4. Rentenrechnung in:

Konrad Wimmer, Eugen Caprano

Finanzmathematik, page 51 - 88

Grundlagen und Anwendungsmöglichkeiten in der Investitions- und Bankwirtschaft

7. Edition 2013, ISBN print: 978-3-8006-4560-2, ISBN online: 978-3-8006-4561-9, https://doi.org/10.15358/9783800645619_51

Series: Vahlens Kurzlehrbücher

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Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 40 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 41 4. Rentenrechnung 4.1 Rentenbegriff Werden in gleichen Zeitabständen wiederkehrende Zahlungen geleistet, so spricht man von einer Rente. Eine betragsmäßig konstante Rente bezeichnet man als Annuität. Im allgemeinen Sprachgebrauch kann das Wort Rente sowohl den Einzelbetrag einer Zahlung als auch den Gesamtwert wiederkehrender Zahlungen bedeuten. Den Gesamtwert regelmäßiger Zahlungen auf einen vorgegebenen Zeitpunkt hin zu diskontieren, dies ist eine fundamentale und charakteristische Aufgabenstellung der Rentenrechnung. Grundsätzlich kann man mit den Methoden der Zinsrechnung an die Lösung dieses Problems herangehen. Hierbei hätte man jedoch jede einzelne Zahlung für sich zu betrachten, eine Zusammenfassung mehrerer Diskontierungen zu einem einzigen Rechenvorgang ist mit den Mitteln der Zinsrechnung nicht möglich. Verfahrensweisen für eine zusammengefaßte Betrachtung werden der Rentenrechnung zugeordnet. Jede Rentenzahlung ist auf den dazugehörigen Zeitabschnitt zu beziehen. Werden die einzelnen Zahlungen jeweils zu Beginn des dazugehörigen Zeitabschnittes geleistet, so spricht man von einer vorschüssigen (Pränumerando) Rente, erfolgen die Zahlungen am Ende des jeweiligen Zeitabschnittes, so spricht man von einer nachschüssigen (Postnumerando) Rente. Als Zeitabschnitt wird bei Renten vielfach auf das Kalenderjahr Bezug genommen, wie dies ja auch bei der Zinsrechnung die Regel ist. Die Behandlung der Jahresrente mit übereinstimmender Zinsperiode steht damit im Mittelpunkt einer systematischen Betrachtung. Dies gilt umso mehr, als die außerordentliche Vielfalt anderweitiger Problemstellungen stets auf Jahresrenten zurückgeführt bzw. umgerechnet werden kann. Nachstehend ist der Verlauf von n gleichen Ratenzahlungen r bzw. r’ graphisch an Zeitgeraden veranschaulicht. Zur deutlichen Unterscheidung werden in diesem Kapitel alle bei einer vorschüssigen Rente auftretenden Größen mit einem Strich (’) versehen; im Fall einer nachschüssigen Rente wird der Strich weggelassen. Bei einer nachschüssigen Rente bedeuten: Ro: Rentenbarwert, Rn: Rentenendwert, r: regelmäßig gezahlte Rate (Rente), an: Rentenbarwertfaktor, sn: Rentenendwertfaktor, wn: Annuitätenfaktor (auch als Wiedergewinnungsfaktor bezeichnet). Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 42 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 43 4. Rentenrechnung42 Im Falle einer vorschüssigen Rente werden die einzelnen Größen der Reihe nach mit oR′, nR′, r′, na′ , ns′ , nw′ bezeichnet. Für Zinsfuß, Zinssatz, Zinsfaktor und Laufzeit wird man die aus der Zinsrechnung bekannten Bezeichnungen p, i, q und n beibehalten, da diese Größen ohne unmittelbaren Zusammenhang mit vorschüssiger oder nachschüssiger Zahlungsweise stehen. Darüber hinaus werden wir für das nach k Jahren vorhandene Kapital die Bezeichnungsweise Kk verwenden. Um Irreführungen möglichst zu vermeiden, wird wiederum im Bedarfsfall den einzelnen Größen in Klammer eine Legende beigefügt; so soll etwa a17 (4 %) den nachschüssigen Rentenbarwertfaktor bei 4 % kennzeichnen. Renten können betragsmäßig konstant oder veränderlich sein. Veränderliche Renten können sich nach bestimmten Regeln oder aber regellos verändern. Im Hinblick auf die Zeitdauer unterscheidet man endliche und unendliche Renten. 4.2 Nachschüssige Jahresrente Für die in der Praxis auftretenden Rentenberechnungen hat man es meist nicht mit Jahresrenten, sondern mit Monatsrenten oder regelmäßig wiederkehrenden Zahlungen anderer Zeitabstände zu tun. Die grundlegende Bedeutung der Jahresrentenberechnung wird dadurch kaum geschmälert, kann doch die Behandlung von praktischen Problemen, etwa bei unterjährlichen Zins- und Rententerminen, stets darauf zurückgeführt werden. Den Endwert Rn von n Raten r, die jeweils an den Jahresenden 1, 2, …, n zur Zahlung fällig werden, erhält man, indem man alle n Raten r auf das Jahresende des letzten Jahres, also auf den Termin „n“ hin diskontiert. Jeder einzelne Betrag r muss für sich auf den Termin „n“ aufgezinst werden. Der Gesamtwert am Ende des n-ten Jahres, d. h. der Rentenendwert Rn, ergibt sich aus der Summe aller auf den Termin „n“ aufgezinsten Einzelrenten: 2 n–2 n–1 nR r r · q r · q ..... r · q r · q= + + + + 2 n–2 n–1r · (1 q q ..... q q )= + + + + Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 42 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 43 4.3 Vorschüssige Jahresrente 43 Der Klammerausdruck ist eine geometrische Reihe mit dem Anfangsglied 1 und dem Quotienten q. Aufgrund der Summenformel (6) für die geometrische Reihe erhält man den Rentenendwert − = = − n n n q R r · r · s q 1 1 , (23) wobei nn n q ( i) s q i −− + = = − 11 1 1 als nachschüssiger Rentenendwertfaktor bezeichnet wird. Außer von der Zahl der Jahre n hängt dieser nur vom Zinsfaktor q bzw. Zinsfuß p ab. Die Rentenendwertfaktoren können den im Anhang abgedruckten üblichen Tabellen zur Finanzmathematik entnommen werden. Andererseits bereitet es mit dem Taschenrechner nur wenig Mühe, den Rentenendwertfaktor aufgrund seiner Definition unmittelbar zu berechnen. Wird der Rentenendwert Rn auf den Beginn des ersten Jahres, also auf den Termin „0“ hin diskontiert, so erhält man den Barwert R0 der Rente. Es ist also nnR · Rq =0 1 und, falls für Rn gemäß Gleichung (23) eingesetzt wird, − = = − n nn q R r · · r · a q q0 11 1 , (24) wobei n n n n n q ( i) a · q q ( i) i − + − = = − + ⋅ 11 1 1 1 1 als nachschüssiger Rentenbarwertfaktor oder Kapitalisierungsfaktor bezeichnet wird. Die nachschüssige konstante Rente (Annuität) erhält man für einen gegebenen Anfangsbetrag K0 bzw. R0 mit n n nn n q (q ) ( i) i r R · R · w R q ( i) − + ⋅ = = = ⋅ − + −0 0 0 1 1 1 1 1 mit wn als Annuitätenfaktor (Wiedergewinnungsfaktor) für die Laufzeit n und den Zinssatz i bzw. den Zinsfaktor q. Es ist unmittelbar ersichtlich, dass der Annuitätenfaktor dem Kehrwert des Rentenbarwertfaktors entspricht, d.h. wn=1/an. 4.3 Vorschüssige Jahresrente Gegenüber der nachschüssigen Zahlungsweise ist die vorschüssige Jahresrente dadurch gekennzeichnet, dass die Zahlungen der einzelnen Raten r′ jeweils zu Beginn des dazugehörigen Jahres erfolgen. Wie bei der nachschüssigen Zahlungsweise, wird man beim Rentenendwert nR′ alle n Raten r′ auf den Termin „n“ hin diskontieren, was wiederum bedeutet, dass jeder einzelne Betrag r′ für sich auf den Termin „n“ aufzuzinsen ist. Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 44 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 45 4. Rentenrechnung44 Der erste Betrag erscheint zum Termin „0“, der letzte zum Termin (n – 1); also keine Zahlung zum Termin „n“. Man hat jetzt: 2 n–1 n nR r · q r · q ...... r · q r · q′ ′ ′ ′ ′= + + + + 2 n–1 nr · (q q ...... q q )′= + + + + Nach der Summenformel (6) für geometrische Reihe erhält man den Rentenendwert −′ ′ ′ ′= = − n n n q R r · q · r · s q 1 1 (25) wobei n n n n q ( i) s q · q · s ( i) q i − + −′ = = = + ⋅ − 1 1 1 1 1 als vorschüssiger Rentenendwertfaktor bezeichnet wird. Vergleicht man den nachschüssigen Rentenendwertfaktor sn mit dem vorschüssigen Rentenbarwertfaktor ns −′ 1 in ihren ausführlichen Schreibweisen, so kann aus 2 n–1 ns 1 q q ... q= + + + + und aus 2 n ns   q q ... q − −′ = + + + 1 1 unmittelbar entnommen werden, dass die Beziehung (26) gilt: n ns s −′= +1 1 (26) Analog zur nachschüssigen Rente erhält man für den vorschüssigen Rentenbarwert −′ ′ ′ ′= = − n nn q R r · · q · r · a q q0 11 1 (27) wobei n n nn q a · q · a ( i) q q −′ = = ⋅ + − 11 1 1 als vorschüssiger Rentenbarwertfaktor oder Kapitalisierungsfaktor bezeichnet wird. Für einen gegebenen Anfangsbetrag R′0 erhält man die vorschüssige Annuität r′ mit Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 44 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 45 4.3 Vorschüssige Jahresrente 45 n nn q (q ) r R · R · w q − −′ ′ ′ ′= = − 1 0 0 1 1 Dieser kann wiederum aus dem Tabellenwerk im Anhang entnommen oder unmittelbar berechnet werden. Weil für na′ und n–1a die Gleichungen n n n q a · q · q q −′ = − 11 1 und n n n q a · q q − − − − = − 1 1 1 11 1 gelten, kann daraus die Richtigkeit von n n–1a a 1′ = + (28) leicht abgeleitet werden. Man hat n n n n q q · · q q q q − − − − − = + − − 1 1 1 1 11 1 1 1 1 . Multipliziert man beide Seiten der Gleichung mit n–1q · (q – 1), so ergibt sich: n n–1 n n–1q – 1 q – 1 q – q= + und damit die Richtigkeit von (28). Anmerkung: Jede vorschüssige Rente kann in eine nachschüssige Rente dadurch umgewandelt werden, dass man die zu Beginn eines Jahres gezahlte Rate r′ auf das Ende des gleichen Jahres aufzinst. Aus jedem r′ wird dann ein r · q, das dann in die Formel für die nachschüssige Rente eingesetzt werden kann. Selbstverständlich ist umgekehrt auch die Umrechnung einer nachschüssigen Rente in eine vorschüssige möglich. Unabhängig von vorschüssiger oder nachschüssiger Zahlungsweise kommen bei Renten als gesuchte Größen vier Möglichkeiten in Frage: • Gesamtwert der Rente in Form des Barwertes R0 oder ′0R bzw. in Form des Endwertes Rn oder ′nR , • Rentenrate r bzw. r’, • Zinsfaktor q bzw. Zinssatz i und schließlich • Laufzeit n. Beispiel 1 verdeutlicht die Zusammenhänge: Annuität 1 000 €, Nominalzinssatz 6 % p.a., 2 Jahre Laufzeit Man bestimme R0, R′0 sowie R2 und R′2 ( , ) R , · , · , − = = 2 0 2 1 06 1 1 833 39 1 000 0 06 1 06 ( , ) R , · , · , −′ = = 2 0 1 06 1 1 943 40 1 000 0 06 1 06 Weiter gilt: R · 1, 6 R′=0 00 , R · , − = = 2 2 1 06 1 2 060 1 000 0 06 , R , · , −′ = = 2 2 1 06 1 2 183 60 1 000 0 06 Weiter gilt: 2R · 1, 6 R′= 20 . Im nachfolgenden Beispiel 2 sollen die vier verschiedenen Grundaufgaben für Jahresrenten näher verdeutlicht werden. Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 46 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 47 4. Rentenrechnung46 Renten heißen aufgeschoben, wenn die erste Rentenzahlung durch eine Wartezeit, auch Karenzzeit genannt, auf einen späteren Zeitpunkt verlegt wird. Von einer unterbrochenen Rente spricht man, wenn zwischen den Rentenzahlungen Wartezeiten eingelegt werden. In der Literatur werden unterbrochene Renten manchmal auch als intermittierende Renten bezeichnet. Die Behandlung diesbezüglicher Aufgaben erfordert keine zusätzlichen finanzmathematischen Methoden, eine entsprechende Kombination der Diskontierungsverfahren aus Zinsrechnung und Rentenrechnung reicht völlig aus. Beispiel 2: Bei einer Rentenanstalt besteht Anspruch auf eine vorschüssige Jahresrente von 30 000,– €. (a) Welchen Barwert hat die gesamte Rente zum Termin der ersten Rentenzahlung, falls mit 9,5 % Zinseszinsen kalkuliert wird und die Rente 20mal zu zahlen ist? (b) Welchen Endwert hat die Rente unter den Bedingungen bei a) zum Termin der letzten Rentenzahlung? (c) Wie groß müsste anstelle von 30 000,– € der jährliche Rentenanspruch sein, wenn bei einer Verzinsung von 7 % und bei einer Laufzeit von 20 Jahren der gesamte Rentenanspruch zum Zeitpunkt der ersten Rentenauszahlung mit 150 000,– € beglichen werden könnte? (d) Zu welchem Zinsfuß verzinst die Rentenanstalt, wenn der Anspruch auf 20malige Auszahlung der Jahresrente von 30 000,– € lautet und dieser Anspruch mit 300  000,– €, ein Jahr vor der ersten Rentenauszahlung, abgegolten werden kann? (e) Wie viele Jahre dauert der Rentenanspruch für die Auszahlung von jährlich 30 000,– €, wenn der Barwert der gesamten Rente zum Zeitpunkt der ersten Rentenzahlung 300 000,– € beträgt und die Rentenanstalt mit einer Verzinsung von 8 % kalkuliert? Zu (a) o nR r · a 3 · a (9,5 %)′ ′ ′ ′= = 200 000 = 30 000 · 9,64956 = 289 486,80 Zu (b) Falls die erste Auszahlung zum Termin „1“ und die zwanzigste Auszahlung zum Termin „20“ erfolgt, handelt es sich, vom Termin „1“ aus gesehen, um eine vorschüssige Jahresrente. Für deren Endwert zum Termin „21“ gilt: R r · s   · s ( , %)20 20 2030000 9 5′ ′ ′= = = 30 000 · 59,2628 = 1 777 914,60. Da die letzte Rentenzahlung jedoch bereits zum Termin „20“ erfolgt, muss der für 2R′0 errechnete Wert noch um ein Jahr abgezinst werden. 1 177 914,60 · v(9,5 %) = 1 777 914,60 · 0,913242 = 1 623 666,30. Vom Termin „0“ aus gesehen, hat man es offenbar mit einer nachschüssigen Rente zu tun. Es ist leicht zu erkennen, dass man mit dem Ansatz R20 · 289 486,80 · q19 (9,5 %) dasselbe Ergebnis erzielen wird. Zu (c) R r · a (7 %)′ ′ ′=0 20 r R a 0 20: 150 000 : 11,33560 13 232,65′ ′ ′= = = . Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 46 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 47 4.3 Vorschüssige Jahresrente 47 Zu (d) Die Aufgabenstellung führt zu dem Gleichungsansatz n q R r · a · · q q − = = = − 20 0 20 11 30 000 30 000 1 . a20 = 10; in der Tabelle für n 2= 0 findet man für i = 7,5 % den Wert 10,19449 und für i = 8 % den Wert 9,81815. Interpoliert man auf dieser Basis, so gilt: = = ( , – , ) , ( , % – % ) , % 10 19449 9 81815 0 37634 7 5 8 0 5 und damit , , %0 19449 0 2584 ⇒ + =i · , % , % , %7 5 0 2584 7 7584 als Näherungslösung exakt erhält man 7,75469 %. Zu (e) nR r · a′ ′ ′=0 n       a 300000 300 10 00 ′ = = . Da im Anhang für ′ =a ( %) ,17 8 9 85137 und für ′ =a ( %) ,18 8 10 12164 abzulesen ist, wird die volle Jahresrente 17mal ausgezahlt werden können. Für den verbleibenden Restbetrag wird oftmals eine Sondervereinbarung getroffen. Für den Fall, dass der verbleibende Restbetrag ein Jahr nach der letzten Rentenzahlung fällig werden soll, ergibt sich folgendes: ′ ′= = =   R · a ( %) · , , 0 1730000 8 30000 9 85137 295541 10. Damit besteht zum Termin „1“ ein Restguthaben von 300 000 – 295 541,10 = 4 458,90. Zum Termin „18“ erhält man also 4 458,90 · q17 = 4 458,90 · 3,70002 = 16 498,02. Bestimmung des Gesamtwertes einer Rente Aufgabe 1: Welches Kapital muss man zu Beginn eines Jahres auf Zinseszinsen zu 6 % anlegen, damit man 20 Jahre lang, jeweils zum Jahresende, eine Rente von 10 000,– € beziehen kann? R0 = 10 000 · a20 (6 %) = 10 000 · 11,46992 = 114 699,20. Aufgabe 2: (Ergänzung zu Aufgabe 1) Wie groß ist das Restguthaben nach der 10. Abhebung? Wert der gesamten Rente zum Termin „10“: R0 · q10 = 205 409,06. Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 48 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 49 4. Rentenrechnung48 Wert der ersten 10 Rentenraten zum Termin „10“: r · s10 = 10 000 · 13,18079 = 131 807,90. Restguthaben: 205 409,06 – 131 807,90 = 7 601,16. Es ist ersichtlich, dass 10 000 · a10 (6 %) ebenso zum Restguthaben führt. Aufgabe 3: Eine Person legt 20 000,– € zu 7 % Zinseszinsen an und spart jährlich nachschüssig 4 000,– € dazu. Über welchen Endbetrag kann sie nach Ablauf von 7 Jahren verfügen? K7 = 20 000 · q7 + 4 000 · s7 = 20 000 · 1,60578 + 4 000 · 8,65402 = 66 731,88. Aufgabe 4: (Abänderung von Aufgabe 3) Auf welchen Endwert wachsen die Einzahlungen an, wenn in den ersten vier Jahren der Zinssatz nur 5 % beträgt? K7 = [20 000 · q4 (5 %)+ 4 000 · s4 (5 %)] · q3 (7 %) + 4 000 · s3 (7 %) = 63 760,89. Aufgabe 5: Aufgrund eines Vertrages hat eine Person Anspruch auf eine nachschüssige Rente, die in den ersten 6 Jahren je 20 000,– € und in den darauffolgenden 9 Jahren je 30 000,– € betragen soll. Dieser Rentenanspruch wird durch eine einmalige Zahlung zu Beginn des ersten Jahres abgefunden. Wie hoch ist diese Abfindung, wenn mit Zinseszinsen von 7,5 % gerechnet wird? R0 = 20 000 · a6 + 30 000 · a9 · v6 = 20 000 · 4,69385 + 30 000 · 6,37889 · 0,647961 = 217 875,15. Aufgabe 6: Ein Sparer schließt einen Vertrag, mit dem er sich verpflichtet, zum Anfang des ersten Vertragsjahres 6 000,– € und vom Ende dieses Jahres an, in Jahresabständen, fünfmal je 3 000,– € zu zahlen. Es werden 6,5 % Zinseszinsen gewährt. (a) Welches Guthaben hat der Sparer zum Zeitpunkt der letzten Einzahlung? (b) Auf welchen Betrag wächst das Guthaben bis zum Ende des 10. Jahres nach Vertragsabschluß an? Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 48 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 49 4.3 Vorschüssige Jahresrente 49 Lösung: Zu (a) K5 = 6 000 · q5 + 3 000 · s5 = 6 000 · 1,37009 + 3 000 · 5,69364 = 25 301,46. Zu (b) K10 = K5 · q5 = 25 301,46 · 1,37009 = 34 665,28. Bestimmung der Rentenrate Die Rentenrate r bzw. r′ wird manchmal auch als Rentenhöhe bezeichnet. Aufgabe 7: Ein Lottogewinn von 100 000,– € wird auf Zinseszinsen zu 6 % angelegt. Der Gewinner möchte davon 20 Jahre lang die gleiche Rentenrate abheben, sodass nach der letzten Abhebung das Kapital aufgebraucht ist. Wie hoch ist die jährliche Rentenrate, wenn die Abhebung der ersten ein Jahr nach Einzahlung des Lottogewinns erfolgt? r = 100 000 : a20 = 100 000 : 11,46992 = 8 718,46. Aufgabe 8: Eine auf 20 Jahre festgelegte jährliche Rente von 6 000,– € wurde ein Jahr vor Auszahlung der ersten Rentenrate mit 70 000,– € abgelöst. Welcher Zinsfuß liegt hier zugrunde? Aus 70 000 = 6 000 · a20 erhält man a20 = 11,66667. Aus der Tabelle für Barwertfaktoren ist zu entnehmen: a20 (6 %) = 11,46992 und a20 (5 %) = 12,46221. Ergebnis bei einmaliger linearer Interpolation: 5,80 %. Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 50 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 51 4. Rentenrechnung50 Berechnung der Laufzeit Aufgabe 9: Wie lange kann aus einem Barkapital von 100 000,– € eine vorschüssige Jahresrente von 10 000,– € bezogen werden, wenn 4,5 % Zinseszinsen berechnet werden? Welches Restguthaben besteht nach der letzten Rentenzahlung? Wegen ′ =n· a ( , %)   10000 4 5 100000 und damit na (4,5 %) 1′ = 0 findet man aus der  Tabelle für vorschüssige Barwertfaktoren: < mr) Der anteilige Nominalzinssatz, der auf die kürzere Zinsperiode anzuwenden ist, ist zunächst in einen anteiligen Effektivzinssatz umzurechnen, der sich auf die Rentenperiode bezieht. Gibt m die Zahl der unterjährlichen Zinskapitalisierungszeitpunkte und mr die Zahl der unterjährlichen Rentenzahlungen an, dann gilt für den auf m/mr bezogenen anteiligen Effektivzinssatz effai : m mr effa ii m = + − 1 1 Beispiel 9: Die Bank zahlt für eine Halbjahresrente vierteljährlich Zinsen von 12 % p.a. bei vierteljährlicher Kapitalisierung. Die Rente beläuft sich nachschüssig auf 100 €. Geben Sie das Guthaben nach 4 Jahren (bzw. 8 Halbjahren) an. Es sind mr = 2 und m = 4. Man erhält den relevanten (zeitanteiligen) Effektivzinssatz effai mit , , + − = 20 12 1 1 0 0609 4 und R8 = 100 · s8 = 100 · 9,9295 = 992,95 Hinweis: ( ) ( ) mr*neffa * effa i , s i , + − − = = 2 4 8 1 1 1 0609 1 0 0609 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 60 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 61 4.4 Unterjährliche Renten 61 Ansparplan: Nominalzinssatz 12,000 % p.a. Quartal Zinsen Rate Guthaben 0 – € – € 1 – € – € 2 – € 100,00 € 100,00 € 3 3,00 € 103,00 € 4 3,09 € 100,00 € 206,09 € 5 6,18 € 212,27 € 6 6,37 € 100,00 € 318,64 € 7 9,56 € 328,20 € 8 9,85 € 100,00 € 438,05 € 9 13,14 € 451,19 € 10 13,54 € 100,00 € 564,72 € 11 16,94 € 581,66 € 12 17,45 € 100,00 € 699,11 € 13 20,97 € 720,09 € 14 21,60 € 100,00 € 841,69 € 15 25,25 € 866,94 € 16 26,01 € 100,00 € 992,95 € Beispiel 10: Wie fiele das Guthaben im Beispiel 8 aus, wenn die Bank für eine Halbjahresrente monatlich Zinsen von 12 % p.a. zahlt, die auch monatlich kapitalisiert werden? Geben Sie das Guthaben nach 4 Jahren (bzw. 8 Halbjahren) an. Es sind mr = 2 und m = 12. Man erhält jetzt den relevanten (zeitanteiligen) Effektivzinssatz mit effa ,i ´ , = + − = 12 20 12 1 1 0 06152015 12 und damit ( ), s , , ⋅ − = = 2 4 8 1 06152015 1 9 951635 0 06152015 und damit ein Guthaben von 995,16. Fall 2: Die Rentenperiode ist kürzer als die Zinsperiode (m < mr) Diesmal kann die Lösung wiederum mithilfe der Ersatzrate gefunden werden. Zu beachten ist, dass nunmehr die Ersatzrate auf den zeitanteiligen Nominalzinssatz i/m zu beziehen ist. Somit gelten hier das Rechnen mit der nachschüssigen Ersatzrate rmr/m, die analog der Formel (29) auf den Zinskapitalisierungszeitabschnitt (mr/m) zu beziehen ist: ( ) mr / m mr mr mr imr r' m m − = ⋅ + ⋅ 1 2 mit mr als der Zahl der unterjährlichen Rentenzahlungen. (30) Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 62 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 63 4. Rentenrechnung62 Bei vorschüssiger Zahlungsweise gilt: ( ) mr mr mr imr' m m + ⋅ + ⋅ 1 2 mit mr als der Zahl der unterjährlichen Rentenzahlungen. (31) Die Bar-, Endwert- und Annuitätenfaktoren sind definiert durch die Zinskapitalisierungszeitpunkte m und die Zahle der ganzen Perioden n. Z. B. gilt für den Endwertfaktor s m*n m*n i ms i m + − = 1 1 Beispiel 11: Die Bank zahlt für eine Vierteljahresrente über 100 € halbjährlich Zinsen von 12 % p.a.; die Zinskapitalisierung erfolgt ebenfalls halbjährlich. Geben Sie das Guthaben nach 2 Jahren an und erstellen Sie den Ansparplan. Lösung: Es sind mr = 4 und m = 2. , r · = + = 0 06 100 2 1 203 2 ; R · s · , ,= = =4 4203 203 4 3746 888 05 mit m · n · i ( , )ms i , m + − = = 2 2 4 1 1 06 1 0 06 Ansparplan: Nominalzinssatz 12 % p.a. Quartal Zinsen Rate Guthaben 1 – € 100,00 € 100,00 € 2 3,00 € 100,00 € 200,00 € Zinskapitalisierung 3,00 € 203,00 € 3 6,09 € 100,00 € 303,00 € 4 9,09 € 100,00 € 403,00 € Zinskapitalisierung 15,18 € 418,18 € 5 12,55 € 100,00 € 518,18 € 6 15,55 € 100,00 € 618,18 € Zinskapitalisierung 28,09 € 646,27 € 7 19,39 € 100,00 € 746,27 € 8 22,39 € 100,00 € 846,27 € Zinskapitalisierung 41,78 € 888,05 € Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 62 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 63 4.4 Unterjährliche Renten 63 Modifikation des Beispiels 10: Die Bank zahlt für eine Monatsrente über 100 € und halbjährlich Zinsen von 12 % p.a.; die Zinskapitalisierung erfolgt ebenfalls halbjährlich. Geben Sie das Guthaben nach 4 Jahren an. ( ) Monate monatlich % Ersatzrate ( , %) − = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = 6 12 112 122100 100 6 2 5 6 615 2 2 2 *% s ,%⋅ + − = = 2 4 2 4 12 1 1 2 9 8974679112 2 ; damit beläuft sich das Enguthaben auf 615 · 9,897467909 = 6 086,94. Zusammenfassend werden die Fallkonstellationen der unterjährlichen Rentenrechnung in Form einer Tabelle betrachtet: unterjährliche Zahlungen (mr) und unterjährliche Zinskapitalisierung (m) Jährliche Zahlungen unterjährliche Zinskapitalisierung Unterjährliche Zahlungen jährliche Zinskapitalisierung Rentenperiode = Zinsperiode mr = m Rentenperiode > Zinsperiode mr < m Rentenperiode < Zinsperiode mr > m • Formeln laut jährlicher Rentenrechnung • i ersetzen durch: = + − . . 1 1 m eff p a i i m • Ersatzrate bilden • Formeln laut jährlicher Rentenrechnung • Formeln laut jährlicher Rentenrechnung ersetzen: i/m statt i und m · n statt n • Formeln laut jährlicher Rentenrechnung ersetzen: ieffa statt i und mr · n statt n • Ersatzrate bilden bezogen auf Zeitabschnitt mr/m und i/m • Formeln laut jährlicher Rentenrechnung ersetzen: i/m statt i und m · n statt n • Effektivzinssatz p.a.; definiert durch m • Effektivzinssatz p.a.; definiert durch m . . 1 1 m eff p a i i m = + − • Periodenzahl für Rentenfaktoren m · n • Effektivzinssatz auf m/mr bezogen 1 1 m mr effa ii m = + − • Periodenzahl für Rentenfaktoren mr · n • Periodenzahl für Rentenfaktoren m · n m … Zinskapitalisierungszeitpunkte mr … Zahl der unterjährlichen Rentenzahlungen Übersicht: Unterjährliche Rentenrechnung Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 64 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 65 4. Rentenrechnung64 Aufgabe 18: Ein Unternehmer hinterlässt am Jahresende einen Betrieb, der einen Wert von 700 000,– € repräsentiert. In seinem Testament verfügt er, dass sein zweiter Sohn, dem erbrechtlich ein Sechstel der Erbmasse zusteht, den Betrieb übernehmen soll, sofern er die folgenden Verpflichtungen erfüllt: (a) Die Witwe erhält ab sofort eine Jahresrente von 48 000,– €, die zehn Jahre lang vorschüssig zu zahlen ist. (b) Der erste Sohn erhält sechs Jahre lang halbjährlich eine vorschüssige Rente von 8 000,– €; die erste Auszahlung erfolgt drei Jahre nach der Hinterlassenschaft. (c) Die Tochter erhält ab sofort halbjährlich 10 000,– € fünf Jahre lang nachschüssig und dann, zwei Jahre nach der letzten Auszahlung, zusätzlich und einmalig 50 000,– € für Aussteuerzwecke. (d) An einen früheren Mitarbeiter sind noch 80 Vierteljahresquoten von je 2 400,– € nachschüssig zu zahlen. Der zweite Sohn überprüft nun, ob er das Testament annehmen soll. Unterjährlich ist mit einfachen Zinsen zu rechnen. Als Zinsfuß gelte p = 8 p.a. Welcher Teil aus der Erbmasse verbleibt dem zweiten Sohn? Die 12 halbjährlichen vorschüssigen Zahlungen an den ersten Sohn können zu sechs nachschüssigen Jahresraten r umgerechnet werden. = + + + = i r ( i) , –     8000 1 8000 1 16960 2 Die 10 halbjährlich nachschüssigen Zahlungen an die Tochter können zu fünf nachschüssigen Jahresraten r umgerechnet werden. = + + = i   , – r  10000 10000 1 20 400 2 Die 80 Vierteljahresraten des Mitarbeiters können schließlich durch 20 nachschüssige Jahresraten r ersetzt werden. Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 64 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 65 4.5 Progressive Rente 65         i i i r = + + + + + + 1 2 3 2400 2400 1 2400 1 2400 1 4 4 4 i ·    , = + = − 3 9600 2400 9888 2 Der dem zweiten Sohn verbleibende Barwert B berechnet sich: ′= + + + +     B – ( · a · a · a · a · v · v )     2 710 5 20 6700000 48000 20 400 9888 16960 50000 = 77 222,78. Da der verbleibende Betrag kleiner ist als ein Sechstel der Erbmasse, wird der zweite Sohn das Testament nicht annehmen. 4.5 Progressive Rente Soll die Jahresrentenrate r jährlich um einen vorgegebenen Prozentsatz steigen, so hat man es mit einer geometrisch fortschreitenden Rente zu tun. Soll die Rente von Jahr zu Jahr um einen vorgegebenen Betrag erhöht werden, so spricht man von einer arithmetisch fortschreitenden Rente. Erfolgt die jährliche Rentenänderung weder arithmetisch noch geometrisch, sondern nach anderen Normen, so muss man in aller Regel die Rentenraten einzeln auf- bzw. abzinsen. Nachfolgend soll anhand zweier Beispiele sowohl die geometrisch als auch die arithmetisch fortschreitende Rente behandelt werden. Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 66 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 67 4. Rentenrechnung66 4.5.1 Geometrisch fortschreitende Renten Beispiel 12: Welchen Barwert besitzt eine nachschüssige Jahresrente von zehn Jahren Dauer, wenn die erste Rentenrate 4000,– € beträgt, die jeweils folgende Rentenrate der vorhergehenden um 4 % erhöht wird und, die Bank 6 % Zinseszinsen berechnet? Wird eine Rente jährlich um den Prozentsatz i gesteigert, so stellt sich das allgemeine Bild dieser geometrisch fortschreitenden Rente dar: 2 n–1r, r(1 i), r(1 i) ,..., r (1 i)+ + + Den dabei auftretenden Faktor 1 i t+ = bezeichnen wir auch als Progressionsfaktor der geometrisch fortschreitenden Rente. Für das allgemeine Bild ergibt sich jetzt bei nachschüssiger Zahlungsweise: Für t 1= bleibt der Rentenbetrag immer r, für t 1> steigen die Rentenbeträge an, für t 1< fallen sie. Unter Zugrundelegung eines Zinssatzes i % bzw. (1 + i) = q soll der Endwert einer geometrisch fortschreitenden Rente ermittelt werden. n–1 n–2 2 n–3 n–2 1 n–1 nR r · q r · t · q r · t · q r · t · q r · t= + + + + + = n n n n n t t t t r · q · q q q q 2 2 1 1 2 2 11 − − − − − = + + + + + = n n n t t t tr · q · q q q q 2 2 1 1 1 − − − = + + + + + + Der Klammerausdruck ist eine geometrische Reihe mit dem Anfangsglied 1 und dem Quotienten t/q. Also ist wegen (6) die Summe des Klammerausdrucks gleich: n n nn n n n n n n nn n n t q tt q q q q q t q t t q tq tq qq q q q − − − − = ⋅ ==> = − − − − 1 1 1 1 1 und damit: n n n n n n n n n n n n n t q t q t q t q R r q r r r t qt t t q q q q q q q − − + − − − − = ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ − − − − 1 11 1 1 Ist die Rentenfolge r, r · t, 2r · t eine vorschüssige Rente, dann ist n n nR R · q R : v′ = = n n n n n t q q t R r · r · t · v t · v − −′ = = − −1 1 Hinweis: v · q 1= ! Die Barwerte der nachschüssigen oder vorschüssigen, geometrisch fortschreitenden Rente ergeben sich durch Abzinsung der Endwerte Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 66 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 67 4.5 Progressive Rente 67 n n n t qr R · q t q0 − = − n n n t qr R · q t · v0 1 −′ = − Zum einführenden Beispiel: Bei einem jährlichen Steigerungssatz von 4 % ist t 1, 4= 0 . , , R · , , , , − = = − 10 10 0 10 4000 1 06 1 04 34 688 56 1 06 1 06 1 04 . Sind aber der Steigerungssatz und der Verzinsungssatz gleich groß, so versagt die Formel, denn es wäre z. B. bei 4 %: n , , R r · r · , , − = = − 10 101 04 1 04 0 1 04 1 04 0 Rn kann hier nur aus der Entwicklung n–1 n t t R r · q · q q = + + 2 1 gefunden werden. Die Brüche t/q haben alle den Wert 1. Also ist: = + + + + + + + + + =nR r · , · ( ) · r · , 9 91 04 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 1 04 =nR , · r14 233 Dieser Wert liegt zwischen den Ergebnissen bei 3 % und 5 %. 