VII. Wann und wie man auf der Grundlage, nach der viele Investoren beraten werden, tatsächlich vorgehen kann: Beurteilung riskanter Investitionsprojekte mit dem Capital Asset Pricing Model in:

Ernst Troßmann

Investition als Führungsentscheidung, page 301 - 384

Projektrechnungen für Controller

2. Edition 2013, ISBN print: 978-3-8006-4711-8, ISBN online: 978-3-8006-4712-5, https://doi.org/10.15358/9783800647125_301

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Wann und wie man auf der Grundlage, nach der viele Investoren beraten werden, tatsächlich vorgehen kann: Kapitel VII:Beurteilung riskanter Investitionsprojekte mit dem Capital Asset Pricing Model 1. Grundlagen des Capital Asset Pricing Model a) Idee des Capital Asset Pricing Model Die Beurteilung von Realinvestitionen ist vielfach komplizierter als die von Finanzinvestitionen. Bei ihnen sind nicht nur verschiedene reale Eigenschaften für den Entscheidungsträger relevant, sie werfen auch schon, wie die bisherigen Überlegungen in diesem Buch zeigen, nanzielle Bewertungsprobleme auf. Erst recht gilt dies für die Berücksichtigung des Risikos. Zwar kann nicht generell gesagt werden, dass Finanzinvestitionen leichter zu beurteilen wären immerhin aber erlauben sie bisweilen eher, einheitliche Meßgrößen anzuwenden. Dadurch wird es möglich, für einzelne Klassen von Finanzinvestitionen spezielle Bewertungsmodelle zu entwickeln,diein verschiedener Hinsicht höheren Anforderungen genügen. Insbesondere gilt dies für Wertpapier-Investitionen. Für sie ist in den 1960er Jahren ein grundlegendes Kapitalmarktmodell, das Capital Asset Pricing Model (CAPM), entwickelt worden, auf dem wichtige Bewertungskonzepte von Wertpapieren aufbauen. Es basiert auf der Theorie der optimalen Zusammenstellung eines Wertpapier-Portfolios, die auf Markowitz zurückgeht (vgl. das Originalwerk: Markowitz [Portfolio Selection] sowie [Portfolio]). Ursprünglich in den Arbeiten von Sharpe ([Prices]), Lintner ([Valuation]) und Mossin ([Equilibrium]) verö entlicht, bildet das Capital Asset Pricing Model unterdessen einen zentralen Baustein der Wertpapier-Bewertung. Da das Capital Asset Pricing Model im Ergebnis eine einfache Erfassung des Anlagerisikos und damit seine Berücksichtigung in Portfolio-Entscheidungen erlaubt, liegt der Gedanke nahe, sein Prinzip auf die Risikobeurteilung auch anderer, allgemeiner Investitionstypen, insbesondere Realinvestitionen zu übertragen. Diese Möglichkeit wollen wir nachfolgend untersuchen. Dazu lernen wir zunächst die wichtigsten Elemente des CAPM kennen und vollziehen die Herleitung seiner zentralen Resultate nach. Ausführlichere Darstellungen des CAPM enthalten viele Lehrbücher zur Finanzierung (vgl. z. B. Copeland/Weston/Shastri [Theory] 147 ff.; gute deutschsprachige Einführungen ndet man z. B. bei Drukarczyk [Theorie] 225 ., Franke/Hax [Finanzwirtschaft] 354 . sowie ausführlich insbesondere bei Kruschwitz/Husmann [Finanzierung] 187 ff.). Ausgangspunkt sind folgende Modellannahmen: 294 VII. Beurteilung riskanter Investitionsprojekte mit dem Capital Asset Pricing Model Wir betrachten die Situation eines Investors, der sein Kapital für genau ein Jahr anlegen möchte. Er strebt einen hohen nanziellen Überschuss an, will jedoch das dabei einzugehende Risiko berücksichtigen. Details zum Verhältnis dieser beiden Zielkomponenten kann er erforderlichenfalls noch festlegen. Auf dem Markt werden n Wertpapiere angeboten, beispielsweise Aktien. Für jedes Wertpapier i ist der in einem Jahr erzielbare Überschuss in seiner Rendite ri erfasst. Die Rendite ist aber risikobehaftet; im Modell wird sie daher als Zufallsvariable ∼ri vorgesehen. Für den Investor ist die erwartete Rendite μi = E(∼ri) eine wichtige Entscheidungsgrundlage. Das Risiko einer Anlage im Wertpapier i wird über die Varianz der möglichen Renditen um ihren Erwartungswert gemessen: )]r~([E 2ii 2 i µ−=σ . (7.1) Der Investor ist risikoavers. Zudem beurteilt er bei der Wahl seiner Portfolios die Investitionsmöglichkeiten nur nach ihrer erwarteten Rendite μ und ihrer Varianz σ2 (bzw. der Standardabweichung σ). Weitere Merkmale der Wertpapiere, z. B. der Ruf des Emi enten, werden allenfalls indirekt, nämlich über ihre Auswirkungen auf diese beiden Parameter µ und σ, berücksichtigt. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung bleibt in ihren sonstigen Charakteristika unbeachtet. Nach den Überlegungen von Kapitel VI (siehe S. 265 f.) kann der Investor unter diesen Voraussetzungen dann rational entscheiden, wenn entweder seine Zielsetzung oder die Wahrscheinlichkeitsverteilungen eine ganz besondere Struktur haben. Genauer ist festzustellen, dass dies nur bei folgenden Situationen zutri t: - Der Investor hat eine quadratische Bernoulli-Risikonutzenfunktion, nach der er seine Alternativen bewertet. - Die Renditen aller Wertpapiere sind normalverteilt. Im ersten Fall gehen zur Berechnung des Risikonutzens die Ausprägungen der Rendite zunächst in die quadratische Funktion ein. Erst darauf wird die Erwartungswertbildung angewendet (siehe Abb. VI-20, S. 265). Deshalb kann letztlich der Risikonutzen lediglich mit Hilfe von Erwartungswert und Varianz ausgedrückt werden und zwar unabhängig vom Verteilungstyp. Wegen der vorausgesetzten Risikoaversion hat dabei die Varianz insgesamt einen negativen Zielfunktionskoe zienten. Freilich dürfte die Voraussetzung einer quadratischen Risikonutzenfunktion für die wenigsten Entscheidungsträger als Modellierung ihrer Rendite/Risiko-Zielsetzung akzeptierbar sein. Mit der Voraussetzung von Normalverteilungen im Fall 2 kann bei beliebiger Risikonutzenfunktion die Analyse auf Mi elwert (= Erwartungswert) und Varianz der Renditeverteilungen reduziert werden. Normalverteilungen sind mit diesen beiden Größen vollständig beschrieben. Wegen der angenommenen Risikoaversion muss die Varianz letztlich mit einem negativen Koe zienten in den Zielwert eingehen. Diese zweite Möglichkeit, die Beschränkung einer Risikozielsetzung generell auf die beiden Parameter µ und σ der jeweiligen Wahr- 2951. Grundlagen des Capital Asset Pricing Model scheinlichkeitsfunktionen zu begründen, erscheint realitätsnäher. Allerdings kann auch sie nicht durch empirische Beobachtung als breiter akzeptiert gelten. Ehe wir über die Lösung des aufgeworfenen Investitionsproblems nachdenken, wollen wir einen Blick auf die Rendite als Zielgröße im Capital Asset Pricing Model werfen. Die Bezeichnung Rendite und Rentabilität verwenden wir in diesem Buch synonym, bevorzugen aber den Ausdruck Rendite, wenn es sich wie hier um einperiodige Finanzanlagen, insbesondere Wertpapiere handelt. Nun haben wir, vor allem in Kapitel III, Rentabilitäten für Entscheidungszwecke durchaus als problematisch kennengelernt (siehe S. 74 .). Der Leser mag sich daher wundern, weshalb sich unser Investor an den Wertpapierrenditen orientiert und nicht etwa am Kapitalwert seiner potentiellen Investitionen. Dazu ist zunächst festzustellen, dass natürlich auch im hier betrachteten Spezialfall das Kapitalwertkriterium eine nanziell beste Investitionsalternative herauszu nden gesta et. Allerdings kann es methodische Vorteile mit sich bringen, sta dessen mit Renditen zu arbeiten. Im Allgemeinen geht dies nicht, da Rentabilitäten zu fehlerhaften Alternativenbewertungen führen können. Der in diesem Kapitel untersuchte Spezialfall bildet eine Ausnahme, und zwar aus zwei Gründen: Erstens geht es um Finanzinvestitionen, die in (nahezu) beliebigem Ausmaß realisiert werden können. Der in ein solches Finanzprojekt zu investierende Betrag kann also (innerhalb gewisser Grenzen) frei gewählt werden. Dies entschärft eines der größten Probleme der Rentabilität. Zweitens entsteht bei den vorliegenden Vorausse ungen die ansonsten mögliche Problematik von Wiederanlagen nicht, da alle Anlagen nur für ein Jahr diskutiert werden. Bei diesen beiden Vorausse ungen besteht letztlich zwischen Kapitalwert- und Rentabilitätskriterium kein Unterschied. Die Beschränkung auf Renditen kann allerdings dann wieder problematisch werden, wenn man das Capital Asset Pricing Model auf Realinvestitionen oder auf Projekte mit mehrjähriger Dauer übertragen will. Dann sind die Anwendungsvorausse ungen des Renditekriteriums erneut zu prüfen. Alle Herleitungen und Schlussfolgerungen im Capital Asset Pricing Model gelten unmi elbar nur für Projekte, die in beliebiger Höhe realisiert werden können, lediglich eine einzige Periode (ein einziges Jahr) dauern. Soweit nichts anderes explizit gesagt wird, betrachten wir im gesamten Kapitel VII ausschließlich solche Projekte. Hauptvertreter sind Wertpapierinvestitionen, von ihnen ist daher nachfolgend die Rede. Das Capital Asset Pricing Model zeigt, welcher Zusammenhang zwischen erwarteter Rendite und Risiko von Wertpapieren auf einem in Angebot und Nachfrage ausgeglichenem Markt besteht. Das Risiko wird dabei über die Standardabweichung der normalverteilten Rendite gemessen. Da die Wertpapiere nur ein Jahr laufen, kann aus einer Rendite zum Jahresende direkt auf den zugehörigen angemessenen Preis zum Jahresanfang geschlossen werden. Der Rendite-Risiko-Zusammenhang ergibt sich im Capital Asset Pricing Model dadurch, dass alle am Markt teilnehmenden Investoren unter gleichem Infor- 296 VII. Beurteilung riskanter Investitionsprojekte mit dem Capital Asset Pricing Model mationsstand ihr jeweils individuelles Portfolio optimieren. Damit drückt die resultierende Marktbewertung auch aus, bei welchem Preis der typische Investor ein Wertpapier in sein Portfolio aufnimmt. Das ist der Ansa punkt für die erho te Übertragung der Vorgehensweise im Capital Asset Pricing Model auf die einzelbetriebliche Investitionsentscheidung: Eine diesem Vorbild folgende Bewertung eines Projekts soll erlauben, über dessen Aufnahme in das betriebliche Investitionsprogramm zu entscheiden. In diesem Kapitel werden zunächst die Ergebnisse des Capital Asset Pricing Model vorgestellt. Wir betrachten im folgenden Abschni b die Bildung von Portfolios aus zwei risikobehafteten Wertpapieren, verallgemeinern dann im Abschni c auf eine beliebige Anzahl davon und können schließlich im Abschni d die Ergebnisse des Capital Asset Pricing Model als Konsequenzen eines gleichzeitig portfolio-optimierenden Verhaltens aller Marktteilnehmer ableiten. In den weiteren Teilen des Kapitels VII beschäftigen wir uns mit der Übertragbarkeit der erhaltenen Ergebnisse auf die Entscheidungssituation eines einzelnen Investors. b) Prinzip der Portfoliobildung bei zwei Wertpapieren Um das Problem unseres Investors anzugehen, wollen wir zunächst feststellen, wie sich die beiden Zielgrößen Rendite und Standardabweichung für ein Portfolio P berechnen, das lediglich aus zwei Wertpapieren besteht. Sie seien mit den Anteilen w1 und w2 im Portfolio enthalten, wobei sich w1 und w2 zu eins summieren. Der Erwartungswert der Portfolio-Rendite μP berechnet sich zu: μP = E (w1· ∼r1 + w2· ∼r2) = w1·E(∼r1) + w2·E(∼r2) = w1·μ1 + w2·μ2, (7.2) er se t sich also linear aus den Mi elwerten seiner Komponenten zusammen. Für die Varianz σ2P des Portfolios gilt: σ2P = E ({w1 ∼r1 + w2 ∼r2 [w1 µ1 + w2 µ2]} 2) = = w1 2 E ([∼r1 µ1] 2) + 2 w1 w2 E ([ ∼r1 µ1]⋅[ ∼r2 µ2]) + w2 2 ⋅ E ([∼r2 µ2] 2) = = w1 2 ⋅σ21 + 2 w1 w2 ⋅ σ12 + w2 2 ⋅σ2 2. (7.3) Dabei bezeichnet σ12 := cov( ∼r1, ∼r2) = E ([ ∼r1 µ1]⋅[ ∼r2 µ2]) (7.4) die Kovarianz zwischen den Zufallsvariablen ∼r1 und ∼r2. Verwendet man den Korrelationskoe zienten 21 12 12 : σ⋅σ σ=ρ , (7.5) dann schreibt sich die Varianz des Portfolios als: σ2P = w1 2 σ21 + 2 w1 w2 ⋅ ρ12 ⋅ σ1 σ2 + w2 2 σ2 2. (7.6) Aus den De nitionen der Kovarianz und des Korrelationskoe zienten geht hervor, dass beide Parameter symmetrisch sind, d. h., es gilt: σ12 = σ21 sowie ρ12 = ρ21. 2971. Grundlagen des Capital Asset Pricing Model Betrachten wir als Beispiel ein Portfolio aus zwei Wertpapieren 1 und 2. Wertpapier 1 hat einen Rendite-Erwartungswert von µ1 = 4 % bei einer Standardabweichung von σ1 = 2,5 %; für Wertpapier 2 gelten die Parameter µ2 = 9 % und σ2 = 4,0 %. Der Korrelationskoe zient ρ12 liegt bei 0,6. Bildet man aus diesen beiden Wertpapieren ein Portfolio, dann bestimmen sich die Portfolio- Rendite und die Standardabweichung nach 7.2 bzw. 7.6. Beispielsweise hat ein zu 30 % aus Wertpapier 1 und 70 % aus Wertpapier 2 zusammengesetztes Portfolio eine erwartete Rendite von µP = 7,5 % bei einer Standardabweichung von ( ) ( ) .%305,3%22P 0,47,00,45,26,07,03,025,23,0 ==σ ⋅+⋅⋅⋅⋅⋅+⋅ (7.7) Die Parameter eines Portfolios ändern sich mit seiner Zusammensetzung. Mit wachsendem Anteil des Wertpapiers 2 steigt dabei die Rendite gleichmäßig linear von µ1 = 4 % auf µ2 = 9 %. Die Standardabweichung folgt dabei einem nichtlinearen Verlauf. Dies ist in Abb. VII-1 graphisch dargestellt. Das zusammengehörende Paar (µ, σ) von Rendite-Erwartung und Standardabweichung eines Wertpapiers oder Portfolios bezeichnen wir auch als dessen Rendite- Risiko-Position. In der graphischen Darstellung wird der Erwartungswert µ als das Maß für die Rendite und die Standardabweichung σ als das Maß für das Risiko gewählt. Abb. VII-1: Verhältnis von Rendite und Risiko für Portfolios aus den Wertpapieren 1 und 2 bei einem Korrelationskoeffizienten von ρ12 = 0,6 Die Standardabweichung von Portfolios aus den beiden Wertpapieren bewegt sich im vorliegenden Fall zwischen den Einzelwerten der Portfolio-Komponenten. Obwohl die Zielfunktion bisher nicht im Detail präzisiert worden ist, kann wegen der vorausgesetzten Risikoaversion schon vorab beurteilt werden, ob bestimmte µ-σ-Positionen überhaupt in Frage kommen. Würde beispielsweise ein Portfolio aus den beiden Wertpapieren eine Rendite-Risiko-Position erbringen, die in beiden Parametern µ und σ nicht besser ist als eines der beiden Einzelpapiere, so wäre es für die weitere Optimierung uninteressant. In unserem Beispiel aber erhält man ein Portfolio, dessen Rendite-Risiko-Position 298 VII. Beurteilung riskanter Investitionsprojekte mit dem Capital Asset Pricing Model sowohl gegenüber Wertpapier 1 als auch gegenüber Wertpapier 2 zumindest in einer Komponente besser ist. Der Verlauf der Rendite-Risiko-Position von Portfolios bei wechselnden Anteilsätzen zeigt, dass in unserem Fall das Ergebnis stets besser ist, als es mit einer linearen Mischung der Rendite-Risiko- Positionen beider Wertpapiere erreicht werden könnte. Die beiden Wertpapiere unseres Beispiels zeigen ein typisches Verhältnis von Rendite und Risiko: Bei Wertpapier 1 ist mit σ1 = 2,5 % das Risiko eher klein; dafür kann man aber auch keine große Rendite erwarten. Wertpapier 2 dagegen verspricht eine Rendite von 9 %, wofür aber mit σ2 = 4,0 % ein größeres Risiko in Kauf zu nehmen ist. Würden sich sowohl Rendite als auch Standardabweichung von Portfolios gleichmäßig auf das durch die beiden Wertpapiere abgesteckte Intervall verteilen, dann müsste das Beispiel-Portfolio von oben zur Rendite von 7,5 % eine Standardabweichung von σP = 0,3 · 2,5 % + 0,7 · 4,0 % = 3,55 % (7.8) aufweisen. Tatsächlich hat es aber, wie in 7.7 errechnet, nur 3,305 %. Das zeigt den Vorteil einer Risikomischung für dieses Beispiel. Er schlägt sich im gebogenen Verlauf der Rendite-Risiko-Kurve für die möglichen Portfolios aus den Wertpapieren 1 und 2 nieder. Nun hängt der Ein uss der Einzelrisiken der Wertpapiere auf das Gesamtrisiko des Portfolios davon ab, in welchem Ausmaß sich die Wertpapiere in ihrer Risikoausprägung gleich verhalten. Ein Maß dafür ist der Korrelationskoe zient. Der Korrelationskoe zient misst, wie stark die Renditen der beiden beteiligten Wertpapiere in einem linearen Zusammenhang stehen. Der Korrelationskoe zient ρ12 kann, wie sich aus seiner De nition in 7.5 ergibt, nur Werte zwischen 1 und +1 annehmen. Liegt er bei ρ12 = +1, dann sind die beiden Zufallsvariablen ∼r1 und ∼r2 vollständig korreliert, d. h., sie verhalten sich parallel. In diesem Fall kann man die Portfolio-Varianz 7.6 auch zum Ausdruck σ2P = (w1 σ1 + w2 σ2) 2 (7.9) zusammenfassen. Die zugehörige Standardabweichung σP = w1 σ1 + w2 σ2 (mit w1 + w2 = 1) (7.10) ist also eine lineare Mischung der beiden Einzel-Standardabweichungen. Dann hat eine Mischung der beiden Wertpapiere keinen risikomindernden E ekt. Je schwächer aber die beiden Zufallsvariablen korreliert sind, desto eher kann durch eine Wertpapiermischung eine vorteilhaftere Rendite-Risiko-Position erreicht werden. Ist der Korrelationskoe zient negativ, neutralisieren sich die Risikowirkungen der beiden Zufallsvariablen sogar teilweise. Dann ermöglicht eine geeignete Wertpapiermischung auch eine absolute Reduzierung der Standardabweichung. Dies zeigt Abb. VII-2. Hier ist gegenüber dem bisherigen Beispiel angenommen, dass der Korrelationskoe zient ρ12 = 0,75 beträgt. Alle Rendite-Risiko-Positionen P mit einer 2991. Grundlagen des Capital Asset Pricing Model Abb. VII-2: Realisierbare Rendite-Risiko-Positionen für Portfolios aus den Wertpapieren 1 und 2 bei einem Korrelationskoeffizienten von ρ12 = - 0,75 Standardabweichung σP kleiner als σ1 sie sind in Abb. VII-2 durch den Abschnitt zwischen W1 und P2 gekennzeichnet sind zielgünstiger als die Position W1, die zu Wertpapier 1 gehört. Dies gilt bereits aufgrund der vorausgesetzten grundsätzlichen Risikoaversion, ohne dass der Entscheidungsträger die Präferenzaussage über Renditenhöhe und Risikoausmaß weiter präzisiert hat. Denn alle Positionen zwischen W1 und P2 haben geringeres Risiko als Wertpapier 1 alleine, jedoch eine höhere Rendite-Erwartung. Innerhalb dieser Rendite-Risiko-Positionen können weiterhin die auf dem Bogen zwischen P1 und P2 eingetragenen Portfolios als dominant erkannt werden: Zu jeder Position auf dem unteren Ast zwischen P1 und W1 gibt es nämlich mindestens eine auf dem oberen Teil zwischen P1 und P2, die bei gleichem Risiko σ eine höhere Rendite µ aufweist. Insgesamt wird ein rational handelnder Entscheidungsträger mit den anfangs eingeführten Rendite- und Risikozielen seine Portfoliowahl auf Positionen im Bereich zwischen P1 und W2 beschränken. Er erfasst die e zienten Portfolios. Ein Portfolio aus mehreren Wertpapieren ist dann effizient, wenn es keine andere zulässige Mischung dieser Wertpapiere gibt, die entweder eine höhere Rendite-Erwartung bei höchstens gleicher Standardabweichung oder eine mindestens ebenso hohe Rendite-Erwartung bei kleinerer Standardabweichung hat. Die in Abb. VII-2 dargestellte Risikominderung im Portfolio, die bei einem negativen Korrelationskoe zienten möglich wird, erreicht ihre extreme Ausprägung, wenn der Korrelationskoe zient ρ12 den Wert -1 hat. Dann verhal- 300 VII. Beurteilung riskanter Investitionsprojekte mit dem Capital Asset Pricing Model ten sich die beiden Zufallsvariablen genau entgegengesetzt. Die Varianz 7.6 lässt sich analog zu 7.9 umschreiben. Man erhält nun folgende Standardabweichung: σP = w1 σ1 w2 σ2 (mit w1 + w2 = 1). (7.11) Jetzt kann man bei geschickter Wahl der Mischungsparameter, nämlich 21 1 2 21 2 1 w;w σσ σ= σσ σ= ++ (damit: w1 + w2 = 1), (7.12) sogar erreichen, dass die Standardabweichung des Portfolios völlig verschwindet (siehe 7.11; diese Lösung gilt für den Fall, dass die beiden Standardabweichungen nicht ohnehin null sind: σ1 + σ2 ≠ 0; sonst wäre die Überlegung ja von vornherein uninteressant). In Abb. VII-3 sind Rendite-Risiko-Positionen für Portfolios aus den Wertpapieren 1 und 2 eingetragen, die sich für alternativ denkbare Werte des Korrelationskoe zienten ergeben. Punkt P^ zeigt das Ergebnis für das soeben allgemein besprochene Portfolio mit verschwindender Standardabweichung. Hier werden die Wertpapiere wie in 7.12 mit den Anteilen 615,0 0,45,2 0,4w1 =+ = für Wertpapier 1 und 385,0 0,45,2 5,2w2 =+ = für Wertpapier 2 gemischt. Wegen der sich neutralisierenden Risiken resultiert daraus eine völlig risikolose Anlage mit einer Rendite-Erwartung von 5,925 %. Das andere Extrem liegt bei einem Korrelationskoef zienten von ρ12 = +1. In diesem ungünstigsten Fall addiert sich die Standardabweichung nach 7.10. In Abb. VII-3 zeigt dies die lineare Verbindung zwischen W1 und W2. In allen anderen Fällen ( 1 < ρ12 < +1) nimmt die Standardabweichung σP Werte zwi- Abb. VII-3: Mögliche Verläufe der Rendite-Risiko-Positionen für Portfolios aus den Wertpapieren 1 und 2 bei verschiedenen Korrelationskoeffizienten 3011. Grundlagen des Capital Asset Pricing Model schen den beiden Extremen 7.10 und 7.11 an. Abb. VII-3 zeigt, dass sich im Beispielfall die durch Mischung realisierbaren Rendite-Risiko-Positionen auf Kurven bewegen, die je nach Korrelationskoeffizient innerhalb des Dreiecks W1 P ^ W2 liegen und sich für große Werte des Korrelationskoe zienten mehr an die Gerade W1 W2, für kleine, insbesondere negative, mehr an die Dreieck-Verbindung W1 P ^ W2 anschmiegen. Im konkreten Fall steht der Wert des Korrelationskoe zienten fest, und es gilt nur eine der Kurven aus Abb. VII-3. Insgesamt besteht, wie diese Ergebnisse bestätigen, folgender allgemeiner Zusammenhang: Die Rendite eines Portfolios mischt sich aus jedem der Einzelpapiere als linear gewichteter Durchschni , während dies für die Standardabweichung nur im Extremfall der vollständigen (positiven) Korrelation gilt. Sind also die angebotenen Wertpapiere nicht vollständig positiv korreliert, kann man durch ein gemischtes Portfolio die durchschni liche Standardabweichung senken. Dabei können sich durchaus auch zunächst unerwartete E ekte ergeben, die aber bei genauer Besicht mit den bisherigen Erkenntnissen übereinstimmen. Betrachten wir dazu die Rendite-Risiko-Positionen W3 und W4 in Abb. VII-4. Im Gegensatz zu den eher typischen Verhältnissen bei den bisher betrachteten Papieren kann man hier im direkten Vergleich unmi elbar eine eindeutige Vorteilhaftigkeitsrangfolge für eine Auswahlentscheidung angeben: Wertpapier 3 hat sowohl bei der Rendite als auch im Risiko die besseren Zielwerte als Wertpapier 4. Dieses Ergebnis gilt freilich nur für den Fall, dass entweder in Wertpapier 3 oder in Wertpapier 4 investiert werden kann. Abb. VII-4 zeigt, dass trotz eindeutiger Dominanz von W3 gegenüber W4 durch ein Portfolio, das auch Anteile an W4 enthält, die Zielerreichung noch verbessert werden kann. Voraussetzung ist freilich ein Korrelationskoe zient ρ34, der eine absolute Risikoreduzierung möglich macht (hier also ein negativer Korrelationskoe zient). Abb. VII-4: Risiko-Vorteil eines Portfolios trotz Dominanz eines der beteiligten Wertpapiere 302 VII. Beurteilung riskanter Investitionsprojekte mit dem Capital Asset Pricing Model Eine analoge, ebenfalls etwas ungewöhnlich scheinende Situation zeigt Abb. VII-5. Hier handelt es sich um zwei Wertpapiere 5 und 6 mit gleicher Rendite- Erwartung, aber unterschiedlicher Risikolage. Papier 5 dominiert eindeutig Papier 6. Sofern der Korrelationskoeffizient negativ ist, kann auch hier durch ein Portfolio die Zielerreichung weiter verbessert werden. Dies zeigt beispielsweise die durch ein gemischtes Portfolio erreichbare Position P^ in Abb. VII-5. Abb. VII-5: Risikoreduzierung durch Portfoliobildung aus zwei Wertpapieren gleicher Rendite- Erwartung c) Merkmale optimaler Portfolios im allgemeinen Fall Die Ergebnisse für Portfolios aus zwei Wertpapieren können im Wesentlichen auf den Fall umfangreicherer Portfolios übertragen werden. Bei einem Portfolio aus n Anlagemöglichkeiten errechnet man analog zu 7.2 und 7.3 für den Erwartungswert der Rendite: = µ=µ n 1i iiP w mit = = n 1i i 1w . (7.13) für die Varianz der erwarteten Rendite: = = ≠ = σ+σ=σ n 1i n 1i n ij 1j ijji 2 i 2 i 2 P www oder, vereinfacht geschrieben: = = σ=σ n 1i n 1j ijji 2 P ,ww wobei 2 iii σ=σ für i = 1, 2,..., n. (7.14) Mit dem Korrelationskoe zienten ρij für die Renditen der Wertpapiere i und j lautet die Formel für die Varianz des Portfolios: 3031. Grundlagen des Capital Asset Pricing Model ,ww n 1i n 1j jiijji 2 P = = σ⋅σ⋅ρ=σ wobei ρii = 1 für i = 1, 2, ..., n (7.15) Die Rendite-Erwartung des Portfolios entsteht nach 7.13 wieder als gewichteter Durchschni der Einzelrenditen und liegt deshalb im Intervall der niedrigsten und der höchsten Einzelrendite. Für die Varianz gilt ein zumindest der Summandenzahl nach verstärkter Ein uss der Kovarianzen. Sie sorgen für die Risikoreduzierung durch die Portfoliobildung (wenn nicht gerade Korrelationskoe zienten von +1 gelten). Abb. VII-6 zeigt, wie die Rendite-Risiko-Positionen bei Portfolios aus sechs Wertpapieren aussehen können. Im Gegensatz zum Fall zweier Wertpapiere entsteht jetzt nicht nur eine Kurve, sondern ein Gebiet realisierbarer Rendite- Risiko-Kombinationen. Dies liegt daran, dass bereits ab dem Fall von drei Wertpapieren jedes Portfolio aus zwei Papieren mit einem dri en Wertpapier gemischt werden kann. Soweit sich das dri e Wertpapier nicht durch geeignete Gewichtungsfaktoren aus den beiden anderen synthetisieren lässt, entsteht dadurch eine Fläche im Rendite-Risiko-Diagramm. Im einfachsten (aber ungünstigsten) Fall sind die Renditen aller drei Wertpapiere vollständig positiv korreliert (ρ12 = ρ23 = 1 und damit auch ρ13 = 1), so dass keine Risikoverringerung möglich ist. Soweit die Rendite-Risiko-Positionen der Wertpapiere nicht auf einer Linie liegen, stellen die durch Mischung realisierbaren Positionen im Diagramm die Fläche eines Dreiecks dar. Sieht man von den Extremfällen vollständiger Positiv- und vollständiger Negativkorrelation ab, erhält man eine Fläche der Art von Abb. VII-6. Alle Positionen des grau unterlegten Bereiches in Abb. VII-6 sind durch passende Wahl der Mischungs-Parameter w1 bis w6 realisierbar. Darunter sind jedoch viele, die dominiert werden. Genau genommen tri t dies für alle Punkte zu, die unterhalb des fe gezeichneten oberen Randstrichs liegen. Abb. VII-6: Rendite-Risiko-Positionen von Portfolios aus sechs Wertpapieren (mit nicht extremen Korrelationen) Kovarianz zwischen i und j 304 VII. Beurteilung riskanter Investitionsprojekte mit dem Capital Asset Pricing Model