Michael Bitz, 1. Investition in:

Michael Bitz, Michel Domsch, Ralf Ewert, Franz W. Wagner (Ed.)

Vahlens Kompendium der Betriebswirtschaftslehre Bd. 1, page 116 - 182

5. Edition 2005, ISBN print: 978-3-8006-3134-6, ISBN online: 978-3-8006-4866-5, https://doi.org/10.15358/9783800648665_116

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B. 1 . Investition Michael Bitz Gliederung 1 . Gegenstand der betriebs wirtschaftlichen Investitionstheorie 1 07 2. Investitionsentscheidungen bei sicheren Erwartungen . . . . 1 09 2. 1 . Elementare Entscheidungsregeln über einzelne Investitionsprojekte . . . . . . . . . . . . . . . 109 2. 1 . 1 . Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 09 2. 1 .2. Kapitalwert und Endwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 3 2. 1 .2. 1 . Projektindividuelle Vorteilhaftigkeitsentscheidungen . . . . . . . . . . . . . 1 1 3 2. 1 .2.2. Auswahlentscheidungen 1 1 6 2. 1 .3 . Annuität . . . . . . . 1 17 2. 1 .4. Interner Zinsfuß . . . . . . . . . . 1 1 9 2. 1 .5 . Amortisationsdauer . . . . . . . . 1 22 2.2. Erweiterungen und Spezialfälle elementarer Entscheidungsregeln 1 23 2.2. 1 . Typenauswahl bei gegebener Rahmenentscheidung 1 23 2.2.2. Investitionsketten . . . . . . . . . . 1 24 2.2 .3 . Lebensdauer- und Ersatzprobleme . . . . . . . . . . 1 25 2.2.4. Zur Einbeziehung von Steuern . . . . . . . . . . . . 128 2 .3 . Entscheidungen über Investitions- und Finanzprogramme 1 3 1 2 .3 . 1 . Interdependenzprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 1 2 .3 .2 . Der Standard ansatz zur simultanen Investitions- und Finanz planung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 1 3 . Investitionsentscheidungen bei unsicheren Erwartungen . 1 3 5 3 . 1 . Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 5 3 . 2 . Unsicherheitsanalysen . . . . . . . . . . . . . . 1 3 6 3 .2 . 1 . Sensitivitätsanalyse von Einzelrisiken 1 3 6 3 .2. 1 . 1 . Begriff und Varianten . . . . 1 3 6 3 .2 . 1 .2. Singuläre Sensitivitätsanalysen . 1 3 6 3 .2 . 1 .3 . Multiple Sensitivitätsanalysen . 1 3 8 3 .2.2. Wahrscheinlichkeitsgestützte Analyse von Einzelrisiken 141 3 .2.2. 1 . Grundbegriffe . . . . . . . . . 1 4 1 3 .2.2.2. Starre Alternativrechnungen (Zustandsbaumverfahren) . . 1 4 1 3 .2 .2 .3 . Flexible Alternativrechnungen (Entscheidungsbaumverfahren) 1 46 3 .2.2.4. Projektspezifische ll-cr-Analysen . 1 5 1 3 .2 .3 . Wahrscheinlichkeitsgestützte Analyse von Aggregatrisiken (Portefeuilletheoretische Analyse) . . . . . . . . . . . . . . . 1 54 3 . 3 . Ansätze zur Ableitung von Investitionsentscheidungen bei Unsicherheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 57 3 . 3 . 1 . Entscheidungstheoretisch fundierte Konzepte 1 57 3 . 3 . 1 . 1 . Bernoulli-Prinzip . . . . . . . . . . . 1 57 3 . 3 . 1 .2. Klassische Entscheidungsprinzipien . 1 5 8 1 06 B. 1 . Investition 3 .3 .2. Heuristische Konzepte . . . . . . 3 . 3 .2 . 1 . Korrekturverfahren . . . 3 . 3 .2.2. Satisfizierungskonzepte 3 . 3 .2 .3 . Scoring-Modelle (Nutzwertanalyse) 4. Neuere Entwicklungen in der Investitionstheotie . Kommentierte Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . 1 60 1 60 1 6 1 1 64 166 169 1. Gegenstand der betriebswirtschaftlichen Investitionstheorie Wirtschaftliche Aktivitäten sind häufig dadurch gekennzeichnet, dass zunächst ein Einsatz bestimmter Mittel erfolgt (Input), aus dem in der darauf folgenden Zeit ge wisse Nutzungen gezogen werden (Output) . Die betriebswirtschaftliche Investitions theorie befasst sich mit betrieblichen Vorgängen, bei denen die zeitliche Diver genz zwischen Input und Output eine solche Größenordnung annimmt, dass es zur sachgerechten Beurteilung der entsprechenden Projekte notwendig ist, die zeitliche Abfolge der jeweils relevanten Input- und Output-Größen explizit zu berücksichti gen. Die im Mittelpunkt der betriebswirtschaftlichen Investitionstheorie stehenden Inves titionskalküle beschränken sich dabei üblicherweise auf die Erfassung der finan ziellen Konsequenzen eines Projektes und sehen dementsprechend vor, die auf den selben Zeitpunkt bezogenen Input-/Output-Größen jeweils durch die mit ihnen ver bundenen Ein- und Auszahlungen zu kennzeichnen; relevante Darstellungsebene ist somit nicht die Ertrags-, sondern die Zahlungsebene. Gegenstand der betriebswirt schaftlichen Investitionstheorie sind also solche betrieblichen Aktivitäten, die sich durch eine Zeitreihe von Ein- und Auszahlungen kennzeichnen lassen und üblicher weise mit einem Auszahlungsüberschuss beginnen. Als Investitionen im Sinne die ses zahlungsorientierten Investitionsbegriffs sind somit nicht nur materielle Investi tionen (z. B. zur Errichtung einer neuen Produktionsanlage) anzusehen, sondern auch immaterielle Investitionen (z. B. Durchführung einer langfristig wirksamen Werbekampagne) und Finanzinvestitionen (z. B . Zusammenstellung eines Wertpa pierportefeuilles). Die mit einer solchen Einteilung verschiedener Investitionsarten zugleich angespro chenen unterschiedlichen Bestimmungsfaktoren der jeweiligen Zahlungsreihen sind für die im Folgenden zu behandelnden Ansätze allerdings nur von sekundärer Be deutung, da bei diesen üblicherweise unterstellt wird, dass die benötigten Zahlungs reihen bereits zur Verfügung stehen. Das eindeutige Schwergewicht der Untersu chungen liegt dementsprechend auf der Frage, in welcher Weise die auf verschie dene Zeitpunkte bezogenen Zahlungsgrößen unter Berücksichtigung der gegebenen Finanzierungssituation untereinander vergleichbar gemacht werden können, um zu einer abschließenden Beurteilung des betrachteten Investitionsprojektes zu gelan gen. Die betriebs wirtschaftliche Investitionstheorie ist also ganz überwiegend prä skriptiv ausgerichtet (vgl. D.2-1 . 1 ) , d. h. sie beschäftigt sich primär mit der Kon struktion und der Analyse von Entscheidungsmodellen. In der praktischen Anwen dung können die aus derartigen Modellen abgeleiteten Ergebnisse allerdings nur den Charakter von Entscheidungshilfen haben, da sich die Komplexität einer realen Ent scheidungssituation zwangsläufig einer exakten modellmäßigen Erfassung entzieht (Bitz, 1977, 1 , S . 5 l-65) und somit stets ein über die Ergebnisse entsprechender Kalküle hinausgehender originärer unternehmerischer Entscheidungsspielraum ver bleibt. Die damit verknüpfte Frage, wie Investitionsentscheidungen in der betrieb lichen Praxis tatsächlich getroffen werden und von welchen Einflussgrößen sie ab hängen, wird im betriebswirtschaftlichen Schrifttum allerdings nur vereinzelt unter sucht und auch im Folgenden nicht weiter behandelt. 1 08 B. 1 . Investition Mit der Annahme, dass die maßgeblichen Zahlungsreihen zur Verfügung stehen, sind die "Nahtstellen" investitionstheoretischer Ansätze zu den anderen betriebli chen Teilbereichen bereits implizit verdeutlicht. So wird mit der Kenntnis der ent sprechenden Zahlungsreihe zugleich auch vorausgesetzt, dass - um bei dem klassi schen Beispiel einer Anlageninvestition zu bleiben - die mit deren laufendem Be trieb zusammenhängenden Beschaffungs- und Produktions aktivitäten und die damit verbundenen finanziellen Konsequenzen ebenso abgeschätzt werden können wie die aus dem Verkauf der erstellten Güter zufließenden Erlöse. In der konkreten unter nehmerischen Investitionsplanung ist somit die wechselseitige Abstimmung mit Be schaffungs-, Produktions- und Absatzplänen unabdingbar. Darüber hinaus setzt die Realisierung eines Investitionsprojektes im Startzeitpunkt die Verfügbarkeit der benötigten Finanzmittel voraus, während dem Betrieb im weiteren Verlauf der Pro jektabwicklung andererseits auch wieder Mittel zufließen. Finanz- und Investitions aktivitäten sind somit auf das Engste miteinander verknüpft. Im Gegensatz zu den Interdependenzen zu den übrigen Betriebsbereichen werden diese Zusammenhänge in der Investitionsrechnung allerdings grundsätzlich erfasst, wenn auch in zum Teil sehr unterschiedlichem Ausmaß. In dem folgenden Beitrag werden die mit der Beurteilung von Investitionsprojekten verbundenen Probleme zunächst für den Idealfall sicherer Erwartungen analysiert (Kapitel 2). Dabei werden im Abschnitt 2. l die "klassischen" Ansätze der Investi tionstheorie erörtert, in denen Interdependenzen zwischen Investitions- und Finanz bereich ausschließlich implizit durch die Verrechnung von Finanzierungskosten er fasst werden. Nach der Erörterung einiger Erweiterungen und Spezialfälle dieser grundlegenden Entscheidungsregeln im Abschnitt 2 .2 werden dann im Abschnitt 2 .3 Ansätze zur simultanen Investitions- und Finanzplanung vorgestellt, in denen das Problem der Aufrechterhaltung der Zahlungsfähigkeit modellmäßig explizit berück sichtigt wird, so dass die Notwendigkeit zur Verrechnung von Finanzierungskosten entfällt. In Kapitel 3 wird dann die Prämisse der eindeutigen Vorhersehbarkeit der maßgeb lichen Zahlungsreihen aufgehoben und ein Überblick über verschiedene Möglichkei ten zur Einbeziehung unsicherer Erwartungen in die Investitionsrechnung vermittelt. Dabei werden zunächst verschiedene Ansätze dargestellt, die in erster Linie zur Ver deutlichung der Unsicherheitsstrukturen der maßgeblichen Zahlungsreihen dienen sollen, ohne auch schon ein Entscheidungskonzept zu beinhalten (Abschnitt 3 .2) . Im Anschluss daran werden im Abschnitt 3 . 3 die wichtigsten Verfahren zur Ableitung von Investitionsentscheidungen unter Einbeziehung von Unsicherheitsaspekten dar gestellt. Im abschließenden Kapite1 4 werden dann einige neuere Entwicklungen der Investitionstheorie kurz skizziert und Unterschiede und Gemeinsamkeiten dieser "neueren" Ansätze zu den in den Kapiteln 1 bis 3 explizit behandelten "klassi sehen" Methoden verdeutlicht. 2. Investitionsentscheidungen bei sicheren Erwartungen 2. Investitionsentscheidungen bei sicheren Erwartungen 2.1. Elementare Entscheidungsregeln über einzelne Investitionsprojekte 2.1.1. Grundlagen 109 Investitionstheoretische Ansätze beziehen sich primär auf die Frage, wie sich die mit der Durchführung eines zu beurteilenden Investitionsprojektes verbundenen zah lungsmäßigen Konsequenzen letztlich auf die Vermögenssituation des Investors nach vollständiger Abwicklung des Investitionsprojektes, also auf sein Endvermö gen, auswirken. Um diese Frage eindeutig beantworten zu können, müssten zum einen alle mit dem betrachteten Investitionsprojekt verbundenen zahlungsmäßigen Konsequenzen vollständig erfasst werden, zum anderen müssten alle erfassten zah lungsmäßigen Konsequenzen in Hinblick auf ihre Auswirkungen auf das Endvermö gen des Investors analysiert werden. Bevor wir im Detail auf die so genannten "klas sischen" investitionstheoretischen Ansätze eingehen, erscheint es zunächst zweck mäßig, drei Kategorien zahlungsmäßiger Konsequenzen eines Investitionsprojekts zu unterscheiden: • Zum Ersten sind Zahlungskonsequenzen zu berücksichtigen, die dem betrachte ten Investitionsprojekt unmittelbar zugerechnet werden können (unmittelbare Zahlungskonsequenzen). Dazu gehören z. B . die Auszahlungen für den Erwerb ei ner Maschine und für den mit dem Einsatz der Maschine verbundenen Energie verbrauch oder Einzahlungen aus dem Verkauf der auf der Maschine erstellten Erzeugnisse. • Zum Zweiten sind Zahlungskonsequenzen zu berücksichtigen, die aus der Finanz mittelbeschaffung zur Deckung von Zahlungsdefiziten resultieren, die mit der Durchführung der Investition verbunden sind, bzw. aus der zwischenzeitlichen Anlage von Zahlungsüberschüssen (indirekte Folgewirkungen). Wird ein Investi tionsprojekt z. B. durch die Aufnahme eines Kredits finanziert (kreditjinanzierte Investition), so sind in späteren Perioden Zins- und Tilgungszahlungen zu leisten, die bei Verzicht auf das Investitionsprojekt nicht angefallen wären. Wird die An fangsauszahlung hingegen durch Rückgriff auf ohnehin vorhandene liquide Mittel finanziert (aus Liquiditätsreserven finanzierte Investition), entfallen in späteren Perioden als Folge der Investitionsdurchführung ansonsten erziel bare Zins- und Rückzahlungsbeträge. In analoger Weise können die in der weiteren Abwicklung eines Investitionsprojekts auftretenden Einzahlungsüberschüsse bewirken, dass entweder zusätzliche Anlagen getätigt oder bestehende Kredite abgebaut werden, was in den Folgeperioden zu zusätzlichen Einzahlungen bzw. einer Verminderung von Auszahlungen führen würde. • Neben den bereits skizzierten indirekten Folgewirkungen, die jeweils aus komple mentären Finanztransaktionen "im Umfeld" des zu beurteilenden Investitionspro jektes resultieren, sind zum Dritten häufig weitere Folgewirkungen zu berücksich tigen, die wir in Anlehnung an das einschlägige Schrifttum als zeitlich-vertikale Interdependenzen bezeichnen. Damit wird der Umstand bezeichnet, dass sich die 1 10 B. 1 . Investition Inangriffnahme eines Investitionsprojektes (und ggf. auch der damit verbunde nen Finanzierungsmaßnahmen) im Zeitpunkt t = 0 auch über die skizzierten kom plementären Finanztransaktionen hinaus auf Durchführungs- und Ergebnismög lichkeiten erst später zur Disposition stehender Investitions- und Finanzierungs maßnahmen auswirken kann. So ist es beispielsweise denkbar, dass wegen der Realisierung eines Investitionsprojektes A im Zeitpunkt t = 0 in einem späteren Zeitpunkt ein anderes Investitionsprojekt B gar nicht mehr durchführbar ist, sei es etwa, weil angesichts des hohen Finanzbedarfs für A die notwendigen Finanz mittel für B nicht mehr verfügbar sind, oder sei es, weil die notwendigen räum lichen Kapazitäten durch A gebunden werden und somit für B nicht mehr bereit stehen, sei es aus einem sonstigen Grund. Andererseits sind auch Situationen denkbar, in denen erst die im Zeitpunkt t = 0 getroffene Entscheidung für eine bestimmte Maßnahme in den Folgeperioden die Möglichkeit zu bestimmten An schlussprojekten eröffnet, die ansonsten gar nicht realisierbar gewesen wären. Ne ben dem Effekt, dass sich die im Zeitpunkt t = 0 getroffene Entscheidung auf die Menge der in späteren Perioden überhaupt realisierbaren Investitions- und Finan zierungsprojekte (positiv oder negativ) auswirken kann, ist als weitere Kompo nente zeitlich-vertikaler Interdependenzen die Möglichkeit zu beachten, dass in späteren Perioden nach wie vor durchführbare Handlungsalternativen in ihren Er gebnissen (positiv oder negativ) beeinflusst werden. Bei den im Abschnitt 2. 1 zu behandelnden "klassischen" investitionstheoretischen Ansätzen werden zeitlich-vertikale Interdependenzen weitgehend vernachlässigt. Darüber hinaus verzichten diese Ansätze auch auf die explizite Erfassung der finan ziellen Konsequenzen, die sich im "unmittelbaren Umfeld" des betrachteten Investi tionsprojektes als indirekte Folgewirkungen ergeben. Allerdings wird bei den klassi schen Ansätzen versucht, indirekte Folgewirkungen und ihre Auswirkungen auf das Endvermögen des Investors implizit durch bestimmte finanzmathematische Opera tionen zu erfassen. Ausgangspunkt dieser finanzmathematischen Operationen sind diejenigen Zahlungskonsequenzen eines Investitionsprojektes, die diesem unmittel bar zugerechnet werden können. Im Abschnitt 2 .3 werden wir dann einen Ansatz zur expliziten Erfassung sowohl der indirekten Folgewirkungen als auch zeitlich-ver tikaler Interdependenzen vorstellen. Für die Darstellung eines Investitionsprojektes wird im Folgenden unterstellt, dass sämtliche unmittelbar mit der Projektdurchführung verbundenen Ein- und Auszah lungen einer Periode t zu einer einzigen, auf das Periodenende bezogenen Zahlungs größe e l zusammengefasst werden. e l > 0 verdeutlicht dabei einen Einzahlungsüber schuss, e t < O einen Auszahlungsüberschuss. Legt man weiterhin fest, dass die An fangsauszahlung im Zeitpunkt t = 0 (eo < 0) und die letzte mit dem Investitionspro jekt verbundene Zahlung im Zeitpunkt t = t erfolgt, so kann ein Investitionsprojekt allgemein durch die Zahlungsreihe eo, eh . . . , et gekennzeichnet werden. Für viele Investitionsprojekte ist es dabei typisch, dass in der Anfangsphase zunächst Auszah lungsüberschüsse vorliegen, anschließend jedoch nur noch Einzahlungsüberschüsse folgen. Solche Investitionsprojekte, deren Zahlungsreihe genau einen Vorzeichen wechsel aufweist, werden im Folgenden als Normalinvestitionen bezeichnet. Die in diesem Abschnitt zu behandelnden "klassischen " investitionstheoretischen Ansätze sind dadurch gekennzeichnet, dass sie die für ein Investitionsprojekt maß- 2. Investitionsentscheidungen bei sicheren Erwartungen 1 1 1 gebliche Zahlungsreihe mit Hilfe von Auf- und Abzinsungsrechnungen zu einer ein zigen Kennzahl aggregieren, um aus dem Wert dieser Kennzahl eine Aussage über die Vorteilhaftigkeit des betrachteten Projektes abzuleiten. Dabei kommt dem für die Auf- und Abzinsungsvorgänge benötigten sog. Kalkulationszins die Funktion zu, indirekte Folgewirkungen der Investitionsdurchführung, die aus den modellmäßig nicht explizit erfassten Interdependenzen zwischen Investitions- und Finanzbereich resultieren, "indirekt" zu erfassen (Hax, 1967, S . 