4.5.2 Arithmetisch fortschreitende Renten Beispiel 13: Eine nachschüssige Jahresrente von zehnjähriger Dauer setzt mit 5 000,– € ein und wird von Jahr zu Jahr um d 2 ,–= 00 € gesteigert. Wie groß ist der Barwert dieser Rente, wenn 7 % Zinseszinsen berechnet werden? Allgemein gilt folgende Übersicht: Ende des 1. Jahres: r Ende des 2. Jahres: r d+ Ende des 3. Jahres: r 2d+ … Ende des n-ten Jahres: r (n – 1)d+ Der Barwert der jährlichen Rente ist dann: 2 3 nR r · v (r d) · v (r 2d) · v ... [r (n – 1)d] · v= + + + + + + +0 2 3 n 2 3 4 n(r · v r · v r · v ... r · v ) [d · v 2d · v 3d · v ... (n – 1)d · v ]= + + + + + + + + + Der erste Klammerausdruck ist der Barwert der gleichbleibenden Rente r, also: nr · a ; d. h.: 2 3 4 n–1 n nR – r · a d · v 2d · v 3d · v ... (n – 2)d · v (n – 1)d · v= + + + + +0 Multipliziert man die beiden Seiten der Gleichung mit v, dann erhält man: 3 4 n n 1 n(R – r · a ) · v d · v 2d · v ... (n – 2)d · v (n – 1)d · v += + + + +0 Durch Subtraktion ergibt sich: 2 3 n–1 n n 1 n n(R – r·a ) – (R – r · a )·v d · v d · v ... d · v d · v – (n – 1)d · v += + + + +0 0 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 68 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 69 4. Rentenrechnung68 Dividiert man diese Gleichung durch v, dann ist: 2 3 n–1 n n v (R – ra ) · d · v d · v d · v ... d · v (n – 1)d · v v − = + + + + −0 1 Nun ist: q q qv i i v q q − −− = ⋅ ==> = + − = 1 1 11 1 11 1 und n n n– (n – 1)d · v 1 · d · v – n · d · v= Damit ergibt sich: 2 3 4 n–1 n n n(R – ra ) · i d · (v v v v ... v v – n · v )= + + + + + +0 Weil jedoch 2 3 n–1 n nv v v ... v v a+ + + + + = gilt, ist n n n(R – r · a ) · i d · (a – n · v )=0 ; n n n d R – r · a (a – n · v ) i =0 und damit endgültig: = + nn n d R r · a · (a – n · v ) i0 (32) Für unser Beispiel erhält man: = + · R · , · ( ,  – · , )100 200 100 5000 7 02358 7 02358 10 0 934579 7 = , 40661 07. 4.6 Ewige Rente 4.6.1 Konstante ewige Rente Zur Einführung: Jemand hat bei einer Bank ein Kapital K auf Zinseszinsen zu i% angelegt. Er hebt vom Ende des ersten Jahres an jährlich (nachschüssig) einen gleichbleibenden Betrag ab. Dabei können folgende Fälle auftreten: • Die Abhebung ist kleiner, als die Zinsen vom Ende des ersten Jahres. Das Kapital wird anwachsen. • Die Abhebung ist größer, als die Zinsen vom Ende des ersten Jahres. Das Kapital wird von Jahr zu Jahr kleiner. Durch die jährlichen Abhebungen wird das Kapital angegriffen und schließlich aufgebraucht. • Die Abhebungen erfolgen jährlich nur in Höhe der angefallenen Zinsen. Das Kapital verändert sich nicht, die Zinsen bleiben (bei gleichbleibendem Zinsfuß) die gleichen. Die Abhebung kann ohne zeitliche Beschränkung erfolgen. Man spricht in diesem Fall von einer ewigen Rente. Der Endwert wird demzufolge unendlich groß. Die Formel für den Barwert einer ewigen Rente mit gleichbleibenden jährlichen Zahlungen und jährlicher Verzinsung kann wie folgt abgeleitet werden: Zunächst kann man auf die Barwertformel für die endliche nachschüssige Jahresrente zurückgreifen und einige Umformungen vornehmen. Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 68 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 69 4.6 Ewige Rente 69 R0=r*an oder n n n n n n n n q q q R r · r · r r q (q ) q · i q · i q · i i q · i − − = = = − = − − 0 1 1 1 1 1 1 . Bildet man den Grenzwert für n →∞, so strebt der Ausdruck nq · i 1 (mit i > 0) gegen Null. Damit gilt: =R r · i0 1 (33) Aufgabe 19: Eine Person erhält, zur Abfindung eines Anspruchs, ein Kapital, das auf Zinsen zu i(%) angelegt wird. Vom Anfang des ersten Jahres an wird jährlich der Betrag r’ abgehoben. Wie hoch kann r’ sein, wenn die Abhebung zeitlich unbegrenzt möglich sein soll? Dieser vorschüssige Rentenvorgang kann rechnerisch in einen nachschüssigen verwandelt werden, wenn man jedes r’ um ein Jahr aufzinst. Es ist dann: r · q r′ = , d. h. r r : q′ = Die Kapitalisierungsformel rK i = geht über in r K · q i ′ = q K r · r · i i · v ′ ′= = 1 , also ist r K · i · v′ = Aufgabe 20: Aus einem mit 5 % -iger Verzinsung angelegtem Kapital K wird nachschüssig eine ewige Rente in Höhe von jährlich 10 000,– € gewährt. Welcher jährliche Rentenbetrag steht dann zur Verfügung, wenn man die ewige Rente in eine auf 20 Jahre begrenzte vorschüssige Rente umwandelt? Aus K r / i= ergibt sich: K = 10 000/0,05 = 200 000 Für eine nachschüssige Rente erhält man: nK r · a= und damit r = 16 048,66 Bei vorschüssiger Rente muss dieser Betrag noch ein Jahr abgezinst, d. h. mit (5 %) = 0,952381 multipliziert werden. Man erhält dadurch: r′ = 15 284,44 € (ebenso kann man das Kapital K der nachschüssigen Rente ein Jahr abzinsen und so den Rentenvorgang in einen vorschüssigen umwandeln). Aufgabe 21: Eine Stiftung mit einem Kapital von 400  000,– € ist mit der Auflage verbunden, dass die einfachen Zinsen des Kapitals als Stipendien verwendet werden, sobald sie den Betrag von 25 000,– € überschreiten. Nach wie viel Jahren kann bei einer Verzinsung von 4,5 % (mit Zinseszinsen rechnen!) das erste Stipendium vergeben werden? Lösung: 400 000 · qn · 0,045 = 25 000 ⇒ qn = 1,389 ⇒ n = 7,46 ⇒ 8 ganze Jahre Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 70 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 71 4. Rentenrechnung70 4.6.2 Arithmetisch fortschreitende ewige Rente Im endlichen Rentenfall hatten wir entsprechend der Formel (32) erhalten: = + nn n d R r · a · (a – n · v ) i0 (34) Es ist zweckmäßig, diesen Ausdruck wie folgt umzuformen (vgl. Kruschwitz 2010): n n d d n R r a i i q = + ⋅ − ⋅ 0 Nimmt man nunmehr eine Grenzwertbetrachtung (n → ∞) vor, so wird im ersten Term an zu 1/i, wie in Formel (33) hergeleitet. Der erste Term führt damit zu einem Grenzwert von (r + d / i) · (1 / i). Beim zweiten Term tritt das Problem auf, dass sowohl n als auch qn gegen ∞ gehen, d.h. somit ein unbestimmter Ausdruck „∞/∞“ entsteht. Hier hilft die Regel von L’Hospital weiter. Wir setzten n = f(n) und qn = g(n). Die Regel besagt, dass die Grenzwertbetrachtung für die ersten Ableitungen vorgenommen wird (falls der Grenzwert hierfür existiert, was hier der Fall ist). f’ und g’ bezeichnen die ersten Ableitungen der Funktionen f und g. Es gilt damit n n f (n) f (n) lim lim g(n) g (n)→∞ →∞ ′ = ′ . Die ersten Ableitungen lauten f’(n) = 1 und ng (n) n q −′ = ⋅ 1. Damit erhält man für die Grenzwertbetrachtung: n f (n) lim g (n)→∞ ′ = = ′ ∞ 1 0; d.h. der Grenzwert des zweiten Terms ist 0. Somit erhält man für den Barwert einer arithmetisch fortschreitenden ewigen