V. Bei welchen Problemen man mit den Standardmethoden nicht auskommt – und wo doch: Weitere Investitionsbeurteilungsmethoden in:

Ernst Troßmann

Investition als Führungsentscheidung, page 198 - 244

Projektrechnungen für Controller

2. Edition 2013, ISBN print: 978-3-8006-4711-8, ISBN online: 978-3-8006-4712-5, https://doi.org/10.15358/9783800647125_198

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B n K 1 N tu d d so so a D fa ei D D g (1 (2 B zu L E jä st je N g d w re en o Je k ei welche icht ausk apitel V . Besondere eben den bi r eine Reihe eren Grundk ie wichtigste ndere die A wie Rentab ) Die Amortis ie Amortisa hren der In n Projekt u ies bezeichn amit werde egenüberges die Anscha) die laufend) ei Ersatzinv sätzlichen iquidationse ine eindeuti hrlichen Pro immungsgr ne zunächst utzungszeit e errechnet w ie Anschaffu äre als ein B n (vgl. Troß tscheidung -Zeit) eher nachdem, w ann man d n Problem ommt u : Weitere method Größen zur sher besproc weiterer, d onzeptionen n von ihnen mortisation ilitätskennz ationsrechnu tionsrechnu vestitionsrec rsprünglich et man als A n bei dieser tellt: ungsausga en Rück üs estitionen z Ne o-Ausga rlöse für das ge Ermi lun jekt-Cash- ößen, etwa festgelegt vorgegeben erden, mit ngsausgabe reak-even-M mann [Payen ist allerdi gebräuchlich elche Infor ie Durchsch en man m nd wo doc Investi en isolierten In henen Beur ie teils Varia beruhen. In geworfen sdauer und ahlen ander ng ng gilt als e hnung. Mit eingesetzte mortisation Rechnung ben des Pro se (Cash o ieht man al ben heran, bisherige, z g einer Am ows bekann Produktion bzw. progn und die zu deren Cash n gedeckt engenpunk o -Methode ngs die Bere . mationen ü ni smethod it den S h: tionsbeu vestitionsbe teilungsgröß nten davon diesem Ka werden. Wir die Duratio erseits. ines der am ihr soll erm Geldbetrag sdauer, Pay zwei Arten jekts, ws). s Anscha u die nach A u ersetzende ortisationsd t sind. Sowe smengen ab ostiziert wer ihr gehören ows dann werden. Ein t (hier: Pay ]). 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Es liegen jedoch Informationen vor, aus denen ihre durchschni liche Höhe abgeschätzt werden kann, so z. B. der statisch berechnete durchschni liche Investitionsgewinn pro Periode. Aus dieser Größe kann der periodische Projekt-Cash- ow durch die Addition bzw. Subtraktion gewisser Korrekturposten gewonnen werden. Um zum gesuchten Cash ow als Differenz von Ertragseinnahmen und Aufwandsausgaben zu gelangen, müssen zum Gewinn als Di erenz von Ertrag und Aufwand die ausgabenlosen Aufwendungen addiert und von ihm die einnahmenlosen Erträge subtrahiert werden. Den einzigen größeren Betrag dieser Ausgleichsposten stellen in vielen Fällen die Abschreibungen dar. Wenn andere Korrekturposten nicht anfallen oder vernachlässigbar klein sind, kann die übliche Näherungsformel für den periodischen Rück uss (den Projekt-Cashow) verwendet werden: Projekt-Cash-flow ≈ projektbezogener Gewinn + Abschreibungen. (5.1) In der Durchschni smethode errechnet sich damit die Amortisationsdauer eines Projekts grob nach der Formel Amortisationsdauer Anschaffungsausgaben in Jahren jährlicher Gewinn + jährliche Abschreibungen Die ermi elte Periodenzahl liefert nur unter engen Bedingungen eine brauchbare Aussage. Zum einen ist vorausgesetzt, dass durch die Summe von Gewinn und Abschreibungen der Projektrück uss prinzipiell in akzeptabler Annäherung erfasst wird. Zum anderen gibt das Ergebnis nur dann eine tatsächliche Amortisationsdauer an, wenn die jährlichen Rück üsse, zumindest innerhalb der errechneten Amortisationszeit, kaum von den verwendeten Abb. V-1: Berechnung von Amortisations- = (5.2) 1911. Besondere Größen zur isolierten Investitionsbeurteilung Durchschni swerten abweichen. Sind die periodischen Rück üsse nicht annähernd konstant, kann die bei statischen Investitionsrechnungen übliche Durchschni sbildung zu emp ndlichen Fehleinschätzungen führen. Präzisere Ergebnisse erhält man, wenn die Zahlungen, die dem Projekt zugeordnet werden können, und damit die projektbezogenen Rück üsse für die einzelnen Jahre der Laufzeit getrennt vorliegen. Wurden die Zahlungen bzw. die Projekt-Cash- ows für die einzelnen Jahre direkt prognostiziert, ist dies der Fall. Dann kann die Amortisationsrechnung nach der Kumulationsmethode durchgeführt werden. Die Amortisationsdauer ergibt sich hier durch den Zeitpunkt, an dem die kumulierten (Ne o-)Rück üsse die Höhe der anfänglichen Anschaffungsausgaben erreicht haben. Um den Pay-o -Termin noch genauer zu bestimmen, muss bekannt sein, wie sich Einnahmen und Ausgaben innerhalb des Jahres verteilen. Häu g wird mangels genauerer Informationen wie bei der Durchschni smethode generell von einer gleichmäßigen Verteilung ausgegangen. Es dürfte in vielen Fällen allerdings auch gerechtfertigt sein, einen gewissen Ausgabenbetrag als x zu Beginn jeden Jahres anzusetzen und nur den Rest linear aufzuteilen. Die Rückusskurve hat dann jeweils zu Jahresbeginn einen Sprung nach unten. In Abb. V-1 sind für die beiden schon aus Kapitel IV bekannten Projekte K und L sowie ein zusätzliches Projekt Z die Rück üsse über die ersten sieben Jahre ihrer Nutzungszeit zusammengestellt und die Amortisationsdauern berechnet. Abb. V-2 zeigt die zugehörigen Rück uss-Verläufe. Aus Rechnung und Graphik erhält man als Amortisationsdauer 3,4 Jahre für Projekt K, 5,4 Jahre für Projekt L sowie 5,6 Jahre für Projekt Z. In der bisher dargestellten Form der Pay-o -Methode wird eine Verzinsung der Zahlungen nicht berücksichtigt. Es ist jedoch davon auszugehen, dass nanzielle Überschüsse verzinslich angelegt werden können bzw. die teilweise Tilgung eines Kredits und damit Zinsersparnisse ermöglichen. Daher ist es dauern nach der Kumulationsmethode 192 V. Weitere Investitionsbeurteilungsmethoden Abb. V-2: Rückfluss-Diagramm zu den Projekten aus Abb. V-1 in der Regel zweckmäßig, in der Pay-o -Rechnung für Zahlungen zu unterschiedlichen Zahlungszeitpunkten mit verzinsten Werten zu arbeiten. Als Bezugszeitpunkt der Rechnung wählt man den Zeitpunkt des Projektbeginns. Wie bei der Kapitalwertrechnung werden alle Zahlungen auf diesen Zeitpunkt abgezinst. Für die Anscha ungsausgaben stimmen Barwert und Zeitwert überein, der Barwert späterer Zahlungen ist stets geringer als ihr Zeitwert. Daher verläuft die Kurve vorwiegend positiver Ne orück üsse bei Berücksichtigung von Zinsen acher als bei der statischen Version, der Payo -Termin rückt nach hinten. Für Projekt L etwa liegt er nunmehr bei 6,6 Jahren sta bei 5,5 Jahren wie in der Rechnung ohne Abzinsung. Beim Vergleich mehrerer Projekte anhand der Amortisationsdauer kann sich gegenüber der statischen Version auch die Rangfolge ändern. 1931. Besondere Größen zur isolierten Investitionsbeurteilung Die Berücksichtigung von Zinsen ist auch für die Durchschni smethode von Bedeutung. Sofern ein jährlich gleich hoher Ne orück uss tatsächlich angenommen werden kann, ergibt sich wegen der Abzinsung dennoch kein linearer, sondern ein degressiver Verlauf der Rückflusskurve. Ihre Analyse kann daher trotz der Konstanz der Rück uss-Zeitwerte interessant sein. Amortisationsdauern sind Break-even-(Zeit-)Punkte. Sie geben damit Grenzen der Vorteilhaftigkeit an. Damit ist bereits ohne weitere Überlegung klar, dass sich die Amortisationsdauer nicht als Vorteilhaftigkeitsmaß zum Projektvergleich eignet. Vielmehr kann sie, wie jede Break-even-Zahl, lediglich die Lösung einer Ja/Nein-Frage vereinfachen. Hat man z. B. eine Pay-o -Menge bei gegebener Nutzungszeit berechnet, dann kann durch Vergleich mit den tatsächlich erwarteten Mengen beurteilt werden, ob das Projekt eine Amortisation erreicht, d. h. überhaupt einen nanziellen Überschuss erzielt oder nicht. Voraussetzung für eine solche Aussage ist allerdings, dass die angesetzte Projektlaufzeit zutri t. Entsprechendes gilt für die Pay-o -Zeit. Soweit die für die Rück üsse angenommenen Mengen und Werte akzeptierbar sind, drückt die Amortisationsdauer eine Mindestzeit aus, über die das Projekt durchgeführt werden muss, um nicht Verlust zu erbringen. Eine Orientierung an der Amortisationszeit ist für eine Projektbeurteilung somit nur dann begründbar, wenn es sich um eine Ja/Nein-Entscheidung handelt, bei der die Wahl bereits dann auf ja fällt, wenn das Projekt wenigstens keinen Verlust erbringt. Dann kann die Umsetzung dieser Frage in eine Mindestlaufzeit von praktischem Nutzen sein. Bisweilen ndet man die Amortisationsdauer in generellen Regeln als Mindestforderung an akzeptierbare Projekte. Beispielsweise wird dann gefordert, nur solche Projekte überhaupt weiter zu analysieren, die eine Amortisationsdauer von höchstens x (z. B. 2,5) Jahren aufweisen. Aus den skizzierten Eigenschaften der Amortisationsdauer ergibt sich, dass sie auch als ein solches einheitliches Vorsortierungskriterium ungeeignet ist. Zwar mag man, wie oben beschrieben, für ein bereits identi ziertes Projekt individuell eine Mindestlaufzeit (evtl. berechnen und) angeben können; eine pauschale Sollvorgabe hierzu kann jedoch nicht zielführend sein. Man erkennt das unmittelbar, wenn man als Beispielprojekt eine hochverzinsliche Nullkupon-Finanzanlage mit hinreichend langer Laufzeit betrachtet. An der graphischen Darstellung der Rück usskurven wird deutlich, dass mit der Amortisationsdauer ein Investitionsprojekt nur punktuell beurteilt wird. Aus der umfassenden Information über den gesamten Zahlungsverlauf der Ne o-Rück üsse wird fast willkürlich ein einzelner Punkt herausgegri en. Deshalb kann auch ein insgesamt vorteilhaftes Projekt eine ungünstige Amortisationsdauer aufweisen. In unserem Beispiel erscheint Projekt L nach der Amortisationsdauer als unvorteilhaft; sie liegt mit 6,6 Jahren deutlich über der von K mit 4,2 Jahren. Dennoch hat L insgesamt den besseren Kapitalwert. Dies ist auch aus der Rück usskurve erkennbar, die spätestens nach 7¾ Jahren oberhalb derjenigen von K verläuft. In die Amortisationsdauerberechnung geht nur der Rück ussverlauf bis zum Überschusspunkt 0 ein, die weitere Entwicklung spielt dafür keine Rolle. 194 V. Weitere Investitionsbeurteilungsmethoden Ebenso wie die Zeitspannen bis zur Rückgewinnung des ursprünglich eingesetzten Geldbetrages gegenübergestellt werden, könnte auch verglichen werden, bei welchem Projekt der Restkapitaleinsatz früher unter x gesunken ist oder welches Projekt schneller einen Überschuss von mindestens y erzielt. Derartige Fragestellungen sind oft realistischer als die herkömmliche Berechnung der Amortisationsdauer. So könnten z. B. der Betrag x die eingesetzten Eigenmittel und y einen möglichst schnell zu deckenden Liquiditätsbedarf bedeuten. Dann ist eine Orientierung an der Amortisationsdauer, die speziell für den Fall x = 0, y = 0 gilt, weniger passend. Interessant sind vielmehr Rück ussdauern, die für nichtverschwindende Beträge x und y gelten. Ihre Ermi lung wirft keine neuen Probleme auf. In der Graphik erhält man die relevanten Pay-o -Zeiten dann nicht mehr als Abszissenschni punkte der Rück usskurven,sondern als Schni punkte auf einer Parallelen zu ihr. Insgesamt ist eine Analyse des Gesamtverlaufs der Rück usskurve oft wichtiger als die Berechnung eines Pay-o -Punktes, weil sie in den Alternativenvergleich den gesamten Einnahmen-Ausgaben-Verlauf der Projekte ein ießen lässt. Mitunter wird die Amortisationsdauer als Ersatzmaß für das Projektrisiko verwendet (vgl. z. B. Blohm/Lüder/Schaefer [Investition] 70, 260; Perridon/ Steiner/Rathgeber [Finanzwirtschaft] 47). Dies mag durch die Überlegung begründet sein, dass mit jedem weiteren Jahr der Kapitalbindung in einem Projekt zusätzliche Risiken auftreten können. Sie werden zusätzlich um so größer, je weiter das hinzukommende Jahr in der Zukunft liegt. Eine solche Interpretation ist als problematisch einzustufen. Vor allem erfasst eine Zeitgröße wie die Amortisationsdauer an keiner Stelle (direkt oder indirekt) irgendein Projektrisiko, etwa die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zahlungsgröße, eine Verlustwahrscheinlichkeit oder ähnliches (vgl. dazu Kapitel VI). Das Argument des Risikoanwachsens in der Zeit gilt ausschließlich für die inhaltlich gleiche Risikogröße. Beispielsweise ist ein Engagement in einem Land mit unstabilen politischen und wirtschaftlichen Verhältnissen über vier Jahre risikoreicher als ein solches über nur drei Jahre. Ebenso ist ein Bundesschatzbrief, der sieben Jahre läuft, (etwas) risikoreicher als einer mit nur sechs Jahren Laufzeit. Ein an Zeitgrößen orientierter Risikovergleich zwischen diesen beiden Projekttypen verbietet sich wegen ihrer völlig unterschiedlichen Inhalte. Nun unterscheiden sich aber die in einer Auswahlentscheidung zu vergleichenden Alternativen durchweg in mindestens einer inhaltlichen Komponente, so dass die angestrebte Risikomessung durch die Amortisationsdauer stets ausscheidet. b) Die Duration Während die Amortisationsdauer eher als Kennzahl für Realinvestitionen gebräuchlich ist, stammt eine andere Zeitgröße zur Beurteilung von Investitionen aus der Wertpapieranalyse: die Duration. Weder ihre Berechnung noch ihre Interpretation sind aber auf Finanzinvestitionen beschränkt. Sinnvoll ist diese Kennzahl allerdings nur für Investitionen, die außer den Anscha ungsausgaben ausschließlich positive Projektverlaufszahlungen (Überschüsse) Üt über die Laufzeit hinweg haben, also regulär sind. Dasselbe gilt auch für die 1951. Besondere Größen zur isolierten Investitionsbeurteilung spiegelbildlich dazu verlaufenden regulären Finanzierungen. Für ein solches Projekt wird mit Zinsfaktor q die Duration Dq wie folgt de niert: = ⋅ ⋅ = T 1t t q tU Ü :D tq 1 = ⋅= T 1t tt q 1ÜUmit . (5.3) Die Duration ist also ein gewichteter Mi elwert aus den Zahlungszeitpunkten der Überschüsse. Gewichtungsfaktor der Periode t ist dabei der Anteil, den der Barwert des Periodenüberschusses Üt zum Kapitalwert U der Projektverlaufszahlungen insgesamt liefert. Den letztgenannten bezeichnen wir im Weiteren auch kurz als Überschuss-Kapitalwert U. Zum Kapitalwert C des Projekts fehlt lediglich die Substraktion der Anscha ungsausgaben: C = U A0. (5.4) Demnach wird