10. Verhandlungen in:

Thomas Riechmann

Spieltheorie, page 178 - 194

4. Edition 2013, ISBN print: 978-3-8006-4750-7, ISBN online: 978-3-8006-4751-4, https://doi.org/10.15358/9783800647514_178

Series: Vahlens Kurzlehrbücher

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10. Verhandlungen Verhandlungssituationen können als Spiele modelliert werden. Verhandlungsspiele sind aber insofern anders als die bisher betrachteten Spiele, als dass die Spieler aktiv miteinander in Kontakt treten. Bei den betrachteten Verhandlungen geht es allgemein darum, einen „Kuchen“ zu teilen: Es ist eine bestimmte Gesamtauszahlung vorhanden, die die Spieler untereinander aufteilen sollen. 10.1 Edgeworth–Boxen Die Edgeworth-Box, im Prinzip eine integrierte Darstellung von zwei individuellen Güterräumen, stellt potentielle Tauschsituationen dar, und kann so zur Darstellung von Verhandlungssituationen eingesetzt werden. Die Darstellung von potentiellen Tauschsituationen in der Edgeworth–Box ist aus den grundlegenden Werken zur Mikroökonomik bekannt. Abb. 10.1 zeigt eine Tauschbox für die Spieler 1 und 2. Der Punkt c markiert den Ausstattungspunkt. Tausch ist auf dem Rand und innerhalb der Linse möglich, die durch die beiden Indifferenzkurven durch c und d aufgespannt wird. Dabei kommen nur Tangentialpunkte von Indifferenzkurven als Tauschergebnis in Frage, d.h. nur Punkte, die auf der Kontraktkurve liegen, denn die Kontraktkurve gibt alle Pareto–effizienten Punkte innerhalb der Linse wieder. Die Darstellung der Tauschbox lässt sich in die Darstellung eines Auszahlungsraumes überführen. Abb. 10.2 zeigt den Auszahlungsraum zur Edgeworth–Box aus Abb. 10.1. Zu beachten ist, dass bei dieser Transformation die Einheiten wechseln, mit denen die Achsen markiert sind. In der Tauschbox sind die Achsen i.d.R. mit Gütermengen skaliert, d.h. xi und yi, i∈ {1, 2} geben Mengen von zu tauschenden Gütern an. Die Achsen im Auszahlungsraum markieren Nutzeneinheiten („utils“). Bei der Transformation müssen die Nutzenverhältnisse erhalten bleiben. Dies bedeutet, dass für Spieler 1 die Punkte b, c und d denselben Nutzen erbringen, denn diese Punkte liegen auf derselben Indifferenzkurve von Spieler 1. Punkt a bringt Spieler 1 mehr Nutzen als die übrigen Punkte, denn a liegt auf einer höherwertigen Indifferenzkurve von Spieler 1. Wenn u1(x) den Nutzen angibt, den Spieler 1 aus dem Punkt x zieht, lässt sich also schreiben u1(b) = u1(c) = u1(d) < u1(a) . Entsprechend gilt für Spieler 2 170 10. Verhandlungen c a b d Kontraktkurve x1 x2 y1 y2 01 02 Abbildung 10.1: Edgeworth–Box u2(a) = u2(c) = u2(d) < u2(b) . a und b, die Punkte auf der Kontraktkurve, liegen nun auf der konvexen Hülle des Auszahlungsraumes, die in diesem Fall auch Nutzengrenze genannt wird. Alle Punkte der Nutzengrenze sind Punkte der Kontraktkurve und somit Pareto–effizient. Die Situation der Tauschbox lässt sich also als Spiel interpretieren. Jedem Spieler steht dabei eine Menge kontinuierlicher Strategien zur Verfügung, nämlich die Menge der Vektoren der Güter x und y, die er für sich beansprucht, bzw. der Nutzen, den er für sich fordert. Dabei müssen sich die Spieler untereinander auf ein Tauschergebnis einigen. Findet keine Einigung statt, erhalten die Spieler lediglich die Auszahlung aus ihrem Ausstattungspunkt c. Aus diesem Grund wird im spieltheoretischen Zusammenhang der Ausstattungspunkt auch Konfliktpunkt (disagreement point) genannt. Man erkennt leicht, dass die Nutzengrenze nicht nur die Menge aller Pareto– effizienten Güterallokationen darstellt, sondern auch die Menge aller Nash– Gleichgewichte im Spiel. Als Beispiel soll Punkt a betrachtet werden, in dem Spieler 1 einen Nutzen von u1(a1) erhält. Spieler 2 wird als beste Strategie den höchsten noch verfügbaren Nutzen wählen, d.h. u2(a2). Wählt Spieler 2 a2, so ist umgekehrt a1 die beste Antwort von Spieler 1. damit ist der Punkt a = (a1, a2) ein Nash–Gleichgewicht. Alle effizienten