8. Investitionsrechnung bei unsicheren Erwartungen in:

Konrad Wimmer, Eugen Caprano

Finanzmathematik, page 196 - 210

Grundlagen und Anwendungsmöglichkeiten in der Investitions- und Bankwirtschaft

7. Edition 2013, ISBN print: 978-3-8006-4560-2, ISBN online: 978-3-8006-4561-9, https://doi.org/10.15358/9783800645619_196

Series: Vahlens Kurzlehrbücher

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Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 186 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 187 8. Investitionsrechnung bei unsicheren Erwartungen Bewertungskonzepte der Investitions- und Finanzierungstheorie lassen sich in Konzepte bei unsicheren und sicheren Erwartungen differenzieren. Auch hier werden vollkommene Geld- und Kapitalmärkte unterstellt. Bei den Ansätzen zur Berücksichtigung unsicherer Erwartungen, die hier ausschließlich für die Risikosituation (d. h. Wahrscheinlichkeitsverteilungen können angegeben werden) diskutiert werden, lassen sich drei Arten anführen: • Traditionelles Korrekturverfahren: Der Vergleich einer ausfallrisikobehafteten Investition mit dem annahmegemäß nicht risikobehafteten Bewertungsmaßstab Opportunitätszinssatz wird hergestellt, indem der Opportunitätszinssatz erhöht und/oder die Einzahlungsüberschüsse aus dem zu bewertenden Investitionsobjekt gekürzt werden. Problematisch und theoretisch nicht fundiert ist die Festlegung des Korrekturfaktors, weswegen dieser Ansatz hier nicht ausführlich betrachtet wird. • Klassische Entscheidungstheorie: Die darauf basierenden Verfahren vermögen die Mehrperiodigkeit der Handlungsfolgen nur ungenügend abzubilden und setzen die Kenntnis der Risikopräferenzfunktion der Entscheidungsträger voraus (vgl. Schmidt/Terberger, S. 307 f.). Auch diese Verfahren werden wegen der geringen praktischen Bedeutung hier nicht aufgegriffen. • Neoklassische Kapitalmarkttheorie: Diese Ansätze spielen zunehmend eine wichtige Rolle in der Praxis (z. B. Unternehmensbewertung, Anlageentscheidungen professioneller Investoren); sie sind deshalb im Folgenden näher vorzustellen. Zum einen ist dabei auf die Portfolio-Selection und zum anderen auf das Capital Asset Pricing Modell (CAPM) einzugehen. 8.1 Portfolio Selection Ausgangspunkt der Kapitalmarktmodelle ist die Portefeuille-Theorie/Portfolio Selection (vgl. Drukarczyk; Schmidt/Terberger). Auslöser für die Entwicklung der Portfolio Selection war die empirische Erkenntnis, dass Anleger ihr Vermögen regelmäßig auf mehrere Wertpapiere verteilen (Mischung von Wertpapieren). Neben der nahe liegenden Zielgröße Rendite sind für Investoren offensichtlich zum Entscheidungszeitpunkt weitere Zielgrößen relevant, da ansonsten immer nur das Wertpapier mit der maximalen Rendite erworben würde. Die Portfolio-Selection beschreibt, wie Wahrscheinlichkeitsverteilungen insbesondere von Renditen risikobehafteter Wertpapiere durch bestimmte Parameter bewertet werden können. Als maßgebliche Parameter gelten der Erwartungswert (µ) und die Varianz (σ2) bzw. die Standardabweichung (σ) der Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Renditen der zur Auswahl stehenden ri- Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 188 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 189 8. Investitionsrechnung bei unsicheren Erwartungen188 sikobehafteten Wertpapiere (Aktien). Das bereits angesprochene und empirisch beobachtbare Mischen von Wertpapieren dient dabei der Risikoreduzierung durch Diversifikation („Badehosen-und-Regenschirm-Produktion“). Zunächst sind einige aus der Statistik bekannte Formeln und Zusammenhänge – bezogen auf ein Einperiodenmodell – anzugeben. Die Aktienrendite rj des j-ten Wertpapiers ergibt sich aus dem Quotienten von erwarteter Dividende Dj und erwarteter Kurswertveränderung dKW sowie dem Kurswert zu Periodenbeginn KWj0: j j j D dKW r K + = 0 (73) Anmerkung: die Aktienrendite ist eine sogenannte Zufallsvariable, d. h. sie nimmt in Abhängigkeit von den Umweltzuständen (z. B. Konjunkturlagen) einen bestimmten Wert an. Für die einzelnen Umweltzustände kann jeweils eine Eintrittswahrscheinlichkeit angegeben werden. Grundsätzlich kann man objektive und subjektive Wahrscheinlichkeiten unterscheiden. Objektive Wahrscheinlichkeiten liegen vor, wenn aufgrund empirischer Untersuchungen (Experimente) Häufigkeitsverteilungen angegeben werden können; z. B. werden historische Aktienkursentwicklungen untersucht. Hier ist der Mittelwert mit dem Erwartungswert gleichzusetzen. Der Erwartungswert µj des Wertpapiers j errechnet sich dann mit n j ju u r n µ = = ∑ 1 1 (mit u als Laufindex 