Als e zient stellen sich diejenigen Portfolios heraus, deren Rendite- Risiko-Positionen auf dem oberen Rand des realisierbaren Bereiches liegen. Wir nennen es e zientes Randstück. In Abb. VII-6 ist es das Randstück zwischen P^ und W2. Der rationale Investor wird sich bei der Wahl eines Portfolios aus den sechs gegebenen Wertpapieren auf diese Möglichkeiten konzentrieren. Nach unseren Überlegungen für den Fall von zwei Wertpapieren und den Zusammenhängen für den Fall mehrerer ist die in Abb. VII-6 gezeichnete Form des e zienten Randstückes einleuchtend; für einen Beweis sei auf die Detailliteratur verwiesen (vgl. ursprünglich Markowitz [Portfolio Selection], für die konkrete Berechnung Francis/Archer [Analysis] 79 . sowie z. B. Kruschwitz/ Husmann [Finanzierung] 187 . für eine durchgängige und ausführliche deutschsprachige Darstellung). Ein Investor müsste nach dem jetzigen Stand zunächst darüber be nden, welches Verhältnis von Rendite-Erwartung µ und Risiko, gemessen an der Standardabweichung σ der Rendite, er bevorzugt. Dann müsste er versuchen, durch Wahl eines e zienten Portfolios seiner Zielvorstellung möglichst nahe zu kommen. Dieser Weg emp ehlt sich indessen nur dann, wenn andere Investitionen als die in die vorgelegten n Wertpapiere nicht in Frage kommen. Bisher haben wir uns auf risikobehaftete Wertpapiere beschränkt, weil wir zuerst die Frage klären wollten, wie deren relevante Rendite- und Risikoparameter in die entsprechenden Werte des Portfolios eingehen. Ohne die Beschränkung auf Finanzinvestitionen aufzugeben (und damit die Gedankenwelt der Kapitalmark heorie zu verlassen), kann aber zusätzlich eine risikolose Finanzanlage eingeführt werden. Eine solche Anlagemöglichkeit ist in der Regel problemlos vorauszusetzen, entspricht sie doch einer gewöhnlichen Geldanlage zu einem vorgegebenen Zinssatz. Die Möglichkeit einer risikolosen Finanzanlage verändert das Portfolio-Problem des Investors grundlegend. Sie erlaubt es, einen Teil des Portfolios ohne jegliches Risiko anzulegen und nur den Rest in eine Mischung der risikobehafteten Wertpapiere zu investieren. Damit das Auswahlproblem nicht trivial wird, setzen wir eine Verzinsung p der risikolosen Anlage voraus, die unterhalb der minimalen Rendite-Erwartung der n Wertpapiere liegt. Die entstehende Wahlsituation ist in Abb. VII-7 durch die Rendite-Risiko-Positionen auf dem e zienten Randstück einerseits sowie dem Punkt W0 für die risikolose Finanzanlage andererseits gekennzeichnet. Das Portfolio kann sich nunmehr zu einem Anteil w0 (0 ≤ w0 ≤ 1) aus der risikolosen Finanzanlage und zum verbleibenden Anteil (1 w0) aus einem Teilportfolio der risikobehafteten Wertpapiere 1 bis n zusammensetzen. Für Letzteres kommen alle Punkte P auf dem bereits bekannten e zienten Randstück in Frage. Wie berechnen sich die Rendite-Erwartung µ und die Standardabweichung σ aus den Parametern µP und σP eines schon bekannten Wertpapier-Teilportfolios und denen der Finanzanlage? Zunächst ist festzuhalten, dass für die Finanzanlage die Rendite-Erwartung genau der Verzinsung µ0 entspricht und deren Varianz σ20 wegen der Risikofreiheit gleich null ist. 3051. Grundlagen des Capital Asset Pricing Model Abb. VII-7: Rendite-Risiko-Kombinationen eines Portfolios aus risikoloser Finanzanlage und risikobehafteten Wertpapieren Deshalb gilt für die Rendite-Erwartung µ des Portfolios: µ = w0 · µ0 + (1 w0) · µP (7.16) die Varianz um diesen Erwartungswert: 2 P 2 0P0P000 2 0 2 0 2 )w1()w1(w2w σ−+σ⋅σ⋅ρ⋅−+σ=σ damit: σ = (1 w0) · σP. (7.17) In Abb. VII-7 sind für zwei Wertpapier-Portfolios mit den Rendite-Risiko- Positionen P1 und P2 die realisierbaren Kombinationen mit der risikolosen Finanzanlage eingetragen. Die Berechnungen 7.16 für die Rendite-Erwartung und 7.17 für die Standardabweichung zeigen, dass beides entsprechend dem Mischungsanteil w0 bzw. (1 w0) in linearer Gewichtung kombiniert wird. Deshalb bilden die möglichen Rendite-Risiko-Positionen in Abb. VII-7 die Verbindungsgerade W0 P1 bzw. W0 P2. Vergleicht man die Situation für Portfolios auf der Strecke W0 P1 mit der auf W0 P2, erkennt man unschwer, dass jedes der erstgenannten Art von irgendeinem Portfolio der zweiten Art dominiert wird. Bei der Suche nach einem optimalen Portfolio kann man also die Rendite-Risiko-Position der Punkte auf W0 P1 unberücksichtigt lassen. Aber auch die Punkte auf der zweiten Geraden W0 P2 scheiden aus. Dasselbe gilt für weitere denkbare Verbindungsgeraden von W0 mit Punkten auf dem e zienten Randstück. Sie werden sämtlich von den Rendite-Risiko-Positionen dominiert, die auf der gestrichelten Geraden in Abb. VII-7 liegen. Diese Gerade geht von W0 aus und tangiert gerade das e ziente Randstück im Punkt P^. Damit stellt sie Rendite-Risiko-Positionen dar, die mit Portfolios aus der Finanzanlage sowie dem zu P^ gehörenden Wert- = 0 = 0 (wegen σ0 = 0) 306 VII. Beurteilung riskanter Investitionsprojekte mit dem Capital Asset Pricing Model papierportfolio realisierbar sind. Deswegen sind alle Wertpapierportfolios, die zu dem Kurventeil unterhalb von P^ gehören, für die weitere Investitionswahl nicht mehr relevant; sie sind ine zient. Die Kurve e zienter Rendite-Risiko- Positionen setzt sich somit aus der Geraden W0 P ^ sowie ab P^ aus dem restlichen Stück des bisherigen e zienten Randstücks zusammen. Die Identi kation e zienter Risiko-Rendite-Positionen lässt sich weiter vereinfachen, wenn die Annahmen über die Finanzanlage in einem Punkt von denen der Wertpapiere abweichen dürfen. Bei den Wertpapieren ha en wir stets vorgesehen, dass sie mit einem beliebigen Anteil im Portfolio auftreten dürfen aber einem positiven Anteil. Für die risikolose Finanzanlage kann man sich nun allerdings vorstellen, dass sie nicht nur tatsächlich zur Anlage, sondern vielleicht auch zur Bescha ung von Geld verwendet werden kann, etwa dann, wenn bereits ein Bestand dieser Finanzanlage vorhanden ist und aufgelöst werden kann. Formal bedeutet dies, dass der Anteil w0 der risikolosen Finanzanlage in der Portfolio-Mischung auch negativ werden darf. Lässt man dies zu, kann in einem Portfolio der Anteil des Wertpapier-Teilportfolios entsprechend größer als eins werden nämlich in dem Ausmaß, in dem Geld aufgenommen werden kann. Damit kann die Rendite-Risiko-Position P^ in Abb. VII-7 mehr als genau einmal realisiert werden. Graphisch bedeutet dies eine Verlängerung der gestrichelten Geraden. Bei hinreichend großer Geldaufnahmemöglichkeit verbleibt somit von der ursprünglich gebogenen Kurve e zienter Rendite-Risiko-Positionen von Wertpapier-Portfolios nur noch der Punkt P^. Alle e zienten Rendite-Risiko-Positionen liegen auf der Geraden durch W0 und P ^. Zu allen Punkten dieser Geraden gehören e ziente Portfolios. Dem Punkt W0 entspricht die ausschließliche Investition des gesamten Anlagebetrages in die risikolose Finanzanlage. Dem Punkt P^ entspricht ein Portfolio ohne risikolose Finanzanlage. Es besteht nur aus Anteilen der risikobehafteten Wertpapiere, und es ist das einzige effiziente Portfolio dieser Art. Wir nennen es (optimales) Risikoportfolio. Der Entscheidungsträger hat jetzt noch seine Zielsetzung endgültig zu präzisieren, indem er eine der beiden Größen festlegt, deren Zusammenhang die gefundene Gerade beschreibt. Beispielsweise wählt er das angestrebte (noch hinnehmbare) Risikoausmaß, gemessen durch die Standardabweichung. Dann stünde auch die erreichbare Rendite-Erwartung fest, und das zugehörige Portfolio könnte anhand der Rendite-Risiko-Position konstruiert werden. Jedes optimale Portfolio ist eine Mischung aus risikoloser Finanzanlage und optimalem Risikoportfolio. Der Anteil der Finanzanlage kann auch negativ sein. Die Herleitung zeigt, dass das mit den Wertpapieren verbundene Risiko in zwei Teile aufgespli et werden kann: einen Teil, der durch geschickte Zusammensetzung eines Portfolios beseitigt werden kann, und einen restlichen Teil, der auch bei der Mischung im optimalen Risikoportfolio noch bestehen bleibt. Der letztgenannte Teil heißt systematisches Risiko. Der erstgenannte Teil ist durch Portfoliobildung, also durch Diversi zierung vermeidbar. Der Investor muss ihn nur dann übernehmen, wenn er die Möglichkeiten der Risikoreduzierung durch Portfoliobildung nicht (hinreichend) nutzt. Er heißt deshalb unsystematisches (oder individuelles) Risiko. 3071. Grundlagen des Capital Asset Pricing Model d) Marktbewertung eines Wertpapiers auf der Basis der Portfoliobildung 308 VII. Beurteilung riskanter Investitionsprojekte mit dem Capital Asset Pricing Model beiden sukzessiven Entscheidungen wird als Tobin-Separation (nach dem Nobelpreisträger James Tobin) bezeichnet. Im Marktportfolio sind die gehandelten Wertpapiere mit bestimmten Anteilen vertreten. Sie erfüllen eine bemerkenswerte gemeinsame Eigenschaft, die sich aus der Bedingung für die Rendite-Risiko-Position des Marktportfolios ergibt und die wir aus der Herleitung des Capital Asset Pricing Model kennen: Die gefundene Rendite-Risiko-Position maximiert die Steigung der Kapitalmarktlinie. Für ein beliebiges Portfolio mit den Wertpapieranteilen w1, w2, ..., wn berechnet sich die Rendite-Erwartung µP und σP nach 7.13 und 7.15. Die Steigung einer Geraden durch die Risiko-Rendite-Position der risikolosen Finanzanlage W0 = (µ0, 0) und die eines beliebigen Portfolios (µP, σP) ist daher wie folgt anzugeben: ( ) 2 1 n 1i n 1j jiijji n 1i 0ii 2 1 n 1i n 1j jiijji n 1i 0ii P 0P ww w ww w σσρ µ−µ = σσρ µ−µ = σ µ−µ = = = = = = mit = = n 1i i 1w . (7.18) Bei passender Wahl der Mischungsparameter w1, w2, ..., wn wird dieser Wert maximal, und man erhält mit diesen Parametern das Marktportfolio. Charakterisierende Bedingungen für die optimalen Parameter gewinnt man auf klassischem Wege: Man fasst den Ausdruck 7.18 als Funktion f der n Variablen w1, w2, ..., wn auf. Zur Maximierung des Funktionswertes setzt man die ersten Ableitungen null und prüft das Vorzeichen der zweiten. Als partielle Ableitung nach der Variablen wk (k ∈ {1, 2, ..., n}) erhält man mit Hilfe der Quotientenregel (vgl. zu Berechnungsdetails z. B. Kruschwitz/Husmann [Finanzierung] 225 .): ( ) ( ) ( ) 2 P n 1i ikkii P 0PP0k 2 P n kj 1j 2 kkkiik n ki 1i ijkjkj 2 1 2 P0i n 1i i 2 P P0k w1)( w2ww)( 2 1w n21 k www w f ,...,, σ σσρ σ µµσµµ σ σσσρσσρσµµ σ σµµ ∂ ∂ ⋅−−⋅− = = ++⋅⋅− − ⋅− = = = ≠ = ≠ = − = Ersetzt man hierin das nur zur Abkürzung verwendete Symbol σP durch die Auflösung nach 7.15, dann enthält jede der n partiellen Ableitungen für k = 1, 2, ..., n außer den gesuchten Größen w1, w2, ..., wn nur noch bekannte. Durch Nullsetzen der ersten Ableitungen erhält man also ein System von n (nichtlinearen) Gleichungen in den Unbekannten w1, w2, ..., wn, dessen Lösung das gesuchte Portfolio de niert. Dies gilt allerdings bei unseren Voraussetzungen nur dann, wenn unter mehreren möglichen Lösungen eine zu nden ist, die den Bedingungen (7.19) Ableitung des Zählers Nenner Zähler Ableitung des Nenners 3091. Grundlagen des Capital Asset Pricing Model 0 ≤ wi ≤ 1 für alle i = 1, 2, ..., n sowie = = n 1i i 1w (7.20) genügt. Dabei haben wir ferner die Lösbarkeit des Gleichungssystems angenommen sowie einen Wert der zweiten Ableitung vorausgesetzt, der ein Maximum des Funktionswerts sicherstellt. Wie man sieht, ist dieser Weg zur Bestimmung des Marktportfolios aus den risikobehafteten Titeln keineswegs trivial. Uns interessieren hier die dabei zu lösenden Gleichungen nur insoweit, als sie die in der Optimallösung bestehenden Bedingungen genauer charakterisieren lassen. Deshalb ersetzen wir in der Berechnungsformel für die erste Ableitung nach einem ausgewählten Mischungsparameter wk die aufgegliederten Terme soweit wie möglich wieder durch Parameter des Marktportfolios, um die in der Lösung bestehende Beziehung zwischen den Parametern des Wertpapiers k und denen des Marktportfolios deutlicher zu erkennen. Dabei bietet es sich auch an, die Berechnungsformel für die Kovarianz zwischen der Rendite des Marktportfolios und der Rendite speziell des Wertpapiers k zu verwenden. Wir bezeichnen sie mit σPk und vollziehen ihre Ermittlung wie folgt nach: [ ] [ ] ( ) [ ] [ ]( ) .wwr~r~Ew r~wr~Er~wr~E n 1i ikkii n 1i kiiiikk n 1i i n 1i iiikk n 1i PiikkPk === == σσρ⋅=σ⋅=µ−⋅µ−⋅= =µ−⋅µ−=µ−⋅⋅µ−=σ (7.21) Mit diesem Parameter stellt sich die Ableitung aus 7.19 nunmehr wie folgt dar: ( ) 2 P Pk P 0PP0k n21 k 1)()( w...,,w,w w f σ σ⋅ σ ⋅µ−µ−σ⋅µ−µ = ∂ ∂ (7.22) Der Zähler, und damit die Ableitung 7.19 wird null, wenn Pk2 P 0P 0k σ⋅+µ=µ σ µ−µ (7.23) für das Wertpapier k gilt. Dies gibt eine Beziehung an zwischen der Rendite- Erwartung des Wertpapiers k einerseits und der Kovarianz unter den Renditen des Wertpapiers k und des Marktportfolios andererseits. Gleichung 7.23 ist der Ausgangspunkt für die Kernresultate des Capital Asset Pricing Model. Jene gewinnt man durch die folgenden beiden Umformulierungen. Erinnern wir uns zur ersten Umformulierung an die Definition 7.5 des einfachen Korrelationskoe zienten zwischen zwei Wertpapieren, so wird die zwar nicht ganz analoge, aber doch ähnliche De nition des folgenden Parameters βPk für das Wertpapier k verständlich: 2 P Pk Pk : σ σ =β für k = 1, 2, ..., n. (7.24) Kovarianz cov(∼rk, ∼ri) 310 VII. Beurteilung riskanter Investitionsprojekte mit dem Capital Asset Pricing Model Dieser Parameter für ein Wertpapier k ist nur für ein bereits vorhandenes Portfolio de niert. Er heißt schlicht Beta dieses Wertpapiers und gibt das Verhältnis der wertpapierspezi schen Kovarianz zur Gesamtvarianz des Portfolios an. Er könnte daher als Korrelationsverhältnis des Wertpapiers k zum Portfolio P oder als seine Portfoliosensibilität bezeichnet werden. Formulieren wir 7.23 mit Hilfe von Beta um, so erhalten wir folgende zentrale Gleichung des Capital Asset Pricing Model: µk = µ0 + (µP µ0) · βPk . (7.25) Sie gibt an, welcher Zusammenhang zwischen der Rendite-Erwartung eines Wertpapiers und seinem Beta besteht, wenn das optimale Risikoportfolio bereits gefunden ist. Man entnimmt der Beziehung 7.25 beispielsweise, dass die Rendite-Erwartung eines Wertpapiers innerhalb des (bereits gefundenen) Portfolios um so höher ist, je höher sein Beta ist. Genauer: dieser Zusammenhang ist, wie 7.25 zeigt, linear. Die graphische Darstellung heißt daher auch Wertpapierlinie (oder Wertpapiermarktlinie). Ein Beispiel gibt Abb. VII-8. Abb. VII-8: Wertpapierlinie für den Zusammenhang von Rendite-Erwartung und Beta Die Wertpapierlinie eines Wertpapiers k in einem Portfolio risikobehafteter Wertpapiere gibt eine lineare Abhängigkeit zwischen dem Beta des Papiers k und seiner Rendite-Erwartung an. Die Aussage gilt nur für die Verhältnisse im Marktportfolio; das Beta setzt ebenfalls den Zustand im Marktportfolio voraus; es ist nur dort de niert. Bei βPk = 1 stimmt die Kovarianz des Wertpapiers k mit der Varianz des gesamten Portfolios exakt überein; damit ist gemäß 7.25 die Rendite-Erwartung µk für das Wertpapier k gleich hoch wie die für das gesamte Portfolio (µP). In allen anderen Fällen gibt nach Beziehung 7.25 das Beta an, welchen Teil (oder welches Vielfache) der Di erenz (µP µ0) ein Wertpapier im Optimum zusätzlich zum risikolosen Zins einbringen muss. Diese Di erenz heißt auch Über- 3111. Grundlagen des Capital Asset Pricing Model rendite. Sie drückt aus, um wieviel die Rendite des Marktportfolios über dem risikolosen Zins liegt. Die einzelnen Wertpapiere tragen im Allgemeinen unterschiedlich viel zur Überrendite bei. Dann gibt es sowohl Papiere mit einem Beta unter eins als auch solche mit einem Beta über eins. Nur im Ausnahmefall haben alle Papiere durchweg ein Beta von eins und die Überrendite verteilt sich gleichmäßig. Im Übrigen sei darauf hingewiesen, dass nach der De nition in 7.24 auch negative Betawerte denkbar sind, sicher aber nicht zu den typischen Fällen zählen. Die Wertpapierlinie gehört zu einem einzelnen Wertpapier, während in der Kapitalmarktlinie der Rendite-Risiko-Zusammenhang ganzer Portfolios von Wertpapieren betrachtet wird. Die Aussage der Wertpapierlinie gilt als ein Hauptergebnis des Capital Asset Pricing Model. Abb. VII-8 zeigt, dass ein Wertpapier k mit einem Korrelationsverhältnis βk kleiner als eins nur eine entsprechend kleinere Rendite-Erwartung zu haben braucht, um im Marktportfolio vertreten zu sein. Dafür ist der Mischungsvorteil verantwortlich, der bei der Portfoliobildung dort besonders groß ist, wo sich die zu kombinierenden Titel stärker in der Risikokomponente unterscheiden. Dann entsteht eine höhere Diversifikationswirkung. Die Mindestrendite liefert der risikolose Zinssatz µ0. Überschreitet das Beta eines Wertpapiers k jedoch den Wert 1, dann ist auch eine entsprechend höhere Rendite-Erwartung erforderlich, um die Bedingung des Marktportfolios zu erfüllen. Für die Abweichung von der Durchschni srendite des Marktportfolios gilt die Überrendite (µP µ0) als Einheit. Ist also die Kovarianz des Wertpapiers k zum gegebenen Portfolio genau βk mal so groß wie die Varianz dieses Portfolios, dann muss seine Rendite-Erwartung µk neben dem risikolosen Zins genau βk mal die Überrendite bringen. Die angekündigte zweite Umformulierung von 7.23 ergibt sta der eben besprochenen Gleichung für die Wertpapierlinie folgende Beziehung zwischen Rendite-Erwartung und Kovarianz des Wertpapiers k: .:mit 2 P 0P Pk0k σ µ−µ=λσ⋅λ+µ=µ (7.26) Die Zahl λ hierin hängt nicht vom Wertpapier k ab, sondern lediglich vom Portfolio P. Da sie in 7.26 die Zunahme der Rendite-Erwartung bei wachsender Kovarianz angibt, heißt sie Risikopreis. Der Risikopreis λ eines Portfolios aus risikobehafteten Titeln gibt an, um wieviel die Rendite-Erwartung eines Wertpapiers k zunehmen muss, wenn seine Kovarianz zum Portfolio um eine Einheit steigt. Der Risikopreis λ ergibt sich als 2 P 0P σ µ−µ =λ aus der Rendite-Erwartung des Risiko- Portfolios µP, seiner Varianz σ2P sowie der Rendite µ0 der risikolosen Finanzanlage. Er ist konstant, d. h. weder vom Wertpapier k noch von der Höhe der Kovarianz zwischen der Portfolio- und der Wertpapier-Rendite abhängig. Aus der Beziehung 7.26 entnimmt man, dass zwischen der Rendite-Erwartung eines Wertpapiers und seiner Kovarianz zum Marktportfolio eine lineare Ab- 312 VII. Beurteilung riskanter Investitionsprojekte mit dem Capital Asset Pricing Model hängigkeit besteht. Auch dieser Zusammenhang wird als Wertpapierlinie bezeichnet. Abb. VII-9 zeigt diese Variante graphisch. Abb. VII-9: Wertpapierlinie für den Zusammenhang von Rendite-Erwartung und Kovarianz Wie die oben besprochene Form zeigt auch diese Wertpapierlinie lediglich die Bedingung dafür an, dass ein Wertpapier im Risikoportfolio vertreten ist. Sie sagt also nicht, wie hoch die Rendite-Erwartung bei gegebener Kovarianz zur Portfolio-Rendite tatsächlich ist, sondern wie hoch sie im optimalen Risikoportfolio sein müsste. Will man die Zusammenhänge einer Wertpapierlinie unmi elbar für die konkrete Berechnung einer Soll-Rendite nutzen, sieht man sich allerdings mit dem Problem konfrontiert, dass man eine von folgenden zwei Positionen einnehmen muss: Entweder kennt man bereits eine Rendite-Erwartung für das Wertpapier k. Dann kann man auch deren Kovarianz zum Risikoportfolio berechnen. Jetzt bleibt aber kaum noch Raum für eine Anwendung der Wertpapierlinie: Man kann nämlich nur noch feststellen, ob deren Bedingung erfüllt ist oder nicht. Setzt man den bekannten Wert für die Kovarianz ein, kann der erhaltene Wert für die Rendite-Erwartung allerdings nur dann als korrekt angesehen werden, wenn er ohnehin mit dem gegebenen Rendite-Wert übereinstimmt. Bei Änderung von µ würde sich nämlich auch eine neue Kovarianz ergeben. Oder Rendite-Erwartung bzw. zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung der Rendite sind unbekannt. Dann kann man auch keine Kovarianz zwischen ihr und der Rendite des Risikoportfolios berechnen, mithin die Formel der Wertpapierlinie auch gar nicht anwenden. Um dieser Zwickmühle zu entkommen, verfolgen wir nun den Fall, dass für das Wertpapier k zwar nicht die korrekte Rendite-Erwartung, aber doch der Rück uss am Ende der einjährigen Projektlaufzeit bekannt ist (vgl. auch Kruschwitz/Husmann [Finanzierung] 234 .). Mit dem Risikopreis λ kann 3131. Grundlagen des Capital Asset Pricing Model man dann den Preis vk berechnen, zu dem es gehandelt werden müsste, wenn es Bestandteil des Marktportfolios wäre. Hierzu bezeichnen wir zunächst mit Ü ~ k die Zufallsvariable des Projektrückusses am Ende des Jahres. Die Rendite der (einperiodigen) Wertpapieranlage berechnet sich nach Kenntnis des Preises vk wie folgt: .1r~ k k k kk k v Ü ~ v vÜ ~ −== − (7.27) Entsprechend gilt für die Rendite-Erwartung des Wertpapiers k: .1 v )Ü ~ (E)r~(E k k kk −==µ (7.28) Für die Formel 7.26 bräuchten wir die Kovarianz σPk zwischen der Rendite ~rP des Portfolios und derjenigen des Wertpapiers k. Da aber die Rendite ~rk noch nicht ermi elt werden kann, emp ehlt es sich, die gesuchte Kovarianz σPk durch die Kovarianz cov(~rP, Ü ~ k) zwischen dem Projektrück uss Ü ~ k und der Marktrendite ~rP auszudrücken. Es ergibt sich: .)r~,Ü ~ cov(v 1r~,1cov Pk k P k k Pk v Ü ~ ⋅=−=σ (7.29) Damit kann man aus 7.26 und 7.29 über: )r~,Ü ~ cov(v 1 Pk k 0Pk0k ⋅⋅+ ↑ =⋅+ ↑ = λµσλµµ 7.297.26 folgende Preisgleichung für das Wertpapier k entnehmen: . 1 )r~,Ü ~ cov()Ü ~ (Ev 0 Pkk k µ+ ⋅λ−= (7.30) Im Ergebnis gibt diese Formel an, welchen Preis ein Wertpapier haben müsste, um Bestandteil eines optimalen Portfolios zu sein. Er bestimmt sich auf der Grundlage des Capital Asset Pricing Model, und zwar insbesondere aus den Bedingungen für die Wertpapierparameter im optimalen Risikoportfolio. Der Wert eines Wertpapiers ergibt sich nach der Preisgleichung 7.30 aus dem Erwartungswert des Rück usses nach einer Periode, der noch um einen Abschlag für das einzugehende Risiko vermindert wird, nach Abzinsung mit dem Zinssatz für die risikolose Anlage. Er ist also insgesamt der Barwert einer Art Sicherheitsäquivalent des Wertpapier-Rück usses. Der Abschlag berechnet sich als Produkt von Risikopreis und spezi schem Risikoausmaß des Wertpapiers. Letzteres wird durch die Kovarianz des Wertpapier-Rück usses zur Portfolio-Rendite gemessen. Für die Berechnung eines Wertpapierwertes nach der Preisformel 7.30 müssen zwei spezi sche Größen des Wertpapieres bekannt sein: der Erwartungswert der Projektrück üsse sowie ihre Kovarianz zur Portfoliorendite. Die beiden weiteren Größen, die in die Berechnung eingehen, sind der Zinssatz für die 314 VII. Beurteilung riskanter Investitionsprojekte mit dem Capital Asset Pricing Model risikolose Anlage sowie der Risikopreis λ. Letzterer ist, ebenso wie die Portfoliorendite, von den Parametern aller Wertpapiere des Portfolios abhängig. Soll also das Wertpapier k zum Portfolio gehören, müsste dies im Risikopreis λ bereits berücksichtigt sein. Nun zeigt schon ein kurzer Blick auf die De nition des Risikopreises λ in 7.26, dass der Ein uss eines weiteren Wertpapiers auf diese Größe nur sehr gering sein kann, wenn im Portfolio bereits eine große Zahl verschiedener Wertpapiere enthalten ist. Für praktische Zwecke wird man daher vielfach mit dem Risikopreis λ und der Rendite ~rP arbeiten können, die für ein Portfolio noch ohne Wertpapier k gilt. Im Gegensatz zur renditebezogenen Formulierung in 7.26 erlaubt damit die in 7.30 gefundene überschussbezogene Form tatsächlich eine konkrete Berechnung eines portfolioentsprechenden Wertpapierpreises. 