Rente: d R r * i i = + 0 1 . Aufgabe 22a: Ein Unternehmen soll erworben werden, wobei die frei verfügbaren künftigen Einzahlungsüberschüsse dauerhaft 200 000,– € p.a. betragen. Jährlich wird davon ausgegangen, dass die frei verfügbaren künftigen Einzahlungs- überschüsse um 10 000,– € steigen. Berechnen Sie den Unternehmenswert (= Barwert der arithmetisch fortschreitenden ewigen Rente) bei einem Kalkulationszinssatz von 6%. Lösung: R , ,0 10 000 1 200 000 0 06 0 06 = + ⋅ = 6 111 111,11 € 4.6.3 Geometrisch fortschreitende ewige Rente Mithilfe der Summenformel lässt sich der Barwert einer (nachschüssigen) Rente angeben mit: n t t t R r v = = ⋅∑0 1 . (35) Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 70 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 71 4.7 Berechnung von Pensionsrückstellungen 71 Soll die Rente geometrisch um den Faktor 1 + g wachsen, so erhält man: ( ) n t t t t R r g v − = = ⋅ +∑ 10 1 1 bzw. da die Ausgangsrate ja konstant ist ( ) ( ) ( ) t tn n n t t t t t t g gr r R r g v g g ii − = = = + + = ⋅ + = = + + ++ ∑ ∑ ∑10 1 1 1 1 1 1 1 1 11 Somit ist jetzt der Grenzwert zu bestimmen, wobei angenommen wird, dass 0 < g < i gilt (in den Fällen g > i >0 oder g = i > 0 würde der Grenzwert gegen unendlich gehen, was ökonomisch nicht interpretierbar ist; vgl. hierzu und zum Folgenden Kruschwitz 2010). Der Summenausdruck ( ) ( ) t n t t g i= + + ∑ 1 1 1 kann gemäß Formel (6) mit der Summenformel angegeben werden: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t t t g g g i i ig g s gg g ii i g i i i + + + − − − + + ++ + = ⋅ = ⋅ = + ⋅+ + − −+ + −− + + 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 11 1 11 11 1 1 Der Grenzwert ist wegen 0 < g < i gleich 0 für ( ) ( ) t g i + + 1 1 und damit ist der Grenzwert für die Summe ( ) gg g i g i − −− + ⋅ = − − 10 1 1 . Man erhält ( ) ( )gr R bzw. nach Multiplikation mit g g i0 1 1 1 1 − − − = ⋅ + − − ( ) ( )gr r R g i g i g + = ⋅ = + − −0 1 1 Aufgabe 22b: Ein Unternehmen soll erworben werden, wobei die frei verfügbaren künftigen Einzahlungsüberschüsse dauerhaft 200 000,– € p.a. betragen. Die jährliche Wachstumsrate der frei verfügbaren künftigen Einzahlungsüberschüsse sei 4%. Berechnen Sie den Unternehmenswert (=Barwert der geometrisch fortschreitenden ewigen Rente) bei einem Kalkulationszinssatz von 6%. Wie hoch ist der Unternehmenwert, wenn die frei verfügbaren künftigen Einzahlungsüberschüsse konstant bleiben. Lösung:   R , , = −0 200000 0 06 0 04 =10 000 000 €; Alternative: ,   R =0 200000 0 06 =3 333 333 € 4.7 Berechnung von Pensionsrückstellungen 4.7.1 Berechnung von Pensionsrückstellungen bei sicheren Erwartungen Unternehmen gewähren vielfach Angestellten eine Betriebsrente ab dem Renteneintrittsalter, um die gesetzliche Altersversorgung aufzustocken. Die erteilte Versorgungszusage entspricht einer so genannten Direktzusage (Pensions- Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 72 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 73 4. Rentenrechnung72 zusage), d.h. das Unternehmen erfüllt eine Versorgungszusage selbst, also ohne Einschaltung eines Dritten. Direktzusagen führen grundsätzlich zu einer Rückstellungsverpflichtung im handelsrechtlichen Jahresabschluss (§ 253 Abs. 1 HGB). Für Altzusagen (Zusagen vor dem 01.01.1987) besteht ein Ansatzwahlrecht; Kapitalgesellschaften müssen deren Höhe im Anhang angeben (Art. 28 EGHGB). Bei der Berechnung werden verschiedene Verfahren unterschieden. Bedeutsam in der deutschen Rechnungslegung sind insbesondere das Gegenwartsverfahren und das (im Steuerrecht – § 6 a EStG – verankerte) Teilwertverfahren. Beim Gegenwartsverfahren erfolgt eine Aufwandsverteilung vom Zusagezeitpunkt bis zum Versorgungsfalleintritt. Beim Teilwertverfahren wird die Aufwandsverteilung von Eintrittszeitpunkt bis Versorgungsfalleintritt vorgenommen. Konsequenz ist eine Einmalrückstellung bei Zusage, die jedoch steuerlich auf drei Jahre verteilt werden kann (§ 6a Abs.4 S.3 EStG). Aufgabe 22c: Es soll in vereinfachter Form gezeigt werden, wie die Rückstellungsbildung dem Grunde nach erfolgt. Eintrittsdatum des Mitarbeiters 31.12.2006; sofortige Zusage einer nachschüssigen Rentenzahlung in Höhe von 12 000 € p.a., die 20 Jahre lang nachschüssig ab dem 31.12.2037 geleistet wird. Aus Vereinfachungsgründen wird eine Dynamisierung der Rente vernachlässigt und die steuerrechtlich relevante Abzinsung mit 6% angenommen. (a) Wie hoch ist die gleichbleibende Ansparrate? Berechnen Sie zunächst den Rentenbarwert per Zusagedatum und per Renteneintrittsdatum. (b) Geben Sie die finanzmathematische Rückstellungsbildung an und zeigen Sie, wie sich die Rückstellungsbildung sowie die Rentenzahlung in der Bilanz (hier vereinfachend Handels- gleich Steuerbilanz angenommen) auswirken? Lösung: Zu (a) Die gleichbleibende Ansparrate entspricht dem Barwert der Rente bei Zusagedatum · Annuitätenfaktor; zunächst ist der Barwert der Rente bei Renteneintritt zu ermitteln: R(2037)  = Rente · a20(6%)=12 000 · 11,4699212 = 137 639,05; Barwert der Rente bei Zusagedatum R(2006)  = 137 639,05/1,0630= 23 964,35; daraus ist die gleichbleibende Ansparrate abzuleiten, indem mit dem Annuitätenfaktor multipliziert wird. Somit ergibt sich die gleichbleibende Ansparrate mit R(2006)  · w30(6%) = 23 964,35 · 0,072648911 = 1 740,98. Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 72 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 73 4.7 Berechnung von Pensionsrückstellungen 73 Zu (b) Rückstellungsbildung: finanzmathematisch Handelsbilanz (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) Datum Renten Barwert Renten Ansparrate Zins Zuführung/ Auflösung Bestand Personalaufw. Zinsaufw. Rückstel-lung Veränderung Rückst. 12/31/2006 23964,35 12/31/2007 25402,22 1740,98 0,00 1740,98 1740,98 1740,98 0,00 1740,98 1740,98 12/31/2008 26926,35 1740,98 104,46 1845,44 3586,43 1740,98 104,46 3586,43 1845,44 12/31/2009 28541,93 1740,98 215,19 1956,17 5542,60 1740,98 215,19 5542,60 1956,17 12/31/2010 30254,44 1740,98 332,56 2073,54 7616,14 1740,98 332,56 7616,14 2073,54 ………. 12/31/2034 122498,27 1740,98 6654,64 8395,63 119306,36 1740,98 6654,64 119306,36 8395,63 12/31/2035 129848,16 1740,98 7158,38 8899,37 128205,73 1740,98 7158,38 128205,73 8899,37 12/31/2036 137639,05 1740,98 7692,34 9433,33 137639,05 1740,98 7692,34 137639,05 9433,33 Barwert Rente per Renteneintritt 137639,05 137639,05 0,00 137639,05 12/31/2037 12000,00 133897,40 8258,34 –3741,66 133897,40 8258,34 133897,40 –3741,66 12/31/2038 12000,00 129931,24 8033,84 –3966,16 129931,24 8033,84 129931,24 –3966,16 12/31/2039 12000,00 125727,12 7795,87 –4204,13 125727,12 7795,87 125727,12 –4204,13 ………. 