3. Abschreibungen in:

Konrad Wimmer, Eugen Caprano

Finanzmathematik, page 42 - 51

Grundlagen und Anwendungsmöglichkeiten in der Investitions- und Bankwirtschaft

7. Edition 2013, ISBN print: 978-3-8006-4560-2, ISBN online: 978-3-8006-4561-9, https://doi.org/10.15358/9783800645619_42

Series: Vahlens Kurzlehrbücher

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Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 30 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 31 3. Abschreibungen 3.1 Abschreibungsbegriff Unter Abschreibungen versteht man die buchmäßige Erfassung der (technischen und wirtschaftlichen) Wertminderung, die bei Gütern des Anlagevermögens durch Abnutzung oder Alterung in der Nutzungszeit entsteht. Abschreibungen werden häufig abgekürzt mit AfA (Absetzung für Abnutzung). Werden die Anschaffungs- oder Herstellungskosten des Anlagevermögens auf die Jahre der wirtschaftlichen Nutzungsdauer verteilt, so spricht man von einer Zeitabschreibung, erfolgt die Abschreibung entsprechend der Nutzungsintensität, so handelt es sich um eine Leistungsabschreibung. Die Abschreibungsbeträge sollen über die Umsatzerlöse verdient werden und damit die Wiederbeschaffung (Ersatzbeschaffung) der in der betriebsgewöhnlichen Nutzungszeit abgenutzten oder unwirtschaftlich gewordenen Güter ermöglichen. Abschreibungen werden in der Kostenrechnung, der Handelsbilanz und der Steuerbilanz verrechnet. Da jeweils unterschiedliche Rechenzwecke vorliegen, werden häufig unterschiedliche Abschreibungsbeträge errechnet. In der Kostenrechnung steht der Gedanke der Wiederbeschaffung der Güter des Anlagevermögens im Vordergrund. Basis der Abschreibungsverrechnung sind deshalb regelmäßig die Wiederbeschaffungswerte zum voraussichtlichen Wiederbeschaffungszeitpunkt. In der Handelsbilanz sind die Regeln des § 253 Abs. 2 HGB für planmäßige Abschreibungen des Anlagevermögens zu beachten. Basis der Abschreibungsverrechnung sind die historischen Anschaffungskosten. In der Steuerbilanz werden grundsätzlich die handelsbilanziellen Abschreibungen übernommen (Grundsatz der Maßgeblichkeit der Handelsbilanz für die Steuerbilanz, vgl. § 5 (1) EStG), soweit nicht steuerliche Spezialvorschriften davon Abweichendes regeln (vgl. §§ 7, 7a ff. EStG). Bei den weiteren Betrachtungen werden wir folgende Größen benötigen: K0 Nennwert bzw. Anschaffungswert, n wirtschaftliche Nutzungsdauer, Kk Buchwert bzw. Bilanzwert nach k Jahren (mit k = 1, …, n), Qk Abschreibungsrate, Abschreibungsquote bzw. Abschreibung, also jenen Betrag, um den der Bilanzwert im k-ten Jahr vermindert wird; Abschreibung wird vielfach mit AfA (Absetzung für Anschaffung) abgekürzt, Kn Restwert (Restverkaufserlös, Altwert, Schrottwert; gegebenenfalls Erinnerungswert 1,– €) Zunächst wird die Leistungsabschreibung betrachtet (sie zählt man in der Kostenrechnung traditionell zu den beschäftigungsvariablen Kosten). Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 32 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 33 3. Abschreibungen32 Gibt x den gesamten Leistungsvorrat einer Maschine und xK die in der Betrachtungsperiode k in Anspruch genommene Leistungsmenge an, so gilt: k K K Q · x x = 0 Beispiel: =x  3500 (Maschinenstunden), € K =0 100000 , =kx 700 (Maschinenstunden) KQ ·⇒ = = 100 000 700 20 000 3 500 Die Abschreibung erfolgt in der Praxis meist • in gleichen Jahresbeträgen (lineare Abschreibung), • in fallenden Jahresbeträgen (degressive Abschreibung), wobei zu unterscheiden ist zwischen der geometrisch-degressiven Form (Abschreibung vom Buchwert) und der arithmetisch-degressiven Form (z. B. digitale Abschreibung). Eine Abschreibungsart progressiver Form, also mit steigenden Jahresbeträgen, ist zwar unter bestimmten Voraussetzungen handelsbilanziell, nicht aber steuerlich zulässig. Auf dieses Abschreibungsverfahren wird nicht weiter eingegangen. 3.2 Lineare Abschreibung (AfA in gleichen Jahresbeträgen) Die jährlichen Abschreibungsbeträge bleiben konstant. Abzuschreiben ist in einer bestimmten Zahl von Jahren n der Unterschied zwischen dem Neuwert K0 und dem Restwert Kn nach n Jahren. Insgesamt ist abzuschreiben der Unterschied nK – K0 . Für die jährlichen Abschreibungsquoten Q1, Q2, …, Qn gilt dann: 1 2 n nK – KQ Q ... Q n = = = = 0 (17) Dieser Abschreibungsbetrag kann prozentual auf den Neuwert bezogen werden. Aufgabe 1: Ein Neuwert K0 = 100 000 € soll im Laufe von 20 Jahren linear auf den Restwert 5 000,– € abgeschrieben werden. – Q = =1 100 000 5 000 4 750 20 Bezogen auf den Neuwert K0 ergibt sich prozentual: =nK K · ( – n·i)0 1 hieraus: = =n K – K i   , n · K 0 0 0 0475; also: = 4,75 % Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 32 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 33 3.3 Arithmetisch-degressive Abschreibung 33 3.3 Arithmetisch-degressive Abschreibung Die Abschreibungsbeträge verringern sich von Jahr zu Jahr um einen konstanten, als Degressionsbetrag bezeichneten Betrag d. 1. Abschreibung: 1 1Q Q= 2. Abschreibung: 2 1Q Q – d= 3. Abschreibung: 3 1Q Q – 2d=… … n. Abschreibung: n 1Q Q – (n – 1)d= Die Gesamtabschreibung besteht aus der Summe aller jährlichen Einzelabschreibungen und muss demnach nK – K0 ergeben. n 1 2 nK – K Q Q ... Q= + + +0 Q (Q – d) ... Q – (n – 1)d= + + +1 1 1 1 n –n ·Q – · n · d= 1 2 (Summenformel für arithmetische Reihe!) 1 n n – · n · d n ·Q – (K – K )= 0 1 2 = n · [n ·Q – (K – K )] d n · (n – ) 1 02 1 (18) Damit die Größe d positiv wird, muss sein: nn ·Q (K – K )≥1 0 oder nK – KQ n ≥ 01 Dieser Bruch gibt aber gerade den Abschreibungsbetrag für die lineare Abschreibung, d. h. bei der arithmetisch-degressiven Methode muss der erste Abschreibungsbetrag mindestens so groß sein, wie bei der linearen Methode (Restriktion 1). Es soll aber auch der letzte Abschreibungsbetrag Qn noch positiv sein! Q – (n – 1) · d ≥1 0 1Q   (n – 1) · d≥ Setzt man jetzt den für d gefundenen Ausdruck (18) ein, dann ergibt sich nK KQ · n − ≤ 01 2 , d. h. der erste Abschreibungsbetrag darf höchstens so groß wie der doppelte lineare Abschreibungsbetrag sein (Restriktion 2). Aufgabe 2: Ein Neuwert K0 = 65 000,– € soll in 5 Jahren arithmetisch-degressiv auf 20 000,– € abgeschrieben werden. Der erste Abschreibungsbetrag soll 10 000, € sein. Wie lautet der Abschreibungsplan? K0 – Kn = 45 000; (K0 – Kn) : n = 9 000 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 34 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 35 3. Abschreibungen34 Die einschränkende Bedingung für Q1 ist erfüllt! 