Punkte sind hier zugleich Nash–Gleichgewichte. Im Zusammenhang mit der Tauschbox endet die grundlegende mikroökonomische Theorie häufig mit der Aussage, alle Punkte, die in der Linse und 10.2 Nash–Verhandlungslösung 171 c=d b a Nutzengrenze u1 u2 u2(b) u2(a) = u2(c) = u2(d) u1(b) = u1(c) = u1(d) u1(a) Abbildung 10.2: Auszahlungsraum zur Edgeworth–Box 10.1 auf der Kontraktkurve durch die Anfangsausstattungen liegen, seien gleichermaßen plausible Lösungen eines Tauschprozesses. Die Spieltheorie geht hier einen Schritt weiter und präsentiert verschiedene Konzepte zur Bestimmung eines einzigen, eindeutigen, Tauschergebnisses. Dummerweise existieren verschiedene Konzepte, dieses einzigartige Tauschergebnis zu bestimmen. Viele dieser Konzepte führen zu vielen verschiedenen Resultaten, so dass letztendlich lediglich die Vielfalt der Lösungen durch eine Vielfalt der Konzepte mit jeweils unterschiedlichen Lösungen ersetzt wird. 10.2 Nash–Verhandlungslösung Um die folgenden Überlegungen exakter fassen zu können, sollen einige mathematische Abkürzungen eingeführt werden. Eine Verhandlungssituation ist charakterisiert durch den Auszahlungsraum X und den Konfliktpunkt c. Eine Verhandlung selbst ist dann ein Vorgang, der aus einem Auszahlungsraum X und einem Konfliktpunkt c eine Verhandlungslösung generiert. Damit kann eine Verhandlung als eine mathematische Abbildung angesehen werden. Die Abbildung heiße F , womit ein Ergebnis einer Verhandlung beim Auszahlungsraum X und Konfliktpunkt c als F(X , c) geschrieben werden kann. Die konvexe Hülle des Auszahlungsraumes X oder die Nutzengrenze, also die Menge aller Punkte auf dem Rand von X , soll als H(X) notiert werden. In den hier betrachteten Fällen kann H(X) als Funktion geschrieben werden. 172 10. Verhandlungen Nach Nash müssen Verhandlungslösungen vier Bedingungen erfüllen, um als „vernünftig“ angesehen werden zu können. Anders, nämlich wissenschaftlicher formuliert: Nur solche Verhandlungsergebnisse sind Verhandlungsergebnisse im Sinne von Nash, die die folgenden vier Axiome erfüllen: Axiom I: Unabhängigkeit von äquivalenten Nutzentransformationen. Das Verhandlungsergebnis soll nicht davon abhängen, mit welcher „Skala“ die Spieler ihren Nutzen messen. Jede affine Transformation des Nutzens muss das Verhandlungsergebnis unverändert lassen. Wird der Nutzen eines der Spieler bei einer Verhandlung nur als u(·) gemessen, bei einer anderen Verhandlung aber als v(·) = A+B ·u(·), B > 0, so muss das Verhandlungsergebnis unter sonst gleichen Umständen jedesmal dasselbe sein. Axiom II: Pareto–Effizienz. Das Verhandlungsergebnis soll Pareto–effizient sein. Wie schon vorher gezeigt wurde, bedeutet dies, dass das Verhandlungsergebnis ein Punkt auf der Nutzengrenze ist: F(X , c) ∈ H(X) . Axiom III: Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen. Das Verhandlungsergebnis ist unberührt von der Einführung neuer Auszahlungspunkte, wenn diese Auszahlungspunkte als Verhandlungslösung nicht in Frage kommen. Axiom IV: Symmetrie. Sind beide Spieler bezüglich ihrer Verhandlungssituation gleich, erhalten beide den gleichen Anteil am Ergebnis. Es lässt sich zeigen, dass jeweils nur eine einzige Verhandlungslösung existiert, die alle vier Axiome erfüllt. Diese Verhandlungslösung heißt Nash– Verhandlungslösung. Die Idee der Nash–Verhandlungslösung ist dabei die folgende: Außer der Tatsache, dass diese Lösung die oben genannten vier Axiome erfüllt, charakterisiert sie die Spieler durch deren Verhandlungsmacht (bargaining power). α sei eine positive Zahl, die die Verhandlungsmacht von Spieler 1 charakterisiert. Die Verhandlungsmacht von Spieler 2 wird durch 1−α gekennzeichnet. Es gilt 0 ≤ α ≤ 1. Je größer α , desto größer ist die Verhandlungsmacht von Spieler 1 im Verhältnis zur Verhandlungsmacht von Spieler 2, vice versa. Die verallgemeinerte Nash–Lösung wird nun durch das so genannte Nash–Produkt NP beschrieben, ein gewogenes geometrisches Mittel, NP = (x1 − c1)α (x2 − c2)1−α , wobei x ∈ X das Verhandlungsergebnis darstellt. Die verallgemeinerte Nash–Lösung wird durch das maximal erreichbare Nash–Produkt NP⋆ beschrieben, d.h. NP⋆ = max x∈X x≥c NP . 