7. Investitionen in:

Konrad Wimmer, Eugen Caprano

Finanzmathematik, page 140 - 196

Grundlagen und Anwendungsmöglichkeiten in der Investitions- und Bankwirtschaft

7. Edition 2013, ISBN print: 978-3-8006-4560-2, ISBN online: 978-3-8006-4561-9, https://doi.org/10.15358/9783800645619_140

Series: Vahlens Kurzlehrbücher

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Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 130 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 131 Teil II Anwendungsmöglichkeiten in der  Investitions- und Bankwirtschaft 7. Investitionen 7.1 Zielsetzungen bei Investitionsentscheidungen Eine Investitionsmaßnahme – kurz Investition – kann man definieren als Zahlungsstrom, der mit einer Auszahlung beginnt und der in der Zukunft zu Einzahlungen an das UN führt. Beispiel: Kauf einer Fertigungsanlage. Entsprechend liegt eine Finanzierungsmaßnahme – kurz Finanzierung – vor, wenn der Zahlungsstrom mit einer Einzahlung beginnt und dieser Einzahlung in der Zukunft Auszahlungen folgen. Auch typische Bankgeschäfte stellen demnach Investitionen (Kreditgeschäft, Aktivgeschäft) bzw. Finanzierungen (Einlagengeschäft, Passivgeschäft) dar. Im Folgenden werden zumeist Investitionen betrachtet, da die Ausführungen in entsprechender Weise für Finanzierungen gelten. Investitionsentscheidungen betreffen zwei Problemstellungen. Es sollen erstens Entscheidungen über die absolute Vorteilhaftigkeit eines Investitionsobjekts („ja/nein“-Entscheidungen) und zweitens über die relative Vorteilhaftigkeit eines Investitionsobjekts getroffen werden. Im zweiten Fall ist somit die Rangfolge unter mehreren alternativen Investitionsobjekten zu bestimmen. Grundsätzlich wird bei Investitionsentscheidungen das Prinzip der langfristigen Gewinnmaximierung verfolgt. Methodisch werden hierzu zwei Arten von Verfahren eingesetzt: 1. Statische Einperiodenmodelle: Hierzu rechnen die pay-off-Methode, die Kostenvergleichsrechnung, die Gewinnvergleichsrechnung und die Rentabilitätsvergleichsrechnung. In der Gewinnvergleichsrechnung beispielsweise wird auf die Differenz von durchschnittlichen Erlösen zu den durchschnittlichen Kosten einer für die Investition „typischen“ Periode abgestellt. Die Differenz soll maximiert werden bzw. bei der Auswahl unter mehreren Investitionsobjekten wird dasjenige bevorzugt, das den höchsten Durchschnittsgewinn verspricht. Diese Verfahren dienen allenfalls einer groben Einschätzung der Vorteilhaftigkeit von Investitionsobjekten, weshalb darauf an dieser Stelle nicht weiter eingegangen wird. 2. Dynamische Mehrperiodenmodelle: die Einschätzung von Investitionsobjekt basiert auf den dem Investitionsobjekt zurechenbaren Cashflows (Einzahlungsüberschüssen) unter Beachtung von Zinseffekten. Das Ziel der langfristigen Gewinnmaximierung wird konkretisiert durch die Ziele Vermögensmaximierung, Einkommensmaximierung und der Wohlstandsmaximierung: Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 132 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 133 7. Investitionen132 • Vermögensmaximierung Das Unternehmensvermögen soll zum Ende der Unternehmenslebensdauer bei vorgegebenen Entnahmen maximiert werden. • Einkommensmaximierung Die pro Periode entnehmbaren Beträge sollen für ein gegebenes Endvermögen maximiert werden. • Wohlstandsmaximierung Die Zielfunktion besteht in der Kombination von Einkommens- und Vermögensmaximierung. Angesichts der unten noch zu präzisierenden Vereinfachungen, die in diesem Kapitel zur Investitionsrechnung getroffen werden, führen alle drei Zielsetzungen zum gleichen Ergebnis. Im folgenden wird diese eher abstrakte Betrachtung konkretisiert, indem immer die Vermögensmaximierung bzw. Einkommensmaximierung betrachtet wird. 7.2 Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung In dieser einführenden Schrift lässt sich nicht das gesamte Spektrum der modernen Finanzierungs- und Investitionstheorie abbilden. Vereinfachungen sind deshalb an dieser Stelle geboten: • Ausgeklammert wird zunächst die Tatsache, dass die mit einer Investition verbundenen Cashflows regelmäßig unsicher sind. • Die mit einer Investition verbundenen Cashflows müssen geschätzt werden; die in der Praxis naturgemäß aufwendige Frage der Datengewinnung wird hier ausgeblendet. • Cashflows fallen realistischerweise auch unterjährig an; zunächst wird vereinfachend unterstellt, Cashflows fielen nur zum Ende einer Periode (Kalenderjahr) an. • Investoren können jederzeit und in beliebiger Höhe am Geld- und Kapitalmarkt (GKM) zu einem einheitlichen, für alle Laufzeiten gültigen Zinssatz Geld anlegen bzw. aufnehmen. Der Zinssatz, zu dem dies erfolgt, ist für Anlage und Verschuldung identisch und wird als Kalkulationszinssatz i bezeichnet ( A Vi i i= = ). Der GKM mit diesen Eigenschaften wird als vollkommener Kapitalmarkt bezeichnet. Der Kalkulationszinssatz repräsentiert die Zeit- und Liquiditätspräferenz. Es ist unmittelbar einsichtig, dass das Verfügungsrecht über „1 € heute“ mehr wert ist als das über „1 € in einem Jahr“. Damit gibt der Kalkulationszinssatz die Opportunitätskosten an: investiert man in ein Investitionsobjekt, so kann das investierte Kapital nicht zinstragend am GKM angelegt werden. Der Zinsentgang am GKM stellt die verdrängte beste anderweitige Nutzungsmöglichkeit des Kapitals dar. Der Kalkulationszinssatz ist – wie noch zu belegen ist – als Effektivzinssatz/ Rendite zu verstehen. Nur der Kürze halber wird in diesem Teil 2 mit i statt ieff gearbeitet. Man kann ebenso formulieren: erst wenn die Investition einen höheren „Reichtumszuwachs“ liefert als die sichere Anlage am GKM, lohnt es sich, in ein Investitionsobjekt zu investieren. Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 132 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 133 7.2 Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 133 Folgende Definitionen sind hier – im Teil 2 dieses Lehrbuchs – ergänzend zu beachten: • Eine Zahlungsreihe ordnet alle von einem Investitionsobjekt ausgelösten Einzahlungen und Auszahlungen entsprechend ihrem zeitlichen Anfall. Dabei bezeichnet t den Zahlungszeitpunkt (mit t = 1, ..., T), wobei die zeitlichen Abstände zwischen den nachschüssigen Zahlungen immer gleich lang, nämlich immer 1 Jahr sein sollen. Der Zeitpunkt t = 0 bezeichnet den sogenannten Kalkulationszeitpunkt, der genau ein Jahr vor Ende t1 liegt. • Der Einzahlungsüberschuss et stellt sich als Differenz von Einzahlungen und Auszahlungen der Periode t dar; et kann folglich auch einen negativen Wert annehmen. Hervorzuheben ist nochmals die Interpretation des Kalkulationszinssatzes i. Er bezeichnet die beste jederzeit durchführbare Alternativanlage des Investors (= Geld- und Kapitalmarktrendite). Diese beste jederzeit durchführbare Alternativanlage des Investors wird infolge der Realisierung des Investitionsobjekts verdrängt. Je höher der Kalkulationszinssatz ist, desto größer sind demzufolge die Opportunitätskosten und desto ungünstiger stellt sich die Investition dar. Bevor detailliert auf die einzelnen dynamischen Verfahren eingegangen wird, warden die statische und dynamische Verfahren in einem kleinen Beispiel gegenübergestellt. Beispiel 1: Ein Investor hat drei Investitionsobjekt zur Auswahl, mit denen die folgenden Zahlungsströme verbunden sind: Investition t0 t1 t2 t3 Summen der Cashflows Amortisationsdauer I – 500 400 100 100 100 2 Jahre II – 500 150 150 320 120 3 Jahre III – 500 150 150 330 130 3 Jahre Wer als Investor lediglich die Cashflows addiert und damit den zeitlichen Anfall der Zahlungen vernachlässigt, würde die Rangfolge III-II-I bilden. Wer die Pay-back-Methode anwendet, ermittelt den Zeitraum, innerhalb dessen der Kapitaleinsatz zurückgewonnen werden kann (Amortisationsdauer); Rangfolge: I-II-III. Tatsächlich handelt es sich bei diesen Überlegungen um denkbar ungeeignete Entscheidungskriterien. Es kommt vielmehr darauf an, wann die einzelnen Cashflows an den Investor zurückfließen. Weiter ist die Opportunitätskostenüberlegung zu beachten: für den Investor lohnt sich die Investition erst, wenn die Investition einen größeren „Reichtumszuwachs“ liefert als bei Anlage des Kapitals am GKM zum Kalkulationszinssatz i. Angenommen, im Beispiel betrage i 6 %. In diesem Fall liefert die unten vorzustellende Kapitalwertmethode die korrekte Rangfolge III-I-II (Rechnung folgt unten). Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 134 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 135 7. Investitionen134 7.2.1 Vermögenswertmethoden Vermögenswertmethoden messen die Vorteilhaftigkeit einer Investition in absoluten Beträgen und zwar als Abweichung gegenüber der Benchmark Kalkulationszinssatz i. Methode des vollständigen Finanzplans Grundsätzlich lassen sich Investitionsobjekte nur vergleichen, wenn • die Anschaffungsauszahlungen übereinstimmen, • Cashflow-Differenzen nicht auftreten oder in geeigneter Weise eliminiert werden und • die Laufzeiten übereinstimmen. Beispiel 2: Investition A t 0 1 2 A(o); et – 300 000 0 356 400 Investition B t 0 1 2 3 A(o); et – 200 000 0 0 266 200 A und B sind offensichtlich nicht vergleichbar, da sich die beiden Objekte hinsichtlich der Anschaffungsauszahlungen, der Einzahlungsüberschüsse und der Laufzeiten unterscheiden. Die Vergleichbarkeit kann indessen hergestellt werden, wenn die Differenzen bewußt ausgeglichen werden. Es ist naheliegend, dieselbe Laufzeit zugrundezulegen, und die Anschaffungsauszahlung bei B so zu wählen, dass ebenfalls 300 000 eingesetzt werden. Konsequenterweise ist dann aber festzulegen, welche Rückflüsse aus dieser zusätzlichen Investition bei B (bezeichnet als B′) resultieren. Unter der Annahme des vollkommenen GKM und bezogen auf den Endwert in Jahr t = 3, lassen sich die Differenzen durch Kapitalanlage und Geldaufnahme eliminieren. Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 134 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 135 7.2 Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 135 Man erkennt, dass jetzt A und B eindeutig vergleichbar sind. Die Alternativen unterscheiden sich nur noch im Endwert zum Zeitpunkt 3. Der Investor verfügt, wenn er in B investiert, über mehr Kapital als bei A. Dieses Ergebnis folgt aus der Annahme des vollständigen Geld- und Kapitalmarkts. Prinzipiell könnte man damit die Betrachtung der Investitionsrechnung abschließen, da sich letztlich alle Fragestellungen in der vorgenannten Form klären lassen. Allerdings ist der Informationsbedarf für die Erstellung eines vollständigen Finanzplans relativ hoch. U. a. deshalb wurden mehrere Verfahren entwickelt, die den Alternativenvergleich vornehmen, ohne dass die Voraussetzungen des „Vergleichbarmachens“ unmittelbar deutlich werden. Der vollständige Finanzplan ist indessen ein Mittel, die Prämissen der folgenden Verfahren aufzudecken und zu verdeutlichen. Hierzu wird ein weiteres Beispiel mit den Investitionen C und D eingeführt, auf das unten mehrfach zurückzukommen ist: Beispiel 3: Ergänzt man die Investition D in der angeführten Weise, so verfügt der Investor nach 5 Jahren über 2 215,40 € und damit um 7 784,60 € weniger als bei C. Das bei diesem Beispiel errechnete Ergebnis wird auch im Rahmen der nunmehr vorzustellenden Kapitalwertmethode ermittelt. Allerdings wird dort nicht unmittelbar deutlich, auf welchen Prämissen der Vorteilhaftigkeitsvergleich beruht. Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 136 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 137 7. Investitionen136 Zunächst wird die Bruttodarstellung gewählt: Alternativenvergleich mithilfe des vollständigen Finanzplans II Marktrendite 6 % t 0 1 2 3 4 5 C –100 000,00 30 000,00 40 000,00 30 000,00 15 000,00 10 000,00 D –60 000,00 25 000,00 25 000,00 20 000,00 t 0 1 2 3 4 5 C –30 000,00 37 874,31 –40 000,00 47 640,64 –30 000,00 33 708,00 –15 000,00 15 900,00 10 000,00 Summe 145 122,95 t 0 1 2 3 4 5 D –25 000,00 31 561,92 –25 000,00 29 775,40 –20 000,00 22 472,00 D ergänzt –40 000,00 53 529,02 Summe 137 338,35 t 0 1 2 3 4 5 Benchmark –100 000,00 133 822,56 Hinweis: Benchmark entweder als alternative Anlage oder aber als Fremdfinanzierung interpretierbar! Vorteilhaftigkeit gegenüber Benchmark 11 300,39 C Vorteilhaftigkeit gegenüber Benchmark 3 515,79 D Wählt man die Nettodarstellung, so gibt die Endwertdifferenz die relative Vorteilhaftigkeit an: Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 136 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 137 7.2 Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 137 Offensichtlich hat die Nettodarstellung den Nachteil, nur die relative Vorteilhaftigkeit angeben zu können, während die Bruttodarstellung jeweils auch angibt, ob die Benchmark übertroffen wird. Damit erhält man zugleich eine Aussage über die absolute Vorteilhaftigkeit. Aufgabe 1a: Zu vergleichen sind die beiden Investitionsobjekte I und II, für die die beiden folgenden Cashflows vorliegen; Kalkulationszinssatz 6 %. Zeigen Sie, dass Nettodarstellung nur die relative Vorteilhaftigkeit angeben vermag, während die Bruttodarstellung jeweils auch die absolute Vorteilhaftigkeit angibt. Investition I t 0 1 2 A(o); et – 100 000 105 000 Investition II t 0 1 2 A(o); et – 70 000 40 000 40 000 Lösung: Die Bruttodarstellung zeigt unmittelbar, dass I absolut vorteilhaft ist, jedoch II absolut gesehen nachteilig ist. Zugleich ist I der Alternative II vorzuziehen. Nur das belegt die Nettodarstellung . Vollständiger Finanzplan: Bruttodarstellung Marktrendite 6,00 % t 0 1 2 I – 100 000,00 € 105 000,00 € II – 70 000,00 € 40 000,00 € 40 000,00 € t 0 1 2 I   – 105 000,00 € 111 300,00 € Summe 111 300,00 € t 0 1 2 II – 40 000,00 € 42 400,00 € 40 000,00 € II ergänzt – 30 000,00 €   33 708,00 € Summe 116 108,00 €   0 1 2 Benchmark – 100 000,00 €   112 360,00 € Differenz Vorteilhaftigkeit gegenüber Benchmark – 1 060,00 € I absolut unvorteilhaft Vorteilhaftigkeit gegenüber Benchmark 3 748,00 € II absolut vorteilhaft Differenz – 4 808,00 € I zu II Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 138 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 139 7. Investitionen138 Vollständiger Finanzplan: Nettodarstellung t 0 1 2 I – 100 000,00 € 105 000,00 € – € t 0 1 2 II – 70 000,00 € 40 000,00 € 40 000,00 € t 0 1 2 Cashflow I – 100 000,00 € 105 000,00 € – € Cashflow II – 70 000,00 € 40 000,00 € 40 000,00 € Differenz I-II – 30 000,00 € 40 000,00 € Anlage – 30 000,00 € · 1,062 33 708,00 € Kapitalaufnahme 65 000,00 € – 68 900,00 € Summe 4 808,00 € Endwert II (ergänzt)       – € Endwert I Endwertdifferenz von I zu II – 4 808,00 € Aufgabe 1b: Zu vergleichen sind die beiden (gegenüber der Voraufgabe modifizierten) Investitionsobjekte I und II, für die die beiden folgenden Cashflows vorliegen; Kalkulationszinssatz 6 %. Zeigen Sie, dass Nettodarstellung nur die relative Vorteilhaftigkeit angeben vermag, während die Bruttodarstellung jeweils auch die absolute Vorteilhaftigkeit angibt. Investition I t 0 1 2 A(o); et – 100 000 105 000 Investition II t 0 1 2 A(o); et – 70 000 36 000 36 000 Differenz Bruttodarstellung Vorteilhaftigkeit gegenüber Benchmark –1 060,00 € I absolut unvorteilhaft Vorteilhaftigkeit gegenüber Benchmark – 4 492,00 € II absolut unvorteilhaft Differenz 3 432,00 € I zu II Damit sind beide Investitionsobjekte nachteilig, d. h. sie sollten beide nicht durchgeführt werden. Demgegenüber liefert die Nettodarstellung nur den (richtigen) Hinweis, dass I besser als II ist (Rechenweg wie Aufgabe 1a). Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 138 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 139 7.2 Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 139 Kapitalwertmethode Der Kalkulationszinssatz i weist in der klassischen Ausgestaltung der Kapitalwertmethode für alle Laufzeiten den gleichen Wert auf (sogenannte flache Zinsstrukturkurve). Die Kapitalwertmethode vergleicht die Anschaffungsauszahlungen eines Investitionsobjekt mit den abgezinsten Einzahlungsüberschüssen et. Die Differenz wird als Nettokapitalwert (NKW), die abgezinsten Einzahlungsüberschüsse werden als Bruttokapitalwert (BKW) bezeichnet. Es gilt: n t t t BKW e / ( i) = = +∑ 1 1 = n t t t e v = ⋅∑ 1 . (63) n t t t NKW A e / ( i) = = − + +∑0 1 1 = n t t t A e v = − + ⋅∑0 1 (64) Beispiel 4: Für die Investitionsobjekt I, II und III von oben erhält man: NKW(I) = –500 + 400 / 1,06 + 100 / 1,062 + 100 / 1,063 = 50,32; NKW(II) = 43,69; NKW(III) = 52,09. Rangfolge: III-I-II. Aufgabe 2: Bei einer Sachanlageinvestition von 300 000,– € mit einer Nutzungsdauer von 4 Jahren werden folgende Einzahlungsüberschüsse prognostiziert: 1. Jahr: 70 000,– €, 2. Jahr: 100 000,– €, 3. Jahr: 100 000,– €, 4. Jahr: 115 000,– €. Wie groß ist der Kapitalwert der Investition, wenn mit 9 % Verzinsung kalkuliert wird? Lösung: NKW (9 %) = –300 000 + 70 000 · v (9 %) + 100 000 · v2 (9 %) + 100 000 · v3 (9 %) + 11 500 · v4 (9 %) = 7 075,35. Die Investition ist also nach der Kapitalwertmethode als vorteilhaft zu bezeichnen, weil der NKW größer als null ist. Unterstellt man im Beispiel einen Kalkulationszinssatz von 10 % statt der gegebenen 9 %, so errechnet sich ein NKW = –41,05, also bereits ein negativer Nettokapitalwert. Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 140 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 141 7. Investitionen140 Aufgabe 3: Bei einer Investition fallen 100 000,– € Anschaffungsauszahlungen an. Während der erwarteten vierjährigen Nutzungsdauer werden Einzahlungsüberschüsse von 40 000,– € am Ende des ersten Jahres, 50 000,– € am Ende des zweiten Jahres und 45 000,– € am Ende des vierten Jahres erwartet. Zum Ende des dritten Jahres wird ein „Verlust“ (negativer Einzahlungsüberschuss) von 8 000,– € prognostiziert. Beurteilen Sie bei einem vorgegebenen Kalkulationszinssatz von 9 % die Vorteilhaftigkeit der Investion nach der Kapitalwertmethode. Lösung: NKW (9 %) = –100 000 + 40 000 · v (9 %) + 50 000 · v2 (9 %) –8 000 · v3 (9 %) + 45 000 · v4 (9 %) = 4 482,90. Aufgabe 4: Eine zu Jahresbeginn geplante Investition von 100 000,– € lässt zum Jahresende des ersten Jahres und zum Jahresende des zweiten Jahres jeweils 55 000,– € an Einzahlungen erwarten. Wie groß ist bei einem Kalkulationszinssatz von 6 % der Nettokapitalwert der Investition? Lösung: NKW (6 %) = 55 000 · [v (6 %) + v2 (6 %)] – 100 000 = 837. Aufgabe 5: Der Abbau von Granitvorkommen durch ein Granitwerk ergibt Perioden- überschüsse von jährlich 200  000,– €. Die Vorkommen reichen bei unver- änderter Förderungskapazität noch 20 Jahre. Durch Rationalisierungsinvestitionen in Höhe von 650  000,– € kann der Unternehmer ab sofort die Förderungsintensität verdoppeln, wodurch die Granitvorkommen in der halben Zeit ausgebeutet werden. Die Rationalisierungsinvestition muss mit 7 % fremdfinanziert werden. (a) Wie hoch ist der Nettokapitalwert der Investition? Wie hoch ist der Nettokapitalwert, wenn nicht investiert wird? (b) Zeigen Sie mithilfe der Kapitalwertmethode, dass die um zwei Jahre verzögerte Rationalisierungsinvestition gemessen an den Ergebnissen an a) nachteilig ist. Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 140 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 141 7.2 Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 141 Lösung: Zu (a) Kapitalwert ohne Investition: NKW = 200 000 · a20 (7 %) = 2 118 802. Kapitalwert bei Investition: NKW = –650 000 + 400 000 · a10 (7 %) = 2 159 432. Zu (b) Kapitalwert bei verzögerter Investition: NKW0 = 200 000 · a2 (7 %) – 650 000 · v2 (7 %) + 400 000 · a9 (7 %) · v2 (7 %) = 2 070 131. Man sieht, dass die verzögerte Investition gegenüber der Nichtinvestition bereits zu einem Kapitalwertnachteil von 2 118 802 – 2 070 131 = 48 671 führt. Hinweis zur Interpretation des Bruttokapitalwerts Der Bruttokapitalwert BKW wird auch als Grenzpreis einer Investition bezeichnet. Diesen Preis wird ein Erwerber maximal zu zahlen bereit sein und diesen Preis wird ein Verkäufer mindestens fordern. In der Unternehmensbewertung gibt der BKW auf Basis des Cashflows des Gesamtunternehmens prinzipiell den Unternehmenswert an, der auch als Ertragswert bezeichnet wird. Investitionsentscheidung: • Investitionsobjekt A ist vorteilhaft, wenn BKW (A) > A0 oder NKW (A) > 0, wobei 0 die Unterlassungsalternative repräsentiert. • Investitionsobjekt A wird dem Investitionsobjekt B vorgezogen, wenn NKW (A) > NKW (B). Anmerkung: Als Unterlassensalternative wird der Verzicht auf Durchführung der Investition und die Anlage auf dem Geld- und Kapitalmarkt bezeichnet. Letztere hat definitionsgemäß immer einen NKW von null. Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 142 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 143 7. Investitionen142 Beispiel 5: Ein Investor möchte die beiden Investitionen C und D miteinander vergleichen. C Kalkulationszinssatz 6,00 % t 0 1 2 3 4 5 A(o); e(t) –100 000 30 000 40 000 30 000 15 000 10 000 Abzinsungsfaktoren 1 0,943396 0,889996 0,839619 0,792094 0,747258 Summe Barwerte Barwerte –100 000 28 301,89 35 599,86 25 188,58 11 881,40 7 472,58 8 444,31 D t 0 1 2 3 4 5 A(o); e(t) -60 000 25 000 25 000 20 000 Barwert 2 627,20 C-D t 0 1 2 3 4 5 A(o); e(t) –40 000 5 000 15 000 10 000 15 000 10 000 Barwert 5 817,11 Die NKW von C und D betragen 8 444,31 und 2 627,20; die NKW-Differenz von 5 817,11 erhält man auch, wenn man den Cashflow von D von C abzieht und den NKW der sogenannten Differenzinvestition C-D bildet. Kapitalwertfunktion Wie eben ausgeführt, hängen der BKW und der NKW eines Investitionsobjekt von der Höhe des Kalkulationszinssatzes ab: je höher der Kalkulationszinssatz ist, desto niedriger ist der BKW bzw. der NKW. Dieser Zusammenhang sei anhand des Investitionsobjekts D demonstriert. Berechnet man für alternative Kalkulationszinsfüße die entsprechenden Nettokapitalwerte, so erhält man die Nettokapitalwertfunktion. Die Nullstelle liegt bei 9,68 %. Dieser Zinssatz, bei dem der NKW den Wert null annimmt, wird als interner Zinssatz (IZF) bezeichnet. Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 142 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 143 7.2 Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 143 Man beachte, dass die Kapitalwertfunktion eine Krümmung aufweist, d. h. Veränderungen von z. B. ± 2 % beim Kalkulationszinssatz wirken sich nicht im selben Ausmaß auf den NKW aus (keine symmetrische Veränderung): • i = 0,04 → NKW = 13 539,63 • i = 0,06 → NKW = 8 444,31 • i = 0,08 → NKW = 3 718,58 • Abweichung NKW (0,06 – 0,04) = 5 095,32; Abweichung NKW (0,08 – 0,06) = 4 725,73. Interpretation der Kapitalwertmethode Die Interpretation hängt vor allem davon ab, welche Finanzierungsform (Eigenoder Fremdfinanzierung) bei der Obejektfinanzierung unterstellt wird. Bei Eigenfinanzierung verfügt der Investor offensichtlich über das zur Realisierung der Investitionsobjekte notwendige Kapital. Seine Alternative besteht folglich darin, das vorhandene Kapital am GKM anzulegen. Auf unvollkommenen GKM wäre damit der Habenzinssatz iA für die Diskontierung heranzuziehen. Der BKW gibt deshalb den Betrag an, der am GKM zum Kalkulationszinssatz angelegt werden müsste, damit daraus exakt die gleichen Einzahlungsüberschüsse et fließen, wie bei Durchführung des Investitionsobjekts. Damit gibt der BKW an, welchen Wert das Investitionsobjekt hat (= Grenzpreis von Verkäufer und Käufer). Dieser kann auch als Marktwert des eigenfinanzierten Investitionsobjekts verstanden werden. Sofern BKW > A0, ist das Investitionsobjekt vorteilhaft, da der Investor tatsächlich nur A0 zahlt, obwohl das Investitionsobjekt einen Betrag in Höhe von BKW wert ist bzw. er alternativ BKW aufwenden müsste. Der Investor beurteilt also den Mehr/-minderertrag gegenüber seiner 25.000,00 Euro 20.000,00 Euro 15.000,00 Euro 10.000,00 Euro 5.000,00 Euro – Euro –5.000,00 Euro –10.000,00 Euro 2,00% 4,00% Kapitalwertfunktion 6,00% 8,00% 10,00% 12,00% 14,00% Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 144 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 145 7. Investitionen144 Alternativanlage (Beurteilung anhand der benchmark Kalkulationszinssatz) bzw. er realisiert die Differenz BKW – A0 indem er das Investitionsobjekt durchführt: er zahlt A0, kann aber das Investitionsobjekt zum Marktpreis (= BKW) veräußern. Konsequenterweise gibt der NKW (= BKW – A0) den Reichtumszuwachs des Investors bei Realisierung des Investitionsobjekts an. Bei Fremdfinanzierung muss sich der Investor das zur Realisierung des Investitionsobjekt notwendige Kapital erst noch am GKM beschaffen. Auf unvollkommenen GKM wäre damit der Sollzinssatz iV für die Diskontierung heranzuziehen. Jetzt drückt der BKW den Betrag aus, der am GKM aufgenommen werden könnte, wenn der Kreditbetrag durch die Einzahlungsüberschüsse et des Investitionsobjekt getilgt und verzinst würde. Sofern BKW > A0, ist das Investitionsobjekt vorteilhaft, da der Investor tatsächlich nur A0 zahlt, obwohl das Investitionsobjekt die Kreditaufnahme in Höhe von des BKW ermöglicht. Nimmt also der Investor den BKW auf und realisiert er das Investitionsobjekt, indem er A0 zahlt, so verbleibt ihm in t0 ein entnehmbarer Betrag in Höhe von BKW-A0. Anlageprämisse der Kapitalwertmethode Zur Verdeutlichung der Prämissen der Kapitalwertmethode seien die Investitionsobjekte E und F betrachtet: t0 t1 t2 – 300 000 0 + 356 400 E – 200 000 0 + 242 000 F Man errechnet die Nettokapitalwerte für einen angenommenen Kalkulationszinssatz von 6 % mit 17 194,73 (= –300 000 + 356 400 / 1,062) und 15 379,15 (= –200 000 + 242 000 / 1,062). E wird F vorgezogen, weil E einen um 1 815,59 € höheren Nettokapitalwert aufweist. Diese Interpretation beruht insbesondere auf zwei Sachverhalten. Der verwendete Kalkulationszinssatz, mit dem die Zahlungen abgezinst werden, entspricht der besten Investitionsalternative, die dem Investor zur Verfügung stehen würde, wenn er E bzw. F nicht durchführen würde. Es handelt sich dabei annahmegemäß um die Geld- und Kapitalmarktrendite, die bei Durchführung des Investitionsobjekts verdrängt wird. Je höher der Kalkulationszinssatz, desto größer sind die Opportunitätskosten aus der Verdrängung der Alternative und desto niedriger ist unter sonst gleichen Umständen der Nettokapitalwert. Ein positiver Nettokapitalwert drückt somit die absolute Vorteilhaftigkeit eines Investitionsobjekt aus. Im Beispiel wären somit sowohl E als auch F vorteilhafte Objekte. E wird F vorgezogen, weil E beim Vergleich mit dem einheitlichen Beurteilungsmaßstab Kalkulationszinssatz besser als F abschneidet. Dies liegt an der Anlageprämisse der Kapitalwertmethode. Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 144 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 145 7.2 Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 145 Auch die Kapitalwertmethode muss zur Herstellung vollständiger Alternativen auf Ergänzungsinvestitionen zurückgreifen. Dabei wird eine Anlage zum am Markt existierenden Kalkulationszinssatz unterstellt. Der vollständige Alternativenvergleich ergibt unter diesen Voraussetzungen wegen der Verzinsung der Ergänzungsinvestition F’ mit 6 % folgendes Bild: t0 t1 t2 – 300 000 0 +356 400 E – 300 000 0 +354 360 F + F′ Der Endwert von F + F′ errechnet sich mit 242 000 + 100 000 · 1,062 = 354 360. Die Endwertdifferenz von 2 040 entspricht gerade der oben angeführten Nettokapitalwertdifferenz von 1 815,59 € (= 2 040 / 1,062): Der Vergleich der Nettokapitalwerte und der Endwerte führt somit zum gleichen Ergebnis. Der Alternativenvergleich E mit F kann auch mithilfe des Kriteriums der sogenannten Differenzinvestition gelöst werden. Die Differenzinvestition erhält man, indem die Zahlungsreihe der zunächst weniger kapitalintensiven Investition von der Investition mit dem zunächst höheren Kapitaleinsatz abgezogen wird: t0 t1 t2 – 100 000 0 + 114 400 Differenzinvestition Da sich die beiden Kreditalternativen offensichtlich genau um die Differenzinvestition unterscheiden, kann sich der Alternativenvergleich auf deren Analyse beschränken. Es reicht damit aus, zu prüfen, ob sich das Eingehen der durch die Differenzinvestition ausgedrückten Kapitalbindung im Vergleich zur besten jederzeit durchführbaren Investitionsalternative (Kalkulationszinssatz) rentiert. Diskontiert man die Differenzinvestition mit der bei alternativer Anlage am Geld- und Kapitalmarkt erzielbaren Rendite, so erhält man wiederum (–100 000 + 114 400 / 1,06 =) 1 815,59. Die zusätzliche Kapitalbindung rentiert sich also. Annuitätenmethode Darstellung Die Annuitätenmethode kann unmittelbar aus der KWM abgeleitet werden, wenn wiederum nachschüssige Zahlungen unterstellt werden. Der mit inw abgekürzte Annuitätenfaktor liefert bei Multiplikation mit dem BKW bzw. dem NKW einen uniformen Entnahmebetrag, der auch Rente genannt wird. Ann. (NKW) steht hier für Annuität auf Basis des NKW. Die Rechentechnik ist aus der Rentenrechnung bekannt. Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 146 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 147 7. Investitionen146 n iAnn.