2. Aufbau eines Portfolios mit dem Capital Asset Pricing Model a) Ansatzpunkte zur Übertragung des Capital Asset Pricing Model auf betriebliche Projekte Wir haben bisher die wichtigsten Elemente des Capital Asset Pricing Model skizziert, soweit wir sie für eine mögliche Anwendung auf betriebliche Investitionsentscheidungen brauchen. Vorab müssen wir feststellen, dass eine Anwendung auf ganze Märkte, etwa bestimmte Wertpapiermärkte oder den gesamten Kapitalmarkt eines Landes zwar problematisch, aber vermutlich immer noch weniger di zil ist als eine einzelbetriebliche Anwendung. Üblicherweise geht die Gesamtmarktanalyse nämlich von folgenden Gedanken aus: Die Homogenität der Erwartungen und des Informationsstandes aller Marktteilnehmer ist ohnehin Voraussetzung für die Herleitung des Marktportfolios. Daher ist in dieser Modellwelt weder zu erwarten, dass ein Mark eilnehmer ein Wertpapier erwirbt, das zu teuer angeboten wird, noch dass ein Anbieter ein Wertpapier dauerhaft zu billig anbietet, so dass auf irgendeiner Seite ein zusätzlicher Gewinn erzielt werden könnte. Der für das Marktportfolio gültige Preis richtet sich nach der Wertpapierlinie. Jede Abweichung davon würde entweder die Nachfrage schlagartig verschwinden lassen (wenn der Preis zu hoch und damit die Rendite-Erwartung zu niedrig ist) oder durch die Möglichkeit von Arbitragegewinnen zwangsläu g eine Preisanpassung nach oben zur Folge haben. Geht man also von der Gültigkeit dieser Voraussetzungen aus, dann folgt, dass jeder Wertpapierhandel grundsätzlich zu einem dem Modell entsprechenden Preis vollzogen wird, von vorübergehenden Anpassungsprozessen einmal abgesehen. Dies bedeutet aber weiterhin, dass das Risikoportfolio tatsächlich auf dem Markt beobachtbar ist (und daher den Namen Marktportfolio zurecht trägt): Es setzt sich aus allen Wertpapieren zusammen, die gehandelt werden, und zwar just in der Menge, in der sie sowohl angeboten als auch nachgefragt werden. Das bedeutet auch, dass jedes auf dem Markt be ndliche Wertpapier (der betrachteten Art, z. B. Aktien) Bestandteil des optimalen Risikoportfolios ist. Tatsächlich bestimmt somit in vielen Fällen der Emittent eines Wertpapiers, in 3152. Aufbau eines Portfolios mit dem Capital Asset Pricing Model 316 VII. Beurteilung riskanter Investitionsprojekte mit dem Capital Asset Pricing Model b) Ermittlung eines risikominimalen Portfolios vorgegebener Rendite In einem Betrieb stelle sich das Problem, aus n Projekten ein optimales Portfolio zusammenzustellen, ohne dass es bereits Vorentscheidungen oder gar ein Anfangsportfolio gibt. Für die Lösung eines solchen Problems ist grundlegend, ob die Projekte in beliebiger Höhe realisierbar und damit auch in jedem Mengenverhältnis im Portfolio kombinierbar sind oder nicht. Tri t dies zu, dann sind die Projekte beliebig teilbar und man hat insofern genau die Situation, wie sie auch im Capital Asset Pricing Model vorausgesetzt wird. Inhaltlich kann man sich hierzu am besten wieder Aktien oder andere Wertpapiere vorstellen. Die beliebige Teilbarkeit scheidet vor allem bei Realinvestitionen aus. Sie können oft nur ganz oder gar nicht durchgeführt werden. Unter diesen Bedingungen kann aber die bekannte Vorgehensweise zur Konstruktion eines optimalen Portfolios nicht angewendet werden, da jene ganz wesentlich die beliebige Kombinierbarkeit der Projekte voraussetzt. Welche Möglichkeiten sich dann bieten, untersuchen wir in Abschni e. In jedem Fall sehen wir vor, dass von den Projekten die auch im Capital Asset Pricing Model vorausgesetzten Informationen über Renditen, Varianzen und Kovarianzen vorliegen. Der für die Portfoliobildung übliche und zweckmäßige Ansatz, den nanziellen Überschuss mit der Rendite zu messen, ist auch hier noch nicht problematisch, weil weiterhin ausschließlich Projekte betrachtet werden, die über nur ein einziges Jahr laufen, und der Kapitaleinsatz wegen der beliebigen Teilbarkeit der Projekte tatsächlich einheitlich gewählt werden kann. Aus dem Capital Asset Pricing Model wissen wir, wie das Risikoportfolio aus gegebenen Wertpapieren aussieht und wie es, mit einer risikolosen Finanzanlage kombiniert, zur Kapitalmarktlinie führt. So ist das Ziel für die einzelbetriebliche Problematik, diese Linie e zienter Portfolios konkret zu bestimmen, um daraus das Optimum zu wählen. Einen Ansatz hierzu kennen wir schon. In 7.18 haben wir die Suche nach dem Risikoportfolio rechnerisch als Suche nach n Wertpapieranteilen wi formuliert, die die Mengenanteile der Wertpapiere i (i = 1, 2, ..., n) im Portfolio angeben ( wi = 1). Die optimalen Wertpapieranteile w1, w2, ..., wn kann man so zu ermitteln versuchen, dass man die Steigung der Geraden durch die Rendite-Risiko-Punkte der risikolosen Finanzanlage und des Risikoportfolios maximiert. Genau diesen Ansatz haben wir auch in 7.19 gewählt, indem wir eine Funktion für die Geradensteigung de niert und dann nach den Variablen w1, w2, ..., wn abgeleitet haben. Nullsetzen der ersten Ableitung führt für jedes Wertpapier zu einer Bedingungsgleichung der Art von 7.23. Bei der dortigen Suche nach allgemeinen Zusammenhängen haben wir allerdings keinen Wert auf ihre Auflösung nach den Wertpapieranteilen wi gelegt. Dennoch genügt ein kurzer Blick auf die Gleichung 7.23, um zu erkennen, dass daraus ein größeres nichtlineares Gleichungssystem entstehen würde, zu dessen Lösung allgemein nur wenig gesagt werden kann. Daher emp ehlt sich ein anderer Weg zur konkreten Bestimmung der Kapitalmarktlinie: Man ermi elt in einem ersten Schri das e ziente Randstück, und zwar als einen funktionalen Zusammenhang zwischen Rendite-Erwartung 3172. Aufbau eines Portfolios mit dem Capital Asset Pricing Model µ µ σ ρ ρ µ µ=µ = n 1i ii ! w . (7.31) .1 ! w n 1i i = = (7.32) = = →σσρ=σ n 1i n 1j jiijji 2 P min!ww (7.33) µ Lµ (λ1, λ2, w1, w2, ..., wn) = = === σσρ+λ⋅−+λ⋅µ−µ= n 1i n 1j jiijji2 n 1i i1 n 1i ii www1w µ (7.34) Anteilssumme = ! 1 Varianz der Portfolio-RenditePortfolio-Rendite = ! µ 318 VII. Beurteilung riskanter Investitionsprojekte mit dem Capital Asset Pricing Model Lµ = (λ1, λ2, w1, w2, ..., wn) → min! (7.35) Hierzu bilden wir die n + 2 ersten partiellen Ableitungen: (1) = µ µ−µ= λ∂ ∂ n 1i ii 1 w L (2) = µ −= λ∂ ∂ n 1i i 2 w1 L (7.36) (2+k) ( ) =λλ ∂ ∂ µ n2121 k w,...,w,w,, w L = σσρ⋅+λ−λ⋅µ− n 1i ikkii21k w2 für k = 1, 2, ..., n. Durch Nullsetzen der ersten Ableitung erhält man nach Umordnung folgende n + 2 Gleichungen: µ1w1 + µ2w2 + ... + µnwn = µ w1 + w2 + ... + wn = 1 (k=1) 2 1 µ1λ1 2 1 λ2 + ρ11σ1σ1w1 + ρ12σ1σ2w2 + ... + ρ1nσ1σnwn = 0 (k=2) 2 1 µ2λ1 2 1 λ2 + ρ21σ2σ1w1 + ρ22σ2σ2w2 + ... + ρ2nσ2σnwn = 0 (k) 2 1 µkλ1 2 1 λ2 + ρk1σkσ1w1 + ρk2σkσ2w2 + ... + ρknσkσnwn = 0 (k=n) 2 1 µnλ1 2 1 λ2 + ρn1σnσ1w1 + ρn2σnσ2w2 + ... + ρnnσnσnwn = 0 Dieses Gleichungssystem ist in den Unbekannten λ1, λ2, w1, ..., wn linear. Im Gegensatz zum oben diskutierten Ansatz der unmi elbaren Optimierung der Kapitalmarktlinie ist es also leicht lösbar. Für n = 4 Projekte ist in Abb. VII-10 das Gleichungssystem in Matrizenschreibweise gemäß µ = λ λ • 0 0 1 w w n 1 2 1 K (7.38) mit K als Koe zientenmatrix dargestellt. Die Teilmatrix aus den n Reihen rechts unten ist symmetrisch, da die Korrelationskoe zienten ρki und ρik (für k, i = 1, 2, ..., n) identisch sind. Setzt man voraus, dass die Matrix K regulär, also invertierbar ist, stellt sich die Lösung des Gleichungssystems wie folgt dar: µ = λ λ − 0 0 1 w w 1 n 1 2 1 K . (7.39) (7.37) 3192. Aufbau eines Portfolios mit dem Capital Asset Pricing Model Abb. VII-10 zeigt, dass auch bei unterschiedlichen Werten von µ die Koe zientenmatrix K immer dieselbe bleibt. Hat man also einmal die inverse Matrix K 1 bestimmt, können für beliebige Vorgaben von Portfolio-Renditen µ unmi elbar die passenden varianzminimalen Wertpapieranteile angegeben werden. Abb. VII-10: Struktur des linearen Gleichungssystems zur Gewinnung von Risikoportfolios aus vier Wertpapieren Der Aufbau des Vektors auf der rechten Seite von 7.39 zeigt darüber hinaus, dass es letztlich genügt, die beiden ersten Spalten der Inversen K 1 verfügbar zu haben. Da ferner die Lagrange-Parameter λ1 und λ2 nicht unmi elbar interessieren, genügen von Lösungsvektor und Koe zientenmatrix die Werte ab Zeile 3. Diese linke untere Teilmatrix wollen wir mit K̂ bezeichnen. Die Berechnungsvorschrift für die gesuchten Mischungsanteile lautet dann: µ= • 1 w w w K n 2 1 (7.40) Wir wollen uns die Vorgehensweise an einem Beispiel weiter verdeutlichen. In Abb. VII-11 sind die Parameter von vier Wertpapieren angegeben, die in ein Portfolio eingebracht werden sollen. Es besteht daneben die Möglichkeit einer risikolosen Finanzanlage zu 6 %. Abb. VII-11: Parameter für vier Wertpapiere zur Bildung eines Portfolios ^ 320 VII. Beurteilung riskanter Investitionsprojekte mit dem Capital Asset Pricing Model Gemäß dem Muster aus Abb. VII-10 stellen wir zunächst die Koeffizientenmatrix K des Gleichungssystems zusammen. Für die praktische Durchführung der weiteren Rechnung würde dies sogar genügen, da benutzerfreundliche Computerprogramme zur Lösung linearer Gleichungssysteme verfügbar sind. In Abb. VII-12 ist dennoch die inverse Matrix K 1 aufgeführt, um zu demonstrieren, wie sich der weitere Rechenbedarf bei ihrer Verwendung reduziert. Da es genügt, die Teilmatrix K̂ aus 7.40 zu kennen, verkürzt sich die Berechnung weiter auf die in Abb. VII-12 dargestellte Lösungsgleichung. Abb. VII-12: Lösung des Gleichungssystems zur Ermittlung effizienter Risikoportfolios Die gefundene Berechnungsvorschrift ermöglicht es, zu jedem beliebig gewählten Parameter µ unmi elbar die Wertpapieranteile anzugeben, aus denen ein risikominimales Portfolio mit dieser Risikoerwartung zu bilden ist. Voraussetzung ist lediglich, dass man überhaupt etwas kombinieren kann. Dies heißt genauer: Es müssen mindestens zwei Wertpapiere im Spiel sein, die sich in ihren Rendite-Erwartungen unterscheiden. Diese Voraussetzung ist naturgemäß bei allen überhaupt interessanten Portfolio-Kombinationsproblemen erfüllt. In unserem Beispiel erhält man etwa für die Vorgabe µ = 6,5 % aus 7.40 die Werte w1 = 11,23 %; w2 = 54,01 %; w3 = 19,09 %; w4 = 15,67 %. 3212. Aufbau eines Portfolios mit dem Capital Asset Pricing Model Allerdings stellt unser Ansatz nicht sicher, dass die errechneten Mischungsanteile w1, w2, ..., wn immer nichtnegativ sind. Betrachten wir beispielsweise eine vorgegebene Parameterhöhe µ, die kleiner ist als die kleinste Rendite-Erwartung der zur Wahl gestellten Wertpapiere oder die größer ist als deren größter. Dann errechnet man aus der Vorschrift 7.40 mindestens für ein Wertpapier i einen negativen Mischungsanteil wi. So gelten für µ = 3,5 % die Werte w1 = 96,64 %; w2 = 149,36 %; w3 = 108,76 %; w4 = 37,24 %; für µ = 12 % erhält man w1 = 145,35 %; w2 = 120,78 %; w3 = 253,46 %; w4 = 112,67 %. Das leuchtet auch ein, denn ein positiv gewichteter Durchschni von Zahlen kann das Intervall zwischen der kleinsten und der größten von ihnen nicht verlassen. Aber auch, wenn man in diesem Intervall bleibt, können die Mischungsanteile negativ werden. Dies zeigt das Beispiel µ = 7,0 % mit dem Ergebnis w1 = 3,01 %; w2 = 38,13 %; w3 = 40,39 %; w4 = 24,49 %. Was bedeutet ein negativer Mischungsanteil wi des Wertpapiers i inhaltlich? Dieses Wertpapier geht in das gesuchte Portfolio in umgekehrter Weise ein. Seine Rendite wirkt in entgegengesetzter Richtung, ebenso die Kovarianz. Einund Auszahlungen sind vertauscht. Das Wertpapier wird also verkauft sta eingekauft. Wenn es bisher nicht im Portfolio vorhanden ist, handelt es sich um einen sogenannten Leerverkauf. Bei einem Leerverkauf eines Wertpapiers erhält der Verkäufer bei Vertragsabschluss sofort den aktuellen Preis (den Kurswert) des Papiers gegen die Zusage, nach einer Periode entweder das Wertpapier zu liefern, so dass der Käufer den Reinerlös realisieren kann, oder den dann geltenden Wert des Papiers unmittelbar an den Käufer auszuhändigen. Es handelt sich damit um die Kombination einer Kassazahlung und einer Terminlieferung, die den Käufer so stellt, als ob er das Papier heute direkt gekauft hä e. Für die Zusammenstellung eines risikominimalen Portfolios ist es ausgesprochen günstig, wenn Leerverkäufe erlaubt sind. Je nach Parameterverhältnissen kann beispielsweise ein Portfolio gefunden werden, das zwar die höchste Rendite-Erwartung hat, die ein Einzelpapier bietet, aber in der Varianz günstiger ist. Allerdings sind Leerverkäufe im praktischen Anwendungsfall nicht ohne weiteres möglich. Im Wertpapierhandel sind sie in Grenzen teilweise denkbar, soweit Zugang zum entsprechenden Markt besteht. Für Realinvestitionen dagegen scheiden sie regelmäßig aus. Im hier vorliegenden Zusammenhang wollen wir uns deshalb auf nichtnegative Mischungsanteile im Portfolio beschränken, Leerverkäufe also nicht zulassen. Je nach Parameterwerten sind die aus dem obigen Ansatz 7.40 resultierenden Werte ohnehin nichtnegativ. Andernfalls müssen Nichtnegativitätsbedingungen w1, w2, ..., wn ≥ 0 (7.41) 322 VII. Beurteilung riskanter Investitionsprojekte mit dem Capital Asset Pricing Model zusätzlich eingeführt werden. Die bisherige Lagrangefunktion Lµ aus 7.34 ist also um Nichtnegativitätsbedingungen zu ergänzen. Hierzu führen wir die Lagrange-Multiplikatoren l1, l2, ..., ln ein. Sie dienen der Erfassung einer Ungleichung und dürfen daher (im Gegensatz zu den beiden anderen Lagrange- Multiplikatoren λ1 und λ2, die für Gleichungen gelten) ebenfalls nur ein einheitliches Vorzeichen haben. Bei der folgenden Formulierung der neuen Funktion L̂µ müssen sie nichtnegativ sein: = µµ ⋅−λλ=λλ n 1i iin2121n21n2121 wl)w,,w,w,,(L)l,,l,l,w,,w,w,,(L . (7.42) Die Ableitungen dieser Lagrangefunktion lauten nun im Vergleich zu denen der bisherigen (vgl. 7.36): (1) 11 LL λ∂ ∂ = λ∂ ∂ µµ (unverändert wie in 7.36) (2) 22 LL λ∂ ∂ = λ∂ ∂ µµ (unverändert wie in 7.36) (2 + k) k kk l w L w L − ∂ ∂ = ∂ ∂ µµ für k = 1, 2, ..., n zusätzlich: (n + 2 + i) i i w l L = ∂ ∂ µ für i = 1, 2, ..., n. Das ergänzte Problem ist ein einfacher Spezialfall einer allgemeinen linearen Optimierung unter Nebenbedingungen in Form von Gleichungen und Ungleichungen. Das Optimum lässt sich daher durch die allgemeinen Kuhn-Tucker- Bedingungen charakterisieren. Man erhält sie hier wie bisher durch Nullsetzen der ersten n + 2 partiellen Ableitungen, wobei sich zeigt, dass die bisherigen partiellen Ableitungen iw L ∂ ∂ µ nach den Mischungsanteilen w1, w2, ..., wn jetzt anstelle von null auch den positiven Wert li annehmen dürfen (i = 1, 2, ..., n); zusätzlich aus den Bedingungen für die Lagrange-Multiplikatoren als Nichtnegativitätsbedingung der Variablen wi und li (i = 1, 2, ..., n): w1, w2, ..., wn, l1, l2, ..., ln ≥ 0; (7.44) ferner aus der Dualitätsbedingung (Komplementaritätsbedingung) für die Ungleichungen wi ≥ 0 (i = 1, 2, ..., n) und ihre zugehörigen Dualvariablen li (i = 1, 2, ..., n): Für jedes i ∈ {1, 2, ..., n} muss mindestens eine der beiden Variablen im Optimum null sein: wi · li = 0. (7.45) Sieht man von der zuletzt aufgeführten Dualitätsbedingung ab, lassen sich die Optimalitätsbedingungen als folgendes lineares System formulieren, das an die Stelle der Gleichungsbedingung 7.38 tri : (7.43)bisher ergänzt 3232. Aufbau eines Portfolios mit dem Capital Asset Pricing Model λ1 λ2 w1 w2 wn l1 l2 ln 0 K 0 · E (7.46) Die Dualitätsbedingung ist rechentechnisch unangenehm. Im hier vorliegenden Fall kann man sie jedoch umgehen. Wegen der einfachen Struktur des Bedingungssystems ndet man eine optimale Lösung für die gesuchten Mischungsanteile w1, w2, ..., wn, indem man zur rechentechnischen Vereinfachung folgendes lineare Planungsmodell löst: l i i n = → 1 min unter den Bedingungen aus 7.46. (7.47) Die Zielfunktion dieses Ansatzes sorgt dafür, dass für jedes Wertpapier i der zugehörige Lagrange-Multiplikator li null wird, wann immer es geht; ein Übriges erledigen die Nebenbedingungen. Allerdings kann es sein, dass der Ansatz die Werte der Lagrange-Multiplikatoren durcheinander wirft ohne dass deshalb die Mischungsanteile w1, w2, ..., wn falsch wären. Für den mathematisch interessierten Leser sei darauf hingewiesen, dass die korrekte Höhe der Lagrange-Variablen im Optimum jederzeit aus den gefundenen Werten der Mischungsanteile w1, w2, ..., wn konstruiert werden kann. Dazu setzt man für alle i mit wi ≠ 0 die zugehörige Lagrange-Variable li gleich null. Die restlichen Lagrange-Variablen sowie λ1 und λ2 kann man dann aus den Gleichungen bestimmen. Abb. VII-13 zeigt das in 7.47 angegebene lineare Planungsmodell für das Beispiel der vier Wertpapiere aus Abb. VII-11. Abb. VII-13: Vereinfachter linearer Ansatz zur Berechnung optimaler Mischungsanteile eines varianzminimalen Portfolios bei vorgegebener Rendite-Erwartung = 0: (1 x n)- Nullvektor E: (n x n)- Einheitsmatrix (n+2) x (n+2)-Matrix (2n+2) x 1- Vektor (n+2) x 1- Vektor µ 1 0 0 w1, w2, ..., wn ≥ 0 l1, l2, ..., ln ≥ 0. 324 VII. Beurteilung riskanter Investitionsprojekte mit dem Capital Asset Pricing Model c) Auffinden optimaler Risikoportfolios mit der Kapitalmarktlinie Mit den beiden Ansätzen 7.40 und 7.47 hat man sowohl für den Fall zugelassener Leerverkäufe als auch für die Voraussetzung nichtnegativer Mischungsanteile jeweils ein einfaches Rechenverfahren zur Ermi lung eines risikominimalen Portfolios bei gegebener Rendite-Erwartung zur Verfügung. Ziel der gesamten Analyse ist es, das optimale Risikoportfolio P^ herauszu nden, das mit der risikolosen Finanzanlage kombiniert werden kann, um jedes gewünschte Verhältnis von µ und σ zu ermöglichen. Es ist durch denjenigen Punkt charakterisiert, dessen Verbindungsgerade zu dem der risikolosen Finanzanlage die höchste Steigung hat. Zur Bestimmung eines optimalen Risikoportfolios P^ emp ehlt sich wegen der Einfachheit der Berechnungen ein schri weises Abtasten der Kurve e zienter Portfolios. In Abb. VII-14 sind die Ergebnisse für Schri e von 0,25 % aufgelistet, und zwar jeweils einmal für den Fall, dass die Mischungsanteile beliebig sein dürfen (Ansatz 7.40) und einmal für die Voraussetzung ausschließlich nichtnegativer Mischungsanteile (Ansatz 7.47). Im letztgenannten Fall zeigt eine einfache Überlegung, auf welche Werte man die Vorgabe der Rendite-Erwartung µ eines Portfolios von vornherein beschränken kann. So sind Risikoportfolios mit einer Rendite-Erwartung unter der sicheren Verzinsung von µ0 = 6 % für den Entscheidungsträger nicht interessant. Die Berechnungsformel 7.13 zeigt andererseits, dass sich die Rendite- Erwartung eines Portfolios als gewichteter Durchschni aus den enthaltenen Einzelrendite-Erwartungen ergibt, bei positiven Anteilsätzen also die höchste Einzelrendite-Erwartung nicht überschreiten kann. In unserem Beispiel liefert diese das Wertpapier 4 mit 8,0 %. Insgesamt genügt es bei Voraussetzung nichtnegativer Mischungsanteile damit, den Bereich zwischen 6 % und 8 % zu untersuchen. In Abb. VII-14 sind einige weitere Werte außerhalb des Intervalls berechnet. Sie sind aber nur für den ersten Ansatz interessant. Abb. VII-15 zeigt das zugehörige Rendite-Risiko-Diagramm. Dort sind einige der ermittelten Portfolios eingezeichnet: Die Rendite-Risiko-Position des optimalen Risikoportfolios liegt an der Stelle, wo die Verbindungsgerade zum Punkt W0 der risikolosen Finanzanlage das e ziente Randstück gerade tangiert. Diese Gerade wollen wir auch hier als Kapitalmarktlinie bezeichnen, obwohl es sich lediglich um die Projekte eines Einzelbetriebs handelt. Da wir den tatsächlichen Verlauf des Randstücks der mit Portfolios realisierbaren Rendite-Risiko-Positionen nicht kennen, müssen wir uns mit den ermi elten diskreten Punkten begnügen. Zu jedem Punkt P kann man die Steigung der Geraden P W0 gemäß 7.18 mit P 0P σ µµ − (7.48) berechnen. Für das Beispiel zeigt dies zu beiden Ansätzen die letzte Spalte in Abb. VII-14. Ein iterativer Ansatz zur Bestimmung des optimalen Risikoportfolios besteht darin, aus den probeweise gewählten Werten für µ die beiden herauszugreifen, zu deren Rendite-Risiko-Positionen die Verbindungsgerade zu W0 die relativ 3252. Aufbau eines Portfolios mit dem Capital Asset Pricing Model Abb VII-14: Berechnung varianzminimaler Risikoportfolios gegebener Rendite 326 VII. Beurteilung riskanter Investitionsprojekte mit dem Capital Asset Pricing Model Abb. VII-15: Iteratives Finden der Kapitalmarktlinie im Rendite-Risiko-Diagramm höchste Steigung hat. Dann wählt man einen Wert zwischen den beiden Ausgangswerten für µ, ermi elt Portfolio, Varianz und Geradensteigung und wiederholt die Schri folge iterativ. Dies ist in Abb. VII-15 angedeutet. Möglicherweise ist die Kurve im interessanten linken Bereich stark U-förmig gekrümmt. Daher ist bei einer Iteration mit zu großen Schri en ein Auffinden des optimalen Risikoportfolios nicht sichergestellt. Wenn es auf Feinheiten ankommt, emp ehlt sich deswegen, bereits im ersten Schri das Intervall relevanter Werte für µ in kleinen Abständen abzutasten. Wegen der direkten Berechenbarkeit der Portfolio-Anteilsätze ist dies nicht sehr aufwendig. In unserem Beispiel ndet man folgendes optimale Risikoportfolio: 8,38 % von Wertpapier 1, 50,84 % von Wertpapier 2, 23,35 % von Wertpapier 3 und 17,43 % von Wertpapier 4. Die Rendite-Erwartung beträgt µP̂ = 6,60 %, die Standardabweichung σP̂ = 0,49 % und die Steigung der so erhaltenen Kapitalmarktlinie 1,21. Das optimale Gesamtportfolio kann nach Präzisierung der Rendite-Risiko- Zielkombination sowie Festlegung des zu investierenden Betrags hieraus bestimmt werden. Im untersuchten Beispiel sind im optimalen Risikoportfolio alle vier angebotenen Wertpapiere vertreten; ihre Mischungsanteile sind im Optimum also ohnehin nichtnegativ. Damit unterscheiden sich die Ergebnisse nach den beiden Berechnungsansätzen für erlaubte und für unzulässige Leerverkäufe nicht. Dies entspricht der Theorie des Capital Asset Pricing Model für einen Gesamtmarkt. Rendite þ 9 % 8 % 7 % 5 % 4 % 3,5 % 0 1 % 2 % 3 % 4 % Risiko ÿ P = W 4 4 W 3 W 2 W 1 W 0 P 8 P 6 P 2 P 1 P 3 þ 0 = 6 % P 5 P ^ P 7 3272. Aufbau eines Portfolios mit dem Capital Asset Pricing Model Könnte man davon ausgehen, dass sich auch in der individuellen Entscheidungssituation eines Betriebes die Kaufpreise der angebotenen Wertpapiere bereits so eingependelt haben, dass das optimale Risikoportfolio alle enthält, wäre die Berücksichtigung von Nichtnegativitätsbedingungen wie in 7.47 über üssig. Dies kann aber nicht sinnvoll angenommen werden. In diesem Fall wären ohnehin alle betrieblichen Optimierungsversuche unnütz, da dann die Mischung des Gesamtportfolios nicht übertro en werden kann. Abb. VII-16: Beispiel zur Relevanz der Nichtnegativitätsbedingungen für die Mischungsanteile der Wertpapiere im Risikoportfolio: Tabelle der Anfangswerte Die Abbildungen VII-16 bis VII-18 präsentieren ein Beispiel, in dem das optimale Risikoportfolio nicht alle zur Wahl stehenden Wertpapiere enthält. Hier fällt also die Kapitalmarktlinie bei Zulässigkeit von Leerverkäufen von der bei Beschränkung auf nichtnegative Mischungsanteile auseinander. In Abb. VII-17 sieht man, wie unterschiedlich das e ziente Randstück der realisierbaren Rendite-Risiko-Positionen in beiden Fällen verläuft. Abb. VII-17: Beispiel zur Relevanz der Nichtnegativitätsbedingungen für die Mischungsanteile der Wertpapiere im Risikoportfolio: graphische Darstellung 328 VII. Beurteilung riskanter Investitionsprojekte mit dem Capital Asset Pricing Model Abb. VII-18: Beispiel zur Relevanz der Nichtnegativitätsbedingung für die Mischanteile der Wertpapiere im Risikoportfolio: Berechnungstabelle d) Ein Ansatz zur Rechenvereinfachung Die einfache und schnelle Berechnung e zienter Portfoliopositionen im Beispiel des vorigen Abschni s darf nicht zur Annahme verleiten, die rechneri- 3292. Aufbau eines Portfolios mit dem Capital Asset Pricing Model sche Seite des CAPM-Ansatzes sei insgesamt völlig problemlos. In der Tat wird die Lösungsmethode nicht bei bestimmten Zahlenverhältnissen oder ab einer gewissen Größenordnung prinzipiell problematisch aber sie wird mit steigender Zahl n von Wertpapierarten immer schwerfälliger und langwieriger. Praktisch ist sie für eine sehr große Anzahl n nicht mehr durchführbar und damit unbrauchbar. Dies liegt an der rasch wachsenden Zahl von Kovarianzen, die bei der Ermi lung der Portfoliovarianz gemäß 7.14 gebraucht werden. Das Problem der mit den Wertpapierarten überproportional steigenden Zahl von Kovarianzen wird an Lehrbuchbeispielen nicht sichtbar. Bei vier Wertpapierarten gibt es nur sechs (verschiedene) Kovarianzen, wie ein Blick auf die Tabelle in Abb. VII-11 zeigt. Allgemein sind bei n Wertpapierarten (n2 - n) · ½ verschiedene Kovarianzen zu bearbeiten: Bei tabellarischer Auflistung stehen in der Diagonalen die Einzelvarianzen; oberhalb und unterhalb davon sind die Werte jeweils spiegelgleich. Bei n = 10 Wertpapierarten gibt es 45 Kovarianzen, bei n = 50 bereits 1.225, bei n = 100 sind es 4.950, bei n = 500 schließlich 124.750. Wollte man das Modell tatsächlich etwa explizit im Management von Wertpapierfonds einsetzen, müsste es an solch schnell anwachsenden Größenordnungen scheitern. Freilich: Die Lage mag in der betrieblichen Anwendung harmloser sein, weil eine geringere Zahl von Investitionsmöglichkeiten zum Einbringen in ein Portfolio bereitsteht dann besteht das beschriebene Problem nicht. Die große Anzahl an Kovarianzen macht aber auch schon bei wenigen Investitionsarten den Wunsch nach rechentechnischer Vereinfachung verständlich. Er ist Anlass und Hintergrundmotiv der folgenden Modi zierung des Modells. Idee ist dabei, alle Wertpapierrenditen an eine andere Größe anzuhängen , um so für ihre Kovarianzen einen weniger individuellen Ausdruck zu nden. Ein Ansatzpunkt ist das in 7.24 de nierte Korrelationsverhältnis βPk zwischen den Renditen eines Wertpapiers k und eines Portfolios P: Es stellt eine Beziehung her zwischen der Kovarianz des Wertpapiers k und der Gesamtvarianz des Portfolios: 2 P Pk Pk σ σ=β und damit σPk = βPk σ 2 P. (7.49) Dies deutet einen Weg zur gesuchten Vereinfachung an: Hä e man erst einmal die Portfolio-Varianz σ2P sowie für jedes Wertpapier k die Zahl βPk, wären in der Tat die gesuchten Kovarianzen schon einheitlich über ihre Beziehungen zum Portfolio P beschrieben. Im Augenblick gibt 7.49 freilich nicht mehr an als eine einfache Umformulierung. Eine Interpretation als Berechnungsformel hä e zudem einen entscheidungslogischen Haken: die Portfoliovarianz σ2P kennt man erst nach der Portfoliobildung. Für diese aber braucht man vorher die Kovarianzen. Deshalb ist der skizzierte Weg nur so denkbar, dass zunächst die Portfoliovarianz σ2P und anschließend die Betafaktoren auf heuristische Weise geschätzt werden. Wir untersuchen die Rolle der Betas weiter. Ist das gewählte Portfolio e zient und Wertpapier k Bestandteil dieses Portfolios, dann gilt nach der zentralen CAPM-Gleichung in der Form 7.25 folgender lineare Zusammenhang zwi- 330 VII. Beurteilung riskanter Investitionsprojekte mit dem Capital Asset Pricing Model µk = µ0 + (µP µ0) · βPk. (7.50) µ α µ β µk = αPk + βPk · µP. (7.51) ∼ α β ∼ αi + βi · ∼rInd. (7.52) ∼ ∼ α β α β ∼ ∼ ∼ ∼ 3312. Aufbau eines Portfolios mit dem Capital Asset Pricing Model ε δ∼ ~ri = αi + βi · ~rInd + ~εi + δ ∼ i. (7.53) R~i := αi + βi · ~rInd + ~εi für i = 1, 2, ..., n. (7.54) ε cov(~rInd, ∼εi) = 0 für i = 1, 2, ..., n. (7.55) cov(~εi , ~εj) = 0 für i, j = 1, ..., n mit i ≠ j. (7.56) ~ri = R ~ i + δ ∼ i (7.57) ~ri ≈ R ~ i für i = 1, 2, ..., n (7.58) lineare Indikatorprognose Regressionsabweichung Abweichung durch die Voraussetzung der Linearität und Unabhängigkeit 332 VII. Beurteilung riskanter Investitionsprojekte mit dem Capital Asset Pricing Model δ∼ α α α β β β ε ε ε δ δ δ E(R~ i) = E( ~ri). (7.59) µ µ αi + βi µInd = µi (7.60) E(~εi) = 0 (7.61) E(δ∼i) = 0. (7.62) α α α β β β ε δ δ δ var(~ε1), var ( ~ε2), ..., var( ~εn), var(δ ∼ 1), var(δ ∼ 2), ..., var(δ ∼ n) (7.63) ! ! ! ! 