10.2 Nash–Verhandlungslösung 173 Anders formuliert: Für die Nash–Lösung x⋆ = F⋆(X , c) gilt x⋆ = argmaxx∈X x≥c NP(x) . Für symmetrische Verhandlungsmacht von α = 1−α = 12 ergibt sich die spezielle Nash–Verhandlungslösung. Abbildung 10.3 zeigt eine Nash–Verhandlungslösung. Die Nash–Produkte sind Hyperbeln im R2, höherwertige Nash–Produkte liegen weiter vom Ursprung entfernt. Entsprechend liegt die Nash–Verhandlungslösung dort, wo der Graph eines Nash–Produktes die Nutzengrenze tangiert. Der Tangentialpunkt x⋆ stellt die Nash–Verhandlungslösung dar, das maximale Nash– Produkt ist NP⋆. c X x1 x2 x⋆ NP NP NP⋆ Abbildung 10.3: Nash Verhandlungslösung (Beispiel) Beispiel. Die konvexe Hülle des Auszahlungsraumes sei gegeben durch H = 10−u1 = u2 , wobei ui die Auszahlung an Spieler i angibt. Der Konfliktpunkt habe die Koordinaten c = (1, 1). Wo liegt die spezielle Nash–Verhandlungslösung? Antwort: NP = (u1 − c1) 1 2 (u2 − c2) 1 2 = (10u1 −u21 −9) 1 2 174 10. Verhandlungen δNP δu1 = 1 2 (10u1 −u21 −9)− 1 2 (10−2u1) = 0 ⇔ 10u1 −u21 −9 = 0 (oder 10−2u1 = 0) ⇔ u1 = 5 10.3 Ein sehr einfaches Verhandlungsspiel Zwei Spieler, Spieler I und Spieler II müssen die gewaltige Summe von einem Euro untereinander aufteilen. Die Anteile, die die Spieler erhalten, sind m1 und m2, wobei gilt, dass m1 + m2 = 1. Kommt es zu keiner Einigung, erhalten beide Spieler nichts, d.h. der Konfliktpunkt liegt bei c = (0, 0). 1 1 c m1 m2 z1 z2 z (a) Auszahlungsraum c u1 u2 u1(z1) u2(z2) u(z) (b) Nutzenraum Abbildung 10.4: Einfaches Verhandlungsmodell Beide Spieler erhalten Nutzen aus ihrem Anteil der Geldsumme. Die Nutzenfunktionen sind u1(z) = z γ1 , u2(z) = z γ2 mit 0 < γi ≤ 1. Die Nutzenfunktionen sind konkav, so dass der Nutzenraum in Abb. 10.4(b) konvex ist. γ1 und γ2 bezeichnen das Ausmaß der Risikoaversion. Je kleiner γi, desto stärker risikoavers ist der entsprechende Spieler. Es soll angenommen werden, es kämen nur Pareto–effiziente Allokationen als Verhandlungslösungen in Frage. Deshalb gilt für jedes Verhandlungsergebnis z = (z1, z2) z1 + z2 = 1 . 10.3 Ein sehr einfaches Verhandlungsspiel 175 „Übersetzt“ in Nutzen bedeutet dies, dass in jedem Verhandlungsergebnis gilt, dass u1(z) = z γ1 1 , u2(z) = (1− z1)γ2 . Um das Verhandlungsergebnis zu finden, ist das Nash–Produkt zu maximieren, also max z1 NP = (x1 − c1)α(x2 − c2)β mit β = 1−α . Dabei geben x1 und x2 den jeweiligen Nutzen des Verhandlungsergebnisses an, also (x1, x2) = ( zγ11 , (1− z1)γ2 ) . Damit lässt sich das Maximierungsproblem schreiben als max z1 NP = ( zγ11 −0 )α ((1− z1)γ2 −0)β = zαγ11 z βγ2 2 . Ableiten und Nullsetzen (sowie angemessenes Umformen und Rumfrickeln, s. Anhang 10.6) ergeben als Resultate z⋆1 = αγ1 αγ1 +βγ2 und z⋆2 = βγ2 αγ1 +βγ2 . Für den symmetrischen Fall, d.h. für den Fall, dass beide Spieler die gleiche Verhandlungsmacht α = β besitzen, wird die Gesamtsumme im Verhältnis der Risikoaversionsmaße aufgeteilt: z1 z2 = γ1 γ2 für α = β . Dies bedeutet, dass immer der Spieler mehr erhält, der weniger stark risikoavers ist (dessen γ größer ist). Eine leicht mutige Interpretation könnte besagen, dass dies der Grund dafür ist, dass Menschen in Verhandlungssituationen bestrebt sind, beim Gegner den Eindruck zu erwecken, sie würden sich für das zu verhandelnde Gut (oder die zu verhandelnde Summe) so wenig interessieren, dass sie auch ohne positives Verhandlungsergebnis zufrieden wären. 176 10. Verhandlungen 10.4 Das Ultimatum–Spiel Das Ultimatum–Spiel ist ein (vermeintlich) sehr einfaches Verhandlungsspiel. Der erste Spieler, Spieler P, schlägt vor, wie eine bestimmte Geldsumme, im Beispiel 1 Euro, zwischen ihm selbst und Spieler R aufgeteilt werden soll. Spieler P macht Spieler R ein Gebot in Höhe von s. Akzeptiert R (Aktion J), erhält P eine Auszahlung von 1− s, R erhält s. Lehnt R ab (Aktion N), bekommen beide nichts. 