5. Tilgungsrechnung in:

Konrad Wimmer, Eugen Caprano

Finanzmathematik, page 88 - 122

Grundlagen und Anwendungsmöglichkeiten in der Investitions- und Bankwirtschaft

7. Edition 2013, ISBN print: 978-3-8006-4560-2, ISBN online: 978-3-8006-4561-9, https://doi.org/10.15358/9783800645619_88

Series: Vahlens Kurzlehrbücher

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Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 79 5. Tilgungsrechnung 5.1 Inhalt der Tilgungsrechnung In der gesamten Tilgungsrechnung geht es um die Rückzahlung von Schulden. Bei einer Anleihe, Hypothek oder bei einem Darlehen erfolgt diese in der Regel im Laufe einer von vornherein vereinbarten Zeit und einer ebenfalls im voraus festgelegten Weise. Die Rückzahlung muss nicht nur die anfallenden Zinsen, sondern auch einen Tilgungsbetrag, durch den die Schuld verringert wird, umfassen. In manchen Fällen kommen noch besondere Zuschläge, z.B. Gebühren, hinzu. Die Festlegung der Tilgungsbeträge charakterisiert den Rückzahlungsvorgang. An dieser Stelle ist nochmals auf den Unterschied zwischen „echtem“ Kreditkonto (Nominalkonto) und Vergleichskonto (Effektivkonto) hinzuweisen. Das Nominalkonto bildet den vertraglich vereinbarten Zahlungsstrom auf Basis des Nominalkreditbetrags ab. Das Effektivkonto stellt dagegen auf den effektiven Auszahlungsbetrag ab (vgl. hierzu Kapitel 1.6). Beispiel 1: Nominalkreditbetrag 100 000,- € Nominalzinssatz 6 % p.a.; Disagio 2 %; endfällige Tilgung; Laufzeit (zugleich Zinsbindungszeitraum) 3 Jahre Man erkennt, dass die Spalten Zinsen, Tilgung und Restkapital in den beiden Konten voneinander abweichen. Im Rahmen der Tilgungsrechnung interessiert nur das Nominalkonto. Nominalkonto Nominalzinssatz 6,00 % Jahr Zinsen Rate Tilgung Restkapital 0 – € 100 000,00 € 1 6 000,00 € 6 000,00 € – € 100 000,00 € 2 6 000,00 € 6 000,00 € – € 100 000,00 € 3 6 000,00 € 106 000,00 € 100 000,00 € – € Summe 18 000,00 € 118 000,00 € 100 000,00 € Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 80 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 81 5. Tilgungsrechnung80 Vergleichskonto (Effektivkonto) Effektivzinssatz 6,759 % Jahr Effektivzinsen Rate effektive Tilgung effektives Restkapital 0 – € 98 000,00 € 1 6 623,57 € 6 000,00 € 623,57 € 98 623,57 € 2 6 665,72 € 6 000,00 € 665,72 € 99 289,29 € 3 6 710,71 € 106 000,00 € 99 289,29 € – € Summe 20 000,00 € 118 000,00 € 98 000,00 € Bei der Tilgungsrechnung werden wir neben den Größen der Zins- und Rentenrechnung noch folgende Größen benötigen: A : Annuität bzw. Kapitaldienstquote zum Jahresende, Ak : Annuität für das k-te Jahr, mit k 1= , …, n, A′ : Annuität mit eingeschlossenem Aufgeld, K0 : Anfangsschuld bzw. Anfangskapital, Kk : Restschuld bzw. Restkapital nach k Jahren, mit k 1= , …, n, K′0 : fiktive Anfangsschuld bei Aufgeldzahlung, α % : Prozentsatz des Aufgeldes, b % : Prozentsatz für Gebühren, T : Tilgungsquote, Tk : Tilgungsquote zum Ende des k-ten Jahres, mit k 1= , …, n, T′0 : durch Gebühren oder Aufgeld erhöhte Tilgungsquote. zK : nominaler Zinsbetrag des k-ten Jahres, mit k 1= , …, n Für jede Art von Tilgung gelten folgende allgemeine Regeln: (1) Eine Anfangsschuld K0 wird (nur!) durch die Tilgungsbeträge T (von Jahr zu Jahr) verringert. (2) Die Restschuld nach k Jahren ist k k 1 2 k k k K K – (T T ... ... T ) K T = = + + = −∑0 0 1 (36) i. W.: Restschuld = Anfangsschuld minus der Summe der Tilgungsbeträge. (3) Ist n die Gesamtzahl aller Tilgungsjahre (Tilgungsdauer, Laufzeit), dann ist (weil die Restschuld nK = 0 sein muss!): n 1 2 n n k k K (T T ... ... T T ) T− = = + + + =∑0 1 1 (37) i. W.: Anfangsschuld = Summe aller Tilgungsbeträge. (4) Der Kapitaldienst im k-ten Jahr Ak setzt sich aus der Zins- und Tilgungsrate zusammen: k k kA z T= + Die rechnerischen Hilfsmittel, die bei der Tilgungsrechnung benötigt werden, ergeben sich aus der Zinseszinsrechnung und der Rentenrechnung. Die Zinsen, die für eine Schuld zu zahlen sind, werden in der Regel zum Ende eines Jahres ermittelt und ergeben zusammen mit dem Tilgungsbetrag, der Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 80 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 81 5.2 Ratentilgung 81 ebenfalls zum Ende eines Jahres fällig sein wird, die Jahreszahlung, die Annuität genannt wird. Dieser Begriff trifft streng genommen nur auf Perioden i. S. eines Jahres zu. Er wird aber in der Praxis, so ebenfalls in diesem Werk, auch auf kürzere Perioden bezogen. Ein Tilgungsplan soll den Verlauf eines Tilgungsvorgangs übersichtlich und durchsichtig machen. Aus ihm sind, für jedes Tilgungsjahr, vor allem die Restschuld, Zins- und Tilgungsbetrag sowie die jährliche Gesamtzahlung für die Abwicklung einer Schuld zu ersehen. Vereinfachend sollen die Zins- und Tilgungszahlungen jeweils jährlich nachschüssig fällig sein und mit den Verrechnungszeitpunkten (Zinskapitalisierungs- bzw. Tilgungsanrechnungszeitpunkte) übereinstimmen. Damit gilt (i = Nominalzinssatz!): (1) k k – kK K – T= 1 (2) k k –1z i · K= (3) n k k k K A ( i)− = = +∑0 1 1 , d. h. der nominale Kreditbetrag entspricht der Summe der mit dem Nominalzinssatz abgezinsten Annuitäten. Die planmäßige Tilgung eines Kredits kann auf drei Arten erfolgen: a) endfällige Tilgung; der Kredit wird am Laufzeitende in einer Summe getilgt b) Ratentilgung; Tilgung in konstanten Raten kT ; n k k k K T n · T = = =∑0 1 c) annuitätische Tilgung; der Kreditnehmer zahlt konstante Raten kA , die sich aus einem Zins- und einem Tilgungsanteil zusammensetzen. 5.2 Ratentilgung Aufgabe 1: Eine Schuld K0 = 10 000,– € soll mit 5 % verzinst und innerhalb von 5 Jahren durch gleichgroße Raten getilgt werden. Geben Sie die Schuld am Ende des 4. Jahres und den im 4. Jahr fälligen Zinsund Tilgungsbetrag an. Formale Zusammenhänge: k K T n = 0 k kk k –K K – T K – k · T= =1 0 kk k –1 K k z i · K i · [K – (k – 1)T ] i K (k ) i · K n n − = = = − − = − 0 0 0 0 1 1 1 kk k k K A z T i · K n n − = + = − + 0 0 1 1 Lösung: = =k  T  /10000 5 2000 = =K – ·     4 10000 4 2000 2000 − = − + = A ·    ,  4 4 1 0 05 10000 1 2000 2200 5 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 82 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 83 5. Tilgungsrechnung82 Aufgabe 2: Eine Hypothek von 40 000,– € soll mit 8 % verzinst und mit jährlich 3 000,– € getilgt werden. Bestimmen Sie die Restschuld zum Ende des 13. Jahres sowie den Zins- und Tilgungsbetrag des 13. Jahres. Lösung: Tk = 3000 K13 = 40 000 – 13 · 3 000 = 1 000 A13 = 0,08 (40 000 – 12 · 3 000) + 3 000 = 3 320 (man beachte die krumme Laufzeit n = 40 000 / 3 000 = 12,33). Tilgungsfreie Zeiten In dieser Situation übersteigt die Kreditlaufzeit die Tilgungsdauer. Aufgabe 3: Eine mit 6 % zu verzinsende Anleihe von 500 000,– € soll nach vier tilgungsfreien Jahren in weiteren 10 Jahren mit gleichgroßen Tilgungsbeträgen zurückgezahlt werden. (a) Wie groß ist die Belastung des Schuldners in der tilgungsfreien Zeit? (b) Geben Sie die Restschuld nach dem 6. Jahr und die Zins- und Tilgungszahlung des 6. Jahres an. Lösung: Zu (a) In der tilgungsfreien Zeit sind nur die Zinsen zu zahlen. Zu (b) z6 = 0,06 (500 000 – 1 · 50 000) = 27 000 A6 = 50 000 + 27 000 = 77 000 K6 = 500 000 – 2 · 50 000 = 400 000 5.3 Annuitätentilgung 5.3.1 Formale Darstellung Im Gegensatz zur Ratentilgung, bei der die Belastung des Schuldners zu Anfang der Tilgungszeit am größten ist und dann von Jahr zu Jahr kleiner wird, soll bei der Annuitätentilgung die jährliche Belastung durch Verzinsung und Tilgung gleichbleiben, also: A z T= + (konstant) (38) Die Berechnung von A erfolgt anhand des aus der Rentenrechnung bekannten Annuitätenfaktors. Zunächst sind die Gleichungen herzuleiten, die es erlauben Tk, zk und Kk in allgemeiner Form anzugeben. Hierzu sind schrittweise die Entwicklung von T, z und K zu verfolgen: Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 82 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 83 5.3 Annuitätentilgung 83 Ein Anfangskapital K0 soll mit i % verzinst und in n Jahren bei gleichen Annuitäten getilgt werden. Der erste Tilgungsbetrag (Tilgungsrate) sei T1. 