4. Sequentielle Spiele in:

Thomas Riechmann

Spieltheorie, page 62 - 76

4. Edition 2013, ISBN print: 978-3-8006-4750-7, ISBN online: 978-3-8006-4751-4, https://doi.org/10.15358/9783800647514_62

Series: Vahlens Kurzlehrbücher

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4. Sequentielle Spiele 4.1 Einführung 4.1.1 Beispiel: Sequentielle Koordination Die bisher betrachteten Spiele waren so angelegt, dass alle Spieler gleichzeitig ziehen, und damit kein Spieler vor seinem Zug über die Züge der Gegner informiert ist. Dies ist natürlich nicht grundsätzlich der Fall. Sequentielle Spiele sind Spiele, in denen die Spieler nicht simultan, sondern nacheinander ziehen. Durch diese leichte Veränderung der Struktur können Spiele sehr viel komplizierter werden. Dies kann am vermeintlich einfachen Koordinationsspiel 3.13 demonstriert werden, dessen Auszahlungsmatrix in 4.1 nochmals dargestellt ist. Firma B RS TS RS 1, 1 -1, -1Spieler A TS -1, -1 2, 2 Tabelle 4.1: Koordinationsspiel Nun soll angenommen werden, Spieler A entscheide sich zuerst. Spieler B entscheidet nach A und kennt zum Zeitpunkt seiner Entscheidung bereits die Entscheidung von A. Durch diese zusätzliche Annahme wird das „Koordinationsspiel“ in simultanen Zügen zum sequentiellen Spiel „Follow the Leader“. Sequentielle Spiele lassen sich gut durch ihre extensive Form, das heißt als Spielbaum darstellen, wie dies in Abb. 4.1 geschehen ist. Extensive Darstellungen von Spielen bestehen aus zwei Elementen, Kanten (Strichen) und Knoten (Punkten, Kreisen). Jeder Knoten, ausgenommen die Knoten am Ende des Spielbaumes, repräsentiert eine Entscheidungssituation eines Spielers. Am Knoten ist der Spieler notiert, der jeweils entscheiden muss. Im Beispiel in Abb. 4.1 repräsentiert der linke äußere Knoten (der Wurzelknoten des Spielbaums) die einzige Entscheidungssituation von Spieler A: A muss entscheiden, ob er R oder T spielt. Es ist zu sehen, dass die Kanten, die vom Knoten ausgehen, genau diese möglichen Entscheidungen, die denkbaren Aktionen von Spieler A darstellen. Folgt man dem Verlauf der extensiven 48 4. Sequentielle Spiele Form weiter, erkennt man, dass für Spieler B zwei Entscheidungssituationen existieren, je nachdem, ob Spieler A Alternative R (Entscheidungssituation I) oder T (Entscheidungssituation II) gewählt hat. In jeder dieser Entscheidungssituationen stehen B die Handlungsalternativen R und T zur Auswahl. Am Ende des Spielbaumes befinden sich die Endknoten. An diesen Knoten sind die Auszahlungen notiert. Die Reihenfolge der Auszahlungen richtet sich nach der Reihenfolge, in der die Spieler ziehen. Im Beispiel gibt also jeweils die erste Zahl die Auszahlung an Spieler A an, die zweite Zahl die Auszahlung an Spieler B, denn A zieht zuerst, B als zweiter. 1, 1 −1, −1 A B B I II R R RT T T −1, −1 2, 2 Entscheidungssituation für B Abbildung 4.1: Follow the Leader. A zieht zuerst. Auszahlungen an (A, B) 4.1.2 Begriffe Allgemein, d.h sowohl für statische als auch für sequentielle Spiele, gelten folgende Begriffsdefinitionen: Aktion Eine Aktion ist eine Handlungsalternative oder mögliche Handlung eines Spielers in einer einzigen Entscheidungssituation. Im Beispiel stehen Spieler A in seiner einzigen Entscheidungssituation die Aktionen R und T zur Verfügung, Spieler B hat in jeder seiner Entscheidungssituationen jeweils die Wahl zwischen den Aktionen R und T . Eine Aktion des Spielers i soll als ai notiert werden. In der Regel hat ein Spieler in jeder Entscheidungssituation die Wahl zwischen mehr als einer Aktion.1 Alle Aktionen, die dem Spieler i in einer bestimmten Situation zur Verfügung stehen, sind zusammengefasst in der Aktionsmenge dieser Situation Ai = {ai}. So lautet beispielsweise die Aktionsmenge von Spieler B in seiner Entscheidungssituation II AB, II = {R, T}. Die Zusammenfassung aller Aktionen, die jeder der n beteiligten Spieler i in einer bestimmten Situation des Spiels gewählt hat, heißt Aktionsprofil. Das Aktionsprofil wird dargestellt als geordnete Menge a = {ai} , i = {1, 2, . . . ,n}. Hat im Beispiel Spieler A Aktion R gespielt und darauf Spieler 1 Andernfalls kann nicht wirklich von einer Entscheidungssituation gesprochen werden. 