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3.4 Capital Asset Pricing Model in:

Andreas Schüler

Finanzmanagement mit Excel, page 212 - 234

Grundlagen und Anwendungen

1. Edition 2011, ISBN print: 978-3-8006-3662-4, ISBN online: 978-3-8006-4872-6, https://doi.org/10.15358/9783800648726_212

Series: Finance Competence

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3. Risiko & Rendite194 3.4 Capital Asset Pricing Model 3.4.1 Konzeptionelle Grundlagen: Von der Portfoliotheorie zum CAPM Das Capital Asset Pricing Model (CAPM) baut auf der Portfoliotheorie auf und entwickelt diese weiter, um eine Antwort auf eine für das Finanzmanagement äußerst wichtige Frage zu liefern: Welche Rendite muss ein riskantes Projekt im Kapitalmarktgleichgewicht liefern, um die Eigentümer für das übernommene Risiko zu entschädigen? Wenn wir diese Frage beantworten können, ist es möglich, Managern risikoäquivalente Renditen für ihre Investitionsentscheidungen an die Hand zu geben, einen passenden Kapitalkostensatz (Renditehürde) für die (unternehmens)wertorientierte Steuerung zu formulieren sowie den Diskontierungssatz für die Bewertung einer Beteiligung, eines Geschäftsbereichs oder eines Unternehmens zu bestimmen. Die Anwendungsmöglichkeiten des Modells sind also vielfältig. Es fußt auf Beiträgen der Herren Lintner, Mossin, Sharpe, Tobin und Treynor aus den sechziger Jahren des letzten Jahrhunderts.56 Zentrale Annahmen des Modells, die wir stillschweigend auch schon bei der Darstellung der Portfoliotheorie unterstellt hatten, sind: r Investoren sind risikoavers und rational. Sie orientieren sich am Erwartungswert μ und der Standardabweichung σ (Annahme einer quadratischen Nutzenfunktion der Investoren bzw. Normalverteilung der Renditen). r Alle Marktteilnehmer besitzen die gleichen Informationen, die kostenlos und ohne Zeitverzögerung zugänglich sind, und verarbeiten diese zu homogenen Erwartungen. r Die Investoren agieren als Preisnehmer; Mittelanlage und -aufnahme ist ihnen zum risikolosen Zinssatz i möglich. r Steuern und Transaktionskosten gibt es nicht. Mit diesem Annahmenkatalog im Rücken wollen wir also den von der Portfoliotheorie gesponnenen Faden aufnehmen: Alle Anleger ermitteln die identische Linie effizienter Portfolios, da ihnen die gleichen Informationen vorliegen und sie diese schnell, rational und einheitlich auswerten. Da nun zudem eine Investition zum risikolosen Zinssatz i möglich ist, können die Anleger ihren Präferenzen gehorchend ein Portfolio aus risikobehafteten Investitionen (Wertpapieren) mit der risikolosen Rendite kombinieren. Da sie sich zu i auch verschulden können, ist es möglich, mehr als 100 % des Vermögens in das riskante Portfolio zu investieren. Allerdings müssen wir noch herausfinden, welches Portfolio aus der Liste effizienter Portfolios hier relevant ist. Klar ist, dass die Investoren eine Position einnehmen wollen, die bei einem gegebenen Risikoniveau die 56 Lintner (1965a) und (1965b), Mossin (1966), Sharpe (1963) und (1964), Tobin (1958), Treynor (1961) und (1962). 1990 erhielt Sharpe für seinen Beitrag zur Entwicklung einer „general theory for the pricing of financial assets“ den Nobelpreis. In diesem Jahr wurden ebenfalls mit dem Nobelpreis ausgezeichnet Harry Markowitz („… theory of portfolio management …“) und Merton Miller („important contributions in the field of corporate finance“). Fotosatz Buck – Vahlen Competence – Schüler – Finanzmanagement mit Excel – Herstellung: Frau Deuringer Stand: 1. Juli 2011, 9:47 vorm. Druckdaten Seite 194 3.4 Capital Asset Pricing Model 195 maximale Rendite erwarten lässt. In unserem Rendite-Risiko-Diagramm ist die „am weitesten nordwestlich“ gelegene Position die attraktivste. Relevant ist also das Portfolio, das sich in Kombination mit der risikolosen Rendite gerade noch erreichen lässt. Dieses Portfolio liegt dort, wo die Verbindungslinie zur risikolosen Rendite – diese Linie trägt den Namen „Kapitalmarktlinie“ (capital market line) – die effiziente Linie berührt; darüber und links davon gibt es keine Portfolios. Da das alle Investoren genauso sehen, enthält dieses Portfolio alle am Markt verfügbaren Wertpapiere und heißt daher Marktportfolio. Die Kapitalmarktlinie (KML) stellt somit die Verbindung zwischen der risikolosen Rendite und einem effizientem Portfolio dar, welche die höchste Steigung aufweist. Abbildung 3-20 illustriert diese Überlegungen. Die Investoren können ihr Vermögen investieren in das Marktportfolio, also das Portfolio aus allen risikobehafteten Wertpapieren (Aktien), und in die risikolose Anlage. Eine Investition in das Marktportefeuille M kann auch mit einer Kreditaufnahme zum Satz i kombiniert werden; so sind Positionen auf der Kapitalmarktlinie rechts von M erreichbar. Investoren können so das Risiko ihres Gesamtinvestments beliebig fein adjustieren. Die Kapitalmarktlinie zeigt, welche Rendite ein Anleger im Kapitalmarktgleichgewicht aus seinem privaten Portfolio erwarten kann, wenn er den Anteil α seiner gesamten Mittel in das Aktienportfolio M investiert und entweder den Anteil (1 – α) in risikolose Anleihen steckt (Fall 1) oder sich verschuldet i. H.v. 1 – α (Fall 2). Im zweiten Fall ist dann α > 1. Werfen wir einen genaueren Blick auf die beiden Konstellationen 1. Ein Anleger investiert in Aktien (M) und eine risikolose Anlage. Die erwartete Rendite beträgt: ( ) ( )= + = + 1 - -P M Mr a r a i i a r i R en di te Risiko (σ) Marktportfolio rM i Minimum-Varianz- Portfolio M Abbildung3-20: Effiziente Linie & Kapitalmarktlinie Fotosatz Buck – Vahlen Competence – Schüler – Finanzmanagement mit Excel – Herstellung: Frau Deuringer Stand: 1. Juli 2011, 9:47 vorm. Druckdaten Seite 195 3. Risiko & Rendite196 Die erwartete Rendite ist umso höher, je größer a ist. Das Risiko ist definiert mit: σ α σ σ= ⋅P M M< Mit dem Anteil α legt der Anleger fest, wieviel Risiko er übernehmen will. Im Fall 1 ist α kleiner als 1. 