1 1 1A K · i T z T= + = +0 Am Ende des 1. Jahres wird die Schuld um die Tilgungsrate T1 verringert. Der Zinsbetrag am Ende des 2. Jahres ist dann: 2 1 1 1 1z (K – T ) · i K · i – T · i z – T · i= = =0 0 1T · i gibt die „ersparten Zinsen“ an. Die Tilgung wird um diese gesparten Zinsen größer: 2 1 1T T T · i= + . Diese Abnahme des Zinsanteiles und Zunahme des Tilgungsanteiles der Annuität lässt sich wie folgt darstellen: 1 1 2 2A z T z T= + = + (damit konstant!) 1 1 1 1(z – T · i) (T T · i)= + + Die gleiche Entwicklung ergibt sich für jedes der folgenden Jahre, d. h. zum Ende eines jeden Jahres werden die Zinsen um i % des Tilgungsbetrags vom vorhergehenden Jahr kleiner, während die Tilgungsbeträge um den gleichen Wert wachsen. Es ergibt sich das folgende finanzmathematische Bild der Komponenten eines Tilgungsplans: Jahr Kapital am Anfang Zinsen am Ende Tilgung am Ende 1 K0 z1 T1 2 K1 = K0 – T1 z2 = z1 – T1 · i T2 = T1 + T1 · i = T1 · (1 + i) = T1 · q 3 K2 = K1 – T2 z3 = z2 – T2 · i T3 = T2 + T2 · i = T2 · (1 + i) = T1 · q2 4 K3 = K2 – T3 z4 = z3 – T3 · i T4 = T3 + T3 · i = T3 · (1 + i) = T1 · q3 usw. Aus dieser Entwicklung lassen sich besondere Formeln für die Tilgung eines Annuitätendarlehens bzw. einer Annuitätenanleihe herleiten. (a) Die Tilgungsrate am Ende des k-ten Jahres ist: = k –kT T · q 1 1 (39) (b) Die Restschuld am Ende des k-ten Jahres ist: ( )k 1 2 kK K – T T ...... T= + + +0 k –1 1 1 1K – (T T · q ..... T · q )= + + +0 (geometrische Reihe, vgl. Herleitung Formel (6)) − = = − k k k q K K – T · K – T · s q0 1 0 1 1 1 (40) (c) Ist n die Zahl aller Tilgungsjahre, also nK = 0, dann folgt aus Formel (40): 0 = K0 – T1 · sn, d.h. Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 84 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 85 5. Tilgungsrechnung84 = nK T · s0 1 (41) Die Zahlung der gleichbleibenden Annuitäten zur Tilgung und Verzinsung der Anfangsschuld K0 ist ein nachschüssiger Rentenvorgang. K0 ist der Barwert aller n Annuitäten A. (d) = nK A · a0 hieraus: n A K · a = 0 1 (42) Die Annuität A kann aus dem Anfangskapital K0 durch Anwendung des nachschüssigen Barwertfaktors an unmittelbar berechnet werden. Im Sinne der Rentenrechnung kann man K0 und sämtliche Annuitäten der ersten k Jahre auf den Termin k beziehen. Die Restschuld zum Termin „k“ entspricht der auf den Zeitpunkt k aufgezinsten Anfangsschuld abzüglich der Summe der bis zum Zeitpunkt k anfallenden, aufgezinsten Annuitäten. = kk kK K · q – A · s0 (43) Die Übereinstimmung der Formeln (40) und (43) für Kk, also k k 1 k kK K – T · s K · q – A · s= =0 0 kann bewiesen werden, wenn man setzt: 1 1A T Z= + und 1Z K · i K · (q – 1)= =0 0 (e) Zum Zeitpunkt „k“ ist Kk die noch aus den künftigen Annuitäten zu tilgende Restschuld, also der Barwert der nach dem Termin „k“ noch folgenden Annuitäten. Nach dem Termin „k“ fallen noch (n – k) Annuitäten an. Also muss auch sein: k (n–k )K A · a= (44) (f) Aus den beiden Formeln 1 nK T · s=0 und nK A · a=0 ergibt sich: nn n s T · s A · q =1 oder n n nweil a s · q = 1 n1A T · q= , bzw. Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 84 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 85 5.3 Annuitätentilgung 85 =n A q T1 (45) Die letztere Umformung bietet sich vor allem für die Berechnung von n an. Alternativ kann zur Herleitung von Formel (45) von der Definition der Annuität n n i · q A K · q = −0 1 und der Definition n K T s = 01 bzw. 1 n K · i T q = − 0 1 (vgl. (41)) ausgegangen werden. Es folgt (Auflösung der T1-Gleichung nach K0 und einsetzen in A) sofort n 1A T · q= und damit Formel (45). Berechnung der Tilgungszeit aus der Annuität Aufgabe 4: Eine mit 6% zu verzinsende Anleihe von 100 000,– € soll, vom Ende des ersten Jahres an, durch jährliche Zahlungen von 10 000,– € getilgt werden. (a) Nach wie vielen Jahren wird die Anleihe getilgt sein? (b) Wie lauten die erste und die beiden letzten Zeilen des Tilgungsplanes? Lösung: Zu (a) Nach der Formel nK A · a=0 muss sein: 100 000 = 10 000 · an an = 10; aus der Tabelle der Barwertfaktoren an ergibt sich: 15 < n < 16 oder auch: Z1 = 6 000,– T1 = 4000,– n Aq , T1 2 5= = ln , n ln q ln , n , ln , 2 5 2 5 15 73 1 06 = ⇔ = = Zu (b) Restschuld zum Ende des 14. Jahres (= Anfang des 15. Jahres) K14 = K0 – T1 · s14 = 100 000 – 4 000 · 21,015 = 15 940,– Von K14 aus können die 15. und die 16. Zeile des Tilgungsplans gefunden werden. Jahr Schuld zu Anfang Zinsen Tilgung Annuität 1 100 000,– 6 000,– 4 000,– 10 000,–… 15 15 940,– 956,40 9 043,60 10 000,– 16 6 896,40 413,76 6 896,40 7 310,16 Zum Ende des 16. Jahres sind nur die Restschuld vom Ende des 15. Jahres (= Anfang des 16. Jahres!) und die Zinsen davon zu zahlen. Alternativer Lösungsweg: Um die Zahlen der 15. Zeile des Tilgungsplans zu finden, kann man auch, unter Anwendung der Formel Tk = T1 · qk–1, die Tilgungsrate der 15. Zeile ermitteln. T T · q ·  , , 1415 1 4000 2 26090 9043 60= = = . Z A – T –    , ,15 15 10000 9043 60 956 40= = = . Dieses Z15 entspricht aber 6% der Schuld zu Anfang des 15. Jahres (= Ende des 14. Jahres) K , : ·   , –14 956 40 6 100 15940= = Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 86 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 87 5. Tilgungsrechnung86 Aufgabe 5: Eine Anleihe in Höhe von 2 Millionen € wird mit 7 % verzinst und in jährlichen nachschüssigen Raten getilgt. Die Tilgung erfolgt in den ersten 8 Jahren in gleichen Annuitäten und ist so bemessen, dass nach Ablauf der 8 Jahre 1 Million € getilgt ist. Anschließend erfolgt die Tilgung im Verlauf weiterer 8 Jahre in gleichen Tilgungsraten. (a) Wie hoch ist die Annuität in den ersten 8 Jahren? (b) Wie lautet der Tilgungsplan für das 8. Jahr? (Ohne Aufstellen des gesamten Tilgungsplanes zu berechnen!) (c) Wie lautet der Tilgungsplan für das 16. Jahr? Lösung: Zu (a) Aus 8 1 8K K – T · s= 0 (7 %) folgt T1 = 97467,79. Wegen Z1 = 140 000,– folgt A = 237 467,79. Zu (b) und (c) Jahr K am Anfang Zinsen Tilgung Annuität 8 1 156 511,83 80 955,83 156 511,83 237 467,66… 16 125 000,– 8 750,– 125 000,– 133 750,– 5.3.2 Prozentannuität Insbesondere bei Hypothekenkrediten ist es üblich, die Annuität als Summe von Nominalzinssatz (p.a.) und Tilgungssatz tg (p.a.) zu definieren, die als Prozentannuität auf den Nominalkreditbetrag bezogen wird: A (i tg) · K= + 0 Dies hat i. d. R. zwei Konsequenzen: Erstens wird mit T tg · K= 0 nur der Tilgungsbetrag des 1. Jahres definiert. Zweitens ergeben sich krumme Laufzeiten, bzw. es wird eine sogenannte Abschnittsfinanzierung gewählt. In diesem Fall wird eine Restschuld zum Ende der ganzzahlig gewählten Laufzeit vorgegeben. Aufgabe 6: Ein Hauseigentümer erhält von einem Kapitalgeber eine Hypothek in Höhe von 240 000,– € zugesichert, deren Rückzahlung bei 3 % Zinseszinsen und 2 % Tilgung in gleichbleibenden Annuitäten vorgenommen werden soll (Prozentannuität). Die erste Annuität ist dabei nach einem Jahr zur Zahlung fällig. (a) Wie viele Jahre muss die volle Annuität bezahlt werden? (b) Wie lauten die erste, zweite, die vorletzte sowie letzte Zeile des Tilgungsplanes, wenn ein sich ergebender Restbetrag mit der letzten vollen Tilgungsrate zur Zahlung fällig wird? Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 86 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 87 5.3 Annuitätentilgung 87 (c) Um wie viele Jahre verlängert sich die Tilgungszeit, wenn bei gleichbleibender Annuität der Zinssatz nach drei Jahren auf 4 % erhöht wird? Lösung: Zu (a) K0 = A · an (3%); A = 5% · 240 000 = 12 000; 240 000 = 12 000 · an(3%) und damit an (3%) = 20 zu bestimmen ist aus der Barwertfaktorentabelle bei Zinssatz 3% ein Wert, der möglichst nahe bei 20 liegt; man erhält N = 31 volle Jahre. Jahr Zinsen Rate Tilgung Restkapital Auszahlung –240 000,00 € – € 240 000,00 € 1 7 200,00 € 12 000,00 € 4 800,00 € 235 200,00 € 2 7 056,00 € 12 000,00 € 4 944,00 € 230 256,00 € … 30 688,49 € 12 000,00 € 11 311,51 € 11 638,00 € 31 349,14 € 11 987,14 € 11 638,00 € – € Zu (b) K30 = K0 · q30 – A · s30 = 240 000 · 2,42726 – 12 000 · 47,575416 = 11 638. Zu (c) K3 = 225 163,68 = K0 (neu) K0 (neu) = A · an (4%); an (4%) = 225 163,68 / 12 000 = 18,76364 N (neu) = 35 Jahre; 35 Tilgungsjahre insgesamt statt 31. Aufgabe 7: Eine Schuld von 50 000,– € soll, bei gleichen Annuitäten, mit 6 % verzinst und mit 2 % getilgt werden. Wie lauten die beiden letzten Zeilen des Tilgungsplans? Aus n A q T = 1 ergibt sich + = =n, 6 2 1 06 4 2 ; n = ln4 / ln1,06 = 23,79 Restschuld am Ende des 22. Tilgungsjahrs: 22 1 22K K – T · s= 0 Jahr Schuld zu Anfang Zinsen Tilgung Annuität 23 6 607,70 396,46 3 603,54 4 000,– 24 3 004,16 180,24 3 004,16 3 184,40 Aufgabe 8: Eine Annuitätenschuld K0 = 10 000,– € soll, bei einer Verzinsung mit 5 %, so getilgt werden, dass nach 20 Jahren nur noch die halbe Schuld vorhanden ist. (a) Wie groß ist die 1. Tilgung? (b) Wie viel Prozent der Anfangsschuld beträgt die 1. Tilgung? (c) Wie groß ist die jährliche Zahlung? (d) Wann ist die ganze Schuld getilgt? Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 88 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 89 5. Tilgungsrechnung88 Lösung: Zu (a) 5 000 = 10 000 – T1 · s20; T1 = 151,21 Zu (b) T1 auf K0 bezogen: 1,51 %. Zu (c) A = (500,00 + 151,21) = 651,21 Zu (d) qn = A : T1 = 4,3066; n = 29,93 = ln 4,3066 / ln 1,05. 5.3.3 Annuitätentilgung mit Konversion, Sondertilgung Wird der Zinssatz während der Laufzeit geändert, so bezeichnet man dies als Konversion. Aufgabe 9: Für eine Hypothek von 50 000,– € sind 5 % Zinsen und 2% Tilgung in gleichen Annuitäten zu zahlen. (a) Wie groß ist die Restschuld zu Beginn des 11. Jahres? (b) Ab Beginn des 11. Tilgungsjahres wird der Zinssatz auf 6 % angehoben. Die Annuität soll sich nicht ändern. Wie lautet bei diesen neuen Bedingungen die 11. Zeile des Tilgungsplans? (c) Von dieser 11. Zeile aus ist die nunmehr verbleibende Tilgungszeit zu bestimmen. Lösung: Zu (a) K10 = K0 – T1 · s10 = 37 422,– €; [sn = 12,577893] Zu (b) Jahr Schuld zu Anfang Zinsen 6 % Tilgung Annuität 11 37 422,- 2 245,32 1 254,68 3 500,– Zu (c) 1,06n = 3 500 : 1 254,68 = 2,7896 ; n = 17,61 = ln 2,7896 / ln 1,06 Aufgabe 10: Eine Hypothek von 100 000,– € ist mit 5 % zu verzinsen und in gleichen Annuitäten von 6 500,– € zu tilgen. (a) Wie groß ist die Restschuld am Ende des 20. Tilgungsjahrs? (b) Zusätzlich zur laufenden Tilgung leistet der Schuldner am Ende des 20. Jahres eine Sonderzahlung von 25 000,– €. Vom Ende des 21. Tilgungsjahrs an soll die Annuität aber um 1 500,– € verringert werden. (c) Wann wird die Hypothek endgültig getilgt sein? Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 88 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 89 5.3 Annuitätentilgung 89 Lösung: Zu (a) K20 = K0 – T1 · s20 = 100 000 – 1 500 · 33,06595 K20 = 50 401,– Zu (b) Schuld Zinsen Tilgung Annuität 21. Zeile alt: 50 401,– 2 520,– 3 980,– 6 500,– 21. Zeile neu: 25 401,– 1 270,– 3 730,– 5 000,– Zu (c) Von der neuen 21. Zeile ausgehend, ergibt sich: 1,05n = 5 000 : 3 730 = 1,34048, d. h. 6 < n < 7 Aufgabe 11: Eine Schuld von 50 000,– €, die mit 5 % zu verzinsen ist, soll durch jährlich nachschüssige Zahlungen von 4 000,– € getilgt werden. (a) Über wie viele Jahre erstreckt sich die Tilgung? (b) Der Schuldner möchte die Tilgungszeit auf 12 Jahre verkürzen, indem er die jährlichen Zahlungen jeweils um einen gleichbleibenden Betrag, mit der zweiten Zahlung beginnend, erhöht. Wie groß muss der Zuwachsbetrag sein? Lösung: Zu (a) A = 4 000,– T1 = (A – z1) = 1 500,– qn = A : T1; 1,05n = 2,66666; hieraus: n = 20,10 = ln 2,6666/ln 1,05 Zu (b) Die jährlichen Zahlungen sollen jetzt sein: Ende des 1. Jahres: 4 000,– = r Ende des 2. Jahres: 4 000,– + d = r + d Ende des 3. Jahres: 4 000,– + 2d = r + 2d usw. … Für die Berechnung des Zuwachsbetrags d steht die Formel (32) für den Barwert einer arithmetisch-fortschreitenden Rente zur Verfügung. Die Auflösung nach der gesuchten Größe d ergibt: n n n (R r · a ) · i d a n · v − = − 0 Bei den gegebenen Zahlen ist: ( · , ) · ,    d , · , − = − 50000 4000 8 86325 0 05 8 86325 12 0 556837 hieraus: d = 333,46 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 90 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 91 5. Tilgungsrechnung90 Aufgabe 12: Herr S. verhandelt mit Herrn G. wegen der Gewährung eines Darlehens in Höhe von 50 000,– € mit folgendem Ergebnis: Herr S. wird die jährlichen nachschüssigen Zinsen zu 5,5 % und nach 10 Jahren die volle Schuld von 50 000,– € zahlen, Herr G. stellt zu Jahresbeginn das Darlehen zur Verfügung, wird aber den Darlehensbetrag so reduzieren, dass die künftigen Zahlungen des Herrn S. eine Verzinsung des tatsächlichen Darlehens mit 7 % erbringen (die künftigen Zahlungen des Herrn S. sind also mit dem Zinssatz 7% zu bewerten). (a) In welcher Höhe wird Herr G. das Darlehen auszahlen? (b) Welchen Darlehensbetrag wird Herr G. auszahlen, wenn die Erhöhung des Zinssatzes auf 7 % erst mit Beginn des 6. Jahres wirksam werden soll? Lösung: Zu (a) Die jährlichen Zinsen betragen 5,5 % von 50 000,– € (= 2 750,– €). Der Auszahlungsbetrag ist der Barwert aller künftigen Zahlungen des Schuldners: K0 = 2750 · a10 (7 %) + 50 000 · v10 (7 %) = 44 732,30. Zu (b) Jetzt ist K0 = 2750 · a5 (5,5 %) + 2750 · a5 (7 %) · v5 (5,5 %) + 50 000 · v5 (7 %) · v5 (5,5 %) = 47 647,07. Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 90 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 91 5.5 Tilgung mit Aufgeld und Gebühren 91 5.4 Zinsanleihe mit Rücklagentilgung Aufgabe 13: Zur Amortisation (Tilgung) einer Schuld von 100 000,– €, für die jeweils die Jahreszinsen zu 4 % zu zahlen sind, stehen jährlich 8 000,– € zur Verfügung. Nach wie vielen Jahren kann die Schuld durch die auf Zinseszinsen angelegten Rücklagen T auf einmal bezahlt werden? Für die Schuld müssen bis zum Ende der Zeit, in der die Rücklagen auf 100 000,– € anwachsen, die Zinsen bezahlt werden. Die jährliche Belastung des Schuldners umfasst Zinsen und Rücklage. A = K0 · i + T; T = A – Z = 8 000 – 100 000 · 0,04 = 4 000 Dieser Betrag T = 4 000,– wird jährlich nachschüssig auf Zinseszinsen angelegt. Es muss sein: nT · s K= 0; hieraus ergibt sich zur Bestimmung der Zeit, in der die Beträge T mit Zinseszinsen auf K0 = 100 000,– € anwachsen: sn = K0 : T = 100 000 : 4 000 = 25. Aus der Tabelle der s-Werte kann die Anzahl der Jahre gefunden werden. In der Aufgabe wurde gesagt, dass die aufgenommene Schuld mit 4 % zu verzinsen ist. Das kann aber nicht bedeuten, dass die Rücklagen ebenfalls mit 4 % verzinst werden. Wenn nun tatsächlich die Rücklagen ebenfalls mit 4 % verzinst werden, dann ergibt sich aus sn = 25 (mithilfe der Tabelle): 17 < n < 18. In diesem Fall ist dann auch: n n n n n q A K · i T T · s · i T T · · (q – 1) T T · (q ) T T · (q – 1 1) T · q q − = + = + = + = − + = + = −0 1 1 1 Dieser Wert T (Betrag der Rücklage) entspricht also dem Wert T1 bei der Annuitätentilgung. Werden die Rücklagen aber etwa nur mit 3,5 % verzinst, die Zinsen von K0 aber mit 4% berechnet, dann ist nach wie vor sn = 25. Bei 3,5 % ergibt dies aber eine „Rücklagenzeit“ von 18 < n < 19. Die jährlichen Kapitalzinsen zu 4 % müssen also entsprechend länger bezahlt werden. 5.5 Tilgung mit Aufgeld und Gebühren Hat ein Schuldner bei der Tilgung des Darlehens/der Anleihe neben den Nominalzinsen p.a. und der Tilgung auch noch ein Aufgeld (hier stark vereinfachend mit Gebühr gleichgesetzt), so sind die bisherigen Überlegungen zu modifizieren. Von einem Aufgeld/Agio spricht man, wenn der Schuldner den nominalen Darlehensbetrag K0 ausgezahlt bekommt, aber neben K0 auch ein Aufgeld α % tilgen muss. Ein Disagio liegt vor, wenn der Darlehensnehmer K0 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 92 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 93 5. Tilgungsrechnung92 tilgen und verzinsen muss, aber K0 vermindert um einen Auszahlungsabschlag ausgezahlt bekommt. Im Zusammenhang mit dem Aufgeld sind mehrere Fälle zu unterscheiden, die im Folgenden zu untersuchen sind. Die Kurzerläuterungen erschließen sich nach dem Durcharbeiten der einzelnen Fallkonstellationen: Ratentilgung Annuitätentilgung Mit Aufgeld Gebühr Gebühr Aufgeld Aufgeld eingeschlossen nicht eingeschlossen zusätzliches Aufgeld eingeschlossen (1 )k kT T′ = + α Annuität („i + p1“) p1 · Restschuld Annuität („i“); α auf Tk zu beziehen modifizierte Annuitätenformel und Ersatzzinssatz 5.5.1 Ratentilgung mit Aufgeld Bei der Ratentilgung erhöht sich der konstante Tilgungsanteil um α%. Der Tilgungsbetrag kT′ inkl. Agio ergibt sich mit k kT ( ) Tα′ = +1 Bei jeder Art von Tilgung ergibt sich zu jedem Tilgungsbetrag T ein um das Aufgeld erhöhter Betrag: T T T · T · α α ′ = + = + 1 1 1 1 1100 100 T T T · T · α α ′ = + = + 2 2 2 2 1100 100 n n n nT T T · T · α α ′ = + = + 1 100 100 Die Summe aller T′-Beträge ergibt dann n nT T T (T T T ) · α ′ ′ ′= + + = + + + + 1 2 1 2 1 100 Da die Summe aller Tilgungsbeträge der Anfangsschuld K0 gleich ist, kann man für die Summe aller T′-Beträge ein (an sich nicht vorhandenes, fiktives) Ersatzkapital K′0 einsetzen. Es ist dann: K K · α ′ = + 0 0 1 100 (46) Die Tilgung einer Aufgeldschuld ist gleichbedeutend mit der Tilgung der fiktiven Schuld K′0. Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 92 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 93 5.5 Tilgung mit Aufgeld und Gebühren 93 Aufgabe 14: Ein Ratendarlehen von K0 = 1 000 000,– € soll mit 5 % verzinst und in 10 Jahren in gleichen Raten zuzüglich eines Aufgelds von 8 % getilgt werden. Wie gestaltet sich der Tilgungsplan? Jahr Schuld zu Anfang Zinsen Tilgung Aufgeld Rate p.a. 1 1 000 000,– 50 000,– 100 000,– 8 000,– 158 000,– 2  900 000,– 45 000,– 100 000,– 8 000,– 153 000,– 3  800 000,– 40 000,– 100 000,– 8 000,– 148 000,– usw. Die (fiktive) Schuld ′ = + = K · ,– α 0 1 000 000 1 1 080 000100 wird durch die gleichbleibenden Beträge von 108 000,– getilgt. Die Rate p.a. verringert sich von Jahr zu Jahr um die gesparten Zinsen, nämlich 5% von 100 000,– €. 5.5.2 Annuitätentilgung mit Gebührenverrechnung Hat ein Schuldner bei der Tilgung einer Anleihe neben den jährlichen Zinsen (p %) und den Tilgungsbeträgen auch noch Gebühren zu zahlen, so kann der Gebührenanteil in einem Prozentwert (b %) angesetzt werden, d. h. die Gebühren werden mit b % vom jeweiligen Schuldrest, von dem ja auch die Zinsen berechnet werden, ermittelt. Der Tilgungsplan ist mit dem Zinssatz (i + b)% aufzustellen. Aufgabe 15: Ein Darlehen in Höhe von 100  000,– € ist mit 4,5 % zu verzinsen und in 20 Jahren durch gleiche Annuitäten zu tilgen. Von der jeweiligen Restschuld werden jährlich b = 0,5 % für Gebühren zugeschlagen. (a) Geben Sie den Tilgungsplan an, wenn die Gebühren in die Annuitäten eingeschlossen werden. (b) Wie gestaltet sich der Tilgungsplan, wenn die Gebühren nicht in die Annuitäten eingeschlossen sind (Gebühren werden mit 0,5 % von der jeweiligen Restschuld berechnet)? Lösung: Zu (a) Die Annuität ist für den Zinssatz (4,5 + 0,5) % = 5 % zu ermitteln. Diese Vereinbarung wirkt wie eine Erhöhung des Nominalzinssatzes um den Aufgeldsatz. Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 94 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 95 5. Tilgungsrechnung94 A = K0 : an; A = 100 000 · 0,0802426 = 8024,26 Jahr Schuld zu Anfang 5% davon Zinsen davon Gebühren Tilgung Annuität 1 100 000,– 5 000,– 4 500,– 500,– 3024,– 8 024,– 2 96 976,– 4 848,80 4 363,92 484,88 3 175,20 8 024,– usw. Zu (b) Die Annuität ist jetzt für eine Verzinsung von 4,5% zu berechnen. A = 100 000 · 0,0768761 = 7 687,61 Jahr Schuld zu Anfang 4,5 % Zinsen Tilgung Annuität Gebühren 1 100 000,– 4 500,– 3 187,61 7 687,61 500,– 2 96 812,39 4 356,55 3 331,06 7 687,61 484,06 usw. Sollen die im Laufe der Tilgungszeit anfallenden Gebühren im voraus bezahlt werden, so ist ihr Barwert zu ermitteln. (Die Gebühren werden von der Darlehenssumme sofort abgezogen!) In jedem Fall betragen die Zinsen i %, die Gebühren b % der jeweiligen Restschuld. Das Verhältnis (Zinsen): (Gebühren) bleibt stets i : b. Will man also den Barwert der Gebühren ermitteln, so kann man zunächst den Barwert aller Zinsen suchen. Bezieht man alle in einem Tilgungsplan vorkommenden Größen auf den Termin „0“, dann gilt: Barwert aller Annuitäten = Barwert aller Tilgungen + Barwert aller Zinsen. (a) Barwert aller Annuitäten: nA · a K= 0 (b) Barwert aller Tilgungen: 1T n · T · v=0 , denn zinst man irgendeine Tilgungsrate k –1k 1T T · q= auf den Termin „0“ ab, so ergibt sich als Barwert für dieses k –1 k k 1 1T : T · q · v T · v= (c) Barwert aller Zinsen: Z K – T=0 0 0 1Z K – n · T · v=0 0 Der Barwert aller Gebühren b0 ist dann: Zuteilungsprovision: ( )b bb Z K n T v i i = ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅0 0 0 1 Dieses Ergebnis gilt sowohl für den Fall, dass der Gebührenzuschlag in der Annuität eingeschlossen ist, oder mit b % vom jeweiligen Schuldrest zusätzlich berechnet wird. Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 94 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 95 5.5 Tilgung mit Aufgeld und Gebühren 95 5.5.3 Annuitätentilgung mit Aufgeld Bei der Annuitätentilgung mit Aufgeld sind zwei Varianten zu unterscheiden. Variante 1: Das Agio wird zusätzlich zur Annuität gezahlt. Die Annuität wird wie üblich berechnet und die jeweiligen Tilgungsbeträge werden um den Aufgeldsatz erhöht: (1 + α) Tk. Geht man so vor, so liegen gerade keine konstanten Annuitäten über die Laufzeit mehr vor. Dem Wunsch des Schuldners – konstante Belastung während der Laufzeit – wird dann jedoch nicht mehr entsprochen. Aufgabe 16: Ein Darlehen von K0 = 100 000,– € ist mit 5 % zu verzinsen und in 10 Jahren in gleichen Annuitäten zu tilgen. Die Tilgungsbeträge werden mit einem zusätzlichen Aufgeld von 10 % bezahlt. Der Tilgungsplan ist zu erstellen. Zunächst ist: Annuität = =A · · , α10 1 1 000 000 1 000 000 0 129505 A = 129 505,– Jahr Schuld zu Anfang Zinsen (5 %) Tilgung Aufgeld Rate p.a. 1 1 000 000,– 50 000,– 79 505,– 7 950,50 137 455,50 2 920 495,– 46 024,75 83 480,25 8 348,25 137 853,25 3 837 014,75 41 850,75 87 654,25 8 765,43 138 270,43 usw. Die Summe aus Zinsen und Tilgung bleibt konstant. Die Tilgung wächst von Jahr zu Jahr um die gesparten Zinsen. Da aber das Aufgeld auf den Tilgungsbetrag bezogen ist, wachsen auch die Aufgeldzuschläge und schließlich auch die Rate p.a. (bestehend aus Zinsen, Tilgung und Aufgeld) von Jahr zu Jahr. Variante 2 („eingeschlossenes Aufgeld“): Die Annuität enthält bereits das Aufgeld. Man spricht vom sogenannten eingeschlossenen Aufgeld. Nun liegen wieder konstante Annuitäten während der Laufzeit vor. Beispiel 2: Grundlage dieses Beispiels in die Daten aus Aufgabe 15 dieses Kapitels. Dieses Mal sind die 0,5 % als (eingeschlossenes) Aufgeld zu verstehen. Der Forderung, dass das Aufgeld in der Annuität enthalten sein soll, kann dadurch entsprochen werden, dass man bei der Berechnung der Annuität nicht von der reinen Schuld K0, sondern von der fiktiven Schuld K′0 ausgeht. ′ = + = + = K K · ( , ) α 0 0 1 100 000 1 0 005 100 500100 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 96 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 97 5. Tilgungsrechnung96 Die jährlichen Zinsen müssen jedoch auf die „echten“ Schuldreste berechnet werden. Man muss deshalb einen Ersatzzinssatz i′ ermitteln, der, auf K′0 angewandt, den gleichen Zinsbetrag ergibt, wie man ihn durch den Zinssatz i von K0 erhält: K' i' K i⋅ = ⋅0 0 Setzt man für K K α ′ = + 0 0 1 100 , dann erhält man K i' K i0 01 100 α ⋅ + ⋅ = ⋅ , d.h. i i' α= +1 100 und ( ) ( ) n n i' i' A K i' ⋅ + = ⋅ + − 0 1 1 1 (47) Bei i = 4,5% und einem Aufgeldzinssatz von 0,05 % ergibt sich i′ = 4,4776119%. Die Anleihe (K0 – i% – n) ist zu transformieren in die Anleihe (K′0 – i′% – n) Die Annuität A′ (mit eingeschlossenem Aufgeld) wird gefunden aus ′ ′= Κ = =A : a ( , %) · , ,   0 20 4 47762 105000 0 07672708 7711 07 Zinssatz 4,50 % Aufgeld 0,50 % Zahlungen Zinsen Rate Aufgeld Tilgung Restkapital 30.12.13 Auszahlung – 100 000,00 € – € 100 000,00 € 30.12.14 4 500,00 € 7 711,07 € 15,98 € 3 195,09 € 96 804,91 € 30.12.15 4 356,22 € 7 711,07 € 16,69 € 3 338,16 € 93 466,75 € … Beim Rechnen mit eingeschlossenem Aufgeld (meA) gelten folgende Zusammenhänge: 1. Barwert Aufgeldzahlungen = Barwert Annuitäten (meA) – Nominalbetrag (305,11 = 100 305,11 – 100 000) 2. Summe Aufgeld = α · K0 (500 = 0,005 · 100 000) 3. = (meA) (meA) K0 Annuität Barwert Annuitäten Annuität ohne Aufgeld ,, , = 100 305 117711 01 7687 61 100 000 5.6 Tilgung von Serienanleihen Beim Darlehen steht dem Schuldner nur ein Gläubiger gegenüber, der die Zinsen und Tilgungsbeträge jeweils zum Ende eines Jahres in der durch den Tilgungsplan festgelegten Höhe erhält. Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 96 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 97 5.6 Tilgung von Serienanleihen 97 5.6.1 Tilgung in gleichen Raten Anders ist die Situation, wenn eine Anleihe in Stücken (d. h. in Teilbeträgen, Teilschuldverschreibungen, Obligationen) ausgegeben wird, sodass dem Anleiheschuldner jetzt viele Gläubiger gegenüberstehen, die Anteilscheine (Anleihestücke) erworben haben. Bei der Tilgung müssen diese Stücke, die auf einen bestimmten Nennbetrag lauten, eingelöst, also zurückgekauft, werden. Der gesamte Tilgungsbetrag, der für das Ende eines jeden der Tilgungsjahre vorgesehen ist, muss dem Nennwert der einzulösenden Stücke angepasst werden. Die zu tilgenden Stücke können dabei nach einer Auslosung zur Rückzahlung (Einlösung) aufgerufen werden. Aufgabe 17: Eine Anleihe von 1 000 000,– €, eingeteilt in Stücke zu je 1 000,– € (Nennwert, Nominalbetrag), ist mit 5 % zu verzinsen und in gleichen Raten im Laufe von 10 Jahren zu tilgen. Wie lautet der Tilgungsplan? Jahr Schuld zu Anfang Zinsen (5 %) Tilgung Stücke Annuität 1 1 000 000,– 50 000,– 100 000,– 100 150 000,– 2 900 000,– 45 000,– 100 000,– 100 145 000,– 3 800 000,– 40 000,– 100 000,– 100 140 000,– usw. 5.6.2 Tilgung einer Annuitätenanleihe in Stücken gleichen Nennwerts Beispiel 3: Wie gestaltet sich der Tilgungsplan, wenn die in der vorhergehenden Aufgabe genannte Anleihe bei gleichen Annuitäten zu tilgen ist? Berechnung der Annuität: = = = n A K · · , , – α0 1 1 000 000 0 129505 12 9505 . Weil Z1 = 50 000,– € beträgt, ergibt sich: T1 = 79 505. Bei der Annuitätentilgung gilt nun: k –1k 1T T · q= Dies bedeutet aber, dass alle späteren Tilgungsraten Tk berechnet werden können, wenn T1 bekannt ist. Es ist also: 2 1 1 1 1T T · q T · (1 i) T T · i= = + = + 23 1 2 2 2 2T T · q T · q T · (1 i) T T · i= = = + = + Man erhält also den Tilgungsbetrag eines Jahres, indem man den Tilgungsbetrag des vorhergehenden Jahres um die Zinsen darauf (das sind die ersparten Zinsen) vermehrt. Stattdessen kann natürlich der Tilgungsbetrag des Vorjahres auch mit dem Verzinsungsfaktor q multipliziert werden. Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 98 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 99 5. Tilgungsrechnung98 Da sich die Tilgung immer nur auf volle Stücke und damit auf einen definierten Tilgungsbetrag (= Stückzahl · Nennwert) beziehen kann, schwankt die Annuität laut Gesamttilgungsplan. Unterstellt wird dabei, dass der planmäßige Tilgungsbetrag maximal dem rechnerischen Tilgungsanteil der Annuität entspricht. Sinnvollerweise wird der Tilgungsplan mit einem Tabellenkalkulationsprogramm erstellt: Serientilgung Nennwert 1 000,00 € Stücke Zinssatz 5,00 % Annuität 129 504,57 € 1 000,00 Jahr Zinsen rechnerische Tilgung Tilgung vorläufig Ersparnis kumulierte Ersparnis zusätzliche Tilgung getilgte Stücke Rate endgültiges Restkapital 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0,00 (Stücke) 1 000 000.00 1 50 000,00 79 504,57 79 000,00 504,57 504,57 0,00 79,00 129 000,00 921 000,00 2 46 050,00 83 479,80 83 000,00 479,80 984,38 0,00 83,00 129 050,00 838 000,00 3 41 900,00 87 653,79 87 000,00 653,79 1 638,17 1,00 88,00 129 900,00 750 000,00 4 37 500,00 92 036,48 92 000,00 36,48 674,66 0,00 92,00 129 500,00 658 000,00 5 32 900,00 96 638,31 96 000,00 638,31 1 312,96 1,00 97,00 129 900,00 561 000,00 6 28 050,00 101 470,22 101 000,00 470,22 783,19 0,00 101,00 129 050,00 460 000.00 7 23 000,00 106 543,73 106 000,00 543,73 1 326,92 1,00 107,00 130 000,00 353 000,00 8 17 650,00 111 870,92 111 000,00 870,92 1 197,84 1,00 112,00 129 650,00 241 000,00 9 12 050,00 117 464,47 117 000,00 464,47 672,20 0,00 117,00 129 050,00 124 000.00 10 6 200,00 123 337,69 123 000,00 337,69 1 009,89 1,00 124,00 130 200,00 0,00 1 000 000,00 995 000,00 5 000,00 10 104,79 5,00 1 000,00 1 295 300,00 1 000 000,00 • (2) enthält die gezahlten Zinsen (5% der Restkapitalstände gemäß Spalte (10)) • (3) gibt die rechnerische Tilgung an • (4) enthält die Tilgung auf Basis der abgerundeten Stückzahlen • Ersparnis (5) = Differenz (3) – (4) • zusätzliche Tilgung: sobald die kumulierte Tilgungsersparnis zur Tilgung weiterer Stücke ausreicht (Wert (6) > 1000 €), wird zusätzlich getilgt • gezahlte Rate (9) = (2) + (8) · 1000 • Restkapital (11) = Restkapital Vorperiode – [(9) – (8) · 1000] Bei der Tilgung der Annuitätenanleihe in Stücken verschiedenen Nennwerts ist analog vorzugehen. 5.6.3 Aufgeldanleihe bei eingeschlossenem Aufgeld Die Annuitäten sollen folglich Zinsen, Tilgung und Aufgeld umfassen. Die bei der Annuitätentilgung mit eingeschlossenem Aufgeld angeführten Überlegungen sind unmittelbar anwendbar. Aufgabe 18: Eine Anleihe im Nennwert K0 = 500 000,– €, ausgegeben in Stücken zu je 1000,– €, ist mit 6 % zu verzinsen und bei einem eingeschlossenen Aufgeld von 20 %, in 10 Jahren in gleichen Jahresbeträgen zu tilgen. Die gegebenen Werte, die den Ablauf der Tilgung bestimmen, sind zunächst in die „fiktiven“ Werte überzuführen. Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 98 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 99 5.7 Unterjährliche Annuitätentilgung 99 K0 = 500 000,– K K · , ′ = + = − 0 0 20 1 600 000 100 i = 6 % i i' %= = + 520 1 100 A K · ( %)α = 0 10 1 6 A K · ( %)α ′ ′= 0 10 1 5 k –1 k 1T T · q (bei 6 %)= k –1 k kT T · q (bei 5 %)′ ′= Stückwert: 1 000,– Stückwert: 1 200,– A′ = 600 000 · 0,129505 = 77 703,– z1 = (5 % von 600 000,–) = 30 000,– T′ =1 = 47 703,– Die zunächst tilgbare Stückzahl (9) ergibt sich bei Zugrundelegung des Tilgungsbetrags ohne Aufgeld. In der ersten Periode z. B. gilt: 47 702,74 / 1200 = 39,75 oder (47 702,74 / 1,2) / 1000 = 39,75, das sind 39 Stücke. Die vorläufige Tilgung beträgt dann 39 · 1000 · 1,2 = 46 800; daraus resultiert eine Ersparnis von 902,74. Bereits in der zweiten Periode übersteigt die Ersparnis den transformierten Nennwert von 1 200, sodass eine zusätzliche Tilgung erfolgen kann. Diese Überlegungen erlauben es, eine Tabelle abzuleiten: Ergänzend darf auf die Erläuterungen in Beispiel 3 dieses Kapitels verwiesen werden. Serientilgung mit Aufgeld Nennwert 1 200,00 € 1 000,00 € Aufgeld Zinssatz 6,00 % Annuität 77 702,74 € 1,06 20% Jahr Zinsen rechnerische Tilgung Tilgung vorläufig Ersparnis kumulierte Ersparnis zusätzliche Tilgung getilgte Stücke (gesamt) getilgte Stücke (vorläufig) Rate = (2)+ (8)*1000 Restkapital Annuität mit Aufgeld 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11 0,00 (Stücke) 500 000,00 1 30 000,00 47 702,74 46 800,00 902,74 902,74 0,00 39,00 39,00 69 000.00 461 000.00 76 800,00 2 27 660,00 50 087,88 49 200,00 887,88 1 790,63 1,00 42,00 41,00 69 660,00 419 000,00 78 060,00 3 25 140,00 52 592,28 51 600,00 992,28 1 582,90 1,00 44,00 43,00 69 140,00 375 000,00 77 940,00 4 22 500,00 55 221,89 55 200,00 21,89 404,79 0,00 46,00 46,00 68 500,00 329 000,00 77 700,00 5 19 740,00 57 982,98 57 600,00 382,98 787,78 0,00 48,00 48,00 67 740,00 281 000,00 77 340,00 6 16 860,00 60 882,13 60 000,00 882,13 1 669,91 1,00 51,00 50,00 67 860,00 230 000,00 78 060,00 7 13 800,00 63 926,24 63 600,00 326,24 796,15 0,00 53,00 53,00 66 800,00 177 000,00 77 400,00 8 10 620,00 67 122,55 66 000,00 1 122,55 1 918,71 1,00 56,00 55,00 66 620,00 121 000.00 77 820,00 9 7 260,00 70 478,68 69 600,00 878,68 1 597,39 1,00 59,00 58,00 66 260,00 62 000,00 78 060,00 10 3 720,00 74 002,61 73 200,00 802,61 1 200,00 1,00 62,00 61,00 65 720,00 0,00 78120,00 177 300,00 600 000,00 592 800,00 7 200,00 6,00 500,00 494,00 677 300,00 777 300,00 5.7 Unterjährliche Annuitätentilgung Die Technik der unterjährlichen Annuitätentilgung kann analog zum Fall der unterjährlichen Rentenrechnung dargestellt werden. Da dieser Sachverhalt in der Praxis den Regelfall darstellt, ist darauf ausführlich einzugehen. Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 100 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 101 5. Tilgungsrechnung100 Welche finanzmathematischen Formeln zur Anwendung gelangen, hängt von dem zwischen Bank und Kunde vereinbarten Kontoführungsmodell ab. Bisweilen sind auch auf den ersten Blick ungewöhnliche Vertragsgestaltungen anzutreffen, die aber rechtlich zulässig sind. Zulässig ist es z. B., Zinsen auch auf ein vom Kreditnehmer nicht mehr in Anspruch genommenes Kapital zu verrechnen. Beispiel: Der Kunde zahlt monatliche Annuitäten, der Zinsanteil wird auf Basis des Kapitalstandes zu Quartalsbeginn bezogen (sogenannte verzögerte Tilgungsverrechnung). Die Zulässigkeit derartiger Vereinbarung ergibt sich aus der BGH-Rechtsprechung (v. a. III ZR 188/87 vom 24. 11. 