4.1 Einführung 49 B Aktion T gewählt (warum auch immer . . . ), lautet das entsprechende Aktionsprofil des Spielverlaufs a = {R, T}. Ein Aktionsprofil beschreibt also den Verlauf eines „Spiels des Spiels“. Strategie Eine Strategie eines Spielers ist die Zusammenfassung jeweils einer Aktion des Spielers für jede Entscheidungssituation innerhalb des Spiels. Existiert in einem Spiel für einen Spieler nur eine Entscheidungssituation, dann sind Strategie und Aktion identisch, wie dies im Beispiel für Spieler A der Fall ist. Die Strategie von Spieler i wird notiert als si. Eine Strategie für Spieler B muss also zwei Aktionen aufführen, jeweils eine für jede der beiden Entscheidungssituationen. Plant B beispielsweise, in Entscheidungssituation I R und in Entscheidungssituation II T zu spielen, kann die entsprechende Strategie als sB = {R, T} notiert werden. Weiter unten wird allerdings eine etwas übersichtlichere Notation von Strategien eingeführt werden. Alle Strategien, die Spieler i innerhalb eines Spiels zur Verfügung stehen, werden als Strategiemenge oder Strategieraum Si = {si} zusammengefasst. Die Zusammenfassung jeweils einer Strategie für jeden der n an einem Spiel beteiligten Spieler heißt Strategieprofil s = {si} , i = {1, 2, . . . ,n}. 4.1.3 Herleitung der Normalform Eine Strategie eines Spielers ist also ein Handlungsplan, der für jede Situation des Spiels, in der sich der Spieler entscheiden muss, die Aktion angibt, die der Spieler jeweils wählt. Für B existieren zwei Entscheidungssituationen: A hat sich für R entschieden und A hat sich für T entschieden. Die extensive Darstellung des Spiels in Abb. 4.1 zeigt dies deutlich. In jeder Entscheidungssituation stehen B nun zwei Aktionen zur Verfügung, R und T . Damit ergeben sich vier mögliche Strategien, die insgesamt die Strategiemenge von B bilden. Beispielhaft soll die im folgenden verwendete Notation verdeutlicht werden. Die Strategie b1 besagt, dass B sich für R entscheiden soll, falls A sich für R entschieden hat (R|R) und sich für R entscheiden soll, falls Spieler A Aktion T gewählt hat (R|T ). Die vorausgegangene Aktion von A steht also hinter dem senkrechten Strich |, die als Antwort geplante Aktion von B davor. Die vier möglichen Strategien von B lauten: b1 = (R|R, R|T ): immer R b2 = (R|R, T |T ): immer das, was A tut; folge A b3 = (T |R, R|T ): immer das Gegenteil von dem, was A tut b4 = (T |R, T |T ): immer T Damit lässt sich nun die Normalform oder strategische Form des Spiels notieren (Tabelle 4.2). Die Normalform ist im Grunde eine Auszahlungstabelle in Strategien. Da in den bisher betrachteten statischen Spielen die Aktionen und Strategien dasselbe bezeichneten, war hier die Normalform iden- 50 4. Sequentielle Spiele tisch mit der Auszahlungstabelle. Dies ist dann nicht mehr der Fall, wenn für mindestens einen Spieler die Aktionen nicht mehr mit den Strategien identisch sind. Die Normalform gibt die Auszahlungen für alle Strategieprofile des Spiels an. B b1 b2 b3 b4 (R|R, R|T ) (R|R, T |T ) (T |R, R|T ) (T |R, T |T ) A R 1 , 1 1, 1 −1 ,−1 −1,−1 T −1,−1 2 , 2 −1 ,−1 2 , 2 Tabelle 4.2: Follow the Leader. A zieht zuerst. Normalform Für die jeweiligen Auszahlungen ist dabei immer nur ein Teil der Strategie von B bedeutsam, der andere Teil wird überhaupt nicht gespielt. So ist es im Fall (R, b1) für das tatsächliche Spiel völlig unerheblich, dass B im Fall, dass Spieler A Aktion T spielt, mit R antworten würde, denn A spielt nicht T . Für das sequentielle Spiel aus dem Beispiel ergeben sich drei Nash– Gleichgewichte: 1. (R, b1): Eine beste Antwort von B auf A: R ist b1 (immer R). Die beste Antwort von A auf B: immer R ist R. 2. (T, b4): Eine beste Antwort von B auf A: T ist b4 (immer T ). Die beste Antwort von A auf B: immer T ist T . 