2. Ein Anleger investiert in Aktien (M) und eine risikolose Anlage. Die erwartete Rendite beträgt: ( ) ( ) P M M r r a i r i i 1 - ; 1 - α α α = + > = + Die Standardabweichung ist: σ α σ σ= ⋅ >P M M Welche Position der Anleger auf der Kapitalmarktlinie einnimmt, hängt von seinen persönlichen Präferenzen ab. Keine Position auf dieser Linie ist besser oder schlechter als eine andere, für alle gilt ein fairer Rendite-Risiko-Tradeoff. Nun wissen wir also, welche Rendite wir für ein riskantes Portfolio erwarten dürfen. Nach Einsetzen von P M/α σ σ= in die Formel für die erwartete Protfoliorendite bzw. ausgehend vom Achsenabschnitt, der risikolosen Rendite, und der Steigung der KML σ § · −¨ ¸¨ ¸© ¹ M M r i ( )σ σ σ σ − = + − = +P MP M P M M r i r i r i i Wir sind aber zudem an der Definition der Rendite für ein einzelnes Investitionsprojekt j (Wertpapier, Aktie) interessiert. Die entsprechende Definition sieht so aus: R en di te Risiko (σ) M i MVP Abbildung3-21: Positionen auf der Kapitalmarktlinie Fotosatz Buck – Vahlen Competence – Schüler – Finanzmanagement mit Excel – Herstellung: Frau Deuringer Stand: 1. Juli 2011, 9:47 vorm. Druckdaten Seite 196 3.4 Capital Asset Pricing Model 197 ( )β= + −j j Mr i r i Dies ist die zentrale CAPM-Gleichung, deren Bestandteilen für die praktische Anwendung nun Leben einzuhauchen ist. Die Herleitung der Gleichung finden Sie im nächsten Abschnitt. Der Betawert steht für die Kovarianz der Objektrendite mit der Marktrendite in Relation zur Varianz der Marktrendite: σ σβ ρ σ σ = = ,2 jM j j M j M M Da die Marktteilnehmer als risikobehaftete Anlage alle das Marktportfolio wählen, ist das für ein einzelnes Investment (z. B. eine Aktie) relevante Risiko ausschließlich auf Basis des Risikobeitrags dieses Einzelinvestments zum bzw. in Relation zum Marktrisiko zu bestimmen. Kritische Werte für den Betawert sind die Ausprägungen 0 und 1. Bei einem Betawert von 0 entspricht die geforderte Rendite der risikolosen Rendite. Ein Beta von 0 kennzeichnet also eine risikolose Investition: ( )= + ⋅ − =0j Mr i r i i Liegt eine Investition vor, für die gilt β = 1, so ist eine Rendite i. H. d. Marktrendite zu erwarten; die Investition weist das gleiche Risiko auf wie das Marktportefeuille: ( )= + ⋅ − =1j M Mr i r i r Die Abhängigkeit der Rendite vom Betawert wird grafisch durch die sog. Wertpapierlinie (security market line) repräsentiert, deren Achsenabschnitt wiederum die risikolose Rendite und deren Steigung – unter Berücksichtigung, dass βM = 1 – der als „Marktrisikoprämie“ bezeichneten Differenz −Mr i entspricht. Die Überleitung von der Kapitalmarkt- zur Wertpapierlinie veranschaulicht Abbildung 3-22. R en di te Risiko (σ) M R en di te Risiko (β) rM βM =1β=0 rM – i i MVP σM Abbildung3-22: Effiziente Linie, Kapitalmarktlinie & Wertpapierlinie Fotosatz Buck – Vahlen Competence – Schüler – Finanzmanagement mit Excel – Herstellung: Frau Deuringer Stand: 1. Juli 2011, 9:47 vorm. Druckdaten Seite 197 3. Risiko & Rendite198 Abbildung 3-23 und Abbildung 3-24 sollen zwei Botschaften zur praktischen Anwendung der Wertpapierlinie transportieren:57 1. Positive NPV werden dann generiert, wenn ein Projekt eine Rendite liefert, die die geforderte risikoäquivalente Rendite übersteigt; falls die geforderte Rendite nicht erreicht wird, droht Wertvernichtung. 2. Wenn sich einem Manager mehrere Investitionsgelegenheiten bieten, die unterschiedlich riskant sind, sollte er darauf mit Renditeerwartungen reagieren, die die Risiken der Projekte korrekt einpreisen. Bei Anwendung einer starren Renditehürde, die vielleicht das Risiko des Unternehmens insgesamt 57 Die Abbildungen orientieren sich an Hillier/Ross/Westerfield/Jaffe/Jordan (2010), S.321, 328. R en di te n i Vorteilhafte Projekte Wertvernichtende Projekte rB βB A B C β Abbildung3-23: Wertpapierlinie & vorteilhafte Projekte βB R en di te n β i rB B Fälschlich akzeptierte IO mit negativem NPV Fälschlich abgelehnte IO mit positivem NPV Abbildung3-24: Konsequenzen grobschlächtiger Zielrenditen Fotosatz Buck – Vahlen Competence – Schüler – Finanzmanagement mit Excel – Herstellung: Frau Deuringer Stand: 1. Juli 2011, 9:47 vorm. Druckdaten Seite 198 3.4 Capital Asset Pricing Model 199 abbildet, drohen Fehlentscheidungen auf Projektebene: Unterdurchschnittlich riskante Projekte, welche die Unternehmensrendite nicht erreichen, aber oberhalb der Wertpapierlinie liegen und damit einen positiven NPV erwarten lassen, bleiben außen vor; überdurchschnittlich riskante Projekte, die zwar die Unternehmensrendite schlagen, aber nicht die korrekten (höheren) projektspezifischen Renditen, vernichten Wert. 3.4.2 Für besonders Interessierte: Die Herleitung à la William Sharpe Das Kernstück des CAPM, die Formel zur Berechnung der erwarteten, risiko- äquivalenten Rendite, wollen wir Sharpe (1964) folgend herleiten.58 Er geht dabei von einer einzelnen Investition I aus, die zwar bereits Teil des Marktportfolios M ist, in die aber parallel zunächst ein Teil des Vermögens (α) des Investors investiert wird. Aus allen Kombinationen dieser Einzelinvestition mit dem Marktportfolio kann eine Linie effizienter Portfolios gebastelt werden, deren Steigung im Punkt M der