2. Zins und Zinseszinsen in:

Konrad Wimmer, Eugen Caprano

Finanzmathematik, page 26 - 42

Grundlagen und Anwendungsmöglichkeiten in der Investitions- und Bankwirtschaft

7. Edition 2013, ISBN print: 978-3-8006-4560-2, ISBN online: 978-3-8006-4561-9, https://doi.org/10.15358/9783800645619_26

Series: Vahlens Kurzlehrbücher

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Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 14 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 15 2. Zins und Zinseszinsen 2.1 Begriff Außer den in Kapitel 1.5 (Zinsrechnung) bereits eingeführten Größen werden in den folgenden Ausführungen weitere drei benötigt. j: Zinssatz bei vorschüssiger Verzinsung Eine eigene Bezeichnung des Zinssatzes bei vorschüssiger Verzinsung erweist sich als vorteilhaft. Die vorschüssige Verzinsung nennt man auch antizipative Verzinsung. q: Aufzinsungsfaktor Es gilt p q 1 i 1= + = + 100 v: Abzinsungsfaktor Es gilt v q i p = = = + + 1 1 100 1 100 Gebräuchliche Potenzen sowohl des Aufzinsungsfaktors q als auch des Abzinsungsfaktors v sind im Anhang für verschiedene Zinssätze aufgeführt. Der Abzinsungsfaktor v wird auch als Diskontierungsfaktor oder Barwertfaktor bezeichnet. Wie bereits in Kapitel 1.5 erwähnt, wird die Laufzeit n in Zinsperioden gemessen. Bei Bankgeschäften wird die Nominalverzinsung als Verzinsung „p.a.“ angegeben. Bei nachschüssiger Verzinsung werden dem Gläubiger jeweils am Ende einer Zinsperiode Zinsen gutgeschrieben, ein Schuldner bzw. Darlehensnehmer wird zu denselben Terminen entsprechend belastet. Den Termin einer Gutschrift bzw. Lastschrift bezeichnet man als Wertstellung oder Wert derselben. Banküblich ist weiter, Spareinlagenzinsen am Jahresende zu kapitalisieren, d.h. den Zins dem Kapital zuzuschlagen. Während die Zinsformel (7) nur einfache Zinsen für das Anfangskapital K0 gelten lässt, berücksichtigt die Zinseszinsrechnung auch Zinsen, die sich aus Zinsgutschriften bzw. aus Zinsbelastungen am Ende einer Zinsperiode ergeben. In rechtlicher Hinsicht ist das Zinseszinsverbot nach § 248 Abs. 1 BGB als Schutzvorschrift zu Gunsten des Schuldners zu beachten. § 248 Abs. 1 BGB bezieht sich nur auf die Vereinbarung im Voraus. Nachträglich ist es im Umkehrschluss zulässig, aufgelaufene Zinsen dem Kapital zuzuschlagen und mit zu verzinsen (typischer Fall in der Bankpraxis). Weiter dürfen Banken im Voraus vereinbaren, nicht erhobene Zinsen auf Einlagen als neue zu verzinsende Einlagen zu behandeln. Überdies erlaubt § 355 HGB – als weitere Ausnahme von § 248 Abs. 1 BGB – im Kontokorrentverkehr die Berechnung von Zinseszinsen. Der festgestellte Saldo des Kontokorrents ist damit auch insoweit zu verzinsen, als er auf ursprünglich berechnete Zinsen zurückzuführen ist. Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 16 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 17 2. Zins und Zinseszinsen16 2.2 Zinseszins bei jährlicher Verzinsung Geht man davon aus, dass die Belastungszeit n genau N ganze Zinsperioden umfasst, also in der Regel auch am 1.1. eines Kalenderjahres beginnt, so ergibt sich bei einem Zinssatz i folgende Übersicht (nachschüssige Verzinsung unterstellt): Anfang des ersten Jahres: K0 Ende des ersten Jahres: 1K K K · i K · (1 i)= + = +0 0 0 , Ende des zweiten Jahres: 22 1K K · ( i) K · ( i)= + = +01 1 … … Ende des n-ten Jahres: nnK K · ( i)= +0 1 Ersetzt man den Ausdruck p 1 i 1+ = + 100 durch den Aufzinsungsfaktor q 1 i= + , so lautet die allgemeine Zinseszinsformel: = nnK K · q0 bzw. nn nn K K K · v q = =0 (11) Die Bedeutung dieser Formel (11) ist für die Zinseszinsrechnung ebenso fundamental wie die Formel (7) für die einfache Verzinsung. Es sei jedoch nochmals darauf hingewiesen, dass Formel (7) für beliebige Laufzeiten gilt, Formel (11) hingegen nur auf ganzzahlige Vielfache einer Zinsperiode angewendet werden darf. Dabei wird zusätzlich vorausgesetzt, oftmals stillschweigend, dass Zinsperiode und Beleihungszeit gleichzeitig beginnen müssen. Diese