3332. Aufbau eines Portfolios mit dem Capital Asset Pricing Model die Werte eines Aktienindex, wenn es um die Beurteilung von Investitionen in einzelne Aktien der betreffenden Kategorie geht, die durchschni lichen Ergebnisse der bisherigen Investitionen in einem betrieblichen Teilbereich, wenn die jetzt betrachteten Projekte in diesen Bereich fallen. Allgemein kann man brauchbare Aussagen nur erwarten, wenn die Modellvorgaben in 7.58 mit 7.54 bis 7.56 und 7.60 bis 7.63 wenigstens eine gewisse empirische Bestätigung nden können. Gegenüber denkbaren Alternativansätzen wird in 7.54 die Einzelrendite eines Wertpapiers den CAPM-Resultaten entsprechend (nur) mit der Entwicklung einer einzigen Indikatorgröße, nämlich ∼rInd, erklärt. Diese Modellvariante heißt daher auch Single-Index- Modell (vgl. ursprünglich Sharpe [Model] 281; ferner z. B. Haugen [Investment] 134 sowie Francis/Archer [Analysis] 123). Würde man gleichzeitig mehrere Referenzgrößen, etwa verschiedene Wertpapier-Indizes, heranziehen, hä e man ein Multi-Index-Modell . Wir wollen nun untersuchen, welche Auswirkungen die Verwendung des Single-Index-Näherungsansatzes auf die Berechnung der Verteilungsparameter hat, die für die Portfolio-Bildung gebraucht werden. Nehmen wir dazu an, wir stellen ein Portfolio aus n Wertpapieren zusammen; gesucht ist der Anteil wi des Wertpapiers i (i = 1, 2, ..., n). Dieser Anteilsatz könnte zwar nicht negativ, durchaus aber null sein. Dann wäre Wertpapier i nicht im Portfolio enthalten. Der Erwartungswert der Portfolio-Rendite berechnet sich für die Anteilsätze w1, w2, ..., wn zu: == = = == δ+ε+β+α= =δ+ε+β+α⋅=⋅==µ n 1i ii n 1i n 1i n 1i iiIndiiii n 1i iiIndiii n 1i iiPP ).~(Ew)~(Ew)r~(Eww )~~r~(wE)r~w(E)r~(E (7.64) Zur Übersichtlichkeit bildet man folgende Parameter des Portfolios: == β=βα=α n 1i iiP n 1i iiP ,w:,w: (7.65) ferner die Zufallsvariable ~εP der Portfolio-Regressionsabweichung: = ε=ε n 1i iiP .~w:~ (7.66) Berücksichtigt man die Voraussetzungen E(~εi) = 0 und E(δ ∼ i) = 0 für i = 1, 2, ..., n nach 7.61 sowie 7.62, lässt sich 7.64 wie folgt vereinfachen: µP = αP + βP·µInd. (7.67) Für die Berechnung der Portfolio-Varianz benötigen wir die Kovarianzen. Wir wollen sie zunächst bereitstellen. Es gilt für zwei Wertpapiere i und j im Portfolio: 334 VII. Beurteilung riskanter Investitionsprojekte mit dem Capital Asset Pricing Model (1) (1) cov(~ri, ~rj) = E([ ~ri µi]·[ ~rj µj]) = = E([βi·( ~rInd µInd) + ~εi + δ ∼ i]·[ βj·( ~rInd µInd) + ~εj + δ ∼ j]) = = βi·βj·σ²Ind + βi·cov( ~rInd, ~εj) + βj·cov( ∼εi, ~rInd) + E( ~εi ~εj) + (7.68) + βi·cov ( ~rInd, δ ∼ j) + βj·cov (δ ∼ i, ~rInd) + cov ( ~εi, δ ∼ j) + cov (δ ∼ i, ~εj) + cov (δ ∼ i, δ ∼ j). Wegen der Linearitätsannahme 7.55 sind die mit (1) bezeichneten Kovarianzen gleich null. Begnügt man sich mit der Genauigkeit des Näherungsansatzes, dann können alle mit (2) bezeichneten Summanden unberücksichtigt bleiben sie geben den Näherungsfehler an. Schließlich kann der nunmehr letzte Summand E(ε∼i ε∼j) wegen E(ε∼i) = 0 auch wie folgt geschrieben werden: cov (ε∼i, ε ∼ j) = 0 für i ≠ j E(ε∼i ε ∼ j) = E([ε ∼ i - 0] [ε ∼ j - 0]) = cov (ε∼i, ε ∼ j) = var(ε ∼ i) für i = j. Damit erhält man als Näherungsergebnis: cov(~ri, ~rj) ≈ βi βj σ²Ind für i ≠ j (7.70) var(~ri) = cov( ~ri, ~ri) ≈ β²i σ²Ind + var(ε ∼ i) für i = 1, 2, ..., n. (7.71) Im Ausdruck 7.71 wird die Varianz der Rendite in zwei Komponenten aufgegliedert. Sie entsprechen der auf S. 306 für ein Optimalportfolio hergeleiteten Unterscheidung eines systematischen und eines unsystematischen (individuellen) Risikos. Das systematische Risiko drückt sich als Vielfaches des Indikatorrisikos aus; seine Stärke wird durch den Faktor βi erfasst. Das hinzutretende unsystematische Risiko erfasst zufällige Abweichungen von den Verhältnissen auf der Wertpapierlinie. Sie sind inhaltlich durch die Besonderheiten des Wertpapiers i begründet. Mit den gewonnenen Zwischenergebnissen berechnen wir die Varianz eines Portfolios wie folgt: [ ] .)~(varwww )~(varwww)r~,r~(covww n 1i i 2 i 2 Ind n 1i n 1j jiji n 1i n ij 1j n 1i i 2 Ind 2 i 2 i 2 Indjiji n 1i n 1j jiji 2 P == = = ≠ = == = ε+σββ= ε+σβ+σββ⋅≈⋅=σ ↑↑ 7.71und7.707.14 Der letzte Summand in diesem Ausdruck lässt sich als Parameter der Zufallsvariablen ~εP umformen (vgl. 7.66). Da die Abweichungen ε∼1, ε∼2, ..., ε∼n paarweise unabhängig sind und E(~εP) = 0 gilt, erhält man: .)~var(w)~var( n 1i i 2 iP = ε=ε (7.73) (2) (2) (7.69) (7.72) (2) (2) (2) 3352. Aufbau eines Portfolios mit dem Capital Asset Pricing Model Dies in 7.72 eingesetzt und den dortigen ersten Summanden umsortiert, ergibt: ).~(var)~var(w P 2 Ind 2 PP 2 Ind 2 n 1i ii 2 P ε+σβ=ε+σβ≈σ = (7.74) Dieses Ergebnis zeigt, dass sich tatsächlich die Berechnung der Portfolio- Varianz deutlich vereinfacht hat. Im Gegensatz zur allgemeinen Formel 7.21 braucht hier lediglich der Portfolio-Parameter βP als gewichteter Durchschni der Einzelwerte β1, β2, ..., βn einmalig zusätzlich errechnet zu werden; hinzu kommt jedoch die Varianz der Portfolio-Regressionsabweichung ε∼P. Insgesamt ergibt sich somit die angestrebte Vereinfachung für die Berechnung der zentralen Parameter eines beliebig gewählten Portfolios. Im Single-Index-Modell wird angenommen, dass die Renditen aller untersuchten Wertpapiere näherungsweise linear mit einer Indikatorrendite zusammenhängen, dass jedoch wegen der Zufallsbewegungen einer Störgröße ε∼ mit Erwartungswert null Regressionsabweichungen von diesem Zusammenhang auftreten (vgl. 7.54). Dann kann man für jedes beliebig gewählte Portfolio die Rendite-Erwartung µP und die Varianz σ 2 P aus den beiden Parametern des Indikatorportfolios durch µP = αP + βP · µInd und σ2P = β²i σ²Ind + var(ε∼P) einfach berechnen (vgl. 7.67 und 7.74). Dies erlaubt die Analyse auch umfangreicher Portfolios. Problematisch ist der Ansatz dann, wenn die Ausgangshypothese nur schwach empirisch abgesichert ist. Praktisch einzusetzen ist das Single-Index-Modell bei folgender Ausgangssituation: Man hat n Projekte, die sich wie Wertpapiere behandeln lassen, also u. a. beliebig teilbar sind, und die den anderen Voraussetzungen der CAPM-Welt genügen: einperiodige Dauer, Bewertbarkeit ausschließlich über Erwartungswert und Varianz usw. Zu jedem Projekt i (i = 1, 2, ..., n) sind Erwartungswert µi und Varianz σ2i bekannt. Man vermutet eine enge Korrelation der Wertpapierparameter zu einer Indikatorvariablen mit Erwartungswert µInd und Varianz σ2Ind. Zur Anwendung des Single-Index-Näherungsmodells geht man in folgenden Schri en vor: Für jedes Projekt i (i = 1, 2, ..., n) schätzt man ein Beta βi für den angenommenen Zusammenhang zur Indikatorgröße. Um die Prämissen des Single-Index-Näherungsmodells zu erfüllen, passt man die verbleibenden noch nicht festgelegten Modellgrößen wie folgt an: - Man wählt αi so, dass αi + βi µInd = µi (7.75) wird. 336 VII. Beurteilung riskanter Investitionsprojekte mit dem Capital Asset Pricing Model - Man nimmt die Existenz einer Störvariablen ε∼i an, deren Erwartungswert null ist und deren Varianz sich aus der Beziehung 7.71 so berechnet, dass die Varianz der zur Näherung für ~ri verwendeten Funktion R ~ i = αi + βi ~ri + ε∼i mit der Varianz des Projekts i übereinstimmt: var(ε∼i) = σ²i β²i σ²I nd. (7.76) Wenn die Annahmen in sich konsistent sind, muss die so ermittelte Störvariablenvarianz nichtnegativ sein. - Mit den projektbezogenen Größen αi, βi, und var(ε∼i) für Projekt i kann man alle Berechnungen vereinfacht durchführen, die für die Beurteilung eines gegebenen und auch für die Zusammenstellung eines optimalen Portfolios erforderlich sind. Wir betrachten zum Single-Index-Modell ein Beispiel mit vier Projektarten. Die zu ihnen bekannten Erwartungswerte und Standardabweichungen sind in Abb. VII-19 angegeben. Sie entsprechen dem Beispiel aus Abb. VII-11. Als Indikator wird ein bestehendes Portfolio verwendet, dessen Rendite- Erwartungswert bei µInd = 8 % liegt, also um zwei Prozentpunkte über dem Zinssatz von 6 % der risikolosen Finanzanlage. Die Standardabweichung σInd der Indikatorrendite soll 1,2 % betragen. Abb. VII-19 enthält auch die Betawerte, die für die vier zur Wahl stehenden Projektarten geschätzt wurden. Damit können für jeden Titel i die noch fehlenden Modellparameter αi und var(ε∼i) gemäß 7.75 bzw. 7.76 berechnet werden. Sie sind in den Spalten 5 und 6 der Abb. VII-19 aufgeführt. Abb. VII-19: Datenangaben und projektbezogene Parameterberechnung für das Beispiel zum Single-Index-Modell Mit diesen Vorbereitungen kann man für jedes Portfolio aus den vier Projektarten nahezu direkt die beiden zentralen Parameter für Rendite und Risiko angeben. Dazu ermi elt man aus den Portfolio-Anteilen der einzelnen Titel zunächst die Parameter αP, βP und var(ε∼P) gemäß 7.65 und 7.73. Portfolio-Rendite und -Varianz erhält man dann aus 7.67 und 7.74. Einige Berechnungsbeispiele für verschiedene Portfolios sind in Abb. VII-20 zusammengestellt. 3372. Aufbau eines Portfolios mit dem Capital Asset Pricing Model Abb. VII-20: Vereinfachte Berechnung von Portfolio-Parametern nach dem Single-Index-Modell Die einfache Berechnung von Erwartungswert und Varianz eines Portfolios nach dem Single-Index-Modell ist hilfreich, wenn die Anteilsätze w1, w2, ..., wn bereits feststehen. Zur Optimierung dieser Anteilsätze selbst ist auf den allgemeinen Ansatz aus Abschni b (S. 317) zurückzugreifen, wo ein varianzminimales Portfolio mit Hilfe eines Lagrange-Ansatzes gesucht wird. Die Nullstellen der zur Lagrange-Funktion gebildeten ersten Ableitung lassen sich als Lösungen eines linearen Gleichungssystems charakterisieren. Grundlegend für diesen Rechenweg ist daher die Bestückung der zugehörigen Koe zientenmatrix. Für den allgemeinen Fall haben wir sie in 7.37 errechnet und in Abb. VII-10 dargestellt (siehe S. 319). In der Diagonalen stehen die Varianzen, die man jetzt mit Hilfe der Beziehung 7.71 ausdrücken kann. Die Terme ρij · σi · σj (für i, j = 1, 2, ..., n; i ≠ j) außerhalb der Diagonalen vereinfachen sich beim Single-Index-Näherungsansatz und das ist ja sein Zweck gemäß 7.70 zu: ρij σi σj = σij ≈ βi βj σ 2 Ind. (7.77) Die daraus resultierende Form der Koe zientenmatrix des Gleichungssystems, die an die Stelle derjenigen aus Abb. VII-10 tri , zeigt Abb. VII-21. Abb. VII-21: Struktur des linearen Gleichungssystems zur Gewinnung von Risikoportfolios nach dem Single-Index-Näherungsansatz ↑ 7.70 338 VII. Beurteilung riskanter Investitionsprojekte mit dem Capital Asset Pricing Model Optimiert man Risikoportfolios mit Projektdaten, die nach dem Single-Index- Näherungsmodell gewonnen wurden, muss man natürlich eine mehr oder weniger große Abweichung hinnehmen, die von der Ausprägung der beiden in 7.53 unterschiedenen Fehlerarten ε∼i und δ ∼ i (für i = 1, 2, ..., n) abhängt. Wie gut die Ergebnisse des Ansatzes sind, bestimmt sich, wie nicht anders zu erwarten, danach, wie gut der Ansatz überhaupt sowie die gewählten Parameter im Detail auf das gestellte Problem passen. Nehmen wir beispielsweise an, mit den in unserem Beispiel verwendeten Werten sei versucht worden, die im früheren Beispiel des Abschni s b vorliegenden Werte anzunähern, dann kann man die dabei verursachte Abweichung explizit berechnen. Dies ist natürlich im Anwendungsfall nicht möglich: Würde man die genauen Werte kennen, gäbe es keinen Grund mehr, einen Näherungsansatz dafür zu verwenden. Abb. VII-22 vermittelt anhand unseres Beispiels einen Eindruck davon, wie exakte Rechnung und Näherungsansatz voneinander abweichen können. Wie an der entsprechenden Stelle in Abschnitt b eingeführt, wird zu jeweils vorgegebener Rendite-Erwartung ein risikominimales Portfolio gesucht. Im jetzigen Beispiel ist dabei die Zusatzbedingung nichtnegativer Anteilsätze gesetzt worden. Die beiden interessierenden Parameter für Rendite und Risiko des gefundenen Portfolios ergeben einen Punkt der gesuchten Kurve. Die durchgezogene Kurve ist mit den Werten des Single- Index-Näherungsmodells errechnet. Zum Vergleich ist in das Diagramm gestrichelt die Kurve eingezeichnet, die sich mit den exakten Werten ergibt (siehe Abschnitt b). Abb. VII-22: Vergleich exakt und nach Single-Index-Näherung gewonnener Risikoportfolios In unserem Beispiel bietet das Single-Index-Modell insgesamt (zufällig) eine relativ gute Näherung. Allerdings weisen die beiden Geraden für die Mischung mit der risikolosen Finanzanlage größere Unterschiede auf. In gepunkteter Darstellung ist noch eine dritte Kurve zum Vergleich eingezeichnet. Sie enthält die exakten Rendite-Risiko-Positionen, die sich für die im Näherungsmodell Rendite 8 % 7 % 5 % 0 1 % 2 % 3 % Risiko ÿ þ 0 = 6 % þ effiziente Risikoportfolios nach exakten Daten effiziente Risikoportfolios nach den Näherungswerten des Single-Index-Modells exakte Parameter für die nach dem Single-Index-Modell gewonnenen Portfolios 4 % 3392. Aufbau eines Portfolios mit dem Capital Asset Pricing Model optimierten Anteilsätze tatsächlich ergeben. Vor allem hier bestehen in unserem Beispiel deutliche Abweichungen. Die Ergebnisse aus Abb. VII-22 können nicht verallgemeinert werden, da die Wahl des Indikatorportfolios, von der die Qualität der Mischung weitgehend abhängt, keiner vorgegebenen Gesetzmäßigkeit unterliegt. Mit dem Ansatz des Single-Index-Modells gelingt eine deutliche Vereinfachung der rechentechnischen Seite einer Portfolio-Optimierung. Die zugrundeliegende Prämisse besteht darin, dass man eine Indikatorrendite kennt, an die sich die Einzelrenditen der Wertpapiere linear koppeln lassen. Die Annahme einer linearen Beziehung ist in sich konsistent, wenn das verwendete Referenzportfolio ein optimales Risikoportfolio ist, die Prämissen des Capital Asset Pricing Model akzeptiert werden und die verwendeten empirischen Beobachtungswerte dem nicht o ensichtlich widersprechen. Der Zweck des Ansatzes wird nur erreicht, wenn die Parameter µInd und σ²Ind des Referenzportfolios konkret vorliegen. Kommen wir nach den inzwischen analysierten Zusammenhängen jetzt auf den Sonderfall zurück, dass als Schätzgrundlage ein bestehendes Portfolio herangezogen wird, dessen Gesamtrendite die Indikatorrolle übernimmt und das die zu untersuchenden Wertpapiere bereits enthält. Beispielsweise ist dies bei einem entsprechenden Marktportfolio der Fall. Welchen Zweck kann der Single-Index-Ansatz bei dieser Prämissenlage überhaupt noch verfolgen? Die Renditen, Varianzen und Kovarianzen sind per Ausgangshypothese bekannt bzw. berechenbar; das optimale Risikoportfolio mit seinen Parametern ist ebenfalls bekannt. Nun: Ausgangspunkt unseres Zugri s auf diesen Ansatz war die Frage nach der Zusammenstellung eines optimalen Portfolios. Offensichtlich kommt aber das hier als bekannt angenommene Marktportfolio es wäre bei den Annahmen, unter denen wir hier arbeiten, die beste Antwort dafür nicht in Frage, sondern man sucht ein anderes Portfolio. Daraus entsteht die Notwendigkeit, Portfolio-Varianzen überhaupt zu berechnen, wofür sich der verkürzte Rechenansatz anbietet. Der Grund für die mangelnde Eignung des Marktportfolios kann darin liegen, dass es einfach zu viele Titel umfasst. Weder will man sich mit so vielen verschiedenen Wertpapierarten beschäftigen, die im Marktportfolio vorkommen, noch mögen angesichts des insgesamt zu investierenden Betrages die resultierenden Stückzahlen der Wertpapiere eine vernünftige Mindestgröße erreichen. Das Szenario, in das der Single-Index-Ansatz im angesprochenen Sonderfall passt, ist also mit der Suche nach einem (optimalen) Zwischen -Portfolio zu umschreiben, das nur einen Teil der insgesamt im Marktportfolio enthaltenen Wertpapiere umfasst und dennoch eine möglichst gute Rendite-Risiko- Position einnimmt. Formal würde man die Bedingung setzen, dass nur für manche Wertpapiere i der Anteilsatz wi ungleich null sein darf; in der konkreten Rechnung kann man sich natürlich gleich nur auf diejenigen Wertpapierarten beschränken, die tatsächlich für die Konstruktion des Portfolios zur Verfügung stehen (n ist dann entsprechend kleiner). Allgemein steht und fällt der Nutzen des Single-Index-Modells mit der verwendeten Referenzgröße. Gelingt es, eine Zufallsvariable zu nden (oder zu de nieren), deren Erwartungswert und Varianz einen engen linearen Regres- 340 VII. Beurteilung riskanter Investitionsprojekte mit dem Capital Asset Pricing Model sionszusammenhang zu den Parametern der zu beurteilenden Wertpapiere zeigen, kann es gute Dienste leisten. Die Vorteile werden um so deutlicher, je größer die Anzahl dieser Wertpapiere ist. Freilich dürfte dann auch die Suche nach einer geeigneten Indikatorgröße schwieriger und ihre Güte schlechter werden. Bei wenigen zur Wahl stehenden Wertpapieren dagegen ist die rechentechnische Ersparnis durch den Näherungsansatz geringer. e) Besonderheiten der Portfolio-Optimierung bei unteilbaren Projekten Die gesamte Portfolio-Entwicklung, die wir im vorhergehenden Abschni nachvollzogen haben, steht und fällt mit der Möglichkeit, die einzelnen Wertpapiere in beliebigen Anteilen zu kombinieren. Diese Voraussetzung ist indessen bei zahlreichen Realinvestitionen nicht gegeben. Wir betrachten deshalb die Bildung eines optimalen Portfolios aus unteilbaren Projekten. Genauer wollen wir annehmen, es gäbe n Projekte, die man jeweils entweder als Ganzes realisieren kann oder gar nicht. Es ist also weder möglich, ein Projekt im Ausmaß von nur 50 % oder einem anderen Anteil durchzuführen, noch kann es mehrfach gewählt werden. Damit ist eine zum bisherigen völlig entgegengesetzte Voraussetzung gegeben. Die Tatsache, dass die Projekte nur als einheitliches Ganzes behandelt werden können, hat weitreichende Konsequenzen. So konnte in diesem Kapitel VII bisher der Kapitaleinsatz einheitlich auf 1, normiert werden; der nach einem Jahr erzielte Überschuss war deshalb (korrekt) in Form einer Rendite darstellbar. Jetzt erfordern die Projekte im Allgemeinen verschieden hohen Kapitaleinsatz; eine Rentabilitätsangabe ist zum einen deswegen, zum anderen wegen der mangelnden Teilbarkeit nicht sinnvoll. Somit ist der Erfolg eines Projekts i aus dem Anscha ungsbetrag Ai0 einerseits und dem Überschuss i1Ü ~ nach einem Jahr andererseits zu erfassen. Letzterer ist als Zufallsvariable abzubilden. Will man den Erfolg in einer einzigen Zahl ausdrücken, bietet es sich an, die nach einem Jahr entstehenden Überschüsse mit dem Zinssatz µ0 der risikolosen Anlage abzuzinsen: .A:c~ 0i 0 1i i 1 Ü ~ −= µ+ (7.78) Als Di erenz erhält man den Kapitalwert nach üblicher Interpretation. Allerdings ist auch er als Zufallsvariable zu interpretieren, da die Überschüsse zustandsabhängig sind. Für die weitere Analyse verwenden wir, wie bisher, die beiden Parameter Erwartungswert des Kapitalwertes: 0i 0 1i ii A)c ~(E: 1 )Ü ~ (E −==µ µ+ (7.79) und Varianz des Kapitalwertes: ).)]Ü ~ (EÜ ~ ([E)]c~([E)c~var(: 21i1i2 0 2 iii 2 i )1( 1 −=µ−==σ µ+ (7.80) 3412. Aufbau eines Portfolios mit dem Capital Asset Pricing Model Damit liegen vergleichbare Datenangaben vor wie in den bisherigen Fällen. Allerdings werden die Parameter µi und σ2i eines Projekts i eine andere Grö- ßenordnung haben als seine Rendite und deren Varianz. Daher ist auch das bisherige Rendite-Risiko-Diagramm nur analog, nicht aber identisch übertragbar. Dies wird vor allem deutlich, wenn wir uns die Positionierung der sicheren Finanzanlage in einem solchen Diagramm überlegen. Im Gegensatz zu den anderen Projekten ist bei ihr der Anlagebetrag im Allgemeinen o en. Ferner ist sie als Abzinsungsmaß in der Bewertung der anderen Projekte herangezogen worden. Insgesamt zeigt sich, dass ein Kapitalwert-Standardabweichungs- Diagramm im vorliegenden Fall am ehesten die Analyse des Zusammenhangs zwischen Überschuss und Risiko erlaubt. Wir wollen, der üblichen Sprechweise folgend, auch diese Variante als Rendite-Risiko-Diagramm bezeichnen. Die risikolose Finanzanlage wird in diesem Konzept im Nullpunkt dargestellt, da die Ordinatenwerte den Kapitalwert als Überschuss über die Anlage zum Zinssatz der risikolosen Finanzanlage erfassen. Dann ist der zusätzliche Überschuss der Finanzanlage null. Wir betrachten ein Beispiel mit vier Projekten. Ihre Daten sind in Abb. VII-23 aufgelistet. Dort sind auch für jedes Projekt der erwartete Kapitalwert und dessen Varianz ermi elt. Der Zinssatz der risikolosen Anlage beträgt wieder 6 %. Abb. VII-24 zeigt ein Rendite-Risiko-Diagramm der bekannten Art, in dem die Positionen der vier Projekte eingetragen sind. Abb. VII-23: Angaben zu vier unteilbaren Projekten zur Bildung eines Portfolios Zu beurteilen ist die Frage, welche der vier Projekte realisiert werden sollen. Dabei spielt eine Rolle, ob und wie sich das Gesamtrisiko ändert, u. U. auch reduziert, wenn sta nur eines Einzelprojekts ein Portfolio mit mehreren gewählt wird. Wieder kann bei entsprechenden Korrelationsverhältnissen die Gesamtvarianz durch Kombination zweier oder mehrerer Projekte verkleinert werden. 342 VII. Beurteilung riskanter Investitionsprojekte mit dem Capital Asset Pricing Model Abb. VII-24: Rendite-Risiko-Diagramm für unteilbare Projekte Die Parameter eines Portfolios aus n Projekten mit gegebenen Parametern µi und σ2i (i = 1, 2, ..., n) berechnen sich für den Fall der Überschussmessung per Kapitalwert und entsprechender Varianzermi lung analog zu 7.2: Erwartungswert des Kapitalwertes: ( ) = µ==µ n 1i iPP cE ~ , (7.81) Varianz des Kapitalwertes: . n 1i n 1j jiij 2 P = = σσρ=σ (7.82) Hierin bezeichnet ρij den Korrelationskoe zienten zwischen den Überschüssen des Projekts i und denen des Projekts j; es gilt ρii = 1 für i = 1, 2, ..., n. Die Korrelationskoe zienten für die Beispielprojekte sind Abb. VII-23 zu entnehmen. Gegenüber den entsprechenden Formeln für kontinuierlich variierbare Projekthöhen fehlt in 7.83 und 7.82 die Multiplikation mit Anteilsätzen wi, da ja jedes Projekt bei Aufnahme in das Portfolio nur vollständig durchgeführt werden kann. Die Kapitaleinsätze der Projekte sind daher nicht normiert worden, sondern haben bereits genau die zur Realisation erforderliche Höhe. Mit den Formeln 7.81 und 7.82 lässt sich die Wirkung einer Portfoliobildung unmittelbar berechnen. In unserem Beispiel hat ein Portfolio aus Projekt 1 und Projekt 4 einen erwarteten Kapitalwert von µP = 816,98 bei einer Standardabweichung von σP = 551, . Demgegenüber bringt die isolierte Durchführung von je nur einem dieser Projekte einen erwarteten Kapitalwert von µ1 = 609,43 3432. Aufbau eines Portfolios mit dem Capital Asset Pricing Model bzw. µ4 = 207,55 sowie die gleiche bzw. sogar eine höhere Standardabweichung (σ1 = 573,85 ; σ4 = 550,09 ) als das Portfolio aus beiden. Die Positionierung dieses und einiger weiterer Portfolio im Rendite-Risiko-Diagramm zeigt Abb. VII-24. Allerdings muss man bei der Interpretation von Aussagen zum Portfoliovergleich vorsichtig sein. Schließlich ist weder bei den Einzelprojekten noch beim Portfolio der Kapitaleinsatz normiert. Das bereitet zwar, wie wir wissen, für die Interpretation des Kapitalwertes keine Schwierigkeiten, aber doch für dessen Standardabweichung. Insbesondere können wir nicht davon ausgehen, dass hier noch die Voraussetzungen der Tobin-Separation (siehe S. 307 f.) gegeben sind, nach der man ohne Kenntnis der Risikopräferenz des Entscheidungsträgers ein optimales Risikoportfolio nden könnte, aus dessen Kombination mit der risikolosen Finanzanlage sich dann erst das individuelle Optimum ergibt. Diese Vereinfachung des Capital Asset Pricing Model bleibt also im Fall unteilbarer Projekte allgemein nicht anwendbar. Wir müssen deshalb unmi elbar auf die Risikopräferenz des Entscheidungsträgers zurückgreifen, um unterschiedliche Rendite-Risiko-Positionen bewerten zu können. Im Weiteren gehen wir in unserem Beispiel davon aus, dass unser Entscheidungsträger das µ-σ-Prinzip anwendet und folgende Zielfunktion hat: z = µ 0,5·σ. (7.83) Die Problematik einer derartigen Risiko-Zielfunktion haben wir in Kapitel VI, Teil 4 diskutiert. Wir verwenden für unser Beispiel hier diese Zielfunktion wegen der leichten Nachvollziehbarkeit der Ergebnisse, weisen aber gleichzeitig darauf hin, dass das im Folgenden dargestellte Vorgehen unabhängig von der gewählten Zielfunktion ist. Damit können Projekte und Portfolios gleich endgültig bewertet werden; die Suche nach optimalen Risikoportfolios als Zwischenschri entfällt. Das vorhin betrachtete Portfolio aus Projekt 1 und 4 bringt es auf einen Zielwert von 541,48, während die Zielwerte beider einzelner Projekte mit z1 = 322,51 und z4 = 67,50 deutlich niedriger ausfallen. Allgemein verbessert nicht jedes zusätzliche Projekt den Zielwert, da dessen Wirkung auf die negativ eingehende Portfolio-Standardabweichung zu prüfen ist. Das nunmehr entstandene Problem der Portfoliobildung aus unteilbaren Projekten ist nach seiner Struktur identisch mit dem entsprechenden allgemeinen Programmplanungsproblem, das wir in Kapitel V, Teil 2 mit der dynamischen Planungsrechnung gelöst haben. Einzige Besonderheit ist die Risiko-Zielfunktion. Im hier als Beispiel herangezogenen Portfolioproblem geht es um die Kombination von vier Einzelprojekten. Der Entscheidungsbaum dazu entspricht der in Abb. V-10 (Kapitel V, S. 212) dargestellten allgemeinen Form. Abb. VII-25 zeigt den Entscheidungsbaum nach der Abrechnung, in Abb. VII- 26 sind die Berechnungsdetails aufgelistet. Die Ergebnisse der sukzessiven Optimierung entstehen im Entscheidungsbaum von rechts her. Beispielsweise ist bei Knoten (X000) bereits festgestellt worden, ob es besser ist, Projekt 1 zu realisieren oder nicht. Dasselbe gilt bei (00X0) für Projekt 3. So ist bei Knoten (X0X0) zu prüfen, ob ein Portfolio aus Projekt 1 und 3 besser ist als das Ergebnis von (X000) und das von (00X0). Die 344 VII. B eurteilung riskanter Investitionsprojekte m it dem C apitalA sset Pricing M odel . . . * * * . . . ** * * * . . . . . . * * * * * * Gesamtportfolio : In die Portfoliowahl einbezogene Projekte Anzahl der in die Portfoliowahl einbezogenen Projekte Entscheidung über zwei Projekte Entscheidung über ein Projekt Entscheidung über drei Projekte Entscheidung über vier Projekte 0X0X . . . (2,4) z = 207,44 0XXX 000X (0) z = 0 00X00XX0 (0) z = 0 (2) z = 81,46 (1,4) z = 541,48 XX0X . . . 