(BKW) BKW · w= (65) n iAnn.(NKW) NKW · w= (66) Investitionsentscheidung: • Investitionsobjekt A ist vorteilhaft, wenn Ann. (NKW A) > 0, wobei 0 die Unterlassungsalternative repräsentiert • Investitionsobjekt A wird dem Investitionsobjekt B vorgezogen, wenn Ann. (NKW A) > Ann (NKW B); zu beachten ist, dass ein aussagefähiger Vergleich, der zum gleichen Ergebnis wie die Kapitalwertmethode führen muss, den gleichen Entnahmezeitraum voraussetzt. Beispiel Investitionsobjekt C (6 %): Ann. (BKW) = 108 444,31 · 0,237396 = 25 744,29; Ann. (NKW) = 8 444,31 · 0,237396 = 2 004,65. Ein Sonderfall der Annuitätenmethode liegt bei der unendlichen Rente vor (zur Herleitung vgl. Kapitel 4.6): BKW = Rente / Kalkulationszinsfuß . (67) Annuitäten verrenten Barwerte und definieren die vom Investor prinzipiell entnehmbaren Zahlungen. Was aus dem Zahlungsstrom des Investitionsobjekt entnehmbar ist, hängt erstens von der Länge des Verrentungszeitraumes und zweitens von der Höhe des zu erhaltenden Ausgangskapitals ab. Da die möglichen Entnahmen des Investors drittens davon abhängen, ob eigen-, fremd- oder mischfinanzierte Investitionsobjekte vorliegen, sind in diesem Zusammenhang die Prämissen der Annuitätenmethode zu untersuchen: Prämissen bei Fremdfinanzierung: 1. Schritt: die Annuität auf Basis des NKW wird berechnet. Die Annuität auf Basis des BKW zu berechnen, kommt nicht in Betracht, da dies eine zusätzliche Verschuldung des Unternehmens bedeuten würde. Beispiel 6 (Investitionsobjekt C): t = 0 1 2 3 4 5 A(o) – 100 000 et 30 000 40 000 30 000 15 000 10 000 ZR – 100 000 30 000 40 000 30 000 15 000 10 000 BW (t) – 100 000 28 301,89 35 599,86 25 188,58 11 881,40 7 472,58 Ann. (NKW) 2 004,65 2 004,65 2 004,65 2 004,65 2 004,65 2. Schritt: die Fremdfinanzierung ist explizit im Zahlungsstrom zu berücksichtigen. Hier wird zunächst vollständige Fremdfinanzierung (F0 = Darlehensbetrag)) angenommen. Die Tabelle zeigt, dass z. B. der Überschuss nach dem ersten Jahr für vier Jahre zu 6 % am GKM angelegt wird, sodass nach vier Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 146 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 147 7.2 Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 147 Jahren Kapital in Höhe von 21 995,35 · 1,064 = 27 768,62 zur Verfügung steht. Insgesamt verfügt damit der Investor über einen ein Betrag von 98 004,65 €, der die Unterdeckung (nach Tilgung, Zinszahlung und Entnahme) kompensiert. In der folgenden Tabelle steht ZR für Zahlungsreihe. Das Beispiel zeigt, dass bei Entnahme der Ann. (NKW) der Investitionsobjekt- Überschuss gerade ausreicht, den Kredit zu bedienen und die Entnahme des Investors sicher zu stellen: der Investor ist um die Entnahme reicher geworden. Dieser Sachverhalt stellt sich damit analog zum Ergebnis der Kapitalwertmethode dar: der NKW wird lediglich in eine Rente transformiert. Eigenfinanzierung Da in dieser Situation der Investor ausschließlich eigene Mittel einsetzt, „erspart“ er die Fremdkapitalzinsen, die er jetzt zusätzlich entnehmen kann. Die vermiedenen Zinsen können auch als kalkulatorische Eigenkapitalzinsen i · E(0) interpretiert werden. E0 gibt den Eigenkapitaleinsatz an. t 0 1 2 3 4 5 A(o) – 100 000 E(0) 100 000 – 100 000 e(t) 30 000 40 000 30 000 15 000 10 000 Entnahme i · E (0) – 6 000 – 6 000 – 6 000 – 6 000 – 6 000 ZR 24 000 34 000 24 000 9 000 – 96 000 Entnahme – 2 004,65 – 2 004,65 – 2 004,65 – 2 004,65 – 2 004,65 ZR nach Entnahmen 21 995,35 31 995,35 21 995,35 6 995,35 – 98 004,65 Anlage – 21 995,35 – 31 995,35 – 21 995,35 – 6 995,35 27 768,62 38 106,98 24 713,98 7 415,07 Saldo 0 0 0 0 0 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 148 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 149 7. Investitionen148 Im Beispiel kann der Investor bei vollständiger Eigenfinanzierung neben der Ann. (NKW) auch die Eigenkapitalzinsen entnehmen, wobei sein Anfangskapital E(0) erhalten beibt. Bei angestrebter Erhaltung und marktgerechter Verzinsung des nominalen Kapitals kann folglich die Annuität auf Basis des NKW entnommen werden: 2 004,65 + 6 000 = 8 004,65. Kapitalerhaltung und Entnahmemöglichkeiten Bei zahlreichen praktischen Anwendungsgebieten der Finanzmathematik stellt sich die Frage, welche Renten Investoren unter bestimmten Rahmenbedingungen entnehmen können. Dabei ist im Hinblick auf die Finanzierungsart zu differenzieren. Zusammengefasst ergibt sich folgende Übersicht bezüglich der Entnahmemöglichkeiten (NKW ist prinzipiell immer „ausschüttungsfähig“, A0 hingegen nur soweit mit E0 identisch; E gibt den Eigenkapitaleinsatz, F den Fremdkapitaleinsatz an): Vollständige Eigenfinanzierung: • Ann. (BKW): maximale Entnahmen bei Verzehr des Anfangsvermögens und des NKW • Ann. (NKW): da nur der Reichtumszuwachs entnommen wird, wird das Anfangsvermögen erhalten und sogar marktgerecht verzinst [E(0) · (1 + i)n)]; man kann auch von realer Kapitalerhaltung sprechen. • Ann. [E(0)]: da der NKW gespart wird, ist am Ende des Verrentungszeitraums NKW · (1 + i)n verfügbar. • Ann. [BKW – E(0) / (1 + i)n)]: max. Entnahmemöglichkeit bei Erhaltung von E(0); alternativ lässt sich die Entnahmevorschrift angeben mit: Ann. (NKW) + i · E (0); man kann auch von nominaler Kapitalerhaltung sprechen. • Soll am Ende des Verrentungszeitraums ein bestimmtes Vermögen VM vorliegen, so ist die Entnahme mit Ann. (BKW – VM / (1 + i)n) festzulegen. Vollständige Fremdfinanzierung: • Ann. (BKW): keine relevante Fragestellung, da der Investor auch noch den NKW finanzieren müsste. • Ann. (BKW – F(0) = NKW): da nur der Reichtumszuwachs entnommen wird, kann der Kreditbetrag verzinst und getilgt werden. A0= E0 NKW BKW Eigen nanzierung Entnehm bar (Kapitalverzehr) A0= F0 NKW BKW Fremd nanzierung N icht entnehm bar Entnahmemöglichkeiten in Abhängigkeit von der Finanzierung; barwertige Sichtweise Entnehm -bar Entnehm -bar Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 148 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 149 7.2 Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 149 • Soll am Ende ein bestimmtes Vermögen VM vorliegen, so ist die Entnahme mit • Ann. (BKW – F(0) – VM / (1 + i)n) festzulegen. Mischfinanzierung: • Ann. (NKW): da nur der Reichtumszuwachs entnommen wird, kann der Kreditbetrag verzinst und getilgt werden; zugleich wird E(0) real erhalten (= [E(0) · (1 + i)n]. • Ann. [BKW – F(0) – E(0) / (1 + i)n]: max. Entnahmemöglichkeit bei nominaler Erhaltung von E(0): Ann (NKW) + i · [A(0) – F(0)] • Soll am Ende ein bestimmtes Vermögen VM vorliegen, so ist die Entnahme mit Ann. (BKW – F(0) – VM / (1 + i)n) festzulegen. • Ann. [BKW – F(0)] = Ann. (E(0) + Ann. (NKW): max. Entnahmemöglichkeit des Investors, wenn dieser sein Eigenkapital und den Reichtumszuwachs NKW verzehrt. Aufgabe 6: Gegeben sind die beiden Investitionen A und B. Berechnen Sie für einen Kalkulationszinssatz von 6 % die BKW und NKW auf Basis der Kapitalwertmethode und der Annuitätenmethode: Investition A t0 t1 t2 A(0); et – 55 000 30 000 30 000 Investition B t0 t1 t2 A(0); et – 40 000 24 000 24 000 Lösung: BKW(A) = 55 001,78; NKW(A) = 1,78; BKW(B) = 44 001,42; NKW(B) = 4001,42; 1,78 = –55 000 + 30 000 / 1,06 + 30 000 / 1,062 = –55 000 + 30 000 · 1 / 0,545437 Aufgabe 7: Projekt B aus Aufgabe 6 sei eigenfinanziert. (a) Geben Sie die maximale uniforme Entnahme an. (b) Berechnen Sie die maximale uniforme Entnahme, wenn nur der mit der Realisierung des Projekts verbundene Reichtumszuwachs ausgeschüttet werden soll. (c) Bestimmen Sie die maximale uniforme Entnahme bei nominaler Kapitalerhaltung. (d) Geben Sie die maximale uniforme Entnahme an, wenn ein Endvermögen von 5 000 erhalten werden soll. Weisen die Korrektheit Ihrer Berechnung anhand eines Finanzplans nach. Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 150 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 151 7. Investitionen150 Lösung: Zu (a) Ann. (BKW) = 44 001,42 · 0,545437 = 24 000. Zu (b) Ann. (NKW) = 4 001,42 · 0,545437 = 2 182,52 Zu (c) Ann. [BKW – E(0) / (1 + i)n] = /44 001,42 – 40 000 / 1,062) · 0,545437 = 4 582,52 = Ann (NKW) + i · E(0) = 2 182,52 + 0,06 · 40 000 Zu (d) Ann. (BKW – VM / (1 + i)n) = (44 001,42 – 5 000 / 1,062) · 0,545437 = 21 572,82 Nachweis anhand eines Finanzplans: t0 t1 t2 A(o) – 40 000,00 E(0) 40 000,00 et 24 000,00 24 000,00 Entnahme – 21 572,82 – 21 572,82 Differenz 0,00 2 427,18 2 427,18 Anlage – 2 427,18 2 572,82 Endvermögen 5 000,00 Aufgabe 8: Projekt B aus Aufgabe 7 sei vollständig fremdfinanziert. Geben Sie die entnehmbare Annuität an, wenn a) der Kredit bedient und der mit der Realisierung des Projekts verbundene Reichtumszuwachs ausgeschüttet werden soll, b) der Kredit bedient und der Investor am Ende der zweiten Periode über ein Vermögen von 1 000 verfügen möchte. Lösung: Zu (a) Ann. (NKW) = 4 001,42 · 0,545437 = 2 182,52 Zu (b) Ann. (BKW – F(0) – VM / (1 + i)n) = /44 001,42 – 40 000 – 1 000 / 1,062) · 0,545437 = 1 697,09 Aufgabe 9: Projekt B aus Aufgabe 7 sei nunmehr zu 25 % fremdfinanziert. a) Bestimmen Sie die maximale uniforme Entnahme, wenn das Eigenkapital real erhalten werden soll. b) wie a) bei nominaler Eigenkapitalerhaltung. c) Geben Sie die maximale uniforme Entnahme an. Weisen die Korrektheit Ihrer Berechnung anhand eines Finanzplans nach. Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 150 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 151 7.2 Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 151 Lösung: Zu (a) Ann. (NKW) = 4 001,42 · 0,545437 = 2 182,52 Zu (b) Ann. [BKW – F(0) – E(0) / (1 + i)n] = Ann (NKW) + i · [A(0) – F(0)] = 2 182,52 + 0,06 · (44 000 – 10 000) = 3 982,52 Ann. [BKW – F(0) – E(0) / (1 + i)n] = Ann (NKW) + i · [A(0) – F(0)] = 2 182,52 + 0,06 · (44 000 – 10 000) = 3 982,52 Zu (c) Ann. [BKW – F(0)] = (44 001,42 – 10 000) · 0,545437 = 18 545,62. Nachweis anhand eines Finanzplans: A(o) – 40 000,00 24 000,00 24 000,00 EF(0) 30 000,00 F(0) 10 000,00 et – 600,00 – 10 600,00 Entnahme – 18 545,63 – 18 545,63 Differenz 0,00 4 854,37 5 145,63 Anlage – 4 854,37 – 5 145,63 Endvermögen 0,00 Aufgabe 10: Gegeben sind Sie die Einzahlungsüberschüsse der beiden Investitionsobjekte A und B (Kalkulationszinssatz 10 %): t0 t1 t2 t3 t4 t5 t6 et A – 140 56,59 56,59 56,59 56,59 0 0 B – 100 32 32 32 32 32 32 Überprüfen Sie folgende Aussage: A ist B vorzuziehen, weil die auf Basis der Nettokapitalwerte ermittelte und auf die jeweilige Objektlaufzeit bezogene uniforme Entnahme bei A größer ist als bei B. Lösung: BKW (A) = 179,37; NKW (A) = 39,37; Ann. (BKW, 4 Jahre) = 56,59, Ann. (NKW, 4 Jahre) = 12,42 BKW (B) = 139,37; NKW (B) = 39,37; Ann. (BKW, 6 Jahre) = 32, Ann. (NKW, 6 Jahre) = 9,04 Zwischenergebnis: die Behauptung ist unbrauchbar, da beide Objekte gleich vorteilhaft sind (gleicher NKW!). Dieses Ergebnis lässt sich auch mit der Annuitätenmethode erzielen, wenn man gleiche Voraussetzungen schafft: 1. Möglichkeit: Berechnung der Annuitäten auf Basis der BKW; dann ist allerdings bei B eine zusätzliche Annuität auf die A(0)-Differenz von A und B, das sind 40, zu berücksichtigen. Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 152 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 153 7. Investitionen152 2. Möglichkeit: Berechnung der Annuitäten auf Basis der NKW; die A(0)- Differenz von A und B spielt dann natürlich keine Rolle mehr; allerdings ist ein identischer Verrentungszeitraum zugrunde zu legen. Bei 4 Jahren erhält man einheitlich Ann. (NKW) = 12,42 und bei 6 Jahren 9,04. Beispiel 7: Durch Investitionen von 100 000,– € erzielt ein Unternehmer für die Investitionsdauer von 5 Jahren folgende Einzahlungsüberschüsse: 1. Jahr: 30 000,– €, 2. Jahr: 30 000,– €, 3. Jahr: – 15 000,– €, 4. Jahr: 40 000,– €, 5. Jahr: 50 000,– €. Der Unternehmer möchte wissen, welcher (Gewinn)Annuität diese Investition bei einem Kalkulationszinssatz von 7 % entspricht. Für den Nettokapitalwert ergibt sich: NKW (7 %) = 30 000 · v (7 %) + 30 000 · v2 (7 %) – 15 000 · v3 (7 %) + 40 000 · v4 (7 %) + 50 000 · v5 /7 %) – 100 000 NKW0 (7 %) = 8161,17. Als (Gewinn)Annuität errechnet sich daraus: NKW , a (   %) = 5 1990 43 7 . Vermögensendwertmethode und unvollkommener Geld- und Kapitalmarkt Auf unvollkommenem Geld- und Kapitalmarkt mit Geld-/Brief-Differenzen, d. h. iv > ia, sind die vorgenannten Methoden nicht mehr bzw. nur in Ausnahmefällen verwendbar. Soll also der Unterschied zwischen iv und ia berücksichtigt werden, so sind bei der Endwertbetrachtung beide Zinssätze zu verwenden. Die Lösung kann wieder anhand eines vollständigen Finanzplans gefunden werden. Dabei ist zwischen dem Kontoausgleichsverbot und dem Kontoausgleichsgebot zu unterscheiden. Wir betrachten die Investitionsobjekt C und D unter der Annahme iv = 6 % und ia = 4 % und verwenden das Kontoausgleichsverbot: Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 152 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 153 7.2 Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 153 Hinweis: Vereinfachend wird die Kreditrückzahlung samt Zinseszins in einem Betrag am Ende des 5. Jahres unterstellt. D t0 t1 t2 t3 t4 t5 et – 60 000 25 000 25 000 20 000 Kredit 60 000 – 80 293,53 Anlage – 25 000 29 246,46 Anlage – 25 000 28 121,60 Anlage – 20 000 21 632,00 Anlage 0 0,00 Saldo 0 0 0 0 Endwert – 1 293,47 Die Endwerte erhält man auch hier wieder, indem man explizit die Ausgleichsgeschäfte berücksichtigt. Zu betonen ist, dass jetzt bei unvollkommenem Geld- und Kapitalmarkt das Ergebnis von den gewählten Prämissen abhängt. Alternativ zum soeben verwendeten Kontoausgleichsverbot kann die Vermögensendwertmethode auch auf dem Kontoausgleichsgebot basieren. Im letztgenannten Fall würde jeweils nur der Saldo verzinst; damit gilt: Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 154 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 155 7. Investitionen154 C Alternativenvergleich mithilfe des vollständigen Finanzplans t0 t1 t2 t3 t4 t5 et – 100 000 30 000 40 000 30 000 15 000 10 000 Kredit 100 000 – 100 000 Kreditzinsen – 6 000,00 Saldo – 76 000,00 Kredit 76 000 – 76 000,00 Kreditzinsen – 4 560,00 Saldo – 40 560,00 Kredit 40 560,00 – 40 560,00 Kreditzinsen – 2 433,60 Saldo – 12 993,60 Kredit 12 993,60 – 12 993,60 Kreditzinsen – 779,62 Saldo 1 226,78 Anlage – 1 226,78 1 226,78 Anlagezinsen 49,07 Endwert 11 275,86 D t0 t1 t2 t3 t4 t5 et – 60 000 25 000 25 000 20 000 Kredit + 60 000 – 60 000 Kreditzinsen – 3 600,00 Saldo – 38 600,00 Kredit 38 600 – 38 600,00 Kreditzinsen – 2 316,00 Saldo – 15 916,00 Kredit 15 916,00 – 15 916,00 Kreditzinsen – 954,96 Saldo 3 129,04 Anlage – 3 129,04 3 129,04 Anlagezinsen 125,16 Saldo 3 254,20 Anlage – 3 254,20 3 254,20 Anlagezinsen 130,17 Endwert 3 384,37 Insgesamt hängt damit das Ergebnis der Vermögensendwertmethode auf unvollkommenem Geld- und Kapitalmarkt von den Prämissen bei der Durchführung der Ausgleichsgeschäfte ab (Kontoführungsmodelle). Realitätsgerechte Verfeinerungen, die auch die nicht-flache Zinsstrukturkurve beeinhalten, finden sich im Abschnitt zur marktzinsorientierten Kapitalwertmethode. Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 154 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 155 7.2 Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 155 7.2.2 Zinssatzmethoden Interne Zinssatzmethode (jährliche Zahlungen) Der interne Zinssatz lässt sich als Zinssatz ieff definieren, bei dem der Kapitalwert einer Zahlungsreihe (einer Investition, einer Finanzierung) gerade 0 beträgt. Bezeichnet wiederum A0 den Auszahlungsbetrag einer Investition, et die Einzahlungsüberschüsse der Periode t, so gilt: n eff t t t A e / ( i ) = = +∑0 1 1 (68) Alternativ lässt sich schreiben: n n t t t t t t A e / q e · v = = = =∑ ∑0 1 1 Beispiel 8: t0 t1 t2 – 92 000 + 58 000 + 54 000 Man erhält einen internen Zinssatz von 14,36 608 % aus der folgenden Bestimmungsgleichung: 92 000 = 58 000 / (1 + ieff) + 54 000 / (1 + ieff)2 Investitionsentscheidung: • Investitionsobjekt A ist vorteilhaft, wenn IZF(A) > Kalkulationszinssatz, wobei der Kalkulationszinssatz die beste Alternative repräsentiert. • Bei der Rangfolgeentscheidung ist mit dem Kriterium der Differenzinvestition zu arbeiten, auf das unten ausführlich zurückzukommen ist: Investitionsobjekt A wird dem Investitionsobjekt B vorgezogen, wenn IZF(A - B) > Kalkulationszinssatz; (A - B) = Differenzinvestition, A ist die Investition mit der zunächst größeren Kapitalbindung. Problem der rechnerischen Ermittlung des internen Zinssatzes In der konkreten Anwendung der internen Zinssatzmethode wird es sich in aller Regel um die Lösung einer Gleichung höheren Grades handeln, für die uns lediglich das Interpolationsverfahren oder andere Methoden von Näherungslösungen zur Verfügung stehen. An dieser Stelle ist es zweckmäßig, wenn zunächst geklärt wird, ob es sich um eine Normalinvestition oder um eine Nichtnormalinvestition handelt. Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 156 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 157 7. Investitionen156 Normalinvestitionen beginnen mit einer Auszahlung, in der Regel sind es die Anschaffungskosten, denen nur noch positive Periodenüberschüsse folgen (typisches Beispiel: Bankkredit [Banksicht]). Eine Nichtnormalinvestition liegt dann vor, wenn sich das Vorzeichen der Zahlungssalden mindestens zwei Mal ändert. Eine Nichtnormalinvestition hat man etwa, wenn nach einem positiven Periodenüberschuss ein negativer folgt, wenn also zwischendurch auch mit negativen et-Werten gerechnet werden muss. Ebenso liegt eine Nichtnormalinvestition dann vor, wenn vor den Anschaffungszahlungen bereits Einzahlungen, etwa durch Kundenvorauszahlungen oder dergleichen, realisiert werden können. Auch die Finanzierungen können in völliger Analogie zu den Investitionen unterteilt werden. Dementsprechend verfügt bei einer Normalfinanzierung nur die erste Zahlungsgröße, weil Einzahlung, über ein positives Vorzeichen; alle anderen Zahlungsgrößen sind, weil Auszahlungen, negativ. Bei einer Normalinvestition sind alle Periodenüberschüsse e1, ..., en positiv, nur das erste Glied der Gleichung (68) ist, da es sich um Anschaffungsauszahlungen handelt, negativ. In diesem Fall wird die Gleichung (68) höchstens nur eine positive Lösung haben und daher zu keinen Interpretationsschwierigkeiten führen. Es ist daher empfehlenswert, die Anwendung der Methode des internen Zinssatzes grundsätzlich auf Normalinvestitionen bei absoluter Vorteilhaftigkeitsbetrachtung zu beschränken. Als Kriterium für die Vorteilhaftigkeit einer Normalinvestition gilt: Eine Normalinvestition ist vorteilhaft, wenn der interne Zinssatz größer als der Kalkulationszinssatz ist. Bei Nichtnormalinvestitionen kann die Bestimmungsgleichung zu mehreren positiven Lösungen führen. Um dann einen Überblick über die Vorteilhaftigkeit einer Investition zu erhalten, ist es zweckmäßig, das Verfahren zu erweitern und die Abhängigkeit des Kapitalwertes K0 vom Kalkulationszinssatz im Sinne einer Kurvendiskussion zu untersuchen. Im Beispiel 45 ist dieser Fall näher dargestellt. Wie bei der Kapitalwertmethode und der Annuitätenmethode kann auch bei der Methode des internen Zinssatzes die Verzinsung alternativer Anlageformen miteinander verglichen werden. Auch hier kann ein Vergleich zu dem Ergebnis führen, dass der Verzicht auf eine Investition als vorteilhaftere Alternative in Frage kommt. Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 156 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 157 7.2 Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 157 Aufgabe 11: Bei 143 800,– € Anschaffungsauszahlung werden Einzahlungsüberschüsse von 90 000,– € nach dem ersten und von 75 000,– € nach dem zweiten Jahr prognostiziert. Wie groß ist der interne Zinssatz dieser Investition? Lösung: · · q q − + + =2 1 1 143 800 90 000 75 000 0 q · q− − =2 900 750 0 1438 1438 q1 = 1,10, also ieff = 10 %. Dem zweiten Wert für q kann wegen des negativen Vorzeichens kein interner Zinssatz zugeordnet werden. Aufgabe 12: Eine Investition ist mit folgenden Auszahlungen verbunden: 120  000,– € sofort, 256 000,– € nach einem Jahr und 324 168,– € nach zwei Jahren. Als Einzahlungen werden erwartet: 100 000,– € sofort, 300 000,– € nach einem Jahr und 300 000,– € nach zwei Jahren. Bei welcher Kapitalverzinsung ist die Investition vorteilhaft? Lösung: Da zum Termin 2 die Auszahlungen höher als die Einzahlungen sind und also per Saldo Auszahlungen entstehen, handelt es sich um eine Nichtnormalinvestition. Aus der Gleichung · · q q − + − =2 1 1 20 000 44 000 24 168 0 erhält man die Lösungen 1 1 1 0 0016 1 14q , , ,= + = , 2 1 1 0 0016 1 06q , – , ,= = . Für den internen Zinssatz ergeben sich also zwei Lösungen, nämlich 6 % und 14 %. Falls der Kalkulationszinssatz unter 6 % gelegen ist, wird man die Investition sicher als nicht vorteilhaft ansehen können, da dann die beiden errechneten internen Zinssätze höher sind. Sowohl bei 6 % als auch bei 14 % Verzinsung beträgt der NKW null. Die Lösungen q1 = 1,06 und q2 = 1,14 stellen die beiden Schnittpunkte der Kapitalwertkurve mit der Abszisse dar. Für die Kapitalwertkurve hat man die Gleichung K0 = –20 000 + 44 000 · 1 / q – 24 168 · 1 / q2, die sich mithilfe des Abzinsungsfaktors v auch in der Form K0 = –20 000 + 44 000 · v – 24 168 · v2 schreiben lässt. Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 158 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 159 7. Investitionen158 Aus ihr ergibt sich für q = 1,10 bzw. für v = 1 / q = 0,909091 der Kapitalwert K0 (10 %) = 26,458 und damit eine Vorteilhaftigkeit der Investition bei einem Kalkulationszinssatz von 10 %. Da einerseits q1 = 1,06 und q2 = 1,14 die einzigen Nullstellen der Kapitalwertkurve sind und andererseits NKW (10 %) > 0 gilt, kann aufgrund der Stetigkeit eindeutig gefolgert werden, dass die Investition bei einer Verzinsung zwischen 6 % und 14 % über einen positiven Nettokapitalwert verfügt und daher zweckmäßig ist. Bei einem Kalkulationszinssatz unter 6 % sowie bei einem Kalkulationszinssatz über 14 % ist die Investition hingegen unvorteilhaft. Aufgabe 13: Für eine Investition sind folgende Auszahlungen notwendig: 120  000,– € sofort, 256 000,– € nach einem Jahr und 320 000,– € nach zwei Jahren. An Einzahlungen werden erzielt: 140 000,– € sofort, 212 000,– € nach einem Jahr und 344 168,– € nach zwei Jahren. Bei welchem Kalkulationszinssatz ist die Investition vorteilhaft? Lösung: Aus 2 1 1 20 000 44 000 24 168 0 – · · q q + = errechnet sich: q1 = 1,14 und q2 = 1,06 Bei einem Zinssatz von 10 % ergibt sich der Nettokapitalwert 1 1 20 000 44 000 24 168 26 45 1 1 1 21 NKW – · · – , , , = + = . Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 158 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 159 7.2 Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 159 Die Investition ist damit bei einer Verzinsung von 10  % unvorteilhaft. In analoger Schlußfolgerung zur Aufgabe 12 erhält man: Die Investition ist bei einem Kalkulationszinssatz unter 6 % bzw. über 14 % vorteilhaft, bei einem Kalkulationszinssatz zwischen 6 % und 14 % ist sie dagegen unvorteilhaft. In der Regel wird in der Praxis eine Gleichung höheren Grades vorliegen, die analytisch nicht zu lösen ist. In diesem Fall sind Iterationsverfahren zu verwenden. Das folgende Interpolationsverfahren sei an dieser Stelle herausgegriffen: 1. Schritt: Berechnen des NKW(i1); i1 ist der Startwert 2. Schritt: falls NKW (i1) > 0, dann ist der nächste Versuchswert mit i2 > i1 zu wählen (und umgekehrt) ; berechnen des NKW(i2) 3. Schritt: lineare Interpolation: i i IZF i NKW(i ) NKW(i )–NKW(i ) − = − 2 11 1 2 1 (69) Beispiel 9: Kalkulationszinssatz 8,000000 % 1. Schritt t A(o) et vt Barwerte (t) 0 – 100 000,00 € 1,0000000 – 100 000,00 € 1 30 000,00 € 0,9259259 27 777,78 € 2 40 000,00 € 0,8573388 34 293,55 € 3 30 000,00 € 0,7938322 23 814,97 € 4 15 000,00 € 0,7350299 11 025,45 € 5 10 000,00 € 0,6805832 6 805,83 € BKW (0) 103 717,58 € NKW (0) 3 717,58 € Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 160 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 161 7. Investitionen160 Kalkulationszinssatz 9,000000 % 2. Schritt t A(o) et vt Barwerte (t) 0 – 100 000,00 € 1,0000000 – 100 000,00 € 1 30 000,00 € 0,9174312 27 522,94 € 2 40 000,00 € 0,8416800 33 667,20 € 3 30 000,00 € 0,7721835 23 165,50 € 4 15 000,00 € 0,7084252 10 626,38 € 5 10 000,00 € 0,6499314 6 499,31 € BKW (0) 101 481,33 € NKW (0) 1  481,33 € 1. „i2-i1“ 0,01000 2. „NKW(i2)-NKW(i1)“ –2 236,25 € 3. 1./2. – 0,00000447 4. 3. · NKW(i1) –0,016624192 5. i1-4. 9,662419 % Iterationsergebnis Die Iteration kann mehrfach verbessert werden. Nach mehreren Versuchen erhält man 9,68 % als „exakte“ Lösung. Tipp: Im praktischen Einsatz wird man sich zweckmäßigerweise eines Tabellenkalkulationsprogramms bedienen. Da mit dem IZF nur eine Unbekannte vorliegt, kann z. B. in Excel mit der Solverfunktion gearbeitet werden (vgl. hierzu Kapitel 10). Interpretation des internen Zinssatzes Der interne Zinssatz einer Investition gibt die Verzinsung des Kapitaleinsatzes zu den jeweiligen Zahlungszeitpunkten an. Im Ausgangsbeispiel (Cashflow: –92 000 + 58 000 + 54 000) beträgt die Kapitalbindung im ersten Jahr 92 000,00 €, was bei einem Effektivzinssatz von 14,36 608 % zu effektiven Zinsen von 13 216,80 € führt. Da die Zahlung in t1 58 000,00 € beträgt, verbleiben nach Abzug der effektiven Zinsen noch 44 783,20 € für die effektive Tilgung. Die Restkapitalbindung beläuft sich somit für das zweite Jahr auf 47 216,80 €. Berechnet man daraus die effektiven Zinsen des zweiten Jahres mit 6 783,20 (= 47 216,80 · 0,1436608), so ergibt sich bei der vorliegenden Einzahlung von 54 000,00 € eine verbleibende effektive Tilgungsleistung von 47 216,80 €. Der interne Zinssatz sichert damit die effektive Rückzahlung des eingesetzten Kapitals. Die folgende Abbildung verdeutlicht nochmals diesen Sachverhalt (Z = effektive Zinsen, T = effektive Tilgungsbeträge, R = effektiv gebundenes Restkapital). Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 160 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 161 7.2 Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 161 Anschaulich kann der interne Zinssatz periodenbezogen als Quotient von effektiven Zinsen und effektiv eingesetztem Kapital angegeben werden mit 13 216,80 € 6 783,20 € 20 000,00 € 14,36608 % 92 000,00 € 47 216,80 € 139 216,80 € = = Wiederanlageprämisse der internen Zinssatzmethode Die Kritik an der internen Zinssatzmethode bezieht sich maßgeblich auf die sogenannte Wiederanlageprämisse. Beim Vergleich zweier Investitionen unterstellt die internen Zinssatzmethode, die Ergänzungsinvestition verzinse sich zum internen Zinssatz derjenigen Investition, die ergänzt wird. Beispiel 10: t0 t1 t2 – 300 000 0 + 356 400 E – 200 000 0 + 242 000 F Es ist unmittelbar ersichtlich, dass ein direkter Vergleich der beiden Investitionsobjekt E und F am unterschiedlichen Kapitaleinsatz scheitert. Vergleichbar sind beide Alternativen offensichtlich nur dann, wenn auch in F ein Kapitaleinsatz von 300 000,00 € zum Zeitpunkt t0 (Auszahlungszeitpunkt) vorliegt. Hierzu wird eine fiktive Ergänzungsinvestition (F′) zu F in Höhe von 100 000,00 € getätigt. Die Rangfolge hängt nunmehr davon ab, wie sich die Ergänzungsinvestition bis zum Ende der Laufzeit verzinst. Die interne Zinssatzmethode unterstellt dabei Verzinsung zum internen Zinssatz des „ergänzten“ Investitionsobjekts. Im Beispiel errechnen sich die internen Zinsfüße der Investitionsobjekt 8,995 % (E) und 10 % (F). Es wird somit Investitionsobjekt F dem Investitionsobjekt E vorgezogen. Die für diese Einschätzung verantwortliche Wiederanlageprämisse unterstellt hier, dass sich die Kapitaleinsatzdifferenz zu 10 % verzinst. Der Endwert beträgt für F inklusive F′ 242 000 + 100 000 · 1,12 = 363 000,00 €. Der vollständige Alternativenvergleich zeigt nochmals, warum F dem Investitionsobjekt E vorgezogen wird. Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 162 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 163 7. Investitionen162 t0 t1 t2 – 300 000 0 + 356 400 E – 300 000 0 + 363 000 F + F′ Der Nachteil der Wiederanlageprämisse liegt auf der Hand. Die zur Schaffung eines vollständigen Alternativenvergleichs notwendigen Ergänzungsinvestitionen verzinsen sich zu internen Zinssätzen, die in aller Regel in dieser Höhe für die betreffenden Laufzeiten nicht am Geld- und Kapitalmarkt existieren. Insofern arbeitet die interne Zinssatz-Methode mit nicht realitätsbezogenen Prämissen. Die Kapitalwertmethode und die interne Zinssatzmethode führen im Beispiel zu unterschiedlichen Vorteilhaftigkeitseinschätzungen der Kreditalternativen. Dies beruht, wie deutlich gemacht wurde, auf den unterschiedlichen Anlageprämissen hinsichtlich der Ergänzungsinvestition. Der Widerspruch zwischen interner Zinssatzmethode und Kapitalwertmethode lässt sich lösen, wenn der Alternativenvergleich mithilfe des Kriteriums der sogenannten Differenzinvestition durchgeführt wird. Die Differenzinvestition erhält man wie bereits erläutert, indem die Zahlungsreihe der zunächst weniger kapitalintensiven Investition von der Investition mit dem zunächst höheren Kapitaleinsatz abgezogen wird: t0 t1 t2 – 100 000 0 + 114 400 Differenzinvestition Da sich die beiden Kreditalternativen offensichtlich genau um die Differenzinvestition unterscheiden, kann sich der Alternativenvergleich auf die Beurteilung der Differenzinvestition beschränken. Das bedeutet, es reicht aus, zu prüfen, ob sich das Eingehen der durch die Differenzinvestition ausgedrückten Kapitalbindung im Vergleich zur besten jederzeit durchführbaren Investitionsalternative (Kalkulationszinssatz) rentiert. Hierzu wird der interne Zinssatz der Differenzinvestition, der gerundet 6,95 % beträgt, mit dem Kalkulationszinssatz von 6 % verglichen. Da der Effektivzinssatz der Differenzinvestition den Kalkulationszinssatz übersteigt, ist das Eingehen der Kapitalbindung vorteilhaft, gemessen an der alternativen Anlage am Geld- und Kapitalmarkt. Allgemein gilt: Solange der Zinssatz der Differenzinvestition den Kalkulationszinssatz übersteigt, ist die kapitalintensivere Investition der weniger kapitalintensiven Investition vorzuziehen (vgl. Grafik; Kapitalwertfunktionen vereinfachend als Gerade dargestellt). Die Grafik enthält die Kapitalwertverläufe der beiden Investitionen E und F als auch den Kapitalwertverlauf der Differenzinvestition. Man erkennt zudem, dass bis zu einem Kalkulationszinssatz von 9 % (genau 8,995 %) sich E gerade noch rechnet und ab 10 % beide Investitionen absolut betrachtet nachteilig sind. Die Differenzinvestition selbst drückt nur den relativen Abstand von E zu F aus. Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 162 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 163 7.2 Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 163 Für Kalkulationszinsfüße kleiner 6,95 % erweist sich die Differenzinvestition als vorteilhaft. Der Grafik kann weiter entnommen werden, dass sich bei einem Kalkulationszinssatz von 6 % ein Nettokapitalwert von 1 815,59 € ergibt. Dieser Wert war bereits im Rahmen des Alternativenvergleichs der Kapitalwertmethode errechnet worden. Dies liegt daran, dass das Differenzinvestitionskriterium implizit eine identische Kapitalbindung im Investitionsobjekt und im Beurteilungsmaßstab „Geldund Kapitalmarktgeschäft“ unterstellt. Im Beispiel gilt: Die Abbildung zeigt zum einen die effektive Zins- und Tilgungsbetrachtung in Bezug auf die Differenzinvestition und zum anderen die den darauf bezogenen -10000,00 -5000,00 0,00 5000,00 10000,00 15000,00 20000,00 25000,00 NKW E NKW F Differenz 1815,59 NKW 6,96%=Nullstelle Rendite, KZF Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 164 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 165 7. Investitionen164 effektiven Verlauf der fristenkongruenten Geld- und Kapitalmarktopportunität. Die Differenzinvestition erwirtschaftet in tt um 9 57,94 (= 6 957,94 – 6 000,00) und in t2 um 1 024,59 (= 7 442,07 – 6 417,48) höhere Effektivzinsen als die Opportunität. Bezieht man die Effektivzinsdifferenz auf t0 (Barwertbetrachtung), so erhält man exakt den mehrfach angeführten Nettokapitalwert von 1 815,59 (= 957,94 / 1,06 + 1 024,59 / 1,062). Zusammenfassung Soweit die interne Zinssatzmethode für einen Alternativenvergleich eingesetzt werden soll, ist prinzipiell die Wiederanlageprämisse zu beachten. Will man sie umgehen, weil sie für unrealistisch gehalten wird, so ist sie durch das Kriterium der Differenzinvestition zu ersetzen. Die Kritik an der internen Zinssatzmethode richtet sich im Wesentlichen auf zwei Sachverhalte: Erstens wird zu Recht eingewendet, der interne Zinssatz sei nicht für alle Investitionen/Finanzierungen rechnerisch ermittelbar. Dieser Einwand trifft indessen dann nicht zu, wenn es sich um sogenannte isoliert durchführbare Investitionen/Finanzierungen handelt. Darunter sind Investitionen/Finanzierungen zu verstehen, die nur einen Vorzeichenwechsel aufweisen. Aufgabe 14: Beurteilen Sie die beiden Investitionsobjekte anhand der Kapitalwertmethode (i = 10 %) und der Methode des internen Zinssatzes: t0 t1 t2 et A – 100 70 55 B – 100 105 15 Begründen Sie, wie das widersprüchliche Ergebnis zustande kommt und zeigen Sie, wie mithilfe der Differenzinvestition der Widerspruch geklärt werden kann. Lösung: NKW (A) = 9,09; IZF (A) = 17,01 %; NKW (B) = 7,85; IZF (B) = 17,74 %; Kapitalwertmethode und die interne Zinssatz-Methode führen also zu unterschiedlichen Ergebnissen. Differenzinvestition (A – B) = Cashflow – Differenz = 0|–35|40; NKW (A – B) = 1,24 und IZF (A – B) = 14,29 %; IZF (A – B) > 10 % → A lohnen. Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 164 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 165 7.2 Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 165 Unterjährliche Zahlungen in der Internen Zinssatzmethode Die interne Zinssatzmethode ist v.a. in der Bankpraxis in erster Linie bei unterjährlichen Zahlungen von Bedeutung. Auf die Varianten wurde im Kapitel Effektivverzinsung ausführlich hingewiesen. An dieser Stelle genügt es deshalb das finanzmathematisch einzig überzeugende Verfahren, nämlich die ICMA- Methode1 darzustellen. Es verwendet auch im unterjährigen Bereich die exponentielle Verzinsung, mit der auch die Bestimmungsgleichung zur Ermittlung des IZF arbeitet. Im Exponenten stehen jetzt allerdings nicht mehr ganzzahlige Periode, sondern Periodenbruchteile (hier: Jahresbruchteile). Es gilt: ( ) T t t / zteff t e A i= = + ∑0 1 1 (70) mit t als Abzinsungszeitraum; t gibt den in Tagen ausgedrückten zeitlichen Abstand der Zahlung et vom Kalkulationszeitpunkt t0 an. t/zt bezeichnet den Jahresbruchteil; zt gibt die pro Kalenderjahr gerechneten Zinstage an: zt 36= 0 bei kaufmännischer 360-Tage-Methode oder zt 365= bei taggenauer Tageberechnung. 1 Ursprünglich als AIBD-Methode („Association of International Bond Dealers“), seit 1.1.1992 mit der Namensänderung der Organistion als ISMA-Methode („International Securities Market Association“) bezeichnet. Nach dem Zusammenschluss mit der International Primary Market Association (IPMA) und erneuter Umfirmierung am 1.7.2005 in „International Capital Market Association“ (ICMA) nunmehr ICMA-Methode genannt. 9,09 6,35 3,72 1,22 –1,18 –3,47 7,85 5,71 3,65 1,66 –0,24 –2,08 –4,00 –2,00 0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 10,00% 12,00% 14,00% 16,00% 18,00% 20,00% KZF NKW (A) NKW(B) Schnittpunkt bei 14,29% Differenzinvestition NKW Rendite, KZF Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 166 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 167 7. Investitionen166 Beispiel 11: Auszahlung: 30.12.12 Rückzahlung: 30.06.13 – 1 000 + 1 050 effi i 0.5 1 050 Wegen 1 000 gilt 10,25 % (1 ) = = + . Effektivzinsermittlung im Leasinggeschäft Eine Effektivzinsangabeverpflichtung für das Leasinggeschäft gibt es bislang nicht. Gleichwohl kann man im Leasinggeschäft analog zum Kreditgeschäft den Effektivzinssatz berechnen. Bezeichnet K0 das Finanzierungsvolumen, et wiederum die (hier vorschüssig gezahlten) Ratenzahlungen und RWn den Restwert, so gilt (vgl. Formel (70)): ( ) ( ) nn t t / m n/ meff eff t e RW K i i − = = − + + ∑ 1 0 0 1 1 (71) Der Zinssatz, für den dieser Zusammenhang gilt, stellt den gesuchten Effektivzinssatz dar. Aus Kundensicht fließen lediglich die Ratenzahlungen an die Bank. Das Finanzierungsvolumen ergibt sich aus dem Listenpreis des geleasten PKW nach Abzug eines Rabatts und der üblichen Einmalzahlung (Leasingsonderzahlung). Der Restwert stellt den voraussichtlichen Verkaufserlös des geleasten PKW dar. Vertragswert und Restwert stellen aus Kundensicht nur fiktive Zahlungen dar. Aufgabe 15: Es wird Bezug genommen auf Aufgabe 17 in Kapitel 4. Ein Leasingnehmer least einen PKW: Anschaffungspreis 50 000 €; Nominalzinssatz 8,9 % p.a., d. h. monatsanteiliger Nominalzinssatz 0,74167 %. Die monatliche Leasingrate bei 36 Monate Laufzeit, einem Finanzierungsvolumen in Höhe von 50 000 € (Vertragswert des PKW bei Vertragsabschluss) und einem angenommenen Restwert von 20 000 € beträgt damit 1 092,82 (Lösung über den vorschüssigen Annuitätenfaktor). Es ist der Effektivzinssatz zu bestimmen. Lösung: Die Problemstellung kann gelöst werden über die Solverfunktion/Zielwertsuche in Excel anhand des Vergleichskontos bzw. des Barwertkontos (alternativ die Funktion XINTZINSFUSS) oder über das vorgestellte Näherungsverfahren. Man erhält 9,72 % (Annahme: alle Monate werden mit 1/12 als Jahresbruchteil behandelt). Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 166 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 167 7.2 Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 167 Effektivzinssatz 9,272 % Vergleichskonto Monat Kreditauszahlung Zinsen Rate Tilgung Restkapital – 50 000,00 € 1 092,82 € 1 092,82 € 48 907,18 € 1 = Wert des PKW 362,73 € 1 092,82 € 730,10 € 48 177,08 € 2 357,31 € 1 092,82 € 735,51 € 47 441,57 € 34 161,11 € 1 092,82 € 931,71 € 20 791,38 € 35 154,20 € 1 092,82 € 938,62 € 19 852,76 € 36   147,24 € 20 000,00 € 19 852,76 € – 0,00 € Summen 9 341,68 € 59 341,68 € 50 000,00 € Aufgabe 16: Sie wollen einen Autokauf vornehmen und das Auto entweder bei der Automobilbank (a) oder Ihrer Hausbank (b) finanzieren. Im Falle von (b) können Sie beim Autohändler (nach erfolgter Kreditauszahlung) bar zahlen, die damit verbundene gute Verhandlungsposition hinsichtlich des Kaufpreises nutzen und einen hohen Rabatt aushandeln. In diesem Fall soll ein Vergleich vorgenommen werden zwischen (a) dem vergleichsweise niedrigen Effektivzinssatz der Automobilbank inklusive keiner bzw. geringer Rabattgewährung und (b) dem Effektivzinssatz der Hausbank inklusive hoher Rabattgewährung. Vergleichen Sie die beiden Alternativen; gegeben sind die Daten der vorstehenden Aufgabe 92a sowie die folgende Angebotssituation: in der Hausbankalternative müssen Sie effektiv 10 %, dagegen in der Autobankalternative nur 3,9 % effektiv zahlen. Lösung: Um die beiden Alternativen vergleichen zu können, ist zu fragen, welcher Rabatt bei Barzahlung auszuhandeln ist, damit die Hausbankalternative nicht teuerer kommt als die Autobankalternative. Im ersten Schritt kann man das Paket der Autobank berechnen: gegeben ist der Effektivzinssatz, d. h. es kann bei den oben gegebenen Daten unmittelbar die Rate ermittelt werden mit 1 472,46 € (der Nachweis kann über das Vergleichskonto geführt werden). Im zweiten Schritt kann man fragen, bei welchem Rabatt das Paket Hausbankalternative (inklusive Rabatt) unter Effektivzinsaspekten gleichwertig ist. Da die Hausbank annahmegemäß 10% effektiv auf den Kreditbetrag fordert, ist der Rabattbetrag die gesuchte Größe. Hierzu wird die Rate aus der Autobankalternative übernommen und dazu passend der Kreditbetrag bei einer Effektivverzinsung von 10% bestimmt. Man erhält einen Kreditbetrag von 45 921 €. Die Differenz zu den 50 000 € Anschaffungspreis ist der Rabatt, der der Kunde fordern müsste. Im Beispiel wäre also ein Rabatt von 4 079 €, das entspricht einem Rabattsatz von rund 8,2 % bezogen auf 50 000 € zu fordern. Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 168 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 169 7. Investitionen168 Zu rechnen ist also: ( )0 1 Rate Autobank Hausbank 1 1 n t t / m t K ( ) ,= =∑ Sofern in Höhe von 4 079,03 € ein Rabatt gewährt wird, fließen dem Kunden im Ergebnis ebenfalls 50 000 € in Form des Fahrzeugs zu. Da aber nur ein Kredit über 45 921 € aufzunehmen ist, beträgt die Effektivverzinsung in beiden Alternativen 3,9 %, denn bei der Hausbank gilt: sie fordert 10% effektiv, aber aufgrund der Rabattgewährung fließen dem Kreditnehmer tatsächlich 50 000 € zu; damit sinkt die Effektivverzinsung auf 3,9%: ( ) ( ) = = = = = = = ∑ ∑ n t t / m t n t t / m t K ( ) K  , ,   0 0 1 1 Rate Hausbank Hausbank + Rabatt 50000 (Autobank) 1 039 Rate Autobank 50000 1 039 Die beiden Alternativen sind trotz Effektivzinsvergleich wiederanlageprämissenfrei vergleichbar, weil Raten und Kapital übereinstimmen und damit auch die Effektivkapitalien der beiden Alternativen. Effektivzinssatz 3,90 % Hausbank Vergleichskonto Monat effektive Zinsen Rate effektive Tilgung effektives Restkapital – 50 000,00 € 1 159,67 € 1 472,46 € 1 312,80 € 48 687,20 € 2 155,47 € 1 472,46 € 1 316,99 € 47 370,21 € 35 9,36 € 1 472,46 € 1 463,11 € 1 467,78 € 36 4,69 € 1 472,46 € 1 467,78 € – 0,00 € Summe 3 008,74 € 53 008,74 € 50 000,00 €   Effektivzinssatz 10,00 % Hausbank Monat effektive Zinsen Rate effektive Tilgung effektives Restkapital – 45 920,97 € 1 366,18 € 1 472,46 € 1 106,28 € 44 814,68 € 2 357,36 € 1 472,46 € 1 115,11 € 43 699,58 € 35 23,21 € 1 472,46 € 1 449,26 € 1 460,82 € 36 11,65 € 1 472,46 € 1 460,82 € – 0,00 € Summe 7 087,77 € 53 008,74 € 45 920,97 €   7.2.3 Einbeziehung von Steuerwirkungen Die Einbeziehung von Steuern in der Investitionsrechnung wird hier nur in Bezug auf die Kapitalwertmethode für den Fall des vollkommenen Geld- und Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 168 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 169 7.2 Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 169 Kapitalmarkt bei einem einfachen Gewinnsteuersystem (konstanter Ertragsteuersatz s) diskutiert. Insofern erheben die folgenden Darstellungen nicht den Anspruch, die Realität des komplexen deutschen Steuersystems vollständig abzubilden. Beispiel 12: Betrachtet wird zunächst nochmals Investitionsobjekt A bei vollständiger Eigenfinanzierung. Zur Klärung der Auswirkungen von Ertragsteuern wird in zwei Stufen vorgegangen: 1. Es ist die Netto-Zahlungsreihe unter Beachtung der ertragsteuerlichen Wirkungen zu bestimmen. 