1988). Demnach müssen solche Regelungen dem Kreditnehmer hinreichend transparent gemacht werden. Angesichts der Vielzahl denkbarer Kontoführungsmodelle kann in diesem Rahmen nur auf wichtige Konstellationen eingegangen werden. Bedeutsamer erscheint es angesichts existierender komfortabler Tabellenkalkulationsprogramme zu sein, den Leser in die Lage zu versetzen, Vertragsvereinbarungen in einem Zahlungsplan abzubilden. Vereinfachend werden nur nachschüssige Vereinbarungen betrachtet. Entsprechend der Darstellung zu unterjährlichen Rentenzahlungen sind mehrere Fallgestaltungen zu untersuchen; auf die dortigen Ausführungen sei ergänzend verwiesen. unterjährliche Zins- und Tilgungsverrechnungszeitpunkte (m, tv) Jährliche Zahlungen unterjährliche Zinskapitalisierung Zins- und Tilgungsverrechnungszeitpunkte stimmen überein m = tv Zinsverrechnungszeitpunkte > Tilgungsverrechnungszeitpunkte m > tv Zinsverrechnungszeitpunkte < Tilgungsverrechnungszeitpunkte m < tv • Formeln laut jährlicher Annuitätenberechnung • i ersetzen durch: . . 1 1 m eff p a i i m = + − • Formeln laut jährlicher Rentenrechnung ersetzen: i/m statt i und m · n statt n • Formeln laut jährlicher Rentenrechnung ersetzen: ieffa statt i und tv · n statt n • Ersatzrate bilden bezogen auf Zeitabschnitt tv/m und i/m • Formeln laut jährlicher Rentenrechnung ersetzen: i/m statt i und m · n statt n • Effektivzinssatz p.a.; definiert durch m . . 1 1 m eff p a i i m = + − • Periodenzahl für Rentenfaktoren m · n • Effektivzinssatz auf m/tv bezogen ( / ) 1 1 m tv effai i m + − = • Periodenzahl für Rentenfaktoren tv · n • Periodenzahl für Rentenfaktoren m · n m … Zinsverrechnungszeitpunkte tv … Tilgungsverrechnungszeitpunkte Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 100 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 101 5.7 Unterjährliche Annuitätentilgung 101 5.7.1 Jährliche Tilgungsverrechnung und unterjährliche Zinskapitalisierung Beispiel 4: Ein Kunde nimmt bei seiner Bank ein Annuitätendarlehen in Höhe von 100 000 € und einer Laufzeit von 2 Jahren auf. Vereinbart ist die halbjährliche Ratenzahlung auf Basis eines Nominalzinssatzes von 6 % p.a. bei halbjährlicher Zinsberechnung und Zinskapitalisierung. Es ist die Annuität zu ermitteln und das Nominalkonto zu erstellen. Es ist die Annuität für jährliche Zahlungen zu ermitteln, jedoch auf Basis des Effektivzinssatzes m eff p.a. i i m = + − 1 1, hier 6,09% Nominalkonto unterjährliche Tilgung Annuität 54 612,49 € Zinssatz 6,00% Halbjahre Zinstage Zinsen Rate Tilgung Zinsbemessungsgrundlage Restkapital 0 Auszahlung – 100 000,00 € – €   100 000,00 € 1 180 3 000,00 €     100 000,00 € 100 000,00 € 2 180 3 090,00 € 54 612,49 € 48 522,49 € 103 000,00 € 51 477,51 € 3 180 1 544,33 €     51 477,51 € 51 477,51 € 4 180 1 590,66 € 54 612,49 € 51 477,51 € 53 021,84 € – € Summe   9 224,98 € 109 224,98 € 100 000,00 €     Hinweis: analog zur Darstellung der unterjährlichen Rentenzahlungen könnte auch der Fall untersucht werden, dass die Bank eine unterjährliche Rentenzahlung vorsieht, jedoch den Zins nur jährlich verrechnet. Dieser praxisfremde Fall wird hier nicht weiter untersucht. Zu lösen wäre die Fragestellung wie bei der Rentenzahlung aufgezeigt mithilfe der Ersatzrate. 5.7.2 Unterjährliche Zins- und Tilgungsverrechnungszeitpunkte Übereinstimmung von unterjährlichen Zins- und Tilgungsverrechnungszeitpunkten Diese Fallgestaltung liegt vor, wenn der Kreditgeber • unterjährlich Zinsen auf Basis eines zeitanteiligen Nominalzinssatzes berechnet und • die Tilgung jeweils zum Zinszahlungszeitpunkt erfolgt. Man kann unmittelbar die bereits angeführten Formel für die unterjährliche Rentenberechnung zurückgreifen. Bezeichnet m wieder die Zahl der unterjährigen Zinskapitalisierungszeitpunkte, dann gilt: Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 102 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 103 5. Tilgungsrechnung102 + = + − m · n m · n i i · m mA K · i m 0 1 1 1 (48) Aufgabe 19: Ein Kunde nimmt bei seiner Bank ein Annuitätendarlehen in Höhe von 100 000 € und einer Laufzeit von 2 Jahren auf. Vereinbart ist die quartalsweise Ratenzahlung auf Basis eines Nominalzinssatzes von 6 % p. a. Es ist die Annuität zu ermitteln und das Nominalkonto zu erstellen. Lösung: Nominalkonto unterjährliche Tilgung Annuität 26 902,70 € Zinssatz 6,00 % Halbjahre Zinstage Zinsen Rate Tilgung Restkapital 0 Auszahlung – 100 000,00 € – € 100 000,00 € 1 180 3 000,00 € 26 902,70 € 23 902,70 € 76 097,30 € 2 180 2 282,92 € 26 902,70 € 24 619,79 € 51 477,51 € 3 180 1 544,33 € 26 902,70 € 25 358,38 € 26 119,13 € 4 180 783,57 € 26 902,70 € 26 119,13 € 0,00 € Summe 7 610,82 € 107 610,82 € 100 000,00 € i m n m · n 1 + i/m i/m 6,00 % 2 2 4 1,03 0,03 Annuitätenfaktor 0,26902705 Fehlende Identität von unterjährlichen Zins- und Tilgungsverrechnungszeitpunkten Fall 1: Die Zahl der Zinsverrechungszeitpunkte (m) übersteigt die Zahl der Tilgungsverrechungszeitpunkte (tv) bzw. m > tv. In diesem Fall gilt wie aus der Rentenrechnung bekannt: Der anteilige Nominalzinssatz, der auf die kürzere Zinsperiode anzuwenden ist, ist zunächst in einen anteiligen Effektivzinssatz [ieffa], umzurechnen, der mit der Rentenperiode (definiert durch m/tv) übereinstimmt. Dann gilt für die Annuität: effaeffa tv n effa tv n i ( i ) A K ( i ) ⋅ ⋅ ⋅ + = ⋅ + −0 1 1 1 mit m tv( / ) effai i m + − = 1 1 (49) Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 102 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 103 5.7 Unterjährliche Annuitätentilgung 103 Aufgabe 20: Ein Kunde nimmt bei seiner Bank ein Annuitätendarlehen in Höhe von 100 000 € und einer Laufzeit von 2 Jahren auf. Vereinbart ist nunmehr die quartalsweise Zinsverrechung und halbjährliche Tilgung auf Basis eines Nominalzinssatzes von 6 % p. a. Es ist die Annuität zu ermitteln und das Nominalkonto zu erstellen. Lösung: Es sind n = 2, m = 4 und tv = 2 Nominalkonto unterjährliche Tilgung Annuität 26 917,18 € Zinssatz 6,00 % Halbjahre Zinstage Zinsen Zinsbemessungsgrundlage Rate Tilgung Restkapital kumulierte Zinsen 0 100 000,00 1 90 1 500,00 100 000,00 100 000,00 2 90 1 522,50 101 500,00 26 917,18 23 894,68 76 105,32 3 022,50 3 90 1 141,58 76 105,32 76 105,32 4 90 1 158,70 77 246,90 26 917,18 24 616,90 51 488,42 2 300,28 5 90 772,33 51 488,42 51 488,42 6 90 783,91 52 260,75 26 917,18 25 360,94 26 127,48 1 556,24 7 90 391,91 26 127,48 26 127,48 8 90 397,79 26 519,39 26 917,18 26 127,48 0,00 789,70 mit / effa ,i , = + − = 4 20 06 1 1 0 030225 4 , ( , ) A · , , = = − 4 4 0 030225 1 030225 100 000 26 917 18 1 030225 1 Man erkennt, dass die Kontoführung erst nachvollziehbar ist, wenn zwischen Zinsbemessungsgrundlage und Restkapital differenziert wird. Die Spalte Zinsbemessungsgrundlage gibt den für die Zinsberechnung maßgeblichen Kapitalstand an, während die Spalte Restkapital der juristischen Restschuld entspricht. Zum Zeitpunkt der Tilgungsanrechnung entsprechen sich die beiden Kapitalstände (im Beispiel zum Ende 2. Periode: das Restkapital sinkt auf 76 105,32; die Zinsbemessungsgrundlage sinkt ebenfalls auf diesen Wert: 101 500,00 + 1 522,50 – 26 917,18). Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 104 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 105 5. Tilgungsrechnung104 Aufgabe 21 (Modifikation von Aufgabe 20): Vereinbart ist nunmehr die monatliche Zinsverrechung und halbjährliche Tilgung auf Basis eines Nominalzinssatzes von 6 % p.a. Es ist die Annuität zu ermitteln. Es sind n = 2, m = 12 und tv = 2 ieffa ( )/, = + − = 12 20 06 1 1 12 0,030377509 und Annuität = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + − , (   , ) ( , ) 2 2 2 2 0 030377509 1 0 030377509 100000 1 0 030377509 1 = 26 927 Fall 2: Die Zahl der Tilgungsverrechungszeitpunkte (tv) übersteigt die Zahl der Zinsverrechungszeitpunkte (m) bzw. tv > m. Diesmal kann die Lösung wiederum mithilfe der Ersatzrate gefunden werden. Zu beachten ist, dass wie bei der Rentenzahlung die Ersatzrate auf den zeitanteiligen Nominalzinssatz i/m zu beziehen ist. Somit ist die nachschüssige Ersatzrate rm/tv auf den Tilgungsverrechungszeitzeitabschnitt (tv/m) zu beziehen ist: ( ) tv / m tv tv tv imr r' m m − = ⋅ + ⋅ 1 2 mit tv als der Zahl der Tilgungsverrechungszeitpunkte. Damit besteht der folgende Zusammenhang zwischen der auf den Tilgungsverrechungszeitabschnitt (m/tv) bezogenen Annuität ann und der jährlichen Annuität: ( )tv / m Annuität ann tv tv im m m = − + ⋅ 1 2 Aufgabe 22: Ein Kunde nimmt bei seiner Bank ein Annuitätendarlehen in Höhe von 100 000 € und einer Laufzeit von 2 Jahren auf. Vereinbart ist nunmehr quartalsweise Tilgungsverrechnung und jährliche Zinsverrechnung auf Basis eines Nominalzinssatzes von 6 % p.a. Es ist die Annuität zu ermitteln und das Nominalkonto zu erstellen. Lösung: Für tv = 4 und m = 1 gilt ann = 54 543,69 / (4 + 0,5 · 0,06 · 3) = 13 335,87. Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 104 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 105 5.7 Unterjährliche Annuitätentilgung 105 Nominalkonto unterjährliche Tilgung Annuität 13 335,87 € jährliche Zinskapitalisierung Zinssatz 6,00 % Halbjahre Zinstage Zinsen Rate Tilgung Restkapital kumulierte Zinsen 0 100 000,00 1 90 1 500,00 13 335,87 13 335,87 86 664,13 2 90 1 299,96 13 335,87 13 335,87 73 328,26 3 90 1 099,92 13 335,87 13 335,87 59 992,39 4 90 899,89 13 335,87 8 536,10 51 456,29 4 799,77 Zinskapitalisierung 5 90 771,84 13 335,87 13 335,87 38 120,42 6 90 571,81 13 335,87 13 335,87 24 784,55 7 90 371,77 13 335,87 13 335,87 11 448,68 8 90 171,73 13 335,87 11 448,72 –0,04 1 887,15 Zinskapitalisierung Aufgabe 23 (Modifikation von Aufgabe 22): Nunmehr wird in Abänderung der Ausgangssituation eine halbjährliche Zinsverrechnung durchgeführt. Damit sind m = 2 und tv = 4. Jetzt kann die Ersatzrate nicht sofort angegeben werden, weil auch die auf den Tilgungsverrechungszeitzeitabschnitt (tv / m = 2) zu beziehende Annuität unbekannt ist. Sie ist jedoch errechenbar, wenn man sich die Beziehung zwischen Endwert des Kredits und Endwert der Annuitäten klar macht: Endwert des Kredits minus Endwert der Annuitäten muss 0 ergeben. Formal: K0 · (1 + i / m) ^ (m · n) – Atv/m · sm·n = 0 Wegen m n m n i % ms ,i % m ⋅ ⋅ ⋅ + − + − = = = 2 26 1 1 1 1 2 4 1836276 2 ergibt sich Atv/m= (100 000 · 1,03 ^ 4) / 4,183627 = 26 902,70 ann ergibt sich folglich mit ( ) , ann ,     % = = − + ⋅ 26902 70 13351 22 4 14 62 2 2 2 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 106 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 107 5. Tilgungsrechnung106 Nominalkonto unterjährliche Tilgung Annuität 13 351,22 € halbjährliche Zinskapitalisierung Zinssatz 6,00 % Zahlungen Zinstage Zinsen Rate Tilgung Restkapital kumulierte Zinsen 30.12.13 100 000,00 30.03.14 90 1 500,00 13 351,22 13 351,22 86 648,78 30.06.14 90 1 299,73 13 351,22 10 551,49 76 097,30 2 799,73 Zinskapitalisierung 30.09.14 90 1 141,46 13 351,22 13 351,22 62 746,08 30.12.14 90 941,19 13 351,22 11 268,57 51 477,51 2 082,65 Zinskapitalisierung 30.03.15 90 772,16 13 351,22 13 351,22 38126,29 30.06.15 90 571,89 13 351,22 12 007,16 26119,13 1 344,06 Zinskapitalisierung 30.09.15 90 391,79 13 351,22 13 351,22 12 767,91 30.12.15 90 191,52 13 351,22 12 767,91 0,00 583,31 Zinskapitalisierung Insgesamt zeigen sich hier – wie schon bei der Diskussion der unterjährlichen Rentenzahlungen die Grenzen der formalen Abbildung von Kontoführungsmodellen. Da die Annuität als einzige Größe unbekannt ist, kann sie allerdings jederzeit iterativ bestimmt werden. Weiter ist zu bedenken, dass die Bankpraxis i.d.R. die Kreditkonditionen auf Basis einer vorgegebenen Marge bzw. eines vorgegebenen Effektivzinssatzes gestaltet. Insofern kommen zahlreiche Parameter in Betracht, die zusammengenommen den Zins- und Tilgungsplan ergeben. Insofern darf auf das folgende Kapitel verwiesen werden. 5.8 Ratenkredite (Teilzahlungskredite) 5.8.1 Überblick Typische Verbraucherkredite werden heute als Annuitätendarlehen vereinbart. Traditionell waren sie jedoch als Ratenkredite in Form der sogenannten p.M.- Kredite (Teilzahlungskredite, Konsumentendarlehen, Laufzeitzinsdarlehen) ausgestaltet. Für diesen Fall gilt die folgende Ratenberechnung, wobei α die Bearbeitungsgebühr (in % des Kreditbetrags), i(mon) den Laufzeitzinssatz pro Monat (p. M.) und L die Laufzeit in Monaten bezeichnet: + + = ( i(mon) · L L αKredibetrag 1 Monatsrate = ( )K i(mon) L A L α⋅ + + ⋅ = 0 1 (50) Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 106 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 107 5.8 Ratenkredite (Teilzahlungskredite) 107 Beispiel 5: Kreditbetrag = 11900; b = 0,02; i(mon) = 0,32406 % p. M.; L = 36. + + = = ( , , · ) , = , 11 900 1 0 02 0 0032406 36 13 526 28 Monatsrate 375 73 36 36 Der Kunde erhält den Nettokreditbetrag (11 900 €) und hat monatlich die Ratenzahlung (375,73 €) zu leisten. Diese Beträge legen den Zahlungsstrom fest und definieren folglich den Effektivzinssatz. Variante Ballonkredit: Während beim üblichen Laufzeitzinsdarlehen eine ratierliche Tilgung des Kreditbetrags unterstellt wird, legt die Kreditpraxis, z. B. bei der KFZ-Finanzierung, häufig beim als Ballonkredit bezeichneten Teilzahlungskredit einen davon abweichenden Tilgungsplan fest. Die als Zielrate bezeichnete letzte Rate enthält meist ausschließlich einen explizit vorgegebenen Tilgungsbetrag. D. h., darin sind weder anteilige Laufzeitzinsen noch die anteilige Bearbeitungsgebühr enthalten. Die Zielrate kann im Extremfall 100 % betragen. Allgemein stellt sich die Variante Ballonkredit wie folgt dar: Bezeichnet α die Bearbeitungsgebühr (in %), i(mon) den Laufzeitzinssatz, ZR die Zielrate (mit ZR zr · K= 0, wobei zr den Zielratenanteil am Nettokreditbetrag repräsentiert) und L die Laufzeit in Monaten, so errechnet sich die monatlich gleichbleibende Rate mit: + + − − – ZR · i(mon) L L α Kreditbetrag Monatsrate = Kreditbetrag 1 1 ; (51) Beispiel 6: Die Daten entnehmen wir aus Beispiel 5 oben; zr sei 100%; man erhält ZR = 11 900 und die monatliche Rate, die 35 Mal gezahlt wird, mit − + + = · ( , , / ) , 11 900 11 900 11 900 0 0032406 0 02 35 45 35 35 . Die Variante Ballonkredit wird hier nicht mehr weiterverfolgt. 5.8.2 Ratenkredite ohne Bearbeitungsgebühren Bei einem Ratenkreditgeschäft handelt es sich im Grundsatz um eine unterjährliche Annuitätentilgung einer Anfangsschuld K0, wobei in den Konditionen der ( )=p(mon) i monZinssatz 100 ausgewiesen wird. Im Folgenden soll der monatliche Laufzeitzinssatz i(mon)% ermittelt werden, der einem effektiven Jahreszinssatz ieff entspricht. Zunächst sind Ratenkredite ohne Bearbeitungsgebühren zu untersuchen. Es bedeuten: A: Annuität (Jahresrate), A: Monatsrate, L: Laufzeit in Tilgungsperioden (Monaten), Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 108 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 109 5. Tilgungsrechnung108 N: Laufzeit in vollen Jahren Lgrößte nat. Zahl  (bei Monaten)= 12 , m: restliche Laufzeit in Tilgungsperioden (Monaten) = L – 12N (bei Monaten), K0: Anfangsschuld, N m K + 12 : auf den Zeitpunkt „nach N Jahren plus m Monaten“ hin aufgezinste Anfangsschuld K0, sN: nachschüssiger Rentenendwertfaktor. Die Monatsraten A müssen im Laufe eines Jahres auf die Höhe der Annuität A anwachsen, da ja der Effektivzins eine p.a.-Angabe und der Kapitaldienst deshalb in Annuitäten zu sehen ist. Die vor Fälligkeit der Annuität A geleisteten Monatsraten A werden einfach mit dem Effektivzinssatz ieff verzinst. Die monatlich nachschüssigen Raten A sind gemäß Formel (29) in eine nachschüssige Jahresannuität zu transformieren: effi A A = + 11 12 2 bzw. = + eff A A i11 12 12 (52) Werden die Annuitäten A und die Monatsraten A auf den Zeitpunkt „ m N + 12 “ hin aufgezinst (Endwertdarstellung), so ergibt sich: eff eff eff ( N m/ ) N mi i m K A · s · A i+ − = + + + + + + + 12 1 1 1 1 1 1 12 12 12 eff effNq mi i A · · A · m A · · ( m ) q − = + + + + + + − − 1 1 1 2 1 1 12 12 eff effNq mi i m(m ) A · · A · m A · · q − − = + + + − 1 1 1 1 12 12 2 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 108 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 109 5.8 Ratenkredite (Teilzahlungskredite) 109 Erläuterung zur rechten Seite der Schlussgleichung: Der erste Summand entspricht der Endwertdarstellung anhand des Rentenendwertfaktors. Der dritte Summand gibt das Ergebnis der unterjährlichen Zinsrechnung mit einfachen (linearen) Zinsen an; es ist die Summenformel für die arithmetische Reihe zu verwenden. Man beachte weiter, dass gilt: (m ) · mm [ (m )] −− + − = 11 1 1 2 2 Ersetzt man gemäß in der Formel (52) die Annuität A durch die Monatsrate A, so erhalten wir: eff effN eff ( N m/ ) q mi i m K A · · · m · · i q ·+ − − = + + + + − 12 1 11 1 1 12 1 1 12 2 2 12 Wird die