0X00 . . . X00X . . . . . . (2) z = 81,46 (1,4) z = 541,48 (1,2,4) z = 779,39 X0XX XXX0 . . . X000 . . . X0X0 (1) z = 322,51 (1,3) z = 348,91 (1,2) z = 503,90 XX00 (1,2) z = 503,90 00XX * (0) z = 0 Zielwert z für das Portfolio tatsächlich gewähltes Portfolio in die Entscheidung einbezogene Projekte... ... ( ) XXXX * (1,2,4) z = 779,39 0000 (0) z = 0 (2,4) z = 207,44 Abb. VII-25: Entscheidungsbaum zur Konstruktion eines optimalen Portfolios aus vier unteilbaren Projekten 3452. Aufbau eines Portfolios mit dem Capital Asset Pricing Model Abb. VII-26: Retrograde Berechnung der optimalen Portfolio-Zusammensetzung im Entscheidungsbaum der Abb. VII-25 Verbindungslinien im Baum von Abb. VII-25 zeigen, wo Vor-Ergebnisse herangezogen werden. Die jeweils vorteilhafteste Portfoliozusammensetzung eines Knotens ist durch die verstärkte rechtsseitige Kante gekennzeichnet. Beispielsweise ist aus den Projekten 1 und 3 am günstigsten ein gemeinsames Portfolio zu bilden. Dies zeigt die vom Knoten (X0X0) verstärkt nach unten führende Kante. Der erwartete Zielwert hierfür beträgt 348,91. Stehen dagegen die Projekte 1, 3 und 4 zur Verfügung, realisiert man am besten lediglich das Portfolio aus Projekt 1 und 4, lässt also Projekt 3 unberücksichtigt. Diese Entscheidung erkennt man an der verstärkten Kante von Knoten (X0XX) zu Knoten (X00X). Bei allen Knoten ist der beste erreichbare Zielwert z im unteren Teil des Kästchens eingetragen. Die verstärkt gezeichneten Kanten nach rechts bzw. unten zeigen, wie diese Zielwerte zustandekommen. Auf diese Weise rechnet man den Entscheidungsbaum von rechts nach links ab. Wenn man den ersten Knoten (XXXX) erreicht hat, ist die Lösung komple . 346 VII. Beurteilung riskanter Investitionsprojekte mit dem Capital Asset Pricing Model 3. Projektbeurteilung bei bereits bestehendem betrieblichen Portfolio a) Bewertungsmöglichkeiten einer Portfolio-Ergänzung µ σ .ß 2 P )1( Pk)1( k σ σ= (7.84) 3473. Projektbeurteilung bei bereits bestehendem betrieblichen Portfolio Abb. VII-27: Beurteilung von Neuprojekten mit der Wertpapierlinie Schließlich wäre zu prüfen, ob mit den errechneten Werten die Gleichung der Wertpapierlinie 7.25 erfüllt ist oder nicht: )1( Pk0P0 )1( k )( β⋅µ−µ+µµ . (7.85) Nach dem zweiten Ansatz zieht man die Preisgleichung 7.30 heran. Sie gibt den Wert eines Projekts an, der für ein Projekt gelten würde, das bereits Bestandteil des Portfolios ist. Der tatsächliche Anschaffungspreis wird also in Frage gestellt. Deshalb wären die Erwartungswerte der Projektüberschüsse E(Ük) sowie die Kovarianzen cov(Ük, ~rp) bereitzustellen und daraus der Projektwert ⋅λ−= µ+ )r~,Ü ~ (cov)Ü ~ (Ev Pkk 0 )2( k 1 1 (7.86) nach 7.30 zu ermi eln. Dies ist eine Art portfoliokonsistenter Wert. Er sagt, wie das Neuprojekt unter den Bedingungen zu bewerten wäre, die im bisherigen Portfolio gelten. Liegt dann der tatsächlich zu zahlende Anscha ungspreis Ak0 darunter, ist das Geschäft vorteilhaft, andernfalls nicht: .Av 0k )2( k (7.87) Der hochgestellte Index (2) soll anzeigen, dass hier nach dem zweiten Ansatz vorgegangen wird. In der Tat sind die beiden Ansatzpunkte für die Beurteilung in ihren Feinheiten durchaus unterschiedlich. Die Rendite nach Ansatz 1 berechnet sich mit dem Anscha ungspreis Ak0 aus: .1E 0 k 0 0k)1( k A )Ü ~ (E A AÜ ~ −== −µ (7.88) ? > = < ? > = < 348 VII. Beurteilung riskanter Investitionsprojekte mit dem Capital Asset Pricing Model Nach Ansatz 2 wird aber gerade der Anscha ungspreis als korrekter (d. h. mit der bisherigen Portfoliobewertung konsistenter) Wert des Projekts angezweifelt. Sta dessen wird der Wert vk(2) als den Annahmen entsprechender Wert berechnet. Damit ist die in 7.88 berechnete Rendite-Erwartung µk(1) ebenfalls nicht korrekt. Aber auch die für Ansatz 1 berechnete Kovarianz ist auf der Grundlage der Rendite-Erwartung µk(1) ermi elt; damit ist aus Sicht von Ansatz 2 auch der rechte Gleichungswert in 7.85 anzuzweifeln. Argumentiert man aus Sicht des ersten Ansatzes, könnte man analog die Notwendigkeit einer besonderen Preisberechnung anzweifeln, da ja das Projekt objektiv einen Anscha ungspreis hat, der in den meisten Fällen sogar empirisch beobachtbar ist und dementsprechend auch im Modell als feststehend und nicht als Zufallsvariable vorzusehen ist. Eine Nichterfüllung der CAPM- Gleichung würde aus dieser Sicht nicht als Einkauf unter Preis , sondern als höhere Rendite als im bisherigen Portfolio interpretiert. In der Literatur wird lediglich der erste Ansatz in Zweifel gezogen. Dies hat aber einen einfachen Grund. Soweit erkennbar, wird dort, wo der Ansatz 1, die Analyse nach der Wertpapierlinie, vertreten wird, der Alternativansatz 2 nicht angesprochen, somit auch nicht problematisiert (vgl. hierzu eine Reihe gängiger Lehrbücher, so z. B. Brealey/Myers/Allen [Principles] 222 f.; van Horne [Financial Policy] 89 f.). Andererseits verlangt Ansatz 2 schon wegen seines mehr vom CAPM-Standardvorgehen abweichenden Rechenansatzes (vgl. z. B. Drukarczyk [Theorie] 261 .; Kruschwitz/Husmann [Finanzierung] 213 .) nach einer besonderen Begründung. Um die ohne Zweifel unterschiedlichen Ansätze besser beurteilen zu können, werfen wir zunächst einen grundsätzlichen Blick auf die Prämissen, unter denen wir das Capital Asset Pricing Model überhaupt zur Bewertung heranziehen. Gehen wir beispielsweise davon aus, die Annahmen und Folgerungen des Capital Asset Pricing Model träfen für den gesamten Markt jener Art von Investitionsprojekten zu, die wir betrachten, dann erstreckt sich die Gültigkeit der Wertpapierlinie und der Preisgleichung u. a. auf alle relevanten Alternativen unserer Entscheidungssituation. Indessen: Dann muss man konsequenterweise auch annehmen, dass wir (wie alle entsprechenden anderen Mark eilnehmer) bereits einen Teil des Marktportfolios halten. Und dieses umfasst eben auch das Projekt k, über das wir gerade nachdenken. Eine Veränderung des optimalen Anteils würde vom Optimum wegführen. Sieht man von diesem (eher ober ächlichen) Einwand ab und geht davon aus, dass das Projekt tatsächlich neu und daher im Marktportfolio noch nicht enthalten ist, dann gibt es bei der übersichtlichen Entscheidungslage der CAPM- Welt keinen Grund, zu vermuten, das Neuprojekt werde mit einer Risiko- Rendite-Position angeboten, die von der Wertpapierlinie abweicht. Dann aber stünde der Entscheidungsträger einer Aufnahme dieses Projekts in sein Portfolio indifferent gegenüber. Akzeptiert man die CAPM-Voraussetzung und geht von einer bereits bestehenden Gleichgewichtslösung aus, gibt es somit für den Investor nichts mehr zu tun. An diesen Argumenten sehen wir, dass es nicht sinnvoll ist, anzunehmen, die bereits gewählten und auch die zur Wahl anstehenden Alternativen befänden sich bereits in einem CAPM-Gleichgewicht. In einer solchen Welt hä e unsere Frage gar keinen Sinn. Eine brauchbare Modellanwendung kann nur zustande 3493. Projektbeurteilung bei bereits bestehendem betrieblichen Portfolio kommen, wenn man, wie eingangs geschehen, annimmt, ein gewisses Portfolio sei vorhanden und weitere Neuprojekte sollen auf eine Aufnahme in das Portfolio hin beurteilt werden. So können wir die CAPM-Gleichungen mit den Werten für das bisherige Portfolio auf das Neuprojekt anwenden. Erfüllt es (zufällig) genau die gleichen Bedingungen für seine Rendite-Risiko-Position wie das Portfolio, dann ergibt seine Aufnahme keinerlei Änderung der bisherigen Zielposition. Ist das Projekt aber besser oder schlechter als die bisherigen, werden die CAPM-Gleichungen nicht erfüllt sein. Betrachten wir dazu ein Beispiel, das mit Ansatz 1 gelöst wird. Es liege ein Portfolio P mit einer Rendite-Erwartung von 12,45 % sowie einer Varianz von 20,35 %2 vor. Der Zinssatz für die risikolose Finanzanlage betrage 6 %. Zu beurteilen ist ein Projekt 102, dessen Anscha ungsausgaben A102, 0 = 750, betragen. Aus der Verteilung der Rück üsse nach einem Jahr hat man bereits ihren Erwartungswert mit 907,50 berechnet. Dies ergibt eine Rendite-Erwartung von 21 %. Mit diesen Zahlen hat man als Kovarianz zwischen den Renditen des Portfolios und des Neuprojekts 102 den Wert σP,102 = 34,55 %2 ermi elt. So ergibt sich als Mindest-Rendite gemäß der rechten Seite von 7.85: .%95,16 %35,20 %55,34%)645,12(%6 )( 2 2 )1( 102,P0P0 =⋅−+= β⋅µ−µ+= (7.89) Die errechnete Rendite-Erwartung beträgt µ(110)2 = 21 % und übertri t daher die in 7.89 ermi elte Mindest-Rendite um C(110)2 = 4,05 %. Das Neuprojekt 102 wäre damit nach Ansatz 1 vorteilhaft, also anzunehmen. Im Beispiel gibt die Zusatzrendite von C(110)2 = 4,05 % an, wie weit die Rendite des Neuprojekts 102 diejenige nach der Wertpapierlinie übersteigt. Allgemein kann man allerdings die Abweichung Ck eines Projekts k vom CAPM- Zustand verschieden messen. Dies ist nicht ohne Bedeutung für die Interpretation. Die beiden Ansätze messen die Abweichung wie folgt: Ansatz 1:Beurteilung nach der Wertpapierlinie: [ ])1(Pk0P0)1(k)1(k )(C : β⋅µ−µ+µ−µ= . (7.90) Ansatz 2:Beurteilung nach der CAPM-Preisgleichung: .A)r~,Ü ~ cov()Ü ~ (E 1 1AvC 0k )2( Pk )2( k 0 0k )2( k )2( k : −⋅λ− µ+ =−= (7.91) Jeweils gilt: Ist C(k1 ) bzw. Ck(2) positiv, dann ist das Projekt k vorteilhafter als das bisherige Portfolio; bei negativem Wert ist es nachteiliger; beim Wert null ist man indi erent. Zunächst wollen wir die Frage klären, ob beide Ansätze überhaupt zu unterschiedlichen Grundaussagen kommen können, d. h. die beiden Werte für Ck tatsächlich ermittelte Risiko- Erwartung für das Projektbeta nach der Wertpapierlinie geltende Risiko-Erwartung Mindest-Rendite 350 VII. Beurteilung riskanter Investitionsprojekte mit dem Capital Asset Pricing Model sich im Vorzeichen unterscheiden können. Die in Ansatz 1 verwendeten Werte berechnen sich wie folgt: µk (1) nach 7.88; βk (1) nach 7.84; .)Ü ~ ,r~cov(),r~cov()r~,r~cov( kP 00 0k P )1( kP )1( Pk A 1 A AÜ ~ ⋅===σ − (7.92) Damit lautet das Kriterium 7.85 des Ansatzes 1 nun: ( ) 2 P kP 0 0P0 0 1 A 1 A )kÜ ~ (E )Ü ~ ,r~cov(1 σ ⋅ ⋅⋅µ−µ+µ− (7.93) Mit 2 P 0P σ µ−µ =λ aus 7.26 erhält man nach Umsortieren: 000kPk AA)Ü ~ ,r~(cov)Ü ~ (E µ⋅+⋅λ− oder: .A )1( )Ü ~ ,r~(cov)Ü ~ (E 0 0 kPk µ+ ⋅λ− (7.94) Die linke Seite entspricht aber genau dem Wert vk(2) nach der De nition 7.86. Demnach stimmen die Kriterien stets im Vorzeichen überein. Ein Projekt, das nach dem einen Ansatz als vorteilhaft identi ziert wird, ist es auch nach dem anderen. Dies ist zunächst ein wichtiges Zwischenergebnis. Es verdeutlicht auch, worauf es bei der Beurteilung eines Neuprojekts ankommt. Die individuelle Varianz des Neuprojekts spielt hierbei ersichtlich keinerlei Rolle. Sie kommt bei den Berechnungen erst gar nicht vor. Nach den Erkenntnissen der Portfolio- Selektion und des Capital Asset Pricing Model sind dagegen die erwarteten Überschüsse sowie ihre Kovarianz von Projekt zum Portfolio entscheidend. Ob es vorteilhaft ist oder nicht, ein neues Projekt in ein bestehendes Portfolio von bereits gewählten Projekten aufzunehmen, entscheidet sich im einperiodigen Fall nach den erwarteten Überschüssen bzw. der Rendite-Erwartung des Projekts einerseits und der Kovarianz der Überschüsse von Projekt und Portfolio (bzw. dem Betawert des Projekts) andererseits. Nach den gewonnenen Erkenntnissen ist es unerheblich, ob man die grundsätzliche Vorteilhaftigkeit nach der Positionierung des Neuprojekts gegenüber der Wertpapierlinie (Ansatz 1) oder nach seiner Wertberechnung (Ansatz 2) feststellt. Anders verhält es sich jedoch mit der weiteren Verwendbarkeit ermi elter Abweichungen Ck(1) bzw. Ck(2). Es kann ja durchaus interessant sein, nicht nur die Tatsache des Abweichens von der Portfolio-Situation zu kennen, ? > = < ? > = < ? > = < 3513. Projektbeurteilung bei bereits bestehendem betrieblichen Portfolio sondern auch dessen Ausmaß. Beispielsweise gibt es mehrere Projekte mit positiven Abweichungswerten, und man möchte das relativ beste davon wählen. Was sagen uns also die Abweichungswerte Ck(1) und Ck(2)? Die nach Ansatz 1 ermi elte Abweichung Ck(1) (vgl. 7.90) ist eine Art Zusatzrendite. Sie gibt an, um wieviel Prozentpunkte das beurteilte Projekt mehr an Rendite bringt, als es nach den Portfolio-Verhältnissen der Fall wäre. Es ist eine Rendite-Di erenz. Das Maß Ck(2) (vgl. 7.91) gibt hingegen die Kapitalwert- Erwartung an, wobei durch Ansatz eines Sicherheitsäquivalents, mit Hilfe der Portfolio-Parameter berechnet, die Risikosituation berücksichtigt ist. Nach dieser Interpretation ist unmi elbar klar, dass die Renditedi erenz Ck(1) im Allgemeinen für eine Alternativenreihung keinerlei Nutzen bringt. Eine Ausnahme sind lediglich die typischen CAPM-Projekte: in beliebiger Häu gkeit durchführbar und nach einem Jahr abgeschlossen. Dann könnte man tatsächlich soviel wie möglich in das Projekt mit der höchsten Renditedi erenz investieren. Fällt bloß die beliebige Teilbarkeit des Projekts weg, ist ein Renditekriterium nicht mehr brauchbar. Von der Renditedi erenz ist nur das Vorzeichen, nicht aber die Höhe hilfreich. Mit dem Kapitalwert als absolutem zusätzlichen Zielbeitrag gegenüber der Ausgangsposition des Portfolios kann dagegen auch bei Wegfall der beliebigen Projek eilbarkeit unmi elbar eine Alternativenreihenfolge gebildet werden. Wir legen daher nachfolgend diesen allgemeiner anwendbaren Ansatz zugrunde. Aus dem Vergleich der Anschaffungsausgaben Ak0 eines Neuprojekts k mit seinem portfoliokonsistenten Wert vk erhält man ein einfaches Entscheidungskriterium für die Ja/Nein-Frage. In welcher Höhe ein positiv bewertetes Projekt schließlich in das Portfolio des Betriebs ein ießt, ist eine davon unabhängige Frage. Bei Finanzinvestitionen kann die Höhe oft nahezu beliebig gewählt werden. Handelt es sich dagegen um die Entscheidung über eine Realinvestition, muss man sich etwas weiter von der Gültigkeit der Modellvoraussetzungen des Capital Asset Pricing Model für den Gesamtmarkt entfernen. Das ist aber zunächst für die Anwendbarkeit der CAPM-Formeln und ihre Gültigkeit ohne prinzipiellen Belang. Wir gehen in diesem Fall jetzt davon aus, der Investor habe bereits eine ganze Reihe von risikobehafteten Investitionen, insbesondere auch in Finanzanlagen, getätigt und damit ein Portfolio zusammengestellt, das den oben hergeleiteten Optimalitätsbedingungen entspricht. Ein weiterer Teil des investierten Betrages ist in eine risikolose Anlage ge ossen. Jetzt bietet sich eine neue, weitere Investitionsmöglichkeit, über deren Aufnahme in das bisherige Portfolio zu entscheiden ist. Dies ist eine Realinvestition, die nur als Ganzes entweder akzeptiert oder abgelehnt werden kann. Eine Realisation in unterschiedlicher Höhe scheidet aus. Eine isolierte Bewertung des Projektes k anhand seiner erzielbaren Zahlungsüberschüsse ist möglich; sie lassen sich völlig unabhängig von denen anderer Projekte angeben. Obwohl ein solches Projekt zunächst nicht so ganz in die CAPM-Welt mit ihrer beliebigen Mischbarkeit passt, kann man dennoch die Kernelemente des Modells als gültig ansehen, und zwar in folgender Art: Der Investor hat unabhängig davon, was andere Investoren oder der Gesamtmarkt entschieden haben ein individuelles Optimal-Portfolio zusammengestellt, das er nun noch um das Projekt k ergänzen könnte. Damit können die üblichen Portfolio- 352 VII. Beurteilung riskanter Investitionsprojekte mit dem Capital Asset Pricing Model Parameter als vorhanden sowie die CAPM-Preisgleichung als zutre end vorausgesetzt werden. Die Vorgehensweise soll nachfolgend in zwei Abschni en genauer erläutert werden. Wir betrachten dazu zunächst aufzunehmende Projekte, deren risikobehaftete Größen diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen haben (Abschni b). Dieser Fall mag vielleicht nur wenige praktische Entscheidungssituationen adäquat abbilden, er erlaubt aber, die Berechnungsweise deutlicher zu erkennen. Den Voraussetzungen des Modellansatzes entspricht allerdings die Situation von normalverteilten, also stetigen Zufallsvariablen eher. Sie wird in Abschni c untersucht. b) Vorgehensweise bei Projekten mit diskret verteilten Überschüssen In diesem Abschni demonstrieren wir, wie die Aufnahme neuer Projekte in ein bestehendes Portfolio zu beurteilen ist. Wir ziehen dazu einen Beispielfall heran. Er ist dadurch charakterisiert, dass die zu beurteilenden Projekte diskret verteilte Zahlungsüberschüsse haben. Um die Ergebnisse nachvollziehbar zu halten, unterscheiden wir hier nur vier verschiedene Umweltzustände, und das Anfangsportfolio enthält lediglich drei Projekte. Beides dürfte im praktischen Anwendungsfall eher die Ausnahme sein. In unserem Beispielfall gibt es die Möglichkeit einer Finanzanlage 0 zu µ0 = 6 %, die von den unterschiedenen Zukunftszuständen unabhängig ist. Das Risikoportfolio enthält die bisher gewählten Projekte; es entspricht dem Marktportfolio im Capital Asset Pricing Model. Seine Rendite ist risikobehaftet, die Verteilung ist Abb. VII-28 zu entnehmen. Abb. VII-28: Zustandsabhängige Rendite des Risikoportfolios und zustandsabhängige Rückflüsse der beiden Neuprojekte In dieser Ausgangslage kommen die beiden Projekte 101 und 102 neu in die Diskussion. Ihre genaue Rendite ist unbekannt, da eine marktentsprechende (portfolio-konsistente) Bewertung noch aussteht. Bekannt ist aber für jedes Projekt der zustandsabhängige Zahlungsüberschuss, der zum Projektende nach einem Jahr eintri t. Er ist ebenfalls in Abb. VII-28 angegeben. Die beiden Projekte sind bisher nicht Bestandteil des Portfolios, sondern neue, zusätzliche 3533. Projektbeurteilung bei bereits bestehendem betrieblichen Portfolio Alternativangebote, von denen höchstens eines realisiert werden kann. Zu untersuchen ist, welches der beiden Projekte 101 und 102 die günstigere Finanz- Risiko-Kombination des Gesamtengagements ermöglicht. Auch in diesem Punkt gibt es eine Abweichung zum allgemeinen CAPM-Ansatz: Dort ist das Ausmaß, in dem die einzelnen Projekte im Portfolio enthalten sein sollen, separat festzulegen. Die optimale Wertpapiermischung bestimmt sich dabei aus den Eigenschaften, die durch die CAPM-Gleichungen ausgedrückt werden. Voraussetzung dafür ist allerdings, dass die Wertpapiere in (nahezu) beliebigem Ausmaß in das Portfolio eingebracht werden können. Gerade dies kann bei Realinvestitionen nicht angenommen werden; in unserem Beispiel setzen wir die Projekte des bestehenden Portfolios als beliebig voraus es kann sich also auch um Realprojekte handeln. Weiter gehen wir davon aus, dass das Realisationsniveau eins gerade dem Optimum einer Portfoliomischung entspricht. Eine zweite Abweichung vom Grundmodell entsteht dadurch, dass entweder Projekt 101 oder Projekt 102 zusätzlich realisiert werden kann. Im CAPM-Grundansatz werden dagegen letztlich alle auf dem Markt angebotenen Projekte in das Portfolio eingebracht (wenn auch möglicherweise zu einem ganz kleinen Anteil), was wieder mit ihrer beliebigen Teilbarkeit zusammenhängt. Das Entscheidungsproblem der Wahl zwischen Projekt 101 und Projekt 102 und zudem der Alternative, keines von beiden zu realisieren, lösen wir nach dem Prinzip 7.87: Wir berechnen also die Werte v101 und v102 für die beiden Projekte 101 und 102 und vergleichen sie mit den jeweiligen Anscha ungsausgaben A101,0 und A102,0. Sofern das Projekt mit der größeren der beiden Di erenzen v101 A101,0 und v102 A102,0 überhaupt vorteilhaft ist (also die Di erenz positiv), wird dieses gewählt; ansonsten unterbleibt eine zusätzliche Investition. Die Berechnung der Projektwerte v101 und v102 folgt der Vorschrift 7.86: vk = 01 1 µ+ [E(Ü ~ k) λ·cov(Ü ~ k,r ~ P)]. (7.95) Die erforderlichen Parameter sind in Abb. VII-29 bereitgestellt. Mit der De nitionsgleichung aus 7.26 lässt sich daraus zunächst der Risikopreis λ berechnen: .70,31 % 1 35,20 45,6 % % 35,20 645,12 22 P 0P ≈===λ ⋅⋅− σ µ−µ (7.96) Da wir den Risikopreis als dimensionslose Verhältnisgröße eingeführt haben, lässt er sich, je nachdem, wie die Kovarianz gemessen wird, z. B. als Prozent pro Prozentpunkt Kovarianz oder, wie hier, als pro Kovarianz interpretieren. Das Sicherheitsäquivalent erhält man damit in zwei einfachen Rechenschri en, die hier für die beiden Projekte 101 und 102 separat aufgeführt sind: für Projekt 101: E(Ü ~ 101) λ · cov(Ü ~ 101, ~rP) = 1.010, 31,70 · 8,86 = 729,30 ; für Projekt 102: E(Ü ~ 102) λ · cov(Ü ~ 102, ~rP) = 907,50 31,70 · 2,59 = 825,36 . 354 VII. Beurteilung riskanter Investitionsprojekte mit dem Capital Asset Pricing Model Abb. VII-29: Berechnung von Erwartungswerten, der Portfoliovarianz Bei Abzinsung mit dem Zinssatz der risikolosen Geldanlage ergibt sich als Wert für Projekt 101: 02,688 06,1 30,729v101 == als Wert für Projekt 102: .64,778 06,1 36,825v102 == Ein Vergleich mit den Anscha ungsausgaben zeigt, dass der Ne owert des Projekts 101 negativ ist, während für Projekt 102 ein geringer positiver Überschuss von 28,64 verbleibt. Bei den gegebenen Bedingungen wäre somit Projekt 102 zusätzlich in das bisherige Risiko-Portfolio einzubringen. Für die weitere Anwendung des gewählten Ansatzes bedeutet die zusätzliche Investition von Projekt 102, dass sich die Portfolio-Rendite (leicht) erhöht, und wegen des Hinzukommens dieses Projekts auch die weiteren Portfolio-Parameter neu zu berechnen sind. Für eine nachfolgende analoge Entscheidung müsste also mit einem höheren Risikopreis λ gearbeitet werden. Wenn man eine größere Zahl von Projekten beurteilt, mehr Umweltzustände zu berücksichtigen sind oder das Verfahren laufend angewendet werden soll, dann emp ehlt sich eine rechentechnisch günstigere Version. Hierzu formen wir die Grundgleichung unserer Berechnung 7.30 etwas um (vgl. zu einer ähnlichen Umformung ursprünglich Bierman/Smidt [Decision] 199). Für diskrete Umweltzustände = 1, 2, ..., L lautet sie: µ−−π⋅λ−⋅π µ+ = == )()( PPkk L 1 L 1 k 0 k r ~)Ü ~ (EÜ ~ Ü ~ 1 1v (7.97) cov(Ü ~ k, ~rP) 3553. Projektbeurteilung bei bereits bestehendem betrieblichen Portfolio und der Kovarianzen der Neuprojekte im Beispielfall Die Kovarianz cov(Ü ~ k, r~P) lässt sich wie folgt schreiben: = = == = ⋅µ−π−µ−π⋅= =µ−π−µ−⋅π= L 1 L 1 PPkPPk L 1 PPk L 1 PPkPk 0 1r~)Ü ~ (E)r~(Ü ~ )r~()Ü ~ (E)r~(Ü ~ )r~,Ü ~ cov( Damit wird aus 7.97: [ ] == = = µ+ π µ+ µ−λ−⋅=µ−π⋅⋅λ−π⋅= L 1 P PP 0 k L 1 L 1 PPkk 0 k s: 11 1 )r~(1Ü ~ )r~(Ü ~ Ü ~ v (7.99) Nach dieser Formulierung kann man für jeden Umweltzustand einen Faktor sP bereitstellen, der zwar vom Portfolio P, nicht aber vom Projekt k abhängt. Der Wert des Projekts k lässt sich dann durch folgende einfache Summation berechnen: = ⋅= L 1 Pkk sÜ ~ v (7.100) Für unser Beispiel sind in Abb. VII-30 die Werte für die beiden Projekte 101 und 102 nach diesem verkürzten Ansatz nochmals berechnet. Dies ersetzt die Spalten 5 bis 8 der Abb. VII-29. Man erkennt, dass sich der Rechenvorteil um so mehr auszahlt, je mehr Projekte zu bewerten sind. (7.98) 356 VII. Beurteilung riskanter Investitionsprojekte mit dem Capital Asset Pricing Model Abb. VII-30: Verkürzter Ansatz zur Berechnung von Projektwerten Das Beispiel zeigt die prinzipielle Anwendung der Erkenntnisse aus dem Capital Asset Pricing Model auf Investitionsentscheidungen. Nehmen wir es mit den Anwendungsbedingungen genau, dann kann freilich die Vorgehensweise im gezeigten Fall nur korrekt sein, wenn die Zielsetzung des Investors eine bestimmte Eigenschaft hat: Als Gültigkeitsvoraussetzung des Capital-Asset-Pricing-Modells und seiner Ableitungen, etwa der für Investitionsentscheidungen zentralen Preisgleichung, haben wir eingangs (in Teilkapitel 1, S. 294) u. a. alternativ normalverteilte Projektrenditen oder eine quadratische Risikonutzenfunktion genannt. Letztere müsste man im jetzigen Fall voraussetzen, da die Zufallsvariablen diskret verteilt sind. Andererseits sind quadratische Risikonutzenfunktionen außerhalb eines relativ kleinen Intervalls sehr schwer nachvollziehbar, so dass sie als ungewöhnlich, wenn nicht als realitätsfern gelten müssen. Insgesamt ist daher die bisher besprochene Anwendung zwar korrekt, dürfte aber nur einen kleinen Teil der tatsächlichen Problemsituationen erfassen. c) Vorgehensweise bei Projekten mit normalverteilten Überschüssen Wegen der doch sehr engen Anwendungsbedingungen des im vorhergehenden Abschni behandelten Falls wollen wir jetzt ein weiteres Anwendungsbeispiel betrachten, in dem wir stetig verteilte Zufallsvariablen annehmen, und zwar durchweg vom Typ der Normalverteilung. So ist die Rendite des Risiko-Portfolios der bisher gewählten Projekte normalverteilt mit Mi elwert µP = 17 % und Varianz σ2 = 27 %2. Risikofrei ist eine Finanzanlage zu 6 % möglich. In dieser Ausgangssituation bieten sich zehn neue Projekte mit wiederum jeweils einjähriger Laufzeit. Die nach Projektende zurück ießenden Netto- Einnahmen sind normalverteilt. Die Anschaffungsausgaben sowie die Verteilungsparameter für die Rück üsse sind in Abb. VII-31 zusammengestellt. Die letzte Spalte gibt für jedes Projekt k (k = 1, 2, ..., n) den Korrelationskoe zienten ρPk zum Zusammenhang zwischen dem Projektüberschuss Ü ∼ k und der Portfolio-Rendite ∼rP an. 3573. Projektbeurteilung bei bereits bestehendem betrieblichen Portfolio Abb. VII-31: Angaben zu einperiodigen Neuprojekten mit normalverteilten Überschüssen Die Projektwerte vk berechnen wir nach dem auch für diskrete Verteilungen praktizierten Muster (vgl. Abb. VII-30). Zunächst erhält man als Risikopreis λ nach 7.26: .74,40 % 1 27 11 % % 27 617 22 P 0P ====λ ⋅⋅− σ µ−µ (7.101) Dieser Risikopreis λ kann hier wie folgt interpretiert werden: Pro Kovarianz- Betrag entstehen 40,74 an Risikokosten. Insbesondere wird zur Berechnung des Sicherheitsäquivalents einer Projektzahlung im ersten Jahr die Überschusserwartung genau nach dieser Vorschrift reduziert. Für die Interpretation beachte man, dass die Parameter des Risikoportfolios in Prozentzahlen, die des Projekts k dagegen in Überschuss-Zahlungsbeträgen in Euro gemessen werden, woraus sich die unterschiedlichen Größenordnungen ergeben. In Abb. VII-32 sind die Sicherheitsäquivalente und die Projektwerte nach 7.30 ermittelt. Die letzte Spalte zeigt den Nettobarüberschuss nach Abzug der Anschaffungsausgaben. Für die Auswertung kann man den Nettobarüberschuss letztlich wie einen Kapitalwert behandeln. Bei negativem Ne obarüberschuss ist das Projekt nanziell insgesamt nicht vorteilhaft, da der Projektwert unter den Anschaffungsausgaben zurückbleibt. Positive Werte verschiedener Projekte können direkt verglichen werden, um über die Projekte eine Rangordnung zu bilden oder eine Auswahl zu tre en. An den Ergebnissen aus Abb. VII-32 ist besonders interessant, wie sich die Höhe der Varianz und der Kovarianz zum Risikoportfolio auswirkt. Beispielsweise haben die Projekte 4 und 5 jeweils gleiche Anscha ungsausgaben, gleiche Überschusserwartungswerte und jeweils eine relativ hohe Varianz. Projekt 4 erhält jedoch nach der CAPM-Preisgleichung 7.30 einen eher niedrigen Wert, so dass es nach Vergleich mit den Anscha ungsausgaben sogar ausscheidet. 