10.4.1 Diskrete Version Angenommen, die kleinste Einheit, in die die Summe aufgeteilt werden kann, ist ein Cent, d.h. 0.01 Euro. In diesem Fall hat Spieler P die Strategien s ∈ {0, 0.01, 0.02, . . . , 0.99, 1} zur Verfügung. Da es sich um ein sequentielles Spiel handelt, ist der Strategieraum von R sehr viel größer: Bei 101 Aktionen für Spieler P und jeweils zwei möglichen Antworten von R pro Aktion von P beträgt der Umfang des Strategieraums von R = 2101, eine 31–stellige Zahl! Der Strategieraum von R lautet r ∈ (J|0 , J|0.01 , J|0.02 , . . ., J|0.99 , J|1), (J|0 , J|0.01 , J|0.02 , . . ., J|0.99 ,N|1), . . . . . . . . . . . . . . . . . (N|0, J|0.01 ,N|0.02, . . .,N|0.99, J|1), . . . . . . . . . . . . . . . . . (N|0,N|0.01,N|0.02, . . .,N|0.99, N|1) . Abbildung 10.5 zeigt eine verkürzte extensive Darstellung des Spiels. Für das Ultimatum–Spiel wird der Strategieraum oft dadurch verkürzt, dass man keine Strategien zulässt, die auf intransitiven Präferenzen beruhen, wie etwa ((J|0, J|0.01, N|0.02, N|0.03 . . .). Der Raum der verbleibenden Strategien lässt sich nun vereinfacht notieren: Jede verbleibende Strategie von R kann durch die „Schwelle“ τ gekennzeichnet werden. τ ist das kleinste Gebot, das R akzeptiert. Für ein Gebot s von P ist eine Strategie von R ist durch τ gekennzeichnet, wenn gilt, dass r = (x0|0, x0.01|0.01, x0.02|0.02, . . . , x0.99|0.99, x1|1) mit xτ für τ ∈ {0, 0.01, . . . , 1} = { J für s ≥ τ N für s < τ . Entsprechend lässt sich die Normalform in s und τ notieren, wie dies in Tab. 10.1 geschehen ist. Das Spiel lässt sich auf gewohnte Weise durch Anwendung von Zermellos Algorithmus oder durch Eliminierung dominierter Strategien analysieren. Das Ergebnis der Analyse ist auf den ersten Blick außerordentlich kontraintuitiv: Es existieren zwei teilspielperfekte Gleichgewichte. P bietet die 10.4 Das Ultimatum–Spiel 177 P R 0.01 0 1 J s J J J N N N N 0, 1 0, 0 1-s, s 0.99, 0.01 1, 0 0, 0 0, 0 0, 0 R R R R (a) Teilspielperfektes Gleichgewicht bei s = 0.01 P R 0.01 0 1 J s J J J N N N N 0, 1 0, 0 1−s, s 0.99, 0.01 1, 0 0, 0 0, 0 0, 0 R R R R (b) Teilspielperfektes Gleichgewicht bei s = 0 Abbildung 10.5: Ultimatum–Spiel mit diskreten Geboten. Extensive Form. Auszahlungen an (P,R) R: τ 0 0.01 0.02 . . . 0.99 1 0 1, 0 0, 0 0, 0 . . . 0, 0 0, 0 0.01 .99, .01 .99, .01 0, 0 . . . 0, 0 0, 0 P: s 0.02 .98, .02 .98, .02 .98, .02 . . . 0, 0 0, 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.99 .01, .99 .01, .99 .01, .99 . . . .01, .99 0, 0 1 0, 1 0, 1 0, 1 . . . 0, 1 0, 1 Tabelle 10.1: Ultimatum–Spiel mit diskreten Geboten. Normalform 178 10. Verhandlungen kleinstmögliche positive Summe s und R akzeptiert, oder P bietet nichts und R akzeptiert! Vor allem die zweite Lösung, P bietet nichts und R akzeptiert, ist nicht besonders verständlich. Die Lösung resultiert aber lediglich aus den bekannten Voraussetzungen. R ist bei einem Gebot von s = 0 indifferent zwischen Ablehnung und Annahme des Gebots. Lehnt R ab, ist das Strategieprofil (s = 0.01, τ = 0.01) das teilspielperfekte Nash–Gleichgewicht, nimmt R an, ist es (s = 0, τ = 0). Weiterhin überraschend am Resultat ist die Tatsache, dass die aufzuteilende Summe derart ungleichmäßig verteilt wird. Nähere Erkenntnisse dazu, ob die hier vorgestellten theoretischen Ergebnisse tatsächlich auch realistisch sind, liefern Laborexperimente mit dem Ultimatum–Spiel (s.u.: Abschnitt 10.4.3). 