755-757). D. h . , durch den Kalku lationszins sollen die aus der Auszahlung oder Einzahlung von 1 GE (Geldeinheit) in der betrachteten Periode zusätzlich entstehenden bzw. entfallenden Zinsbelastun gen oder Zinseinkünfte rechnerisch erfasst werden. Die Bestimmung des Kalkula tionszinsfußes gelingt dementsprechend am einfachsten in dem in der Theorie häu fig unterstellten Idealfall des vollkommenen Finanzmarktes, auf dem das betrachtete Unternehmen jederzeit Mittel in beliebigem Umfang zu einem einheitlichen Zins satz aufnehmen oder anlegen kann. In diesem Fall stellt dieser einheitliche Markt zins genau den gesuchten Kalkulationszins dar. Folgt man nämlich der Prämisse des vollkommenen Finanzmarktes in ihrer strengen Form, in der Kredit- und Anlagezinssätze nicht nur übereinstimmen, sondern zusätzlich auch im Zeit ablauf konstant sind, so macht es für die Beurteilung eines Investitionsprojektes gar keinen Unterschied mehr, ob die Anfangsauszahlung (oder auch später auftretende Auszahlungsüber schüsse ) aus verfügbaren Liquiditätsreserven oder der Aufnahme zusätzlicher Kredite finan ziert wird. • Im ersten Fall werden die investierten Mittel der anderweitig möglichen Anlage zum Markt zins r entzogen. • Im zweiten Fall ist der zusätzlich aufzunehmende Kredit gerade zum Zinssatz r zu verzin sen. Dabei stimmen die im ersten Fall entgehenden und die im zweiten Fall zu leistenden Zins-, Zinseszins- und Rückzahlungsbeträge genau überein. Ebenso ist es ohne Bedeutung, ob die aus dem Investitionsprojekt resultierenden Einzahlungsüberschüsse dazu verwendet werden, • zusätzliche, zum Zinssatz r verzinsliche, Anlagen zu bilden, oder • zur Finanzierung der Investition aufgenommene oder auch anderweitig entstandene, ebenfalls zum Satz r zu verzinsende, Kredite zu tilgen. In allen Fällen ergibt sich die gleiche Summe aus zusätzlichen Anlagezinsen und eingesparten Kreditzinsen. Hebt man die Prämisse auf, dass die übereinstimmenden Kredit- und Anlagezinssätze im Zeit ablauf konstant sein müssen, geht man also von einem vollkommenen Finanzmarkt mit wech selnden Periodenzinsfüßen aus, so ändert sich an der vorgetragenen Argumentation nichts . Es muss jetzt nur für jede Periode mit einem periodenspezifischen Kalkulationszins gerechnet werden. Aber auch im Fall eines unvollkommenen Finanzmarktes, also eines Finanzmarktes, auf dem insbesondere die Zinssätze für Mittelaufnahme und Mittelanlage differie ren, lassen sich in vielen Fällen Kalkulationszinsfüße bestimmen, mittels derer die modellmäßig nicht explizit erfassten indirekten Folgewirkungen von Investitionspro jekten problemadäquat erfasst werden können. Diese Kalkulationszinsfüße hängen in der Welt unvollkommener Finanzmärkte jedoch von den "investorenindividuel len " Geldaufnahme- und Geldanlagemöglichkeiten und damit in der Konsequenz auch von der jeweiligen finanziellen Situation des Investors im Zuge der Investiti onsdurchführung ab. Als Basis für ein entsprechendes Investitionskalkül müsste jetzt 1 12 B. 1 . Investition für die Ausgangslage in t = 0 und alle zukünftigen Zahlungszeitpunkte t = I , 2, . . . , t jeweils individuell abgeschätzt werden, • ob die aus der Investition resultierenden Aus- und Einzahlungen zu Konsequen zen im Bereich der Mittelaufnahme oder der Mittelanlage führen und dement sprechend ein Kredit- oder ein Anlagezinssatz maßgeblich ist sowie • welche Höhe die als maßgeblich identifizierte Zinskategorie in dem betrachteten Zeitpunkt haben wird. Dabei kommt es bei der Abschätzung der für die einzelnen Perioden maßgeblichen Zinsfüße nicht primär auf die Zahlungsreihe des betrachteten Investitionsprojektes an; ausschlaggebend ist vielmehr stets die zu erwartende finanzielle Gesamtsituation des investierenden Unternehmens. Sofern es möglich ist, auf diese Weise die jeweils maßgeblichen Kredit- und Anlage zinsfüße abzuschätzen, können die im Folgenden zu behandelnden klassischen inves titionstheoretischen Kalküle auch in einer Welt unvollkommener Finanzmärkte sinn voll angewendet werden (vgl. Bitz/Ewert/Terstege, 2002, S. 1 68-1 72) . Es kann dann nur nicht mehr mit einem für alle Perioden identischen Kalkulationszins gerechnet werden; die entsprechenden Kennzahlen sind vielmehr auf der Basis periodenindivi dueller Zinssätze zu bestimmen. Rein rechnerisch bereitet dies auch keine besonde ren Schwierigkeiten. Da es in diesem Beitrag jedoch vornehmlich darum geht, einen Überblick über methodische Grundlagen und ökonomischen Gehalt der klassischen investitionstheoretischen Ansätze zu vermitteln, wird im Folgenden im Interesse einer formal einfacheren Darstellung zunächst immer von der üblichen - aber eben keinesfalls notwendigen - Prämisse eines für alle betrachteten Perioden einheit lichen Kalkulationszinssatzes (Symbol 1') ausgegangen. Die abgeleiteten Ergebnisse lassen sich im Einzelnen jedoch auch auf den Fall unterschiedlicher Periodenzins füße übertragen. Die entsprechenden Formeln werden im Folgenden jeweils kurz mit angegeben. Im Hinblick auf die Anwendbarkeit der einzelnen nachfolgend behandelten Kenn ziffern ist es zweckmäßig, zwei Grundtypen von Investitionsentscheidungen zu un terscheiden: • Bei projektindividnellen Vorteilhaftigkeitsentscheidnngen geht es um die Frage, ob ein bestimmtes Investitionsprojekt (einschließlich der erforderlichen Finanzie rungsmaßnahmen) durchgeführt werden soll oder ob darauf verzichtet wird und die entsprechenden Finanzierungsmaßnahmen unterbleiben und freie Mittel ver zinslich angelegt werden sollen. Wir wollen diese Verzichtsmöglichkeit im Fol genden als "Unterlassensalternative" bezeichnen. • Bei Auswahlentscheidungen geht es hingegen um das Problem, von mehreren ein ander wechselseitig ausschließenden Investitionsprojekten das günstigste zu be stimmen. Dabei kann eines der zur Auswahl stehenden Projekte auch in der Un terlassensalternative bestehen. 2. Investitionsentscheidungen bei sicheren Erwartungen 1 1 3 2.1.2. Kapitalwert und Endwert 2.1.2.1. Projektindividuelle Vorteilhaftigkeitsentscheidungen Den Endwert EW einer Zahlungsreihe berechnet man, indem man alle Zahlungs überschüsse eh t = 0, 1 , . . . , t jeweils bis zum Ende der Projektlaufzeit (l') aufzinst und addiert. Geht man zunächst von einem konstanten Kalkulationszins r aus und bezeichnet man den Zinsfaktor 1 + r als q, so gilt also: ( EW = L et · ql - t . t � () (2. 1 ) Die benötigten Aufzinsungsfaktoren ql- t können i m Fall eines konstanten Kalkula tionszinses r - ebenso wie die im Folgenden noch verwendeten Abzinsungs-, Ren tenbarwert- und Annuitätsfaktoren - entsprechenden finanzmathematischen Tabellen entnommen oder mit Hilfe eines Taschenrechners bestimmt werden. Für ein Projekt mit der Zahlungsreihe eo = - 80; e l = 1 0 ; e2 = 100 erhält man s o bei einem Kalkulationszins von 10 % : E W = - 80 · 1 , 1 2 + 10 . 1 , 1 + 100 = + 14,2. Hebt man die Annahme eines konstanten Kalkulationszinses auf und unterstellt im Zeitablauf wechselnde Periodenzinsen, so ist (2. 1 ) geringfügig zu modifizieren. Be zeichnet man den für die "[-te Periode maßgeblichen Zinsfaktor mit q, und das Pro dukt aller Zinsfaktoren der Perioden t bis t' (1' � t) mit Q(t, t'), so lässt sich (2. 1 ) ver allgemeinern zu: l� I l' EW = L et • O(t + 1 , f) + e[, mit O(t, t') = rr q,. T = t (2.2) Für das obige Projekt erhält man so bei einem Kalkulationszins von T I = 10 % in Periode 1 und r2 = 20 % in Periode 2 : EW = -80 · 1 , 1 · 1 ,2 + 10 . 1 ,2 + 100 = + 6,4. Um den Aussagegehalt der Kennzahl Endwert beispielhaft zu verdeutlichen, sei eine Investition mit einer Anfangsauszahlung eö (eö: = -eo) und darauf folgenden posi tiven Einzahlungsüberschüssen (et > 0, t = 1 , 2, . . , t) betrachtet und zunächst unter stellt, die benötigte Investitionssumme eö stünde in Form eigener, alternativ zum konstanten Kalkulationszinsfuß r anlegbarer, Mittel zur Verfügung. Für das bei In vestitionsverzicht (= Unterlassensalternative) im Zeitpunkt t erzielbare Vermögen EVu gilt dann: (2.3) Würden die aus dem Investitionsprojekt resultierenden Einzahlungsüberschüsse hin gegen jeweils bis zum Endzeitpunkt verzinslich angelegt, so gilt für das durch die Investition erzielbare Endvermögen: I EV, = L et . q[ - t . (2.4) t � ' 1 14 B. 1 . Investition Unterstellt man nun andererseits, die Investition werde vollständig durch die Auf nahme eines Kredits finanziert, so gilt für das Endvermögen der Unterlassensalter native einfach EVu = O. (2.5) Würde das Projekt hingegen durchgeführt und könnten Gelder zum Kalkulationszins aufgenommen und angelegt werden, so betrüge das nach Tilgung und Verzinsung des anfangs aufgenommenen Kredits verbleibende Endvermögen j EV1 = I: et • ql - ( - eil ' ql. ( -- I (2.6) Vergleicht man nun die für EVu und EVr abgeleiteten Relationen, so erkennt man, dass - unabhängig von der unterstellten Art der Finanzierung - stets gilt: EW = EVr - EVu. (2.7) Der Endwert eines Investitionsprojektes gibt also an, um welchen Betrag das Ver mögen des Investors nach vollständiger Abwicklung des Projektes höher (EW > 0) oder niedriger (EW < 0) ist als bei Realisierung der Unterlassensalternative. Dabei gilt diese Aussage in verallgemeinerter Form auch für beliebige Strukturen der Zah lungsreihe, beliebige Mischungen aus Eigen- und Fremdfinanzierung und wech selnde periodenindividuelle Zinsfüße, sofern nur die Voraussetzung erfüllt ist, dass die für die einzelnen Perioden maßgeblichen Kredit- oder Anlagezinsfüße bestimmt werden können. Sofern man das Streben nach Erhöhung des Vermögens zumindest im Rahmen präskriptiver Entscheidungsmodelle als sinnvolle Zielsetzung akzeptiert, ist ein Investitionsprojekt im Vergleich zur Unterlassensalternative somit genau dann als vorteilhaft anzusehen, wenn EVr > EVu gilt oder die äquivalente Bedingung EW > 0 erfüllt ist. Für Vorteilhaftigkeitsentscheidungen lautet das Entscheidungskri terium auf der Basis des Endwertes somit: EW > O. (2.8) Den Kapitalwert K einer Zahlungsreihe berechnet man im Fall eines zunächst wie derum als konstant unterstellten Kalkulationszinses f, indem man alle Zahlungsüber schüsse e( durch Multiplikation mit dem Abzinsungsfaktor q-t jeweils auf den Zeit punkt t = 0 abzinst und addiert. Beachtet man, dass definitionsgemäß qO = 1 gilt, so folgt: (2.9) bzw. im Fall wechselnder Periodenzinsen: I K = eo + I: et • [Q ( 1 , t)r 1. (2. 1 0) ( � l Im Fall einer nach der Anfangsauszahlung gleich bleibenden Zeitreihe von Einzah lungsüberschüssen ej = e2 = . . . = el: = e ergibt sich im Fall eines als konstant unter stellten Kalkulationszinses schließlich: K = eo + e . RBF(t:; f) . (2. 1 1 ) 2. Investitionsentscheidungen bei sicheren Erwartungen Dabei bezeichnet der Rentenbarwertfaktor _ t 1 _ -t RBF(t; 1') = L q-t = � t = 1 r 1 1 5 (2. 1 2) entsprechend der Summenformel für eine endliche geometrische Reihe die Summe aller Abzinsungsfaktoren q-t von t = 1 bis t = t. Im Fall wechselnder Periodenzins füße entfällt zwar die Vereinfachungsmöglichkeit gemäß (2. 1 2) , nichtsdestoweniger behält (2. 1 1 ) ihre Gültigkeit; RBF ist dann durch die unmittelbare Addition aller maßgeblichen Abzinsungsfaktoren Q-l zu ermitteln. Vergleicht man (2.9) und (2. 1 ) , so wird deutlich, dass (2. 1 3) gilt, der Kapitalwert also stets den über die Projektlaufzeit abgezinsten Endwert dar stellt. Aus dem Vergleich von (2.2) und (2. 1 0) ergibt sich schließlich, dass auch im Fall wechselnder Periodenzinsen gilt: K = [Q( l , nr1 . EW. (2. 14) Für die bereits zur Verdeutlichung von EW herangezogene Zahlungsreihe (-80; 10; 100) gilt also bei einem Kalkulationszinsfuß von 10 % K = -80 + 10 . 1 , 1-1 + 100 . 1 , 1-2 = + 1 1 ,74, was bei EW = 14,2 (s. o .) mit 14,2 . 1 , 1-2 = 1 1 ,74 genau Relation (2. 1 3) bestätigt. Entspre chend ergibt sich im Fall wechselnder Periodenzinsen für rl = 10 % und r2 = 20 % K = -80 + 10 . 1 , 1 - 1 + 100 . 1 , 1-1 . I ,TI = + 4,85, was bei EW = 6,4 (s. o .) mit 6,4 . 1 , 1- 1 . I ,T I = 4,85 genau Relation (2. 14) bestätigt. Dementsprechend kann der Kapitalwert eines Projektes ökonomisch als der auf den Projektbeginn abgezinste Wert des Betrages interpretiert werden, um den das End vermögen bei Realisierung des Projektes größer sein wird als bei Wahl der Unter lassensalternative. Das Entscheidungskriterium für Vorteilhaftigkeitsentscheidungen lautet dement sprechend: K > O. (2. 15 ) Aus Relation (2. 1 3) bzw. (2. 14) wird sofort deutlich, dass die Bedingungen (2.8) und (2. 15 ) vollständig äquivalent sind. Unterstellt man nun weiter rein hypothetisch, der in (2.9) verwendete Kalkulations zins könne beliebige (im Zeitablauf aber konstante) Werte annehmen, so kann der Kapitalwert als Funktion K(r) des Kalkulationszinsfußes r aufgefasst werden, so wie es Abb. B. 1-1 verdeutlicht. Dabei entspricht der Ordinatenschnittpunkt dieser Funk tion gerade der einfachen Summe der (undiskontierten) Zahlungsüberschüsse, wäh rend sich K(r) für einen immer größer werdenden Kalkulationszins dem Wert der Anfangszahlung eo nähert. Im Bereich negativer Werte des Kalkulationszinsfußes weist K(r) schließlich für r = -1 eine Sprung stelle auf. Ökonomisch interessiert allerdings in erster Linie der Bereich positiver Zinssätze, der Bereich negativer Zinssätze hingegen allenfalls für Zinssätze bis - 1 00 %. Die folgenden Betrachtun gen von Kapitalwertfunktionen beziehen sich somit nur noch auf den Bereich r > - I . 1 16 B. 1 . Investition -1 ----- K(r) eo - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - I Abb. 8. 1-1 : Kapitalwertfunktion einer Normalinvestition Der in Abb. B. l-l dargestellte fallende Verlauf der Kapitalwertfunktion erscheint zunächst unmittelbar plausibel : Je höher die im Kalkulationszins ausgedrückten Fi nanzierungskosten sind, desto geringer wird der durch das Investitionsprojekt erziel bare Vermögensvorteil , bis dieses mit weiter steigendem r schließlich sogar im Ver gleich zur Unterlassensalternative unvorteilhaft wird. Da r jedoch zugleich auch zwischenzeitliche Geldanlagemöglichkeiten zum Ausdruck bringt, kann die Kapital wertfunktion je nach der Struktur der zugrunde liegenden Zahlungsreihe allerdings auch bereichsweise steigend verlaufen. Für den im praktischen Fall wohl wichtigs ten Typ der Normalinvestition sowie einige weitere Investitionstypen kann jedoch gezeigt werden, dass K(r) im Bereich r > -1 nur genau einen Schnittpunkt mit der r-Achse aufweist und auf jeden Fall so lange streng monoton fallend verläuft, wie der Kapitalwert positiv ist (v gl. Hax, 1985 , S. 1 7-19) . 2.1.2.2. Auswahleutscheidungen Stehen neben der Unterlassensalternative mehrere, einander ausschließende In vestitionsprojekte X i (i = 1 , 2 , . . . , m) zur Auswahl, so kann der Endwert EW nur dann unmittelbar als Entscheidungsgrundlage verwendet werden, wenn alle Pro jekte dieselbe Laufzeit haben. Ist diese Bedingung hingegen nicht erfüllt, so bezie hen sich die projektindividuellen Endwerte EWi gemäß (2. 1 ) auf unterschiedliche Zeitpunkte und können deshalb nicht ohne weiteres verglichen werden. Zur ab schließenden Beurteilung ist es somit nötig, die projektindividuellen Endwerte durch Auf- oder Abzinsung auf einen einheitlichen Zeitpunkt vergleichbar zu ma chen. Als dieser einheitliche Bezugszeitpunkt t' sei der Endzeitpunkt des Projektes mit der längsten Laufzeit gewählt und unterstellt, dass die bei den übrigen Alterna tiven bis zu deren individuellem Ende im Zeitpunkt ti erzielten Zahlungsüberschüsse bis zum Zeitpunkt t' verzinslich angelegt oder Defizite durch Kredite überbrückt werden, und zwar jeweils zum Kalkulationszins. Für den so modifizierten Endwert eines beliebigen Projektes Xi gilt dann in Abhängigkeit vom Bezugszeitpunkt t' un ter der Annahme eines zwecks Vereinfachung unterstellten konstanten Kalkulations zinses f: 2. Investitionsentscheidungen bei sicheren Erwartungen 1 1 7 (2. 1 6) Analog zur Überlegung im Abschnitt 2 . 1 .2 . 1 kann gezeigt werden, dass der gemäß (2. 1 6) modifizierte Endwert eines Projektes den Betrag angibt, um den das Vermö gen des Investors nach Abwicklung des Projektes und zwischenzeitlicher Anlage des im projektindividuellen Endzeitpunkt ti verfügbaren Zahlungsüberschusses bis t' höher oder niedriger ist als bei Realisierung der Unterlassensalternative. Daraus folgt unmittelbar, dass man sich bei der Suche nach der Optimalalternative nur noch auf projektindividuell vorteilhafte Projekte beschränken kann, da die übrigen Projekte schlechter zu beurteilen sind als die Unterlassensalternative. Von den nach dieser Vorauswahl verbleibenden Projekten ist dann dasjenige am vorteilhaftesten, das den maximalen Endwert EWj(t') aufweist. Formalisiert lautet die Entscheidungs regel also max: EWiCt') , sofern EWj > O. (2. 1 7) Werden die modifizierten Endwerte gemäß (2. 1 6) einheitlich auf den Zeitpunkt t = 0 abgezinst, so ergibt sich für die entsprechenden Kapitalwerte: Nach geeigneter Zusammenfassung der Auf- und Abzinsungsfaktoren vereinfacht sich dieser Ausdruck zu t, KJt') = I: eti . q-t, (2. 1 8) was nichts anderes darstellt als den auf die projektindividuelle Laufzeit bezogenen Kapitalwert gemäß (2. 1 3) . Damit aber erübrigt sich bei der Anwendung des Kapi talwertkriteriums auf Auswahlentscheidungen die Umrechnung auf eine einheitliche Laufzeit, so dass als Entscheidungsregel einfach max: K j, sofern K j > 0 (2. 1 9) formuliert werden kann. 2.1.3. Annuität Als Annuität e* einer Zahlungsreihe eo, e j , . . . , el bezeichnet man den Betrag von t gleich bleibenden Zahlungen in den Zeitpunkten t = 1 , 2, . . . , t, deren Kapitalwert gleich dem der ursprünglichen Zahlungsreihe ist. Die Annuität eines Projektes mit positivem Kapitalwert kennzeichnet also den konstanten Betrag, um den die Ein- 1 1 8 B. 1 . Investition zahlungsüberschüsse e" e2, . . . , ef maximal gesenkt werden könnten, ohne dass der Kapitalwert negativ wird. Gemäß (2.9) muss also gelten t eo + L (et - e*) . q-t = o. t�l Löst man diesen Ausdruck nach e* auf, so ergibt sich weiter: , , Co + L et . q t L CI ' y-I e* = _ '_' __ = _,�_o __ t g- t t q-t . 1 = 1 1- 1 (2.20) (2.2 1 ) Nun stellt der Nenner dieses Bruches nichts anderes dar als den Rentenbarwertfaktor gemäß (2. 1 2) . Für den allgemein als Annuitätenfaktor ANF bezeichneten Kehrwert dieses Ausdrucks gilt dementsprechend _ r ANF(t; 1') = --- . 1 - q-t (2.22) Beachtet man nun noch, dass der Zähler in (2.2 1 ) nichts anderes als den Kapital wert K darstellt, so kann als allgemeine Bestimmungsgleichung für die Annuität ge schrieben werden: r _ e* = K . --_ = K . ANF(t; 1') . (2.23) 1 _ q-t Im Gegensatz zu Kapital- und Endwert als stichtagsbezogenen Vermögenskennzah len charakterisiert die Annuität ein Projekt durch eine zeitraumbezogene Zahlungs größe. Dabei gibt e* für eine Investition mit positivem Kapitalwert den Betrag an, den der Investor bei Durchführung der Investition am Ende jeder Periode zusätzlich entnehmen könnte, ohne deshalb ein niedrigeres Endvermögen zu erreichen als bei Realisierung der Unterlassensalternative. Ökonomisch kann die Annuität also als der "durchschnittliche Nettoüberschuss " interpretiert werden, der durch ein projekt individuell vorteilhaftes Investitionsprojekt im Vergleich zur Unterlassensalternative pro Periode erzielt werden kann. Besonders sinnfällig wird diese Interpretation für den Spezialfall einer Zahlungs reihe, bei der auf die Anfangsauszahlung (eö: = -eo) nur Einzahlungen in gleicher Höhe folgen (e i = e2 = . . . = ef: = e) . In diesem Fall vereinfacht sich (2.2 1 ) zu e* = [- eo + e . t q-t] . ANF(I; r) odcr t� l e* = e - eo . ANF(t; 1') . (2.24) Wird die Anfangszahlung eö etwa durch einen Kredit finanziert, der in t Perioden so zurückzuzahlen ist, dass die jährliche Belastung aus Zins und Tilgung gerade kon stant bleibt (Annuitätendarlehen), so stellt der zweite Term in (2.24) diesen gesam ten "Kapitaldienst" dar und e* gibt genau den nach Abführung des Kapitaldienstes verbleibenden periodischen Nettoüberschuss (e* > 0) bzw. Nettofehlbetrag (e* < 0) des Projektes wieder. Dieser Interpretation entsprechend lautet das Vorteilhaftigkeitskriterium für den Fall projektindividueller Entscheidungen allgemein e* > O. (2.25) 2. Investitionsentscheidungen bei sicheren Erwartungen 1 1 9 Aus (2.23) ergibt sich sofort, dass diese Entscheidungsregel einen vollständig äqui valenten Ersatz für das Kapitalwert- oder Endwertkriterium darstellt, da ANF stets positiv ist, so dass e* und K - und damit auch EW - stets das gleiche Vorzeichen aufweisen. Dabei gilt diese Aussage in verallgemeinerter Form auch für wechselnde Periodenzinsen. Für den Annuitätenfaktor ergibt sich in diesem Fall ANF (I, Tb r2, . . . , II) = �l�--- L [Q (1 , t)r1 t � l und für die Annuität entsprechend (2.23) e* = K . ANF ( t, rb r2, . . . , r f) , (2.26) (2.27) so dass sich zwar der rechentechnische Aufwand zur Ermittlung der Annuität erhöht, der theoretische Zusammenhang zwischen Annuität und Endwert bzw. Kapitalwert jedoch auch im Fall wechselnder Periodenzinsen erhalten bleibt. Problematischer liegen die Dinge hingegen bei Auswahlentscheidungen. Haben alle Projekte die gleiche Laufzeit, so weist das Projekt mit der höchsten Annuität auch den höchsten Kapitalwert auf und umgekehrt. Sind die Projektlaufzeiten hingegen unterschiedlich, so ist diese Übereinstimmung nicht mehr gesichert; denn ein Ver gleich durchschnittlicher Periodenüberschüsse, wie sie die Annuitäten ja verdeutli chen, erlaubt im Allgemeinen nur dann sinnvolle Schlussfolgerungen, wenn sich die Durchschnittszahlen jeweils auf denselben Zeitraum beziehen. Will man Auswahl entscheidungen dennoch auf der Basis von Annuitäten treffen, so ist es unumgäng lich, diese - analog zum Endwertkriterium - auf eine einheitliche Laufzeit zu bezie hen (vgl. Abschnitt 2. 1 .2.2) . 