3. (T, b2): Eine beste Antwort von B auf A: T ist b2 (folge A). Die beste Antwort von A auf B: folge A ist T . Zwei dieser drei Nash–Gleichgewichte sind nicht ganz überzeugend. So ist b1 (immer R) zwar eine beste Antwort auf A: R, nicht aber auf A: T . Ähnliches gilt für b4 (immer T ): Es ist eine beste Antwort auf A: T , nicht aber auf A: R. Lediglich die Strategie b2 (folge A) ist immer eine beste Antwort, egal welche Strategie A wählt. 4.2 Teilspiel–Perfektheit Im vorangegangenen Beispiel (Spiel 4.1 bzw. 4.2) existieren drei Nash– Gleichgewichte, von denen allerdings nur eins so beschaffen ist, dass die zugehörige Strategie von B nur aus solchen Aktionen besteht, die für jede mögliche Strategie von A die beste Antwort darstellen. Ein solches Nash– Gleichgewicht heißt „teilspielperfektes Nash–Gleichgewicht“ (subgame perfect Nash equilibrium). 4.2 Teilspiel–Perfektheit 51 Definition 4.2.1 (teilspielperfektes Nash–Gleichgewicht). Ein Strategieprofil ist ein teilspielperfektes Gleichgewicht, wenn es a) ein Nash–Gleichgewicht des gesamten Spiel ist, und b) die jeweils relevanten Aktionen ein Nash–Gleichgewicht für jedes Teilspiel konstituieren. Ein Teilspiel ist jeder Abschnitt eines Spiels, der aus mindestens einer Entscheidungssituation eines Spielers besteht. Das Spiel in Abbildung 4.2 (eine Wiederholung von 4.1) besteht aus drei Teilspielen: Dem Teilspiel, das in Knoten I beginnt (Teilspiel I), dem Teilspiel, das in Knoten II beginnt (Teilspiel 2), sowie dem gesamten Spiel (Teilspiel 3). 1, 1 -1, -1 A B B I II R R RT T T -1, -1 2, 2 Teilspiel 1 Teilspiel 2 Teilspiel 3 Abbildung 4.2: Follow the Leader. Teilspiele Die drei Nash–Gleichgewichte finden sich in der extensiven Darstellung wieder. Das gleichgewichtige Strategieprofil (R, b1) = (R, (R|R, R|T )) führt zu einem Nash–Gleichgewicht im Teilspiel 1 und im Teilspiel 3, nicht aber im Teilspiel 2. Das Strategieprofil (T, b4) = (T, (T |R, T |T )) führt zu einem Nash–Gleichgewicht in Teilspiel 2 und Teilspiel 3, nicht aber in Teilspiel 1. Nur das Strategieprofil (T, b2) = (T, (R|R, T |T )) führt zu Nash–Gleichgewichten in allen Teilspielen. Damit ist nur das Strategieprofil (T, b2) ein teilspielperfektes Nash–gleichgewichtiges Strategieprofil. 4.2.1 Zermellos Algorithmus Eine Methode, teilspielperfekte Nash–Gleichgewichte aufzufinden, ist Zermellos Algorithmus. Diese Methode arbeitet mit der extensiven Darstellung. Sie ist eine Variante der Rückwärtsinduktion oder der dynamischen Programmierung. Nach Zermellos Algorithmus muss in jedem Teilspiel, beginnend mit den kleinsten Teilspielen die Aktion markiert werden, die dem jeweiligen Spieler die höchste Auszahlung sichert. Im Spiel 4.3 sind die kleinsten Teilspiele die Teilspiele ab Knoten I und II. Der entscheidende Spieler für diese beiden Teilspiele ist Spieler B. 52 4. Sequentielle Spiele 1, 1 -1, -1 A B B I II R R RT T T -1, -1 2, 2 Abbildung 4.3: Follow the Leader. Zermello Im Teilspiel ab Knoten I ist es für B optimal, R zu spielen. Entsprechend ist die Kante R als doppelte Linie markiert. Im Teilspiel ab Knoten II spielt B optimalerweise T . Also ist hier eine Markierung anzubringen. Da mit den beiden Teilspielen bereits alle für Spieler B entscheidungsrelevanten Teilspiele erfasst sind, ergibt sich hieraus bereits Bs teilspielperfekte Nash–Strategie: Spiele R im Teilspiel ab I, also wenn Spieler A Aktion R spielt; spiele T im Teilspiel II, also wenn Spieler A Aktion T spielt. Zusammengefasst: (R|R, T |T ). Nun muss die beste Strategie für Spieler A markiert werden. Spielt A Strategie R, so weiß er, dass B mit R antworten wird, und damit A eine Auszahlung von 1 entsteht. Entsprechend kann A für seine Strategie T eine Auszahlung von 2 erwarten. Folglich wählt A die Strategie T . Dies ist ebenfalls markiert. Nun existiert nur ein Pfad durch das gesamte Spiel, der durchgängig