.6.4 Wachsende Annuität Die Annahme, dass Annuitäten periodisch wachsen, ist nicht unüblich. Hintergrund kann z. B. die Inflationsanpassung einer Leibrente sein. Die oben entwickelten Definitionen für den Barwert einer Annuität für unendliche und endliche Laufzeit sind dann zu modifizieren. Für eine Annuität, die in t1 1 € beträgt und die unendlich lange um g % wächst, folgt:16 = − 0 1 V i g Offensichtlich ist diese Gleichung nur definiert, wenn der Diskontierungssatz die Wachstumsrate übersteigt. 16 Herleitung im Anhang, Abschnitt 1.14.3. Fotosatz Buck – Vahlen Competence – Schüler – Finanzmanagement mit Excel – Herstellung: Frau Deuringer Stand: 1. Juli 2011, 9:45 vorm. Druckdaten Seite 52 1.6 Annuitätenmethode 53 Bei endlicher Laufzeit gilt für den Barwert einer wachsenden Annuität i. H.v. 1 €:17 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ª º+ + − +« »= ⋅ − = − « »+ + −¬ ¼,0 1 1 11 1 1 1 n i n nn n nAnn g i g V i g i i i g 1.6.5 Entscheidungsgrundlage Bis hierhin haben wir die Annuitätenmethode mehr als Rechentechnik zur Bewertung von Investitionsgelegenheiten und zur Abbildung von Annuitätendarlehen eingesetzt. Nun kann man mit ihr auch ein einzelnes Projekt an der Alternativrendite bzw. der Alternativannuität spiegeln oder sich zwischen konkurrierenden Projekten anhand deren erwarteter Annuitäten entscheiden. Beginnen wir mit Projekt I, das nach einer Investition von 50 eine Annuität von 20 über eine Laufzeit von 4 Jahren generiert. Investiert man das Kapital i.H. v. 50 zu 10% am Kapitalmarkt, erzielt man über vier Jahre eine Annuität von 15,8. Diesen Wert erhalten wir in Excel entweder über Multiplikation der Investitionssumme mit dem Annuitätenfaktor RMZ(0,1;4;-1) oder direkt über RMZ(0,1;4;-50). Klar ist damit, dass das Projekt der Alternativanlage überlegen ist. Klar ist auch, dass wir dieses Ergebnis auch direkt über den NPV erhalten hätten. 45 46 47 48 49 50 A B C D E F G t 0 1 2 3 4 Projekt I -50,0 20,0 20,0 20,0 20,0 Projekt II -50,0 10,0 15,0 20,0 35,0 Alternativanlage -50,0 15,8 15,8 15,8 15,8 =-$B$48*$B$50 Annuitätenfaktor 0,31547 =-RMZ(k;F45;1) Was zunächst nur leicht umständlicher als die NPV-Methode wirkt, wird deutlich aufwendiger, wenn wir Projekt II betrachten. Denn anders als bei Objekt I liegt nicht von vorneherein eine Annuität vor, sondern diese muss erst berechnet werden. Ausgangspunkt ist der Barwert der Cashflows (B55). Nachdem wir diesen mit dem Annuitätenfaktor (B50) multipliziert haben, erhalten wir eine Annuität von 19,1 über 4 Jahre. Im Vergleich zur Annuität bei alternativer Kapitalmarktanlage (15,8) ist auch Projekt II wertschaffend, bleibt aber hinter dem ersten Projekt zurück. Wenn wir uns zwischen den beiden Projekten entscheiden müssten, würden wir für Objekt I votieren. 53 54 55 56 A B C D E F G t 0 1 2 3 4 Projekt II* Barwert 60,4 =NBW(k;C47:F47) Annuität 19,1 19,1 19,1 19,1 =$B$55*$B$50 17 Herleitung im Anhang, Abschnitt 1.14.3. Fotosatz Buck – Vahlen Competence – Schüler – Finanzmanagement mit Excel – Herstellung: Frau Deuringer Stand: 1. Juli 2011, 9:45 vorm. Druckdaten Seite 53 1. Investitionsrechnung54 Die für Projekt II nötige Umrechnung ist mühsam und unnötig, da wir – wie gehabt – mit dem NPV arbeiten könnten. Da die Annuitätenmethode nichts anderes ist als die Barwert- bzw. NPV-Methode auf Basis von konstanten Cashflows, liefert sie aber keine „falschen“ Ergebnisse. Der höhere Aufwand erklärt aber, warum Unternehmen bei Projektanalysen kaum auf die Annuitätenmethode, deren Vorzüge klar in ihrer Eigenschaft als unterstützendes Recheninstrument liegen, als Entscheidungsgrundlage zurückgreifen. 58 59 60 61 62 A B C D NPV Annuität IRR Projekt I 13,4 20,0 21,9% Projekt II 10,4 19,1 17,6% =NBW(k;C46:F46)+B46 =IKV(B46:F46) 1.7 Profitabilitätsindex Der Profitabilitätsindex (Profitability Index) wird in zwei Versionen berechnet: In Version A wird der Barwert der Cashflows der Investitionssumme gegen- übergestellt; ein Index kleiner 1 signalisiert Wertvernichtung, Projekte mit einem Index von genau 1 erwirtschaften die Kapitalkosten und wertgenerierende Projekte weisen einen Index größer 1 auf. = 0 0 A V PI I In der Version B wird im Zähler nicht der Barwert, sondern der NPV eingesetzt. Entsprechend sind die Indexstände im Vergleich zur Variante A immer um 1 niedriger. Ein Index kleiner Null signalisiert also Wertvernichtung. = 0 0 B NPV PI I Wir konzentrieren uns in der Folge auf die Version B: Der Index sei definiert als die Relation von NPV zur Investitionssumme. Dass wir uns für B entscheiden, hängt lediglich damit zusammen, dass ich gerne auf die Größe NPV zurückgreife. Konzeptionell sind beide Varianten gleichwertig. Wollen wir ein Projekt isoliert beurteilen, liefert uns der Index lediglich die Zusatzinformation, wieviel NPV je Geldeinheit Kapitaleinsatz generiert werden. Unsere Entscheidung für oder gegen das Projekt fällen wir aber ohnehin auf Basis des NPV. Etwas aufwendiger fällt die Überlegung aus, wenn wir mehrere Projekte in eine Rangfolge bringen wollen. Gehen wir von drei Projekten und unterschiedlichen Rahmenbedingungen aus: 1. Unabhängige Projekte ohne Finanzierungsrestriktion: Das Management kann alle, zwei, eins oder keines der Projekte durchführen. Einen Kapitalengpass gibt Fotosatz Buck – Vahlen Competence – Schüler – Finanzmanagement mit Excel – Herstellung: Frau Deuringer Stand: 1. Juli 2011, 9:45 vorm. Druckdaten Seite 54