Steigung der Kapitalmarktlinie entsprechen muss. Setzt man diese Steigungen gleich, so kann man nach der von dieser Einzelinvestition zu lieferenden Rendite auflösen. Nun zur Herleitung: Erwartete Rendite und Standardabweichung eines Portfolios, das zu α aus der Investition I und zu (1 – α) aus einer Anlage in das Marktportefeuille besteht, sind wie folgt zu definieren: ( )α α= + −1P I Mr r r ( ) ( )σ α σ α σ α α σª º= + − + −¬ ¼ 1 2 22 2 21 2 1 P I M IM α reagieren, zeigen die ersten Ableitungen der Gleichungen: ( ) ( ) ( ) α σ α σ α σ α α σ ασ σ ασ σ ασ α − ∂ = − ∂ ∂ ª º= + − + − − + + −¬ ¼∂ 1 2 22 2 2 2 2 21 1 2 1 2 2 2 2 4 2 P I M P I M IM I M M IM IM r r r Im Gleichgewicht, also im Punkt M, gilt: α = 0. Damit können wir schreiben: ( ) ( ) α α α σ σ σ σ σ σ α σ = − = ∂ = − ∂ ∂ − = − + = ∂ 0 1 2 2 22 0 1 2 2 2 P I M P IM M M M IM M r r r 58 Vgl. Sharpe (1964), S. 437–438; Copeland/Weston/Shastri (2005), S. 159–161. Sharpe geht insoweit anders vor, als er nach dem Risiko auflöst bzw. das Risiko als abhängige Variable versteht. Er ordnet die Achsen des Rendite-Risiko-Diagramms folgerichtig genau umgekehrt zu unserem bzw. dem inzwischen üblichen Vorgehen an – bei Sharpe bildet die x-Achse die geforderte Rendite und die y-Achse die Standardabweichung ab. Die Resultate bleiben davon unberührt. Nebenbei sei angemerkt, dass Sharpe Herleitung und Ergebnisse sträflich bescheiden in zwei Fußnoten (22 und 25) versteckt. Fotosatz Buck – Vahlen Competence – Schüler – Finanzmanagement mit Excel – Herstellung: Frau Deuringer Stand: 1. Juli 2011, 9:47 vorm. Druckdaten Seite 199 3. Risiko & Rendite200 Im Punkt M steigt die Linie der aus I und M kombinierten Portfolios mit: α α σ σσ α σ = ∂ ∂ − = −∂ ∂ 0 2 / / P I M IM MP M r r r 59 σ −M M r i In M müssen die beiden Steigungen gleich sein: σ σ σ σ − − = − 2 I M M IM M M M r r r i Und wir können nun nach der erwarteten Rendite einer nicht voll diversifizierten Position (Einzelinvestition) auflösen: σ σ − = + 2 M I IM M r i r i Mit σ σβ ρ σ σ = =2 jM j j jM M M erhalten wir schließlich die CAPM-Gleichung: ( )β= + −j j Mr i r i Ich erlaube mir, zum Kapitel zur Umsetzung mit einem Zitat des nobelpreisgekrönten Kollegen Sharpe überzuleiten, in dem er (vorsorglich) auf den Vorwurf reagiert, die Annahmen des CAPM seien unrealistisch:60 „However, since the proper test of a theory is not the realism of its assumptions but the acceptability of its implications, and since these assumptions imply equilibrium conditions which form a major part of classical financial doctrine, it is far from clear that this formulation should be rejected – especially in view of the dearth of alternative models leading to similar results”. Ich halte dieses Statement auch 47 Jahre später für sehr belastbar. 59 Wir hatten ja vorher schon erwähnt, dass die Kapitalmarktlinie durch den Punkt M die höchste Steigung aufweist. Eine dazu äquivalente Aussage ist, dass das Portfolio M von allen effizienten Portfolios die höchste sog. Sharpe Ratio, die für das Marktportfolio definiert ist als σ −M M r i , aufweist. 60 Vgl. Sharpe (1964), S. 434. Fotosatz Buck – Vahlen Competence – Schüler – Finanzmanagement mit Excel – Herstellung: Frau Deuringer Stand: 1. Juli 2011, 9:47 vorm. Druckdaten Seite 200 3.4 Capital Asset Pricing Model 201 3.4.3 Zur praktischen Implementierung Die Bestandteile der CAPM-Gleichung (risikolose Rendite, Betawert, Marktrisikoprämie) können anhand von Marktdaten geschätzt werden. Die risikolose Rendite ist – betrachtet man den deutschen Markt – aus den Renditen börsennotierter Bundeswertpapiere ablesbar. Zwar liegt der Teufel, insbesondere bei einer Anwendung über mehrere Perioden hinweg, im Detail, aber letztlich liegen börsentäglich laufzeitspezifische Renditen dieser Wertpapiere vor und sind über die Homepage der Deutschen Bundesbank auch öffentlich zugänglich.61 Die Marktrisikoprämie wird in der Regel durch die in der Vergangenheit beobachtete Differenz zwischen Marktrendite, repräsentiert durch die Rendite eines Aktienmarktindex, und risikoloser Rendite geschätzt. Die empirischen Ergebnisse schwanken je nach Stichprobe. In seiner 2004 veröffentlichten Studie ermittelt Stehle (2004) eine Renditedifferenz im arithmetischen Mittel von 5,46 % vor Einkommensteuer. Das Institut der Wirtschaftsprüfer empfiehlt derzeit eine Marktrisikoprämie von 4,5 % bzw. 5 % nach bzw. vor Abgeltungsteuer.62 Betawerte der DAX30-Unternehmen sind z. B. im Finanzteil des Handelsblatts zu finden. Bei Datenlieferanten wie Bloomberg oder Reuters können Betawerte börsennotierter Unternehmen erworben werden. In der Regel werden diese aus historischen Daten auf Basis (des noch zu besprechenden) Indexmodells ermittelt. Barra International bietet sog. Predicted Betas an, die aus einem hauseigenem Modell abgeleitet werden. Wird der Betawert eines nicht-börsennotierten Unternehmens benötigt, können Branchenbetas oder die Betawerte von hinsichtlich Geschäfts- bzw. Investitionsrisiko und Kapitalstruktur- bzw. Finanzierungsrisiko vergleichbarer Unternehmen (Pure Play Technique) weiterhelfen. Die gerade angesprochene Differenzierung zwischen Investitions- und Finanzierungsrisiko ist wichtig, da eine Erhöhung des Verschuldungsgrades auch zu einem Anstieg des Risikos und damit des Betawerts führt. Um das Finanzierungsrisiko bereinigte Betawerte, die also nur das Geschäftsrisiko reflektieren, werden auch als Unlevered Betas (βU) oder Asset Betas im Gegensatz zu den Levered Betas (βL) bezeichnet. Für einen nicht nur hinsichtlich des unterstellten Steuersystems – es sei nur der Unternehmensteuersatz τC relevant – einfachen Fall sieht die Umrechnung vom Unlevered zum Levered Beta in Abhängigkeit der Relation von Fremd- zu Eigenkapital (D zu E) so aus:63 ( )β β τª º= + −« »¬ ¼1 1L U C D E 61 Ich will hier die Details nicht weiter vertiefen, sondern verweise auf den Abschnitt VI.1 im Kapitel 6 von Drukarczyk/Schüler (2009). Aber auch in vielen anderen Beiträgen zur Unternehmensbewertung wird dieses Thema ausführlich diskutiert, vgl. z. B. Ballwieser (2011), S. 84–92. 