9. Messung und Steuerung des Zinsänderungsrisikos in:

Konrad Wimmer, Eugen Caprano

Finanzmathematik, page 210 - 223

Grundlagen und Anwendungsmöglichkeiten in der Investitions- und Bankwirtschaft

7. Edition 2013, ISBN print: 978-3-8006-4560-2, ISBN online: 978-3-8006-4561-9, https://doi.org/10.15358/9783800645619_210

Series: Vahlens Kurzlehrbücher

Bibliographic information
Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 200 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 201 9. Messung und Steuerung des Zinsänderungsrisikos 9.1 Durationskonzepte Bei der Durationsanalyse handelt es sich um ein Verfahren zur finanzmathematischen Beurteilung des Zinsänderungsrisikos von (Festzins-)Geschäften. 9.1.1 (Macaulay-) Duration Die auf Macaulay zurückgeführte Kennziffer Duration gibt die durchschnittliche Kapitalbindungsdauer einer Kuponanleihe (allgemein eines Vermögenswertes) an. Alternativ kann man darunter die mittlere Zeitdauer verstehen, während der ein Anleger sein Vermögen in einer Kuponanleihe gebunden hat, wenn er das Wertpapier bis zu seiner Endfälligkeit in Bestand hält. Folglich handelt es sich bei der Duration D um eine Kennziffer, die den gewogenen Mittelwert jener Zeitpunkte angibt, zu denen der Anleger Zahlungen erhält. Bei den Gewichtungsfaktoren für die Einzahlungszeitpunkte sind dabei die Barwerte der Einzahlungen in Relation zum Barwert der gesamten Einzahlungen maßgeblich. Formal gilt damit (K0 = Barwert der Zahlungsreihe der Kuponanleihe mit n –t t t e · (1 i) = +∑ 1 ; i bezeichnet hier die GKM-Rendite): n t t t e · ( i) · t D K − = + = ∑ 1 0 1 (86) Aufgabe 1: Die Kuponanleihe ist mit einem 7 % Zinskupon ausgestattet; Laufzeit drei Jahre, Geld- und Kapitalmarktrendite 8 %. Bestimmen Sie die Duration des Wertpapiers. Lösung: Marktrendite 8,00% Jahr Rück üsse Aktiva Abzinsfaktoren Barwerte Barwerte/Kurswert Jahr Zeitgewichtung 1 7,00 0,9259259 6,48 0,06652934 1 0,0665293 2 7,00 0,8573388 6,00 0,061601241 2 0,1232025 3 107,00 0,7938322 84,94 0,871869418 3 2,6156083 Summe 97,42 2,8053401 Duration Die Duration beträgt 2,81 Jahre. Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 202 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 203 9. Messung und Steuerung des Zinsänderungsrisikos202 Bei Zerobonds stimmt D mit der (Rest-)Laufzeit überein, da während dieses Zeitraums keine Rückzahlungen an den Investor erfolgen. Grafisch kann man sich diese Berechnungsschritte bei der Ermittlung der Duration gut verdeutlichen, wenn man eine „Waage“ zeichnet: Barwerte der Rück üsse Jahr 1 Waage, die bei Duration = 2,81 Jahre im Gleichgewicht ist Zeitachse Jahr 3 Jahr 2 Jahr 4 84,94 Hinsichtlich der Duration kann man folgende Aussagen treffen: • Sie ist umso größer, je länger die Restlaufzeit ist. • Sie ist umso kleiner, je höher die Marktrendite ist. • Sie ist umso kleiner, je höher der Kupon ist. Hinweis: Die Duration kann auch einfach mithilfe der Excel-Funktion DURATI- ON bestimmt werden. Im Beispiel ist einzugeben: DURATION („Kaufdatum“; „Falligkeitsdatum“; Nominalzinssatz; Marktrendite %; Häufigkeit Zinszahlung p.a.); DURATION(„30.12.12“; „30.12.15“; 7 %; 8 %; 1). Gut kann man die Durationsformel nachvollziehen, wenn man sich klar macht, dass jeder einzelne Cashflow als Zerobond interpretiert werden kann. Marktrendite 8,00% Jahr Rück üsse Aktiva Abzinsfaktoren Barwerte Barwerte/Kurswert Jahr Zeitgewichtung 1 7,00 0,9259259 6,48 1 1 1 2 0,8573388 0,00 0 2 0 3 0,7938322 0,00 0 3 0 Summe 6,48 1,0000 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 202 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 203 9.1 Durationskonzepte 203 Man kann damit auch die Gewichtung der Laufzeit der einzelnen Zerobonds (1, 2, 3 Jahre) mit der „Relation Barwert Cashflow zu Barwert gesamt“in den Mittelpunkt der Durationsformel stellen. Im Beispiel gilt: e · ( i) e · ( i) e · ( i) D K K K − − −+ + + = ⋅ + ⋅ + ⋅ 1 2 3 1 2 3 0 0 0 1 1 1 1 2 3. 