10.4.2 Kontinuierliche Version Im Ultimatum–Spiel mit kontinuierlichen Strategien ist die zu verteilende gesamte Geldsumme beliebig teilbar. Es ist also beispielsweise auch möglich, 1 13 Cent zu bieten. In diesem Fall gibt es nur noch ein einziges teilspielperfektes Gleichgewicht: P bietet Null und R akzeptiert! Dies ist auf den ersten Blick nicht deutlich, lässt sich aber leicht erklären, indem man sich den Mechanismus des Grenzübergangs vor Augen hält. Lässt sich die Gesamtsumme beispielsweise nicht in einzelne Cents, sondern in 110 Cents aufteilen, ist ein teilspielperfektes Gleichgewicht s = 1 10 , τ = 1 10 , das andere s = 0, τ = 0. Bei einer kleinsten Teilbarkeit auf 11Mio. rückt das erste Gleichgewicht mit nun s = 11Mio. , τ = 1 1Mio dichter an das zweite Gleichgewicht bei s = 0, τ = 0 heran. Für immer kleinere Teilbarkeit rücken beide Gleichgewichte immer näher, bis sie schließlich beim Übergang zur unendlichen Teilbarkeit identisch werden. Das einzige verbleibende Gleichgewicht ist nun quasi ein doppeltes Gleichgewicht, das sowohl ein Gebot von Null als auch das im Grenzübergang kleinstmögliche positive Gebot darstellt. Das Gleichgewicht bei kontinuierlichen Strategien liegt nun wieder bei einer Strategie von P, an der andere Spieler, R, indifferent zwischen seinen beiden reinen Strategien J und N ist. Diese Charakterisierung ist damit identisch zu den bereits betrachteten Gleichgewichten in gemischten Strategien (Abschnitt 6.3) und ähnlich zu Gleichgewichten in kontinuierlichen Strategien (Abschnitt 7.3). 10.5 Verhandlungen mit Gegengeboten 179 10.4.3 Experimentelle Erkenntnisse Das Ultimatum–Spiel ist eines der am häufigsten in Laborexperimenten untersuchten Spiele.1 Fehr und Schmidt (1999) haben die Ergebnisse vieler Ultimatum–Experimente zu vier „stilisierten Fakten“ zusammengefaßt: – In Experimenten werden so gut wie nie Gebote beobachtet, die höher als 50% der insgesamt zu verteilenden Summe (im Beispiel hier: 1 Euro) sind. – Die meisten Gebote liegen zwischen 40% und 50% der zu verteilenden Summe. – Es werden beinahe nie Gebote beobachtet, die weniger als 20% der zu verteilenden Summe betragen. – Die Wahrscheinlichkeit, dass der Responder ein Gebot ablehnt, ist um so höher, je niedriger das Gebot ist. Über die Motive der Spieler, die zu den genannten Ergebnissen führen, kann spekuliert werden. Die Tatsache, dass Responder insbesondere geringe Gebote ablehnen, wird oft als Versuch gedeutet, den Proposer zu „erziehen“. Allerdings werden die Ergebnisse auch dann beobachtet, wenn der Proposer anonym bleibt, und das Spiel nicht wiederholt wird. Die Tatsache, dass Proposer deutlich positive Gebote machen, also nicht teilspiel–perfekt spielen, wird oft als ein Zeichen angesehen, dass die Proposer nicht rein egoistisch handeln, sondern auch altruistische Motive haben, von einer Idee von Fairness geleitet werden oder ähnliches. 10.5 Verhandlungen mit Gegengeboten 10.5.1 Ein Zwei–Perioden–Verhandlungsspiel Es soll zunächst ein einfaches Spiel mit Gegengeboten betrachtet werden. Es spielen Spieler 1 und 2. Wieder sei ein Betrag von 1 zwischen den Spielern aufzuteilen. In Zeitperiode 0 macht Spieler 1 seinem Gegenspieler 2 ein Gebot in Höhe von x. In Periode t = 2 nimmt Spieler 2 das Gebot an oder macht ein Gegengebot y. Nimmt 2 an, erhält er eine Auszahlung von x, Spieler 1 erhält 1− x. Falls Spieler 2 ein Gegengebot gemacht hat, nimmt Spieler 1 in t = 2 das Gebot an oder lehnt es ab. Nimmt 1 an, erhält er y, Spieler 2 erhält 1− y. Lehnt Spieler 1 ab, bekommen beide nichts. Die Gebote seien unendlich teilbar, so dass das Spiel ein Spiel mit kontinuierlichen Strategien ist. Es soll angenommen werden, dass der Nutzen, den die beiden Spieler aus den Auszahlungen erhalten, nicht nur von der Höhe der Auszahlungen abhängt, sondern auch von dem Zeitpunkt, an dem die Auszahlungen anfallen. 1 Eine Zusammenfassung vieler experimenteller Ergebnisse enthält Roth (1995). 180 10. Verhandlungen Höhere Auszahlungen sind besser als niedrige, frühe Auszahlungen besser als spätere. Um den Nutzen der Spieler genauer beschreiben zu können, sollen einfache Nutzenfunktionen eingeführt werden. Der Nutzen jedes Spielers i wird beschrieben durch ui(zi, t) = zi σ ti . zi ist die Auszahlung, t die Periode der Auszahlung. σi ist ein Zeitpräferenzfaktor mit 0 < σi < 1. Abbildung 10.6 zeigt die extensive Struktur des Spiels. 