in der Duration dem Zeitpunkt 0, in dem die einzige Ne oausgabe erfolgt, der barwertgewichtete Zahlungszeitpunkt der Projektverlaufszahlungen gegenübergestellt. Die Duration eines regulären Investitionsprojekts gibt die barwertgewichtete durchschni liche Dauer bis zum Eingang der Projektüberschüsse an. Sie wird in der Literatur u. a. als durchschni liche Bindungsdauer oder Zeitzentrum der Überschüsse interpretiert, ferner als durchschni liche Selbstliquidationsperiode , mi lere Fälligkeit oder ökonomische Laufzeit (vgl. Rudolph [Duration] 137, Everding [Zinsänderungswirkungen] 130, Walz/ Gramlich [Investitionsplanung] 96). Im Vergleich zur Amortisationsdauer ist darauf hinzuweisen, dass die Duration nicht nach dem Rück uss des eingesetzten Kapitals fragt, sondern generell nach dem mi leren Zahlungstermin aller Rück üsse. Ob sie allerdings mehr oder weniger einbringen, erfasst die Duration nicht. Sie gibt zunächst lediglich an, wie lange es (durchschni lich) dauert, bis die Rück üsse eintreffen. Abb. V-3 zeigt beispielhaft die Berechnung der Duration für das Projekt A aus Kapitel III, für das Abb. III-29 (Seite 99) die Kapitalwertfunktion wiedergibt. Der Abb. V-3: Berechnung der Duration für Beispielprojekt A 196 V. Weitere Investitionsbeurteilungsmethoden U = C + A0 = 94.407,89 + 320.000 = 414.407,89 . (5.5) = ⋅== T 1t tt q 1Ü)q(fU . (5.6) ε q )q(f: dq df:)q( =ε (5.7) 1971. Besondere Größen zur isolierten Investitionsbeurteilung = ⋅⋅⋅−= T 1t tt q 1Üt q 1 dq df (5.8) wie folgt zu: . q 1Ü q 1 q 1Üt q 1 )q( T 1t tt T 1t tt = = ⋅⋅ ⋅⋅⋅− =ε (5.9) Dieser Ausdruck entspricht bis auf das Vorzeichen der für den Abzinsungsfaktor q berechneten Duration Dq nach 5.3. Es gilt also: ε(q) = Dq. (5.10) Die Duration gibt die Verzinsungselastizität des Kapitalwertes der Projektverlaufszahlungen an. Was bedeutet dieses Ergebnis? Allgemein gibt eine Elastizität an, das Wievielfache des Durchschni szuwachses einer Funktion die aktuelle Steigung am betrachteten Punkt beträgt. Für unseren Anwendungsfall ergibt dies folgende Aussage: Ändert sich der Verzinsungsfaktor q um einen Betrag ∆q, dann hat dies eine Änderung des Überschuss-Kapitalwertes von ε(q) · ∆q = Dq · ∆q (5.11) pro Kapitalwert zur Folge. Diese Änderung ist negativ; bei positiver Verzinsungsfaktor-Änderung wird der Kapitalwert also kleiner. Nun ist aber eine Änderung ∆q des Verzinsungsfaktors nichts Anderes als eine ebensolche Änderung ∆p des Kalkulationszinssatzes: 100 p 100 p 100 p )1()1(qqq 1212 ∆=+−+=−=∆ . (5.12) Deshalb sinkt der Kapitalwert der Projektverlaufszahlungen pro Prozentpunkt des Kalkulationszinssatzes genau um die Höhe der Duration. Dieses Ergebnis ist eingängig, bedeutet es doch rechentechnisch nichts anderes als eine Zinsberechnung mit der Duration als Verzinsungszeitraum. Da zudem die Änderung des Kapitalwertes der Projektverlaufszahlungen U gleichzeitig die Änderung des gesamten Projekt-Kapitalwertes C angibt, gilt insgesamt: ∆C = ∆U = − U . ∆p 100 . D. (5.13) Die Duration für das Projekt A wurde oben für einen Kalkulationszinssatz von 6 % berechnet. Steigt der Zinssatz um 1 %, dann ändert sich der Kapitalwert um ∆C = 414.407,89 · 1 % · 3,59 = 14.878,48 . Um den gleichen Betrag würde er steigen, wenn sich der Zinssatz um 1 % nach unten bewegen würde. Kapitalwert- Änderung Zinssatz- Änderung Duration als Verzinsungsdauer Überschuss-Kapitalwert beim bisherigen Zinssatz 198 V. Weitere Investitionsbeurteilungsmethoden Die mit einem bestimmten Kalkulationszinssatz berechnete Duration gibt an, um wieviel der Kapitalwert eines Projekts pro Prozent des Kapitalwertes der Projektverlaufszahlungen und pro Prozentpunkt einer Zinserhöhung sinkt. Sie kann für diese Änderungsberechnung als Verzinsungsdauer interpretiert werden. Herleitung und Berechnungsbeispiel zeigen, dass es sich bei dieser Interpretation um eine lineare Approximation handelt. Die in der Verzinsungselastizität berechneten Werte gelten genau genommen nur für den dazu herangezogenen Zinssatz. Anstelle des tatsächlichen (nichtlinearen) Verlaufs wird die Tangentialgerade verwendet. Damit fällt die Abweichung zwischen der Berechnung mit der Duration nach 5.13 und der korrekten Berechnung um so größer aus, je höher die untersuchte Zinserhöhung ist. Will man für bestimmte Zinsschwankungen exakte Kapitalwertreaktionen errechnen, bietet sich anstelle des Weges über die Duration immer die Möglichkeit, den neuen Kapitalwert direkt zu ermi eln. Dies ist zwar nicht per Kopfrechnung (wie bei Verwendung der Duration) möglich, aber nahezu ebenso unaufwendig (zur Brauchbarkeit des Durationskonzepts für die Approximation zinsinduzierter Kapitalwertänderungen vgl. Bierwag [Duration] sowie Kruschwitz/Wolke [Convexity]). Die bisherigen Ergebnisse erlauben es, auch die zweite der eingangs gestellten Fragen zu beantworten. Berechnet man den Überschuss-Kapitalwert eines Projekts nicht wie bisher auf den Zeitpunkt 0, sondern auf einen Zeitpunkt s während der Projektlaufzeit, dann hat eine Zinserhöhung zwei Wirkungen: zum einen bewirkt sie eine höhere Aufzinsung der vor dem Bezugstermin s liegenden Zahlungen, zum anderen eine stärkere Abzinsung der danach liegenden Zahlungen. Damit ist die Frage interessant, bei welchem Bezugstermin s sich diese werterhöhenden und wertsenkenden E ekte ausgleichen. Nun kann man die Zinsänderungswirkungen auf zwei Arten berechnen: einmal komponentenweise mit Hilfe der Formel der linearen Näherung 5.13, einmal exakt nach der Kapitalwertformel. Nach der linearen Näherungsformel werden Zinseszinsen nicht berücksichtigt. Man erhält folgenden neuen Überschuss-Kapitalwert Us, neu auf den Zeitpunkt s nach einer Zinsänderung um ∆p: ).st(pÜ)ts(pÜqÜU st tt T 1t st tt s tt q 1 q 1 q 1 neu,s −⋅∆⋅⋅−−⋅∆⋅⋅+⋅⋅= >= ≤ (5.14) Aus der Summe der beiden Zinsänderungskomponenten errechnet man, dass sich für den Bezugszeitpunkt s = D beide Wirkungen gerade ausgleichen. Da es sich lediglich um eine lineare Näherungsrechnung handelt, kann man freilich daraus nicht entnehmen, dass etwa ein auf den Zeitpunkt s = D bezogener Kapitalwert völlig zinsänderungsimmun wäre. Immerhin aber eignet sich die Duration besonders gut zur Konstruktion von Absicherungsgeschäften gegen Zinsschwankungen (vgl. z. B. Trautmann [Investitionen] 89 .). Werterhöhung durch Zusatzverzinsung der vorherigen Zahlungen Wertsenkung durch stärkeren Zinsabzug der nachfolgenden Zahlungen U(s,alt) 1991. Besondere Größen zur isolierten Investitionsbeurteilung Berechnen wir nun auf diesen Bezugszeitpunkt D den Überschuss-Kapitalwert. Wir wollen dafür folgende Funktionsbezeichnung verwenden: = ⋅⋅= T 1t Dtt .qq 1Ü:)q(W (5.15) Überschusskapitalwert aufgezinst auf den Zeitpunkt D Auch die Duration ist von einem Kalkulationszinssatz abhängig. Wir bezeichnen die in einer Ausgangssituation berechnete Duration mit D, den für ihre Berechnung herangezogenen Zinssatz mit qD. Nach etwas Rechenarbeit ermi elt man folgende interessante Ergebnisse: dq dW = 0 für q = qD (5.16) 2 2 dq Wd > 0 für q = qD. Daraus ergibt sich der in Abb. V-4 skizzierte Verlauf der auf den Durationszeitpunkt aufgezinsten Überschuss-Kapitalwerte. Abb. V-4: Verlauf der Funktion des Überschuss-Kapitalwertes, berechnet auf den Durationstermin Strebt man einen optimalen Entnahmewert der Überschüsse eines Projekts exakt zu ihrem Durationszeitpunkt an, können sowohl steigende als auch sinkende (Kalkulations-)Zinssätze nicht nachteilig wirken. Bei der Interpretation dieses (sicherlich schönen) Resultats muss man freilich vorsichtig sein. Zum einen erinnern wir uns daran, dass sämtliche Überlegungen zur Duration nur für reguläre Projekte und nur für deren Überschüsse gelten, die Anscha ungsausgaben also unberücksichtigt bleiben. Zum anderen ist beim zuletzt hergeleiteten Ergebnis vorausgesetzt, der Investor interes- 200 V. Weitere Investitionsbeurteilungsmethoden siere sich speziell für den Wert seines Projekts zu dessen Durationstermin (obwohl das Projekt in der Regel länger läuft). Dennoch gibt die Durationsanalyse wichtige Hinweise für die Eingliederung eines Projekts in ein ganzes Investitionsprogramm. So kann immerhin bei Wertpapier-Investitionen versucht werden, eine passende Duration anzustreben und die Liquidation zum gewünschten Zeitpunkt zinsunabhängig sicherzustellen. Im Vergleich zu anderen Projektkennzahlen ist zu bemerken, dass die Duration von ihrer De nition her nicht als Erfolgsmaßgröße missverstanden werden kann. Ein exaktes Risikomaß ist sie naturgemäß ebenfalls nicht. Als Verzinsungselastizität des Überschuss-Kapitalwerts quanti ziert sie jedoch Zinsänderungswirkungen auf eine grif ge Weise und erlaubt außerdem eine eingängige zeitliche Interpretation. Ihre Anwendungsbedingungen dürften freilich weiterhin zu einem Einsatzschwerpunkt bei Finanzinvestitionen führen. c) Besondere Rentabilitätskennzahlen In der Literatur werden neben der schon angesprochenen einperiodigen (statischen) Rentabilität und dem internen Zinssatz eine Reihe weiterer ähnlicher Verhältniszahlen zur Projektbeurteilung vorgeschlagen. Hiervon wollen wir zunächst Varianten interner Zinssätze betrachten, die insbesondere für den Fall getrennter Soll- und Habenzinssätze vorgeschlagen werden. Die bekannten Ansätze hierzu beruhen auf derselben Idee: Die Verwendung der Projektüberschüsse ist bereits bekannt; der Habenzinssatz steht also fest. Die Investition muss jedoch über einen Kredit nanziert werden, dessen Konditionen noch o en sind. Man sucht somit den höchstmöglichen Kreditzinssatz, der das Projekt gerade noch als nicht nachteilig erscheinen lässt. Die Berechnung eines solchen Zinssatzes wird deshalb auch als Sollzinssatzmethode bezeichnet. Bei Sollzinssatzmethoden gibt man einen über die Zeit gleichbleibenden Habenzinssatz vor und sucht dann denjenigen Sollzinssatz, bei dessen Verwendung sich ein Vermögensendwert von null ergibt. Verschiedene Formen dieses Ansatzes unterscheiden sich danach, wie Projektzahlungen derselben Periode verrechnet werden (vgl. zum Überblick Rolfes [Investitionsrechnung] 20 .; Hering [Investitionstheorie] 61 .; Blohm/Lüder/ Schaefer [Investition] 92 .): Trennt man für die Verzinsung in allen Perioden strikt Einnahmen und Ausgaben, gilt also das Kontenausgleichsverbot, so handelt es sich bei dem zu ermi elnden Sollzinssatz um die Vermögensrentabilität nach dem Vorschlag von Henke ([Vermögensrentabilität]). Deren Berechnungsbedingung lässt sich einfach formulieren, da wegen des Kontenausgleichsverbots die Summe der mit dem (gesuchten) Sollzinssatz aufgezinsten Ausgaben der Summe der mit dem (bekannten) Habenzinssatz aufgezinsten Einnahmen entsprechen muss (vgl. Rolfes [Investitionsrechnung] 20). Einen Spezialfall für Projektzahlungen besonders einfacher Struktur behandelt Baldwin ([Investment]). Er setzt voraus, dass außer den Anscha ungs- 2011. Besondere Größen zur isolierten Investitionsbeurteilung ausgaben im Anfangsjahr in allen Jahren die Einnahmen die Ausgaben überschreiten, also ein reguläres Projekt vorliegt. Die Baldwin-Methode entspricht dem eben beschriebenen Verfahren von Henke für diesen Fall. Wendet man die von Baldwin angenommenen Vorgaben ausschließlich auf Finanzinvestitionen an, dann erhält man die von Mair ([Rentabilitätsrechnung]) vorgeschlagene Methode des realen Zinsfußes. Teichroew/Robichek/Montalbano ([Criteria]) schließlich setzen einen jährlichen Kontenausgleich voraus und ermi eln einen kritischen Sollzinssatz auf dieser Basis. In Abb. V-5 und Abb. V-6 ist der kritische Sollzinssatz für das Beispielprojekt A aus Kapitel III einmal unter dem Kontenausgleichsverbot, einmal unter dem Kontenausgleichsgebot berechnet. Dies geschieht iterativ. Es geht darum, einen Sollzinssatz zu nden, bei dessen Verwendung das Endvermögen null wird. Als Habenzinssatz wurde 3 % vorgegeben. In beiden Fällen sind lediglich einige der ersten Rechenschri e wiedergegeben. Zu Beginn des Iterationsprozesses werden hier, beginnend mit 0 % in der ersten Iteration, Zinssätze im Abstand von je 5 % gewählt, bis sich bei zwei aufeinanderfolgenden ein unterschiedliches Vorzeichen des Endvermögens einstellt. Die weiteren Werte gewinnt man durch Interpolation. Für den Fall des Kontenausgleichsverbots in Abb. V-5 erhält man für Iteration 4 zunächst einen Wert von 7,94 %; weitere Iterationen ergeben 8,0366 % als kritischen Sollzinssatz (bei einem Rest-Endvermögen von 0,13 ). Im Fall des Kontenausgleichsgebots in Abb. V-6 führen die weiteren Iterationen zu einem Wert von 14,0292 % (bei einem Rest-Endvermögen von 0,07 ). Die Folge der Projektzahlungen unseres Beispielprojekts A entspricht den Vorgaben von Baldwin; so handelt es sich bei der in Abb. V-5 ermi elten Vermögensrentabilität gleichzeitig um einen Baldwin-Zinssatz. Abb. V-5: Iterative Ermittlung eines kritischen Sollzinssatzes für Projekt A bei Kontenausgleichsverbot nach der Baldwin-Methode 202 V. Weitere Investitionsbeurteilungsmethoden Abb. V-6: Iterative Ermittlung eines kritischen Sollzinssatzes für Projekt A bei Kontenausgleichsgebot Welche Information kann man aus einem kritischen Sollzinssatz entnehmen? Grundsätzlich kann jede aus ihm hergeleitete Aussage nur insoweit gelten, als die bei seiner Berechnung vorausgesetzten Bedingungen wenigstens näherungsweise zutre en. Dies zeigt, dass ein Streit darüber, ob beispielsweise mit oder ohne Kontenausgleichsverbot gerechnet werden soll, völlig müßig ist. Wichtig ist einzig und allein die Frage, auf welche Weise die laufenden Projektzahlungen nanziert bzw. angelegt werden können und ob hier etwa zwischen den Einnahmen und Ausgaben einer Periode getrennt werden kann und ob es dann auch getan wird. Wenn diese Vorüberlegung ergibt, dass einer der angeführten Annahmenkomplexe oder auch die in Teil 2 von Kapitel IV eingeführte intervallbegrenzte Gültigkeit von Zinskonditionen einer Regel nanzierung vorausgesetzt werden kann, dann ist auf dieser Grundlage ein kritischer Sollzinssatz konsistent berechenbar. Nun ist von vornherein klar, dass ein solcher Sollzinssatz keine Aussage über die Vorteilhaftigkeit des betrachteten Projekts erlaubt. Insbesondere bietet er kein Rangordnungskriterium für