9.1.2 Anwendungsmöglichkeiten der Duration Prinzipiell lassen sich zwei wesentliche Anwendungsgebiete der Duration in der Praxis unterscheiden. Modified Duration und Abschätzen von Kurswertänderungen Ein erster Ansatz besteht darin, die Kurswertveränderung von festverzinslichen Wertpapieren in Abhängigkeit von geänderten Marktrenditen abzuschätzen. Bildet man die erste Ableitung der Kapitalwertfunktion n t t t K e · ( i)− = = +∑0 1 1 , so erhält man n n t t t t t t K e · ( t) · ( i) e · ( t) · ( i) · ( i) i δ δ − − − − = = = − + = − + +∑ ∑1 10 1 1 1 1 1 n t t t · e · ( i) · t ( i) − = = − + + ∑1 1 1 1 . n t t t e · ( i) · t− = +∑ 1 1 entspricht dem Ausdruck D · K0. Somit lässt sich schreiben: K · D · K i ( i) δ δ = − + 0 0 1 1 (87) mit · D ( i)+ 1 1 als Modified Duration. Marktrendite 8,00% Jahr Rück üsse Aktiva Abzinsfaktoren Barwerte Barwerte/Kurswert Jahr Zeitgewichtung 1 0,9259259 0,00 0 1 0 2 7,00 0,8573388 6,00 1 2 2 3 0,7938322 0,00 0 3 0 Summe 6,00 2,0000 Duration Marktrendite 8,00% Jahr Rück üsse Aktiva Abzinsfaktoren Barwerte Barwerte/Kurswert Jahr Zeitgewichtung 1 0,9259259 0,00 0 1 0 2 0,8573388 0,00 0 2 0 3 107,00 0,7938322 84,94 1 3 3 Summe 84,94 3,0000 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 204 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 205 9. Messung und Steuerung des Zinsänderungsrisikos204 Der letztgenannte Ausdruck kann also zur Abschätzung der Kurswertveränderung des Wertpapiers in Abhängigkeit von der infinitesimalen Veränderung der Marktrendite herangezogen werden. Bei nicht-infinitesimalen Veränderungen der Marktrendite muss auch das Ausmaß der Renditenveränderung di in die Abschätzung einbezogen werden: K · D · K · di i ( i) δ δ = − + 0 0 1 1 . Beispiel 1: Angenommen, die Marktrendite in Aufgabe 1 steigt auf 10 %. Die exakte Berechnung des neuen Kurswertes mit der Kapitalwertformel liefert K0 = 92,54. Die Kurswertveränderung beträgt damit dK0 = –4,88. Näherungsweise erhält man dagegen 0 1 1 08 2 81 97 42 0 10 0 08 5 06dK –( / , ) · , · , ( , – , ) – ,= ⋅ = . Bei der eben vorgestellten Modified Duration handelt es sich um ein Maß für die Zinssensitivität. Sie gibt die erwartete Kurswertänderung in % an, wenn der Marktzinssatz um 1 % steigt oder fällt. Modified Duration prozentuale Kurswertänderung einprozentige Marktzinsänderung = Zur Duration besteht der bereits hergeleitete Zusammenhang: Modified Duration 1 D i = + Hinweis: Die Modified Duration kann auch einfach mithilfe der Excel-Funktion MDURATION bestimmt werden. Im Beispiel ist einzugeben: MDURATION („Kaufdatum“; „Falligkeitsdatum“; Nominalzinssatz; Marktrendite %; Häufigkeit Zinszahlung p.a.); MDURATION („30.12.12“; „30.12.15“; 7 %; 8 %; 1) Aufgabe 2: Für den folgenden Cashflow eines festverzinslichen Wertpapiers ist die Modified Duration zu bestimmen; weiter ist eine Kurswertabschätzung für eine Änderung der Marktrendite um + 1 % vorzunehmen: t0 t1 t2 –1 000 +100 +1 100 Lösung: D = 1,909; Modified Duration = 1,909 / 1,1 = 1,735 (d. h., wenn sich die Marktrendite um 1 Prozentpunkt ändert, ändert sich der Kurswert des Wertpapiers um 1,735 %). dK0 = –1 000 · 1,735 · 0,01 = –17,35 Während die Modified Duration das prozentuale Kursrisiko bezogen auf eine Renditeänderung von 1 Prozentpunkt misst, wird durch die Kennzahl Price Value of a Basis Point (BVBP) – alternativ auch als Basispoint Value bezeichnet – das Kursrisiko in absoluten Beträgen abgebildet. Dabei wird eine Renditeänderung von 0,01 