2.1.4. Interner Zinsfuß Als internen Zinsfuß r* eines Investitionsprojektes bezeichnet man den kritischen Wert des Kalkulationszinsfußes, auf dessen Basis sich für den Kapitalwert als Funk tion des Kalkulationszinsfußes gerade der Wert Null ergibt. Formal ist r* also ent sprechend (2.9) aus der Relation t L et • (1 + r*tt = 0 t�O (2.28) zu ermitteln. In der grafischen Darstellung (vgl. Abb. B. l-l ) entspricht r* der Null stelle der Kapitalwertfunktion. Von einzelnen Sonderfällen abgesehen kann (2.28) nicht explizit nach r* aufgelöst werden; vielmehr muss der interne Zinsfuß in der Regel durch geeignete Näherungsverfahren implizit bestimmt werden. Angesichts der modernen Rechnertechnik ist dies jedoch ohne nennenswerte Probleme mit prak tisch beliebiger Genauigkeit möglich. Gravierendere Probleme resultieren hingegen aus der Tatsache, dass für ein Projekt je nach der Struktur der Zahlungsreihe eventuell mehrere interne Zinsfüße existieren oder ein solcher Wert überhaupt nicht gefunden werden kann. Ökonomisch sinnvolle Entscheidungen auf der Basis des internen Zinsfußes können in derartigen Fällen 1 20 B. 1 . Investition also entweder überhaupt nicht oder allenfalls nach Modifikation der ursprünglichen Zahlungsreihe um die Auswirkungen zwischenzeitlicher Geldanlagetransaktionen er folgen (z. B . Kilger, 1 965, 2). Andererseits sind jedoch auch verschiedene Typen von Zahlungsreihen bekannt, für die genau ein interner Zinsfuß existiert (vgl. z. B . WittenlZimmermann, 1 977; Bernhard, 1 979 und 1 980) . Dies gilt insbesondere für Normalinvestitionen, also für Projekte, deren Zahlungsreihen nur einen Vorzeichen wechsel aufweisen. Bei den folgenden Ausführungen zum internen Zinsfuß wird da her explizit nur noch dieser ökonomisch wichtigste Fall betrachtet. Die abgeleiteten Ergebnisse gelten allerdings auch weitgehend für alle anderen Typen von Zahlungs reihen, sofern sie ebenfalls nur einen internen Zinsfuß aufweisen. Zur Verdeutlichung des ökonomischen Gehaltes des internen Zinsfußes sei nun un terstellt, das betrachtete Normalprojekt werde fremdfinanziert und alle Ein- und Auszahlungen würden nach Art eines Kontokorrentkredites abgerechnet. Würden die jeweiligen Salden dabei jeweils zum Kalkulationszins verzinst, so erhält man als Schlusssaldo dieses Kontos den Endwert gemäß (2. 1 ) . Rechnet man das Konto hin gegen auf der Basis von r* ab, so muss sich für den Endsaldo gerade ± 0 ergeben. Zur beispielhaften Verdeutlichung sei die Zahlungsreihe eo = -80; e j = -12 ; e2 = + 50; e3 = + 66 betrachtet, für die r* = 0, I gilt. Für das entsprechende "Konto" ergibt sich somit die in folgender Tabelle dargestellte Entwicklung. t et Zt = Ct-1 · r* et + Zt Ct = Ct-1 + (et + Zt) 0 -80 0 -80 - 80 1 - 12 - 8 -20 - 100 2 +50 - 1 0 +40 - 60 3 +66 - 6 +60 ± 0 2:: -24 2:: -240 Cl bezeichnet dabei den Kontostand im Zeitpunkt t (mit C-1 : = 0) und Zl die im Zeitpunkt t erfolgende Zinsbelastung. Würde das betrachtete Projekt durch einen zu 10 % verzinslichen Kredit finanziert, so könnte dieser durch die nachfolgenden Einzahlungen bis zum Ende der Projektlaufzeit gerade vollständig abgetragen wer den. Wäre der zugrunde gelegte Zinssatz höher als der interne Zinsfuß von 10 %, so verbliebe am Ende noch ein Negativsaldo; bei einem niedrigeren Satz hingegen würde sich ein Endguthaben errechnen. Weiterhin geben die Ct den Betrag der bis zum Zeitpunkt t noch nicht abgetragenen Verbindlichkeiten an, den man auch als das in der Periode (t + I ) "gebundene Kapi tal " bezeichnen kann. Die "durchschnittliche Kapitalbindung " während der Projekt laufzeit ergibt sich dann als einfacher Durchschnitt dieser Ce Werte, beträgt also 240/3 . In analoger Weise ergibt sich die "durchschnittliche Zinsbelastung " während der Projektlaufzeit als Durchschnitt der ZcWerte, beträgt im vorliegenden Fall also 24/3 . Der Quotient dieser beiden Größen kann dann als "Verzinsung des durch schnittlich gebundenen Kapitals " interpretiert werden ; er beträgt im vorliegenden Fall 1 0 %, stimmt also genau mit dem internen Zinsfuß überein. 2. Investitionsentscheidungen bei sicheren Erwartungen 12 1 Die zunächst nur beispielhaft verdeutlichten Zusammenhänge gelten für Normalin vestitionen allgemein; d. h . , der interne Zinsfuß kann in diesen Fällen als die "Ver zinsung des durchschnittlich gebundenen Kapitals " interpretiert werden. Zugleich gibt er an, welche Finanzierungskosten das betrachtete Projekt gerade noch "ver kraften" könnte, ohne unvorteilhaft zu werden. In diesem Sinne wird der interne Zinsfuß auch als "Rendite" eines Investitionsprojektes interpretiert. Dementspre chend ist ein Investitionsprojekt im Fall eines im Zeitablauf konstanten Kalkula tionszinsfußes f dann projektindividuell vorteilhaft, wenn seine Rendite diesen Kal kulationszins übersteigt, d. h. wenn die maximal "verkraftbaren " Finanzierungskos ten höher sind als die tatsächlich in Rechnung zu stellenden. Formal gilt also als Entscheidungskriterium für projektindividuelle Vorteilhaftigkeitsentscheidungen r* > f. (2.29) Im Fall im Zeitablauf wechselnder periodenspezifischer Kalkulationszinsfüße kann demgegenüber ein ähnlich einfaches Vorteilhaftigkeitskriterium nicht gefunden wer den. Es bedürfte umständlicher weiterer Berechnungen, auf die hier jedoch verzich tet werden soll. Dass die Entscheidungsregel gemäß (2.29) im Fall von Normalinvestitionen mit dem Kapitalwertkriterium übereinstimmt, wird aus Abb. B. l-l sofort deutlich: Da K(r) mit steigendem Kalkulationszins fällt und K(r*) = 0 gilt, muss K(r) für kleinere Werte des Kalkulationszinses positiv, für größere negativ sein. Nach diesem Zwischenergebnis könnte es nun auf den ersten Blick nahe liegen, sich auch bei Auswahlentscheidungen nach dem internen Zinsfuß zu richten und das Projekt mit dem höchsten r*-Wert als vorteilhaft anzusehen. Das Ergebnis einer sol chen Entscheidung kann jedoch dem Kapitalwertkriterium widersprechen, wie fol gendes Beispiel verdeutlicht. Den Zahlungsreihen zweier Projekte I und II ero = -200; eIl = + 210 ; eI2 = + 23 sowie eno = -200; eII l = ± 0; eII2 = + 250 entsprechen die in Abb. B. 1-2 dargestellten Kapitalwertfunktionen. Projekt 11 weist zwar mit 1 1 ,8 % gegenüber 15 % bei Pro jekt I den niedrigeren internen Zinsfuß auf, führt bei Kalkulationszinsfüßen unter halb von ca. 8 % aber dennoch zu dem höheren Kapitalwert. So gilt etwa bei einem Zinssatz von 6 % : K" = 22,5 > K, = 1 8 ,6. K Abb. B. 1-2: Kapitalwertfunktionen zweier Projekte 1 22 B. 1 . Investition Dieser mögliche Widerspruch zwischen den Kriterien des internen Zinsfußes und des Kapitalwerts hat Anlass zu heftigen Kontroversen über die Sinnhaftigkeit des einen oder des anderen Kriteriums gegeben. Dabei ist deutlich geworden, dass der interne Zinsfuß im Allgemeinen keine sinnvolle Entscheidungsgrundlage für die Projektauswahl darstellt. Um diese Unzulänglichkeiten plausibel zu machen, sei noch einmal auf die Interpretation des internen Zinsfußes als "Verzinsung des durchschnittlich gebundenen Kapitals " zurückgegriffen. Ein Vergleich derartiger relativer Größen führt nur dann zu allgemein sinnvollen Ergebnissen, wenn die Be zugsbasen der Relativzahlen, also die jeweiligen "Kapitalbindungen ", übereinstim men. Das ist aber beim Vergleich verschiedener Investitionsprojekte in aller Regel selbst dann nicht der Fall , wenn die Laufzeit und auch die Anfangsauszahlungen übereinstimmen. Zudem sagen Vergleiche der durch den internen Zinsfuß ja eben falls verdeutlichten maximalen Belastbarkeit mit Finanzierungskosten noch gar nichts darüber aus, welches Projekt auf der Basis der tatsächlich maßgeblichen Finanzie rungskosten am günstigsten ist. Zusammenfassend ist somit festzuhalten, dass der interne Zinsfuß keine geeignete Kennzahl für Auswahlentscheidungen darstellt. Der artige Entscheidungen würden vielmehr systematisch verzerrt, und zwar • zu Ungunsten von Projekten mit hohem Kapitaleinsatz, langer Anlaufphase und dementsprechend spätem Mittelrückfluss, • zu Gunsten von Projekten mit geringem Kapitaleinsatz und schnellem Mittelrück fluss. Im ersten Fall ist die Bezugsbasis für einen eventuell relativ niedrigen internen Zins fuß eine vergleichsweise hohe Kapitalbindung (so in unserem Beispiel bei Projekt 11), während sich ein hoher interner Zinsfuß im zweiten Fall nur auf eine deutlich geringere Basis bezieht (so bei Projekt I). Die Tauglichkeit des internen Zinsfußes als sinnvolle Kennzahl zur projektindivi duellen Beurteilung von Normalinvestitionen bleibt von den zuletzt vorgetragenen Argumenten allerdings unberührt. 2.1.5. Amortisationsdauer Die Amortisationsdauer t* eines Projektes bezeichnet den Zeitpunkt, zu dem der Barwert aller bis dahin angefallenen Einzahlungen erstmalig größer ist als der Bar wert aller bis dahin angefallenen Auszahlungen. Formal ist t* also aus folgender Bedingung zu bestimmen: (' - 1 t ' L et . q-t � 0 < L et . q- t. t�O t=O (2.30) Zur praktischen Berechnung ist es im Allgemeinen am einfachsten, zunächst den Zeitpunkt t' zu bestimmen, zu dem die Summe der bis dahin angefallenen Einzah lungen undiskontiert erstmalig die entsprechende Auszahlungssumme übersteigt, und anschließend den Kapitalwert der "abgeschnittenen" Zahlungsreihe eo, e j , . . . , er" zu berechnen. Ist dieser Kapitalwert positiv, so gilt t* = t' . Andernfalls wird die Zahlungsreihe jeweils schrittweise um die nächste Zahlung erweitert, bis erstmalig ein positiver Kapitalwert auftritt. Ist Bedingung (2.30) hingegen auch bei Ausdeh- 2. Investitionsentscheidungen bei sicheren Erwartungen 123 nung der erfassten Zahlungsreihe bis zum Endzeitpunkt t nicht erfüllt, so gibt es für das betrachtete Projekt überhaupt keine Amortisationsdauer. Die Amortisationsdauer t* kennzeichnet also den Zeitpunkt, von dem ab die Zah lungsreihe eines vorteilhaften Projektes frühestens "abgeschnitten" werden dürfte, ohne dass das Projekt dadurch unvorteilhaft wird. Diese Interpretation geht aller dings implizit davon aus, dass in den auf t* folgenden Perioden nicht noch einmal Auszahlungsüberschüsse auftreten. Für die Beurteilung einer Zahlung sreihe , die über t* hinausgeht, kann die Amortisationsdauer somit allenfalls dann eine sinnvolle Grundlage darstellen, wenn die letztgenannte Bedingung erfüllt ist. Da diese Vor aussetzung insbesondere bei Normalinvestitionen gegeben ist, werden wir im Fol genden nur noch diesen ökonomisch besonders bedeutsamen Spezialfall betrachten. Für den so eingeschränkten Anwendungsbereich wird die Eignung der Amortisa tionsdauer für projektindividuelle Entscheidungen aus der Definition (2.30) unmit telbar deutlich: Kann bei dem betrachteten Projekt überhaupt eine Amortisations dauer ermittelt werden, so ist der Kapitalwert des Projektes zwangsläufig positiv. Mithin ist ein solches Projekt im Vergleich zur Unterlassensalternative vorteilhaft. Formal gilt als Vorteilhaftigkeitskriterium also t* � t. (2. 3 1 ) Sinnvolle Auswahlentscheidungen können hingegen allenfalls i n besonders gelager ten Spezialfällen mit Hilfe der Amortisationsdauer gefällt werden, da alle Zahlun gen, die später als t* erfolgen, bei der Ermittlung dieser Kennzahl unberücksichtigt bleiben. Die Regel, das Projekt mit der kürzesten Amortisationsdauer zu realisieren, führte jedenfalls dazu, dass Projekte mit höheren Anfangsauszahlungen und längerer Anlaufphase systematisch schlechter beurteilt würden als Projekte mit kleinerem Einsatz und relativ schnellerem Mittelrückfluss. Ähnlich wie der interne Zinsfuß ist die sinnvolle Anwendbarkeit der Amortisations dauer also auf Vorteilhaftigkeitsentscheidungen bei Normalprojekten beschränkt. Allerdings ist die Anwendung dieses Kriteriums für den praktischen Fall nicht son derlich einleuchtend, da es in der Regel einfacher ist, den Kapitalwert direkt zu er mitteln. Die eigentliche Relevanz dieser Kennzahl liegt dementsprechend auch nicht so sehr in der Fundierung von Entscheidungen unter der Prämisse sicherer Erwar tungen als vielmehr in der Analyse der Unsicherheitsstrukturen von Investitionspro jekten. Wir werden darauf im 3. Kapitel noch einmal zurückkommen. 2.2. Erweiterungen und Spezialfälle elementarer Entscheidungsregeln 2.2.1. Typenauswahl bei gegebener Rahmenentscheidung Es sind Situationen denkbar, in denen die Grundsatzentscheidung für eine bestimmte Art von Investition schon getroffen ist, im Einzelnen jedoch noch verschiedene Varianten zur Auswahl stehen. Nehmen wir etwa an, zur Nachfolge einer ersatzbe dürftigen Produktionsanlage stünden zwei verschiedene Modelltypen I und 11 mit übereinstimmender Laufzeit zur Auswahl. Nach dem Kapitalwertktiterium ist Mo dell I genau dann vorzuziehen, wenn Kr > Ku gilt bzw. 1 24 B. 1 . Investition t K1 - Ku = L (CII - eIlt) . q- t > O. [�O (2.32) Die Folge der Differenzen (eIt - eIlt) bildet offenbar rechnerisch eine eigene Zah lungsreihe, die man häufig auch - etwas missverständlich - als Differenzinvestition DI.I.II bezeichnet. Da es sich hier ja gar nicht um eine Investition, sondern eine Zeit reihe von Zahlungen handelt, wollen wir diese nachfolgend als Differenzzahlungs reihe bezeichnen. Der zugehörige Kapitalwert Ku.II stimmt dabei definitions gemäß mit der Differenz der projektindividuellen Kapitalwerte (K, -KII) überein. Nach dem Kapital wertkriterium gebührt Projekt I also genau dann der Vorzug gegenüber Pro jekt 11, wenn der Kapitalwert der Differenzzahlungsreihe DUTT positiv ist. Das Verfahren, statt der projektindividuellen Kapitalwerte unmittelbar den Kapi talwert der Differenzzahlungsreihe zu bestimmen, bietet neben einer Verminde rung der Zahl der Diskontierungsrechnungen insbesondere den Vorteil, dass alle Komponenten, die in die Zahlungsreihen eIl und eIlt in gleicher Weise eingehen, von Anfang an außer Betracht bleiben können, da sie sich bei der Differenzbildung ohnehin aufheben. Der mit der Ermittlung der Zahlungsreihen verbundene Planungs aufwand kann dadurch unter Umständen erheblich verringert werden. Allerdings führt dieses Verfahren nur dann mit Sicherheit zur Auswahl der besten Alternative, wenn die Grundsatzentscheidung bereits getroffen ist, dass eines der betrachteten Projekte auf jeden Fall realisiert wird. Ist eine solche Vorentscheidung nicht gege ben, muss das mittels Differenzzahlungsreihe als günstigstes ermittelte Projekt in einem abschließenden Prüfschritt noch mit der Unterlassensalternative verglichen werden - etwa durch Ermittlung des Kapitalwertes der eigentlichen Zahlungsreihe. Denn der Kapitalwert der Differenzzahlungsreihe zeigt nur an, welches der beiden gegenübergestellten Projekte das günstigere ist. Es ist jedoch keineswegs ausge schlossen, dass beide Projekte im Vergleich zur Unterlassensalternative unvorteilhaft sind. 2.2.2. Investitionsketten Die bislang betrachteten Handlungsalternativen bestanden stets nur aus einzelnen Investitionsprojekten. Es sind jedoch Situationen denkbar, in denen auch die nach Ablauf eines Projektes erfolgenden Folgeprojekte ins Kalkül einzubeziehen sind. Zur exemplarischen Verdeutlichung einer solchen Investitionskette sei der einfachste Fall betrachtet, in dem die einzelnen Projekte der Kette jeweils die gleichen Zah lungsreihen aufweisen. Bezeichnet EW nun wieder den gemäß (2. 1 ) ermittelten Endwert des Einzelprojektes mit der Laufzeit t und umfasst die Kette insgesamt n Realisationen des Einzelprojektes, so gilt für den Kapitalwert der Kette: (2.33) Fasst man den Klammerausdruck nun nach der Summenformel für die geometrische Reihe zusammen und beachtet man, dass gemäß (2. 1 3) EW = K . qt gilt, so ergibt sich aus (2.33) nach geeigneter Zusammenfassung folgende Beziehung zwischen dem Kapitalwert der gesamten Kette (KK) und dem Kapitalwert des einzelnen Pro jektes (K) : 2. Investitionsentscheidungen bei sicheren Erwartungen 125 1 _ q-tn KK = K · - . 1 - q-t (2.34) Für die Beziehung zwischen der Annuität der Investitionskette e"K und dem Kapital wert des einzelnen Projektes gilt dann analog zu (2.2 1 ) K · ---[ 1 - q-tn] r 1 - q-t . 1 _ q-tn � � KK (2.35) Der letzte Term stellt aber gemäß (2.23) nichts anderes als die projektindividuelle Annuität e* dar, so dass einfach e'� = e* (2.36) gilt. D. h . , die auf die gesamte Laufzeit n . 1 bezogene Annuität einer Investitions kette ist mit der Annuität des Einzelprojektes identisch. Außerdem erkennt man, dass zwischen KK und e* die Relationen bestehen. e* e* 1 _ q-tn -----"- bzw. für n --> CXJ r (2.37) (2.38) Für Entscheidungen über Investitionsketten lassen sich aus (2.34) und (2.36) nun folgende Regeln ableiten: • Projektindividuell betrachtet ist eine gesamte Kette genau dann vorteilhaft, wenn sich für Kapitalwert oder Annuität des Einzelprojektes ein positiver Wert ergibt. • Stehen mehrere Investitionsketten mit gleicher Laufzeit der Einzelprojekte (1) und gleicher Gesamtlaufzeit (n . 1) zur Auswahl, so ist ebenfalls die Kette mit dem maximalen Kapitalwert für das Einzelprojekt bzw. der maximalen projektindivi duellen Annuität am vorteilhaftesten. • Stehen schließlich mehrere Investitionsketten mit unterschiedlichen Laufzeiten der Einzelprojekte (1), jedoch gleicher Gesamtlaufzeit (n . 1) zur Auswahl, so ist die Kette mit der maximalen projektindividuellen Annuität am vorteilhaftesten. Ein Vergleich der projektindividuellen Kapitalwerte hingegen führt in diesem Fall nicht mit Sicherheit zur Bestimmung des günstigsten Projektes . Die projektindividuelle Annuität stellt also in allen drei Fällen eine geeignete Ent scheidungsgrundlage dar. 2.2.3. Lebensdauer- und Ersatzprobleme Bislang haben wir die Laufzeit 1 der einzelnen Projekte jeweils als eine vorgege bene Größe angesehen. De facto kann jedoch auch 1 selbst ein Entscheidungspara meter sein. Wir wollen die mit einer entsprechenden Erweiterung des Betrachtungs spektrums verbundenen Probleme an zwei miteinander verknüpften Problemfällen exemplarisch verdeutlichen und dabei von dem theoretischen Grenzfall ausgehen, 1 26 B. 1 . Investition dass ein bereits grundsätzlich als vorteilhaft erkanntes Projekt in der Zukunft unend lich oft in identischer Weise wiederholt werden soll, so dass eine unendliche Kette der im vorigen Abschnitt bereits verdeutlichten Art vorliegt. Fraglich sei jedoch als erstes Problem die optimale Laufzeit der Einzelprojekte, also gewissermaßen die optimale Länge der einzelnen Kettenglieder. Formal handelt es sich um eine Auswahlentscheidung, wobei die zur Auswahl stehenden Alternativen die Eigenart aufweisen, dass es sich durchweg um unendliche Ketten des gleichen Investitionsprojektes handelt und lediglich der Investitionszyklus eine unterschiedli che Länge aufweist. Bezeichnen wir mit (- eo) wieder die als konstant unterstellten Anschaffungsauszah lungen, mit et die laufenden Zahlungsüberschüsse eines Einzelprojektes im t-ten Laufzeit jahr und den bei Projektabbruch im Laufzeit jahr I erzielbaren Liquidations erlös mit Lt, so gilt für Kapitalwert und Annuität eines Einzelprojektes mit der Laufzeit t: t K(I) = I;ct . q-l + Lf . q f bzw. to=O c*(f) = [ta C, . q-t + Li 0 q-l] . ANF(t:; 1') . (2.39) (2.40) Für den Kapitalwert der gesamten Kette unendlich vieler Einzelprojekte der Lauf zeit I gilt dann entsprechend (2.38) - e* (I) Kf((t) = -_- . (2.4 1 ) r Gesucht wird nun der Wert f der projektindividuellen Laufzeit, für den Kf((t) den maximalen Wert annimmt. Wie (2.4 1 ) zeigt, bedarf es dazu allerdings gar nicht der expliziten Berechnung des Kapitalwertes der gesamten Kette; vielmehr reicht es aus, für die verschiedenen überhaupt in Frage kommenden Laufzeiten jeweils die projektindividuelle Annuität gemäß (2.40) zu berechnen und dann den t-Wert zu be stimmen, für den e*(t) maximal wird. Die Bestimmung der optimalen Zykluslänge einer unendlichen Kette identischer Investitionsprojekte lässt sich also durch An wendung des einfachen Annuitätskriteriums lösen. Als zweites sei nun das Problem betrachtet, dass eine derzeit noch im Betrieb befind liche alte Anlage demnächst durch eine derartige unendliche Kette identischer Fol geprojekte mit bereits vorab bestimmter optimaler Zykluslänge f abgelöst werden soll, der Ersatzzeitpunkt jedoch noch fraglich sei. Es handelt sich hier wiederum um ein Auswahlproblem mit der Eigenart, dass alle zur Auswahl stehenden Alternativen in der Fortführung des derzeit laufenden Projektes und dem anschließenden