Einschränkungen mussten bereits bei der Entwicklung der Zinseszinsformel gemacht werden. Zur Verdeutlichung der Zusammenhänge zwischen dem Rechnen mit einfachen Zinsen und Zinseszinsen dient das folgende Beispiel Beispiel 1: Ein Kunde legt 1 000 € bei seiner Bank zum Nominalzinssatz von 6 % an; Laufzeit 6 Jahre. Bei einfacher Verzinsung ergibt sich ein Endkapital (Endguthaben) von 1 000 (1 + 0,06 · 6) – 1 360. Rechnet die Bank dagegen mit Zinseszinsen, so beläuft sich das Endkapital auf + =( , ) , 61 000 1 0 06 1 418 52. Um aus dem Beispiel weitere Erkenntnisse gewinnen zu können, wurden in der folgenden Tabelle Zinsen und Kapitalstand halbjährlich angegeben. Bei der finanzmathematisch exakten Zinseszinsrechnung steht die Zeit – auch bei unterjährlicher Verzinsung – immer im Exponenten. Damit gilt t t tz K i K K i360 3600 0 0(1 ) [(1 ) 1]= + − = + − Dabei gibt zt die zum Zeitpunkt t aufgelaufenen Zinsen an. Wegen der halbjährlichen Betrachtung stehen im Exponenten nicht ganze Jahre, sondern konsequenterweise Jahresbruchteile („t/360“). So gilt für die Zinsen per Halbjahr 9: z = − = 1620 360 1620 1 000 [1,06 1] 299,80 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 16 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 17 2.2 Zinseszins bei jährlicher Verzinsung 17 Einfache Zinsen Zinseszinsen Zinssatz 6,00 % Zinssatz 6,00 % Halbjahr Zinstage Zinsen Kapital Halbjahr Zinstage Zinsen Kapital 0 1 000,00 0 1 000,00 1 180 30,00 1 030,00 1 180 29,56 1 029,56 2 360 60,00 1 060,00 2 360 60,00 1 060,00 3 540 90,00 1 090,00 3 540 91,34 1 091,34 4 720 120,00 1 120,00 4 720 123,60 1 123,60 5 900 150,00 1 150,00 5 900 156,82 1 156,82 6 1 080 180,00 1 180,00 6 1 080 191,02 1 191,02 7 1 260 210,00 1 210,00 7 1 260 226,23 1 226,23 8 1 440 240,00 1 240,00 8 1 440 262,48 1 262,48 9 1 620 270,00 1 270,00 9 1 620 299,80 1 299,80 10 1 800 300,00 1 300,00 10 1 800 338,23 1 338,23 11 1 980 330,00 1 330,00 11 1 980 377,79 1 377,79 12 2 160 360,00 1 360,00 12 2 160 418,52 1 418,52 Das Beispiel erlaubt Folgerungen allgemeiner Art: Bezogen auf ein volles Laufzeitjahr ist die Unterscheidung zwischen einfachen Zinsen und Zinzeszinsen bedeutungslos (vorausgesetzt, i repräsentiert zugleich den Effektivzinssatz): K i · K ( i) + = + 1 0 0 360 1 1 360 Im Zeitraum bis zu einem Jahr führt das Rechnen mit einfachen Zinsen zu höheren Guthaben als die Zinseszinsrechnung: 1000 1050 1100 1150 1200 1250 1300 1350 1400 1450 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Einfache Zinsen Zinseszinsen Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 18 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 19 2. Zins und Zinseszinsen18 tt K i · K ( i) + > + 360 0 01 1360 für t < 360 Bei Laufzeiten von über einem Jahr ergeben sich bei Zinseszinsrechnung höhere Endguthaben als bei einfachen Zinsen: tt K i · K ( i) + < + 360 0 01 1360 für t < 360 Als gesuchte Größen kommen bei der Zinseszinsformel das Endkapital Kn, das Anfangskapital K0, der Zinssatz i und die Laufzeit n in Frage. Im folgenden Beispiel sollen durch (a), (b), (c) und (d) die vier Arten von Fragestellungen gekennzeichnet und behandelt werden. Beispiel 2: Ein Anfangskapital von 8 000,– € wird bei einer Bank angelegt, die Zinseszinsen berechnet (nachschüssig). (a) Welches Endkapital ergibt sich nach 18 Jahren, wenn die Bank mit 5,5 % verzinst? (b) Welches Anfangskapital hätte anstelle der 8 000,– € angelegt werden müssen, damit man bei 5,5 % Verzinsung in 18 Jahren 25 000,– € als Endkapital erhalten würde? (c) Mit welchem Zinssatz verzinst die Bank, wenn sich nach 12 Jahren ein Endkapital von 18 000,– € ergibt? (d) Wie viele Jahre muss das Anfangskapital angelegt werden, damit es bei 5 % Verzinsung auf 15 085,20 € anwächst? Zu (a): K0 = 8 000; i = 5,5 % und damit q = 1,055; n = 18 K18 = 8 000 · 1,05518 = 20 971,73 Zu (b): K18 = 25 000,– €; i = 5,5 %; n = 18 = =    K · , , 18 0 1 25000 9536 65 1 055 Zu (c): K0 = 8 000; K12 = 18 000; n = 12 Aus nnK K · q= 0 folgt: n n K q K = 0 nn · lg q lg K – lg K= 0 nlg K lg Klg q n − = 0 − = =    lg lg lg q , 18000 8000 0 029348 12 = ⇔ = ,lg q , q 0 0293480 029348 10 q = 1,06991 und damit p = 6,99 (Hinweis: lg gibt den dekadischen Logarithmus an.) Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 18 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 19 2.2 Zinseszins bei jährlicher Verzinsung 19 Zu (d): K0 = 8 000; q = 1,05; Kn = 15 085,20 Aus nnK K · q= 0 folgt: nn · lg q lg K – lg K= 0 nlg K lg Kn lg q − = 0 lg , lg    n lg , − = = 15085 20 8000 13 1 05 ; also 13 Jahre. Ist bei festgelegtem Zinssatz ein Kapital zu einem Zeitpunkt vorgegeben, so bezeichnet man ein zu einem späteren Zeitpunkt durch die Zinseszinsformel zugeordnetes Kapital als aufgezinst, ein zu einem früheren Zeitpunkt entsprechend zugeordnetes Kapital als abgezinst oder diskontiert. Wir wollen jedoch fortan den erweiterten Diskontierungsbegriff verwenden und festlegen: Wird der Betrag eines zu einem ersten Zeitpunkt gegebenen Kapitals für einen zweiten Zeitpunkt ermittelt, so nennt man diesen Vorgang diskontieren. Nachstehende graphische Darstellung veranschaulicht die Aufzinsung bzw. Abzinsung eines zum Zeitpunkt „5“ fest vorgegebenen Kapitals von 1 000,– € bei einem Zinssatz von 8 %. Die aus der Darstellung ersichtlichen Werte sind einander gleichwertig, man bezeichnet sie auch als äquivalent. Werden etwa 1 360,– € vom Zeitpunkt „9“ auf den Zeitpunkt „1“ abgezinst, so ergeben sich 735,– €; werden umgekehrt 857,– € vom Zeitpunkt „3“ auf den Zeitpunkt „7“ aufgezinst, so ergeben sich 1 166,– €. Voraussetzung für den Vergleich von Kapitalien ist, dass sie in ihrer Wertstellung übereinstimmen, also auf selben Zeitpunkt diskontiert werden. 2000 EURO 735 794 857 926 10001080 1166 1260 1360 1469 1 Abzinsen Aufzinsen 5 10 1500 1000 500 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 20 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 21 2. Zins und Zinseszinsen20 Aufgabe 1: Jemand legt 40 000,– € zu 5,5 % Zinseszinsen bei einer Bank an. Über welches Guthaben verfügt er nach 12 Jahren? Ergebnis: K12 = 40 000 · 1,05512 = 76 048,40. Aufgabe 2: Ein Erbnehmer erhält aus einer Erbschaft ein Kapital von 50 120,– €, das bei 6,2 % Zinseszinsen 14 Jahre lang angelegt war. Wie groß war das vor 14 J ahren angelegte Anfangskapital? Ergebnis: K · , , = =0 14 1 50 120 21 590 79 1 062 . Aufgabe 3: Ein Anfangskapital von 15 000,– € wächst durch Zinseszinsen im Laufe von 15 Jahren auf 40 000,– € an. Welcher Zinssatz liegt der Kapitalentwicklung zugrunde? Ergebnis:     q ,= =15 40000 1 06757 15000 , also i = 6,757 %. Aufgabe 4: Ein Anfangskapital von 10 000,– € ist durch 4,5 % Zinseszinsen auf 14 221,– € angewachsen. Nach wie viel Jahren wurde dieser Endwert erreicht? Ergebnis: lg lgn lg   ,   − = = 14221 1000 8 1 045 , also 8 Jahre. Aufgabe 5: Ein Anfangskapital von 30 000,– € wird 12 Jahre lang auf Zinseszinsen angelegt und wächst dadurch auf 70 000,– € an. Die für die ersten 3 Jahre gewährte Verzinsung wurde für die folgenden 5 Jahre um 0,5 % gesenkt und anschließend für die letzten 4 Jahre um 0,5 % erhöht. Mit welchem Zinssatz wurde das Kapital in den ersten 3 Jahren verzinst? Man hat für die ersten 3 Jahre den Zinssatz i, für die folgenden 5 Jahre den Zinssatz i – 0,5 % und für die letzten 4 Jahre den Zinssatz i – 0,5 %. Den verschiedenen Zinssätzen i, i – 0,5 % und i – 0,5 %, werden der Reihe nach die Zinsfaktoren q1, q2 und q3 zugeordnet. Dann ergibt sich: ( ) ( ) ( )K K · q · i · (i , %) · (i , %)  = = = + + − + +3 5 4412 8 370000 30 000 1 1 0 5 1 0 5 Mit ( ) ( ) ( )· i · (i , %) · (i , %)= + + − + +3 5 47 3 1 1 0 5 1 0 5 Ergebnis: Lösung nur durch Interpolation möglich; i = 7,3586 % Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 20 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 21 2.3 Gemischte Verzinsung 21 Aufgabe 6: Ein Vertrag regelt die Tilgung einer Schuld von 300 000,– € folgendermaßen: 100 000,– € sind sofort fällig, 100 000,– € sind nach zwei Jahren zu zahlen, der Restbetrag ist nach 4 Jahren zu tilgen. Ermitteln Sie die Restschuld bei 8 % Zinseszinsen! Lösung: 155 458,– € Restschuld. Aufgabe 7: Für einen Hausverkauf werden zwei Angebote gemacht. Angebot A: 80 000,– € sofort, 100 000,– € nach 2 Jahren. 