1, 2, … , n). Von subjektiven Wahrscheinlichkeiten kann man sprechen, wenn der Entscheider Wahrscheinlichkeiten für verschiedene Umweltzustände anzugeben vermag. Der Erwartungswert µj errechnet sich dann mit h j uj j u r pµ = = ⋅∑ 1 (mit u als Laufindex 1,2, …, h). Während im erstgenannten Fall die Wahrscheinlichkeit 1/n (z. B. 1/250 bei untersuchten 250 Handelstagen) beträgt, wird sie bei der subjektiven Wahrscheinlichkeit explizit mit pu vorgegeben. Die Formeln für objektive und subjektive Wahrscheinlichkeit sind damit einfach ineinander überführbar. Nachfolgend wird nur mehr auf subjektive Wahrscheinlichkeiten abgestellt. Der Erwartungswert der Rendite eines aus mehreren Wertpapieren bestehenden Portfeuilles µP ergibt sich durch Gewichtung der erwarteten Rendite der einzelnen Wertpapieren µj mit ihren Anteilen aj (mit j j a 1=∑ ): P j j j aµ µ=∑ (74) Das Risiko eines Wertpapiers j wird gemessen anhand der Varianz bzw. Standardabweichung der Rendite (pu bezeichnet die Eintrittswahrscheinlichkeit für den Umweltzustand u): j uj j u u (r – ) p 2 2σ µ=∑ (Varianz) bzw. j uj j u u (r – ) p 2σ µ= ∑ (Standardabweichung) (75) Die Kovarianz von zwei Zufallsvariablen ist als Erwartungswert der miteinander multiplizierten Abweichungen der beiden Zufallsvariablen von ihren Mittelwerten definiert: u u u u cov r r p12 1 1 2 2[( – )( – )]µ µ=∑ (76) Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 188 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 189 8.1 Portfolio Selection 189 Die Kovarianz zeigt an, wie sehr die beiden Zufallsvariablen in gleicher Richtung (Vorzeichen) und gleicher Stärke von den jeweiligen Mittelwerten abweichen. Positive (negative) Werte geben gleichlaufende (gegenläufige) Tendenzen an; kein Zusammenhang zwischen den Zufallsvariablen besteht, wenn die Kovarianz Null beträgt. Als anschaulicheren Maßstab zur Messung des statistischen Zusammenhangs zwischen Zufallsvariablen zieht man i. A. den Korrelationskoeffizienten φ heran. Er nimmt nur Werte zwischen –1 und +1 an, da die Kovarianz über das Produkt der Standardabweichungen normiert wird: cov · ϕ σ σ = 1212 1 2 (77) Dabei gilt: • ϕ = –1: vollständig negativ korrelierende Renditen • ϕ = 0: unkorrelierende Renditen • ϕ = +1: vollständig positiv korrelierende Renditen. Die weitere Vorgehensweise der Portfolio-Selection sei am Beispiel des Zwei- Wertpapier-Falls erläutert (vgl. Markowitz): Die erwartete Rendite µP eines aus zwei verschiedenen risikobehafteten Wertpapieren zusammengesetzten Portefeuilles entspricht der mit ihren Anteilen a1 bzw. (1 – a1) gewichteten erwarteten Renditen µ1 und µ2 der Wertpapiere µP = a1 · µ1 + (1 – a1) · µ2. Die Portefeuille-Varianz Pσ 2 hängt dagegen nicht nur von den (anteilsgewichteten) Varianzen der Rendite der beiden Aktien ab, sondern vor allem von deren Kovarianz: P a · ( – a ) · a ( – a ) · cov 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 121 2 1σ σ σ= + + . Ersetzt man cov12 durch den Ausdruck ϕ12 · σ1 · σ2 (vgl. Formel (77)) so gilt: P a · ( – a ) · a ( – a ) · · · 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 12 1 21 2 1σ σ σ ϕ σ σ= + + . (78) Die Formel (78) soll nunmehr mit dem einfach gerechneten, quadrierten „Durchschnittsrisiko“ der beiden Aktien verglichen werden. Das Durchschnittsrisiko ergibt sich aus der Quadrierung von a1 · σ1 + 1 – a1) · σ2, also (a1 · σ1 + 1 – a1) · σ2 )2. Nach Ausmultiplizieren (Anwendung binomische Fomel: (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab) erhält man a · ( – a ) · a · ( – a ) · ·2 2 2 21 1 1 2 1 1 1 21 2 1σ σ σ σ+ + . Dieser Ausdruck unterscheidet sich von Formel (78) nur durch das fehlende ϕ. Damit zeigt sich, dass gemäß Formel (78) für ϕ12 ≠ 1 ein risikovernichtender Effekt durch Portefeuille-Bildung möglich ist: Das Portefeuille-Risiko σP ist in dieser Situation kleiner als Durchschnittsrisiko: σP < a1 · σ1 + (1 – a1) · σ2. Das bedeutet, sofern ϕ12 einen Wert zwischen – 1 und < 1 annimmt, gelingt die Risikoreduktion: Diversifikation senkt das Anlagerisiko, wenn die in das Portefeuille eingehenden Aktien nicht vollkommen positiv korreliert sind. Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 190 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 191 8. Investitionsrechnung bei unsicheren Erwartungen190 Aufgabe 1: Gegeben sind zwei Aktien A und B, für die für vier Umweltzustände u = 1, 2, 3, 4 (mit jeweiligen Eintrittswahrscheinlichkeiten) die jeweiligen Renditeerwartungen vorliegen. Zu bestimmen sind der Renditeerwartungswert und das erwartete Risiko (als Standardabweichung) der einzelnen Aktien A und B, die Korrelation sowie der Renditeerwartungswert und das erwartete Risiko eines aus den beiden Wertpapierarten bestehenden Portefeuilles. Es wird ein Mischungsverhältnis von 50 % angenommen. Eintrittswkeit u = 1 u = 2 u = 3 u = 4 Aktie 10 % 20 % 30 % 40 % Rendite A 1 % 4 % –4 % 40 % Rendite B 30 % 0 % 20 % 12 % Lösung: Unter Verwendung der angegebenen Formeln erhält man: Aktie Erwartungswert Stdabw Varianz Kovarianz Korrelation A 15,70 % 20,04 % 4,02 % –0,4566 % –0,259 B 13,80 % 8,78 % 0,77 %     Hinweise: covAB =  (1 % – 15,7 %) · (30 % – 13,8 %) · 10 % + … + (40 % – 15,7 %) · (12 % –  13,8 %) · 40 % = –0,4566 % KorrelationAB = covAB /  (σA · σB)  = –0,4566 % /  (20,04 % · 8,78 %) = –0,259 = +P a · ( – a ) ·µ µ µ1 1 1 21  = 0,5 · 15,7 % + 0,5 · 13,8 % = 14,75 % = + +P a · ( – a ) · a ( – a ) · · ·σ σ σ ϕ σ σ 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 12 1 21 2 1 =  [0,5 ^ 2 · 4,02 % + 0,5 ^ 2 ·  0,77 % + 2 · 0,5 · 0,5 · (-0,259) · 0,2004 · 0,0878]  ^ 0,5 = 9,842 %. Bildet man die möglichen Mischungen ab, so kann man die sogenannte Effizienzlinie bestimmen. Effizient heißt: es gibt kein anderes Portefeuille mit einem mindestens so hohem Ertrag das ein geringeres Risiko aufweist oder das bei höchstens gleich hohem Risiko einen höheren Ertrag aufweist. Greift man die Daten der letztgenannten Aufgabe auf und bildet man verschiedene Mischungsverhältnisse (z. B. beginnen mit 0 % A und 100 % B mit 5 %-Punkten aufsteigend bei A), so erhält man die typische „bananenförmige“ Effizienzlinie. Effizient ist nur der Bereich oberhalb der etwa bei einer Rendite von 14,25 % verlaufenden Geraden. Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 190 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 191 8.2 Kapitalmarktlinie 191 Bei mehr als zwei Wertpapieren gilt der gleiche Zusammenhang. Allerdings verschiebt sich die Effizienzlinie nach links oben („efficient frontier“). Im nächsten Schritt ist zu fragen, welches Portefeuille für den Investor optimal ist. Man kann das Portefeuille bestimmen, das für den Investor den größten Nutzen erbringt. Dies setzt die Kenntnis der Risikopräferenzfunktion voraus, was häufig als nicht praxisrelevant anzusehen ist (in der Bankpraxis wird allerdings mit typisierten Risikopräferenzfunktion gearbeitet, die z. B. mit der Risikoklassenbezeichnung „Ertrag“, „Chance“, „Wachstum“ umschrieben werden). Alternativ kann man kann • für einen gegebenen Erwartungswert der Rendite die optimalen Portefeuille- Anteile angeben oder • für eine gegebenen Standardabweichung die optimalen Portefeuille-Anteile angeben oder • die optimalen Portefeuille-Anteile angeben, wenn die Standardabweichung minimiert werden soll. 8.2 Kapitalmarktlinie Der Analysehorizont erweitert sich, wenn man neben den risikobehafteten Wertpapieranlagen auch die sichere Anlagealternative hinzunimmt. Die in der nachfolgenden Abbildung dargestellte Kapitalmarktlinie (KME) gibt optimale Kombinationen von sicheren und risikobehafteten Anlagen im Kapitalmarktgleichgewicht an. Die rechtsgekrümmte Linie effizienter Portefeuilles beinhaltet optimale Portefeuille-Mischungen bei Nicht-Existenz eines vollkommenen Geld- und Kapitalmarkts: Die Rechtskrümmung ergibt sich aus der Annahme, dass die beiden Wertpapierrenditen nicht vollkommen positiv korreliert sind. Punkte unterhalb von A sind ineffizient, da bei gleichem Risiko eine höhere erwartete Rendite erzielbar wäre. Von der ursprünglichen bananenförmigen 16,000 % 15,500 % 15,000 % 14,500 % 14,000 % 13,500 % 0,000 % 5,000 % 10,000 % 15,000 % 20,000 % 25,000 % Re nd ite Risiko Nicht e zienter Bereich E zienzlinie Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 192 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 193 8. Investitionsrechnung bei unsicheren Erwartungen192 Effizienzlinie bleibt nur noch ein spezieller Punkt übrig, der in der folgenden Abbildung mit M abgekürzt wird. Insgesamt ergibt sich jetzt eine Effizienzgerade, die durch den Punkt i der y-Achse und M verläuft. Es ergibt sich die Kaptalmarktlinie, die wie folgt zu beschreiben ist. Die Annahme eines vollkommenen Geld- und Kapitalmarkts und zahlreiche weitere Prämissen, insbesondere Risikoaversion der Anleger, homogene Erwartungen der Investoren, Fehlen von Steuern und Transaktionskosten sowie die Beschränkung auf eine einperiodische (nicht-dynamische) Betrachtung, erlauben die Ableitung der Kapitalmarktlinie mit zwei Konsequenzen: – Alle Investoren, die Risikoinvestitionen im Zuge der Portefeuille-Bildung durchführen, investieren in das identische Marktportefeuille, das durch