Über gang zu einer unendlichen Kette identischer Folgeprojekte bestehen und sich aus schließlich in dem Übergangszeitpunkt unterscheiden. Bezeichnet man den Planungszeitpunkt mit T = 0, die aus der alten Anlage am Ende der Folgeperioden T = 1 , 2, . . . resultierenden Zahlungsüberschüsse mit e" den Er satzzeitpunkt mit T sowie den Liquidationserlös mit Li' und beachtet, dass sich der auf ihren Startzeitpunkt T bezogene Kapitalwert der nachfolgenden unendlichen Kette gem. (2.4 1 ) berechnet, so gilt für die auf den Planungszeitpunkt bezogenen 2. Investitionsentscheidungen bei sicheren Erwartungen 1 27 Kapitalwerte der zur Auswahl stehenden Alternativen in Abhängigkeit von dem Er satzzeitpunkt i: T K(i) = I: Cl: . q-l: + Li . q-t + (2.42) Kapitalwert des Restprojektes inkl. Liquidationserlös Kapitalwert der in f beginnenden unendlichen Kette, abgezinst auf 1: = 0 Zur Ermittlung des optimalen Ersatzzeitpunktes ist nun für alle in Frage kommen den Restlaufzeiten i (i = 0, 1 , 2, . . . ) der Kapitalwert gemäß (2.42) zu berechnen und dann der i-Wert zu bestimmen, für den K(i) maximal wird. Insbesondere für den Fall, dass die Einzahlungsüberschüsse eT etwa wegen mit dem Alter der Anlage steigender Energie- und Wartungskosten im Zeitablauf ständig fal len - und zwar deutlich stärker als die mit zunehmender Lebensdauer der Anlage ebenfalls fallenden Liquidationserlöse LE -, kann der optimale Ersatzzeitpunkt ein fach bestimmt werden, indem im Planungszeitpunkt für das Ende jeder Periode, also für die Zeitpunkte i = 0, 1 , 2, . . . , festgestellt wird, ob ein sofortiger Ersatz günstiger ist als ein Ersatz am Ende der folgenden Periode, also die Kapitalwerte K(i) und K(i + 1 ) verglichen werden. Eine Verschiebung des Ersatzzeitpunktes um eine weitere Periode ist genau dann nicht mehr vorteilhaft, wenn K(i + I) - K(i) < 0 gilt. Unter Beachtung von (2.42) kann stattdessen auch [e"T + l + L"T+ l ] q- ("T + l ) - L,q-"T + e* �tO ) [q_ ("T + l ) - q-T] < 0 r (2.43) (2.44) geschrieben werden. Multipliziert man beide Seiten dieser Ungleichung mit qT + 1 , so ergibt sich nach geeigneter Umformung als Bedingung für den optimalen i-Wert: (2.45) Diese Relation lässt sich ökonomisch sehr anschaulich interpretieren. Die linke Seite gibt nämlich gerade den bei einer Verschiebung des Ersatzzeitpunktes um eine Peri ode aus dem alten Projekt noch erzielbaren Einzahlungsüberschuss an, kann also als "zeitlicher Grenzertrag" bei Fortführung des auslaufenden Projektes um eine Peri ode angesehen werden. Andererseits können die Komponenten der rechten Seite wie folgt interpretiert werden: ( I ) e*(tü) gibt die auf den Zeitpunkt (1: + I ) bezogene Verminderung des Kapitalwertes K(1: + I ) gegenüber K(f) an, die allein dadurch entsteht, dass die gesamte auf das auslau fende Projekt folgende Investitionskette um eine Periode in die Zukunft geschoben wird. Es ist dies gerade der die Annuität repräsentierende "durchschnittliche" Einzahlungsüber schuss der Folgeprojekte. (2) (L, -L, + il gibt die durch die Verschiebung des Ersatzzeitpunktes von 1: auf (f + I ) eintre tende Minderung des Liquidationserlöses an. (3) L, . r schließlich gibt die kalkulatorischen Zinsen auf den bei sofortigem Ersatz erzielba ren Liquidationserlös an, auf die bei einer Fortführung des alten Projektes um eine Peri ode verzichtet werden muss . Zusammen können diese drei Komponenten somit als die "zeitlichen Grenzkosten " einer Verschiebung des Ersatzzeitpunktes um eine Periode betrachtet werden. Bedin- 1 28 B. 1 . Investition gung (2.45) besagt somit, dass es genau dann nicht mehr vorteilhaft ist, den Ersatz des alten Projektes um eine weitere Periode aufzuschieben, wenn die damit verbun denen "Grenzerträge" von den "Grenzkosten" überstiegen werden. Vernachlässigt man Ganzzahligkeitsbedingungen für die Entscheidungsvariablen, so erhalten wir für die Bestimmung des Ersatzzeitpunktes die aus anderen ökonomischen Teilberei chen bereits geläufige Optimalbedingung "Grenzkosten = Grenzertrag " . Allerdings ist diese Behandlung für die Ermittlung des optimalen Ersatzzeitpunktes nur dann hinreichend, wenn die Kapitalwerte K(i) bei einer stetigen Erhöhung von i zunächst steigen und nach Erreichen des Optimalwertes wieder fallen, so wie dies etwa unter den eingangs genannten Prämissen über die zeitliche Entwicklung der e,und Lf zu trifft. Andernfalls können mehrere lokale Optima vorliegen, so dass die angegebene Relation dann nur noch eine notwendige Bedingung darstellt, zur Bestimmung des Totaloptimums aber nicht mehr hinreichend ist. Im Einzelnen beruhen die beiden vorgestellten Modellvarianten natürlich auf sehr einengenden Prämissen, verdeutlichen aber dennoch das grundlegende methodische Rüstzeug zur Bewältigung von Lebensdauer- und Ersatzzeitpunktproblemen. Im Übrigen existieren im Schrifttum die verschiedensten Erweiterungen und Modifika tionen der präsentierten Grundansätze, etwa durch die Einbeziehung von Steuern, Preissteigerungen, technischem Fortschritt, begrenzten Reinvestitionszeiträumen etc. (z. B . Schulte, 1 975 ; Schneider, D. , 1 992). 2.2.4. Zur Einbeziehung von Steuern Die Frage, in welcher Weise die Vorteilhaftigkeit oder Rangfolge von Investitions projekten durch steuerliche Effekte beeinflusst wird, ist bislang nicht explizit erör tert worden. Zur beispielhaften Verdeutlichung der damit verbundenen Probleme be trachten wir im Folgenden den Fall, dass der Periodengewinn des Investors einer proportionalen Ertragsteuer mit dem Satz s unterliegt, die jeweils im gleichen Jahr zahlungswirksam wird; Schuldzinsen seien steuerlich absetzbar, Guthabenzinsen zu versteuern; bei negativen Steuerbemessungsgrundlagen erfolge am Ende der entspre chenden Periode ein Verlustausgleich. Bezeichnen et(t = 0, 1 , . . . , t) und r Zahlungs reihe und Finanzierungskostensatz vor Steuern, so sind im Steuerfall zwei Modifika tionen vorzunehmen: • Zum einen sind die e t um die in der entsprechenden Periode erfolgenden Steuer zahlungen SI zu vermindern. (Der Frage, wie sich diese Steuerzahlungen im Ein zelnen bestimmen, insbesondere inwieweit sie mit den Zahlungsgrößen et ver knüpft sind oder nur unter Zuhilfenahme weiterer Größen der Aufwands- und Er tragsebene bestimmt werden können, wird hier nicht weiter nachgegangen. ) Es ergibt sich so die modifizierte Zahlungsreihe et = et - St (t = 0, 1 , . . . , t) . Dabei können die SI in einzelnen Perioden durchaus negative Werte annehmen, nämlich dann, wenn das Projekt in einer Periode isoliert betrachtet Verluste aufweist und somit zu einer Minderung des steuerpflichtigen Gewinns des Unternehmens ins gesamt führt. • Zum zweiten ist zu beachten, dass der Kalkulationszins auf der Basis der entge henden Zinserträge aus der alternativ möglichen Anlage eigener Mittel oder der 2. Investitionsentscheidungen bei sicheren Erwartungen 1 29 für die aufzunehmenden Fremdmittel effektiv anfallenden Zinsaufwendungen zu bestimmen ist. Sind Zinserträge mit dem Satz s zu versteuern und mindern Fremdkapitalzinsen die Steuerbemessungsgrundlage um den gleichen Satz s, so ist der Kalkulationszins vor Steuern r durch r = r . ( 1 - s) zu ersetzen. Für den Kapitalwert eines Investitionsprojektes nach Steuern K gilt dann mit q = C l + r) : oder AT t A -t t A _t K = L et • q - L St . q . t-O t- O [2.46] [2.47] Man erhält den Kapitalwert nach Steuern also, indem man K(r) berechnet, d. h. den Kapitalwert der Zahlungsreihe vor Steuern auf der Basis des modifizierten Kalkula tionszinsfußes I, und davon den Kapitalwert aller Steuerzahlungen, den sog. Steuer barwert Sei) , ebenfalls berechnet auf der Basis des modifizierten Kalkulationszins fußes I, abzieht. Für die folgende Betrachtung wird unterstellt, dass der Steuerbar wert S(r) im Bereich der jeweils relevanten Zinsfüße stets positiv, der Kapitalwert vor Steuern K(r) also stets größer ist als der Kapitalwert nach Steuern K(r) . Zur graphischen Verdeutlichung sind in Abb. B. 1-3 die Kapitalwertfunktionen K(r) und K(r) der Zahlungsreihen vor und nach Steuern dargestellt. Der Abstand der beiden Kurven entspricht dabei genau dem Steuerbarwert; die Differenz der Ordi natenschnittpunkte gibt mithin die undiskontierte Summe aller Steuerzahlungen an. Kennzeichnet K(f) nun den Kapitalwert des betrachteten Projektes ohne Be rücksichtigung von Steuern, so entspricht die Einbeziehung von Steuerzahlungen dem Übergang G) von K(r) nach K(r) , führt für den Normalfall eines allgemein posi tiven Steuerbarwertes also stets zu einer Verminderung des Kapitalwertes . Die Mo difikation des Kalkulationszinsfußes selbst entspricht dann dem Übergang C2l von K(r) nach K(I) und bewirkt bei Normalinvestitionen eine Erhöhung des Kapital wertes . 1\ r 1\ K(r) K(r) r Abb. B. 1-3: Kapitalwertfun kt ionen m it und ohne Steuern 1 30 B. 1 . Investition Die Einbeziehung von Steuern beeinflusst den Kapitalwert eines Projektes also • zum einen negativ durch die Verminderung der Einzahlungsüberschüsse um die Steuern (Volumeneffekt), • zum anderen positiv durch die Verminderung der Nettofinanzierungskosten (Zinseffekt). Der aus diesen bei den entgegengesetzt wirkenden Teileffekten insgesamt resultie rende Steuereffekt kann je nach den Gegebenheiten des Einzelfalles sowohl positiv als auch negativ sein. Für den Fall projektindividueller Entscheidungen sind dabei im Einzelnen folgende Konstellationen denkbar: I. K(i') > K(r) : Die Einbeziehung von Steuern führt zu einer Verminderung des Kapitalwertes . Dabei ist es zum einen denkbar, dass sich die Vorteilhaftigkeit des Projektes im Vergleich zur Unterlassensalternative nicht ändert, K(i') und K(r) also das gleiche Vorzeichen haben. Es ist jedoch auch möglich, dass K(i') > 0 > K(r) gilt, ein ohne Steuern vorteilhaftes Projekt durch die Einbeziehung von Steu ern also unvorteilhaft wird. II. K(r) < K(i) : Die Einbeziehung von Steuern führt zu einer Erhöhung des Kapital wertes, wobei neben den für die Vorteilhaftigkeitsbeurteilung unergiebigen Fäl len gleich bleibender Vorzeichen von K(r) und K(r) auch die Konstellation K(r) < 0 < K(r) auftreten kann, ein ohne Steuern unvorteilhaftes Projekt also durch die Einbeziehung von Steuern doch vorteilhaft wird. Diese häufig als Steuerparado xon (z. B. Schneider, D. , 1 969) bezeichnete Konstellation findet ihre Erklärung formal darin, dass der Zinseffekt den Volumeneffekt übertrifft. Welche dieser beiden Konstellationen eintritt, hängt materiell insbesondere von der zeitlichen Struktur der Steuerzahlungen ab. Fallen die Steuerzahlungen etwa über wiegend in den Anfangsperioden der Projektlaufzeit an, so ist der Steuerbarwert entsprechend hoch und die Kurve K(r) liegt weit unterhalb von K(r) . Mithin ist der Volumeneffekt deutlich ausgeprägt und kann durch den Zinseffekt nicht mehr aus geglichen werden; es tritt also Konstellation I ein. Fallen die Steuerzahlungen hinge gen erst in den Schlussperioden an und treten anfangs vielleicht sogar Steuereinspa rungen auf, so ist es möglich, dass der Volumeneffekt durch den Zinseffekt über kompensiert werden kann, also Konstellation 11 eintritt. Für den Fall von Auswahlentscheidungen schließlich wird aus den vorangegangenen Überlegungen sofort deutlich, dass sich die Reihenfolge von Projekten als Folge der Einbeziehung von Steuern ebenfalls ändern kann. Dabei können - insbesondere bei hohen Steuersätzen - vor allem solche Projekte durch die Einbeziehung von Steuern im Vergleich zu anderen "profitieren" , bei denen die Steuerbelastungen möglichst spät erfolgen und in den Anfangsperioden sogar Steuereinsparungen auftreten. Ver schiedene Konstruktionsformen so genannter Abschreibungsgesellschaften mit ho hen anfänglichen "Verlustzuweisungen" an die Gesellschafter sind empirischer Be leg für den Versuch, den angesprochenen Effekt praktisch zu nutzen. 2. Investitionsentscheidungen bei sicheren Erwartungen 2.3. Entscheidungen über Investitions- und Finanzprogramme 2.3.1. Interdependenzprobleme 1 3 1 Die bislang behandelten Investitionskalküle weisen neben der Vernachlässigung der Unsicherheit zwei weitere Einschränkungen auf. Zum einen ist es möglich. dass Ent scheidungen über bestimmte, im Planungszeitpunkt in Angriff zu nehmende Projekte auch die Durchführungs- und Ergebnismöglichkeiten erst später zu beginnender Pro jekte beeinflussen. Diese häufig als "zeitlich-vertikale Interdependenzen" (Jacob, 1 964) bezeichneten Auswirkungen gegenwärtiger Entscheidungen auf zukünftige Entscheidungsfelder müssten bei einem korrekten Investitionskalkül also mit in die Beurteilung einbezogen werden. Zum Zweiten stehen finanzielle Mittel üblicher weise nicht in praktisch unbegrenztem Umfang, sondern in der Regel nur limitiert und häufig auch zu unterschiedlichen Finanzierungskosten zur Verfügung. Dabei be stehen zwischen den gegenwärtigen Finanzierungsmaßnahmen und den zukünftigen Finanzierungsmöglichkeiten ebenfalls zeitlich-vertikale Interdependenzen der ge schilderten Art. Zudem hängt auch das Ausmaß, in dem in den einzelnen Perioden die Inangriffnahme von Investitionsprojekten vorteilhaft ist, von dem Umfang und den Konditionen der in dieser Periode möglichen Finanzierungsmaßnahmen ab. Der Versuch, auch derartige Interdependenzen in entsprechenden Modellen zu erfas sen, hat zur Entwicklung verschiedener Ansätze der simultanen Investitions- und Finanzierungsprogrammplanung mit Hilfe der mathematischen Programmierung ge führt (z. B . Masse, 1 959; Albach, 1 962; Weingartner, 1 963 ; Hax, 1 964) . Das Grund prinzip dieser Vorgehensweise werden wir im Folgenden anhand eines besonders prägnanten Modellansatzes exemplarisch verdeutlichen. 2.3.2. Der Standardansatz zur simultanen Investitions- und Finanzplanung Analog zu der bisherigen Vorgehensweise gehen wir im Folgenden wieder davon aus, dass sich die zur Auswahl stehenden Investitionsprojekte Xi (i = 1 , 2, . . . , "I) und auch die Finanzierungsprojekte Y h (h = 1 , 2, . . . , h) jeweils durch eindeutige Zahlungsreihen eit (eht) , t = 0, 1 , . . . , l: für den relevanten Betrachtungszeitraum darstellen lassen (An nahmen der Sicherheit und der eindeutigen Zurechenbarkeit) . e it (eht) bezeichnet dabei den Zahlungsüberschuss, der im Zeitpunkt t erzielt würde, wenn das betrachtete Pro jekt X i (Yh) genau einmal realisiert würde. Die Möglichkeit, im Zeitpunkt t = 0 einen Kredit über 1 000 GE aufzunehmen und in t = 1 einschließlich Zins zu 1 100 GE zu rückzuzahlen, würde also durch die Zahlungsreihe + 1 000; - 1 1 00 verdeutlicht. Dabei betrachten wir allerdings • sowohl Projekte, die sofort in Angriff genommen werden können, deren Zah lungsreihe also bereits in t = 0 beginnt, • als auch Projekte, deren Startzeitpunkt erst in späteren Perioden liegt, deren Zahlungsreihen in den ersten Perioden also die Werte 0 aufweisen. In diesem Zusammenhang sei weiterhin zunächst angenommen, dass im Zeitpunkt (l: - 1 ) zum letzten Mal Investitions- und Finanzierungsprojekte in Angriff genom men werden können und die Zahlungsreihen sämtlicher Projekte spätestens im Zeit- 1 32 B. 1 . Investition punkt t abgeschlossen sind. Der Planungszeitraum umfasst also die t Perioden zwi schen Planungszeitpunkt t = 0 und dem "Planungshorizont" t = t (Annahme der zeit lichen Abgeschlossenheit) . Zur modellmäßigen Darstellung wird nun jedem Projekt eine Aktionsvariable X i bzw. Yh zugeordnet, die angibt, wie oft das entsprechende Projekt durchgeführt wer den soll, also z. B . wie viele Kraftfahrzeuge des gleichen Typs in einem Zeitpunkt gekauft werden sollen oder wie viel GE einer bestimmten Kreditart aufgenommen werden sollen. Dabei sei zunächst unterstellt, dass sämtliche Projekte nur bis zu einer bestimmten Höchstgrenze Xi bzw. Yh durchgeführt werden können, innerhalb dieser Grenze aber in beliebigen Bruchteilen realisierbar sind (Annahme beliebiger Teilbarkeit) . Weiterhin seien die in einem Zeitpunkt t erfolgenden Ausschüttungen an die Eigentümer mit Cl bezeichnet, wobei negative Werte von Cl Einlagen seitens der Eigentümer verdeutlichen. Schließlich wird angenommen, dass die Realisierung der einzelnen Projekte tech nisch jeweils unabhängig davon möglich ist, ob bestimmte andere Projekte durchge führt werden (Annahme der Unabhängigkeit) . Interdependenzen zwischen den Pro jekten bestehen somit nur insoweit, als die insgesamt verfügbaren Mittel ausreichen müssen, um die Auszahlungen einer Periode abzudecken. Das Problem besteht nun darin, die im Hinblick auf die gleich noch näher zu er örternde Zielfunktion optimalen Werte aller Aktionsvariablen X i (i = I , 2, . . . , 1) , Yh (h = 1 , 2, . . . , h) und damit zugleich das optimale Investitions- und Finanzierungspro gramm zu bestimmen. Dabei ist als Bedingung die Wahrung des finanziellen Gleich gewichts zu verlangen, d. h. zu beachten, dass die Ausschüttungen an die Eigentümer und die mit den verschiedenen Projekten in einer bestimmten Periode verbundenen Auszahlungen insgesamt nicht größer sein dürfen als die in derselben Periode erfol genden Einzahlungen einschließlich eines etwaigen Kassenbestandes aus der Vor periode. Definiert man nun auch die KassenhaItung von jeweils einer Geldeinheit formal als einperiodiges Investitionsprojekt mit der Zahlungsreihe - 1 ; + 1 , so ist al so zu verlangen, dass in allen Zeitpunkten die grundlegende Finanzrestriktion I 11 L Xi . eij + L Yh . ehl = Cl t = 0, 1 , . . " t i�l h� l (2.48) gilt; d. h. der aus den Investitions- und Finanzierungsprojekten (einschließlich Kas senhaltung) insgesamt resultierende Einzahlungsüberschuss muss für jede Periode mit den vorgesehenen Ausschüttungen an die Eigentümer übereinstimmen. Dabei dürfen die Aktionsvariablen natürlich die vorgegebenen Obergrenzen nicht über schreiten und andererseits auch nicht negativ werden. Also muss weiter gelten: o � Xi � Xi o � Yh � h i = 1 , 2, . . . , 1 h = I , 2, . . . , h. (2.49) Die Restriktionen gemäß (2.48) und (2.49) definieren allerdings zunächst nur die Anforderungen an ein zulässiges Investitions- und Finanzierungsprogramm. D. h . , je der Vektor von Xi- und Yh-Werten, der diesen Bedingungen genügt, stellt ein mögli ches Programm dar. Gefragt ist aber weiter, wie aus der in der Regel unendlich großen Zahl möglicher Programme das optimale bestimmt werden kann. Dies hängt offensichtlich von der zugrunde liegenden Zielfunktion ab. 2. Investitionsentscheidungen bei sicheren Erwartungen 1 33 Eine formal sehr einfache Zielfunktion besteht darin, für alle Zeitpunkte t 0 , 1 , . . . , t - 1 überhaupt keine Entnahmen oder Einlagen vorzusehen und dann die Schlussentnahme Cl zu maximieren. Dieses häufig auch als Endvermögensmaximie rung bezeichnete Zielkonzept ist formal also durch die beiden Bedingungen max: Cl Cl = ° zu umschreiben. t = 0, 1 , . . . , t - 1 (2.50) (2.5 1 ) Eine andere, als Entnahmestrommaximierung oder ähnlich bezeichnete Variante be steht darin, den Betrag einer in allen Zeitpunkten gleich bleibenden Entnahme c zu maximieren, also max: c Ct = C zu verlangen. t = 0, I , . . . , t (2.52) (2.53) Folgendes Zahlenbeispiel verdeutlicht für den Fall der Endvermögensmaximierung mit t = 3 noch einmal die Grundstruktur des vorgestellten Modells. • In jeder Periode besteht die Möglichkeit, Gelder zu 5 % für ein Jahr anzulegen; die entspre chenden Variablen für die drei Perioden seien X I , X2 , X3, wobei X l = 1 (t = 1 , 2, 3) die Geldanlage von 1 000 GE verdeutlichen soll ; das Volumen dieser Geldanlagemöglichkeiten sei unbeschränkt. Angesichts dieser Möglichkeiten kann auf die zinslose Kassenhaltung von vornherein verzichtet werden. • Im Planungszeitpunkt t = 0 können außerdem zwei Investitionsprojekte mit zwei- bzw. drei periodiger Laufzeit in Angriff genommen werden; Variable