62 Vgl. Stehle (2004), S. 921; Wagner u.a. (2008), S. 747. Eine ausführliche Diskussion zur Marktrisikoprämie finden Sie z.B. in Drukarczyk/Schüler (2009), Kapitel 6 Abschnitt VI.2. 63 Für realitätsnähere Anwendungsbedingungen vgl. Drukarczyk/Schüler (2009), S. 225– 228, 395–412. Fotosatz Buck – Vahlen Competence – Schüler – Finanzmanagement mit Excel – Herstellung: Frau Deuringer Stand: 1. Juli 2011, 9:47 vorm. Druckdaten Seite 201 3. Risiko & Rendite202 3.4.4 Umsetzung in Excel Wir unterstellen zunächst widerum ein sehr begrenztes Universum riskanter Investments: Es soll nur zwei riskante Wertpapiere, A und B, geben. Für jede der beiden Investitionsgelegenheiten unterstellen wir drei mögliche Szenarien. Die risikolose Rendite beträgt 4 %. Die Inputdaten und die üblichen Rendite- und Risikokennzahlen enthält nachfolgende Tabelle: 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 A B C D E F G W'keit Aktie A Aktie B Aktie A Aktie B Szenario 1 0,30 170 110 0,172 0,1 =D9/$C$4-1 Szenario 2 0,40 143 100 -0,017 0 =D10/$C$4-1 Szenario 3 0,30 160 130 0,103 0,3 =D11/$C$4-1 Aktie A Aktie B Erwartete Rendite 0,0759 0,1200 =B9*F9+B10*F10+B11*F11 Varianz 0,0065 0,0156 Standardabweichung 0,0806 0,1249 =WURZEL(C15) Kovarianz 0,0054 Korrelation 0,0083 =C17/B16*C16 Kurs 1 + Dividende 1 Rendite =B9*(E9-B14)*(F9-C14)+B10 *(E10-B14)*(F10-C14) +B11*(E11-B14)*(F11-C14) =B9*(F9-C14)^2+B10*(F10-C14)^2+B11 *(F11-C14)^2 Wie sieht das Marktportfolio aus? Wir wollen diese Frage analytisch und mithilfe des Solvers beantworten. Zentrale Idee der analytischen Herleitung ist die Maximierung der Überrendite, der Differenz zwischen Marktrendite und risikoloser Rendite, in Relation zum eingegangenen Risiko gemessen durch die Standardabweichung der Marktrendite (Sharpe-Ratio). Da sie nichts anderes darstellt als die in Abschnitt 3.4.1 vorgestellte Steigung der Kapitalmarktlinie, kann man den Ansatz charakterisieren als die Suche nach der steilsten Kapitalmarktlinie. Dabei sind der Steigung Grenzen gesetzt durch die Linie effizienter Portfolios. Gesucht ist also das Tangentialportfolio, bei dem sich effiziente Linie und Kapitalmarktlinie berühren. Gemäß der im Anhang, Abschnitt 3.10.8, dargestellten Herleitung sind die Hilfsgrößen z, welche eine Vorstufe zur Berechnung der Portfoliogewichte darstellen, definiert gemäß: ( ) ( )σ σ σ σ σ − − − = − 2 2 2 2 A B B AB A A B AB r i r i z ( ) ( )σ σ σ σ σ − − − = − 2 2 2 2 B A A AB B B A AB r i r i z Fotosatz Buck – Vahlen Competence – Schüler – Finanzmanagement mit Excel – Herstellung: Frau Deuringer Stand: 1. Juli 2011, 9:47 vorm. Druckdaten Seite 202 3.4 Capital Asset Pricing Model 203 Daraus lassen sich die Anteile xA und xB berechnen: λ= = = +¦A A AA A B z z z x z z z λ= = = +¦B B BB A B z z z x z z z Die Größe λ kann als Marktpreis für das Risiko interpretiert werden, da sie die Differenz zwischen erwarteter Marktrendite und risikoloser Rendite – der Marktrisikoprämie – in Bezug setzt zur Varianz der Marktrendite: λ σ − = 2 M M r i A = 1,785 (B25) und zB = 4,513 (B26) einen Anteil der Aktie A von etwa 28 % (B29) und einen Anteil von B von demzufolge etwa 72 % (B30) ermitteln. Und wir können die Gleichung der Kapitalmarktlinie formulieren: σ σ σ σ − = + − = + = + ⋅ 0,1075 0,04 0,04 0,04 0,6522 0,1035 M P P M P P r i r i 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 A B C Berechnung des Marktportfolios Lösungsweg 1: Analytisch Hilfsgröße z Aktie A 1,7846 =((B14-i)*C15-(C14-i)*C17) /((B15*C15-C17^2)) Hilfsgröße z Aktie B 4,5128 =((C14-i)*B15-(B14-i)*C17) /((B15*C15-C17^2)) Summe 6,2974 =B25+B26 Anteil Aktie A am Portfolio 0,2834 =B25/$B$27 Anteil Aktie B am Portfolio 0,7166 =B26/$B$27 Summe 1 =B29+B30 Lambda 6,2974 =(B46-i)/(B47^2) Erwartete Rendite des Portfolios 0,1075 =B29*B14+B30*C14 Portfoliostandardabweichung 0,1035 =WURZEL(B29^2*B15 +B30^2*C15+2*B29*B30*C17) Marktrisikoprämie = Marktrendite - i 0,0675 =B35-i Fotosatz Buck – Vahlen Competence – Schüler – Finanzmanagement mit Excel – Herstellung: Frau Deuringer Stand: 1. Juli 2011, 9:47 vorm. Druckdaten Seite 203 3. Risiko & Rendite204 Wie beim analytischen Ansatz ist die Sharpe-Ratio (B49) bei Anwendung des Solvers in Abhängigkeit des Portfoliogewichts von A (B43) zu maximieren: Unsere analytisch berechneten Ergebnisse werden bestätigt: 41 42 43 44 45 46 47 48 49 A B C Lösungsweg 2: Solver Anteil Aktie A am Portfolio 0,2834 Anteil Aktie B am Portfolio 0,7166 =1-B43 Erwartete Rendite des Portfolios 0,1075 =B43*B14+B44*C14 Portfoliostandardabweichung 0,1035 =WURZEL(B43^2*B15+B44^2 *C15+2*B43*B44*C17) Zielgröße: Sharpe Ratio 0,6519 =(B46-i)/B47 Wir lassen dann Excel die Kapitalmarktlinie und die effiziente Linie auf Basis unserer Beispielsdaten in ein Punkt (XY)-Diagramm zeichnen (Abbildung 3-25). Zur Illustration heben wir die Position auf der Kapitalmarktlinie hervor, die ein Investor einnimmt, der eine „Fifty-fifty“-Aufteilung seines Vermögens Fotosatz Buck – Vahlen Competence – Schüler – Finanzmanagement mit Excel – Herstellung: Frau Deuringer Stand: 1. Juli 2011, 9:47 