M ausgedrückt wird. Angenommen, ein Investor hätte sich ohne Existenz des Geld- und Kapitalmarktes für A (präferenzabhängige Entscheidung!) entschieden. Durch die Annahme der risikolosen Anlagemöglichkeit zu i, kann er A′ auf der Kapitalmarktlinie realisieren – bei gleichem Risiko erwartet er eine höhere Rendite. Um aber A′ realisieren zu können, ist in das Marktportefeuille M zu investieren. Man kann sich daher M als „Super-Aktienfonds“ vorstellen (vgl. Drukarczyk, S. 235). Alle Investoren, die nicht ausschließlich die sichere Alternative i wählen, halten einen mehr oder weniger großen Fondsanteil. – Es hängt von den Präferenzen des jeweils betrachteten Investors ab, welchen Punkt auf der Kapitalmarktlinie er wählt. In Abhängigkeit von seiner Risikohaltung kann er das durch σP gemessene Investitionsrisiko auf null reduzieren oder durch die Kombination der risikolosen Anlage mit den risikobehafteten Anteilen am Marktportefeuille sein individuelles Portefeuille zusammenstellen. Gibt α an, welchen Teil seines (Anfangs-)Vermögens der Investor in das Marktportefeuille investiert, so wird aus der Abbildung deutlich, dass für den Bereich α > 1 der Investor auch Kredit aufnehmen kann, um kreditfinanzierte Risiken auf sich zu nehmen. Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 192 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 193 8.2 Kapitalmarktlinie 193 Die beiden Effekte sind auch unter dem Begriff Separationsprinzip bekannt: Die Struktur des risikobehaftet angelegten Kapitals ist durch das Marktportefeuille determiniert und unabhängig von den Präferenzen des Investors. Die übernommene Risikomenge α dagegen ist individuell von Investor zu Investor verschieden. Die Kapitalmarktlinie definiert die Risikoprämie pr, die ein Anleger, der in das (optimal diversifizierte!) Marktportefeuille investiert, vom Markt vergütet bekommt. pr deckt somit nur das systematische Risiko ab, das durch Portefeuillebildung nicht weiter reduziert werden kann. Es handelt sich um das Risiko, das aus der Entwicklung der Aktien zum gesamten Kapitalmarkt resultiert und von volkswirtschaftlichen Faktoren determiniert wird. Unsystematische Risiken, wie Managementfehler, streikbedingte Beschaffungsprobleme, sind dagegen annahmegemäß durch Portefeuille-Bildung beseitigbar. Sie werden nicht vom Markt vergütet (vgl. Drukarczyk, S. 235–238). pr entspricht der Steigung der Kapitalmarktlinie: M M i pr µ σ − = Ein Investor, der ein Portefeuille als Kombination der sicheren Anlage zu i und dem Marktportefeuille wählt, kann folglich die Rendite µP erwarten: P i pr · *µ σ= + . (79) σ* kennzeichnet die Menge des übernommenen Risikos. Die Kapitalmarktlinie (KML) gibt Auskunft, welche Rendite zu erwarten ist, wenn der Investor optimal diversifiziert ist, d. h. einen Anteil am Super-Fonds (Portefeuille M; „DAX“) hält und seine Risikomenge über a bzw. σ* definiert. Man beachte, dass dieser Zusammenhang u.a. auch den für die in der Unternehmenssteuerung verwendeten RORAC-Kennziffern zugrunde liegt: erzielter Ertrag(€) sicherer Ertrag(€) Überrendite Performance mit erzielten Ertrag übernommenes Risiko Risikomenge − = = Diese in Anlehnung an die KML gewonnene Performance-Kennziffer wird in der Literatur in Abhängigkeit von der gewählten Definition als RORAC (Return on Risk Adjusted Capital) oder als RAROC (Risk Adjusted Return on Capital) bezeichnet. Sie weist indessen den bekannten Nachteil auf, dass die Performance bei sehr geringem Risiko gegen unendlich strebt bzw. bei einem Risiko von Null nicht definiert ist. Aufgabe 2: Es ist die KML für die folgenden Daten zu entwickeln: risikoloser Anlagezins i = 6 %, µM = 12 %, sM = 14 %; Anlagebetrag 100 000 €. Der Anleger legt a) 50 %, b) 100 %, c) 150 % riskant an. Lösung: Zu a) µP = 6 % + (6 % / 14 %) · σP; σP = 0  · a + (1  - a)  · σM; σP = 0  · 0,5 + 0,5 · 14 % = 7 %; µP = 9 %. Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 194 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 195 8. Investitionsrechnung bei unsicheren Erwartungen194 Zu b) µP = 6 % + (6 % / 14 %) · σP; σP = 0 · 0 + 100 % · 14 % = 14 %; µP = 6 % + (6 % / 14 %) · 14 % = 12 % (der Anleger kauft jetzt nur das Marktrisiko). Zu c) µP = 6 % + (6 % / 14 %) · σP; σP = 0 · 0 + 150 % · 14 % = 21 %; µP = 6 % + (6 % / 14 %) · 21 % = 15 % Skizze: 20 % 15 % 10 % 5 % 0 % 0 % 10 % 20 % 30 % Er tr ag Risiko KML 8.3 Capital Asset Pricing Model (CAPM) Die Kapitalmarktlinie gibt Auskunft, welche Rendite zu erwarten ist, wenn der Investor optimal diversifiziert ist, d. h., einen Anteil am Super-Fonds (Portefeuille M) hält