Prozentpunkten (= 1 Basispunkt) zugrunde gelegt. Die Aussagen Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 204 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 205 9.1 Durationskonzepte 205 der Modified Duration und der Kennzahl Price Value of a Basis Point sind somit ineinander überführbar. Generell liegt die Kurswertschätzung mithilfe der (Modified) Duration immer über der tatsächlichen Kurswertveränderung: Die Krümmung der Kapitalwertfunktion, die die „tatsächlichen“ Kurswerte abbildet, wird auch als Convexity bezeichnet: Während die Duration die Reaktion des Barwertes auf Zinsänderungen beschreibt, gibt die Convexity an, wie der vorgestellte Schätzfehler auf Zinsänderungen reagiert. Die Hauptkritik an der vorgestellten Durationskonzeption richtet sich (1) auf die Unterstellung paralleler Zinsverschiebungen über das gesamte Laufzeitspektrum und (2) die Annahme der flachen Zinsstrukturkurve. Zu (1) Die Key Rate- Duration vermeidet diesen nicht zu bestreitenden Nachteil, indem die Duration auf Laufzeitsegmente (z. B. bis 3 Monate, bis 1 Jahr, bis 3 Jahre, über 3 Jahre) bezogen wird. Man erhält realistischere Kurswertschätzungen. Zu (2) Dieses Problem lässt sich einfach beseitigen, wenn in der Durationsformel mit laufzeitabhängigen Zerobondrenditen gearbeitet wird (sogenannte Effective Duration). Formulierung von Zinsimmunisierungsstrategien In der Praxis kann die Duration prinzipiell zur Formulierung einer Zinsimmunisierungsstrategie eingesetzt werden. Gilt Duration (Vermögenstitel) > Duration (Schuldtitel), dann besteht ein Zinsänderungsrisiko bei steigenden Zinsen: die Zahlungen im Bereich der Vermögenstitel fließen später als im Bereich der Schuldtitel, d. h. es ergibt sich ein Refinanzierungsbedarf im Bereich der Schuldtitel. Bei steigenden Marktzinsen kommt es zu einer Verteuerung der Kapitalaufnahme. Als Voraussetzung für die Zinsimmunisierung gilt (das Zinsänderungsrisiko beträgt dann [nahezu] null): Duration (Vermögenstitel) = Duration (Schuldtitel) Auf die dem Durationskonzept zugrunde liegenden Prämissen und zweifellos vorhandenen Schwächen kann im Rahmen dieses Buches nicht eingegangen Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 206 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 207 9. Messung und Steuerung des Zinsänderungsrisikos206 werden. An dieser Stelle soll vielmehr das einfache Beispiel 2 weiter unten die Grundüberlegungen bei der Zinsimmunisierung verdeutlichen (vgl. Rudolph 1979). Angenommen, ein Investor kann heute (t0) bei einem Marktzinsniveau von 6 % in drei verschiedene Wertpapiere investieren, die nach einem, zwei und drei Jahren (t1, t2, t3) die in der Tabelle angeführten Zins- und Tilgungszahlungen liefern. t0 t1 t2 t3 A (D = 1,93) – 15 000 + 5 900 + 5 600 + 5 300 B (D = 2) – 15 000 + 5 300 + 5 618 + 5 955,08 C (D = 2,84) – 15 000 + 900 + 900 + 15 900 Nunmehr sei unmittelbar nach Durchführung der Geldanlage eine Änderung des Marktzinsniveaus auf 4 % (Szenario 1) bzw. 8 % (Szenario 2) unterstellt. Außerdem betrage der Planungshorizont des Investors zwei Jahre, z. B. weil dieser dann das Geld für Konsumzwecke benötigt. Folglich interessiert die Vermögenssituation des Anlegers bei geänderten Marktzinsniveau nach Ablauf von zwei Jahren. Die folgende Tabelle belegt, dass nur bei Investition in das Wertpapier B mit einer Duration von 2 (Jahren) eine zinsänderungsrisikofreie Vermögensposition aufgebaut werden kann. In der Tabelle ist die jeweilige D in Klammern angegeben. Zins Wertpapier 4 % 6 % 8 % A (1,93) 16 832,15 16 854,– 16 879,41 B (2,00) 16 856,04 16 854,– 16 855,96 C (2,83) 17 124,46 16 854,– 16 594,22 Verfügungsbeträge („cash“) nach 2 Jahren Erläuterung zu A: A (4%) 5 900 · 1,04 + 5 600 + 5 300 / 1,04 = 16 832,15 A (8%) 5 900 · 1,08 + 5 600 + 5 300 / 1,08 = 16 879,41 Differenzbetrachtung – 236 + 0 + 188,74 = – 47,26   Wiederanlage effekt Kurseffekt Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 206 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 207 9.2 Barwert- und Endwertsimulationen und das Praxisbeispiel Baseler Zinsschock 207 Fazit: A (D < 2): Vorteil bei Zinssteigerung, Nachteil bei Zinssenkung C (D > 2): Vorteil bei Zinssenkung, Nachteil bei Zinssteigerung B (D = 2): bei jeder Zinsentwicklung zinsänderungsrisikofreie Vermögensposition. 9.2 Barwert- und Endwertsimulationen und das Praxisbeispiel Baseler Zinsschock 9.2.1 Beschreibung der Barwert- und Endwertsimulation Die Barwertsimulation zeigt die Änderung dBKW des Barwertes eines Finanztitels (allgemein eines Cashflows) an, wenn der Bewertungszinssatz der aktuellen Zinsstrukturkurve (vgl. marktzinsorientierte Kapitalwertmethode; v hier für laufzeitspezifische Abzinsungsfaktoren) um x  % steigt oder fällt (t  für Zeitpunkt; s für Szenario, z. B. Anstieg um ein Prozent für alle Laufzeiten): n n t ts t t t t dBKW e · v e · v = = = −∑ ∑ 1 1 (88) Beispiel 2: (vereinfachend wird eine flache Zinsstruktur unterstellt, in der Ausgangssituation i = 10 %): t0 t1 t2 Barwert Szenario – 1 000 + 100 + 1 100 0 Ausgangssituation – 17,12 + 1 % + 17,59 – 1 % Man beachte, dass sich keine symmetrische Veränderung bei gleich hoher Zinssatzveränderung nach oben oder unten ergibt (vgl. die Ausführungen zur Kapitalwertfunktion)! Nur wenn die Barwertveränderung in der vorgenannten Form berechnet wird, wird die Kurswertänderung infolge schwankender Zinsen exakt erfasst. Wie oben aufgezeigt, beurteilen die Durationskonzepte die Barwertveränderung nur näherungsweise korrekt. Für die Endwertsimulation gelten die Ausführungen analog. 9.2.2 Praxisbeispiel Baseler Zinsschock In der Bankenregulierung wird u.a. die Einrichtung angemessener Risikosteuerungs- und -controllingprozesse für Zinsänderungsrisiken im Anlagebuch gefordert. Unter Anlagebuch kann man sich die zinstragenden Geschäfte einer Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 208 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 209 9. Messung und Steuerung des Zinsänderungsrisikos208 Bank vorstellen; das sind z. B. Forderungen und Verbindlichkeiten gegenüber Kunden und Eigenanlagen, z. B. in Unternehmensschuldverschreibungen. Als Indikator für vergleichsweise hohe Zinsänderungsrisiken zieht die Bankenaufsicht den so genannten „Baseler Zinsschock“ heran. Für zwei Standardszenarien, die auch als Zinsschocks bezeichnet werden, wird auf Basis der internen Methoden und Verfahren von den Banken ermittelt, welche Eigenkapitalver- änderung resultiert (vgl. hierzu und zu den folgenden Anmerkungen „Rundschreiben 11/2011 (BA) der BaFin vom 09.11.2011“.) Bei den zwei Szenarien wird jeweils eine Parallelverschiebung der Zinsstrukturkurve „overnight“ angenommen: Zinsanstieg um 200 Basispunkte nach oben (Szenario 1); Zinsrückgang und 200 Basispunkte nach unten (Szenario 2). Die Kennziffer stellt auf den „wirtschaftlichen Wertverlust“ ab, der in Relation zu den regulatorischen Eigenmitteln (vgl. § 10 Abs. 2 KWG) gesetzt wird. Der wirtschaftliche Wertverlust entspricht dabei der Barwertänderung der zinsänderungsrisikobehafteten Geschäfte, die zum Berechnungszeitpunkt im Bestand sind. Institute sollen keine negative Barwertänderung von mehr als 20 % der regulatorischen Eigenmittel beim Zinsschock erleiden. Damit gilt die folgende Rechenvorschrifft (hier vereinfachend flache Zinskurve; ansonsten wäre die Barwertformel für die nicht-flache Zinskurve zu verwenden; s steht wiederum für