vorm. Druckdaten Seite 204 3.4 Capital Asset Pricing Model 205 zwischen risikoloser Anlage und Investition in M präferiert. Positionen oberhalb von M werden nur dann erreicht, wenn sich ein Investor verschuldet und das damit verbundene höhere Risiko akzeptiert. Die erwartete Rendite z. B. bei einer Investition von 150 % des Vermögens in das Marktportfolio i. V.m. einer Verschuldung von 50 % können wir aufbauend auf der erwarteten Rendite des Marktportfolios berechnen: ( ) ( ) = + − = + − = ,Verschuldung Fremdkapital Vermögen 50% 0,1075 0,1075 0,04 0,1412 100% P M Mr r r i 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 A B C D E F effiziente Linie xA ıP rP xP ıP rP 0,00 0,1249 0,1200 0,00 0,0000 0,0400 0,10 0,1169 0,1156 0,10 0,0104 0,0467 0,20 0,1094 0,1112 0,20 0,0207 0,0535 0,30 0,1024 0,1068 0,30 0,0311 0,0602 0,40 0,0961 0,1023 0,40 0,0414 0,0670 0,50 0,0906 0,0979 0,50 0,0518 0,0737 0,60 0,0861 0,0935 0,60 0,0621 0,0805 0,70 0,0827 0,0891 0,70 0,0725 0,0872 0,80 0,0806 0,0847 0,80 0,0828 0,0940 0,90 0,0799 0,0803 0,90 0,0932 0,1007 1,00 0,0806 0,0759 1,00 0,1035 0,1075 1,10 0,1139 0,1142 1,20 0,1242 0,1210 1,30 0,1346 0,1277 1,40 0,1449 0,1345 1,50 0,1553 0,1412 1,60 0,1656 0,1480 1,70 0,1760 0,1547 Kapitalmarktlinie Fotosatz Buck – Vahlen Competence – Schüler – Finanzmanagement mit Excel – Herstellung: Frau Deuringer Stand: 1. Juli 2011, 9:47 vorm. Druckdaten Seite 205 3. Risiko & Rendite206 Zur Darstellung der Abhängigkeit der Kapitalmarktlinie vom risikolosen Zinssatz maximieren wir die Sharpe-Ratio mithilfe des Solvers erneut, wobei wir jetzt einen höheren risikolosen Zinssatz (5 %) unterstellen: 0,03 0,05 0,07 0,09 0,11 0,13 0,15 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 er wrr ar trr et e R en di te Standardabweichung Marktportfolio KML 50% Marktportfolio, 50% risikolose Anlage 150% Marktportfolio, 150% Kreditaufnahme Abbildung3-25: Kapitalmarktlinie Fotosatz Buck – Vahlen Competence – Schüler – Finanzmanagement mit Excel – Herstellung: Frau Deuringer Stand: 1. Juli 2011, 9:47 vorm. Druckdaten Seite 206 3.4 Capital Asset Pricing Model 207 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 A B C Neuer risikoloser Zinssatz 5,0% Lösungsweg 2: Solver Anteil Aktie A am Portfolio 0,0786 Anteil Aktie B am Portfolio 0,9214 =1-B86 Erwartete Rendite des Portfolios 0,1165 =B86*B14+B87*C14 Portfoliostandardabweichung 0,1186 =WURZEL(B86^2*B15+B87^2 *C15+2*B86*B87*C17) Sharpe Ratio 0,5610 =(B89-B82)/B90 Wir erkennen, dass eine Veränderung des risikolosen Zinssatzes die Zusammensetzung des Marktportfolios ändert: Der Anteil der Aktie A schmilzt. Die neue Kapitalmarktlinie verläuft durch folgende Punkte: 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 A B C xP ıP rP 0,00 0,0000 0,0500 0,10 0,0119 0,0567 0,20 0,0237 0,0633 0,30 0,0356 0,0700 0,40 0,0474 0,0766 0,50 0,0593 0,0833 0,60 0,0712 0,0899 0,70 0,0830 0,0966 0,80 0,0949 0,1032 0,90 0,1067 0,1099 1,00 0,1186 0,1165 1,10 0,1304 0,1232 1,20 0,1423 0,1298 1,30 0,1542 0,1365 1,40 0,1660 0,1431 1,50 0,1779 0,1498 Nun führt beispielsweise eine Beleihung von 50 % des Vermögens bei Investition des gesamten verfügbaren Betrages in das Marktportfolio zu einer geforderten Rendite von rund 15 % bei einer Standardabweichung von 17,8 %. Die Kapitalmarktlinien bei einer risikofreien Rendite von 4 % und bei einer von 5 % enthält Abbildung 3-26. Der Schritt vom Rendite-Risiko-Zusammenhang bei volldiversifizierten Positionen (Portfolios) repräsentiert durch die Kapitalmarktlinie hin zum Rendite- Risiko-Zusammenhang einer Einzelposition j ist nicht groß. Die Gleichung zur Wertpapierlinie ist wie in Abschnitt 3.4.1 hergeleitet: ( )β= + −j j Mr i r i Fotosatz Buck – Vahlen Competence – Schüler – Finanzmanagement mit Excel – Herstellung: Frau Deuringer Stand: 1. Juli 2011, 9:47 vorm. Druckdaten Seite 207 3. Risiko & Rendite208 Der Betafaktor ist – zur Erinnerung – definiert gemäß: σβ σ = 2 jM j M bzw. σβ ρ σ = j j jM M Angewandt auf unser Beispiel mit den beiden Aktien A und B können wir nun die zugehörigen Betawerte berechnen und die Wertpapierlinie, deren Achsenabschnitt die risikolose Rendite und deren Steigung die Marktrisikoprämie (erwartete Marktrendite abzüglich risikoloser Rendite) ist, zeichnen. Die erwarteten Renditen, die wir bereits auf Basis der szenarioabhängigen Renditen berechnet hatten, können wir dann auch auf Basis der CAPM-Gleichung berechnen. Man könnte einwenden, dass dies zwar interessant, aber entbehrlich ist, da man das Ergebnis doch schon kennt. Diese Argumentation ist aber etwas kurzsichtig, da die praktische Anwendung regelmäßig nicht auf Basis der szenarioabhängigen Renditen bzw. Kurse erfolgt, sondern anhand des bekannten risikolosen Zinssatzes, der geschätzten Marktrisikoprämie und des geschätzten Betawerts. Zur Schätzung der Marktrisikoprämie und auch zur Schätzung des Betawerts habe ich mich bereits in Abschnitt 3.4.3 geäußert. In Kapitel 3.5 werden wir noch einmal auf die Berechnung des Betawerts zurückkommen. 