12/31/2053 12000,00 32076,14 2494,88 –9505,12 32076,14 2494,88 32076,14 –9505,12 12/31/2054 12000,00 22000,71 1924,57 –10075,43 22000,71 1924,57 22000,71 –10075,43 12/31/2055 12000,00 11320,75 1320,04 –10679,96 11320,75 1320,04 11320,75 –10679,96 12/31/2056 12000,00 0,00 679,25 –11320,75 0,00 679,25 -0,00 –11320,75 Summen: 240000,00 102360,95 –137639,05 102360,95 –137639,05 240000,00 240000,00 Erläuterungen: (1) enthält den Barwertverlauf der Rentenverpflichtung; R(2036) wurde in a) explizit mit 137 639,05 ermittelt; (8) gibt den Rückstellungsverlauf an. Man beachte, dass erst ab dem Zeitpunkt der Rentenphase (1) und (8) übereinstimmen. Die Ansparrate (2) stellt bilanziell Personalaufwand dar (6); hingegen ist der Zinsanteil (3) als Zinsaufwand (7) zu buchen. Der Zuführungs-/Auflösungsbedarf der Rückstellung (9) ergibt sich aus (6) + (7) in der Ansparphase. In der Rentenphase wird die Rückstellung in Höhe der Barwertveränderung (4) aufgelöst (9). In der Rentenphase muss die Summe von Zins (3) und Rückstellungsauflösung (4) gerade der gezahlten Rente von 12 000 entsprechen. Dies gilt auch bilanziell: (7) + (9) = 12 000. Die Summe der Rückstellungsauflösungen ((4) bzw. (9)) – hier 137 639,05 – ergibt zusammen mit den Zinsen (Summe (3) bzw. (7)) den Gesamtbetrag der gezahlten Renten von 20 · 12 000 = 240 000. Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 74 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 75 4. Rentenrechnung74 Aufgabe 22d: In Ergänzung der Daten aus Aufgabe 22c wird eine jährliche Dynamisierung der Rente von 2% angenommen. Bestimmen Sie wiederum den Barwertverlauf der Rentenverpflichtung; berechnen Sie hierzu zunächst R(2037) anhand der Rentenformel für geometrisch fortschreitende Renten. Bestimmen Sie zudem den Rückstellungsverlauf der Rentenphase. Beachten Sie dabei, dass die Rückstellungsveränderung zusammen mit der Zinsaufwendung der Periode gerade der gezahlten Rente entsprechen muss. Lösung: Man erhält R(2036) mit , , R , , , 20 20 2036 20 12 000 1 02 1 06 1 06 0 02 0 06 − = ⋅ − = 161 002,37 Rückstellungsbildung: finanzmathematisch Handelsbilanz (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) Datum Renten Barwert Renten Ansparrate Zins Zuführung/ Auflösung Bestand Personalaufw. Zinsaufw. Rückstel-lung Veränderung Rückst. zt ZTt ZBt Bt PAt Rt dRt 12/31/2006 28032,14 12/31/2007 29714,07 2036,50 0,00 2036,50 2036,50 2036,50 0,00 2036,50 2036,50 …. 12/31/2036 161002,37 2036,50 8998,07 11034,57 161002,37 2036,50 8998,07 161002,37 11034,57 Barwert Rente per Renteneintritt 161002,37 61095,14 99907,23 161002,37 99907,23 161002,37 12/31/2036 161002,37 161002,37 161002,37 12/31/2037 12000,00 158662,52 9660,14 –2339,86 158662,52 9660,14 158662,52 –2339,86 12/31/2038 12240,00 155942,27 9519,75 –2720,25 155942,27 9519,75 155942,27 –2720,25 12/31/2039 12484,80 152814,00 9356,54 –3128,26 152814,00 9356,54 152814,00 –3128,26 …. 12/31/2054 16802,90 31727,51 2747,00 –14055,89 31727,51 2747,00 31727,51 –14055,89 12/31/2055 17138,95 16492,20 1903,65 –15235,30 16492,20 1903,65 16492,20 –15235,30 12/31/2056 17481,73 0,00 989,53 –16492,20 0,00 989,53 –0,00 –16492,20 Summen: 291568,44 130566,06 –161002,37 130566,06 –161002,37 291568,44 291568,44 Erläuterungen: (1) enthält den Barwertverlauf der Rentenverpflichtung; R(2036) wurde in explizit mit 161 002,37 ermittelt; R(2037)=158 662,52 ergibt sich mit R(2036)  · 1,06 - 12 000. 4.7.2 Berechnung von Pensionsrückstellungen unter Einbeziehung von Sterbewahrscheinlichkeiten Das Statistische Landesamt Rheinland-Pfalz (http://www.statistik.rlp.de/ filea€in/dokumente/berichte/A2033_201100_1j_L.pdf; Zugriff 29.12.2012) erläutert die Sterbetafel wie folgt: „Eine Sterbetafel geht von einer hypothetischen Gesamtheit von jeweils 100 000 weiblichen und männlichen Lebendgeborenen aus, die in der Spalte „Überlebende im Alter x“ (lx) beim Alter 0 zu finden sind. Die weiteren Zahlen dieser Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 74 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 75 4.7 Berechnung von Pensionsrückstellungen 75 Spalte zeigen an, wie viel Personen des Ausgangsbestandes unter den gegebenen Sterblichkeitsverhältnissen ein bestimmtes Alter noch erleben. Die Spalte „Gestorbene“ (dx) gibt die Zahl der Personen an, die in einem bestimmten Alter während eines Jahres versterben. Die Sterbewahrscheinlichkeit (qx) gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine Person im vollendeten Alter x nicht den nächsten Geburtstag erleben wird. Die Überlebenswahrscheinlichkeit (px) ist die Wahrscheinlichkeit, mit der diese Person ein Jahr älter wird. Die Spalte Lx gibt die Zahl der Jahre an, die die Überlebenden des Alters x bis zum Alter x + 1 durchleben. Die Summe der Zahlen dieser Spalten für die Lebensjahre x und älter ergeben die Spalte „Von den Überlebenden im Alter x insgesamt noch zu durchlebende Jahre“ (exlx). Die in der letzten Spalte angegebene „durchschnittliche Lebenserwartung im Alter x in Jahren“ (ex) errechnet sich aus der vorangegangenen Spalte mittels Division durch die „Überlebenden im Alter x“. Wir betrachten einen Auszug aus der Sterbetafel 2009/2011, der um die rechte äußere Spalte ergänzt wurde. Sterbetafel 2009/2011 Männlich Vollendedetes Alter Sterbe- Überlebens- Überlebende im Alter x Gestorbene im Alter x bis unter x+1 bis zum Alter x+1 durchlebte insgesamt noch zu durchlebende Durchschnittliche Lebenserwartung im Alter x in Jahren wahrscheinlichkeit vom Alter x bis x+1 Jahre x qx px lx dx Lx exlx ex Überlebenswahrscheinlichkeit 40 0,1282854093 % 99,8717145907 % 97 854 126 97 791 3 809 182 38,93 97,8536544017 % 41 0,1369521881 % 99,8630478119 % 97 728 134 97 661 3 711 391 37,98 97,7281224407 % 42 0,1529399766 % 99,8470600234 % 97 594 149 97 520 3 613 729 37,03 97,5942816386 % 43 0,1783208293 % 99,8216791707 % 97 445 174 97 358 3 516 210 36,08 97,4450209671 % 44 0,1989428276 % 99,8010571724 % 97 271 194 97 174 3 418 852 35,15 97,2712561976 % 45 0,2214971581 % 99,7785028419 % 97 078 215 96 970 3 321 677 34,22 97,0777420101 % Hinweise: Man erhält d41 = 134 aus l40 · q41 (fett, kursiv in der Tabelle hervorgehoben); weiter errechnet sich l41 = 97 728 aus l40 · p40 (grau in der Tabelle hervorgehoben). Die Überlebenswahrscheinlichkeiten (rechte äußere Spalte) ergeben sich aus den Werten der Spalte lx dividiert durch die Grundgedamtheit von 100 000. Die Wahrscheinlichkeit, das 40. Lebensjahr zu erreichen, beträgt folglich 97,85%. Von besonderer Bedeutung ist durchschnittliche Lebenserwartung in Abhängigkeit von einem bestimmten Alter, die der vorletzten Spalte unter ex zu entnehmen sind. Diese Zahl gibt damit die erwartete Rentenlaufzeit an, die bei der Berechnung der Pensionsrückstellung zu berücksichtigen ist. Um den Zusammenhang etwas genauer zu beschreiben, soll kurz auf die in den Sterbetafeln eingearbeiteten Zusammenhänge näher eingegangen werden. Hierzu wird zunächst ein vereinfachtes Zahlenbeispiel entwickelt. Für wiederum eine Grundgesamtheitvon 100 000 Personen sind die folgenden Sterbewahrscheinlichkeiten erhoben worden. Unsere Betrachtung endet nach drei Jahren: Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 76 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 77 4. Rentenrechnung76 Vollendedetes Alter Sterbe- Überlebens- Überlebende im Alter x Gestorbene im Alter x bis unter x+1 bis zum Alter x+1 durchlebte insgesamt noch zu durchlebende Durchschnittliche Lebenserwartung im Alter x in Jahren wahrscheinlichkeit vom Alter x bis x+1 Jahre x qx px lx dx Lx exlx ex Überlebenswahrscheinlichkeit 39 100 000 pbx 40 10,0 % 90,0 % 90 000 10 000 90 000 184 500 1,85 90,00 % 41 30,0 % 70,0 % 63 000 27 000 63 000 94 500 0,95 63,00 % 42 50,00 % 50,0 % 31 500 31 500 31 500 31 500 0,32 31,50 % Die durchschnittliche Lebenswartung beträgt für die 40-Jährigen im Modell 1,85 Jahre: 90% (= 90 000) leben 1 Jahr, 63% (= 63 000) leben ein zweites Jahr und 31,5% (=31 500) leben ein drittes Jahr. Die insgesamt noch zu durchlebenden Jahre betragen damit 184 500 Jahre, das sind umgerechnet auf die Grundgesamtheit 1,845 Jahre. Angenommen, der Rentenberechtigte erhalte eine Jahresrente in Höhe von 100 000. Wie hoch ist der (undiskontierte) Rentenerwartungswert EW(Rente)? Zur Beantwortung der Frage benötigt man so genannte bedingte Überlebenswahrscheinlichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit, 40 Jahre zu werden, beträgt 90% und die Wahrscheinlichkeit unter dieser Voraussetzung (nämlich 40 Jahre alt geworden zu sein) noch ein Jahr zu leben, 63%. 