Anfangsschuld K0 vom Zeitpunkt 0 auf den Zeitpunkt m N + 12 hin aufgezinst, so erhält man: eff N N m mi K K · q · + = + 0 112 12 Für die Monatsrate A also: eff N eff effN eff mi K · q · A q mi i m · · · i · m q + = − − + + + + − 0 1 12 1 11 1 1 12 1 1 12 2 24 Bringt man effmi + 1 12 in den Nenner und ersetzt man q – 1 durch ieff, so gilt: = − − + + + + N effN eff eff K · q A m m (q ) · · i · i mi 0 12 11 1 12 1 1 2 24 12 (53) Hinweis: effeff m m mimi = + + 12 12 1 12 Beachtet man die Ausgangsgleichung (50) – jetzt ohne Gebühr – ( )K i(mon) L A K i(mon) L L ⋅ + ⋅ = = ⋅ + 0 0 1 1 und ersetzt man in Formel (53) A durch diesen Ausdruck, so gilt nach Kürzen von K0: + = − − + + + + N effN eff eff q i(mon) m mL (q ) · · i · i mi 1 12 11 1 12 1 1 2 24 12 (54) Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 110 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 111 5. Tilgungsrechnung110 Aufgabe 24: Ein aufgenommener Kredit von 80 000,– € soll bei 11 % Effektivverzinsung (Definiton nach Formel (54)) durch 18 nachschüssige Monatsraten zurückgezahlt werden. (a) Wie groß ist die monatliche Rate? (b) Welchen monatlichen Laufzeitzinssatz wird der Kreditgeber in seinen Konditionen ausweisen? (c) Geben Sie den Tilgungsplan an. Lösung: Zu (a) Setzt man in Formel (53) die Werte N = 1, m = 6, K0 = 80 000, ieff = 0,11 und q = 1,11 ein, so erhält man als Ergebnis =A ,4 820 18. Zu (b) Ergebnis aufgrund von Formel (54): i(mon) = 0,0046966. Anmerkung: Bei der im Kapital 6 (Kurs und Effektivverzinsung) vorzustellenden international üblichen Berechnungsmethode wäre von einem Effektivzinssatz in Höhe von 10,94 % auszugehen. Die oben entwickelten Gleichungen sind dann nicht mehr verwendbar. Zu (c) Vergleichskonto – hier zugleich Tilgungsplan: Monat Zinsbemessungsgrundlage Zinsen Rate Tilgung Restkapital 0 80 000,00 € – € – € – € 80 000,00 € 1 75 179,82 € 733,33 € 4 820,18 € 4 086,85 € 75 913,15 € 2 70 359,64 € 689,15 € 4 820,18 € 4 131,03 € 71 782,12 € … 12 22 157,84 € 247,30 € 4 820,18 € 4 572,88 € 28 041,63 € Zinskap. 28 041,63 € 5 883,79 € 1 23 221,45 € 257,05 € 4 820,18 € 4 563,13 € 23 478,50 € 2 18 401,27 € 212,86 € 4 820,18 € 4 607,32 € 18 871,18 € … 6 879,45 € 36,12 € 4 820,18 € 4 784,06 € 0,07 € Zinskap. 0,07 € 879,51 € 5.8.3 Ratenkredite mit Bearbeitungsgebühren Neben Zinsen wird bei Ratenkrediten in der Regel auch eine laufzeitunabhängige Bearbeitungsgebühr, α % des beantragten Kreditbetrages, erhoben. Auf jede Rate entfällt dann der Tilgungsanteil K L α + 0 1 100 . Die Gleichungen (49) und (50) gehen dann über in Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 110 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 111 5.8 Ratenkredite (Teilzahlungskredite) 111 K i(mon) A L α + + = 0 1 100 bzw. + + = − − + + + + N effN eff eff q i(mon) m mL (q ) · · i · i mi α 1 100 12 11 1 12 1 1 2 24 12 (55) Aufgabe 25: Ein aufgenommener Kredit von 50 000,– € ist anschließend im Laufe von 4 Jahren in 48 nachschüssigen Monatsraten zu je 1 257,50 € zurückzuzahlen. In die monatliche Rückzahlungsrate ist eine einmalige Bearbeitungsgebühr von 2 %α = des Kreditbetrags einkalkuliert. Wie groß sind effektiver Zinssatz und monatlicher Laufzeitzinssatz? Lösung: Einschließlich Bearbeitungsgebühr müssen 50 000 + 1000 = 51 000 zurückgezahlt werden, monatliche Laufzeitzinsen von p(mon) % werden jedoch nur aus dem geliehenen Kapital von 50 000,– € berechnet. Gemäß Formel (51) erhält man aus , i(mon) ,    + = 1 02 50000 1257 50 48 i(mon) = 0,39 % Laufzeitzinssatz. Gemäß Formel (55) erhält man eff q , · (q ) i = + − 4 4 0 02515 12 11 1 2 . Durch Interpolation erhält man hieraus i = 10,03 % (exakt: 10,029688 %). Aufgabe 26: Herr S. möchte einen Kredit in Höhe von 17 000,– € aufnehmen. Eine Bank bietet ihm einen Ratenkredit mit folgenden Konditionen an: 30 Monate Laufzeit und monatlich nachschüssige Raten von 673,20 € (p. M.- Satz 0,62667%). Die Bank muss seit dem Jahr 2000 in ihrem Angebot den Effektivzinssatz nach internationalem Standard (ICMA-Methode) nennen (vgl. § 6 PAngV). Hierzu sind folgende Berechnungen nötig: Es gilt 3R r · a (x %)= 00 , wobei R0 den Ratenkreditbetrag, r die Monatsrate und a30 den auf einen Monat bezogenen Rentenbarwertfaktor bedeuten. Eingesetzt ergibt sich − = − q , · qq   · 30 30 11 17 000 673 20 1 . Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 112 5. Tilgungsrechnung112 Durch Interpolation erhalten wir =q ,3 1 011495239. Für den Jahreszinsfaktor q3 gilt die Beziehung 3q q= 12 3 also q3 = 1,14700712. Effektiver Zinssatz: 14,700712%. Bis einschließlich 1999 ermittelte die Bank den über Gleichung (54) beschriebenen, in § 4 Abs. 1 und 2 PAngV (Preisangabenverordnung) gesetzlich definierten Effektivzinssatz mit 14,81 %: Setzt man in die Formel (49) die gegebenen Werte =A ,673 20, =oK 17 000, N 2= und m 6= ein, so erhält man: · (q ) · (q ) · , · q q · (q ) − + + + − = − + 2 26 1212 11 51 1 1 25 252525 1 2 24 6 1 Die Lösung (14,81 %) erhält man durch Interpolation. Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 113 6. Kurs und Effektivverzinsung 6.1 Zusammenhang zwischen Kurs und Effektivverzinsung Grundsätzlich muss bei Anleihen – zwischen dem Nominalbetrag (= Nennwert = Rückzahlungsbetrag bei Fälligkeit) und dem Kurswert (Marktwert) unterschieden werden. Dies gilt, wie noch zu zeigen ist, in analoger Weise auch bei Kreditverträgen. Man beachte, dass sich die Nominalzinszahlungen und Tilgungsquoten immer auf den Nominalwert beziehen. Zur Verdeutlichung sei eine Kuponanleihe betrachtet. Angenommen, ein Anleger besitzt eine Kuponanleihe über nominal 100 000 €, das bei einer am Kapitalmarkt erzielbaren Rendite von 6 % mit einem Coupon von nominal 6 % ausgestattet ist. Es handelt sich dabei also um ein festverzinsliches Wertpapier, bei dem jährlich die in den Anleihebedingungen definierten konstanten Nominalzinsen gezahlt werden. Die Frage nach dem Marktwert/ Kurswert ist leicht zu beantworten. Da die Rendite des Wertpapiers mit der Kapitalmarktverzinsung für die identische Laufzeit übereinstimmt, wird der aktuelle Kurs 100 % betragen (etwaige Abweichungen z. B. infolge von Bonitätseinschätzungen des Emittenten durch den Markt können hier unbeachtet bleiben). Nun werden die Beispielsdaten wie folgt modifiziert. Der Anleger erwirbt eine Kuponanleihe mit einer Restlaufzeit von 4 Jahren: Nominalbetrag 100 000; Nominalzinssatz 6 %; Erwerbskurs 100 %. Unmittelbar nach Ablauf des zweiten Jahres möchte der Kunde das Wertpapier verkaufen. Zu diesem Zeitpunkt soll • die GKM-Rendite 6 % betragen (Szenario 1) • die GKM-Rendite 8 % betragen (Szenario 2) • die GKM-Rendite 4 % betragen (Szenario 3). Vereinfachend sollen die genannten Renditen für alle Laufzeiten gelten („flache Zinsstrukturkurve“; diese Vereinfachung wird in Teil 2 aufgehoben). Der Verkaufspreis wird in einem marktwirtschaftlichen System durch Angebot und Nachfrage resultieren (Marktpreis). Der rechnerische Marktwert ist gleichzusetzen mit dem Gegenwartswert der noch ausstehenden Zahlungen aus dem Wertpapier. Hierzu sind diese abzuzinsen. Jeder Kunde, der festverzinsliche Papiere vorzeitig einlösen möchte, muss somit akzeptieren, dass der Einlösebetrag dem aktuellen Kurswert entspricht und nur ausnahmsweise mit dem Nominalwert übereinstimmt. Der Kurswert aber hängt ab von der auf die Restlaufzeit bezogenen Kapitalmarktverzinsung und der Kupon-Ausstattung, die der Erwerber übernimmt.

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References

Zusammenfassung

Bester Durchblick in der Finanzmathematik.

Finanzmathematik kompakt

Dieses Lehrbuch führt in die zentralen Themen der klassischen wie der modernen Finanzmathematik ein. Diese Kenntnisse gehören zum unerlässlichen Grundbestand betriebswirtschaftlichen Wissens. Über 150 Rechenbeispiele mit Lösungen helfen dem Leser, den Stoff nachzuvollziehen und das Erlernte zu überprüfen.

Die Schwerpunkte

– Zins- und Zinseszinsrechnung

– Rentenrechnung

– Tilgungs- und Kursrechnung

– Effektivverzinsung

– Klassische Investitionsrechnung

– Marktzinsorientierte Kapitalwertmethode

– Portfoliomanagement und CAPM

Der Autor

Prof. Dr. Konrad Wimmer, Kempten/Neu-Ulm.

Konkrete Hilfe

für Studierende der Wirtschaftswissenschaften an Universitäten, Fachhochschulen und Akademien, Bankkaufleute und Finanzdienstleister.