0,03 0,05 0,07 0,09 0,11 0,13 0,15 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 er w ar te te Re nd ite Standardabweichung Marktportfolio alt KML alt neu neu Abbildung3-26: Kapitalmarktlinie in Abhängigkeit vom risikolosen Zins Fotosatz Buck – Vahlen Competence – Schüler – Finanzmanagement mit Excel – Herstellung: Frau Deuringer Stand: 1. Juli 2011, 9:47 vorm. Druckdaten Seite 208 3.4 Capital Asset Pricing Model 209 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 Q R S T U Betawerte Aktie A Wahrscheinlichkeit Aktie A M Szenario 1 0,30 0,1724 0,1205 Szenario 2 0,40 -0,0172 -0,0049 Szenario 3 0,30 0,1034 0,2443 Aktie A M Erwartete Rendite 0,0759 0,1075 Varianz 0,0065 0,0107 Standardabweichung 0,0806 0,1035 =WURZEL(S11) Kovarianz 0,0057 Betawert 0,531 =R13/S11 Erw. Rendite über Betawert 0,0759 =i+R14*mrp Achsenabschnitt KML Risikolose Rendite 0,04 =i Steigung KML Marktrisikoprämie 0,0675 =mrp Aktie B Wahrscheinlichkeit Aktie B M Szenario 1 0,30 0,1000 0,1205 Szenario 2 0,40 0,0000 -0,0049 Szenario 3 0,30 0,3000 0,2443 Aktie B M Erwartete Rendite 0,1200 0,1075 Varianz 0,0156 0,0107 Standardabweichung 0,1249 0,1035 =WURZEL(S31) Kovarianz 0,0127 Betawert 1,1853 =R33/S31 Erw. Rendite über Betawert 0,1200 =i+R34*mrp Rendite Rendite =R5*T5+R6*T6+R7*T7 =R5*(T5-S10)^2+R6*(T6- S10)^2+R7*(T7-S10)^2 =R5*(S5-R10)*(T5-S10)+R6*(S6-R10)*(T6- S10)+R7*(S7-R10)*(T7-S10) =R25*T25+R26*T26+R27*T27 =R25*(T25-S30)^2+R26*(T26- S30)^2+R27*(T27-S30)^2 =R25*(S25-R30)*(T25-S30)+R26*(S26- R30)*(T26-S30)+R27*(S27-R30)*(T27-S30) Abbildung 3-27 zeigt die Wertpapierlinie für das Beispiel. Der Betawert der risikolosen Anlage ist Null; der Betawert des Marktportfolios ist per definitionem Eins. Der Betawert der Aktie A ist 0,531, daraus resultiert eine Renditeforderung i.H. v. 7,59 %; das Beta der Aktie B ist 1,185 und die geforderte Rendite ist 12 %. Fotosatz Buck – Vahlen Competence – Schüler – Finanzmanagement mit Excel – Herstellung: Frau Deuringer Stand: 1. Juli 2011, 9:47 vorm. Druckdaten Seite 209 3. Risiko & Rendite210 Excel-Tipp 33: Datenbeschriftungen Die Anschaulichkeit einer grafischen Darstellung erhöht das Anzeigen von Informationen zu den zugrundeliegenden Datenpunkten. Bearbeitet man ein Diagramm, ist zunächst über der entsprechenden Datenreihe durch Klicken der rechten Maustaste die Option „Datenbeschriftung hinzufügen“ zu wählen. Dann ist auf Höhe der nun angezeigten Datenbeschriftung wieder durch Klicken der rechten Taste die Option „Datenbeschriftungen formatieren“ aufzurufen. Neben dem Namen der Datenreihe können X- und Y-Wert – im Beispiel Betawert und erwartete Rendite – angezeigt werden. 1,0000; 0,1075 0,531; 0,0759 1,1853; 0,1200 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 er wrr ar trr et e R en di te Betafaktor Marktportfolio WPL Aktie A Aktie B Abbildung3-27: Wertpapierlinie für das Beispiel Fotosatz Buck – Vahlen Competence – Schüler – Finanzmanagement mit Excel – Herstellung: Frau Deuringer Stand: 1. Juli 2011, 9:47 vorm. Druckdaten Seite 210 3.4 Capital Asset Pricing Model 211 3.4.5 Berechnung des Marktportfolios im 3-Aktienfall Kehren wir noch einmal zu unserem Beispiel mit den drei Aktien zurück (Abschnitt 3.3.3). Wir haben im vorangegangenen Abschnitt für den 2-Aktienfall gezeigt, wie man durch Maximierung der Sharpe-Ratio bei gegebener risikoloser Rendite aus der Menge der effizienten Portfolios das optimale Portfolio, das Marktportfolio, auswählt. Dass die Sharpe-Ratio ins Spiel kommt, kann sowohl aus technischer als auch aus ökonomischer Sicht rasch begründet werden: technisch gesehen entspricht sie der Steigung der Kapitalmarktlinie – das optimale Portfolio „maximiert“ insofern diese Steigung – und ökonomisch betrachtet misst sie die Überrendite je Risikoeinheit, die möglichst groß sein sollte. Diese Interpretationen sind unabhängig davon, ob das Portfolio aus zwei, drei, fünf oder siebzehn Aktien besteht. Auch die Rechentechnik bleibt gleich; die relevanten Schritte sind: Formulierung der Maximierungsfunktion, Ableitung nach den Portfoliogewichten, Rückgriff auf die Hilfsgrößen z und Lösung der resultierenden Gleichungen mithilfe der Matrizenrechnung.64 Wie uns der übernächste Screenshot, entnommen dem Arbeitsblatt „3.3.3 3-Aktienfall“, berichtet, besteht das Marktportfolio im Beispiel zu rund 19 % aus A, 41% aus B und 40% aus C. Die erwartete Marktrendite beträgt 12,41 % (AL 31) bei einer Standardabweichung von 11,73 % (AL 33), i ist 4 %. Zuvor aber die Grunddaten: 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A B C D A B C Erwartete Rendite 0,1400 0,1800 0,0600 Varianz 0,0380 0,0440 0,0044 Standardabweichung 0,1949 0,2098 0,0663 Kovarianzmatrix Aktie A Aktie B Aktie C Aktie A 0,0380 0,0204 0,0019 Aktie B 0,0204 0,0440 0,0028 Aktie C 0,0019 0,0028 0,0044 Korrelationen Aktie A Aktie B Aktie C Aktie A 1,00 0,50 0,15 Aktie B 1,00 0,20 Aktie C 1,00 64 Für die Details, vgl. Anhang, Abschnitt 3.10.9. Fotosatz Buck – Vahlen Competence – Schüler – Finanzmanagement mit Excel – Herstellung: Frau Deuringer Stand: 1. Juli 2011, 9:47 vorm. Druckdaten Seite 211 3. Risiko & Rendite212 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 AK AL AM AN AO Berechnung des Marktportfolios Matrix A 0,0380 0,0204 0,0019 0,0204 0,0440 0,0028 0,0019 0,0028 0,0044 Formeln: =B5 =C9 =D9 =C9 =C5 =D10 =D9 =D10 =D5 Inverse Matrix (A-1) 35,210 -16,020 -5,389 -16,020 30,963 -12,521 -5,389 -12,521 237,567 b= 0,1000 =B4-i 0,1400 0,0200 Hilfsgröße z Aktie A 1,1704 =MMULT(AL12:AN14;AL16:AL18) Hilfsgröße z Aktie B 2,4824 Hilfsgröße z Aktie C 2,4595 Summe 6,1123 =SUMME(AL21:AL23) Anteil Aktie A 0,1915 =AL21/$AL$24 Anteil Aktie B 0,4061 Anteil Aktie C 0,4024 Erwartete Rendite des Portfolios 0,1241 =AL26*B4+AL27*C4+AL28*D4 Portfoliovarianz 0,0138 Portfoliostandardabweichung 0,1173 3.4.6 Nochmals zur effizienten Linie: Zwei effiziente Portfolios legen die Linie fest Schon früh wurde in der Literatur darauf hingewiesen, dass die effiziente Linie aus zwei effizienten Portfolios aufgespannt werden kann.65 Man kann die zugrunde liegende Idee wie folgt skizzieren: Eben haben wir gesehen, wie man bei gegebener risikoloser Rendite das Marktportfolio bestimmt. Dieses Portfolio ist zweifellos effizient. Was passiert, wenn wir die risikolose Rendite variieren? Wir erhalten ein neues, effizientes Marktportfolio; auch das haben wir demonstriert. Damit haben wir bereits zwei effiziente Portfolios definiert. 