alternative Projekte. Dies ergibt sich bereits aus der allgemeinen Argumentation zum internen Zinssatz in Kapitel III, die hier ebenfalls zutri t. Soweit der angesetzte Habenzinssatz zutri t, erlaubt aber ein kritischer Sollzinssatz für die isolierte Projektbeurteilung genau die Aussage, nach der seine 2031. Besondere Größen zur isolierten Investitionsbeurteilung Berechnung konzipiert ist: Wenn das Projekt fremd nanziert wird und zwar genau in der Weise, wie es in der Berechnung angenommen wurde , dann wird es nur einen nanziellen Überschuss erwirtschaften, wenn der Kreditzinssatz unter dem errechneten kritischen Sollzinssatz bleibt. Eine derartige Grenzpreis-Information ist etwa dann wichtig, wenn für ein beabsichtigtes Projekt noch Kreditverhandlungen zu führen sind. Für solche Fälle ist generell die Kenntnis der eigenen Verhandlungsgrenze wichtig. Eine darüber hinausgehende Bedeutung kommt den beschriebenen kritischen Sollzinssätzen allerdings nicht zu. Weitere Kenngrößen, die ebenfalls zur isolierten Beurteilung von Investitionsprojekten diskutiert werden, sind die Initialverzinsung, die Kapitalwertrate, die Investitionsmarge, die VOFI -Eigen- bzw. Gesamtkapitalrentabilität, die Rentabilität des Initialkapitals. Mit allen fünf Maßgrößen wird versucht, den nanziellen Gesamteffekt einer Investition in einer Renditezahl auszudrücken, die in irgendeiner Weise für den Beginn der Laufzeit gilt. Mit der Initialverzinsung wird der gesamte Überschuss des Projekts auf den Anfangskapitaleinsatz bezogen. Hierzu berechnet man einen Quasi-Kapitalwert des Projekts, indem man alle Einnahmen und Ausgaben ab dem Jahr 1 auf das Ende des Jahres 1 abzinst. Diesem Wert stellt man die Anscha ungsausgaben des Jahres 0 gegenüber (Einnahmen im Jahr 0 sind ausgeschlossen) und berechnet, welcher Verzinsung das Anwachsen der Anscha ungsausgaben auf den Kapitalwert im Jahr 1 entspricht (vgl. Hax [Investitionstheorie] 24 .). Die Kapitalwertrate erfasst das Verhältnis des in der üblichen Weise berechneten Kapitalwertes zu den Anscha ungsausgaben. Es soll so ähnlich einem engpassbezogenen Deckungsbeitrag die relative Vorteilhaftigkeit des Projekts gegenüber Alternativprojekten ausdrücken. Freilich zeigt bereits ein kurzer Blick auf die Prämissen der Kapitalwertrechnung, dass sich schon wegen der Widersprüchlichkeit dieser Berechnungsvoraussetzungen dieser Zweck auf diese Weise keinesfalls erreichen lässt ganz abgesehen von der Tatsache, dass mit der Entscheidung über mehrperiodige Investitionsalternativen bei knappen nanziellen Ressourcen gleichzeitig die Engpässe auch der Folgeperioden belastet werden, die Kapitalwertrate aber nur die Anfangsperiode ins Auge fasst. Als Investitionsmarge wird die Di erenz zwischen einem internen Zinsfuß und dem Kalkulationszinssatz eines Projekts bezeichnet (vgl. Schierenbeck/Rolfes [Forschungsreise] 24 . sowie Rolfes [Investitionsrechnung] 13). Nach Rolfes (vgl. [Investitionsrechnung] 13) könnte die Investitionsmarge das eigentliche Entscheidungs- und Vorteilhaftigkeitskriterium darstellen. Wegen der allgemeinen Problematik des internen Zinssatzes als Beurteilungsgröße ist dazu freilich auch eine aus ihm berechneten Zinssatz-Di erenz nicht in der Lage (vgl. die Argumentation in Kapitel III). 204 V. Weitere Investitionsbeurteilungsmethoden Die VOFI-Eigenkapitalrentabilität und die VOFI-Gesamtkapitalrentabilität sind Kennzahlen, die zur Erfolgsmessung eines mehrjährigen Projekts vorgeschlagen werden, insbesondere wenn die Verzinsungsbedingungen über die Laufzeit hinweg wechseln (vgl. Grob [Finanzpläne] 73 .). Dann emp ehlt es sich, die Zahlungsentwicklung über die einzelnen Jahre hinweg explizit zu betrachten, was zu einem vollständigen Finanzplan ( VOFI ) führt. Durch Gegenüberstellung von Endwert und Anfangskapitaleinsatz lässt sich ein jährlich gleichbleibender Verzinsungssatz berechnen, der als VOFI-Eigenkapitalrentabilität oder auch endwertbezogene Eigenkapitalrentabilität bezeichnet wird. Legt man den Gesamtkapitaleinsatz zugrunde und ergänzt die Projekt- überschüsse um Fremdkapitalzinsen (wozu weitere Detailannahmen erforderlich sind), lässt sich eine VOFI-Gesamtkapitalrentabilität berechnen (vgl. Grob [Finanzpläne] 74, 82 sowie [Investitionsrechnung] 252 .). Freilich ist eine Rentabilitätsgröße zur Beurteilung dort nicht mehr erforderlich, wo, wie hier, ohnehin schon der Zahlungsverlauf detailliert erfasst wird und in einem Projekt-Endwert resultiert. In die gleiche Richtung wie die skizzierte Eigenkapitalrentabilität geht die Rentabilität des Initialkapitals nach Schirmeister ([Theorie] 267 .). Idee ist auch hier, einen Zinssatz zu nden, der das Anfangskapital unter Beachtung der Zinseszinswirkungen so verzinst, dass sich am Ende der Laufzeit der Vermögensendwert ergibt. Genauere Überlegungen erfordert die Berechnung dadurch, dass Schirmeister einen sehr allgemeinen Fall vorsieht. Zum einen ist das vorgeschlagene Rentabilitätsmaß besonders auch auf den Fall unterschiedlicher Soll- und Habenzinssätze ausgerichtet. Dies erfordert eine entsprechend differenzierte Vermögensendwertberechnung. Beispielsweise kann man getrennte Soll- und Habenkonten führen, einen laufenden Kontenausgleich vorsehen oder Mischformen de nieren. Zum anderen ist zu berücksichtigen, dass bei zahlreichen Projekten die Anscha ungsausgaben eben gerade nicht den einzigen und gesamten Kapitaleinsatz ausmachen. Deshalb werden bei diesem Ansatz mehrere Kapitaleinsätze Kt in beliebigen Perioden t der Projektlaufzeit zugelassen. Gesucht ist dann der einheitliche Verzinsungssatz r, der, auf die Kapitaleinsätze entsprechend ihrem zeitlichen Verlauf angewendet, das errechnete Projekt-Endvermögen ergibt (vgl. Schirmeister [Theorie] 271): − = 1T 0t tK . −+ − 1)1( tT100 r = GT (5.17) Kapital- Verzinsung des Netto-Endeinsatz in Kapitaleinsatzes vermögen Jahr t aus Jahr t des Projekts Zum Verständnis des Formelausdrucks betrachten wir den naheliegenden Extremfall, dass nur im Anscha ungsjahr 0 ein Kapitaleinsatz erfolgt. Dann reduziert sich 5.3 auf: T T 0 G1)100 r1(K =−+⋅ (5.18) oder: T) 100 r1( + = 1K G 0 T + . (5.19) 2051. Besondere Größen zur isolierten Investitionsbeurteilung Die angegebene Formel 5.17 erweitert somit die bekannte Verzinsungsbedingung auf den Fall mehrer Kapitaleinsätze. Dass am Ende der Laufzeit, also im Jahr T, noch ein weiterer Kapitaleinsatz erfolgt, kann dabei ausgeschlossen werden; mangels Anlagezeitraum könnte er ohnehin nichts zur Verzinsung beitragen. Abb. V-7 zeigt für die genannten Rentabilitätsmaße eine Beispielberechnung für unser Projekt A. Für die Rentabilität des Initialkapitals wird hier die Variante eines laufenden Kontenausgleichs gewählt. Im vorliegenden Fall stimmt (zufällig) die VOFI -Eigenkapitalrentabilität mit der Rentabilität des Initialkapitals überein, da sich im verwendeten Beispiel die Besonderheiten der Letzeren nicht auswirken. Abb. V-7: Werte ausgewählter Rentabilitätsmaße für Projekt A Zur Beurteilung kann zunächst auf die prinzipiellen Ausführungen in den Teilen 1 und 4 von Kapitel III verwiesen werden. Eine Größe, die schon unter einfachen Bedingungen (z. B. einheitlicher Zinssatz, einperiodige Betrachtung, gegebene Projektdaten) zur Entscheidungs ndung ungeeignet ist, wird bei komplizierteren Voraussetzungen nicht plötzlich besser. Nun kann eine solche Größe freilich dennoch eine gewisse Hilfsfunktion erfüllen. Insbesondere sind ja Rentabilitätsgrößen häu g zu einer nachträglichen Projektanalyse nicht uninteressant. Vergleicht man unter diesem Gesichtspunkt die Initialverzinsung und die Kapitalwertrate mit der von Schirmeister vorgeschlagenen Rentabilität des Initialkapitals, so stellt sich schnell die einschränkende Sichtweise der beiden erstgenannten Größen heraus. Damit sie überhaupt sinnvoll sein können, muss o ensichtlich vorausgesetzt werden, dass nur ein einziger Kapitaleinsatz erfolgt, und zwar der zu Projektbeginn, sowie dass im Übrigen die Projektverzinsung gemäß dem einheitlichen vorgegebenen Kalkulationszins- 206 V. Weitere Investitionsbeurteilungsmethoden satz erfolgt. Die im Ansatz von Schirmeister vorgesehene Berechnung von Initialkapital einerseits und Vermögensendwert andererseits kann dagegen eine Vielfalt von Projektvorgaben erfassen und dafür ein Rentabilitätsmaß angeben, das zumindest für allgemeine Projektanalysen geeignet scheint, wenn es auch nicht die für Entscheidungszwecke erforderlichen Rangordnungsrechnungen generell ersetzen kann. Die Investitionsmarge dagegen bietet als Größe, die maßgeblich auf den internen Zinssatz aufbaut, allenfalls eine Mindest- oder Höchstgrenze für bestimmte Projektentscheidungen, wie es auch für die kritischen Sollzinssätze gilt, kann aber im Allgemeinen tendenziell irreführend sein. Schließlich soll noch der MAPI-Dringlichkeitsmaßstab erwähnt werden. Er war in früheren Jahren von gewisser Bedeutung, wird aber in der jüngsten Zeit in der Literatur kaum noch behandelt und ndet sich auch in der praktischen Anwendung immer seltener. Es handelt sich dabei um eine Kennzahl, die von Terborgh und seinen Mitarbeitern im US-amerikanischen Machinery and Allied Products Institute ( MAPI ) um 1960 entwickelt wurde (vgl. Terborgh [Manual] und [Leitfaden]). Der MAPI-Dringlichkeitsmaßstab ist eine Rentabilitätsgröße für den Übergang von einem vorhandenen Investitionsobjekt, etwa einer Maschine, zu ihrem Nachfolger. Je höher das MAPI-Maß ausfällt, als desto dringlicher wird die Ersatzinvestition eingestuft. Dementsprechend wird das MAPI-Maß als Rangordnungskriterium für Ersatzinvestitionen eingesetzt. Das Besondere an diesem Konzept ist die rezeptartige Vorgehensweise. Der Anwender trägt die Grunddaten des zu prüfenden Ersatzinvestitionsproblems in vorbereitete Tabellen ein, die gleichzeitig die rechnerische Weiterbehandlung angeben. Bestimmte Größen, etwa die zu erwartende Wertminderung der potentiellen Neuanlage, entnimmt er Diagrammen, die etwa nach Abschreibungs- und Steuersätzen differieren. So gelangt man auf relativ einfache, wenn auch für den ober ächlichen Anwender nicht ohne weiteres nachvollziehbare Weise zum gesuchten MAPI-Dringlichkeitsmaßstab. Die beschriebene Vorgehensweise ist nur möglich, weil mit zahlreichen impliziten Vorgaben gearbeitet wird. Je genauer man die MAPI-Konzeption überprüft, desto mehr solcher Prämissen stellen sich heraus. So wird beispielsweise in einer Variante durchweg mit dem Kalkulationszinssatz von 8,25 % gearbeitet oder von den Investitionsrück üssen wird angenommen, dass sie einer bestimmten Gesetzmäßigkeit in ihrem Verlauf folgen, usw. Nur so lässt sich eine schematische Rechnung ohne genaueren Einblick des Anwenders überhaupt aufbauen. Die Stärke des MAPI-Ansatzes, die ihm zu einer gewissen Verbreitung geholfen hat, lag daher ebenfalls in diesem Punkt: Man konnte ohne großen Aufwand eine in sich durchdachte Rechnung anwenden, die zahlreiche mehrperiodige Aspekte einbezieht, ohne sich mit den Details beschäftigen zu müssen. Der Preis dafür war die Akzeptanz einer Reihe von im Einzelnen vielleicht nicht einmal präzise bekannten Prämissen. Mit den zunehmenden Möglichkeiten, auch in kleineren Betrieben durch Einsatz entsprechender, nunmehr verfügbarer Software problemlos isolierte Investitionsrechnungen durchführen zu können, ist die Notwendigkeit zurückgegangen, standardisierte Rechenvorgaben wie die der MAPI-Methode heranzuziehen. Die praktische Bedeutung des MAPI-Verfahrens ist daher 2071. Besondere Größen zur isolierten Investitionsbeurteilung gesunken. Ihre methodische Bedeutung ist wegen der Standardprämissen ohnehin gering; heute interessiert mehr die Konstruktion eines Rechenansatzes, der speziell auf die Situation eines vorliegenden Anwendungsfalls passt. Problematisch ist darüber hinaus die Rangordnung nach einer Rentabilitätszahl dies liegt an der schon mehrfach angesprochenen prinzipiellen Problematik von Rentabilitäten als Entscheidungskriterium in Investitionsrechnungen. Alle hier angesprochenen besonderen Rentabilitätskennzahlen haben den Zweck, eine gri ge Alternative zum Kapitalwert oder der Annuität für die Projektbeurteilung zu bieten. Derselbe Zweck gilt auch für einen weiteren Typ von Größen, auf die hier nur kurz hingewiesen werden soll: die Vermögensendwerte. Von Vermögensendwertmethoden spricht man traditionell dann, wenn wegen di erenzierten Annahmen über die Verzinsung die Berechnung eines Endwertes einfacher erscheint als die eines Kapitalwertes. Dies ist bei einem in Soll- und Habenzinssatz gespaltenen Zinssatz immer der Fall. Abgesehen von den prinzipiellen Einwänden gegen eine pauschale Anwendung von Sollzinssätzen auf negative Einnahmenüberschüsse und entsprechend von Habenzinssätzen auf positive (vgl. dazu die Argumentation in Kapitel IV) ergibt sich bei der Berechnung von Vermögensendwerten zusätzlich das Problem der Vergleichbarkeit. Bei einem Aufrechterhalten der Verzinsungsbedingungen entsteht bei verschieden lang laufenden Projekten ein eigentümlicher Effekt, zumindest wenn zeitliche Di erenzinvestitionen separat abgerechnet werden: Der Endwert des kürzeren von zwei zu vergleichenden Projekten bedarf einer Aufzinsung auf den Endtermin des länger laufenden Projekts. Inhaltlich kommt dafür vor allem eine Finanzinvestition in Frage, etwa eine einfache Geldanlage mit Zinskumulation. Zum Endtermin des kürzeren Projekts müsste die Geldanlage, d. h. die Ausgabe erfolgen. Zum Endtermin des längeren Projekts wäre die Geldanlage zu beenden; es entstünde die Einnahme. Nach den Vorgaben zur Anwendung gepaltener Zinssätze müsste nun aber die Ausgabe zum Sollzinssatz berechnet werden, während sich die Anlage tatsächlich nur zu einem Habenzinssatz rentiert. Das bedeutet, dass diese zeitliche Ergänzungsinvestition einen negativen Vermögensendwert erbringt (vgl. Perridon/Steiner/Rathgeber [Finanzwirtschaft] 91), falls wie zu vermuten ist der Soll- über dem Habenzinssatz liegt. Sie verschlechtert damit das Ergebnis des kürzeren Projekts. Freilich zeigt dies nicht speziell eine Problematik der Ergänzungsinvestition, sondern die oben diskutierte Problematik der pauschalen Anwendung zweier verschiedener Kalkulationszinssätze auf Einnahmen und Ausgaben desselben Projekts. Sie betri t damit alle speziellen Formen von Vermögensendwertvergleichen, die auf der pauschalen Soll- und Habenzinsanwendung beruhen. Wir besprechen hier besondere Vermögensendwertvergleiche nicht; sta dessen haben wir in den Teilen 1 und 2 von Kapitel IV eine Umrechnung sowohl auf spätere als auch auf frühere Termine und damit auch eine Form der Kapitalwertrechnung bei unterschiedlichen Zinssätzen eingeführt. Damit erübrigt sich die Untersuchung der Anwendungsbedingungen von Endwertrechnungen unter speziellen Pauschalannahmen. 