X4, Xs; Zahlungsreihen - 1 000; + 600; + 600; ± 0 bzw. - 1 500; + 500; + 600; + 700; beide Projekte können jeweils in be liebigen Bruchteilen, maximal jedoch dreimal durchgeführt werden. • Im Zeitpunkt t = 1 kann ein weiteres, ebenfalls beliebig teilbares, Projekt gestatiet werden; Variable X6; Zahlungsreihe von t = 1 an: - 2 000; + SOO; + 1 500; Maximalvolumen 2. • In jeder Periode kann jeweils ein einperiodiger Kredit zu 10 % aufgenommen werden; Varia ble YJ , Y2, Y3 ; maximale Kreditaufnahme pro Periode 2 000 GE. • In t = 0 und t = 1 kann zudem jeweils ein zweiperiodiger Kredit zu S % Jahreszins, j ährlicher Zinszahlung und 100%-iger Tilgung am Laufzeitende aufgenommen werden; Variable Y4, Ys ; Maximalvolumen je Kredit 3 000 GE. Definiert man die Variablen der Finanzierungsaktivitäten jeweils so, dass der Wert 1 einer Kre ditaufnahme von 1 000 GE entspricht, so hat der lineare Programmansatz zur Lösung des dar gestellten Problems folgendes Aussehen: max: C3 t = 0: - 1 000x i - I OOOx4 - 1 500xs + I OOOY I + 1 000Y4 t = 1: + 1 050xj - 1 000x2 + 600x4 + 500xs - 2 000x6 - l 100Y l + 1 OOOY2 - SOY4 + 1 000ys t = 2: + 1 050x2 - 1 000x3 + 600x4 + 600xs + 800x6 - 1 1 00Y2 + 1 OOOY3 - 1 0S0Y4 - SOYs t = 3: + 1 050x3 + 700xs + 1 500x6 - l 100Y3 - 1 080ys o ,,; Xi i = I , 2, 3 0 ,,; x4 ,,; 3 o ,,; Yh ,,; 2 h = 1 , 2, 3 0 ,,; Yh ,,; 3 h = 4, 5 . } = O } = O } = O } = C3 (2.50) (2.4S) (2.49) 1 34 B. 1 . Investition In den Finanzrestriktionen gemäß (2.48) gibt die obere Zeile jeweils die aus den Investitions projekten resultierenden Einzahlungs- bzw. - bei negativer Summe - Auszahlungsüberschüsse an, die untere Zeile die entsprechenden Größen für die Finanzierungsprojekte. Eine zulässige Lösung dieses Programms, also ein mögliches Investitions- und Finanzierungs programm, bestünde darin, • die Investitionsprojekte 4, 5 und 6 jeweils genau einmal zu realisieren, • in t = 0, t = 1 und t = 2 jeweils kurzfristige Kredite von 1 500 GE, 2 000 GE bzw. 1 330,4 GE sowie • in t = 0 und t = 1 langfristige Kredite über 1 000 GE bzw. 630 GE aufzunehmen. Die Variablen erhielten also die Werte: X I = X2 = X 3 = 0; X4 = X s = X 6 = 1 ; Y I = 1 ,5 ; Y2 = 2 ; Y3 = 1 ,3304 sowie Y4 = 1 ; Ys = 0,63. Wie man einfach nachrechnen kann, wären bei diesen Wer ten die Finanzrestriktionen für t = 0, t = 1 und t = 2 genau eingehalten, ebenso die Aktivitäts begrenzungen gemäß (2.49) . Für die Schlussentnahme ergäbe sich bei Realisierung dieses Pro gramms ein Wert von C3 = + 56, 1 6 GE. So leicht es im Allgemeinen ist, durch einfaches Probieren eine solche zulässige Lösung zu finden, so schwierig ist es, in der gleichen Weise auch die optimale Lösung zu ermitteln oder auch nur abzuschätzen, ob die gefundene Lösung dem Optimum wenigstens einigermaßen nahe kommt. So kann man auch in unserem Beispiel wohl kaum auf den ersten Blick erken nen, dass der Zielfunktionswert im Vergleich zu der gerade gefundenen Lösung noch fast ver sechsfacht werden kann. Die Lösung unseres Problems mit Hilfe eines einschlägigen Algorith mus für lineare Programme zeigt nämlich, dass die maximal mögliche Schlussentnahme C3 = 327,24 GE beträgt. Dieser Optimalwert wird erreicht, wenn • die Investitionsprojekte 4 und 6 jeweils im maximal möglichen Umfang durchgeführt wer den (also X4 = 3 und X6 = 2), • das Investitionsprojekt 5 nur zu einem Bruchteil von 6,9 % durchgeführt wird (also Xs = 0,069) und • im Zeitpunkt t = 0 genau 3 000 GE des zweiperiodigen Kredites und 104 GE des einperiodi gen Kredites (also Y4 = 3 und Y I = 0,104) sowie • im Zeitpunkt t = I genau 2 520 GE des zweiperiodigen Kredites aufgenommen werden (also Ys = 2,52). Entscheidungslogisch handelt es sich bei Ansätzen der vorgestellten Art um Aus wahlentscheidungen. Der Unterschied zu den in den Abschnitten 2. 1 und 2.2 erörter ten Auswahlproblemen besteht jedoch zum einen darin, dass die zur Auswahl ste henden Alternativen nicht mehr einzelne Investitionsprojekte darstellen, sondern jeweils aus einer Vielzahl von Einzelprojekten zusammengesetzte Investitions- und Finanzierungsprogramme. Zum Zweiten werden die zur Auswahl stehenden Alterna tiven nicht mehr explizit durch einen Katalog einander wechselseitig ausschließen der Hand1ungsmöglichkeiten dargestellt, sondern implizit durch ein kompaktes Sys tem von Restriktionen umschrieben. Denn jede zulässige Lösung der Restriktionen (2.48) und (2.49) stellt ja ein mögliches Investitions- und Finanzierungsprogramm, also eine zur Auswahl stehende Handlungsalternative, dar. Ein dritter Unterschied schließlich besteht darin, dass es in diesem Fall der kompakten Umschreibung der Alternativenmenge durch ein Restriktionssystem zur Bestimmung der optimalen Alternative aufgrund der verfügbaren Lösungsalgorithmen gar nicht mehr nötig ist, alle verfügbaren Alternativen explizit zu formulieren und ihren Zielfunktionswert zu ermitteln. Vielmehr wird im Zuge der schrittweisen Lösung eines solchen mathe matischen Programmes mit jedem Lösungsschritt zugleich eine große Anzahl von Alternativen als suboptimal ausgeschlossen, ohne überhaupt explizit formuliert wor den zu sein (vgl. im Einzelnen Bitz, 1 977, I , S . 3 1 1-323) . 3. Investitionsentscheidungen bei unsicheren Erwartungen 1 35 Modellansätze der vorgestellten Art sind unter Berücksichtigung der Verfügbarkeit und Leistungsfähigkeit moderner Computer durchaus praktikabel ; ihrer unmittel baren Anwendbarkeit stehen jedoch schwerwiegende Probleme entgegen, die zum einen aus den extrem hohen informatorischen Anforderungen (Kenntnisse aller zu künftiger Zahlungs ströme ) , zum anderen aus den zumeist recht realitätsfernen Prä missen dieser Modelle resultieren. Letztere haben Anlass gegeben, diese Ansätze mit dem Ziel einer größeren Annäherung an real auftretende Problemstellungen zu erweitern und zu modifizieren, wobei Schwerpunkte der Weiterentwicklung insbe sondere in der expliziten Berücksichtigung von Interdependenzen zu anderen be trieblichen Teilbereichen (vgl. z. B. Jacob, 1 964; Blumenrath, 1 969; Schweim, 1 969) und in der Erweiterung des modellmäßig erfassten Zeitrahmens (vgl. z. B. Bitz, 1 , 1 977, S . 1 88-224; Hax, 1 967) lagen. 3. Investitionsentscheidungen bei unsicheren Erwartungen 3.1. Problemstellung Im praktischen Anwendungsfall stellen die für Investitionskalküle benötigten Zu kunftsdaten grundsätzlich unsichere Größen dar. Mithin besteht ein Bedarf an Ver fahren, die auch Art und Ausmaß der den maßgeblichen Zukunftsgrößen anhaften den Unsicherheit in die Investitionsrechnung einbeziehen. Für die folgende Darstel lung entsprechender Ansätze empfiehlt es sich, diese danach zu unterteilen, ob sie • in erster Linie der Verdeutlichung von Unsicherheitsstrukturen dienen sollen, ohne zugleich ein Entscheidungskonzept zu enthalten (Abschnitt 3 .2) , oder • Verfahren zur modellmäßigen Ableitung von Investitionsentscheidungen unter Einbeziehung von Unsicherheitsaspekten darstellen (Abschnitt 3 .3 ) . Dabei i s t es einerseits möglich, dass bestimmte Verfahren zur Verdeutlichung von Unsicherheitsstrukturen zugleich mit bestimmten Entscheidungskonzepten verknüpft sind, also im Grunde nichts anderes als einen Teil eines Entscheidungskonzeptes darstellen. Andererseits können Verfahren zur Verdeutlichung von Unsicherheits strukturen auch ohne die zwingende Verknüpfung mit einem bestimmten Entschei dungskonzept entwickelt werden, wobei die weitere Umsetzung der bei der Un sicherheitsanalyse gewonnenen Erkenntnisse weitgehend dem subjektiven Ermessen des Entscheidenden überlassen bleibt. 1 36 B. 1 . Investition 3.2. Unsicherheitsanalysen 3.2.1. Sensitivitätsanalyse von Einzelrisiken 3.2.1.1. Begriff und Varianten Verfahren der Sensitivitätsanalyse sind dadurch gekennzeichnet, dass zunächst ein deterministischer Ansatz der in Kapitel 2 dargestellten Art gelöst wird. In einem zweiten Schritt - der eigentlichen Sensitivitätsanalyse - wird dann untersucht, wie sich die dabei gefundene Lösung verändert, wenn für einzelne der zunächst als Da ten eingegebenen Parameter andere Werte angesetzt werden. Die Verfahren kön nen dabei im Einzelnen danach unterschieden werden, ob nur ein einzelner Parame ter variiert wird (einfache bzw. singuläre Sensitivitätsanalysen) oder ob mehrere Pa rameter gleichzeitig Variationen unterzogen werden (multiple Sensitivitätsanaly sen) . 3.2.1.2. Singuläre Sensitivitätsanalysen Singuläre Sensitivitätsanalysen können zum einen in Form von Alternativrechnungen durchgeführt werden. Im Zuge dieses Verfahrens wird analysiert, wie stark sich ein ursprünglich ermittelter Lösungswert verändert, wenn der für einen bestimmten Pa rameter zunächst vorgegebene Wert verändert wird. In der praktischen Handhabung ist - soweit erkennbar - insbesondere die sog. Drei-Punkt-Schätzung verbreitet, bei der für den betrachteten Parameter jeweils ein "optimistischer" , ein "pessimisti scher" und ein "wahrscheinlichster" Wert angesetzt werden. Der Entscheidende er hält so einen ersten Einblick in die Unsicherheits struktur der analysierten Investi tionsprojekte. Werden - nach wie vor bei ansonsten unveränderten Werten für alle übrigen Parameter - für die untersuchte Größe sukzessiv verschiedene Werte einge setzt, so kann der Lösungswert schließlich als Funktion dieses einen Parameters dar gestellt werden. Der besseren Anschaulichkeit ist es häufig dienlich, einen derarti gen funktionalen Zusammenhang graphisch darzustellen. So verdeutlicht die Kapi talwertfunktion (s. Abschnitt 2. 1 .2 . 1 ) etwa die Abhängigkeit des Kapitalwertes von dem zugrunde gelegten Kalkulationszins. Einer etwas anderen Vorgehensweise wird bei dem Verfahren der kritischen Werte gefolgt. Dabei interessiert vorwiegend die Frage, bis zu welchem kritischen Wert ein bestimmter Parameter von dem ursprünglichen Planansatz abweichen darf, ohne dass eine gefundene Lösung ihre Gültigkeit verliert. Zur Verdeutlichung der Vor gehensweise wollen wir zunächst auf den einfachsten Fall projektindividueller Ent scheidungen zurückkommen. Hier haben wir bereits in den vorangegangenen Aus führungen verschiedene "kritische Werte" kennen gelernt (s. a. Kilger, 1 965, 1 ) . So stellt etwa ein positiver Kapitalwert nichts anderes als den Betrag dar, um den sich die Anschaffungsauszahlung maximal erhöhen dürfte, ohne dass die Investition un vorteilhaft wird. Entsprechend bestimmt eine positive Annuität den Betrag, um den sich etwa die jährlichen Umsatzerlöse maximal verringern könnten, ohne dass die 3. Investitionsentscheidungen hei unsicheren Erwartungen 1 37 Investition unvorteilhaft wird. Die Amortisationsdauer schließlich gibt den Wert der Gesamtlaufzeit an, der auf jeden Fall erreicht werden muss, damit das betrachtete Projekt vorteilhaft sein kann. Daneben können auch einzelne Parameter, deren Höhe die Zahlungs ströme mit beeinflusst, einer entsprechenden Sensitivitätsanalyse unter zogen werden. Betrachten wir zur beispielhaften Verdeutlichung eine Investition mit einmaliger Anfangsaus zahlung (eö) und danach gleich bleibenden Einzahlungsüberschüssen, die sich als Produkt der auf der betrachteten Investitionsanlage hergestellten Gütermenge (M) und der Differenz zwi schen Absatzpreis (TC) und variablen Herstellungskosten (k) ergeben. Für die Annuität dieser Investition gilt dann: e* = (TC - k) . M - eö . ANF. (3 .01) Setzt man nun e* = 0 und löst die so gewonnene Gleichung nach M auf, so erhält man mit M . _ eö · ANF knt - Jt - k (3 .02) die häufig als "break even point" bezeichnete, kritische Absatzmenge, die pro Periode min destens erreicht werden muss, damit der Kapitalwert des betrachteten Projekts nicht negativ wird. Dabei ist der abgeleitete Ausdruck auch einer sehr eingängigen Interpretation zugäng lich: Die kritische Menge ergibt sich nämlich, indem die durch Multiplikation mit dem Annui tätenfaktor tinanzmathematisch auf die gesamte Laufzeit des Projektes umgerechnete Anfangs auszahlung, also der "Kapitaldienst" einer Periode, auf den pro Produkteinheit erzielbaren Deckungsbeitrag bezogen wird. Beträgt der Kapitaldienst also etwa 10000 GE pro Periode und wird pro Produkteinheit ein Deckungsbeitrag von 10 GE erzielt, so muss eine Mindestabsatz menge von 1000 Stück pro Periode überschritten werden, damit die entsprechende Investition vorteilhaft wird. In ähnlicher Weise kann die Ausgangsrelation (3 .01) auch im Hinblick auf andere Parameter analysiert und interpretiert werden. So ergibt sich etwa - bei jeweils als konstant unterstellten Werten für alle übtigen Parameter - für den kritischen Absatzpreis bzw. die kritischen Produk tionskosten jeweils: _ k Cö · AN F J[krit - + M Co · A N F kk,it = rr - --M-- . (3.03) (3.04) Der Absatzpreis TC muss also mindestens so groß sein, dass er die variablen Stückkosten und den auf die einzelne Produktionseinheit bezogenen Kapitaldienst abdeckt. Entsprechend wird von den variablen Stückkosten verlangt, dass sie nicht größer sein dürfen als die Differenz zwischen dem Absatzpreis und dem den einzelnen Produktionseinheiten zurechenbaren Kapi taldienst. Im konkreten Anwendungsfall ist es ohne weiteres möglich, die für die Zahlungs ströme maßgeblichen Relationen noch sehr viel komplexer zu gestalten, als dies in der beispielhaft vorgenommenen Analyse der Fall war. So ist es etwa möglich, kri tische Werte für die Steigerungsraten von Löhnen, Material- und Energiekosten oder Absatzpreisen zu ermitteln. In gleicher Weise ist es auch möglich, für Auswahlent scheidungen kritische Werte verschiedener Parameter zu berechnen, bei denen die zunächst ermittelte Rangfolge der betrachteten Alternativen wechselt. Lässt sich das Gut aus obigem Beispiel mit Hilfe zweier Maschinentypen I oder II herstellen, so könnte etwa die "kritische" Produktionsmenge Mkrit errechnet werden, bei deren Unter- bzw. Überschreitung die Entscheidung für die Produktion mit einem der bei den Typen gerade "um kippt" . Unterscheiden sich die beiden Maschinentypen nur in ihrer Anfangsauszahlung (eö, bzw. er))) und ihren variablen Herstellungskosten (k, bzw. klI), so kann die gesuchte Menge 1 3 8 B. 1 . Investition z. B . durch Gleichsetzung der Annuitäten gern. (3 .0 1 ) ermittelt werden. Löst man die entspre chende Gleichung der Bestimmungsterme der Annuitäten (n - k[) . Mbit - eÖ[ . ANF = (n -kn) . Mkrit - eön . ANF nach der kritischen Produktionsmenge Mkrit auf, so erhält man: M . = eÖlI - eOl • ANF knt k[ - kl l ' (3.05) einen der projektindividuellen break-even-Menge gemäß (3 .02) recht ähnlichen Ausdruck. In entsprechender Weise könnte man etwa bei einem Ersatzproblem den kritischen Wert für den jeweiligen Liquidationserlös oder allch für die durchschnittlichen Einzahlungsüberschüsse des Nachfolgeverfahrens feststellen. Schließlich können ähnliche Sensitivitätsanalysen auch auf Programmentscheidungen (vgl. Abschnitt 2 .3) ausgedehnt werden. Allerdings ergeben sich hier zusätzliche for male Probleme. Denn die Änderung eines Parameters der bislang untersuchten Art, also etwa von Absatzmengen, Absatzpreisen etc . , müsste sich in dem System der zugehörigen Finanzrestriktionen ja in einer Änderung der Zahlungsgrößen eit bzw. eht (s. (2.48» niederschlagen. Eine solche Änderung würde sich allerdings nicht nur auf den Wert der Zielvariablen auswirken, vielmehr würden bestimmte, bei den ur sprünglich unterstellten Parameterwerten zulässige Handlungsalternativen nun unzu lässig und umgekehrt. Mit entsprechenden Variationen einzelner Determinanten der relevanten Zahlungsgrößen ändert sich also zugleich auch die Menge der zur Aus wahl stehenden Alternativen. Die zur Sensitivitätsanalyse derartiger Entscheidungs probleme entwickelten Verfahren sind auch dementsprechend komplex und formal anspruchsvoll. Auf ihre nähere Behandlung muss daher an dieser Stelle allein schon aus Platzgründen verzichtet werden. (Zur Vertiefung siehe z. B. Dinkelbach, 1 969; Schweim, 1 969, S . 1 08 ff. ; Gal, 1 973 ; Hax, 1 985, S . I 27 ff.) 3.2.1.3. Multiple Sensitivitätsanalysen In Erweiterung der bislang dargestellten Analyseverfahren ist es auch möglich, meh rere Parameter gleichzeitig zu variieren und die Konsequenzen derartiger multipler Variationen auf die zunächst gefundene Optimallösung zu analysieren. Die Ergeb nisse entsprechender Berechnungen werden im Allgemeinen allerdings bereits bei der gleichzeitigen Variation von mehr als zwei Parametern sehr unübersichtlich und wenig anschaulich. Wir wollen uns daher zur exemplarischen Verdeutlichung zu nächst auf den einfachen Fall der simultanen Variation von nur zwei Parametern beschränken und dabei wieder auf die Relation (3 .0 1 ) des zuletzt behandelten Bei spiels zurückgreifen, um die Herleitung kritischer Wertekombinationen aufzuzeigen, bei deren Ermittlung untersucht wird, wie weit mehrere Parameter gleichzeitig von den zunächst zugrunde gelegten Werten abweichen dürfen, ohne dass die ursprüng liche Lösung ihre Gültigkeit verliert. Fragt man sich etwa, wie - bei fest vorgegebenem Absatzpreis - die variablen Produktions kosten einerseits und die Absatzmenge andererseits schwanken dürfen, ohne dass das betrach tete Investitionsprojekt unvorteilhaft wird, so kann dazu allf die oben abgeleitete Relation (3.04) zurückgegriffen werden, wobei nun allerdings sowohl k als auch M als Variable anzu sehen sind. Durch 3. Investitionsentscheidungen bei unsicheren Erwartungen k = rr _ eö · ANF M 1 39 (3 .06) werden dann alle diejenigen Konstellationen von Stückkosten k und Absatzmenge M be stimmt, bei denen Annuität bzw. Kapitalwert des Projektes bei ansonsten unveränderten Wer ten für die übrigen Parameter gerade den Wert Null erreichen. Graphisch lässt sich diese Rela tion sehr anschaulich durch eine Kurve nach Art der Abb. B.1-4 verdeutlichen: Alle k-M Kombinationen, die durch Punkte unterhalb (links oberhalb) dieser Kurve gekennzeichnet werden, führen zu einem positiven (negativen) Wert für Kapitalwert bzw. Annuität. Bezeich nen k' und M' die im ersten Planungsschritt angesetzten Werte, so verdeutlicht die Lage des entsprechenden Punktes P zu der Kurve gemäß (3 .06), in welchem Umfang M und k von den ursprünglichen Wertansätzen abweichen können, ohne dass das Projekt seine Vorteilhaftigkeit verliert. k n - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - k' - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ., P , M ' M Abb. B. 1-4: Krit ische k-M-Komb inat ionen bei m u lt ip ler Sensitivitätsanalyse Im Gegensatz zur Ermittlung kritischer Wertekombinationen wird beim Verfahren der multiplen Alternativrechnungen analysiert, wie sich die entscheidungsrelevante Kennzahl, etwa der Kapitalwert, ändert, wenn mehrere Parameter gleichzeitig ge genüber ihren Ursprungs werten verändert werden. Dabei kann man wiederum der oben bereits genannten Drei-Punkte-Methode folgen und für jeden der in die Ana lyse eingehenden Parameter drei alternativ mögliche Werte schätzen. Durch Kombi nation sämtlicher möglicher Ausprägungen der Parameter ergibt sich eine Vielzahl alternativ möglicher Kapitalwerte. Werden diese nach ihrer Größe geordnet und unter Berücksichtigung der relativen Häufigkeit ihres Auftretens durch eine Vertei lungsfunktion der in Abb. B. 1-5 verdeutlichten Art dargestellt, so erhält man ein ein faches Risikoprofil. Dabei kann die Fläche V als Indikator für die Verlustrisiken der betrachteten Inves tition angesehen werden, die Fläche E als Indikator für deren Erfolgschancen. Der artige einfache Risikoprofile erlauben die kompakte Verdeutlichung von Wirkungs zusammenhängen zwischen den einzelnen Parametern. Genau wie die einfache Sensitivitätsanalyse kann auch die multiple Sensitivitätsana lyse zur Analyse von Auswahl- und Programmentscheidungen herangezogen wer den. Dabei steht zur Sensitivitätsanalyse von Entscheidungsmodellen in Form von mathematischen Programmansätzen mit der parametrischen Programmierung ein 140 B. 1 . Investition Relative Häufigkeit E: E rfolgschancen � V: Verlustris iko o K Abb. B. 1-5: Einfaches Ris i koprofi l relativ kompliziertes Verfahren zur Verfügung, auf dessen Darstellung hier jedoch verzichtet werden muss (vgl. Dinkelbach, 1 969; Gal, 1 973) . Für den praktischen Anwendungsfall sind dieser Vorgehensweise allerdings auch enge Grenzen gesetzt, da leistungsfähige Methoden der parametrischen Programmierung bislang nur für den Bereich nicht ganzzahliger Programmansätze zur Verfügung stehen. Und selbst bei nicht ganzzahligen Ansätzen werden die Berechnungen bei einer größeren Zahl gleichzeitig zu variierender Parameter eine wirtschaftlich kaum noch vertretbare Größenordnung annehmen. Hinzu kommt das eingangs allgemein angesprochene Problem, dass, selbst wenn derartige Ergebnisse abgeleitet werden könnten, Aussa gen über die simultane Variation einer größeren Zahl von Parametern kaum noch anschaulich dargestellt und interpretiert werden können. Zum methodischen Ansatz von Sensitivitätsanalysen allgemein ist abschließend noch einmal darauf hinzuweisen, dass dabei nur die Frage untersucht wird, ob und ggf. wie sich eine auf der Basis bestimmter Parameter-Werte abgeleitete Entschei dung ändern würde, wenn im Planungszeitpunkt für einen oder mehrere dieser Para meter andere Werte als die ursprünglich angesetzten zugrunde gelegt werden. Es handelt sich also um eine entscheidungsvorbereitende ex-ante-Analyse, die lediglich einen gewissen Einblick in die "Struktur der Sicherheitsspielräume" (KUger, 1 965, 1 ) verschiedener Parameter vermittelt. Eine Berücksichtigung von Wahrscheinlichkei ten alternativer Datenänderungen und bestehender stochastischer Wechselwirkungen erfolgt nicht. Auch bleibt offen, welche Konsequenzen aus der Sensitivitätsanalyse im Hinblick auf die anstehenden Investitionsentscheidungen zu ziehen sind. Schließ lich wird auch die Frage, welche Maßnahmen im Einzelnen ergriffen werden, wenn sich im Zuge der Durchführung eines Investitionsprojektes oder -programmes her ausstellen sollte, dass ein bei seiner Planung zugrunde gelegter Parameter-Wert tat sächlich nicht eintritt, und welche Konsequenzen sich aus derartigen Anpassungs reaktionen ergeben, von der Sensitivitätsanalyse gar nicht erfasst. 