358 VII. Beurteilung riskanter Investitionsprojekte mit dem Capital Asset Pricing Model Abb. VII-32: Berechnung des Projektwertes nach der CAPM-Preisgleichung für normalverteilte Projektüberschüsse Projekt 5 dagegen hat nach der Preisgleichung 7.30 einen vergleichsweise hohen Wert und zählt insgesamt zu den nanziell besten Projekten der Liste. Dies liegt an der Kovarianz zum bereits bestehenden Risikoportfolio. Sie ist hier negativ. Das Projekt 5 erlaubt also eine Absorption eines gewissen Risikoteils, wenn es zum Portfolio hinzutri . Das macht das Projekt bei der bestehenden Ausgangslage a raktiv. Projekt 4 hingegen kann durch seinen hohen positiven Korrelationskoe zienten das ohnehin schon bestehende Risiko nicht reduzieren. Es erlaubt allenfalls, ein weitgehend gleichartig wirkendes Risiko zu mischen, ohne dass eine absolute Risikominderung eintreten kann. Die vorherrschende Bedeutung der Kovarianz gegenüber der Varianz bei allen Portfolio-Entscheidungen wird auch an diesem Beispiel wieder deutlich. 4. Aspekte einer weiterreichenden betrieblichen Anwendung des Capital Asset Pricing Model a) Erweiterung auf mehrperiodige Projekte Unsere Analyse hat gezeigt, dass das Capital Asset Pricing Model prinzipiell durchaus auch zur Fundierung betrieblicher Investitionsentscheidungen herangezogen werden kann. Allerdings erscheinen bisher sowohl die Anwendungsbedingungen als auch die Art der beantwortbaren Fragen als recht eng. In diesem Teilkapitel 4 greifen wir uns wichtige Aspekte dazu heraus. Im Abschni a fragen wir, ob die Einschränkung auf einperiodige Projekte aufgehoben werden kann und mit welchen Schwierigkeiten dies verbunden ist. Als eine seiner häufigsten Anwendungen wird das Capital Asset Pricing Model zur Begründung unterschiedlich hoher Zinssätze für Projekte ungleicher Risikolage zitiert. Im Abschni b untersuchen wir, was es damit auf sich hat. Abschni c bringt schließlich eine zusammenfassende Gesamtbeurteilung. 3593. Projektbeurteilung bei bereits bestehendem betrieblichen Portfolio Die Formulierung nur für Projekte mit einer Laufzeit von einer Periode ist insbesondere für die Anwendbarkeit auf Realinvestitionen problematisch. Während bei börsennotierten Wertpapieren davon ausgegangen werden kann, dass in den meisten Fällen ein Verkauf nach einer Periode möglich ist und auch sinnvoll sein kann, gibt es bei manchen anderen Wertpapieren und insbesondere bei Realinvestitionsprojekten den dazu erforderlichen Markt nicht. Hier kann man ein Projekt nach einem Jahr oft nur unter Hinnahme deutlicher nanzieller Nachteile beenden. Deshalb stellt sich die Frage, ob man das CAPM-Konzept nicht auch auf Projekte mit mehrjähriger Laufzeit ausdehnen kann. Ein vergleichsweise einfacher mehrperiodiger Ansatz ist zur Projektbeurteilung bei bereits vorliegendem Portfolio möglich. Im einperiodigen Fall ermi elt man dazu den Projektwert nach 7.30 (siehe S. 313). Erstreckt sich das Projekt über weitere Jahre, kann prinzipiell ebenso vorgegangen werden. Allerdings spli en sich die möglichen Anfangssituationen des zweiten und jedes weiteren Jahres auf. Für das zweite Jahr sind ebensoviele Anfangssituationen zu unterscheiden, wie es Umweltzustände im ersten Jahr gibt. In jedem Anfangszustand eines Jahres kann sich sowohl die allgemeine Lage als auch das speziell betrachtete Projekt in anderer Art entwickeln. Im Allgemeinen ist also davon auszugehen, dass für jeden Anfangszustand unterschiedlich viele Folgezustände unterschieden werden, ein eigenes Portfolio besteht sowie unterschiedliche Einnahmenüberschüsse des untersuchten Projekts möglich sind. Abb. VII-33 zeigt beispielhaft den Entscheidungsbaum, der sich bei einer solchen mehrperiodigen Aufgliederung der Zustände und ihrer Folgezustände ergibt. Abb. VII-33: Entscheidungsbaum für ein Projekt mit mehrperiodig zustandsabhängigen Zahlungen 360 VII. Beurteilung riskanter Investitionsprojekte mit dem Capital Asset Pricing Model Hier werden in Periode t = 1 zwei Zustände t, = 11 und 12 unterschieden. Tri am Ende der Periode 1 der Zustand 11 ein, gibt es insgesamt vier Möglichkeiten der Weiterentwicklung, so dass am Ende der Periode 2 die Zustände (11)21, (11)22, (11)23 und (11)24 zu unterscheiden sind. Für diesen Fall ist bereits ein zugehöriges Risikoportfolio mit den Zinssätzen (den Marktzinssätzen ) ~r2(11) für = 1, 2, 3, 4 bekannt. Ferner gibt es eine Finanzanlage in der Periode 2, die zwar von den Zuständen in der Periode 2 unabhängig, insofern also risikolos ist, jedoch vom vorher in Periode 1 eingetretenen Zustand abhängen kann. Wir bezeichnen ihren Zinssatz mit µ(0121). Er kann demnach verschieden von µ(0122) sein. Betrachten wir zwei Neuprojekte 103 und 104. Für beide sollen die in Abb. VII- 33 dargestellten Verhältnisse zutre en. Die Einnahmenüberschüsse sind zustandsabhängig. In Periode 1 gibt es beispielsweise für Projekt 103 folgende zwei Möglichkeiten: Ü ∼ 103,11 und Ü ∼ 103,12. Falls Zustand 11 eingetreten ist, lässt sich die Projektentwicklung durch die Einnahmenüberschüsse Ü ∼ 1 ( 0 1 3 1 , ) 2 (für = 1, 2, 3, 4) für die vier verschiedenen Zustände kennzeichnen. Sofern in der ersten Periode der Zustand 12 eingetreten ist, sind in unserem Beispiel lediglich Abb. VII-34: Berechnung von Projektwerten nach 3614. Aspekte einer weiterreichenden betrieblichen Anwendung des CAPM drei Zustände für die Folgeperiode zu unterscheiden. Der Teil des Projekts 103 ab Zustand 11 entspricht in seinen Daten dem früher behandelten Projekt 101. Die Gesamtsituation wird am Baum in Abb. VII-33 erkennbar, die daran anschließenden Berechnungen enthält Abb. VII-34. Für die Modellanwendung ist der Hinweis wichtig, dass es die hier behandelte Methode erlaubt, mehrperiodige Projekte zu bewerten, die in allen Perioden Zahlungen aufweisen. Beispielsweise haben die beiden zweiperiodigen Projekte 103 und 104 unseres Beispiels jeweils eine zustandsabhängige Zahlung in der ersten Periode: Ü∼k,11 und Ü ∼ k,12 (für k = 103, 104). Ebenso wie die weitere Zahlung am Ende der zweiten Periode kann sie positiv oder negativ sein. Auf diese Weise gelingt also die modellkonforme Darstellung eines Projekts mit beliebiger Struktur der Zahlungsüberschüsse. Wenn ein Projekt nicht nur durch eine einzige Auszahlung am Anfang und eine einzige Einzahlung nach einer Periode gekennzeichnet ist, sondern Zahlungen über mehrere Perioden hat, scheidet eine Abbildung der Zahlungsströme durch die Angabe einer Rendite von vornherein aus. Allerdings wäre CAPM-Prinzipien im mehrperiodigen Fall 362 VII. Beurteilung riskanter Investitionsprojekte mit dem Capital Asset Pricing Model auch bei einem mehrperiodigem Projekt mit nur zwei Zahlungen zu Beginn und Ende der Laufzeit eine Rendite-Darstellung schon nicht mehr (sinnvoll) möglich. Man müsste nicht nur eine Annahme über die Zwischenverzinsung setzen; die erhaltenen Aussagen wären vor allem auch nicht unmi elbar für Entscheidungszwecke verwendbar. Allgemeiner ist somit die Erfassung der Projektzahlungen über die Beträge der Überschüsse. Zur Beurteilung eines Projekts bildet man zunächst Projektwerte für das letzte Jahr der Laufzeit. Hier ist es das zweite Jahr. Für jeden möglichen Anfangszustand 1 (hier = 1, 2) wird dazu eine Bewertung nach dem Prinzip des einperiodigen Falls vorgenommen. Die Ergebnisse hier vk,11 und vk,12 für das Projekt k werden behandelt wie zustandsabhängige Projektüberschüsse am Ende der Periode 1. Die Berechnungen in Abb. VII-34 folgen daher für jeden unterschiedenen Anfangszustand dem Prinzip der Abb. VII-29. Sie gehen in die Wertberechnung der Periode 1 ein. In unserem Beispiel ist damit das Endergebnis bereits erreicht. Im allgemeinen Fall würde man auf die skizzierte Weise fortfahren, bis retrograd ein Projektwert zum Zeitpunkt 0 gewonnen ist. Die Berechnung für den Beispielfall zeigt Abb. VII-34. Die Tabellen sind im linken Teil nach dem Vorbild der Abb. VII-29, im rechten nach dem der Abb. VII-30 aufgebaut. Wie sind nun die errechneten Projektwerte v103, 0 = 644,62 und v104, 0 = 1.094,27 und die zu ihnen gehörenden Projektne owerte Ü ∼ 103,0 = 55,38 und Ü ∼ 104,0 = 594,27 zu interpretieren? Prinzipiell gilt genau das gleiche wie im einperiodigen Fall: Es gibt ein Risikoportfolio zu Beginn des ersten Jahres. Ferner, so kann man sich die Berechnungsprämisse erklären, weiß der Investor bereits jetzt schon, wie sein Portfolio im zweiten Jahr aussehen wird, zumindest, was die zustandsabhängige Rendite betri t. Jedenfalls sind davon schon einige Projekte gewählt, so dass es sinnvoll ist, möglicherweise hinzukommende Projekte daran zu messen. Das Portfolio im zweiten Jahr kann dabei durchaus zustandsabhängig sein; der Entscheidungsträger hat dann im Vorfeld bedingte Entscheidungen getro en. Grundlage der Bewertung eines neuen Projekts ist stets der Vergleich mit dem jeweiligen Portfolio. Anhand der CAPM-Preisgleichung wird ermi elt, bei welchem Preis es sich in die Wertpapierlinie des gegebenen Portfolios einfügen würde. Für die späteren Perioden nimmt man dann an, dass der ermittelte periodenbezogene Projektwert wie ein tatsächlicher Projektüberschuss behandelt werden kann, so dass damit eine weitere Rückrechnung möglich wird. In Periode 0 kann man mit den tatsächlichen Anscha ungsausgaben vergleichen und so günstige und ungünstige Projekte identi zieren. Genauer gesprochen, kann man daran (lediglich) erkennen, ob das beurteilte Projekt die Position der bisherigen Portfolios verbessert, gleich lässt oder verschlechtert. Da aber zumindest in die risikolose Finanzanlage annahmegemäß beliebige Beträge investiert werden können, ist die Ablehnung eines Neuprojekts mit negativem Ne owert zielentsprechend. Im vorliegenden Beispiel ist dies bei Projekt 103 der Fall. Dagegen ist Projekt 104 im Vergleich zu den bisherigen Portfolios vorteilhaft; es bringt über die dort erzielbare Rendite hinaus einen positiven Überschuss von 594,27 . Die Lösung des Beispielfalls zeigt, dass auch mehrjährige Projekte innerhalb des sonstigen Prämissensystems im Capital Asset Pricing Model beurteilt 3634. Aspekte einer weiterreichenden betrieblichen Anwendung des CAPM werden können. Dies gilt sowohl für beliebig teilbare Projekte wie auch für solche mit nicht variierbarer Größenordnung. Voraussetzung ist jeweils ein bereits bestehendes Ausgangsportfolio für jedes vorkommende Jahr. Diese Portfolio-Abfolge spielt die Rolle einer Referenzgröße, im Vergleich zu der die Neuprojekte in ihrer Zielwirkung gemessen werden. Insofern behandelt der vorliegende Abschni a die gleiche Fragestellung wie Teilkapitel 3 für einperiodige Projekte. Die Berechnungen zeigen aber auch, dass das Ergebnis wegen der Mehrperiodigkeit eine Wertgröße, nicht aber eine Rendite ist. Damit können mehrere solche Projekte zwar nach ihrer relativen Vorteilhaftigkeit zur gegebenen Mehrjahres-Portfolio-Abfolge geordnet werden, eine erstmalige Portfolio-Neubildung nach dem CAPM-Prinzip ist jedoch nicht möglich. Soweit man die Voraussetzungen des Capital Asset Pricing Model überhaupt akzeptieren kann, wird man nach den Ergebnissen dieses Kapitels in der praktischen Anwendung durchaus alle relevanten Ja/Nein- oder Auswahl-Entscheidungen zu Mehrjahresprojekten treffen können. Eine modellkonforme Bestimmung einer optimalen Mischung beliebig teilbarer Mehrjahresprojekte in einem Portfolio wie im Einperiodenmodell (analog zum Ansatz in Teilkapitel 2) scheidet aber aus (vgl. dazu auch formalanalytischen Analysen von Nietert [Portfolio-Selektion]. Daher kann nur von einer eingeschränkten Erweiterbarkeit des Capital Pricing Model von ein- auf mehrperiodige Projekte gesprochen werden. b) Begründung von Kalkulationszinssätzen bei Risiko mit dem Capital Asset Pricing Model In verschiedenen Anwendungen wird das Capital Asset Pricing Model herangezogen, besondere Risikozuschläge im Kalkulationszinssatz zu begründen. Hintergrund ist vor allem die Gleichung der Wertpapierlinie. In der Form 7.25 drückt sie aus, dass für ein Wertpapier k die Rendite-Erwartung µk ein um so höheres Vielfaches der Überrendite (µP µ0) enthält, je höher das wertpapierspezi sche Beta, also das Korrelationsverhältnis des Wertpapiers ist: µk = µ0 + (µP µ0)·βPk. (7.102) Mit der De nitionsgleichung k kk k v v)Ü ~ (E −=µ (7.103) der Rendite-Erwartung formulieren wir 7.102 um zu . 1 )Ü ~ (Ev Pk0P0 k k )( βµµµ = −++ (7.104) Diese Gleichung gibt die CAPM-Ergebnisgleichung als Formel für den Zusammenhang von erwarteten Projektüberschüssen und ihrem Kapitalwert an. Im Zähler des Bruches aus 7.104 steht der Erwartungswert der Projektüberschüsse, im Nenner eine Art Zinsfaktor. Diese Formulierung macht verständlich, warum das Capital Asset Pricing Model zur Begründung risikoangepasster ( risiko-adjustierter ) Kalkulations- 364 VII. Beurteilung riskanter Investitionsprojekte mit dem Capital Asset Pricing Model zinssätze (risk-adjusted interest rates) zitiert wird (vgl. z. B. Bierman/Smidt [Decision] 200; Francis/Archer [Analysis] 159; zu einer Analyse auch Saelzle [Kapitalmarktreaktionen] 326 .). Schließlich zeigt 7.104 nicht nur eine Diskontierungsvorschrift, sondern in seinem Nenner darüber hinaus auch die genaue Regel für die Bildung des Risikozuschlags im Kalkulationszinssatz. Indessen: dies scheint nur auf den ersten Blick so. Was die beiden Gleichungen angeben, sind die Gleichgewichtsbedingungen für ein optimales Risikoportfolio. Ob man damit konkret arbeiten kann, hängt von der Formulierung ab. Alternativformulierungen zu 7.104 sind die Gleichung der Wertpapierlinie sowie die CAPM-Preisgleichung 7.30. Letztere ist bisher die einzige, die wir sinnvoll für Entscheidungszwecke einsetzen konnten. Im Vergleich mit 7.104 erstaunt, dass mit beiden derselbe Wert vk berechnet wird, einmal, in der Preisgleichung, mit einem Risikoabschlag bei den Überschüssen, einmal, in der Diskontierungsform 7.104, mit einem Risikozuschlag beim Kalkulationszinssatz. Mit der Preisgleichung kann gearbeitet werden, wenn neben den Portfoliodaten µP, σ2P sowie µ0 vom Projekt der Erwartungswert der Überschüsse bekannt ist. Demgegenüber erweist sich die konkrete Rechnung mit 7.104 als problematisch. Angestrebt ist, Projektwert und damit Projektrendite zu ermi eln. Dazu braucht man, wie 7.104 zeigt, auch das Korrelationsverhältnis βPk des Projekts und die in der De nition für Beta enthaltene Kovarianz cov(∼rk,∼rP). Jene ist aber nur berechenbar, wenn die Rendite ∼rk bzw. deren Erwartungswert µk schon vorliegen. Letztlich gibt 7.104 nur eine Gleichgewichtsbedingung an, die sich zwar für eine Veri kation der Portfolio-Entsprechung eines (mit bereits allen erforderlichen Daten) vorgelegten Projekts eignet, nicht aber für eine konkrete Berechnung des Projektwertes. Freilich könnte man auf die Idee kommen, das noch unbekannte Beta zu schätzen und dann wenigstens einen abgeleiteten Schätzwert für den Wert vk und die Rendite µk zu erhalten. Allerdings könnte man dann ohne Verwendung von 7.104 ebensogut direkt die gesuchte Rendite-Erwartung prognostizieren, die als wichtiger Bestandteil ohnehin in βk enthalten ist, also bei diesem Weg bereits mi elbar geschätzt wird. Dies zeigt, dass man bei einer solchen Vorgehensweise als Recheninput schon das Rechenergebnis schätzen würde. Eine Schätzung mit dem Zweck, eine Rechnung durchzuführen, die genau diese Schätzung vermeiden soll, erscheint befremdlich. Wenn es nun gar keine andere Möglichkeit gäbe, zum gesuchten Wert zu kommen, könnte man sich allenfalls vorstellen, mit Hilfe von 7.104 die Lösung iterativ über vorläu ge Schätzungen und deren Korrekturen zu bestimmen. Dies ist aber angesichts der eben dieses Problem lösenden Preisgleichung 7.30 unnötig. Nach dem Capital Asset Pricing Model ist zwar nachträglich, d. h. nach Bildung des optimalen Portfolios bzw. nach Einfügung eines neu angebotenen Wertpapiers in das Portfolio, richtig, dass sich der Wert jedes Wertpapiers durch Abzinsen der Einnahmenüberschüsse mit einem risikoangepassten Zinssatz ergibt; diese Kenntnis nutzt aber für eine vorherige Berechnung nichts. Wozu hä e man einen risikoangepassten Zinssatz gebraucht? Zwei Antworten liegen nahe: 3654. Aspekte einer weiterreichenden betrieblichen Anwendung des CAPM 366 VII. Beurteilung riskanter Investitionsprojekte mit dem Capital Asset Pricing Model zuschlag zum gewöhnlichen Kalkulationszinssatz nicht nennen können; und wenn er diese Information hat, braucht man ihn nicht mehr. Die Vorgabe eines speziellen Zinssatzes für ein Einzelprojekt, der auf dessen besonderes Risiko ausgerichtet ist, kann also nicht gelingen. Dagegen ist es natürlich möglich, dass der Kapitalgeber dem Betrieb die Werte seiner eigenen Portfoliosituation µP, σ2P und µ0 vorgibt. Daraus kann mit Hilfe der Preisgleichung 7.30 der risikoentsprechende Mindestrenditewunsch des Kapitalgebers in die Berechnung des Wertes vk0 eingebracht werden; d. h., die Vorgabe beein usst über λ und µ0 die Kapitalwertberechnung. Nun gibt es drei Möglichkeiten: entweder stimmen die Portfoliowerte des Kapitalgebers und des Betriebes überein, oder die Rendite-Risiko-Position des Kapitalgebers ist besser als die des Betriebes, oder sie ist schlechter. Im ersten Fall gibt es keine Probleme. Im zweiten Fall kann es Projekte geben, die zwar aus isolierter Sicht des Betriebes vorteilhaft wären, aber die Mindestanforderungen des Kapitalgebers nicht erfüllen. Verhält sich das Management des Betriebes auftragsgemäß, wird es solche Projekte ablehnen. Da es im Betrieb keine bessere Alternative mehr gibt, werden entsprechend weniger Mi el vom Kapitalgeber benötigt. Verfügt er selbst nun tatsächlich über andere Investitionsmöglichkeiten, die zumindest so viel wie seine Mindestanforderungen einbringen, dann ist diese Verfahrensweise insgesamt optimal. Hat er aber nur eine erwünschte Größenordnung von Projektrenditen bzw. -kapitalwerten vorgegeben, ohne konkret selbst über Alternativen dieser Qualität zu verfügen, stellt sich dies nun als problematisch heraus. Vom Betrieb werden (noch) lukrative Investitionsmöglichkeiten aufgrund seiner Mindestanforderung nicht ergri en; er selbst muss dagegen nun die nicht gebrauchten Investitionsmi el zu einer vielleicht bei identischem Risiko schwächeren Verzinsung anlegen. Im umgekehrten, dri en Fall ist die Lage analog. Da hier die Mindestbedingungen des Kapitalgebers auch noch bei Projekten zu einem positiven Kapitalwert führen, die auf Basis des betrieblichen Portfolios ansonsten abgelehnt worden wären, stellt sich die Frage, ob diese Wirkung für den Kapitalgeber günstig ist. Folgt das Management des Betriebes den Vorgaben, wird Kapital auch dazu angefordert und eingesetzt, schwache Projekte der skizzierten Art zu realisieren. Solange der Kapitalgeber tatsächlich für die Verwendung überschüssigen Geldes keine Alternativen kennt als solche, die gerade seine Mindestvorgaben erfüllen, dann ist dies aus seiner Sicht insgesamt zielentsprechend. Solange im Betrieb noch mehr erwirtschaftet werden kann als mit den Projekten des Kapitalgebers, dann ist es tatsächlich auch hier günstig, die von ihm genannten Mindestbedingungen als Basis der Projektbeurteilungen zu wählen. Erstrecken sich die Unterschiede zwischen dem Portfolio des Kapitalgebers und dem des Betriebes beispielsweise auch auf den Zinssatz der risikolosen Geldanlage, dann hat die (annahmegemäß unbeschränkt mögliche) risikolose Finanzanlage einen positiven Kapitalwert. Also wird der Betrieb Mi el 3674. Aspekte einer weiterreichenden betrieblichen Anwendung des CAPM vom Kapitalgeber anfordern, um sie in diese Finanzanlage zu investieren. Dies ist für den Kapitalgeber optimal, solange sein eigener Zinssatz für die risikolose Finanzanlage tatsächlich niedriger liegt als der des Betriebes. In allen Fällen wird also das Portfolio des Betriebes nicht herangezogen. Die erforderlichen Portfolio-Parameter werden aus den Vorgaben des Kapitalgebers übernommen. Jener wird jedoch nur dann zu einem optimalen Ergebnis kommen können, wenn er seine Vorgaben nicht an Wünschen und gedanklichen Idealzuständen ausrichtet, sondern an tatsächlich bestehenden Alternativen. Wenn sich somit die Projektbeurteilung an den Vorgaben des Kapitalgebers orientiert, dann stellt sich die Frage, inwieweit bei gemischter Finanzierung etwa Vorgaben von Eigen- und auch von Fremdkapitalgebern kombiniert werden müssen. Für diesen Fall wird häu g das Konzept der durchschni lichen Kosten des Kapitals vorgeschlagen (Weighted Average Cost of Capital, WACC, siehe auch S. 403). Danach wären aus Renditevorstellungen der Eigenkapitalgeber und Fremdkapitalzinsen ein nach dem Eigen-/Fremdkapital-Verhältnis gewichteter Durchschni zu bilden. Dieser Zinssatz wäre dann für die Projektbeurteilung heranzuziehen. Nun hat sich schon bisher herausgestellt, dass anstelle von Zinssätzen oder Renditen eher die Parameter des Vergleichsportfolios vorzugeben sind, um den gewünschten Ein uss zu entfalten. Somit ist die aufgeworfene Frage zu modi zieren: Muss bei teilweiser Fremd nanzierung eine andere Portfoliovorgabe erfolgen als bei voller Eigen nanzierung, wenn mit den im Betrieb gefällten Investitionsentscheidungen eine Optimierung der Situation insbesondere der Eigenkapitalgeber erreicht werden soll? Um dies zu klären, nehmen wir an, ein Neuprojekt k werde mit dem Betrag F teilweise fremd nanziert. Dadurch verringert sich der vom Eigenkapitalgeber zu übernehmende Betrag auf Ak0 F. Am Projektende ist der Kredit samt Zinsen zurückzuzahlen. Der Zinssatz liege modellkonform bei µ0. Dann berechnet sich der Projektwert vFk0 bei Fremd nanzierung gegenüber demjenigen bei voller Eigen nanzierung (vEk0) nach 7.30 hier wie folgt: .Fvv)r~,Ü ~ (cov))1(FÜ ~ (Ev E0k 0 0E 0kPk0k 0 F 0k 1 )1(F 1 1 −=−=⋅λ−µ+−= µ+ µ+ µ+ (7.105) Hieraus berechnet man folgenden Kapitalwert CFk des Projekts k bei Fremdnanzierung gegenüber jenem bei Eigen nanzierung (CEk): .CAvFAv)FA(vC Ek0k E 0k0k F 0k0k F 0k F k =−=+−=−−= (7.106) Die Rechnung zeigt, dass ein Kredit zu festen Konditionen in Höhe des risikoloses Zinssatzes auf die Höhe des Kapitalwertes keinen Ein uss hat. Dieses Ergebnis erhält man auch bei allgemeineren Voraussetzungen. Damit kann für die Projektbewertung Tatbestand und Höhe einer möglichen Fremd nanzierung unberücksichtigt bleiben. Die Resultate unserer Überlegungen zum Kalkulationszinssatz nach dem Capital Asset Pricing Model können wir wie folgt zusammenfassen: 368 VII. Beurteilung riskanter Investitionsprojekte mit dem Capital Asset Pricing Model Die Verwendung unterschiedlich hoher Kalkulationszinssätze für die Wertberechnung je nach Risiko des zu beurteilenden Projekts lässt sich mit dem Capital Asset Pricing Model nicht begründen. Eine konsistente Festlegung stellt sich sogar als undurchführbar heraus. Unterschiedliches Risiko von Projekten schlägt sich demgegenüber bei der Ermi lung von Sicherheitsäquivalenten nach der Preisgleichung 7.30 nieder. Der Wunsch von Kapitalgebern, entsprechend ihren sonstigen Investitionen dort mehr Überschuss zu erhalten, wo das größere Risiko besteht, lässt sich ebenfalls nicht über die Vorgabe risikoangepasster Zinssätze erreichen. Jene geben hier eine angestrebte Mindestverzinsung an. Sta dessen kann der Eigenkapitalgeber sein Bestreben, bestimmte Risiko- Rendite-Positionen als Untergrenze einzuhalten, der CAPM-Welt entsprechend durch Vorgabe von Portfolio-Parametern realisieren. Stehen aber, insbesondere beim risikofreien Zinssatz µ0 keine realisierbaren Alternativen dahinter, wird der Eigenkapitalgeber sein Optimum nicht erreichen. Ob und wie hoch eine teilweise Fremd nanzierung besteht, ist für die Projektbewertung irrelevant, solange es sich um die üblichen Arten von Krediten handelt. Insbesondere spielen für die Projektbewertung die durchschni lichen Kapitalkosten keine Rolle. c) Zur generellen Bedeutung des CAPM für einzelbetriebliche Investitionsentscheidungen In diesem Kapitel 7 haben wir uns ausführlich mit dem Capital Asset Pricing Model und seinen Anwendungsmöglichkeiten auf Investitionsentscheidungen beschäftigt. Welche Probleme lassen sich insgesamt mit diesem Modell lösen? Zunächst ist das Capital Asset Pricing Model zusammen mit der ihm zugrunde liegenden Theorie der Portfolio-Selektion ein Ansatz, der in erster Linie dazu dient, wechselseitige Risikowirkungen von Projekten abzubilden und bei der Portfoliobildung auszunutzen. Dadurch, dass mit der µ σ-Abbildung sowohl Zielhöhe als auch Risiko jeweils nur mit einem einzigen Parameter erfasst wird, gelingt ein einheitlicher Modellansatz für beliebig viele Wertpapierarten. Die Eigenschaften des CAPM-Optimalportfolios erlauben wichtige Schlussfolgerungen für die Investitionspolitik: Die vorherrschende Bedeutung für das Risiko, das ein Projekt in ein Investitionsprogramm einbringt, kommt weniger seiner Varianz, weniger der Streuung der Überschusswerte um den Erwartungswert zu, sondern eher der Kovarianz (bzw. bei anderer, aber analoger Messung: dem Beta ) des Projekts gegenüber den anderen Programmbestandteilen. Die Kovarianz bestimmt, wie ein neues Projekt die bereits in einem