208 V. Weitere Investitionsbeurteilungsmethoden 2. Struktur der Investitionsprogrammplanung a) Problem der Investitionsprogrammplanung In fast allen der bisher in diesem Buch besprochenen Investitionsmodellen geht es um die isolierte Beurteilung von Projekten. Ergebnis sind stets Vorteilhaftigkeitswerte, die sowohl eine unabhängige Ja/Nein-Entscheidung als auch durch Vergleich mit anderen Alternativen eine Auswahlentscheidung ermöglichen. Eine isolierte Beurteilung vereinfacht das Investitionsproblem erheblich, muss aber Interdependenzen zwischen den Projekten ignorieren. Sie tri an die Stelle einer eigentlich erforderlichen Programmentscheidung. Eine Programmentscheidung besteht darin, aus einer Reihe von Einzelvorschlägen eine Teilmenge von Projekten auszuwählen, die gemeinsam realisiert werden. Programmentscheidungen sind schwierig, da bei ihnen Zielsetzungen, Bedingungen und Zusammenhänge aus völlig unterschiedlichen betrieblichen Bereichen zusammentre en. Deshalb besteht die Kunst der Investitionsbeurteilung auch darin, die gesamte Investitionsproblematik eines Betriebs sinnvoll (d. h. mit möglichst wenig Zielerreichungsverlusten) in (noch) gut handhabbare Teilprobleme zu zerlegen, vorzugsweise in einzelne Ja/Nein- oder Auswahlentscheidungen. Was sachbezogene Interdependenzen angeht, ist dies oft nicht sehr problematisch: Hier lässt sich durch geeignete De nition der Projekte eine weitgehend unabhängige Planbarkeit oft erreichen. Dies zeigt etwa das bereits in anderem Zusammenhang angesprochene Beispiel der Abbruchentscheidungen. Beschränkt man hier die Alternative des Weiterführens auf die unmi elbar anstehende Ergänzungsinvestition und geht davon aus, dass alle anderen Projektkomponenten bereits auf Dauer vorhanden sind, entsteht eine sehr kurzsichtige Problemauffassung mit entsprechend einseitiger Lösung. Eine hinreichend umfassende Sicht erlaubt es aber, die zusammengehörige Serie von Ausrüstungs-, Ergänzungs- und Ersatzentscheidungen in die Alternativenformulierung einzubringen. Legt man solcherart komple ierte Investitionsalternativen den Planungen zugrunde, sind diese sachlichen Programminterdependenzen auch bei isolierten Investitionsbeurteilungsmethoden erfasst. Einen anderen Sonderfall einer Programmproblematik lernen wir in Kapitel VII als Anwendung der Portfoliotheorie kennen. Die Interdependenzen bestehen hier vor allem in der Risikosituation. Wie das einzelne Projekt das Gesamtrisiko des Portfolios beein usst, hängt davon ab, welche anderen Projekte in welcher Häu gkeit bereits enthalten sind bzw. ebenfalls zum Portfolio hinzutreten. Die Zusammenstellung des Investitionsprogramms muss sich hier gleichzeitig auf alle Projekte erstrecken, deren Zahlungen stochastisch voneinander abhängen. Sie kann sich allerdings innerhalb einer Teilentscheidung auch auf diese Projekte beschränken. In diesem Sinne mögen immerhin Gruppen gemeinsam zu planender Investitionsprojekte entstehen. Anders als bei den beiden angeführten Beispielen sachlicher Interdependenzen verhält es sich mit dem Projektzusammenhang über die Finanzierung. In den isolierten Projektrechnungen gelingt die Separierung der wegen der Inan- 2092. Struktur der Investitionsprogrammplanung spruchnahme derselben Finanzkontingente eigentlich bestehenden Interdependenzen über den Kalkulationszinssatz. In einer Reihe unterschiedlicher Ansätze (vgl. Kapitel IV) haben wir gesehen, dass dies nicht heißen muss, über einen unter Umständen sehr langen Zeitraum und für beliebig hohe Finanzbedarfe einen einheitlichen, konstanten Kalkulationszinssatz vorauszusetzen. Er kann periodenindividuell sein und in jeder Periode intervallweise von der Höhe des Finanzbedarfs abhängen. Dennoch müssen diese Finanzierungsbedingungen bereits vorab der separierten Entscheidungssituation zugeordnet werden können eine isolierte Projektbeurteilung ist ansonsten auch bei sachlich unzusammenhängenden Projekten nicht möglich. Wenn tatsächlich nur eine einzige Investitionsentscheidung zu treffen ist, während die nanzwirtschaftlichen Konsequenzen aller anderen Projekte bereits feststehen, ist die Zuordnung der Finanzierungsbedingungen weniger problematisch. Nimmt man aber mehr Investitionsprojekte in die Planung auf und dehnt den Planungshorizont aus was ja allgemein die Planungsqualität tendenziell erhöht , verstärkt sich die Notwendigkeit, die Investitionsprojekte simultan zu betrachten und gleichzeitig über die zur Finanzierung und Geldanlage heranzuziehenden Finanzprojekte detaillierter zu entscheiden. Dies kann nur in einem Simultanansatz geschehen, in dem die Realisierung bzw. die Realisierungshäu gkeit der möglichen Investitions- und Finanzierungsprojekte als gemeinsam zu optimierende Variable angesehen werden. Er muss mehrperiodig aufgebaut sein und die jeweils spezielle Finanzsituation jeder betro enen Periode berücksichtigen. Die Gestaltung eines optimalen Investitionsprogramms erfordert es, gleichzeitig auch die nanzwirtschaftlichen Projekte zum Ausgleich von nanziellen Überschüssen und De ziten in den einzelnen Perioden festzulegen. Damit ist simultan ein optimales Investitions- und Finanzierungsprogramm zu nden. Schon ohne konkrete Modellformulierung liegt auf der Hand, dass solche Ansätze deutlich umfangreicher und komplizierter werden als eine lediglich isolierte Bewertungsrechnung. Inhaltlich wird der Schri von einer einfachen Ermi lung eines Projektwerts unter Vorgaben, der erst durch die Interpretation zur Entscheidungsgrundlage für die Projektwahl wird, zum Optimierungsmodell vollzogen. Ein einfacher Ansatz zur Optimierung, der heute jedoch nur noch von didaktischem und historischem Interesse ist, stammt von Joel Dean ([Budgeting] 62 ff., vgl. auch die Darstellungen bei Adam [Investitionscontrolling] 216 .; Franke/Hax[Finanzwirtschaft] 226 f. und Bieg/Kußmaul [Investition] 215 .). Hier werden, wie Abb. V-8 zeigt, die zur Wahl stehenden Investitionsprojekte nach fallender Rendite, die Finanzierungsprojekte nach steigendem Zinssatz geordnet. Der Schni punkt zwischen den solchermaßen de nierten Kapitalnachfrage- und Kapitalangebotskurven gibt das zueinander passende optimale Investitions- und Finanzierungsprogramm an. Der dort geltende Zinssatz, die Cut-o -rate, bestimmt die Wahl der Projekte. Realisiert werden die Investitionsprojekte mit höherem und die Finanzierungsprojekte mit niedrigerem Zinssatz. Im Beispiel sind dies die Investitionsprojekte B, M, G und, soweit möglich, ein Teil von Projekt L sowie die Finanzierungsprojekte F1 und F2. Der Grenzzinssatz liegt bei 11,80 %, der Rendite von L. 210 V. Weitere Investitionsbeurteilungsmethoden Abb. V-8: Simultane Optimierung von Investitions- und Finanzierungsprogramm nach Dean Wie schon ein kurzer Blick zeigt, eignet sich der Dean-Ansatz nicht als Vorbild für eine Entscheidungs ndung in realitätsnahen Problemstellungen: Die Betrachtung beschränkt sich auf eine einzige Periode. Modellkomponenten zur Berücksichtigung unterschiedlicher Zahlungswirkungen der Projekte in verschiedenen Perioden fehlen. Insbesondere müssen Liquiditätsbedingungen späterer Perioden unbeachtet bleiben. Die Vorteilhaftigkeit aller Projekte, insbesondere auch der Realinvestitionen, wird mit Hilfe der Rendite gemessen. Dies ist ebenfalls nur bei einperiodiger Betrachtung unproblematisch. Ganzzahligkeitsbedingungen sind nicht vorgesehen und in die Idee dieses Ansatzes auch nicht integrierbar. Können die Projekte nur als Ganzes durchgeführt werden ( Unteilbarkeit der Projekte ), dann liegt im einfachsten Fall der Einperiodenoptimierung nämlich bereits die Struktur des sog. Knapsackproblems vor. Bei ihm ist aus einer gegebenen Menge von Alternativen eine Teilmenge so auszuwählen, dass die Summe ihrer Bewertungszahlen möglichst groß und gleichzeitig eine weitere (Gewichts- bzw. Finanz-) Beschränkung eingehalten wird. Bei solchen Problemen kann es günstig sein, ein Projekt trotz bester Rendite unberücksichtigt zu lassen, um aus den anderen Projekten eine insgesamt bessere Lösung kombinieren zu können. 2112. Struktur der Investitionsprogrammplanung b) Dynamische Investitionsprogrammplanung Um das Entscheidungsproblem bei der Programmplanung von Realinvestitionsprojekten genauer zu erkennen, wollen wir, analog zum Dean-Modell, folgende Investitionssituation annehmen: Es sind n Projekte ausgewählt, die bereits als vorteilhaft erkannt wurden. Sie könnten inhaltlich auch gleichzeitig realisiert werden; es handelt sich also nicht um eine Auswahlentscheidung. Vielmehr geht es darum, aus den gegebenen Projekten ein realisierbares Programm zusammenzustellen. Einer gleichzeitigen Realisierung aller n Projekte stehen jedoch die verfügbaren Finanzmi el entgegen. Im einfachsten Fall konkretisiert sich dies in einer Obergrenze für die Summe der Anscha ungsausgaben. In dieser (noch einfachen) Form lautet somit das Problem der Investitionsprogrammentscheidung wie folgt: Aus n Investitionsprojekten ist eine Auswahl so zusammenzustellen, dass die Summe der Anscha ungsausgaben eine Finanzierungs-Höchstgrenze nicht überschreitet und im Übrigen ein Zielwert, etwa die Summe der Kapitalwerte möglichst groß wird. Da man nur ganze Projekte in ein Programm einbringen kann und hier zudem nur eine einzige, und zwar lineare Nebenbedingung besteht, stellt sich die Programmentscheidung, so de niert, als ein Knapsackproblem dar, wie es oben (S. 210) charakterisiert wurde. Seine Lösung ist letztlich eine kombinatorische Aufgabe. Bei n Projekten gibt es 2n Möglichkeiten einer Programmbildung, die Alternative, gar kein Projekt zu realisieren, eingeschlossen. Jedes Projekt kann nämlich im Programm enthalten sein oder nicht. Diese beiden Möglichkeiten bestehen so oft, so viele Projekte es gibt. Im Falle von vier Projekten gibt es 24 = 16 prinzipiell mögliche Investitionsprogramme. Sie sind schematisch in Abb. V-9 dargestellt. Abb. V-9: Mögliche Investitionsprogramme aus vier unteilbaren Einzelprojekten Ein optimales Programm herauszu nden verlangt, alle Möglichkeiten durchzuprüfen. Bei größerer Projektanzahl kann dazu eine Enumeration nach einem Entscheidungsbaumverfahren vorteilhaft sein, insbesondere wegen des möglichen Rückgri s auf Zwischenergebnisse. Bei einer geringen Anzahl möglicher Programme aus wenigen Projekten (wie im Beispiel hier) ist es freilich einfacher und schneller, für alle 2n Portfolios die relevanten Parameter zu berechnen und dann zu vergleichen. Der Aufbau eines passenden Entscheidungsbaums geht aus Abb. V-10 hervor. Er ist auf die Struktur einer dynamischen Planungsrechnung ausgerichtet (vgl. dazu beispielsweise Neumann/Morlock [Operations Research] 593 .). 212 V. Weitere Investitionsbeurteilungsmethoden Abb. V-10: Entscheidungsbaum zur Konstruktion eines optimalen Investitionsprogramms aus unteilbaren Projekten Die dynamische Planungsrechnung besteht aus zwei Verfahrensschritten. Im ersten werden alle Handlungsmöglichkeiten durch stufenweise Aufgliederung der Wahlmöglichkeiten in einem Entscheidungsbaum aufgebaut. Im zweiten Schri wird, ebenfalls stufenweise, jedoch in der entgegengesetzten Reihenfolge, eine Bewertung für immer längere Äste des Entscheidungsbaums ermi elt. Wegen des gleichzeitigen Aufbaus jeweils aller Zweige des Entscheidungsbaums ist das Vorgehensprinzip der dynamischen Planungsrechnung parallel. Eine andere Möglichkeit wäre ein serieller Aufbau. Er wird bei der begrenzten Enumeration angewendet. Dabei wird jeweils eine Kombinationsalternative vollständig aufgebaut und bewertet. Erst dann verfolgt man andere, vorher nur teilweise aufgebaute Zweige des Entscheidungsbaums weiter. Das Prinzip von Branch-and-bound-Verfahren schließlich kann als Mischung zwischen dem parallelen und dem seriellen Aufbauprinzip von Entscheidungsbäumen charakterisiert werden. Typisch für die dynamische Planungsrechnung, die wir im Weiteren anwenden werden, ist demnach die Aufgliederung des Entscheidungsproblems in mehrere Stufen und deren Abarbeiten nach einem parallelen Prinzip (vgl. Domschke/Drexl [Operations Research] 127, 133, 159). Insoweit ist die Bezeichnung dynamisch irreführend. Sie rührt lediglich daher, dass eine Art einer Mehrstufigkeit durch die zeitliche Aufgliederung in Perioden entstehen kann. Beim hier behandelten Fall einer Investitionsprogrammplanung entstehen die Verzweigungen im Entscheidungsbaum nicht durch eine zeitliche Einteilung, sondern durch stufenweises Zerlegen eines Gesamtprogramms in Teilprogramme. Die Gesamtaufgabe der Programmbildung ist nach dem Baum in XXX0 XX0X X0XX 0XXX XXXX * * * 000X 00X0 0X00 X000 0000 * * * * XX00 X0X0 X00X 0XX0 0X0X 00XX ... ... ... * ... * ... ... ... ... ... ... ... ... * * * * * * Gesamtprogramm : In die Programmbildung einbezogene Projekte Anzahl der in die Programmbildung einbezogenen Projekte Entscheidung über zwei Projekte Entscheidung über ein Projekt Entscheidung über drei Projekte Entscheidung über vier Projekte * 2132. Struktur der Investitionsprogrammplanung Abb. V-10 deshalb von links nach rechts in immer kleinere und übersichtlichere Entscheidungsprobleme aufgegliedert. Der Entscheidungsbaum beginnt links mit der Betrachtung eines Programms, in dem alle vier Projekte enthalten sein können. Die Alternative, dass sie tatsächlich alle beteiligt sind, ist durch den nach unten führenden Pfeil angedeutet. In allen anderen Fällen können Teilprogramme betrachtet werden, die mindestens eines der Projekte nicht enthalten. Wäre über diese Teilprogramme bereits entschieden, könnte man