und seine Risikomenge über α definiert. Zu fragen ist nunmehr, welche Rendite ein Investor erwarten kann, der nicht voll diversifiziert ist, weil er nicht das Marktportefeuille investiert, z. B. weil er nur in Aktien eines speziellen Unternehmens investieren will. Wie groß ist das Risiko, das durch eine einzige risikobehaftete Anlage übernommen wird? Misst man das Risiko eines einzelnen risikobehafteten Wertpapiers relativ zum Risiko des Marktportefeuilles, so erhält man die bekannte, als CAPM (Capital Asset Pricing Model) bekannte Aussage. Dies ist möglich, da jedes Wertpapier definitionsgemäß Bestandteil des Marktportefeuilles ist. Man kann also fragen, wie sich die Portefeuille-Rendite ändert, wenn sich der Anteil von a um eine marginale Einheit verschiebt. Gemeint ist dabei ein Portefeuille, das sich aus dem Marktportefeuille und der Anlage in die betrachtete unsichere Anlage j zusammensetzt. Es gilt für dieses Portefeuille somit: µP = aj · µj + (1 – aj) · µM und σ2p = a2j · σ2j + (1– aj)2 · σ2M + 2aj (1 – aj) · ϕjM · σj · σM. Bildet man die beiden ersten Ableitungen und setzt man aj = 0, so kann das Risiko-Return-Austauschverhältnis bestimmt werden. Die erwartete Rendite einer risikobehafteten Anlage j hängt im Ergebnis ab von – der risikolosen Rendite i – dem mit j übernommenen, systematischen Risiko, das gemessen wird durch covjM – der Risikoprämie M M iµ σ − 2 . Damit gilt: Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 194 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 195 8.3 Capital Asset Pricing Model (CAPM) 195 2 M j jM M i i · cov µµ σ − = + (80) Man beachte, dass die Risikoprämie jetzt in M M i pr µ σ − = 2 und nicht in M M i pr µ σ − = besteht. Oben wurde die Risikoübernahme anhand der Standardabweichung gemessen. Jetzt wird nach dem Risikobeitrag einer einzelnen Aktie zum Portfeuillerisiko gefragt, der in erster Linie auf das Kovarianzrisiko zurückzuführen ist (zum ausführlichen Nachweis Drukarczyk, S. 237 f.). Setzt man j M cov jMβ σ = 2 (80a), so ergibt sich die Standardform des CAPM: j M ji ( – i) ·µ µ β= + (81) βj lässt sich damit Korrelationsmaßstab zwischen Marktportefeuille-Risiko und Risiko der Investition j auffassen. Soweit j mit M korreliert, ist die Überrendite erzielbar. Setzt man jj jM M · σ β ϕ σ = , so gilt: Mj jM j M i i · · µµ ϕ σ σ − = + . Herleitung des zuletzt für β verwendeten Ausdrucks: 2wg.Definition 80 jM jM j M jM j jM jM jM j M j j M M M cov cov ( a) φ σ σ φ σ φ φ σ σ β σ σ σ σ ⋅ ⋅ ⋅ = => = ⋅ ⋅ => = = ⋅ M j jM j M ( i) i µµ ϕ σ σ − = + ⋅ ⋅ Risikoprämie pro Risikoeinheit Korrelation Aktie j zum Markt Risikomenge der Aktie j Man erkennt, dass das individuelle übernommene Risiko σj nur insoweit vom Markt vergütet wird, als die Einzelinvestition j mit dem Marktportefeuille- Risiko korreliert (ϕjM). Der geschildete Zusammenhang lässt sich graphisch anhand der sogenannten Wertpapierlinie erläutern (vgl. Abbildung). Renditen riskanter Investitionen hängen ausschließlich ab vom Kovarianz-Risiko, wobei zwischen Kovarianz- Risiko und Risikoprämie eine lineare Beziehung besteht. β wiederum kann man als Risikomultiplikator deuten, wobei für das Risiko des Marktportefeuilles β = 1 gelten muss. In der Realität können die im DAX enthaltenen Wertpapiere als Marktportfeuille angesehen werden, wobei DAX 1β = gilt. Die historischen β-Werte der einzelnen im DAX enthaltenen Aktien werden z. B. im Handelsblatt veröffentlicht und beinhalten neben dem unternehmensspezifischen Risiko, das der β-Faktor zum Ausdruck bringen soll, auch das sogenannte Kapitalstrukturrisiko (siehe unten). Der Nettokapitalwert (Konditionsbeitragsbarwert) der Investition j ergibt sich bei Anwendung des CAPM, indem der erwartete Einzahlungsüberschuss am Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 196 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 197 8. Investitionsrechnung bei unsicheren Erwartungen196 Ende der Periode (EWj1) mit dem risikoangepassten Zinssatz diskontiert und um die Anfangsauszahlung Aj0 vermindert wird (alternativ könnte das sogenannte Sicherheitsäquivalent mit dem sicheren Zinssatz i diskontiert werden; darauf wird hier nicht näher eingegangen): j j j M j EW K A i ( i) ·µ β = − + + − 1 0 01 . (82) Bei Verwendung der internen Zinsfußmethode würde folglich für eine vorteilhafte Investition gelten: j M ji ( – i) ·µ µ β> + , (83) d. h. die erwartete Rendite (Erwartungswert der Ergebnisverteilung) muss die Mindestrendite i. S. des CAPM übersteigen. Aufgabe 3: Ein Experte schätzt die Aktienrendite r eines Dax-notierten Unternehmens in Abhängigkeit