65 Vgl. Black (1972), S. 447–452. Fotosatz Buck – Vahlen Competence – Schüler – Finanzmanagement mit Excel – Herstellung: Frau Deuringer Stand: 1. Juli 2011, 9:47 vorm. Druckdaten Seite 212 3.4 Capital Asset Pricing Model 213 Die zum zweiten Mal zu durchlaufende Prozedur entspricht genau der im vorangegangenen Abschnitt dargestellten Herleitung des Marktportfolios. Nun besteht die letzte Aufgabe darin, aus diesen beiden effizienten Portfolios durch feine Variierung ihrer Portfoliogewichte neue effiziente Portfolios zusammen zu fügen, die dann die effiziente Linie festlegen. Nachfolgende Tabelle enthält die Daten zu unseren Portfolios 1 und 2; für Portfolio 1 setzen wir die risikolose Rendite auf 0, bei Portfolio 2 betrage sie 5 %. Die Differenz der beiden risikolosen Renditen belegen wir mit dem Symbol c. Im unteren Teil der Tabelle werden die resultierende Zusammensetzung – Grundlage sind unverändert die Daten zu den Aktien A, B des Beispiels aus Abschnitt 3.3.3 bzw. Abschnitt 3.4.5 – der beiden Portfolios und die resultierenden Renditen und Varianzen bzw. Standardabweichungen genannt. Anmerkung: Wenn Sie mögen, können Sie schnell prüfen, dass wir in der Tat die aus dem Vorkapitel bekannten Zusammenhänge nutzen, indem Sie bei einem der beiden Portfolios die risikolose Rendite auf 4 % setzen. Sie erhalten die gleichen Ergebnisse wie oben. Nun wollen wir aus den Portefeuilles 1 und 2 weitere effiziente Portfolios mischen, um die effiziente Linie zeichnen zu können. Gefragt ist also die Rendite und die Standardabweichung bzw. Varianz dieser zusammengesetzten Portfolios. Während die Renditen schnell in Abhängigkeit der Gewichte der Portfolios 1 und 2 berechnet werden können, ist die Berechnung der Standardabweichungen aufwendiger, da die Kovarianz zwischen den Portfolios 1 und 2 für die Rechnung benötigt werden. Diese Lücke können wir schließen, indem wir die erwartete Rendite des Portfolios 1 auf Basis der Rendite des Portfolios 2 formulieren:66 ( )β= + −1 1 2r c r c Mit einem Betawert β1, der sich am Portfolio 2 ausrichtet, erhalten wir: σβ σ = 12 1 2 2 Nach Umformung der vorletzten Formel folgt schnell: β −= − 1 1 2 r c r c Demnach können wir – c, die Differenz der die risikolosen Renditen, entspricht im Beispiel 5 %, die erwarteten Renditen 1 und 2 sowie die Varianz des Portfolios 2 kennen wir – zunächst den Betawert ermitteln und dann die gesuchte Kovarianz zwischen 1 und 2 berechnen aus: σ β σ= 212 1 2 Die entsprechenden Rechnungen enthalten die Zellen AC55 bis AC57 des Arbeitsblatts „3.4.4 CAPM“. Zur Kontrolle setzen wir ein Mischportfolio an, das zu 100% aus Portfolio 2 besteht; die für Portfolio 2 zuvor berechneten Werte werden 66 Vgl. für das Folgende Benninga (2008), S.263–272, 285–289. Fotosatz Buck – Vahlen Competence – Schüler – Finanzmanagement mit Excel – Herstellung: Frau Deuringer Stand: 1. Juli 2011, 9:47 vorm. Druckdaten Seite 213 3. Risiko & Rendite214 bestätigt. Die in den Zeilen 59 bis 66 dargestellte Grundlage des neu gemischten Portfolios benötigen wir dann auch, um über die Funktion DATENTABELLE eine Reihe effizienter Portfolios und damit die effiziente Linie zu berechnen. 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 A B A C A D A E A F A G A H A I A J A K Po rt foff lio 1 Po rt foff lio 2 A ch se na bs ch ni tt (ri sik ol os e Re nd ite ) 1 : 0 A ch se na bs ch ni tt (ri sik ol os e Re nd ite ) 2 : 0, 05 M at rix A 0, 03 80 0, 02 04 0, 00 19 M at rix A 0, 03 80 0, 02 04 0, 00 19 0 , 02 04 0, 04 40 0, 00 28 0, 02 04 0, 04 40 0, 00 28 0 , 00 19 0, 00 28 0, 00 44 0, 00 19 0, 00 28 0, 00 44 Fo rm el n zu r M a r tri x A : Fo rm el n zu r M a r tri x A : =A C5 =A D 9 =A E9 =A C2 3 =A D 23 =A E2 3 =A D 9 =A D 5 =A E1 0 =A C2 4 =A D 24 =A E2 4 =A E9 =A E1 0 =A E5 =A C2 5 =A D 25 =A E2 5 In ve rs e M at rix (A -1 ) In ve rs e M at rix (A -1 ) 35 ,2 10 0 -1 6, 01 98 -5 ,3 89 3 35 ,2 10 0 -1 6, 01 98 -5 ,3 89 3 -1 6, 01 98 30 ,9 62 9 -1 2, 52 09 -1 6, 01 98 30 ,9 62 9 -1 2, 52 09 -5 ,3 89 3 -1 2, 52 09 23 7, 56 73 -5 ,3 89 3 -1 2, 52 09 23 7, 56 73 b= 0, 14 00 =A C4 -A E2 1 b= 0, 09 00 0, 18 00 0, 13 00 0, 06 00 0, 01 00 H ilf sgff rö ße z A kt i kk e A 1, 72 25 =M M U LT (A C3 1: A E3 3; A C3 5: A C3 7) H ilf sgff rö ße z A kt i kk e A 1, 03 24 H ilf sgff rö ße z A kt i kk e B 2, 57 93 H ilf sgff rö ße z A kt i kk e B 2, 45 82 H ilf sgff rö ße z A kt i kk e C 11 ,2 45 8 H ilf sgff rö ße z A kt i kk e C 0, 26 29 Su m m mm e 15 ,5 47 6 =S U M M E( A C3 9: A C4 1) Su m m mm e 3, 75 35 A nt ei l A kt i kk e A 0, 11 08 =A C3 9/ $A C$ 42 A nt ei lA kt i kk e A 0, 27 51 A nt ei l A kt i kk e B 0, 16 59 A nt ei l A kt i kk e B 0, 65 49 A nt ei l A kt i kk e C 0, 72 33 A nt ei l A kt i kk e C 0, 07 00 Re nd ite d es P or tfoff lio s 1 : 0, 08 88 =A C4 4* A C4 +A C4 5* A D 4+ A C4 6* A E4 Re nd ite d es P or tfoff lio s 2 : 0, 16 06 Po rtf off lio va ria nz 1 : 0, 00 57 Po rtf off lio va ria nz 2 : 0, 02 95 Po rtf off lio std .a bw . 1 : 0, 07 56 Po rtf off lio std .a bw . 2 : 0, 17 16 Fotosatz Buck – Vahlen Competence – Schüler – Finanzmanagement mit Excel – Herstellung: Frau Deuringer Stand: 1. Juli 2011, 9:47 vorm. Druckdaten Seite 214 3.4 Capital Asset Pricing Model 215 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 AB AC AD Beta (Portf 1) 0,3506 =(AC49-(AK21-AE21))/(AI49- (AK21-AE21)) Kovarianz(Portf. 