entsprechend auch auf diese Vorentscheidungen zurückgreifen. Diesem Prinzip folgt auch die weitere Aufgliederung des Entscheidungsbaums. Die vierstelligen Symbole kennzeichnen jeweils, über welche Projekte an dieser Stelle entschieden werden soll. Beispielsweise soll das Symbol X0X0 ausdrücken, dass über Projekt 1 und Projekt 3 zu be nden ist; die Projekte 2 und 4 dagegen sind hier nicht zu beurteilen und auch nicht in jetzt betrachteten (Teil-) Programmen enthalten. Alternativen sind damit an der Stelle X0X0 im Einzelnen: keines der Projekte wird aufgenommen: (0000) Projekt 1 wird isoliert realisiert: (1000) Projekt 3 wird isoliert realisiert: (0010) die Projekte 1 und 3 werden in einem gemeinsamen Programm durchgeführt: (1010). Diese Entscheidungen werden an den Knoten des Baums für jeweils die im vierstelligen Symbol dargestellte Projektwahl betrachtet. Dabei arbeitet man den im ersten Verfahrensschri von links nach rechts aufgebauten Entscheidungsbaum im zweiten Verfahrensschri von rechts nach links ab. Nach der Struktur des Lösungsfortschri s kann dabei für alle Programme, die mindestens eines der möglichen Projekte nicht enthalten, auf Zwischenergebnisse vorheriger Rechenstufen zurückgegri en werden. In der konkreten Rechnung sind im ersten Schritt die Realisierungsbedingungen von Bedeutung, im zweiten Schritt die stufenweise Bewertung. Als Beispiel zur Produktionsprogrammplanung über die Projekte M, B, G und L sind jeweils die beiden relevanten Größen jedes Projekts, der Kapitalwert und die Anschaffungsausgaben, in Abb. V-11 zusammengestellt. Der Kapitalwert wurde hier für den Zinssatz 6 % berechnet. Der Finanzierungsumfang sei auf 720.000 in der Anschaffungsperiode begrenzt. Damit fällt beispielsweise ein Programm weg, das aus allen vier Projekten besteht. Ebenso sind weitere Projektkombinationen nicht realisierbar. Diese Programme sind im unteren Teil von Abb. V-11 angegeben: Abb. V-11: Zielwert und Finanzbedarf der vier Projekte des Beispielfalls zur Investitionsprogrammplanung 214 V. Weitere Investitionsbeurteilungsmethoden Abb. V-12 zeigt den Entscheidungsbaum für dieses Beispiel. In ihm sind die nicht zulässigen Kombinationen von Investitionsprojekten durch einen doppelten Querbalken besonders gekennzeichnet. Die Bewertung der Alternativen beginnt rechts bei den Programmen mit nur wenigen Elementen. In unserem Beispiel kann der Zielwert, der Kapitalwert des Programms, unmi elbar angegeben werden. Die Ergebnisse zeigen die Eintragungen im Entscheidungsbaum. Da alle vier Projekte einen positiven Kapitalwert haben und gleichzeitig auch einzeln realisierbar sind, ist bei der ersten Entscheidungsstufe (im Bild rechts) das jeweilige Gesamtprogramm, das ist hier die isolierte Durchführung des betrachteten Investitionsprojekts, am zielgünstigsten. Dies ist durch den verstärkten Doppelpfeil nach unten angedeutet. Eine Stufe weiter links werden die Programme betrachtet, die aus bis zu zwei Projekten bestehen, danach solche aus bis zu drei Projekten. In diesen weiteren Rechenstufen ergeben sich bereits interessantere Wahlsituationen. Beispielsweise ist bei Knoten X0XX das Gesamtprogramm aus den Projekten M, G und L nicht realisierbar. Aus den vorherigen Entscheidungen (weiter rechts im Baum) ist aber bereits bekannt, welchen Kapitalwert das jeweils beste Programm aus den Projekten G und L (oberster Knoten), den Projekten M und L (vierter Knoten von oben) sowie den Projekten M und G (fünfter Knoten von oben) erbringt. Die Ergebnisse können in der jetzigen Wahlsituation herangezogen werden. So ndet man als günstigstes realisierbares Programm aus den Projekten M, G und L die Kombination von Projekt G mit Projekt L. Indirekt geht in diese Wahl das Ergebnis der Entscheidung am Knoten X00X aus der vorherigen Rechenstufe ein. Dort war erkannt worden, dass unter den aus M und L bestehenden Investitionsprogrammen die isolierte Realisierung von Projekt L am besten ist. Alle Zwischenergebnisse dieser Art sind durch eine Doppelkante im Bild gekennzeichnet. Nachdem man auf diese Weise alle Stufen des Entscheidungsproblems abgearbeitet hat, stellt sich am Anfangsknoten XXXX links der Zielwert des optimalen Gesamtprogramms heraus. Er beträgt 222.299 . Die Komponenten des Optimalprogramms rekonstruiert man aus dem Entscheidungsbaum, indem man die Kanten mit den Doppelkanten nachverfolgt. In unserem Beispiel ergibt sich das Programm aus den Projekten B, G und L. Der Lösungsprozess der dynamischen Planungsrechnung beruht darauf, den Entscheidungsbaum stufenweise retrograd abzuarbeiten. Für jede mögliche Entscheidungsvorgabe einer Stufe, durch einen Knoten dargestellt, wird die jeweils optimale Alternativenwahl bestimmt. Dabei ist vorauszusetzen, dass die Entscheidungen der nächstfeineren Stufe bereits feststehen (also der Entscheidungsbaum in rückwärtiger Richtung abgerechnet wird). Dies führt dann zu einer insgesamt optimalen Politik, wenn jene sich aus Teilentscheidungen zusammensetzt, die jeweils für den weiteren Verlauf bis zum Ende des Planungszeitraums für sich betrachtet ebenfalls optimal sind. Diese Voraussetzung wird als Bellman sches Optimalitätsprinzip bezeichnet (vgl. Bellman [Programming] 83 f.). Sie gilt generell für die dynamische Planungsrechnung (vgl. z. B. Neumann/Morlock [Operations Research] 592 .). Die Voraussetzung des Bellman schen Optimalitätsprinzips ist auf jeden Fall erfüllt, wenn sich die Zielfunktion additiv aus Komponenten zusammensetzt, die zu verschiedenen Entscheidungsstufen gehören. Soweit als 215 2. Struktur der Investitionsprogram m planung Abb. V-12: Bestimmung eines Investitionsprogramms mit der dynamischen Planungsrechnung 216 V. Weitere Investitionsbeurteilungsmethoden Zielfunktion, wie hier, der Kapitalwert oder eine lineare Funktion von ihm gewählt wird, tri t dies somit zu. c) Die methodischen Prinzipien der Investitionsprogrammplanung im Überblick Der Dean-Ansatz strebt an, ein optimales Investitionsprogramm sukzessive mit Hilfe isolierter projektbezogener Größen zu nden. Dieser Versuch scheitert wegen des zumindest mi elbaren Zusammenhangs der Projekte, z. B. über die Finanzierungsbedingung. Deshalb ist ein Simultanansatz erforderlich. Eine der Möglichkeiten hierzu bietet sich mit der dynamischen Planungsrechnung. Deren Vorgehensweise haben wir an einem sehr einfachen Beispielfall kennengelernt. Ohne Änderung des Prinzips kann die dynamische Planungsrechnung auch auf umfassende Problemstellungen angewendet werden, solange die mehrstu ge Aufgliederungsmöglichkeit bei der Struktur der Alternativen sowie die Voraussetzung des Bellman schen Optimalitätsprinzips bei der Alternativenbewertung gegeben ist. Insbesondere gilt dies für zwei Erweiterungsmöglichkeiten. Die eine betrifft die zur Wahl stehenden Projekte, die andere die Realisierungsbedingungen. In unserem Beispiel konnten alle Projekte miteinander kombiniert werden, solange dem die Finanzierbarkeitsbedingung nicht entgegenstand. Dies setzt voraus, dass unter konkurrierenden Projekten in einer Vorauswahl bereits entschieden worden ist, z. B. also unter mehreren Stanzmaschinen bereits die günstigste gewählt wurde. Nun kann es für die Gesamtoptimierung des Investitionsprogramms durchaus von Vorteil sein, wenn solche Teilentscheidungen möglichst erst in Kenntnis der Projektvorschläge anderer Bereiche getro en werden. Vor allem dann, wenn verschiedene Alternativen unterschiedlichen Finanzbedarfs zur Wahl stehen, ist über verschiedene Bereiche hinweg auf diese Weise u. U. eine größere Zielsumme zu erreichen als bei vorheriger Festlegung auf jeweils eine Alternative, da so das Finanzbudget besser ausgenutzt werden kann. Eine solcherart eingeschränkte Kombinationsmöglichkeit der Projekte lässt sich beim Aufbau eines Entscheidungsbaums in der dynamischen Planungsrechnung ohne prinzipielle Änderung der Vorgehensweise berücksichtigen. Was die Realisierungsbedingungen betri t, so haben wir in obigem Beispiel lediglich eine Finanzierungsrestriktion in der Anscha ungsperiode berücksichtigt. Nun kann natürlich für jede Periode des durch die Projekte erfassten Zeitraums eine Finanzierungsbegrenzung bestehen. Dies schränkt die realisierbaren Kombinationen weiter ein, erfordert aber ein umständliches Abprüfen der bestehenden Bedingungen. Mit dem letztgenannten Punkt sind dann auch bereits die Grenzen der dynamischen Planungsrechnung als Entscheidungsbaumverfahren angesprochen. Je mehr Nebenbedingungen zu beachten sind, die gleichzeitig mehrere Projekte betreffen, desto weniger eignet sich ein Enumerationsverfahren. Vielmehr tri dann ein Ansatz hervor, der sich gerade für die Abbildung umfassender Nebenbedingungen emp ehlt: die lineare Planungsrechnung. Mit ihr können auch ohne Schwierigkeiten Projekthäu gkeiten optimiert werden. Allerdings 2173. Simultane Investitionsplanung mit Ansätzen der linearen Planungsrechnung vermag sie die Forderung, nur ganze Projekte zu realisieren, nur hilfsweise und ergänzend zu erfüllen. Demgegenüber ist gerade dies bei Entscheidungsbaumverfahren Grundlage des Abbildungsprinzips. Das führt dazu, die Wahl des adäquaten Modellansatzes am bestehenden Problem wie folgt auszurichten: Stehen die kombinatorischen Aspekte einer Programmwahl im Vordergrund, wobei die zusätzlichen Nebenbedingungen eine insgesamt noch übersichtliche Struktur haben, dann wird man eher zu Entscheidungsbaumverfahren, insbesondere der dynamischen Planungsrechnung greifen. Sind dagegen eine Vielzahl von projekt- und ggf. auch periodenübergreifenden Realisierungsbedingungen zu berücksichtigen, dann wird eher ein Ansatz der linearen Planungsrechnung vorteilhaft sein. Da sich beide Modellierungsprinzipien gegenseitig nicht ausschließen, aber ergänzen können, kommt auch eine problemadäquate Kombination in Frage. Im folgenden Teilkapitel wollen wir den Ansatz der linearen Planungsrechnung genauer kennenlernen. Ein Ansatz, der darauf aufbaut und insbesondere unter dem Aspekt der Benutzerakzeptanz von Bedeutung ist, wird daran anschließend behandelt. Er geht von einer Darstellung in Finanznetzwerken aus. Das Prinzip der dynamischen Planungsrechnung wird uns bei der sogenannten exiblen Investitionsplanung in Kapitel VI sowie bei der Portfoliobildung aus unteilbaren Wertpapieren in Kapitel VII wieder begegnen. 3. Simultane Investitionsplanung mit Ansätzen der linearen Planungsrechnung a) Aufbau linearer Investitionsplanungsmodelle Umfassend und dennoch auf prinzipiell einfache Art lässt sich die Aufgabe der Investitions- und Finanzprogrammoptimierung in einem linearen Planungsmodell abbilden. Dieser Ansatz ist für die Simultanplanung generell geeignet; sehr viele Modellformulierungen dieser Art basieren auf ihm. Ein Problem stellen allerdings auch hier Ganzzahligkeitsbedingungen dar. Nur wenn sich ihre Anzahl in gewissen Grenzen hält, ist die rechentechnische Lösbarkeit gesichert. Wir wollen den Aufbau linearer Investitions- und Finanzplanungsmodelle an einem Beispiel kennenlernen. Grundlegend ist die Abbildung des einzelnen Projekts. Nehmen wir ein Investitionsprojekt an, das über drei Perioden läuft und folgende Zahlungen aufweist: Abb. V-13: Zahlungsfolge eines dreiperiodigen Investitionsprojekts 218 V. Weitere Investitionsbeurteilungsmethoden Dieses Investitionsprojekt kann in größerem oder kleinerem Ausmaß durchgeführt werden. Dabei multiplizieren sich die Periodenzahlungen entsprechend. Der Mindesteinsatz betrage 1.000, , der maximale Einsatz 5.000, . In dieser Lage ist es zweckmäßig, das Projekt zu normieren . Als Einheit sei die Durchführung des Projekts mit Einsatz 100, de niert. Es kann in der Häugkeit x durchgeführt werden, wobei hier x durch das Intervall von 10 bis 50 eingeschränkt ist. Die in Abb. V-13 angegebenen Zahlungen sind jetzt als Koe zienten dieses Projekts zu verstehen. In der Periode 2 entsteht beispielsweise ein Zahlungs- überschuss von 10 · x für dieses Projekt. Nun kann es sein, dass der Projektbeginn für eine Projektart innerhalb eines gewissen Kalenderzeitraums beliebig gelegt werden kann. Die erste Projektauszahlung könnte also z. B. im Jahr 0, 1 oder 2 erfolgen. Dies lässt sich dadurch modellieren, dass für die betrachtete Projektart j drei Variable de niert werden: xj0, xj1, xj2. (5.20) Sie geben die Häu gkeit an, in der das Projekt j im Jahr 0, 1 bzw. 2 beginnt. Durch die Realisierbarkeitsbedingung 10 ≤ xj0, xj1, xj2 ≤ 50 (5.21) sind sie in ihrer Höhe beschränkt. Soweit der Zahlungsverlauf in den Laufzeitperioden des Projekts nicht von der Beginnperiode abhängt, kann die Zahlungsfolge für das normierte Einheitsprojekt durch folgende Parameter erfasst werden: bj0 = 100; bj1 = +10; bj2 = +10; bj3 = +115. (5.22) Damit kann man die Zahlungswirkung aus diesem Projekt in allen relevanten Perioden systematisch wiedergeben. Abb. V-14 zeigt das Darstellungsprinzip. Abb. V-14: Zahlungswirkungen von Projekten derselben Art zu verschiedenen Beginnterminen Allgemein lassen sich alle Projekte auf diese Weise erfassen. Die Projektzahlungskoe zienten bjτ (für τ = 0, 1, ..., Tj) erfassen die Einnahmenüberschüsse τ Perioden nach Projektbeginn bei Durchführung des Projekts j in normierter Einheitshöhe. Ist der Betrag positiv, handelt es sich um eine Ne oeinnahme, ist er negativ, um eine Ne oausgabe. Auf diese Weise können auch Kredite und alle weiteren Formen von Finanzierungsprojekten sowie Mischprojekte wie Leasing- oder Mietkaufgeschäfte in das Modell eingebracht werden. 