Portfolio bestehende Risikosituation verändert. So kann ein Projekt mit breiter Streuung seiner Werte zur Risikoverminderung im Portfolio beitragen, wenn es z. B. stark negativ mit einem anderen Projekt korreliert ist, dessen Schwankungen also zum großen Teil neutralisiert. In seinem Hauptergebnis gibt uns das Capital Asset Pricing Model an, welche Beziehungen zwischen Portfolio und dem erworbenen Wertpapier gelten, 3694. Aspekte einer weiterreichenden betrieblichen Anwendung des CAPM wenn eine optimale Position erreicht ist. Dies ist einmal die Wertpapierlinie. Sie zeigt einen linearen Zusammenhang zwischen Projekt-Beta und Rendite für alle Wertpapiere eines optimalen Portfolios. Zum anderen ist es die CAPM-Preisgleichung. Sie gibt an, welche Bedingung der Preis eines Wertpapiers im Optimalportfolio erfüllt und erlaubt eine Wertberechnung von Projekten, die mit der Bewertungssituation im Portfolio konform ist. Das Capital Asset Pricing Model ist ursprünglich nicht für die Anwendung auf betriebliche Investitionsprobleme hin konzipiert. Vielmehr ist es zunächst ein Modell für einen gesamten Markt bestimmter Wertpapierarten und die Analyse ihrer Preise, Renditen und Risiken. Dennoch kann man, wie die vorhergehenden Abschni e zeigen, den CAPM-Ansatz, insbesondere die ihm zugrunde liegende Methode der individuellen Portfoliobildung, auch auf manche betriebliche Investitionsprobleme anwenden. Das CAPM-Hauptergebnis, dass alle Investoren eines Marktes ein gleich zusammengesetztes Risikoportfolio haben, lässt sich dabei allerdings nicht unmi elbar nutzen. Bei der Anwendung des CAPM-Konzepts auf Investitionsentscheidungen gibt es eine Reihe von Problemen. Einige davon sind weniger einschränkend, andere dagegen begrenzen den Modelleinsatz stärker. Zur ersten Kategorie gehören: die Reichweite der Modellanwendung, die Entscheidungsrelevanz des bereits gewählten Portfolios, die Datenbescha ung für die konkreten Berechnungen. Die Reichweite der Anwendung ist beim Capital Asset Pricing Model eng mit seiner Realitätsnähe verbunden. Das Modell erlaubt unterschiedliche methodologische Einordnungen. Zum einen kann man es als theoretisches Modell interpretieren, das ein bestimmtes Verhalten der Teilnehmer eines Wertpapiermarktes behauptet. Zum anderen lässt es sich als Optimierungsmodell verstehen, das ein Verfahren zur Portfolio-Gestaltung unter bestimmten Ausgangsbedingungen anbietet. Der erstgenannten Auffassung entspricht die häu gste und bekannteste Behandlung des Modells in der Literatur. Wendet man die CAPM-Aussagen auf einen gesamten Wertpapiermarkt, beispielsweise dem Markt börsennotierter Aktien an, nehmen seine Aussagen den Charakter volkswirtschaftlicher Hypothesen an. Die zentrale Behauptung der linearen Wertpapierlinie z. B. wird damit zu einem empirisch überprü aren Zusammenhang. Die Frage der empirischen Geltung des Capital Asset Pricing Model wird in zahlreichen Face en ausführlich in der Literatur behandelt. In der Vergangenheit sind auch verschiedene, teilweise umfangreichere empirische Untersuchungen dazu durchgeführt worden. Betrachtet man die weitreichende Behauptung des Modells für einen Gesamtmarkt, kann es nicht erstaunen, dass dafür überzeugende Bestätigungen kaum zu finden sind (vgl. zum Überblick über die klassische Diskussion hierzu z. B. Copeland/Weston/Shastri [Theory] 353 ., ursprünglich vor allem Fama [Foundations] 344; Roll [Critique]). Indessen: Die Problematik der empirischen Geltung reduziert sich erheblich, wenn man den Ansatz im zweitgenannten Sinn als Gestaltungsmodell interpretiert. So ist es in den Anwendungen für betriebliche Investitionsentschei- 370 VII. Beurteilung riskanter Investitionsprojekte mit dem Capital Asset Pricing Model dungen. Hier wird im einen Fall ein Portfolio erst aufgebaut (somit noch keine Eigenschaft davon generell behauptet); und der Aufbau geschieht nach Möglichkeiten rational. Allerdings bedarf eine Portfolio-Konstruktion kaum der Kenntnisse aus dem Capital Asset Pricing Model. Hierfür genügt vielmehr weitgehend die Theorie der Portfolio-Selektion nach Markowitz. Im anderen Fall ist ein bereits bestehendes Portfolio um neu zur Wahl stehende Projekte zu ergänzen. Arbeitet man hier mit dem CAPM, heißt dies anzunehmen, das bisherige Portfolio sei in dessen Sinn optimal gewählt. Dies erlaubt beispielsweise, die neuen Projekte auf ihren Beitrag zum bereits vorhandenen Portfolio mit Hilfe der CAPM-Preisgleichung zu prüfen. Das Problem der Entscheidungsrelevanz des bereits gewählten Portfolios entsteht aus der Berücksichtigung des Risikoaspekts in der Investitionsbeurteilung. Grundsätzlich gilt nach dem Relevanzprinzip, dass bereits getroffene Entscheidungen und ihre Auswirkungen die jetzige Alternativenbewertung nicht verfälschen dürfen. Insbesondere dürfen ohnehin bestehende Wirkungen (z. B. sunk costs ) nicht einseitig manchen der jetzigen Alternativen zugeordnet werden, manchen dagegen nicht. Nun kommt dem bisher gewählten Portfolio bei Anwendung der CAPM-Preisgleichung auf die Bewertung von Neuprojekten über die Kovarianz zwischen Portfolio und Neuprojekt eine erhebliche Bedeutung zu. Dennoch ist aber das Relevanzprinzip nicht durchbrochen: Das Portfolio mit seinen früheren Entscheidungen repräsentiert die Ausgangslage in Rendite und Risiko. Jedes Neuprojekt verändert sie in anderer Weise. Dies erfasst die Kovarianz. Die Entscheidungsrelevanz der Projekte im bereits gewählten Portfolio ist allerdings noch aus einem weiteren Grund zu problematisieren. Wir messen ja den Projekterfolg eines Neuprojekts durch Vergleich mit der Situation im Portfolio. Nun wäre dies ohne weiteres gerechtfertigt, wenn man bei negativer Bewertung von Neuprojekten tatsächlich auf Projekte im Portfolio zurückgreifen könnte, die u. a. diese Bewertung verursacht haben, selbst also eine bessere Rendite-Risiko-Position haben, und dort vermehrt investieren könnte. Das Portfolio enthält jedoch früher gewählte Projekte. Genau genommen sind es diejenigen davon, die noch nicht abgeschlossen sind. Ob man weitere Projekte mit gleicher Zielwirkung nden könnte oder ob man ggf. die Realisationshöhen der bisherigen Portfolio-Projekte erhöhen könnte, ist nicht zwangsläu g anzunehmen. Ginge dies aber nicht, ist der Vergleich mit der Portfoliosituation entscheidungslogisch nicht einwandfrei. Je mehr typische Realinvestitionen im Portfolio enthalten sind, desto eher wird man auf die angesprochene Möglichkeit verzichten müssen. Das ist unproblematisch, wenn sich die Neuprojekte ohnehin gegenüber den Projekten im Portfolio als vorteilhaft oder besser erweisen. Sind sie aber durchweg ungünstiger als die Portfolio-Projekte, muss zumindest die entstehende Entscheidungslage überdacht werden. Beispielsweise könnten sämtliche sich heute bietenden Investitionsmöglichkeiten eine geringere Zielerreichung gesta en als die Portfolio- Projekte. Ist aber nur eine Geldverwendung auf diese Art möglich, nutzt der Verweis auf die früher bessere Situation nichts. Die Wahl unter den jetzigen Möglichkeiten kann zwar mit Hilfe einer Messskala getro en werden, die auf die Ausgangssituation (also auf etwas Unbeein ussbares) zurückgreift; sie darf aber nicht eine nicht mehr wählbare Position in das Alternativenspektrum einbeziehen. 3714. Aspekte einer weiterreichenden betrieblichen Anwendung des CAPM Bei ober ächlichem Blick auf die CAPM-basierte Investitionsbeurteilung mag sich beides vermischen: Was die Risikokomponente betri t, werden die jetzigen Alternativen an ihrer risikoändernden Wirkung auf das bisherige (ggf. aktualisierte) Portfolio gemessen. Dies hat mit einer unzulässigen Berücksichtigung von versunkenen , irrelevanten Wirkungen nichts zu tun. Wenn aber gleichzeitig die Möglichkeit besteht, dass sämtliche Neuprojekte (angesichts des bisherigen Portfolios) abgelehnt werden, muss gefragt werden, auf welcher Vergleichsbasis dies geschieht. Die Rolle der Nullalternative, beim einfachen Kapitalwertkalkül vom Kalkulationszinssatz übernommen, kommt hier ebenfalls dem Portfolio zu. Durch die risikolose Finanzanlage wird das zunächst vermutete Problem prinzipiell beseitigt. Voraussetzung ist, dass der Zinssatz für die risikolose Finanzanlage den aktuellen Möglichkeiten entsprechend gewählt ist. Annahmegemäß ist sie innerhalb des Rahmens der zu beurteilenden Projekte nicht beschränkt. Daher kann sie die gleiche Funktion erfüllen wie der Kalkulationszinssatz im Kapitalwert-Grundmodell. Soweit sich im bisherigen Risikoportfolio die Projekthäu gkeiten nicht mehr beein ussen lassen, wird durch aktive Erhöhung oder Reduzierung des Engagements in die risikolose Finanzanlage der Risikoanteil geändert. Dies bedeutet allerdings auch, dass die Aufteilung der Gesamtinvestition in risikolose und risikobehaftete Anlagen nicht mehr frei wählbar ist, wenn alle Neuprojekte gegenüber dem bisherigen Portfolio nachteilig erscheinen und die Altprojekte in ihrer Investitionshöhe nicht änderbar sind. Das Problem der Datenbescha ung ist beim Capital Asset Pricing Model besonders zu beleuchten, weil der Bedarf an Zahlen über das für Investitionsentscheidungen ohnehin schon große Maß noch hinausgeht. Wir haben bereits die Notwendigkeit, die Kovarianzen zwischen den Projekten zu berücksichtigen, als Grund hierfür ausgemacht. Will man also das Investitionsrisiko einigermaßen erfassen, kommt man nicht umhin, sich um diese Parameter zu bemühen. Aus zwei Gründen können wir aber ho en, dass sich der Aufwand hierzu vielleicht doch in Grenzen halten lässt: Zum einen ist es die Möglichkeit, mit dem Single-Index-Modell auf eine vereinfachende Schätzung auszuweichen. Zum anderen und vor allem aber ist es die Überlegung, dass sich die praktische betriebliche Entscheidungssituation auf eine nicht allzu große Zahl von Projekten erstrecken wird. Da die Kovarianzen für die Risiko-Optimierung von maßgeblicher Bedeutung sind, ist wichtig, dass die Art ihrer Einbeziehung nicht gleichzeitig eine Reduktion an Genauigkeit bedeutet. Ob man mit einem Schätzverfahren auf Basis einer Linearitätsbeziehung wie im Single-Index-Model dem zentralen Einfluss der Kovarianzen gerecht werden kann, erscheint allerdings oft als fraglich. Probleme in der Grundkonzeption des Capital Asset Pricing Model, die seine Anwendbarkeit stärker als die bisher besprochenen beeinträchtigen, sind vor allem folgende: die Messung der Zielwirkung von Alternativen nur mit den beiden Parametern Erwartungswert und Streuung, die Übertragbarkeit auf Realinvestitionen, die Beschränkung auf einperiodige Projekte im Grundmodell. 372 VII. Beurteilung riskanter Investitionsprojekte mit dem Capital Asset Pricing Model Eine der grundlegenden Voraussetzungen des Capital Asset Pricing Model ist die Messung der Zielwirkung von Alternativen mit ausschließlich zwei Parametern: dem Erwartungswert µ (der Rendite) sowie dessen Standardabweichung σ. Aus der Entscheidungslogik wissen wir, dass diese Annahme nur gerechtfertigt ist, wenn bereits die Zielvorstellung des Entscheidungsträgers unmi elbar in diesen beiden Größen formuliert ist, der Entscheidungsträger also nach einer (µ, σ)- Regel vorgeht, oder die relevanten Zielwirkungen, also im Grundmodell die Renditen, normalverteilt sind. Mit diesen Bedingungen kann man einerseits zweifellos zahlreiche Fälle erfassen; dennoch müssen wir uns daran erinnern, dass damit andererseits auch wichtige Elemente einer Risikopolitik nicht abbildbar sind: etwa eine Minimax-Strategie, andere Entscheidungsprinzipien, die auf einer gezielten Analyse von Teilbereichen der Wahrscheinlichkeitsverteilungen beruhen oder auch die adäquate Erfassung von Projekten mit beliebigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen, unabhängig davon, ob sich die betriebliche Zielsetzung in eine (µ, σ)-Formulierung pressen lässt oder nicht. Das Capital Asset Pricing Model ist ursprünglich für die Zusammenstellung von Wertpapier-Portfolios konzipiert. Die Alternativen sind daher ohne nennenswerte Einschränkungen als in jedweder Höhe realisierbar anzunehmen, also als beliebig teilbar und auch mehrfach durchführbar. Damit lassen sich ihre Zahlungsverläufe auf eine Standard-Investitionssumme von 1, normieren. Alle Wertpapiere sind problemlos miteinander im gleichen Portfolio kombinierbar. Die Übertragung auf Realinvestitionen kann aus diesen Gründen Probleme aufwerfen. Genau genommen entstehen sie immer dann, wenn es um Projekte geht, die nicht beliebig teilbar oder duplizierbar und die nicht durchweg miteinander kombinierbar sind. Dies tri t typischerweise für viele Realinvestitionen zu, aber auch für manche Typen von Finanzinvestitionen. Die in diesem Kapitel beschriebenen Anwendungen zeigen, wann dieses Problem größere Auswirkungen hat. Solange es beispielsweise um die Bewertung eines Neuprojekts bei bereits vorhandenem Portfolio geht, ist die Bedingung, dass das Neuprojekt entweder genau einmal oder gar nicht gewählt wird, weniger einschränkend. Für das vorhandene Portfolio lässt sich immerhin mit der Annahme arbeiten, die dort bereits enthaltenen Projekte könne man (gedanklich) auch in anderem, mehr oder weniger großem Ausmaß durchführen. Eine Bewertung nach der CAPM-Preisgleichung ist so bei geeigneter Interpretation möglich. Anders freilich ist es bei der (erstmaligen) Zusammenstellung eines ganzen Portfolios. Gilt die Voraussetzung der beliebigen Teilbarkeit und Duplizierbarkeit sowie der freien Kombinierbarkeit nicht, sind letztlich die CAPM-Resultate unbrauchbar. Insbesondere ist bereits die Messung des Projekt-Überschusses durch die Rendite nicht mehr möglich. Sta dessen ist der allgemeine Kapitalwertansatz heranzuziehen. Damit scheiden einfache Projektvergleiche anhand der Rendite-Risiko-Positionen aus. Die in Teilkapitel 2, Abschni e (siehe S. 340) für diesen Fall vorgestellte Optimierungsmethode greift dementsprechend auch nicht auf die Wertpapierlinie oder die Preisgleichung des Capital Asset Pricing 3734. Aspekte einer weiterreichenden betrieblichen Anwendung des CAPM Model zurück, sondern im Wesentlichen nur auf den Markowitz-Ansatz der Portfolio-Selektion. Nicht weniger kompliziert wird eine Portfolio-Optimierung, wenn einige der Projekte nur in der Häu gkeit null oder eins, andere dagegen in beliebiger Häu gkeit realisiert werden können. Gerade für Realinvestitionen ist daher die CAPM-Anwendung nicht ohne weiteres möglich. Ein weitreichendes Problem ergibt sich aus der Beschränkung des Capital Asset Pricing Model auf einperiodige Projekte. Für die Modellanalyse hat dies einige Vorteile: Da ohnehin teilbare Projekte betrachtet werden, kann durch die zusätzliche Einschränkung auf eine Periode der gesamte Projektüberschuss korrekt als Rendite ausgegeben werden. Durch diese besonderen Bedingungen ist auch eine Projektauswahl anhand der Renditen entscheidungslogisch richtig im Gegensatz zum allgemeinen Fall (siehe Kapitel III, S. 78). Beim Vergleich mehrperiodiger Projekte fallen alle diese Vereinfachungsmöglichkeiten weg: Die Projekte erstrecken sich über mehrere Perioden, haben daher in den einzelnen Perioden im Allgemeinen unterschiedliche Einnahmenüberschüsse. Schon deswegen scheidet eine wie auch immer zu berechnende Rendite als Maßzahl des Projekterfolgs aus, und zwar bereits auch dann, wenn es sich noch um beliebig teilbare Projekte handelt. Insbesondere kommt die Möglichkeit hinzu, dass außer in Periode 0 noch in weiteren Perioden ein Ausgabenüberschuss entsteht. Das Risiko eines mehrperiodigen Projekts muss durchaus nicht über alle Perioden gleich groß sein. Bei der Projektbeurteilung geht es nicht mehr nur um eine optimale Zielkombination von Überschuss und Risiko in der gleichen Periode, sondern zusätzlich auch noch um eine zeitliche Optimierung. Beispielsweise ist vorstellbar, dass man ein Projekt trotz sehr ungünstigen Zielwirkungen in der ersten Periode deshalb wählt, weil es etwa in einer späteren Periode das bereits bestehende Risiko eines früher schon gewählten Projekts teilweise neutralisieren kann. Um die Überschuss-Risiko-Optimierung bei mehrperiodigen Projekten zu unterstützen, wäre ein Modell erforderlich, das zum Beispiel: den Projekterfolg mit einem Kapitalwertansatz misst, für jede Periode eine eigene Risikogröße eines Projekts abzubilden vermag, mit einer Zielsetzung arbeitet, in der Höhenpräferenz (gemessen durch den Kapitalwert), Risikopräferenz (gemessen durch eine geeignete Risikogröße) und Zeitpräferenz (gemessen durch die Zinssätze bzw. andere Umrechnungen) abgebildet werden. Das Capital Asset Pricing Model kann dies allgemein kaum leisten. Allerdings zeigt schon ein kurzes Überdenken der aufgeführten Anforderungen, dass beim Versuch, ein entscheidungsunterstützendes Modell mit diesen Eigenschaften zu entwerfen, gewisse Kompromisse in erfasstem Problemumfang und Detailabbildung unvermeidlich sind. 374 VII. Beurteilung riskanter Investitionsprojekte mit dem Capital Asset Pricing Model Was im mehrperiodigen Fall mit dem CAPM-Grundansatz noch erreicht werden kann, haben wir im vorhergehenden Abschni kennengelernt. Es handelt sich um die Beurteilung neuer Projekte bei bereits vorhandenen Portfolios für die jetzige (= erste) und alle folgenden Perioden. Für die späteren Perioden kann es sich auch um bedingte Portfolios handeln. Welches von ihnen gilt, hängt dann vom in der Vorperiode (zufällig) eingetretenen Zustand ab. Für die Interpretation dieses Verfahrens beachte man, dass für jeden Zustand getrennt ein CAPM-Wert berechnet wird. Nach dem Prinzip einer retrograden Entscheidungsbaumabrechnung ermi elt man an jedem Knoten den (bedingten) Erwartungswert des Sicherheitsäquivalents für den weiteren Zahlungsverlauf des Projekts. Für die nächstfrühere Periode ist die Summe aus aktuellem zustandsabhängigen und errechnetem Wert für das Restprojekt der folgenden Perioden ab diesem Zustand die maßgebliche Zahlungsgröße. Mit den so berechneten Zahlungsgrößen kann eine weitere Periode zurückgerechnet werden. Damit erfüllt dieses Verfahren alle drei oben genannten Anforderungen, allerdings nur für den speziellen Fall der Beurteilung je eines Einzelprojekts. Interessant ist vor allem, wie der Ausgleich von Nachteilen in einer früheren Periode durch Vorteile in späteren Perioden im Modell abgebildet ist. Im behandelten Ansatz gelingt dies durch die retrograde periodenweise Wertermi lung. Der perioden- und zustandsbezogene Wert wird wie ein (zusätzlicher) Überschuss behandelt und verbessert dadurch (rechnerisch) den eigentlichen Projektüberschuss der vorherigen Periode. Will man diesen Ansatz auch für den Aufbau eines neuen Portfolios anwenden, ergeben sich wegen des Zusammentre ens der zahlreichen denkbaren Einzelkombinationsmöglichkeiten (siehe Abb. VII-26) mit den Zuständen jeder Periode auch verfahrenstechnische Schwierigkeiten. Kapitel VII auf einen Blick Das CAPM ist ein Modell für die Zusammenstellung eines Portfolios aus einjährigen Wertpapiern, die eine normalverteilte Rendite aufweisen. Nur für diese Anwendungsbedingungen ist das Modell letztlich akzeptabel, wenn es auch genau genommen für etwas allgemeinere Voraussetzungen gilt. Wertpapiere und Wertpapierportfolios werden durchweg nur an Erwartungswert und Standardabweichung beurteilt. Bei der Portfoliobildung spielt eine wichtige Rolle, dass die Portfoliovarianz von den Kovarianzen bzw. dem Korrelationskoeffizienten zwischen den im Portfolio enthaltenen Wertpapieren abhängt. Wenn die Wertpapiere nicht gerade voll korreliert sind, kann deshalb durch die Mischung von Wertpapieren die Rendite-Risiko-Situation verbessert werden. Dieser Grundansatz geht auf Markowitz zurück. Die wesentliche Aussage ist, dass es ein Portfolio aus den risikobehafteten Wertpapieren gibt, das durch geeignete Kombination mit einer risikolosen Finanzanlage zu jeder gewünschten (noch akzeptierbaren) Risikohöhe die höchsterreichbare Rendite ermöglicht. Diese effizienten Portfolios liegen im Rendite-Risiko-Diagramm auf einer Geraden, der Kapitalmarktlinie. Aus dem Modellzusammenhang zwischen dem optimalen und den spezifischen Rendite-Risiko-Parametern der einzelnen Wertpapiere lässt sich die Wertpapier- 375Kapitel VII auf einen Blick linie ableiten. Das ist eine lineare Beziehung zwischen den individuellen Wertpapierrenditen und einer wertpapierspezifischen Risikogröße, die Beta genannt wird. Das Beta eines Wertpapiers ist der Quotient zwischen seiner Kovarianz zum Marktportfolio und der Varianz des Marktportfolios. Die empirische Relevanz der CAPM-Ergebnisse hängt zum einen davon ab, dass das optimale Wertpapierportfolio tatsächlich realisiert ist. Das setzt modellgetreues Verhalten der Marktteilnehmer und ein entsprechendes Funktionieren des Wertpapiermarktes voraus. Zum anderen ist maßgeblich, dass die Voraussetzung einjähriger normalverteilter Wertpapiere überhaupt erfüllt ist. Schon aus modellimmanenten Gründen sagt deshalb die Wertpapierlinie nicht, wie hoch die Rendite-Erwartung eines Wertpapiers bei gegebener Kovarianz zum Optimal- Portfolio tatsächlich ist, sondern nur, wie sie bei Modellgültigkeit im Optimum sein müsste. Unabhängig von der Gültigkeit der Modellergebnisse für einen realen Wertpapiermarkt kann ihre Herleitungsart im CAPM dazu genutzt werden, ein betriebliches Wertpapier-Porfolio zu optimieren. Dafür muss man die Beschränkung auf die im CAPM vorkommenden einjährigen Wertpapierarten sowie die auf Erwartungswert und Standardabweichung konzentrierte Zielsetzung und Bewertung akzeptieren. Die Gültigkeit des CAPM auf dem Gesamtmarkt ist dagegen dafür nicht erforderlich; die real ggf. problematischen Leerverkäufe von Wertpapieren kann man als unzulässig ausschließen. Zwei Aufgabenarten sind zu trennen: - das (erstmalige) Zusammenstellen eines optimalen Wertpapier-Portfolios aus einer Anzahl vorliegender Angebote, - das Ergänzen eines bereits bestehenden Portfolios durch ein neu hinzutretendes Angebot. Auf beide, sehr verschiedene Aufgaben ist die Vorgehensweise des CAPM prinzipiell übertragbar, muss aber methodisch noch deutlich ergänzt werden. Beispielsweise reicht es zwar für die Modellanalyse, die Gleichgewichtsbedingungen zu kennen, in der praktischen Anwendung aber braucht man auch eine Rechentechnik zur Ermittlung ihrer konkreten Werte. Die erstgenannte Aufgabe, ein optimales Wertpapier-Portfolio zusammenzustellen, ist bei einer überblickbaren Anzahl von Wertpapierarten letztlich akzeptabel zu lösen. Allerdings bereiten die erforderlichen Kovarianzen zwischen den Wertpapieren ein zunehmendes Problem, sobald die Wertpapieranzahl den unteren zweistelligen Bereich verlässt. Die Anzahl der Kovarianzen steigt in quadratischer Größenordnung. Dann mag das "Single-Index-Modell" eine gewisse Hilfe bieten. Es arbeitet mit der Annahme, sowohl Erwartungswert als auch Varianz der einzelnen Wertpapiere stünden in einem linearen Regressionszusammenhang zu einem (zu findenden) Wertpapier-Indikator. Ein größeres Problem bereitet die CAPM-Voraussetzung der beliebigen Multiplizierbarkeit und damit auch Teilbarkeit der Wertpapiere. Bei kleinerer Investitionssumme dürfte dies eine unrealistische Voraussetzung sein. Gibt man sie auf, lässt sich ein Optimalportfolio zwar methodisch gut bestimmen, dies geschieht allerdings zweckmäßig nach einem Entscheidungsbaumverfahren und hat mit den typischen CAPM-Erkenntnissen fast nichts mehr zu tun. Die Aufgabe, ein schon bestehendes Portfolio auf eine Ergänzung hin zu prüfen, ist nur sinnvoll, wenn das neue Angebot nicht schon selbst die CAPM- 376 VII. Beurteilung riskanter Investitionsprojekte mit dem Capital Asset Pricing Model Bedingungen erfüllt denn dann wäre der Investor finanziell indifferent. Deshalb wird davon ausgegangen, dass ein den CAPM-Optimalitätskriterien entsprechendes Portfolio vorliegt, auf das jetzt davon unabhängige, zusätzliche Angebote treffen. Die Lösung hängt davon ab, wie weit sich die neuen Angebote vom CAPM-Standard-Wertpapiertyp entfernen. Haben sie diskret verteilte Überschüsse, müsste für eine Anwendbarkeit eine eher realitätsferne Risikozielsetzung angenommen werden. Unproblematisch ist die CAPM-Übertragbarkeit dagegen, wenn die Wertpapier-Angebote normalverteilte Überschüsse haben. Will man von der stark einschränkenden CAPM-Voraussetzung ausschließlich einperiodiger Projekte abgehen und auch mehrperiodige Projekte zulassen, dann - ist das Kriterium der Rendite schon zur Vermeidung definitorischer und logischer Probleme zwingend durch ein allgemeines Überschusskriterium zu ersetzen, was aber problemlos machbar ist; - eignet sich der CAPM-Ansatz nicht mehr dazu, ein optimales Wertpapier-Portfolio zu bilden, da nahezu alle Vereinfachungsmöglichkeiten wegfallen, die für die CAPM-Portfoliobildung konstitutiv sind; - kann aber immerhin mit Hilfe der CAPM-Resultate prinzipiell geprüft werden, ob und wie es sich lohnt, neue Investitionsangebote in ein schon bestehendes Optimal-Portfolio einzubringen; Voraussetzung hierfür ist allerdings die Fortsetzbarkeit der bisherigen Projekte. Mit dem CAPM nicht begründbar ist die Verwendung unterschiedlich hoher Kalkulationszinssätze für Projekte mit verschieden hohem Risiko. Eine widerspruchsfreie Festlegung stellt sich sogar als undurchführbar heraus. Der Wunsch von Kapitalgebern nach mehr Überschuss für Investitionsprojekte größeren Risikos ist in entscheidungslogisch haltbarer Weise letztlich nicht über Kalkulationszinssätze zu erreichen, sondern eher über Vorgaben an die Mindesthöhe der Projektüberschüsse. Haupthindernisse einer breiteren CAPM-Anwendung bleiben - die Begrenzung der Zielsetzung auf den Rendite-Erwartungswert und dessen Standardabweichung, - die faktische Begrenzung auf einperiodige Projekte, - die beliebige Teilbarkeit und Kombinierbarkeit der Investitionsprojekte, was die Verallgemeinerung auf Realinvestitionen schwierig macht und faktisch eine Begrenzung auf Wertpapiere (zudem bestimmten Typs) bedeutet.