9 000 < 10 000 < 18 000 Für Q1 = 10 000 ergibt sich nach (18) d = 500 Allgemein gilt: Qk= Q1 – (k – 1) · d Der Abschreibungsplan lautet: d = 500,00 K(0) AfA-Betrag k 65 000,00 (k – 1) · d Qk Kk 1 0,00 10 000,00 55 000,00 2 d 500,00 9 500,00 45 500,00 3 2d 1 000,00 9 000,00 36 500,00 4 3d 1 500,00 8 500,00 28 000,00 5 4d 2 000,00 8 000,00 20 000,00 Die arithmetisch-degressive Abschreibung ist derzeit steuerlich nicht zulässig. Gleiches gilt für die digitale Abschreibung als Sonderform der arithmetisch-degressiven Methode. Sie geht aus dieser hervor, wenn die letzte Abschreibungsquote Qn und der jährliche Minderungsbetrag d zur Übereinstimmung gebracht werden, wenn also Qn = d gesetzt wird. Der Degressionsbetrag entspricht damit dem Abschreibungsbetrag der letzten Nutzungsperiode. Als Abschreibungsquoten ergeben sich dann: n. Abschreibung: Qn = d (n – 1). Abschreibung: Qn–1 = d + d = 2d … … 2. Abschreibung: Q2 = d + (n – 2) · d = (n – 1) · d 1. Abschreibung: Q1 = d + (n – 1) · d = n · d Für die gesamte Abschreibungssumme nK – K0 gilt also: nK – K d 2d ... n · d= + + +0 nK – K d · (1 2 ... n)= + + +0 oder nK Kd ... n 0 1 2 − = + + + n n K K ( n) 0 2 1 − ⇔ + (19) Formel (19) erhält man auch, wenn in Formel (18) für Q1 = n · d gesetzt wird. Nachweis: n n(nnd (K K )) n d (K K )d (n n) (auf beidenSeitenderGleichung n n n n − − − − = = ⋅ − ==> − − 2 20 0 2 2 2 2 2 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 34 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 35 3.4 Geometrisch-degressive Abschreibung 35 n nd(n n) n d (K K ) (K K ) n d d(n n) d( n (n n))− = − − ==> − = − − = − − 2 2 2 2 2 2 0 02 2 2 2 2 n n n n(K K ) (K K ) K K K Kd nn n n n n (n n) (n ) − − − − = = = = − + + + + 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 12 1 2 2 Weiter gilt: nk n K K Q · (n – k 1) d · (n – k 1) ( n) − = + = + + 0 2 1 Aufgabe 3: Geben Sie den Abschreibungsplan bei digitaler Abschreibung an (gemäß der Daten aus Aufgabe 2). Abschreibungsplan: d = 3 000,00 K0 k 65 000,00 Qk Kk 1 5d 15 000,00 50 000,00 2 4d 12 000,00 38 000,00 3 3d 9 000,00 29 000,00 4 2d 6 000,00 23 000,00 5 1d 3 000,00 20 000,00 3.4 Geometrisch-degressive Abschreibung Diese Abschreibungsform wird allgemein als degressive Abschreibung oder auch Abschreibung vom Buchwert oder kurz Buchwertabschreibung bezeichnet. Bei ihr wird die Abschreibung nach einem unveränderlichen Prozentsatz vom Buchwert (Restwert) vorgenommen. Bei der steuerlichen Gewinnermittlung sind die Restriktionen von § 7 (2) EStG zu beachten. Der Abschreibungssatz darf das Dreifache des Abschreibungssatzes bei linearer Abschreibung nicht übersteigen und max. 30 % betragen. Der Übergang von der degressiven Abschreibung zur linearen Abschreibung ist im Laufe der Abschreibungszeit steuerlich zulässig (§ 7 Abs. III EStG). Ist ein Neuwert (Anschaffungswert) K0 im Laufe von n Jahren mit einem Prozentsatz i degressiv abzuschreiben, so ergibt sich folgende Entwicklung: Anfang des 1. Jahres: K0 Ende des 1. Jahres: 1K K – K · i K · (1– i)= =0 0 0 Ende des 2. Jahres: 2 1 1 1K K – K · i K · (1– i) K · (1– i)= = = 2 0 Ende des 3. Jahres: 3 2 2 2K K – K · i K · (1– i) K · (1– i)= = = 3 0 usw. Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 36 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 37 3. Abschreibungen36 Allgemein ergibt sich so für das Ende des n Jahres: = nnK K · ( – i)0 1 (20) Die Werte K0, K1, K2, usw. bilden eine fallende geometrische Folge, weil immer wieder der gleiche Faktor (1– i) 1< hinzutritt. Die jährlichen Abschreibungsbeträge bilden ebenfalls eine fallende geometrische Folge. 1Q K · i K · i= =0 0 K · i= 0 2 1Q K · i K · (1– i) · i   K · i · (1– i)= = =0 0 2 3 2Q K · i K · (1– i) · i K · i · (1– i)= = = 2 0 0… … = n–nQ K · i · ( – i) 1 0 1 (21) Mit der degressiven Methode kann nicht auf den Restwert Null abgeschrieben werden, weil nach der Abschreibung mit p % immer wieder (1 – p)%00 des Restwertes bleiben. Aufgabe 4: Daten wie Aufgabe 2. Abschreibungssatz 10 %. (a) Wie groß ist der Restwert nach der 3. Abschreibung? (b) Wie lange kann abgeschrieben werden (Restverkaufserlös wiederum 20 000,–€)? Ergebnis: Zu (a) K3 = 65 000 · (1 – 0,1)3 = 47 385 Zu (b) 65 000 (1 – 0,1)n = 20 000 ⇔ n = 11,19 (Jahre) Abschreibungsplan: AfA-Satz = 10% K0 k 65 000,00 Qk Kk 1 6 500,00 58 500,00 2 5 850,00 52 650,00 3 5 265,00 47 385,00 4 4 738,50 42 646,50 11 2 266,41 20 397,69 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 36 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 37 3.5 Ökonomische Abschreibung 37 3.5 Ökonomische Abschreibung Die pro Jahr gleichbleibenden Abschreibungen Qt = Q ergeben bei der ökonomischen Abschreibung aufgezinst den nach n Perioden benötigten Wiederbeschaffungsbetrag WB(n) der Anschaffungsinvestition A(0). Verzichtet man hier auf die Einbeziehung von Inflationseffekten, so gilt: WB(n) = Q · Rentenendwertfaktor = Q · [(1+i)n – 1] / i bzw. Q = WB(n)/Rentenendwertfaktor sowie A(0)= WB(n) / (1+i)n. Die ökonomische Abschreibung stellt damit sicher, dass die Abschreibung dem Kapitaldienst und damit der Annuität auf den Barwert von WB(n) entspricht. Zur Herleitung des Rentenendwertfaktors sei auf das Folgekapitel verwiesen. Aufgabe 5: Kalkulationszinssatz 4,5 %, WB(5) sei 1 000. (a) Wie groß ist die ökonomische Abschreibung? (b) Zeigen Sie, dass die ökonomische Abschreibung der Annuität entspricht, die sich auf den Barwert WB(0) des Wiederbeschaffungsbetrags WB(5) bezieht. Ergebnis: Zu (a) Q = WB(5) / Rentenendwertfaktor = 1 000 / 5,47026963 = 182,81 € Zu (b) WB(0) = WB(5) / 1,0455 = 802,61 €. Das folgende Konto zeigt, dass das Startkapital WB(0) mit 4,5% verzinst und getilgt wird: Zinssatz 4,50% Jahr Zinsen Rate = Afa ök. Tilgung Restkapital 0 0,00 0,00 0,00 802,61 1 36,08 182,81 146,72 655,88 2 29,49 182,81 153,32 502,57 3 22,60 182,81 160,21 342,36 4 15,39 182,81 167,41 174,94 5 7,87 182,81 174,94 0,00 Summen 111,43 914,03 802,61 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 38 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 39 3. Abschreibungen38 Beispiel 1: Ein Wirtschaftsgut, das für 850 000,– € angeschafft wurde, soll bei einer