vom Konjunkturzustand (1, 2, 3) und damit die erwarteten Renditen E(r) wie in der Tabelle angegeben ein. Konjunkturzustand (1,2,3) p(1,2,3) r(1,2,3) rM(1,2,3) 1 = gute Konjunktur 0,5 14,00 % 12,00 % 2 = mittlere Konjunktur 0,3 8,00 % 6,00 % 3 = schlechte Konjunktur 0,2 1,00 % 2,00 % Weiterhin sind gegeben: risikofreier Zins i = 5 %. Zu berechnen ist der Renditeanspruch, der auf Basis der Prämissen des CAPM zu erwarten ist. Lösung: E(r Aktie) = 9,60 %; E(rM) 8,20 %; σ2j = 0,252 %; σ2M = 0,164 % ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 14 0 096 0 12 0 082 0 5 0 08 0 096 0 06 0 082 0 3 0 01 0 096 0 02 0 082 0 2 0 00201 jMCov , , , , , , , , , , , , , , , , = − ⋅ − ⋅ + − ⋅ − ⋅ + − ⋅ − ⋅ = M cov jM , Beta , ,σ = = =2 0 00201 1 2256 0 00164 ( ) ( ) ( )j , , , , , , , , ,σ = − ⋅ + − ⋅ + − ⋅ 2 2 22 0 14 0 096 0 5 0 08 0 096 0 3 0 01 0 096 0 2 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 196 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 197 8.3 Capital Asset Pricing Model (CAPM) 197 Die vorgenannten Überlegungen gelten für unverschuldete Unternehmen. Der verwendete β-Faktor drückt die Höhe des Unternehmensrisikos (operating risk) aus. Bei einem verschuldeten Unternehmen besteht für die Anteilseigner zudem das Kapitalstrukturrisiko. Da angenommen wird, dass Gläubiger keine Ausfallrisiken übernehmen, wird das operating risk auf eine c.p. niedrigere Kapitalbasis verteilt. Entsprechend wird sich der Verzinsungsanspruch der Anteilseigner erhöhen. Die Abhängigkeit der Eigenkapital (EK)-Rentabilität von der Fremdkapital(FK)-Quote wird als Leverage-Effekt bezeichnet. Um diesen Effekt demonstrieren zu können, ist neben der Differenzierung des investierten Kapitals in EK und FK die Aufspaltung des Investitionsüberschusses IÜ in die • Ansprüche der FK-Geber, die die vereinbarte FK-Verzinsung (i · FK) erhalten und in die • Ansprüche der Eigentümer (EK-Geber), denen der restliche Überschuss (Investitionsüberschuss – i · FK) verbleibt, nötig. Daraus kann man den Leverage-Effekt ableiten: die EK-Rendite steigt mit steigender Verschuldung, wenn die Investitionsrendite (Gesamtkapitalrendite!) rg größer ist als der Verschuldungssatz i. Bezeichnet IÜ den Investitionsüberschuss und re die EK-Rentabilität, so kann die Gesamtkapitalrentabilität (vor Steuern) rg ausgedrückt werden mit: e g FK · i EK · rIÜ r EK FK EK FK + = = + + Löst man die Gleichung nach re auf und dividiert man durch EK, so erhält man: e g g g g g FK EK FK FK FK FK r r · · i r r · i · r (r i) · EK EK EK EK EK EK = + − = + − = + − (84) Verbindet man die Überlegung zum Leverage-Effekt mit dem CAPM, so kann rg mit der vom Verschuldungsgrad des Unternehmens unabhängigen Investitionsrendite gleichgesetzt werden, während re der erwarteten Eigenkapitalrendite des verschuldeten Unternehmens entspricht. rg und µ können damit gleichgesetzt werden: v g Mr i ( – i) ·µ µ β= = + mit v u (1 FK / EK)β β= + . (84a) Erläuterungen zu Formel (84a): 1. Man kann Formel (84) auch schreiben als e g g g FK FK FK r i (r i) · i r i r · i · EK EK EK ( ) = + − + = + − + − ==> 1 nach Umformung ergibt sich 84 . Anders ausgedrückt: der Leverage-Effekt setzt sich aus i und der mit (1 + FK / EK) gehebelten Differenz von rg und i zusammen. 2. In Formel (84a) steht β v für den Beta-Faktor des verschuldeten bzw. β u für den des unverschuldeten Unternehmens. Da die erwartete Eigenkapitalrendite des verschuldeten Unternehmens den Eigenkapitalkosten des verschuldeten Unternehmens ke(v) entspricht, gilt: Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 198 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 199 8. Investitionsrechnung bei unsicheren Erwartungen198 uM FK ke(v) i ( i) EK µ β = + − + 1 (85) Die Eigenkapitalkosten des verschuldeten Unternehmens hängen damit linear vom Verschuldungsgrad ab. Man beachte, dass die empirisch ermittelten Beta- Faktoren, wie sie z. B. im Handelsblatt veröffentlicht werden, das Kapitalstruktur-Risiko enthalten. Maßgeblich für die Investitionsrechnung ist indessen β u. Die durchschnittlichen Kapitalkosten dK des verschuldeten Unternehmens sind andererseits unabhängig von der Zusammensetzung der Finanzierung (konstante durchschnittliche Kapitalkosten dK). Auch für verschuldete Unternehmen gilt damit die Gleichgewichtsverzinsung des CAPM für unverschuldete Unternehmen: u MdK i ( – i) ·µ β= + Der formale Nachweis ist wie folgt zu führen. Die durchschnittlichen Kapitalkosten dK des verschuldeten Unternehmens liegen vor mit: EK FK dK ke(v) i EK FK EK FK = + + + Setzt man den ausführlichen Ausdruck für ke(v) ein, so erhält