markiert ist. Dieser Pfad führt zum teilspielperfekten Nash–Gleichgewicht. Es besteht aus den Strategien T für A und (R|R, T |T ) für B. 4.2.2 Eliminierung dominierter Strategien Es ist schon bemerkt worden, dass lediglich das teilspielperfekte Nash– Gleichgewicht so beschaffen ist, dass die Strategie von B eine beste Antwort auf jede Strategie von A enthält. Das klingt nach Dominanz! Tatsächlich lassen sich teilspielperfekte Nash–Gleichgewichte durch Eliminierung dominierter Strategien auffinden. Die Normalform 4.3 zeigt, dass Strategie b2 streng dominant gegenüber b3 und schwach dominant gegenüber b1 und b4 ist. Nach Eliminierung der dominierten Strategien verbleibt lediglich b2. Das Gleichgewicht (T, b2) ist das teilspielperfekte Nash–Gleichgewicht. An dieser Stelle ist allerdings ein Wort der Warnung angebracht. Wie schon bei der Eliminierung dominierter Strategien im Abschnitt 3.2.3 ist lediglich die iterierte Eliminierung streng dominierter Strategien gefahrlos. 4.2 Teilspiel–Perfektheit 53 B b1 b2 b3 b4 (R|R, R|T ) (R|R, T |T ) (T |R, R|T ) (T |R, T |T ) A R 1, 1 1, 1 -1, -1 -1, -1 T -1, -1 2, 2 -1, -1 2, 2 Tabelle 4.3: Follow the Leader. Normalform Bei der Eliminierung schwach dominierter Strategien kann die Reihenfolge der Eliminierung eine Rolle spielen. Im schlimmsten Fall kann durch eine schlechte Reihenfolge ein teilspielperfektes Gleichgewicht verloren gehen! 4.2.3 Teilspiel–Perfektheit und Trembling–Hand–Perfektion Keine korrekte Begründung für die Sinnhaftigkeit des Konzeptes der Teilspielperfektheit ist die Idee der Trembling–Hand–Perfektion (vgl. Abschnitt 3.4.3): Nach diesem Konzept ist ein Strategieprofil ein Trembling–Hand– perfektes Gleichgewicht, wenn für jeden beteiligten Spieler seine zu einem Nash–Gleichgewicht gehörende Strategie auch dann noch optimal ist, wenn es eine geringe Chance gibt, dass ein Gegner seine Strategie ändert. Dass teilspielperfekte Gleichgewichte nicht in jedem Fall auch Trembling–Hand– perfekt sein müssen, zeigt das Beispiel aus Abb. 4.4 (nach Rasmusen 2001, S. 92–93): A 1, 4 0, 2 O I U D B 1, 1 U D 1, 1 B Abbildung 4.4: Teilspiel–Perfektheit vs. Trembling–Hand–Perfektion In diesem Spiel existieren vier teilspielperfekte Nash–Gleichgewichte: (O, (U |O,U |I)), (O, (D|O,U |I)), (I, (U |O,U |I)) und (I, (D|O,U |I)). Nur zwei dieser vier teilspielperfekten Gleichgewichte sind aber auch Trembling–hand–perfekt, nämlich die, in denen Spieler A Strategie O spielt: Hält es aber A auch nur für entfernt denkbar, dass Spieler B Aktion D spielt, wird A Strategie O wählen, denn dort ist er selbst genau so gut gestellt wie 54 4. Sequentielle Spiele zuvor, ohne sich dem Risiko etwaiger Dummheiten von B auszusetzen. So sind die Strategieprofile (I, (U |O,U |I)) und (I, (D|O,U |I)) zwar teilspielperfekt, nicht aber Trembling–Hand–perfekt. 4.3 Gleichgewichtsselektion: Die Reihenfolge der Spieler 4.3.1 First Mover’s Advantage Im Spiel „Battle of the Sexes“ aus Abschnitt 3.3, dessen Auszahlungstabelle in Tab. 4.4 nochmals dargestellt ist, ließen sich zwei Nash–Gleichgewichte finden: Entweder gehen die Spieler gemeinsam ins Kino oder gemeinsam zum Fußball. Welches der beiden Gleichgewichte sich einstellt, ist im Spiel in simultanen Zügen nicht klar. Handlungsalt. der Frau Kino Fußball Handlungsalt. Kino 2 , 3 1, 1 der Mannes Fußball 1, 1 3 , 2 Tabelle 4.4: Battle of the Sexes in simultanen Zügen Fügt man dem Spiel aber weitere Regeln hinzu, lässt sich die Menge der möglichen überzeugenden Gleichgewichte genauer eingrenzen. Hier soll aus dem Spiel in simultanen Zügen ein sequentielles Spiel konstruiert werden. Wird beispielsweise angenommen, der Mann entscheide zuerst und erst nach ihm die Frau, ergibt sich eine extensive Form wie in Abb. 4.5 dargestellt. Mann Frau Frau Fußball Kino Kino Fußball Fußball Kino 1, 1 3, 2 1, 1 2, 3 Abbildung 4.5: Battle of the Sexes in extensiver Darstellung. Mann zieht zuerst. Auszahlungen an (Mann, Frau) 4.3 