1 x 0 J 0 y J N N J N J N 0, 1 1-x, x 1 1, 0 0, 0 Ultimatum-Spiel σ1 y,σ2 (1− y) 1 1 2 2 2 22 Abbildung 10.6: Verhandlungsspiel mit Gegengebot. Extensive Form. Nutzen an Spieler 1, Spieler 2 Die Analyse des Spiels vereinfacht sich, wenn man bemerkt, dass die Teilspiele nach Ablehnung des Gebots von Spieler 1 durch Spieler 2 Ultimatum–Spiele sind: Spieler 2 bietet y, Spieler 1 akzeptiert und erhält y und damit einen Nutzen von von σ1 y, oder Spieler 1 lehnt ab. Damit ist klar, wie das Ergebnis der Ultimatum–Teilspiele ausfallen wird: Es wird sich jeweils das eindeutige Teilspiel–perfekte Gleichgewicht ergeben, d.h. Spieler 2 erhält die maximale Auszahlung 1 und damit einen Nutzen von 1 ·σ2 = σ2, Spieler 1 erhält nichts. Im Zuge der Rückwärtsinduktion können in der extensiven Darstellung alle Ultimatum–Teilspiele durch dieses Nutzenpaar (0, σ2) ersetzt werden. Abbildung 10.7 zeigt die entsprechend verkürzte extensive Form. Um nun das optimale Gebot x zu ermitteln, ist es nützlich, die Reaktionkurve von Spieler 2 zu betrachten. Die Menge der jeweils besten Antworten ist R2 (x) = {N} für x < σ2 , {J, N} für x = σ2 , {J} für x > σ2 . 10.5 Verhandlungen mit Gegengeboten 181 1 x 0 J N J N J N 0, 1 1, 0 1-x, x 0, σ2 0, σ2 0, σ2 1 2 2 2 2 Abbildung 10.7: Verhandlungsspiel mit Gegengebot. Verkürzte extensive Form. Nutzen an Spieler 1, Spieler 2 Nach dem Gleichgewichtskriterium, dass der antwortende Spieler, also Spieler 2, indifferent zwischen seinen Strategien sein soll, liegt das zu erwartende Verhandlungsergebnis bei einem Gebot von x = σ2, wobei Spieler 2 akzeptiert. Dieses Ergebnis ist ein teilspielperfektes Nash–Gleichgewicht. 10.5.2 Ein Verhandlungsspiel mit unendlichem Zeithorizont Nun soll das Verhandlungsspiel aus Abschnitt 10.5.1 leicht abgewandelt werden: Anstelle von zwei Perioden dürfen die Gegner so lange verhandeln, wie sie wollen, im Extremfall also unendlich lange. Spieler 1 macht im Zeitpunkt t = 0 sein erstes Gebot. Spieler 2 kann dies annehmen oder im Zeitpunkt t = τ ein Gegengebot machen. Spieler 1 kann dieses Gegengebot annehmen oder in t = 2τ ein Gegen–Gegengebot machen u.s.w. Zunächst soll vereinfachend angenommen werden, dass die Zeitpunkte „ganze“ Kennzahlen besitzen, also dass τ = 1. Beide Spieler haben eine Nutzenfunktion, die in der Auszahlung (z) und dem Zeitpunkt der Auszahlung t definiert ist. Sie lautet ui(z, t) = vi(z)σ ti , wobei vi(z) eine konkave Funktion ist. σi ist ein Maß für die Zeitpräferenz. Zusätzlich gelte ui(0, t) = 0 und u(1, 0) = 1. Untersucht werden soll der Fall stationärer Strategien, d.h. der Fall, in dem jeder Spieler in jeder Periode (genauer natürlich: in jeder zweiten Periode) dasselbe Gebot macht. Das so definierte stationäre Gebot von Spieler 1 sei m, das von Spieler 2 n. Nun kann für den Spezialfall ein Resultat ermittelt werden, dass (zufällig) Spieler 1 ein Gebot von n oder höher akzeptieren würde, jedes schlechtere aber ablehnt. Entsprechendes soll auch für Spieler 182 10. Verhandlungen 2 gelten: Er plant, alle Gebote in Höhe von m oder besser zu akzeptieren, jedoch kein schlechteres Gebot. Betrachtet werden sollen nun die Punkte (oder Vektoren) a = u(m, 0) und b = u(n, 0). a = (a1, a2) gibt also an, welchen Nutzen die beiden Spieler aus einem akzeptierten Gebot in Höhe von m im Zeitpunkt t = 0 ziehen würden, also der Nutzen, der entstünde, wenn Spieler 1 zu Beginn des Spiels m bieten und Spieler 2 dies akzeptieren würde: a1(m, 0) ist der Nutzen aus m in t für Spieler 1, a2(m, 0) der entsprechende Nutzen für Spieler 2. Analog ist b = (b1, b2) der Nutzen, der den Spielern entstünde, wenn Spieler 2 das erste Vorschlagsrecht hätte, sofort n böte, und Spieler 1 dies akzeptierte. Abb. 10.8 zeigt m und n im Auszahlungsraum und die entsprechenden Punkte a und b im Nutzenraum. 