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Zusammenfassung

Vorteile

- Den finanziellen Erfolg von Projekten richtig beurteilen

Zum Werk

Dieses Buch stellt die zentralen Instrumente der finanziellen Projektbeurteilung vor. Angefangen bei den grundlegenden Standardformen der Investitionsrechnungen führt es anhand typischer Praxisfälle zu den Möglichkeiten, auch schwierigere betriebliche Entscheidungen mit passenden Projektrechnungen zu unterstützen. Der Leser erfährt, wo verbreitete Fehler der Projektbeurteilung liegen und wie diese vermieden werden können. Die Vielfalt der betrieblichen Anwendung von Projektrechnungen, die man mit diesem Buch kennenlernt, ist der Grund für die gewachsene Bedeutung dieses Controlling-Instruments.

Inhalt

- Prinzip der Investitionsbeurteilung

- Statische und dynamische Investitionsrechnungen

- Praxisorientierte Anwendungen von Kapitalwert und Annuität

- Investitionsbeurteilung bei Mischfinanzierung

- Unsicherheit bei Investitionsentscheidungen

- Integration der Projektrechnung in das interne Rechnungswesen

Autor

Prof. Dr. Ernst Troßmann, Hohenheim.

Zielgruppe

Studierende im Schwerpunkt Controlling im Bachelor und Master sowie Controller in der Praxis.