3. Investitionsentscheidungen bei unsicheren Erwartungen 3.2.2. Wahrscheinlichkeitsgestützte Analyse von Einzelrisiken 3.2.2.1. Grundbegriffe 141 Erlauben die Vetfahren der Sensitivitätsanalyse keine Aussagen über die Wahr scheinlichkeit einer von den ursprünglichen Plandaten abweichenden Entwicklung und keine Berücksichtigung diesbezüglicher Informationen, so zielen die im Folgen den zu behandelnden Ansätze darauf ab, für die zur Beurteilung einer Investitions alternative maßgebliche Kennzahl, z . B. den Kapital- oder Endwert, eine Wahrschein lichkeitsverteilung zu ermitteln oder bestimmte wahrscheinlichkeitstheoretische Para meter, die gewisse Eigenarten einer Wahrscheinlichkeitsverteilung charakterisieren. Die Ansätze zur Ableitung expliziter Wahrscheinlichkeitsverteilungen können als Weiterentwicklung des Verfahrens der einfachen Risikoprofile angesehen werden. Es werden ebenfalls alternative Wertausprägungen verschiedener Parameter vorgege ben. Diese werden jedoch zusätzlich mit diskreten Wahrscheinlichkeitsangaben ver sehen, so dass im Endeffekt für jeden als hinlänglich relevant erachteten Einfluss faktor eine Wahrscheinlichkeitsverteilung alternativ möglicher Wertausprägungen anzugeben ist. Im Einzelnen können derartige Verfahren zum einen noch danach weiter unterschieden werden, ob sie • unabhängig von den eintretenden Umweltentwicklungen stets die gleichen künfti gen Folgeaktivitäten unterstellen (starre Planung), oder • die Möglichkeit, auf unterschiedliche Zukunftsentwicklungen auch mit unter schiedlichen Folgeaktivitäten zu reagieren, schon bei der Beurteilung der Aus gangsaktivitäten explizit in den Kalkül einbeziehen (flexible Planung). Wir werden auf diese beiden Ansätze in den Abschnitten 3 .2 .2 .2 und 3 .2 .2 .3 näher eingehen. Abschnitt 3 .2.2.4 ist dann einem Verfahren zur unmittelbaren analytischen Berechnung von Erwartungswert und Varianz der fraglichen Wahrscheinlichkeitsver teilungen gewidmet. 3.2.2.2. Starre Alternativrechnungen (Zustandsbaumverfahren) Ein Ansatz (vgl . z . B . Priewasser, 1972, S. 55 f. ; Bitz, 1 98 1 , S. 3 1 2 ff.) zur Ableitung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung oder wahrscheinlichkeitstheoretischer Parame terwerte für den Kapitalwert oder eine andere investitionstheoretische Kennzahl be steht darin, dass man für die einzelnen Zahlungsgrößen et (die Tilde - verdeutlicht, dass es sich um unsichere Größen handelt, die mehrere alternativ mögliche Werte annehmen können) oder die sie beeinflussenden Einzelkomponenten zwei oder mehr alternativ mögliche Eintrittswerte abschätzt und diesen jeweils bestimmte Eintritts wahrscheinlichkeiten zuordnet. Aus den möglichen Wertschätzungen für die einzel nen Zufallsgrößen kann dann rein kombinatorisch eine Vielzahl alternativer Wert schätzungen für den Kapitalwert oder eine andere investitionstheoretische Kennzahl und deren Eintrittswahrscheinlichkeit explizit abgeleitet werden. Zur Verdeutlichung dieser Vorgehensweise ist insbesondere das Darstellungsmittel des Zustandsbaumes sehr hilfreich; man bezeichnet derartige Ansätze dementsprechend auch häufig als 142 B. 1 . Investition Zustandsbaumverfahren. Die Konstruktion eines Zustandsbaumes stellt allerdings keineswegs eine zwingende Notwendigkeit zur Ableitung der Wahrscheinlichkeits verteilung des Kapitalwertes dar. Unbedingte Wahrscheinlichkeitsangaben Die formal einfachste Form wahrscheinlichkeitsgestützter Alternativrechnungen be steht darin, die im Verlauf der Projektdurchführung notwendig werdenden Folgeakti vitäten als starr vorgegeben zu betrachten und für jede unsichere Einflussgröße eine unbedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung vorzugeben. An einem bewusst ganz ein fach gehaltenen Beispiel kann diese Vorgehensweise wie folgt verdeutlicht werden: Eine Investition bedingt eine Anfangsauszahlung von 100 GE; sie wird genau 2 Perioden lang durchgeführt und führt in den Zeitpunkten t = I und t = 2 zu unsicheren Einzahlungen. Für deren bereits auf t = 0 abgezinsten Barwerte ]) J , ])2 seien folgende Wahrscheinlichkeitsvertei lungen gegeben: Aus der Überlagerung der für ]) 1 und ])2 möglichen Werte ergeben sich dann insgesamt neun denkbare Kapitalwerte, deren Eintrittswahrscheinlichkeiten einfach als Produkt der für die maßgeblichen b 1 - und br Werte vorgegebenen Einttittswahrscheinlichkeiten zu bestimmen sind. Bei einer hinlänglich kleinen Anzahl von Variablen können diese Zusammenhänge sehr anschaulich durch einen Zustandsbaum nach Art von Abb. B. I-6 verdeutlicht werden. Die "Kanten" dieses Baumes verdeutlichen die alternativ möglichen Realisierungen der Zu fallsvariablen; die zugehörigen Eintrittswahrscheinlichkeiten sind darauf in den Kreisen ver merkt. Die "Knoten" kennzeichnen neben der Ausgangssituation die als Folge der Zufallsb2 · · · · · · · K · · · p(K) · · · · · · · · · Abb. 8. 1-6: Zustandsbaum bei u n bedingten Wahrschein l ichkeitsangaben 3. Investitionsentscheidungen bei unsicheren Erwartungen 143 ereignisse alternativ möglichen Barwerte der Zahlungen in den Zwischen- und Endzuständen. An die Letzteren schließen sich in den Ovalen die jeweils insgesamt resultierenden Kapital werte K sowie die zugehörigen Eintrittswahrscheinlichkeiten an. Die Eintrittswahrscheinlich keiten ergeben sich als Produkt der korrespondierenden Kantenwahrscheinlichkeiten. Die in der untersten Baumstufe angegebenen Werte lassen sich weiter zu folgender Wahrscheinlich keitsverteilung der alternativ möglichen Kapitalwerte zusammenfassen: K - 50 - 20 0 + 1 0 + 30 + 50 P ( K) 0 ,06 0,26 0,1 2 0,24 0,26 0,06 p ( K ::; K) 0 ,06 0 ,32 0 ,44 0,68 0,94 1 ,00 Diese Verteilung möglicher Kapitalwel1e lässt sich graphisch ebenfalls in einem Risikoprofil verdeutlichen: kumul ierte Wahrschein l ichkeit A E: E rfolgspotential V: Verl ustpotential - 50 - 40 - 30 - 20 - 1 0 0 1 0 20 30 40 50 Kapitalwert Abb. 8. 1-7: Risikoprofi l bei gegebenen Wahrsche in l ichkeitsangaben Aus dieser Art der Darstellung in einem Risikoprofil lassen sich einige Aussagen graphisch besonders anschaulich ablesen. Die Ordinatenwerte der (durchgezoge nen) "flachen" Stücke eines solchen Profils geben jeweils die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass die betrachtete Kennzahl, in obigem Beispiel also der Kapitalwert, den Abszissenwert des betrachteten Punktes unterschreitet. Am Punkt A in Abbildung B. 1-7 lässt sich so beispielsweise ablesen, dass die Wahrschein lichkeit dafür, dass der Kapitalwert unter 40 liegt, 94 % beträgt. Sofern dies gewünscht wird, kann die als Ergebnis der Alternativrechnung ermittelte Wahrscheinlichkeitsverteilung des Kapitalwertes - oder auch einer anderen inves titionstheoretischen Kennzahl - zu bestimmten wahrscheinlichkeitstheoretischen Kennzahlen "verdichtet" werden. Besondere Bedeutung kommt dabei dem mathe matischen Erwartungswert (�) und der Varianz (0.2) bzw. der Standardabweichung (cr) zu. Versieht man die alternativ möglichen Kapitalwerte mit dem Index j (j = 1 , 144 B. 1 . Investition 2, . . . , j) und bezeichnet man die zugehörigen Eintrittswahrscheinlichkeiten mit Pj , so gilt für diese Kennzahlen: J [!K = 2.: Kj . Pj j � l (3 .07) (3.08) Formel (3 .07) öffnet zudem den Blick für eine genauere Interpretation der Flächen E und V in einem Risikoprofil gemäß Ahhildung B. J-7. Diese beiden Flächen ent sprechen nämlich jeweils dem Absolutwert der Summe aller mit ihren Eintrittswahr scheinlichkeiten multiplizierten positiven bzw. negativen Kapitalwerte. Der Erwar tungswert !lK entspricht somit genau der Differenz der bei den Flächen E und V. In unserem Beispiel errechnen Sie folgende Werte: IlK = -50 . 0,06 -20 . 0,26 + 10 . 0,24 + 30 . 0,26 + 50 . 0,06 = 5,0 E = 10 . 0,24 + 30 . 0,26 + 50 . 0,06 = 1 3 ,2 V = 50 . 0,06 + 20 . 0,26 = 8,2 Der positive Erwartungswert signalisiert also, dass das Erfolgspotential "im Schnitt" das Ver lustpotential deutlich überwiegt. Dennoch kann keineswegs mit Sicherheit davon ausgegangen werden, dass das betrachtete Investitionsprojekt zu einem Erfolg führt. Als Indikator für das vorhandene Risiko können neben dem V-Wert von 8,2 möglicherweise auch die Verlustwahr scheinlichkeit von 0,32 oder eben die Standardabweichung cr herangezogen werden, für die sich der Wert crK = J637 = 25,2 ergibt. Bedingte Wahrscheinlichkeitsangaben Die Verwendung unbedingter Wahrscheinlichkeitsschätzungen findet in unserem Beispiel ihren formalen Niederschlag darin, dass die drei von den auf t = I bezoge nen Zwischenzuständen ausgehenden Teilbäume in der Höhe der brWerte und den zugehörigen Eintrittswahrscheinlichkeiten genau übereinstimmen. Diese Eigenschaft kann bei der Herleitung des Risikoprofils zwar gewisse rechentechnische Verein fachungen mit sich bringen, erweist sich jedoch als unbefriedigend, wenn der Ent scheidende gewisse stochastische Zusammenhänge zwischen einzelnen Zufallsvaria blen annimmt. In diesem Fall liegt es nahe, zur Verwendung bedingter Wahrschein lichkeitsschätzungen überzugehen. Folgendes Beispiel verdeutlicht die Grundzüge dieser Vorgehensweise: Wir gehen von der durch Ahh. B. 1-6 verdeutlichten Situation aus, nehmen nun jedoch an, die Wahrscheinlichkeitsverteilungen der b2-Werte hingen in folgender Weise von dem in der ers ten Periode tatsächlich realisierten b 1-Wert ab : b2 20 50 70 p (b2 , wenn b1 = 30) 0,5 0,3 0 ,2 p (b2 , wenn b1 = 60) 0,3 0,4 0,3 p (b2 , wenn b1 = 80) 0 ,2 0,3 0,5 3. Investitionsentscheidungen bei unsicheren Erwartungen 1 45 Es wird also unterstellt, dass die tatsächliche Entwicklung in der ersten Periode zugleich die Entwicklungstendenz in der zweiten Periode beeint1usst. Die Gesamtheit der alternativ möglichen Entwicklungen kann wiederum durch einen Zu standsbaum verdeutlicht werden. Im vorliegenden Fall stimmt er in seiner formalen Struktur exakt mit dem in Abb. B. 1-6 dargestellten Baum überein. Allerdings sind für die Kanten der äußeren Teilbäume im unteren Bereich nun die modifizierten Wahrscheinlichkeitswetie anzu setzen. Dementsprechend ändern sich auch die Eintrittswahrscheinlichkeiten der möglichen Kapitalwerte, die jetzt folgende Werte annehmen: K -50 -20 0 + 1 0 + 30 + 50 p (K ) 0,1 0 0,24 0,08 0 ,24 0,24 0,1 0 p ( R ::; K) 0,1 0 0,34 0,42 0,66 0,90 1 ,00 Selbstverständlich können auch in diesem Fall die oben bereits eingeführten wahrscheinlich keitstheoretischen Kennzahlen bestimmt werden. Dabei ergibt sich: IlK = -50 . 0, 1 - 20 . 0,24 + 10 . 0,24 + 30 . 0,24 + 50 . 0, 1 = 4,8 mit E = 14,6 und V = 9,8 sowie (j'K = � = 28,5 . Tm Vergleich zu der zuvor betrachteten Situation mit unbedingten Wahrscheinlichkeiten hat sich das Erfolgspotential zwar erhöht, jedoch weniger stark als das Verlustpotential; mithin ergibt sich für IlK ein kleinerer Wert. Die geringere Zentrierung der Ergebnismöglichkeiten "um die Mitte herum" schlägt sich zudem in einem höheren (j'-Wert nieder. In diesem bewusst einfach gehaltenen Beispiel wurden bedingte Wahrscheinlichkei ten nur in der Weise eingesetzt, dass für einen in allen Fällen identischen Satz mög licher Werte einer stochastischen Variablen (hier 52) jeweils unterschiedliche Ein trittswahrscheinlichkeiten unterstellt wurden. Darüber hinaus ist es aber ohne weite res auch möglich, Situationen zu erfassen, in denen sich die bedingten Wahrschein lichkeitsverteilungen auch in den möglicherweise realisierbaren Werten der betref fenden Zufallsvariablen teilweise oder vollständig unterscheiden. Weiterhin bereitet es keine Probleme, mit den Wahrscheinlichkeitsschätzungen nicht erst an den ein zelnen Einzahlungsüberschüssen anzusetzen, sondern bereits an den für deren Zu standekommen maßgeblichen Einflussgrößen wie z. B . Produktions- und Absatz mengen, Faktor- und Absatzpreisen etc. Insoweit stellt das hier vorgestellte Verfahren zur Ermittlung von diskreten Wahr scheinlichkeitsverteilungen ein sehr flexibles Instrument zur Erfassung der aus der Unsicherheit resultierenden Probleme dar. Die wesentlichen Schwierigkeiten für die praktische Anwendung dürften zum einen in den hohen informatorischen Voraus setzungen liegen. Immerhin müssen ja für alle unsicheren Einzelkomponenten des Zahlungsstroms die zugehörigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen, ggf. noch diffe renziert nach den alternativ möglichen Werten anderer Zufallsvariablen, mehr oder weniger genau abgeschätzt werden. Zum anderen wird der Rechenaufwand zur Be stimmung der aus der Überlagerung der einzelnen Wahrscheinlichkeitsschätzungen resultierenden Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zielvariablen bei Problemen in rea listischer Größenordnung ganz erheblich, wenngleich nicht zu übersehen ist, dass die Verfahren der modernen Datenverarbeitungstechnik inzwischen die kurzfristige Bewältigung von Rechenproblemen erlauben, die ansonsten praktisch unlösbar wä ren (vgl. bereits Priewasser, 1 972, S . 57 ff.) . 146 B. 1 . Investition 3.2.2.3. Flexible Alternativrechnungen (Entscheidungsbaumverfahren) Der mit einer Investition verbundene Zahlungsstrom wird nicht nur von der Entwick lung exogener Einflussfaktoren bestimmt, sondern auch durch die weiteren Entschei dungen, die der Investor selbst im Vollzug eines einmal begonnenen Investitionspro jektes trifft. Im theoretischen Idealfall sicherer Erwartungen können diese Folgeent scheidungen ebenfalls mit Sicherheit vorhergesehen werden und dementsprechend in den Planungsansatz mit einbezogen werden. In einer Welt unsicherer Erwartungen ergeben sich jedoch zusätzliche Probleme; denn die in der Zukunft zu treffenden Folgeentscheidungen hängen u. a. auch davon ab, welche Entwicklungen sich bis zu dem Zeitpunkt der Folgeentscheidung für die im ursprünglichen Planungszeitpunkt noch unsicheren exogenen Einflussfaktoren ergeben haben. Die Folgeentscheidung kann im Lichte dann sicherer Informationen über Sachverhalte getroffen werden, die im ursprünglichen Planungszeitpunkt noch unsicher waren. Zudem ist zu erwarten, dass unter Berücksichtigung der bis dahin eingetroffenen Informationen auch die Wahrscheinlichkeitsschätzungen für die in der weiteren Zukunft liegenden Entwick lungen ein anderes Aussehen haben werden als im ursprünglichen Planungszeit punkt. Aus all dem folgt, dass im ursprünglichen Planungszeitpunkt nicht mehr mit Sicherheit vorhergesagt werden kann, welche Folgeentscheidungen in der weiteren Abwicklung eines Investitionsprojektes von dem Investor selbst getroffen werden. Die bislang dargestellten Ansätze vernachlässigen diesen Umstand und gehen impli zit davon aus, dass - wie auch immer die zukünftige Entwicklung im Einzelfall sein wird - die Folgeentscheidungen des Investors bereits im Planungszeitpunkt t = 0 de finitiv festliegen. Man bezeichnet derartige Planungsansätze dementsprechend auch als "starre Planung" . Das Hauptanliegen der flexiblen Planung besteht demgegen über darin, die Möglichkeit, in zukünftigen Entscheidungszeitpunkten auf alternativ mögliche Entwicklungen exogener Einflussfaktoren auch mit unterschiedlichen Fol ge entscheidungen zu reagieren, explizit in den Planungsansatz einzubeziehen. Vom theoretischen Idealkonzept her verlangt das Prinzip der flexiblen Planung, eine Viel zahl von Eventualplänen aufzustellen, die für jedwede denkbare Entwicklung der exogenen Einflussfaktoren jeweils die optimalen Folgeentscheidungen enthalten (HaxiLaux, 1972; Hax, 1 985, S . 1 65 t1. ; Laux, 2003 , S . 283 ff.) . Zur Verdeutlichung eines entsprechenden Planungsansatzes wird häufig auf das In strument des so genannten Entscheidungsbaumes zurückgegriffen, durch den das In einanderwirken alternativ möglicher Umweltentwicklungen und verschiedener An passungsreaktionen des Investors recht eingängig dargestellt werden kann. Zur Ver anschaulichung mag folgende Modifikation des bekannten Beispiels dienen: Es ist über ein Investitionsprojekt mit zweijähriger Laufzeit zu entscheiden, das aber auch bereits nach einem Jahr abgebrochen werden kann. Die Investitionsauszahlung betrage 1 00 GE. Für die bereits auf den Zeitpunkt t = 0 abgezinsten Barwerte der Einzahlungen in der ersten Periode bj wird weiterhin von folgender Verteilung mög licher Werte ausgegangen: 30 60 80 0,2 0,6 0,2 3. Investitionsentscheidungen bei unsicheren Erwartungen 1 47 Wird das Tnvestitionsprojekt in t = 1 fortgeführt, so ergibt sich, in Abhängigkeit von der Ein zahlung am Ende der ersten Periode, für die zweite Periode folgende Verteilung möglicher Einzahlungen, die zur Vereinfachung ebenfalls bereits auf t = ° abgezinst wurden: b2 20 50 30, dann P (b2) 0 ,6 0 ,4 b2 20 70 wenn b1 = 60, dann P (b2) 0 ,5 0 ,5 b2 50 70 80, dann P (b2) 0,4 0 ,6 Bei einem Abbruch des Projektes im Zeitpunkt t = I wird demgegenüber ein sicherer Liquida tionserlös mit einem Barwert von L = 45 erzielt. Nach den bisher erörterten Ansätzen der "stalTen Planung " wären neben der nicht explizit dargestellten Unterlassensalternative nur zwei Handlungsmöglichkeiten zu unterscheiden, näm lich "Durchführung des Projektes mit einjähriger Laufzeit" und "Durchführung des Projektes mit zweijähriger Laufzeit" , die in ihren Konsequenzen wiederum durch zwei Zustandsbäume verdeutlicht werden können (v gl. Abb. B. 1-8 und B. 1-9 ) . K . . · . . · · · · . . · . . · p(K) ' ' ' ' Abb. 8. 