Gleichgewichtsselektion: Die Reihenfolge der Spieler 55 Das einzige teilspielperfekte Gleichgewicht ist das, in dem der Mann „Fußball“ spielt und die Frau sich anpasst. Dieses Gleichgewicht bringt dem Mann mehr Nutzen als der Frau. Umgekehrt stellt sich das Spiel dar, falls die Frau die erste Entscheidung hat (vgl. Abb. 4.6): Hier wird im einzigen teilspielperfekten Gleichgewicht von beiden Spielern „Kino“ gewählt, was für die Frau besser ist als für den Mann. Fußball Kino Kino Fußball Fußball Kino 1, 1 Frau Mann Mann 3, 2 2, 3 1, 1 Abbildung 4.6: Battle of the Sexes in extensiver Darstellung. Frau zieht zuerst. Auszahlungen an (Frau, Mann) Es zeigt sich also, dass jeweils der Spieler im Vorteil ist, der den ersten Zug des Spiels spielen darf. Aus diesem Grund spricht man bei Spielen wie der sequentiellen Variante von „Battle of the Sexes“ von einem Spiel mit First Mover’s Advantage. 4.3.2 Second Mover’s Advantage Nicht grundsätzlich ist der Spieler im Vorteil, der den ersten Zug hat. Dies zeigt sich, wenn man das Diskoordinationsspiel aus Abschnitt 3.5 als sequentielles Spiel formuliert. Tabelle 4.5 wiederholt die Auszahlungen des Spiels, Abb. 4.7 zeigt die extensive Form für den Fall, dass die Frau den ersten Zug hat. Handlungsalt. der Frau Kino Fußball Handlungsalt. Kino 1, 3 2, 1 des Mannes Fußball 3, 1 1, 2 Tabelle 4.5: Völliges Zerwürfnis der Geschlechter 56 4. Sequentielle Spiele Fußball Kino Kino Fußball Fußball Kino 1, 2 Frau Mann Mann 3, 1 2, 1 1, 3 Abbildung 4.7: Diskoordinationsspiel. Frau zieht zuerst. Auszahlungen an (Frau, Mann) Zunächst ist es interessant zu bemerken, dass die sequentielle Variante des Spiels, die in Abb. 4.7 dargestellt ist, zwei teilspielperfekte Nash– Gleichgewichte besitzt. Dies ist auf den ersten Blick überraschend, lässt sich doch im entsprechenden Spiel in simultanen Zügen aus Abschnitt 3.5 (S. 41) kein Gleichgewicht (in reinen Strategien, s.u.) finden. Auf den zweiten Blick wird der Grund aber deutlich. Die Struktur des sequentiellen Spiels gibt vor, wie häufig sich jeder Spieler entscheiden darf: Jeder Spieler trifft einmal eine Entscheidung und darf sich danach nicht mehr neu entscheiden. (Dürfte beispielsweise die Frau nach der Entscheidung des Mannes ihre Meinung nochmals ändern, müsste dies durch Anfügen entsprechender weiterer Kanten an das Ende der extensiven Form aus Abb. 4.7 dargestellt sein.) Die Tatsache, dass im Spiel in simultanen Zügen kein Gleichgewicht zustande kommt, beruht darauf, dass die Spieler im Rahmen der Gleichgewichtsanalyse quasi unendlich oft ihre Meinung ändern. Dies ist im sequentiellen Spiel nicht möglich. Nachdem jeder Spieler einmal entschieden hat, ist das Spiel zu Ende, die Kombination der Entscheidungen ist ein Nash–Gleichgewicht. Der Spielverlauf ist denkbar unkompliziert. Nachdem die Frau antizipiert hat, was ihr Gegner in seinen Teilspielen spielen wird, ist sie selbst indifferent zwischen ihren möglichen Gleichgewichtsstrategien. Alles, was die Frau vorhersehen kann, ist die Tatsache, dass der Mann jeweils das Gegenteil von dem tun wird, was sie selbst wählt. Ihren Präferenzen gemäß ist es ihr wichtig, den Abend mit dem Mann gemeinsam zu verbringen. Da der Mann aber als zweiter wählt und weiß, was die Frau gewählt hat, gelingt es ihm in jedem Fall, der Frau zu entkommen: Dem Mann ergeht es (seinen Präferenzen gemäß) besser als der Frau. Das Spiel ist ein Spiel, bei dem der Spieler den Vorteil hat, der als zweiter zieht: Es handelt sich um ein Spiel mit einem Second Mover’s Advantage. Auch die naheliegende zweite extensive Variante des Spiels, also die, in der der Mann zuerst entscheidet, führt zu zwei teilspielperfekten Gleichge- 4.4 Beispiel: Markteintritt 57 wichten. (Es ist sicher eine gute und instruktive Übung, diesen simplen Fall selbständig nachzuvollziehen.) 