3. Simultane Investitionsplanung mit Ansätzen der linearen Planungsrechnung 219 Die Abbildungsstruktur sieht vor, dass sich alle Projektzahlungen proportional mit der Durchführungshäu gkeit verändern, also ein einfacher linearer Zusammenhang besteht. Die Laufzeit Tj des Projekts j ist bereits vorab festgelegt worden. Sollten alternative Laufzeiten zur gleichen Projektart diskutiert werden, kann aber auch die gleiche Projektart mit unterschiedlichen Laufzeiten unter jeweils eigenem Index in das Modell eingebracht werden. Insgesamt ist somit die Liquiditätswirkung der zu disponierenden Projekte in Periode t wie folgt zu erfassen: = =τ τ−τ ⋅ n 1j jT 0 t,jj xb (5.23) Zahlung des Durchführungshäufig- Projekt- Projekt- Projekts j in keit des Projekts j ab arten perioden Periode τ Beginnperiode t-τ In die Liquiditätsplanung jeder Periode gehen auch zahlreiche Einnahmen und Ausgaben ein, die als Konsequenz früherer Dispositionen anfallen, jetzt aber nicht mehr beein ussbar sind. Dies können u. a. Umsatzerlöse aus laufenden Verkäufen, Einnahmen früherer Verkäufe, Ausgaben für die laufende Produktion, Raten und Rückzahlungen laufender Kredite, Einnahmen aus Finanzanlagen sowie weitere Zahlungen früher disponierter Projekte sein. Hinzu treten ggf. vorgegebene Sollzahlungen in den Planungsperioden. Beispielsweise könnte für jedes Jahr ein Soll-Entnahmebetrag festgelegt sein, der die Ausgaben erhöht. Dies alles soll für jedes Jahr t im Betrag dt zusammengefasst sein, der als Ausgabenüberschuss de niert ist. Der Betrag dt umfasst alle derartigen Zahlungen, die für die Planung im vorliegenden Modell als gegeben und unbeein ussbar anzusehen sind. Mit diesen Vorbereitungen kann für jede Planungsperiode eine Ungleichung zur Erfassung der Liquiditätsbedingung formuliert werden. Enthält die Alternativenmenge für jede Planungsperiode auch eine einperiodige Anlage sowie einen einperiodigen Kredit, kann die Liquiditätsbedingung auch in eine Gleichung gefasst werden. Dann ist zugleich sichergestellt, dass der Endbestand an liquiden Mitteln der einen Periode in die Folgeperiode als Anfangsbestand eingeht. Ergänzt man nun eine lineare Zielfunktion mit den Bewertungskoe zienten cjt (für j = 1, 2, ..., n; t = 1, 2, ..., T) lässt sich das Programmoptimierungsproblem insgesamt durch folgendes lineares Planungsmodell erfassen: Ziel: = = ⋅ n 1j T 1t jtjt xc max! Liquiditätsnebenbedingungen: (5.24) = =τ τ−τ ⋅ n 1j jT 0 t,jj xb = dt für t = 1, 2, ..., T Nichtnegativitätsbedingungen: xjt ≥ 0 für j = 1, 2, ..., n; t = 1, 2, ..., T. 220 V. Weitere Investitionsbeurteilungsmethoden Hinzu kommen ggf. Realisierbarkeitsbedingungen für die Projektvariablen. Sie schreiben Mindest- oder Höchstgrenzen für die Projekthäu gkeiten vor oder verlangen deren Ganzzahligkeit. Die formale Struktur linearer Planungsmodelle erlaubt darüber hinaus, auch weitere Bedingungen, etwa bestimmte Projektzusammenhänge, in das Modell einzubringen. b) Beispiel eines Simultanplanungsansatzes zur Optimierung des Investitions- und Finanzierungsprogramms Die bisherigen Überlegungen wollen wir an einem Beispiel erläutern. Dafür nehmen wir einen Planungszeitraum von fünf Jahren (T = 5) an. Die autonomen Ausgaben jedes Jahres sind in der oberen Tabelle der Abb. V-15 aufgeführt. Der negative Betrag d0 = 4.000, bedeutet einen im ersten Investitionszeitpunkt bestehenden positiven Geldbestand. Somit kann hier durch die Projektdispositionen ein De zit in dieser Höhe erzeugt werden, ohne dass schon Kredite oder andere Finanzierungen erforderlich würden. Abb.V-15: Angaben zum Beispiel der simultanen Investitions- und Finanzplanung Im unteren Teil der Abb. V-15 sind die zur Wahl stehenden Projektarten in normierter Form mit ihren möglichen Beginnterminen und erlaubten Größenordnungen verzeichnet. Die Typen j = 1, 2, 3 sind Investitionsprojekte; ihre erste Zahlung ist jeweils negativ und gilt den Anschaffungsausgaben. Die anderen Projek ypen sind nanzwirtschaftlich. Für j = 4 handelt es sich um eine (relativ schwach verzinste) einperiodige Geldanlage. Die weiteren beiden Projekte sind Kredite, und zwar ein einperiodiger, sehr hochverzinslicher (j = 5) sowie ein dreiperiodiger (j = 6) mit Annuitätentilgung. 3. Simultane Investitionsplanung mit Ansätzen der linearen Planungsrechnung 221 Die aus diesen Angaben entstehenden Liquiditätsbedingungen sind in Abb. V- 16 dargestellt. Gemäß der allgemeinen Formulierung aus 5.24 geben die Zeilen die Bedingung für eine Periode an; die Koe zienten in den Spalten zur gleichen Variablen zeigen die Zahlungsströme für dieses Projekt. Die Darstellung in Abb. V-16 erstreckt sich auf mehr Perioden, als es dem Planungszeitraum entspricht. Die in den letzten Zeilen aufgeführten Summanden ergeben zudem nur ein unvollständiges Bild der Zahlungen dieser Perioden. Hier zeigt sich ein generelles Problem von Finanzplanungsmodellen: die Erfassung der nanziellen Wirkungen und Bedingungen am Ende des Planungszeitraums. Einerseits können die nach Ende der Periode 5 anfallenden Zahlungen nicht einfach ignoriert werden. Für Kreditprojekt j, t = 6, 4 würde das bedeuten, dass zwar der Zugang des Kreditbetrags in Periode 4 wie auch die erste Zins- und Tilgungsrate in Periode 5 noch erfasst wäre, die weiteren Raten jedoch nicht. Dieses Projekt erschiene im Modell somit als äußerst günstig. Andererseits ist eine adäquate Berücksichtigung in den Liquiditätsbedingungen der Perioden 6 und 7 ebenfalls nicht möglich; dazu fehlen die weiteren zentralen Ein ussgrößen dieser Perioden, insbesondere die nanzwirtschaftlichen Handlungsmöglichkeiten. Erst recht nicht in Frage kommt ein Weglassen dieser Projekte; es würde die skizzierten Abbildungsprobleme lediglich in frühere Perioden verschieben. Der Grund für diese Modellierungsproblematik liegt in den zum Ende des Planungszeitraums noch laufenden Projekten, die modellkonform nicht mehr vollständig abgebildet werden können. Als Ausweg bietet sich an, ihre detaillierte Abbildung tatsächlich in der letzten Modellperiode abzuschließen und die noch kommenden Zahlungen in einer Bewertungszahl, und zwar auf das Ende des Planungszeitraums bezogen, zusammenzufassen. Hierfür eignet sich der auf diesen Zeitpunkt berechnete Kapitalwert der künftigen Zahlungen (vgl. z. B. Hax [Investitionstheorie] 91). Die solchermaßen projektbezogenen Kapitalwerte (für die nach Ende des Planungszeitraums noch kommenden Zahlungen) können in der Zielfunktion als Koe zienten der Handlungsvariablen verwendet werden. Die Aufnahme dieser Endwerte als Koe zienten der entsprechenden Projektvariablen in die Zielfunktion bewirkt, dass Finanzanlagen gegen Ende des Planungszeitraums, die erst später wieder zu Geldzu üssen führen, innerhalb der Optimierung nicht als nachteilig angesehen werden. Entsprechend werden Kreditaufnahmen gegen Ende des Planungszeitraums nicht nur nach der Höhe des durch sie veranlassten Mi el usses beurteilt. Die Maximierung dieses Endwertes stellt gleichzeitig ein typisches Beispiel für ein Ziel in einer derartigen Optimierungsrechnung dar. In unserem Beispiel sind es, wie die Entwicklung der Nebenbedingungen in Abb. V-16 zeigt, insgesamt sieben Einzelprojekte, die über die Periode 5 hinausreichen. Für sie sind in Abb. V-17 die Kapitalwerte der Zahlungen ab Periode 6 berechnet. Als Kalkulationszinssatz ist, der Finanzsituation der betrachteten Untersuchung zum Ende des Planungszeitraums entsprechend, ein Kreditzinssatz gewählt, und zwar der für mehrperiodige Darlehen (9 %). Der Au au der Liquiditätsnebenbedingungen zeigt, dass eine derartige Endbewertung immer erforderlich ist, wenn es sich um eine fortzuführende Unternehmung handelt. Der Zweck, anstelle vorher festgelegter Kalkulationszins- 222 V. Weitere Investitionsbeurteilungsmethoden Abb. V-16: Die Liquiditätsbedingungen über Abb. V-17: Berechnung von Endwerten für unvollständig abgebildete Projekte 3. Simultane Investitionsplanung mit Ansätzen der linearen Planungsrechnung 223 mehrere Perioden als lineares Gleichungssystem 224 V. Weitere Investitionsbeurteilungsmethoden Abb. V-18: Lineares Planungsmodell zur simultanen Investitions- Das optimale Investitionsprogramm enthält eine Reihe nicht ganzzahliger Werte. Beispielsweise ist in Projektart 4 in Beginnperiode 0 ein Anfangsbetrag von 100 · x4,0 = 3.230,65 zu investieren. Soweit es sich um eine Finanzanlage handelt, ist die Anlage eines beliebigen (ggf. gerundeten) Betrages unproblematisch. Bei Realinvestitionen dagegen müssten zusätzlich Ganzzahligkeitsbedingungen in das Modell eingebracht werden, um eine realisierbare Optimallösung zu erhalten. Bei einer größeren Anzahl ganzzahliger Variabler entfernt man sich allerdings rechenmethodisch immer mehr von der unmodizierten Anwendbarkeit der Simplexmethode; die kombinatorischen Elemente nehmen zu. Dies führt bei umfangreichen Modellen mit zahlreichen Ganzzahligkeitsbedingungen zu rechentechnischen Problemen und schränkt daher die Anwendbarkeit des Ansatzes auf größere Realinvestitionsprobleme ein. In Abb. V-19 sind neben den eigentlichen (primalen) Lösungswerten auch mehrere Dualwerte angegeben. Sie beziehen sich auf die Liquiditätsnebenbedingungen. Daher geben sie an, wie sich der Zielfunktionswert verändern würde, wenn man von der Einhaltung der Nebenbedingungen um 1, abweicht. Konkret sind die errechneten Werte wie folgt zu interpretieren: Entnimmt man in Periode 0 zusätzlich 1, , dann verringert sich das Endvermögen nach Periode 5 um 1,52 . Umgekehrt würde ein zusätzliches Einbringen von 1, in Periode 0 das Endvermögen um 1,52 erhöhen. Eine zusätzliche Entnahme von 1, in Periode 1 verringert das Endvermögen um 1,48 . Entsprechend sind die Werte aus den anderen Perioden zu interpretieren. Aus diesen Zahlen kann man rechnerisch eine Art Zinssätze ermitteln. Sie heißen endogene Zinssätze . Da die Zielfunktion in Werten der Periode 5 ausgedrückt ist, verändern Zusatzentnahmen oder Zusa einlagen in dieser 3. Simultane Investitionsplanung mit Ansätzen der linearen Planungsrechnung 225 letzten Periode den Zielwert unmi elbar in gleicher Höhe; der Dualwert ist also eins. Dagegen kann aus dem Dualwert der Periode 4 entnommen werden, welche endogene Verzinsung zwischen dem Ende der vierten und der fünften Periode entsteht: Der Dualwert beträgt 1,05316, der entsprechende endogene Zinssatz für Periode 5 ist daher 5,3 %. Im Dualwert der Periode 3 ist die Verzinsung über Periode 4 sowie Periode 5 enthalten. Man berechnet somit als Aufzinsungsfaktor der Periode 4 zunächst 03000,1 05316,1 08476,1 = (5.25) und daraus 3,0 % als endogenen Zinssatz der Periode 4. Die Zinssätze für alle Perioden sind in Abb. V-21 berechnet. Was sagen die endogenen Zinssätze aus? Gemäß der oben formulierten Standardinterpretation stellen sie eine Art Grenznutzen zusätzlich bereitgestellten Geldes dar oder, bei umgekehrter Argumentation, den entgehenden Grenznutzen zusätzlicher Entnahmen. Nachdem bei linearen Planungsmodellen der hier diskutierten Art in jedem Fall auch Finanzierungsalternativen abgebildet werden, lassen sich vielfach die endogenen Zinssätze auch einfach als die Kondition der Grenz nanzierungsmöglichkeit interpretieren. Im Beispiel tri t dies für die Perioden 1, 2 und 4 zu. So ist der endogene Zinssatz von 15 % in Periode 2 auf die zusätzlich ersparte bzw. zusätzlich in Anspruch genommene Finanzierung durch die Kreditprojektart 5 zurückzuführen. Entsprechend ist es in Periode 1 und 4 die Standard-Anlageart 4, die man bei Bedarf verringern bzw. zusätzlich beanspruchen würde. Daraus kann entnommen werden, dass die endogenen Zinssätze der Perioden die Kalkulationszinssätze der einzelnen Finanzalternativen angeben, die für und Finanzprogrammplanung für den Beispielfall 226 V. Weitere Investitionsbeurteilungsmethoden Abb. V-19: Optimales Investitions- und Finanzierungsprogramm im Beispielfall Abb. V-20: Zahlungsströme bei Realisierung des ermittelten Investitions- und Finanzierungsprogramms 3. Simultane Investitionsplanung mit Ansätzen der linearen Planungsrechnung 227 Abb. V-21: Berechnung endogener Zinssätze aus den Dualwerten der linearen Planungsrechnung die abgebildete Problemsituation korrekt sind. So bietet die Programmplanung also eine konkrete Möglichkeit, den zutreffenden Kalkulationszinssatz zu bestimmen, ohne auf Hilfskonstruktionen angewiesen zu sein, die einen Teil der Schwierigkeiten von Investitionsrechnungen ausmachen (zu einer detaillierten Analyse von endogenen Grenzzinssätzen vgl. vor allem Hering [Investitionstheorie] 67 .). Aus den Dualwerten eines linearen Planungsansatzes zur simultanen Investitions- und Finanzplanung lassen sich endogene Zinssätze für die einzelnen Perioden errechnen. Für die im Modell erfassten Projekte könnten sie als periodengenaue Kalkulationszinssätze verwendet werden, soweit die tatsächlich bestehenden Finanzierungs- und Geldanlagealternativen im Modell enthalten sind. In der Tat stellt sich bei Anwendung der endogenen Zinssätze als Kalkulationszinssätze heraus, dass genau die letztlich im Optimalprogramm enthaltenen Projekte einen positiven oder zumindest nichtnegativen Kapitalwert haben, die anderen dagegen einen nichtpositiven. Freilich, und das ist das generell geltende Dilemma der Programmplanung: hat man erst einmal die Kalkulationszinssätze auf diese Weise ermi elt, dann liegt ja auch bereits das gesamte Investitions- und Finanzierungsprogramm vor, so dass eine weitere, isolierte Kapitalwertrechnung nicht mehr erforderlich oder auch nur zweckmäßig ist. Andererseits: dort, wo Kapitalwerte zu berechnen sind, nämlich für die Perioden jenseits des Planungszeitraums, fehlen auch die entsprechenden Dualwerte. Allerdings können die Dualwerte eines optimierten Investitionsprogramms durchaus brauchbare Hilfen bei der Abschätzung von Programm- änderungen geben. So erlauben sie es u. a., die Wirkung erhöhter autonomer Ein- oder Auszahlungen in den einzelnen Perioden unmi elbar zu erfassen. Aus der Analyse der Dualwerte kann man insgesamt folgende Schlussfolgerungen ziehen: Die Vorstellung davon, dass es richtige , d. h. entscheidungslogisch begründbare Kalkulationszinssätze im Sinne von Grenz nanzierungsmöglichkeiten gibt, wird durch den Ansatz der linearen Planungsrechnung bekräftigt. 