1-8: Zustandsbaum (ei njähr ige Projektvariante) Aus den obigen Angaben elTechnen sich für die Kapitalwerte der starren Pläne die in der fol genden Tabelle dargestellten Wahrscheinlichkeitsverteilungen. e injähr ig zweijähr ig K + 25 I 5 I -25 + 50 I + 30 I -20 I -50 p (K ) 0,2 I 0,6 I 0,2 0,1 2 I 0,38 I 0,38 I 0,1 2 148 K · p(K) . . B. 1 . Investition Abb. B. 1-9: Zustandsbaum (zweijähr ige Projektvariante) In dieser Darstellungsform wird jedoch die entscheidende Möglichkeit, im Zeitpunkt t = I je nach der bis dahin erkennbar gewordenen tatsächlichen Entwicklung in der ersten Peliode mit unterschiedlichen Folgeentscheidungen zu reagieren, nicht hinlänglich eliasst. Um dies zu tun, muss berücksichtigt werden, dass es dem Entscheidenden selbst obliegt, ob er im Zeitpunkt t = I das Projekt abblicht oder nicht. Die aus dieser im Zeitpunkt t = 0 noch offenen Entschei dungsmöglichkeit resultierende Erhöhung der Zahl möglicher Entwicklungen wird durch den in Abb. B. I-1O dargestellten Entscheidungsbaum verdeutlicht. In dieser Darstellung symbolisieren die durchgezogenen "Ereigniskanten" die - gewisserma ßen aus den voranstehenden Zustandsbäumen übernommenen - alternativ möglichen Zukunfts entwicklungen, während die gebrochen dargestellten "Aktionskanten " die dem Entscheiden den im Zeitpunkt t = I alternativ möglichen Folgeentscheidungen (Fortführung "F" oder Ab bruch "A ") verdeutlichen. Die am Ende der Ereigniskanten angegebenen Zahlen geben die Barwerte der jeweiligen Einzahlungen an. Die am Ende des Baumes in den Ovalen angegebe nen Beträge schließlich stellen die jeweiligen Kapitalwerte sowie die zugehörigen Eintritts wahrscheinlichkeiten dar, die sich aus der entsprechenden Kantenfolge ergeben. Dabei ist eine jede Kantenfolge durch eine bestimmte Kombination der Umweltentwicklungen in den Peri oden I und 2 und der Folgeentscheidung im Zeitpunkt t = I gekennzeichnet. Der Kapitalwert von + 50 etwa käme zustande, wenn sich in der ersten Periode eine günstige Entwicklung er gibt, das Projekt fortgeführt wird und in der zweiten Periode erneut eine günstige Entwicklung eintritt. Ein flexibler Plan besteht darin, dass für jede mögliche Entwicklung der exogenen Faktoren die entsprechende Folgeentscheidung festgelegt wird. Eine mögliche Strategie besteht beispiels weise darin, das Projekt bei Realisierung der schlechtest möglichen Entwicklung in der ersten Periode (b I = 30) abzubrechen, andernfalls jedoch fortzuführen. Die folgende Übersicht ver deutlicht alle 23 = 8 möglichen Strategien. F bedeutet dabei Fortführung, A Abbruch. Strategie N r. 1 2 3 4 5 6 7 8 wenn b1 = 30, dann : A A A A F F F F wenn b1 = 60, dann : A A F F A A F F wenn b1 = 80, dann : A F A F A F A F L K p(K) · 3. Investitionsentscheidungen hei unsicheren Erwartungen 1 49 Abb. B. 1-10: Entscheidungsbaum Man erkennt, dass es sich bei den an erster und an letzter Stelle aufgeführten Strategien (A, A, A) bzw. (F, F, F) um die bereits betrachteten Ansätze der "starren Planung " handelt, wie sie durch die Zustandsbäume aus Ahh. B. 1-8 und B. 1-9 verdeutlicht werden; diese sind natür lich in einem Ansatz zur flexiblen Planung als Teilmenge der möglichen Pläne mit enthalten. Durch die Anwendung des Prinzips der flexiblen Planung ist das Entscheidungsfeld jedoch um sechs Handlungsalternativen erweitert worden. Einige davon können allerdings ohne wei tere Berechnungen aus der weiteren Betrachtung ausgeschlossen werden. Tritt nämlich in dem durch Abb. B. I-IO verdeutlichten Beispiel in der ersten Periode die bestmögliche Entwicklung ein, so bringt die Fortführung des Projekts selbst im schlechtesten Fall noch mehr als den Restwert bei Abbruch ein. Mithin sind von den acht möglichen nur noch die vier Pläne AAF, AFF, FAF und FFF relevant. Für sie lassen sich mit Hilfe des Entscheidungsbaums die in der folgenden Tabelle zusammengestellten Wahrscheinlichkeitsverteilungen herleiten. K -50 -25 -20 + 5 + 30 + 50 p (AAF) - 0,2 - 0,6 0,08 0,1 2 P (AFF) - 0,2 0,3 - 0,38 0,1 2 P ( FAF) 0,1 2 - 0,08 0,6 0,08 0,1 2 P ( FFF) 0,1 2 - 0,38 - 0,38 0,1 2 Zur beispielhaften Veranschaulichung sind in Ahh. B. l-l l die Risikoprofile für die Varianten AAF und FFF dargestellt. Dabei verdeutlichen die dunkel schraffierten Flächen, inwieweit die Variante AAF geringere Verlustrisiken und höhere Erfolgschancen aufweist, die hell schraffierten Flächen die entspre- 150 AAF - - - - - - - - FFF B. 1 . Investition p //�/ W Vortei le für FFF Vortei le für AAF - 50 - 40 - 30 - 20 - 1 0 0 1 0 20 30 40 50 K Abb. B. 1-1 1 : Risikoprofi le chenden Vorteile der Vatiante FFF. In diesem Beispiel wäre es ohne weiteres vorstellbar, dass ein Entscheidungssubjekt • bei ausschließlicher Betrachtung der starren Strategien AAA und FFF das Projekt wegen der aus seiner Sicht die Chancen überwiegenden Risiken als unvorteilhaft ansieht, • bei zusätzlicher Betrachtung der im engeren Sinne t1exiblen Strategien jedoch zu dem Er gebnis kommt, dass sich darunter zumindest eine befindet (z. B. AAF), die ihm vorteilhaft erscheint, die Durchführung des Projekts also doch lohnt. Das weitere Verfahren der flexiblen Planung besteht dann darin, • aus den dargestellten Plänen anhand der aufgezeigten Wahrscheinlichkeitsver teilungen und ggf. unter deren weiterer Verdichtung zu bestimmten wahrschein lichkeitstheoretischen Parametern zunächst den im Sinne eines im Einzelfall noch zu spezifizierenden Entscheidungskriteriums optimalen "flexiblen" Plan zu be stimmen (der unter Umständen allerdings durchaus ein "starrer" Plan sein kann) und • in Kenntnis des optimalen "flexiblen" Planes dann die grundsätzliche Entschei dung darüber zu treffen, ob das Projekt aufzunehmen ist oder nicht. Die Verdeutlichung der die einzelnen Alternativpläne kennzeichnenden Wahrschein lichkeitsverteilungen erfolgt also letztlich in ganz ähnlicher Weise wie bei dem Zu standsbaumverfahren. Das wesentlich neue Element der flexiblen Planung liegt je doch darin, dass systematisch zusätzliche, nämlich im engeren Sinne "flexible" , Strategien in die Betrachtung mit einbezogen werden. Dabei kann das Konzept der flexiblen Planung dazu führen, dass ein Projekt in Angriff genommen wird, das nach der starren Planung von vornherein als unvorteilhaft abgelehnt worden wäre. Die bei der Durchführung eines Projektes verbleibende Anpassungsflexibilität, d. h. das Ausmaß, in dem es möglich ist, in späteren Zeitpunkten auf zunächst noch un sichere, dann jedoch genau bekannte Entwicklungen unterschiedlich zu reagieren, kann also schon für die im Zeitpunkt t = 0 unmittelbar zur Disposition stehenden Ausgangsaktivitäten von ausschlaggebender Bedeutung sein. 3. Investitionsentscheidungen bei unsicheren Erwartungen 1 5 1 Dieser Grundgedanke der t1exiblen Planung ist nicht auf Vorteilhaftigkeits- und Auswahlentscheidungen begrenzt, sondern kann in analoger Weise auch auf die Be urteilung simultaner Investitions- und Finanzierungsprogramme ausgedehnt werden. Allerdings verbietet sich in diesem Fall die explizite Darstellung in Form eines Ent scheidungsbaumes. Mit Hilfe der linearen oder auch dynamischen Programmierung ist es jedoch prinzipiell möglich, entsprechende Probleme modellmäßig abzubilden und zu lösen (Laux, 1 969) . Insgesamt können wahrscheinlichkeitsgestützte Alternativrechnungen dazu dienen, sich ein recht präzises Bild von Art und Umfang der mit einem Investitionsprojekt verbundenen Unsicherheit zu machen und dabei die Wirkungszusammenhänge zwi schen mehreren unsicheren Parametern, die Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten alternativer Datenänderungen, die stochastischen Wechselwirkungen sowie die Mög lichkeit t1exibler Reaktionen auf erkennbar werdende Datenänderungen explizit zu erfassen und in überschaubarer Weise zu verdeutlichen. Diese konzeptionellen Stär ken bedingen zugleich die mit einer praktischen Anwendung verbundenen Pro bleme. Diese bestehen einmal in den nicht unerheblichen informatorischen Voraus setzungen. Schon die Abschätzung unbedingter Wahrscheinlichkeitsverteilungen für die einzelnen Parameter dürfte in vielen Fällen an die Grenze des Praktizierbaren stoßen. Dies gilt erst recht für die explizite Angabe stochastischer Abhängigkeiten und die Formulierung der notwendigen Anzahl von Eventualplänen. Zudem können entsprechende Modelle im praktischen Anwendungsfall aufgrund der mit wachsen der Variablenzahl deutlich überproportional steigenden Zahl von Ergebniskombina tionen schnell an die Grenze des Bewältigbaren stoßen. 3.2.2.4. Projektspezifische �-O'-Analysen Die im Folgenden zu behandelnden Verfahren dienen nicht mehr dazu, die gesamte Wahrscheinlichkeitsverteilung der relevanten Zielgröße darzustellen, sondern zielen von Anfang an direkt auf die Herleitung ausgewählter wahrscheinlichkeitstheoreti scher Parameter ab, wobei wiederum Erwartungswert und Varianz bzw. Standard abweichung die größte Prominenz zukommt. Die im Wesentlichen auf Hillier zu rückgehenden Verfahren der sog. analytischen Risikountersuchung (Hillier, 1 963 ; HillierlHeehink, 1 965 ; Wagle, 1 967) sind in ihrer allgemeinen Grundstruktur da durch zu charakterisieren, dass • zunächst für die einzelnen Einzahlungswerte oder die sie beeint1ussenden Deter minanten eines Projektes bestimmte wahrscheinlichkeitstheoretische Parameter, z. B . Erwartungswert und Varianz, abgeschätzt werden und • in einem zweiten Schritt versucht wird, aus diesen Parameterschätzungen unter Benutzung geeigneter wahrscheinlichkeitstheoretischer Gesetzmäßigkeiten die interessierenden wahrscheinlichkeitstheoretischen Parameter für die eigentliche Zielvariable, z. B . den Kapitalwert, abzuleiten. Bezeichnet man Erwartungswerte und Varianzen der auf die einzelnen Zeitpunkte t = 0, 1 , . . . , t bezogenen unsicheren Zahlungswerte et (t = 0, I , . . . , t) mit /lt bzw. a;, so gilt für Erwartungswert und Varianz des Kapitalwertes 152 i !lK = L !lt . q-t t�O B. 1 . Investition i i- I i ai = L a� ' q-2t + 2 · L L (at ' q-t) . (aT ' q-T) . Qtv t�O t�O T�t+1 (3 .09) (3 . 1 0) Der Erwartungswert des Kapitalwertes errechnet sich also einfach als Summe der abgezinsten Erwartungswerte der einzelnen Zahlungsgrößen et. Die Varianz hinge gen wird zum einen ganz analog durch die Summe der abgezinsten Einzelvarianzen bestimmt (erster Term), zudem jedoch auch noch durch die im zweiten Term enthal tenen Korrelationskoeffizienten QtT zwischen den unsicheren Einzahlungen zweier Perioden t und , (, > t) . Bezeichnet j = 1 , 2, . . . , J die im Zeitpunkt t möglichen Umweltzustände, etj die jeweils zugehörige Ausprägung der Zahlungsgröße et und Ptj die entsprechende Ein trittswahrscheinlichkeit, so ermitteln sich Erwartungswert und Varianz der einzelnen Zahlungsgrößen et analog zu (3 .07) und (3.08) als : j !lt = L etj . Ptj j�l j a� = L (elj - !l1)2 . Plj · j�1 (3 . 1 1 ) (3 . 1 2) Die Korrelationskoeffizienten sind bekanntlich ein auf den Wertbereich von + I bis -1 normiertes Maß dafür, wie sehr die Zufallsschwankungen der einzelnen el gleich gerichtet oder entgegengesetzt verlaufen (Q --> + 1 bzw. Q --> - 1 ) bzw. weitgehend unabhängig voneinander zustande kommen (Q --> ± 0) . Ist es möglich, neben den einzelnen Erwartungswerten und Varianzen auch noch die entsprechenden Korrela tionskoeffizienten abzuschätzen, so kann die bestehende Unsicherheit über den bei Durchführung der Investition tatsächlich eintretenden Kapitalwert gern. (3 .09) und (3 . 10) durch die beiden Kennzahlen !lK und a� beschrieben werden. In analoger Weise lassen sich im Übrigen auch entsprechende Parameter für die Wahrscheinlichkeitsverteilungen anderer investitionstheoretischer Kennzahlen, wie z. B . der Annuität oder des internen Zinsfußes, ableiten (Hillier, 1963). Im Prinzip zielen die Formeln (3 .09) und (3 . 10) auf die Ermittlung derselben Werte ab, wie die im Zusammenhang mit den Alternativrechnungen eingeführten Formeln (3 .07) bzw. (3 .08) . Nur ist der Weg dahin ein anderer: • Bei den Verfahren der Alternativrechnung werden modellmäßig alle denkbaren Entwicklungspfade der maßgeblichen Einflussfaktoren, im einfachsten Fall der zeitpunktbezogenen Zahlungsgrößen et, erfasst und die zugehörigen Kapitalwerte nebst Eintrittswahrscheinlichkeiten ermittelt. Aus der sich so ergebenden Wahr scheinlichkeitsverteilung alternativ möglicher Kapitalwerte werden dann !l und a bestimmt. • Bei der analytischen Risikountersuchung werden demgegenüber die auf einen bestimmten Zeitpunkt bezogenen Zahlungswerte direkt durch zeitpunktspezifische !l- und a-Werte verdeutlicht, die dann in einem zweiten Schritt zu Erwartungs wert und Varianz des letztlich maßgeblichen Kapitalwertes verdichtet werden. 3. Investitionsentscheidungen bei unsicheren Erwartungen 1 53 Zur Verdeutlichung des risikoanalytischen Ansatzes wird ein Tnvestitionsprojekt betrachtet, das mit einer Anfangsauszahlung von 100 GE verbunden ist und in den Zeitpunkten t = 1 und t = 2 zu unsicheren Einzahlungen führt. Für die Erwartungswerte der bereits abgezinsten Ein zahlungen 6 1 und 62 gelte 11 1 = 58 und 112 = 46,8, für die zugehörigen Varianzen (J'f = 256 und (J'� = 405,78. Der Korrelationskoeffizient zwischen den Barwerten 6 1 und 62 schließlich betrage Q I 2 = 0,2346. Setzt man diese Werte i n (3 .09) und (3 . 10) ein und beachtet man dabei, dass sich die angegebenen Parameterwerte auf bereits abgezinste Einzahlungen beziehen, so ergibt sich I1K = 58 + 46,8 - 1 00 = 4,8 und (J'i< = 256 + 405 ,76 + 2 . J256 . -J405 ,76 . 0,2346 = 8 1 3 Ein Blick zurück auf das i n Abschnitt 3 .2.2.2 präsentierte Beispiel zeigt, dass die für I1K und (J'� gefundenen Werte mit den dort ermittelten Resultaten übereinstimmen. Dies ist keineswegs Zufall. Die in dem zuletzt behandelten Beispiel vorgegebenen 11- , (J'- und Q-Werte entsprechen vielmehr genau den in dem vorangegangenen Beispiel durch die explizite Vorgabe eines Zu standsbaumes unterstellten Ausgangsdaten. Wie das Beispiel verdeutlicht, entfällt bei der analytischen Risikountersuchung die Notwendigkeit, explizite Wahrscheinlichkeitsverteilungen der einzelnen Zahlungs größen oder gar der sie jeweils bestimmenden Einflussfaktoren abzuschätzen. Ande rerseits ist es jedoch notwendig, neben den einzelnen J.l- und (J-Werten auch noch die jeweiligen Korrelationskoeffizienten zu bestimmen, was im praktischen Anwen dungsfall immer noch recht hohe informatorische Voraussetzungen beinhaltet. In den meisten Darstellungen wird deshalb von vereinfachenden Annahmen ausge gangen, wobei im einfachsten Fall unterstellt wird, sämtliche Zahlungsgrößen seien stochastisch völlig unabhängig voneinander, d. h. sämtliche Korrelationskoeffizienten hätten gerade den Wert Null . Die Bestimmungsgleichung für (J� vereinfacht sich dann zu t Gk = L (G( . q-t)2. t � O (3 . 1 3) Als erste Annäherung an reale Gegebenheiten wird weiter der Fall untersucht, dass die Zahlungsgrößen einer bestimmten Gruppe völlig unabhängig von allen anderen Zahlungsgrößen sind (d. h. Q = 0), während die Zahlungsgrößen einer zweiten Grup pe (Indexmenge T) untereinander jeweils zu 100 % positiv korreliert sind, zwischen den Variablen dieser Gruppe also stets Q = + 1 gilt. In diesem Fall kann die Varianz des Kapitalwertes berechnet werden nach f Gk = L (Gt . q-tf + 2 . L L (Gt ' q-t) . (GT . q-T) . 1 = 0 t E T T E TT > t (3 . 14) Der (scheinbare) Vorteil der vereinfachenden Vorgehensweise gemäß (3 . 1 3) oder (3 . 1 4) liegt darin, dass es im konkreten Anwendungsfall entbehrlich wird, auch noch Korrelationskoeffizienten abzuschätzen. Nichtsdestoweniger impliziert die An wendung dieser Verfahren dennoch ganz spezifische Annahmen über die jeweiligen Korrelationskoeffizienten, nämlich die Annahmen, dass für zwei beliebige Zah lungsgrößen entweder Q = 0 oder Q = + 1 gilt. Im Schrifttum werden derartige Ansätze der Risikoanalyse im Allgemeinen unter der Prämisse abgehandelt, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilungen der einzelnen Zahlungsgrößen, zumindest aber die des daraus resultierenden Kapitalwertes, nor- 1 54 B. 1 . Investition malverteilt sind. Diese Annahme kann unter Hinweis auf den "zentralen Grenzwert satz " der Statistik (vgl. z. B . BamberglBaur, 1 996) plausibel gemacht werden, ist jedoch unnötig streng; denn die in (3 .09) sowie (3 . 1 0) dargestellten Relationen geI ten unabhängig von derartigen einschränkenden Annahmen für jede Zufalls variable, die sich, wie der Kapitalwert, als gewichtete Summe anderer Zufallsvariablen ergibt. Sofern es für die auf die Risikoanalyse folgende Entscheidung (s. dazu Ab schnitt 3 .3 ) ausreicht, Erwartungswert und Streuung der maßgeblichen Kennzahl zu kennen, kann das dargestellte Verfahren ohne jegliche Annahmen über den Typus der zugrunde liegenden Wahrscheinlichkeitsverteilung angewendet werden. Bedingt das letztlich anzuwendende Entscheidungskriterium hingegen weitere Informationen, so kann diese Form der Risikoanalyse nur dann eine unmittelbare Entscheidungs grundlage liefern, wenn unterstellt werden kann, dass mit der Kenntnis von flK und ap gilt, führt eine nähere Analyse dieser Zusammenhänge zu den in der folgenden Tabelle zusammengestellten, besonders prägnanten Ergeb nissen: Qop ß O + 1 op 0 /06 + o� - Uo =" 0 < ß 0 < op - � 0 2un - 1 - up Man erkennt daran folgende Zusammenhänge: • Wenn das neue Projekt zu 100 % positiv mit dem Gesamtunternehmen korreliert ist, erhöht sich das an 0' gemessene gesamte Unternehmensrisiko genau um die projektspezifische Standardabweichung apo • Ist das neue Projekt positiv, aber zu weniger als 1 00 % mit dem Gesamtunterneh men korreliert, so führt die Projektrealisierung zwar zu einer Erhöhung des Ge samtrisikos; diese ist jedoch niedriger als a� und zwar umso deutlicher, je kleiner Qop ist. Das Gleiche gilt auch noch, wenn das neue Projekt schwach negativ kor reliert ist. • Liegt der Korrelationskoeffizient hingegen unter der in der dritten Zeile angege benen Grenze, so bewirkt das Projekt sogar eine Verringerung des Gesamtrisikos, die umso größer ist, je näher Qop bei -1 liegt. Nur im erstgenannten Fall stellen die projektspezifischen Kennzahlen J.l� ap also zu gleich auch geeignete Indikatoren für die letztlich entscheidende Wirkung des Pro jekts auf die Erfolgs- und Risikosituation des Unternehmens insgesamt dar. In allen anderen Fällen hingegen wird zumindest ein Teil des - stets an der Standardabwei chung gemessenen - projektspezifischen Risikos durch den mit der Zusammenfüh rung mehrerer nicht zu 100 % positiv korrelierter Projekte verbundenen Diversifika tionseffekt vernichtet. Bei hinlänglich starker negativer Korrelation schließlich führt das - isoliert betrachtet durchaus mit Risiken behaftete - Projekt sogar zu einer Ver- 3. Investitionsentscheidungen bei unsicheren Erwartungen 1 57 ringerung des Gesamtrisikos, die im Extremfall gerade der gesamten Höhe des pro jektspezifischen Risikos entspricht. In den für die Bestimmung der fl- und O'-Werte maßgeblichen Relationen (3 . 1 5) und (3 . 1 6) wurden bisher direkt die Parameter der Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Kapitalwerte der einzelnen Projekte verwendet. Vom methodischen Ansatz her ist es allerdings ebenso gut möglich, diese Beziehungen stärker zu disaggregieren und - etwa unter Anlehnung an (3 .09) und (3 . 