Szenario) n n t ts t t t t e · v e · v Zinsschockkennziffer % Eigenkapital = = − = < ∑ ∑ 1 1 20 Modified Duration und Baseler Zinsschock Liegt in einem Kreditinstitut kein Verfahren der barwertigen Zinsbuchsteuerung vor, so greift das Ausweichverfahren, das auf der Modified Duration beruht. Das Ausweichverfahren gliedert sich in folgende Schritte: 1. Einstellen der aktivischen und passivischen Positionen in Laufzeitbänder 2. Bilden der Nettoaktiv- oder Passivposition pro Laufzeitband durch Saldierung 3. Multiplizieren der Nettopositionen mit laufzeitbandabhängigen Gewichtungsfaktoren (geschätzte Modified Duration) 4. Addition der gewichteten Nettopositionen zur gewichteten Gesamtnettoposition Das Ergebnis des vierten Schritts entspricht der geschätzten Barwertveränderung. Insgesamt werden demnach die Cashflows in den ersten zwei Schritten zu Laufzeitband-Cashflows gebündelt, die anschließend wie „normale“ Cashflows anhand der Modified Duration bewertet werden. Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 208 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 209 9.3 Value at Risk (VaR) 209 Laufzeitband Geschätzte MD 1 bis 2 Jahre 1,38 2 bis 3 Jahre 2,25 3 bis 4 Jahre 3,07 4 bis 5 Jahre 3,85 5 bis 7 Jahre 5,08 7 bis 10 Jahre 6,63 10 bis 15 Jahre 8,92 Hinweis: Diese Werte gibt die Bankenaufsicht vor (vgl. „Rundschreiben 11/2011 (BA) der BaFin vom 09.11.2011“). Aufgabe 3: Gegeben sind die Zinsbuch-Cashflows einer Bank samt Zerorenditen (bereits ermittelt sind die Abzinsfaktoren). Bestimmen Sie die Zinsschockkennziffer bei Zinsanstieg (+2 %-Punkte) a) bei exakter Barwertermittlung und b) anhand des Näherungsverfahrens der Bankenaufsicht; unterstellen Sie bei b) dass die Periode 2 genau bei 2 Jahren endet und somit zum Laufzeitband 1-2 Jahre rechnet (analog bei den weiteren Perioden). Perioden: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Cashflows – 500 – 200 100 200 200 200 200 300 100 100 Renditen aktuell 1,00% 1,10% 1,30% 1,50% 1,70% 1,90% 2,10% 2,30% 2,50% 2,70% v(aktuell) 0,990099 0,978358 0,961992 0,942184 0,919169 0,893213 0,864609 0,833671 0,800728 0,766118 Lösung: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 – 500 – 200 100 200 200 200 200 300 100 100 Renditen aktuell 1,00% 1,10% 1,30% 1,50% 1,70% 1,90% 2,10% 2,30% 2,50% 2,70% v(aktuell) 0,990099 0,978358 0,961992 0,942184 0,919169 0,893213 0,864609 0,833671 0,800728 0,766118 Barwert Start 536,10 € Zinsanstieg 2,00% 3,00% 3,10% 3,30% 3,50% 3,70% 3,90% 4,10% 4,30% 4,50% 4,70% Renditen „+2%“ v(+2%) 0,970874 0,940768 0,907192 0,871442 0,833885 0,794889 0,754823 0,714045 0,672904 0,631732 – 485,44 – 188,15 90,72 174,29 166,78 158,98 150,96 214,21 67,29 63,17 Barwert „+2%“ 412,81 € 12,78 13,44 Wertverlust –123,29 € Eigenkapital 600,00 € Zinsschockkennziffer: 20,55% exakt gerechnet Zinsschockkennziffer: 19,97% mit MD gerechnet 9.3 Value at Risk (VaR) Unter Value at Risk (VaR) wird die negative Wertveränderung eines riskanten Finanztitels bezeichnet, die mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit innerhalb eines vorgegebenen Zeitraums auf Basis einer historischen Zeitreihe nicht überschritten wird (vgl. Uhlir/Aussenegg, Wittrock/Jansen zum Folgenden). Das Risiko besteht damit in einer Reduzierung des Marktwertes des Eigenkapitals des Investors. Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 210 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 211 9. Messung und Steuerung des Zinsänderungsrisikos210 VaR-Konzepte werden insbesondere aufgrund gesetzlicher und aufsichtsrechtlicher Vorgaben im Kreditgewerbe angewendet. Darüber hinaus sind sie wesentlicher Bestandteil eines modernen Risikomanagements im Kreditgewerbe. Aber auch andere Branchen, die moderne Finanzinstrumente ebenfalls einsetzen, verwenden zur Quantifizierung des Risikos das VaR-Konzept, das insoweit branchenunabhängig von Bedeutung ist. Das Konzept sei an dieser Stelle in vereinfachter Form am Beispiel von Zinstiteln vorgestellt. I. d. R. misst man Zinssatzschwankungen über einen bestimmten Zeitraum, für die der arithmetische Mittelwert, die quadrierten Abweichungen vom Mittelwert σ2 (= Varianz) und die Standardabweichung σ (Wurzel aus der Varianz) ermittelt werden. Unterstellt man, dass die (ggf. logarithmierten) Zinssatzschwankungen normalverteilt sind, dann kann die Volatilität (= Standardabweichung) mit folgender Wahrscheinlichkeitsaussage verbunden werden: Angenommen, man habe die Volatilität der Kurswertschwankung des Zinstitels mit 0,75 % bezogen auf den Untersuchungszeitraum ermittelt. Daraus kann – auf Basis der Normalverteilungsannahme – der Schluss gezogen werden • in 68,27 von 100 Fällen verändern sich die Zinssätze um weniger als die einfache Standardabweichung von +/-0,75 % (d. h. in 31,73 % der Fälle wird die Abweichung die Standardabweichung überschreiten) • in 95,45 von 100 Fällen verändern sich die Zinssätze um weniger als die doppelte Standardabweichung von +/–1,5 % (d. h. in 4,55 % der Fälle wird die Abweichung die doppelte Standardabweichung überschreiten) • in 99,73 von 100 Fällen verändern sich die Zinssätze um weniger als die dreifache Standardabweichung von +/– 2,25 % (d. h. in 0,27 % der Fälle wird die Abweichung die dreifache Standardabweichung überschreiten) Die fett hervor gehobenen Werte werden auch als Konfidenzniveau (Vertrauensniveau) bezeichnet: je höher das Konfidenzniveau festgesetzt wird, desto breiter wird der Schwankungsraum der Werte. relative Häu gkeit VaR bei Normalverteilungsannahme jährl. Zinssatz- änderungen1 · σ 2 · σ –2,25 % –1,5 % –0,75 % +0,75 % +1,5 % +2,25 % Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 210 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 211 9.3 Value at Risk (VaR) 211 9.3.1 Vereinfachte Berechnung des VaR über Risikoparameter Value at Risk wird in der Praxis zum Teil anhand von Risikoparametern vereinfacht abgeschätzt. Diese Risikoparameter dienen dazu, die erwartete Marktwertänderung abzuschätzen. Die Volatilität des Finanztitels wird dabei ersetzt durch die des als relevant erachteten Einflussfaktors (z. B. Zinssatz). Speziell bei Festzinspositionen wird häufig die modified Duration als Sensitivitätsmaß zugrunde gelegt. Damit gilt folgender Zusammenhang: VaR = Marktwert · S · dEF (88) • mit S für Sensitivität des Zinstitels (Wie reagiert der Marktwert auf Veränderungen wertbestimmender Einflussfaktoren EF von 1 %?); die Modified Duration könnte hier beispielsweise verwendet werden. • dEF bedeutet eine beliebige Veränderung der wertbestimmenden Einflussfaktoren; z. B. kann für dEF die doppelte Standardabweichung der annahmegemäß dem EF zugrundeliegenden Normalverteilung angenommen werden (damit ist gleichzeitig ein bestimmtes Konfidenzniveau verbunden) • VaR misst dann die Marktwertschwankung, die z. B. bei vorgegebener doppelter Standardabweichung nur in rund 5  % aller Fälle über- oder unterschritten wird. Beispiel 3: Bei Zerobonds kann der VaR in Abhängigkeit vom Marktwert (MW), dem Quantil der Standardnormalverteilung (z), der Tagesvolatilität des laufzeitkongruenten Geld- und Kapitalmarktzinssatzes (σ), dem aktuellen laufzeitkongruenten Geld- und Kapitalmarktzinssatz i und der Modified Duration ermittelt werden. Zu verwenden ist die Ausgangsgleichung VaR = Marktwert · S · dEF (hier S = mod. D; dEF = (i · z · σ). Prinzipiell gilt also: VaR  =  KW  ·  z  · σ  ·  i  ·  md mit σ als Zinsvolatilität