man nach Ausmultiplizieren uMdK i ( – i) ·µ β= + . Zusammenfassend gilt damit (GK = Gesamtkapital = FK + EK): Unverschuldete Unternehmen: fu e ·(EK / GK) · (FK / GK)β β β= + mit β e für den Beta-Faktor des Eigenkapitals bzw. β f für den Beta-Faktor des Fremdkapitals. Wegen FK = 0 (annahmegemäß unverschuldetes Unternehmen), gilt u eβ β= . Verschuldete Unternehmen: v u(1 FK / EK)β β= + , wobei (1 FK / EK)+ den Leverage-Effekt angibt. Weiter gilt: ( ) ( ) ( )fv e[ EK / GK FK / GK ] 1 FK / EKβ β β= + + ; wegen fβ = 0 (Fremdkapitalgeber sollen annahmegemäß kein Risiko übernehmen), gilt unmittelbar: ( ) ( )v e[ EK / GK ] 1 FK / EKβ β= + ; da (EK / GK)(1 FK / EK) 1+ = , folgt weiter u e (EK / GK)β β= . Die Eigenkapitalkosten des verschuldeten Unternehmens betragen daher u e M M FK EK FK ke(v) i ( i) i ( i) EK GK EK µ β µ β = + − + = + − + 1 1 e v M Mi ( i) i ( i)µ β µ β= + − = + − Aufgabe 4: Bei einem Kalkulationszinsfuß i , 5= 0 0 seien e u1,5β β= = und M ,15µ = 0 gegeben. (a) Zu berechnen sind die Eigenkapitalkosten des unverschuldeten Unternehmens. (b) Für ein Investitionsobjekt ist der projektspezifische Beta- Faktor gegeben mit j ,8β = 0 ; es sind die projektspezifischen Eigenkapitalkosten des unverschuldeten Unternehmens anzugeben. (c) Es sind die Eigenkapitalkosten und die durchschnittlichen Kapitalkosten des verschuldeten Unternehmens zu berechnen, wenn die Relation EK / FK 0,6 / 0,4 gilt. (d) Formulieren Sie die beiden zentralen Erkenntnisse, die für den Zusammmenhang von Eigenkapitalkosten und Verschuldungsgrad ausschlaggebend sind. Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 198 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 199 8.3 Capital Asset Pricing Model (CAPM) 199 Lösung: Zu (a) 0 05 0 15 0 05 1 5 0 05 0 15 0 20EK dK , ( , – , ) · , , , ,µ = = + = + = Zu (b) ( ) 0 05 0 15 0 05 0 8 0 13j EK , ( , – , ) · , ,µ = + = Zu (c) 1 1 5 1 667 2 5v u e( FK / EK) , · , ,β β β= + = = = 1 5 1 1 06 2 5e u(GK / EK) , · / , ,β β= = = 0 05 0 15 0 05 2 5 0 30EK , ( , – , ) · , ,µ = + = 0 3 0 6 0 05 0 4 0 20dK , · , , · , ,= + = oder 0 05 0 15 0 05 1 5 0 20uMdK i ( – i) · , ( , – , ) · , ,µ β= + = + = eM[i ( – i) · ] · (EK / GK)] i · FK / GKµ β= + + (0,05 0,1 · 1,5) · 0,6 0,05 · 0,4 0,20= + + = . Merke: Um Projekte zu beurteilen, ist es entbehrlich, zunächst die Eigenkapitalkosten zu ermitteln (was die Ermittlung von β e und den Eigenkapitalanteil am konkreten Projekt voraussetzt). Stattdessen kann man einfach mit den durchschnittlichen Kapitalkosten rechnen, wobei β u zugrunde zu legen ist. Der investitionsspezifische Beta-Faktor ist freilich nur schwer quantifizierbar. Man beachte, dass empirische Beta-Werte β v (vgl. Handelsblatt) entsprechen. Zu (d) 1. Die Eigenkapitalkosten hängen linear vom Verschuldungsgrad ab. 2. Die durchschnittlichen Kapitalkosten des Unternehmens sind konstant und unabhängig vom Verschuldungsgrad. Sie entsprechen den durchschnittlichen Kapitalkosten des unverschuldeten Unternehmens. CAPM und projektbezogene Investitionsrechnung Das CAPM lässt sich nicht nur unternehmensspezifisch betrachten, z. B. um das Risiko einer Aktie zu ermitteln. Vielmehr kann es auch zur Beurteilung einer einzelnen Investition verwendet werden. Dies liegt am linearen Risikomaß Kovarianz bzw. Beta-Faktor. Das Risiko, das im unternehmensbezogenen Beta- Faktor zum Ausdruck kommt, entspricht dem gewogenen Durchschnitt der Kovarianz bzw. Beta-Werte der einzelnen Geschäftsbereiche oder der einzelnen Investitionen, aus denen sich das Unternehmen zusammensetzt (vgl. Schmidt/ Terberger). Allerdings treten dann erhebliche Datenbeschaffungsprobleme auf. CAPM und Unternehmensbewertung Die Unternehmensbewertung kann mit unterschiedlichen Methoden durchgeführt werden. In der Praxis findet zunehmend eine Bewertung statt, die den Barwert der Einzahlungsüberschüsse ermittelt (Discounted cash flow- (DCF-) Verfahren). An dieser Stelle kann nur ein kleiner Einblick gegeben werden (vgl. ausführlich Drukarczyk/Schüler). Zu zeigen ist, wie hier das CAPM eingebunden werden kann. Wird die sogenannte Entity-Methode verwendet, so werden die Cashflows (vor Zins und Tilgung) ermittelt, über die unter Berücksichtigung Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 200 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 201 8. Investitionsrechnung bei unsicheren Erwartungen200 der Wachstumspotenziale des Unternehmens sowohl Eigenkapital- als auch den Fremdkapitalgeber verfügen können. Zur Wertermittlung des Unternehmens werden die verfügbaren Cashflows (die sogenannten free cash flows) mit dem bereits