1 1 c n m x1 x2 (a) Auszahlungsraum c a b 1 1 u1 u2 σ1 σ2 xα1 x β 2 = d (b) Nutzenraum Abbildung 10.8: Verhandlungsmodell mit alternierenden Geboten Im Gleichgewicht eines Verhandlungsspiels muss der antwortende Spieler indifferent zwischen Annahme und Ablehnung des Gebots sein. Diese Regel kann man sich nun zu Nutze machen, um die optimale Höhe des Gebots m und entsprechend auch von n zu bestimmen. Bietet Spieler 1 in t = 0 die Summe m, so kann Spieler 2 ablehnen oder annehmen. Nimmt Spieler 2 an, entsteht ihm ein Nutzen von a2. Dies ist die Definition des Punktes a. Lehnt Spieler 2 ab, so bietet er in t = 1 sein stationäres Gebot n. Die Strategie von Spieler 1 ist so definiert, dass er Gebote von mindestens n annimmt, also akzeptiert Spieler 1. Hieraus entsteht Spieler 2 ein Nutzen von b2 ·σ2, denn die Auszahlung b2 entsteht erst in Periode 1, muss also einmal mit der Zeitpräferenz „diskontiert“ werden. Das optimale Gebot von Spieler 1 liegt also dort, wo gilt, dass 10.5 Verhandlungen mit Gegengeboten 183 a2 = σ2 b2 . (10.1) Entsprechend lässt sich argumentieren, um die optimale Höhe von n zu finden. Angenommen, Spieler 2 habe das Erstgebotsrecht.2 Sein optimales Gebot liegt dort, wo Spieler 1 indifferent zwischen Annahme und Ablehnung des Gebots ist. Bei Annahme erhält Spieler 1 den Betrag b1. Bei Ablehnung bietet Spieler 1 den Betrag m, Spieler 2 nimmt definitionsgemäß an, so dass Spieler 1 als Auszahlung σ1 a1 erhält. Das optimale Gebot n liegt also dort, wo b1 = σ1 a1 . (10.2) (10.1) und (10.2) kennzeichnen ein Gleichgewicht für einen Abstand der Zeitpunkte, zu denen Gebote gemacht werden, von τ = 1. Für einen beliebigen Zeitabstand τ werden die Bedingungen zu a2 = σ τ2 b2 , (10.3) b1 = σ τ1 a1 . (10.4) Für den nächsten Schritt der Analyse soll zunächst eine leicht veränderte Schreibweise eingeführt werden. Es gelte nun σ1 =: e−ρ1 σ2 =: e−ρ2 . ρ1 und ρ2 sind Zeitpräferenzraten. Damit lässt sich zeigen, dass für den Fall, dass der zeitliche Abstand zwischen den Geboten τ gegen Null geht, die Verhandlungslösung aus (10.3) und (10.4) gegen die verallgemeinerte Nash–Verhandlungslösung mit Verhandlungsmacht der Spieler von α = 1ρ1 für Spieler 1 und β = 1 ρ2 für Spieler 2 konvergiert. Durch diese Ersetzungen in der Schreibweise werden (10.3) und (10.4) zu a2 = e −ρ1 τ b2 , (10.5) b1 = e −ρ2 τ a1 . (10.6) Es sei α = 1ρ1 und β = 1 ρ2 . Dann folgt aus (10.5) und (10.6), dass ( a2 b2 )β = ( b1 a1 )α = e−τ . (10.7) Hieraus folgt, dass 2 Bekannter Kalauer: Nach einer alten literarischen Quelle lässt sich das Erstgebotsrecht gegen ein Linsengericht verkaufen. 184 10. Verhandlungen aα1 a β 2 = b α 1 b β 2 . (10.8) (10.8) besagt, dass beide Punkte, a und b, auf derselben Hyperbel xα1 x β 2 = d liegen. (Diese Beziehung ist für τ = 1 in Abb. 10.8(b) eingezeichnet.) Um nun zu zeigen, dass das Verhandlungsergebnis eine Nash–Lösung ist, muss nur noch nachgewiesen werden, dass für τ → 0 die beiden Punkte a und b so eng aneinander rücken, dass sie einen gemeinsamen Punkte auf der Nutzengrenze repräsentieren, durch den dann die höchstwertige erreichbare Hyperbel xα1 x β 2 = d verläuft. Für τ → 0 ergibt sich aus (10.7), dass lim τ→0 e−τ = 1 . (10.9) Damit ergibt sich, dass lim τ→0 ( a2 b2 )β = lim τ→0 ( b1 a1 )α = 1 (10.10) und deshalb a2 = b2 und a1 = b1 . (10.11) (10.11) besagt also, dass die Punkte a und b identisch werden und damit die einzige Verhandlungslösung sind. Dies genau sollte gezeigt werden. 10.6 Anhang: Herleitung der Resultate für das einfache Verhandlungsspiel aus 10.3 Das Maximierungproblem lautet max z1 NP = zαγ11 z βγ2 2 . Erste Ableitung: d NP d z1 = αγ1zαγ1−11 (1− z1)βγ2 − z αγ1 1 γ2β (1− z1)βγ2−1 ! = 0 Umformen und Frickeln: αγ1zαγ1−11 (1− z1)βγ2 = z αγ1 1 γ2β (1− z1)βγ2−1 | · z −αγ1 1 ⇔ αγ1z−11 (1− z1)β γ2 = βγ2(1− z1)βγ2−1 | · (1− z1)−βγ2 ⇔ αγ1z−11 = βγ2(1− z1)−1 | · z1(1− z1) ⇔ αγ1(1− z1) = βγ2z1 ⇔ (1− z1) = βγ2 αγ1 z1 ⇔ 1 = ( 1+ βγ2 αγ1 ) z1 ⇔ z1 = αγ1 αγ1 +βγ2 . 10.6 Anhang: Herleitung der Resultate für das einfache Verhandlungsspiel aus 10.3 185 Einsetzen für z2: z2 = 1− z1 = 1− αγ1 αγ1 +βγ2 = βγ2 αγ1 +βγ2 .