4.4 Beispiel: Markteintritt 4.4.1 Grundmodell Ein klassisches Beispiel für ein sequentielles Spiel und damit eine nette Gelegenheit, die vorgestellten Konzepte anzuwenden, ist das Markteintritts– Spiel. Spieler sind ein Monopolist M und ein potentieller Eindringling E. Der Eindringling hat zwei Strategien: Er kann versuchen, in den Markt des Monopolisten einzudringen (E) oder eben nicht (E). Ist der Eindringling tatsächlich eingedrungen, kann der Monopolist einen Preiskampf starten (K) oder eben nicht (K). Die Struktur des Spiels ist zusammen mit den Auszahlungen in Abb. 4.8 dargestellt. E K K 0, 300 0, 300 K KE -10, 0 40, 50 E M M Abbildung 4.8: Markteintritts–Spiel. Komplette Darstellung. Auszahlungen an (E, M) Die Auszahlungen sind so konstruiert, dass für den Fall, dass der Eindringling den Markt nicht betritt, die Aktion des Monopolisten irrelevant ist: Die Auszahlungen lauten in jedem Fall (0, 300). Deshalb lässt sich die extensive Form des Spiels verkürzen. Da es nur eine wirklich relevante Entscheidung für den Monopolisten gibt, reicht es aus, nur diese im Spielbaum darzustellen. Hieraus ergibt sich die Darstellung in Abb. 4.9. In der Normalform lässt sich die Verkürzung gleichfalls durchführen. Tabelle 4.6 zeigt das komplette Spiel. An der kompletten Normalform ist zu erkennen, dass für die Höhe der Auszahlungen nur eine Rolle spielt, welche Aktion M für den Fall des Markteintritts von E, also E, wählt. Insofern sind Ms Strategien m1 und m2 sowie m3 und m4 faktisch äquivalent. Sie können zusammengefasst werden. 58 4. Sequentielle Spiele E -10, 0 40, 50 E E K 0, 300 M K Abbildung 4.9: Markteintritts–Spiel. Verkürzte Darstellung. Auszahlungen an (E, M) M m1 m2 m3 m4 (K|E, K|E) (K|E, K|E) (K|E, K|E) (K|E, K|E) E E -10, 0 -10, 0 40, 50 40, 50 E 0, 300 0, 300 0, 300 0, 300 Tabelle 4.6: Markteintritts–Spiel. Normalform. Komplette Darstellung Mehrere Strategien desselben Spielers lassen sich immer dann zusammenfassen, wenn sie für jede Strategie der Gegner grundsätzlich zu denselben Auszahlungen für alle Beteiligten führen. Im Beispiel werden m1 und m2 zu K (der relevanten Aktion für Ms Strategie E) zusammengefasst. m3 und m4 können zu K zusammengefasst werden. So ergibt sich aus der kompletten Normalform die so genannte reduzierte Form, die in Tab. 4.7 dargestellt ist. M K K E E −10, 0 40 , 50 E 0 , 300 0, 300 Tabelle 4.7: Markteintritt. Reduzierte Form Die reduzierte Form 4.7 zeigt, dass zwei Nash–Gleichgewichte existieren: (E, K) und (E, K). Für den Monopolisten wird aber die Strategie K von K schwach dominiert: Gibt es keinen Markteintritt, ist es egal, was M tut;2 gibt es einen Markteintritt, ist es besser, nicht zu kämpfen. Nach Eliminierung der schwach dominierten Strategie (Hier gibt es kein Reihenfolge– Problem!) verbleibt (E, K) als teilspielperfektes Gleichgewicht. 2 Diese Begründung orientiert sich an den vorgegebenen Auszahlungen. Einwände, ein Preiskampf, d.h. Preissenkungen in Abwesenheit eines Konkurrenten würden ebenfalls die Auszahlungen senken, sind berechtigt, entsprechen aber eben nicht den hier getroffenen Annahmen. 4.4 Beispiel: Markteintritt 59 Die Anwendung von Zermellos Algorithmus auf die extensive Form (in der Abbildung angedeutet) zeigt, dass das teilspielperfekte Nash–Gleichgewicht bei (E, K) liegt: Der Eindringling wird den Markt betreten, ohne dass sich der Monopolist wehrt! Warum also findet tatsächlich ein Markteintritt statt? Weil die Drohung des Monopolisten, einen Preiskrieg zu führen, nicht glaubwürdig ist. Sie ist lediglich cheap talk, leeres Gerede:3 Ist der Markteintritt erst einmal geschehen, ist die Aktion K für M nicht optimal, es ist besser auf den Preiskrieg zu verzichten. Mit anderen Worten: Die Strategie, die vorschreibt, in jedem Fall zu kämpfen, ist in dem Teilspiel nach Markteintritt des Eindringlings nicht optimal und damit nicht teilspielperfekt. 