1, Portf. 2) 0,0103 =AC55*AI50 Korrelation (Portf. 1, Portf. 2) 0,0001 =AC56*AC51*AI51 Beispielhaftes "Misch"-Portfolio Anteil Portfolio 1 0% Anteil Portfolio 2 100% Rendite des Portfolios Neu: 0,1606 =AC61*AC49+AC62*AI49 Portfoliovarianz Neu: 0,0295 Portfoliostd.abw. Neu: 0,1716 =WURZEL(AC65) Denn mit DATENTABELLE können wir die Anteile der Portfolio 1 und 2 variieren – Bezugszelle ist AC61 im Blatt „3.4.4 CAPM“, die den Anteil von Portfolio 1 festlegt – und die entsprechenden Rendite-Risiko-Kombinationen berechnen lassen. Abbildung 3-28 zeigt das Resultat. Alle Portfolios unterhalb des MVP sind nicht effizient. Legen Sie Abbildung 3-19 daneben und Sie erkennen, dass wir die gleiche effiziente Linie produziert haben.67 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 AM AN AO Anteil Portfolio 1 Standardabweichung Rendite 0,17165 0,16059 0 0,1716 0,1606 0,0100 0,1705 0,1599 0,0200 0,1694 0,1592 0,0300 0,1683 0,1584 0,0400 0,1672 0,1577 0,0500 0,1661 0,1570 0,0600 0,1650 0,1563 0,0700 0,1639 0,1556 0,0800 0,1628 0,1548 0,0900 0,1617 0,1541 Datentabelle zur effizienten Linie 67 Da wir implizit Leerverkäufe des Portfolios zugelassen haben, ist der Teil der Linie mit ineffizienten Portfolios ausgeprägter als in Abbildung 3–19. 4% 6% 8% 10% 12% 14% 16% 18% 20% 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0,22 Er wrr ar trr et e R en di te Abbildung3-28: Linie möglicher Portfolios Fotosatz Buck – Vahlen Competence – Schüler – Finanzmanagement mit Excel – Herstellung: Frau Deuringer Stand: 1. Juli 2011, 9:47 vorm. Druckdaten Seite 215 3. Risiko & Rendite216 3.5 Indexmodell 3.5.1 Konzeptionelle Grundlagen Das Indexmodell von Sharpe, auch bekannt als Market Model, Single Index Model, Single Factor Model oder – den Begriff benutzt Sharpe zunächst – Diagonal Model, reduziert den Datenbedarf für die Konstruktion von Aktien- Portfolios und es erlaubt eine einfache und plausible Form der Zerlegung des Gesamtrisikos (Varianz) in das systematisches Risiko (Marktrisiko) und das unsystematisches Risiko (Nicht-Marktrisiko).68 William Sharpe knüpft in seinem grundlegenden Beitrag von 1963 an der Portfoliotheorie von Markowitz an, letztlich um die effiziente Linie „effizienter“ berechnen zu können. Der Betafaktor wird durch die Steigung einer Regressionsgeraden geschätzt, die die Verknüpfung zwischen der Rendite der Aktie j und einem Marktindex M – in der Praxis regelmäßig ein breiter Aktienindex – erfasst. Das Nicht-Marktrisiko besteht in den Abweichungen der Renditeausprägungen der Aktie j von den durch die Regressionsgerade beschriebenen Werten. Diese Abweichungen sind die sog. Residuen (ε) der Regressionsgleichung. i j jα β ε= + ⋅ + t t tj j j M j r r Mit j = 1, …, n Wertpapiere t = 1, …, T Beobachtungszeitpunkte Die Parameter αj und βj werden auf Basis der historischen Ausprägungen von rj und rM mittels linearer Regression geschätzt. Die Residuen sind auf unternehmensspezifische Ursachen zurückzuführen (z.B. guter bzw. schlechter Manager scheidet aus, eine Erfindung wird veröffentlicht, eine Unternehmensübernahme wird bekannt, eine große Rückrufaktion wird notwendig). Quantifiziert wird deren Einfluss durch ihre Varianz, die Teil der Gesamtvarianz der Aktie j ist. Denn die Varianz der Rendite einer Aktie j – bzw. allgemeiner eines Investitionsobjekts j – können wir in zwei Teile zerlegen:69 εσ β σ σ= +2 2 2 2jj j M Der erste Teil der Varianz repräsentiert das systematische Risiko bzw. das Marktrisiko; der zweite Teil stellt das unsystematische Risiko bzw. das Nicht- Marktrisiko dar. Ein weiterer technischer Vorteil des Modells besteht darin, dass die Kovarianz zweier Aktien i und j unter der Annahme, dass die Residuen unkorreliert sind, schnörkellos geschätzt werden kann:70 68 Vgl. Sharpe (1963). Auch in Markowitz (1959), nebenbei bemerkt ein auch didaktisch hervorragendes Buch, findet sich auf den Seiten 97 bis 101 eine schnörkellose Skizze des Modells. 69 Vgl. Abschnitt 3.10.10 im Anhang. Für die genannten und weitere Beispiele zum unsystematischen und systematischen Risiko, vgl. Drukarczyk (1993), S. 246. 70 Vgl. Abschnitt 3.10.11 im Anhang. Fotosatz Buck – Vahlen Competence – Schüler – Finanzmanagement mit Excel – Herstellung: Frau Deuringer Stand: 1. Juli 2011, 9:47 vorm. Druckdaten Seite 216

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Zusammenfassung

"Der sichere Umgang mit Excel wird heute von allen Studienabgängern, die in einen finanzorientierten Beruf einsteigen wollen, vorausgesetzt. Auf die Idee, die Grundlagen des Finanzmanagements von der Investitionsrechnung über die Finanzplanung bis hin zur Unternehmensbewertung sowie zur Finanzierung mit ihrer konkreten Umsetzung in Excel praxisnah zu verbinden, ist (&) bislang noch niemand gekommen. Mit dem vorliegenden Buch wird diese Lücke nunmehr geschlossen. Ein unverzichtbares Buch für Studierende und Praktiker.

Dr. Marc Castedello, StB, WP, Partner und Head of Valuation Deutschland, KPMG AG

&sowohl für Praktiker als auch für Studenten von großem Interesse, da das Buch eine gelungene Verbindung schafft zwischen den Methoden des Finanzmanagements und den entsprechenden Excel-Anwendungen.

Dr. Gerhard Ebinger, Vice President Asset Management & Shareholder Services, BASF SE

Das Buch ist eine gelungene Synthese aus theoretischer Fundierung und deren praktischer Anwendung.

Prof. Dr. Bernhard Schwetzler, Lehrstuhl für Finanzmanagement und Banken, HHL Leipzig Graduate School of Management