40 000,– € nach 5 Jahren. Angebot B: 96 600,– € sofort, 75 000,– € nach 3 Jahren, 50 000,– € nach 4 Jahren. Welches Angebot ist für den Verkäufer günstiger, wenn dieser Geld mit 7 % Zinseszinsen anlegen kann. Maßgeblich ist das verfügbare Guthaben in 5 Jahren. Lösung: A: 80 000 (1,07)5 + 100 000 (1,07)3 + 40 000 = 274 708,44 B: 96 600 (1,07)5 + 75 000 (1,07)2 + 50 000 · 1,07 = 274 854 B ist günstiger. Aufgabe 8: Bei welchem Zinssatz verdoppelt sich ein Kapital in 12 Jahren? Lösung: 2K0 = K0 q12; q = 1,05946; also i = 5,946 %. 2.3 Gemischte Verzinsung In der Mehrzahl der praktisch vorkommenden Fälle wird die Laufzeit n einer Kapitalverleihung kein ganzzahliges Vielfaches einer Zinsperiode ausmachen. Auch wird in der Regel die Laufzeit n nicht gleichzeitig mit einer Zinsperiode beginnen. Da andererseits die Zinseszinsformel (11) nur für ganzzahlige Zinsperioden N zuständig ist, muss die finanzmathematische Handhabung von Zinseszinsen für n N≠ noch geklärt werden. An einem Zeitstrahl sei nachstehend die Lage einer Laufzeit n allgemein dargestellt: Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 22 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 23 2. Zins und Zinseszinsen22 t(a) bedeutet dabei jenen Bruchteil einer Zinsperiode, der vor der nächst gelegenen Zinsperiodengrenze „0“ liegt, t(e) bedeutet jenen Bruchteil einer Zinsperiode, der nach der zuletzt auftretenden Zinsperiodengrenze liegt. Die Laufzeit n setzt sich somit zusammen aus n t(a) N t(e)= + + . (12) Die Entwicklung eines Anfangskapitals K0 innerhalb der Laufzeit n zum Kapital Kn kann nun in drei Schritten dargestellt werden. Für die Zeit t(a): Nach einfacher Verzinsung gem. Formel (7); von 0 bis N: Nach Zinseszinsformel (11); für die Zeit t(e): Nach einfacher Verzinsung gem. Formel (7). Eine Verzinsung dieser Art nennt man gemischte Verzinsung. Bei einer solchen Verzinsung könnte die tatsächliche Kapitalentwicklung ebenso erfasst werden, wenn man dekursiv für die N 2+ Zeiträume t(a), 0 bis 1, 1 bis 2, … , N – 1 bis N, t(e) jeweils die Zinsformel für einfache Zinsen anwenden würde. Die Zinseszinsformel (11) gestattet lediglich eine zusammengefasste und erheblich vereinfachte Behandlung der N ganzen Zinsperioden, die in der Laufzeit n enthalten sind. Ändert sich zu irgendeinem Zeitpunkt eine Verzinsungsbedingung, wie dies etwa durch Festlegung eines neuen Zinssatzes p2, statt p1 der Fall sein kann, so wird dadurch die Zusammenfassbarkeit mittels Zinseszinsformel unterbrochen. In diesem Fall ist bei der betroffenen Zinsperiode in zwei Schritten zu verfahren: Von Zinsperiodenbeginn bis zum Unterbrechungszeitpunkt nach einfacher Verzinsung gem. Formel (7) mit dem Zinssatz p1, vom Unterbrechungszeitpunkt bis zum Zinsperiodenende nach einfacher Verzinsung gem. Formel (7) mit dem Zinssatz p2. Zusammenfassend ist zu sagen, dass die Zinseszinsformel (11) hauptsächlich bei Kapitalverträgen, Anleihen und dergleichen angewendet wird. Für Teilaspekte innerhalb einer Zinsperiode ist die Zinsformel (7) für einfache Zinsen zuständig. Aufgabe 9: Sie legen am 10.10.13 bei einer Bank  K 2=0 0000 zu 5,75 % Zinsen an. Die Bank kapitalisiert die Zinsen jeweils zum Jahresende. Auf welchen Betrag wird das Kapital angewachsen sein, wenn Sie am 20.10.20 das Bankguthaben auflösen? Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 22 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 23 2.4 Mittlerer Zahlungstermin 23 Man hat: Vom 10.10.13 bis 31.12.13: 80 Tage, von Anfang 01.01.14 bis 31.12.19: 6 Zinsperioden, von Anfang 01.01.20 bis 20.10.20: 290 Tage. · , · , K ( . . ) · , · , = + + = 680 0 0575 290 0 057520 10 20 20 000 1 1 0575 1 29 640 80 360 360 . Aufgabe 10: Ein Kapital von 10 000,– € ist bei einem Zinssatz von 6% durch Zinsen und Zinseszinsen auf 20 000,– € angewachsen. Wie lang war das Kapital angelegt, wenn die krumme Laufzeitperiode nur mit einfachen Zinsen verzinst wird? 1. Schritt: 10 000 · 1,06x = 20 000 ⇒ x = 11,896 Jahre, also N = 11 2. Schritt: + = ⇒ = t · , , ·   t  1110000 1 06 1 0 06 20000 322 360 (aufgerundet) ⇒ Verzinsungszeit 11 Jahre 322 Tage. Aufgabe 11: Eine Sparkasse gewährt für einen Sparbrief 6 % Zinseszinsen. Welche Ansparzeit ist nötig, damit sich ein Guthaben verdoppelt (a) wenn die Geldanlage mit Beginn eines Kalenderjahres, (b) am 30.6. eines Kalenderjahres erfolgt? (Hinweis: Rechnen Sie mit einfachen Zinsen in den „krummen“ Zeitabschnitten.) Lösung: Zu (a) 11 Jahre und 321 Tage. Zu (b) 11 Jahre und 317 Tage. 2.4 Mittlerer Zahlungstermin Sind mehrere Kapitalien K(n1), K(n2), K(n3), …, K(nx) zu verschiedenen Terminen n1, n2, n3, …, nx zur Zahlung fällig, so kann die Frage gestellt werden, zu welchem Termin n die Gesamtschuld durch die Summe der Teilbeträge K(n1) + K(n2) + … + K(nx) beglichen werden kann. Diesen Termin n bezeichnet man als mittleren Zinstermin bzw. mittleren Zahlungstermin. Verwendet man t = 1, …, x als Laufindex für K(nt), so gilt das Folgende. Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 24 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 25 2. Zins und Zinseszinsen24 Einfache Zinsen Der diskontierte Ablösebetrag K mit x (nt ) t K K = =∑ 1 , der zum mittleren Zinstermin n nach t* Tagen bezahlt wird, entspricht den diskontierten Teilbeträgen K(nt): x –1 –1 (nt ) t K (1 i · t*) K (1 i · t) = + = +∑ 1 . Zinseszinsen Im Folgenden wird davon ausgegangen, dass die Termine n1, n2, n3, …, nx jeweils ein Jahresende bzw. eine Zinsperiodengrenze darstellen. Soweit anders vorgegeben, müssten die Kapitalien K(n1), K(n2), …, K(nx) zunächst auf das jeweilige Jahresende bzw. Zinsperiodenende aufgezinst werden. Wie bei den einfachen Zinsen muss der Barwert des Ablösebetrags mit den diskontierten Teilbeträgen übereinstimmen: t x –t* –t (n ) t K (1 i) K (1 i) = + = +∑ 1 Aufgabe 12: Ein Schuldner hat 4 000,– € sofort, 2 000,– € nach 8 Jahren, 2 500,– € nach 10 Jahren und weitere 3 000,– € nach 15 Jahren zu zahlen. (a) Nach welcher Zeit könnte der Schuldner die Gesamtschuld bei 4 % Zinsen zum Nennbetrag entrichten? (b) Zu welchem Zeitpunkt kann die Gesamtschuld bei 5 % Zinsen mit 11 000,– € beglichen werden? Lösung: Zu (a) Man erhält für den Barwert K0: = + + + =K · v ·    , ·   v v8 10 150 4000 2000 2500 3000 8816 06. = =nnK , · ,  , – 8816 06 1 04 11500 lg lg , n   ,   lg , − = = 11500 8816 06 6 77 1 04 und damit N = 6 volle Jahre. Die Schlussfolgerung von n = 6,77 auf N = 6 volle Jahre ist deshalb zulässig, weil die Funktion n qK K · n= 0 überall stetig und streng monoton steigend ist. Unterstellt man einfache Zinsrechnung im gebrochenen Laufzeitabschnitt, so gilt: + = ⇒ = , · t , ( , ) n ,   6 0 04 8816 06 1 04 1 11500 278 22 360 (279 Tage). Mittlerer Zahlungstermin: nach 6 Jahren und 279 Tagen. Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 24 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 25 2.4 Mittlerer Zahlungstermin 25 Zu (b) Man erhält für den Barwert K0 analog = , K0 8331 51 wegen = ⇔ =–t*  · , , t* , 11000 1 05 8331 51 5 69 + = ⇒ = t , ·   , , · t ,58331 51 1 05 1 0 05 11000 248 26 360 Die Gesamtschuld könnte damit nach 5 Jahren und 249 Tagen mit 11 000,– € beglichen werden. Aufgabe 13 Ein Anfangskapital K0 wächst in 18 Jahren zum selben Endkapital an, wie ein um 20 000,– € höheres Anfangskapital in 9 Jahren. Werden nach 9 Jahren zu dem höheren Anfangskapital nochmals 10 000,– € eingezahlt, so erzielt man dadurch, nach insgesamt 18 Jahren, das Fünffache des ursprünglichen Endkapitals. (a) Wie groß war das ursprüngliche Anfangskapital? (b) Mit welchem Zinssatz wird verzinst? Lösung: Zu (a) I. 18 9K q K 2 q0 0· ( 0 000) ·= + II. K q q K q9 9 180 0[( 20 000) · 10 000] · 5 · ·+ + = K q K + =9 0 0 20 000 in II: K K K 2 0 0 0 ( 20 000) 10 000 5 · ( 20 000) + + = + + =K K –20 012 500 100 000 000 0 Benötigt wird hier die Lösungsformel für quadratische Gleichungen. Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form ax2 + bx +c =0 mit den Koeffizienten a, b, c mit a ≠ 0 und der Unbekannten x. Die Lösungen ergeben sich mit: Im Beispiel sind a = 1, b = 12 500 und c = -100 000 000; damit gilt: x x x 2 1,2 1 2 12 500 12 500 4 1 ( 100 000 000) 5 542,48; 18 042,48 2 1 − ± − ⋅ ⋅ − = ==> = = − ⋅ Damit gilt K0 = 5 542,48. Die zweite, negative Lösung der quadratischen Gleichung ist finanzmathematisch ohne Belang. Zu (b) , q ,     ,  + = =9 5542 48 20000 4 6084929 5542 48 q = 1,18503; i = 18,5 %. Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 26 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 27 2. Zins und Zinseszinsen26 2.5 Unterjährliche Verzinsung Die bisherigen Betrachtungen zur Zinsrechnung setzten voraus, dass jeweils eine bestimmte Zinsperiode fest vorgegeben ist. Mit der Verzinsung „p.a.“ stand dabei das Kalenderjahr als Zinsperiode im Mittelpunkt. Werden Teile eines Jahres als Zinsperiode festgelegt, so spricht man von unterjährlicher Verzinsung. Halbjahresverzinsung, Vierteljahresverzinsung, Monatsverzinsung und Tagesverzinsung sind dafür kennzeichnende Beispiele. Für den jeweils geltenden Zinssatz sind folgende vier Unterscheidungen zu beachten: (1) Nomineller Jahreszinssatz i kennzeichnet die Verzinsung „p.a.“, also das Jahr als Zinsperiode. (2) Relativer Zinssatz ist der auf einen Teil des Jahres bezogene Zinssatz; der Halbjahreszinssatz i/2 kennzeichnet zum Beispiel ½ Jahr als Zinsperiode. Er wird im Folgenden teilweise auch als zeitanteiliger nominaler Jahreszinssatz bezeichnet. (3) Effektiver Zinssatz wird durch die Fragestellung festgelegt: Welcher Jahreszinssatz ersetzt einen vorgegebenen relativen Zinssatz? (4) Konformer Zinssatz wird durch die Fragestellung festgelegt: Welcher, auf einen Teil des Jahres bezogene, Zinssatz ersetzt einen vorgegebenen effektiven Zinssatz? Ist q der effektive Zinsfaktor und q der dazugehörige relative Zinsfaktor, der für 1/m Jahre als Zinsperioden gilt, so müssen beide Aufzinsungen eines gegebenen Anfangskapitals K0 zum gleichen Kapital K1 führen. Es muss also mK · q K · q=0 0 gelten und damit mq q= bzw. = mq q (13) Da m die Zahl der unterjährlichen Zinskapitalisierungszeitpunkte angibt, gilt: ( ) m n neff n i K K K i m · 0 01 1 = + = + mit i als Nominalzinssatz p.a. und ieff als Effektivzinssatz p.a. Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 26 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 27 2.6 Stetige Verzinsung 27 Aufgabe 14: Welche Effektivverzinsung p.a. ergibt sich, wenn vierteljährlich mit 1,5 % verzinst wird? Lösung: Aus =K · q K · , 40 0 1 015 ergibt sich: i =6,136 %. Aufgabe 15: Welcher Halbjahreszinssatz muss gewählt werden, um einer Effektivverzinsung von 9 % p.a. zu entsprechen? Lösung: Aus =, q 21 09 folgt =q ,1 044. Damit sind 4,4 % Halbjahreszinsen zu einer Effektivverzinsung von 9 % konform. Aufgabe 16: Ein Kapital von 50 000,– € wird mit 8 % nominell verzinst. Die Zinseszinsen werden jedoch vierteljährlich berechnet und kapitalisiert. (a) Auf welchem Endwert ist das Kapital nach 20 Jahren angewachsen? (b) Mit welchem Zinssatz wird das Kapital effektiv verzinst? (c) Welcher relative Monatszinssatz müsste gewählt werden, um der Effektivverzinsung unter (b) zu entsprechen? Zu (a) K80 = 50 000 · 1,0280 = 243 772,00. Zu (b) Aus q = 1,024 = 1,08243 ergibt sich i = 8,243 %. Zu (c) Aus =q ,3 1 02 ergibt sich 0,662% als Monatszinssatz. 2.6 Stetige Verzinsung Die Verzinsung eines Kapitals erfolgt, so lange Verzinsungsperioden bestimmter Dauer (Jahr, Halbjahr, Quartal …) vorgegeben sind, jeweils am Ende (oder auch am Anfang!) der Zinsperiode. Während einer Zinsperiode tritt keine Veränderung ein. Die graphische Darstellung des zeitlichen Ablaufs eines Verzinsungsvorgangs zeigt bei endlicher Dauer der einzelnen Zinsperiode Stufen (Sprünge), kurz gesagt: die Verzinsung erfolgt diskret. Mit zunehmender Aufteilung eines Jahres in immer kleiner werdende Zinsperioden wird sich der diskrete Vorgang einem stetigen Vorgang nähern. Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 28 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 29 2. Zins und Zinseszinsen28 Die stetige Verzinsung wird auch als kontinuierliche Verzinsung bezeichnet. Wie in Kapitel 2.5 dargestellt wurde, wird bei vorgegebenem nominellen Zinssatz p die Effektivverzinsung umso größer, je kleiner die Zinsperiode gewählt wird. Teilt man das Jahr in m Teile, so erhält man i/m als relativen Zinssatz, und bei n vorgegebenen Jahren, n · m Zinsperioden. Die Zinseszinsformel nnK K · q= 0 geht dann über in nn · m m n · m n i i K K · q K K m m = = + = + 0 0 01 1 Setzt man für i / m 1 / x= bzw. für m i · x= , so erhält man: n i · ni · x x nK K Kx x = + = + 0 0 1 1 1 1 . Je feiner die Einteilung des Jahres in m Teile erfolgt, desto größer wird m und damit auch x. Der Ausdruck x x + 1 1 strebt für immer größer werdende x einem Grenzwert e zu: Es gilt x lim x ex →∞ + = 1 1 mit e 2,71828= als fünfstelliger Näherungswert. Die Zahl e wird nach dem Mathematiker Euler als „Eulersche Zahl“ bezeichnet. Für Kn ergibt sich: = i · nnK K · e0 (14) Formel (14) nennt man stetige Verzinsungsformel. Sie ist als Formel für stetiges Wachstum in der Naturwissenschaft von erheblicher Bedeutung, ist aber auch für zahlreiche finanzmathematische Fragestellungen, z.B. im Bereich der Optionspreisbestimmung, sehr wichtig. Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 28 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 29 2.7 Vorschüssige Verzinsung 29 Aufgabe 17: Welchen effektiven Zinssatz i muss man wählen, um einer stetigen Verzinsung von 5 % zu entsprechen? Wegen , 5K · q K · e= 0 00 0 erhält man: q = e0,05 = 1,05127, also i = 5,127 %. Aufgabe 18: Welche stetige Verzinsung ist einer Effektivverzinsung von 8 % zugeordnet? = ⇔ = ⇒ =i, e lg , i , %1 08 1 08 7 696 . (Anmerkung: Den Zinssatz der stetigen Verzinsung, der einer vorgegebenen Jahresverzinsung entspricht, bezeichnet man auch als deren Zinsintensität.) 2.7 Vorschüssige Verzinsung Bei nachschüssiger Verzinsung werden am Ende der Zinsperiode die Zinsen vom Anfangskapital gutgeschrieben. Es ist also: K K K K i · K i K − = + ⇔ = 1 01 0 0 0 in Worten: Endkapital = Anfangskapital + Zinsen vom Anfangskapital. Bei vorschüssiger Verzinsung werden die Zinsen bereits zu Beginn des Jahres einbehalten. Hier gilt: K K K K K i · K i K K ( i) − = − ⇔ = ⇔ = − 1 0 0 0 1 1 1 1 1 in Worten: Anfangskapital = Endkapital – Zinsen vom Endkapital. Entsprechend erhält man: 1 1 1K K – K i K (1– i)= =0 bzw. K K i = − 0 1 1 1 2 2 2K K – K i K (1– i)= = bzw. K K K i ( i) = = − − 1 0 2 21 1 und schließlich die allgemeine Formel: = −n n K K ( i) 0 1 (15) Da i i > + − 1 1 1 , weil 21 (1 i)(1– i) 1– i< + = , führt die vorschüssige Aufzinsung zu einem höheren Endwert als die nachschüssige Aufzinsung. Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 30 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 31 2. Zins und Zinseszinsen30 Aufgabe 19: Welches Darlehen K0 gelangt bei einer Bank zur Auszahlung, wenn die Bank 8 % vorschüssige Zinsen abzieht und nach 10 Jahren 50 000,– € zur Tilgung fällig sind? Lösung: Aus = − K ( , )   0 1050000 1 0 08 erhält man K0 = 21 719,45. Aufgabe 20: Welcher effektive Zinssatz i entspricht der in Aufgabe 38 beschriebenen Kapitalentwicklung? Ergebnis: q , ,     = =10 50000 1 08696 21719 45 und damit i , %= 8 696 Bezeichnen wir jenen vorschüssigen Zinssatz mit j, der einer nachschüssigen Verzinsung i entspricht, so erhält man 1 i j + = − 1 1 oder = − j i j1 (16) Aufgabe 21: Ein Kunde legt 1000 € zu 6 % nachschüssig an für 1 Jahr. Zu welchem Zinssatz j muss der Kunde anlegen, wenn die Bank vorschüssig verzinst, um das gleiche Endguthaben wie bei nachschüssiger Verzinsung zu erhalten. Lösung: Endguthaben bei nachschüssiger Verzinsung: 1 000 · 1,06 = 1 060; bei vorschüssiger Verzinsung gilt dann: 1 060 · (1 – j) = 1 000, vorschüssiger Zinssatz j = 5,660377 % Aufgabe 22: Mit welchem vorschüssigen Zinssatz j erreicht man zum Ende eines Jahres den gleichen Endwert, wie er sich durch eine stetige Verzinsung von 6 % ergibt? Es soll also sein: , K K · e j = − 0 060 01 Hieraus ergibt sich j = 5,82 %. (Hinweis: In der Praxis ist die nachschüssige Verzinsung üblich. Eine vorschüssige Zahlungsweise findet man dagegen im Bereich der Renten- und Ratenzahlungen häufiger (vgl. dazu Kapitel 4).) Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 30 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 31 3. Abschreibungen 3.1 Abschreibungsbegriff Unter Abschreibungen versteht man die buchmäßige Erfassung der (technischen und wirtschaftlichen) Wertminderung, die bei Gütern des Anlagevermögens durch Abnutzung oder Alterung in der Nutzungszeit entsteht. Abschreibungen werden häufig abgekürzt mit AfA (Absetzung für Abnutzung). Werden die Anschaffungs- oder Herstellungskosten des Anlagevermögens auf die Jahre der wirtschaftlichen Nutzungsdauer verteilt, so spricht man von einer Zeitabschreibung, erfolgt die Abschreibung entsprechend der Nutzungsintensität, so handelt es sich um eine Leistungsabschreibung. Die Abschreibungsbeträge sollen über die Umsatzerlöse verdient werden und damit die Wiederbeschaffung (Ersatzbeschaffung) der in der betriebsgewöhnlichen Nutzungszeit abgenutzten oder unwirtschaftlich gewordenen Güter ermöglichen. Abschreibungen werden in der Kostenrechnung, der Handelsbilanz und der Steuerbilanz verrechnet. Da jeweils unterschiedliche Rechenzwecke vorliegen, werden häufig unterschiedliche Abschreibungsbeträge errechnet. In der Kostenrechnung steht der Gedanke der Wiederbeschaffung der Güter des Anlagevermögens im Vordergrund. Basis der Abschreibungsverrechnung sind deshalb regelmäßig die Wiederbeschaffungswerte zum voraussichtlichen Wiederbeschaffungszeitpunkt. In der Handelsbilanz sind die Regeln des § 253 Abs. 2 HGB für planmäßige Abschreibungen des Anlagevermögens zu beachten. Basis der Abschreibungsverrechnung sind die historischen Anschaffungskosten. In der Steuerbilanz werden grundsätzlich die handelsbilanziellen Abschreibungen übernommen (Grundsatz der Maßgeblichkeit der Handelsbilanz für die Steuerbilanz, vgl. § 5 (1) EStG), soweit nicht steuerliche Spezialvorschriften davon Abweichendes regeln (vgl. §§ 7, 7a ff. EStG). Bei den weiteren Betrachtungen werden wir folgende Größen benötigen: K0 Nennwert bzw. Anschaffungswert, n wirtschaftliche Nutzungsdauer, Kk Buchwert bzw. Bilanzwert nach k Jahren (mit k = 1, …, n), Qk Abschreibungsrate, Abschreibungsquote bzw. Abschreibung, also jenen Betrag, um den der Bilanzwert im k-ten Jahr vermindert wird; Abschreibung wird vielfach mit AfA (Absetzung für Anschaffung) abgekürzt, Kn Restwert (Restverkaufserlös, Altwert, Schrottwert; gegebenenfalls Erinnerungswert 1,– €) Zunächst wird die Leistungsabschreibung betrachtet (sie zählt man in der Kostenrechnung traditionell zu den beschäftigungsvariablen Kosten).

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References

Zusammenfassung

Bester Durchblick in der Finanzmathematik.

Finanzmathematik kompakt

Dieses Lehrbuch führt in die zentralen Themen der klassischen wie der modernen Finanzmathematik ein. Diese Kenntnisse gehören zum unerlässlichen Grundbestand betriebswirtschaftlichen Wissens. Über 150 Rechenbeispiele mit Lösungen helfen dem Leser, den Stoff nachzuvollziehen und das Erlernte zu überprüfen.

Die Schwerpunkte

– Zins- und Zinseszinsrechnung

– Rentenrechnung

– Tilgungs- und Kursrechnung

– Effektivverzinsung

– Klassische Investitionsrechnung

– Marktzinsorientierte Kapitalwertmethode

– Portfoliomanagement und CAPM

Der Autor

Prof. Dr. Konrad Wimmer, Kempten/Neu-Ulm.

Konkrete Hilfe

für Studierende der Wirtschaftswissenschaften an Universitäten, Fachhochschulen und Akademien, Bankkaufleute und Finanzdienstleister.