4.4.2 Selbstbindung Eine Möglichkeit für M, seine Drohung glaubwürdig zu machen, ist das Eingehen einer Selbstbindung. Dies bedeutet, dass M in einem Vertrag mit einem Dritten sich dazu verpflichtet, in jedem Fall zu kämpfen, egal, ob ein Markteintritt stattfindet oder nicht. Andernfalls ist eine erhebliche Strafe an den Dritten zu zahlen. Dieses Vorgehen dreht de facto die Entscheidungsreihenfolge um. M zieht zuerst, dann E. Grundsätzlich bleiben die Auszahlungen des Grundmodells erhalten. Es sei allerdings angenommen, M verpflichte sich, eine Summe von 400 zu zahlen, falls er nicht kämpft, d.h. für K. Durch die Selbstbindung von M entstehen also folgende Änderungen: Im Fall M:K / E:E lauten die Auszahlungen (an M, E) -350, 40. Im Fall M:K / E:E sind die Auszahlungen -100, 0. K E E 0, -10 300, 0 -350, 40 -100, 0 M E EK E E Abbildung 4.10: Markteintritt mit Selbstbindung. Auszahlungen an (M, E) 3 Von einigen Quellen wird der Begriff „cheap talk“ anders belegt: Cheap talk gilt hier als Kommunikation zwischen Spielern, die keinem der Spieler Kosten verursacht. Dabei ist es egal, ob diese kostenlose Kommunikation tatsächlich nützliche Informationen transportiert oder nur leeres Gerede ist (vgl. Kreps 1990, S. 388 ff.). 60 4. Sequentielle Spiele E e1 e2 e3 e4 (E|K, E|K) (E|K, E|K) (E|K, E|K) (E|K, E|K) M K 0 ,−10 300 , 0 0 ,−10 300 , 0 K −350, 40 −100, 0 −100, 0 −350, 40 Tabelle 4.8: Markteintritt mit Selbstbindung. Normalform Für das modifizierte Markteintritts–Spiel lässt sich die Normalform nicht weiter reduzieren: Egal, ob es zum Markteintritt kommt oder nicht, es spielt in jedem Fall eine Rolle, was der Monopolist tut. Weiterhin ist festzustellen, dass für den Monopolisten die Strategie K die Strategie K streng dominiert. Damit ist nun die Drohung mit einem Preiskrieg glaubwürdig: M würde ohnehin in jedem Fall kämpfen. Die beiden Nash–Gleichgewichte liegen bei (K, e2) und (K, e4), wobei allerdings e4 für E schwach dominant gegenüber e2 ist. Das teilspielperfekte Gleichgewicht ist also (K, e4). Dies ist auch das Ergebnis von Zermellos Algorithmus am Spielbaum 4.10. 4.5 Experimente: Normalform versus Extensive Form Eine aufschlussreiche Erkenntnis zur Wahrnehmung der beiden möglichen Darstellungsformen von Spielen, Normalform und extensiver Form, geht auf Schotter et al. (1994) zurück. Die Autoren ließen in einer Reihe von Laborexperimenten das Spiel aus Tab. 4.9 von Probanden spielen. B b1 b2 A a1 4, 4 4, 4 a2 0, 1 6, 3 Tabelle 4.9: Schotter–Spiel. Normalform Im Spiel ist für Spieler B die Strategie b1 schwach dominiert. Probanden in der Rolle von Spieler A müssten also darauf vertrauen, dass ihre Gegner, die Probanden in der Rolle von Spieler B, dies erkennen und folglich b2 spielen. Spieler–A–Probanden müssten daraufhin ihre Strategie a2 spielen. Tatsächlich spielten in den Laborexperimenten von Schotter et al. jedoch nur 43% aller Spieler–A–Probanden a2. Der überwiegende Anteil, 57%, spielte dagegen a1, die „sichere“ Strategie. (Die Strategie a1 ist risiko– dominant.) Dieses Verhalten kann als Indiz dafür angesehen werden, dass 4.5 Experimente: Normalform versus Extensive Form 61 die Mehrheit der Spieler–A–Probanden ihren Gegnern nicht zutraute, ihre schwach dominante Strategie zu bestimmen. Schotter et al. führten daraufhin eine zweite Serie von Experimenten durch, bei der eine andere Gruppe von Probanden dasselbe Spiel spielen musste. Dieses Mal wurde das Spiel aber in extensiver Form präsentiert, d.h. in der Form wie in Abb. 4.11. 4, 4 B A 0, 1 6, 3 a1 a2 b1 b2 Abbildung 4.11: Schotter–Spiel. Extensive Darstellung In dieser Serie von Experimenten spielten nur noch 9% der Spieler–A– Probanden die sichere Strategie a1, jedoch 91% Strategie a2. Insgesamt scheinen die Experimente zu zeigen, dass (zumindest nach der Meinung der Spieler–A–Probanden) Spiele leichter zu verstehen und zu analysieren sind, wenn sie in ihrer extensiven Form dargestellt werden.4 4 Neuere Untersuchungen von Cooper und van Huyck (2003) zeigen allerdings, dass die Ergebnisse von Schotter et al. (1994) nicht grundsätzlich, d.h. nicht für alle Typen einfacher Spiele gelten.