228 V. Weitere Investitionsbeurteilungsmethoden Solche Kalkulationszinssätze braucht man nur und immer dann, wenn nicht mit einem Simultanplanungsansatz gearbeitet wird. Da dies aus verschiedenen Gründen nach wie vor die Regel ist, sind eingehende Überlegungen zur Festlegung adäquater Kalkulationszinssätze für isolierte Investitionsrechnungen erforderlich. Die Leser haben sich also nicht ohne Grund und ho entlich auch nicht ohne Nutzen durch das Kapitel IV quälen müssen. Aus der Anwendung von linearen Planungsansätzen ist allerdings bekannt, dass die Verwendbarkeit der Dualwerte, u. U. auch ihre sinnvolle Interpretierbarkeit, beeinträchtigt werden kann, wenn zusätzliche formale Nebenbedingungen lösungsbestimmend werden. Bei Investitionsproblemen kommt dies beispielsweise dann vor, wenn Ganzzahligkeitsbedingungen auftreten. Dann können Dualwerte nicht ohne weiteres in sinnvolle endogene Zinssätze umgerechnet werden. c) Anwendungen der linearen Programmplanungsansätze im Überblick Die dargestellte Grundstruktur der linearen Planungsrechnung erlaubt es, unproblematisch zahlreiche weitere Bedingungen und Relationen zu berücksichtigen. So kann man etwa Einzelheiten von Produktionsprozessen, spezielle Absatzbedingungen oder auch rechnerische Bedingungen, etwa Relationen von Bilanzzahlen in diese Modellstruktur einbringen. Die ergänzenden Nebenbedingungen betre en dann konkret beispielsweise folgende Aspekte: die Inanspruchnahme beschränkter Produktionskapazitäten durch die in solchen Ansätzen ebenfalls zu optimierenden Produktmengen; die personelle Besetzung einzelner betrieblicher Bereiche zur Erfüllung bestimmter Auftragsmengen; die Lagerungs-, Transport- und Lieferkapazitäten; das Nachfrageverhalten der Kunden und das Ausmaß, in dem sie unterschiedliche Zahlungskonditionen in Anspruch nehmen; gewünschte Bilanzrelationen, die etwa für bestimmte Kreditgeber entscheidungsbestimmend sind und daher eingehalten werden sollen. Ausgehend von den klassischen Modellen z. B. von Weingartner ([Programming]), Förstner-Henn ([Produktionstheorie]) oder Hax ([Investitionsplanung]) sind seit den 1960er Jahren in der Literatur zahlreiche Ansätze dieser Art vorgelegt worden. Teilweise sind sie auf eher abstraktem Niveau gehalten, teilweise auch mit konkreten Zahlen eines Anwendungsfalles bestückt. Diejenigen, die sich mit mehrjährigen Investitionen beschäftigen, sind naturgemäß weniger detailliert. Andererseits enthalten jene, die stärker auf Einzelheiten eingehen, kaum langfristige Alternativen, sondern umfassen eher die nanzwirtschaftlichen Feinheiten. Letztere können daher auch als typische Finanzplanungsmodelle im engeren Sinn angesehen werden. Eine Grobeinteilung vermi elt Abb. V-22. Die hier unterschiedenen Gruppen linearer Simultanmodelle sind anhand typischer Vertreter etwa bei Troßmann ([Finanzplanung] 65 .) eingehender besprochen. 230 V. Weitere Investitionsbeurteilungsmethoden 4. Finanznetzwerke als Instrument der Investitionsplanung Abb. V-23: Grundkomponente der Netzwerk-Darstellung von Zahlungsströmen K t-1 K t K t+1 ... ... ... Einzahlungen Auszahlungen Kasse in Periode t Kasse in Periode t-1 Kasse in Periode t+1 Periode t-1 Periode t Periode t+1 Anfang von Periode t Ende von Periode t ... ... 2314. Finanznetzwerke als Instrument der Investitionsplanung Aufbauend auf dieser Grundstruktur lassen sich die Zahlungswirkungen nanzwirtschaftlicher Projekte eingängig visualisieren. Investitionen etwa lassen sich als Projekte verstehen, die Geld von früheren Perioden abziehen und es in veränderter Höhe späteren Perioden zuführen. Abb. V-24 zeigt beispielsweise ein Investitionsprojekt, das aus Periode 1 und 2 Ne ozahlungen aufnimmt und zu Ne oeinnahmen in den Perioden 3, 4 und 5 führt. Zentrales Darstellungselement hierfür sind Vergenzknoten. Bei ihnen müssen die ein- und ausgehenden Ströme bestimmten Mengenrelationen genügen. Sie gibt es in zwei Ausprägungen: bei Konvergenzknoten stehen die eingehenden, bei Divergenzknoten die ausgehenden Ströme in einem bestimmten Verhältnis zueinander. Abb. V-24: Netzwerk-Darstellung eines mehrperiodigen Investitionsprojekts im Vergenzgraphen Analog zu Investitionen sind typische Finanzierungsprojekte aufzufassen. Sie führen in früheren Perioden zu einem Geldzu uss, der durch einen Geldabuss (in veränderter Höhe) späterer Perioden ausgeglichen wird. Beispiele zeigen die Abbildungen V-25 und V-26 (vgl. Troßmann [Finanzplanung] 113, 119 und 124). Abb. V-25: Netzwerk-Darstellung einperiodiger Kredite K I I K K KK 1 1 2 2 4 53 Divergenzknoten Konvergenzknoten Periode 1 Periode 2 Periode 3 Periode 4 Periode 5 Investitionshöhe e e e 5 4 3 a 2 ... ... a1 F FF 2 43 E in g a n g d e s K re d itb e tra g e s Periode 1 Periode 2 Periode 3 Periode 4 Periode 5 F K K K K K 1 1 2 3 4 5 T il g u n g u n d 1 1 p 100 + 1 1 p 100 + 1 1 p 100 + 1 1 p 100 + Kreditverlängerung p: Zinssatz des Kredits ... ... Z in s z a h lu n g 232 V. Weitere Investitionsbeurteilungsmethoden Abb. V-26: Netzwerk-Darstellung eines mehrperiodigen Kredits mit periodischen Zins- und Tilgungszahlungen Mit diesen Aufbauelementen kann man die betrieblichen Finanzströme beliebig stark detailliert als Finanznetzwerk erfassen und analysieren, ohne die zugehörige Formeldarstellung heranziehen zu müssen. Dennoch kann zu jeder Netzwerkkomponente eindeutig eine zugehörige Formeldarstellung als Teil eines linearen Planungsmodells angegeben werden. Das gleiche gilt für Zahleneinträge im Netzwerk. Weist ein Anwender beispielsweise einem Netzwerkpfeil einen Zahlungsstrom in bestimmter Höhe zu, ist dies als entsprechende Wertveränderung der betro enen Modellvariable zu verstehen. Diese Umsetzung von Netzwerkmodell zu linearem Gleichungssystem ist ohne Benutzermitwirkung rein formal durch ein entsprechendes Hintergrundprogramm realisierbar. Das Netzwerk kann damit die Rolle einer leicht fasslichen Modelleingabe- und Ergebnisdarstellungs-Komponente übernehmen, die gleichzeitig direkte, manuelle Modelleingri e ermöglicht. Einen Überblick zu weitergehenden Nutzungen des Netzwerkansatzes ndet man bei Troßmann ([Finanzplanung]). Ein Finanznetzwerk stellt betriebliche Zahlungsströme in eingängiger Form visuell dar. Es erlaubt u. a., die mehrperiodigen Zahlungswirkungen von Investitions- und Finanzierungsprojekten zu analysieren, Interdependenzen nachzuverfolgen und auch entsprechende Dispositionen anhand des Modells zu tre en. Bei entsprechender Software-Unterstützung kann so mit dem Ansatz der Finanznetzwerke eine Kombination der Optimierung eines linearen Simultanansatzes und interaktiver Zusatzdispositionen realisiert werden. Dabei ist insbesondere die Integration in ein System rollender Planung von Bedeutung. Das Beispiel eines komple en Finanznetzwerkes zeigt Abb. V-27. Hier sind die Projekte und die zugehörigen Zahlungsströme abgebildet, die zur Lösung des Beispielfalls aus dem vorherigen Teilkapitel gehören (vgl. Abb. V-19). Das Beispielnetzwerk macht gleichzeitig deutlich, in welcher Weise das Instrument der Finanznetzwerke praktisch eingesetzt werden kann. Es eignet sich weniger dazu, die Gesamtheit aller Zahlungsströme gleichberechtigt abzubilden. Vielmehr zeigt sich der besondere Vorteil der Visualisierung in Netz- K F K K KK 1 2 4 53 Periode 1 Periode 2 Periode 3 Periode 4 Periode 5 ... ... K re d itb e tra g Finanzierungsknoten (Konvergenzknoten) a a a a 2 5 4 3 233 4. Finanznetzw erke als Instrum ent der Investitionsplanung Abb. V-27: Finanznetzwerk für das Beispiel aus Abb. V-19 234 V. Weitere Investitionsbeurteilungsmethoden werkform dann, wenn wenige Projekte oder auch nur ein einziges in ein bereits bestehendes System laufender Projekte eingebracht werden sollen, und zwar dann, wenn dazu eine Entscheidung ansteht. Die bereits disponierten oder nur prognostizierten, jetzt aber nicht zur Entscheidung stehenden Projekte mit ihren Zahlungsströmen können pauschal oder nur in ihren jetzt relevanten Wirkungen dargestellt werden, um desto deutlicher die anstehenden Alternativprojekte zu kennzeichnen. Ergänzend können Vergröberungs- und Verfeinerungsregeln für den Übergang zwischen verschiedenen Detailplanungsstufen vorgesehen sein (vgl. Troßmann [Finanzplanung] 411 .). Der Ansatz der Finanznetzwerke ist als Grundform eines mehrperiodigen Analyse- und Dispositionsmodells anzusehen. Es lässt sich in verschiedenen Richtungen ausbauen. Eine Integration operativer Produktionsentscheidungen führt zum allgemeinen betrieblichen Güternetzwerk (vgl. Troßmann [Güternetzwerk]). Eine Variante, die besonders die internationalen Produktionsverechtungen einer in mehreren Ländern tätigen Unternehmung zu analysieren erlaubt, schlägt Werkmeister ([Produktionsverbund]) vor. Wie Vorsichtskassenbestände im internationalen Konzern auf der Basis eines Finanznetzwerks optimiert werden können, zeigt Knobloch ([Finanzplanung]). Kapitel V auf einen Blick Neben den bisher besprochenen gibt es eine Reihe weiterer Ansätze zur Investitionsbeurteilung. Zum einen handelt es sich um weitere Kennzahlen für Projekte, zum anderen um Modelle der Investitionsprogrammplanung. Ansätze, die speziell auf die Unsicherheit bei Investitionsentscheidungen ausgerichtet sind, werden in den Kapiteln VI und VII behandelt. Die Amortisationsdauer ist eine beliebte und sehr verbreitete Projektkennzahl. Sie gibt an, nach welchem Zeitraum die Nettorückflüsse eines Projekts seine ursprünglichen Anfangsausgaben wieder ausgleichen. Zur Berechnung gibt es die (ungenauere) Durchschnittsmethode und die (genauere) Kumulationsmethode. Die Amortisationsdauer gehört zum Typ der Break-even-Größen. Sie gibt einen Grenzpunkt der Vorteilhaftigkeit an, misst aber die Vorteilhaftigkeit selbst nicht. Deshalb ist die Amortisationsdauer zum eigentlichen Projektvergleich nicht geeignet. Eine ersatzweise Verwendung der Amortisationsdauer als Unsicherheitsmaß ist, auch wenn sie einigermaßen verbreitet ist, nicht begründbar. Dass die Unsicherheit generell mit der Länge des betrachteten Zeitraums steigt, gilt stets nur für in sich gleiche Risiken; diese Voraussetzung ist aber beim Vergleich verschiedener Projekte regelmäßig nicht gegeben. Außerdem müsste man dazu die Projekte jeweils über einen identischen Zeitraum vergleichen. Die Duration ist eine Projektkennzahl für die durchschnittliche Zeit bis zum Eingang der Projektverlaufszahlungen, bei Finanzanlagen also eine Art durchschnittlicher Verzinsungsdauer. Dazu werden die einzelnen Perioden mit den Barwerten der Projektüberschüsse gewichtet. Die Duration gehört zum Typ der Elastizitäten. Sie gibt in Prozent des Kapitalwerts der Projektverlaufszahlungen an, um wieviel der Kapitalwert eines Projekts pro Prozentpunkt einer Zinserhöhung sinkt. Obwohl sie von dort stammt, ist die Duration nicht speziell auf Finanzinvestitionen beschränkt. Sie eignet sich nicht zu Projektentscheidungen, ist aber bei der Detailcharakterisierung von Projekten hilfreich. 235Kapitel V auf einen Blick Zahlreiche Spezialdefinitionen gibt es zu Rentabilitäten. Sie unterscheiden sich sowohl in der Gewinngröße im Zähler als auch in der Bezugsgröße im Nenner. Zu den Rentabilitäten gehört auch der früher gerne verwendete MAPI-Dringlichkeitsmaßstab für Ersatzinvestitionen. Trotz feinsinniger Definition ihrer Bestimmungsgrößen bleibt allerdings die Grundproblematik der Rentabilität erhalten. In bestimmten Fällen kann immerhin ein nach einer Sollzinssatzmethode errechneter Grenzzinssatz hilfreich sein, und zwar beispielsweise in Finanzierungsverhandlungen als maximal akzeptierbarer Kreditzinssatz. Es gibt verschiedene Sollzinssatzmethoden, darunter etwa die bekannte Baldwin-Methode. Alle arbeiten mit bestimmten Annahmen zur Höhe des Habenzinssatzes und zur Berechnung des Finanzbedarfs, etwa mit periodischem Kontenausgleich oder ohne. Die Planung von Investitionsprogrammen unterscheidet sich grundsätzlich von der isolierten Bewertung einzelner Projekte, weil über eine optimale Kombination von Projekten zu entscheiden ist. Bei der isolierten Projektbewertung geht man demgegenüber von einer gewissen Sukzessivität der Projektentscheidungen aus, wodurch auch die jeweilige Finanzierung als Grenzänderung eher eindeutig zuordenbar ist. Die Optimalität hängt aber von der Reihenfolge der sukzessiven Schritte ab. Programmentscheidungen sind aus diesem Grund prinzipiell besser. Sie vermeiden, dass ein Projekt nur wegen einer ungünstigen Position in der Entscheidungsfolge abgelehnt wird, das ansonsten vielleicht auf eine bessere Finanzierung getroffen und dann positiv bewertet worden wäre. Die Modellierungsmöglichkeiten für Programmentscheidungen sind begrenzt, insbesondere was die Abbildung wichtiger Entscheidungszusammenhänge betrifft. Nur was sich einigermaßen sinnvoll in linearen Planungsmodellen fassen lässt, kann auch bei größerem Problemumfang noch akzeptabel planungsrechnerisch behandelt werden. Ein klassischer, allerdings durchweg völlig pauschaler Programmplanungsansatz ist das Dean-Modell. Es arbeitet mit Renditen, geht von beliebig teilbaren Projekten aus und ist letztlich ein sukzessives Lösungsverfahren. Es ist nur von didaktischem und historischem Interesse. Prinzipiell problemangemessen und ohne vorzeitige Lösungseinschränkung lässt sich das Programmplanungsproblem mit einem Entscheidungsbaumverfahren nach Art der dynamischen Planungsrechnung modellieren und lösen. Dies eignet sich für unteilbare Einzelprojekte, wenn es nicht allzu viele sind. Lineare Planungsmodelle sind der Standardmodelltyp für simultane Entscheidungsprobleme. Sie eignen sich insbesondere für Projekte, die in einer gleichbleibenden Struktur in verschiedener Häufigkeit durchgeführt werden können. Die eigentliche Investitionsproblematik als Ja/Nein- oder Auswahlentscheidung ist zwar als ganzzahliger Teil in ein lineares Planungsmodell integrierbar, kann aber letztlich die Stärke des linearen Modellansatzes nicht nutzen. Besonders geeignet sind lineare Planungsmodelle daher für Produktionsprogramm- oder Finanzplanungsentscheidungen, zu denen ergänzend vielleicht eine Investitionsentscheidung hinzutritt. Gerade finanzplanerische Programmprobleme lassen sich statt in einem linearen Planungsmodell auch in einem Finanznetzwerk modellieren. Dies erlaubt eine eingängige graphische Darstellung. Die Zahlungen werden als Flüsse im Finanznetzwerk wiedergegeben; Investitions- und Finanzierungsprojekte transportieren Geld über die Perioden ihrer Laufzeit hinweg, wobei sich die Zahlungshöhen durch Verzinsung bei Finanzierungsprojekten sowie durch Projekterfolge bei Investitionsprojekten ändern. Als Optimierungsrechnung kann ein entsprechend verallgemeinerter Netzwerkalgorithmus genutzt werden.