1 0) - auf die fl- und O'-Werte der einzel nen Einzahlungsüberschüsse oder sogar einzelner Komponenten der jeweiligen Zah lungsgrößen zurückzugreifen. Ein solches Vorgehen setzt für den Anwendungsfall allerdings voraus, dass es möglich ist, die Korrelationskoeffizienten zwischen sämt lichen explizit verwendeten Zufallsgrößen abzuschätzen. Für eine abschließende Gesamtwürdigung der dargestellten portefeuilletheoretischen Ansätze erscheinen die folgenden drei Aspekte als besonders bedeutsam: • Voraussetzung ist zunächst, dass die projektspezifischen fl- und O'-Werte gegeben sind. Darüber hinaus muss die Korrelation zwischen dem betrachteten Projekt und der Gesamtheit der übrigen Teilprojekte abgeschätzt werden. Die informatori schen Voraussetzungen sind also wiederum sehr hoch. • Sind die benötigten fl-, 0'- und (>-Werte einmal ermittelt, ist die mathematische Komplexität des Modells relativ niedrig. Sie steigt allerdings deutlich, wenn In vestitionsprogramme mit einer Vielzahl von Einzelprojekten zu beurteilen sind. • Allerdings liefern portefeuilletheoretische Ansätze nur dann unmittelbar umsetz bare Entscheidungsgrundlagen, wenn das letztlich maßgebliche Entscheidungskri terium ausschließlich auf Erwartungswert und Varianz zurückgreift. Ungeachtet der informatorischen Voraussetzungen, der Modellkomplexität und der entscheidungstheoretischen Einschränkungen weisen portefeuilletheoretische An sätze allerdings mit großer Eindringlichkeit darauf hin, von welch elementarer kon zeptioneller Bedeutung es ist, bei der Beurteilung von Investitionsprojekten über die projektspezifische Risikoanalyse hinaus die je nach der Stärke der erreichbaren Diversifikationseffekte in Größenordnung und Richtung eventuell ganz unterschied lichen Auswirkungen auf die gesamte Risikoposition des Unternehmens mit in die Betrachtung einzubeziehen. 3.3. Ansätze zur Ableitung von Investitionsentscheidungen bei Unsicherheit 3.3.1. Entscheidungstheoretisch fundierte Konzepte 3.3.1.1. Bernoulli-Prinzip Das durch von Neumann und Morgenstern ( 1944) in die moderne Entscheidungs theorie wieder eingeführte sog. Bernoulli-Prinzip kann als das theoretisch weitaus am besten fundierte Konzept zur Ableitung von Entscheidungen unter Unsicherheit angesehen werden (SchneeweijJ, 1 967; BitzlRogusch, 1 976; Bitz, 1 98 1 , 1 984, S . 1 53 ff. , 1 998 ; Laux, 2003, S. 1 64 ff. ; D.2 - 4 .3 .3 . ) . Dieses Prinzip setzt im Allgemeinen vor aus, dass eine Wahrscheinlichkeitsverteilung der eigentlichen Zielgröße, z . B. des 1 58 B. 1 . Investition Kapitalwertes, vorgegeben ist. Den alternativ möglichen Werten des Kapitalwertes werden dann mittels einer so genannten Risiko-Nutzen-Funktion Nutzenwerte U(K) zugeordnet, deren Erwartungswert die entscheidungsrelevante Kennzahl darstellt. Ordnet man den alternativ möglichen Umweltentwicklungen den Index j = 1 , 2, . . . , I zu und bezeichnet man den bei Umweltentwicklung j eintretenden Kapitalwert eines Projektes Xi mit Kij sowie die zugehörige Eintrittswahrscheinlichkeit mit Pj ' so gilt für den maßgeblichen Präferenzwert <1> einer Investitionsalternative Xi : J cI> (Xi) = 2::: U (Kij) . Pi ' i � 1 (3 . 1 9) Die Auswahl zwischen verschiedenen Investitionsalternativen (einschließlich der Unterlassensalternative) erfolgt dann durch die Ermittlung des maximalen Wertes für <1>. Dabei gilt diese Entscheidungsregel sowohl für Vorteilhaftigkeits- und Aus wahlentscheidungen mit einem jeweils explizit vorgegebenen Alternativenkatalog wie auch für Programmentscheidungen - etwa für Ansätze der flexiblen Planung -, bei denen die Zielfunktion in entsprechender Weise zu formulieren ist. Das Hauptproblern für die praktische Anwendung des Bemoulli-Prinzips besteht ne ben dem Erfordernis , die benötigten Wahrscheinlichkeitsverteilungen explizit an zugeben, insbesondere in der Notwendigkeit, die für den Entscheidenden maßgeb liche Risiko-Nutzen-Funktion (im Folgenden: RNF) zu ermitteln. Da diese Nieder schlag subjektiver Präferenz- und Risikovorstellungen sein soll, können auch keine allgemein gültigen Aussagen über das spezifische Aussehen dieser Funktion im konkreten Einzelfall abgeleitet werden. Zwar steht mit der sog. Bemoulli-Befragung (Bitz, 1 98 1 , S . 1 58-162 und S . 320-323) ein methodisch relativ einfaches Verfahren zur Verfügung, das es theoretisch erlaubt, den Verlauf der RNF eines Entschei dungssubjektes aus den Ergebnissen hypothetischer Wahlakte abzuleiten. Die prak tische Umsetzung dieses theoretisch konsistenten Konzeptes wird allerdings dadurch erschwert, dass allgemein weder davon ausgegangen werden kann, dass ein Ent scheidungssubjekt die hypothetischen Entscheidungen konsistent trifft, noch, dass die aus hypothetischen - und insoweit ja konsequenzlosen - Entscheidungen abge leitete RNF wirklich ein originalgetreues Bild der für reale Entscheidungssituatio nen maßgeblichen Risiko- und Präferenzeinstellungen darstellt. Schließlich dürfte man in der unternehmerischen Praxis mit dem Versuch, Investitionsentscheidungen auf das Ergebnis einer eher "spielerischen" Befragung zu gründen, auf erheblichen psychologischen Widerstand stoßen. Dementsprechend besteht die praktische Be deutung des Bemoulli-Prinzips - und das gilt nicht nur für seine Anwendung auf Investitionsentscheidungen - in erster Linie auch darin, dass ein theoretisches Ideal konzept bereit steht, das eine entscheidungslogische Einordnung anderer Verfahren ermöglicht. 3.3.1.2. Klassische Entscheidungsprinzipien Derartige "einfachere" Methoden können etwa in der Anwendung sog. "klassischer Entscheidungsptinzipien " (SchneeweijJ, 1 967, S . 46 ff.) bestehen, deren gemeinsa mes Kennzeichen es ist, dass die zur Auswahl stehenden Handlungsalternativen - in 3. Investitionsentscheidungen bei unsicheren Erwartungen 159 unserem Fall also speziell Investitionsprojekte oder -programme - anhand bestimm ter, für die Wahrscheinlichkeitsverteilung der eigentlichen Zielgröße charakteristi scher Parameter beurteilt werden. Den einfachsten Fall stellt dabei das sog. J.l-Prin zip (D.2 - 4.3 . 1 ) dar, d. h. die Beurteilung der Projekte ausschließlich nach ihrem mathematischen Erwartungswert. Dieses Prinzip ist mit dem Bemoulli-Prinzip ver einbar, impliziert allerdings strenge Risikoneutralität. So würde etwa die Möglich keit, mit Sicherheit einen Kapital wert von + 10 Mio. GE zu erzielen, als genau so gut eingestuft wie die Möglichkeit, alternativ mit jeweils 50 %-iger Wahrscheinlich keit einen Kapitalwert von + 50 Mio. GE oder - 30 Mio. GE zu erreichen. Vieles spricht nun aber dafür, dass Investitionsentscheidungen eher auf der Basis einer tendenziell risikoscheuen Haltung getroffen werden. Für diesen Fall erscheint es nahe liegend, den Erwartungswert um einen von dem Ausmaß des jeweiligen Risikos abhängigen Abschlag zu reduzieren. Zieht man dabei - wie im theoreti schen Schrifttum üblich - die Varianz a2 als Risikoindikator heran, so führt dies zu dem so genannten J.l-a-Prinzip (D.2 - 4.3 .2). In der speziellen Form (3 .20) ist dieses Prinzip auch auf jeden Fall mit dem Bemoulli-Prinzip vereinbar und im pliziert für die RNF U(K) im U-K-Diagramm die Form einer nach unten geöffneten Parabel mit dem Scheitelpunkt bei K = 1/(2a) . Da eine RNF offenkundig nur inso weit als sinnvoll angesehen werden kann, wie ein Steigen des Kapitalwertes auch zu einer Erhöhung des Risiko-Nutzens führt, kann allerdings nur der steigende Ast dieser Parabel relevant sein. Mithin kann das J.l-a-Prinzip in dieser Form nur dann sinnvoll angewandt werden, wenn • sämtliche nach den zuvor ermittelten Wahrscheinlichkeitsverteilungen in Betracht zu ziehende Kapitalwerte kleiner sind als die genannte Obergrenze von l/(2a) und • des Weiteren die mit diesem Verlauf der Risiko-Nutzen-Funktion verbundene Im plikation einer mit wachsendem Kapitalwert zunehmenden Risikoaversion als akzeptable Wiedergabe der maßgeblichen Risikoeinstellung des Entscheidenden angesehen werden kann. Ein wenig anders liegen die Verhältnisse, wenn von vornherein davon ausgegangen werden kann, dass die maßgeblichen Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Kapital werte durch die Parameter J.l und a bereits eindeutig festgelegt sind, so wie das etwa für die Normalverteilung, aber auch für etliche andere Typen von Wahrschein lichkeitsverteilungen der Fall ist (Schneeweiß, 1 967, S . 1 1 9 ff.) . Unter derartigen ein schränkenden Annahmen über den Typ der maßgeblichen Wahrscheinlichkeitsvertei lungen können auch andere Formen des J.l-a-Prinzips als besondere Ausprägung des Bemoulli-Prinzips angesehen werden. Allerdings ist auch in diesem Fall keineswegs jede beliebige Form des J.l-a-Prinzips mit dem Bemoulli-Prinzip kompatibel. So hat Schneeweiß ( 1 967, S . 146) etwa für normalverteilte Zufalls variablen gezeigt, dass das J.l-a-Prinzip zwar in der Form 0 und t* ::;; t' und entsprechend für Auswahlentscheidungen: max: Ki für alle Projekte Xi mit t� ::;; t' . (3 .2 1 ) (3 .22) Da die Unsicherheit der in die Kapitalwertberechnung eingehenden Zahlungsgrößen tendenziell umso größer ist, je weiter sie in der Zukunft liegen, könnte eine der artige Begrenzung der maximal tolerierbaren Amortisationsdauer auf den ersten Blick durchaus als ein adäquates Mittel zur Erfassung dieses Unsicherheitsaspektes angesehen werden. Bei genauer Analyse erscheint dieser Ansatz jedoch als recht problematisch. Zunächst stehen nämlich für die Festlegung der maximal zulässigen Amortisationsdauer t' keine fundierten Konzepte bereit. Zudem werden in der Satis fizierungsbedingung t'; ::;; t' bei allen Projekten in ganz schematischer Weise sämt liche jenseits des Zeitpunktes t' anfallenden Zahlungen überhaupt nicht berücksich tigt, also gewissermaßen gleich null gesetzt, während die Zahlungen der davor lie genden Perioden ohne jeden Risikoabschlag erfasst werden. Schließlich erfolgt die abschließende Beurteilung der nach der ersten Vorauswahl noch verbliebenen Alter nativen ohne jede weitere Berücksichtigung von Unsicherheitsaspekten. Statt der Amortisationsdauer können selbstverständlich auch andere Größen als Ba sis für ein Satisfizierungskonzept herangezogen werden. Dabei ist es zum einen möglich, auf verschiedene im Zuge einer Sensitivitätsanalyse gewonnene "kritische Werte" zurückzugreifen, also etwa auf den internen Zinsfuß oder auf die kritischen Produktionskosten gemäß (3 .04), und für diese Größen eine Unter- bzw. Obergrenze vorzugeben. Zum anderen ist es möglich, an wahrscheinlichkeitstheoretische Un sicherheits analysen anzuknüpfen und für einen bestimmten Risikoindikator, z. B. die Varianz, einen Maximalwert festzulegen. Unterstellt man als primäre Zielgröße nach wie vor den Kapitalwert, so erhält man mit !l (K) > 0 und (J ::;; d (3 .23) für Vorteilhaftigkeitsentscheidungen sowie max: !l (Ki) für alle Projekte Xi mit (Ji ::;; d (3 .24) 3. Investitionsentscheidungen bei unsicheren Erwartungen 163 für Auswahlentscheidungen eine im Schrifttum gelegentlich vorgeschlagene beson dere Variante des Il-a-Prinzips (Tintner, 1 957; Albach, 1 959, S . 104 f.) . Ähnliche Überlegungen liegen auch den Ansätzen des Chance-Constrained-Pro gramming (CCP) als Konzept zur Lösung von Programmentscheidungen bei Unsi cherheit zugrunde. Ausgehend von dem Standardansatz der simultanen Investitions und Finanzplanung gemäß (2.48) bis (2.5 1 ) , tritt diesem Konzept zufolge im Fall der Endvermögensmaximierung an die Stelle der deterministischen Finanzrestriktionen gemäß (2.48) nun die Bedingung, dass die Wahrscheinlichkeit für die Einhaltung der entsprechenden Finanzrestriktionen für keinen Zeitpunkt t = 0, 1 , . . . , t unter eine vorzugebende Mindestwahrscheinlichkeit p't von z. B. 95 % oder 99 % sinkt. Maxi miert wird dann statt der Schlussentnahme Ct deren Erwartungswert Il(ct) . Formal gilt insoweit also: 1 h max: �t( Cr) = I:;xi . �l(eit) + I:; Yh . Il(ehr) i h U.d.N. p [� xi ' eil + 6 Yh ' eht ;:O: 0] ;:0: p't (3 .25) t = 0, 1, . . . , 1: . (3 .26) Die nach rein subjektivem Ermessen des Entscheidenden vorzugebenden Mindest wahrscheinlichkeiten p't sind dabei als Ausdruck seiner Risikoeinstellung anzusehen. Denn je höher diese Mindestwahrscheinlichkeiten angesetzt werden, desto eher wer den insgesamt recht chancenreiche Projektkombinationen als unzulässig eliminiert, weil die mit ihnen verbundene Gefahr einer Verletzung der Finanzrestriktionen als zu groß empfunden wird. Das als Lösung eines CCP-Modells abgeleitete Investitions- und Finanzierungspro gramm ist also dadurch gekennzeichnet, dass die Wahrscheinlichkeiten für die Wah rung des finanziellen Gleichgewichts in den einzelnen Perioden niemals unterhalb der subjektiv vorzugebenden Sicherheitsgrenze liegen. Das aber bedeutet zugleich, dass es nach dem bereits im Planungszeitpunkt gegebenen Informationsstand keines wegs ausgeschlossen ist, dass das als (scheinbar) optimal abgeleitete Programm im Zuge seiner Realisierung doch zu einem Zahlungsdefizit führt. Nun stellt aber die jederzeitige Aufrechterhaltung der Zahlungsfähigkeit eine unumgängliche Vorausset zung aller ökonomischen Aktivitäten dar. Mithin bedarf es in dem zwar relativ un wahrscheinlichen, aber keineswegs auszuschließenden Fall drohender Liquiditäts schwierigkeiten bestimmter - modellmäßig gar nicht vorgesehener - Maßnahmen zur Planrevision. Die Palette derartiger erzwungener Anpassungsmaßnahmen kann von der Gewährung weiterer Einlagen durch die Gesellschafter oder der kurzfristi gen Aufnahme von Krediten über eine Reduzierung des ursprünglich geplanten In vestitionsvolumens oder den vorzeitigen Abbruch einzelner Projekte bis hin zur Ein stellung der gesamten Geschäftstätigkeit wegen Zahlungsunfähigkeit reichen. Die aus einer derartigen Planrevision resultierenden Effekte auf das Endvermögen kön nen also von sehr unterschiedlicher Größenordnung sein. In den Ansätzen des CCP Modells werden jedoch lediglich die Wahrscheinlichkeiten für die Notwendigkeit von derartigen Planrevisionen rein schematisch begrenzt, ohne die damit möglicher weise verbundenen Konsequenzen auch nur ansatzweise zu berücksichtigen. Die fundamentale Schwäche dieser Ansätze liegt also offenbar darin, dass nur ein einziges starres Aktionsprogramm abgeleitet wird. (Zur Vertiefung dieses Einwan- 1 64 B. 1 . Investition des vgl. HaxiLaux, 1969, S. 255-257 und 1972, S. 326.) Realiter ist es jedoch so, dass die Art und Weise, in der in zukünftigen Zeitpunkten etwa Investitionsprojekte fort geführt und Kredite getilgt oder prolongiert werden, im Planungszeitpunkt noch gar nicht definitiv festgelegt werden kann. Vielmehr müssten diese Entscheidungen sinnvollerweise davon abhängig gemacht werden, welche der im Planungszeitpunkt noch unsicheren Umweltentwicklungen bis zu dem Zeitpunkt der zukünftigen Fol geentscheidungen tatsächlich eingetreten sind. Ein adäquater Planungsansatz müsste also bereits im Planungszeitpunkt die verschiedenen Möglichkeiten mit einbeziehen, in zukünftigen Zeitpunkten auf unterschiedliche Umweltentwicklungen auch mit un terschiedlichen Folgeentscheidungen zu reagieren. Dieser Forderung kann jedoch mit Satisfizierungskonzepten der zuletzt vorgestellten Art nur sehr unzulänglich Rechnung getragen werden; dazu bedarf es vielmehr der flexiblen Planung, die wir ja bereits im Abschnitt 3 .2 .2 .3 kennen gelernt haben. (Wegen der Möglichkeit, "fle xible" Planungselemente in CCP-Modelle einzubeziehen, vgl . Hax, 1 976, und im Ansatz bereits Hillier, 1 967.) CCP-Ansätze sind insoweit unter entscheidungstheoretischen Gesichtspunkten als genau so gut oder schlecht anzusehen wie die eingangs skizzierten Satisfizierungs konzepte für Vorteilhaftigkeits- und Auswahlentscheidungen. Der Schwerpunkt der wissenschaftlichen Auseinandersetzung mit derartigen Ansätzen liegt dementspre chend auch gar nicht in ihrer konzeptionellen Fundierung, sondern ganz eindeutig in der Untersuchung formaler Aspekte (vgl. z. B. Charnes/Cooper, 1960; Näslundl Whinston, 1962; Haegert, 1 970). 3.3.2.3. Scoring-Modelle (Nutzwertanalyse) Die in diesem Beitrag bislang dargestellten Ansätze setzen alle voraus, dass die zah lungsmäßigen Konsequenzen der zur Disposition stehenden Investitionsprojekte voll ständig erfasst werden können (vgl. Annahmen in Abschnitt 2. 1 . 1 ) ; sie scheitern zwangsläufig, wenn es Projekte zu beurteilen gilt, die so komplex und in ihren Kon sequenzen so wenig überschaubar sind, dass sich die Entscheidungsträger nicht mehr in der Lage sehen, die benötigten Zahlungsreihen abzuschätzen. Eine Alterna tive zu der in diesem Fall ansonsten nur noch verbleibenden Möglichkeit, die Ent scheidung über die entsprechenden Projekte ausschließlich der intuitiven Gesamtent scheidung der zuständigen Stellen zu überlassen, stellen die sog. Scoring-Modelle dar, die im betriebswirtschaftlichen Schrifttum zunächst überwiegend zur Beurtei lung von Forschungs- und Entwicklungsprojekten herangezogen wurden (Dreyer, 1 974, S . 258), inzwischen jedoch auch in anderen Zusammenhängen Anwendung finden. Das grundsätzliche Vorgehen entsprechender Ansätze kann durch folgende vier Schritte verdeutlicht werden: 1. Schritt: Es wird ein Katalog verschiedener quantitativer oder qualitativer Beurteilungskrite rien Bk (k = 1 , 2 , . . . , k) festgelegt, die für die Beurteilung der zur Auswahl stehenden Pro jekte maßgeblich sein sollen. 2. Schritt: Für jede der zur Auswahl stehenden Alternativen werden die jeweiligen Ausprägun gen der einzelnen Beurteilungskriterien abgeschätzt. Dieser Schritt setzt natürlich voraus, dass zuvor ein entsprechendes Mess- und Schätzverfahren festgelegt worden ist. 3. Investitionsentscheidungen bei unsicheren Erwartungen 165 3. Schritt: Zur Ableitung eines endgültigen Urteils müssen die Angaben über die Ausprägun gen der einzelnen Beurteilungskriterien zunächst "auf einen Nenner" gebracht, d. h. durch Werte auf einer einheitlichen Bewertungsskala ausgedrückt werden. Den verschiedenen Alter nativen werden also gewissermaßen "Noten" in den einzelnen "Fächern " (= Beurteilungskrite rien) erteilt. Die entsprechenden "Noten" - häufig auch als "Teilnutzen" oder "Scores " be zeichnet - werden dabei im Allgemeinen durch Punkte auf einer einheitlich vorgegebenen Skala ausgedrückt, wobei die maximal erreichbare Punktzahl jeweils den bestmöglichen Aus prägungsgrad des betrachteten Kriteriums angeben soll . Bezeichnet man diese Scores mit s, so ist als Ergebnis des dritten Teilschritts also jede Alternative Xi durch einen Vektor (Si I , Si2, . . . , Sik) von k verschiedenen Scorepunkten gekennzeichnet, d. h. durch eine Art Gesamtzeugnis mit k Einzelnoten. 4. Schritt: Die für jede Alternative ermittelten "Einzelnoten " werden nun zu einer "Gesamt note " zusammengefasst. Dies geschieht häufig durch die Bildung eines gewogenen Durch schnitts ; die "Gewichte " gko deren Summe über alle k = I , 2, . . . , k genau 1 beträgt, sollen dabei die relative Bedeutung der einzelnen Beurteilungskriterien Bk für das zusammenfassende Gesamturteil verdeutlichen. Der für die Beurteilung einer Alternative Xj maßgebliche Präfe renzwert

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Zusammenfassung

Das Kompendium gibt einen einführenden Überblick über den derzeitigen Entwicklungsstand der Allgemeinen Betriebswirtschaftslehre und verdeutlicht zugleich sich abzeichnende Weiterentwicklungen. Es besteht aus 18 Einzelbeiträgen, die die Sichtweise des jeweiligen Autors widerspiegeln, in ihrer Gesamtheit aber ein repräsentatives Bild der Lehrinhalte darstellen, die an deutschen Universitäten im Rahmen der Allgemeinen Betriebswirtschaftslehre vermittelt werden. Adressaten dieses Kompendiums sind in erster Linie Studierende wirtschaftswissenschaftlicher Studiengänge. Den in Unternehmungen und sonstigen Bereichen der Wirtschaft tätigen Praktikern vermittelt es einen Überblick über Stand und Entwicklungstendenzen der Allgemeinen Betriebswirtschaftslehre und ermöglicht mit Hilfe der kommentierten Literaturhinweise die weitere Erschließung des einschlägigen Schrifttums. Als Nachschlagewerk für Fragen aus der Allgemeinen Betriebswirtschaftslehre ist das Kompendium uneingeschränkt zu empfehlen.