oder VaR  =  KW  ·  σ(KW) mit σ(KW) als Kurswertvolatilität; hier mit σ(KW) = z · σ · i · md. Es ist demnach immer entscheidend, ob die Zins- oder die Kurswertvolatilität verwendet wird. Angenommen es gilt: MW = 876 300, z = 1,65; σ = 0,008, i = 0,045 und mod. D. = 2,708 so erhält man den VaR mit 876 300 · 1,65 · 0,008 · 0,045 · 2,708 = 1494. Aufgabe 4: Ermitteln Sie im Beispiel 3a die (Rest-)Laufzeit des Zerobonds sowie den Rückzahlungsbetrag. Lösung: Gegeben: aktueller Marktwert 876 300, z = 1,64, i = 0,045, md = 2,708. Fälligkeit: D = md  · (1 + i)  = 2,708 · 1,045 = 2,83; bei Zerobonds entspricht die Laufzeit der Duration! Rückzahlungsbetrag: = 876 300 · 1,045 ^ 2,83 = 992 543. Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 212 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 213 9. Messung und Steuerung des Zinsänderungsrisikos212 9.3.2 VaR unter Einbeziehung von Diversifikationseffekten Die vorgestellte VaR-Konzeption erlaubt zwar statistische Aussagen über erwartete Marktwertverluste in Abhängigkeit von Risikoparametern, überschätzt allerdings das für das Gesamtunternehmen additiv aus den Einzelpositionen ermittelte Gesamtrisiko beträchtlich. Die im Zusammenhang mit der Portfoliotheorie beschriebenen Diversifikationseffekte, die zur Risikoreduktion führen, werden somit systembedingt ausgeblendet: die Summe Einzelrisiken ist gerade nicht gleich der Summe der Risiken unter Beachtung von Korrelationen zwischen diesen Einflussgrößen. Aus diesem Grund werden die aus der  Portfoliotheorie bekannten Überlegungen auf die VaR-Bestimmung übertragen. Weiter ist nunmehr beispielhaft zu zeigen, dass der VaR, der Diversifikationseffekte auf Profit-Center- oder Unternehmensebene unberücksichtigt lässt, zu einer Überschätzung des realen Risikos führt. Hierzu wird in starker Vereinfachung der Realität ein Cashflow vorgegeben, der auf zwei Kupon-Anleihen mit Laufzeiten von zwei und drei Jahren beruht (vgl. hierzu Uhlir/Aussenegg. Aus den in der Tabelle angegebenen Parametern kann der auf den einzelnen Cashflow bezogene VaR errechnet werden. Er beträgt 436,23 Geldeinheiten. Demgegenüber ergibt sich der VaR, der die Korrelationen zwischen den einzelnen (laufzeitabhängig definierten) Zerobonds-Renditen berücksichtigt, mit 422,66. Zu seiner Ermittlung kann jetzt nicht mehr auf die oben für den 2-Wertpapier-Fall abgeleitete Portfolio-Varianz abgestellt werden, da drei Cashflows und die Korrelationen der damit verbundenen drei Zerobonds-Renditen zu berücksichtigen sind. Die Lösung erfolgt anhand der Matrizenrechnung. Allgemein gilt: TVaR V · C ·V= Dabei bezeichnet VT die transponierte Matrix der VaR-Werte laut Einzelbetrachtung, C die Korrelationsmatrix der Zerobond-Renditen mit unterschiedlichen Laufzeiten und V die Matrix der VaR-Werte laut Einzelbetrachtung. Beispiel 4: Die Ausgangsdaten dieses Beispiels sind der nachfolgenden Tabelle zu entnehmen. Gegeben seien zwei Kuponanleihen A und B, für die der VaR bei einem Konfidenzniveau von 5 % und einer Haltedauer von einem Tag zu berechnen ist. i gibt hier bereits die laufzeitspezifischen Spot Rates bzw. Zerorates an, d. h. die Zerobondabzinsfaktoren lassen sich unmittelbar durch 1 / (1 + i)t berechnen. Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 212 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 213 9.3 Value at Risk (VaR) 213 I. VaR ohne Diversifikationseffekte Laufzeit (zugleich Duration) i (Spot Rates) Standardabw.(i) Mod. Duration Abzinsfaktor 1 3,70 % 0,0089 0,964320154 0,964320154 2 4,46 % 0, 0121 1,914608463 0,916431391 3 5,06 % 0, 0116 2,855511136 0,862358425 Laufzeit 1 2 3 Cashflow A 7 000 7 000 107 000 Cashflow B 5 000 105 000 Cashflow 12 000 112 000 107 000 Zerobonds aggregiert Abzinsfaktor 0,964320154 0,916431391 0,862358425 Barwert Cashflow 11 571,84 102 640,32 92 272,35 VaR pro Cash-Flow 1. Marktwert (MW) 11 571,84 102 640,32 92 272,35 2. z 1,65 1,65 1,65 3. Standardabw. 