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References

Zusammenfassung

Vorteile

- Alle wichtigen Konzepte der modernen Spieltheorie

- Ein Klassiker in Neuauflage

Stimmen zum Werk

"(…) Wer eine kompakte und verständliche Einführung in die moderne Spieltheorie sucht, ist mit dem "Riechmann" hervorragend bedient. Das Buch enthält nicht nur alles Wissenswerte zu diesem Thema, es überzeugt auch durch eine sehr eingängige Stoffvermittlung, durch die selbst komplizierte Zusammenhänge verständlich werden. (…)"

in: Studium, 20.04.2008, 2. Auflage 2008

Zum Werk

Spieltheorie intuitiv - das muss nicht bedeuten: Spieltheorie ohne Mathematik. Dieses Lehrbuch gibt eine Einführung in alle wichtigen Konzepte der modernen Spieltheorie, indem es die "Idee" in den Mittelpunkt stellt, ohne dabei die notwendigen Formalia zu vernachlässigen.

Der Inhalt des Buches erstreckt sich von den Grundlagen der Spieltheorie über fortgeschrittene Themen wie Lernen in Spielen oder dynamische Gleichgewichtskonzepte in der evolutionären Spieltheorie.

Die Einbeziehung von Resultaten ökonomischer Laborexperimente erweitert die Perspektive des Buches über den Horizont herkömmlicher Werke zur Spieltheorie hinaus.

Insofern ist das Buch sowohl für Anfänger als auch für fortgeschrittene Spieltheoretiker gleichermaßen geeignet und nützlich.

Autor

Prof. Dr. Thomas Riechmann, Kaiserslautern.

Zielgruppe

Studierende der Wirtschaftswissenschaften.