Nutzungsdauer von 10 Jahren auf einen Restwert von 100 000,– € abgeschrieben werden. Betrachtet werden (a) die lineare Abschreibung, (b) die degressive Abschreibung, (c) die arithmetisch-degressive Abschreibung, wobei die erste Abschreibungsrate doppelt so groß wie bei linearer Abschreibung sein soll, (d) die degressive Abschreibung (25 % in den ersten 5 Jahren und Übergang zur linearen Abschreibung ab dem 6. Jahr). Geben Sie für (a) und (b) die Abschreibungssätze, für (c) den Abschreibungsbetrag des 8. Jahres und für (d) den Restbuchwert am Ende des 8. Jahres an. Zu (a): Qk = 10 % (entspricht 75 000 = 0,1 · (850 000 – 100 000)) Zu (b): Wegen Kn = K0 · (1 – i)n ergibt sich: = = =i – , ,     %10 100000 1 0 19266 19 266 850000 . Zu (c): Wegen Q1 = 2 · 75 000 = 150 000 ergibt sich d mit 16 666,67 (vgl. Formel (18)) Q8 = 150 000 – (8 – 1 ) · 16 666,67 = 33 333,33 Zu (d): Nach 5 Abschreibungen erhält man den Buchwert K5 = K0 · (1 – i)5 = 850 000 · 0,755 = 201 708,98. Ab dem 6. Jahr ergibt sich damit die lineare Abschreibungsrate = = , – Q     , 6 201708 98 100000 20341 80 5 . K8 = 201 708,98 – 3 · 20 341,80 = 140 683,58 Aufgabe 6: Ein Wirtschaftsgut mit einem Neuwert von 120 000,– € hat nach einer Nutzungsdauer von 10 Jahren einen Restwert von 8 000,– €. (a) Berechnen Sie den Degressionsbetrag bei digitaler Abschreibung. (b) Nach wie viel Jahren sind mindestens 80 % des Neuwertes abgeschrieben? Zu (a) d , ...       − = = + + + 120000 8000 2036 36 1 2 10 . Zu (b) Abschreibungssumme bei =  % : , · , – 80 0 8 120000 96000 = + ⇔ = k (k ) · , x ,   96000 1 2036 36 10 22 2 nach 11 Jahren Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 38 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 39 3.5 Ökonomische Abschreibung 39 Aufgabe 7: Ein Wirtschaftsgut von 800 000,–€ Neuwert wird nach einer betriebsgewöhnlichen Nutzungsdauer von 20 Jahren einen Restwert von 20 000,–€ haben. Die Abschreibung soll so viele Jahre degressiv mit 15 % vom Buchwert durchgeführt werden, wie dadurch ein jährlicher Abschreibungsbetrag von mindestens 20 000,–€ erzielt werden kann. Wie viele Jahre wird in degressiver Form abgeschrieben? Lösung: = n–nQ K · i · ( – i) 1 0 1 : 800 000 · 0,15 · 0,85n–1 = 20 000 ⇔ (n – 1) ln 0,85 = ln 0,166 ⇔ 12,024; 12 volle Jahre Aufgabe 8: Der Maschinenpark eines Unternehmens mit einem Neuwert von 415 000,–€ wird geometrisch-degressiv auf einen Schrottwert von 44  000,– € abgeschrieben; und zwar je nach Beanspruchung: in den ersten Jahren mit 12 %, anschließend doppelt so lange mit 15 % und danach noch dreimal so lang wie in der ersten Abschreibungsperiode mit 20 %. Wie viele Jahre dauert die Abschreibung insgesamt? Wenn man mit n die Zeit der ersten Abschreibungsperiode bezeichnet, so erhält man insgesamt die Zeitdauer + + =n n n n2 3 6 . Aus = nnK K ( – i)0 1 ergibt sich: = n n nnK K · , · , · , 2 3 6 0 0 88 0 85 0 80 = n n n· , · , · ,    2 344000 415000 0 88 0 85 0 80 = + + +lg lg n · lg , n · lg , n · lg ,44 415 0 88 2 0 85 3 0 80 = = + + lg – lg n Jahre lg , · lg , · lg , 44 415 2 0 88 2 0 85 3 0 80 . Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 40 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 41 4. Rentenrechnung 4.1 Rentenbegriff Werden in gleichen Zeitabständen wiederkehrende Zahlungen geleistet, so spricht man von einer Rente. Eine betragsmäßig konstante Rente bezeichnet man als Annuität. Im allgemeinen Sprachgebrauch kann das Wort Rente sowohl den Einzelbetrag einer Zahlung als auch den Gesamtwert wiederkehrender Zahlungen bedeuten. Den Gesamtwert regelmäßiger Zahlungen auf einen vorgegebenen Zeitpunkt hin zu diskontieren, dies ist eine fundamentale und charakteristische Aufgabenstellung der Rentenrechnung. Grundsätzlich kann man mit den Methoden der Zinsrechnung an die Lösung dieses Problems herangehen. Hierbei hätte man jedoch jede einzelne Zahlung für sich zu betrachten, eine Zusammenfassung mehrerer Diskontierungen zu einem einzigen Rechenvorgang ist mit den Mitteln der Zinsrechnung nicht möglich. Verfahrensweisen für eine zusammengefaßte Betrachtung werden der Rentenrechnung zugeordnet. Jede Rentenzahlung ist auf den dazugehörigen Zeitabschnitt zu beziehen. Werden die einzelnen Zahlungen jeweils zu Beginn des dazugehörigen Zeitabschnittes geleistet, so spricht man von einer vorschüssigen (Pränumerando) Rente, erfolgen die Zahlungen am Ende des jeweiligen Zeitabschnittes, so spricht man von einer nachschüssigen (Postnumerando) Rente. Als Zeitabschnitt wird bei Renten vielfach auf das Kalenderjahr Bezug genommen, wie dies ja auch bei der Zinsrechnung die Regel ist. Die Behandlung der Jahresrente mit übereinstimmender Zinsperiode steht damit im Mittelpunkt einer systematischen Betrachtung. Dies gilt umso mehr, als die außerordentliche Vielfalt anderweitiger Problemstellungen stets auf Jahresrenten zurückgeführt bzw. umgerechnet werden kann. Nachstehend ist der Verlauf von n gleichen Ratenzahlungen r bzw. r’ graphisch an Zeitgeraden veranschaulicht. Zur deutlichen Unterscheidung werden in diesem Kapitel alle bei einer vorschüssigen Rente auftretenden Größen mit einem Strich (’) versehen; im Fall einer nachschüssigen Rente wird der Strich weggelassen. Bei einer nachschüssigen Rente bedeuten: Ro: Rentenbarwert, Rn: Rentenendwert, r: regelmäßig gezahlte Rate (Rente), an: Rentenbarwertfaktor, sn: Rentenendwertfaktor, wn: Annuitätenfaktor (auch als Wiedergewinnungsfaktor bezeichnet).

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References

Zusammenfassung

Bester Durchblick in der Finanzmathematik.

Finanzmathematik kompakt

Dieses Lehrbuch führt in die zentralen Themen der klassischen wie der modernen Finanzmathematik ein. Diese Kenntnisse gehören zum unerlässlichen Grundbestand betriebswirtschaftlichen Wissens. Über 150 Rechenbeispiele mit Lösungen helfen dem Leser, den Stoff nachzuvollziehen und das Erlernte zu überprüfen.

Die Schwerpunkte

– Zins- und Zinseszinsrechnung

– Rentenrechnung

– Tilgungs- und Kursrechnung

– Effektivverzinsung

– Klassische Investitionsrechnung

– Marktzinsorientierte Kapitalwertmethode

– Portfoliomanagement und CAPM

Der Autor

Prof. Dr. Konrad Wimmer, Kempten/Neu-Ulm.

Konkrete Hilfe

für Studierende der Wirtschaftswissenschaften an Universitäten, Fachhochschulen und Akademien, Bankkaufleute und Finanzdienstleister.