0, 0089 0, 0121 0, 0116 4. i 3,70 % 4,46 % 5,06% 5. Mod. Duration 0,9643 1,9146 2,8555 VaR 6,06 174,99 255,18 436,23 VaR gesamt (= 1. · 2. · 3. · 4. · 5.) Hinweis: Die folgende Darstellung setzt Kenntnisse der Matrizenrechnung voraus. II. VaR mit Diversifikationseffekten Vektor Einzel- VaR (V) Transponierte Matrix VT 6, 06 174, 99 255,18 [6,06 174,99 255,18] Korrelationsmatrix (C) der Spot Rates Laufzeit 1 2 3 1 1 0,16 0,12 2 0,16 1 0,92 3 0,12 0,92 1 1.Schritt 2.Schritt 3.Schritt C · V VT · (C · V) [VT · (C · V]^(1/2) 64,68 178646,15 422,67 410,72 VaR 416,90 (mit Diversifikation) Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 214 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 215 10. Einsatz von Excel in der Finanzmathematik Sämtliche Fragestellungen der Finanzmathematik können mithilfe von Tabellenkalkulationsprogrammen gelöst werden. Deshalb sollen an dieser Stelle einige Hinweise zum stark verbreiteten Programm Excel gegeben werden. Dabei ist es nicht der Anspruch dieses Werks, die beschriebenen finanzmathematischen Excel-Funktionen vollständig nachvollziehen zu können. Vielmehr wird hier ein kleiner Überblick gegeben, und es wird exemplarisch auf zentrale Fragestellungen eingegangen. Von den zahlreichen Excel-Standardfunktionen kann man (beispielhaft) hervorheben: RMZ (Regelmäßige Zahlung): Sie dient der Ermittlung der Annuität. Zu beachten ist, dass bei unterjährlicher Zahlung der anteilige Nominalzinssatz zu verwenden ist (z. B. 4 % p.a.; bei vierteljährlicher Zahlungsweise ist der Nominalzinssatz entsprechend mit 1% anzugeben; bei 4 Jahren Laufzeit ist weiter auf 16 Perioden zu rechnen). Beispiel 1: n = 10, i = 6 %; RMZ ergibt den Annuitätenfaktor 0,135867958 (hierzu ist einzugeben: –RMZ(6 %;10;1)). ZW (Zukünftiger Wert): Ermittlung des Endwerts der gezahlten Annuitäten bezogen auf den Nominalzinssatz und die Laufzeit. Für unterjährliche Zahlungen vgl. die Hinweise zu RMZ. Beispiel 2: n = 10, i = 6 %; ZW ergibt den Rentenendwertfaktor 13,18079494 (hierzu ist einzugeben: –ZW(6 %;10;1)). IKV berechnet den internen Zinssatz (die Rendite, die Effektivverzinsung) von in gleichen periodischen Abständen anfallenden Zahlungen. Für unterjährliche Zahlungen vgl. die Hinweise zu RMZ (d. h. es ist dann wiederum der anteilige Nominalzinssatz zu verwenden). Beispiel 3: Auszahlung 98 000; 4 Raten jährlich nachschüssig zu je 27 000; IKV = 4,003 %. XINTZINSFUSS berechnet den internen Zinssatz beliebiger Zahlungen. Die Tagezählung erfolgt auf Basis actual/365. Abweichungen zur PAngV resultieren aus den dort zu beachtenden Besonderheiten der Tagezählweise.

Chapter Preview

References

Zusammenfassung

Bester Durchblick in der Finanzmathematik.

Finanzmathematik kompakt

Dieses Lehrbuch führt in die zentralen Themen der klassischen wie der modernen Finanzmathematik ein. Diese Kenntnisse gehören zum unerlässlichen Grundbestand betriebswirtschaftlichen Wissens. Über 150 Rechenbeispiele mit Lösungen helfen dem Leser, den Stoff nachzuvollziehen und das Erlernte zu überprüfen.

Die Schwerpunkte

– Zins- und Zinseszinsrechnung

– Rentenrechnung

– Tilgungs- und Kursrechnung

– Effektivverzinsung

– Klassische Investitionsrechnung

– Marktzinsorientierte Kapitalwertmethode

– Portfoliomanagement und CAPM

Der Autor

Prof. Dr. Konrad Wimmer, Kempten/Neu-Ulm.

Konkrete Hilfe

für Studierende der Wirtschaftswissenschaften an Universitäten, Fachhochschulen und Akademien, Bankkaufleute und Finanzdienstleister.