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References

Zusammenfassung

Vorteile

- Den finanziellen Erfolg von Projekten richtig beurteilen

Zum Werk

Dieses Buch stellt die zentralen Instrumente der finanziellen Projektbeurteilung vor. Angefangen bei den grundlegenden Standardformen der Investitionsrechnungen führt es anhand typischer Praxisfälle zu den Möglichkeiten, auch schwierigere betriebliche Entscheidungen mit passenden Projektrechnungen zu unterstützen. Der Leser erfährt, wo verbreitete Fehler der Projektbeurteilung liegen und wie diese vermieden werden können. Die Vielfalt der betrieblichen Anwendung von Projektrechnungen, die man mit diesem Buch kennenlernt, ist der Grund für die gewachsene Bedeutung dieses Controlling-Instruments.

Inhalt

- Prinzip der Investitionsbeurteilung

- Statische und dynamische Investitionsrechnungen

- Praxisorientierte Anwendungen von Kapitalwert und Annuität

- Investitionsbeurteilung bei Mischfinanzierung

- Unsicherheit bei Investitionsentscheidungen

- Integration der Projektrechnung in das interne Rechnungswesen

Autor

Prof. Dr. Ernst Troßmann, Hohenheim.

Zielgruppe

Studierende im Schwerpunkt Controlling im Bachelor und Master sowie Controller in der Praxis.