beschriebenen Kapitalkostensatz (WACC = Weighted Average Costs of Capital) diskontiert. Aufgabe 5: Für die Unternehmensbewertung nach der Entity-Methode sollen folgende Daten ermittelt worden sein. Es wird zwischen drei Planungsphasen unterschieden. Phase 1: Phase der Detailplanung, die die Geschäftsjahre von t = 0 bis t = 4 umfassen soll. Phase 2: Phase der differenzierten Wachstumsplanung. Angenommen wird, dass das Unternehmen den lang fristigen durchschnittlichen volkswirtschaftlichen Zuwachs übertrifft. Angesichts der vorliegenden Unternehmenshistorie soll ein Zeitraum von 10 Jahren angemessen planbar sein: Anfangswachstum von 15% in t = 5, bis zum Geschäftsjahr t = 14 werden linear abnehmende Wachstumsraten unterstellt. Phase 3: Phase der pauschalen Wachstumsplanung; ab t = 15 wird ein konstantes Wachstum von 4% p.a. (inklusive Inflationsausgleich) angenommen. Die Diskontierung des free cash flows erfolgt anhand des vorgestellten gewich teten Kapitalkostensatzes WACC. Bei dem Unternehmen wird vereinfachend eine Zielkapitalstruktur von 100 % Eigenkapital zu 0 % Fremdkapital angenommen. Der Betafaktor sei 1,3. Die sicher erzielbare Rendite soll 5,47 % betragen; der Risikoprämie auf dem Aktienmarkt liegt mit 5,37 % vor. Bestimmen Sie den wacc sowie den Unternehmenswert infolge der obigen Prämissen. Jahre: 0 1 2 3 4 5 6 … 14 15 … free cash flows (Mio. €) 0,13 0,64 8,92 12,51 23,36 26,86 30,60 60,62 63,04 Wachstumsrate 15,00 % 13,90 % 5,10 % Anmerkung: Cashflows Phase 1 sind gegeben; Phase 2: 23,36 · 1,15 = 26,86 usw.; Phase 3: 63,04 = 60,62 · 1,04; Lösung: WACC = 12,45 % = 5,47 % + 5,37 % · 1,3 Bei der ewigen Rente handelt es sich um eine geometrisch fortschreitende ewige Rente (vgl. Kapitel 4 in Teil 1 zur Herleitung der Formel): 1Rente 1 RenteBarwert t tt ( g) i g i g ++= = − − = 745,95 = 63,04 /  (12,45% – 4%) Barwert Phasen 1 + 2 = 172,23; Barwert Phase 3 = 745,95 /  (1,1245 1̂4) = 144,28; Summe Barwert Phasen 1 bis 3 = 316,52 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 200 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 201 9. Messung und Steuerung des Zinsänderungsrisikos 9.1 Durationskonzepte Bei der Durationsanalyse handelt es sich um ein Verfahren zur finanzmathematischen Beurteilung des Zinsänderungsrisikos von (Festzins-)Geschäften. 9.1.1 (Macaulay-) Duration Die auf Macaulay zurückgeführte Kennziffer Duration gibt die durchschnittliche Kapitalbindungsdauer einer Kuponanleihe (allgemein eines Vermögenswertes) an. Alternativ kann man darunter die mittlere Zeitdauer verstehen, während der ein Anleger sein Vermögen in einer Kuponanleihe gebunden hat, wenn er das Wertpapier bis zu seiner Endfälligkeit in Bestand hält. Folglich handelt es sich bei der Duration D um eine Kennziffer, die den gewogenen Mittelwert jener Zeitpunkte angibt, zu denen der Anleger Zahlungen erhält. Bei den Gewichtungsfaktoren für die Einzahlungszeitpunkte sind dabei die Barwerte der Einzahlungen in Relation zum Barwert der gesamten Einzahlungen maßgeblich. Formal gilt damit (K0 = Barwert der Zahlungsreihe der Kuponanleihe mit n –t t t e · (1 i) = +∑ 1 ; i bezeichnet hier die GKM-Rendite): n t t t e · ( i) · t D K − = + = ∑ 1 0 1 (86) Aufgabe 1: Die Kuponanleihe ist mit einem 7 % Zinskupon ausgestattet; Laufzeit drei Jahre, Geld- und Kapitalmarktrendite 8 %. Bestimmen Sie die Duration des Wertpapiers. Lösung: Marktrendite 8,00% Jahr Rück üsse Aktiva Abzinsfaktoren Barwerte Barwerte/Kurswert Jahr Zeitgewichtung 1 7,00 0,9259259 6,48 0,06652934 1 0,0665293 2 7,00 0,8573388 6,00 0,061601241 2 0,1232025 3 107,00 0,7938322 84,94 0,871869418 3 2,6156083 Summe 97,42 2,8053401 Duration Die Duration beträgt 2,81 Jahre.

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References

Zusammenfassung

Bester Durchblick in der Finanzmathematik.

Finanzmathematik kompakt

Dieses Lehrbuch führt in die zentralen Themen der klassischen wie der modernen Finanzmathematik ein. Diese Kenntnisse gehören zum unerlässlichen Grundbestand betriebswirtschaftlichen Wissens. Über 150 Rechenbeispiele mit Lösungen helfen dem Leser, den Stoff nachzuvollziehen und das Erlernte zu überprüfen.

Die Schwerpunkte

– Zins- und Zinseszinsrechnung

– Rentenrechnung

– Tilgungs- und Kursrechnung

– Effektivverzinsung

– Klassische Investitionsrechnung

– Marktzinsorientierte Kapitalwertmethode

– Portfoliomanagement und CAPM

Der Autor

Prof. Dr. Konrad Wimmer, Kempten/Neu-Ulm.

Konkrete Hilfe

für Studierende der Wirtschaftswissenschaften an Universitäten, Fachhochschulen und Akademien, Bankkaufleute und Finanzdienstleister.