2. Es ist der Abzinsungsfaktor zu bestimmen; da auch die Alternativanlage i.a. der Ertragsteuer unterliegt, kann nicht einfach mit dem Bruttoabzinsungsfaktor gearbeitet werden. Zu (1) Die Abschreibung mindert die steuerliche Bemessungsgrundlage; der kombinierte Ertragsteuersatz beträgt bei einem Hebesatz von 400% bei der Gewerbeertragsteuer 35%. Letzterer berücksichtigt die Gewerbeertragsteuer GewESt und die Körperschaft- bzw. Einkommensteuer KSt bzw. ESt; dabei ist zu berücksichtigen, dass die GewESt mittlerweile nicht mehr die eigene Bemessungsgrundlage mindert und auch nicht mehr bei der KSt bzw. ESt abzugsfähig ist: • Gewerbeertragsteuer (Hebesatz h  =  400  %, Steuermeßzahl m  =  5  %) = m · h = 4 · 0,05 = 20 % • Unter Einbeziehung der KSt (Steuersatz derzeit 15 %) ergibt sich der kombinierte Ertragsteuersatz sE mit 20 % + 15 % = 35 %. Zu (2) Unter Berücksichtigung der Steuerbelastung der Alternativanlage ergibt sich ein Kalkulationszinssatz nach Steuern von: is = i(1 – sE) Im Beispiel gilt folglich: is = 0,06  (1 – 0,35) = 0,039. Unter den gesetzten Annahmen errechnet sich der NKWs nach Steuern mit: n t t E t t s s t A [e s (e Q )] / ( i ) NKW = − + − − + =∑0 1 1 Der NKW des Investitionsobjekts C sinkt auf rund 5 224 € (Q für Abschreibung, zVE zu versteuerndes Einkommen, StZ Steuerzahlung, ZRnSt Zahlungsreihe nach Steuerzahlung): Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 170 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 171 7. Investitionen170 t 0 1 2 3 4 5 AZF(t) 1,0000000 0,9624639 0,9263368 0,8915657 0,8580998 0,8258901 A (o) –100.000 e (t) 30.000 40.000 30.000 15.000 10.000 Q (t) 20.000 20.000 20.000 20.000 20.000 zVE 10.000 20.000 10.000 –5.000 –10.000 StZ –3.500 –7.000 –3.500 1.750 3.500 ZRnSt –100.000 26.500 33.000 26.500 16.750 13.500 NKWs BW (t) –100.000 25.505,29 30.569,11 23.626,49 14.373,17 11.149,52 5.223,59 Unterstellt man vollständige Fremdfinanzierung, dann ist weiter die steuerliche Abzugsfähigkeit der Fremdkapitalzinsen zu beachten (T für Tilgung, F für Fremdkapital): ( ) n t t E t t t –1 t –1 t s s t –A F [e – s (e – Q – iF ) – iF – T ] / 1 i NKW = + + + =∑0 0 1 . Da sich A0 und F0 entsprechen, können sie aus der Formel auch gekürzt werden. Die Formel beruht auf der sogenannten Nettomethode: diese bewertet die den Eigentümern zufließenden Einzahlungsüberschüsse. Interpretation der Rechnungen: Der Abzinsungsfaktor gibt die Alternativrendite bei der Anlage am Geldund Kapitalmarkt an (1) bzw. den effektiven Kreditzinssatz, der von den Eigentümern zu zahlen wäre (2): (1): Der BKW (nach Steuern) wäre demnach am Geld- und Kapitalmarkt anzulegen, um gerade die Einzahlungsüberschüsse nach Steuern realisieren zu können. Da der Investor aber nur A0 bezahlen muss, hat er einen Reichtumszuwachs von NKW zu verzeichnen. (2): Der Investor könnte den BKW (nach Steuern) als Kredit aufnehmen und diesen aus den Projektüberschüssen verzinsen. Tut er dies tatsächlich, kann er die Differenz aus BKW (nach Steuern) und A0 sofort entnehmen. Bei einer Mischfinanzierung kann der NKW ermittelt werden, wenn Annahmen über die Finanzierungszusammensetzung gemacht werden. Unterstellt man eine über die Laufzeit konstante Eigenkapital-Fremdkapital-Relation, so kann wiederum die angeführte Formel verwendet werden. Allerdings ist nunmehr A0 > F0 zu beachten. Am Ergebnis ändert sich gegenüber den bisher betrachteten Situation nichts, da wiederum der Eigenkapitalkostensatz und der FK-Kostensatz – jeweils nach Steuern – übereinstimmen: Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 170 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 171 7.2 Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 171 Fall mit Ertragsteuern KFZ 6,00 % vor Steuern SE = 35,00 % FF 6,00 % is = 3,90 % t 0 1 2 3 4 5 AZF(t) 1,0000000 0,9624639 0,9263368 0,8915657 0,8580998 0,8258901 A (o) –100.000 e (t) 30.000 40.000 30.000 15.000 10.000 Q (t) 20.000 20.000 20.000 20.000 20.000 keine Zahlung F(0); T(t) 60.000 –12.000 –12.000 –12.000 –12.000 –12.000 F(t) 48.000 36.000 24.000 12.000 0 keine Zahlung is · F(t) –3.600 –2.880 –2.160 –1.440 –720 zVE 6.400 17.120 7.840 –6.440 –10.720 keine Zahlung StZ –2.240 –5.992 –2.744 2.254 3.752 ZRnSt –40.000 12.160 19.128 13.096 3.814 1.032 NKWs BW (t) –40.000 11.704 17.719 11.676 3.273 852 5.223,59 7.2.4 Margenermittlung in der Investitionsrechnung In den vorherigen Abschnitten wurde u.a. gemessen, inwieweit sich Investitionsentscheidungen absolut gesehen rentieren. In der internen Zinssatzmethode wurde hierzu die Objektrendite mit der Benchmarkrendite (=Kalkulationszinssatz i) verglichen. In den Vermögenswertmethoden wurde darauf abgestellt, ob ein positiver Nettokapitalwert bzw. ein entsprechend positiver Endwert erzielt wird. In der Praxis interessiert indessen häufig auch, welche prozentuale Marge verdient wird. Anders ausgedrückt: Wie groß ist der Abstand des Effektivzinssatzes des Investitionsobjekts vom Effektivzinssatz der Benchmark (Kalkulationszinssatz)? Sofern diese in absoluten Beträgen ausgedrückt wird, wird entsprechend die absolute Marge € ermittelt. Wie bereits im Zusammenhang mit der internen Zinssatzmethode herausgearbeitet, setzt ein Renditevergleich zwischen zwei Objekten voraus, dass keine Kapitalbindungsdifferenzen zwischen den Objekten im Zeitablauf bestehen, mithin die Wiederanlageprämisse nicht greift. Dies ist damit auch bei der Margenermittlung zu beachten. Wir betrachten ein Investitionsobjekt mit einer Rendite von 8,3488 %. Auf der Basis eines Kalkulationszinssatzes von 4,4960 % (flache Zinskurve) ergibt sich ein Nettokapitalwert in Höhe von 100; der Bruttokapitalwert beträgt entsprechend 1 000. t 0 1 2 3 4 5 AZF(t) 1 0,9569747 0,9158005 0,8763979 0,838690596 0,802605658 A(o); e(t) –900 180 240 300 220 200 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 172 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 173 7. Investitionen172 Wie kann nun die Marge % ermittelt werden? Bei einer wie hier zunächst vereinfachend angenommenen flachen Zinsstrukturkurve kann unmittelbar die Differenz von Objektrendite (8,3488  %) und Kalkulationszinssatz (4,4960  %) gebildet werden um die Marge mg % zu erhalten (hier also: 3,8528 %). Prinzipiell gilt, wenn RK das für die Periode t effektiv gebundene Kapital (vgl. Vergleichskonto) bezeichnet: n t t t NKW mg(%) RK v + = = ⋅∑ 1 0 Die prozentuale Marge ergibt sich damit aus der Relation von NKW und dem Barwert des effektiv gebundenen Restkapitals laut Vergleichskonto. Man beachte, dass RK der ersten Periode mit RK0 bezeichnet wird und bereits für eine Periode abzuzinsen ist (es ist ja die gesamte Periode über gebunden!). Verzinsung der Investition Vergleichskonto Investitionsobjekt Jahr effektive Zinsen Rate effektive Tilgung effektives Restkapital vt–1 Barwert RK 0 0,00 0,00 0,00 900,00 0,9569747 861,28 € 1 75,14 180,00 104,86 795,14 0,9158005 728,19 € 2 66,38 240,00 173,62 621,52 0,8763979 544,70 € 3 51,89 300,00 248,11 373,41 0,8386906 313,18 € 4 31,18 220,00 188,82 184,59 0,8026057 148,15 € 5 15,41 200,00 184,59 0,00 – € Hinweis: die Periodenrendite 8,3488 % ist konstant; sie ergibt sich z. B. in Periode 3 mit 51,89 / 621,52. Summe: 2 595,50 € Marge % 3,8528 % = 100/2595,50 Der Renditevergleich ist nur dann zulässig, wenn die eben beschriebene Voraussetzung „keine Kapitalbindungsdifferenzen zwischen den Objekten im Zeitablauf“ erfüllt ist. Um diesen Nachweis zu führen, kann man auch für die Benchmark das bereits ausführlich beschriebene Vergleichskonto angeben: Verzinsung des Geld- und Kapitalmarktgeschäfts (= Vergleichskonto Benchmark) Jahr effektive Zinsen Rate effektive Tilgung effektives Restkapital 0 0,00 0,00 0,00 900,00 Periodenrenditen 1 40,46 145,32 104,86 795,14 4,4960 % 2 35,75 209,36 173,62 621,52 4,4960 % 3 27,94 276,05 248,11 373,41 4,4960 % 4 16,79 205,61 188,82 184,59 4,4960 % 5 8,30 192,89 184,59 0,00 4,4960 % Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 172 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 173 7.2 Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung 173 Hinweis: Die Periodenrendite 4,4960 % ist ebenfalls konstant; sie ergibt sich z. B. in Periode 3 mit 27,94 / 621,52 = 4,496 %. Man erkennt, dass die Kapitalbindung zu allen Zeitpunkten identisch ist. Deshalb kann die absolute Marge in € als Differenz der jeweiligen effektiven Zinsen wiederanlageprämissenfrei angegeben werden (z. B. Periode 3: Marge absolut = 51,89 – 27,94 = 23,95). Jahr Marge 1 34,68 2 30,64 3 23,95 4 14,39 5 7,11 An dieser Stelle kann zu einem in der Unternehmenspraxis weit verbreiteten Steuerungskonzept Economic Value Added® (EVA) übergeleitet werden. Prinzipiell entsprechen sich über die Unternehmenslebensdauer hinweg die kalkulatorischen Nettokapitalwerte und die in der Gewinn- und Verlustrechnung (GuV) ermittelten Gewinne (RBW = Restbuchwert; hier entspricht der RBW der effektiven Kapitalbindung) –dieser Zusammenhang wird in der Literatur auch als Lücke-Theorem bezeichnet: t t t t t t t te / ( i) A (e Q i RBW ) / ( i)−Σ + − = Σ − − ⋅ +0 11 1 Margenbarwert Barwert des Economic Value Added Der Ausdruck t t t t(e Q i RBW )−Σ − − ⋅ 1 wird als Wertschöpfung oder als Economic Value-Added bezeichnet. Dabei gilt der folgende Zusammenhang: Die diskontierten Wertschöpfungen entsprechen gerade dem Margenbarwert. Weiter gilt, dass die Anschaffungsauszahlung einer Investition der abgezinsten Summe aus Periodenabschreibung und kalkulatorischer Verzinsung entspricht: t t t tA (Q i RBW ) / ( i)−= Σ + ⋅ +0 1 1 Im Beispiel gilt demnach: t = 0 1 2 3 4 5 AZF(t) 1,00000 0,95697 0,91580 0,87640 0,83869 0,80261 A(o); e(t) –900,00 180,00 240,00 300,00 220,00 200,00 Q(t) 104,86 173,62 248,11 188,82 184,59 RBW(t) 900,00 795,14 621,52 373,41 184,59 0,00 I · RBW(t – 1) 40,46 35,75 27,94 16,79 8,30 EVA(t) = e(t) – Q(t) – i · RBW(t – 1)   34,68 30,64 23,95 14,39 7,11 EVA(%) 3,8528 % 3,8528 % 3,8528 % 3,8528 % 3,8528 % Die diskontierten EVA-Beträge der einzelnen Perioden ergeben gerade den Nettokapitalwert von 100. Die EVA-Beträge der einzelnen Perioden entsprechen damit exakt den bereits ermittelten Margen. Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 174 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 175 7. Investitionen174 7.3 Marktzinsorientierte Kapitalwertmethode : Berücksichtigung der Zinsstrukturkurve des Geld- und Kapitalmarktes Die Kritik an der klassischen Kapitalwertmethode betrifft aus Sicht der praktischen Anwendung namentlich das Rechnen mit einer flachen Zinsstrukturkurve, d. h. mit einem einheitlichen Kalkulationszinssatz. Tatsächlich stellt sich die Geld- und Kapitalmarktalternative (Opportunitätsgeschäft) nicht als einheitlicher Kalkulationszinssatz dar, sondern als ansteigende (normale) bzw. fallende (inverse) Zinsstrukturkurve. Insbesondere im Bankgeschäft führt das Rechnen mit einem einheitlichen Kalkulationszinssatz zu unrealistischen Ergebnissen, da mit nicht existierenden Geld- und Kapitalmarktgeschäften gerechnet wird. Als Konsequenz dieser Kritik lässt sich folgern: • Eine realitätsbezogene Investitionsbeurteilung muss die „Krümmung“ der Zinsstrukturkurve exakt, d. h. im Prinzip taggenau berücksichtigen. Das Rechnen mit einem einheitlichen Kalkulationszinssatz scheidet deshalb aus. • Da Geld- und Kapitalmarktgeschäfte i. d. R. festverzinsliche Wertpapiere mit laufender Kuponzahlung und endfälliger Tilgung darstellen, ist für jede einzelne Zahlung der Investition ein laufzeitkongruenter Kalkulationszinssatz zu verwenden. 7.3.1 Lösung mithilfe des vollständigen Finanzplans (Duplizierungsprinzip) Der vollständige Finanzplan kann nicht nur dazu verwendet werden, den Endwert einer Investition anzugeben, sondern auch, um den NKW zu berechnen. Hebt man auf die Barwertdarstellung ab, so sind das Investitionsobjekt und das Opportunitätsgeschäft genau dann miteinander vergleichbar, wenn bis auf den Auszahlungszeitpunkt die Zahlungsströme der beiden Geschäfte zu allen Zahlungszeitpunkten betragsmäßig identisch sind (Duplizierungsprinzip; in der Praxis auch als Prinzip der Zahlungsstromkongruenten Refinanzierung bekannt). Vorteilhaftigkeitsüberlegung: Eine Investition ist vorteilhaft, wenn die Zahlungsstromdifferenz zwischen Investitionsobjekt einerseits und Opportunitätsgeschäft andererseits in t0 ein positives Vorzeichen auf weist (positiver NKW). Durchführung des Duplizierungsprinzips: Es sind (im Regelfall) so viele Geldund Kapitalmarktgeschäfte abzuschließen, wie das Investitionsobjekt Zahlungsströme aufweist. Drei Schritte lassen sich unterscheiden: 1. Ermittlung des Zahlungsstromes des Investitionsobjekts. 2. Jeder Zahlungszeitpunkt definiert den relevanten fristen- bzw. laufzeitkongruenten Opportunitätszinssatz, der der zum Entscheidungszeitpunkt gültigen Zinsstrukturkurve zu entnehmen ist. Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 174 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 175 7.3 Marktzinsorientierte Kapitalwertmethode 175 3. Die Konstruktion der Alternativgeschäfte beginnt mit dem am weitesten in der Zukunft liegenden Zahlungsstrom des Investitionsobjekts, da dessen periodisch jeweils nach einem Jahr zufließenden Zinszahlungen die Zahlungssalden der kürzerfristigen Alternativgeschäfte beeinflussen. Dabei gilt: Die Zinszahlungen der längerfristigen Alternativgeschäfte reduzieren den Betrag der kürzerfristig abzuschließenden Alternativgeschäfte. Beispiel 13: Ein Investitionsobjekt mit einer Anschaffungsauszahlung von 300  000 €, weise eine „Rente“ von 120 634,44 während der dreijährigen Laufzeit auf. Die aktuellen Geld- und Kapitalmarktsätze belaufen sich auf 7 % (1-Jahresgeld), 8 % (2-Jahresgeld) und 9 % (3-Jahresgeld). Die Anlage von Geld- und Kapitalmarktmitteln mit einer Laufzeit von 3 Jahren in Höhe von 110 673,80 € sichert den Ausgleich des ersten Cashflows von 120 634,44 € in t3 ab. Daraus resultieren zwingend Zinszahlungen über 9 960,64 € in t1 und t2. Dies ist bei der Konstruktion der restlichen Alternativgeschäfte zu berücksichtigen. Das zwei Jahre laufende Opportunitätsgeschäft muss daher nicht den durch die Einzahlung über 120 634,44 € in t2 vorgegebenen Betrag kompensieren; vielmehr sind dann die in t2 vorgegebenen Zinsen über 9 960,64 € in Abzug zu bringen. Es verbleibt damit ein Anlagebedarf über 102 475,74 €, der zusammen mit den vorgegebenen Zinsen des ersten Gegengeschäfts gerade den zweiten Cashflow in t2 nachbildet: 120 634,44 = 102 475,74 · 1,08 + 9960,64. Insgesamt ergibt sich ein alternativer Anlagebetrag von 308 921,26 €, der sich aus drei Geld- und Kapitalmarkttranchen zusammensetzt. Damit ist klar, dass der positive NKW 8 921,26 € entspricht. Barwertermittlung bei zahlungsstromkongruent konstruierten Gegengeschäften t0 t1 t2 t3 –300 000 120 634,44 120 634,44 120 634,44 Zahlungsstrom des Investitionsobjekts – 110 673,80 + 9 960,64 9 960,64 120 634,44 Zahlungsströme – 102 475,74 + 8 198,06 110 673,8 der Alternativgeschäfte – 95 771,72 + 102 475,74 – 308 921,26 8 921,26 0 0 0 Zahlungsstromdifferenz ↑ Nettokapitelwert Die Zahlungssalden des Investitionsobjekt und der Alternativgeschäfte weisen nur in t0 eine Differenz aus, die hier die Vorteilhaftigkeit des Investitionsobjekts wiedergibt. Der vollständige Finanzplan vermag Geld-/Briefdifferenzen exakt zu berücksichtigen im Unterschied zu aus linearen Gleichungssystemen abgeleiteten Abzinsungsfaktoren, auf die nunmehr einzugehen ist. Von Geld-/Briefdifferenzen wird nachfolgend jedoch abstrahiert. Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 176 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 177 7. Investitionen176 7.3.2 Kalkulation mit periodenspezifischen Kalkulationszinssätzen Zerobondabzinsfaktoren und Prinzip der Arbitragefreiheit Ausgangspunkt ist die Überlegung, dass Geld- und Kapitalmarktgeschäfte i. d. R. festverzinsliche Wertpapiere mit laufender Kuponzahlung und endfälliger Tilgung darstellen, deren Kurs nur ausnahmsweise 100 % beträgt. Vielmehr hängt der Wertpapierkurs von der Kuponausstattung (konstante Nominalverzinsung), der Restlaufzeit des Papiers und der auf die Restlaufzeit des Papiers bezogenen, am Geld- und Kapitalmarkt erzielbaren Marktrendite ab. Weiter gilt auf hochorganisierten Finanzmärkten das Prinzip der Arbitragefreiheit. Das bedeutet, durch Tauschgeschäfte können keine NKW erzielt werden (Anmerkung: wohl aber würden durch Transaktionskosten und Geld-/Briefdifferenzen Nachteile entstehen; davon wird hier abstrahiert). Angenommen, in unserem Beispiel 13 würden die Wertpapiere, die die Verzinsung der Restlaufzeiten definieren, jeweils zum Kurs von 100 % gehandelt. In diesem Fall müssen die Barwerte der Wertpapierrückflüsse – auf Basis der noch unbekannten Abzinsungsfaktoren – genau 100 %, hier normiert auf 100 €, ergeben. Damit lässt sich das folgende Gleichungssystem anführen (vgl. Kruschwitz 1995 a): (I) 107 · v1 + 0 + 0 = 100 (II) 8 · v1 + 108 · v2 + 0 = 100 (III) 9 · v1 9 · v1 + 109 · v3 = 100. Löst man das Gleichungssystem mithilfe des Matrizenkalküls (Lösungsmatrix X = A–1 · b), so erhält man die gesuchten arbitragefreien Abzinsungsfaktoren. Multipliziert man die Cashflows mit den arbitragefreien Abzinsungsfaktoren, so erhält man wiederum den bereits mithilfe des Finanzplans berechneten NKW: – 300 000 + 120 634,44 · (0,93457944 + 0,85669782 + 0,76952757) = 8 921,26. Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 176 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 177 7.3 Marktzinsorientierte Kapitalwertmethode 177 Strukturkongruente Ermittlung von Zerobondabzinsfaktoren Alternativ lassen sich die synthetisch, also künstlich erzeugten, Zerobondabzinsfaktoren auch sukzessive bestimmen (die unmittelbare Übernahme von realen Zerobonds scheidet aus, da dieses Kapitalmarktsegement unbedeutend ist und somit nicht als Benchmark dienen kann). Hierzu wird nach der Methode des vollständigen Finanzplans vorgegangen. Als Startbetrag kann dabei ein beliebiger Geldbetrag, z. B. 1 €, verwendet werden. Die Bezeichnung als Zerobond wird dabei unmittelbar aus der Summenbetrachtung deutlich: Die Konstruktion führt zu einer Anfangs- und einer Schlusszahlung, was charakteristisch für Zerobonds ist. Die Vor gehensweise selbst basiert auf den gleichen Überlegungen wie der vollständige Finanzplan. Erläuterung: zuerst wird der Cashflow -1 € glattgestellt durch eine Kapitalaufnahme von 1 / (1  +  0,09)   =  0,91743119. Daraus leiten sich jährliche Zinszahlungen von –0,09 · 0,91743119 = –0,08256881 ab. In Periode 2 ist diese Zinszahlung spiegelbildlich zu schließen: +0,08256881, was eine Anlage heute von –0,08256881 / (1,08)  =  -0,0764526 erfordert. Daraus leitet sich wiederum der Zinserttrag von 0,0764526 · 0,08 = 0,00611621 ab. In Periode 1 ist damit der Saldo von 0,0764526 auszugleichen durch –0,0764526 / (1,07) heute. Der verbleibende Saldo heute entspricht dem Zerobondabzinsfaktor. heute 1 2 3 0,91743119 –0,08256881 –0,08256881 –1 9% –0,0764526 0,00611621 0,08256881 8% –0,07145103 0,0764526     7% 0,76952757 0 0 –1 Die marktzinsorientierte Kapitalwertmethode hat sich seit längerer Zeit in der Bankpraxis durchgesetzt. Sie ist dort unter den Bezeichnungen Marktzinsmethode bzw. Barwertkonzept bekannt (vgl. Sievi; Wimmer 2013). Ermittlung von Forward Rates Die Zerobondabzinsfaktoren berücksichtigen die Krümmung der Zinsstrukturkurve. Drückt man die damit verbundenen Renditen p.a. aus, so erhält man die Zero Rates (zr), die auch als Spot Rates bezeichnet werden. Es handelt sich folg lich um laufzeitspezifische Renditen p.a., die die reale Zinsstrukturkurve abbilden. Bezeichnet r0t die laufzeitspezifische Rendite für den Zeitraum „heute“ bis zum Zeitpunkt t und zbf0t den Zerobondabzinsfaktor für den Zeitraum „heute“ bis zum Zeitpunkt t, so gilt: t t tzr / zbf= −0 01 1 Weiter lassen sich so genannte Forward Rates ermitteln. Es handelt sich dabei um zeitab schnittsweise definierte Effektivzinssätz e, die für reale Zinsstrukturkurven gelten und die verwendet werden, um erst in der Zu kunft anfallende Cashflows zu bewerten. Die Forward Rate ft t+1 gibt an, zu welchem Zinssatz eine Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 178 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 179 7. Investitionen178 Zahlung in der Periode t bis zur Periode t+1 angelegt werden kann auf Basis der heute zur Verfügung stehenden Zinsstrukturkurve. Rechnerisch lassen sich die Forward Rates direkt aus den Zerobond-Abzinsfaktoren ableiten: t t t t zbf f zbf+ + = −01 0 1 1 Beispiel 14 Kuponrenditen Zero Rates ZBF Forward Rates 1. Jahr 3,5000 % zr01 ZBF01 f01 2. Jahr 3,8000 % zr02 ZBF02 f12 3. Jahr 4,0000 % zr03 ZBF03 f23 4. Jahr 4,2000 % zr04 ZBF04 f34 5. Jahr 4,4960 % zr05 ZBF05  f45 Es ist nach den vorstehend beschriebenen Zusammenhängen die Tabelle zu vervollständigen. Lösung:   Kuponrenditen Zero Rates   ZBF   Forward Rates   1. Jahr 3,5000 % 3,500 % zr01 0,96618357 zbf01 3,5000 % f01 2. Jahr 3,8000 % 3,806 % zr02 0,92802025 zbf02 4,1123 % f12 3. Jahr 4,0000 % 4,012 % zr03 0,88868447 zbf03 4,4263 % f23 4. Jahr 4,2000 % 4,223 % zr04 0,84752274 zbf04 4,8567 % f34 5. Jahr 4,4960 % 4,544 % zr05 0,80077392 zbf05 5,8380 % f45 Erläuterungen an ausgwählten Beispielen: zr02 = 3,806 %  / zbf / ,= − = −021 1 1 0 92802025 1 f01 = 3,5 % =  zbf f zbf , = − = −0001 01 1 1 1 0 96618357 f12 = 4,1123 % =  zbf , f zbf , = − = −0112 02 0 96618357 1 1 0 92802025 Kapitalwertberechnung mit periodenspezifischen Renditen Im Fall des Rechnens mit einer flachen Zinsstrukturkurve wird unrealistischerweise von Renditekonstanz ausgegangen, d. h. für alle Laufzeitbereiche der Investition wird mit der gleichen Rendite abgezinst. Zur Wiederholung wird (63) nochmals angegeben. n t t t BKW e / ( i) = = +∑ 1 1 = n t t t e v = ⋅∑ 1 . Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 178 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 179 7.3 Marktzinsorientierte Kapitalwertmethode 179 Im Fall des Rechnens mit der realen Zinsstrukturkurve kann wie ausgeführt anhand von mehreren Methoden der Tatsache Rechnung getragen werden, dass die Renditen pro Laufzeitjahr einen unterschiedlichen Wert annehmen werden. In der Bankpraxis wird dieser Tatsache sogar durch eine taggenaue Interpolation Rechnung getragen, auf die hier aber nicht näher eingegangen wird. In der formalen Darstellung ist nunmehr die periodenspezifische Rendite anzugeben: i bezeichnet die Rendite des Laufzeitabschnitts (hier Periode bzw. Jahr), der mit dem Laufindex s = 1, 2, …, t ausgedrückt wird. Damit gilt n t t t e BKW ( i ) ( i ) ...( i )= = + ⋅ + ⋅ +∑1 1 21 1 1 Es ist zweckmäßig, hier das Produktsummenzeichen einzuführen. Für die Diskontierung eines Einzahlungsüberschusses et gilt dann: t s t s ( i ) ( i ) ( i ) ...( i ) = + = + ⋅ + ⋅ +∏ 1 2 1 1 1 1 1 Damit kann man für die Kapitalwertberechnung mit periodenspezifischen Renditen BKW verkürzt schreiben als: n n t t t t tt s s e e BKW ( i )* ( i )* ...( i ) ( i )= = = = = + + + + ∑ ∑ ∏1 11 2 1 1 1 1 1 (72) Zu beachten ist, dass die periodenspezifischen Renditen nicht den Kuponrenditen entsprechen dürfen, sondern wie oben abgeleitet den Zerorenditen entsprechen müssen. Andernfalls wäre das Kriterium der Arbitragefreiheit nicht erfüllt und es käme zu Fehlbewertungen. Beispiel 15: Der Cashflow der Perioden 1 bis 3 (je 10 000 €) wird einmal anhand der periodenspezifischen Kuponrenditen diskontiert und zum anderen mit den periodenspezifischen Zero-Rates. Kuponrenditen: 3,50  % (Jahr 1); 3,80  % (Jahr 2); 4,00 % (Jahr 3). Die daraus abgegleiteten Zero-Rates: 3,500 %; 3,806 % und 4,012 %. Lösung:   0 1 2 3 10000 10000 10000 v (Kuponrenditen) 0,96618357 0,92812248 0,88899636 BKW (Kuponrenditen) 27 833,02416 = 1 / (1,035) = 1 / (1,038)2  = 1 / (1,04)3  v (Spot-Rates) 0,96618357 0,92802025 0,88868447 BKW (Spotrates) 27 828,88297 = 1 / (1,035) = 1 / (1,03806)2  = 1 / (1,04012)3  Nur die zweite Berechnung ist korrekt. Ebenso wäre es falsch zu diskontieren mit 1 / (1,035 · 1,038 · 1,04) bzw. 1 / (1,035 · 1,038) und 1 / (1,035). Man erhielte 27 920,08. Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 180 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 181 7. Investitionen180 Berechnung von Futurekursen, Forward Rate Aggrements Um sogenannte Futurekurse (Terminkurse) zu berechnen, ist mit den bereits hergeleiteten Forwardrenditen zu diskontieren. Bezeichnet k den Zeitpunkt, zu dem der Futurekurs zu bestimmen ist, so sind alle Cashflows nach diesem Zeitpunkt mit den periodenspezifischen Forwardrenditen ft t;k+s mit s = 1 bis t zu diskontieren. Es gilt entsprechend: 1 1 1 2 1(1 ) (1 ) ... (1 ) n t k t k k k k k t t e BKW f f f= + + + + − = = + ⋅ + ⋅ ⋅ +∑ Da die Forward Rates hier als 1-Jahresrenditen definiert worden sind, genügt es, den Endpunkt anzugeben, also statt f34 nur f4 zu indizieren. Damit erhält man: n n t t k t t k t kk k t k s s e e BKW f f f f1 11 2 1 (1 ) (1 ) ... (1 ) (1 )= + = ++ + + = = = + ⋅ + ⋅ ⋅ + + ∑ ∑ ∏ Aufgabe 17: Für das Beispiel 14 ist der Futurekurs zum Zeitpunkt 1 zu bestimmen. Es gilt: BKW ( f ) ( f ) ( f ) ( , ) ( , ) ( , ) = + = + + + ⋅ + ⋅1 2 2 3 10000 10000 10000 10000 1 1 1 1 041123 1 041123 1 044263 =18 802,89 Das gleiche Ergebnis erhält man, wenn die Cashflows mit den Zerobondabzinsfaktoren abgezinst werden (BKW = 18 167,05) und anschließend auf t = 1 aufgezinst werden (18 167,05 · 1,035 = 18 802,89). Bei Forward Rate Agreements (FRA) handelt es sich um Termingeschäfte, d. h. der Erfüllungszeitpunkt dieser Geldgeschäfte liegt in der Zukunft. Diese Festzinsvereinbarung mit einem bestimmten Partner, die ab einem bestimmten Termin läuft, bezieht sich auf eine feste Laufzeit sowie einen bestimmten Kapitalbetrag. Der Festzinssatz wird als FRA-Satz (Terminzinssatz) bezeichnet. Er bezieht sich auf den FRA-Zeitraum. Ein Kapitalaustausch findet beim FRA nicht statt. Man unterscheidet zwei Zeiträume. Die Vorlaufzeit des Geschäfts ist dabei die Zeit, die bis zum Beginn des Sicherungszeitraums verstreicht. Bei Beginn des künftigen Geschäfts erfolgen barwertige Ausgleichszahlungen in Höhe der Differenz des Festzinssatzes zum festgelegten Referenzzinssatz (z. B. 3-Monats-EURIBOR). Der Käufer des FRA will sich gegen steigende Kreditzinsen absichern und „zahlt“ den Festzinssatz an den Verkäufer des FRA. Er „erhält“ im Gegenzug den Referenzzinssatz. Zum Zeitpunkt des Sicherungsbeginns erfolgt der barwertige Ausgleich. Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 180 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 181 7.3 Marktzinsorientierte Kapitalwertmethode 181 Beispiel 16: Ein Unternehmen will am 2.1. in vier Monaten (2.5.) einen Kredit über 10 000 € für 6 Monate aufnehmen und sich gegen steigende Zinsen absichern. Es gelten die oben angeführten Marktzinssätze. Das Unternehmen kauft deshalb den FRA. Gegeben sind die Geld- und Kapitalmarktsätze für die Vorlaufzeit (2.1. – 2.5.) und die Gesamtdauer des FRA (2.1. – 2.11.). Gesucht ist dagegen der Terminzinssatz, der aus heutiger Sicht zu Beginn des Sicherungszeitraums gelten wird. Zu Beginn der Zinssicherungsperiode beträgt der Marktzinsssatz für sechs Monate (6 Mo-EURIBOR) 4,7 %. Es ist die Ausgleichszahlung zu bestimmen. Vorlaufzeit 120 Tage Sicherungszeitraum 180 Tage Zinssatz 2.1. – 2.5. = 3,2 % FRA-Satz, der zu berechnen ist Zinssatz 2.1. – 2.11. = 4 % Vertragsabschluss 2.1. Barausgleich am 2.5. 2.11. Die Anlage vom 2.1. – 2.5. und die sich anschließende Anlage von 2.5. – 2.11. zum FRA-Satz muss zum gleichen Endwert führen wie die Anlage vom 2.1. – 2.11. Der FRA-Satz berechnet sich mit 4,4855 % anhand der für FRA geltenden Formel (vereinfachend wird von der 30/360-Tagemethode ausgegangen): X , X , FRA ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ 300 120 180 1 0 04 1 0 032 1 360 360 360 Anlage für 10 Monate Anlage zunächst für 4 Monate, dann für 6 Monate , FRA , + ⋅ = − ⋅ + ⋅ 300 1 0 04 360360 1120 1801 0 032 360 = 0,044854881 Berechnung der Ausgleichszahlung am 2.5.: Es gilt Festzinssatz < Referenzzinssatz, d. h. die Differenz fließt dem Käufer zu. Das Unternehmen zahlt für die Kreditaufnahme zwar den Marktzins von 4,7 %, erhält aber eine Ausgleichszahlung am 2.5. aus dem FRA, die die effektive Kreditbelastung auf den Festzinssatz von 4,4855 % senkt. Bezogen auf den Sicherungszeitraum zahlt das Unternehmen Festzinsen in Höhe von 10 Mio. · 0,044855 · (180/360). Gleichzeitig erhält es variable Zinsen in Höhe von 10 Mio. · 0,047 · (180/360). Die Differenz beläuft sich auf 10 725 € per 2.11. Dieser Ausgleichszahlung ist noch abzuzinsen auf den 2.5. Man erhält einen Barwert von 10 478,75 € = 10725 · (1 + 0,047 · 1/2). Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 182 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 183 7. Investitionen182 7.3.3 Fallstudie: Berechnung einer Vorfälligkeitsentschädigung in der Bankpraxis Zunächst ist aus juristischer Sicht anzumerken, dass die Nichtabnahmeentschädigung (a) und die Vorfälligkeitsentschädigung (b) rechnerisch gleich zu behandeln sind. In beiden Fällen erfüllt der Kunde seine vertragliche Verpflichtung nicht: er nimmt das Darlehen erst gar nicht ab (a) bzw. zahlt es vorzeitig zurück. Zu a) Ist der Darlehensvertrag zwischen Bank und Kunde rechtswirksam abgeschlossen, ist der Kunde zur Abnahme des Darlehensbetrages verpflichtet. Verletzt der Kunde schuldhaft seine Pflicht, das Darlehen abzunehmen, so kann die Bank eine Nichtabnahmeentschädigung geltend machen. Als Anspruchsgrundlage sind §§ 281, 323 BGB zu nennen, da der Darlehensnehmer mit der Abnahme des Darlehensbetrags in Verzug geraten ist. Zu b) Der BGH räumte dem Kreditnehmer einen Anspruch auf vorzeitige Vertragsbeendigung ein, wenn dies berechtigte Interessen des Kreditnehmers gebieten (= BGH WM 1997, 1747 und 1799). Dieses durch die Rechtsprechung entwickelte vorzeitige Tilgungsrecht steht dem Darlehensnehmer bei grundpfandrechtlich gesicherten, festkonditionierten Darlehen unter bestimmten Voraussetzungen zu. Es ist nunmehr in § 490 Abs.2 BGB geregelt. § 490 BGB – Auszug (2) Der Darlehensnehmer kann einen Darlehensvertrag, bei dem der Sollzinssatz gebunden und das Darlehen durch ein Grund- oder Schiffspfandrecht gesichert ist, unter Einhaltung der Fristen des § 488 Abs. 3 Satz 2 vorzeitig kündigen, wenn seine berechtigten Interessen dies gebieten und seit dem vollständigen Empfang des Darlehens sechs Monate abgelaufen sind. Ein solches Interesse liegt insbesondere vor, wenn der Darlehensnehmer ein Bedürfnis nach einer anderweitigen Verwertung der zur Sicherung des Darlehens beliehenen Sache hat. Der Darlehensnehmer hat dem Darlehensgeber denjenigen Schaden zu ersetzen, der diesem aus der vorzeitigen Kündigung entsteht (Vorfälligkeitsentschädigung). Die Bank soll aus der vorzeitigen Rückführung des Darlehens keinen Nachteil erleiden und hat deshalb Anspruch auf Ersatz desjenigen Schadens, der ihm aus der vorzeitigen Kündigung entsteht (Vorfälligkeitsentschädigung). Eine inhaltliche Präzisierung hat der BGH (XI ZR 27/00, Urteil vom 07.11.2000 = WM 2001, 20) vorgenommen: Die Bank soll dem so gestellt werden, wie sie stünde, wenn der Darlehensvertrag nach den vertraglichen Vereinbarungen abgewickelt worden wäre. Maßgeblich ist der so genannte geschützte Zinserwartungszeitraum, das ist i.A. die Zeit bis zum Ende der Zinsbindung. Allerdings ist Folgendes zu beachten: Generell kündbar sind nach § 489 Abs. 1 Nr. 2 BGB Kreditverträge, wenn seit der Auszahlung des Darlehens 10 Jahre verstrichen sind. Der Kreditnehmer muss nach Ablauf von 10 Jahren eine Kündigungsfrist von 6 Monaten einhalten, sodass Darlehensverträge aller Art spätestens nach 10 Jahren und 6 Monaten beendet werden können, ohne dass der Kreditnehmer mit einer Vorfälligkeitsentschädigung konfrontiert wird. Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 182 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 183 7.3 Marktzinsorientierte Kapitalwertmethode 183 Die finanzmathematische Idee der Schadensberechnung sieht damit wie folgt aus: Ausgangspunkt ist die vom BGH geforderte Identität des Zahlungsstroms, der ursprüng lich vereinbart worden war mit demjenigen, der durch Wiederanlage am Kapitalmarkt nachgebildet werden soll. Damit ist die gesuchte Größe der Ablösebetrag, für den diese Identitätsbeziehung greift. Die Zahlungen, die nötig sind, um den ursprünglichen Ratenfluss zu rekonstruieren, ergeben den Ablösebetrag. Nach Abzug der Restschuld laut Kreditkonto erhält man den Schaden, der den entgangenen Gewinn (Zinsmargenschaden) einschließt und der als Vorfälligkeitsentschädigung bezeichnet wird. Aus rechtlichen Gründen muss der Bankkunde immer mindestens die nominale Restschuld bezahlen. Der BGH fordert für die „Rekonstruktion“ der Zahlungen die Verwendung der Cashflow-Methode in Verbindung mit der sogenannten realen Zinsstrukturkurve. Damit ist der Barwert des Darlehens mit der realen Zinsstrukturkurve und damit mit periodenspezifischen Renditen zu berechnen. Formal gilt: n nom t t nom t VE K – K = e zbf – K = = ⋅∑0 0 0 1 mit VE = 0 für (K0 – Knom)  < 0 Der BGH gibt bei der Schadensberechnung die Anlage in Hypothekenpfandbriefen vor, wobei er sich (BGH 30.11.2004 – XI ZR 285/03) für die Kapitalmarktstatistik der Bundesbank ausspricht. Nachfolgend soll eine Aufgabe betrachtet werden. Dabei werden zahlreiche Spezialfälle, wie die Berücksichtigung von Sondertilgungsrechten und Disagioresten sowie die Erstattung entfallender Risiko- und Verwaltungskosten, bewusst ausgeblendet (vgl. hierzu Rösler/Wimmer/Lang). Aufgabe 18: Eine Bank hat vor 5 Jahren einen Annuitätenkredit (6 % Nominalzinssatz, 2 % anfängliche Tilgung) ausgereicht bei jährlicher Ratenzahlung. Die Zinsbindung beträgt 10 Jahre. Nach genau 5 Jahren, der Kunde hat die Rate des Jahres 5 noch überwiesen, soll das Darlehen vorzeitig abgelöst werden. Die Bank hat zum Zeitpunkt der vorzeitigen Vertragsablösung t0 Anspruch auf die noch ausstehenden Kreditraten zu den angegeben Zeitpunkten des geschützten Zinserwartungszeitraums. 0 1 2 3 4 5 20 000,00 € 20 000,00 € 20 000,00 € 20 000,00 € 204 096,03 € Weiter liegt die aktuelle Marktzinskurve in Form von Hypothekenpfandbriefen vor, die mit der Zinskurve aus Beispiel 12 übereinstimmen soll. (a) Es ist der faire Ablösebetrag (Vorfälligkeitsentschädigung gemäß § 490 Abs. 2 BGB) zum Zeitpunkt der vorzeitigen Vertragsablösung zu bestimmen. Die Schadensberechnung beruht auf der Annahme, der Kunde würde den Ablösebetrag gleich per t0 zahlen. Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 184 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 185 7. Investitionen184 (b) Angenommen, die Vertragsparteien streben eine Ablösung in der Zukunft – per Termin t3 – an. Die vom Bankkunden per Termin t3 zu zahlende Vorfälligkeitsentschädigung soll bereits heute (t0) fest vereinbart haben. Der per Termin zu begleichende Betrag wird damit schon „heute“ fixiert. (c) Wie wäre das Ergebnis bei b), wenn der Kunde bis zum Ablösezeitpunkt keine Raten mehr zahlen möchte. Lösung: Zu (a) Man erhält den Kapitalstand zum Zeitpunkt 5 nach den Regeln der Tilgungsrechnung (hier Prozentannuität) mit Knom5 = K0 · q5 - A · s5 = 250 000 · 1,065 – 20 000 · 5,637093 = 221 814,53 Aus Gründen der Übersichtlichkeit ist unten der Kontoverlauf wiedergegeben. K0 ergibt sich mit: ( )0 0 1 20000 0 96618357 0 92802025 0 88868447 0 84752274 204096 03 0 80077392 n t t t K e zbf     , , , , , , = = ⋅ = ⋅ + + + + ⋅ ∑ VE = 236 043,00 – 221 814,53 = 14 228,47 Hinweis: Da e1,2,3,4 konstant sind, kann der Barwert ermittelt werden, indem e1,2,3,4 · (Summe Zerobondabzinsfaktoren) gesetzt wird. Zu (b) Der faire Ablösebetrag per Termin t3 ergibt sich durch Abzinsung der zu diesem Zeitpunkt noch ausstehenden Raten (die Raten bis t3 sollen separat beglichen werden) anhand der Forward Rates. Man erhält den Kapitalstand zum Zeitpunkt 8 (aus Sicht der usprünglichen Darlehensausreichung) nach den Regeln der Tilgungsrechnung (hier Prozentannuität) mit Knom8 = K0 · q8 - A · s8 = 250 000 · 1,068 - 20 000 · 9,897468 = 200 512,66. Gesucht ist der Ablösebetrag per Termin. Hierzu sind die noch zahlenden Raten (Zeitpunkte 9 und 10 aus Sicht der usprünglichen Darlehensausreichung) mit den entsprechenden Forward Rates abzuzinsen. 3 20000 204096 03 1 048567 1 048567 1 058380 , K , , , = + ⋅ = 202 980 VE per Termin (3) = 202 980 – 200 512,66 = 2 467,34 Anmerkung: Angenommen, die Terminzinsssätze würden zufällig mit der Kreditverzinsung (6 %) übereinstimmen. In diesem Fall wäre der Terminkurs exakt 200 512,66, d. h. es würde sich eine Vorfälligkeitsentschädigung in Höhe von 0 ergeben (ein logisches Ergebnis, denn die vorzeitige Ablösung ist für die Bank erfolgsneutral). Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 184 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 185 7.3 Marktzinsorientierte Kapitalwertmethode 185 Jahr Zinsen Rate Tilgung Restkapital       – € 250 000,00 € 1 15 000,00 € 20 000,00 € 5 000,00 € 245 000,00 € 2 14 700,00 € 20 000,00 € 5 300,00 € 239 700,00 € 3 14 382,00 € 20 000,00 € 5 618,00 € 234 082,00 € 4 14 044,92 € 20 000,00 € 5 955,08 € 228 126,92 € t0 = 5 13 687,62 € 20 000,00 € 6 312,38 € 221 814,54 € t1 = 6 13 308,87 € 20 000,00 € 6 691,13 € 215 123,41 € t2 = 7 12 907,40 € 20 000,00 € 7 092,60 € 208 030,81 € t3 = 8 12 481,85 € 20 000,00 € 7 518,15 € 200 512,66 € 9 12 030,76 € 20 000,00 € 7 969,24 € 192 543,42 € 10 11 552,61 € 204 096,03 € 192 543,42 € – € Zu (c) Der faire Ablösebetrag per Termin t3 ergibt sich erstens durch Abzinsung der nach diesem Zeitpunkt fälligen Raten plus der Rate per t3 plus den mit den Forwardsätzen auf t2 aufgezinsten Raten, Somit gilt (202 980 siehe b): K3 = 20 000 ·  (1,035 · 1,041123) + 20 000 · 1,041123 + 20 000 + 202 980 = 62 373,71 + 265 609,45 Der Kunde hat entsprechend in t3 = 265 609,45 € an die Bank zu zahlen, wenn er heute den Ablösebetrag fixieren möchte. Die Vorfälligkeitsentschädigung errechnet sich zunächst durch Vergleich des Ablösebetrags mit der in t3 = 3 planmäßig bestehenden Restschuld von 200 512,66 €, das sind 65 096,79 €. Juristisch gesehen werden die noch nicht bezahlten Darlehensraten separat in Rechnung gestellt. Das sind hier die aufgezinsten drei Raten (= 62 373,71). Das Ergebnis lautet damit: Vorfälligkeitsentschädigung 2 723,08 €, noch nicht bezahlte Leistungen 62 373,71 €, Restschuld 200 512,66 €, zu zahlen damit 265 609,45 €. 7.3.4 Margenermittlung bei nicht-flacher Zinsstrukturkurve des Geldund Kapitalmarktes Bei nicht-flacher Zinsstrukturkurve ergeben sich Besonderheiten, die an einem Beispiel erläutert werden. Die Kuponrenditen werden, wie bereits weiter oben beschriebenen, in Zerobondabzinsfaktoren transformiert. Nunmehr gilt, wenn RK wiederum das für die Periode t effektiv gebundene Kapital (vgl. Vergleichskonto) bezeichnet: n t t t NKW mg(%) RK zbf0 1 0 + = = ⋅∑ Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 186 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 187 7. Investitionen186 Es gelte die folgende nicht-flache Zinsstrukturkurve: Jahr Kuponrenditen Zerobondabzinsfaktoren 1 3,5000 % 0,966183575 2 3,8000 % 0,928020254 3 4,0000 % 0,888684468 4 4,2000 % 0,847522737 5 4,4960 % 0,800773924 Damit ergibt sich der Nettokapitalwert in Höhe von 109,85; der Bruttokapitalwert beträgt entsprechend 1 009,85: Kalkulationszinssatz 4,1626 % Objektrendite 8,35 % t 0 1 2 3 4 5 AZF(t) 1,00000 0,96618 0,92802 0,88868 0,84752 0,80077 BKW 1 009,85 A(o); e(t) –900,00 180,00 240,00 300,00 220,00 200,00 NKW 109,85 Multipliziert man die Effektivkapitalstände mit den Zerobondabzinsfaktoren, so ergibt sich aufsummiert ein barwertig gebundenes Kapital in Höhe von 2 624,10. Dividiert man den NKW von 109,85 durch 2 624,10, so erhält man die prozentuale Marge mit rund 4,19%. Verzinsung der Investition = 8,3488 % Vergleichskonto Investitionsobjekt Jahr effektive Zinsen Rate effektive Tilgung effektives Restkapital Zerobond- Abzinsfaktoren Barwert gebundenes Kapital 0 0,00 0,00 0,00 900,00 0,966183575 869,57 € 1 75,14 180,00 104,86 795,14 0,928020254 737,91 € 2 66,38 240,00 173,62 621,52 0,888684468 552,34 € 3 51,89 300,00 248,11 373,41 0,847522737 316,48 € 4 31,18 220,00 188,82 184,59 0,800773924 147,81 € 5 15,41 200,00 184,59 0,00 0 – € Summe: 2 624,10 € Marge% 4,1863 % Multipliziert man die Marge % mit den Effektivkapitalständen der einzelnen Perioden, so erhält man die Margen der einzelnen Perioden in €. Diskontiert man die laufenden Margen, so ermittelt sich wiederum der bereits bekannte NKW: Jahr Marge Barwerte lfd. Marge 0 0 0 1 37,68 36,40 2 33,29 30,89 3 26,02 23,12 4 15,63 13,25 5 7,73 6,19 Summe 109,85 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 186 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 187 8. Investitionsrechnung bei unsicheren Erwartungen Bewertungskonzepte der Investitions- und Finanzierungstheorie lassen sich in Konzepte bei unsicheren und sicheren Erwartungen differenzieren. Auch hier werden vollkommene Geld- und Kapitalmärkte unterstellt. Bei den Ansätzen zur Berücksichtigung unsicherer Erwartungen, die hier ausschließlich für die Risikosituation (d. h. Wahrscheinlichkeitsverteilungen können angegeben werden) diskutiert werden, lassen sich drei Arten anführen: • Traditionelles Korrekturverfahren: Der Vergleich einer ausfallrisikobehafteten Investition mit dem annahmegemäß nicht risikobehafteten Bewertungsmaßstab Opportunitätszinssatz wird hergestellt, indem der Opportunitätszinssatz erhöht und/oder die Einzahlungsüberschüsse aus dem zu bewertenden Investitionsobjekt gekürzt werden. Problematisch und theoretisch nicht fundiert ist die Festlegung des Korrekturfaktors, weswegen dieser Ansatz hier nicht ausführlich betrachtet wird. • Klassische Entscheidungstheorie: Die darauf basierenden Verfahren vermögen die Mehrperiodigkeit der Handlungsfolgen nur ungenügend abzubilden und setzen die Kenntnis der Risikopräferenzfunktion der Entscheidungsträger voraus (vgl. Schmidt/Terberger, S. 307 f.). Auch diese Verfahren werden wegen der geringen praktischen Bedeutung hier nicht aufgegriffen. • Neoklassische Kapitalmarkttheorie: Diese Ansätze spielen zunehmend eine wichtige Rolle in der Praxis (z. B. Unternehmensbewertung, Anlageentscheidungen professioneller Investoren); sie sind deshalb im Folgenden näher vorzustellen. Zum einen ist dabei auf die Portfolio-Selection und zum anderen auf das Capital Asset Pricing Modell (CAPM) einzugehen. 8.1 Portfolio Selection Ausgangspunkt der Kapitalmarktmodelle ist die Portefeuille-Theorie/Portfolio Selection (vgl. Drukarczyk; Schmidt/Terberger). Auslöser für die Entwicklung der Portfolio Selection war die empirische Erkenntnis, dass Anleger ihr Vermögen regelmäßig auf mehrere Wertpapiere verteilen (Mischung von Wertpapieren). Neben der nahe liegenden Zielgröße Rendite sind für Investoren offensichtlich zum Entscheidungszeitpunkt weitere Zielgrößen relevant, da ansonsten immer nur das Wertpapier mit der maximalen Rendite erworben würde. Die Portfolio-Selection beschreibt, wie Wahrscheinlichkeitsverteilungen insbesondere von Renditen risikobehafteter Wertpapiere durch bestimmte Parameter bewertet werden können. Als maßgebliche Parameter gelten der Erwartungswert (µ) und die Varianz (σ2) bzw. die Standardabweichung (σ) der Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Renditen der zur Auswahl stehenden ri-

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References

Zusammenfassung

Bester Durchblick in der Finanzmathematik.

Finanzmathematik kompakt

Dieses Lehrbuch führt in die zentralen Themen der klassischen wie der modernen Finanzmathematik ein. Diese Kenntnisse gehören zum unerlässlichen Grundbestand betriebswirtschaftlichen Wissens. Über 150 Rechenbeispiele mit Lösungen helfen dem Leser, den Stoff nachzuvollziehen und das Erlernte zu überprüfen.

Die Schwerpunkte

– Zins- und Zinseszinsrechnung

– Rentenrechnung

– Tilgungs- und Kursrechnung

– Effektivverzinsung

– Klassische Investitionsrechnung

– Marktzinsorientierte Kapitalwertmethode

– Portfoliomanagement und CAPM

Der Autor

Prof. Dr. Konrad Wimmer, Kempten/Neu-Ulm.

Konkrete Hilfe

für Studierende der Wirtschaftswissenschaften an Universitäten, Fachhochschulen und Akademien, Bankkaufleute und Finanzdienstleister.