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Zusammenfassung

Vorteile

- Alle wichtigen Konzepte der modernen Spieltheorie

- Ein Klassiker in Neuauflage

Stimmen zum Werk

"(…) Wer eine kompakte und verständliche Einführung in die moderne Spieltheorie sucht, ist mit dem "Riechmann" hervorragend bedient. Das Buch enthält nicht nur alles Wissenswerte zu diesem Thema, es überzeugt auch durch eine sehr eingängige Stoffvermittlung, durch die selbst komplizierte Zusammenhänge verständlich werden. (…)"

in: Studium, 20.04.2008, 2. Auflage 2008

Zum Werk

Spieltheorie intuitiv - das muss nicht bedeuten: Spieltheorie ohne Mathematik. Dieses Lehrbuch gibt eine Einführung in alle wichtigen Konzepte der modernen Spieltheorie, indem es die "Idee" in den Mittelpunkt stellt, ohne dabei die notwendigen Formalia zu vernachlässigen.

Der Inhalt des Buches erstreckt sich von den Grundlagen der Spieltheorie über fortgeschrittene Themen wie Lernen in Spielen oder dynamische Gleichgewichtskonzepte in der evolutionären Spieltheorie.

Die Einbeziehung von Resultaten ökonomischer Laborexperimente erweitert die Perspektive des Buches über den Horizont herkömmlicher Werke zur Spieltheorie hinaus.

Insofern ist das Buch sowohl für Anfänger als auch für fortgeschrittene Spieltheoretiker gleichermaßen geeignet und nützlich.

Autor

Prof. Dr. Thomas Riechmann, Kaiserslautern.

Zielgruppe

Studierende der Wirtschaftswissenschaften.