63% ist damit die bedingte Überlebenswahrscheinlichkeit pb41. Die bedingten Überlebenswahrscheinlichkeiten ergeben unmittelbar aus der Multiplikation der einjährigen Überlebenswahrscheinlichkeiten; pb41 = p40 · p41 = 90% · 70% = 63% und pb42 = p40 · p41 · pb42 = 90 % · 70% · 50% = 31,5%. Die Wahrscheinlichkeit, 40 Jahre alt zu werden und im nächsten Lebensjahr zu sterben, muss der einjährigen Sterbewahrscheinlichkeit entsprechen p41 = 30%. Die bedingte Sterbewahrscheinlichkeit dafür, 40 Jahre alt geworden zu sein und im Folgejahr zu sterben, beläuft sich somit auf (pb40 - pb41) / pb40 =  (90% - 63%) / 90% = 30% = q41. Man multipliziert die bedingten Überlebenswahrscheinlichlichkeiten mit der Rente p.a. und summiert anschließend: x x x EW(Re nte) pb r = = ⋅∑ 42 40 . Man erhält 184 500. Die folgende Abbildung verdeutlicht den Rechengang. Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 76 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 77 4.7 Berechnung von Pensionsrückstellungen 77 Alternativ kann EW(Rente) ermittelt werden, indem die durchschnittliche Lebenserwartung verwendet wird – sie beruht wie gezeigt auf der gleichen Überlegung wie die bedingten Überlebenswahrscheinlichlichkeiten. Im Beispiel war sie bereits mit 1,845 Jahren bestimmt worden. Die Rente ist damit mit 1,845 zu multiplizieren; es resultiert wiederum der Erwartungswert von 184 500. Beispiel 14: In Ergänzung der Daten aus der Aufgabe 22d wird die Sterbewahrscheinlichkeit berücksichtigt (vereinfachend gekappt bei Lebensalter 85). Rückstellungsbildung: finanzmathematisch (1) (2) (3) (4) (5) Daten des Statistischen Bundesamtes Jahr Datum Renten Barwert Renten Ansparrate Zins Zuführung/ Auflösung Bestand zt ZTt ZBt Bt 12/31/2006 20.295,42 1,00 € 12/31/2007 21.513,14 1.474,44 0,00 1.474,44 1.474,44 ………. einjährige einjährige 28,00 € 12/31/2034 103.743,81 1.474,44 5.635,82 7.110,26 101.040,59 vollendetes Lebensalter Sterbewahrscheinlichkeit Überlebenswahrscheinlichkeit bedingte Überlebenswahrscheinlichkeit 29,00 € 12/31/2035 109.968,44 1.474,44 6.062,44 7.536,88 108.577,46 30,00 € 12/31/2036 Erwartungswert 116.566,55 1.474,44 6.514,65 7.989,09 116.566,55 Renten Rente Rentenbarwert 2036: 116566,55 116.566,55 44.233,20 72.333,35 116.566,55 12/31/2036 Abzinsfaktoren Barwerte Renten 116.566,55 116.566,55 66 1,994% 98,006% 98,006% 1,00 € 12/31/2037 12.000,00 11760,72 0,94 € 11095,02 111.799,82 6.993,99 –4.766,73 111.799,82 67 2,220% 97,780% 95,830% 2,00 € 12/31/2038 12.240,00 11729,61 0,89 € 10439,31 106.778,20 6.707,99 –5.021,62 106.778,20 68 2,463% 97,537% 93,470% 3,00 € 12/31/2039 12.484,80 11669,50 0,84 € 9797,94 101.515,39 6.406,69 –5.262,81 101.515,39 …… …… 84 10,813% 89,187% 34,469% 19,00 € 12/31/2055 17.138,95 5907,59 0,33 € 1952,53 4.993,13 617,02 –5.290,56 4.993,13 85 12,165% 87,835% 30,276% 20,00 € 12/31/2056 17.481,73 5292,72 0,31 € 1650,29 0,00 299,59 –4.993,13 0,00 Summen: 291.568,44 190818,61 1,00 € 116.566,55 74.252,06 –116.566,55 Erläuterungen: Die Überlebenswahrscheinlichkeiten (=  1  –  Sterbewahrscheinlichkeiten) sind – wie eben gezeigt – in die bedingten Überlebenswahrscheinlichkeiten zu transformieren. Sie ergeben sich für das Lebensalter 67 im Beispiel mit 98,006% · 97,78% = 95,83%. Mit dieser Wahrscheinlichkeit kommt somit die Rente von (dynamisiert) 12  240 € zur Auszahlung. Der Erwartungswert der Rente beträgt damit 12  240  ·  95,83%  =  11  729,61. Diskontiert man sämtliche Erwartungswerte auf den Zeitpunkt des Renteneintritts 2036, so erhält man R(2036)=116 566,55. Er trägt der Sterbewahrscheinlichkeit und der Dynamisierung Rechnung. R(2036) kann nicht durch eine Formel direkt berechnet werden. R(2037) = 111 799,82 ergibt sich mit R(2036)  · 1,06 - 11 760,72. Ansparrate jetzt: wn · R(2006) mit R(2006)  = R(2037)  · v30. Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 79 5. Tilgungsrechnung 5.1 Inhalt der Tilgungsrechnung In der gesamten Tilgungsrechnung geht es um die Rückzahlung von Schulden. Bei einer Anleihe, Hypothek oder bei einem Darlehen erfolgt diese in der Regel im Laufe einer von vornherein vereinbarten Zeit und einer ebenfalls im voraus festgelegten Weise. Die Rückzahlung muss nicht nur die anfallenden Zinsen, sondern auch einen Tilgungsbetrag, durch den die Schuld verringert wird, umfassen. In manchen Fällen kommen noch besondere Zuschläge, z.B. Gebühren, hinzu. Die Festlegung der Tilgungsbeträge charakterisiert den Rückzahlungsvorgang. An dieser Stelle ist nochmals auf den Unterschied zwischen „echtem“ Kreditkonto (Nominalkonto) und Vergleichskonto (Effektivkonto) hinzuweisen. Das Nominalkonto bildet den vertraglich vereinbarten Zahlungsstrom auf Basis des Nominalkreditbetrags ab. Das Effektivkonto stellt dagegen auf den effektiven Auszahlungsbetrag ab (vgl. hierzu Kapitel 1.6). Beispiel 1: Nominalkreditbetrag 100 000,- € Nominalzinssatz 6 % p.a.; Disagio 2 %; endfällige Tilgung; Laufzeit (zugleich Zinsbindungszeitraum) 3 Jahre Man erkennt, dass die Spalten Zinsen, Tilgung und Restkapital in den beiden Konten voneinander abweichen. Im Rahmen der Tilgungsrechnung interessiert nur das Nominalkonto. Nominalkonto Nominalzinssatz 6,00 % Jahr Zinsen Rate Tilgung Restkapital 0 – € 100 000,00 € 1 6 000,00 € 6 000,00 € – € 100 000,00 € 2 6 000,00 € 6 000,00 € – € 100 000,00 € 3 6 000,00 € 106 000,00 € 100 000,00 € – € Summe 18 000,00 € 118 000,00 € 100 000,00 €

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Zusammenfassung

Bester Durchblick in der Finanzmathematik.

Finanzmathematik kompakt

Dieses Lehrbuch führt in die zentralen Themen der klassischen wie der modernen Finanzmathematik ein. Diese Kenntnisse gehören zum unerlässlichen Grundbestand betriebswirtschaftlichen Wissens. Über 150 Rechenbeispiele mit Lösungen helfen dem Leser, den Stoff nachzuvollziehen und das Erlernte zu überprüfen.

Die Schwerpunkte

– Zins- und Zinseszinsrechnung

– Rentenrechnung

– Tilgungs- und Kursrechnung

– Effektivverzinsung

– Klassische Investitionsrechnung

– Marktzinsorientierte Kapitalwertmethode

– Portfoliomanagement und CAPM

Der Autor

Prof. Dr. Konrad Wimmer, Kempten/Neu-Ulm.

Konkrete Hilfe

für Studierende der Wirtschaftswissenschaften an Universitäten, Fachhochschulen und Akademien, Bankkaufleute und Finanzdienstleister.