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Zusammenfassung

"Der sichere Umgang mit Excel wird heute von allen Studienabgängern, die in einen finanzorientierten Beruf einsteigen wollen, vorausgesetzt. Auf die Idee, die Grundlagen des Finanzmanagements von der Investitionsrechnung über die Finanzplanung bis hin zur Unternehmensbewertung sowie zur Finanzierung mit ihrer konkreten Umsetzung in Excel praxisnah zu verbinden, ist (&) bislang noch niemand gekommen. Mit dem vorliegenden Buch wird diese Lücke nunmehr geschlossen. Ein unverzichtbares Buch für Studierende und Praktiker.

Dr. Marc Castedello, StB, WP, Partner und Head of Valuation Deutschland, KPMG AG

&sowohl für Praktiker als auch für Studenten von großem Interesse, da das Buch eine gelungene Verbindung schafft zwischen den Methoden des Finanzmanagements und den entsprechenden Excel-Anwendungen.

Dr. Gerhard Ebinger, Vice President Asset Management & Shareholder Services, BASF SE

Das Buch ist eine gelungene Synthese aus theoretischer Fundierung und deren praktischer Anwendung.

Prof. Dr. Bernhard Schwetzler, Lehrstuhl für Finanzmanagement und Banken, HHL Leipzig Graduate School of Management